\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} \renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother %Macro Tableau par Rémi Deniaud \newcommand{\tableau}[7]{ \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \addtocounter{Denis}{1}\theDenis & \hypertarget{#7}{}\hyperlink{#1}{#2} & #3 & #4 & #5 & #6 \\ \hline \end{tabularx}}% \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small BaccalauréŽat S} \lfoot{\small{Exercices sur les complexes}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat S Nombres complexes \decofourright }} \textbf{Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012} Tapuscrit : \textsc{Denis Vergès} \end{center} \newcounter{Denis}[Denis] \setcounter{Denis}{0} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Lieu et date &\scriptsize Q.C.M. &\scriptsize \begin{tabular}{l}Algébri-\\ que\\ \end{tabular} &\scriptsize \begin{tabular}{l}Géomé- \\ trie\\ \end{tabular} &\scriptsize $z' = f(z)$ \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Asie_2012}{Asie juin 2012}{}{$\times$}{$\times$}{}{Asie_2012_retour} \tableau{Metropole_2012}{Métropole juin 2012}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Metropole_2012_retour} \tableau{Antilles_2012}{Antilles-Guyane juin 2012}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Antilles_2012_retour} \tableau{Etranger_2012}{Centres étrangers juin 2012}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Etranger_2012_retour} \tableau{Polynesie_2012}{Polynésie juin 2012}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_2012_retour} \tableau{AmeriqueNord_2012}{Amérique du Nord mai 2012}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_2012_retour} \tableau{Liban_2012}{Liban mai 2012}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Liban_2012_retour} \tableau{Pondichery_2012}{Pondichéry avril 2012}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Pondichery_2012_retour} \tableau{Caledonie_mars2012}{Nouvelle-Calédonie mars 2012}{}{$\times$}{$\times$}{}{Caledonie_mars2012_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2011}{Amérique du Sud novembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2011_retour} \tableau{Caledonie_nov2011}{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Caledonie_nov2011_retour} \tableau{Polynesie_sept2011}{Polynésie septembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_sept2011_retour} \tableau{Metropole_sept2011}{Métropole septembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Metropole_sept2011_retour} \tableau{Antilles_sept2011}{Antilles-Guyane septembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2011_retour} \tableau{Polynesie_juin2011}{Polynésie juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_mai2010_retour} \tableau{Metropole_juin2011}{Métropole juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Metropole_mai2010_retour} \tableau{Reunion_juin2011}{La Réunion juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Reunion_mai2010_retour} \tableau{Centresetrangers_juin2011}{Centres étrangers juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Centresetrangers_mai2010_retour} \tableau{Asie_juin2011}{Asie juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Asie_mai2010_retour} \tableau{Antilles_juin2011}{Antilles--Guyane juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Antilles_mai2010_retour} \tableau{Liban_mai2011}{Liban mai 2011}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Liban_mai2010_retour} \tableau{AmeriqueNord_mai2011}{Amérique du Nord mai 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueNord_mai2011_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2010}{Amérique du Sud novembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueSud_novembre2010_retour} \tableau{Caledonie_nov2010}{Nouvelle-Calédonie novembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Caledonie_septembre2010_retour} \tableau{Polynesie_septembre2010}{Polynésie septembre 2010}{}{ }{ }{}{Polynesie_novembre2010_retour} \tableau{Metropole_septembre2010}{Métropole septembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Metropole_septembre2010_retour} \tableau{Polynesie_juin2010}{Polynésie juin 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_juin2010_retour} \tableau{Metropole_juin2010}{Métropole juin 2010}{}{}{$\times$}{}{Metropole_juin2010_retour} \tableau{Reunion_juin2010}{La Réunion juin 2010}{}{}{$\times$}{}{Reunion_juin2010_retour} \tableau{Etranger_juin2010}{Centres étrangers juin 2010}{ }{ }{$\times$}{}{Centres_juin2010_retour} \tableau{Asie_juin2010}{Asie juin 2010}{}{ }{$\times$}{}{Asie_juin2010_retour} \tableau{Antilles_juin2010}{Antilles-Guyane juin 2010}{}{ }{$\times$}{}{Antilles_juin2010_retour} \tableau{AmeriqueNord_juin2010}{Amérique du Nord juin 2010}{$\times$}{}{$\times$}{}{Amnord_juin2010_retour} \tableau{NlleCaledo_nov2009}{Nouvelle-Calédonie nov. 2009}{$\times$}{ }{$\times$}{}{NlleCaledo_nov2009_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2009}{Amérique du Sud nov. 2009}{$\times$}{ }{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2009_retour} \tableau{Polynesie_sept2009}{Polynésie septembre 2009}{}{$\times$ }{$\times$}{}{Polynesie_sept2009_retour} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Lieu et date &\scriptsize Q.C.M. &\scriptsize \begin{tabular}{l}Algébri-\\ que\\ \end{tabular} &\scriptsize \begin{tabular}{l}Géomé- \\ trie\\ \end{tabular} &\scriptsize $z' = f(z)$ \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Antilles_sept2009}{Antilles-Guyane septembre 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2009_retour} \tableau{Polynesie_juin2009}{Polynésie juin 2009}{}{}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_juin2009_retour} \tableau{Metropole_juin2009}{Métropole juin 2009}{}{}{$\times$}{$\times$}{Metropole_juin2009_retour} \tableau{Reunion_juin2009}{La Réunion juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Reunion_juin2009_retour} \tableau{Asie_juin2009}{Asie juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Asie_juin2009_retour} \tableau{Antilles_juin2009}{Antilles-Guyane juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_juin2009_retour} \tableau{Liban_juin2009}{Liban juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Liban_juin2009_retour} \tableau{AmeriqueNord_juin2009}{Amérique du Nord juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2009_retour} \tableau{NlleCaledonie_mars2009}{Nouvelle--Calédonie mars 2009}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{NlleCaledonie_mars2009_retour} \tableau{AmeriqueSud_dec2008}{Amérique du Sud décembre 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_dec2008_retour} \tableau{NlleCaledonie_nov2008}{Nouvelle-Calédonie novembre 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_nov2008_retour} \tableau{Metropole_sept2008}{Métropole La Réunion sept. 2008}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Metropole_sept2008_retour} \tableau{Antilles_sept2008}{Antilles-Guyane septembre 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2008_retour} \tableau{Polynesie_juin2008}{Polynésie juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_juin2008_retour} \tableau{Liban_juin2008}{Liban juin 2008}{}{$\times$}{}{$\times$}{Liban_juin2008_retour} \tableau{Etranger_juin2008}{Centres étrangers juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Etranger_juin2008_retour} \tableau{Metropole_juin2008}{Métropole juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_juin2008_retour} \tableau{Reunion_juin2008}{La Réunion juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{Reunion_juin2008_retour} \tableau{Asie_juin2008}{Asie juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Asie_juin2008_retour} \tableau{Antilles_juin2008}{Antilles--Guyane juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Antilles_juin2008_retour} \tableau{AmeriqueNord_juin2008}{Amérique du Nord juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2008_retour} \tableau{Pondichery_avril2008}{Pondichéry avril 2008}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Pondichery_avril2008_retour} \tableau{NlleCaledonie_dec2007}{Nlle-Calédonie décembre 2007}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_dec2007_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2007}{Amérique du Sud novembre 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2007_retour} \tableau{Metropole_sept2007}{Métropole-La Réunion sept. 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_sept2007_retour} \tableau{Antilles_sept2007}{Antilles-Guyane septembre 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2007_retour} \tableau{Polynesie_juin2007}{Polynésie juin 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_juin2007_retour} \tableau{Reunion_juin2007}{La Réunion juin 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Reunion_juin2007_retour} \tableau{Metropole_juin2007}{Métropole juin 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_juin2007_retour} \tableau{Etranger_juin2007}{Centres étrangers juin 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Etranger_juin2007_retour} \tableau{Asie_juin2007}{Asie juin 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Asie_juin2007_retour} \tableau{Liban_juin2007}{Liban juin 2007}{}{$\times$}{$\times$}{}{Liban_juin2007_retour} \tableau{NlleCaledonie_dec2006}{Nouvelle-Calédonie déc. 2006}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_dec2006_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2006}{Amérique du Sud novembre 2006}{}{}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueSud_nov2006_retour} \tableau{Polynesie_sept2006}{Polynésie septembre 2006}{}{}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_sept2006_retour} \tableau{Metropole_sept2006}{Métropole septembre 2006}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Metropole_sept2006_retour} \tableau{Polynesie_juin2006}{Polynésie juin 2006}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_juin2006_retour} \tableau{Reunion_juin2006}{La Réunion juin 2006}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Reunion_juin2006_retour} \tableau{Metropole_juin2006}{Métropole juin 2006}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_juin2006_retour} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Lieu et date &\scriptsize Q.C.M. &\scriptsize \begin{tabular}{l}Algébri-\\ que\\ \end{tabular} &\scriptsize \begin{tabular}{l}Géomé- \\ trie\\ \end{tabular} &\scriptsize $z' = f(z)$ \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Etranger_juin2006}{Centres étrangers juin 2006}{}{$\times$}{}{}{Etranger_juin2006_retour} \tableau{Asie_juin2006}{Asie juin 2006}{}{}{$\times$}{$\times$}{Asie_juin2006_retour} \tableau{Antilles_juin2006}{Antilles-Guyane juin 2006}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Antilles_juin2006_retour} \tableau{Liban_mai2006}{Liban mai 2006}{}{}{$\times$}{$\times$}{Liban_mai2006_retour} \tableau{Pondichery_avril2006}{Pondichéry avril 2006}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_avril2006_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2005}{Amérique du Sud novembre 2005}{}{}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueSud_nov2005_retour} \tableau{NlleCaledonie_nov2005}{Nouvelle--Calédonie nov. 2005}{}{}{$\times$}{$\times$}{NlleCaledonie_nov2005_retour} \tableau{Metropole_sept2005}{Métropole septembre 2005}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_sept2005_retour} \tableau{Antilles_sept2005}{Antilles septembre 2005}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Antilles_sept2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis &Antilles septembre 2005 && $\times$&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2005}{Polynésie septembre 2005}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_sept2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis &Polynésie septembre 2005 &&$\times$ &$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2005}{Amérique du Nord juin 2005}{$\times$}{}{$\times$}{}{AmeriqueNord_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis &Amérique du Nord juin 2005&$\times$& &$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2005}{Antilles juin 2005}{}{}{}{$\times$}{Antilles_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis & Antilles juin 2005 &&&&$\times$ \\ \hline \tableau{Asie_juin2005}{Asie juin 2005}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Asie_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis & Asie juin 2005 & & $\times$ &$\times$ &\\ \hline \tableau{Etranger_juin2005}{Centres étrangers juin 2005}{}{}{$\times$}{$\times$}{Etranger_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis& Centres étrangers juin 2005 &&&$\times$&$\times$ \\\hline \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Lieu et date &\scriptsize Q.C.M. &\scriptsize \begin{tabular}{l}Algébri-\\ que\\ \end{tabular} &\scriptsize \begin{tabular}{l}Géomé- \\ trie\\ \end{tabular} &\scriptsize $z' = f(z)$ \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Metropole_juin2005}{Métropole juin 2005}{}{}{$\times$}{}{Metropole_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole juin 2005 & & & $\times$&\\ \hline \tableau{Liban_juin2005}{Liban juin 2005}{}{$\times$}{}{}{Liban_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2005 &&$\times$&&\\ \hline \tableau{Reunion_sept2004}{La Réunion septembre 2004}{}{$\times$}{$\times$}{}{Reunion_sept2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion septembre 2004 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2004}{Nouvelle-Calédonie nov. 2004}{}{}{$\times$}{$\times$}{NlleCaledonie_nov2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie nov. 2004&&&$\times$& $\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2004}{Polynésie septembre 2004}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_sept2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2004&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2004}{Antilles-Guyane septembre 2004}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2004&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_mai2004}{Amérique du Nord mai 2004}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_mai2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord mai 2004&&&& \\\hline \tableau{Antilles_juin2004}{Antilles-Guyane juin 2004}{$\times$}{$\times$}{}{}{Antilles_juin2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2004 &$\times$&$\times$&&\\ \hline \tableau{Asie_juin2004}{Asie juin 2004}{}{$\times$}{$\times$}{}{Asie_juin2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2004 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2004}{Centres étrangers juin 2004}{}{}{$\times$}{$\times$}{Etranger_juin2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2004&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2004}{Métropole juin 2004}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_juin2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole juin 2004 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Liban_juin2004}{Liban juin 2004}{}{$\times$}{$\times$}{}{Liban_juin2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2004 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2004}{Polynésie juin 2004}{}{}{$\times$}{}{Polynesie_juin2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2004 &&&$\times$&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2004}{La Réunion juin 2004}{}{}{$\times$}{$\times$}{Reunion_juin2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2004&&&$\times$&$\times$ \\\hline \tableau{NlleCaledonie_mars2004}{Nouvelle-Calédonie mars 2004}{}{}{$\times$}{}{NlleCaledonie_mars2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie mars 2004&&&$\times$& \\\hline \tableau{Pondichery_avril2004}{Pondichéry avril 2004}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_avril2004_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2004 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2003}{Amérique du Sud nov. 2003}{}{}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud nov. 2003&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2003}{Antilles septembre 2003}{}{}{$\times$}{$\times$}{Antilles_sept2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2003 &&&$\times$&$\times$ \\\hline \tableau{Metropole_sept2003}{Métropole septembre 2003}{}{}{$\times$}{}{Metropole_sept2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole septembre 2003 &&&$\times$& \\\hline \tableau{AmeriqueNord_juin2003}{Amérique du Nord juin 2003}{}{}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2003&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2003}{Antilles juin 2003}{}{}{$\times$}{}{Antilles_juin2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2003 &&&$\times$& \\\hline \tableau{Asie_juin2003}{Asie juin 2003}{}{}{$\times$}{$\times$}{Asie_juin2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2003 &&&$\times$&$\times$\\ \hline %\end{tabular} %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\begin{center}\textbf{Index des exercices sur les complexes de 1999 à avril 2010} \end{center} %\begin{tabular}{|c||l|*{4}{c|}}\hline %N\up{o} & Lieu et date&Q.C.M.&Algébrique&Géométrie&Application\\ %&&&&&$z' = f(z)$ \\\hline \hline \tableau{Metropole_juin2003}{Métropole juin 2003}{}{}{$\times$}{}{Metropole_juin2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole juin 2003 &&&$\times$&\\ \hline \tableau{Liban_juin2003}{Liban juin 2003}{}{}{$\times$}{}{Liban_juin2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2003 &&&$\times$&\\ \hline \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Lieu et date &\scriptsize Q.C.M. &\scriptsize \begin{tabular}{l}Algébri-\\ que\\ \end{tabular} &\scriptsize \begin{tabular}{l}Géomé- \\ trie\\ \end{tabular} &\scriptsize $z' = f(z)$ \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{NlleCaledonie_mars2003}{Nouvelle-Calédonie mars 2003}{}{}{$\times$}{$\times$}{NlleCaledonie_mars2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis& Nlle-Calédonie mars 2003&&&$\times$&$\times$ \\\hline \tableau{Polynesie_juin2003}{Polynésie juin 2003}{}{}{$\times$}{}{Polynesie_juin2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2003 &&&$\times$&\\ \hline \tableau{Pondichery_mars2003}{Pondichéry mars 2003}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_mars2003_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry mars 2003 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_dec2002}{Amérique du Sud déc. 2002}{}{}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueSud_dec2002_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud déc. 2002&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Antilles_sept2002}{Antilles septembre 2002}{}{$\times$}{}{}{Antilles_sept2002_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2002 &&$\times$&&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2002}{Métropole septembre 2002}{}{}{$\times$}{$\times$}{Metropole_sept2002_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole septembre 2002 &&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2002}{Nouvelle-Calédonie nov. 2002}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_nov2002_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie nov. 2002&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2002}{Polynésie septembre 2002}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_sept2002_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2002&&$\times$&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2002}{Amérique du Nord juin 2002}{}{}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2002&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Antilles_juin2002}{Antilles juin 2002}{}{}{$\times$}{}{Antilles_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2002 &&&$\times$&\\ \hline \tableau{Asie_juin2002}{Asie juin 2002}{}{$\times$}{}{$\times$}{Asie_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2002 &&$\times$&&$\times$\\ \hline \tableau{Etranger_juin2002}{Centres étrangers juin 2002}{}{}{}{$\times$}{Etranger_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2002&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2002}{Métropole juin 2002}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole juin 2002 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2002}{La Réunion juin 2002}{}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Reunion_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2002&&$\times$&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2002}{Polynésie juin 2002}{}{}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_juin2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2002 &&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2002}{Pondichéry avril 2002}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_avril2002_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 2002 &&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2001}{Antilles septembre 2001}{}{}{$\times$}{}{Antilles_sept2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2001&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2001}{Métropole septembre 2001}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_sept2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole septembre 2001&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2001}{Polynésie septembre 2001}{}{$\times$}{}{}{Polynesie_sept2001_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2001&&$\times$&&$\times$\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2001}{Amérique du Nord juin 2001}{}{}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis &Amérique du Nord juin 2001&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Antilles_juin2001}{Antilles juin 2001}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2001&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Asie_juin2001}{Asie juin 2001}{}{}{$\times$}{$\times$}{Asie_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie mars 2001&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2001}{Métropole juin 2001}{}{}{$\times$}{$\times$}{Metropole_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole juin 2001&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Liban_juin2001}{Liban juin 2001}{}{}{$\times$}{}{Liban_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2001&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2001}{Polynésie juin 2001}{}{}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2001&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2001}{Pondichéry avril 2001}{}{}{$\times$}{$\times$}{Pondichery_avril2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 2001&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2000}{Amérique du Sud nov. 2000}{}{}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique Sud nov. 2000&&&$\times$&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_dec2000}{Nouvelle--Calédonie déc. 2000}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_dec2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie déc. 2000&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2000}{Antilles--Guyane sept. 2000}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles--Guyane sept. 2000&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2000}{Amérique du Nord juin 2000}{}{}{$\times$}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2000&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Antilles_juin2000}{Antilles juin 2000}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles--Guyane juin 2000&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Asie_juin2000}{Asie juin 2000}{}{}{$\times$}{}{Asie_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2000&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2000}{Métropole juin 2000}{}{}{$\times$}{}{Metropole_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole juin 2000&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2000}{La Réunion juin 2000}{}{$\times$}{$\times$}{}{Reunion_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2000&&$\times$&$\times$&\\ \hline \tableau{Liban_juin2000}{Liban juin 2000}{}{}{$\times$}{$\times$}{Liban_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2000&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2000}{Polynésie juin 2000}{}{}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2000&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2000}{Pondichéry avril 2000}{}{}{$\times$}{$\times$}{Pondichery_avril2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 2000&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_sept1999}{Métropole septembre 1999}{}{}{$\times$}{}{Metropole_sept1999_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole septembre 1999&&&$\times$&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_dec1999}{Nouvelle--Calédonie déc. 1999}{}{}{$\times$}{}{NlleCaledonie_dec1999_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie déc. 1999&&&$\times$&\\ \hline \tableau{Sportifs_sept1999}{Sportifs haut-niveau sept. 1999}{}{$\times$}{$\times$}{}{Sportifs_sept1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Sportifs haut-niveau sept. 1999&&$\times$&$\times$&\\ \hline %\tableau{AmeriqueNord_mai1999}{Amérique du Nord mai 1999}{}{$\times$}{}{}{AmeriqueNord_mai1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis &Amérique du Nord 1999&&$\times$&&\\ \hline %\tableau{Antilles_juin1999}{Antilles juin 1999}{}{}{$\times$}{}{Antilles_juin1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles--Guyane juin 1999&&&$\times$&\\ \hline %\tableau{Asie_juin1999}{Asie juin 1999}{}{$\times$}{}{}{Asie_juin1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 1999&&$\times$&&\\ \hline %\tableau{Etranger_juin1999}{Centres étrangers juin 1999}{}{$\times$}{}{}{Etranger_juin1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 1999&&$\times$&& \\\hline %\tableau{Metropole_juin1999}{Métropole juin 1999}{}{$\times$}{}{}{Metropole_juin1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole juin 1999&&$\times$&&\\ \hline %\tableau{Liban_juin1999}{Liban juin 1999}{}{$\times$}{$\times$}{}{Liban_juin1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 1999&&$\times$&$\times$&\\ \hline %\tableau{Polynesie_juin1999}{Polynésie juin 1999}{}{$\times$}{}{$\times$}{Polynesie_juin1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 1999&&$\times$&&$\times$\\ \hline %\tableau{Pondichery_mai1999}{Pondichéry mai 1999}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_mai1999_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry mai 1999&&$\times$&$\times$&\\ \hline %\tableau{AmeriqueSud_nov1998}{Amérique du Sud nov. 1998}{}{$\times$}{}{$\times$}{AmeriqueSud_nov1998_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud nov. 1998&&$\times$&&$\times$\\ \hline %\tableau{Antilles_sept1998}{Antilles-Guyane septembre 1998}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept1998_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 1999&&$\times$&&$\times$\\ \hline %\tableau{Metropole_sept1998}{Métropole septembre 1998}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_sept1998_retour} %% \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole septembre 1998&&$\times$&$\times$&\\ \hline %\tableau{Polynesie_sept1998}{Polynésie septembre 1998}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_sept1998_retour} % \addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 1998&&$\times$&$\times$&\\ \hline %\end{tabular} \newpage %%%%%%% Asie juin 2012 %%%%%%%% \hypertarget{Asie_2012}{} \section{\textbf{Asie juin 2012}} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$. On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$, le point A$_{1}$ d'affixe $z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ o\`u $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$. On note enfin B image du point A$_{1}$ par la rotation $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point 8. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, puis placer les points A et A$_{1}$, dans le repère. On prendra 2~cm comme unité graphique. \item Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. Placer alors le point B dans le même repère. \end{enumerate} \item On considère le vecteur unitaire $\vect{w}$, tel que $\left(\vect{u},~\vect{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$, et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{w}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O. \item Tracer la droite $\Delta$, puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}\right)$. En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item On note B$_{1}$ le symétrique de B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et B$'$ l'image de B$_{1}$ par la rotation $r$. Démontrer que B$'$ = A. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$. Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D \end{enumerate} %%%%%%% fin Asie juin 2012 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Métropole juin 2012 %%%%%%%% \hypertarget{Metropole_2012}{} \section{\textbf{Métropole juin 2012}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$. \begin{enumerate} \item Soient A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique. \item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}), \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure. \item Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ de A, B et C et tracer la droite $\mathcal{D}_{1}$, image de la droite $\mathcal{D}$ par $g$. \item Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. \begin{enumerate} \item Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$. \item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : \[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff |z - 1| = |z|.\] \item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O. \end{enumerate} \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Métropole 21 juin 2012 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Antilles-Guyane juin 2012 %%%%%%%% \hypertarget{Antilles_2012}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane 21 juin 2012}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2~cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions. \smallskip On considère les points $A$, $B$ et $C$ du plan complexe d'affixes respectives: \[ a=-1+2\text{i}\quad;\qquad b=-2-\text{i}\quad;\qquad c=-3+\text{i} \] \begin{enumerate} \item Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur le graphique. \item Calculer $\dfrac{b}{a}$, en déduire la nature du triangle $OAB$. \item On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq b$ , associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par: \[ z'=\dfrac{z + 1 - 2\text{i}}{z + 2 + \text{i}}. \] \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $c'$ du point $C'$, image de $C$ par $f$ et placer le point $C'$ sur la figure. \item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ avec $z?b$ tels que $\left\vert{z'}\right\vert=1$. \item Justifier que $\mathcal{E}$ contient les points $O$ et $C$. Tracer $\mathcal{E}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.} On appelle $J$ l'image du point $A$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$.\\[0.5ex] On appelle $K$ l'image du point $C$ par la rotation $r'$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.\\ On note $L$ le milieu de $[JK]$. \smallskip Démontrer que la médiane issue de $O$ du triangle $OJK$ est la hauteur issue de $O$ du triangle $OAC$. \end{enumerate} %%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2012 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Centres étrangers juin 2012 %%%%%%%% \hypertarget{Etranger_2012}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère la transformation $t$ d'écriture complexe \[z' = - \mathrm{i}z + 5 + \mathrm{i}.\] \textbf{Affirmation } : la transformation $t$ est la rotation de centre A d'affixe $3 - 2\mathrm{i}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : \[z^2-z\overline{z}-1=0.\] \textbf{Affirmation } : l'équation (E) admet au moins une solution. \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a=-1$, $b=\mathrm{i}$ et $c=\sqrt{3}+\mathrm{i}(1-\sqrt{3})$.\\ \textbf{Affirmation } : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60\degre. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2012 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Polynésie juin 2012 %%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_2012}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2012}} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2 + 2\mathrm{i}$, $b = -3 - 6\mathrm{i}$ et $c = 1$.\\ \noindent La figure de l'exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle ABC ? \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \item En déduire l'affixe du point A' image de A par $r$. \item Vérifier que l'affixe $s$ du point S milieu de [AA'] est $s=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}$. \item Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. \end{enumerate} \item On construit de la même manière C' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, Q le milieu de [CC'], B' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et P le milieu de [BB'].\\ On admet que les affixes respectives de Q et de P sont $q =\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$ et $p = 2 - 5 \mathrm{i}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\dfrac{s-q}{p-a}=-\mathrm{i}$. \item En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes. \end{enumerate} %%%%%%% fin Polynésie juin 2012 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Amérique du Nord mai 2012 %%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_2012}{} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2012}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = z^2$. On note $\Omega$ le point d'affixe $1$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan tels que $f(M) = M$. \item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $a$ sous forme exponentielle. \item En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur. \item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$. \begin{enumerate} \item À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et seulement si $z^2 - \text{i} z -1 + \text{i} = 0$ et $z \not= 1$. \item Montrer que $z^2 - \text{i} z - 1 + \text{i} = (z - 1)(z + 1-\text{i})$. \item En déduire l'ensemble $\Gamma_3$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$. \begin{enumerate} \item Exprimer $\left ( \vect{\text{O}M\vphantom{'}},\vect{\text{O}M'}\right)$ en fonction d'un argument de $z$. \item En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de O et de $\Omega$ tels que O, $M$ et $M'$ soient alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2012 %%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_2012}{} \section{\textbf{Liban mai 2012}} \medskip \textit{On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.} \begin{enumerate} \item \textbf{Un triangle} \begin{enumerate} \item On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$, $b = 3+\text{i}\sqrt{3}$ et $c=2\text{i}\sqrt{3}$. Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. \item En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+\text{i}\sqrt{3}$. \end{enumerate} \item \textbf{Une transformation du plan} On note $(z_n)$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_O=0$, et telle que: \[ z_{n+1}=\frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}z_n+2,\ \text{pour tout entier naturel}\ n. \] Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives: \[ 3+\text{i}\sqrt{3},\quad 2+2\text{i}\sqrt{3}\quad\text{et}\quad 2\text{i}\sqrt{3} \] On remarquera que : $A_1=1$, $A_2=B$ et $A_4=C$. \item Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$. \item établir que pour tout entier naturel $n$, on a: \[ z_{n+1}-\omega = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega), \] o\`u $\omega$ désigne le nombre complexe défini \`a  la question \textbf{1. b)}. \item En déduire que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques. \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A_{n+6}=A_n$. Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$. \end{enumerate} \item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer, pour tout entier naturel $n$, la longueur du segment $[A_nA_{n+1}]$. \end{enumerate} %%%%%%% fin Liban mai 2012 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Pondichéry avril 2012 %%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_2012}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2012}} \medskip \textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances} \medskip Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$. Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$. \bigskip \textbf{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière } \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$. Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: \[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe. \item Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. \item Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés. \end{enumerate} \item Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$. \item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$ ? \item On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$. \end{enumerate} \newpage \fbox{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4 } \vspace{2cm} \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \pscircle(0,0){2} \uput[d](1,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,1){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$} \psdots(-1,-0.3)\uput[r](-1,-0.3){D} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%% Fin Pondichéry avril 2012 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2012 %%%%%%%% \hypertarget{Caledonie_mars2012}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2012}} \medskip \textbf{Partie A : } \medskip On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par \[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$. \item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. \item Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à $- \sqrt{2}$. \item Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D. \begin{enumerate} \item Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$. \item Soit C l'image du point L par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point C. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. \end{enumerate} %%%%%%% Fin Nouvelle-Calédonie, mars 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%% Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2011}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2011}} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation \[z^2 - 2z + 5 = 0.\] \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où : \[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$ et donner le résultat sous forme algébrique. \item En déduire la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. \item Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée. \end{enumerate} %%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Caledonie_nov2011}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. \item Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\] Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. \item Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle DAC. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. On note $h$ l'homothétie de centre D et de rapport 2. On note $r$ la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On appelle C$'$ l'image de C par $h$ et C$''$ l'image de C$'$ par $r$. Montrer que les droites (AC) et (C$'$C$''$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \newpage %%%%%%% Polynésie septembre 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2011}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2011}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$. On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$. \item En déduire la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \] \begin{enumerate} \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$. \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i. \item Démontrer que E est un point de la droite (AB). \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$. \item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité : \[\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'} \right) = \left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.\] \item Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB). \end{enumerate} %%%%%% Fin Polynésie septembre 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%% Métropole septembre 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2011}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2011}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe $2 - \text{i}$ par l'application $f$. Placer les points B et B$'$ sur une figure que l'on fera sur la copie. \item Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,\:\: \overline{z - \text{i}} = \overline{z} + \text{i}$. \item Démontrer que $\text{O}M' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat. \item Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A, \[\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right) = 2 \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + 2k\pi \:\: \text{où}\: k\: \text{est un entier relatif.}\] \item En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M $ distinct de A. \end{enumerate} \item Soit $(d)$ la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur $\vect{w}$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \begin{enumerate} \item Dessiner la droite $(d)$. \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point A. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% Fin Métropole septembre 2001 \newpage %%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2011}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2011}} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1. \item Faire une figure et construire les points P et Q. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure. \item Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B :} \medskip On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$. On suppose que l'origine O du repère \Ouv{} est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $|a| = |b| = |c|$. En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$. \item Montrer que $a + b + c = 0$. \item Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. \item En utilisant la partie A, en déduire que $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$. \item Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin Antilles-Guyane sept 2011 \newpage %%%%%%% Polynésie 10 juin 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2011}{} \section{\textbf{Polynésie 10 juin 2011}} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item Soient A le point d'affixe $2 - 5\text{i}$ et B le point d'affixe $7 - 3\text{i}$. \textbf{Proposition 1 :} Le triangle OAB est rectangle isocèle. \item Soit $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - \text{i}| = |z + 2 \text{i}|$. \textbf{Proposition 2 :} $(\Delta)$ est une droite parallèle à l'axe des réels. \item Soit $z = 3 + \text{i}\sqrt{3}$. \textbf{Proposition 3 :} Pour tout entier naturel $n$ non nul, $z^{3n}$ est imaginaire pur. \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. \textbf{Proposition 4 :} Si $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument de $z$ alors $|\text{i} + z| = 1 + |z|$. \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Proposition 5 : Si le module de $z$ est égal à 1 alors $z^2 + \dfrac{1}{z^2}$ est un nombre réel. \end{enumerate} %%%%%%% fin Polynésie 10 juin 2011 %%%%%% \newpage %%%%%%% Métropole 22 juin 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2011}{} \section{\textbf{Métropole 22 juin 2011}} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,\, z_{\text{B}} = \text{i},\, z_{\text{C}} = - 1,\, z_{\text{D}} = - \text{i}$. \begin{enumerate} \item L'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour affixe : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$, \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$, \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$, \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$, \end{itemize} \item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $|z + \text{i}| = |z -1|$ est : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [BC], \item[$\bullet~~$] le milieu du segment [BC], \item[$\bullet~~$] le cercle de centre O et de rayon 1, \item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AD]. \end{itemize} \item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z + \text{i}}{z + 1}$ soit un imaginaire pur est : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la droite (CD) privée du point C, \item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [CD] privé du point C, \item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé du point C, \item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AB]. \end{itemize} \item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que arg$(z - i) = - \dfrac{\pi}{2} + 2 k\pi$ où $k \in \Z$ est : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, \item[$\bullet~~$] la droite (BD), \item[$\bullet~~$] la demi-droite ]BD) d'origine B passant par D privée de B, \item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé de B et D. \end{itemize} \end{enumerate} %%%%%%% fin Métropole 22 juin 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%% La Réunion 22 juin 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2011}{} \section{\textbf{La Réunion 22 juin 2011}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \medskip Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. On rappelle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[*~~] $\left(\vect{u},\,\vect{AB}\right) = \arg (b - a) + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z$. \item[*~~] L'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par : \[AC = AB\quad \text{et}\quad \text{si}\, A \neq B,\; \left(\vect{AB},\,\vect{AC}\right)= \theta + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b$ et $\theta$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $2z^2 - 6z + 9 = 0$. Dans la suite de l'exercice, on désigne par P, Q et R les points d'affixes respectives \[z_{\text{P}} = \dfrac{3}{2}(1 + \text{i}), \quad z_{\text{Q}} = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})\quad \text{et}\quad z_{\text{R}} = -2\text{i}\sqrt{3}.\] \item Placer les points P, Q, R sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure de la résolution de l'exercice. \item On note S le symétrique du point R par rapport au point Q. Vérifier que l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S est $3 + \text{i}\left(2\sqrt{3} - 3\right)$. \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer les affixes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation $r$. \item On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la translation de vecteur $3\vect{v}$. Calculer les affixes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{D}}$ des points B et D. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{P}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{P}}} = \text{i}$. \item En déduire la nature du quadrilatère ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin La Réunion juin 2011 %%%%%% \newpage %%%%%%% Centres étrangers 16 juin 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Centresetrangers_juin2011}{} \section{\textbf{Centres étrangers 16 juin 2011}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute justification incomplète sera valorisée.} \medskip \textbf{Question 1} On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Oij, les points A, B et C d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i},\quad b = 3\text{i},\quad c = \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right).\] \emph{Affirmation} Le triangle ABC est un triangle équilatéral. \medskip \textbf{Question 2} On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, la transformation $f$ dont une écriture complexe est : $z' = \left(\dfrac{2\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}\right)z$. \emph{Affirmation} La transformation $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \medskip \textbf{Question 3} On considère le nombre complexe $a = \left(-\sqrt{3} + \text{i}\right)^{\np{2011}}$. \emph{Affirmation} Le nombre complexe $a$ est un nombre imaginaire pur. \medskip \textbf{Question 4} Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, o\`u $\lambda$ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $t$ strictement positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ s'exprime par $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \emph{Affirmation} Sachant que $X \geqslant 2$, la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle [2~;~3] est égale à $1 - \text{e}^{- \lambda}$. \medskip \textbf{Question 5} Une urne contient au total $n$ boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. \emph{Affirmation} La plus petite valeur de l'entier $n$, pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à $\np{0,9999}$, est égale à 13. %%%%%%% fin Centres étrangers 16 juin 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%% Asie 21 juin 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2011}{} \section{\textbf{Asie 21 juin 2011}} \medskip Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2,\, b = 5\text{i}$ et $c = 4$ ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en \textbf{annexe 2}. \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.En déduire que le point J a pour affixe $- 7 + 2\text{i}$. On admettra que l'affixe du point K est - 2 - 6\text{i}. \item Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur. \item \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points S et T. \item Déterminer l'affixe du point U. \item Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU. \end{enumerate} \item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{AU}}\right)$. \item On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d'affixe $v = -0,752 + 0,864\text{i}$. \begin{enumerate} \item Établir que les points A, V et U sont alignés. \item Que représente la droite (AU) pour l'angle $\widehat{\text{BVC}}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% Asie juin 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%% Antilles 20 juin 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2011}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane 20 juin 2011}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. On appelle $J$ le point d'affixe $i$. \begin{enumerate} \item On considère les points $A$, $B$, $C$, $H$ d'affixes respectives $a=-3-\text{i}$, $b=-2+4\text{i}$, $c=3-\text{i}$ et $h= - 2$. Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. \item Montrer que $J$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle $ABC$. Préciser le rayon du cercle $\mathcal{C}$. \item Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $\dfrac{b-c}{h-a}$. En déduire ques les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, on admet que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle $ABC$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer l'affixe $g$ du point $G$. Placer $G$ sur la figure. \item Montrer que le centre de gravité $G$, le centre du cercle cironcscrit $J$ et l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ sont alignés. Le vérifier sur la figure. \item On note $A'$ le milieu de $[BC]$ et $K$ celui de $[AH]$. Le point $A'$ a pour affixe $a'=\dfrac12+\dfrac32\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point $K$. \item Démontrer que le quadrilatère $KHA'J$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin Antilles juin 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%% Liban 30 mai 2011 %%%%%%%% \hypertarget{Liban_mai2011}{} \section{\textbf{Liban 30 mai 2011}} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. \item \begin{enumerate} \item Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique. \item Montrer que $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$. \end{enumerate} \item On note B$_{1}$ l'image du point B par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point B$_{1}$. \item En déduire que le point B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. \end{enumerate} Soit $M$ un point du plan. On note $M_{1}$ l'image du point $M$ par la rotation $r$ et $M'$ le symétrique du point $M_{1}$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. On désigne par (E) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$. \begin{enumerate} \item Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E). \item Soit $M$ un point distinct du point O. Son affixe $z$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\rho$ est un réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel. Montrer que l'affixe $z'$ du point $M'$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$ puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel $\theta$ telles que $M$ appartienne à l'ensemble (E). \item Déterminer l'ensemble (E). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin Liban 30 mai 2011 %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Amérique du Nord mai 2011 %%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_mai2011}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2011}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère les points A et B d'affixes respectives : $a = \text{i}$ et $b = 1 + \text{i}$. On note : $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_{\text{O}}$ la rotation de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \begin{center} \textbf{Partie A } \end{center} On considère le point C d'affixe $c = 3\text{i}$. On appelle D l'image de C par $r_{\text{A}}$, G l'image de D par $r_{\text{B}}$ et H l'image de C par $r_{\text{O}}$. On note $d, g$ et $h$ les affixes respectives des points D, G et H. \begin{enumerate} \item Démontrer que $d = -2+ \text{i}$. \item Déterminer $g$ et $h$. \item Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} On considère un point $M$, distinct de O et de A, d'affixe $m$. On appelle $N$ l'image de $M$ par $r_{\text{A}}$, $P$ l'image de $N$ par $r_{\text{B}}$ et $Q$ l'image de $M$ par $r_{\text{O}}$. On note $n, p$ et $q$ les affixes respectives des points $N,\, P$ et $Q$. \begin{enumerate} \item Montrer que $n = \text{i}m + 1 + \text{i}$. On admettra que $p = -m + 1+\text{i}$ et $q = -\text{i}m$. \item Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme. \item \begin{enumerate} \item Montrer l'égalité : $\dfrac{m - n}{p - n} = \text{i} + \dfrac{1}{m}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ tels que le quadrilatère $MNPQ$ soit un rectangle. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%% fin Amérique du Nord mai 2011 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2010 %%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2010}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2010}} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip Soit A, B et P les points d'affixes respectives $a = 5 + 5\text{i},~b = 5 - 5\text{i}$ et $p = 10$. On considère un point $M$, distinct de O, d'affixe $z$. On note $U$ le point d'affixe $u$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{A}}$ de centre A et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$. On note $T$ le point d'affixe $t$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{B}}$ de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. Soit $D$ le symétrique du point $M$ par rapport à O. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que l'affixe du point $U$ est $u = \text{i}(10 - z)$ ; exprimer en fonction de $z$ l'affixe du point $T$ puis justifier que le quadrilatère $MUDT$ est un parallélogramme de centre O. \item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $z\overline{z} - 5z - 5\overline{z} = 0$. Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans $\Gamma$. \item On suppose que le point $M$ est distinct de O, A et P. Les points O, $M$ et $U$ sont donc distincts deux à deux. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{u}{z} = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}$. \item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $M$ appartient à $\Gamma$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que O$MU$ soit un triangle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère $MUDT$ ? \item Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{u}{z}$ soit un imaginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère $MUDT$ dans le cas où $M$ est un point de la droite (OP) privée de O et P. Prouver finalement qu'il existe une unique position du point $M$ tel que $MUDT$ soit un carré. \end{enumerate} %%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2010 %%%%%%% \newpage %%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2010 %%%%%%%%% \hypertarget{Caledonie_nov2010}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2010}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. \item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C. \item Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. \item En déduire la nature du triangle ABC . \end{enumerate} \item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. \begin{enumerate} \item Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe $- \sqrt{3} - \text{i}$. \item Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. \item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. \item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que \[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\] \item Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2010 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%% Polynésie septembre 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_septembre2010}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2010}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unité : 1~cm). On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \medskip On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$ $s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$. \medskip Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$. On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de $h$. \item Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d=-2-4\text{i}$. \end{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. \item Soit P le milieu du segment [AC]. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $p$ du point P. \item Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$. \end{enumerate} \item Soit Q le milieu du segment [BD]. Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ? \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Polynésie sept. 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2010 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_septembre2010}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2010}} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2. Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. \item On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$. Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. \item Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{BI}}$. Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ? Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. %%%%%%%%%%%%%% fin Métropole sept. 2010 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{center} \textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center} \textbf{Prérequis} \medskip Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels. On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$. \medskip \textbf{Questions} \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère l'équation (E) : $z^4 = - 4$ où $z$ est un nombre complexe. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si le nombre complexe $z$ est solution de l'équation (E) alors les nombres complexes $- z$ et $\overline{z}$ sont aussi solutions de l'équation (E). \item On considère le nombre complexe $z_{0} = 1 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $z_{0}$ sous forme exponentielle. \item Vérifier que $z_{0}$ est solution de l'équation (E). \end{enumerate} \item Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}~;~z_{\text{B}} = -1 + \text{i}~;~z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}~\text{et}~z_{\text{D}} = 1 - \text{i}.\] Soit $r$ la rotation du plan de centre C et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{3}$. On appelle E l'image du point B par $r$ et F celle du point D par $r$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la rotation $r$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'affixe du point E, notée $z_{\text{E}}$, est égale à $- 1 + \sqrt{3}$ \item Déterminer l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F. \item Démontrer que le quotient $\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}}$ est un nombre réel. \item Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole 22 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A. Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha = 2\overline{\alpha} - 8$. \item Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Soit D un point du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. \begin{enumerate} \item Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \item Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$. \end{enumerate} \item Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. \begin{enumerate} \item Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$. \item On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$. Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a. En déduire que le triangle AFG est équilatéral. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale. On admet que AF$^2 = 4 - 3 \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$. Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8.5,3) \psframe(8.5,3) \psline(0,2)(8.5,2)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$-\pi$} \uput[u](6,2){$\dfrac{5\pi}{6}$} \uput[u](3.5,2){$-\dfrac{\pi}{6}$} \uput[u](8.3,2){$\pi$} \rput(0.5,1){$f$} \psline{->}(1.5,1.8)(3.3,0.4)\psline{->}(3.8,0.4)(5.7,1.8)\psline{->}(6.3,1.8)(8.2,0.4) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion 22 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie I : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C. \medskip On rappelle que $\left(\vect{u},~\vect{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$. \medskip Montrer que $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. \bigskip \textbf{Partie II :} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère le point A d'affixe $1 + \text{i}$. On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{z -1- \text{i}}{z}.\] Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe i. \item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $\left|z'\right| = 1$. \item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers 14 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe $a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui·même, qui au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' =\dfrac{\text{i}z}{z + 1}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe des points $M$ tels que $M' = M$. \item Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a : \[\text{O}M' = \dfrac{\text{O}M}{\text{A}M}~\text{et}~ \left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{O}}\right) + \dfrac{\pi}{2}~\text{\`a}~2\pi~\text{pr\`es}.\] \item \begin{enumerate} \item Soit B le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$. Placer dans le repère le point B et la médiatrice ($\Delta$) du segment [OA]. \item Calculer sous forme algébrique l'affixe $b'$ du point B$'$ image du point B par $f$. Établir que B$'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon 1. Placer le point B$'$ et tracer le cercle $(\mathcal{C})$ dans le repère. \item En utilisant la question 2, démontrer que, si un point $M$ appartient à la médiatrice ($\Delta$), son image $M'$ par $f$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$. \item Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point C par $f$ (On laissera apparents les traits de construction.) \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts de A et de O dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses. Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante. \begin{enumerate} \item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,~y) \neq (-1,~0)$ et $(x,~y) \neq (0,~0)$. Démontrer que la partie imaginaire de $z'$ est égale à : \[\text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}\] En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble ($\Gamma$) et le tracer dans le repère. \item À l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble ($\Gamma$). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie 21 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B, C et P d'affixes respectives : \[ a = - 2,\quad b = 2 - 2\text{i}\sqrt{3},\quad c = 3+3\text{i}\sqrt{3}\quad \text{et} \quad p = 10.\] \medskip \textbf{PARTIE A Étude de la configuration} \medskip \begin{enumerate} \item Construction de la figure. \begin{enumerate} \item Placer les points A et P dans le repère \Ouv. \item Déterminer les modules des nombres complexes $b$ et $c$. \item Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C. \end{enumerate} \item Démontrer que le triangle BCP est équilatéral. \item On note $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que l'image Q du point C par $r_{\text{A}}$ a pour affixe : $q = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$. \item Vérifier l'égalité : $q = -2b$. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ? \end{enumerate} \item Soit R le symétrique de C par rapport à O. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O. \item Établir que: AP = BQ = CR. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, associe le réel $f(M)$ défini par : \[f(M) = M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f(\text{O})$. \item Soient $M$ un point quelconque et $N$ son image par la rotation $r_{\text{A}}$. Démontrer que : $M\text{A} = MN$ puis que $M\text{C} = N\text{Q}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point $M$ du plan, $f(M) \geqslant 12$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane 18 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm. \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \smallskip Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si: \[ \left\{ \begin{array}{rclc} \Omega M'&=&\Omega M & (1)\\ \left(\vect{\Omega M}~;~\vect{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2) \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$. Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments. \item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$ \end{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation: \[z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0.\] On donnera les solutions sous forme algébrique. \item Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2\i$ et $b=2\sqrt{3}+2\i$. \begin{enumerate} \item Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle. \item Faire une figure et placer les points $A$ et $B$. \item Montrer que O$AB$ est un triangle équilatéral. \end{enumerate} \item Soit $C$ le point d'affixe $c=-8\i$ et $D$ son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. Placer les points $C$ et $D$. Montrer que l'affixe du point $D$ est $d=4\sqrt{3}+4\i$. \item Montrer que $D$ est l'image du point $B$ par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport. \item Montrer que O$AD$ est un triangle rectangle. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord 3 juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice. On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1. On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z (z \neq \text{i})$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$. \item Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D$'$ associé au point D par l'application $f$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i},~ \left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$. \item En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq \text{i})$ : \[\begin{array}{l} \text{BM}' \times \text{AM} = 1\\ \text{et}~ \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.} \end{array}\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. \item En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E$'$ associé au point E par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle BD$'$ E$'$ ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_nov2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledo_nov2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice. \item Déterminer la nature du triangle OAB. \end{enumerate} \item On note $r$ la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point $M$ d' affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe du point $M'$. \begin{enumerate} \item Calculer un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. Interpréter géométriquement ce résultat. \item En déduire l'écriture complexe de la rotation $r$. \end{enumerate} \item Soient $\Gamma$ le cercle de centre A passant par O et $\Gamma '$ le cercle de centre B passant par O. Soit C le deuxième point d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma '$ (autre que O). On note $z_{\text{C}}$ son affixe. \begin{enumerate} \item Justifier que le cercle $\Gamma'$ est l'image du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. \item Calculer l'affixe $z_{\text{I}}$ du milieu I de [AB]. \item Déterminer la nature du quadrilatère OACB. \item En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est : \[z_{\text{C}} = 1 + \left(2 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\] \end{enumerate} \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 2\text{i}\sqrt{3}$. \begin{enumerate} \item Justifier que le point D appartient au cercle $\Gamma$. Placer D sur la figure. \item Placer D$'$ image de D par la rotation $r$ définie à la question 2. On note $z_{\text{D}'}$ l'affixe de D$'$. Montrer que $z_{\text{D}'} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$. \end{enumerate} \item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{DC}}$ et $\vect{\text{DD}'}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$. \item Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles. \item Établir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points tels que $M'= M$). \medskip On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan. \medskip \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel. \item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel. \item Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}. Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}. \item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 2~cm. On appelle $\left(\Gamma \right)$ le cercle de centre O et de rayon 1. \medskip \emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.} \medskip On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = z + \text{i} - \dfrac{1}{z}.\] \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et leurs images A$'$ et B$'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$ et $b'$. \item Placer les points A, A$'$ B et B$'$. \item Démontrer que $\dfrac{-b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. \item En déduire la nature du triangle OBB$'$. \end{enumerate} \item On recherche l'ensemble (E) des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$ \[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\] \item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E). \item Démontrer que les points de (E) appartiennent à $\left(\Gamma \right)$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel. \begin{enumerate} \item Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$. \item En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment [A$'$C] où C a pour affixe $- \text{i}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = -11 + 4\text{i},~ z_{\text{B}} = -3 - 4\text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 5 + 4\text{i}.\] \item Calculer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}$ et en déduire la nature du triangle ABC. \item Soit E l'image du point C par la rotation $\mathcal{R}$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. Montrer que l'affixe de E vérifie $z_{\text{E}} = -3 + \left(8\sqrt{2} - 4 \right)\text{i}$. Placer le point E. \item Soit D l'image du point E par l'homothétie $\mathcal{H}$ de centre B et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D . \item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit $\mathcal{D}$ la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF]. Montrer que B, I et J sont alignés. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. On supposera connus les résultats suivants : $\bullet~$ Pour tous points A, B et C du plan d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$, avec A $\neq$ C et A~$\neq$~B : $\left|\dfrac{b - a}{c - a}\right| = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et arg$\left(\dfrac{b - a}{c - a}\right) = \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}} \right) + k \times 2\pi$~où $k$ est un entier relatif ; $\bullet~$ Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un nombre réel : $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et arg$(z) = \theta + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif. \medskip Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d' affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'- \omega= \text{e}^{\text{i}\theta}(z - \omega)$. \medskip \textbf{Partie B } \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 1~cm. Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z'= \text{i}z + 4+ 4\text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$ \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ on a : $z'- 4\text{i} = \text{i}(z -4\text{i})$. \item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$. \end{enumerate} \item On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = -4 + 6\text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et $\Omega$ sur une figure que l'on completera au fur et à mesure des questions. \item Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$ images respectives des points A et B par $f$. \end{enumerate} \item On appelle $m,~ n,~ p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA$'$], [A$'$B], [BB$'$] et [B$'$A]. \begin{enumerate} \item Déterminer $m$. On admettra que $n = 1 + 7\text{i},~p = -3 + 3\text{i}$ et $q = 1 -\text{i}$. \item Démontrer que MNPQ est un parallélogramme. \item Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe $\dfrac{q - m}{n - m}$. En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. \end{enumerate} \item Démontrer que les droites (B$'$A) et ($\Omega$N) sont perpendiculaires. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ milieu du segment $\left[MM_{1}\right]$ où $M_{1}$ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$. Le point $M'$ est appelé l'image du point $M$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les distances O$M$ et O$M_{1}$ vérifient la relation O$M \times \text{O}M_{1}= 1$ et que les angles $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right)$ et $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right) = - \left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ à $2\pi$ près. \item Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. Construire le point A$'$ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point $M'$ a pour affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left( z + \dfrac{1}{z}\right)$. \item Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et $-$2i. Calculer les affixes des points B$'$ et C$'$ images respectives des points B et C. \item Placer les points B, C, B$'$ et C$'$ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie). \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M' = M$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image $M'$ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives $-1$ et 1. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\ Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i} \theta}$,~$\theta$ étant un nombre réel. \begin{enumerate} \item (E) est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1. \item (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{5}$. \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= -\text{i}z - 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item $f$ est une homothétie. \item Le point d'affixe $-1 - 2\text{i}$ est un antécédent du point d'affixe $\text{i}$. \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1 + \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ \item $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $-1- \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ \end{enumerate} \item Soit (F) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z -1 +\text{i}| = |z + 1 + 2\text{i}|$. Soient les points A, B et C d' affixes respectives $1- \text{i},~ -1 + 2\text{i}$ et $-1- 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item C est un point de (F). \item (F) est la médiatrice du segment [AB]. \item (F) est la médiatrice du segment [AC]. \item (F) est le cercle de diamètre [AB]. \end{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \mbox{$z + |z|^2 = 7 + \text{i}$}. Cette équation admet : \begin{enumerate} \item Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. \item Une solution réelle. \item Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. \item Une solution qui a pour partie imaginaire 2. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. \medskip On place dans ce repère, les points A d'affixe 1, $B$ d'affixe $b$ où $b$ est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive. On construit à l'extérieur du triangle OA$B$, les carrés directs O$DC$A et O$BEF$ comme indiqué sur la figure ci-dessous. \medskip \parbox{0.5\linewidth}{\begin{enumerate} \item Déterminer les affixes $c$ et $d$ des points C et D. \item On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $+\frac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de $r$. \item En déduire que l'affixe $f$ du point $F$ est $\text{i}b$. \item Déterminer l'affixe $e$ du point $E$. \end{enumerate} \item On appelle $G$ le point tel que le quadrilatère O$FG$D soit un parallélogramme. Démontrer que l'affixe $g$ du point $G$ est égal à $\text{i}(b -1)$. \item Démontrer que $\dfrac{e - g}{c - g} = \text{i}$ et en déduire que le triangle $EG$C est rectangle et isocèle. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=2.25cm}\begin{pspicture}(-1.25,-1.5)(1.5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psframe(0,0)(1,-1) \rput{40}(0,0){\psframe(0,0)(1.2,1.2)} \psline(0,-1)(-0.76,-0.12)(-0.76,0.92) \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){A} \uput[ur](0.86,0.78){$B$} \uput[dr](1,-1){C} \uput[dl](0,-1){D} \uput[u](0.17,1.63){$E$} \uput[l](-0.78,0.86){$F$} \uput[dl](-0.78,-0.14){$G$} \end{pspicture}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}. \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. Soit le point $A$ d'affixe 3, le point $B$ d'affixe $-4\text{i}$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left\vert z - 3\right\vert=\left\vert z+4\text{i}\right\vert$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{E}$ est la médiatrice du segment $[AB]$. \end{tabular} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère trois points $A$, $B$ et $C$ deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que $\dfrac{c - a}{b - a}=2\text{i}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$. \end{tabular} \item On considère le nombre $z=2\text{e}^{\text{i}\frac\pi7}$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $z^{2009}$ est un nombre réel positif. \end{tabular} \item On considère trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés de l'espace. Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des points $M$ vérifiant $\left\vert\left\vert \vect{MA}+\vect{MB}+\vect{MC}\right\vert\right\vert=6$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{F}$ est la sphère de centre de $G$ et de rayon 2. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. $\mathscr{S}$ est la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 5$. $\mathscr{P}$ est le plan d'équation $x + y - 5 = 0$. \medskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} Le plan $\mathscr{P}$ coupe la sphère $\mathscr{S}$ suivant un cercle. \end{tabular} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On considère les points A, B et C d' affixes respectives : \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} = - 3.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A, B et C. \item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$. On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points O, A, B et C. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. \item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . \item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$. \end{enumerate} \item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points G et G$'$. \item Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole) \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. Soit A le point d'affixe $a = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B le point d'affixe $b = 1 - \sqrt{3} + \left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}$. \medskip \textbf{Partie A : étude d'un cas particulier} \medskip On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On note C le point d'affixe $c$ image du point A par la rotation $r$ et D le point d'affixe $d$ image du point B par la rotation $r$. La figure est donnée en annexe (figure 1). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\dfrac{- a}{b - a}$ sous forme algébrique. \item En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A. \end{enumerate} \item Démontrer que $c = -2$. On admet que $d = -2 - 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (AC) a pour équation $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+ 2)$. \item Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude du cas général} \medskip Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]0~;~2\pi[$. On considère la rotation de centre O et d'angle $\theta$. On note A$'$ le point d'affixe $a'$, image du point A par la rotation $r$, et B$'$ le point d'affixe $b'$, image du point B par la rotation $r$. La figure est donnée en annexe (figure 2). L'objectif est de démontrer que la droite (AA$'$) coupe le segment [BB$'$] en son milieu. \begin{enumerate} \item Exprimer $a'$ en fonction de $a$ et $\theta$ et $b'$ en fonction de $b$ et $\theta$. \item Soit P le point d'affixe $p$ milieu de [AA$'$] et Q le point d'affixe $q$ milieu de [BB$'$]. \begin{enumerate} \item Exprimer $p$ en fonction de $a$ et $\theta$ puis $q$ en fonction de $b$ et $\theta$. \item Démontrer que $\dfrac{-p}{q - p} = \dfrac{- a}{b - a}$. \item En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ). \item Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA$'$). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_mars2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie mars 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 3 + 4\text{i}$. Soit C et D les points d'affixes respectives $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 - \sqrt{3})$ et $z_{\text{D}} = -2\sqrt{3} + \text{i}( -2 + \sqrt{3})$. L' objet de l'exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est le point D. \item En déduire que les points B et D sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre A dont on déterminera le rayon. \end{enumerate} \item Soit F, l'image du point A par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{3}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F est $-2\text{i}$. \item Montrer que le point F est le milieu du segment [CD]. \item Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} = - \text{i}\sqrt{3}$. En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}$. Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD]. \end{enumerate} \item Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_dec2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud décembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_dec2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A, B, C d'affixes respectives $a = - 1 + 2\text{i},~b = 1 + 3\text{i},~c = 4\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est isocèle en A. \item Soit I le milieu de [BC] et $z_{\text{I}}$ son affixe. \begin{enumerate} \item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de A dont l'affixe $z$ est telle que $\dfrac{z - z_{\text{I}}}{z - a}$ soit un réel ? \item Déterminer l'unique réel $x$ tel que $\dfrac{x - z_{\text{I}}}{x - a}$ soit un réel. \item Soit $z_{\vect{\text{AI}}}$ l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$, donner une forme trigonométrique de $z_{\vect{\text{AI}}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit G le point d'affixe $-3$. Montrer qu'il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l'axe des réels. \item Soit $r_{1}$ la rotation de centre G et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{4}$. Déterminer l'écriture complexe de $r_{1}$. \end{enumerate} \item Soit A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B, et C par la rotation $r_{1}$ ; soient $a',~ b'$ et $c'$ leurs affixes. Quelle est l'image par $r_{1}$ de l'axe de symétrie du triangle ABC ? En déduire que $b' = \overline{c'}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. \begin{enumerate} \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2. La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH $<$ OK. On note $z_{\text{H}}$ et $z_{\text{K}}$ les affixes respectives des points H et K, \begin{enumerate} \item Faire une figure en prenant 1~cm comme unité graphique. \item Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH. \item Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que \[z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.\] \end{enumerate} \textbf{Dans toute la suite}, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{-4}{z}.\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer et placer les points images de B et C par $f$. \item On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image. Déterminer les points invariants par $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a : \[\text{O}M \times \text{O}M' = 4.\] \item Déterminer arg$\left(z'\right)$ en fonction de arg$(z)$. \end{enumerate} \item Soient K$'$ et H$'$ les images respectives de K et H par $f$. \begin{enumerate} \item Calculer OK$'$ et OH$'$. \item Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$. \item Expliquer comment construire les points K$'$ et H$'$ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole La Réunion septembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On réalisera une figure en prenant 2~cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère les points A, B et I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,~z_{\text{B}} = 5$ et $z_{\text{I}} = 3 + \text{i}$. On note ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon $1$, ($\Delta$) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle ($\mathcal{C}$) en A. À tout point $M$ d'affixe $z$, différent de A, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{z - 5}{z - 1}.\] Le point $M'$ est appelé l'image de $M$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I$'$ image de I. Vérifier que I$'$ appartient à ($\mathcal{C}$). \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a : O$M' = \dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$. \item Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a :\\ $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Dans la suite de l'exercice, $M$ désigne un point quelconque de ($\Delta$). On cherche à construire géométriquement son image $M'$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $M'$ appartient à ($\mathcal{C}$). \item On note ($d$) la droite symétrique de la droite (A$M$) par rapport à la tangente (T). ($d$) recoupe ($\mathcal{C}$) en $N$. \begin{enumerate} \item Justifier que les triangles A$M$B et AO$N$ sont isocèles. Après avoir justifié que $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{A}N}\right) = \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{AB}}\right)$ démontrer que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}N}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$. \item En déduire une construction de $M'$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation díinconnue $z$ : \[z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0.\] \item On considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} - \text{i}$, B d'affixe $z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$ et C le milieu de [OB] d'affixe $z_{\text{C}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \item Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2~cm pour unité. \item Montrer que le triangle OAB est équilatéral. \end{enumerate} \item Soit D l'image de C par la rotation $r$ de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et E l'image de D par la translation $t$ de vecteur $2\vect{v}$. \begin{enumerate} \item Placer les points D et E sur une figure. \item Montrer que l'affixe $z_{\text{E}}$ du point E vérifie : $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2}\left[1 + \text{i}\left(4 - \sqrt{3}\right)\right]$. \item Montrer que OE = BE $ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$. \end{enumerate} \item Montrer que les points A, C et E sont alignés. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2008_retour}{Retour au tableau} \textbf{\Large } \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z^2 - 6z + 13 = 0.\] Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives $a = 3 - 2\text{i},{} b = 3 + 2\text{i}, {}c = 4\text{i}$. \item Faire une figure et placer les points A, B, C. \item Montrer que OABC est un parallélogramme. \item Déterminer l'affïxe du point $\Omega $, centre du parallélogramme OABC. \item  Déterminer et tracer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\left\| \vect{M\text{O}} + \vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right\| = 12$. \item  Soit $M$ un point de la droite (AB). On désigne par $\beta $ la partie imaginaire de l'affixe du point $M$. On note $N$ l'image du point $M$ par la rotation de centre $\Omega $ et d'angle $\dfrac{\pi }{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $N$ a pour affixe $\dfrac{5}{2} - \beta + \dfrac{5}{2}\text{i}$. \item Comment choisir $\beta $ pour que $N$ appartienne à la droite (BC) ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item  Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi }{3}$. \textbf{Proposition 1} : \og $z^{100}$ est un nombre réel \fg. \item  Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de 1 du plan telle que $\left| {\dfrac{z}{{1 - z}}} \right| = 1$. \textbf{Proposition 2} : \og l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels \fg. \item Soit $r$ la rotation d'angle $ - \dfrac{\pi }{2}$ et dont le centre K a pour affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}.$ \textbf{Proposition 3} : \og l'image du point O par la rotation $r$ a pour affixe $\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + \text{i}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$ \fg. \item  On considère l'équation (E) suivante : $z^2 + 2\cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)z + 1 = 0$. \textbf{Proposition 4} : \og l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à $1$ \fg. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Etranger_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonornial direct \Ouv ; l'unité graphique est 1~cm. \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation: \[z^2 + 4z + 8 = 0.\] On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. \item On note A et B les points du plan d'affixes respectives : $a = 2 - 2\text{i}$ et $b = -a$. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $c$ du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$ \item On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; démontrer que l'affixe $d$ du point D est $d =2 - 6\text{i}$. \item Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? \end{enumerate} \item $\alpha$ étant un nombre réel non nul, on désigne par $G_{\alpha}$, le barycentre du système : \[\left\{(\text{A}~;~ 1)~;~(\text{B}~;~ -1)~ ;~(\text{C}~;~\alpha)\right\}.\] \begin{enumerate} \item Exprimer le vecteur $\vect{\text{C}G_{\alpha}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{BA}}.$ \item En déduire l'ensemble des points $G_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble. \item Pour quelle valeur de $\alpha$ a-t-on $G_{\alpha} =$ D ? \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que $\alpha = 2$. \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2}.\] \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2008_retour}{Retour au tableau} \textbf{\Large } \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, $3 - \text{i}$ et 2. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \mbox{$z' = z^2 - 4z$}. Le point $M'$ est appelé l'image de $M$. \begin{enumerate} \item Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice. \item Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ? \item Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe $- 5$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a : $z' + 4 = (z - 2)^2$. \item En déduire une relation entre $\left|z' + 4\right|$ et $|z - 2|$ et, lorsque $z$ est différent de 2, une relation entre arg$\left(z' +4\right)$ et arg $(z - 2)$, \item Que peut-on dire du point $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2 ? \end{enumerate} \item Soient E le point d'affixe $2+ 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, J le point d'affixe $-4$ et E$'$ l'image de E. \begin{enumerate} \item Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~; \vect{\text{IE}}\right)$. \item Calculer la distance JE$'$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~; \vect{\text{JE}'}\right)$. \item Construire à la règle et au compas le point E$'$ ; on laissera apparents les traits de construction. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv. Soit ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon 1. On considère le point A de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que ($\mathcal{C}$) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-2$. \begin{enumerate} \item Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par $h$. \item Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.} \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $h$. \item Calculer $z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$. En déduire que A est le milieu du segment [QR]. \item Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle ($\mathcal{C}$) ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2008_retour}{Retour au tableau} \textbf{\Large } \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour le dessin : $\left\|\vect{u}\right\| = 4$~cm. $M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que \[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$. \medskip \textbf{A - Quelques propriétés} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$. \item Démontrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés. \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : $\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Construction de l'image d'un point} On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie : $|z - 1| = 1$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}$ ? \item Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité. \item Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité : $|z - 1| = 1$ ? \end{enumerate} \item Tracer l'ensemble $\mathcal{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathcal{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice. \textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie.} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, le point A a pour affixe i. On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq \text{i}$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{-z^2}{z - \text{i}}\] Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$. \begin{enumerate} \item \textbf{Un exemple} On considère le point K d'affixe $1+\text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer le point K. \item Déterminer l'affixe du point K$'$ image de K par $f$. \item Placer le point K$'$. \end{enumerate} \item \textbf{Des points pour lesquels le problème ne se pose pas} \begin{enumerate} \item On considère le point L d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Déterminer son image L$'$ par $f$. Que remarque-t- on ? \item Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image. Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes. \end{enumerate} \item \textbf{Un procédé de construction} On nomme $G$ l'isobarycentre des points A, $M$, et $M'$, et $g$ l'affixe de $G$. \begin{enumerate} \item Vérifier l'égalité $g = \dfrac{1}{3(z - \text{i} )}$. \item En déduire que : si $M$ est un point du cercle de centre A de rayon $r$ , alors G est un point du cercle de centre O de rayon $\dfrac{1}{3r}$. \item Démontrer que arg $g = - \left(\vect{u}~  ;~\vect{\text{A}M}\right)$. \item Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}.$ On nomme D$'$ l'image de D par $f$ . Déduire des questions précédentes la construction du point D$'$ et la réaliser sur \textbf{la figure annexe à rendre avec la copie.} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}unité graphique : $4$~cm. On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 2 + \text{i}$ et le cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. \begin{enumerate} \item Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points d'intersection de ($\Gamma$) et de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. \item On désigne par B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 1$ et $z_{\text{C}} = 3$. Déterminer l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle ($\Gamma$). \end{enumerate} \item Soit M le point d'affixe $\dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$. \item Interpréter géométriquement un argument du nombre $\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{M}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{M}}}$ ; en déduire que le point M appartient au cercle ($\Gamma$). \end{enumerate} \item On note ($\Gamma'$) le cercle de diamètre [AB]. La droite (BM) recoupe le cercle ($\Gamma'$) en un point N. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles. \item Déterminer l'affixe du point N. \end{enumerate} \item On désigne par M$'$ l'image du point M par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point M$'$. \item Montrer que le point M$'$ appartient au cercle ($\Gamma'$). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2008_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose connus les résultats suivants : \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$ et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$. Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right) = \left(\vect{CA},~\vect{CB} \right) \quad (2\pi)$. \item Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel : $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \emph{Démonstration de cours} : démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\] \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans un repère orthonormal direct du plan complexe \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm, on considère les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$. \item Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère \Ouv{} ? \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? \end{enumerate} \item On considère la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par : $E = r(A)$ et $F = r(C)$. \begin{enumerate} \item Comment construire à la règle et au compas les points $F$ et $E$ dans le repère précédent ? \item Donner l'écriture complexe de $r$. \item Déterminer l'affixe du point $E$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_dec2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec2007_retour}{Retour au tableau} \medskip Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O. \begin{enumerate} \item Une solution de l'équation $2z + \overline{z} = 9 + \text{i}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} $3$& \textbf{b.} i& \textbf{c.} $3 + \text{i}$\\ \end{tabularx} \item Soit $z$ un nombre complexe ; $|z + \text{i}|$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} $|z| + 1$& \textbf{b.} $|z - 1|$& \textbf{c.} $|\text{i}\overline{z} + 1|$\\ \end{tabularx} \item Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$. Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} $- \dfrac{\pi}{3} + \theta$& \textbf{b.} $ \dfrac{2\pi}{3} + \theta$& \textbf{c.} $ \dfrac{2\pi}{3} - \theta$\\ \end{tabularx} \item Soit $n$ un entier naturel. Le complexe $\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} $n = 3$& \textbf{b.}$n = 6k + 3$, avec $k$ relatif& \textbf{c.} $n = 6k$ avec $k$ relatif\\ \end{tabularx} \item Soient A et B deux points d'affixe respective i et $-1$. l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} la droite (AB)& \textbf{b.} le cercle de diamètre [AB]& \textbf{c.} la droite perpendiculaire à (AB) passant par O\\ \end{tabularx} \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 - \text{i}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant $|z - 1 + \text{i}| = |3 - 4\text{i}|$ a pour équation : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} $y = -x + 1$& \textbf{b.} $(x - 1)^2 + y^2 = \sqrt{5}$& \textbf{c.} $z = 1 - \text{i} + 5\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ réel\\ \end{tabularx} \item Soient A et B les points d'affixes respectives $4$ et $3\text{i}.$ L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} $1 - 4\text{i}$& \textbf{b.} $-3\text{i}$& \textbf{c.} $7 + 4\text{i}$\\ \end{tabularx} \item L'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z - 2}{z - 1} = z$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.} $\{1 - \text{i}\}$& \textbf{b.} L'ensemble vide& \textbf{c.} $\{1 - \text{i}~;~1 + \text{i}\}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_nov2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2007_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ de P d'affixe non nulle $z$ associe le point $M'$ d'affixe : \[ z'= \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right).\] \begin{enumerate} \item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point E$'$, image de E par $f$ \item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'= M$. \item On note A et B les points d'affixes respectives $1$ et $-1$. Soit $M$ un point distinct des points O, A et B. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0,~ 1$ et $-1$, on a : \[\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1} \right)^2.\] \item En déduire une expression de $\dfrac{M'\text{B}}{M'\text{A}}$ en fonction de $\dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$ puis une expression de l'angle $\left(\vect{M'\text{A}},~\vect{M'\text{B}} \right)$ en fonction de l'angle $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}} \right)$ \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la médiatrice du segment [A, B]. Montrer que si $M$ est un point de $\Delta$ distinct du point O, alors $M'$ est un point de $\Delta$. \item Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [A, B]. \begin{enumerate} \item Montrer que si le point $M$ appartient à $\Gamma$ alors le point $M'$ appartient à la droite (AB). \item Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par $f$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_sept2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole--La Réunion septembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2007_retour}{Retour au tableau} \medskip Soit les nombres complexes : \[z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6},~, z_{2} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et} \quad Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.\] \begin{enumerate} \item Écrire $Z$ sous forme algébrique. \item Donner les modules et arguments de $z_{1},~  z_{2}$ et $Z$. \item En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$. \item Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra 2~cm comme unité graphique. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $Z$. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents). \item Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{\nombre{2007}}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2007_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre complexe $\alpha$ tel que $\left\{\begin{array}{l c l} \alpha(1 + \text{i})&=&1 + 3\text{i}\\ \text{i}\alpha^2&=&- 4 + 3\text{i}\\ \end{array}\right.$ \item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 - (1 + 3\text{i})z + (- 4 + 3\text{i})$. Montrer que $f(z)$ s'écrit sous la forme $(z - \alpha)(z - \text{i}\alpha)$. En déduire les solutions sous forme algébrique de l'équation $f(z) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv, unité graphique : $5$~cm. \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = 2 + \text{i}$ et $b = - 1 + 2\text{i}$. Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure. Montrer que $b = \text{i}\alpha$, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$ \item On considère le point C d'affixe $c = - 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}$. Déterminer l'affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$ On pourra conjecturer l'affixe de D à l'aide de la figure pour traiter la question suivante. \item Soit M le milieu de [CB]. On appelle $z_{\vect{\text{OM}}}$ et $z_{\vect{\text{DA}}}$ les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{OM}}$ et $\vect{\text{DA}}$. Prouver que : $\dfrac{z_{\vect{\text{OM}}}}{z_{\vect{\text{DA}}}} = \dfrac{1}{2}\text{i}$. \item Donner une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{DA}},~\vect{\text{OM}}\right).$ \item Prouver que $\text{OM} = \dfrac{1}{2}\text{DA}$. \item On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrer que c'est un carré. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. Les questions suivantes sont indépendantes. \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation : \[ \overline{z} - 3\text{i}z - 3+ 6\text{i} = 0,~~\overline{z}~ \text{étant le conjugué de}~ z.\] \item On considère le point A d'affixe $4 - 2\text{i}$. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point B tel que OAB soit un triangle équilatéral de sens direct. \item Soit D le point d'affixe 2i. \begin{enumerate} \item Représenter l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ différente de 2i tels que : \[\text{arg}(z - 2\text{i}) = \dfrac{\pi}{4} + k \times 2\pi (k \in \Z).\] \item Représenter l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z = 2\text{i} + 2 \text{e}^{\text{i}\theta},~\theta$ appartenant à $\R$. \end{enumerate} \item À tout point $M$ d'affixe $z \neq - 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = \dfrac{z - 1}{\overline{z} + 2}$. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de $-2$ tels que $\left| z'\right| = 1$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. A, B, C désignent les points d'affixes respectives $a = -2\sqrt{3},~ b = \sqrt{3} - 3\text{i}$ et $c = 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire $b$ sous forme exponentielle. \item Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 2. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes). \end{enumerate} \item On désigne par E le barycentre du système $\{$(A~; 1) ; (C ; 3)$\}$ et par F le barycentre du système $\{$(A ; 2) ; (B ; 1)$\}$. \begin{enumerate} \item Établir que l'affixe $e$ du point E est égale à $ - \dfrac{ \sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$. \item Déterminer l'affixe $f$ du point F. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le quotient $\dfrac{e - c}{e - b}$ peut s'écrire $k$i où $k$ est un nombre réel à déterminer. En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin. \item Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin. \end{enumerate} \item On désigne par H le barycentre du système $\{$(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)$\}$. Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Qu'en déduit-on pour le point H ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2007_retour}{Retour au tableau} \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation : \[ (\text{E}) \quad z^3-(4+\text{i}) z^2 +(13+4\text{i}) z -13\text{i} = 0\] où $z$ est un nombre complexe. \begin{enumerate} \item Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait : \[z^3 -(4+\text{i}) z^2 +(13+4\text{i}) z - 13\text{i} = (z - \text{i}) \left(az^2 +bz+c\right).\] \item En déduire les solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, $2 +3\text{i}$ et $2 - 3\text{i}$. \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. Déterminer l'affixe du point A$'$, image du point A par la rotation $r$. \item Démontrer que les points A$'$, B et C sont alignés et déterminer l'écriture complexe de l'homothétie de centre B qui transforme C en A$'$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Etranger_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{I. Restitution organisée de connaissances} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer qu' un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} = -z$. \item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$. \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$. \end{enumerate} \medskip Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct \Ouv. On se propose de démontrer, à l'aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d'affixes respective $a,~b,~c$, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l'origine O, a pour orthocentre le point H d'affixe $a + b + c$. \medskip \textbf{II. Étude d'un cas particulier} \medskip On pose : $a = 3 + \text{i},~b = -1 + 3\text{i},~c = - \sqrt{5} - \text{i}\sqrt{5}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. \item Placer les points A, B, C et le point H d'aflixe $a + b + c$, puis vérifier graphiquement que le point H est l'orthocentre du triangle ABC. \end{enumerate} \medskip \textbf{III. Étude du cas général.} \medskip ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et $a,~ b,~ c$ sont les affixes respectives des points A, B, C. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si : \[a\overline{a} = b\overline{b} = c\overline{c}.\] \item On pose $w= \overline{b}c - b\overline{c}$. \begin{enumerate} \item En utilisant la caractérisation d'un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que $w$ est imaginaire pur. \item Verifier l'égalité : $(b + c)\left(\overline{b} - \overline{c}\right) = w$ et justifier que : $\dfrac{b + c}{b - c} = \dfrac{w}{|b - c|^2}.$ \item En déduire que le nombre complexe $\dfrac{b + c}{b - c}$ est imaginaire pur. \end{enumerate} \item Soit H le point d'affixe $a + b + c$. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $a,~b$ et $c$ les affixes des vecteurs $\vect{\text{AH}}$ et $\vect{\text{CB}}$. \item Prouver que $\left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{AH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, où $k$ est un entier relatif quelconque. (On admet de même que $\left(\vect{\text{CA}},~\vect{\text{BH}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$). \item Que représente le point H pour le triangle ABC ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2007_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 4~cm. Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_{0}&=&0\\ z_{n+1}&=&\lambda \cdot z_{n} + \text{i}\\ \end{array}\right.\] On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$. \begin{enumerate} \item Calcul de $z_{n}$ en fonction de $n$ et de $\lambda$. \begin{enumerate} \item Vérifier les égalités : $z_{1} = \text{i}~ ;~ z_{2} = (\lambda + 1)\text{i}~ ;~ z_{3} = (\lambda^2 +\lambda + 1)\text{i}$. \item Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul : $z_{n} = \dfrac{\lambda^n - 1}{\lambda - 1}\cdot \text{i}$. \end{enumerate} \item Étude du cas $\lambda = \text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $z_{4} = 0$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$. \item Montrer que $M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$ par une rotation dont on précisera le centre et l'angle. \item Représenter les points $M_{0}~, M_{1},~ M_{2},~ M_{3}$ et $M_{4}$ dans le repère \Ouv. \end{enumerate} \item Caractérisation de certaines suites $\left(z_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\lambda^k=1$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité : $z_{n+k}= z_{n}$. \item Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel $k$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on ait l'égalité $z_{n+k}= z_{n}$ alors : $\lambda^k = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2007_retour}{Retour au tableau} \item \textbf{\Large } \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'= f(M)$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \dfrac{z}{|z|}\left(2 - |z|\right).\] Le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre O et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en annexe, que l'on complétera au fur et à mesure des questions. Pour $z$ complexe non nul, on note $z = r \text{e}^{\text{i}\alpha},~ r$ étant le module de $z$ et $\alpha$ un argument de $z$. \begin{enumerate} \item Montrer que $z'= (2 - r) \text{e}^{\text{i}\alpha}$. \item Déterminer l'affixe $a'$ du point A$'$, image par $f$ du point A d'affixe $a = 3$. \item Soit B le point d'affixe $b = -\sqrt{3}+ \text{i}$. \begin{enumerate} \item Écrire $b$ sous forme exponentielle. \item Déterminer l'affixe $b'$ du point B$'$, image du point B par $f$. \end{enumerate} \item Placer A, B, A$'$ et B$'$ sur la figure.. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ du plan privé du point O dont l'image par $f$ est O. \item Représenter $E$ sur la figure. \end{enumerate} \item Montrer que le cercle $\mathcal{C}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de O tels que $f(M)=M$. \item Pour cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O, n' appartenant pas au cercle $\mathcal{C}_{1}$. On appelle I le milieu du segment $[MM']$ où $M'$ est l'image de $M$ par $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que I appartient à $\mathcal{C}_{1}$. \item Montrer que I appartient à la demi-droite [O$M$). \item Sur la figure donnée en annexe est placé un point nommé $M_{1}$. Construire le point $M_{1}'$, image par $f$ du point $M_{1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \psset{unit=2cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-2.3,-2.3)(2.3,2.3) \SpecialCoor \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec u$} \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec v$} \uput[-135](O){O} \pscircle[linewidth=0.2pt](0,0){1} \uput[-180](-0.8,-0.6){$\mathcal{C}_1$} \dotnode (0.6,1.5) {M1} \uput[60](M1){$M_1$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_dec2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie décembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec2006_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} On considère l'équation (E) \[z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = 0 \] où $z$ désigne un nombre complexe. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que (E) admet une solution réelle, note $z_{1}$. \item Déterminer les deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait : \[ z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = \left(z - z_{1}\right)(z - 2 - 2\text{i})(az + b)\] \end{enumerate} \item Résoudre (E). \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les trois points A, B et C d'affixes respectives $1,~ 2 + 2\text{i}$ et $1 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Représenter A, B et C. \item Déterminer le module et un argument de $\dfrac{2 + 2\text{i}}{1 - \text{i}}$. En déduire la nature du triangle OBC. \item Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation. \item Soit D l'image de O par la rotation d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et de centre C. Déterminer l'affixe de D. \item Quelle est. la nature de OCDB ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2006_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1 cm. \begin{enumerate} \item \emph{Question de cours} On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe $z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et arg $(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ \fg. Soient $M,~ N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) = \left(\vect{MN},~\vect{MP}\right)$. \item Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$ \end{enumerate} \item On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 4 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1+ \text{i}, \quad z_{\text{C}} = 5\text{i}~ \text{et}~z_{\text{D}} = -3 -\text{i}.\] Placer ces points sur une figure. \item Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = (1 +2\text{i})z - 2 -4\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Préciser les images des points A et B par $f$. \item Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, on a : \[z'-z = -2\text{i}(2 - \text{i} - z).\] \item En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$, la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{M \Omega},~\vect{MM'}\right)$ \item Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ? \item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$. Écrire $z_{\text{E}}$ sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E$'$ associé au point E. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2006_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On pose $a = 3,~b = 5 - 2\text{i}$ et $c = 5 + 2\text{i}$. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $a,~b$ et $c$. Soit $M$ un point d'affixe $z$ du plan, distinct des points A et B. \begin{enumerate} \item Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle. \item Donner une interprétation géométrique de l'argument du nombre complexe $\dfrac{z-3}{ z - 5 + 2\text{i}}$. \item Déterminer alors l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-3}{ z - 5 + 2\text{i}}$ soit un nombre réel strictement négatif. \end{enumerate} \item Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle ABC et $\Omega$ le point d'affixe $2 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item Déterminer l'image $\Gamma '$ de $\Gamma$ par la rotation $r$. Déterminer une équation paramétrique de $\Gamma '$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2006_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe muni du repère orthonormal \Ouv, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z' = x' + \mathrm{i}y'$, où $x,~x',~y,~y'$ sont des. nombres réels. On rappelle que $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et que $|z|$ désigne le module de $z$. \begin{enumerate} \item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($z'\overline{z}) = 0$ . \item Montrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si lm($z'\overline{z}) = 0$. \textbf{Applications} \item $N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}N}$ soient orthogonaux ? \item On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d' affixe $\dfrac{1}{z^2}-1$. On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe z tels que les points O, $N$ et $P$ soient alignés. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2-1}\right)=-\overline{z}^2\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2$. \item En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble recherché. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2006_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d'affixes respectives $a = 1$ et $b= - 1$. On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ différent du point B, d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{z - 1}{z+1}\] \emph{On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.} \begin{enumerate} \item Déterminer les points invariants de$f$ c'est-à-dire les points $M$ tels que $M =f(M)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1,$ $ \left(z'- 1\right) (z + 1) = - 2$. \item En déduire une relation entre $\left|z' - 1\right|$ et $|z + 1|$ , puis entre arg$(z' - 1)$ et arg$(z + 1)$, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$. Traduire ces deux relations en termes de distances et d'angles. \end{enumerate} \item Montrer que si $M$ appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors $M'$ appartient au cercle (C$'$) de centre A et de rayon 1. \item Soit le point P d'affixe $p =-2 + \text{i}\sqrt{3}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $(p + 1)$. \item Montrer que le point P appartient au cercle (C). \item Soit $Q$ le point d'affixe $q = - \overline{p}$ où $\overline{p}$ est le conjugué de $p$. Montrer que les points A, P$'$ et Q sont alignés. \item En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l'image P$'$ du point P par l'application $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2006_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $+ \dfrac{\pi}{2}$. On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $\dfrac{z - 4}{z} = \text{i}$. Écrire la solution sous forme algébrique. \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z2 - 2z + 4 = 0$. Écrire les solutions sous forme exponentielle. \item Soient A, B, A$'$ et D les points du plan complexe d'affixes respectives : \[ a = 2, \qquad b = 4, \qquad a' = 2\text{i}\quad \text{et} \quad d = 2 + 2\text{i}.\] Quelle est la nature du triangle ODB ? \item Soient E et F les points d'affixes respectives $e = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $f = 1 + \text{i}\sqrt{3}$. Quelle est la nature du quadrilatère OEAF? \item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathcal{C}'$ le cercle de centre A$'$ et de rayon 2. Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$ \begin{enumerate} \item On désigne par E$'$ l'image par la rotation $r$ du point E. Calculer l'affixe $e'$ du point E$'$. \item Démontrer que le point E$'$ est un point du cercle $\mathcal{C}'$. \item Vérifier que : $e - d = \left(\sqrt{3} + 2\right) \left(e' - d\right)$. En déduire que les points E, E$'$ et D sont alignés. \end{enumerate} \item Soit D$'$ l'image du point D par la rotation $r$. Démontrer que le triangle EE$'$D$'$ est rectangle. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2006_retour}{Retour au tableau} \medskip On considère le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Dans tout l'exercice, $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ désigne le plan $\mathcal{P}$ privé du point origine O. \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours} On prend comme pré-requis les résultats suivants : \begin{itemize} \item Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg$(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z')$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif \item Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : arg$(z) = \left(\vect{u}~;~\vect{w}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif \end{itemize} \begin{enumerate} \item Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z)- \text{arg}(z')$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif. \item Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$, on a : arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) = \left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif. \end{enumerate} \item On considère l'application $f$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ dans $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ qui, au point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'= \dfrac{1}{\overline{z}}$. On appelle U et V les points du plan d'affixes respectives $1$ et i. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour $z \neq 0$, on a arg$\left(z'\right) = \text{arg}(z)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif. En déduire que, pour tout point $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ les points $M$ et $M' = f(M)$ appartiennent à une même demi-droite d'origine O. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ tels que $f(M) = M$. \item $M$ est un point du plan $\mathcal{P}$ distinct de O, U et V, on admet que $M'$ est aussi distinct de O, U et V. Établir l'égalité $\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}= \dfrac{1}{\text{i}}\left(\dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z} + \text{i}} \right) = -\text{i}\overline{\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)}$. En déduire une relation entre arg$\left(\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}\right)$ et arg$\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $z$ un nombre complexe tel que $z \neq 1$ et $z \neq \text{i}$ et soit $M$ le point d'affixe $z$. Démontrer que $M$ est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si $\dfrac{z - 1}{z - \text{i}}$ est un nombre réel non nul. \item Déterminer l'image par $f$ de la droite (UV) privée de U et de V. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Etranger_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2006_retour}{Retour au tableau} \textbf{Partie A.} Restitution organisée de connaissances \medskip \fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants : \texbf{i.} Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante : \[\left\{\begin{array}{l c l} |z|&=&r\\ \text{arg}~z &=& \theta~\text{à}~2\pi~\text{près}\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l cl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\ r & > & 0\\ \end{array}\right.\] \texbf{ii.} Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : \[\left\{\begin{array}{l cl} \cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\ \sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\ \end{array}\right.\] \end{minipage}} Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : \[\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|~\text{et arg}\left(z_{1}z_{2}\right) = \text{arg}\left(z_{1}) + \text{arg}(z_{2}\right)~\text{à}~2\pi~\text{près}\] \bigskip \textbf{Partie B.} Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et $|z|$ désigne le module de $z$. \begin{enumerate} \item Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre réel. \item Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$. \item Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$. \item Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2006_retour}{Retour au tableau} \item \textbf{\Large } \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On rappelle que pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe $z$, on a : $|z| = \|\vect{w}\|$ et arg$(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ à $2\pi$ près. \bigskip \textbf{Partie A. Restitution organisée de connaissances} \medskip Prérequis : On sait que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : \[\text{arg}(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z').\] Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : \[ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}(z')\] \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On note A et B les points d'affixes respectives $-\text{i}$ et $3\text{i}$. On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[ z'= \dfrac{\text{i}z+3}{z + \text{i}}\] \begin{enumerate} \item étude de quelques cas particuliers. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin. \item On note C le point d'affixe $c = - 2 + \text{i}$. Démontrer que le point C$'$, image de C par $f$, appartient à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item Pour tout point $M$ du plan distinct de A et B, démontrer que arg$\left(z'\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) + \dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près. \item Étude de deux ensembles de points. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit un nombre complexe imaginaire pur. \item Soit $M$ d'affixe $z$ un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point $M'$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2006_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on considère les points \begin{itemize} \item $A$ d'affixe $a$, $a\in\R$ \item $B$ d'affixe $b+\text{i}$, $b\in\R$ \item $C$ image de $B$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Déterminer une relation entre $a$ et $b$ pour que le point $C$ appartienne à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$. \item Exprimer alors l'affixe du point $C$ en fonction de $a$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on pose $a=\sqrt{3}$ et $b=0$. On considère les points $C$ d'affixe $c=-\text{i}$ et $D$ d'affixe $d=2+\sqrt{3}-2\text{i}\sqrt{3}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ABC$~? \item Calculer le quotient $\dfrac{d - a}{c - a}$ ; que peut-on en déduire pour le triangle $ACD$~? \item Déterminer l'affixe du point $E$ image de $D$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \item Déterminer l'affixe du point $F$ image de $D$ dans la translation de vecteur $\vect{AC}$. \item Déterminer la nature du triangle $BEF$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_mai2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban mai 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_mai2006_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point B$_{1}$ image de B par l'homothétie de centre A et de rapport $\sqrt{2}$. \item Déterminer l'affixe du point B$'$ image de B$_{1}$ par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. Placer les points A, B et B$'$. \end{enumerate} \item On appelle $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[ z' = (1 + \text{i})z + 1.\] \begin{enumerate} \item Montrer que B a pour image B$'$ par $f$. \item Montrer que A est le seul point invariant par $f$. \item Établir que pour tout nombre complexe $z$ distinct de i, $\dfrac{z' - z}{\text{i} - z} = - \text {i}$. Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d'angles. En déduire une méthode de construction de $M'$ à partir de $M$, pour $M$ distinct de A. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Sigma_{1}$ des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z - 2| = \sqrt{2}$. \item Démontrer que $z' - 3-2\text{i} = (1 + \text{i})(z -2)$. En déduire que si le point $M$ appartient à $\Sigma_{1}$, alors son image $M'$ par $f$ appartient à un cercle $\Sigma_{2}$, dont on précisera le centre et le rayon. \item Tracer $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$ sur la même figure que A, B et B$'$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2006_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 5~cm. On pose $z_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n,~ z_{n + 1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$. On note $A_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}$. \begin{enumerate} \item Calculer $z_{1},~ z_{2},~ z_{3},~ z_{4}$ et vérifier que $z_{4}$ est un nombre réel. Placer les points A$_{0}$,~A$_{1}$,~A$_{2}$,~A$_{3}$ et A$_{4}$ sur une figure. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} =\left|z_{n}\right|$. Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout enfler naturel $n,$ \[u_{n} = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\] \item À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ? \item \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout entier naturel $n,~\dfrac{z_{n+1}- z_{n}}{z_{n+1}} = \text{i}$. En déduire la nature du triangle O$A_{n}A_{n+1}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$. On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots + A_{n-1}A_{n}$. Exprimer $\ell_{n}$, en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_nov2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2005_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'= \dfrac{4}{\overline{z}}$, où $\overline{z}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item Déterminer l'ensemble des points dont l'image par l'application $f$ est le point J d'affixe 1. \item Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. Démontrer que le point $A$ d'affixe $\alpha$ admet un antécédent unique par $f$, dont on précisera l'affixe. \item \begin{enumerate} \item Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}M'}\right)$. Interpréter géométriquement ce résultat. \item Exprimer $\left |z'\right|$ en fonction de $\left |z\right|$. Si $r$ désigne un réel strictement positif, en déduire l'image par $f$ du cercle de centre O et de rayon $r$. \item Choisir un point $P$ du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que O$P$ = 3, et construire géométriquement son image $P'$ par $f$. \end{enumerate} \item On considère le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre J et de rayon 1. Montrer que l'image par $f$ de tout point de $\mathcal{C}_{1}$ ,distinct de O, appartient à la droite $D$ d'équation $x = 2$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2005}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Unité graphique : \textbf{3 cm} À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ par l'application $f$ qui admet pour écriture complexe : \[z'= \dfrac{(3+4\mathrm{i})z+5 \overline{z}}{6}.\] \begin{enumerate} \item On considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + 2\mathrm{i}, z_{\text{B}} = 1$ et $z_C=3\mathrm{i}$. Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$, C$'$ images respectives de A, B, C par $f$. Placer les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$. \item On pose $z = x+\mathrm{i}y$ (avec $x$ et $y$ réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction de $x$ et $y$. \item Montrer que l'ensemble des points $M$ invariants par $f$ est la droite $(D)$ d'équation $y= \dfrac{1}{2}x$. Tracer $(D)$. Quelle remarque peut-on faire ? \item Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par $f$. Montrer que $M'$ appartient à la droite $(D)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ : \[\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}} = \dfrac{z+\overline{z}}{6} + \mathrm{i}\dfrac{z-\overline{z}}{3}.\] En déduire que le nombre $\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}}$ est réel. \item En déduire que, si $M' \neq M$, les droites (OA) et $(MM')$ sont parallèles. \end{enumerate} \item Un point quelconque $N$ étant donné, comment construire son image $N'$? (on étudiera deux cas suivant que $N$ appartient ou non à $(D)$). Effectuer la construction sur la figure. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_sept2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2005_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, chaque réponse fausse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.} \begin{enumerate} \item Soit $z$ le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. On a alors : \[\begin{array}{l l} \text{A}~ :~ z^{14} = - 128\sqrt{3} - 128\text{i}.& \text{C}~ :~ z^{14} = - 64 + 64\text{i}\sqrt{3}.\\ \text{B}~ :~ z^{14} = 64 - 64\text{i}.& \text{D}~:~ z^{14} = -128 + 128\text{i}\sqrt{3}\\ \end{array}\] \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d'affixe 3 et le point T d'affixe $4\text{i}$. Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 3| = |3 - 4\text{i}|$. A : (E) est la médiatrice du segment [ST] ; B : (E) est la droite (ST) ; C : (E) est le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $3 -4\text{i}$, et de rayon 3 ; D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5. \item On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{CF}}$ est égal à : \[ \text{A}~:~\sqrt{3} \qquad \text{B}~:~- 3 \qquad \text{C}~:~-\sqrt{3} \qquad \text{D}~;~\dfrac{3}{2}.\] \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2005_retour}{Retour au tableau} \medskip Soit $\mathcal{P}$ le plan complexe rapporté au repère \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). Soit A le point d'affixe 1. On note $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{1}{z - 1}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sois B le point d'affixe $b = 4 + \text{i}\sqrt{3}$. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle de l'affixe $b'$ de B$'$. \item Déterminer les affixes des points ayant pour image par $f$ leur symétrique par rapport à O. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $\left|z'\right|$ et arg $\left(z'\right)$ en fonction de $|z - 1|$ et arg $(z - 1)$. \item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $r$. On suppose que $M$ est un point de $\mathcal{C}$. Déterminer $\left| z' \right|$. En déduire que $M'$ appartient à un cercle $\mathcal{C}'$ dont on précisera le centre et le rayon. \item Placer un point $M$ quelconque sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}$ et construìre son image $M'$. (On laissera les traits de construction,) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2005_retour}{Retour au tableau} \emph{Pour chacune des} 3 \emph{questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{ Une réponse exacte rapporte} 1 \emph{point ; une réponse inexacte enlève} 0,5 \emph{point ; l'absence de réponse est comptée} 0 \emph{point.} \emph{Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item Le point M est situé sur le cercle de centre A$(-2~;~ 5)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Son affixe $z$ vérifie : \begin{enumerate} \item $|z - 2 + 5\text{i}|^2 = 3$ ; \item $|z + 2 - 5\text{i}|^2 = 3$ ; \item $|z - 2 + 5\text{i}| = 3$. \end{enumerate} \item On considère trois points A, B et C d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le point $M$ est un point dont l'affixe $z$ est telle que les nombres complexes $\dfrac{z - b}{c - a}$ et $\dfrac{z - c}{b - a}$ sont imaginaires purs. \begin{enumerate} \item $M$ est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; \item $M$ appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] ; \item $M$ est l'orthocentre du triangle ABC. \end{enumerate} \item Soit A et B les points d'affixes respectives $1$ + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle $G$ l'isobarycentre des points A, B et C et on note $z_{G}$ son affixe. \begin{enumerate} \item $\left|z_{G} - 3 - 2,5\text{i}\right|= \dfrac{5}{6}$ ; \item $z_{G}- (1 + \text{i}) = \dfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$ ; \item $z_{G} - (3 + 2,5\text{i}) = \dfrac{1}{3}(4 + 3\text{i})$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2005_retour}{Retour au tableau} \medskip \textsl{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.} \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0. \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d'affixes respectives $- 2 +3\text{i},~ - 3 - \text{i}$ et $2,08 + 1,98\text{i}$. Le triangle ABC est : \begin{tabular}{l l} \textbf{(a)} : isocèle et non rectangle& \textbf{(b)} : rectangle et non isocèle\\ \textbf{(c)} : rectangle et isocèle& \textbf{(d)} : ni rectangle ni isocèle\\ \end{tabular} \item à tout nombre complexe $z \neq -2$, on associe le nombre complexe $z'$ défini par : $z' = \dfrac{z -4\text{i}}{z+2}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z'| =1$ est : \begin{tabular}{l l} \textbf{(a)} : un cercle de rayon 1& \textbf{(b)} : une droite\\ \textbf{(c)} : une droite privée d'un point& \textbf{(d)} : un cercle privé d'un point\\ \end{tabular} \item Les notations sont les mêmes qu'à la question 2. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ est un réel est : \begin{tabular}{l l} \textbf{(a)} : un cercle& \textbf{(b)} : une droite\\ \textbf{(c)} : une droite privée d'un point & \textbf{(d)} : un cercle privé d'un point\\ \end{tabular} \item Dans le plan complexe, on donne le point D d'affixe i. L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ est : \begin{tabular}{l l} \textbf{(a)} : $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$ &\textbf{(b)} : $z' = \left(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$\\ \textbf{(c)} : $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$ & $z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$\\ \end{tabular} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2005_retour}{Retour au tableau} \medskip \Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$. Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$. Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de O associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z' = \dfrac{-1}{\overline{z}}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit E le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ ; on appelle $E'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de $E'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. \item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et $K'$ l'image de K par $F$. Calculer l'affixe de $K'$. \item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$. $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$. En déduire que : $\left|z' + 1\right| = \left|z'\right|$. \item Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du \textbf{a.}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2005_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 1~cm). On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue $z$ suivante : \[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = 0.\] \textbf{I.} Résolution de l'équation (E). \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $- \text{i}$ est solution de (E). \item Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que : \[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = (z+\text{i})\left(az^2 + bz + c\right).\] \item Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes. \end{enumerate} \textbf{Il.} On appelle A, B et C les points d'affixes respectives $4 +\text{i},~ 4 - \text{i}, - \text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points sur une figure que l'on complétera dans la suite de l'exercice. \item Le point $\Omega$ est le point d'affixe 2. On appelle S l'image de A par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. Calculer l'affixe de S. \item Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer $\mathcal{C}$. \item à tout point $M$ d'affixe $z \neq 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{ \text{i}z+10 - 2\text{i}}{z - 2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $A',~B',~C'$ associés respectivement aux points A, B et C. \item Vérifier que $A',~B',~C'$ appartiennent à un cercle $\mathcal{C}'$ de centre P, d'affixe i. Déterminer son rayon et tracer $\mathcal{C}'$. \item Pour tout nombre complexe $z \neq 2$, exprimer $|z' - \text{i}|$ en fonction de $z$. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$. Démontrer que $|z' - \text{i}| = 2\sqrt{5}$. \item En déduire à quel ensemble appartiennent les points $M'$ associés aux points $M$ du cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2005_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} unité graphique 8~cm. On appelle A le point d'affixe $-1$ et B le point d'affixe $1$. On appelle $\mathcal{E}$ l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B. À tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant à l'ensemble $\mathcal{E}$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$. \begin{enumerate} \item Prouver que les points $M,~ N$ et $P$ sont deux à deux distincts. \item On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ appartenant à $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$. \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que $MNP$ est rectangle en $P$ si et seulement si $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$. \item Démontrer que $|z + 1|^2 + |z|^2 = 1$ équivaut à $\left(z + \dfrac{1}{2}\right)\left( \overline{z + \dfrac{1}{2}}\right)= \dfrac{1}{4}$. \item En déduire l'ensemble $\mathcal{C}$ cherché. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de $\mathcal{E}$ et $z$ son affixe, On désigne par $r$ le module de $z$ et $\alpha$ l'argument de $z,~\alpha \in ]- \pi~;~\pi]$. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que l'affixe de $P$ soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points). \item Représenter les ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{F}$ dans le repère \Ouv. \item Déterminer les affixes des points $M$ de $\mathcal{E}$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$, l'affixe de $P$ étant un réel strictement positif. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2005_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{center} \psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(9,8) \pspolygon(2,2)(2.7,3.6)(1.1,4.3)(0.4,2.7) \pspolygon(6.6,2)(2.7,3.6)(4.4,7.5)(8.2,6) \pscircle(4.3,2){2.3} \uput[dl](2,2){O} \uput[dr](6.6,2){A} \uput[ul](1.1,4.3){$K$} \uput[dl](0.4,2.7){$L$} \uput[u](2.7,3.6){$M$} \uput[ur](4.4,7.5){$N$} \uput[ur](8.2,6){$P$} \end{pspicture}\end{center} \vspace{0,4cm} Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [OA], un point $M$ variable appartenant au cercle $\mathcal{C}$, et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct $M$A$PN$ et $MKL$O. La figure est représentée ci-dessus. \textsl{Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point $N$ appartient à un cercle à déterminer.} On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On note $k,~ l,~ m,~ n$ et $p$ les affixes respectives des points $K,~ L,~ M,~ N$ et $P$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, quel que soit le point $M$ choisi sur le cercle $\mathcal{C}$, on a $\left|m - \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}$. \item établir les relations suivantes : $l = \text{i}m$ et $p = - \text{i}m + 1 +\text{i}$. On admettra que l'on a également $n = (1 - \text{i})m + \text{i}$ et $k = (1 + \text{i})m$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le milieu $\Omega$ du segment [PL] est un point indépendant de la position du point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. \item Démontrer que le point $\Omega$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ et préciser sa position sur ce cercle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance $KN$ et démontrer que cette distance est constante. \item Quelle est la nature du triangle $\Omega NK$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que le point $N$ appartient à un cercle fixe, indépendant du point $M$, dont on déterminera le centre et le rayon. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2005_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Unité graphique : 0,5~cm. On note j le nombre complexe $\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 8,~b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. Soit $A'$ l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $B'$ l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $C'$ l'image de A par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C, $A',~B'$ et $C'$ dans le repère donné. \item On appelle $a',~ b'$ et $c'$ les affixes respectives des points $A',~ B'$ et $C'$. \begin{enumerate} \item Calculer$a'$. On vérifiera que $a'$ est un nombre réel. \item Montrer que $b' = 16\text{e}^{-\text{i}\frac{\Pi}{3}}$. En déduire que O est un point de la droite (B$B'$). \item On admet que $c' = 7 + 7\text{i}\sqrt{3}$. Montrer que les droites (A$A'$), (B$B'$) et (C$C'$) sont concourantes en O. \end{enumerate} \item On se propose désormais de montrer que la distance $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O. \begin{enumerate} \item Calculer la distance OA + OB + OC. \item Montrer que $\text{j}^3 = 1$ et que ~$1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. \item On considère un point $M$ quelconque d'affixe $z$ du plan complexe. On rappelle que $a = 8,~b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. Déduire des questions précédentes les égalités suivantes : \[ \left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| = \left|a + b\text{j}^2 + c\text{j}\right| = 22. \] \item On admet que, quels que soient les nombres complexes $z,~z'$ et $z''$ : \[\left|z + z' + z''\right| \leqslant |z| + \left|z'\right| + \left|z''\right|. \] Montrer que $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_sept2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion septembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_sept2004_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : \[z^2 - 2z + 4 = 0.\] Les solutions seront notées $z'$ et $z'',~z'$ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive. Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. \item Donner la valeur exacte $(z')^{2004}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}; (unité graphique : 2~cm). \begin{enumerate} \item Montrer que les points A d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1 - \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. Tracer ce cercle puis construire les points A et B. \item On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_{1}$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$, et B$'$ l'image du point B par la rotation $r_{2}$ de centre A et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$. Calculer les affixes des points O$'$ B$'$ et construire ces points. \item Soit I le milieu du segment [OB]. \begin{enumerate} \item Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ? \item Calculer l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$. Montrer que l'affixe du vecteur $\vect{\text{O}'\text{B}'}$ est égale à $3\sqrt{3} - \text{i}$. \item La conjecture émise à la question \textbf{b.} est-elle vraie ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe rapportŽ ˆ un repère orthonormal direct \Ouv, on considèrel'application $f$ du plan dans lui-même qui, ˆà tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = z^2 - 4z.\] \begin{enumerate} \item Soient A et B les points d'affixes $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 3 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$ images des points A et B par $f$. \item On suppose que deux points ont la même image par $f$. DéŽmontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une syméŽtrie centrale que l'on prŽécisera. \end{enumerate} \item Soit I le point d'affixe $-3$. \begin{enumerate} \item DŽémontrer que O$M$I$M'$ est un paralléŽlogramme si et seulement si $z^2 - 3z + 3 = 0$. \item RéŽsoudre l'Žéquation $z^2 - 3z + 3 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $(z'+ 4)$ en fonction de $(z - 2)$. En dŽéduire une relation entre $|z' + 4|$ et $|z-2|$ puis entre arg$(z'+ 4)$ et arg$(z - 2)$. \item On considre les points J et K d'affixes respectives $z_{\text{J}} = 2$ et $z_{\text{K}} = -4$. DŽémontrer que tous les points $M$ du cercle ($\mathcal{C}$) de centre J et de rayon 2 ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on dŽéterminera. \item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = -4-3\text{i}$. Donner la forme trigonomŽétrique de $(z_{\text{E}} + 4)$ et ˆ l'aide du \textbf{3. a.} dŽémontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point E. PrŽéciser sous forme algŽébrique l'affixe de ces deux points. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unitŽé graphique. Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ on considère les points $M'$ et $M''$ d'affixes respectives \[z' = z - 2 \qquad \text{et} \qquad z'' = z^2.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽéterminer les points $M$ pour lesquels $M''= M$. \item DŽéterminer les points $M$ pour lesquels $M'' = M'$. \end{enumerate} \item Montrer qu'il existe exactement deux points M$_1$ et M$_2$ dont les images M$_1',~\text{M}_1'',~\text{M}_2'$ et M$_2''$ appartiennent ˆ à l'axe des ordonnŽées. Montrer que leurs affixes sont conjuguŽées. \item On pose $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres rŽéels. \begin{enumerate} \item Exprimer sous forme algŽébrique le nombre complexe $\dfrac{z'' - z}{z' - z}$. \item En dŽéduire l'ensemble E des points $M$ du plan pour lesquels les points $M,~ M'$ et $M''$ sont alignéŽs. ReprŽésenter E graphiquement et en couleur. \end{enumerate} \item On pose $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \begin{enumerate} \item DéŽterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ ainsi dŽéfinis et chacun des ensembles $\Gamma'$ et $\Gamma''$ des points $M'$ et $M''$ associŽés ˆà $M$. \item RepréŽsenter $\Gamma,~ \Gamma'$ et $\Gamma''$ sur la figure prŽécéŽdente. \item Dans cette question $\theta = \dfrac{\pi}{6}$. Placer le point M$_3$ obtenu pour cette valeur de $\theta$, et les points M$_3'$ et M$_3''$ qui lui sont associŽés. Montrer que le triangle M$_3$M$_3'$M$_3''$ est rectangle. Est-il isocèle ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles septembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2004_retour}{Retour au tableau} \medskip \Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$. Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$. Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ distinct de O, d'affixe $z$ , associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'= \dfrac{-1}{\overline{z}}$. \begin{enumerate}\item \begin{enumerate}\item Soit E le point d'affixe e$^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ , on appelle E$'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de E$'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. \item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}\item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et K$'$ l'image de K par $F$. Calculer l'affixe de K$'$. \item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'i mage de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~  ;~ \pi[$ ; R appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1. \begin{enumerate}\item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$. En déduire que $\left | z' + 1\right| = \left| z'\right|.$ \item Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ décrit l'intervalle $]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat de \textbf{a.}. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_mai2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_mai2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item On veut rŽésoudre dans $\C$ l'Žéquation \[(\text{E})\qquad : z^3 + 4z^2 + 2z - 28 = 0.\] \begin{enumerate} \item DéŽterminer deux rŽéels $a$ et $b$ tels que l'Žéquation (E) s'Žécrive : \[(z-2)(z^2 + az + b) = 0.\] \item RŽésoudre (E) \end{enumerate} \item On note (H) l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vŽérifiant : \[z^2 - 4 = 4 - \overline{z}^2.\] \begin{enumerate} \item On note $x$ et $y$ les parties rŽéelle et imaginaire de l'affixe $z$ d'un point $M$. Montrer que : $M$ appartient ˆ (H) si et seulement si \[x^2 -y^2 = 4.\] \item Soient A, B et C les points d'affixes respectives $2,~ -3 - \text{i}\sqrt{5}$ et $-3 + \text{i}\sqrt{5}$. Vérifier que A, B et C appartiennent ˆà (H). \end{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item DŽéterminer les affixes de A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives de A, B et C par la rotation $r$ (on donnera ces affixes sous la forme algéŽbrique). \item On note $M'$ l'image par $r$ du point $M$ d'affixe $z$. On note $z'$ l'affixe de $M'$. Les parties rŽéelle et imaginaire de $z$ sont notŽées $x$ et $y$, celles de $z'$ sont notŽées $x'$ et $y'$. On note (H$'$) l'ensemble des points du plan dont l'antéŽcŽédent par $r$ est un point de (H). - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. - En utilisant la question \textbf{2. a.} prouver que $M'$ appartient à ˆ (H$'$) si et seulement si \[x'y' = -2.\] \end{enumerate} \item Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, la courbe (H$'$), puis la courbe (H). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule réŽponse est exacte. Chaque rŽéponse juste rapporte $1$ point. Une absence de rŽéponse n'est pas sanctionnŽée. Il sera retiréŽ $0,5$ point par réŽponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l'exercice ne peut être infŽérieure ˆà zéŽro.} On pose $z = - \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \text{i}\sqrt{2 - \sqrt{2}}$. \begin{enumerate} \item La forme algéŽbrique de $z^2$ est : \[\text{A} :\quad 2\sqrt{2} \qquad B :\quad 2\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2} \qquad \text{C} :\quad 2 + \sqrt{2} + \text{i}\left(2 - \sqrt{2}\right) \qquad D :\quad 2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2}\] \item $z^2$ s'ŽéŽcrit sous forme exponentielle : \[\text{A} : \qquad 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \qquad \text{B} : \qquad 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}} \qquad \text{C} : \qquad 4\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \qquad \qquad \text{D} : \qquad 4\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}\] \item $z$ s'ŽéŽcrit sous forme exponentielle : \[\text{A} : \qquad 2\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{8}} \qquad \text{B} : \qquad 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{8}} \qquad \text{C} : \qquad 2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{8}}\qquad \text{D} : \qquad 2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{8}}\] \item $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ sont les cosinus et sinus de : \[\text{A} : \qquad \dfrac{7\pi}{8} \qquad \text{B} :\qquad \dfrac{5\pi}{8} \qquad \text{C} : \qquad \dfrac{3\pi}{8} \qquad \text{D} : \qquad \dfrac{\pi}{8}\] \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapportŽé au repère orthonormal direct $\left(\text{O},~\vect{\text{e}_1},~\vect{\text{e}_2}\right)$,~ unitéŽ graphique 1 cm. Soit A le point d'affixe 3i. On appelle $f$ l'application qui, ˆà tout point $M$ d'affixe $z$, distinct de $A$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ dŽéfinie par : \[ z' = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Recherche des points invariants par $f$. \begin{enumerate} \item DéŽvelopper $(z- 7\text{i}) (z+ \text{i})$. \item Montrer que $f$ admet deux points invariants B et C dont on prŽécisera les affixes et qu'on placera sur un dessin. \end{enumerate} \item On appelle $\Sigma$ le cercle de diamètre [BC]. Soit $M$ un point quelconque de $\Sigma$, distinct de B et de C, soit $M'$ son image par $f$. \begin{enumerate} \item Justifier que l'affixe $z$ de $M$ vŽérifie : $z = 3\text{i} + 4 \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre rŽéel. \item Exprimer l'affixe $z'$ de $M'$ en fonction de $\theta$ et en dŽéduire que $M'$ appartient aussi ˆà $\Sigma$. \item DŽémontrer que $z' = - \overline{z}$ et en dŽéduire, en la justifiant, une construction gŽéomŽétrique de $M'$. \end{enumerate} \item On considère un cercle de centre A, de rayon $r > 0$. DéŽterminer l'image de ce cercle par $f$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Etranger_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2004_retour}{Retour au tableau} \textbf{\Large \item } \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unitŽé graphique : 2 ~cm. On appelle A le point d'affixe $- 2\text{i}$. À tout point $M$ du plan d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'= -2\overline{z} + 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item On considère le point B d'affixe $b = 3-2\text{i}$. DŽéterminer la forme algŽébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et $B'$ associŽés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin. \item Montrer que si $M$ appartient ˆà la droite ($\Delta$) d'Žéquation $y = - 2$ alors $M'$ appartient aussi ˆà ($\Delta$). \item DŽémontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z~, \left|z' + 2\text{i}\right| = 2|z + 2\text{i}|$ ; interprŽétez gŽéométriquement cette Žégalité. \item Pour tout point $M$ distinct de A on appelle $\theta$ un argument de $z + 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Justifier que $\theta$ est une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. \item DŽémontrer que $(z+2\text{i})(z'+2\text{i})$ est un rŽéel nŽégatif ou nul. \item En dŽéduire un argument de $z'+2\text{i}$ en fonction de $\theta$. \item Que peut-on en dŽéduire pour les demi-droites [A$M$) et [A$M'$) ? \textbf{5.} En utilisant les rŽésultats prŽécéŽdents, proposer une construction gŽéomŽétrique du point $M'$ associŽé au point $M$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(1 + \text{i})^6 = - 8\text{i}$. \item On considère l'équation (E) : $z^2 = - 8\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déduire de \textbf{1.} une solution de l'équation (E). \item L'équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique. \end{enumerate} \item Déduire également de \textbf{1.} une solution de l'équation (E') $z^3 = - 8\text{i}$. \item On considère le point A d'affixe 2i et la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $b$ du point $B$, image de A par $r$, ainsi que l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par $r$. \item Montrer que $b$ et $c$ sont solutions de (E$'$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 2m), représenter les points A, $B$ et $C$. \item Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? \item Déterminer le centre de gravité de cette figure. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapportŽé au repère \Ouv. On prendra pour unitéŽ graphique 2~cm. \begin{enumerate} \item RŽésoudre dans $\C$ l'Žéquation \[(z-2\text{i})\left(z^2 - 2z + 2\right) = 0.\] Donner les solutions sous forme algŽébrique et sous forme exponentielle (justifier les rŽéponses). \item Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}.$ à tout complexe $z$ diffŽérent de ${\text{A}}$ on associe le complexe \[z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Soit ($E$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit imaginaire pur. Montrer que B $\in (E)$. DéŽterminer et construire l'ensemble ($E$). \item Soit ($F$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z'\right| = 1$. DŽéterminer et construire ($F$). \end{enumerate} \item Soit $R$ la rotation de centre $\Omega\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point $B'$, image de B par $R$ et l'affixe du point $I'$, image par $R$ du point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$. \item Quelles sont les images de ($E$) et ($F$) par $R$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unitéŽ graphique 1~cm. \begin{enumerate} \item On dŽésigne par A, B et I les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 3 + 2\text{i},~\quad z_{\text{B}} = -3 \quad \text{ et} \quad z_{\text{I}} = 1 - 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on complèŽtera au cours de l'exercice. \item Écrire sous forme algŽébrique le nombre complexe $Z = \dfrac{z_{\text{I}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{I}} - z_{\text{B}}}$. Que peut-on en dŽéduire sur la nature du triangle IAB ? \item Calculer l'affixe $z_{C}$ du point $C$ image de I par l'homothéŽtie de centre A et de rapport 2. \item Soit $D$ le barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 1) ~;~ (\text{B},~ - 1)~ ;~ (C,~ 1)\right\}$ ; calculer l'affixe $z_D$ du point $D$. \item Montrer que AB$CD$ est un carrŽé. \end{enumerate} \item DŽéterminer et construire l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan tels que : \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{MC}\right\| = \dfrac{1}{2}\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{MC}\right\|.\] \item On considère l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ du plan tels que \[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{MC}\right\| = 4\sqrt{5}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que B appartient ˆà $\Gamma_2$. \item DŽéterminer et construire l'ensemble $\Gamma_2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapportŽé ˆ un repère orthonormal direct \Ouv{} ; i dŽésigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Soient les points A, B et C d'affixes respectives i, $1 + \text{i}$ et $-1 + \text{i}$. Soit $f$ l'application qui, ˆà tout point $M$ du plan difféŽrent de A, d'affixe $z$, associe le point $M'$ du plan d'affixe $z'$ tel que : \[z'= \dfrac{\text{i}z +2}{z - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽéterminer les images de B et de C par l'application $f$. \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ diffŽérent de i, on a la relation : \[(z'- \text{i})(z - \text{i}) = 1.\] \item Soit D le point d'affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unitŽé graphique 4 cm). DŽéduire de la question prŽécéŽdente une construction du point D$'$ image du point D par l' application $f$. \end{enumerate} \item Soit $R$ un nombre rŽéel strictement positif. Quelle est l'image par l'application $f$ du cercle de centre A et de rayon $R$ ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que, si l'affixe du point $M$ est un imaginaire pur difféŽrent de i, alors l'affixe du point $M'$ est un imaginaire pur. Que signifie ce rŽésultat pour l'image par l'application $f$ de l'axe imaginaire privéŽ du point A ? \item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point A et de vecteur directeur $\vect{u}$. DéŽterminer l' image de la droite $\mathcal{D}$ privŽée du point A par l'application $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_mars2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie mars 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2004_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le quadrilatère ABCD tel que : \[\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \alpha \quad [2\pi],~\left(\vect{\text{CD}},~\vect{\text{CB}}\right) = \beta \quad [2\pi],~0 < \alpha < \pi,~0 < \beta < \pi.\] On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que : \[\left(\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \left(\vect{\text{DA}},~\vect{\text{DQ}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\] \[\left(\vect{\text{BA}},~\vect{\text{BM}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\quad \text{et}\quad \left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BN}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\] Soit $a, b, c$ et $d$ les affixes respectives des points A, B, C et D, $m, n, p$ et $q$ les affixes respectives des points M, N, P et Q. \begin{enumerate} \item Démontrer les relations suivantes : \[m = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b) + b, \qquad n = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - b) + b,\] \[p = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - d) + d, \qquad q = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - d) + d.\] \item En utilisant les relations précédentes : \begin{enumerate} \item Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme. \item Démontrer que l'on a : \[ \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{QP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{AC} = \text{QP}\] \[\left(\vect{\text{NP}},~\vect{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{et} \quad \text{NP} = \text{BD}.\] \end{enumerate} \item Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient : \[\text{AC} = \text{BD} \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\] où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2004_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item RŽésoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'Žéquation : \[ z^2 -2 z + 4 = 0.\] Les solutions seront notŽées $z'$ et $z'',~ z'$ dŽésignant la solution dont la partie imaginaire est positive. Donner les solutions sous forme algŽébrique puis sous forme exponentielle. \item Donner la valeur exacte de $\left(z'\right)^{2004}$ sous forme exponentielle puis sous forme algŽébrique. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; (unitŽé graphique : 2~cm). \begin{enumerate} \item Montrer que les points A d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1 - \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on prŽécisera le rayon. Tracer ce cercle puis construire les points A et B. \item On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_1$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et B$'$ l'image du point B par la rotation $r_2$ de centre A et d'angle $+\dfrac{\pi}{2}$. Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$ et construire ces points. \item Soit I le milieu du segment [OB]. \begin{enumerate} \item Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ? \item Calculer l'affixe du vecteur $\vect{\text{AI}}$. Montrer que l'affixe du vecteur $\vect{\text{O}'\text{B}'}$ est Žégale ˆà $3 \sqrt{3} - \text{i}$. \item La conjecture Žmise ˆ la \textbf{question a.} est-elle vraie ?. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2003_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unitŽé graphique 4 cm). Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre $\Omega$. \textbf{Partie I} \medskip On pose $a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\:\text{i}$ et on note A$_0$ son image. \begin{enumerate} \item Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$. \item Soit B le point d'affixe $b$, avec $b = -1 + 2\text{i}$, et B$'$ le point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$. \begin{enumerate} \item Calculer $b'$. \item DŽémontrer que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II} \medskip Soit $a$ un nombre complexe non nul et difféŽrent de 1, et $A$ son image dans le plan complexe. À tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = az$. \begin{enumerate} \item On se propose de dŽéterminer l'ensemble des points $A$ tels que le triangle O$MM'$ soit rectangle en $M'$. \begin{enumerate} \item InterpréŽter gŽéomŽétriquement arg$\left( \dfrac{a - 1}{ a}\right)$. \item Montrer que $\left(\vect{M'\text{O}},~ \vect{M'M}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{a - 1}{a}\right) + 2k\pi \quad (\text{où}~ k \in \Z)$. \item En dŽéduire que le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si et seulement si $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ privŽé de O et de I. \end{enumerate} \item Dans cette question, $M$ est un point de l'axe des abscisses, diffŽérent de O. On note $x$ son affixe. On choisit $a$ de manière que $A$ soit un point de $\mathcal{C}$ diffŽérent de I et de O. Montrer que le point $M'$ appartient ˆ la droite (O$A$). En dŽéduire que $M'$ est le projetŽ orthogonal de $M$ sur cette droite. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2003_retour}{Retour au tableau} \medskip Soient A, B deux points distincts fixés d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre I et $M$ un point quelconque de ce cercle $\mathcal{C}$. \begin{enumerate} \item Le point $D$ est défini par $\vect{\text{IA}}+ \vect{\text{IB}}+\vect{\text{I}M} = \vect{\text{I}D}$. \begin{enumerate} \item Prouver que les produits scalaires $\vect{\text{A}D} \cdot \vect{\text{B}M}$ et $\vect{\text{B}D} \cdot \vect{\text{A}M}$ sont nuls. En déduire à quelles droites particulières du triangle AB$M$ le point $D$ appartient puis préciser la nature du point $D$ pour le triangle A$M$B. \item Soit $G$ l'isobarycentre des points A, B, $M$. Exprimer $\vect{\text{I}D}$ en fonction de $\vect{\text{I}G}$. \end{enumerate} \item Dans le plan complexe, rapporté à un repère otthonormal direct \Oij, on donne les points A, B, I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2,~z_{\text{B}}= 4 + 2 \text{i}$ et $z_{\text{I}}= 4$. On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $Z$ tel que $Z= \dfrac{1}{3}z + 2 + \dfrac{2}{3}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$ et calculer l'affixe $\omega$ de ce point. Pour tout point d'affixe $z$, exprimer alors $Z - \omega$ en fonction de $z - \omega$. Préciser la nature de l'application $f$. \item $M$ étant un point quelconque d'affixe $z_{M}$, montrer que l'image par l'application $f$ du point $M$ est l'isobarycentre $G$ d'affixe $z_{G}$ des points A, B, $M$. \item Déterminer l'ensemble des points $G$ lorsque le point $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2. \item En déduire alors, à l'aide du résultat de la question 1. b., l'ensemble décrit par le point $D$ défini par $\vect{\text{I}D} = \vect{\text{IA}}+ \vect{\text{IB}}+\vect{\text{I}M}$ lorsque le point $M$ parcourt le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_sept2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2003_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté ˆà un repère orthonormal direct \Oij. On considère les points A et $\Omega$ d'affixes respectives : $a = -1 + \sqrt{3} + \text{i}$ et $\omega = - 1 + 2\text{i}$. On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ et $h$ l'homothŽétie de centre $\Omega$ et de rapport $- \dfrac{1}{2}$. \begin{enumerate} \item Placer sur une figure les points A et $\Omega$, l'image B du point A par $r$, l'image C du point B par $r$ et l'image D du point A par $h$. \item On note $b,~ c$ et $d$ les affixes respectives des points B, C et D. \end{enumerate} Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune dŽébute dans la première colonne et s'achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4. Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres). \vspace{0,3cm} \[\begin{tabularx}{\linewidth}{l | p{1.5cm} | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \textbf{1.} &$|a - \omega |$ \rule[-3mm]{0mm}{8mm} & 2 & 4 & $\sqrt{3} - \text{i}$ \\ \cline{2-5} \textbf{2.} & $\text{arg} (a - \omega)$ &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} - $\dfrac{5\pi}{6}$ & $\dfrac{47\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{6}$\\ \cline{2-5} \end{tabularx}\] \vspace{0,3cm} \[\begin{tabularx}{\linewidth}{l | p{1.75cm}| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \textbf{3.} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\left(\vect{v},~\vect{\Omega \text{C}}\right) =$ & $\text{arg}\left[(\omega - \text{i})\right]$ &$ - \left(\vect{v},~\vect{\text{C}\Omega}\right)$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ \\ \cline{2-5} \textbf{4.} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\omega =$ & $\dfrac{1}{3}(a + b + c)$ & $a + b + c$& $b - 2\text{i}$ \\ \cline{2-5} \end{tabularx}\] \vspace{0,3cm} \[\begin{tabularx}{\linewidth}{l | p{1.5cm} | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \textbf{5.} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\dfrac{b - d}{a - d} =$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ & - $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$ \\ \cline{2-5} \textbf{6.} &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le point D est &l'image de $\Omega$~ par la translation de vecteur~ $\dfrac{1}{2}\vect{\text{A}\Omega}$&l'image de ~ $\Omega$~par l'homothétie de centre A et de rapport $\dfrac{3}{2}$ & l'image de ~ $\Omega$ ~par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$\\ \cline{2-5} \end{tabularx}\] \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapportŽé au repère orthonorméŽ \Ouv{} (unitŽé graphique : 2~cm). On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},$ $z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 2$. \begin{enumerate} \item Placer ces points sur un dessin. \item \begin{enumerate} \item VŽérifier que : $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}} }{z_{\text{A}} - z_{\text{C}} } = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item En dŽéduire la nature du triangle ABC. \item DéŽterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma_1$ circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle $\Gamma_1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ƒÉtablir que l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$ qui véŽrifient $2(z + \overline{z})~+~z\overline{z}~=~0$ est un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $- 2$. PrŽéciser son rayon. Construire $\Gamma_2$. \item VéŽrifier que les points A et B sont éŽlŽéments de $\Gamma_2$. \end{enumerate} \item On appelle $r_1$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les images des points A et B par la rotation $r_1$ ? Construire l'image C$_1$ du point C par la rotation $r_1$ puis calculer son affixe. \item DéŽterminer l'image du cercle $\Gamma_2$ par la rotation $r_1$. \end{enumerate} \item Soit $r$ une rotation. Pour tout point $M$ d'affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe de $M'$. On posera : $z'= az + b$, avec $a$ et $b$ des nombres complexes véŽrifiant $|a| = 1$ et $a ­\neq 1$. On suppose que $r$ transforme le cercle $\Gamma_2$ en le cercle $\Gamma_1$. \begin{enumerate} \item Quelle est l'image du point $\Omega$ par $r$ ? En dŽéduire une relation entre $a$ et $b$. \item DéŽterminer en fonction de $a$ l'affixe du point $r(\text{C})$, image du point C par la rotation $r$ ; en dŽéduire que le point $r(\text{C})$ appartient ˆ un cercle fixe que l'on dŽéfinira. VéŽrifier que ce cercle passe par C$_1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapportŽé au repère orthonormal \Ouv{} (unitŽé graphique : 2 cm). On considère les points A et B d'affixes respectives A($3 + 2$i) et B($-1 + 4$i). ExtŽérieurement au triangle OAB, on construit les deux carréŽs OA$_1$A$_2$A et OBB$_1$B$_2$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En remarquant que A$_2$ est l'image de O par une rotation de centre A, dŽéterminer l'affixe de A$_2$. En dŽéduire l'affixe du centre I du carréŽ OA$_1$A$_2$A. \item En remarquant que B$_1$ est l'image de O par une rotation de centre B, dŽéterminer l'affixe de B$_1$. En dŽéduire l'affixe du centre J du carrŽé OBB$_1$B$_2$. \item Calculer l'affixe du milieu K du segment [AB]. à l'aide des affixes des diffŽérents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi qu'une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{KI}},~\vect{\text{KJ}}\right)$. Que peut-on en dŽéduire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip $\Gamma$ est le cercle de centre O et de rayon $2\sqrt{2}$. Le plan est rapportŽé ˆà un repère orthonormal \Ouv. \begin{enumerate} \item À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = z^2 - 2(1 + \text{i})z. \] On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, où $x,~y,~x'$ et $y'$ sont des nombres rŽéels. \begin{enumerate} \item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \item Soit $\mathcal{H}$ l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ soit un nombre rŽéel. Montrer que $\mathcal{H}$ est la reprŽŽésentation graphique d'une fonction $h$ que l'on dŽéterminera (l'étude de la ronction $h$ n'est pas demandéŽe). $\mathcal{H}$ est tracéŽe sur ie graphique ci-dessous. \end{enumerate} \item Montrer que le point A d'affixe $a = 2(1 + \text{i})$ appartient ˆ à $\Gamma$ et $\mathcal{H}$. \item Soit R la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On note B et C les points tels que R(A) = B et R(C) = A. \begin{enumerate} \item Montrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont isoméŽtriques. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? \item Montrer que B et C appartiennent ˆà $\Gamma$ et $\mathcal{H}$. \item Tracer $\Gamma$ et placer A, B et C sur le graphique ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-5,-3)(4,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(4,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-3)(0,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \psline(-5,1)(4,1) \psline(1,-3)(1,4) \psplot{-5}{0.75}{x x 1 sub div} \psplot{1.333}{4}{x x 1 sub div} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 2$, $b = 1 - \text{i}$ et $c = 1 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et C sur une figure. \item Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On appelle $r$ la rotation de centre A telle que $r$(B) = C. Déterminer l'angle de $r$ et calculer l'affixe $d$ du point D = $r$(C). \item Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [BC]. Déterminer et construire l'image $\Gamma '$ du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de $\Gamma$ d'affixe $z$, distinct de C et $M'$ d'affixe $z'$ son image par $r$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un réel $\theta$ appartenant à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right[$ tel que $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$. \item Exprimer $z'$ en fonction de $\theta$. \item Montrer que $\dfrac{z' - c}{z - c}$ est un réel. En déduire que les points C, $M$ et $M'$ sont alignés. \item Placer sur la figure le point M d'affixe $1+ \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et construire son image M$'$ par $r$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{enumerate} \item RŽésoudre dans $\C$ l'Žéquation : \[ 4z^2 - 12z + 153 = 0. \] \item Dans le plan rapportŽé ˆà un repère orthonormŽé \Ouv, d'unitŽé graphique 1 cm on considère les points A, B, C, P d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + 6\text{i},~z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = - 3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}$ et le vecteur $\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2}\text{i}$. \begin{enumerate} \item DŽéterminer l'affixe $z_{\text{Q}}$ du point Q, image du point B dans la translation $t$ de vecteur $\vect{w}$. \item DŽéterminer l'affixe $z_{\text{R}}$ du point R, image du point P par l'homothŽétie $h$ de centre C et de rapport $- \dfrac{1}{3}$. \item DéŽterminer l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S, image du point P par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. Placer les points P, Q, R et S. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽémontrer que le quadrilatère PQRS est un paralléŽlogramme. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{R}} - z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}}$. En dŽéduire la nature préŽcise du parallŽélogramme PQRS. \item Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent ˆà un même cercle, notéŽ $\mathcal{C}$. On calculera l'affixe de son centre $\Omega$ et son rayon $\rho$. \end{enumerate} \item La droite (AP) est-elle tangente au cercle $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_mars2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie mars 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2003_retour}{Retour au tableau} \medskip On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère la transformation ponctuelle $f$ qui, a tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ dŽéfinie par : \[z' = z^2 + 1.\] \begin{enumerate} \item DŽéterminer les antŽécŽédents du point O. \item Existe-t-il des points invariants par $f$ ? Si oui, prŽéciser leurs affixes respectives. \item Montrer que deux points symŽétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points syméŽtriques par rapport à l'axe des abscisses ? \item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} (1 + \text{i})$. Déterminer l'affixe du point A$'$ image de A par $f$ puis prouver que les points O, A et A$'$ sont alignŽés. \item Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~ 2\pi[$ et $N$ le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\theta}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $N$ appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1. \item Lorsque $\theta$ varie, montrer que $N'$, image du point $N$ par $f$ reste sur un cercle dont on préŽcisera le centre et le rayon. \item Vérifier que $\vect{\text{O}N'} = 2\cos \theta \vect{\text{O}N}$. En dŽéduire que les points O, $N$ et $N'$ sont alignéŽs. \item Expliquer la construction du point $N'$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2003_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans tout l'exercice, le plan P est rapportŽé à ˆ un repère orthonormal direct \Ouv. Les constructions seront faites sur papier millimŽtréŽ. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le point E a pour affixe $Z_{\text{E}} = 3 + \text{i}$ et le point F a pour affixe $Z_{\text{F}}= 1 +3\text{i}$. Placer dans P les points E et F. \item Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct de sommet H, c'est-ˆà-dire tel que $\left(\vect{\text{HF}}~ ;~ \vect{\text{HE}}\right) = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$. \item On dŽésigne par $Z_{\text{H}}$ l'affixe de H. Montrer que $\left|\dfrac{3 + \text{i} - Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i} - Z_{\text{H}}}\right| = 1$ et que $\text{arg} \left(\dfrac{3 + \text{i} - Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i} - Z_{\text{H}}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. En dŽéduire que $Z_{\text{H}} = 3 + 3\text{i}$. \end{enumerate} \item A, B, C et D sont quatre points du plan P. \begin{center} \begin{pspicture}(5,5.5) \psline(0,1.5)(0.7,5.3)(2.8,5.3)(4.2,0)(0,1.5) \uput[ur](4.2,0){C} \uput[l](0.7,5.3){A} \uput[ur](2.8,5.3){B} \uput[l](0,1.5){D} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d'angles droits respectifs $\widehat{\text{BIA}},~ \widehat{\text{AJD}},~ \widehat{\text{DKC}}$ et $\widehat{\text{CLB}}$. \item Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On dŽésigne par $a,~ b$ et $z_{1}$ les affixes respectives des points A, B et I. Montrer que $\left|\dfrac{b-z_{1}}{a-z_{1}}\right| = 1$ et arg$\left(\dfrac{b - z_{1}}{a - z_{1}}\right) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$. En dŽéduire que $z_{1} = \dfrac{\text{i}a - b}{\text{i} - 1}$. \item Avec les points B, C et L d'affixes respectives $b,~ c$ et $z_{\text{L}}$, exprimer sans dŽémonstration $z_{\text{L}}$ en fonction de $b$ et $c$. \item Avec les points C, D et K d'affixes respectives $c,~ d$ et $z_{\text{K}}$, exprimer de même $z_{\text{K}}$ en fonction de $c$ et $d$. Avec les points D, A et J d'affixes respectives $d,~a$ et $z_{\text{J}}$ exprimer de même $z_{\text{J}}$ en fonction de $a$ et $d$. \item Montrer que $z_{\text{L}} - z_{\text{J}} = \text{i}\left(z_{\text{K}} - z_{\text{I}}\right)$. En dŽéduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendicu[aires et que JL = KI. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_mars2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry mars 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_mars2003_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Première partie} \medskip On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'Žéquation suivante : \[\text{(E)}\quad z^3 + 2z^2 - 16 = 0.\] \begin{enumerate} \item Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s'Žécrire sous la forme : $(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = 0$, où $a,~b$ et $c$ sont trois rŽéels que l'on dŽéterminera. \item En dŽéduire les solutions de l'Žéquation (E) sous forme algéŽbrique, puis sous forme exponentielle. \end{enumerate} \textbf{Deuxième partie} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et D d'affixes respectives \[ z_{\text{A}} = - 2 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = - 2 + 2\text{i}.\] \item Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel que ABCD soit un parallŽélogramme. Placer C. \item Soit E l'image de C par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et F l'image de C par la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points E et F, notŽées $z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$. \item Placer les points E et F. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item VŽérifier que : $\dfrac{z_{\text{F}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$. \item En dŽéduire la nature du triangle AEF. \end{enumerate} \item Soit I le milieu de [EF]. DéŽterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueSud_dec2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud décembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_dec2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe, rapportŽé à ˆ un repère orthonorméŽ direct \Ouv{} on appelle A et B les points d'affixes respectives 2 et - 2. à tout point $M$ d'affixe $z,~z$ diffŽérent de 2, on associe le point $N$ d'affixe $\overline{z}$ et $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[ z' = \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} \] \begin{enumerate} \item Calculer $z'$ et $|\overline{z'}|$ lorsque $z = 5$ puis lorsque $z = 1 + \text{i}$. \vspace{0,3cm} \item \begin{enumerate} \item InterpréŽter gŽéoméŽtriquement $|z - 2|$ et $|\overline{z'} - 2|$. \item Montrer que, pour tout $z$ distinct de $2, ~|z'| = 2$. En déduire une information sur la position de $M'$. \end{enumerate} \item DŽéterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z~ (z ­\neq 2)$ tels que $M'$ = B. \item On note $Z_{\vect{\text{A}M}}$ et $Z_{\vect{\text{B}M'}}$, les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}M'}$. Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A et n'appartenant pas ˆ $\mathcal{E}$, le quotient $\dfrac{\vect{\text{A}M}}{\vect{\text{B}M'}}$ est un nombre rŽéel. InterpréŽter gŽéoméŽtriquement ce rŽésultat. \item Un point $M$ distinct de A, n'appartenant pas ˆ $\mathcal{E}$, Žétant donnéŽ, proposer une méŽthode géŽomŽétrique pour construire le point $M'$. On illustrera par une figure. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe rapportŽ au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 5~cm), on considère les points A et B d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{B}}= - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.\] On dŽésigne par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Donner la forme trigonomŽétrique de $z_{\text{A}}$ et celle de $z_{\text{B}}$. \item Dans la suite de l'exercice, $M$ dŽésigne un point de $(\mathcal{C})$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\alpha}$, $\alpha \in [0~;~2\pi]$. On considère l'application $f$ qui ˆ tout point $M$ de $(\mathcal{C})$, associe $f(M) = M\text{A} \times M\text{B}$. \begin{enumerate} \item Montrer, pour tout $\alpha \in \R$, l'ŽégalitŽé suivante : \[\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 = 2\text{i}\text{e}^{\text{i}\alpha}\sin \alpha.\] \item Montrer l'ŽégalitŽé suivante : $f(M) = \left|\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}\right)\text{e}^{\text{i}\alpha}\right|$. \item En dŽéduire l'ŽégalitŽé suivante : $f(M) = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \left(- \dfrac{3}{2} + 2\sin \alpha\right) ^2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant \textbf{2. c.}, montrer qu'il existe deux points $M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnŽées, pour lesquels $f(M)$ est minimal. Donner cette valeur minimale. \item En utilisant \textbf{2. c.}, montrer qu'il existe un seul point $M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnéŽes, pour lequel $f(M)$ est maximal. Donner cette valeur maximale. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_sept2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté àŽ ˆ un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unitŽé graphique 4~cm. On note A et B les points d'affixes respectives 1 et i. à tout point $M$, distinct de A et d'affixe $z$, est associŽé le point $M'$ d'affixe $Z$ dŽéfinie par : \[ Z = \dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point C$'$ associŽé au point C d'affixe $- \text{i}$. \item Placer les points A, B et C. \end{enumerate} \item Soit $z =x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ dŽésignent deux nombres rŽéels. \begin{enumerate} \item Montrer l'ŽégalitŽé : \[Z = \dfrac{ (x-1)^2 +(y-1)^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2} - \text{i}\dfrac{x^2 + y^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2}.\] \item DŽéterminer l'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ telle que $Z$ soit rŽéel. \item DéŽterminer l'ensemble F des points $M$ d'affixe $z$ telle que Re($Z$) soit nŽégatif ou nul. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ƒÉcrire le nombre complexe $(1 - \text{i})$ sous forme trigonoméŽtrique. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$, distinct de A et de B. Montrer que : $\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}~\in ~\R*$ si et seulement s'il existe un entier $k$ tel que $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. \item En dŽéduire l'ensemble des points $M$ véŽrifiant $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. \item DŽéterminer l'ensemble des points $M$ vŽérifiant $\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{NlleCaledonie_nov2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2002_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{enumerate} \item On considère le polynô™me $P$ de la variable complexe $z$, dŽéfini par : \[P(z) = z^3 + (14 - \text{i}\sqrt{2})z^2 + \left(74 - 14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}.\] \begin{enumerate} \item DéŽterminer le nombre rŽéel $y$ tel que i$y$ soit solution de l'Žéquation $P(z) = 0$. \item Trouver deux nombres rŽéels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $P(z) = (z - \text{i}\sqrt{2})(z^2 + az + b)$ \item RŽésoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'Žéquation $P(z)=0$. \end{enumerate} \item Le plan complexe est rapportŽé à ˆ un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm pour unitŽé graphique. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 7 + 5\text{i}$~; $z_{\text{B}} = -7 - 5\text{i}$ et $z_{\text{I}} = \text{i}\sqrt{2}$. \item DŽéterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$. \item Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$. DéŽterminer l'affixe du point N tel que ABCN soit un parallŽlogramme. \item Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}} = 1 + 11\text{i}$ . Calculer $Z = \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{D}} - z_{\text{B}}}$ sous forme algŽébrique puis sous forme trigonoméŽtrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en dŽéduire la nature du quadrilatre ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2002_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes ; rŽésoudre le système d'Žéquations suivant : \[ \left\{\begin{array}{l c l} z_1\sqrt{3} - z_2&=&-2\\ z_1 - z_2\sqrt{3}&=&- 2\text{i}\\ \end{array}\right. \] \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonorméŽ direct de centre O, d'unitéŽ graphique 4 cm, on considère les points A et B d'affixes respectives : \[ z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i}, \qquad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3}.\] Donner les Žécritures de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. Placer les points A et B. \item Calculer module et argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$. En dŽéduire la nature du triangle ABO et une mesure de l'angle $\left( \vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right)$. \item DŽéterminer l'affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C. Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la transformation qui ˆà tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}z.\] \begin{enumerate} \item DéŽfinir cette transformation et donner ses éŽlŽéments caractŽéristiques. \item Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A$'$, B$'$, et C$'$ images par $f$ de A, B et C ? \item Quelle est l'aire du triangle A$'$B$'$C$'$ en cm$^2$ ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique. \vspace{0,2cm} On considère l'application F du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z'= (1 + \text{i})z + 2.\] \begin{enumerate} \item Soit A le point d'affixe $-2 + 2$i. Déterminer les affixes des points $\text{A}'$ et B vérifiant respectivement A$'$ = F(A) et F(B) = A. \item Méthode de construction de l'image de $M$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un point confondu avec son image. On notera $\Omega$ ce point et $\omega$ son affixe. \item Établir que pour tout complexe $z$ distinct de $\omega,~\dfrac{z' - z}{\omega - z} = -$i. Soit $M$ un point distinct de $\Omega$. Comparer $MM'$ et $M\Omega$ et déterminer une mesure de l'angle $( \vect{M\Omega},~ \vect{MM'})$. En déduire une méthode de construction de $M'$ à partir de $M$. \end{enumerate} \item étude de l'image d'un ensemble de points. \begin{enumerate} \item Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Gamma$, des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z + 2 - 2\text{i}| = \sqrt{2}$. Vérifier que B est un point de $\Gamma$. \item Démontrer que, pour tout $z$ élément de $\C$ \[z' + 2 = (1 + \text{i})(z + 2 - 2\text{i}).\] Démontrer que l'image par F de tout point de $\Gamma$ appartient au cercle $\Gamma `$ de centre A$'$ et de rayon 2. Placer O, A, B, A$'$, $\Gamma$ et $\Gamma'$ sur une même figure. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, (unité graphique 2~cm). On considère les points I et A d'affixe respectives 1 et $- 2$. Le point K est le milieu du segment [IA]. On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [IA]. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure. \begin{enumerate} \item Soit B le point d'affixe $b = \dfrac{1 + 4\text{i}}{1 - 2\text{i}}$ . Écrire $b$ sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle $(\mathcal{C})$. \item Soit D le point du cercle $(\mathcal{C})$ tel que l'angle $\left(\vect{\text{KI}},~ \vect{\text{KD}}\right) = \dfrac{\pi}{3} + 2 k \pi$ où $k$ est un entier relatif et soit $d$ l'affixe de D. \begin{enumerate} \item Quel est le module de $d + \dfrac{1}{2}$~ ? Donner un argument de $d + \dfrac{1}{2}$. \item En déduire que $d = \dfrac{1}{4} + 3 \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \item Déterminer un réel $a$ vérifiant l'égalité $\dfrac{1 + 2\text{i}a} {1 - \text{i}a} = \dfrac{1}{4} + 3\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. \end{enumerate} \item Soit $x$ un réel non nul et $M$ le point d'affixe $m = \dfrac{1 + 2 \text{i}x}{1 - \text{i}x}$. On pose $Z = \dfrac{(m -1)}{(m + 2)}$. Calculer $Z$ et en déduire la nature du triangle AI$M$. \item Soit $N$ un point, différent de A du cercle $(\mathcal{C})$ et $n$ son affixe. Démontrer qu'il existe un réel $y$ tel que $n = \dfrac{1 + 2\text{i}y}{1 - \text{i}y}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $3,~ 4\text{i},~ - 2 + 3\text{i}$ et $1 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C et D dans le plan. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des complexes les équations : \[z^2 -(1 + 3\text{i})z -6 + 9\text{i} = 0~~ (1) \quad \text{et} \quad z^2 -(1 + 3\text{i})z + 4 + 4\text{i} = 0~~ (2)\] \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle $z_1$, et l'équation (2) une solution imaginaire pure $z_2$. \item Développer $(z - 3)(z + 2- 3\text{i})$, puis $(z-4\text{i})(z - 1 + \text{i})$. \item En déduire les solutions de l'équation : \[ \left(z^2 - (1 +3\text{i})z -6 + 9\text{i}\right)\left(z^2 - (1 +3\text{i})z+ 4+ 4\text{i}\right) = 0.\] \item Soit $z_0$ la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique de $z_0$. \item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que les points $M_n$ d'affixes $z_0^n$ soient sur la droite d'équation $y = x.$ \end{enumerate} \item On appelle $f$ l'application qui au point $M$, d'affixe $z$, associe le point $M'$, d'affixe $z'$ telle que : \[z' = z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}.\] \begin{enumerate} \item On pose $z = x + \text{i}y$ et $z'= x' + \text{i}y'$. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \item Déterminer une équation de l'ensemble (H) des points $M$ pour lesquels $f(M)$ appartient à l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Etranger_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\text{i}}{2}$. $\mathcal{T}$ est l'application qui, à tout point $M$, d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[2zz'= \text{i} (z + z').\] \begin{enumerate} \item On appelle I et J les points d'affixes respectives : $z_{\text{I}} = 1 ,~ z_{\text{J}} = \text{i}$ . Soit K le milieu du segment [IJ]. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$ de K. \item Déterminer les affixes des images des points I, J, K par l'application $\mathcal{T}$. \item En déduire que $\mathcal{T}$ ne conserve pas les milieux. \end{enumerate} \item Déterminer les points invariants par $\mathcal{T}$. \item Montrer que $M' = \mathcal{T}(M)$ si et seulement si $\left(z' - \dfrac{\text{i}}{2}\right)\left(z - \dfrac{\text{i}}{2}\right) = - \dfrac{1}{4}$. \item En déduire l'image par $\mathcal{T}$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre A et de rayon 1. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal direct \Ouv{} [unité graphique : 2~cm]. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$. On pose $a=\sqrt{3}+\text{i}$ et $b=\sqrt{3}-\text{i}$. Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle et placer les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. \item \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer l'affixe $a'$ du point $A'$ image du point A par $r$. Écrire $a'$ sous forme algébrique et placer $A'$ sur la figure précédente. \item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-\dfrac{3}{2}$. Calculer l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point B par $h$. Placer $B'$ sur la figure précédente. \end{enumerate} \item Soit $C$ le centre du cercle circonscrit au triangle O$A'B'$ et $R$ le rayon de ce cercle. On désigne par $c$ l'affixe du point $C$. \begin{enumerate} \item Justifier les égalités suivantes : \begin{center} \begin{tabular}{ccc} $c\bar{c}=R^2$ & $(c-2\text{i})\left(\bar{c}+2\text{i}\right)=R^2$ & $\left(c+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\text{i}\right)\left(\bar{c}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\text{i}\right) = R^2.$\\ \end{tabular} \end{center} \item En déduire que $c-\bar{c}=2\text{i}$ puis, que $c+\bar{c}=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. \item En déduire l'affixe du point $C$ et la valeur de $R$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). On considère l'application $f$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = z^3 - 3z^2 + 3z$. \begin{enumerate} \item On considère les points B et C d'affixes respectives i et i$\sqrt{3}$. Calculer les affixes des points images de O, B et C par $f$. Placer les points B, C et leurs images B$'$ et C$'$ sur une figure. L'application $f$ conserve-t-elle l'alignement ? \item Montrer qu'un point $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $z$ vérifie l'équation \[z^3 - 3z^2 + 2z = 0.\] En déduire que $f$ possède trois points invariants, dont on déterminera les affixes. \item \begin{enumerate} \item Montrer pour tout $z$ de $\C$ l'égalité suivante : \[ z' - 1 = (z - 1)^3. \] \item Soit $z$ un nombre complexe différent de 1, on note $r$ le module de $z - 1$ et $\alpha$ un argument de $z - 1$. Exprimer le module $r'$ et un argument $\alpha'$ de $z'- 1$ en fonction de $r$ et de $\alpha$. Soit A le point d'affixe 1, déduire des résultats précédents une reIation entre la distance A$M'$ et la distance A$M$, et une relation entre une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right)$ et une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. \item Montrer que si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $\sqrt{2}$, alors $M'$ appartient à un cercle $\Gamma '$ de même centre dont on déterminera le rayon. \end{enumerate} \item Montrer que, si $M$ appartient à une demi-droite ouverte D d'origine A passant par le point B, alors $M'$ appartient à une demi-droite D$'$'que l'on déterminera. Justifier l'appartenance du point B$'$ à $\Gamma '$ et à D$'$. Compléter la figure avec les différents éléments : $\Gamma,~\Gamma '$,~ D et D$'$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 2cm, on considère les points $M$ d'affixe $z$, $M_1$ d'affixe $\overline{z}$, A d'affixe 2 et B d'affixe 1. Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans $\mathcal{P}$, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{\overline{z} + 4}{\overline{z} - 2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les points invariants par $f$. \item Soit C le point d'affixe $2\left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)$. Montrer que C$'$ est le milieu du segment [OC]. \item \begin{enumerate} \item Calculer pour tout $z ? 2$, le produit $\left(\overline{z} - 2\right)\left(z' - 1\right).$ \item En déduire : - la valeur de A$M_1 \cdot \text{B}M'$, - une expression de $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{B}M'}\right)$ en fonction de $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M_1}\right)$. \item Justifier les relations : \[\begin{array}{l l} (1) &\qquad \text{A}M \cdot \text{B}M' = 6\\ (2) &\qquad \left(\vect{u}~;~\vect{\text{B}M'}\right) = \left(\vect{u} ~;~\vect{\text{A}M}\right).\\ \end{array}\] \item Application : construire l'image D$'$ du point D d'affixe $2 + 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2002}{} \section{\textbf{Pondichéry mai 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2002_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité graphique 2~cm. On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$, et par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre A et de rayon 1. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et E le point d'affixe $(1 + z_{\text{B}}^2)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le point B appartient au cercle $(\mathcal{C})$. \item Déterminer une mesure en radians de l'angle de vecteurs $\left(\vect{\text{AF}}~ ;~\vect{\text{AB}}\right)$. Placer le point B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes $(z_{\text{B}} - z_{\text{A}})$ et $(z_{\text{E}}- z_{\text{A}})$. \item En déduire que les points A , B et E sont alignés. \end{enumerate} \item Placer le point E. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour tout nombre complexe $z$ tel que $z \neq 1$, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$ où $z' = 1 + z^2$. \begin{enumerate} \item Pour $z \neq 0$ et $z \neq 1$, donner, à l'aide des points A, $M$ et $M'$, une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$. \item En déduire que A, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z^2}{z - 1}$ est un réel. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles septembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2001_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ : \[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\] \item On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4$i et $b = - 4\sqrt{3} + 4$i. Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB. \item On désigne par C le point d'affixe $c = \sqrt{3}$ + i et par D son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D. \item On appelle G le barycentre des points pondérés (O ;~$- 1$), (D ; 1 ) et (B ; 1). \begin{enumerate} \item Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6$i. \item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1~cm). \item Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité $\dfrac{c - g}{a - g} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item En déduire une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{GA}}, ~\vect{\text{GC}}\right)$, ainsi que la valeur du rapport $\dfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$. Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2001_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe $- \text{i}$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ par : \[ f(z) =\dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout $z$ de $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ \[f\left(z\right) = - \text{i} + \frac{2}{z - \text{i}}.\] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que - i n'a pas d'antécédent par $f$. \item Déterminer les antécédents de $0$ et de i par $f$. \end{enumerate} \item à tout point $M$ différent de A, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = f(z)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout point $M$ différent de A, le produit des longueurs A$M$ et B$M'$ est égal à $2~~ ($A$M \cdot \text{B}M'=2$). \item Démontrer que lorsque $M$ décrit le cercle $C$ de centre A et de rayon $4$, $M'$ se déplace sur un cercle $C'$ dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble E des points $M(z)$ tels que $z - \text{i}$ soit un nombre réel non nul. \item Démontrer que lorsque $M$ décrit E, $M'$ se déplace sur une droite $\Delta$ que l'on précisera. \item Lorsque $M$ décrit E, $M'$ décrit-il toute la droite $\Delta$ ? \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $f(z)$ soit un imaginaire pur non nul. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2001_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4~cm, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2\text{i}, \quad z_{\text{B}} = \text{i}, \quad z_{\text{C}} = -1 + \text{i},\quad z_{\text{D}} =1 + \text{i}.\] \textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.} \begin{enumerate} \item Soit la fonction $f$ de $\mathcal{P}$ - \{B\} dans $\mathcal{P}$ qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ où \[z' = \text{i}\dfrac{z - 2\text{i}}{z - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Développer $(z + 1 - \text{i})(z - 1 - \text{i})$. \item Chercher les points $M$ vérifiant $f(M) = M$ et exprimer leurs affixes sous forme algébrique puis trigonométrique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $z$ différent de i, \[|z'| = \dfrac{\text{AM}}{\text{BM}},\] et que, pour tout $z$ différent de i et de 2i, \[\text{arg}(z') = \left(\vect{\text{BM}},~\vect{\text{AM}}\right) + \dfrac{\pi}{2} \quad (\text{modulo} 2\pi).\] \item Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z'| = 1$. \item Déterminer et construire l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ tels que arg$(z') = \dfrac{\pi}{2} \quad (\text{modulo} \quad 2\pi$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $z'- \text{i} = \dfrac{1}{z - \text{i}}$ et en déduire que $|z'- \text{i}| \times |z - \text{i}| = 1$, pour tout complexe $z$ différent de i. \item Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ de centre B et de rayon $\dfrac{1}{2}$. Prouver que le point $M'$ d'affixe $z'$ appartient à un cerclede centre B et de rayon à déterminer. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip On considère le polynôme $P$ défini par : \[P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63.\] \begin{enumerate} \item Calculer $P(\text{i}\sqrt{3})$ et $P(-~\text{i}\sqrt{3})$ puis montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que l'on déterminera, tel que, pour tout $z \in \C$, on ait $P(z) = (z^2 + 3) Q(z)$. \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$. \item Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal \Ouv, les points A, B, C, D d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = -~\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle. \item On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}} = \text{e}^{\frac{-~\text{i}\pi}{3}}$ puis déterminer la nature du triangle BEC. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on désigne par $M(z)$ le point $M$ ayant pour affixe $z$. \begin{enumerate} \item Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i), C$(- 4 + 3\text{i})$ et D$(- 8)$, en prenant 1 cm pour unité graphique. \item Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$, associe le point $M'(z')$ tel que : \[z' = (1 + 2\text{i})z - 4 - 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Préciser les images des points A et B par $f$. \item Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$~ ($M$ est un point fixe pour $f$ si, et seulement si, $f(M) = M$). \end{enumerate} \item On admet que $\omega = 1 - 2$i. Soit $M$ un point quelconque et $M'$ son image par $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout complexe $z$ on a: $z' - z = 2\text{i}(w - z)$. Dans toute la suite, $M$ est différent de $\Omega$. \item Déduire de la question précédente le rapport des distances $\dfrac{MM'}{\Omega M}$, et l'angle de vecteurs $(\vect{M \Omega}, \vect{MM'})$. \item Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point $M'$, connaissant le point $M$. Réaliser cette construction sur la figure de la question \textbf{1)} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z~ (z \neq -~1)$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{\text{i}z- 2}{z+ 1}.\] Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = -~1,~ b = 2$i et $c = $i. \begin{enumerate} \item Soit C$'$ l'image du point C par $f$. Donner l'affixe $c'$ du point C$'$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. \item Calculer l'affixe $d$ du point D ayant pour image par f le point D$'$ d'affixe $d' = \dfrac{1}{2}$. \item Pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on note $p$ le module de $z + 1$ (c'est-à-dire $|z + 1| = p$) et $p'$ le module de $z' +$ i (c'est-à-dire $|z' + \text{i}| = p'$). \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on a : $pp' = \sqrt{5}$. \item Si le point $M$ appartient au cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon 2, montrer qu'alors $M' = f(M)$ appartient à un cercle ($\Gamma '$), dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item Pour tout nombre complexe $z$ différent de - 1, on considère le nombre complexe $\omega = \dfrac{z- 2\text{i}}{ z + 1}$. \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement l'argument du nombre complexe $\omega$. \item Montrer que $z' = -~\text{i}\omega$. \item Déterminer l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ telle que $z'$ soit un réel non nul. \item Vérifier que le point D appartient aux ensembles ($\Gamma$) et (F). \end{enumerate} \item Représenter les ensembles ($\Gamma$), (F) et ($\Gamma '$) en prenant 4~cm pour unité graphique. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} [unité graphique : 6~cm]. On considère la suite $(\alpha_n)$ de nombres réels définie par $\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et, pour tout entier naturel $n,~ \alpha_{n + 1} = \alpha_n + \dfrac{5\pi}{6}$. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $M_n$ le point du cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1 tel que l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M_n} \right)$ ait pour mesure $\alpha_n$. \begin{enumerate} \item Placer les douze points M$_0$,~ M$_1$,~ M$_2$,~$\cdots$, M$_{11}$. \item On appelle $z_n$ l'affixe de $M_n$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité : $z_n = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{12}\right)}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer, pour tout entier naturel $n$, les propriétés suivantes : $\bullet~$les points $M_n$ et $M_{n + 6}$ sont diamétralement opposés ; $\bullet~$les points $Mn$ et $M_{n+12}$ sont confondus. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité $z_{n + 4} = \text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}}z_n$. En déduire que la distance $M_n M_{n + 4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$, est équilatéral. On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points $M_n$ sont de la forme $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$. \end{enumerate} \item Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M$_0$,~ M$_1$, ~ M$_2$,~$\cdots$,~M$_{11}$ sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3$ + i et $z_{\text{B}} = 1 + 2$i. \begin{enumerate} \item Exprimer le complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. \item En déduire une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}} \right).$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Désormais on considère l'espace muni du repère orthonormal direct (O,~$\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}$) où $\vect{w} = \vect{u} \wedge \vect{v}$. On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) et $D$(0, 0, $d$) où $d$ désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre ABC$D$. \begin{enumerate} \item On pose $\vect{\text{N}} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de N . \item En déduire l'aire du triangle ABC. \end{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \item On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan (ABC). \begin{enumerate} \item On pose $\vect{DH} = \lambda \vect{\text{N}}$. Calculer $\lambda$ en fonction de $d$. \item En déduire l'expression de la distance $DH$. Montrer que le volume du tétraèdre ABC$D$ est V$_{d} = \dfrac{2d+5}{ 6}$. \end{enumerate} \item Déterminer pour quelle valeur de $d$ la droite ($D$B) est perpendiculaire au plan (ABC). \item On suppose que $d = 0$ . Calculer la distance de A au plan (OBC). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2001_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe $P$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 2 cm, on considère les points A et B, d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ = - 1 et $z_{\text{B}}$ = 3i. Soit la fonction $f$ de $P$ privée du point A dans $P$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' = \text{i}\left(\dfrac{z - 3\text{i}}{z + 1}\right)$ \quad (1). \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}}$ = 2 - i. Montrer qu'il existe un seul point D tel que $f$(D) = C. \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item à l'aide de l'égalité (1), montrer que, pour tout $M$ distinct de A et de B : O$M'$ = B$M$ ~et $(\vect{u},~ \vect{\text{O}M'}) = \dfrac{\pi}{ 2} + (\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}$) (modulo 2$\pi$). \item En déduire et construire les ensembles de points suivants : \begin{enumerate} \item L'ensemble E des points $M$ tels que l'image $M'$ soit située sur le cercle (F) de centre O, de rayon 1. \item L'ensemble F des points $M$ tels que l'affixe de $M'$ soit réelle. \end{enumerate} \item On considère la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On note C$_1$ l'image de C par R. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe de C$_1$. \item Montrer que C$_1$ appartient à l'ensemble F. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry mai 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2001_retour}{Retour au tableau} \medskip On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe \[f(z) = \frac{2 - \text{i}z}{1 - z}.\] L'exercice étudie quelques propriétés de $f$. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions \textbf{1.} et \textbf{2.}. A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe $- 2$i. \begin{enumerate} \item On pose $z =x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels. Écrire $f(z)$ sous forme algébrique. En déduire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel et représenter cet ensemble. \item On pose $z'=f(z).$ \begin{enumerate} \item Vérifier que i n'a pas d'antécédent par $f$ et exprimer, pour $z'$ différent de i, $z$ en fonction de $z'$. \item $M$ est le point d'affixe $z$ ($z$ différent de 1) et $M'$ celui d'affixe $z'$ ($z'$ différent de i). Montrer que O$M=\frac{\displaystyle{M'\text{C}}}{\displaystyle{M'\text{D}}}$ où C et D sontles points d'affixes respectives 2 et i. \item Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image $M'$ appartient à une droite fixe que l'on définira géométriquement. \item Montrer que, si $M$ est un point de l'axe des réels, différent de O et de A, alors $M'$ appartient à la droite (CD). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2 cm). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$. \item Résoudre dans $\C$ l'équation i$z - 2 = 4\text{i} - z$. On donnera la solution sous forme algébrique. \end{enumerate} \item On désigne par I, A et B les points d'affixes respectives 1, 2i et 3 + i. \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice. \item Calculer l'affixe $z_C$ du point C image de A par la symétrie de centre I. \item Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac {z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}$. En déduire le module et un argument de ce nombre. ($z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ désignent les affixes des points A et B). \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}}$ tel que $z_{\text{D}} - z_{\text{C}} = z_{\text{A}} - z_{\text{B}}$. Montrer que ABCD est un carré. \end{enumerate} \item Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}$. \begin{enumerate} \item Exprimer le vecteur $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}$ en fonction du vecteur $\vect{M\text{I}}$. \item Montrer que le point $K$ défini par $\vect{K\text{A}} + \vect{K\text{B}} + \vect{K\text{C}} + \vect{K\text{D}} = 2 \vect{\text{AB}}$ est le milieu du segment [AD]. \item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que \[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = \left\|2 \vect{\text{AB}}\right\|.\] Construire $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_dec2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec2000_retour}{Retour au tableau} \textbf{\Large \item } \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation \[ z^2 - 2z + 2 = 0.\] Préciser le module et un argument de chacune des solutions. \item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation \[(-\text{i}z + 3\text{i} + 3)^2 - 2(-\text{i}z+3\text{i}+3)+2 = 0.\] \end{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{C}}= 2z_{\text{B}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les formes algébriques de $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \item Placer lespoints A, B et C. \item Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle ($\mathcal{C}$) de centre I d'affixe 3 et de rayon $\sqrt{5}$. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$ ; en déduire la nature du triangle IAC. \item Le point E est l'image du point O par la translation de vecteur $2 \vect{\text{IC}}$. Déterminer l'affixe du point E. \item Le point D est l'image du point E par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe du point D. \item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2000_retour}{Retour au tableau} \begin{enumerate} \item Pour tout nombre complexe $z$, on considère \[f(z) = z^4 - 10z^3 + 38z^2 - 90z + 261.\] \begin{enumerate} \item Soit $b$ un nombre réel. Exprimer en fonction de $b$ les parties réelle et imaginaire de $f(\text{i}b)$. En déduire que l'équation $f(z) = 0$ admet deux nombres imaginaires purs comme solution. \item Montrer qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe $z$, $$f(z) = \left(z^2 + 9\right) \left(z^2 + \alpha z + \beta \right).$$ \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $f(z) = 0$. \end{enumerate} \item Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal. \begin{enumerate} \item Placer dans le plan $\mathcal{P}$ les points A, B, C et D ayant respectivement pour affixes : $a = 3$i,~$b = -3$i,~$c = 5 + 2$i et $d = 5 - 2$i. \item Déterminer l'affixe de l'isobarycentre G des points A, B, C, D. \item Déterminer l'ensemble E des points $M$ de $\mathcal{P}$ tels que : \[\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\| = 10.\] Tracer E sur la figure précédente. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{AmeriqueNord_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv. Dans tout l'exercice, $z$ est un nombre complexe non nul. à tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z' = -~\dfrac{1}{z}$, puis le point $I$ milieu du segment $[MM']$ . L'affixe de $I$ est donc $\dfrac{1}{2}\left(z - \dfrac{1}{z}\right)$. Note : les questions \textbf{2., 3.} et \textbf{4.} sont largement indépendantes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner une relation entre les modules de $z$ et $z'$. Donner une relation entre leurs arguments. \item Sur la figure ci-dessous est placé le point $M_1$ d'affixe $z_1$ sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point $M'_1$ , puis le point $I_1$ milieu du segment $[M_1 M'_1]$. Effectuer cette construction. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(10,10) \pscircle(5,5){2,25} \pscircle(5,5){4,5} \pscircle*(9,7.061){0,05} \pscircle*(3,3.97){0,05} \psline(5,0.5)(5,10) \psline(0.2,5)(9.8,5) \uput[dl](5,5){O} \uput[ur](9.2,7.3){$M_{1}$} \uput[dl](3,3.8){$M_{2}$} \rput(6,4.8){$\vect{u}$} \rput(4.6,6.2){$\vect{v}$} \psline{->}(5, 5)(7.25,5) \psline{->}(5,5)(5,7.25) \end{pspicture} \end{center} \item Pour cette question, $\theta$ est un réel et $M$ est le point d'affixe $z = e^{\text{i}\theta}$. \begin{enumerate} \item Calculer sous forme algébrique l'affixe de $I$. \item Sur la figure ci-dessous est placé le point $M_2$ d'affixe $z_2$ sur le cercle $\mathcal{C}$, de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question \textbf{2. a.}, on peut obtenir géométriquement le point $I_2$ milieu du segment $[M_2M'_2]$ . Effectuer cette construction. Donner (sans justification) l'ensemble décrit par $I$ lorsque $M$ décrit $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O. \begin{enumerate} \item Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels $M$ et $I$ sont confondus. \item Développer $(z - 2 \text{i})^2 + 3$. Déterminer les points $M$ du plan complexe pour lesquels l'affixe de $I$ est 2i. \end{enumerate} \item Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O, d'affixe $z = x + \text{i}y~~(x$~ et $y$ réels). \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe de $I$. \item Déterminer l'ensemble $A$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient à l'axe des abscisses. \item Déterminer l'ensemble $B$ des points $M$ du plan pour lesquels $I$ appartient à l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z + 7$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(-~1)$ . \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait : \[P(z) = (z+1)(z^2 + az + b).\] \item Résoudre dans C l'équation $P(z) = 0$. \end{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. (Unité graphique : 2~cm.) On désigne par $A,~B,~C$ et $G$ les points du plan d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = - 1 ,~ z_{\text{B}} = 2 + \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{\text{G}} = 3.\] \begin{enumerate} \item Réaliser une figure et placer les points A,~B,~C et G. \item Calculer les distances AB,~BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC. \item Calculer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{G}} - z_{\text{C}}}$. En déduire la nature du triangle GAC. \end{enumerate} \item Soit $(D)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : \[\left(-~\vect{M\text{A}} + 2\vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right) \cdot \vect{\text{CG}} = + 12~~ (1)\] \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est le barycentre du système de points pondérés \[\left\{(\text{A},~ - 1 )~ ;~ (\text{B},~ 2)~ ;~ (\text{C},~ 2) \right\}.\] \item Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation $\vect{\text{G}M}. \vect{\text{CG}} = - 4 \quad (2)$. \item Vérifier que le point A appartient à l'ensemble $(D)$. \item Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation $\vect{\text{A}M} .\vect{\text{GC}} = 0$. \item En déduire l'ensemble $(D)$ et le tracer. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormal direct \Oij, d'unité 2~cm, on considère les points A,~ B,~ C et D d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = -~\text{i}~;~ z_{\text{B}} = 3~;~ z_{\text{C}} = 2 + 3\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = -~1 + 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Placer sur une figure les points A,~ B,~ C et D. \item \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement le module et l'argument du complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} - z_{\textrm{B}}}$. \item Calculer le complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} - z_{\text{B}}}$ . \item Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier. \item Calculer l'aire $s_0$ du quadrilatère ABCD. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}\item Placer sur la figure précédente les points $\text{A}_1,~ \text{B}_1,~ \text{C}_1$ et $\text{D}_1$ tels que $\vect{\text{DA}_1} = \vect{\text{A}_1\text{B}_1} = \vect{\text{B}_1\text{C}}$, où les points $\text{A}_1$ et $\text{B}_1$ appartiennent à [DC], le quadrilatère $\text{A}_1\text{B}_1 \text{C}_1\text{D}_1$ étant un carré situé àl'extérieur du quadrilatère ABCD. \item Tracer le carré $\text{A}_1\text{B}_1 \text{C}_1\text{D}_1$ et déterminer son aire $s_1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On continue par le même procédé : un carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\textrm{D}_n$ étant déterminé, on considère les points $\text{A}_{n+1},~\text{B}_{n+1},~\text{C}_{n+1}$ et $\text{D} _{n+1}$ tels que $\vect{\text{D}_n\text{A}_{n+1}} = \vect{\text{A}_{n + 1}\text{B}_{n + 1}} = \vect{\text{B} _{n+1}\text{C}_n}$ où les points $\text{A}_{n+1}$ et $\text{B}_{n + 1}$ appartiennent à $[\text{D}_n \text{C}_n]$, le quadrilatère $\text{A}_{n+1}\text{B}_{n+1}\text{C}_{n+1}\text{D}_{n+1}$ étant un carré situé à l'extérieur du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$ Tracer le carré $\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2$. \item Soit $s_n$ l'aire du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n$. Exprimer $s_{n + 1}$ en fonction de $s_n$, puis de $n$. En déduire $s_n$ , en fonction de $n$. %80 \item Déterminer, en fonction de $n$, l'aire $S_n$ de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés $\text{A}_1\text{B}_1 \text{C}_1\text{D}_1$, $\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2 ,~\ldots$ et $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$ \item La suite $(s_n)$ est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4~cm, on considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et B d'affixe $z_{\text{B}} = 2$. Soit un réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $]0 ~;~ \pi[$. On note $M$ le point d'affixe $z = 1 + \text{e}^{2\text{i}\theta}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le point $M$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre A et de rayon 1. \item Exprimer l'angle $(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}M})$ en fonction de $\theta$. En déduire l'ensemble $E$ des points $M$ quand $\theta$ décrit l'intervalle $]0~;~\pi[$. \item On appelle $M'$ l'image de $M$ par la rotation de centre O et d'angle $-~\theta$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. Montrer que $z' = \overline{z}$ puis que $M'$ appartient à $(\mathcal{C})$. \item Dans toute la suite, on choisit $\theta = \dfrac{\pi}{3}$. On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $-~\dfrac{2\pi}{3}$ et A$'$ l'image de A par $r$. \begin{enumerate} \item Définir l'image $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par $r$. Placer sur une figure A, B, $(\mathcal{C}), M, (\mathcal{C}')$ puis le point $M'$ image de $M$ par $r$. \item Montrer que le triangle $AM$O est équilatéral. \item Montrer que $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ se coupent en O et en $M$. \item Soit le point $P$ symétrique de $M$ par rapport à A. Montrer que $M'$ est le milieu de $[\text{A}'P]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité : 2~cm). On dit qu'un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$. On pose j $= \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que 1 ,~j et j$^2$ sont solutions de l'équation $z^3 = 1$. \item Calculer $(1 - \text{j})(1 +\text{j}+\text{j}^2)$ ; en déduire que $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. \item Vérifier que $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} +\text{j}^2 = 0$. \end{enumerate} \item Dans le plan complexe, on considère trois points $A,~ B,~ C$, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $\dfrac{c-a}{b - a} = \text{e}^{i\frac{\pi}{3}}$. \item En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si : $a + bj + cj^2 = 0.$ \end{enumerate} \item À tout nombre complexe $z \neq 1$ , on associe les points $R,~ M$ et $M'$ d'affixes respectives 1, $z$ et $\bar{z}$. \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $z$ les points $M$ et $M'$ sont-ils distincts ? \item En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble ($\Delta$) des points $M$ d'affixe $z$ tels que le triangle $RMM'$ soit équilatéral direct est une droite privée d'un point. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives i et $-$~ i. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte de $-$~ i associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{1 + \text{i}z}{z + \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Quelle est l'image par l'application $f$ du point O ? \item Quel est le point qui a pour image par l'application $f$ le point $C$ d'affixe $1 +i$ ? \item Montrer que l'équation $\dfrac{1 + \text{i}iz}{z + \text{i}} = z $ admet deux solutions que l'on déterminera. \item Vérifier que $z' = \dfrac{\text{i}(z - \text{i}i)}{z + \text{i}}$, en déduire $\text{O}M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$ et : \[\left(\vec{u} , \vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{M\text{B}},~ \vect{M\text{A}}\right) + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi~~\text{avec}~ k \in \Z.\] \item Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images par l'application $f$ situées sur un même cercle $(\mathcal{C})$ que l'on précisera. \item Soit $M$ un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B, montrer que son image $M'$ est située sur l'axe des abscisses. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4 cm. Dans l'ensemble des nombres complexes$\C$, ~i désigne le nombre de module 1, et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On appelle $f$ l'application, qui, à tout nombre complexe $z$ différent de $- 2$, associe \[Z = f(z) = \dfrac{z - 2 + \text{i}}{z + 2\text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Si $z = x + \text{i}y,~ x$ et $y$ étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et de $y$. On vérifiera que $\Re(Z) = \dfrac{x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2}{x^2 + (y + 2)^2}$. En déduire la nature de : \begin{enumerate} \item l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $Z$ soit un réel; \item l'ensemble $F$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan, tels que $Z$ soit un imaginaire pur éventuellement nul. \item Représenter ces deux ensembles. \end{enumerate} \item On appelle $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_{A} = 2 - \text{i}$ et $z_{B} = - 2\text{i}$. En remarquant que $Z = \dfrac{z - z_{A}}{z - z_{B}}$ , retrouver les ensembles $E$ et $F$ par une méthode géométrique. \item Calculer $|f(z) - 1| \times |z + 2\text{i}|$, et en déduire que les points $M'$ d'affixe $Z$, lorsque le point $M$ d'affixe $z$ parcourt le cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{5}$, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry mai 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2000_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité graphique 4~cm. On appelle B le point d'affixe i et M$_1$ le point d'affixe : \[z_1 = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} (1 - \text{i}).\] \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de $z_1$. \item Soit M$_2$ le point d'affixe $z_2$, image de M$_1$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer le module et un argument de $z_2$. Montrer que le point M$_2$ est un point de la droite $(D)$ d'équation $y = x$. \item Soit M$_3$ le point d'affixe $z_3$, image de M$_2$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3} + 2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $z_3 = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} (1 + i).$ \item Montrer que les points M$_1$ et M$_3$ sont situés sur le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{2}$. \end{enumerate} \item Construire, à la règle et au compas, les points M$_1$,~ M$_2$ et M$_3$ en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction. \item à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ (distinct de B), on associe le point $M'$, d'affixe $Z$ telle que $Z = \dfrac{1}{\text{i} - z}$. Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ du plan ($M$ distinct de B) tels que $M'$ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept1999_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On note $Z_{M}$ l'affixe d'un point $M$. Soit A le point d'affixe 4 et B le point d'affixe 4i. \begin{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel de [0, 2$\pi$[ et $r$ un réel strictement positif. On considère le point $E$ d'affixe $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ et $F$ le point tel que O$EF$ est un triangle rectangle isocèle vérifiant $\left(\vect{\text{O}E},~ \vect{\text{O}F}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'affixe de $F$ ? \item Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l'exercice. On choisira, uniquement pour cette figure : \[\theta = 5\dfrac{\pi}{6}~ \text{et}~ r = 3.\] \item On appelle P,~$ Q,~ R,~ S$ les milieux respectifs des segments [AB], [B$E$], [$EF],~ [F$A]. \begin{enumerate} \item Prouver que P$QRS$ est un parallélogramme. \item On pose : $Z = \dfrac{Z_{R} - Z_{Q}}{Z_{Q} -Z_{\text{P}}}$. Déterminer le module et un argument de $Z$. En déduire que P$QRS$ est un carré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes respectives des points P et $Q$. \item Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'aire du carré P$QRS$ ? \item $r$ étant fixé, pour quelle valeur de $\theta$ cette aire est-elle maximale ? Quelle est alors l'affixe de $E$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_dec1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie décembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec1999_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} ; unité graphique : 2~cm. \begin{enumerate} \item Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les points A, B, et D d'affixes respectives $\sqrt{3}$ + i,~ $\sqrt{3}$ - i et -~$\dfrac{ 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i. \item On considère la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la translation T de vecteur d'affixe 1. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la rotation R. \item Déterminer l'affixe $z_{\text{D}'}$, du point D$'$, image du point D par la translation T. \item Placer les points A$'$,~ B$'$ et D$'$. \end{enumerate} \item Déterminer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}}$. Justifier que la droite (OD$'$) est une médiatrice du triangle OA$'$B$'$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Sportifs_sept1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Sportifs de haut-niveau septembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Sportifs_sept1999_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par E l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^3$ soit un nombre réel positif ou nul. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le point A d'affixe $ a = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ appartient-il à E ? \item On note B le point d'affixe $b = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$. Calculer un argument de $b$ et montrer que B appartient à E. \end{enumerate} \item On suppose $z \neq 0$ et on note $\theta$ un argument de $z$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\theta$ pour que $z^3$ soit un nombre réel positif. \item Après avoir vérifié que le point O appartient à E, déduire des résultats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que l'on déterminera. Placer les points A et B et représenter E sur une figure. \item à tout point $P$ d'affixe $z \neq 0$, on associe les points $Q$ d'affixe i$z$ et $R$ d'affixe $z^4$. On note F l'ensemble des points $P$ tels que l'angle $(\vect{\text{O}Q},~ \vect{\text{O}R}$) ait pour mesure $-~\dfrac{\pi}{2}$. Montrer que F est l'ensemble E privé du point O. \end{enumerate} %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{AmeriqueNord_mai1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Amérique du Nord juin 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_mai1999_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique étant 4~cm. On considère les points A$_0,$~ A$_1$ d'affixes respectives : $a_0 = 1~ ;~ a_1 = \textrm{e}^{\frac{i\pi}{12}}$. % %Le point A$_2$ est l'image du point A$_1$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{12}$. % %\begin{enumerate} %\item % \begin{enumerate} % \item Calculer l'affixe $a_2$ du point A$_2$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. % % \item Soit I le milieu du segment [A$_0$A$_2$] . Calculer l' affixe du point %I. % % \item Faire une figure. % % \end{enumerate} % %\item % \begin{enumerate} % \item Prouver que les droites (OI) et (OA$_1$) sont %confondues. % % \item Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I. % % \item Déterminer $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12} \right)$ (les valeurs exactes sont exigées), sachant que $\sqrt{4\sqrt{3} + 8} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$. % % \end{enumerate} % %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Antilles_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Antilles-Guyane juin 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin1999_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct %\Ouv. % %On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout $\theta$ appartenant à %$[0~;~2\pi [$, le point $M$ d'affixe $z = \textrm{e}^{\text{i}\theta}$. On désigne par $P$ le point d'affixe $1 + z$ et par $Q$ le point d'affixe $z^2$. % %\begin{enumerate} %\item À partir du point $M$, donner une construction %géométrique du point $P$ et une construction géométrique du point $Q$. %Les points O,~A,~$ M,~P$ et $Q$ seront placés sur une même figure. % %\item Déterminer l'ensemble des points $P$ pour $\theta$ %appartenant à $[0~;~2\pi[$. % %Tracer cet ensemble sur la figure précédente. % %\item Soit $S$ le point d'affixe $1 + z + z^2$~ où $z$ désigne %toujours l'affixe du point $M$. Construire $S$, en justifiant la construction. % %\item Dans le cas où $S$ est différent de O, tracer la %droite (O$S)$. Quelle conjecture apparaît, relativement au point $M$ ? % %Démontrer que le nombre $\dfrac{1 + z + z^2}{z}$ est réel, quel que soit %$\theta$ appartenant à $[0~;~2\pi[$. % %Conclure sur la conjecture précédente. % %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Asie_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Asie juin 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin1999_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %\begin{enumerate} %\item Pour tout nombre $Z$, on pose $P(Z) = Z^4 - 1$. % % \begin{enumerate} % \item Factoriser $P(Z)$. % % \item En déduire les solutions dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes de l'équation $P(Z) = 0$, d'inconnue $Z$. % % \item Déduire de la question précédente les solutions dans $\C$ de l'équation d'inconnue $z$ : % %\[\left(\dfrac{2z + 1}{z - 1}\right)^4 = 1.\] % \end{enumerate} % %\item % \begin{enumerate} % \item Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal direct %\Ouv{} (l'unité graphique est 5~cm). %Placer les points A,~ B et C d'affixes respectives : % %\[a = - 2,~b = -~\dfrac{1}{5} - ~\dfrac{3}{5}\textrm{i}~\textrm{et}~c = -~\dfrac{1}{5} + ~\dfrac{3}{5}\textrm{i}\] % % \item Démontrer que les points O,~ A,~ B et C sont situés sur un cercle, que l'on déterminera. % \end{enumerate} % %\item Placer le point D d'affixe $d = -~\dfrac{1}{2}$. %Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe $z'$ défini %par : % %\[z' = \dfrac{a - c}{d - c}.\] % %En déduire le rapport $\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}}$. %Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l'expression de %$z'$ ? % %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Etranger_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Centres étrangers juin 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin1999_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Dans le plan complexe rapportŽé à ˆ un repère orthonormal \Ouv, A, A$'$, B, B$'$ sont les points d'affixes respectives $1,~ - 1,~ \text{i},~ - \text{i}$. % %À tout point $M$ d'affixe $z$, distinct des points O, A, A$'$, B et % B$'$, on associe les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $z_1$ et % $z_2$, tels que les triangles B$MM_1$ et A$MM_2$ soient rectangles et % isocèles, avec % %\[\left(\vect{M_1\text{B}},~ \vect{M_1M}\right) = %\left(\vect{M_2M},~ \vect{M_2\text{A}}\right) = ~\dfrac{\pi}{2}\] % %\emph{Voir la figure sur l'annexe} 1, \emph{qui sera complŽétŽée et rendue % avec la copie} % %\begin{enumerate} %\item % \begin{enumerate} % \item Justifier les Žégalités $z - z_1 = \text{i} %(\text{i}- z_1)$ et $1 - z_2 = \text{i}( z - z_2) $. % % \item VéŽrifier que $z_1$ et $z_2$ peuvent s'Žécrire : %\[z_1 = \dfrac{1 + \text{i}}{2}(z + 1)~~ \text{et}~~ z_2 = \dfrac{1 - \text{i}}{2}(z + %i).\] % % \end{enumerate} % %\item On se propose dans cette question de dŽéterminer les points $M$ pour % lesquels le triangle O$M_1M_2$ est ŽéquilatŽéral. % % \begin{enumerate} % \item Montrer que : O$M_1 = \text{O}M_2$ Žéquivaut ˆà $|z + 1| = | z + \text{i}|$. %En dŽéduire l'ensemble ($\Delta$) des points $M$ tels que O$M_1 = \text{O}M_2$ et tracer ($\Delta$) sur la figure. % % \item Montrer que : O$M_1 = M_1M_2$ Žéquivaut ˆ $| z + 1|^2 = 2| z|^2.$ % % \item En dŽéduire l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ du plan pour lesquels O$M_1 = M_1M_2$. % %On pourra montrer que $| z + 1|^2 = 2| z|^2$ Žéquivaut ˆà $|z - 1|^2 = 2$. %Tracer ($\Gamma$) sur la figure. % % \item En dŽéduire les deux points $M$ pour lesquels O$M_1M_2$ est un triangle % ŽéquilatŽéral et les placer sur la figure. % \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Metropole_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Métropole juin 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin1999_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. %On prendra 4~cm comme unité sur les deux axes. % %On considère l'application $F$ du plan dans lui-même qui, à tout %point $m$ d'affixe $z$ associe le point $M$ d'affixe $\dfrac{1}{2}z^2 - %z$. % %L'objet de cet exercice est de tracer la courbe ($\Gamma$) décrite par $M$ %lorsque $m$ décrit le cercle ($\mathcal{C}$) de centre O et de rayon 1. %Soit $t$ un réel de [- $\pi~ ;~ \pi$] et $m$ le point de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}t}$. % %\begin{enumerate} %\item Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de %coordonnées : %\[ \left\{ \begin{array}{l c l} %x(t)& =&\dfrac{1}{2}\cos 2t - \cos t \\ %y(t) & =& \dfrac{1}{2}\sin 2t - \sin t \\ %\end{array}\right. ,~t \in [-~\pi~;~\pi].\] % %Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe %($\Gamma$). % %\item Comparer $x (- t)$ et $x(t)$ d'une part, %$y(- t)$ et $y(t)$ d'autre part. % %En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera. % %\item Montrer que $x'(t) = \sin t(1 - 2 \cos t)$. %étudier les variations de $x$ sur [0 ;~ $\pi$]. % %\item Montrer que $y'(t) = (\cos t - 1) (1 + %2 \cos t)$. étudier les variations de $y$ sur [0 ;~ $\pi$]. % %\item Dans un même tableau faire figurer les %variations de $x$ et $y$ sur [0 ;~ $\pi$]. % %\item Placer les points de ($\Gamma$) correspondant %aux valeurs 0,~$\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du paramètre %$t$ et tracer les tangentes en ces points (on admettra que pour $t$ = 0 la %tangente à ($\Gamma$) est horizontale). Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue %lorsque $t$ décrit [0 ; ~$\pi$] puis tracer ($\Gamma$) complètement. % %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Liban_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Liban juin 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin1999_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, l'unité de longueur %étant le centimètre, les points A, B, C, D ont pour affixe $3 + \text{i}, 7 - \text{i}$, % %$-1 - 7\text{i}, 8 - 4\text{i}$ respectivement. % %\begin{enumerate} %\item % \begin{enumerate} % \item Placer les points A, B, C, D. % % \item Quelle est la nature du triangle ABC ? % % \end{enumerate} % %\item Démontrer que A, B, C, D sont sur un même cercle. % %On précisera le rayon de ce cercle et l'affixe de son centre I. % %\item à tout point $M$ d'affixe $z$, avec $z$ non nul, on associe le %point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = \dfrac{10}{z}$. % % \begin{enumerate} % \item Écrire, sous forme algébrique les affixes %$a',~b',~c'$ des points A$'$, B$'$, C$'$ (respectivement associés à A, B, C). Placer les points A$'$, B$'$, C$'$. % % \item Vérifier que : $\dfrac{c' - a'}{b' - a'} = 2$. % % \item En déduire une mesure de l'angle %$\left(\vect{\text{A}'\text{B}'},~\vect{\text{A}'\text{C}'} \right)$. % % \item Que peut-on en déduire pour les points A$'$, B$'$, C$'$ ? % \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Polynesie_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Polynésie juin 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin1999_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. % %\begin{enumerate} %\item Résoudre, dans $\C$, l'équation %$(E)~ :~ z^3 - 8 = 0.$ % %\item On considère dans le plan $(P)$ les points A,~ B et %C d'affixes respectives : % %\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\] % % \begin{enumerate} % \item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme %trigonométrique. % % \item Placer les points A, B et C. % % \item Déterminer la nature du triangle ABC. % %\end{enumerate} % %\item On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui %à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : % %\[ z' = \textrm{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}z.\] % % \begin{enumerate} % \item Caractériser géométriquement l'application $f$. % % \item Déterminer les images des points A et C par $f$. % %En déduire l'image de la droite (AC) par $f$. % \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Pondichery_mai1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Pondichéry mai 1999}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_mai1999_retour}{Retour au tableau} %\textbf{\Large \item } % %\medskip % %\emph{Les questions} 2 \emph{et} 3 \emph{sont indépendantes.} % %\begin{enumerate} %\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 2z\sqrt{2} + %4 = 0.$ % %On désignera par $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive et par $z_{2}$ l'autre solution. % %\item % \begin{enumerate} % \item Déterminer le module et un argument de chacun des %nombres $z_{1}$ et $z_{2}$. % % \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe %$\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)^2$ % % \end{enumerate} % %\item Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal %direct % %\Ouv{} (unité : 1 cm), on considère le %point $M_{1}$ d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$, le point M$_{2}$ %d'affixe $\sqrt{2}(1 - \text{i})$ et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = %\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. % % \begin{enumerate} % \item Déterminer l'affixe du point M$_{3}$ image de M$_{2}$ par l'homothétie $h$ de centre A et de rapport -~ 3. % % \item Déterminer l'affixe du point M$_{4}$ image de M$_{2}$ par la %rotation $r$ de centre O et d'angle $-~\dfrac{\pi}{2}$. % % \item Placer dans le même repère les points A,~ M$_{1}$,~ M$_{2}$,~ M$_{3}$ et %M$_{4}$. % % \item Calculer $\dfrac{z_{3} - z_{1}}{z_{4} - z_{1}}$. % % \item Soient I le milieu du segment [M$_{3}$M$_{4}$] et M$_{5}$ le symétrique %de M$_{1}$ par rapport à I. Montrer que les points M$_{1}$,~ M$_{3}$,~ %M$_{5}$ et M$_{4}$ forment un carré. % \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{AmeriqueSud_nov1998}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Amérique du Sud novembre 1998}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov1998_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Le plan est rapporté au repère \Ouv{} orthonormal direct ; unité graphique 2 centimètres. % %\textsl{On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.} % %Soit I le point d'affixe 2i. % %On nomme $f$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ %associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = $i$z$. % %\begin{enumerate} %\item % \begin{enumerate} % \item Préciser la nature de $f$ ainsi que ses %éléments caractéristiques. % % \item Déterminer l'affixe du point A$'$, image par $f$ du point A %d'affixe 1 + $\sqrt{2}$ + i. % % \item Montrer que les points A, I et A$'$ sont alignés. % % \end{enumerate} % %\item % \begin{enumerate} % \item Montrer que l'ensemble ($\Gamma$) des %points $M$ du plan tels que $M$, I et $M'$ sont alignés, est le cercle de centre %$\Omega$ d'affixe 1 + i et de rayon $\sqrt{2}$. % % \item Vérifier que le point A appartient à ($\Gamma$). % % \item Déterminer l'ensemble ($\Gamma'$) décrit par le point $M'$ lorsque le point $M$ décrit ($\Gamma$). % \end{enumerate} % %\item Soit B le point d'affixe 2 + 2i et B' l'image %de B par $f$. % % \begin{enumerate} % \item Démontrer que les droites (AB) et (A$'$B$'$) sont perpendiculaires. % % \item Soit C le point d'intersection des droites (AB) et (A$'$B$'$). %Déterminer la nature du quadrilatère OACA$'$. % \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Antilles_sept1998}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Antilles septembre 1998}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept1998_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct %\Ouv. % %On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à %mesure, les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.) % %\begin{enumerate} %\item % \begin{enumerate} % \item Résoudre l'équation % %\[(\text{E})\quad : \quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\] % % \item On considère les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{2} = \sqrt{3} - \text{i}$ et on désigne par M et N les points d'affixes respectives $z_{1}$ et %$z_{2}$. Déterminer le module et l'argument de $z_{1}$ et $z_{2}$ ; placer M et N sur la figure. % % \item Déterminer les affixes des points Q et P images respectives %de M et N par la translation de vecteur $\vect{w} = - %2\vect{u}$. Placer P et Q sur la figure. % %Montrer que MNPQ est un carré. % \end{enumerate} % %\item Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l'image de P %par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, S l'image de E par %l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3}$. % %Placer ces points sur la figure. % %Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au %segment [MN]. % %\item On pose $\alpha = 2 - \sqrt{3}$. % % \begin{enumerate} % \item Montrer que $1 + \alpha^2 = 4\alpha$ et $1 - \alpha^2 %= 2\alpha\sqrt{3}$. % % \item Exprimer les affixes $Z$ de $\vect{\text{PR}}$ et $Z'$ %de $\vect{\text{PS}}$ en fonction de $\alpha$. % % \item Montrer que $|Z| = |Z'|$ et que $\dfrac{Z}{Z'} = %\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. % % \item Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS. % \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Metropole_sept1998}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Métropole septembre 1998}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept1998_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %\begin{enumerate} %\item On considère le polynôme $P$ défini %par : % %\[P(z) = z^{3}-~6z^{2}+12z - 16.\] % % \begin{enumerate} % \item Calculer P(4). % % \item Résoudre dans $\C$ l'équation : P$(z)=0$. % % \end{enumerate} % %\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct %\Ouv{} tel que : %$\Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert= 2\;$cm. % %Soient A, B, C les points d'affixes respectives : % %\[a = 4\qquad b = 1+\textrm{i}\sqrt{3}\qquad c = 1 - \text{i}\sqrt{3}\] % % \begin{enumerate} % \item Placer les points A,~B,~C sur une figure que l'on complètera tout au long de l'exercice. % % \item Montrer que le triangle ABC est équilatéral. % \end{enumerate} % %\item Soit K le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+\textrm{i}$ %On appelle F l'image de K par la rotation de centre O et %d'angle de mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et G l'image de %K par la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$. % % \begin{enumerate} % \item Quelles sont les affixes respectives de F et de G ? % % \item Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires. % % \end{enumerate} % %\item Soit H le quatrième sommet du parallélogramme %COFH. % % \begin{enumerate} % \item Montrer que le quadrilatère COFH est un carré. % % \item Calculer l'affixe du point H. % % \item Le triangle AGH est-il équilatéral ?\medskip % \end{enumerate} %\end{enumerate} % %\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\hypertarget{Polynesie_sept1998}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % %\section{\textbf{Polynésie septembre 1998}} % %\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept1998_retour}{Retour au tableau} % %\medskip % %Le plan (P) est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} (unitŽé graphique : 2~cm). % %À tout point $M$ du plan (P) est associéŽ le nombre complexe $z$, affixe du point $M$. % %\begin{enumerate} %\item % \begin{enumerate} % \item DéŽterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes % %\[z_1 = - 1,\quad z_2 = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2},\quad z_3 = - 1 - %\text{i}\sqrt{3}.\] % % \item DéŽterminer le module et un argument de chacun des cubes $z_1^3,$ % %$ z_2^3,~ z_3^3$ des complexes ci-dessus, puis la partie rŽéelle et la partie imaginaire de $z_1^3$, de $z_2^3$ et de $z_3^3$. % % \end{enumerate} % %\item % \begin{enumerate} % \item Si $z = x + \text{i}y = \rho\text{e}^{\text{i}\theta}$ est un nombre complexe (avec $y$ et $\theta$ rŽéels et $\rho$ rŽéel supéŽrieur ˆà zéŽro), dŽéterminer la partie rŽéelle et la partie imaginaire de $z^3$ en fonction de $x$ et $y$, puis le module et % un argument de $z^3$ en fonction de $\rho$ et $\theta$. % % \item DéŽterminer l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ caractéŽriséŽ par : $z^3$ est un nombre rŽéel. % % \item DŽéterminer et tracer l'ensemble (E$'$) des points $M$ d'affixe $z$, caractéŽriséŽ par : %$z^3$ est un nombre réŽel et $1 \leqslant z^3 \leqslant 8$. % % \end{enumerate} % %\end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{4cm} \aldineleft~ Livret réalisé gr\^ace à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus.~ \aldineright http://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/ \end{document}