\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} %\usepackage{slashbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} %Macro Tableau par Rémi Deniaud \newcommand{\tableau}[9]{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{5.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \addtocounter{Denis}{1}\theDenis & \hypertarget{#9}{}\hyperlink{#1}{#2} & #3 & #4 & #5 & #6 \\ \hline \end{tabularx}}% \usepackage[body={18cm,25.7cm},top=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} \renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Exercices de probabilités}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalaurŽéat S Probabilités~\decofourright }} \textbf{Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012} Tapuscrit : \textsc{Denis Vergès} \end{center} \newcounter{Denis}[Denis] \setcounter{Denis}{0} {\scriptsize\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.8cm}||m{5.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline N\up{o} & Lieu et date&P. condi-&Variable &Loi bino- &Loi uni- &Loi expo-&Suite\\ &&tionelle&aléatoire&miale&forme&nentielle&\\ \hline \hline \end{tabularx}} \tableau{Polynesie_juin2012}{Polynésie juin 2012}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Polynesiean_juin2011_retour} \tableau{Metropole_juin2012}{Métropole juin 2012}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Metropole_juin2012_retour} \tableau{Etrangers_juin2012}{Centres étrangers juin 2012}{$\times$}{}{}{}{}{}{Etrangers_juin2012_retour} \tableau{Asie_juin2012}{Asie juin 2012}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Asie_juin2012_retour} \tableau{Antilles_juin2012}{Antilles--Guyane juin 2012}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Antilles_juin2011_retour} \tableau{Liban_juin2012}{Liban juin 2012}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{Liban_juin2012_retour} \tableau{AmeriqueNord_mai2012}{Amérique du Nord mai 2011}{$\times$}{$\times$}{ }{}{}{}{AmeriqueNord_mai2012_retour} \tableau{Pondichery_avril2012}{Pondichéry avril 2011}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{Pondichery_avril2012_retour} \tableau{NlleCaledo_mars2012}{Nlle-Calédonie mars 2012}{$\times$}{}{$\times$ }{}{}{}{NlleCaledo_mars2012_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2011}{Amérique du Sud novembre 2011}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{AmeriqueSud_nov2011_retour} \tableau{NlleCaledo_nov2011}{Nouvelle-Calédonie nov. 2011}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{}{NlleCaledo_nov2011_retour} \tableau{Polynesie_sept2011}{Polynésie septembre 2011}{$\times$}{$\times$}{$\times$ }{}{}{}{Polynesie_sept2011_retour} \tableau{Metropole_sept2011}{Métropole septembre 2011}{$\times$}{$\times$}{}{}{$\times$}{}{Metropole_sept2011_retour} \tableau{Antilles_sep2011}{Antilles--Guyane septembre 2011}{$\times$}{$\times$}{$\times$ }{}{}{}{Antilles_sep2011_retour} \tableau{Polynesie_juin2011}{Polynésie juin 2011}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Polynesiean_juin2011_retour} \tableau{Metropole_juin2011}{Métropole juin 2011}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Metropole_juin2011_retour} \tableau{Reunion_juin2011}{La Réunion juin 2011}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Reunion_juin2011_retour} \tableau{Etrangers_juin2011}{Centres étrangers juin 2011}{$\times$}{$\times$}{}{}{$\times$}{}{Etrangers_juin2011_retour} \tableau{Asie_juin2011}{Asie juin 2011}{$\times$}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{Asie_juin2011_retour} \tableau{Antilles_juin2011}{Antilles--Guyane juin 2011}{$\times$}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{Antilles_juin2011_retour} \tableau{Liban_juin2011}{Liban juin 2011}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Liban_juin2011_retour} \tableau{AmeriqueNord_mai2011}{Amérique du Nord mai 2011}{$\times$}{}{$\times$ }{}{$\times$}{}{AmeriqueNord_mai2011_retour} \tableau{Pondichery_avril2011}{Pondichéry avril 2011}{$\times$}{$\times$}{$\times$ }{}{}{}{Pondichery_avril2011_retour} \tableau{NlleCaledo_mars2011}{Nlle-Calédonie mars 2011}{$\times$}{}{$\times$ }{}{}{}{NlleCaledo_mars2011_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2010}{Amérique du Sud novembre 2010}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{AmeriqueSud_nov2010_retour} \tableau{NlleCaledo_nov2010}{Nouvelle-Calédonie nov. 2010}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{NlleCaledo_nov2010_retour} \tableau{Polynesie_sept2010}{Polynésie septembre 2010}{$\times$}{$\times$}{$\times$ }{}{}{}{Polynesie_sept2010_retour} \tableau{Antilles_sep2010}{Antilles--Guyane septembre 2010}{$\times$}{$\times$}{$\times$ }{}{}{}{Antilles_sep2010_retour} \tableau{Polynesie_juin2010}{Polynésie juin 2010}{}{}{$\times$ }{}{}{}{Polynesie_juin2010_retour} \tableau{Metropole_juin2010}{Métropole juin 2010}{$\times$ }{$\times$ }{}{}{}{ }{Metropole_juin2010_retour} \tableau{Reunion_juin2010}{La Réunion juin 2010}{ $\times$}{}{}{}{}{ }{Reunion_juin2010_retour} \tableau{Etranger_juin2010}{Centres étrangers juin 2010}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{}{Centres_juin2010_retour} \tableau{Asie_juin2010}{Asie juin 2010}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Asie_juin2010_retour} \tableau{Antilles_juin2010}{Antilles-Guyane juin 2010}{}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{Antilles_juin2010_retour} \tableau{AmeriqueNord_juin2010}{Amérique du Nord juin 2010}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Amnord_juin2010_retour} \tableau{Liban_juin2010}{Liban 3 juin 2010}{$\times$}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{Liban_juin2010_retour} \tableau{Pondichery_avril2010}{Pondichéry avril 2010}{}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{Pondichery_avril2010_retour} \tableau{NlleCaledo_nov2009}{Nouvelle-Calédonie nov. 2009}{$\times$}{$\times$}{}{}{ }{$\times$}{NlleCaledo_nov2009_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2009}{Amérique du Sud nov. 2009}{}{}{$\times$}{}{}{}{AmeriqueSud_nov2009_retour} {\scriptsize\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.8cm}||m{5.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline N\up{o} & Lieu et date&P. condi-&Variable &Loi bino- &Loi uni- &Loi expo-&Suite\\ &&tionelle&aléatoire&miale&forme&nentielle&\\ \hline \hline \end{tabularx}} \tableau{Polynesie_sept2009}{Polynésie septembre 2009}{}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{Polynesie_sept2009_retour} \tableau{Antilles_sept2009}{Antilles-Guyane septembre 2009}{}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{Antilles_sept2009_retour} \tableau{Metropole_sept2009}{Métropole septembre 2009}{}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{Metropole_sept2009_retour} \tableau{Reunion_juin2009}{La Réunion juin 2009}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Reunion_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2009&&$\times$&$\times$&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{Metropole_juin2009}{Métropole juin 2009}{}{$\times$}{}{}{}{}{Metropole_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole 23 juin 2009&&&$\times$&&&& &\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2009}{Polynésie juin 2009}{}{$\times$}{}{}{}{}{Polynesie_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2009&&&$\times$&&&& &\\ \hline \tableau{Asie_juin2009}{Asie juin 2009}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Asie_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2009&&$\times$&&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{Etranger_juin2009}{Centres étrangers juin 2009}{}{$\times$}{}{}{}{}{Etranger_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2009&&&$\times$&&&& &\\ \hline \tableau{Antilles_juin2009}{Antilles-Guyane juin 2009}{}{}{}{}{}{}{Antilles_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane juin 2009&&&&&&& &\\ \hline \tableau{Liban_mai2009}{Liban mai 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{$\times$}{}{Liban_mai2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban mai 2009&$\times$&$\times$&$\times$&&$\times$&& &\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_mai2009}{Amérique du Nord mai 2009}{$\times$}{}{}{}{}{}{AmeriqueNord_mai2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord mai 2009&&$\times$&&&&& &\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2009}{Pondichéry avril 2009}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{Pondichery_avril_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2009&&$\times$&$\times$&&&&$\times$ &\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2009}{Nouvelle-Calédonie mars 2009}{}{}{}{}{}{$\times$}{NlleCaledonie_mars2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nouvelle-Calédonie mars 2009&&&&&&&$\times$ &\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2008}{Nouvelle-Calédonie nov. 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{NlleCaledonie_nov2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nouvelle-Calédonie novembre %2008&&&$\times$&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2008}{Polynésie septembre 2008}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{Polynesie_sept2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2008&&$\times$&$\times$&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{Metropole_sept2008}{Métropole La Réunion sept. 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{$\times$}{Metropole_sept2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France et Réunion septembre 2008&&&$\times$&$\times$&&&$\times$ &\\ \hline \tableau{Antilles_sept2008}{Antilles-Guyane septembre 2008}{}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{Antilles_sept2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles--Guyane septembre 2008&&&$\times$&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{Reunion_juin2008}{La Réunion juin 2008}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Reunion_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2008&&$\times$&&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{Etranger_juin2008}{Centres étrangers juin 2008}{$\times$}{}{}{}{}{}{Etranger_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2008&&&&&&& &\\ \hline \tableau{Asie_juin2008}{Asie juin 2008}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Asie_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2008&&&&&&& &\\ \hline \tableau{Antilles_juin2008}{Antilles-Guyane juin 2008}{}{}{$\times$}{$\times$}{ }{ }{Antilles_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles--Guyane juin 2008&&&$\times$&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{Liban_mai2008}{Liban mai 2008}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{Liban_mai2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban mai 2008&&$\times$&$\times$&$\times$&&& &\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2008}{Nlle-Calédonie mars 2008}{$\times$}{}{}{$\times$}{}{}{NlleCaledonie_mars2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie mars 2008&&$\times$&&&$\times$&& &\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_dec2007}{Nlle-Calédonie décembre 2007}{$\times$}{$\times$}{}{}{$\times$}{}{NlleCaledonie_dec2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie décembre 2007&&$\times$&$\times$&&&$\times$& &\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2007}{Polynésie septembre 2007}{}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{Polynesie_sept2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2007&&&&$\times$&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2007}{Antilles-Guyane septembre 2007}{}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{Antilles_sept2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane septembre 2007&&&$\times$&&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2007}{Polynésie juin 2007}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Polynesie_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2007&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2007}{Métropole juin 2007}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Metropole_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2007&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2007}{Centres étrangers juin 2007}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Etranger_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2007&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Asie_juin2007}{Asie juin 2007}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{Asie_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2007&&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2007}{Antilles-Guyane juin 2007}{$\times$}{$\times$}{}{}{ }{$\times$}{Antilles_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane juin 2007&&$\times$&$\times$&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2007}{Amérique du Nord juin 2007}{$\times$}{$\times$}{}{}{ }{$\times$}{AmeriqueNord_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2007&&$\times$&$\times$&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Liban_mai2007}{Liban mai 2007}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Liban_mai2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2007&&$\times$&&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2007}{Nlle-Calédonie mars 2007}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{}{NlleCaledonie_mars2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie mars 2007&&$\times$&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2006}{Nlle-Calédonie novembre 2006}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{NlleCaledonie_nov2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie novembre 2006&&$\times$&$\times$&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2006}{Amérique du Sud novembre 2006}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{AmeriqueSud_nov2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud novembre 2006&&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2006}{Polynésie septembre 2006}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{Polynesie_sept2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2006&&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2006}{Métropole septembre 2006}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Metropole_sept2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2006&&$\times$&$\times$&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2006}{Polynésie juin 2006}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Polynesie_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2006&&$\times$&&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2006}{La Réunion juin 2006}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Reunion_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2006&&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2006}{Métropole juin 2006}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{ }{Metropole_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2006&&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2006}{Centres étrangers juin 2006}{}{$\times$}{$\times$}{}{$\times$}{}{Etranger_juin2006_retour} {\scriptsize\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.8cm}||m{5.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline N\up{o} & Lieu et date&P. condi-&Variable &Loi bino- &Loi uni- &Loi expo-&Suite\\ &&tionelle&aléatoire&miale&forme&nentielle&\\ \hline \hline \end{tabularx}} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2006&&&$\times$&$\times$&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Asie_juin2006}{Asie juin 2006}{}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{Asie_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2006&&$\times$&&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2006}{Amérique du Nord juin 2006}{}{}{$\times$}{}{}{}{AmeriqueNord_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2006&&&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Liban_mai2006}{Liban mai 2006}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{}{Liban_mai2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban mai 2006&&&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2006}{Pondichéry avril 2006}{}{}{$\times$}{}{}{}{Pondichery_avril2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2006&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2005}{Amérique du Sud novembre 2005}{}{}{$\times$}{}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud novembre 2005&&&&$\times$&&&$\times$&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2005}{Nlle-Calédonie novembre 2005}{$\times$}{$\times$}{}{}{$\times$}{}{NlleCaledonie_nov2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie novembre 2005&$\times$&$\times$&$\times$&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2005}{Polynésie septembre 2005}{$\times$}{$\times$}{}{}{$\times$}{}{Polynesie_sept2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2005&&&&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2005}{Antilles-Guyane septembre 2005}{}{}{}{}{$\times$}{}{Antilles_sept2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane septembre 2005&&&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2005}{Amérique du Nord juin 2005}{$\times$}{}{}{}{}{}{AmeriqueNord_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2005&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2005}{Antilles-Guyane juin 2005}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Antilles_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2005 &$\times$&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Asie_juin2005}{Asie juin 2005}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{Asie_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2005&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2005}{Centres étrangers juin 2005}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Etranger_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2005&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2005}{Métropole juin 2005}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{ }{Metropole_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2005&$\times$&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2005}{La Réunion juin 2005}{$\times$}{}{}{}{}{}{Reunion_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2005&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Liban_mai2005}{Liban mai 2005}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Liban_mai2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2005&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2005}{Nlle--Calédonie mars 2005}{}{$\times$}{}{}{}{}{NlleCaledonie_mars2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie mars 2005&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2005}{Polynésie juin 2005}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Polynesie_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2005&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2004}{Amérique Sud nov. 2004}{$\times$}{}{}{}{}{}{AmeriqueSud_nov2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique Sud nov. 2004&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2004}{Métropole septembre 2004}{}{}{}{$\times$}{}{}{Metropole_sept2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2004&&&&&&&&\\ \hline %\end{tabular}} %\newpage %\begin{center} \textbf{Index des exercices de probabilité de 1999 à juin 2009} %Tapuscrit : \textsc{Denis Vergès} \end{center} %{\scriptsize\begin{tabular}{|c||l|*{8}{c|}}\hline %N\up{o} & Lieu et date&Q.C.M.&P. condi-&Variable &Loi bino- &Loi uni- &Loi expo-&Suite&Géomé-\\ %&&&tionelle&aléatoire&miale&forme&nentielle&&trie\\ \hline \hline \tableau{Reunion_sept2004}{La Réunion septembre 2004}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Reunion_sept2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion septembre 2004&&&&&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2004}{Polynésie septembre 2004}{}{}{$\times$}{}{}{}{Polynesie_sept2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2004&&&&&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2004}{Amérique du Nord juin 2004}{}{$\times$}{}{}{}{}{AmeriqueNord_juin2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2004&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2004}{Métropole juin 2004}{}{}{}{}{}{$\times$}{Metropole_juin2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2004&&&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Liban_juin2004}{Liban juin 2004}{$\times$}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{Liban_juin2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2004&&$\times$&&$\times$&$\times$&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2004}{Polynésie juin 2004}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{}{Polynesie_juin2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2004&&$\times$&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Pondichery_juin2004}{Pondichéry juin 2004}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Pondichery_juin2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 2004&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2004}{La Réunion juin 2004}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Reunion_juin2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2004&$\times$&&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2003}{Amérique Sud nov. 2003}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{AmeriqueSud_nov2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique Sud nov. 2003& &&&&&&&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2003}{Nlle-Calédonie nov. 2003}{}{}{$\times$}{}{}{}{NlleCaledonie_nov2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie nov. 2003&&&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2003}{Antilles-Guyane septembre 2003}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Antilles_sept2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2003&&&$\times$&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2003}{Métropole septembre 2003}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{Metropole_sept2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2003&&&$\times$&$\times$&$\times$&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2003}{Amérique du Nord juin 2003}{}{}{}{}{$\times$ }{}{AmeriqueNord_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2003 &&&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2003}{Antilles-Guyane juin 2003}{$\times$}{}{}{}{$\times$ }{}{Antilles_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2003&&$\times$&&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2003}{Centres étrangers juin 2003}{}{$\times$}{}{}{$\times$ }{}{Etranger_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2003&&&$\times$&&&$\times$&&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2003}{La Réunion juin 2003}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Reunion_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2003&&$\times$&$\times$&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Liban_juin2003}{Liban juin 2003}{}{}{$\times$}{}{}{$\times$}{Liban_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2003&&&&$\times$&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2003}{Polynésie juin 2003}{$\times$}{}{}{$\times$}{}{$\times$}{Polynesie_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2003&&&&$\times$&&&&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2003}{Nlle-Calédonie mars 2003}{$\times$}{}{}{}{}{}{NlleCaledonie_mars2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie mars 2003&&$\times$&&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_dec2002}{Amérique Sud déc. 2002}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{AmeriqueSud_dec2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique Sud déc. 2002&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2002}{Nlle-Calédonie nov. 2002}{}{$\times$}{}{}{}{}{NlleCaledonie_nov2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie nov. 2002&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2002}{Métropole septembre 2002}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{}{Metropole_sept2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2002&&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2002}{Amérique du Nord juin 2002}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{AmeriqueNord_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2002&$\times$&$\times$&$\times$&&&&&\\ \hline {\scriptsize\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.8cm}||m{5.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline N\up{o} & Lieu et date&P. condi-&Variable &Loi bino- &Loi uni- &Loi expo-&Suite\\ &&tionelle&aléatoire&miale&forme&nentielle&\\ \hline \hline \end{tabularx}} \tableau{Antilles_juin2002}{Antilles-Guyane juin 2002}{$\times$}{}{$\times$ }{$\times$ }{}{}{Antilles_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2002&&&$\times$&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Asie_juin2002}{Asie juin 2002}{$\times$}{}{$\times$ }{}{}{}{Asie_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2002&&&$\times$&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2002}{Métropole juin 2002}{$\times$}{}{}{}{}{$\times$}{Metropole_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2002&&$\times$&&&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Reunion_juin2002}{La Réunion juin 2002}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Reunion_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2002&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2002}{Polynésie juin 2002}{}{$\times$}{}{}{}{}{Polynesie_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2002&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Pondichery_juin2002}{Pondichéry juin 2002}{}{$\times$}{}{}{}{}{Pondichery_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 2002&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_dec2001}{Amérique Sud déc.2001}{}{$\times$}{}{}{}{}{AmeriqueSud_dec2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique Sud déc.2001&&&&&&&&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2001}{Antilles septembre 2001}{}{}{}{$\times$}{}{}{Antilles_sept2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre2001&&&&&$\times$&&&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2001}{Antilles-Guyane juin 2001}{}{$\times$}{}{}{}{}{Antilles_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2001&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Asie_juin2001}{Asie juin 2001}{}{$\times$}{}{}{}{}{Asie_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2001&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2001}{Centres étrangers juin 2001}{}{$\times$}{}{}{}{}{Etranger_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2001&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2001}{Métropole juin 2001}{}{}{}{}{}{$\times$}{Metropole_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2001&&&&&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Liban_juin2001}{Liban juin 2001}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Liban_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2001&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2001}{Polynésie juin 2001}{}{$\times$}{$\times$}{}{}{}{Polynesie_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2001&&&$\times$&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2000}{Amérique Sud nov. 2000}{}{}{$\times$}{}{}{}{AmeriqueSud_nov2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique Sud nov. 2000&&&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2000}{Antilles-Guyane septembre 2000}{}{}{}{}{$\times$}{}{Antilles_sept2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2000&&&&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2000}{Métropole septembre 2000}{$\times$}{}{}{}{}{}{Metropole_sept2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2000&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2000}{Polynésie septembre 2000}{$\times$}{}{}{}{}{}{Polynesie_sept2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2000&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2000}{Antilles-Guyane juin 2000}{}{$\times$}{}{}{}{}{Antilles_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2000&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Asie_juin2000}{Asie juin 2000}{}{$\times$}{}{}{}{$\times$}{Asie_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2000&&$\times$&&&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2000}{Centres étrangers juin 2000}{}{$\times$}{}{}{}{}{Etranger_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2000&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2000}{Métropole juin 2000}{$\times$}{}{$\times$}{}{}{}{Metropole_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2000&&$\times$&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Liban_juin2000}{Liban juin 2000}{}{}{$\times$}{}{}{}{Liban_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2000&&&$\times$&&&&&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2000}{Polynésie juin 2000}{$\times$}{}{}{}{}{}{Polynesie_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2000&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Pondichery_juin2000}{Pondichéry juin 2000}{$\times$}{}{}{}{}{}{Pondichery_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 2000&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov1999}{Amérique Sud nov. 1999}{$\times$}{}{}{}{}{}{AmeriqueSud_nov1999_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique Sud nov. 1999&&$\times$&&&&&&\\ \hline \tableau{Antilles_sept1999}{Antilles-Guyane septembre 1999}{}{}{}{}{}{}{Antilles_sept1999_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 1999&&&&&&&&\\ \hline \tableau{Metropole_sept1999}{Métropole septembre 1999}{}{}{$\times$}{}{}{}{Metropole_sept1999_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 1999&&&&$\times$&&&&\\ \hline \tableau{Sportifs_sept1999}{Sportifs ht-niveau sept. 1999}{$\times$}{}{}{}{}{}{Sportifs_sept1999_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Sportifs ht-niveau sept. 1999&&&&&&&&\\ \hline %\end{tabular}} \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2012 %%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2012}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2012}} \medskip On désigne par $x$ un réel appartenant à l'intervalle [0~;~80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40\:\% ont leurs faces marquées d'un cercle, 20\:\% ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile. Parmi les cubes rouges, 20\:\% ont leurs faces marquées d'un cercle, $x$\:\% ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile.\\ \bigskip \textbf{{Partie A : expérience 1}} \medskip On tire au hasard un cube de l'urne. \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d'un losange est égale à $0,12 + 0,004x$. \item Déterminer $x$ pour que la probabilité de tirer un cube marqué d'un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d'une étoile. \item Déterminer $x$ pour que les évènements \og{} tirer un cube bleu\fg{} et \og{} tirer un cube marqué d'un losange \fg{} soient indépendants. \item On suppose dans cette question que $x = 50$. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu'il est marqué d'un losange. \end{enumerate} \bigskip \textbf{{Partie B : expérience 2}} \medskip On tire au hasard simultanément 3 cubes de l'urne. Les résultats seront arrondis au millième. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ? \item Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ? \item Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d'un cercle ? \end{enumerate} %%%%% fin Polynésie juin 2012 %%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole juin 2012 %%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2012}{} \section{\textbf{Métropole juin 2012}} \medskip Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard le dossier d'un candidat. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{3mm} \begin{itemize} \item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, \item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, \item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$D$}\taput{\ldots}} { \pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}} {\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots} } \TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots} } \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots} } \end{center} \item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. \item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$. \end{enumerate} \item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$. On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2012 %%%%%% \hypertarget{Etrangers_juin2012}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute trace de recherche sera valorisée.} \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'arbre de probabilités suivant : \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,2$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $0,68$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{ $$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{ $0,4$} } } \end{center} \medskip \textbf{Affirmation} : la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé est égale à 0,32. \item On considère une urne contenant $n$ boules rouges et trois boules noires, où $n$ désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.\\ On tire simultanément deux boules dans l'urne. \textbf{Affirmation } : il existe une valeur de $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$. \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère la transformation $t$ d'écriture complexe \[z' = - \mathrm{i}z + 5 + \mathrm{i}.\] \textbf{Affirmation } : la transformation $t$ est la rotation de centre A d'affixe $3 - 2\mathrm{i}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : \[z^2-z\overline{z}-1 = 0.\] \textbf{Affirmation } : l'équation (E) admet au moins une solution. \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a=-1$, $b=\mathrm{i}$ et $c=\sqrt{3}+\mathrm{i}(1-\sqrt{3})$. \textbf{Affirmation } : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60\degre. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Asie juin 2012 %%%%%% \hypertarget{Asie_juin2012}{} \section{\textbf{Asie juin 2012}} \medskip Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient $k$ boules noires et 3 boules blanches. Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; \item un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; \item un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans la partie A, on pose $k = 7$. Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher. \begin{enumerate} \item Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que $p = 0,42$. \item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. \item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au millième. \item Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99\:\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie. On note $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité : $p\left(Y_{k} = 5\right) = \dfrac{6k}{(k + 3)^2}$. \item Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y_{k}$ \end{enumerate} \item On note E$\left(Y_{k}\right)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_{k}$ On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E$\left(Y_{k}\right)$ est strictement positive. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Asie juin 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2012 %%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2012}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2012}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un lycée donné, on sait que 55\,\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\,\% des filles et 30\,\% des garçons déjeunent à la cantine. On choisit, au hasard, un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? \item Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair? 3. \item Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{5}$. Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à $10 ^{- 3}$. \item Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l'évènement \og l'appareil présente un défaut d'apparence \fg{} et F l'évènement \og l'appareil présente un défaut de fonctionnement \fg. On suppose que les évènements A et F sont indépendants. On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à $0,02$ et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à $0,069$. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F ? \item On considère l'algorithme : \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.75\textwidth}A et C sont des entiers naturels,\\ C prend la valeur 0 Répéter 9 fois\\ \phantom{aaaaaaa}A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.\\ \phantom{aaaaaaaaaaaaaa} Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1\\ \phantom{aaaaaaaaaaaaaa} Fin Si\\ Fin répéter\\ Afficher C. \end{minipage}} \end{center} \medskip Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres. \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2012 %%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Liban juin 2012 %%%%%% \hypertarget{Liban_juin2012}{} \section{\textbf{Liban juin 2012}} \medskip On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$. L'une $U_1$ contient 4 jetons numérotés de 1 à  4. L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à  tirer un jeton de l'urne $U_1$, à  noter son numéro, puis à  tirer simultanément de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants: \begin{description} \item[$J_1$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 1 \fg \item[$J_2$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 2 \fg \item[$J_3$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 3 \fg \item[$J_4$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 4 \fg \item[$B$] \og toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches \fg \end{description} \emph{On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question} \textbf{4.b)} \textit{o\`u une valeur arrondie à  $10^{-2}$ suffit.} \begin{enumerate} \item Calculer $P_{J_1}(B)$, probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $J_1$ est réalisé. Calculer de m\^eme la probabilité $P_{J_2}(B)$. On admet dans la suite les résultats suivants: \[ P_{J_3}(B)=\frac{1}{30}\quad\text{et}\quad P_{J_4}(B)=\frac{1}{210} \] \item Montrer que $P(B)$, probabilité de l'évènement $B$, vaut $\dfrac{1}{7}$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilités. \item On dit à  un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ? \item On joue 10 fois de suite à  ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie o\`u toutes les boules tirées sont blanches. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$? \item Calculer la probabilité de l'évènement $(N=3)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Liban 2012 %%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2012 %%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_mai2012}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2012}} \medskip Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhère à la section tennis. On sait également que $30$ \% des membres de cette association adhèrent à la section tennis. \partieBac{} On choisit au hasard un membre de cette association et on note : \begin{itemize} \item $F$ l'événement \og le membre choisi est une femme\fg, \item $T$ l'événement \og le membre choisi adhère à la section tennis\fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'événement $F$ est égale à $\frac{2}{5}$. \item On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis. Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ? \end{enumerate} \partieBac{} Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie. \begin{enumerate} \item Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left ( \frac{7}{10}\right)^n$. \item Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geqslant 0,99$. \end{enumerate} \item Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros chacun, les autres ne rapportent rien. Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l'urne. On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des $5$ \euro) réalisé par un joueur lors d'une partie de cette loterie. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2012 %%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2012 %%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2012}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2012}} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes. \begin{enumerate} \item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? \item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] \item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X} Variables& $a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ Initialisation& $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ Traitement& Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$\\ &\hspace{1cm}Début du tant que\\ &\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\ &\hspace{1.5cm} $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\ &\hspace{1.5cm} $e := \text{rand}(1,~50)$\\ &\hspace{1cm}Fin du tant que \\ Sortie& Afficher $a, b, c, d, e$ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: $L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} ; L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ $L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} ; L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? \item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ? \end{enumerate} \item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. \item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. \item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item il a été contrôlé 5 fois exactement; \item il n'a pas été contrôlé; \item il a été contrôlé au moins une fois. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.} \medskip Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$. On appelle $D$ l'évènement: \og le coureur est dopé \fg. Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; \item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(D)$. \item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ? \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2012 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2012 %%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_mars2012}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2012}} \medskip On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire. L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$. On considère les évènements suivants : $A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg $B$ : \og obtenir une boule noire \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire. \item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$. \item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé. \end{enumerate} \item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. \item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. \item On donne le tableau suivant: \medskip \hspace{-1cm}\begin{footnotesize} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $P(X < k)$ &\np{0,0091}&\np{0,0637} &\np{0,2110} &\np{0,4467} &\np{0,6943} &\np{0,8725} &\np{0,9616} &\np{0,9922}& \np{0,9990}&\np{0,9999}\\ \hline \end{tabularx} \end{footnotesize} \medskip Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg. À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2012 %%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2011}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2011}} \medskip Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. On prend un dé au hasard dans l'urne et on le lance. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $V$ l'évènement : \og le dé tiré est vert \fg \item $R$ l'évènement : \og le dé tiré est rouge \fg \item $S_{1}$ l'évènement : \og on obtient 6 au lancer du dé \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous. \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$V$}\taput{\ldots}} { \TR{$S_{1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{R}\tbput{\ldots}} { \TR{$S_{1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer la probabilité $P\left(S_{1}\right)$. \end{enumerate} \item On tire au hasard un dé de l'urne. On lance ensuite ce dé $n$ fois de suite. On note $S_{n}$ l'évènement : \og on obtient 6 à chacun des $n$ lancers \fg. \begin{enumerate} \item Démontrer que: \[P\left(S_{n}\right) = \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^n + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n.\] \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_{n}$ la probabilité d'avoir tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des $n$ lancers. Démontrer que : \[p_{n} = \dfrac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1 }.\] \item Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que $p_{n} \geqslant 0,999$ pour tout $n \geqslant n_{0}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2011 %%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_nov2011}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}} \medskip Une grande entreprise dispose d'un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé \og temps de fonctionnement \fg. Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures. \medskip On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le paramètre $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $t \geqslant 0,\quad P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à $0,6$. Montrer qu'une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-3}$ près est $0,131$. \medskip \textbf{Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de $\lambda$ et les résultats seront donnés à \boldmath$10^{-2}$ près \unboldmath}. \item Montrer qu'une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à $0,52$. \item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu'il n'y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures. \item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures. \item On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu'on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5~heures. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par Y ? \item Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5~heures \item Calculer l'espérance mathématique de Y (on arrondira à l'entier le plus proche). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2011 %%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2011 %%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2011}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2011}} \medskip Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \og À quel niveau est votre bureau ? \fg \item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Voici les réponses : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau. \item[$\bullet~~$]Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item N$_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg \item N$_{2}$ : \og La personne va au deuxième niveau. \fg \item N$_{3}$ : \og La personne va au troisième niveau. \fg \item E\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est égale à $\dfrac{1}{12}$. \item Montrer que les évènements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables. \item Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau. \end{enumerate} \item On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2\up{e} niveau. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau. \item En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau? \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins un personne va au 2\up{e} niveau \fg soit supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} %%%%%%% fin Polynésie septembre 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2011 %%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2011}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2011}} \medskip Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0,12$. Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ \medskip \begin{center}\textbf{Partie A} \end{center} Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l'achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d'utilisation ? \item Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d'utilisation ? \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$, est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif $t,\:\: p(Y \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \medskip Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $p(Y \leqslant 1)$ en fonction de $\lambda$. En déduire la valeur de $\lambda$. Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda = 0,128$ . \item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ? \item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ? \item On admet que la durée de vie moyenne $d_{m}$ de ces moteurs est égale à $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} F(t)$ où $F$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda x \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Calculer $F(t)$ en fonction de $t$. \item En déduire la valeur de $d_{m}$. On arrondira à $10^{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Métropole septembre 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2011 %%%%%% \hypertarget{Antilles_sep2011}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2011}} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip Un site internet propose des jeux en ligne. \textbf{Partie A :} \medskip Pour un premier jeu : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. \item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$. L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant : \vspace{0,5cm} \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}} { \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}} { \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \vspace{0,5cm} \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$. \item Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser. \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1} + \dfrac{1}{4}$. \item Déterminer la limite de $p_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. \item Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près. \item Déterminer l'espérance de X. \end{enumerate} \item Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. \item Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro ? Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2011 %%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2011}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2011}} \medskip Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est de $0,1$ ; \item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,8$ ; \item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à $0,6$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note, pour tout entier naturel $n$ non nul : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] G$_{n}$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$· \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a donc $p_{1} = 0,1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $p_{2} = 0,62$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. \item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$. \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \item Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on : $\dfrac{3}{4} - p_{n} < 10^{-7}$ ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole juin 20011 %%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2010}{} \section{\textbf{Métropole juin 2011}} \medskip \emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.} \medskip Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$. Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test). \item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. $\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$. Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. \item En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$. \end{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \np{0,0492}. \item \begin{enumerate} \item Justifier par un calcul la phrase : \og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg. \item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. \begin{enumerate} \item Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2011 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% La Réunion juin 20011 %%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2010}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2011}} \medskip En vue de sa prochaine brochure d'information sur les dangers d'internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des \np{2000}~élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale. On obtient la répartition suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] un quart des élèves est en terminale ; \item[$\bullet~~$] 35\,\% des élèves sont en première ; \item[$\bullet~~$] tous les autres sont en seconde ; \item[$\bullet~~$] parmi les élèves de terminale, 70\,\% utilisent régulièrement internet ; \item[$\bullet~~$] 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet. \item[$\bullet~~$] \np{1740}~élèves utilisent régulièrement internet. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Cette enquête permet de modéliser le choix d'un élève du lycée. On choisit au hasard un questionnaire d'élève en supposant que ce choix se fait en situation d'équiprobabilité. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de seconde \fg \item[$\bullet~~$] $E$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de première \fg \item[$\bullet~~$] $T$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de terminale \fg \item[$\bullet~~$] $I$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau d'effectifs donné en annexe. \item Déterminer la probabilité d'obtenir le questionnaire d'un élève de seconde qui utilise régulièrement internet. \item Calculer la probabilité de $I$ sachant $T$, notée $P_{T}(I)$, et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase. \item Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un élève qui n'utilise pas internet. \item Le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet. Montrer que la probabilité que ce soit le questionnaire d'un élève de première est égale à $\dfrac{21}{58}$. \item On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires. Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d'un élève utilisateur régulier d'internet ? On en donnera la valeur arrondie au millième. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2011 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Centres étrangers 30 juin 20011 %%%%%% \hypertarget{Etrangers_juin2010}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2011}} \medskip \emph{Les questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute justification incomplète sera valorisée.} \textbf{Question 4} Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, o\`u $\lambda$ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $t$ strictement positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ s'exprime par $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \emph{Affirmation} Sachant que $X \geqslant 2$, la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle [2~;~3] est égale à $1 - \text{e}^{- \lambda}$. \medskip \textbf{Question 5} Une urne contient au total $n$ boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. \emph{Affirmation} La plus petite valeur de l'entier $n$, pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à $\np{0,9999}$, est égale à 13. \newpage %%%%%%%%%%%% Asie 20011 %%%%%% \hypertarget{Asie_juin2010}{} \section{\textbf{Asie juin 2011}} \medskip On admet que la durée de vie (exprimée en années) d'un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ strictement positif), c'est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l'année $t$ ($t$ positif) s'exprime par : \[F(t) = p(X \leqslant t) = p([0~;~t]) = \int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Restitution organisée de connaissances Pré-requis : \begin{enumerate} \item $p_{B}(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ (où $A$ et $B$ sont deux évènements tels que $p(B)\neq 0$) ; \item $p\left(\overline{A}\right) = 1 - p(A)$ (où $A$ est un évènement) ; \item $p([a~;~b]) = F(b)- F(a)$ (où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs tels que $a \leqslant b$). \medskip Démontrer que, pour tout nombre réel positif $s$, on a : \[p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s]) = \dfrac{F(t + s) - F(t)}{1 - F(t)},\] et que $p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s])$ est indépendant du nombre réel $t$. \medskip \emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra} $\lambda = 0,2$. \end{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières années est égale à $\text{e}^{- 0,4}$. \item Sachant que le capteur n'est pas tombé en panne au cours des deux premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ? \item On considère un lot de 10~capteurs, fonctionnant de manière indépendante. Dans cette question, les probabilités seront \textbf{arrondies à la sixième décimale}. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années. \item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane juin 20011 %%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2010}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2011}} \medskip \emph{Cet exercice est questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des quatre propositions est exacte.\\ \textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}} \begin{enumerate} \item Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d'atteindre la cible est de \np{0,3}. On effectue $n$ tirs supposés indépendants. On désigne par $p_n$ la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois sur ces $n$ tirs. La valeur minimale de $n$ pour que $p_n$ soit supérieure ou égale à \np{0,9} est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a)}~~}p{2cm}@{\textbf{b)}~~}p{2cm}@{\textbf{c)}~~}p{2cm}@{\textbf{d)}~~}p{2cm}} 6 & 7 & 10 & 12 \end{tabular} \end{center} \item On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un moteur Diesel jusqu'à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$ définie sur $[0~;~+\infty[$ et suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda=\np{0,0002}$. Ainsi, la probabilité que le moteur tombe en panne avant l'instant $t$ est $p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_0^t\lambda\e^{-\lambda x}\text{d}x$. La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de \np{10000} heures est, au millième près: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a)}~~}p{2cm}@{\textbf{b)}~~}p{2cm}@{\textbf{c)}~~}p{2cm}@{\textbf{d)}~~}p{2cm}} \np{0,271} & \np{0,135} & \np{0,865} & \np{0,729} \end{tabular} \end{center} \item Un joueur dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s'il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6; il perd s'il obtient 1. Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants. La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d'une partie est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a)}~~}p{2cm}@{\textbf{b)}~~}p{2cm}@{\textbf{c)}~~}p{2cm}@{\textbf{d)}~~}p{2cm}} $\dfrac{125}{\np{3888}}$ & $\dfrac{625}{648}$ & $\dfrac{25}{\np{7776}}$ & $\dfrac35$ \end{tabular} \end{center} \item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'une même univers $\Omega$ tels que $p(A)=\np{0,3}$ et $p(A\cup B)=\np{0,65}$. La probabilité de l'évènement $B$ est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a)}~~}p{2cm}@{\textbf{b)}~~}p{2cm}@{\textbf{c)}~~}p{2cm}@{\textbf{d)}~~}p{2cm}} \np{0,5} & \np{0,35} & \np{0,46} & \np{0,7} \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Liban 30 mai 20011 %%%%%% \hypertarget{Liban_mai2010}{} \section{\textbf{Liban mai 2011}} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.} \medskip \emph{Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} \medskip \emph{Il sera attribué $0,5$ point si la réponse est exacte, $0$ sinon.} \medskip \begin{enumerate} \item Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d'ordinateur au même prix et de marques M$_{1}$ et M$_{2}$. Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc. D'après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70\,\% des acheteurs ont choisi l'ordinateur M$_{1}$ et, parmi eux, 60\,\% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20\,\% des clients ayant acheté un ordinateur M$_{2}$ l'ont choisi de couleur blanche. On utilise la liste des clients ayant acheté l'un ou l'autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard. \begin{enumerate} \item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M$_{2}$ de couleur noire est : \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :} $\dfrac{3}{5}$ & \textbf{B :} $\dfrac{4}{5}$& \textbf{C :} $\dfrac{3}{50}$ & \textbf{D :} $\dfrac{6}{25}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est : \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :} $\dfrac{21}{50}$ & \textbf{B :} $\dfrac{33}{50}$& \textbf{C :} $\dfrac{3}{5}$ & \textbf{D :} $\dfrac{12}{25}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu'il soit de marque M$_{2}$ est : \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :} $\dfrac{4}{11}$ & \textbf{B :} $\dfrac{6}{25}$& \textbf{C :} $\dfrac{7}{11}$ & \textbf{D :} $\dfrac{33}{50}$ \\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L'expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l'urne. \begin{enumerate} \item La probabilité d'obtenir trois boules de même couleur est : \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :} $\dfrac{11}{81}$ & \textbf{B :} $\dfrac{2}{7}$& \textbf{C :} $\dfrac{5}{84}$ & \textbf{D :} $\dfrac{4}{63}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité d'obtenir trois boules de trois couleurs différentes est : \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :} $\dfrac{2}{7}$ & \textbf{B :} $\dfrac{1}{7}$& \textbf{C :} $\dfrac{1}{21}$ & \textbf{D :} $\dfrac{79}{84}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item On répète plusieurs fois l'expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l'urne. Le nombre minimal d'expériences à réaliser pour que la probabilité de l'évènement \og obtenir au moins une fois trois boules jaunes \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 est : \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :} $76$ & \textbf{B :} $71$& \textbf{C :} $95$ & \textbf{D :} $94$ \\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Liban 30 mai 2011 %%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Nord 27 mai 2011 %%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_mai2011}{} \section{\textbf{Amérique du Nord 27 mai 2011}} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ? \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. Ainsi, pour tout réel $t$ positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à $t$ années, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par : $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Déterminer $\lambda$ sachant que $p(X > 5) = 0,4$. \item Dans cette question, on prendra $\lambda = 0,18$. Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? \item Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que $p(X > 5) = 0,4$. \begin{enumerate} \item On considère un lot de 10 ordinateurs. Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité. \item Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement \og l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans \fg{} soit supérieure à $0,999$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Amérique du Nord 27 mai 2011 %%%% \newpage %%%%%%%% Pondichéry avril 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2010}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2011}} \medskip Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \SpecialCoor \pscircle(0;0){3} \psline(0;0)(3;-30)\psline(0;0)(3;60)\psline(0;0)(3;120)\psline(0;0)(3;210) \rput(1.75;0){0 point}\rput(1.75;90){5 points}\rput(1.75;180){0 point}\rput(1.75;-90){3 points} \end{pspicture} \end{center} On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups. \begin{enumerate} \item Le joueur lance une fléchette. On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point. On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points. On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points. On a donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1$. Sachant que $p_{5} = \dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5} = \dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0},\, p_{3}$ et $p_{5}$· \item Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note $G_{2}$ l'évènement : \og le joueur gagne la partie en 2 lancers \fg. On note $G_{3}$ l'évènement: \og le joueur gagne la partie en 3 lancers \fg. On note $P$ l'évènement: \og le joueur perd la partie \fg. On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. \begin{enumerate} \item Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right) = \dfrac{5}{36}$. On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right) = \dfrac{7}{36}$ \item En déduire $p(P)$. \end{enumerate} \item Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ? \item Pour une partie, la mise est fixée à 2~\euro. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5~\euro. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3~\euro. S'il perd, il ne reçoit rien. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc: $-2$, 1 et 3. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2011 %%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_mars2011}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2011}} \medskip Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L. \medskip Un concurrent tire au hasard un jeton : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas el il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas. \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation. \emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} \item Calculer la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet à vélo. \item Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? \item On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres. L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og non cycliste \fg. \end{enumerate} %%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2011 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Amérique du Sud novembre 2010 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2010}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2010}} \medskip Un internaute souhaite faire un achat par l'intermédiaire d'internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un canadien et un indien présentent le matériel qu'il souhaite acquérir. L'expérience a montré que la probabilité qu'il utilise chacun de ces sites vérifie les conditions suivantes (les initiales des pays désignent les évènements \og l'achat s'effectue dans le pays \fg) : \[P(F) = P(A),\quad P(F) = \dfrac{1}{2}P(C)\quad \text{et}~~ P(C) = P(I).\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les quatre probabilités $P(F),~P(A),~P(C)$ et $P(I)$. \item Sur chacun des quatre sites, l'internaute peut acheter un supplément pour son matériel. Ses expériences précédentes conduisent à formuler ainsi les probabilités conditionnelles de cet évènement, noté $S$ : \[P_{F}(S) = 0,2\quad;\quad P_{A}(S) = 0,5\quad ;\quad P_{C}(S) = 0,1\quad ;\quad P_{I}(S) = 0,4\] \begin{enumerate} \item Déterminer $P(S \cap A)$. \item Montrer que $p(S) = \dfrac{17}{60}$. \item L'internaute a finalement acheté un supplément. Déterminer la probabilité qu'il l'ait acheté sur le site canadien. \end{enumerate} \item Sur \np{1000}~internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\begin{tabular}{c}Sites\\ européens\\ \end{tabular}&Site canadien &Site indien\\ \hline \begin{tabular}{c}Effectif \\d'acheteurs\\ \end{tabular}& 335 &310 & 355\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On note respectivement $f_{1},~f_{2}$ et $f_{3}$ les fréquences associées aux effectifs précédents. On pose : $d^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=3} \left(f_{k} - \dfrac{1}{3}\right)^2$. Calculer $d^2$ puis $\np{1000}d^2$. \item On simule \np{3000} fois l'expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi $\{1~;~2~;~3\}$ avec équiprobabilité. Pour chacune de ces simulations on obtient une valeur de $\np{1000}d^2$. Voici les résultats : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} {\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Minimum &Premier décile &Premier quartile&Médiane &Troisième quartile &Neuvième décile&Maximum\\ \hline \np{0,0005}& \np{0,0763} &\np{0,2111} &\np{0,48845} &\np{0,9401} &\np{1,5104} &\np{5,9256}\\ \hline \end{tabularx}} \medskip Au risque 10\,\%, peut-on considérer que le choix d'un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière équiprobable ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2010 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2010 %%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_nov2010}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2010}} \medskip Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges. \medskip \textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage. \begin{enumerate} \item Vérifier que $P(X = 0) = \dfrac{3}{10}$ puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \item Calculer la probabilité de l'évènement suivant: A : \og les deux boules tirées sont de même couleur \fg. \end{enumerate} \item On effectue deux tirages successifs d'une boule en respectant la règle suivante : \emph{si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[ ] B : \og seule la première boule tirée est verte \fg, \item[ ] C : \og une seule des deux boules tirées est verte \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item Sachant que l'on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2010 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%% Polynésie septembre 2010 %%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2010}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2010}} \medskip Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d'un sac contenant une boule noire et 9~boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n'est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. On appelle N l'évènement \og la boule noire figure parmi les boules tirées \fg{} et G l'évènement \og le joueur gagne \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement N. \item Démontrer que la probabilité de l'évènement G est égale à $\dfrac{3}{10}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré la boule noire ? \end{enumerate} \item Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de $m$ euros est demandée, où $m$ est un réel strictement positif. \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. \item[ ] S'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise. \item[ ] S'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. \end{description} \setlength\parindent{0mm} On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Exprimer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $m$. \item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de $X$ est nulle. Déterminer $m$ pour que le jeu soit équitable. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On joue $n$ fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac. Déterminer la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à $0,999$. \end{enumerate} %%%%%%% fin Polynésie septembre 2010 %%%%%%%% \newpage %%%%%%% Antilles septembre 2010 %%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sep2010}{} \section{\textbf{Antilles septembre 2010}} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \boldmath$\np{0,0001}$\unboldmath~ près.} \medskip Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1\:\% est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85\:\% des cas ; \item[$\bullet~$] si un animal est sain, le test est négatif dans 95\:\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : \setlength\parindent{15mm} \begin{description} \item[ ] M l'évènement : \og l'animal est porteur de la maladie \fg{} ; \item[ ] T l'évènement : \og le test est positif \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. \item Un animal est choisi au hasard. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? \item Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$. \end{enumerate} \item Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ? \item On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? \item Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ? \end{enumerate} \item Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de \np{1000}~euros. On suppose que le test est gratuit. D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Coût& $0$& 100 &\np{1000}\\ \hline Probabilité &\np{0,9405} &\np{0,0580} &\np{0,0015}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. \item Un éleveur possède un troupeau de 200~bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Antilles septembre 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Des robots se trouvent au centre de gravité O d'un triangle de sommets S, I et X. Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item à chaque étape, il passe par l'un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O ; \item les robots sont programmés de telle sorte que, lors d'une étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ; \item les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; \item on ne tient pas compte des passages par O. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{Partie A - Un seul robot} \end{center} Un seul robot se trouve au point O. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à $\dfrac{1}{5}$. \item On note E l'évènement : \og au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre \fg. Démontrer que la probabilité de E est égale à $\dfrac{4}{125}$. \item On note F l'évènement : \og au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque \fg. Déterminer la probabilité de F. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B - Plusieurs robots} \end{center} Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres. Quel nombre minimal $n$ de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l'évènement : \og au moins l'un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 ? %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole 22 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \begin{enumerate} \item Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{21}{40}$&$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9}\times \dfrac{1}{3}$&$\dfrac{7}{10}\times \dfrac{7}{10}\times\dfrac{1}{3}$\\ \end{tabularx} \medskip \item De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{3^3 \times 7^2}{10^5}$&$\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2 \times \left(\dfrac{7}{10}\right)^3$&$\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^3\times \left(\dfrac{7}{10}\right)^2$\\ \end{tabularx} \medskip \item De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1. Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{7}{60}$&$\dfrac{14}{23}$&$\dfrac{\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}}$\\ \end{tabularx} \medskip \item On note $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. ($\lambda$ étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l'év\`enement $[1 \leqslant X \leqslant 3]$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\text{e}^{-\lambda} - \text{e}^{-3\lambda}$&$\text{e}^{-3\lambda} - \text{e}^{-\lambda}$&$\dfrac{\text{e}^{-\lambda}}{\text{e}^{-3\lambda}}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion 22 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \bigskip \textbf{Partie I :} \medskip On dispose d'un dé cubique $A$ parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires. \item Soit l'év\`enement C : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement C est égale à $\dfrac{7}{18}$. \item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes. \item À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II :} \medskip On dispose d'un second dé cubique $B$ équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ; \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé $B$ et on note la couleur de la face obtenue; \item[$\bullet~$] si la face obtenue est noire, on lance le dé $A$ et on note la couleur de la face obtenue. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation. \item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer? \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$. \item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers 14 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Question 3} \medskip La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0003}$. On rappelle que, pour tout $t \geqslant 0,~ p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. \emph{Affirmation} : La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à \np{2000} heures est inférieure à $0,5$. \medskip \textbf{Question 4} \medskip $A$ et $B$ sont deux év\`enements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : \[p(A) = 0,4, p_{A}(B) = 0,7~ \text{et}~ p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,1.\] \emph{Affirmation} : La probabilité de l'év\`enement A sachant que l'év\`enement B est réalisé est égale à $\dfrac{14}{41}$. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie 21 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$. \medskip L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; \item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements suivants : \begin{enumerate} \item A : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ; \item B : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. \item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé : \medskip \begin{center} \pstree[treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\Tdot\taput{$p_{n}$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)} } \pstree{\Tdot\tbput{$1 - p_{n}$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)} } } \end{center} \medskip \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$. \item On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. \item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane 18 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une ou deux des réponses} proposées sont correctes.\\ Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de \np{0,25} point.\\ Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.\\ Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l'exercice est 0.} \smallskip \textbf{Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).} \begin{enumerate} \item On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}} $\dfrac58$ & $\dfrac{21}{32}$ & $\dfrac{11}{32}$ & $\dfrac{3}{8}$ \end{tabular} \end{center} \item On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes. La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}} $\dfrac{105}{248}$ & $\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}$ & $\dfrac{21^2}{32^2}$ & $\dfrac{5^2}{8^2}$ \end{tabular} \end{center} \item On suppose que la durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$. La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15~min et 20~min est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}} $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{1}{5}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac14$ \end{tabular} \end{center} \item On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à \np{0,15}. La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}} \np{0,35} à $10^{-2}$ près& $\np{0,85}^9$ & $\np{0,85}^9\times\np{0,15}$ & $\np{0,85}^9\times\np{0,15}\times 10$ \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord 3 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20\:\% des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10\:\% sont rouges et les autres sont vertes. \begin{enumerate} \item On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ? \item On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est égale à $\dfrac{2}{7}$. \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue $n$ tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne). \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages. \item Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban 3 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.} \medskip \emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on recommence). \medskip \textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est $3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg \item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda (\lambda > 0$). On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$. \textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg \item Soit le nombre complexe $z = 1- \text{i}\sqrt{3}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2~euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3~euros. On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. \medskip \emph{Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$. \item Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable $X$. \item Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut : \[\text{E}(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.\] \item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive. \end{enumerate} \item Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants. Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20~tirages soit strictement supérieure à $0,999$. \item On suppose que $n = \nombre{1000}$. L'urne contient donc 10~boules blanches et \nombre{1000}~boules rouges. Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d' effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu'à obtenir une boule blanche. Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l'on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire $Z$ suivant la loi : \[\text{pour tout}~ k \in \N,~ p(Z \leqslant k) = \int_{0}^k 0,01\text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x.\] On répondra donc aux questions suivantes à l'aide de ce modèle. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50~boules pour avoir une boule blanche, soit $P (Z \leqslant 50)$. \item Calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement : \og le joueur a tiré au maximum 60~boules pour tirer une boule blanche \fg{} sachant l'évènement \og le joueur a tiré plus de 50~boules pour tirer une boule blanche \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_nov2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledo_nov2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir. On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$. Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$. Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'évènement : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg \item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : \[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~ p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~ p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. \item Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. \item Recopier et compléter l'arbre suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree{\TR{$T_{n}$}\taput{$u_{n}$}} { \TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$} \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$} } \pstree{\TR{$P_{n}$}\tbput{$\ldots$}} { \TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$\ldots$} \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$\ldots$} } } \end{center} \item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1,~ u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. \item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par: \[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2009}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2009_retour}{Retour au tableau} \medskip On considère un questionnaire comportant cinq questions. \medskip Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles étant exacte. \medskip Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. \medskip Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a répondu $B$ aux première et deuxième questions, $A$ aux troisième et quatrième questions et $C$ à la cinquième question. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien y-a-t'il de mots-réponses possible à ce questionnaire~? \item On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. Calculer la probabilité des évènements suivants~: $E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg. $F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg. $G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg. (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg{} est un palindrome). \end{enumerate} \item Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Pour chaque question, deux propositions sont énoncées.\\ Il s'agit de dire, sans le justifier, si chacune d'elles est vraie ou fausse. \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE}.} \medskip \emph{Pour chaque question, il est compté $1$~point si les deux réponses sont exactes, $0,5$~point pour une réponse exacte et une absence de réponse et $0$~point sinon.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question A}}&Proposition 1 &Proposition 2\\ Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements : A : \og les deux boules tirées sont de la même couleur \fg{} ; B : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg.& La probabilité de A est égale à $\dfrac{3}{7}$.& La probabilité de B est égale à $\dfrac{1}{7}$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question B}}&Proposition 3 &Proposition 4\\ Soient A, B et C trois évènements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$. On sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A et B sont indépendants ; \item[$\bullet~$] $P(\text{A}) = \dfrac{2}{5}$ ; $P(\text{A} \cup \text{B}) = \dfrac{3}{4}$ ; \item[$\bullet~$] $P(\text{C}) = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\text{A} \cap \text{C}) = \dfrac{1}{10}$· \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} &$P(\text{B}) = \dfrac{7}{12}$& $P\left(\overline{\text{A} \cup \text{C}}\right) = \dfrac{2}{5}$. $\overline{\text{A} \cup \text{C}}$ désigne l'évènement contraire de $\text{A} \cup \text{C}$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question C}}&Proposition 5 &Proposition 6\\ Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est égal à 4 et $p$ appartient à ]0~;~1[.& Si $P(X = 1) = 8P(X = 0)$ alors $ p = \dfrac{2}{3}$.&Si $p = \dfrac{1}{5}$ alors $P(X =1) = P(X =0)$.\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Question D}}&Proposition 7 &Proposition 8\\ La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,07$ sur $[0~;~+ \infty[$. On rappelle que pour tout $t> 0$, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ est donnée par : $P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$ (avec $\lambda = 0,07$).& La probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.& Sachant que l'appareil a fonctionné 10~ans, la probabilité qu'il fonctionne encore 10~ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.\\ \hline \end{tabularx} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{VRAI OU FAUX} Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. \textbf{PARTIE B} \medskip \begin{enumerate} \item Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants avec $P(B) \neq 0$ et $P(B) \neq 1$, alors $P( A \cap B) = P_{B}(A)$. \item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0~;~1], alors $P\left(X \in [0,1~;~0,6]\right) = 0,6$. \item Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et $\dfrac{1}{3}$, alors $P(X \geqslant 1)= 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Un réparateur de vélos a acheté 30~\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40~\% à un deuxième et le reste à un troisième. Le premier fournisseur produit 80~\% de pneus sans défaut, le deuxième 95~\% et le troisième 85~\%. \begin{enumerate} \item Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock. \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875. \item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$. \end{enumerate} \item Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.\\ Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$. \item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.\\ On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \int_{0}^k\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$ \begin{enumerate} \item Montrer que $P(500\leqslant X\leqslant 1000) =\mathrm{e}^{-500\lambda}-\mathrm{e}^{-\nombre{1000}\lambda}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \nombre{1000} kilomètres sans crevaison étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2009} Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. \begin{enumerate} \item Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée. On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement C \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement D \og le sac est défectueux \fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement E \og le sac ne présente aucun défaut\fg. \item Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ? \end{enumerate} \item On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole 23 juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Métropole 23 juin 2009} \textbf{I.} \emph{Cette question est une restitution organisée de connaissances. } \emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant n$ alors } $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$. \medskip Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$. \medskip \textbf{II.} Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note A l'évènement \og obtenir deux jetons blancs \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement A est égale à $\dfrac{7}{15}$. \item On note B l'évènement \og obtenir deux jetons portant des numéros impairs \fg. Calculer la probabilité de B. \item Les évènements A et B sont-ils indépendants ? \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie 23 juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2009} Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6\:\% sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n'est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98\:\% des lecteurs MP3 défectueux et 5\:\% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $D$ l'évènement : \og le lecteur MP3 est défectueux \fg{} ; \item[$\bullet~$] $R$ l'évènement : \og l'unité de contrôle rejette le lecteur MP3 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté. \item On dit qu'il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu'il n'est pas défectueux, ou qu'il n'est pas rejeté alors qu'il est défectueux. Calculer la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle. \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à \nombre{0,8942}. \item Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] commercialisé avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succès les quatre contr\^oles successifs, \item[$\bullet~$] détruit s'il est rejeté au moins deux fois, \item[$\bullet~$] commercialisé sans le logo sinon. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50~\euro. Son prix de vente est de 120~\euro{} pour un lecteur avec logo et 60~\euro{} pour un lecteur sans logo. On désigne par $G$ la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$. \item Calculer à $10^{-2}$ près l'espérance mathématique de $G$. Donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Asie juin 2009} Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseurs $\mathcal{F}_{1},~\mathcal{F}_{2},$ $\mathcal{F}_{3}$. Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$. \medskip Une étude statistique a montré que \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ ont un défaut ; \item[$\bullet~$] 1,5\:\% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ ont un défaut ; \item[$\bullet~$] sur l'ensemble du stock, 3,5\:\% des paires de chaussette ont un défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l'entreprise. \medskip On considère les évènements F$_{1}$, F$_{2}$, F$_{3}$ et D suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] F$_{1}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ \fg{} ; \item[$\bullet~$] F$_{2}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{2}$ \fg{} ; \item[$\bullet~$] F$_{3}$ : \og La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$ \fg{} ; \item[$\bullet~$] D : \og La paire de chaussettes prélevée présente un défaut \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Traduire en termes de probabilités les données de l'énoncé en utilisant les évènements précédents. \emph{Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.} \medskip \item Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut. \item Calculer la probabilité de l'évènement F$_{2} \cap \text{D}$. \item En déduire la probabilité de l'évènement F$_{3} \cap \text{D}$. \item Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ? \end{enumerate} \item L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, succesifs avec remise. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième. \item Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut est égale à $0,983.$ \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Etranger_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2009} \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances :} \medskip \textbf{Prérequis :} On rappelle que deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $p( A \cap B) = p(A) \times p(B)$. \medskip Soient $A$ et $B$ deux évènements associés à une expérience aléatoire \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. \item Démontrer que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les évènements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. \end{enumerate} \item \textbf{Application :} Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépendants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $R$ : \og il n'entend pas son réveil sonner \fg{} ; \item[$\bullet~$] $S$ : \og Son scooter, mal entretenu, tombe en panne \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de $R$ est égale $0,1$ et que celle de $S$ est égale à $0,05$. Lorsque qu'au moins l'un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne. \item Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné. \item Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants. Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane juin 2009} Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions. \smallskip On dispose de deux dés tétraédriques identiques: les quatre faces sont numérotées A, B, C et D. \begin{enumerate} \item On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés. \smallskip Déterminer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $E_{0}$: \og ne pas obtenir la lettre A~\fg, \item $E_{1}$: \og obtenir une fois la lettre A~\fg, \item $E_{2}$: \og obtenir deux fois la lettre A~\fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item On organise un jeu de la façon suivante: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Le joueur lance les deux dés simultanément. \item Si les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg, le jeu s'arrête. \item Si un seul dé repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance l'autre dé et le jeu s'arrête. \item Si aucun dé ne repose sur la face \og A~\fg, le joueur relance les deux dés et le jeu s'arrête. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. \begin{center} \begin{tabular}{c@{\qquad\qquad}c@{\qquad\qquad}c} &Nombre de &Nombre de \\ & faces \og A~\fg & faces \og A~\fg\\[5ex] &\rnode{b}{0}& \begin{tabular}{c} \rnode{e}{$0$}\\[2ex] \rnode{f}{$1$}\\[2ex] \rnode{g}{$2$}\\[2ex] \end{tabular} \\ \rnode{a}{}&\rnode{c}{1}& \begin{tabular}{c} \rnode{h}{$0$}\\[2ex] \rnode{i}{$1$}\\[4ex] \end{tabular}\\ &\rnode{d}{2}&\\[5ex] &1\up{er} lancer&2\up{e} lancer \end{tabular} \ncline[nodesepB=3pt]{a}{b} \ncline[nodesepB=3pt]{a}{c} \ncline[nodesepB=3pt]{a}{d} \ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{e} \ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{f} \ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{b}{g} \ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{h} \ncline[nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{c}{i} \end{center} \item Le joueur gagne si, lorsque le jeu s'arrête, les deux dés reposent sur les faces \og A~\fg. Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de $\dfrac{49}{256}$. \item Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S'il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s'arrête, un seul dé repose sur la face \og A~\fg, il est remboursé. Sinon, il perd sa mise. Le jeu est-il favorable au joueur~? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_mai2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban mai 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_mai2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban mai 2009} \emph{Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification. \\ Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.} \bigskip \begin{enumerate} \item On désigne par $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$. On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) = \dfrac{3}{5}$. La probabilité de l'évènement $B$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad \dfrac{2}{5}$& \textbf{b.} $\quad \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{5}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{1}{2}$ \end{tabularx} \medskip \item On note $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,04$. On rappelle que pour tout réel $t$ positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. La valeur approchée de $p(X > 5)$ à $10^{-2}$ près par excès est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad 0,91$&\textbf{b.} $\quad 0,18$&\textbf{c.} $\quad 0,19$&\textbf{d.} $\quad 0,82$ \end{tabularx} \medskip \item Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{10}$ ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{9}{10}$. Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad \dfrac{9}{10}$&\textbf{b.} $\quad \dfrac{27}{40}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{4}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{27}{28}$ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_mai2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_mai2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Nord mai 2009} Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. \begin{center} \textbf{Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours} \end{center} Au début de l'épidémie on constate que 0,01\:\% de la population est contaminé. Pour $t$ appartenant à [0~;~30], on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours. On a donc $y(0) = 0,01$. On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0~;~30] est dérivable, strictement positive et vérifie : \[ y'= 0,05y(10 - y).\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $z = \dfrac{1}{y}$. Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions $\left\{\begin{array}{l c l} y(0)& =&0,01\\ y'&=& 0,05y(10 - y)\\ \end{array} \right.$ si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions $\left\{\begin{array}{l c l} z(0)&=&100\\ z' &=& - 0,5z + 0,05\\\end{array} \right.$ \item \begin{enumerate} \item En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$. \item Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin}\end{center} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92\:\% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10\:\% des individus sont malades. On choisit au hasard un individu dans cette population. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og l'individu n'est pas vacciné et tombe malade \fg{} est égale à $0,08$. \item Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2009} On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $\dfrac{1}{3}$. \medskip \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \begin{enumerate} \item On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus. \begin{enumerate} \item Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? \item Quelle est son espérance ? \item Calculer $P(X = 2)$. \end{enumerate} \item On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite. On considère les évènements D et A suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $D$ \og le dé choisi est le dé bien équilibré \fg{} ; \item[$\bullet~$] $A$ : \og obtenir exactement deux 6 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] \og choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 \fg{} ; \item[$\bullet~$] \og choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} (On pourra construire un arbre de probabilité). \item En déduire que : $p(A) = \dfrac{7}{48}$. \item Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ? \end{enumerate} \item On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $n$ fois de suite ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2). On note $B_{n}$ l'évènement \og obtenir au moins un 6 parmi ces $n$ lancers successifs~\fg. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ de l'évènement $B_{n}$. \item Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. Commenter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_mars2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2009_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie mars 2009} Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$. Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. On note, pour tout entier naturel $n$ non nul : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A_{n}$ l'évènement : \og la $n$-ième cible est atteinte \fg. \item[$\bullet~$] $\overline{A_{n}}$ l'évènement : \og la $n$-ième cible n'est pas atteinte. \item[$\bullet~$] $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ \item[$\bullet~$] $b_{n}$ la probabilité de l'évènement $\overline{A_{n}}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Donner $a_{1}$ et $b_{1}$. Calculer $a_{2}$ et $b_{2}$. On pourra utiliser un arbre pondéré. \item Montrer que, pour tout $n \in \N,~ n \geqslant 1 : a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}b_{n}$, puis : $a_{n+1} = \dfrac{1}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}$ \item Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par $U_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier terme $U_{1}$. \item En déduire l'expression de $U_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $a_{n} \geqslant \nombre{0,6665}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie novembre 2008} Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l'arbre ci-dessous pour arriver à l'un des points D, E, F et G. \begin{center}\pstree[levelsep=2.5cm,nodesep=6pt]{\TR{A}} { \pstree{\TR{B (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}} { \TR{D (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$} \TR{E (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$} } \pstree{\TR{C (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}} { \TR{F (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$} \TR{G (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$} } } \end{center} \medskip On a marqué sur chaque branche de l'arbre la probabilité pour que la bille l'emprunte après être passé par un n{\oe}ud. Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l'issue d'une partie c'est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G. \begin{enumerate} \item Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance de X. \item Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points. \end{enumerate} \item Le joueur effectue 8~parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu'une partie est gagnée si le joueur obtient 20~points à cette partie. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'il gagne exactement 2~parties. On donnera le résultat arrondi au millième \item Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2008} \emph{On rappelle que la probabilité d'un évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé se note $p_{B}(A)$.} Une urne contient au départ 30~boules blanches et 10~boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules blanches supplémentaires. \item[$\bullet~$] si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules noires supplémentaires. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $B_{1}$ l'évènement : \og on obtient une boule blanche au premier tirage \fg \item[$\bullet~$] $B_{2}$ l'évènement : \og on obtient une boule blanche au second tirage \fg \item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og les deux boules tirées sont de couleurs différentes \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Dans cette question, on prend $n = 10$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)$ et montrer que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}$. \item Calculer $p_{B_{2}}\left(B_{1}\right)$. \item Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{10}$. \end{enumerate} \item On prend toujours $n = 10$. Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante. On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement $A$. \begin{enumerate} \item Déterminer $p(X = 3)$. (On donnera la réponse à $10^{-2}$ près). \item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item Dans cette question $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.\\ Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $p(A) = \dfrac{1}{4}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole et La Réunion sept. 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France et La Réunion septembre 2008} Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18~cases noires et 2~cases rouges. La roue B comporte 16~cases noires et 4~cases rouges. Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues. La règle du jeu est la suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le joueur mise 1~\euro{} et lance la roue A. \item[$\bullet~$] S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête. \item[$\bullet~$] S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. \item Soient E et F les évènements : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] E : \og à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges \fg \item[] F : \og à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Montrer que $p(\text{E}) = 0,02$ et $p(\text{F}) = 0,17$. \item Si les 2~cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10~\euro{}; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2~\euro ; sinon il ne reçoit rien. $X$ désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1~\euro). \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et en donner une interprétation. \end{enumerate} \item Le joueur décide de jouer $n$ parties consécutives et indépendantes ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2) \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité $p_{n}$ qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que $p_{n} = 1 - (0,9)^n$. \item Justifier que la suite de terme général $p_{n}$ est convergente et préciser sa limite. \item Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $p_{n} > 0,9$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane sept. 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles--Guyane septembre 2008} On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. L'urne $U_{1}$ contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher. L'urne $U_{2}$ contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher. \medskip Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l'urne $U_{1}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{1}$ puis de tirer au hasard une bille de l'ume $U_{2}$, noter sa couleur et remettre la bille dans l'urne $U_{2}$. À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien. On note \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $V_{1}$ l'évènement : \og le joueur tire une boule verte dans $U_{1}$ \fg \item[] $V_{2}$ l'évènement: \og le joueur tire une boule verte dans $U_{2}$ \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les évènements $V_{1}$ et $V_{2}$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est $p = 0,06$. \item Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ? \item Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3. On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-4}$ près. \item On appelle $n$ le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois. On note $p_{n}$ la probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3. Déterminer la plus petite valeur de $n$ vérifiant $p_{n} \geqslant 0,99$. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{ La Réunion juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2008} \textbf{Tous les résultats seront arrondis à\boldmath $10^{-2}$\unboldmath près.} Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à $ 0,1$. \begin{enumerate} \item On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. \begin{enumerate} \item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] A : \og il n'y a aucun stylo avec un défaut \fg{} ; \item[] B : \og il y a au moins un stylo avec un défaut \fg{}; \item[] C : \og il y a exactement deux stylos avec un défaut \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20\:\% des stylos avec défaut. On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l'évènement \og le stylo présente un défaut \fg, et E l'évènement \og le stylo est accepté \fg. \begin{enumerate} \item Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé. \item Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle. \item Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à $0,022$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés. \medskip Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'évènement A calculée à la question \textbf{1. b.}. Quel commentaire peut-on faire ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Etranger_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2008} Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] les ingénieurs ; \item[$\bullet~$] les opérateurs de production; \item[$\bullet~$] les agents de maintenance. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Il y a 8\:\% d'ingénieurs et 82\:\% d'opérateurs de production. Les femmes représentent 50\:\% des ingénieurs, 25\:\% des agents de maintenance et 60\:\% des opérateurs de production. \medskip \textbf{I. Partie A} Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel dc cette entreprise. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] M l'évènement : \og le personnel interrogé est un agent de maintenance \fg ; \item[$\bullet~$] O l'évènement: \og le personnel interrogé est un opérateur de production \fg; \item[$\bullet~$] I l'évènement: \og le personnel interrogé est un ingénieur \fg; \item[$\bullet~$] F l'évènement: \og le personnel interrogé est une femme \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré correspondant aux données. \item Calculer la probabilité d'interroger: \begin{enumerate} \item un agent de maintenance ; \item une femme agent de maintenance ; \item une femme, \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II. Partie B} Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,002$ ; \item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à $0,003$ ; \item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne se produise est égale à $0,04$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A l'évènement : \og l'alarme se déclenche \fg ; \item[$\bullet~$] B l'évènement : \og une panne se produit \fg ; \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,037$. \item Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche. \item Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Asie juin 2008} On considère plusieurs sacs de billes S$_{1}$, S$_{2}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots tels que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le premier, S$_{1}$, contient 3 billes jaunes et 2 vertes; \item chacun des suivants, S$_{2}$,~ S$_{3}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots contient 2 billes jaunes et 2 vertes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item on tire au hasard une bille dans S$_{1}$ ; \item on place la bille tirée de S$_{1}$ dans S$_{2}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{2}$ ; \item on place la bille tirée de S$_{2}$ dans S$_{3}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{3}$; \item etc. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $E_{n}$ l'évènement : \og la bille tirée dans S$_{n}$ est verte \fg{} et on note $p\left(E_{n}\right)$ sa probabilité. \begin{enumerate} \item Mise en évidence d'une relation de récurrence \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, donner les valeurs de $p\left(E_{1}\right),~ p_{E_{1}}\left(E_{2}\right),~ p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right)$. En déduire la valeur de $p\left(E_{2}\right)$. \item À l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $p\left(E_{n+1}\right)$ en fonction de $p\left(E_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Étude d'une suite On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \renewcommand{\arraystretch}{2} $\left\{\begin{array}{l c l} u_{1}&=&\dfrac{2}{5}\\ u_{n+1}&=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5}~~\text{pour tout }~n \geqslant 1.\\ \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée par $1$. \item Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante. \item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite. \end{enumerate} \item Évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$ \begin{enumerate} \item À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$. \item Pour quelles valeurs de l'entier $n$ a-t-on : $\nombre{0,49999} \leqslant p\left(E_{n}\right) \leqslant 0,5$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane juin 2008} On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher. \medskip $U_{1}$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ boules noires. $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et une boule noire. \medskip On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$. On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_{2}$. L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve. \medskip On note $B_{1}$ (respectivement $N_{1}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{1}$ \fg. On note $B_{2}$ (respectivement $N_{2}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{2}$ \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter par les probabilités manquantes l'arbre ci-dessous : \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$B_{1}$}\taput{\ldots}} { \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$N_{1}$}\tbput{\ldots}} { \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \end{enumerate} Montrer que la probabilité de l'évènement $B_{2}$ est égale à $\dfrac{3k +6}{4k +12}$. \medskip \textbf{Dans la suite on considère que} \boldmath$k = 12$.\unboldmath \textbf{Les questions 2 et 3 sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.} \item Un joueur mise $8$~euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit $12$~euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise. \begin{enumerate} \item Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $-8$. \item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \item Le jeu est-il favorable au joueur ? \end{enumerate} \item Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu. Au début de chaque épreuve, l'urne $U_{1}$ contient $12$ boules blanches et $3$ noires, et l'urne $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes. Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l'évènement $B_{2}$ soit supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_mai2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban mai 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_mai2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban mai 2008} Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. \medskip \textbf{Partie A} Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B. \begin{enumerate} \item  Soit R l'évènement \og le joueur obtient une boule rouge \fg. Montrer que $p(\text{R}) = 0,15$. \item  Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit $x$ un entier naturel non nul. Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $x$ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs $2x, x - 2$ et $- 4$. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de G. \item  Exprimer l'espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de $x$. \item  Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on E(G) $\geqslant 0$ ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_mars2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2008_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie mars 2008} Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10\:\% n'ont pas survécu, 75\:\% deviennent rouges et les 15\:\% restant deviennent gris. \item[$\bullet~$] pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5\:\% n'ont pas survécu, 65\:\% deviennent rouges et les 30\:\% restant deviennent gris. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60\:\% au premier éleveur, 40\:\% au second. \begin{enumerate} \item Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92$. \item Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge. \item Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ? \end{enumerate} \item Une personne choisit au hasard et de façon indépendante $5$ alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \item L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne $1$~euro si le poisson est rouge, $0,25$~euro s'il est gris et perd $0,10$~euro s'il ne survit pas. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique, arrondie au centime. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_dec2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie décembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie décembre 2007} \medskip Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25\:\% au premier fournisseur et 75\:\% au second. La proportion de composants défectueux est de 3\:\% chez le premier fournisseur et de 2\:\% chez le second. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item D l'évènement \og le composant est défectueux \fg ; \item F$_{1}$ l'évènement \og le composanrt provient du premier fournisseur \fg ; \item F$_{2}$ l'évènement \og le composant provient du second fournisseur \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dessiner un arbre pondéré. \item Calculer $p\left(\text{D} \cap \text{T}_{1} \right)$, puis démontrer que $p(\text{D}) = \nombre{0,0225}$. \item Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier fournisseur ? \end{enumerate} \emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à $10^{-3}$ près.} \item Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux soient défectueux ? \item La durée de vie de l'un de ces composants est une variable aléatoire notée $X$ qui suit une loi de durée de vie sans vieillisse\`ment ou loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Sachant que $p(X > 5) = 0,325$, déterminer $\lambda$. Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$. \item Quelle est la probabilité qu'un composant dure moins de 8~ans ? plus de 8~ans ? \item Quelle est la probabilité qu'un composant dure plus de 8~ans sachant qu'il a déjà duré plus de 3~ans ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre décembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2007} La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40\:\% sont de type A, 41\:\% de type B et 19\:\% de type C. On admet qu'au début de chaque année : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. \item[$\bullet$] chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. \item[$\bullet$] chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type B est $0,3$. La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type A est $0,3$. Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note: \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] A$_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type A \fg, \item[$\bullet$] B$_{n}$ l'èvénement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type B \fg, \item[$\bullet$] C$_{n}$ l'èvénement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type C \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne par $p_{n},~ q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des évènements A$_{n}$, B$_{n}$ et C$_{n}$. Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année $n^{\circ} 0$) on pose : $p_{0} =0,40, ~q_{0} = 0,41$ et $r_{0} = 0,19$. \parbox{0.55\textwidth}{ \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $p_{1} = 0,363$ puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[\left\{\begin{array}{l c l} p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\ q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n}\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\N$ par $S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$. \item Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$. \item En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right),~ \left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$. Interpréter le résultat. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\textwidth}{\begin{pspicture}(5,4) \rput(1.75,5.5){début de} \rput(1.75,4.5){l'année $n^{\circ} 0$} \rput(3.75,5.5){début de} \rput(3.75,4.5){l'année $n^{\circ} 1$} \psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7) \psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6) \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{A}\taput{?}} {\TR{A}\taput{?} \TR{B}\taput{?} \TR{C}\taput{?} } \pstree[]{\TR{B}\taput{?}} {\TR{A}\taput{?} \TR{B}\taput{?} \TR{C}\taput{?} } \pstree[]{\TR{C}\taput{?}} {\TR{C}\taput{?} } } \end{pspicture}} \newpage \hypertarget{Antilles_sept2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane septembre 2007} Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge. On sait de plus qu'il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l'urne. On tire au hasard simultanément 2 boules dans l'urne et on note leur couleur. Soit l'évènement G : \og obtenir deux boules de même couleur \fg. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose que l'urne contient 3 boules noires et 7 boules banches. Calculer la probabilité de l'évènement G. \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note $n,~b$ et $r$ le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l'urne. \begin{enumerate} \item On note $g(n,~b,~r)$ la probabilité en fonction de $n,~ b$ et $r$ de l'évènement G. Démontrer que $g(n,~b,~r) = \dfrac{1}{210}[n(n - 1) + b(b - 1) + r(r - 1)]$. \item Le but de cette question est de déterminer $n,~b$ et $r$ afin que la probabilité $g(n,~b,~r)$ soit minimale. L'espace est muni d'un repère \Oijk{} orthonormal. Soient les points N, B et R de coordonnées respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0 ; 0 ; 15) et soit $M$ le point dc coordonnées $(n,~b,~r)$. On pourra se rapporter à la figure ci-dessous. \begin{enumerate} \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (NBR) est $x+ y + z - 15= 0$. \item En déduire que le point $M$ est un point du plan (NBR). \item Démontrer que $g(n,~b,~r) = \dfrac{1}{210}\left(\text{O}M^2 - 15\right).$ \item Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées du point H. \item En déduire tes valeurs de $n,~ b$ et $r$ afin que la probabilité $g(n,~b,~r)$ soit minimale. Justifier que cette probabilité minimale est égale à $\dfrac{2}{7}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l'organisateur d'un jeu, de telle sorte que la probabilité de l'évènement G soit $\dfrac{2}{7}.$ Un joueur mise $x$ euros, avec $x$ entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l'urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ. S'il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit $k$ fois le montant de sa mise, avec $k$ nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance E($X$) de la variable $X$ en fonction de $x$ et de $k$. \item Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle le jeu est équitable. \end{enumerate} \begin{center} \begin{pspicture}(7,7) \psframe(7,7) \psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(0,0)\rput(0.2,0.1){$x$} \psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(7,1.6)\rput(6.9,1.3){$y$} \psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(1.7,7)\rput(1.8,6.8){$z$} \pspolygon(0.4,0.4)(6.5,1.6)(1.7,6.3) \uput[ul](0.4,0.4){N} \uput[ul](1.7,6.3){R} \uput[dr](6.5,1.6){B} \uput[dr](1.7,1.6){O}\uput[dl](1.8,1.6){\footnotesize $\vect{\imath}$} \uput[ur](1.7,1.6){\footnotesize $\vect{\jmath}$} \uput[ul](1.7,1.6){\footnotesize $\vect{k}$} \psline[linewidth=0.8pt]{->}(1.7,1.6)(1.5,1.4) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(1.7,1.6)(2,1.6) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(1.7,1.6)(1.7,1.9) \end{pspicture} \end{center} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2007} Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d'une part d'un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d'une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ; \item[$\bullet$] si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6. À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note B l'évènement \og le jeton tiré est blanc \fg{} et G l'évènement \og le joueur gagne le jeu \fg. L'évènement contraire d'un évènement E sera noté $\overline{\text{E}}$. La probabilité d'un évènement E sera notée $p$(E). \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $p(\text{G}) = \dfrac{7}{30}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu'il a perdu ? \item Un joueur fait quatre parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près. \item Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à $0,99$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d'argent : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] chaque joueur paie 1 \euro{} par partie; \item[$\bullet$] si le joueur gagne la partie, il reçoit 5 \euro ; \item[$\bullet$] si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l'issue d'une partie. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$ et son espérance E($X$). \item On dit que le jeu est favorable à l'organisateur si E($X) < 0$. Le jeu est-il favorable à l'organisateur ? \end{enumerate} \item L'organisateur décide de modifier le nombre $n$ de jetons noirs ($n$ entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc. Pour quelles valeurs de l'entier $n$ le jeu est-il défavorable à l'organisateur ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France juin 2007} \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à $10 ^{-3}$ près.} \begin{enumerate} \item Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu'il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} a. \quad 0,4& b. \quad 0,04& c. \quad 0,1024 & d.\quad 0,2048\\ \end{tabularx} \item Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} a. \quad 0,043& b. \quad 0,275& c. \quad 0,217 & d. \quad 0,033\\ \end{tabularx} \item Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} a. \quad 0,100& b. \quad 0,091& c. \quad 0,111 & d. \quad 0,25\\ \end{tabularx} \item Un tireur sur cible s'entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30 centimètres. On admet que la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} a. \quad $\dfrac{5}{9}$ & b. \quad $\dfrac{9}{14}$& c. \quad $\dfrac{4}{7}$& d. \quad $\dfrac{1}{3}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Etranger_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2007} \emph{Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions \text{A,~ B} ou \text{C} est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point . (Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. \begin{enumerate} \item On tire au hasard simultanément 3 boules de l'urne. \begin{enumerate} \item La probabilité de tirer 3 boules noires est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A~~$\dfrac{1}{56}$&B~~$\dfrac{1}{120}$&C~~$\dfrac{1}{3}$\\ \end{tabularx} \item La probabilité de tirer 3 boules de la même couleur est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A.~~ $\dfrac{11}{56}$& B.~~ $\dfrac{11}{120}$& C.~~ $\dfrac{16}{24}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \item On tire au hasard une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. \begin{enumerate} \item La probabilité d'obtenir 5 fois une boule noire est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A.~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^3$& B.~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^5$&C.~~$\left(\dfrac{1}{5}\right)^5$\\ \end{tabularx} \item La probabilité d'obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A.~~$\left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$& B.~~$2 \times \dfrac{5}{8} + 3 \times \dfrac{3}{8}$&C.~~$10 \times \left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \item On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item R$_{1}$ l'évènement : \og La première boule tirée est rouge \fg{} ; \item N$_{1}$ l'évènement : \og La première boule tirée est noire \fg{} ; \item R$_{2}$ l'évènement : \og La deuxième boule tirée est rouge \fg{}; \item N$_{2}$ l'évènement : \og La deuxième boule tirée est noire \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item La probabilité conditionnelle $P_{\text{R}_{1}}\left(\text{R}_{2}\right)$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A.~~$\dfrac{5}{8}$& B.~~$\dfrac{4}{7}$& C.~~$\dfrac{5}{14}$\\ \end{tabularx} \item La probabilité de l'évènement R$_{1} \cap \text{N}_{2}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A.~~$\dfrac{16}{49}$& B.~~$\dfrac{15}{64}$& C.~~$\dfrac{15}{56}$\\ \end{tabularx} \item La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A.~~$\dfrac{5}{8}$& B.~~$\dfrac{5}{7}$& C.~~$\dfrac{3}{28}$\\ \end{tabularx} \item La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu'on a obtenu une boule noire au second tirage est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A.~~$\dfrac{15}{56}$& B.~~$\dfrac{3}{8}$& C.~~$\dfrac{5}{7}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Asie juin 2007} Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 92\:\% des jouets sont sans défaut de finition ; \item[$\bullet~$] parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95\:\% réussissent le test de solidité; \item[$\bullet~$] 2\:\% des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] F l'évènement : \og le jouet est sans défaut de finition \fg ; \item[$\bullet~$] S l'évènement : \og le jouet réussit le test de solidité \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités. \item Démontrer que $p_{\overline{\text{F}}}\left(\overline{\text{S}}\right) = \dfrac{1}{4}$. \item Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation. \end{enumerate} \item Calcul de probabilités. \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(\text{S}) = 0,934$. \item Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième,) \end{enumerate} \item Étude d'une variable aléatoire $B$. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10~\euro, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de $5$~\euro. On désigne par $B$ la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $B$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$. \end{enumerate} \item Étude d'une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu'au moins 8~jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane juin 2007} \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte aux questions $1$ et $2$ rapporte \nombre{0,5} point et à la question $3$ rapporte $1$ point. \\ Une réponse inexacte enlève \nombre{0,25} point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.[2ex] } On s'intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d'une boïte de vitesses automatique. Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte. L'usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2. Le sous-traitant S1 produit 80~\% des pièces de type P1 et 40~\% de pièces de type P2. Le sous-traitant S2 produit 20~\% des pièces de type P1 et 60~\% de pièces de type P2. \begin{enumerate} \item Un employé de l'usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type. Il tire une pièce au hasard. \begin{enumerate} \item La probabilité que ce soit une pièce P1 est \[\nombre{0,8}\qquad\qquad\nombre{0,5}\qquad\qquad\nombre{0,2}\qquad\qquad\nombre{0,4}\qquad\qquad\nombre{0,6}\] \item La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu'elle vienne de S1 est \[\nombre{0,1}\qquad\qquad\nombre{0,2}\qquad\qquad\nombre{0,3}\qquad\qquad\nombre{0,4}\qquad\qquad\nombre{0,5}\] \item La probabilité qu'elle vienne de S1 est \[\nombre{0,2}\qquad\qquad\nombre{0,4}\qquad\qquad\nombre{0,5}\qquad\qquad\nombre{0,6}\qquad\qquad\nombre{0,8}\] \end{enumerate} \item Il y a 200 pièces au total. Cette fois l'employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables. \begin{enumerate} \item Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est : \[\nombre{0,1588}\qquad\qquad \nombre{0,2487}\qquad\qquad \nombre{0,1683}\qquad\qquad \nombre{0,0095}\] \item Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est : \[ \nombre{0,5000}\qquad\qquad \nombre{0,2513}\qquad\qquad \nombre{0,5025}\] \item La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est : \[\dfrac{357}{995}\qquad\qquad \dfrac{103}{199}\qquad\qquad \dfrac{158}{995}\] \end{enumerate} \item La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre $\lambda$ est donné dans le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $\lambda$ & P1 & P2\\ \hline S1 & \nombre{0,2} & \nombre{0,25}\\\hline S2 & \nombre{0,1} & \nombre{0,125}\\\hline \end{tabularx} \end{center} On rappelle que si $X$, durée de vie d'une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^t\lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{d}x$. Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est : \[ \nombre{0,3679}\qquad\qquad \nombre{0,6321}\] \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2007} Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties. La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] s'il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ; \item[$\bullet~$] s'il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On appelle : $\text{E}_{1}$ l'évènement \og le joueur perd la première partie\fg ; $\text{E}_{2}$ l'évènement \og le joueur perd la deuxième partie\fg ; $\text{E}_{3}$ l'évènement \og le joueur perd la troisième partie \fg. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$? \item Montrer que la probabilité de l'évènement $(X = 2)$ est égale à 0,031 et que celle de l'évènement $(X= 3)$ est égale à 0,002. \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $E_{n}$ l'évènement : \og le joueur perd la $n$-ième partie \fg, $\overline{E_{n}}$ l'évènement contraire, et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. \begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, les probabilités des évènements $E_{n}\cap E_{n+1}$ et $\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$ . \item En déduire que $p_{n+1} = 0,05p_{n} + 0,05$ pour tout entier naturel $n$ non nul. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{19}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Liban_mai2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban mai 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_mai2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban mai 2007} On considère deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. L'urne $U_{1}$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L'urne $U_{2}$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : \medskip Étape 1 : On tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$. \medskip Étape $n~ (n \geqslant 2$) : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n -1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$. \item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_{2}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{2}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note A l'évènement \og le tirage a lieu dans l'urne $U_{1}$ à l'étape $n$ \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité. On a donc $p_{1} =1$. \begin{enumerate} \item Calculer $p_{2}$. \item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8 p_{n} + 0,05$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Calculer $p_{3}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ entier naturel non nul, $p_{n} > 0,25$. \item Démontrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente vers un réel noté $\ell$. \item Justifier que $\ell$ vérifie l'équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$. En déduire la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_mars2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars_2007_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie mars 2007} \emph{Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question, l'absence de réponse est comptée $0$ point.\\ Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.} \medskip \textbf{A.} Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant. \textbf{Question 1} : La probabilité de tirer trois boules noires est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad \dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{8}{3}}$ &\textbf{b.} $\quad \dfrac{9}{8}$&\textbf{c.}$\quad \left(\dfrac{1}{2} \right)^3$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{4\times 3 \times 2}{8 \times 7 \times 6}$\\ \end{tabularx} \textbf{Question 2} : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu'il ait tiré 3 boules rouges est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad $0& \textbf{b.} $\quad \left(\dfrac{1}{8}\right)^3$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{23}{128}$& \textbf{d.} $\quad \dfrac{1}{92}$\\ \end{tabularx} \textbf{B.} Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 1] par $f(x) = x + m$ où $m$ est une constante réelle. \textbf{Question 3} : $f$ est une densité de probabilité sur l'intervalle [0 ; 1] lorsque \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad m=-1$&\textbf{b.}$\quad m=\dfrac{1}{2}$&\textbf{c.} $\quad m=\text{e}^{\frac{1}{2}}$&\textbf{d.} $\quad m = \text{e}^{-1}$\\ \end{tabularx} \textbf{C.} La durée de vie en années d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre $0,2$. \textbf{Question 4} : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.} $\quad 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{b.}$\quad \dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{1}{5\text{e}}$&\textbf{d.} $\quad \dfrac{1}{0,2}(\text{e} - 1)$\\ \end{tabularx} \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2006_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie novembre 2006} Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5\:\% de ce cheptel (ou 5 pour mille). \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ? \item \begin{enumerate} \item On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. \item On désigne par A l'évènement \og aucun animal n'est malade parmi les 10 \fg. On désigne par B l'évènement \og au moins un animal est malade parmi les 10 \fg. Calculer les probabilités de A et de B \end{enumerate} \item On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est $0,8$. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est $0,9$. On note T l'évènement \og avoir un test positif à cette maladie \fg{} et M l'évènement \og être atteint de cette maladie \fg. \begin{enumerate} \item Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé. \item Calculer la probabilité de l'évènement T. \item Quelle est la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_nov2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2006_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 2006} Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées. La probabilité pour qu'un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{4}$. La probabilité pour qu'un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{2}$. Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50~bulbes de tulipes. Soit $n$ un entier naturel vérifiant $0 \leqslant n \leqslant 50$. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item A : \og le jardinier a choisi le lot 1 \fg \item B : \og le jardinier a choisi le lot 2 \fg \item $J_{n}$ : \og le jardinier obtient $n$ tulipes jaunes \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot $1$. \begin{enumerate} \item Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot $1$ ? \item Quelle est l'espérance mathématique de cette loi? \item Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes, \item Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au millième du résultat. \end{enumerate} \item Probabilités conditionnelles \begin{enumerate} \item Montrer que : $P_{\text{B}}\left(J_{n}\right) = \binom{50}{n}2^{-50}$. \item En déduire la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes. \item On note $p_{n}$ la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que $J_{n}$ est réalisé. établir que : \[p_{n} = \dfrac{3^{50 - n}}{3^{50 - n} + 2^{ 50}}.\] \item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} \geqslant 0,9$ ? Comment peut-on interpréter ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2006_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2006} Une urne contient 4 houles blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. \begin{enumerate} \item On effectue trois tirages successifs au hasard d'une boule selon la procédure suivante: après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l'issue des trois tirages. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Calculer $P(X = 0)$. \item On se propose de déterminer maintenant $P(X = 1)$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage est égale à $\dfrac{8}{45}$. \item En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer $P(X = 1)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item On reprend l'urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. On effectue maintenant $n$ tirages successifs au hasard d'une boule dans l'urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne. Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. Soit N l'évènement : \og{}la $k$-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches{}\fg. Soit A l'évènement : \og{}on obtient une boule blanche dans chacun des $k - 1$ premiers tirages et une boule noire au $k$-ième{}\fg. Soit B l'évènement : \og{}on obtient une boule blanche dans chacun des $(n- k)$ derniers tirages{}\fg. Calculer $P(\text{A}),~ P_{\text{A}}(\text{B})$ et $P$(N). \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_sept2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2006_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Métropole septembre 2006} \emph{La scène se passe en haut d'une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu'entre deux plages, l'une à l'Est et l'autre à l'Ouest.} \textbf{ A -} Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l'une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu'il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0,8. Pour $i = 1$ ou $i = 2$, on note E$_{i}$ l'évènement : \og Le touriste se dirige vers l'Est le $i$-ème jour\fg~ et O$_{i}$ l'évènement : « Le touriste se dirige vers l'Ouest le $i$-ème jour ». \begin{enumerate} \item Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation. \item Déterminer les probabilités suivantes : $p(\text{E}_{1})$ ; $p_{\text{E}_{1}} (\text{O}_{2})$ ; $p(\text{E}_{1}\cap \text{E}_{2})$ . \item Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs. \end{enumerate} \medskip \textbf{B -} On suppose maintenant que $n$ touristes ($n \geqslant 3$) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces $n$ touristes veulent tous se baigner et chacun d'eux choisit au hasard et indépendamment des autres l'une des deux directions. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l'Est. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que $k$ touristes ($0\leqslant k\leqslant n$) partent en direction de l'Est. \item On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu'un touriste est \emph{heureux} s'il se retrouve seul sur une plage. \begin{enumerate} \item Peut-il y avoir deux touristes heureux? \item Démontrer que la probabilité (notée $p$) qu'il y ait un touriste \emph{heureux} parmi ces $n$ touristes vaut : $p=\dfrac{n}{2^{n-1}}$. \item \textbf{Application numérique :} Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu'il y ait un touriste heureux parmi les 10. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2006} On a posé à \nombre{1000} personnes la question suivante : \og Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? \fg. Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \backslashbox{Retards le 2\up{e} mois}{Retards le 1\up{er} mois}&0& 1& 2 ou plus& Total \\ \hline 0 & 262 & 212 & 73& 547 \\\hline 1 & 250 & 73 & 23& 346 \\\hline 2 ou plus & 60 & 33& 14& 107 \\\hline Total & 572 & 318& 110& \nombre{1000}\\ \hline \end{tabularx}\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un individu de cette population. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois, \item Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n'en a pas eu le premier mois. \end{enumerate} \item On souhaite faire une étude de l'évolution du nombre de retards sur un grand nombre $n$ de mois ($n$ entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si l'individu n'a pas eu de retard le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est 0,46. \item si l'individu a eu exactement un retard le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est 0,66. \item si l'individu a eu deux retards ou plus le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est encore 0,66. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $A_{n}$, l'évènement \og l'individu n'a eu aucun retard le mois $n$ \fg, $B_{n}$, l'évènement \og l'individu a eu exactement un retard le mois $n$ \fg, $C_{n}$, l'évènement \og l'individu a eu deux retards ou plus le mois $n$\fg. Les probabilités des évènements $A_{n},~ B_{n},~ C_{n}$ sont notées respectivement $p_{n},~ q_{n}$ et $r_{n}$. \begin{enumerate} \item Pour le premier mois $(n = 1)$, les probabilités $p_{1},~ q_{1}$ et $r_{1}$ sont obtenues à l'aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités $p_{1},~ q_{1}$ et $r_{1}$. \item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_{n},~ q_{n}$, et $r_{n}$. On pourra s'aider d'un arbre. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - 0,2 p_{n} + 0,66$. \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_{n} = p_{n} - 0,55$. Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2006} \textbf{Première partie} \medskip Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x \:\text{d}x$. \medskip \textbf{Deuxième partie} \medskip La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OI}},~ \vect{\text{OJ}}\right)$, la ligne courbe $\mathcal{C}$ reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$. Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l'indique la figure ci-dessous. Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l'extérieur de la cible, soit l'une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe $\mathcal{C}$. \bigskip \begin{center} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(1,2.71828) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psframe(1,2.71828) \psplot{0}{1}{ 2.71828 x exp x mul} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[ul](0,2.71828){N} \uput[ur](1,2.71828){M} \uput[u](0.6,0.45){partie A} \uput[u](0.2,2){partie B} \end{pspicture} \end{center} Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l'extérieur de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ et que les probabilités d'atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives. \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité d'atteindre la partie A est égale à $\dfrac{1}{2\text{e}}$. Quelle est la probabilité d'atteindre la partie B? \item On lance de manière indépendante trois fléchettes. \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de $X$. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique. \item Soit E l'évènement : \og Exactement deux fléchettes atteignent la partie A \fg. Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E. \item Soit F l'évènement : \og les trois fléchettes atteignent la partie B \fg. Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte). Sachant qu'aucune fléchette n'a atteint l'extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ? \end{enumerate} \item On lance cette fois de manière indépendante $n$ fléchettes. \begin{enumerate} \item Déterminer en fonction de $n$ la probabilité $p_{n}$ pour qu'au moins une des fléchettes atteigne la partie A. \item Déterminer le plus petit naturel $n$ tel que $p_{n} \geqslant 0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France juin 2006} \begin{enumerate} \item Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité $0,2$ de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ? \item Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ? \item Quelle est la probabilité $p_{n}$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon ? \item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} > 0,99$ ? \end{enumerate} \item Ce tireur participe au jeu suivant : Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit $k$ le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à $k$ tirs pour crever le ballon. Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à \nombre{0,4096} (on pourra utiliser un arbre pondéré). \item Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s'il est bien équilibré ou s'il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Face $k$&1 &2 &3 &4\\ \hline Nombre de sorties de la face $k$& 58 &49 &52 &41\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les fréquences de sorties $f_{k}$ observées pour chacune des faces. \item On pose $d^2 = \Sigma_{k = 1}^{4} \left(f_{k} - \dfrac{1}{4}\right)^2$. Calculer $d^2$. \item On effectue maintenant \nombre{1000} simulations des 200 lancers d'un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre $d^2$. On obtient pour la série statistique des \nombre{1000} valeurs de $d^2$ les résultats suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Minimum &D$_{1}$&Q$_{1}$&Médiane&Q$_{3}$&D$_{9}$&Maximum\\ \hline \nombre{0,00124}&\nombre{0,00192}&\nombre{0,00235}&\nombre{0,00281}&\nombre{0,00345}&\nombre{0,00452}&\nombre{0,01015}\\ \hline \end{tabularx} \medskip Au risque de $10$\,\%, peut-on considérer que ce dé est pipé 7 \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Etranger_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2006} On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pour $k \in \{1~;~2~;~3~;~4)$, on note $p_{i}$ la probabilité d'obtenir le nombre $k$ sur laface cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres $p_{1},~p_{2},~p_{3}$ et $p_{4}$ dans cet ordre, forment une progression arithmétique. \begin{enumerate} \item Sachant que $p_{4} = 0,4$ démontrer que $p_{1}= 0,1,~p_{2} = 0,2$ et $p_{3} = 0,3$. \item On lance le dé trois lois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ? \end{enumerate} \item On lance $10$ fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note $X$ la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu. \begin{enumerate} \item Pour $1 \leqslant i \leqslant 10$, exprimer en fonction de $i$ la probabilité de l'évènement $(X = i$). \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat obtenu. \item Calculer la probabilité de l'évènement ($X \geqslant 1$). On donnera une valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On lance $n$ fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux. On note $U_{n}$ la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au $n$-ième lancer. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique et qu'elle est convergente. \item Calculer $S_{n} = \displaystyle\sum_{i = 1}^n U_{i}$ puis étudier la convergence de la suite $\left(S_{n}\right)$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 0,999$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Asie juin 2006} Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,7. Et s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est 0,8. Dans tout l'exercice, $n$ est un entier naturel non nul. On considère les évènements : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] G$_{n}$ : \og Pierre gagne la $n$-ième partie \fg. \item[$\bullet~$] P$_{n}$ : \og Pierre perd la $n$-ième partie \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On pose : $p_{n} = p(\text{G}_{n})$ et $q_{n} = p(\text{P}_{n})$. \begin{enumerate} \item Recherche d'une relation de récurrence. \begin{enumerate} \item Déterminer $p_{1}$ puis les probabilités conditionnelles $p_{\text{G}_{1}}(\text{G}_{2})$ et $p_{\text{P}_{1}}(\text{G}_{2})$. \item Justifier l'égalité $p_{n} + q_{n} = 1$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,2$. \end{enumerate} \item Étude de la suite $\left(p_{n}\right)$. On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n} = p_{n} - \dfrac{2}{5}$. \begin{enumerate} \item Prouver que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique et exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2006} \emph{Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. \\Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} \bigskip Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués \og oui \fg, 3 sont marqués \og non \fg{} et 3 sont marqués \og blanc \fg. Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite un bulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué \og~oui~\fg, le joueur reçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué \og non \fg, il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué \og blanc \fg, il reçoit 20 centimes d'euro. \begin{enumerate} \item[\textbf{Question 1}] Le jeu est : \begin{center} A : favorable au joueur \hspace{0,4cm} B : défavorable au joueur \hspace{0,4cm} C : équitable \end{center} \item[\textbf{Question 2}] Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué \og oui \fg{} est égale à \begin{center}A : $\dfrac{216}{625}$ \hspace{1cm} B : $\dfrac{544}{625}$ \hspace{1cm} C. $\dfrac{2}{5}$\end{center} Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne. \item[\textbf{Question 3}] : la probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à : \begin{center} A : $\dfrac{4}{15}$ \hspace{1cm} B : $\dfrac{11}{30}$ \hspace{1cm} C. $\dfrac{11}{15}$\end{center} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Liban_mai2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban mai 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_mai_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban mai 2006} La durée de vie d'un robot, exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda > 0$. Ainsi, la probabilité qu'un robot tombe en panne avant l'instant $t$ est égale à \[p( X \leqslant t) =\displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer $\lambda$, arrondi à $10^{-1}$ près, pour que la probabilité $p(X > 6)$ soit égale à 0,3. \textbf{Pour la suite de l'exercice, on prendra} \boldmath $\lambda = 0,2$ \unboldmath. \item À quel instant $t$, à un mois près, la probabilité qu'un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de $0,5$ ? \item Montrer que la probabilité qu'un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e$^{-0,4}$. \item Sachant qu'un robot n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ? \item On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2006} En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : \og La population testée comporte 50\:\% d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99\:\% des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1\:\% des cas \fg. \medskip On note $M$ l'évènement \og l'animal est malade \fg, $\overline{M}$ l'évènement contraire et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. \begin{enumerate} \item Déterminer $P(M),~ P_{M}(T),~ P_{\overline{M}}(T)$. \item En déduire $P(T)$. \item Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à $0,999$. Ce test est-il fiable ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_nov2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du sud novembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2005_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du sud novembre 2005} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à $0,02$. \textbf{Partie A} \medskip On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle $X$ le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-1}$ près. \item Quelle est la probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-2}$ près. \item Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ? \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On suppose que la durée de vie $T_{1}$ (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_{1} = 5 \times 10^{-4}$ et que la durée de vie $T_{2}$ (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_{2} = 10^{-4}$ (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous). \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à \nombre{1000} heures : \begin{enumerate} \item si ce composant est défectueux ; \item si ce composant n'est pas défectueux. Donner une valeur approchée de ces probabilités $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item Soit $T$ la durée de vie (en heures) d'un composant acheté au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après $t$ heures de fonctionnement est : \[P(T \geqslant t) = 0,02\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 0,98\text{e}^{-10^{-4}t}.\] (on rappelle que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02). \item Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner \nombre{1000} heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \textbf{Formulaire} Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre $\lambda$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ : Pour $0 \leqslant a \leqslant b,~ P\left([a~;~b]\right)= \displaystyle\int_{a}^b \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$. Pour $c \geqslant 0,~ P\left([c~ ;~+ \infty[\right) = 1 - \displaystyle\int_{0}^c \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$. \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2005_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie novembre 2005} \emph{Cet exercice comporte \textbf{deux parties indépendantes.}} La partie \textbf{I} est la démonstration d'un résultat de cours. La partie \textbf{II} est un Q.C.M. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie I} \textbf{Question de cours} \medskip Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants. Démontrer que $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie II} \medskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.\\ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse est comptée $0$ point. \\Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie \textbf{II} est ramenée à zéro.} \begin{enumerate} \item Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher. On extrait simultanément trois boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires et une boule rouge ? \[ \begin{array}{cccc} \boxed{A} \quad \dfrac{75}{512}&\boxed{B}\quad \dfrac{13}{56}&\boxed{C}\quad \dfrac{15}{64}&\boxed{D}\quad \dfrac{15}{28}\\ \end{array} \] \item Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d'une population. Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est $0,25$. Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ? \[ \begin{array}{cccc} \boxed{A} \quad \dfrac{1}{120}&\boxed{B}\quad \dfrac{3}{40}&\boxed{C}\quad \dfrac{1}{12}&\boxed{D}\quad \dfrac{4}{40}\\ \end{array} \] \item Un joueur lance une fois un dé bien équilibré. Il gagne 10~\euro{} si le dé marque 1. Il gagne 1 \euro{} si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de $X$ ? \[ \begin{array}{cccc} \boxed{A} \quad 2&\boxed{B}\quad 13&\boxed{C}\quad 16&\boxed{D}\quad 17\\ \end{array} \] \item La durée d'attente $T$, en minutes, à un péage d'autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{6}$. On a donc pour tout réel $t >0$ : $\displaystyle P(T{\centering \arraybackslash}X|}}\hline B&B&B&B&B&B&B&B&B&J&J&J&V&V&R \\\hline R&V&V&J&J&J&B&B&B&B&B&B&B&B&B\\ \hline \end{tabularx} \end{center}} \emph{La fléchette atteint toujours une case et une seule.} \emph{Les trente cases, blanches} (B), \emph{jaunes} (J), \emph{vertes} (V) \emph{ou rouges} (R), \emph{ont toutes la même probabilité d'être atteintes.} Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8~euros. Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5~euros. Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd $a$ euros, la lettre $a$ désigne un nombre réel positif. \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd). \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Calculer $a$ pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que l'espérance E($X$) soit nulle. \end{enumerate} \item Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement positif. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p$ qu'un joueur gagne ? \item Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ? \item Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en \textbf{2. b.} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France juin 2004} On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d'un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de $t$ semaines est \[p([0~;~ t[) = \int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x.\] Une étude statistique, montrant qu'environ $50\:\%$ d'un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser $p([0~;~ 200[) = 0,5$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{200}$. \item Quelle est la probabilité qu'un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près. \item On admet que la durée de vie moyenne $d_m$ de ces composants est la limite quand $A$ tend vers $+ \infty$ de $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \dfrac{- \lambda A\text{e}^{-\lambda A} - \text{e}^{- \lambda A} + 1}{\lambda}$. \item En déduire $d_m$ on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale ? la semaine près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Liban_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban juin 2004} Le personnel d'un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique). $12$\:\% des personnels sont des médecins et $71$\:\% sont des soignants. $67$\:\% des médecins sont des hommes et $92$\:\% des soignants sont des femmes. \vspace{0,3cm} \textbf{On donnera une valeur approchée de tous les résultats à} \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath \textbf{près.} \vspace{0,3cm} \begin{enumerate} \item On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'interroger une femme soignante ? \item Quelle est la probabilité d'interroger une femme médecin ? \item On sait que $80\:\%$ du personnel est féminin. Calculer la probabilité d'interroger une femme AT. En déduire la probabilité d'interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT. \end{enumerate} \item Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1]. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre $15$~min et $20$~min ? \item Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à $40$~personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu'il s'agit de 40 tirages successifs indépendants avec remise). Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2004} Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d'un oscilloscope est une variable aléatoire notée $X$ qui suit la \og loi de durée de vie sans vieillissement \fg{} (ou encore loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. Toutes les probabilités seront données à $10^{-3}$ près. \begin{enumerate} \item Sachant que $p(X > 10) = 0,286$, montrer qu'une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\lambda$ est $0,125$. On prendra $0,125$ pour valeur de $\lambda$ dans la suite de l'exercice. \item Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois. \item Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure dix ans ? \item On considère que la durée de vie d'un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu'au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure â 10 ans ? \item Combien l'établissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ? Rappel : \emph{Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0~;~ + \infty [$, dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement }: pour $0 \leqslant a \leqslant b,~ p([a~;~b]) = \displaystyle\int_a^b \lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t$ et pour $c \geqslant 0,~ p([c~;~+ \infty[) = 1 - \displaystyle\int_0^c \lambda \text{e}^{-\lambda t} \:\text{d}t$. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Pondichery_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Pondichéry juin 2004} Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U$_1$, U$_2$ et U$_3$ contenant chacune $k$ boules, où $k$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l'urne U$_1$, deux boules noires dans l'urne U$_2$ et une boule noire dans l'urne U$_3$, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé, $\bullet~$ s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_1$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_1$ ; $\bullet~$ s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_2$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_2$ ; $\bullet~$ si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_3$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_3$. On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants : A : \og Le dé amène le numéro 1. \fg B : \og Le dé amène un multiple de trois. \fg C : \og Le dé amène un numéro qui n'est ni le 1, ni un multiple de 3. \fg N : \og La boule tirée est noire.\fg \begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale à $\dfrac{5}{3k}$. \item Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire. \item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à $\dfrac{1}{2}$. \item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à $\dfrac{1}{30}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à $\dfrac{1}{30}$. Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres. Calculer, sous forme exacte puis arrondie à $10^{-3}$, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2004} Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. \begin{center}{Première partie} \end{center} Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B$_{1}$, contenant \nombre{6000} adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes, B$_{2}$, contenant \nombre{4 000} adresses, dont 200 sont erronées et \nombre{3800} sont exactes. \begin{enumerate} \item On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les \nombre{6 000} réalisées à l'aide de B$_{1}$. La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est : \[\text{A :} \dfrac{\binom{120}{3} + \binom{\nombre{5880}}{7}}{\binom{\nombre{6000}}{10}} \qquad \text{B :}~ \dfrac{3}{120}\] \[\text{C :}~ \binom{10}{3} \times {\binom{120}{\nombre{6000}}}^3 \times {\binom{\nombre{5880}}{\nombre{6000}}}^7 \qquad \text{D :}~ \binom{10}{3} \times {\binom{3}{120}}^3 \times {\binom{7}{5880}}^7\] \item Parmi les \nombre{10000} étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l'aide de B$_{1}$ est : \[\text{A :}~ 0,98 \qquad \text{B :}~ \dfrac{0,4 \times 0,95}{0,6 \times 0,98 + 0,6\times 0,02} \qquad \text{C :}~ 0,6 \times 0,98 \qquad \text{D :} ~ \dfrac{ 0,6 \times 0,98}{0,6 \times 0,98 + 0,4 \times 0,95}\] \end{enumerate} \begin{center}{Deuxième partie} \end{center} La durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ (loi exponentielle de paramètre $\lambda = \nombre{0,0005}$). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l'instant $t$ est : \[p\left([0~;~t[\right) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\: \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à \nombre{2500}~heures est : \[ \text{A :}~ \text{e}^{-\frac{\nombre{2500}}{\nombre{2000}}} \qquad \text{B :}~ \text{e}^{\frac{5}{4}} \qquad \text{C :}~ 1- \text{e}^{-\frac{\nombre{2500}}{\nombre{2000}}} \qquad \text{D :} ~ \text{e}^{-\frac{\nombre{2000}}{\nombre{2500}}}\] \item La durée de vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la formule : E $ = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \int_{0}^t \lambda x \text{e}^{- \lambda x} \: \text{d}x.$ \begin{enumerate} \item L'intégrale $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \lambda x \text{e}^{- \lambda x} \: \text{d}x$ est égale à : \[\text{A :}~ \lambda \dfrac{t^2}{2}\text{e}^{-\lambda t} \qquad \text{B :}~ - t \text{e}^{-\lambda t} - \dfrac{\text{e}^{-\lambda t}}{\lambda} + \dfrac{1}{\lambda} \qquad \text{C :}~ \lambda t \text{e}^{-\lambda t}- \lambda \text{e}^{-\lambda t} - \lambda \qquad \text{D :}~ t \text{e}^{-\lambda t} - \dfrac{\text{e}^{-\lambda t}}{- \lambda}\] \item La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est : \[\text{A :}~ \nombre{3500} \qquad \text{B :}~ \nombre{2000} \qquad \text{C :}~ \nombre{2531,24} \qquad \text{D :}~ \nombre{3000}\] \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_nov2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 2003} Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement $-1,~ 0,~ 0,~ 1$ et indiscernables au toucher. On tire un jeton du sac, on note son numéro $x$ et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro $y$ et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro $z$ et on le remet dans le sac. Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés. À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{} le point $M$ de coordonnées $(x,~y,~z)$. Sur le graphique joint en annexe, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point $M$. Les coordonnées du point A sont $(1~;~-1~;~-1)$ dans le repère \Oijk. On note $\mathcal{C}$ le cube ABCDEFGH. \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que le point $M$ soit en A est égale à $\dfrac{1}{64}$. \item On note E$_1$ l'évènement : \og $M$ appartient à l'axe des abscisses \fg. Démontrer que la probabilité de E$_1$ est égale à $\dfrac{1}{4}$. \item Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par O et orthogonal au vecteur $\vect{n} (1~;~1~;~1)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. \item Tracer en couleur sur le graphique de l'annexe, la section du plan $\mathcal{P}$ et du cube $\mathcal{C}$. (On ne demande pas de justification). \item On note E$_2$ l'évènement : \og $M$ appartient à $\mathcal{P}$ \fg. Quelle est la probabilité de l'évènement E$_2$ ? \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{B}$ la boule de centre O et de rayon 1,5 (c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que O$M \leqslant 1,5$). On note E$_3$ l'évènement : \og $M$ appartient à la boule $\mathcal{B}$ \fg. Déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Cette page ANNEXE sera complétée et remise avec la copie} \vspace{3cm} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-6.3,-6.1)(6.3,6.1) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(4.7,-0.35) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(-1.6,-0.9) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,4.9) \psline(3.2,-6)(3.2,3.7)(6.3,5.4) \psline(-6.3,-5.4)(3.2,-6)(6.3,-4.4)(6.3,5.4)(-3.2,6)(-6.3,4.3)(-6.3,-5.4) \psline(4.7,-5.2)(4.7,4.5)(-4.7,5.2)%ici \psline(-6.3,-0.5)(3.2,-1.2)(6.3,0.5) \psline(3.2,3.7)(-6.3,4.3) \psline(-1.55,-5.75)(-1.55,4)(1.55,5.75) \psline[linestyle=dotted](4.7,-5.3)(-4.7,-4.5)(-4.7,5.2) \psline[linestyle=dotted](-4.7,0.3)(0,0) \psline[linestyle=dotted](6.3,-4.4)(-3.2,-3.7)(-3.2,6) \psline[linestyle=dotted](-1.55,-5.8)(1.5,-4)(1.5,5.7) \psline[linestyle=dotted](0,0)(0,-4.9) \psline[linestyle=dotted](-6.3,-0.5)(-3.2,1.2)(6.3,0.5) \psline[linestyle=dotted](-6.3,-5.4)(-3.2,-3.7) \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.5,0.9) \uput[ul](0,0){O} \uput[dl](-6.3,-5.4){A} \uput[dr](3.2,-6){B} \uput[dr](6.3,-4.4){C} \uput[ul](-3.2,-3.7){D} \uput[ul](-6.4,4.3){E} \uput[u](3.2,3.7){F} \uput[ur](6.3,5.4){G} \uput[u](-3.2,6){H} \uput[u](-1,-0.6){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[u](2.4,0){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[r](0.2,3){$\overrightarrow{k}$} \qdisk(-4.7,0.3){2pt} \qdisk(-3.2,1.2){2pt} \qdisk(1.5,0.9){2pt} \qdisk(-3.2,-3.7){2pt} \qdisk(-4.7,-4.5){2pt} \qdisk(0,-4.9){2pt} \qdisk(1.5,-4){2pt} \qdisk(4.7,-0.3){2pt} \qdisk(4.7,-5.25){2pt} \qdisk(-1.55,-5.7){2pt} \end{pspicture} \end{center} \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie novembre 2003} On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour $n$ scooters franchissant le carrefour durant une année ($n$ est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire $S_n$ qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l'espérance mathématique de $S_n$ notée E$(S_n)$ est égale â 10. Soit $p$ la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée. \begin{enumerate} \item Calculer $p$, puis justifier l'égalité P$\left(S_n = k\right) = {n \choose k} \left(\dfrac{10}{n}\right)^k \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^{n-k}$ où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k \leqslant n$. \item \begin{enumerate} \item Établir l'égalité $\ln \left[\text{P}(S_n = 0)\right] = -10 \times \dfrac{\ln \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)}{\dfrac{-10}{n}}$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien ; en déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = 0\right) = \text{e}^{-10}$. \item Démontrer que P$\left(S_n =k+1\right) = \text{P}\left(S_n = k\right) \times \dfrac{n-k}{n-10} \times \dfrac{10}{k+1}$, où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k \leqslant n - 1$. \item Démontrer que si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$, alors on a également $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k+1\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^{k+1}}{(k+1)!}$ pour $0 \leqslant k+1 \leqslant n$. \item Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l'entier naturel $k$ que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k \leqslant n$. \end{enumerate} \item On suppose que le nombre $n$ est suffisamment grand pour que l'on puisse admettre que $\text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ est une approximation acceptable de P$\left(S_n = k \right)$. Utiliser cette approximation pour calculer à $10^{-4}$ près la probabilité pour qu'au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_sept2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles--Guyane septembre 2003} Une association organise des promenades en montagne. Douze guides em\-mènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L'été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s'inscrire la veille de la promenade. Mais l'expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est égale à $\dfrac{1}{8}$. On admettra que les groupes inscrits se présentent indépendamment les uns des autres. \textsl{Les probabilités demandées seront arrondies au} $100\up{e}$ \textsl{le plus proche}. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21. \item On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d'un mois de 30 jours. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Donner la signification des évènements $X = 30$ puis $X = 0$ et calculer la probabilité de ces évènements. Préciser l'espérance mathématique E($X$) Quelle signification peut-on donner à ce résultat ? \item Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade. Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l'association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la journée. On nomme $S$ la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l'association un jour donné. Calculer la probabilité de l'évènement $[S = 11]$. Préciser l'espérance mathématique de $S$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l'association décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. Évidemment si les 13 groupes inscrits se présentent, le $13\up{e}$ groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement entraîne une dépense de 2 Crédits à l'association. Quelle est a probabilité P$_{13}$ qu'un jour donné il n'y ait pas de désis\-te\-ment, c'est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade ? \item Soit $R$ la variable aléatoire égale au coût de l'activité de substitution. Préciser la loi de la variable aléatoire $R$ et calculer son espérance mathématique. \item Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est : \[ \left(\displaystyle\sum_{k=0}^{13} k \cdot \dbinom{k}{13} \left(\dfrac{7}{8}\right)^k \left(\dfrac{1}{8}\right)^{13-k}\right) - 2 \text{P}_{13}.\] Calculer ce gain. \item La décision du dirigeant est-elle rentable pour l'association ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_sept2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France septembre 2003} Un commerce possède un rayon \og journaux \fg{} et un rayon \og souvenirs \fg. À la fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon \og journaux \fg{} contient 3 fois plus de pièces de $1$~\euro~ que celle du rayon \og souvenirs \fg. Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face differe et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40\: \% des pièces de 1~\euro~ dans la caisse du rayon \og souvenirs \fg{} et 8\:\% de celle du rayon \og journaux \fg{} portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira \og face étrangère \fg). \begin{enumerate} \item Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse \og souvenirs \fg. On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face \og étrangère \fg. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité qu'exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère. \item Calculer la probabilité qu'au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère. \end{enumerate} \item Les pièces de 1 \euro~ issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac. On prélève au hasard une pièce du sac. On note S l'évènement \og la pièce provient de la caisse souvenirs \fg{} et E l'évènement \og la pièce porte une face étrangère \fg. \begin{enumerate} \item Déterminer P(S), P$_{\text{S}}$(E) ; en déduire P(S $\cap$ E). \item Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16. \item Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu'elle provienne de la caisse \og souvenirs \fg. \end{enumerate} \item Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16. Le collectionneur prélève $n$ pièces ($n$ entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise. Calculer $n$ pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2003} \emph{Cet exercice est un questionnaire ˆà choix multiples constituŽé de six questions : chacune comporte trois rŽéponses, une et une seule Žtant exacte.} \emph{Les rŽéponses ˆà cet exercice sont ˆà inscrire dans la feuille jointe en annexe, en cochant pour chaque question la case correspondante ˆà la réponse proposée.} \emph{Toute rŽéponse ambigüe sera considŽérŽée comme une absence de rŽéponse. Toute rŽéponse exacte entra”îne une bonification, toute erreur est pŽénalisŽée.} \medskip On s'intéresse ˆà la durŽée de vie, exprimŽée en annŽées, d'un appareil mŽénager avant la première panne. On peut modŽéliser cette situation par une loi de probabilitŽé $p$ de durée de vie sans vieillissement, définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Ainsi, la probabilitŽé d'un intervalle [$0~;~t$[, notŽée $p([0~;~t[)$, est la probabilitŽé que l'appareil mŽénager tombe en panne avant l'instant $t$. Cette loi est telle que $p([0~;~t[) = \displaystyle\int_0^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$, où $t$ est un nombre rŽéel positif reprŽésentant le nombre d'annŽées (loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda~>~0$). \begin{enumerate} \item Pour $t \geqslant 0$, la valeur exacte de $p([t~;~ +\infty [)$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{6}{X}} \textbf{a.}& $1 - \text{e}^{-\lambda t}$& \textbf{b.}& $\text{e}^{-\lambda t}$ &\textbf{c.}& $1 + \text{e}^{-\lambda t}$\\ \end{tabularx} \end{center} \item La valeur de $t$ pour laquelle on a $p([0~;~t[) = p ([t~;~+\infty[)$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{6}{X}} \textbf{a.}& $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$& \textbf{b.}& $\dfrac{\lambda}{\ln 2}$&\textbf{c.}& $\dfrac{\lambda}{2}$\\ \end{tabularx} \end{center} \item D'après une Žétude statistique, la probabilitŽé que l'appareil tombe en panne avant la fin de la première annŽée est 0,18. La valeur exacte de $\lambda$ est alors : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{6}{X}} \textbf{a.}& $\ln \left(\dfrac{50}{41}\right)$& \textbf{b.}& $\ln \left(\dfrac{41}{50}\right)$& \textbf{c.}& $\dfrac{\ln (82)}{\ln (100)}$\\ \end{tabularx} \end{center} \item Sachant que cet appareil n'a connu aucune panne au cours des deux premières annŽées après sa mise en service, la probabilitŽé qu'il ne connaisse aucune panne l'année suivante est : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{6}{X}} \textbf{a.}& $p ([1~;~+ \infty[)$& \textbf{b.}& $p ([3~;~+ \infty[)$& \textbf{c.}& $p ([2~;~3 [$\\ \end{tabularx} \end{center} Dans la suite de l'exercice on prendra $\lambda = 0,2$. \item La probabilité que l'appareil n'ait pas eu de panne au cours des trois premières annŽées, arrondie ˆà $10^{-4}$ près, est : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{6}{X}} \textbf{a.}& $0,552\:3$& \textbf{b.}& $0,548\:8$& \textbf{c.}& $0,451\:2$\\ \end{tabularx} \end{center} \item Dix appareils neufs de ce type ont Žété mis en service en même temps. On dŽésigne par $X$ la variable alŽatoire Žégale au nombre d'appareils qui n'ont pas de panne au cours des trois premières annŽées. La valeur la plus proche de la probabilitŽé de l'ŽévèŽnement \og $X = 4$ \fg{} est : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{6}{X}} \textbf{a.}& $0,555\:5$& \textbf{b.}& $0,802\:2$& \textbf{c.} & $0,160\:7$\\ \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles juin 2003} Une entreprise A est spŽécialisŽée dans la fabrication en sŽérie d'un article ; un contrô™le de qualitŽé a montré que chaque article produit par l'entreprise A pouvait prŽésenter deux types de dŽéfaut : un dŽéfaut de soudure avec une probabilitŽé Žégale àˆ 0,03 et un dŽéfaut sur un composant Žélectronique avec une probabilitŽé Žégale ˆà $0,02$. Le contr™ôle a montré aussi que les deux dŽéfauts Žétaient indŽépendants. Un article est dit dŽéfectueux s'il présente au moins l'un des deux dŽéfauts. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilitŽé qu'un article fabriqué par l'entreprise A soit dŽéfectueux est Žégale ˆà \nombre{0,0494}. \item Une grande surface reçoit 800 articles de l'entreprise A. Soit $X$ la variable alŽéatoire qui ˆà cet ensemble de 800 articles associe le nombre d'articles dŽéfectueux. \begin{enumerate} \item Définir la loi de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Quel est le sens de ce nombre ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Un petit commerçant passe une commande de 25 articles ˆ à l'entreprise A. Calculer, àˆ $10^{-3}$ près, la probabilitŽé qu'il y ait plus de 2 articles dŽéfectueux dans sa commande. \item Il veut que sur sa commande la probabilitŽé d'avoir au moins un article dŽéfectueux reste inférieure ˆà 50\:\%. DŽéterminer la valeur maximale du nombre $n$ d'articles qu'il peut commander. \end{enumerate} \item La variable aléatoire, qui ˆà tout article fabriqué par l'entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre \nombre{0,0007}, c'est-àˆ-dire de densité de probabilité la fonction $f$ dŽéfinie sur $[0~;~ + \infty[$ par : \[f(x) = \nombre{0,0007}\text{e}^{-\nombre{0,0007}x}.\] Calculer la probabilité, ˆà $10^{-3}$ près, qu'un tel article ait une durŽée de vie comprise entre 700 et \nombre{1000}~jours. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Etranger_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2003} Une entreprise d'autocars dessert une rŽégion montagneuse. En chemin, les vŽéhicules peuvent être bloquŽés par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la prŽésence de troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepô™t. On note $D$ la variable alŽatoire qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'ˆà ce qu'il survienne un incident. On admet que $D$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$, appelŽée aussi loi de durée de vie sans vieillissement. On rappelle que la loi de probabilitŽé est alors définie par : \[p(D \leqslant A) = \displaystyle\int_0^A \dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x.\] Dans tout l'exercice, les rŽésultats numériques seront arrondis au millime. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitŽé que la distance parcourue sans incident soit : \begin{enumerate} \item comprise entre 50 et 100 km ; \item supŽérieure ˆ 300 km. \end{enumerate} \item Sachant que l'autocar a dŽéjˆà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilitŽé qu'il n'en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ? \item Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident. \begin{enumerate} \item Au moyen d'une intŽégration par parties, calculer I$(A) = \displaystyle\int_0^A \dfrac{1}{82}x\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x$ où $A$ est un nombre rŽéel positif. \item Calculer la limite de I$(A)$ lorsque $A$ tend vers $+ \infty$. (Cette limite reprŽésente la distance moyenne cherchée). \end{enumerate} \item L'entreprise possède N$_0$ autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l'entrep™ôt et le lieu où survient un incident sont des variables alŽéatoires deux ˆ deux indŽépendantes et de même loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$. $d$ Žtant un rŽéel positif, on note $X_d$ la variable aléatoire Žégale au nombre d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres. \begin{enumerate} \item Montrer que $X_d$ suit une loi binomiale de paramètres N$_0$ et e$^{-\lambda d}$. \item Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2003} Cet exercice comporte 3 questions indŽépendantes. Une question comporte 4 affirmations repŽérŽées par les lettres a, b, c et d. Aucune justification n'est demandŽée pour cet exercice. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse. Vous inscrirez en toutes lettres \og VRAI \fg{} ou \og FAUX \fg{} dans la case correspondante du tableau donné en annexe ˆà rendre avec la copie. \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L'expérience Žélémentaire consiste ˆà tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilitŽé d'être tirŽées. On effectue $n$ tirages indŽépendants et avec remise, $n$ dŽésignant un entier supérieur ˆà 10. Soit $X$ la variable alŽéatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirŽées. \begin{enumerate} \item $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{4}$. \item P($X = 0) = \dfrac{1}{2^{2n}}$ \item P($ X < 5) = 1 - \text{P}(X > 5)$ \item E($X) = 0,75n$ \end{enumerate} \item Une maladie atteint 1\:\% d'une population donnée. Un test de dŽépistage de cette maladie a les caractŽéristiques suivantes : $\bullet$~Chez les individus malades, 99\:\% des tests sont positifs et 1\:\% sont nŽégatifs. $\bullet$~Chez les individus non malades, 98\:\% des tests sont nŽégatifs (les autres Žétant positifs). Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test. On note M l'évènement : \textbf{l'individu est malade} et T l'Žévènement : \textbf{le test pratiquŽé est positif}. \begin{enumerate} \item P$_{\text{M}}(\text{T}$) + P$_{\overline{\text{M}}}(\text{T}) = 1,01$. \item P$_{\text{M}}(\text{T}$) + P$_{\overline{\text{M}}}(\text{T}$) = P(T) \item P(T) = $2,97 \cdot 10^{-2}$ \item Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l'individu testŽé ne soit pas malade. \end{enumerate} \item La durŽée d'attente en seconde deˆ la caisse d'un supermarchŽé est une variable alŽéatoire $Y$ qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01. Alors : \begin{enumerate} \item La densitŽé de probabilitŽé de $Y$ est la fonction $f$ dŽéfinie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $f(t) = \text{e}^{-0,01t}$ \item Pour tout réel $t$ positif, P($Y \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-0,01t}$ \item La probabilitŽé d'attendre moins de 3 minutes àˆ cette caisse est, à ˆ 0,01 près, Žégale àˆ 0,16. \item Il y a plus d'une chance sur deux que l'attente à cette caisse soit supŽérieure àˆ une minute. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Liban_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban juin 2003} Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou Žégal ˆà 2. On rŽépète $n$ fois l'Žépreuve qui consiste ˆà tirer une boule puis ˆ la remettre dans l'urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilitŽé d'être tirŽées et que les tirages sont indŽépendants. On note $p_n$, la probabilitŽé de tirer exactement une boule blanche lors des $n - 1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n$-ième tirage. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilitŽés $p_2,~p_3$ et $p_4$. \item On considère les Žévènements suivants : $B_n$ : \og On tire une boule blanche lors du $n$-ième tirage \fg, $U_n$ : \og On tire une boule blanche et une seule lors des $n - 1$ premiers tirages \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitŽé de l'Žévènement $B_n$. \item Exprimer la probabilitŽ de l'Žévènement $U_n$ en fonction de $n$. \item En dŽéduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$ et vŽérifier l'ŽégalitŽé : \[p_n = \dfrac{n-1}{4} \times \left( \dfrac{2}{3}\right)^n.\] \end{enumerate} \item On pose : $S_n = p_2 + p_3 + \cdots + p_n$. \begin{enumerate} \item DŽémontrer par rŽécurrence que pour tout entier naturel $n$ supŽérieur ou Žégal ˆà 2, on a : \[S_n = 1 - \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n.\] \item DŽéterminer la limite de la suite $(S_n)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2003} \textbf{Partie A} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk , on considère les points A, B, C et D de coordonnŽées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B($2\sqrt{2}~ ;~ 0~ ;~ - 1$), C($- \sqrt{2}~; - \sqrt{6}~ ; -1$),~ D($- \sqrt{2}~ ;~ \sqrt{6}~ ; -1$). \begin{enumerate} \item DŽémontrer que ABCD est un tétraèdre rŽégulier, c'est-ˆà-dire un tŽétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur. \item On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; dŽémontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O. \item Ce parallŽélogramme a-t-il des propriŽétés supplŽémentaires ? Expliquer. \begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5) \psline(0,1)(2.6,5.4)(4.6,1.3)(2,0.3)(0,1) \psline(2.6,5.4)(2,0.3) \psline{->}(2.9,2.4)(2.5,1.8) \psline{->}(2.9,2.4)(3.5,2.4) \psline{->}(2.9,2.4)(2.9,2.9) \psline[linestyle=dashed](0,1)(4.6,1.3) \uput[l](0,1){C} \uput[ur](2.6,5.4){A} \uput[r](4.6,0.3){D} \uput[d](2,0.3){B} \uput[u](2.7,2.3){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[d](3.2,2.4){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[r](2.8,2.65){$\overrightarrow{k}$} \end{pspicture}\end{center} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On dispose de trois tŽétraèdres identiques au prŽécŽédent, parfaitement ŽéquilibrŽés. Chacun d'eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tŽétraèdres simultanŽément (on remarquera que, lorsqu'on lance un tel tŽétraèdre, une seule face est cachŽée et trois faces sont visibles). \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitŽé pour qu'au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tŽétraèdres. \item Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre. \item Calculer la probabilitŽé de l'Žévènement E \og les six faces rouges sont visibles \fg. \item On rŽépète $n$ fois l'expŽérience qui consiste ˆà lancer les trois tŽétraèdres. Calculer la probabilitŽé $p_{n}$ pour que l'ŽévŽènement E soit rŽéalisŽé au moins une fois. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n$. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_mars2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie mars 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2003_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie mars 2003} Une sociétŽé de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adaptŽé à ses services. On note, pour $n$ entier naturel non nul, $I_{n}$ l'Žévènement \og La sociŽété intervient durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur \fg{} et $p_{n} = p(I_{n})$ la probabilité de l'Žévènement $I_{n}$. Le bureau d'Žétude a mis en évidence les rŽésultats suivants pour une entreprise dŽéterminŽée : $\bullet~p (I_{1}) = p_{1} = 0,75.$ $\bullet~$ Sachant qu'i! y a eu une intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilitŽé d'intervention le mois suivant est Žégale à $0,04$. $\bullet~$ Sachant qu'iI n'y a pas eu d'intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilitŽé d'intervention le mois suivant est Žégale à $0,64$. On rappelle que $\overline{\text{A}}$ est l'Žévènement contraire de l'Žévènement A et que $p_{\text{B}}$(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est rŽéalisé. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Partie 1}} \begin{enumerate} \item Préciser $p_{I_{n}}\left(I_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{I_{n}}}\left(I_{n+1}\right)$ puis calculer $p\left(I_{n+1} \cap I_{n}\right)$ et $p\left(I_{n+1} \cap \overline{I_{n}}\right)$ en fonction de $p_{n}\quad \left(n \in \N^*\right)$. \item En déduire $p_{n + 1} = - 0,6p_{n} + 0,64$. \item On considère la suite $(q_{n})$ définie sur $\N^*$ par : $q_{n} = p_{n} - 0,4$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $(q_{n})$ est une suite gŽéométrique. \item En déduire $q_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Donner une valeur approchée de $p_{6}$ à $10^{-3}$ près par excès. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Partie 2}} Le même mois, la sociŽété de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau. On estime que la probabilitŽé d'intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à $0,373$. Donner, à $10^{-3}$ près par excès, la probabilitŽé qu'il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les diffŽérentes entreprises sont des Žévènements indŽépendants). \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_dec2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud décembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_dec2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Sud décembre 2002} Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. \begin{enumerate} \item On dispose d'un dŽé à ˆ 6 faces, parfaitement Žéquilibré, numérotŽé de 1 ˆà 6. On le lance une fois ; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de l'urne B. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'obtenir une boule noire. \item Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilitŽé de sortir ? \item Quelle est la probabilité que la boule tirŽée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ? \end{enumerate} \vspace{0,3cm} \item On rŽéunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l'on pose ˆ chaque fois devant l'urne. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilitŽé de l'Žévènement \og la $3^{\text{e}}$ boule tirŽée est noire \fg{} vaut $\dfrac{1}{4}$. \item Certains pensent que l'Žévènement \og la première boule tirŽée est noire~\fg{} a une probabilité supérieure àˆ l'Žévènement \og la troisième boule tirŽée est noire~\fg. Est-ce vrai ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie novembre 2002} Un jeu consiste ˆà tirer simultanŽément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont Žéquiprobables. Si les trois boules tirŽées sont rouges, le joueur gagne 100~\euro{}; si exactement deux boules tirŽées sont rouges, il gagne 15~\euro{} et si une seule est rouge il gagne 4~\euro. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien. Soit $X$ la variable alŽatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu. \begin{enumerate} \item DŽéterminer la loi de probabilitŽé de la variable alŽéatoire $X$. \item Pour un jeu, la mise est de 10 \euro. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est-àˆ-dire l'espérance mathŽématiques est-elle strictement supérieure ˆà 10 ? \item Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item soit augmenter la mise de 1 \euro, donc passer ˆà 11 \euro, \item soit diminuer chaque gain de 1 \euro, c'est-àˆ-dire ne gagner que 99 \euro, 14~\euro ~ ou 3 \euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_sept2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France septembre 2002} \parbox[c]{0.5\textwidth}{Un carré de c™ôtŽé 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item un disque D de rayon 1 cm, \item 8 secteurs S$_1$,~ S$_2$, ~\ldots, S$_8$ de même aire dŽélimitŽés par les frontières du disque D et du disque D$'$ de même centre et de rayon $9$~cm, \item une zone R entre le disque D$'$ et le bord du carrŽé. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On place un point alŽéatoirement dans le carré. La probabilitŽé de placer le point dans une zone quelconque du carrŽé est proportionnelle ˆàl'aire de cette zone.} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(8,8) \psframe(0,0)(8,8) \pscircle(4,4){0,45} \pscircle(4,4){3,25} \psline(4.45,4)(7.25,4) \psline(4.318,4.318)(6.298,6.298) \psline(4,4.45)(4,7.25) \psline(3.682,4.318)(1.702,6.298) \psline(3.55,4)(0.75,4) \psline(3.682,3.682)(1.702,1.702) \psline(4,3.55)(4,0.75) \psline(4.318,3.682)(6.298,1.702) \rput(5.94,4.804){S$_1$} \rput(4.804,5.94){S$_2$} \rput(3.196,5.94){S$_3$} \rput(2.06,4.804){S$_4$} \rput(2.06,3.196){S$_5$} \rput(3.196,2.06){S$_6$} \rput(4.804,2.06){S$_7$} \rput(5.94,3.196){S$_8$} \rput(1,1){R} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽéterminer la probabilitŽé $p$(D) pour que le point soit placé dans le disque D. \item DŽéterminer la probabilitŽé $p(\text{S}_1)$ pour que le point soit placé dans le secteur S$_1$. \end{enumerate} \item Pour cette question \textbf{2.}, on utilisera les valeurs approchées suivantes : $p$(D) = 0,008 et pour tout $k$ appartenant ˆà $\{1~;~2;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\},~ p(\text{S}_k) = 0,078\:5$. À cette situation alŽéatoire est associŽé le jeu suivant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item un point placŽé dans le disque D fait gagner 10 euros ; \item un point placé dans le secteur S$_k$ fait gagner $k$ euros pour tout $k$ appartenant ˆà $\{1~;~2;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\}$ ; \item un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $X$ la variable alŽatoire Žégale au gain algébrique obtenu. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitŽé $p$(R) pour que le point soit placé dans la zone R. Calculer l'espérance de $X$. \item On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indŽépendante dans le carrŽé. Calculer la probabilitŽé d'obtenir un gain total positif ou nul. \item Soit $n$ un entier naturel supŽérieur ou Žégal ˆà deux. On joue $n$ fois de suite. On a donc placŽé $n$ points de manière indŽépendante dans le carré. Calculer la probabilitŽé $p_n$ d'obtenir au moins un point placé dans le disque D. DŽéterminer la plus petite valeur de $n$ tel que $p_n \geqslant 0,9$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2002} Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées de manière indépendante. \medskip \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item Dans un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.), pour une question donnée, 3 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat décide de répondre au hasard à cette question. La réponse exacte rapporte $n$ point(s) et une réponse fausse fait perdre $p$ point(s). Soit $N$ la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le candidat, la note algébrique qui lui sera attribuée pour cette question. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $N$. \item Quelle relation doit exister entre $n$ et $p$ pour que l'espérance matématique de $N$ soit nulle ? \end{enumerate} \item À un concours un candidat doit répondre à un Q.C.M. de 4 questions comportant chacune trois propositions de réponse dont une seule est exacte. On suppose qu'il répond à chaque question, au hasard. Calculer la probabilité qu'il réponde correctement à 3 questions exactement (donner cette probabilité sous forme de fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie II} Répondre au Q. C. M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie). \begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie} \end{center} Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé d'entourer la réponse choisie pour chacune des quatre questions. L'absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée. \begin{enumerate} \item On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour former un \og paquet \fg. Combien de \og paquets \fg{} contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ? \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse 1 :&Réponse 2 :& Réponse 3 :\\ 180 & 330 & 110\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item A et B sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que : \[p(\text{A}) = 0,4 \quad p(\text{B}) = 0,5 \quad p(\overline{\text{A} \cup \text{B}}) = 0,35.\] Combien vaut $p(\text{A} \cap \text{B})$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse 1 :& Réponse 2 :& Réponse 3 :\\ $p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,1$ & $p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,25$ & Les données sont \\ & & insuffisantes pour répondre.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item A et B sont deux évènements d'un espace probabilisé tels que $p(\text{B} \cap \text{A}) = \dfrac{1}{6},~p_{\text{A}}(\text{B}) = 0,25$ (probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé). Combien vaut $p$(A) ? \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse 1 :& Réponse 2 :& Réponse 3 :\\ \rule[-4mm]{0mm}{9mm}$p(\text{A}) = \dfrac{2}{3}$ & $p(\text{A}) = \dfrac{1}{24}$ & $p(\text{A}) = \dfrac{1}{12}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ & 1 & 2&4 \\\hline \rule[-4mm]{0mm}{10mm}$p_{i}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Combien vaut l'écart type de X ? \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Réponse 1 :& Réponse 2 :& Réponse 3 :\\ \rule[-4mm]{0mm}{9mm}$\sigma = \dfrac{3}{2}$ & $\sigma = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ & $\sigma = 2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles juin 2002} Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l'été. On sait que $20\:\%$ des chaudières sont sous garantie. Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu'une chaudière soit défectueuse est de $\dfrac{1}{100}$. Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu'une chaudière soit défectueuse est de $\dfrac{1}{10}$. On appelle G l'évènement suivant : \og la chaudière est sous garantie \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènement suivants : A : \og la chaudière est garantie et est défectueuse \fg{} ; B : \og la chaudière est défectueuse \fg. \item Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu'elle soit sous garantie est de $\dfrac{1}{41}$. \item Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80 euros si la chaudière n'est plus sous garantie et n'est pas défectueuse. Il coûte 280 euros si la chaudière n'est plus sous garantie et est défectueuse. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d'une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique. \item Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 5 chaudières défectueuses. Quelle est la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles soit sous garantie ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Asie juin 2002} Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , on note E$_n$ l'évènement \og Amélie est arrêtée par le $n$-ième feu rouge ou orange \fg{} et $\overline{\text{E}}_n$, l'évènement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soit $p_n$ la probabilité de E$_n$ et $q_n$ celle de $\overline{\text{E}}_n$. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut $\dfrac{1}{8}$. On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la probabilité que le $n+1$-ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le $n$-ième feu est rouge ou orange, vaut $\dfrac{1}{20}$. \item[$\bullet~$] la probabilité que le $n+1$-ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le $n$-ième feu est vert, est égale à $\dfrac{9}{20}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. \vspace{0,5cm} \begin{center} \pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=4cm,treesep=2cm]{\TR{}} { \pstree[treesep=3cm]{\TR{}\taput{$\ldots$} \tbput{vert}} {\TR{} \taput{$\ldots$} \tbput{$\ldots$} \TR{}\taput{$\dfrac{9}{20}$} \tbput{rouge ou orange} } \pstree[treesep=3cm]{\TR{}\taput{$\dfrac{1}{8}$} \tbput{rouge ou orange}} { \TR{} \taput{$\ldots$} \tbput{$\ldots$} \TR{} \taput{$\dfrac{1}{20}$} \tbput{$\ldots$} } } \hspace{1,5cm} $1^{\text{er}}$ feu \hspace{3cm} $2^{\text{e}}$ feu \end{center} \item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \item On se place maintenant dans le cas général. \begin{enumerate} \item Donner les probabilités conditionnelles $p_{\text{E}_n}\left(\text{E}_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{\text{E}}_n}\left(\text{E}_{n+1}\right)$. \item En remarquant que E$_{n+1} = \left(\text{E}_{n+1} \cap \text{E}_n\right) \cup \left(\text{E}_{n+1} \cap \overline{\text{E}}_n\right)$, montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, \[p_{n+1} = \dfrac{1}{20}p_n + \dfrac{9}{20}q_n.\] \item En déduire l'expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. \end{enumerate} \item Soit la suite $(u_n)$ de nombres réels définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par $u_n = 28p_n - 9$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison $k$. \item Exprimer $u_n$, puis $p_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite, si elle existe, de $p_n$, quand $n$ tend vers $ + \infty$ . Donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France juin 2002} \begin{enumerate} \item Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté $a$, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note $b$ le numéro du jeton tiré. Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace. On considère les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ de coordonnées respectives $(a,~ - 5,~ 1 - a)$ et $(1 + b,~ 1,~ b)$. Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à $\dfrac{1}{4}$. \item Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête. Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur et le jeu s'arrête. Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu continue. Pour tout entier $n$, on désigne par : A$_n$ l'évènement : \og A gagne la $n$-ième partie \fg, B$_n$ l'évènement : \og B gagne la $n$-ième partie \fg, C$_n$ l'évènement : \og le jeu continue après la $n$-ième partie \fg \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p(\text{A}_1) ,~ p(\text{B}_1)$ et $p(\text{C}_1)$. \item Exprimer $p(\text{C}_{n+1})$ en fonction de $p(\text{C}_n)$ et montrer que $p(\text{C}_n) = \left(\dfrac{5}{8}\right)^n$. Exprimer $p(\text{A}_{n+1})$ en fonction de $p(\text{C}_n$ et en déduire que $p(\text{A}_n) = \dfrac{3}{16}\left(\dfrac{5}{8}\right)^{n - 1}.$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $p(\text{A}_n)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p(\text{A}_n)$ soit inférieur ou égal à 0,01. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2002} Dans un lot de 100~pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60~pièces équilibrées et 40~pièces truquées. La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une pièce truquée est $\dfrac{3}{4}$. La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une pièce équilibrée est $\dfrac{1}{2}$. On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite sont indépendants les uns des autres. La probabilité d'un évènement A est notée $p$(A). On désigne par $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A. La probabilité conditionnelle de A sachant que l'évènement B est réalisé est notée $p$(A/B). \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \begin{enumerate} \item On prend une pièce au hasard et on la lance : soit T l'évènement : \og la pièce est truquée \fg, soit P l'évènement : \og on obtient PILE \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'obtenir \og Pile \fg{} (on pourra s'aider d'un arbre). \item Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l'on a obtenu \og PILE \fg{} ? \end{enumerate} \item On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois \og Pile \fg, on décide d'éliminer la pièce, \item dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note E l'évènement \og la pièce est éliminée \fg. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu'elle est équilibrée ? \item Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu'elle est truquée ? \item Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et de l'avoir éliminée ou d'avoir pris une pièce truquée et de l'avoir conservée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2002} \parbox[c]{0.55\textwidth}{On dispose d'une grille à trois lignes et trois colonnes. Une machine M$_1$ place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine M$_2$ place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine M$_3$ place un jeton dans une case libre.} \hfill \parbox[c]{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(3.2,3.2) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \uput[r](3,0.5){3} \uput[r](3,1.5){2} \uput[r](3,2.5){1} \uput[u](0.5,3){A} \uput[u](1.5,3){B} \uput[u](2.5,3){C} \end{pspicture}} \vspace{0,4cm} On note les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] H : \og Les trois jetons sont alignés horizontalement \fg{} ; \item[$\bullet~$] V : \og Les trois jetons sont alignés verticalement \fg{} ; \item[$\bullet~$] D : \og Les trois jetons sont alignés en diagonale \fg{} ; \item[$\bullet~$] N : \og Les trois jetons ne sont pas alignés \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \textit{Les nombres demandés seront donnés sous forme de fraction irréductible.} \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des trois évènements H, V et D. En déduire que la probabilité de N est égale à $\dfrac{19}{21}$. \item On considère la variable aléatoire $X$ définie par : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $X = 20$, lorsque H ou V est réalisé ; \item[$\bullet~$] $X = \alpha$, lorsque D est réalisé ; \item[$\bullet~$] $X = - 2$, lorsque N est réalisé. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Déterminer $\alpha$ pour que l'espérance de $X$ soit nulle. \item Dans cette question, on se place dans le cas où la machine M$_1$ est déréglée ; elle place alors le premier jeton dans l'un des coins de la grille. On note $\Delta$ l'évènement : \og la machine M$_1$ est déréglée \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir un alignement horizontal c'est-à-dire $p_{\Delta}(\text{H})$, puis de même, d'avoir un alignement vertical $p_{\Delta}(\text{V})$, d'avoir un alignement en diagonale $p_{\Delta}(\text{D})$. \item En déduire que la probabilité d'avoir un alignement horizontal ou vertical ou diagonal, est égale à $\dfrac{3}{28}$. \end{enumerate} \item A désigne l'évènement \og les trois jetons sont alignés horizontalement ou verticalement ou en diagonale \fg. On admet que $p(\Delta) = \dfrac{1}{5}$. Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant en précisant les cinq probabilités correspondantes : \end{enumerate} \begin{center} \pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=4cm]{\TR{}} { \pstree{\TR{$\Delta$}\taput{$\dfrac{1}{5}$}} {\TR{A} \TR{$\overline{\text{A}}$} } \pstree{\TR{$\overline{\Delta}$}} { \TR{A} \TR{$\overline{\text{A}}$} } } \end{center} \newpage \hypertarget{Pondichery_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Pondichéry juin 2002} \textbf{Partie A} \medskip Une urne contient $n$ boules blanches ($n \in \N$ et $n \geqslant 2$), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne . \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ? \item On note $p(n)$ la probabilité de tirer deux boules de même couleur. \begin{enumerate} \item Montrer que $p(n) = \dfrac{n^2 -n + 26}{(n + 8)(n + 7)}$ \item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p(n)$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Pour les questions suivantes $n = 4$. \begin{enumerate} \item Calculer $p(4)$. \item Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l'urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, \item si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle gain du joueur la différence, à l'issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_dec2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud décembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_dec2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Sud décembre 2001} On considère l'ensemble E = $\{0,~1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6 ,~ 7\}$. Avec deux chiffres disfincts $x$ et $y$ de E on crée un unique domino simple noté indifféremment \begin{pspicture}(2,0.5) \psframe(2,0.5) \psline(1,0)(1,0.5) \rput(0.5,0.25){$x$}\rput(1.5,0.2){$y$}\end{pspicture} ou \begin{pspicture}(2,0.5) \psframe(2,0.5) \psline(1,0)(1,0.5) \rput(0.5,0.2){$y$}\rput(1.5,0.25){$x$}\end{pspicture}. Avec un chiffre $z$ de E, on forme un unique domino double noté \framebox[1cm][c]{$z$}\framebox[1cm][c]{$z$}. \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut ainsi créer 36 dominos. \item On tire au hasard un domino. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino constitué de chiffres pairs ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire ? \end{enumerate} \item On tire au hasard et simultanément deux dominos. Un élève affirme : \og la probabilité d'obtenir un domino double et un domino simple dont l'un des chiffres est celui du domino double est égale à $\dfrac{4}{45}$ \fg. Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (\textit{La réponse sera justifiée}). \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_sept2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles septembre 2001} Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ \left\{ \begin{array}{l c l l} f(x) &= &m \sin x& \text{pour}~ x \in [0 ~;~ \pi] \\ f(x)& =& 0& \text{sinon}.\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le réel $m$ tel que $f$ soit une densité de probabilité. \item Représenter $f$ dans un repère orthonormé. \item Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité de probabilité. Définir la fonction de répartition de $X$ puis représenter graphiquement $F$ dans un repère orthonormé. \item Calculer la probabilité $p\left(\dfrac{\pi}{4} \leqslant X \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right)$. \item Calculer les probabilités $p(X \geqslant 0)$ et $p(X \leqslant 0).$ \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles juin 2001} \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de $\dfrac{1}{50}$ ou bien ne rien gagner. G désigne l'évènement : \og Le joueur gagne au grattage \fg. Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. À cette loterie, il peut gagner 100 euros, ou 200 euros, ou bien ne rien gagner. L$_i$ désigne l'évènement \og Le joueur gagne 100 euros à la loterie \fg. L$_2$ désigne l'évènement \og Le joueur gagne 200 euros à la loterie \fg. P désigne l'évènement : \og Le joueur ne gagne rien à la loterie \fg. Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne $100$~euros à la loterie est $\dfrac{1}{70}$ , et la probabilité qu'il gagne $200$~euros à la loterie est $\dfrac{1}{490}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent. \item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il n'a rien gagné au grattage. Compléter l'arbre obtenu avec cette valeur. \item Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. \end{enumerate} \item On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. La probabilité de l'évènement \og X = 90 \fg{} est $\dfrac{2}{125}$. La probabilité de l'évènement \og X = 190 \fg{} est $\dfrac{1}{250}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu'il a gagné 100 euros au grattage, est égale à$\dfrac{1}{10}$. \item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il a gagné 100 euros au grattage. \item Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance de X. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Asie juin 2001} Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours. La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de \np{1400}~mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R$_{1}$ et R$_{2}$. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à \np{2500} mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R$_{3}$, ou atteindre le sommet directement. \parbox[c]{0.45\textwidth}{La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R$_1$ est égale à $\dfrac{1}{3}$. La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_1$ est égale à $\dfrac{3}{4}$. La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_2$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.} \parbox[c]{0.45\textwidth}{ \begin{pspicture}(4.5,5) \pscurve(0.4,1)(0.7,1.7)(1,2)(1.3,2.5)(1.5,2.7)(2,3.2)(2.5,3.6)(3,4.3)(3.4,4.7) \pscurve(3,0.4)(2.5,0.5)(2.1,1)(2,1.2)(1.7,1.5)(1.5,1.6)(1.4,1.7)(1.4,1.9)(1.5,2.2) (2,2.7)(2.3,3)(2.5,3.1)(2.7,3.3)(2.8,3.7)(2.9,4)(3,4)(3.3,4.4)(3.4,4.7) \pscurve(3,0.4)(3.4,1)(3.6,1.1)(3.7,1.5)(3.9,1.8)(4,2)(3.7,2.5)(3.5,3)(3.4,3.5) (3.3,4)(3.3,4.4) \pscurve(1.4,1.9)(1.5,2)(1.7,2.1)(2,2.3)(2.4,2.5)(3,2.7)(3.1,3)(3.2,3.8)(3.3,4.4) \pscurve(3.9,1.8)(3.8,2)(3.6,2.2)(3,2.7) \pscurve(5,0.7)(4.7,1.3)(4.6,1.8)(4.2,2)(4,3)(3.8,4)(3.4,4.7) \rput(2.5,3.5){5,5} \rput(3,3.5){2} \rput(3.5,3.5){6} \rput(2.1,2.1){4} \rput(3.2,2){4,5} \rput(1.5,1.1){5} \rput(3.9,1.1){4} \rput(3.6,4.7){S} \rput(3,2.4){R$_{3}$} \rput(1.2,1.7){R$_{1}$} \rput(4.2,1.7){R$_{2}$} \rput(3,0.2){D} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu'au sommet S. \item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : E$_1$ : \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ sachant qu'ils ont passé la nuit au refuge R$_1$ \fg{} ; E$_2$ \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ; E$_3$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_1$ sachant qu'ils ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ; E$_4$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_2$ sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S \fg. \item On note $d(M,~ N)$ la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point $M$ au point $N$. On donne $d$(D, R$_1$) = 5 ;~ $d$(D, R$_2$) = 4 ;~ $d$(R$_1$,~ R$_3$) = 4 ; ~$d$(R$_2$,~ R$_3$) = 4,5 ; $d$(R$_3$, S) = 2 ; $d$(R$_1$,~ S) = 5,5 ;~ $d$(R$_2$,~ S) = 6. Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les randonneurs pour aller du départ D au sommet S. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique de X. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Etranger_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2001} Le directeur d'un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organiseune exposition. Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d'imaginer le parcours d'un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Le visiteur passe \textit{au hasard} d'une salle à une salle voisine. \item[$\bullet~$] Pour sortir d'une salle, il franchit de manière équiprobable n'importe quelle autre porte que celle qu'il a utilisée pour entrer. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s'intéresse qu'aux quatre premières salles traversées, l'entrée E étant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, commençant par la lettre E. Par exemple : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF. \item[$\bullet~$] Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,8.5) \psline(0,1)(6.2,1)(6.2,7.2) \psline(0,1)(0,7.2)(4,7.2) \psline(0.2,1.2)(2,1.2)(2,2)(2.2,2)(2.2,1)%bas gauche \psline(0.2,1.2)(0.2,3)(1,3)(1,3.2)(0.2,3.2)(0.2,5)(1,5)(1,5.2) (0.2,5.2)(0.2,7)(2,7)(2,6.2)(2.2,6.2)(2.2,7)(4,7)(4,5.2) (3.2,5.2)(3.2,5)(4,5)(4,4.2)(4.2,4.2) \psline(4.2,4)(4,4)(4,3.2)(3.2,3.2)(3.2,3)(4,3)(4,2.2)(4.2,2.2) (4.2,3)(5,3)(5,3.2)(4.2,3.2)(4.2,4)%intérieur gauche \psline(4.2,4.2)(4.2,7.2) \psline(1.2,3.2)(1.2,3)(2,3)(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,3)(3,3)(3,3.2) (2.2,3.2)(2.2,4)(2,4)(2,3.2)(1.2,3.2)%croix du bas \psline(1.2,5.2)(1.2,5)(2,5)(2,4.2)(2.2,4.2)(2.2,5)(3,5)(3,5.2) (2.2,5.2)(2.2,6)(2,6)(2,5.2)(1.2,5.2)% croix du haut \psline(4,1)(4,2)(4.2,2)(4.2,1.2)(6,1.2)(6,3)(5.2,3)(5.2,3.2)(6,3.2)(6,7.2)%bord droit \psarc(5.1,7.2){0.9}{0}{180} \psarc(5.1,7.2){1.1}{0}{180} \psarc(3.1,1){0.5}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.7}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.9} {-180}{0} \rput(3,2.3){Entrée} \rput(1,2){B} \rput(1,4){D} \rput(1,6){F} \rput(3,6){G} \rput(3,4){A} \rput(3,1.7){E} \rput(5,2){C} \rput(5,5.5){T} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes. \begin{enumerate} \item Construire l'arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur. \item Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est $\dfrac{1}{6}$ . \item Déterminer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement : \og La quatrième salle du trajet est F \fg. \item Pour des raisons techniques, le directeur installe les {\oe}uvres les plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité $p_2$ de l'évènement \og Le trajet passe par la salle T \fg. \end{enumerate} \item Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes. On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement (X = 1). \item Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.) \item Le directeur décide d'obliger les visiteurs à se diriger, après l'entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T. Prouver qu'il a tort. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Métropole juin 2001} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} [unité graphique : 6 cm]. On considère la suite $(\alpha_n)$ de nombres réels définie par $\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et, pour tout entier naturel $n,~ \alpha_{n + 1} = \alpha_n + \dfrac{5\pi}{6}$ . Pour tout entier naturel $n$, on appelle $M_n$ le point du cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1 tel que l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M_n} \right)$ ait pour mesure $\alpha_n$. \begin{enumerate} \item Placer les douze points M$_0$,~ M$_1$,~ M$_2$,~$\cdots$, M$_{11}$. \item On appelle $z_n$ l'affixe de $M_n$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité : $z_n = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{12}\right)}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer, pour tout entier naturel $n$, les propriétés suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] les points $M_n$ et $M_{n + 6}$ sont diamétralement opposés ; \item[$\bullet~$] les points $M_{n}$ et $M_{n+12}$ sont confondus. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité $z_{n + 4} = \text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}}z_n$. En déduire que la distance $M_n M_{n + 4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$, est équilatéral. On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points $M_n$ sont de la forme $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$. \end{enumerate} \item Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M$_0$,~M$_1$, ~M$_2$,~$\cdots$,~M$_{11}$ sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Liban_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban juin 2001} Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de promenades $c_{1},~c_{2},~c_{3},~c_{4},~ c_{5}.$ \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment l'une de l'autre, un des cinq circuits. \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l'ensemble des deux familles ? \item Quelle est la probabilité pour qu'elles fassent le même jour, le même circuit ? \item Quelle est la probabilité pour que pendant $n$ jours consécutifs, elles ne se trouvent janais sur le même circuit ? \item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou égale à 0,9. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour chaque famille élimine de son tirage le circuit qu'elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits pour ciacune des deux familles. On note : E l'évènement \og les deux familles font le même circuit le premier jour \fg. F l'évènement \og les deux familles font le même circuit le deuxième jour \fg. Calculer les probabilités suivantes : \centerline{P(E) , P(F/E) , P(F/$\overline{\text{E}}$) puis P(F $\cap$ E) et P(F $\cap \overline{\text{E}}$).} En déduire P(F). \vspace{1cm} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2001} Une boîte contient 8 cubes : $\left\{\begin{array}{c} 1~\text{gros rouge et }~3 ~\text{petits rouges}\\ 2 ~\text{gros verts et}~ 1 ~\text{petit vert}\\ 1 ~\text{petit jaune} \\ \end{array}\right.$ Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte (\textit{on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur}). \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles}. \begin{enumerate} \item On note A l'évènement : \og obtenir des cubes de couleurs différentes \fg{} et B l'évènement : \og obtenir au plus un petit cube \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de A. \item Vérifier que la probabilité de B est égale à $\dfrac{2}{7}$. \end{enumerate} \item Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges tirés par l'enfant. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique de X. \end{enumerate} \item L'enfant répète $n$ fois l'épreuve \og tirer simultanément trois cubes de la boîte \fg, en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants. On note $P_n$ la probabilité que l'évènement B soit réalisé au moins une fois. \begin{enumerate} \item Déterminer $P_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P_n \geqslant 0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_nov2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 2000} Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher. On tire une boule du sac, on note son numéro $x$ et on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule, on note son numéro $y$ et on la remet dans le sac. Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. À chaque tirage de \textbf{deux boules}, on associe dans le plan, muni d'un repère orthonormal \Oij, le point $M$ de coordonnées $(x ~;~ y).$ On désigne par $D$ le disque de centre O et de rayon 1,7. Les résultats seront donnés sous forme de \textbf{fraction irréductible}. \begin{enumerate} \item Placer dans le plan muni du repère (O ;~$\vect{\imath}, ~\vect{\jmath}$) les points correspondant aux différents résultats possibles. \item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : \textbf{A} \og Le point $M$ est sur l'axe des abscisses \fg{} ; \textbf{B} \og Le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 \fg. \item \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme $x^2 + y^2$. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. Calculer son espérance mathématique E($X$). \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og le point $M$ appartient au disque $D$ \fg{} est égale à $\dfrac{4}{9}$. \end{enumerate} \item On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan. Quelle est la probabilité de l'évènement suivant : \textbf{C} : \og Au moins un de ces points appartient au disque $D$ \fg{} ? \item On renouvelle $n$ fois de suite, de façon indépendante, le tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi $n$ points du plan. Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins un de ces points appartient à $D$ \fg{} soit supérieure ou égale à \nombre{0,9999}. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_sept2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane sept. 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles septembre 2000} \begin{enumerate} \item Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu'il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu'elle \og fait un pas \fg. \parbox[c]{0.5\textwidth}{\begin{enumerate} \item La fourmi se trouve en A. Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu'elle soit : $\bullet~$en A ? $\bullet~$en B ? $\bullet~$en C ? $\bullet~$en D ? \item Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note : S$_n$ l'évènement \og la fourmi est au sommet S après $n$ pas \fg, et $p_n$ la probabilité de cet évènement. Donner $p_1$. En remarquant que S$_{n+ 1}$ =~ S$_{n + 1} \cap \overline{\text{S}_n}$, montrer que \[p_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left(1 - p_n\right).\] \end{enumerate}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{ \begin{pspicture}(6.5,5) \psline(4.1,0)(6,1.2)(2.9,4.5)(0,0)(4.1,0)(2.9,4.5) \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.9,1.2)(2.9,4.5) \psline[linestyle=dotted](1.9,1.2)(6,1.2) \uput[l](0,0){A} \uput[dr](4.1,0){B} \uput[r](6,1.2){C} \uput[ul](1.9,1.2){D} \uput[ur](2.9,4.5){S} \end{pspicture}} \vspace{0,3cm} \item On considère la suite $(p_n)$, définie pour tout nombre entier $n$ strictement positif par : \renewcommand\arraystretch{1.6} \[\left\{ \begin{array}{l c l} p_1 & = & \dfrac{1}{3}\\ p_{n+1} & = & \dfrac{1}{3}\left(1 - p_n\right)\\ \end{array}\right..\] \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel $n$ strictement positif, on a $p_n = \dfrac{1}{4}\left(1 - \left(-~\dfrac{1}{3}\right)^n\right)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{ n \to + \infty} p_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_sept2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France septembre 2000} \textsl{Les résultats seront donnés à} $10^{-3}$ \textsl{près}. Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter. Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu'il accepte de répondre au questionnaire est 0,2. \begin{enumerate} \item On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A$_1$ l'évènement \og la personne est absente lors du premier appel \fg{} ; \item[$\bullet~$] R$_1$ l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Quelle est la probabilité de R$_1$ ? \item Lorsqu'une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu'elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu'elle est présente lors du second appel, la probabilité pour qu'elle accepte de répondre au questionnaire est encore $0,2$. Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : A$_2$ l'évènement \og la personne est absente lors du second appel \fg{} ; R$_2$ l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire lors du second appel \fg{} ; R l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire \fg. Montrer que la probabilité de R est 0,176. (On pourra utiliser un arbre). \item Sachant qu'une personne a accepté de répondre au questionnaire, quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier appel ? \item On suppose que les sondages auprès des personnes d'une même liste sont indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter. Quelle est la probabilité pour qu'une au moins des 20 personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2000} On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par $p_k$ la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotée $k$ ($k$ est un entier et $1 \leqslant k \leqslant 6$). Ce dé a été pipé de telle sorte que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] les six faces ne sont pas équiprobables, \item[$\bullet~$] les nombres $p_1,~ p_2,~ p_3,~ p_4,~ p_5,~ p_6$, dans cet ordre, sont six termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r$, \item[$\bullet~$] les nombres $p_1,~ p_2,~ p_4$ dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Démontrer que : $p_k = \dfrac{k}{21}$ pour tout entier $k$ tel que $1 \leqslant k \leqslant 6$. \item On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants : A : \og le nombre obtenu est pair \fg B : \og le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 \fg C : \og le nombre obtenu est 3 ou 4 \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de chacun de ces évènements. \item Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair. \item Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C sont-ils indépendants ? \end{enumerate} \item On utilise ce dé pour un jeu. On dispose : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] d'une urne U$_1$ contenant une boule blanche et trois boules noires, \item[$\bullet~$] d'une urne U$_2$ contenant deux boules blanches et une boule noire. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le joueur lance le dé : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] s'il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l'urne U$_1$, \item[$\bullet~$] s'il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l'urne U$_2$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est déclaré gagnant lorsqu'il tire une boule blanche, on note G cet évènement. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement G $\cap$ A, puis la probabilité de l'évènement G. \item Le joueur est gagnant. Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Antilles--Guyane juin 2000} Un groupe de vingt-deux personnes décide d'aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B. Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le fim B. Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le fim A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu'elles n'ont pas vu la semaine précédente. Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les évènements suivants : $A_1$ \og la personne interrogée a vu le film A le premier samedi \fg{} ; $A_2$ \og la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi \fg{} ; $B_1$ \og la personne interrogée a vu le film B le premier samedi \fg{} ; $B_2$ \og la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités suivantes : $p(A_1)$ et $p(A_2)$. \item Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants : \[p(A_2/A_1),~ p(A_2/B_1)~ et~ p(A_1 \cap A_2)\] \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question. \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A_{1}$}\taput{?}} { \pstree{\TR{$A_{2}$}\taput{?}} {\TR{?} } \pstree{\TR{$B_{2}$}\tbput{?}} {\TR{?} } } \pstree{\TR{$B_{1}$}\tbput{?}} { \pstree{\TR{$A_{2}$}\taput{?}} {\TR{?} } \pstree{\TR{$B_{2}$}\tbput{?}} {\TR{?} } } } \end{center} \item Retrouver à partir de l'arbre pondéré que $p(A_2) = \dfrac{8}{11}$. \end{enumerate} \item Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film $B$. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne interrogée, des deux séances de cinéma. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Asie juin 2000} Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette. Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $\dfrac{1}{3}$ . Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à $\dfrac{4}{5}$ . On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer. Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on considère les évènements suivants : $A_n$~: \og Alice atteint la cible au $n\up{e}$ coup \fg. $B_n$~: \og Alice rate la cible au $n\up{e}$ coup \fg. On pose $P_n = p(A_n)$. Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré. \begin{enumerate} \item Déterminer $p_1$ et montrer que $p_2 = \dfrac{4}{15}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, \[p_n = \dfrac{2}{15}p_{n - 1} + \dfrac{1}{15}.\] \item Pour $n \geqslant 1$ on pose $u_n = p_n - \dfrac{3}{13}$. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme $u_1$ et la raison $q$. \item Écrire $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +~\infty} p_n.$ \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Etranger_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2000} Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les réponses sous forme de fractions. Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. \begin{enumerate} \item On tire simultanément au hasard 3 boules de l'urne. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : E$_1$ : \og Les boules sont toutes de couleurs différentes. \fg E$_2$ : \og Les boules sont toutes de la même couleur. \fg \item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules bleues tirées. Établir la loi de probabilité de $X$. Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \item Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 2. On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne avant de procéder au tirage suivant. On effectue ainsi $k$ tirages successifs. Quelle est la valeur minimale de $k$ pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France juin 2000} \textsl{Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.} Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement A et $p$(A / B) la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé. \begin{enumerate} \item On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle P l'évènement : \og L'élève fait partie du club photo \fg, et T l'évènement : \og L'élève fait partie du club théâtre \fg. Montrer que les évènements P et T sont indépendants. \item Lors d'une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort. \begin{enumerate} \item On appelle T$_1$ l'évènement : \og Le premier élève appartient au club théâtre \fg. Calculer $p (\text{T}_1)$. \item On appelle T$_2$ l'évènement \og L'élève pris en photo appartient au club théâtre \fg. Calculer $p(\text{T}_2 /\text{T}_1)$, puis $p\left(\text{T}_2 /\overline{\text{T}_1}\right)$. En déduire $p\left(T_2~ \cap~ \text{T}_1\right)$ et $p\left(\text{T}_2~ \cap~ \overline{\text{T}_1}\right)$. (On pourra éventuellement utiliser un arbre.) \item Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club théâtre est 0,2. \end{enumerate} \item Toutes les semaines, on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de suite. Calculer la probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n'ait été photographié. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Liban_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Liban juin 2000} Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes. Dans les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles. \begin{enumerate} \item Soit les évènements suivants : $A$ \og Les trois boules sont rouges. \fg $B$ \og Les trois boules sont de la même couleur. \fg $C$ \og Les trois boules sont chacune d'une couleur différente. \fg \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p(A) ,~ p(B)$ et $p(C)$ . \item On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues. Déterminer la loi de probabilité de $X$. Calculer $E(X)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par $n$ boules rouges où $n$ est un entier supérieur ou égal à 2. L'urne contient donc $n + 5$ boules, c'est-à-dire, $n$ rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les évènements suivants : $D$ \og Tirer deux boules rouges. \fg $E$ \og Tirer deux boules de la même couleur. \fg \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est $$p(D) = \dfrac{n(n- 1)}{(n + 5)(n + 4)}.$$ \item Calculer la probabilité de l'évènement $E,~ p(E)$ en fonction de $n$. Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $ p(E) \geqslant \dfrac{1}{2}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2000} Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 4 jetons blancs marqués 0 ; 3 jetons rouges marqués 7 ; 2 jetons blancs marqués 2 ; 1 jeton rouge marqué 5. \begin{enumerate} \item On tire simultanément 4 jetons du sac. Quel est le nombre de tirages possibles ? \item On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les évènements suivants : $A$ : \og Les quatre numéros sont identiques \fg. $B$ : \og Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 \fg. $C$ : \og Tous les jetons sont blancs \fg. $D$ : \og Tous les jetons sont de la même couleur \fg. $E$ : \og Au moins un jeton porte un numéro différent des autres \fg. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$, est $\dfrac{4}{105}$. \item Calculer la probabilité des évènements $A,~ C,~ D,~ E$. \item On suppose que l'évènement $C$ est réalisé, calculer alors la probabilité de l'évènement $B$. On établit la règle de jeu suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Si le joueur peut former $5\:000$, il gagne 75 F. \item Si le joueur peut former le nombre $7\:000$, il gagne 50 F. \item Si le joueur peut former le nombre $2\:000$, il gagne 20 F. \item Si le joueur peut former le nombre $0\:000$, il perd 25 F. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tous les autres tirages, il perd 5 F. $G$ est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Établir la loi de probabilité de $G$ et calculer l'espérance mathématique de $G$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Pondichery_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Pondichéry juin 2000} Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n'ouvrent pas la porte parce qu'elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x$-ième essai. \begin{enumerate} \item On appelle D$_1$ l'évènement : \og La clef numéro 1 n'ouvre pas la porte \fg. Calculer sa probabilité. \item On appelle D$_2$ l'évènement : \og La clef numéro 2 n'ouvre pas la porte \fg. Calculer la probabilité que l'évènement D$_2$ se réalise, sachant que l'évènement D$_1$ est réalisé. En déduire la probabilité de l'évènement D$_1$ $\cap$ D$_2$. On pourra, pour la suite de l'exercice, s'aider d'un arbre pondéré. \item Quelle est la probabilité de l'évènement : \og Les clefs numéros 1 et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l'ouvre pas \fg{} ? \item Pour $1 \leqslant i < j \leqslant 5$, on note $(i ~;~ j)$ l'évènement : \og Les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros $i$ et $j$ \fg, et $P(i~;~ j)$ la probabilité de cet évènement. \begin{enumerate} \item Calculer $P(2 ~;~4)$. \item Calculer $P(4~;~ 5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_nov1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov1999_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 1999} Un appareil électronique envoie à une imprimante un code qui est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre ne pouvant prendre que les valeurs 0 ou 1 (par exemple : 1011). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien l'appareil peut-il fabriquer de codes distincts ? \hspace{-1,4cm} \textsl{On supposera dans ce qui suit que tous ces codes ont la même probabilité} \hspace{-1,4cm} \textsl{d'être produits.} \item Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de 1 figurant dans le code. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. \end{enumerate} \item Une imprimante a été choisie au hasard dans une série. À la suite d'études antérieures, on a observé cinq cas possibles. Dans le cas E$_{0}$, l'imprimante n'écrit que des $0$, quel que soit le code émis par l'appareil. Pour chaque élément $n$ de l'ensemble \{ 1,~ 2,~ 3\}, dans le cas E$_{n}$ l'imprimante écrit correctement les $n$ premiers caractères du code et n'écrit ensuite que des $0$. Par exemple, lorsque E$_{2}$ survient, tous les codes commençant par $01$ sont imprimés $0100$. Dans le cas E$_{4}$, l'imprimante fonctionne correctement. L'état de l'imprimante sera donc considéré comme le résultat d'une épreuve aléatoire ayant cinq issues possibles $\text{E}_{0},~\text{E}_{1},~\text{E}_{2},~ \text{E}_{3},~ \text{E}_{4}$. On admet que, pour chaque élément $n$ de l'ensemble \{ 0,~ 1,~ 2,~ 3\},~ $P(\text{E}_{n}) = 32 \times 10^{-3}$. Le code émis par l'appareil est indépendant de l'état de l'imprimante. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(\text{E}_{4})$. Pour la suite, C désigne l'évènement : \og le code imprimé est identique à celui émis par l'appareil \fg. \item On suppose que E$_{0}$ se produit. Quelle est la probabilité $P(\text{C}/\text{E}_{0})$ que le code imprimé soit quand même celui que l'appareil a envoyé ? En déduire la probabilité $P(\text{C} \cap \text{E}_{0})$. \item Déterminer de même $P(\text{C}/\text{E}_{n})$ puis $P(\text{C} \cap \text{E}_{n})$ pour tout élément $n$ de l'ensemble \{1,~ 2,~ 3,~ 4\}. En déduire $P$(C). \item Si le code imprimé est exactement celui émis par l'appareil, quelle est la probabilité que E$_{2}$ se soit produit ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_sept1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane sept. 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept1999_retour}{Retour au tableau} \medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\item \textbf{\Large Antilles--Guyane septembre 1999} Dans tout l'exercice on considère 20 boules indiscernables au toucher (10 noires et 10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune desquelles on placera 10 boules suivant un mode qui sera précisé dans chaque question. \begin{enumerate} \item On choisit dix boules au hasard et on les met dans l'urne A. On place les dix autres boules dans l'urne B. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent chacune que des boules de même couleur ? \item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes contiennent chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ? \end{enumerate} \item Soit $x$ un entier tel que $0 \leqslant x \leqslant 10$. On place maintenant $x$ boules blanches et $10 - x$ boules noires dans l'urne A et les $10 - x$ boules blanches et $x$ boules noires restantes dans l'urne B. On procède à l'expérience E : On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au hasard une boule de B et on la met dans A. On désigne par M l'évènement \og chacune des deux urnes a la même composition avant et après l'expérience \fg. \begin{enumerate} \item Pour cette question \textbf{a.}, on prend $x = 6$. Quelle est la probabilité de l'évènement M ? \item Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à : \[\dfrac{1}{55} \left(- ~x^2 + 10x + 5\right).\] \item Pour quelles valeurs de $x$ l'évènement M est-il plus probable que l'évènement contraire $\overline{\text{M}}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_sept1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole sept. 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept1999_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large France septembre 1999} \textsl{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.} Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l'expérience suivante : On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l'urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute une boule noire dans l'urne. Puis on tire simultanément, et au hasard, trois boules de l'urne. \begin{enumerate} \item On appelle E$_0$ l'évènement : \og Aucune boule blanche ne figure parmi les trois boules tirées \fg{} et B l'évènement : \og Le jeton est tombé sur la face blanche \fg. \begin{enumerate} \item Calculer P(E$_0~ \cap $~ B), P (E$_0~ \cap \overline{\text{B}}$), puis P(E$_0$). \item On tire trois boules de l'urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est la probabilité que le jeton soit tombé sur la face noire ? \end{enumerate} \item On appelle E$_{1}$ l'évènement : \og Une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules tirées \fg{} et B l'évènement : \og Le jeton est tombé sur la face blanche \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement E$_{1}$. \item On effectue successivement quatre fois l'expérience décrite au début, qui consiste à lancer le jeton, puis à tirer les trois boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir, au moins une fois, une et une seule boule blanche ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Sportifs_sept1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Sportifs haut-niveau sept. 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Sportifs_sept1999_retour}{Retour au tableau} \medskip %\item \textbf{\Large Sportifs de haut-niveau septembre 1999} Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et quatre boules noires. On prélève simultanément quatre boules dans l'urne. Les prélèvements sont supposés équiprobables. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'un prélèvement unicolore. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ? \item Démontrer que la probabilité d'un prélèvement bicolore est $\dfrac{68}{165}$. \end{enumerate} \item Déduire des résultats précédents la probabilité d'un prélèvement tricolore. \item Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux boules rouges sachant que le prélèvement est bicolore ? \end{enumerate} \vspace{4cm} \aldineleft~ Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus.~ \aldineright http://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/ \end{document}