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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A1}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2009 - groupement A1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\emph{On s'intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d'une grande entreprise, provenant de clients dispersés sur le réseau Internet.}

\emph{La réception de trop nombreuses requêtes est susceptible d'engendrer des problèmes de surcharge du serveur.}

\medskip
 
\textbf{Partie A :} 

\medskip
 
Dans cette partie, on s'intéresse au nombre de requêtes reçues par le serveur, au cours de certaines durées jugées critiques.
 
On désigne par $\tau$ un nombre réel strictement positif. On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée $\tau$ (exprimée en secondes). La variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 500 \tau$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on s'intéresse au cas où $\tau = 0,01$. 

Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au cours d'une durée $\tau$ de 0,01~s.
 
En expliquant votre démarche, déterminer le plus petit entier naturel $n_{0}$ tel que $p\left(X > n_{0}\right) < 0,05$. 

Dans cette question, on s'intéresse au cas où  $\tau = 0,2$.
 
On rappelle que la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 100$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $\mu = 100$ et d'écart type $\sigma = 10$.
 
En utilisant cette approximation, calculer : 
	\begin{enumerate}
		\item  la probabilité $P(X > 120)$ ; 
	\item  une valeur approchée du nombre réel positif $a$ tel que 
	
$P(100 - a \leqslant  X \leqslant  100 + a) = 0,99$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
  
Dans cette partie, on considère : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  d'une part, que la probabilité pour le serveur de connaître des dysfonctionnements importants au cours d'une journée donnée est $p = 0,01$ ; 
\item  d'autre part, que des dysfonctionnements importants survenant au cours de journées distinctes constituent des évènements aléatoires indépendants. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item On appelle $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'un mois de 30 jours.
 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale. 

Préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que le serveur connaisse au plus 2 jours de dysfonctionnements importants pendant un mois. 
	\end{enumerate}	
\item On appelle $Z$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'une année de 365~jours. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, sans justification, la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$. 
		\item Donner l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire $Z$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip
 
Dans cette partie. on s'intéresse à la durée séparant deux requêtes successives reçues par le serveur.
 
On appelle $T$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs les durées (exprimées en secondes) séparant l'arrivée de deux requêtes successives sur le serveur. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $t$ un nombre réel positif. La probabilité que $T$ prenne une valeur inférieure ou égale à $t$ est donnée par : $p(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t 500 \text{e}^{-500x}\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(T \leqslant t)$ en fonction de $t$. 
		\item En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $P(T \leqslant t) = 0,95$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au millième de seconde.
	\end{enumerate}	 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale
		
\[I(t) = \displaystyle\int_{0}^t 500x \text{e}^{-500x}\:\text{d}x.\]

		\item Déterminer la limite $m$ de $I(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
	 
Le nombre $m$ est l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$. Il représente la durée moyenne séparant la réception de deux requêtes successives.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\emph{Commentaire :} 

\emph{Ce modèle, très simple, intéresse les concepteurs de systèmes d'information ou de télécommunication car il fournit des évaluations de certaines performances d'un système, en particulier au sens du « scénario du pire des cas ».} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ».}
 
\emph{La partie A permet de déterminer la réponse à l'échelon unité.}
 
\emph{Les parties B et C permettent d'étudier les perturbations résultant d'une coupure de $0,1$~seconde. }

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
U(t) 	&=& 0	& \text{si}~ t < 0\\
U(t)	&=&1	& \text{si}~ t \geqslant 0\\
\end{array}\right.\]
  
Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$.

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
On considère la fonction causale $s_{1}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : 
\[s_{1}(t) + \int_{0}^t s_{1}(u)\:\text{d}u = U(t). \]

On note $S_{1}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{1}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $S_{1}(p) =  \dfrac{1}{p + 1}$. 
\item  En déduire $s_{1}(t)$ pour tout nombre réel $t$.
 
La courbe représentative de la fonction $s_{1}$ est donnée par la \textbf{figure 1 du document réponse.}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère la fonction causale $s_{2}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ : 

\[s_{2}(t) + \int_{0}^t s_{2}(u)\:\text{d}u  = U(t) - U(t-1) .\] 

On note $S_{2}$ la transformée de Laplace de la fonction $s_{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement la fonction $e_{2}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

\[e_{2}(t) = U(t) - U(t - 1).\]
 
\item  Déterminer $S_{2}(p)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire $s_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$. 
		\item  Justifier que :
	\[\left\{\begin{array}{l c l l} 
s_{2}(t)&=&0&\text{si}~ t < 0\\ 
s_{2}(t)&=&\text{e}^{-t}& \text{si}~ 0 \leqslant t < 1\\ 
s_{2}(t)&=&-\text{e}^{-t}(\text{e} - 1)& \text{si}~ t \geqslant 1\\
\end{array}\right.\]
 
	\end{enumerate}
\item Établir le sens de variation de la fonction $s_{2}$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.
\item  Calculer $s_{2}\left(1^+ \right) - s_{2}\left(1^- \right)$.
\item  On appelle $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $s_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&1& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline
$s_{2}(t)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. 
		\item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la figure 2 du document réponse, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip
 
On considère la fonction causale $s_{3}$ telle que, pour tout nombre réel $t$ :
 
\[s_{3}(t) + \int_{0}^t s_{3}(u)\:\text{d}u = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1). \]

\begin{enumerate}
\item  Soit la fonction $e_{3}$ définie sur l'ensemble des nombres réels par : 

$e_{3}(t) = U(t) - U(t -1) + U(t -1,1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $e_{3}(t) = e_{2}(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~ 1,1[$. 
		\item  Déterminer $e_{3}(t)$ pour $t \geqslant 1,1$. 
		\item  Représenter graphiquement la fonction $e_{3}$.

\medskip
 
Pour la suite, on admet que : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
s_{3}(t)& =& s_{2}(t)& 	\text{si}~t < 1,1\\ 
s_{3}(t)&=&\text{e}^{-t}\left(1 - \text{e}+ \text{e}^{1,1}\right)& \text{si}~  t \geqslant 1,1.\\
\end{array}\right.\]
 
	\end{enumerate}
\item Établir le sens de variation de la fonction $s_{3}$ sur l'intervalle $]1,1~;~ + \infty[$. 
\item Calculer $s_{3}\left(1,1^{+}\right) - s_{3}\left(1,1^{-}\right)$.
\item On appelle $\mathcal{C}_{3}$ la courbe représentative de la fonction $s_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$& 1,1& 1,5& 2& 2,5\\ \hline
$s_{3}(t)$&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. 
	\item Compléter le tracé de la courbe $\mathcal{C}_{3}$ sur la figure 3 du document réponse, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}