\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{enumerate} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} %\usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{25cm} \usepackage[body={18cm,25.7cm},top=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}} {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\Large\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} \renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} %Macro Tableau par Rémi Deniaud \newcommand{\tableau}[6]{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \addtocounter{Denis}{1}\theDenis & \hypertarget{#6}{}\hyperlink{#1}{#2} & #3 & #4 & #5 \\ \hline \end{tabularx}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Algorithmes}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \vspace{-0.8cm} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Algorithmes~\decofourright }} \textbf{Index des exercices contenant un algorithme de juin 2012 à novembre 2013} \vspace{0,5cm}Tapuscrit : \textsc{Denis Vergès}\end{center} \newcounter{Denis}[Denis] \setcounter{Denis}{0} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \No & Lieu et date&& &\\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Polynesie_juin2012}{Polynésie juin 2012}{}{}{}{Polynesie_juin2012_retour} \tableau{Metropole_juin2012}{Métropole juin 2012}{}{}{}{Metropole_juin2012_retour} \tableau{Etrangers_juin2012}{Centres étrangers juin 2012}{}{}{}{Etrangers_juin2012_retour} \tableau{Asie_juin2012}{Asie juin 2012}{}{}{}{Asie_juin2012_retour} \tableau{Antilles_juin2012}{Antilles--Guyane 2012}{}{}{}{Antilles_juin2012_retour} \tableau{Antilles1_juin2012}{Antilles--Guyane (spécialité) 2012}{}{}{}{Antilles1_juin2012_retour} \tableau{Liban_mai2012}{Liban mai 2012}{}{}{}{Liban_mai2012_retour} \tableau{AmeriqueNord_mai2012}{Amérique du Nord mai 2012}{}{}{}{AmeriqueNord_mai2012_retour} \tableau{Pondichery_avril2012}{Pondichéry avril 2012}{}{}{}{Pondichery_avril2012_retour} \tableau{Pondichery_avril2013}{Pondichéry avril 2013}{}{}{}{Pondichery_avril2013_retour} \tableau{Amerique Nord_mai2013}{Amérique du Nord mai 2013}{}{}{}{Amerique Nord_mai2013_retour} \tableau{Liban_mai2013}{Liban mai 2013}{}{}{}{Liban_mai2013_retour} \tableau{Antilles_juin2013}{Antilles-Guyane juin 2013}{}{}{}{Antilles_juin2013_retour} \tableau{Centresetrangers_juin2013}{Centres étrangers juin 2013}{}{}{}{Centresetrangers_juin2013_retour} \tableau{Asie_juin2013}{Asie juin 2013}{}{}{}{Asie_juin2013_retour} \tableau{Metropole_juin2013}{Métropole juin 2013}{}{}{}{Metropole_juin2013_retour} \tableau{Antillessept}{Antilles--Guyane septembre 2013}{}{}{}{Antillessept_retour} \tableau{Antillesseptspe}{Antilles--Guyane septembre (spécialité 2013}{}{}{}{Antillesseptspe_retour} \tableau{Metropolesept}{Métropole septembre 2013}{}{}{}{Metropolesept_retour} \tableau{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2013}{}{}{}{Caledonienov_retour} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des sujets \newpage %%%%%%%% Polynésie juin 2012 \hypertarget{Polynesie_juin2012}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2012}} \medskip \textbf{\textcolor{red}{Partie A}} \medskip On considère l'algorithme suivant : Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\ \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{7cm} \textbf{Entrée} Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\ \noindent \textbf{Traitement}\\ Affecter à $U$ la valeur 0\\ Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\ \noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\ Fin pour\\ \noindent \textbf{Sortie}\\ \noindent Afficher $U$ \end{minipage}} \end{center} \medskip Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ? \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie B}} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$. \end{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ? On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$. \item Justifier que $n_0\leqslant 3p$. \item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$. \item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Polynésie juin 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%%% Métropole juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2012}{} \section{\textbf{Métropole juin 2012}} \medskip \emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par \[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ & $u$ est un réel.\\ Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\ Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\ &\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\ Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. \item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. \item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\np{1000} &\np{1500} &\np{2000}\\ \hline $u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline \end{tabularx} \medskip À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, \[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, \[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\] où $f$ est la fonction définie dans la partie A. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Soit $k$ un entier strictement positif. Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0$. En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$. Démontrer l'inégalité $\ln (k + 1) - \ln k \leqslant \dfrac{1}{k}$ \quad (1). \item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, \[\ln (n + 1) \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\] \item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant 0$. \end{enumerate} \item Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Métropole juin 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%%% Centres étrangers juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Etrangers_juin2012}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}} \medskip On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour $n$ entier naturel non nul par : \[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$.\\ Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$. \item En déduire la valeur de $I_1$. \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\] \item Calculer $I_3$ et $I_5$. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|*2{l|}} \hline \multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\ &Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\ \hline \multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\ &\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\ &\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\ \hline \textbf{Sortie}&Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quel terme de la suite $\left(I_n\right)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$. \item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\ \noindent Déterminer la valeur de $\ell$. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%%% Asie juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2012}{} \section{\textbf{Asie juin 2012}} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|p{8cm}|}\hline &Saisir un réel strictement positif non nul $a$\\ \textbf{Entrée}& Saisir un réel strictement positif non nul $b\: (b > a)$\\ &Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline &Affecter à $u$ la valeur $a$\\ \textbf{Initialisation}& Affecter à $v$ la valeur $b$\\ &Affecter à $n$ la valeur $0$\\\hline &TANT QUE $n < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\ \textbf{Traitement}&\hspace{1cm} Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $a$ la valeur $u$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $b$ la valeur $v$\\ \hline \textbf{Sortie}& Afficher $u$, afficher $v$\\ \hline \end{tabularx} \medskip Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4, b = 9 et N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline 0 &4 &9&&\\ \hline 1&&&&\\ \hline 2&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$. On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par : $u_{~0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}\quad \text{et}\quad v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}\] \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leqslant v_{n}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. \item Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Asie juin 2012 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2012}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2012}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un lycée donné, on sait que 55\,\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\,\% des filles et 30\,\% des garçons déjeunent à la cantine. On choisit, au hasard, un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? \item Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair? 3. \item Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{5}$. Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à $10 ^{- 3}$. \item Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l'évènement \og l'appareil présente un défaut d'apparence \fg{} et F l'évènement \og l'appareil présente un défaut de fonctionnement \fg. On suppose que les évènements A et F sont indépendants. On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à $0,02$ et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à $0,069$. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F ? \item On considère l'algorithme : \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.75\textwidth}A et C sont des entiers naturels,\\ C prend la valeur 0 Répéter 9 fois\\ \phantom{aaaaaaa}A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.\\ \phantom{aaaaaaaaaaaaaa} Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1\\ \phantom{aaaaaaaaaaaaaa} Fin Si\\ Fin répéter\\ Afficher C. \end{minipage}} \end{center} \medskip Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2012 (non spécialistes) \newpage %%%%%%%% Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles1_juin2012}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012}} \medskip \textbf{Les quatre questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple (4~;~6) est une solution de l'équation \[(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.\] \item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x~;~y) vérifiant l'équation (E). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[2^{3n} \equiv 1\quad \pmod 7.\] \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2012}}$ par 7. \end{enumerate} \item On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \dfrac{3}{2} (1 - \text{i})z + 4 - 2\text{i}.\] \item \item On considère l'algorithme suivant où $\text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right)$ désigne la partie entière de $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$. \medskip \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.75\textwidth} A et N sont des entiers naturels\\ Saisir A\\ N prend la valeur 1\\ Tant que N $\leqslant \sqrt{\text{A}}$\\ \phantom{aaaaaaaaa} Si $\dfrac{\text{A}}{\text{N}} - \text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right) = 0$ alors Afficher N et $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$\\ \phantom{aaaaaaaaa}Fin si\\ N prend la valeur N + 1\\ Fin Tant que. \end{minipage}} \end{center} \medskip Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ? Que donne cet algorithme dans le cas général? \end{enumerate} %%%%%%%% fin Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012 \newpage %%%%%%%% Pondichéry 2012 \hypertarget{Pondichery_avril2012}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2012}} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes. \begin{enumerate} \item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? \item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] \item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X} Variables& $a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ Initialisation& $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ Traitement& Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$\\ &\hspace{1cm}Début du tant que\\ &\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\ &\hspace{1.5cm} $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\ &\hspace{1.5cm} $e := \text{rand}(1,~50)$\\ &\hspace{1cm}Fin du tant que \\ Sortie& Afficher $a, b, c, d, e$ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: $L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} ; L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ $L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} ; L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? \item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ? \end{enumerate} \item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. \item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. \item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item il a été contrôlé 5 fois exactement; \item il n'a pas été contrôlé; \item il a été contrôlé au moins une fois. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.} \medskip Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$. On appelle $D$ l'évènement: \og le coureur est dopé \fg. Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; \item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(D)$. \item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ? \end{enumerate} %%%%%%%% fin Pondichéry avril 2012 \newpage %%%%%%%% Pondichéry avril 2013 \hypertarget{Pondichery_avril2013}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2013}} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe. \medskip \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent \item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. \item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. \item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant p_{n} < 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. \item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}} { \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}} { \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. \item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline Variables & K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ Initialisation &P prend la valeur $0$\\ &J prend la valeur $1$\\ Entrée & Saisir la valeur de K\\ Traitement &Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ &\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\ &\quad J prend la valeur J $+ 1$\\ &Fin tant que \\ Sortie &Afficher J \\ \hline \end{tabularx} \end{center} À quoi correspond l'affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ? \end{enumerate} \item Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$. \item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& $-1,55$ &$-1,24$ &$-0,93$ &$- 0,62$ &$- 0,31$ &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline $P(Z < x)$& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline \end{tabularx} \medskip Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Pondichéry avril 2013 \newpage %%%%%%%% Amérique du Nord mai 2013 \hypertarget{Amerique Nord_mai2013}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2013}} \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\] \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|ll|}\hline Variables :&$n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un réel positif\\ Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\ &Affecter à $u$ la valeur 1\\ Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\ &\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Fin de Pour\\ Sortie :& Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$. \item Que permet de calculer cet algorithme? \item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline Valeur affichée &\np{1,4142} &\np{1,9571} &\np{1,9986} &\np{1,9999} &\np{1,9999}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = - \ln 2$. \item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables : &$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un réel\\ Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ &Affecter à $u$ la valeur 1\\ Traitement : &\\ &\\ Sortie :&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2013 \newpage %%%%%%%%%% Liban mai 2013 \hypertarget{Liban_mai2013}{} \section{\textbf{Liban mai 2013}} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$ \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. \medskip \hspace{-1cm} \begin{small} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ $v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ $i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\ ~&&&&\\ \textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ $v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire\\ \hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\ Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\ Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\ &&&&Afficher $v$\\ \textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \end{tabularx} \end{small} \item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline \end{tabularx} \medskip Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline \end{tabularx} \medskip Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath \medskip On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par \[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ \item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Liban mai 2013 \newpage %%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2013 \hypertarget{Antilles_juin2013}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2013}} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite $\left(z_{n}\right)$ à termes complexes définie par : $z_{0} = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par \[z_{n+1} = \dfrac{z_{n} + \left|z_{n}\right|}{3}.\] Pour tout entier naturel $n$, on pose : $z_{n} = a_{n} + \text{i}b_{n}$, où $a_{n}$ est la partie réelle de $z_{n}$ et $b_{n}$ est la partie imaginaire de $z_{n}$. Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Donner $a_{0}$ et $b_{0}$. \item Calculer $z_{1}$, puis en déduire que $a_{1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_{1} = \frac{1}{3}$. \item On considère l'algorithme suivant : \medskip \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline Variables : &A et B des nombres réels\\ &K et N des nombres entiers\\ Initialisation :& Affecter à A la valeur 1\\ &Affecter à B la valeur 1\\ Traitement :&\\ Entrer la valeur de N&\\ Pour K variant de 1 à N&\\ &Affecter à A la valeur $\dfrac{\text{A} +\sqrt{\text{A}^2 + \text{B}^2}}{3}$\\ &Affecter à B la valeur $\dfrac{\text{B}}{3}$.\\ Fin Pour&\\ Afficher A& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On exécute cet algorithme en saisissant $\text{N} = 2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{- 4}$ près). %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}}X|}\hline %K&A&B\\ \hline %1&&\\ \hline %2&&\\ \hline %\end{tabularx} % %\end{center} \item Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. En déduire l'expression de $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$, et l'expression de $b_{n + 1}$ en fonction de $b_{n}$. \item Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $b_{n}$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de la suite $\left(b_{n}\right)$. \item \begin{enumerate} \item On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : \[\left|z + z'\right| \leqslant |z| + \left|z'\right|\quad \text{(inégalité triangulaire)}.\] Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n +1}\right| \leqslant \dfrac{2\left|z_{n}\right|}{3}.\] \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \left|z_{n}\right|$. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \sqrt{2}.\] En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite que l'on déterminera. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\quad \left|a_{n}\right| \leqslant u_{n}$. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge vers une limite que l'on déterminera. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2013 \newpage %%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2013 \hypertarget{Centresetrangers_juin2013}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}} \medskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique} \medskip L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.\\ \textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures } \medskip \parbox{6cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre. Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill \parbox{8cm}{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline Variables&$n$ est un entier naturel \\ &$u$ est un réel \\ \hline Initialisation &Affecter à $n$ la valeur 1\\ &Affecter à $u$ la valeur 1,5 \\ \hline Traitement &Tant que $n<9 $\\ &\hspace*{1cm} Affecter à $u$ la valeur \dots\\ &\hspace*{1cm} Affecter à $n$ la valeur \dots\\ %\hline &Fin Tant que \\ \hline Sortie& Afficher la variable $u$ \\ \hline \end{tabularx}} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. \item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ? \item Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline $u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\np{0,2063} &\np{0,1693}&\dots&\np{0,0102} &\np{0,0101} \\ \hline \end{tabularx} \medskip Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude mathématique } \medskip On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Retour à l'algorithmique } \medskip En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$. %%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2013 \newpage %%%%%%%%%%% Asie juin 2013 \hypertarget{Asie_juin2013}{} \section{\textbf{Asie juin 2012}} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. \item \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$. \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : \[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|c |l|}\hline Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline Initialisation &Affecter à $u$ la valeur 2\\ \hline \multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\ &\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline &FIN POUR\\ \hline \end{tabular} \end{center} Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$&1&2& 3\\ \hline $u$&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline $u$&\footnotesize\np{1,0083}&\footnotesize\np{0,9973}&\footnotesize\np{1,0009}&\footnotesize\np{0,9997}&\footnotesize\np{1,0001}&\footnotesize \np{0,99997}&\footnotesize\np{1,00001}&\footnotesize \np{0,999996}&\footnotesize \np{1,000001}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini. \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. \item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Asie juin 2013 \newpage %%%%%%%%%% Métropole juin 2013 \hypertarget{Metropole_juin2013}{} \section{\textbf{Métropole juin 2013}} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.5,-2)(9,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(1,0)(1,2)(0,2) \uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O} \uput[u](8,0.8){$\mathcal{C}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div} \end{pspicture} \end{center} On dispose des informations suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1~;~0), (1~;~2), (0~;~2) ; \item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B ; \item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. \item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. \item En déduire les réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0,~;~+\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. \item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\dfrac{\ln x}{x}$. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~1]$. \item Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1~;~+ \infty]$ tel que $f(\beta) = 1$. Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$. \end{enumerate} \item On donne l'algorithme ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$. \\ &Affecter à $b$ la valeur 1.\\ Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ &\begin{tabular}{l|l} ~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ ~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ ~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ ~~&Fin de Si.\\ \end{tabular}\\ &Fin de Tant que.\\ Sortie :&Afficher $a$.\\ & Afficher $b$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline $a$&0&&&&\\ \hline $b$&1&&&&\\ \hline $b - a$&&&&&\\ \hline $m$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ? \item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$ \end{enumerate} \item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. \begin{enumerate} \item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. \item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$, terminer la démonstration. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Métropole juin 2013 \newpage %%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2013 \hypertarget{Antillessept}{} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \begin{center} \emph{Les deux parties sont indépendantes}\end{center} Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière : \medskip \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Soit il avance d'un pas tout droit ; \item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; \item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables. \medskip L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à-dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg. \medskip \textbf{Partie A} : modélisation et simulation \medskip On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O , I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0~;~0) au début de la traversée. On note $(x~;~y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(10.5,2.3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,-1)(10,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=5] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-2.2)(10.5,2.3) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1) \rput(-0.5,0.4){départ} \uput[ul](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J} \end{pspicture*} \end{center} \index{algorithme} On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $x, y, n$ sont des entiers\\ Affecter à $x$ la valeur 0\\ Affecter à $y$ la valeur 0\\ Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1,\: 0$ et $1$\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $y$ la valeur $y + n$\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $x$ la valeur $x + 1$ \\ Fin tant que\\ Afficher \og la position de Tom est \fg{} $(x~;~y)$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse. \item Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Antilles septembre 2013 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2013 spécialité \hypertarget{Antillesseptspe}{} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline A et X sont des nombres entiers\\ Saisir un entier positif A\\ Affecter à X la valeur de A\\ Tant que X supérieur ou égal à 26\\ \hspace{1.25cm}Affecter à X la valeur X - 26\\ Fin du tant que\\ Afficher X\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ? \item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ? \item Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) : \medskip $\bullet~~$\textbf{Étape 1} : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\\hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline \end{tabularx} \medskip \index{matrice} On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot. $\bullet~~$\textbf{Étape 2} : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que \[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\] La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage. $\bullet~~$\textbf{Étape 3} : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\ z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25 \end{array}\right.\] $\bullet~~$\textbf{Étape 4} : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1. \begin{center} \begin{tabular}{|l} \textbf{Exemple} : \\ RE $\to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to $ DP\\ Le bloc RE est donc codé en DP\\ \end{tabular} \end{center} Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26). \end{array}\right.$ \item En déduire que $x_{1} \equiv x'_{1}\quad (26)$ et $x_{2} \equiv x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$. \end{enumerate} \item On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP : \begin{enumerate} \item Vérifier que la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$. \item Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$. \item Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\ \end{array}\right.$ \item Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ? \end{enumerate} \item Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$. Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25 \end{array}\right.$ Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26). \end{array}\right.$. Conclure. \item Décoder QC. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles septembre 2013 spécialité \newpage %%%%%%%%%%% Métropole septembre 2013 \hypertarget{Metropolesept}{} \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\] \begin{enumerate} \item L'observation de la courbe $\mathcal{C}$ permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un minimum. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. \item En déduire une validation de la conjecture précédente. \end{enumerate} \item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement le réel $I$. \item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$. Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. \item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I$. \end{enumerate} \item On donne l'algorithme ci-dessous. \index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|ll|}\hline Variables: &$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ &$s$ est un nombre réel.\\ Entrée : &Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ Traitement :& Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ & \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ &Fin de boucle.\\ Sortie :& Afficher $s$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. \begin{enumerate} \item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur. \begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=4cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25) \pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15) \psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5) \psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65) \psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9) \psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15) \uput[l](0,0.25){1} \uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2013 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2013 \hypertarget{Caledonienov}{} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite} \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\] \textbf{PARTIE A} \medskip On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline \textbf{Variables :}& $N$ est un entier\\ &$U, V, W$ sont des réels\\ &$K$ est un entier \\ \textbf{Début :}& Affecter $0$ à $K$\\ &Affecter 2 à $U$ \\ &Affecter 10 à $V$\\ &Saisir $N$\\ &Tant que $K < N$\\ &\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à $K$\\ &\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à $W$\\ &\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$\\ &\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$ à $V$\\ &Fin tant que\\ &Afficher $U$ \\ &Afficher $V$\\ \textbf{Fin}&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme. \begin{center} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}&&\\ \hline 1&&&\\ \hline 2&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2013 \end{document}