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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Verg\`es
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Polynésie~\decofourright\\juin 2012}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center} ORGANISATION D'UNE ACTIVITE TOURISTIQUE\end{center}

\medskip
 
Un complexe hôtelier accueille 400 vacanciers de divers continents parmi lesquels 90 Européens. 

Lors de la réservation, chaque vacancier a dû remplir une fiche sur laquelle il lui était demandé s'il comptait participer ou non au stage de plongée organisé par l'hôtel. Suite à l'analyse des fiches, le directeur constate que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item il y a deux fois plus d'Américains que d'Européens; 
\item 120 personnes ont choisi de participer au stage de plongée ; 
\item 20\,\% des clients Européens ont choisi de participer au stage de plongée; 
\item $\dfrac{2}{5}$ des clients Américains ont choisi de participer au stage de plongée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau récapitulatif suivant: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Clients&Européens&Américains&Autres continents&Total\\ \hline
Participent au stage de plongée&	&	&	&120\\ \hline 
Ne participent pas au stage de plongée&	&	&&\\ \hline
Total&90&&&400\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats sous forme décimale. 
\item On tire une fiche au hasard parmi les 400 fiches récupérées. À l'aide du tableau précédent, 
calculer la probabilité des évènements suivants : 

$A$ : \og Le client est Européen \fg
 
$B$ : \og Le client n'est pas Européen \fg
 
$C$ : \og Le client a choisi de participer au stage de plongée \fg
 
\item Définir par une phrase l'évènement $\overline{C}$ et calculer sa probabilité. 
\item Définir par une phrase les évènements $A \cap C$ et $A \cup C$ et calculer leur probabilité. 
\item La fiche prélevée au hasard est celle d'un client ni Européen, ni Américain. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi de participer au stage de plongée? (On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}ÉTUDE DE MARCHÉ\end{center}
 
La société DOLYG a mis au point un logiciel de gestion hôtelière ; $x$ désigne le prix proposé (en \euro) et $y$ le nombre d'hôtels disposés à acheter le logiciel au prix $x$.
 
L'enquête menée auprès de 500 hôtels a donné les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 
Prix proposé en \euro{} $x_{i}$& \np{1000} &\np{1200} &\np{1400} &\np{2400} &\np{3000} &\np{3600} &\np{4200} &\np{4800} &\np{5400} &\np{6000}\\ \hline 
Nombre d'hôtels $y_{i}$& 500 &490 &440 &340 &280 &200 &150 &100 &70 &30\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip 

\emph{Exemple de lecture du tableau : parmi les $500$ hôtels,  $280$ sont disposés à acheter le logiciel $\np{3000}$}~\euro. 

\emph{parmi les $500$ hôtels $30$ sont disposés à acheter le logiciel $\np{6000}$}~\euro.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude statistique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de cette série statistique dans un repère orthogonal (O~;~I,~J) d'unités graphiques :
 
sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 400~\euro
 
sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 50~hôtels.
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ des 5 premiers points du nuage ($i$ variant de 1 à 5). Calculer les coordonnées du point moyen $G_{2}$ des 5 derniers points ($i$ variant de 6 à 10). 
		\item Placer les points $G_{1}$ et $G_{2}$ dans le repère orthogonal. Tracer la droite d'ajustement $\left(G_{1}G_{2}\right)$.
		 
Montrer que cette droite a pour équation $y= - 0,10x + 590$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la droite d'ajustement, déterminer graphiquement le nombre d'hôtels disposés à acheter le logiciel si son prix est de \np{2800}~\euro{} (on fera apparaître les constructions utiles). Vérifier votre résultat à l'aide de l'équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$. 
		\item À l'aide de l'équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$, calculer le prix de vente du logiciel à ne pas dépasser pour qu'il y ait au moins $400$~hôtels acheteurs. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : maximisation du bénéfice}

\medskip
 
On suppose que le coût total de production du logiciel ne dépend pas du nombre de logiciels vendus et est fixé à \np{230000}~\euro.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En vous aidant des résultats obtenus à la question 3)a. de la partie A, quel bénéfice la société DOLYG peut-elle espérer si le prix du logiciel est fixé à \np{2800}~\euro ?
 
On rappelle que : bénéfice = prix du logiciel $x$ nombre de logiciels vendus $-$ coût total de production. 
\item On note $f(x)$ le bénéfice que la société DOLYG tire de la vente du logiciel, où $x$ représente le prix proposé pour celui-ci. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'ajustement de la partie A, donner le nombre de logiciels vendus en fonction de $x$. 
		\item Montrer que $f(x) = - 0,10x^2 + 590x - \np{230000}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [\np{1000}~;~\np{6000}] par 

\[f(x) = - 0,10 x^2 + 590x - \np{230000}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f^{\prime}(x)$ où $f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [\np{1000}~;~\np{6000}].
		 
Déterminer le prix de vente du logiciel qui rend le bénéfice prévisible maximum. Quel serait alors ce bénéfice ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}