\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,mathrsfs} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %Macro Tableau par Rémi Deniaud \newcommand{\tableau}[7]{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \addtocounter{Denis}{1}\theDenis & \hypertarget{#7}{}\hyperlink{#1}{#2} & #3 & #4 & #5 & #6 \\ \hline \end{tabularx}}% \usepackage[body={18cm,25.7cm},top=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} \renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \setlength{\voffset}{-1,5cm} \setlength{\headheight}{14.5pt} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small BaccalauréŽat S} \lfoot{\small{Exercices de géométrie}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~BaccalaurŽéat S Géométrie~\decofourright }} \textbf{Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012} Tapuscrit : \textsc{Denis Vergès} \end{center} \newcounter{Denis}[Denis] \setcounter{Denis}{0} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline\hline N\up{o} & Lieu et date&\footnotesize Q.C.M.&\footnotesize Algébrique&\footnotesize Géométrie&\footnotesize Application \\\hline \hline \end{tabularx} \tableau{Asie_juin2012}{Asie juin 2012}{}{$\times$}{$\times$}{}{Asie_juin2012_retour} \tableau{Etranger_juin2012}{Centres étrangers juin 2012}{}{$\times$}{$\times$}{}{Etranger_juin2012_retour} \tableau{Liban_mai2012}{Liban mai 2012}{}{$\times$}{}{}{Liban_mai2012_retour} \tableau{Pondichery_avril2012}{Pondichéry avril 2012}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_avril2012_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2011}{Amérique du Sud novembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2011_retour} \tableau{Caledonie_nov2011}{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Caledonie_nov2011_retour} \tableau{Polynesie_sept2011}{Polynésie septembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_sept2011_retour} \tableau{Metropole_sept2011}{Métropole septembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_sept2011_retour} \tableau{Antilles_sept2011}{Antilles-Guyane septembre 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2011_retour} \tableau{Polynesie_juin2011}{Polynésie juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_juin2011_retour} \tableau{Metropole_juin2011}{Métropole juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_juin2011_retour} \tableau{Etrangers_juin2011}{Centres étrangers juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Etrangers_juin2011_retour} \tableau{Asie_juin2011}{Asie juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Asie_juin2011_retour} \tableau{Antilles_juin2011}{Antilles--Guyane juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_juin2011_retour} \tableau{Liban_juin2011}{Liban 30 juin 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Liban_juin2011_retour} \tableau{AmeriqueNord_mai2011}{Amérique du Nord mai 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueNord_mai2011_retour} \tableau{Pondichery_avril2011}{Pondichéry avril 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_avril2011_retour} \tableau{NlleCaledo_mars2011}{Nouvelle-Calédonie mars 2011}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledo_mars2011_retour} \tableau{AmeriqueSud_dec2010}{Amérique du Sud décembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_dec2010_retour} \tableau{NlleCaledo_nov2010}{Nouvelle-Calédonie novembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledo_nov2010_retour} \tableau{Metropole_sept2010}{Métropole septembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_sept2010_retour} \tableau{LaReunion_sept2010}{La Réunion septembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{LaReunion_sept2010_retour} \tableau{Antilles_sept2010}{Antilles-Guyane septembre 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2010_retour} \tableau{Polynesie_juin2010}{Polynésie juin 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_juin2010_retour} \tableau{Liban_juin2010}{Liban juin 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{Liban_juin2010_retour} \tableau{Etranger_juin2010}{Centres étrangers juin 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{Etranger_juin2010_retour} \tableau{Pondichery_avril2010}{Pondichéry avril 2010}{}{$\times$}{$\times$}{}{Pondichery_avril2010_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2010&$\times$& &&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2009}{Nouvelle-Calédonie nov. 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_nov2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nouvelle-Calédonie novembre 2009&$\times$& &&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2009}{Amérique du Sud novembre 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud novembre 2009&$\times$& &&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2009}{Polynésie septembre 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_sept2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2009&$\times$& &&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2009}{Métropole \& La Réunion sept. 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Metropole_sept2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole \& La Réunion septembre 2009&$\times$& &&\\ \hline \tableau{Antilles_sept2009}{Antilles-Guyane septembre 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane septembre 2009&$\times$& &&\\ \hline \tableau{Reunion_juin2009}{La Réunion juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Reunion_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2009&$\times$&$\times$ &&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2009}{Centres étrangers juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Etranger_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2009&$\times$& &&\\ \hline \tableau{Liban_juin2009}{Liban juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{Liban_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2009&$\times$&$\times$ &&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2009}{Amérique du Nord juin 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueNord_juin2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2009&$\times$&$\times$ &&\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2009}{Pondichéry avril 2009}{}{$\times$}{$\times$ }{}{Pondichery_avril2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2009&$\times$& &&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2009}{Nouvelle-Calédonie mars 2009}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_mars2009_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nouvelle-Calédonie mars 2009&$\times$& &&\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2008}{Amérique du Sud novembre 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud novembre 2008&$\times$&$\times$ &&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2008}{Nouvelle-Calédonie nov. 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_nov2008_retour} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline\hline N\up{o} & Lieu et date&\footnotesize Q.C.M.&\footnotesize Algébrique&\footnotesize Géométrie&\footnotesize Application \\\hline \hline \end{tabularx} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nouvelle-Calédonie novembre 2008&$\times$& &&\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2008}{Polynésie septembre 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2008&$\times$&$\times$ &&\\ \hline \tableau{Metropole_sept2008}{Métropole \& La Réunion sept. 2008}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Metropole_sept2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Métropole \& La Réunion septembre 2008&$\times$&$\times$ &$\times$&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2008}{Polynésie juin 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{Polynesie_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2008&&$\times$ &$\times$&\\ \hline \tableau{Metropole_juin2008}{Métropole juin 2008}{}{$\times$}{$\times$ }{}{Metropole_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2008&&$\times$ &$\times$&\\ \hline \tableau{Etranger_juin2008}{Centres étrangers juin 2008}{}{$\times$}{$\times$ }{}{Etranger_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2008&&$\times$ &$\times$&\\ \hline \tableau{Asie_juin2008}{Asie juin 2008}{}{}{$\times$ }{}{Asie_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2008&& &$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2008}{Antilles-Guyane juin 2008}{}{$\times$}{$\times$ }{}{Antilles_juin2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane juin 2008&&$\times$ &$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_mai2008}{Amérique du Nord mai 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueNord_mai2008_retour} \tableau{Pondichery_avril2008}{Pondichéry avril 2008}{}{}{$\times$ }{}{Pondichery_avril2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2008&&$\times$ &$\times$&\\ \hline %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2008&& &$\times$&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2008}{Nouvelle-Calédonie mars 2008}{}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledonie_mars2008_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nouvelle-Calédonie mars 2008&&$\times$ &$\times$&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_dec2007}{Nouvelle-Calédonie déc. 2007}{}{}{}{$\times$}{NlleCaledonie_dec2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie déc. 2007&& &&$\times$\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2007}{Amérique du Sud novembre 2007}{}{}{}{$\times$}{AmeriqueSud_nov2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud nov. 2006&& &&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2007}{Polynésie septembre 2007}{}{}{ }{$\times$}{Polynesie_sept2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2007&& &&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2007}{Polynésie juin 2007}{}{$\times$}{$\times$ }{}{Polynesie_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2007&&$\times$ &&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2007}{Métropole juin 2007}{}{$\times$}{}{$\times$}{Metropole_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2007&&$\times$ &&$\times$ \\ \hline \tableau{Antilles_juin2007}{Antilles-Guyane juin 2007}{}{$\times$}{}{}{Antilles_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane juin 2007&&$\times$ &&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2007}{Amérique du Nord juin 2007}{}{}{}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2007&& &&$\times$\\ \hline \tableau{Liban_juin2007}{Liban juin 2007}{}{}{}{$\times$}{Liban_juin2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2007&& &&$\times$\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2007}{Pondichéry avril 2007}{}{}{}{$\times$}{Pondichery_avril2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2007&& &&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2007}{Nouvelle-Calédonie mars 2007}{}{}{}{$\times$}{NlleCaledonie_mars2007_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle-Calédonie mars 2007&& &&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2006}{Polynésie septembre 2006}{}{}{}{$\times$}{Polynesie_sept2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2006&& &&$\times$ \\ \hline %\end{tabularx} %\newpage %\begin{center}\textbf{Index des exercices de géométrie de 1999 à avril 2010}\end{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c||>{\small}l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %N\up{o} & Lieu et date&\footnotesize Q.C.M.&\footnotesize Algébrique&\footnotesize Géométrie&\footnotesize Application %&&&&&$z' = f(z)$ \\\hline \hline \tableau{Metropole_sept2006}{Métropole septembre 2006}{}{}{}{$\times$}{Metropole_sept2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2006&& &&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2006}{Polynésie juin 2006}{}{$\times$}{}{$\times$}{Polynesie_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2006&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Reunion_juin2006}{La Réunion juin 2006}{$\times$}{}{}{$\times$}{Reunion_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2006&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2006}{Métropole juin 2006}{$\times$}{}{}{$\times$}{Metropole_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2006&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Etranger_juin2006}{Centres étrangers juin 2006}{$\times$}{}{}{$\times$}{Etranger_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centresétrangers juin 2006&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Antilles_juin2006}{Antilles-Guyane juin 2006}{$\times$}{}{}{$\times$}{Antilles_juin2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles-Guyane juin 2006&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2006}{Pondichéry avril 2006}{$\times$}{}{}{$\times$}{Pondichery_avril2006_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry avril 2006&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{AmeriqueSud_nov2005}{Amérique du Sud novembre 2005}{}{}{}{$\times$}{AmeriqueSud_nov2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud nov. 2005&& && $\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2005}{Polynésie septembre 2005}{$\times$}{}{}{$\times$}{Polynesie_sept2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2005&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Metropole_sept2005}{Métropole septembre 2005}{}{}{}{$\times$}{Metropole_sept2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2005&& && $\times$\\ \hline \tableau{Antilles_sept2005}{Antilles-Guyane septembre 2005}{$\times$}{}{}{$\times$}{Antilles_sept2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2005 &$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Asie_juin2005}{Asie juin 2005}{$\times$}{}{}{$\times$}{Asie_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2005&$\times$& && $\times$\\ \hline \tableau{Etranger_juin2005}{Centres étrangers juin 2005}{}{}{$\times$}{$\times$}{Etranger_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2005&&&$\times$&$\times$\\ \hline \tableau{Reunion_juin2005}{La Réunion juin 2005}{}{}{}{$\times$}{Reunion_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2005&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Liban_juin2005}{Métropole juin 2005}{$\times$}{}{$\times$}{}{Liban_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 2005&$\times$&&$\times$&\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2005}{Polynésie juin 2005}{}{}{}{$\times$}{Polynesie_juin2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2005&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Pondichery_avril2005}{Pondichéry avril 2005}{}{}{}{$\times$}{Pondichery_avril2005_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 2005&&&&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2004}{Nouvelle-Calédonie nov. 2004}{}{}{}{$\times$}{NlleCaledonie_nov2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie nov. 2004&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Antilles_sept2004}{Antilles-Guyane septembre 2004}{}{}{$\times$}{}{Antilles_sept2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles septembre 2004&&&$\times$&\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_mai2004}{Amérique du Nord mai 2004}{}{}{$\times$ }{}{AmeriqueNord_mai2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord mai 2004&$\times$&&$\times$&\\ \hline \tableau{Antilles_juin2004}{Antilles-Guyane juin 2004}{$\times$}{}{$\times$}{}{Antilles_juin2004_retour} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline\hline N\up{o} & Lieu et date&\footnotesize Q.C.M.&\footnotesize Algébrique&\footnotesize Géométrie&\footnotesize Application \\\hline \hline \end{tabularx} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Antilles juin 2004&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2004}{Métropole juin 2004}{}{}{}{$\times$}{Metropole_juin2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2004&&&&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_mars2004}{Nouvelle-Calédonie mars 2004}{}{$\times$}{}{$\times$}{NlleCaledonie_mars2004_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie mars 2004&&$\times$&&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_nov2003}{Nouvelle-Calédonie nov. 2003}{}{}{}{$\times$}{NlleCaledonie_nov2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie nov. 2003&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2003}{Polynésie septembre 2003}{}{}{}{$\times$}{Polynesie_sept2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie sept. 2003&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Asie_juin2003}{Asie juin 2003}{}{}{}{$\times$}{Asie_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Asie juin 2003&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2003}{Métropole juin 2003}{}{}{}{$\times$}{Metropole_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2003&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Reunion_juin2003}{La Réunion juin 2003}{}{}{}{$\times$}{Reunion_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&La Réunion juin 2003&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_juin2003}{Polynésie juin 2003}{}{}{}{$\times$}{Polynesie_juin2003_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie juin 2003&&&&$\times$ \\\hline \tableau{NlleCaledonie_dec2001}{Nouvelle-Calédonie déc. 2001}{}{$\times$}{}{$\times$}{NlleCaledonie_dec2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie déc. 2001&&$\times$&&$\times$\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2001}{Amérique du Nord juin 2001}{}{}{}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2001&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_juin2001}{Métropole juin 2001}{}{$\times$}{}{$\times$}{Metropole_juin2001_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 2001&&$\times$&&$\times$\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_dec2000}{Nouvelle-Calédonie déc. 2000}{}{}{}{$\times$}{NlleCaledonie_dec2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie déc. 2000&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Metropole_sept2000}{Métropole septembre 2000}{}{$\times$}{}{$\times$}{Metropole_sept2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 2000&&$\times$&&$\times$\\ \hline \tableau{Polynesie_sept2000}{Polynésie septembre 2000}{}{}{}{$\times$}{Polynesie_sept2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 2000&&&&$\times$\\ \hline \tableau{AmeriqueNord_juin2000}{Amérique du Nord juin 2000}{}{}{}{$\times$}{AmeriqueNord_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Nord juin 2000&&&&$\times$\\ \hline \tableau{Etranger_juin2000}{Centres étrangers juin 2000}{}{}{}{$\times$}{Etranger_juin2000_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Centres étrangers juin 2000&&&&\\ \hline \tableau{NlleCaledonie_dec1999}{Nouvelle-Calédonie déc. 1999}{$\times$}{$\times$}{}{}{NlleCaledonie_dec1999_retour} %\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Nlle--Calédonie déc. 1999&&&& \\\hline %\tableau{Metropole_juin1999}{Métropole juin 1999}{}{}{}{}{Metropole_juin1999_retour} %%\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France juin 1999&&&&\\ \hline %\tableau{Liban_juin1999}{Liban juin 1999}{}{$\times$}{}{}{Liban_juin1999_retour} %%\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Liban juin 1999&&$\times$&& \\\hline %\tableau{Pondichery_juin1999}{Pondichéry juin 1999}{}{$\times$}{}{}{Pondichery_juin1999_retour} %%\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Pondichéry juin 1999&&$\times$&&\\ \hline %\tableau{AmeriqueSud_nov1998}{Amérique du Sud novembre 1999}{}{}{}{}{AmeriqueSud_nov1998_retour} %%\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Amérique du Sud nov. 1998&&&&\\ \hline %\tableau{Metropole_sept1998}{Métropole septembre 1998}{}{}{$\times$ }{}{Metropole_sept1998_retour} %%\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&France septembre 1998&&&& \\\hline %\tableau{Polynesie_sept1998}{Polynésie septembre 1998}{}{}{}{}{Polynesie_sept1998_retour} %%\addtocounter{Denis}{1}\theDenis&Polynésie septembre 1998&&&&\\ \hline %\end{tabularx} \newpage ~~ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} %%%%% Asie juin 2012 %%%%% \hypertarget{Asie_juin2012}{} \section{\textbf{Asie juin 2012}} \medskip Les cinq questions sont indépendantes. \emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte $1$ point.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère la droite $\mathcal{D}$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $\mathcal{P}$ dont on donne une équation cartésienne : \[\mathcal{D} \left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 - 2t\\ y&=&t\\ z &=&- 5- 4t \end{array}\right. (t \in \R)\quad \text{et}\quad \mathcal{P} : \quad 3x + 2y -z -5 = 0.\] \medskip \textbf{Affirmation 1} : la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$. \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère le point A(1~;~9~;~0) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $4x - y - z + 3 = 0$. \textbf{Affirmation 2} : la distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. \textbf{Affirmation 3} : la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses. \item Pour tout réel $x$, on pose $F(x) = \displaystyle\int_{1}^x (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t$. \textbf{Affirmation 4} : $F(x)$ est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel $x$ supérieur à 1. \item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} t^2 \ln t\:\text{d}t$. \textbf{Affirmation 5} : la valeur exacte de l'intégrale $I$ est : $\dfrac{2\text{e}^3 + 1}{9}$. \end{enumerate} %%%% fin Asie juin 2012 %%%%%% \newpage %%%%% Centres étrangers juin 2012 %%%%% \hypertarget{Etranger_juin2012}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. \\ On se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.\\ On considère les points I$\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, J$\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$, K$\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$ et L$(a~;~1~;~0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].\\ \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,5.5) \psframe(0.3,0.2)(4,4)%ABFE \psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)%BCGF \psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)%DH \uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E} \end{pspicture} \end{center} \emph{Les parties A et B sont indépendantes.} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\ \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). \item Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique \begin{center} $\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\ y=t'\\ z=1-t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$ \end{center} \item Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, $a=\dfrac{1}{4}$. \end{enumerate} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\ \noindent Dans la suite de l'exercice, on pose $a=\dfrac{1}{4}$.\\ Le point L a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~0\right)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.\\ \item La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. .\\ On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(6,5.5) %\psgrid \psframe(0.3,0.3)(4,4)%BCGF \psline(4,0.3)(5.4,1.5)(5.4,5.2)(4,4)%CDHG \psline(5.4,5.2)(1.7,5.2)(0.3,4)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.7,1.5)(5.4,1.5)%BAD \psline[linestyle=dashed](1.7,1.5)(1.7,5.2)%AE \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[r](5.4,1.5){D} \uput[ul](1.7,1.5){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.2){H} \uput[u](1.7,5.2){E} \psdots(1.533,0.3)(0.65,4.3)(4.475,5.2)(5.05,1.2)(5.4,3.2)(0.3,2.55) %\psline[linecolor=red](-0.52,4)(1.533,0.3) \psline[linestyle=dashed](1.533,0.3)(5.05,1.2) %\psline[linecolor=red](5.05,1.2)(6.2,1.5) %\psline[linecolor=red](6.2,1.5)(4.475,5.2) \uput[d](1.533,0.3){I} \uput[ul](0.65,4.28){K} \uput[u](4.475,5.2){J} \uput[l](0.3,2.55){M} \uput[r](5.4,3.2){N} \uput[dr](5.05,1.2){L} \psline(0.65,4.28)(4.475,5.2)%KJ \psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48) \psline(0.3,2.55)(1.533,0.3)%IM %\psline[linestyle=dashed](1.53,0.2)(4.35,0.5) \psline(5.05,1.2)(5.4,3.2)%LN \psline[linestyle=dashed](5.4,3.2)(4.475,5.2)%NJ \end{pspicture} \end{center}\emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.} \begin{enumerate} \item Prouver que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (8~;~9~;~5) est un vecteur normal au plan (IJK). \item En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x+9y+5z-11=0$. \item En déduire les coordonnées des points M et N \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%% fin Centres étrangers juin 2012 %%%%%%% \newpage %%%%% Liban mai 2012 %%%%% \hypertarget{Liban_mai2012}{} \section{\textbf{Liban mai 2012}} \medskip \textit{Les quatre questions sont indépendantes.} \textit{Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.} \begin{enumerate} \item Dans l'espace rapporté à  un repère orthonormal \Oijk, on considère les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ de représentations paramétriques respectives : \[ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x &= & 4+t\\ y &= & 6+2t\\ z &= & 4-t \end{array}\right.,\quad t\in\mathbbm{R},\quad \text{et}\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} x &= & 8+5t'\\ y &= & 2-2t'\\ z &= & 6+t' \end{array}\right.,\quad t'\in\mathbbm{R}. \] \textbf{Affirmation : les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires.} \item Dans l'espace rapporté à  un repère orthonormal \Oijk, on considère les points $A(12~;7~;~-13)$ et $B(3~;~1~;~2)$ ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y - 5z = 1$. \textbf{Affirmation: le point $B$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.} \item On considère les suites $u$ et $v$ définies, pour tout entier naturel $n$, par: \[ u_n=\frac{n+1}{n+2}\quad\text{et}\quad v_n=2+\frac{1}{n+2} \] \textbf{Affirmation: ces deux suites sont adjacentes.} \item On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et la relation de récurrence: \[ u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2,\ \text{pour tout entier naturel}\ n. \] \textbf{Affirmation: cette suite est majorée par 3.} \end{enumerate} %%%%% fin Liban mai 2012 %%%%%%% \newpage %%%%% Pondichéry avril 2012 %%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2012}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2012}} \medskip Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : \[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\] \item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&= & -3 - 2t \\ y&=& 2t\\ z &=& 1 + 2t \end{array}\right. \quad t \in \R.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse. \medskip \textbf{Proposition 1} La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. \textbf{Proposition 2} La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$. \textbf{Proposition 3 } L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&= & 1 - t' \\ y&= & - 1 - 2t'\\ z&= &t' \end{array}\right. \quad t' \in \R.\] \textbf{Proposition 4} Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. %%%%%%% fin Pondichéry abril 2012 %%%%%%%% \newpage %%%%%%% Amérique du Sud novembre 2011 \hypertarget{AmeriqueSud_nov2011}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2011}} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère le point A de coordonnées $(-1~;~-1~;~1)$ et les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ de représentations paramétriques : \[\mathcal{D}\:\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}2t - 1 \\ y&=&-3t + 2\\ z&=&\phantom{-2}t \end{array}\right.\: \text{où}\: t \in \R \qquad \mathcal{D}'\:\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3t' \\ y&=&\phantom{3}t' + 2\\ z&=&3t' - 2 \end{array}\right.\: \text{où}\: t' \in \R\] \textbf{Proposition 1 :} \og Le point A appartient à la droite $\mathcal{D}$ \fg. \textbf{Proposition 2 :} \og Le plan perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ passant par le point O a pour équation : $2x - 3y + z = 0$ \fg. \textbf{Proposition 3 :} \og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales \fg. \textbf{Proposition 4 :} \og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires \fg. \textbf{Proposition 5 :} \og La distance du point A au plan d'équation $2x - 3y + z = 0$ est $\dfrac{\sqrt{14}}{7}$. %%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2011 \hypertarget{Caledonie_nov2011}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points: A(0~;~0~;~2), B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$. \item Calculer la distance du point O au plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC). \item Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC. Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t \\ y &=& 4 - 4t,\\ z &=& t \end{array}\right. \quad t \in \R.\] \item Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle. \end{enumerate} \item Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$. Que représente le point H pour le triangle ABC ? \item Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%% Polynésie septembre 2011 %%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2011}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2011}} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $\text{EF}^2 = \vect{\text{EF}}^2 = \vect{\text{EF}} \cdot \vect{\text{EF}}$. Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB]. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a : \[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\] \item Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que \[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et $x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives $(-1~;~0~;~4)$ et $(3~;~-4~;~2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q). \begin{enumerate} \item Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$. \item Montrer que $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$. \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2$. Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$. On précisera les coordonnées de ces points. \end{enumerate} %%%%% fin Polynésie septembre 2011 %%%%%% \newpage %%%%% Métropole septembre 2011 %%%%% \hypertarget{Metropole_sept2011}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2011}} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{center}\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center} On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b \vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$. Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\vect{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$. \begin{center}\textbf{Partie B - Questionnaire à choix multiples } \end{center} \emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.} \emph{Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.} \medskip On désigne par $P$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z = 0$ et par A et B les deux points du plan $P$ de coordonnées respectives (1~;~2~;~0) et (0~;~3~;~1). \begin{enumerate} \item Soient C, D, E les points de coordonnées respectives $(1~;~1~;~-1)$, $(-1~;~4~;~2)$, $(1~;~5~;~1)$. \begin{enumerate} \item Les points A, B, C définissent le plan $P$. \item Les points A, B, D définissent le plan $P$. \item Les points A, B, E définissent le plan $P$. \end{enumerate} \item La droite $D$ est définie par la représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} x &=&1 - t\\ y &=&\phantom{+}t, \\ z &=& 2 + t \end{array}\right. \quad t \in \R.$ \begin{enumerate} \item La droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$. \item La droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$. \item La droite $D$ est incluse dans le plan $P$. \end{enumerate} \item Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, de coordonnées (2~;~5~;~1), et de rayon $\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des points communs à la sphère $S $ et au plan $P$ est : \begin{enumerate} \item vide, \item constitué d'un seul point, \item un cercle. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%% fin Métropole septembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%% Antilles-Guyane septembre 2011 %%%%% \hypertarget{Antilles_sept2011}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2011}} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\ \end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. \item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$. \end{enumerate} \item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique: \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 1 + t\\ y &=& -3 + 2t\\ z &=&t, \end{array}\right.\quad t \in \R.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. \item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%% fin Antilles-Guyane sept 2011 %%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%% Polynésie juin 2011 %%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2011}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2011}} \medskip On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,5.5) \psframe(0.3,0.2)(4,4)%ABFE \psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)%BCGF \psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)%DH \uput[dl](0.3,0.2){A} \uput[dr](4,0.2){B} \uput[r](5.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.3){D} \uput[l](0.3,4){E} \uput[dr](4,4){F} \uput[ur](5.4,5.1){G} \uput[u](1.7,5.1){H} \end{pspicture} \end{center} \medskip Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},\, \vect{\text{DC}},\, \vect{\text{DH}}\right)$. On note K le barycentre des points pondérés (D,\, 1) et (F,\, 2). \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le point K a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$. \item Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales. \item Calculer la distance EK. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $M$ un point du segment [HG]. On note $m$ = H$M$ ($m$ est donc un réel appartenant à [0~;~1]). \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], le volume du tétraèdre E$M$FD, en unités de volume, est égal à $\dfrac{1}{6}$. \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan ($M$FD) est $(-1 + m)x + y - mz = 0$. \item On note $d_{m}$ la distance du point E au plan ($M$FD). \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], $d_{m} = \dfrac{1}{\sqrt{2m^2 - 2m + 2}}$. \item Déterminer la position de $M$ sur le segment [HG] pour laquelle la distance $d_{m}$ est maximale. \item En déduire que lorsque la distance $d_{m}$ est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan ($M$FD). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1.5cm} \textbf{\large Cette page ne sera pas à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{unit=3.25cm} \begin{pspicture*}(-1,-0.5)(2.5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2.5,2) \uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.8}{x dup mul x ln mul} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-0.5)(2.5,2) \end{pspicture*} \end{center} %%%%% fin Polynésie juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%% Métropole juin 2011 %%%%% \hypertarget{Metropole_juin2011}{} \section{\textbf{Métropole juin 2011}} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \textbf{Partie A -- Restitution organisée de connaissances} \medskip On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et par $M_{0}$ le point de coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $M_{0}$ sur le plan $\mathcal{P}$. \medskip \emph{On suppose connue la propriété suivante :} \textbf{Propriété :} Le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b\vect{\jmath}+ c\vect{k}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. Le but de cette partie est de démontrer que la distance $d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right)$ du point $M_{0}$ au plan $\mathcal{P}$, c'est-à-dire la distance $M_{0}H$, est telle que \[d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right) = \dfrac{\left|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\] \begin{enumerate} \item Justifier que $\left|\vect{n} \cdot \vect{M_{0}H}\right| = M_{0}H\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. \item Démontrer que $\vect{n} \cdot \vect{M_{0}H} = -ax_{0} - by_{0} - cz_{0} - d$. \item Conclure. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4~;~1~;~5), $(-3~;~2~;~0),\, (1~;~3~;~6),\, (-7~;~0~;~4)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C définissent un plan $\mathcal{P}$ et que ce plan a pour équation cartésienne $x + 2y - z - 1 = 0$. \item Déterminer la distance $d$ du point F au plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de calculer la distance $d$ par une autre méthode. On appelle $\Delta$ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \item Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan $\mathcal{P}$. \item Retrouver le résultat de la question 1. b. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre F et de rayon 6. \begin{enumerate} \item Justifier que le point B appartient à la sphère $\mathcal{S}$. \item Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle $\mathcal{C}$, intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%% fin Métropole juin 2011 %%%%% \newpage %%%%% Centres étrangers juin 2011 %%%%% \hypertarget{Etrangers_juin 2011}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2011}} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d'arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit $M$ un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l'exercice, on se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AD}},\, \vect{\text{AE}}\right)$.}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(4,4) %\psgrid \psframe(0.2,0.2)(2.6,2.6)%BCGF \psline(2.6,0.2)(3.3,1.2)(3.3,3.6)(2.6,2.6)%CDHG \psline(3.3,3.6)(0.9,3.6)(0.2,2.6)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.9,3.6)(2.6,0.2)%EC \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.9,1.2)(0.9,3.6)%BAE \psline[linestyle=dashed](0.9,1.2)(3.3,1.2)%AD \psline[linestyle=dashed](1.4,0.2)(1.8,1.8)(2.95,0.7)%IMJ \uput[l](0.9,1.2){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](2.6,0.2){$C$} \uput[r](3.3,1.2){D} \uput[ul](0.9,3.6){E} \uput[l](0.2,2.6){F} \uput[r](2.6,2.6){G} \uput[dr](3.3,3.6){H} \uput[l](1.8,1.8){$M$} \uput[d](1.4,0.2){I} \uput[r](2.95,0.7){J} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J. \item Justifier l'existence d'un réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], tel que les coordonnées du point $M$ soient $(1-t~;~1 - t~;~t)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ]. \item En déduire que le triangle $M$IJ est un triangle isocèle en $M$. \item Exprimer I$M^2$ en fonction de $t$. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ est maximale. On désigne par $\theta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$. \begin{enumerate} \item En admettant que la mesure $\theta$ appartient à l'intervalle $[0~ ;~\pi]$, démontrer que la mesure $\theta$ est maximale lorsque $\sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right)$ est maximal. \item En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur I$M$ est minimale. \item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f(t) = 3t^2 - t + \dfrac{1}{4}.\] \item En déduire qu'il existe une unique position $M_{0}$ du point $M$ sur le segment [EC] telle que la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ soit maximale. \item Démontrer que le point $M_{0}$ est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC]. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%% fin Centres étrangers juin 2011 %%%%% \newpage %%%%% Asie juin 2011 %%%%% \hypertarget{Asie_juin 2011}{} \section{\textbf{Asie juin 2011}} \medskip \emph{On considère un cube \text{ABCDEFGH}, d'arête de longueur 1. On note \text{I} le point d'intersection de la droite \text{(EC)} et du plan \text{(AFH)}.} \medskip \begin{enumerate} \item On se place dans le repère $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},\, \vect{\text{DC}},\, \vect{\text{DH}}\right)$. Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : \[\text{A}(1~;~0~;~0)\, \text{B}(1~;~1~;~0)\, \text{C}(0~;~1~;~0)\, \text{D}(0~;0~;~0)\, \text{E}(1~;0~;~1)\, \text{F}(1~;~1~;~1)\, \text{C}(0~;~1~;~1)\, \text{H}(0~;0~;~1)\] \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH). \item En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH). \item Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. \item Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour le triangle AFH ? \end{enumerate} \item \emph{Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \emph{Définitions :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; \item[$\bullet~~$] il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ; \item[$\bullet~~$] il est dit de type 3 s'il est à la fois de type 1 et de type 2. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH. \end{enumerate} \psset{unit=0.45cm} \begin{center} \begin{pspicture}(15,15) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.1pt](0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH \pspolygon(0,1.6)(8.6,0.2)(8.6,10.5)(0,11.9)%ABFE \psline(8.6,0.2)(14,2.8)(14,13.1)(8.6,10.5)%BCGF \psline(14,13.1)(5.5,14.6)(0,11.9)%GHE \psline(0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH \psline[linestyle=dashed](0,1.6)(5.4,4.2)(14,2.8)(0,11.9)%ADCE \psline[linestyle=dashed](5.4,4.2)(5.5,14.6)%DH \uput[dl](0,1.6){A} \uput[d](8.6,0.2){B} \uput[dr](14,2.8){C} \uput[d](5.4,4.2){D} \uput[ul](0,11.9){E} \uput[dr](8.6,10.5){F} \uput[ur](14,13.1){G} \uput[u](5.5,14.6){H} \uput[ur](4.8,8.85){I} \psdots(0,1.6)(8.6,0.2)(14,2.8)(5.4,4.2)(0,11.9)(8.6,10.5)(14,13.1)(5.5,14.6)(4.8,8.85) \end{pspicture} \end{center} %%%%% fin Asie juin 2011 %%%%% \newpage %%%%% Antilles-Guyane juin 2011 %%%%% \hypertarget{Antilles_juin2011}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2011}} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~-3~;~1)$. On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&-1-t\\ y&=&2+t\quad(t\in\R)\\ z&=&1-t \end{array} \right. \] On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.} On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée en \textbf{annexe 2}. \begin{enumerate} \item On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\vect{w}$ est une vecteur directeur de la droite $\Delta$. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $P$. \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$. \item En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point $H$. \item Calculer la longueur $HH'$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vect{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$. \item En déduire que $\left\vert\left\vert \vect{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \vect{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure. \end{enumerate} \emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Annexe (non spé)} \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8) \psline(-4,6)(-4,0) \psline(-4,0)(0,-1) \psline(0,-1)(0,5) \psline(0,5)(-4,6) \psline(0,5)(4,6) \psline(4,6)(4,0) \psline(4,0)(0,-1) \psline(0,3)(-8,5) \psline(0,0)(8,2) \psline(0,-0.25)(0.25,-0.19) \psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19) \psline(-0.25,2.81)(0,2.75) \psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06) \pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath} \psline(0,7)(0,-3) \rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$} \uput[90](-5.4,4.35){$D$} \uput[30](0,3){$H$} \uput[-150](0,0){$H'$} \uput[90](5,1.25){$D'$} \psdots[dotstyle=x](-3,3.75) \uput[-90](-3,3.75){$A$} \uput[-52](-4,6){$P$} \end{pspicture*} \end{center} %%%%% fin Antiles--Guyane juin 2011 %%%%%%% \newpage %%%%% Liban juin 2011 %%%%% \hypertarget{Liban_mai2011}{} \section{\textbf{Liban mai 2011}} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on donne les trois points : \[\text{A}(1~;~2~;~-1), \text{B}(-3~;~-2~;~3)\: \text{et C}(0~;~-2~;~-3)\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~-1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit $(P)$ le plan dont une équation cartésienne est $x + y - z + 2 = 0$. Démontrer que les plans (ABC) et $(P)$ sont perpendiculaires. \item On appelle G le barycentre des points pondérés (A,\, 1), (B,\, $-1$) et (C,\, 2). \begin{enumerate} \item Démontrer que le point G a pour coordonnées $(2~;~0~;~-5)$. \item Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan $(P)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG). \item Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan $(P)$ avec la droite (CG). \end{enumerate} \item Démontrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 12$ est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(S)$. \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Liban mai 2011 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2011 \hypertarget{AmeriqueNord_mai2011}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2011}} \begin{center} \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \end{center} On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels $a, b$ et $c$ de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel $k$ strictement positif, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\| = k$ est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs $a,\, b$ et $c$. \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}},\,\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~0~;~1)$ est un vecteur normal au plan (BCE). \item Déterminer une équation du plan (BCE). \item On note $(\Delta)$ la droite perpendiculaire en E au plan (BCE). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$. \item Démontrer que la droite $(\Delta)$ est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs $1,\, -1$ et $2$. \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que $\| \vect{M\text{R}} - \vect{M\text{B}} + 2 \vect{M\text{C}}\| = 2\sqrt{2}$. \item Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble $(S)$. \item Démontrer que l'intersection du plan (BCE) et de l'ensemble $(S)$ est un cercle dont on précisera le rayon. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,6) \psline(0.4,4)(0.4,0.6)(4,0)(5.3,1.5)(5.3,5)(4,3.5)(0.4,4)(1.7,5.5)(5.3,5)%EABCGFEHG \psline(4,0)(4,3.5) \uput[ul](0.4,4){E} \uput[dl](0.4,0.6){A} \uput[dr](4,0){B} \uput[r](5.3,1.5){C} \uput[ur](5.3,5){G} \uput[ul](4,3.5){F} \uput[u](1.7,5.5){H} \uput[ul](1.7,2.1){D} \psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(1.7,2.1)(1.7,5.5) \psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(5.3,1.5) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2011 %%%%% \newpage %%%%% La Réunion septembre 2010 %%%%% \hypertarget{Reunion_juin2011}{} \section{\textbf{La Réunion septembre 2010}} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les plans $P$ et $Q$ d'équations respectives : \[x+ y + z = 0 \quad \text{et} \quad 2x + 3y + z - 4 = 0.\] \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection des plans $P$ et $Q$ est la droite $D$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=& -4 -2t\\ y&=& 4 + t\\ z&=&t \end{array}\right. \text{où $t$ est un nombre réel.}\] \item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère le plan $P_{\lambda}$ d'équation : $(1- \lambda)( x + y + z) + \lambda(2 x + 3 y + z - 4) = 0$. \begin{enumerate} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}( 1 + \lambda~;~ 1 + 2\lambda~;~ 1)$ est un vecteur normal du plan $P_{\lambda}$. \item Donner une valeur du nombre réel $\lambda$ pour laquelle les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont confondus. \item Existe-t-il un nombre réel $\lambda$ pour lequel les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont perpendiculaires ? \end{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D'$, intersection des plans $P$ et $P_{-1}$. Montrer que les droites $D$ et $D' $sont confondues. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} On considère le point A(1~;~1~;~1). Déterminer la distance du point A à la droite $D$, c'est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite $D$. \end{enumerate} %%%%% fin La Réunion septembre 2010 %%%%% \newpage %%%%%%%%%% Pondichéry avril 2010 %%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2010}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2011}} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,7) \uput[u](3.4,6.7){A}\uput[l](0.3,1.2){B}\uput[d](5,0.1){C}\uput[ur](6.8,2.9){D} \uput[ul](4.2,1.3){A$'$} \pspolygon(6.8,2.9)(3.4,6.7)(0.3,1.2)(5,0.1)(6.8,2.9) \psline(3.4,6.7)(5,0.1) \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](3.4,6.7)(4.2,1.3) \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](0.3,1.2)(6.8,2.9) \end{pspicture} \end{center} \medskip A$'$ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA$'$] est une médiane du tétraèdre ABCD. \begin{enumerate} \item On souhaite démontrer la propriété suivante : $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ : \emph{Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.} \begin{enumerate} \item Montrer que $\vect{\text{AA}'} \cdot \vect{\text{BD}} = 0$ et que $\vect{\text{AA}'}\cdot \vect{\text{BC}} = 0$. (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]). \item En déduire que la médiane (AA$'$) est orthogonale à la face BCD. Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée. \end{enumerate} \item G est l'isobarycentre des points A, B, C et D. On souhaite démontrer la propriété suivante: $\left(\mathcal{P}_{2}\right)$ : \emph{Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en} G. En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA$'$), puis conclure. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On munit l'espace d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q$(4~;~ 2~;~ - 1)$ et R$(-2~;~3~;~0)$. \begin{enumerate} \item Montrer que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier. \item Calculer les coordonnées de P$'$, centre de gravité du triangle OQR. \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR) est : $3x + 2y + 16z = 0$. \item La propriété $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2011 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2011 %%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_mars2011}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2011}} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk. On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC. \item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. \item Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et $x - 2y + 6z = 0$. Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-2\\ y&=& -1 + 3t\\ z&=&t \end{array}\right.,~t \in \R$. \item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \medskip \emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2011 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud déc. 2010 %%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_dec2010}{} \section{\textbf{Amérique du Sud décembre 2010}} \medskip \emph{On admet que si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Si $\Delta$ coupe $\mathcal{D}$ en le point I et $\mathcal{D}'$ en le point J, la distance IJ est appelée distance de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{D}'$.} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On note $\mathcal{D}$ la droite des abscisses et $\mathcal{D}'$, la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x &= &-t\\ y &= &3 + 3t\\ z &= &1 - t \end{array}\right.,~ t \in \R$. \begin{enumerate} \item Justifier que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires. \item On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire commune à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Prouver qu'il existe deux réels $b$ et $c$ tels que le vecteur $\vect{w} = b\vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit un vecteur directeur de $\Delta$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $-3y + z = 0$ est un plan contenant la droite $\mathcal{D}$. \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$. \item Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur $\vect{w}$ est sécante à $\mathcal{D}$ en un point I et qu'elle est la perpendiculaire commune à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. \item En déduire la distance de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{D}'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,9.5) \pspolygon(0,2.3)(8.7,2.3)(11.7,6.2)(3,6.2) \psline(3,6)(8.5,3.3) \psline(4.4,2.9)(10.5,5.5) \psline(7.4,9.3)(4.7,5.2) \psline[linestyle=dashed](4.7,5.2)(2.8,2.3) \psline(2.8,2.3)(1.1,0) \uput[dl](4.5,5.3){J}\uput[u](10,5.3){$\mathcal{D}$} \uput[d](8.3,3.2){$\Delta$}\uput[l](7,8.6){$\mathcal{D}'$} \uput[ur](0.2,2.3){$\mathcal{P}$}\uput[d](7,4){I} \psline(4.9,5.05)(5.04,5.23)(4.8,5.35) \psline(6.8,4.12)(7.05,4.25)(7.28,4.15) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud nov 2010 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie novembre 2010 %%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_nov2010}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2010}} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. \medskip \textbf{L'objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d'objets de l'espace} \medskip \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[ ] $\mathcal{P}$ est le plan passant par A(3~; 1~;~2) et de vecteur normal $\vect{n}(1~;~- 4~;~1)$ ; \item[ ] $\mathcal{D}$ est la droite passant par B(1~;~4~;~2) de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~1~;~3)$. \item[ ] $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $\Omega(1~;~9~;~0)$ passant par A. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x - 4y + z - 1 = 0$. \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Calculer la distance $d$ du point $\Omega$ au plan $\mathcal{P}$. \item Calculer le rayon de la sphère $\mathcal{S}$. En déduire l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \item Intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$. \item Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \item En déduire que la droite $\mathcal{D}$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ en deux points $M$ et $N$ distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie novembre 2010 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%% Métropole septembre 2010 %%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2010}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2010}} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& - t + 1\\ y& =&2t \\ z& =& -t + 2 \end{array}\right. \text{où}~ t~ \text{désigne un nombre réel.}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier. \item Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$. \end{enumerate} \item Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$. \item Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$. \item Montrer que CI $= \sqrt{3}$. \end{enumerate} \item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$. \item Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2010 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%% La Réunion septembre 2010 %%%%%%%%%% \hypertarget{LaReunion_sept2010}{} \section{\textbf{La Réunion septembre 2010}} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les plans $P$ et $Q$ d'équations respectives : \[x+ y + z = 0 \quad \text{et} \quad 2x + 3y + z - 4 = 0.\] \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection des plans $P$ et $Q$ est la droite $D$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=& -4 -2t\\ y&=& 4 + t\\ z&=&t \end{array}\right. \text{où $t$ est un nombre réel.}\] \item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère le plan $P_{\lambda}$ d'équation : $(1- \lambda)( x + y + z) + \lambda(2 x + 3 y + z - 4) = 0$. \begin{enumerate} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}( 1 + \lambda~;~ 1 + 2\lambda~;~ 1)$ est un vecteur normal du plan $P_{\lambda}$. \item Donner une valeur du nombre réel $\lambda$ pour laquelle les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont confondus. \item Existe-t-il un nombre réel $\lambda$ pour lequel les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont perpendiculaires ? \end{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D'$, intersection des plans $P$ et $P_{-1}$. Montrer que les droites $D$ et $D' $sont confondues. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} On considère le point A(1~;~1~;~1). Déterminer la distance du point A à la droite $D$, c'est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite $D$. \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin La Réunion septembre 2010 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%% Antilles septembre 2010 %%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2010}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2010}} \medskip \textbf{L'exercice comporte quatre propositions indépendantes.} \textbf{Indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse choisie.} \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe rapporté au repère orthonormé \Ouv, vérifiant $|z - 2| = |z - 2\text{i}|$ est la droite d'équation $y = x$. \item Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes $a,~b$ et $c$ vérifiant $\dfrac{b - a}{c - a} = - 3$ alors A, B et C sont alignés. \item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. La droite de l'espace passant par le point B de coordonnées (2~;~3~;~4) et admettant le vecteur $\vect{u}(1~;~2~;~3)$ comme vecteur directeur a pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=& t+1\\ y&=&2t+1\\ z&=&3t+ 1 \end{array} \right. \quad t \in \R.\] \item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. La sphère de centre A(1~;~1~;~1) et de rayon $10$ est tangente au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y + z - 1 = 0$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Antilles septembre 2010 %%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Polynésie juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2010_retour}{Retour au tableau} \bigskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item les points A(1~;~1~;~1) et B(3~;~2~;~0) ; \item le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur $\vect{\text{AB}}$ pour vecteur normal ; \item le plan (Q) d'équation : $x - y + 2z + 4 = 0$ ; \item la sphère (S) de centre A et de rayon AB. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (P) est : $2x + y - z - 8 = 0$ \item Déterminer une équation de la sphère (S). \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S). \item Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ? \end{enumerate} \item On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées $(0~;~2;~-1)$. \begin{enumerate} \item Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants. \item Soit (D) la droite d'intersection des plans (P) et (Q). Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t\\ y &=& 12 - 5t\\ z& =& 4 - 3t \end{array}\right.$ avec $t \in \R$. \item Vérifier que le point A n'appartient pas à la droite (D) \item On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D). L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? \og Tout point du plan (R ) est équidistant des points B et C \fg. Justifier votre réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2010_retour}{Retour au tableau} \bigskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=& 1 + 2t\\ y&=& - 2 - 3t\\ z&=&- 1 - t \end{array}\right. \quad \text{avec}~ t \in \R.\] \item On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2 - k\\ y&=&1 + 2k\\ z&=&k \end{array}\right. \quad \text{avec}~k \in \R.\] Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires. \item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que le plan (P) contient la droite (D). \item Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. \end{enumerate} \item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur $\vect{w}(1~ ;~1~;~- 1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires. \item Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2010_retour}{Retour au tableau} \bigskip Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les droites ($\mathcal{D}_{1}$) et ($\mathcal{D}_{2}$) de représentations paramétriques : \[(\mathcal{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l c r} x&=& - 1 + 2t\\ y&=& - 3t\\ z&=&1 + t \end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad (\mathcal{D}_{2}) \left\{\begin{array}{l c r} x&=& 1 - 2t\\ y&=& 5 - t\\ z&=&-2 + t \end{array}\right. (t \in \R).\] \emph{Affirmation} : Les droites ($\mathcal{D}_{1}$) et ($\mathcal{D}_{2}$) sont orthogonales. \medskip \textbf{Question 2} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique : \[(\mathcal{D})\left\{\begin{array}{l c r} x& =& 1 + 4t\\ y&=& - 2 + 2t\\ z&=&3 - 2t \end{array}\right. (t \in \R).\] \emph{Affirmation} : Le plan $(\mathcal{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2010_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2010} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une dé monstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.} \begin{enumerate} \item La droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x& =& t + 2\\ y &=& -2t\\ z &=& 3t - 1 \end{array}\right.,~ t \in \R$ est parallèle au plan dont une équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$. \item Les plans $P,~ P',~ P''$ d'équations respectives $x - 2y + 3z = 3$, $2x + 3y - 2z = 6$ et $4x - y + 4z = 12$ n'ont pas de point commun. \item Les droites de représentations paramétriques respectives $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&2 - 3t\\ y&=& 1 + t \\ z&=&-3 + 2t \end{array}\right.,~ t \in \R$ et $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& 7 + 2u\\ y &=& 2 + 2u\\ z&=&- 6 - u \end{array}\right.,~u\in \R$ sont sécantes. \item On considère les points : A, de coordonnées $(-1~;~0~;~2)$, B, de coordonnées $(1~;~4~;~0)$, et C, de coordonnées $(3~;~-4~;~-2)$. Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$. \item On considère les points : A, de coordonnées $(-1~;~1~;~3)$, B, de coordonnées $(2~ ;~1~ ;~0)$, et C, de coordonnées $(4~;~-1~;~5)$. On peut écrire C comme barycentre des points A et B. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_nov2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie novembre 2009} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$. On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l' ANNEXE, à rendre avec la copie. On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF]. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~1)$ est orthogonal à $\vect{\text{IK}}$ et à $\vect{\text{IJ}}$. En déduire qu'une équation du plan (IJK) est : $4x + 2y + 2z - 5 = 0$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (CD). \item En déduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$. \item Placer le point R sur la figure. \end{enumerate} \item Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$. \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par F. Justifier que la sphère $\mathcal{S}$ et le plan (IJK) sont sécants. Déterminer le rayon de leur intersection. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 2009} \medskip \textbf{Partie A -- Restitution organisée de connaissances} \medskip Soit D le point de coordonnées $(x_{\text{D}},~y_{\text{D}},~z_{\text{D}})$ et $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du point D au plan $P$ est donnée par~: \[d(\text{D},P)=\dfrac{\left|ax_{\text{D}}+by_{\text{D}}+cz_{\text{D}} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC. \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC). Déterminer une équation du plan (ABC). \item Calculer la distance du point D au plan (ABC). Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$. \begin{enumerate} \item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC). \item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G. Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2009} \medskip On considère le cube OABCDEFG d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n'est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie. Soient les points P et Q tels que $\vect{\text{OP}} = 2 \vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OQ}} = 4\vect{\text{OC}}$. On appelle R le barycentre des points pondérés (B,~$-1$) et (F\,,~ 2). L'espace est muni du repère orthonormal $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OC}},~ \vect{\text{OD}}\right)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point R a pour coordonnées (1~;~1~;~2). \item Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés. \item Quelle est la nature du triangle PQR ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une équation du plan (PQR) est $4x + 2y + z - 8 = 0$. \item Vérifier que le point D n'appartient pas au plan (PQR). \end{enumerate} \item On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR). \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (DH). \item Déterminer les coordonnées du point H. \item Démontrer que le point H appartient à la droite (PR). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(4,4) \pspolygon(0.3,0.7)(0.3,2.9)(2.6,2.6)(2.6,0.4)%AEFB \psline(0.3,2.9)(1.1,3.9)(3.4,3.6)(2.6,2.6)%EDGF \psline(3.4,3.6)(3.4,1.4)(2.6,0.4)%GCB \psline[linestyle=dashed](0.3,0.7)(1.1,1.7)(1.1,3.9)%AOD \psline[linestyle=dashed](1.1,1.7)(3.4,1.4)%OC \uput[dl](0.3,0.7){A} \uput[d](2.6,0.4){B} \uput[dr](3.4,1.4){C} \uput[u](1.1,3.9){D} \uput[ul](0.3,2.9){E} \uput[u](2.6,2.6){F} \uput[ur](3.4,3.6){G} \uput[dr](1.1,1.7){O} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole \& La Réunion septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Métropole \& La Réunion septembre 2009} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item On désigne par $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y -1 = 0$ et par $\mathscr{P}'$ le plan d'équation $y + z - 2 = 0$. Justifier que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite $\mathscr{D}$, dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l}x = 1- t\\y = t\\z = 2 - t\end{array}\right.$, où $t$ désigne un nombre réel. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan $\mathscr{R}$ passant par le point O et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$. \item Démontrer que le point I, intersection du plan $\mathscr{R}$ et de la droite $\mathscr{D}$, a pour coordonnées $(0~;~1~;~1)$. \end{enumerate} \item Soient A et B les points de coordonnées respectives $\left(-\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et $(1~;~1~;~0)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A et B appartiennent au plan $\mathscr{R}$. \item On appelle A$'$ et B$'$ les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I. Justifier que le quadrilatère ABA' B' est un losange. \item Vérifier que le point S de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$. \item Calculer le volume de la pyramide SABA$'$B$'$. \emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide de base d'aire $b$ et de hauteur $h$ est: $V=\dfrac{1}{3}b\times h$}. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane septembre 2009} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A$(1~;~-1~;~4)$, B$(7~;~-1~;~-2)$ et C$(1~;~5~;~-2)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$. \item Montrer que le triangle ABC est équilatéral. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item En déduire que $x + y + z - 4 = 0$ est une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-2t\\ y&=&-2t-2\\ z&=&-2t-3 \end{array}\right. \text{où} \quad t \in \R.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC). \item Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC) sont (3~;~1~;~0). \item Montrer que G est l'isobarycentre des points A, B et C. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par A. \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection E et F, de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2009} \medskip Soient A(1~;~2;~0), B(2~;~2;~0), C(1~;~3;~0) et D(1~;~2;~1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. (P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; (Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; (R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. \begin{enumerate} \item Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x-y+1&=&0\\ - y + z + 2 &=& 0\\ -x + z + 1 &=&0 \end{array}\right. $ \item En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1). \item Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD). En déduire une équation cartésienne du plan (BCD). \end{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). \medskip \emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères \Oij,~$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \item Montrer que tout point $M$ de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD). \item Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2009} \medskip On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace. L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A(3~;~4~;~0) ; B(0~;~5~;~0) et C(0~;~0~;~5). On note I le milieu du segment [AB]. \begin{enumerate} \item Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère \Oijk. \item Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles. Quelle est la nature du triangle ABC ? \item Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points H, C, I sont alignés. \item Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). \item En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \end{enumerate} \item Calculs d'aire et de volume. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC. \item Déterminer la distance du point O au plan (ABC). \item Calculer l'aire du triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Liban juin 2009} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F. Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(9.5,7) \psframe(1,0)(5.2,4.2)%ABFE \psline(5.2,0)(6.8,1.3)(6.8,5.5)(2.6,5.5)(1,4.2)%BCGHE \psline(6.8,5.5)(5.2,4.2)%GF \psline[linestyle=dashed](1,0)(2.7,1.3)(2.6,5.5)%ADH \psline[linestyle=dashed](2.7,1.3)(6.8,1.3)%DC \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.1,4.2)(9.4,4.2) \uput[dl](1,0){A} \uput[dr](5.2,0){B} \uput[dr](6.8,1.3){C} \uput[ul](2.7,1.3){D} \uput[ul](1,4.2){E} \uput[dr](5.2,4.2){F} \uput[ur](6.8,5.5){G} \uput[ul](2.6,5.5){H} \uput[u](3.1,4.2){I} \uput[u](9.4,4.2){J} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I et J. \item Vérifier que le vecteur $\vect{\text{DJ}}$ est un vecteur normal au plan (BGI). \item En déduire une équation cartésienne du plan (BGI). \item Calculer la distance du point F au plan (BGI). \end{enumerate} \item On note ($\Delta$) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI). \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$). \item Montrer que la droite ($\Delta$) passe par le centre K de la face ADHE. \item Montrer que la droite ($\Delta$) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{6}~;~\dfrac{5}{6} \right)$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2009} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8) \psframe(6.6,6.6) \psline(6.6,0)(8.4,1.4)(8.4,8)(1.8,8)(0,6.6) \psline(8.4,8)(6.6,6.6) \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.4)(1.8,8) \psline[linestyle=dashed](1.8,1.4)(8.4,1.4) \uput[dl](0,0){A}\uput[dr](6.6,0){B} \uput[r](8.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.4){D} \uput[l](0,6.6){E} \uput[r](6.6,6.6){F} \uput[u](0.9,4){I} \uput[ur](4.2,0.7){J} \uput[ur](8.4,8){G} \uput[ul](1.8,8){H} \uput[ur](2.55,2.35){K} \psline[linestyle=dashed](0.9,4)(4.2,0.7) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.9,4)(4.2,0.7)(2.55,2.35) \end{pspicture} \end{center} \medskip On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ]. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère. \item Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG). \item Vérifier que le point D appartient au plan (AKG). \end{enumerate} \item Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G. Soit L le centre du carré DCGH. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL]. \item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. } Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l'on précisera. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2009} \medskip Dans un repère orthonormé de l'espace \Oijk{} on considère les points : A de coordonnées (1~;~1~;~0), B de coordonnées (2~;~0~;~3), C de coordonnées $(0~;~- 2~;~5)$ et D de coordonnées $(1~;~- 5~;~5)$. \medskip Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse: \textbf{Proposition 1 :} L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,~y,~z)$ tels que $y = 2x + 4$ est une droite. \medskip \textbf{ Proposition 2 :} La transformation qui, à tout point $M$ de l'espace associe le point $M'$ tel que $\vect{MM'} = \vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}$ est l'homothétie de centre $G$, où $G$ désigne le barycentre du système $\{(A,~1),~ (B,~1),~(C,~2)\}$, et de rapport 3. \medskip \textbf{Proposition 3 :} A, B, C et D sont quatre points coplanaires. \medskip \textbf{Proposition 4 :} La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x+ 2y + z+ 3 = 0$. \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_mars2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2009_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie mars 2009} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points: \[\text{A}(4~;~0~;~0), \quad \text{B}(0~;~2~;~0),\quad \text{C}(0~;~0~;~3)\quad \text{et E}\left(\dfrac{2}{3}~;~- \dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{9}\right)\] On se propose de déterminer de deux façons la distance $\delta_{\text{E}}$ du point E au plan (ABC). \medskip \textbf{RAPPEL :} Soit ($\mathcal{P}$) un plan d'équation $ax+by+cz+d = 0$ où $a,~b,~ c$ et $d$ sont des nombre réels avec $a,~b$ et $c$ non tous nuls et $M$ un point de coordonnées $\left(x_{M}~;~y_{M}~;~z_{M}\right)$ la distance $\delta_{\text{M}}$ du point $M$ au plan ($\mathcal{P}$) est égale à : \[\dfrac{\left|ax_{M} + by_{M} +cz_{M} + d \right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées (3~;~6~;~4). Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Montrer qu'une équation du plan (ABC) est : $3x+ 6y + 4z - 12 = 0$. \item Déduire des questions précédentes la distance $\delta_{\text{E}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique: \[ \left\{\begin{array}{l c r} x &=& 1 +t\\ y &=& 2t\\ z&=&\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}t\\ \end{array}\right. \quad \text{où}~ t \in \R,\] est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E. \item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC). \item Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance $\delta_{\text{E}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 2008} \medskip Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit \mbox{ABCDEFGH} tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1. On appelle I le milieu de [AD]. \bigskip \begin{center} \begin{pspicture}(8,4) \pspolygon(0.4,0.4)(5.7,0.25)(7.8,1.25)(7.75,4)(2.4,4.2)(0.3,3.2)%BCDHEF \psline(5.7,0.25)(5.6,3.1)(7.75,4)(0.3,3.2)(5.6,3.1)(7.75,4)%CGHFGH \psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,1.3)(2.4,4.2)%BAE \psline[linestyle=dashed](2.4,1.3)(7.8,1.25)%AD \psline[linestyle=dashed](0.3,3.2)(5.2,1.3)(5.6,3.1)%FIG \psline[linestyle=dashed](5.2,1.3)(7.75,4)%IH \uput[d](2.4,1.3){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[d](5.7,0.25){C} \uput[dr](7.8,1.25){D} \uput[u](2.4,4.2){E} \uput[ul](0.4,3.2){F} \uput[u](5.7,3.1){G} \uput[ur](7.8,4){H} \uput[d](5.2,1.3){I} \end{pspicture} \end{center} L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A} ~;~\vect{\text{AB}}  ~;~\vect{\text{AI}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à $\dfrac{1}{3}$. \item Montrer que le triangle FIH est rectangle en I. En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance $d$ du point G au plan (FIH). \end{enumerate} \item Soit le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~1~;~- 1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (FIH). \item En déduire une équation cartésienne du plan (FIH). \item Retrouver par une autre méthode la distance $d$ du point G au plan (FIH). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ? \item Donner un système d'équations paramétriques de cette droite. \item Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH). \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.} Soit $\Gamma$ la sphère de centre G passant par K. Quelle est la nature de l'intersection de $\Gamma$ et du plan (FIH) ? (On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection) \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_nov2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie novembre 2008} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} on considère les points : \[\begin{array}{l p{1cm} l} \text{A} (3~;~-2~;~1)&& \text{B}(5~;~2~;~-3)\\ \text{C} (6~;~-2~;~-2)&& \text{D}(4~;~3~;~2) \end{array}\] \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~ ;~ 1~; ~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item En déduire une équation du plan (ABC). \item Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3. \end{enumerate} \item Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2008} \medskip \emph{On donne la propriété suivante :} \emph{\og par un point de l'espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée \fg} \medskip Sur la figure donnée en annexe, on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1. On a placé : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] les points I et J tels que $\vect{\text{BI}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{EJ}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{EH}}$. \item[] le milieu K de [IJ]. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ). \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F. En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales. \medskip On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales. \item Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK). \item Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP). \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires. \item En déduire que les points F, P et K sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$. On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note $(x~;~y~;~0)$ les coordonnées du point $N$. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points F, G, I et J. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (G$N$) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ). \item Exprimer les produits scalaires $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FI}}$ et $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FJ}}$ en fonction de $x$ et $y$. \item Déterminer les coordonnées du point $N$. \end{enumerate} \item Placer alors le point P sur la figure en annexe. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole \& La Réunion sept. 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Métropole \& La Réunion septembre 2008} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).} \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.} Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct $\left(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\right)$. On note I son centre et J le milieu de [AI]. \begin{enumerate} \item C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1) lorsque : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$m = -2$& \textbf{b.}~~$m = 2$& \textbf{c.}~~$m = -1$& \textbf{d.}~~$m = 3$\\ \end{tabularx} \item \begin{enumerate} \item B est l'image de C par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$ \item Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est $\dfrac{2}{3}.$ \item Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I. \item J est l'image de I par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}}$. \end{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}\| = \text{AB}$ est : \begin{enumerate} \item la médiatrice de [AC]. \item le cercle circonscrit au carré ABCD. \item la médiatrice de [AI]. \item le cercle inscrit dans le carré ABCD. \end{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ du plan tels que : \[\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0\] est : \begin{enumerate} \item la médiatrice de [AC]. \item le cercle circonscrit au carré ABCD. \item la médiatrice de [AI]. \item le cercle inscrit dans le carré ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2008} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A(1 ; 2 ; 3), B(0 ; 1 ; 4), C$(-1~;~-3~;~2)$, D$(4~;~-2~;~5)$ et le vecteur $\vect{n}( 2\;;\; - 1\;;\;1)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item  Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés. \item  Démontrer que $\vect{n} $ est un vecteur normal au plan (ABC). \item  Déterminer une équation du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit ($\Delta $) la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{ \begin{array}{l c l} x &=& 2 - 2t \\ y &=& - 1 + t \\ z &=& 4 - t \\ \end{array} \right.$ avec $t \in \R$.\\ Montrer que le point D appartient à la droite ($\Delta $) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC). \item Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).\\ Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 2008} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points \[\text{A}(1~;~1~;~0), \text{B}(1~;~2~;~1)~ \text{et}~ \text{C}(3~;~ - 1~ ;~2).\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne \\ $2x + y - z -3 =0$. \end{enumerate} \item On considère les plans ($P$) et ($Q$) d'équations respectives $x + 2y - z - 4 = 0$ et $2x + 3y - 2z - 5 = 0$.\\ Démontrer que l'intersection des plane ($P$) et ($Q$) est une droite ($\mathcal{D}$), dont une représentation paramétrique est : \[ \left\{\begin{array}{l c l} x&=&-2 + t\\ y&=&3 \\ z&=&t\\ \end{array} \right. (t \in \R)\] \item Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), ($P$) et ($Q$) ? \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la distance du point A à la droite ($\mathcal{D}$). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2008} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points \[\text{A}(2~;~1~;~-1),~ ~ \text{B}(-1~;~2~;~4),~~\text{C}(0~;~-2~;~3),~~\text{D}(1~;~1~;~-2)\] et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - 2y + z + 1 = 0$.\\ \emph{Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.\\ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l'un des deux mots {\rm \textbf{VRAI}} ou {\rm \textbf{FAUX}} correspondant à la réponse choisie.\\ Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\ Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \begin{enumerate} \item Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan. \item Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. \item Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : $x + 8y - z - 11 = 0$. \item Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est :\[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2k\\ y&=& 2 + 3k\\ z&=& 3 - 4k \end{array}\right.~~(k \in \R).\] \item Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. \item Affirmation 6 : la distance du point C au plan $\mathcal{P}$ est égale à $4\sqrt{6}$ \item Affirmation 7 : la sphère de centre D et de rayon $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ est tangente au plan $\mathcal{P}$. \item Affirmation 8 : le point E$\left(- \dfrac{4}{3}~ ;~\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{5}{3} \right)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Asie juin 2008} \medskip \textbf{A -Vrai ou faux ?} \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.} \medskip \emph{Rappel des notations : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$.\\ \item[$\bullet~$] L 'écriture $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ n'ont aucun point commun. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} } \begin{enumerate} \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset.$ \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont tels que : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}= \emptyset$ et $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}= \emptyset$. \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset.$ \item Si $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathcal{D}$ une droite de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset$ \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Intersection de trois plans donnés} \medskip Dans un repère orthonorrnal de l'espace on considère les trois plans suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $x+ y -z = 0$ \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $2x+y+z - 3 =0$, \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z+3 = 0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Justifier que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'interseclion, notée $\Delta$. \item En déduire la nature de l'intersection $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles--Guyane juin 2008} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point.\\ Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l} 2x -6y +2z -7&=& 0\\ -x +3y -z +5&=& 0\\ \end{array}\right.$ est :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse A : l'ensemble vide& Réponse B : une droite\\ Réponse C : un plan &Réponse C : réduit à un point\\ \end{tabularx} \item Les droites de représentations paramétriques respectives : \[\left\{\begin{array}{l cl} x &=& 1 - t\\ y &=& - 1 + t\\ z &=& 2 - 3t\\ \end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l cl} x &=& 2 + t \\ y &=& - 2- t \\ z &=& 4 + 2t \\ \end{array}\right. (t \in \R)~ \text{sont :}\] \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse A : parallèles et distinctes& Réponse B : confondues\\ Réponse C : sécantes& Réponse D : non coplanaires\\ \end{tabularx} \item La distance du point A$(1~;~- 2~;~1)$ au plan d'équation $-x +3y- z +5 = 0$ est égale à :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse A : $\dfrac{3}{11}$&Réponse B : $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$\\ Réponse C : $\dfrac{1}{2}$ &Réponse D : $\dfrac{8}{\sqrt{11}}$\\ \end{tabularx} \item Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d'équation $-x +3y - z +5 = 0$ a pour coordonnées : \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse A : ( 3 ; 1 ; 5 )& Réponse B : ( 2 ; 3 ; 1 )\\ Réponse C : ( 3 ; 0 ; 2 )& Réponse D : $( -2 ; 3 ; -6 )$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_mai2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_mai2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Nord mai 2008} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère deux points A et D de l'espace et on désigne par I le milieu du segment [AD]. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout point M de l'espace, $\vect{\text{MD}}\cdot \vect{\text{MA}}= \text{MI}^2 - \text{IA}^2$. \item En déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace, tels que $\vect{\text{MD}}\cdot \vect{\text{MA}}= 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans l'espace rapporté au repère orthonormal \Oijk, les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : \[ \text{A}(3~;~0~;~0),~\text{B}(0~;~6~;~0),\text{C}(0~;~0~;~4)\quad \text{et}\quad \text{D}(-5~;~0~;~ 1).\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{c}4\\2\\3\\ \end{array}\right)$ est normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation du plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, orthogonale au plan (ABC) passant par D. \item En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). \item Calculer la distance du point D au plan (ABC). \item Démontrer que le point H appartient l'ensemble (E) défini dans la partie A. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2008} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{On considère un tétraèdre $ABCD$. On note $I,~ J,~ K,~ L,~ M,~ N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],~ [CD],~[BC],~[AD],~[AC]$ et $[BD]$. On désigne par $G$ l'isobarycentre des points $A,~B,~C$ et $D$.} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5) \pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD \psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7) \uput[dl](0,1.25){$A$} \uput[ul](3.25,4){$B$} \uput[dr](4.4,0.7){$C$} \uput[d](2.2,0){$D$} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$. \medskip Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB = CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$. (On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial, car ses faces sont isométriques). \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM$. \item En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$. \item Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(AB)$. Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD)$. \item Montrer que $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\ Comment démontrerait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_mars2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2008_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie mars 2008} \medskip L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $t$ un nombre réel. On donne le point A$(-1~;~2~;~3)$ et la droite $\mathcal{D}$ de système d'équations paramétriques : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&9 + 4t\\ y&=&6 + t\\ z&=&2 + 2t\\ \end{array}\right.\] Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance $d$ entre le point A et la droite $\mathcal{D}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$, perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ et passant par A. \item Vérifier que le point B$(-3~;~3~;~-4)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$. \item Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et le plan $\mathcal{P}$. \item Exprimer la distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de $d$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de $d$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \bigskip \psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture}(-3,-1)(6,7) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-1)(6,7) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-1)(6,7) \psplot{-1}{6}{x} \psplot[linecolor=blue]{-3}{4.713}{9 6 x sub div} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_dec2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie décembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie décembre 2007} \medskip Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de ce tétraèdre. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC) ? Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC) ? \item Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On démontrera de façon analogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis. \item Que représente le point H pour le triangle ABC ? \end{enumerate} \item L'espace est maintenant muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les points A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3). \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par O et orthogonale au plan (ABC). \item Démontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H de coordonnées $\left(\dfrac{36}{49}~;~\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{12}{49}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance du point O au plan (ABC). \item Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l'aire du triangle ABC. \item Vérifier que le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 2007} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item On considère le point A de coordonnées $(-2~;~8~;~4)$ et le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~5~;~-1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$. \item On considère les plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives $x - y - z = 7$ et $x - 2z=11$. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $(d')$. Montrer que le vecteur de coordonnées $(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $(d')$. \item Démontrer que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires. \item On considère le point H de coordonnées $(-3~;~3~;~5)$ et le point H$'$ de coordonnées $(3~;~0~;~-4)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que H appartient à $(d)$ et que H$'$ appartient à $(d')$. \item Démontrer que la droite (HH$'$) est perpendiculaire aux droites $(d)$ et $(d')$. \item Calculer la distance entre les droites $(d)$ et $(d')$, c'est-à-dire la distance HH$'$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{M\text{H}'} \cdot \vect{\text{HH}'} = 126$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2007} \medskip Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe . Cette feuille ne sera pas remise avec la copie. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère un triangle OAB et une similitude directe $\sigma$ de centre O, de rapport 2 et d'angle $\theta$. Soit : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet$] les points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la similitude $\sigma$ ; \item[$\bullet$] les points I, milieu du segment [A$'$ B] et J, milieu du segment [A B$'$] ; \item[$\bullet$] le point M milieu du segment [AA$'$] ; \item[$\bullet$] le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H$'$ image du point H par la similitude $\sigma$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Partie A. Étude d'un exemple} \medskip Dans cette partie, le point A a pour affixe $-6 + 4\text{i}$, le point B a pour affixe $2+4\text{i}$, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe $4$i. La similitude $\sigma$ est la similitude directe de centre O, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$ et H$'$. \item Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude du cas général} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que H$'$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A$'$ B$'$). \item Montrer que $\vect{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{AB}}$. On admet que $\vect{\text{MJ}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{A}'\text{B}'}$. \item En déduire que $\dfrac{\text{MJ}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{OH}'}{\text{OH}}$ et que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right) = \left(\vect{\text{OH}},~\vect{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. \end{enumerate} \item On appelle $s$ la similitude directe qui transforme M en O et I en H. On note K l'image du point J par la similitude $s$. \begin{enumerate} \item Montrer que OK= OH$'$, puis que $\left(\vect{\text{MI}},~\vect{\text{MJ}}\right) =\left(\vect{\text{OK}},~\vect{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. \item En déduire que le point H$'$ est l'image du point J par la similitude $s$. \end{enumerate} \item Montrer que $\left(\vect{\text{IJ}},~\vect{\text{HH}'}\right) = \left(\vect{\text{MJ}},~\vect{\text{OH}}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \Z$. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH$'$). \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \begin{flushleft} Cette page ne sera pas remise avec la copie \textbf{Partie A} \end{flushleft} \psset{unit=8.5mm} \begin{pspicture}(12,10) %\psaxes(7.5,5)(0,-5)(14,5) \multido{\d=-0.20+1.1}{11}{\psline(\d,5)(\d,5.2)} \multido{\d=-0.20+1.05}{9}{\psline(7.5,\d)(7.7,\d)} \psline(-0.2,5)(12,5) \psline(7.5,-0.2)(7.5,10) \psline(1,9.2)(7.5,5)(9.5,9.2)(1,9.2) \uput[dl](7.5,5){O} \uput[d](8,5){$\vect{u}$} \uput[l](7.5,5.5){$\vect{v}$} \psline[linewidth=2pt]{<->}(8.5,5)(7.5,5)(7.5,6) \uput[ul](1,9.2){A} \uput[ul](7.5,9.2){H} \uput[ur](9.5,9.2){B} \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Partie B} \end{flushleft} \psset{unit=7.5mm} \begin{pspicture}(17,10) %\psgrid \psline(0,9.7)(6.4,0)%B'A'H' \psline(0,4.6)(17,8.5)%HAB \psline(3.75,4)(8.95,3.3)(16.2,8.3)%B'OB \psline(0.3,9.3)(8.95,3.3)(11,7.1)%B'OA \uput[dl](0.3,9.3){B$'$} \uput[dl](3.75,4){A$'$} \uput[dr](8.95,3.3){O} \uput[u](16.2,8.3){B} \uput[dl](5.6,1.25){H$'$} \uput[dl](7.3,5.7){M} \uput[ur](5.5,8.3){J} \uput[dl](9.9,6.3){I} \uput[ul](11,7.3){A}\uput[u](8.2,6.5){H} \psdots(7.3,5.7)(9.9,6.3)(5.5,8.3)(5.6,1.25)(8.2,6.5) \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2007} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 3. \begin{center} \begin{pspicture}(4,4) \psline(0,0.3)(2.3,0)(3.2,1)(3.2,3.3)(0.9,3.7)(0,2.6)(0,0.3)%ABCGHEA \psline(2.3,0)(2.3,2.2)(0,2.6)%BFE \psline(2.3,2.2)(3.2,3.3)%FG \psline[linestyle=dotted](0,0.3)(0.9,1.4)(3.2,1)%ADC \psline[linestyle=dotted](0.9,1.4)(0.9,3.7)%DH \uput[dl](0,0.3){A} \uput[dr](2.3,0){B} \uput[dr](3.2,1){C} \uput[dr](0.9,1.4){D} \uput[ul](0,2.6){E} \uput[ul](2.3,2.2){F} \uput[ur](3.2,3.3){G} \uput[ul](0.9,3.7){H} \end{pspicture} \end{center} On choisit le repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ tel que $\vect{\imath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DA}},$ $\vect{\jmath} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DC}}$ et $\vect{k} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DH}}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points A, C et E. \item Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système $\{(\text{C}~;~2),~(\text{E}~;~1)\}$. \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{DL}}$. \end{enumerate} \item Soit $(a,~ b)$ un couple de réels. On note $M$ le point de la droite (AE) tel que $\vect{\text{A}M} = a\vect{\text{AE}}$ et $N$ le point de la droite (DL) tel que $\vect{\text{D}N} = b\vect{\text{DL}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{MN}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{DL}}$ si et seulement si le couple $(a,~ b)$ vérifie le système $\left\{\begin{array}{l c l} - a + 2b& =&1\\ 3a - b& =& 0\\ \end{array}\right.$ \item En déduire qu'il existe un seul point M$_{0}$ de (AE) et un seul point N$_{0}$ de (DL) tels que la droite (M$_{0}$N$_{0}$) est orthogonale aux droites (AE) et (DL). \item Déterminer les coordonnées des points M$_{0}$ et N$_{0}$ puis calculer la distance M$_{0}$N$_{0}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2007} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A$\left(\dfrac{2}{3}~;~-3~;~2\right)$ et B$\left(-\dfrac{4}{3}~;~0~;~-4\right)$. On note I le milieu du segment [AB] et (S) la sphère de diamètre [AB]. \begin{enumerate} \item Soit E le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; 1). \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de E. \item Montrer que l'ensemble (P) des points $M$ de l'espace tels que $\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}}\right\| = 3\left\|\vect{M\text{O}}\right\|$ est le plan médiateur du segment [OE]. \item Montrer qu'une équation du plan (P) est $y = -1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le rayon de la sphère (S) et la distance du centre I de la sphère au plan (P). En déduire que l'intersection (C) du plan (P) et de la sphère (S) n'est pas vide. \item Montrer qu'une équation de (C) dans le plan (P) est $\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 + (z +1)^2 =12$. En déduire que (C) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item Soit D le point de coordonnées $\left(- \dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{1}{2}~;~4\sqrt{3} - 1 \right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (ID). \item En déduire que la droite (ID) est sécante au cercle (C) en un point noté F dont on donnera les coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 2007} \medskip L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk. Soient (P) et (P$'$) les plans d'équations respectives $x + 2y - z + 1 = 0$ et $- x + y + z = 0$. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1). \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans (P) et (P$'$) sont perpendiculaires. \item Soit ($d$) la droite dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- \dfrac{1}{3} + t\\ y&=&- \dfrac{1}{3}\\ z &=& t \end{array}\right. ~~\text{où}~ t~ \text{est un nombre réel.}\] Démontrer que les plans (P) et (P$'$) se coupent selon la droite ($d$). \item Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P$'$). \item En déduire la distance du point A à la droite ($d$). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane juin 2007} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormé \Oijk. On considère les points $A(3~;~0~;~6)$ et $I(0~;~0~;~6)$, et l'on appelle $(D)$ la droite passant par $A$ et $I$. On appelle $(P)$ le plan d'équation $2y + z - 6 = 0$ et $(Q)$ le plan d'équation $y - 2z + 12 = 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires. \item Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est la droite $(D)$. \item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et déterminer les coordonnées des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$. \item Démontrer qu'une équation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\vect{AC}$ est $$x+4y+2z-12=0.$$ \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(OA)$. Démontrer que la droite $(\text{O}A)$ et le plan $(T)$ sont sécants en un point $H$ dont on déterminera les coordonnées. \item Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=6mm,yunit=6mm} \begin{pspicture}(-13,-2)(9,9) \pstGeonode[PosAngle=135](-12,-2){C} \pstGeonode[PosAngle=-90](3,0.5){B} \pstGeonode[PosAngle=45](0,6){I} \pstGeonode[PosAngle=-130](0,0){O} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-8.475,-2.974){E} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.53,5.029){F} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.529,-0.471){H} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-13.567,-2.261){N} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,1.5){R} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,10){Q} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,3.53){T} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-5.353,-0.892){D} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.749,0.958){G} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,2.678){J} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-12,9.3){S} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,-2.475){P} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1,0.166666){Y} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.835,-0.228){X} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,1){Z} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.558,4.402){K} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](B)(H)(F)(I) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](C)(E)(F)(I) \pstGeonode[PosAngle=45](2.492,5.315){A} \psline(N)(C) \psline[linestyle= dotted](C)(D) \psline(D)(B) \psline[linestyle= dotted](B)(G) \psline(G)(R) \psline(O)(J) \psline[linestyle= dotted](J)(I) \psline(I)(Q) \psline(S)(T) \psline(O)(P) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(X) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Y) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Z) \psline(C)(A) \psline[linestyle=dotted](A)(K) \psline(K)(B) \uput[-45](E){$(Q)$} \uput[-45](H){$(P)$} \uput[45](T){$(D)$} \uput[45](P){\tiny$x$} \uput[-45](R){\tiny$y$} \uput[-45](Q){\tiny$z$} \uput[180](X){$\tiny\vect{i}$} \uput[135](Y){$\tiny\vect{j}$} \uput[-135](Z){$\tiny\vect{z}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles1_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles1_juin2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane juin 2007} \bigskip \Ouv{} est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit $A$ le point d'affixe $1+ \text{i}$. Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=\dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right)$. \begin{enumerate} \item On pose $z=x+\text{i}y$ et $z'=x'+\text{i}y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels. \begin{enumerate} \item Démontrer les égalités suivantes: $x'=\dfrac{1}{2}(x+y)$ et $y'=\dfrac{1}{2}(x+y)$.\/ En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(\text{O}A)$. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M=M'$. \item Démontrer que pour tout point $M$ du plan les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{\text{O}A}$ sont orthogonaux. \end{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac\pi2$. $M_{1}$ est le point d'affixe $z_{1}$ image de $M$ par $r$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}=\overline{z}$, $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$ tel que le quadrilatère $\text{O}M_{1}M_{3}M_{2}$ soit un parallélogramme. \begin{enumerate} \item Dans cette question uniquement $M$ a pour affixe $4+\text{i}$, placer les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$. \item Exprimer $z_{1}$ en fonction de $z$, puis $z_{3}$ en fonction de $z$. \item $OM_{1}M_{3}M_{2}$ est-il un losange~? Justifier. \item Vérifier que $z'-z=\dfrac{1}{2}\text{i}z_{3}$. En déduire que $MM'=\dfrac{1}{2}\text{O}M_{3}$. \end{enumerate} \item Démontrer que les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ e t$M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si $MM'=\dfrac{1}{2}\text{O}M$. Donner alors la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{M'\text{O}M}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2007} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \mathrm{i}$ et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$. \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On appelle C l'image de B par $r$. \begin{enumerate} \item Déterminer une écriture complexe de $r$. \item Montrer que l'affixe de C est $z_{\text{C}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$. \item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique. \item Placer les points A, B et C. \end{enumerate} \item Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, $- 1$ et 2. \begin{enumerate} \item Montrer que l'affixe de D est $z_{\text{D}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$. Placer le point D. \item Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l'image de D par $h$. \begin{enumerate} \item Déterminer une écriture complexe de $h$. \item Montrer que l'affixe de E est $z_{\text{E}}=\sqrt{3}$. Placer le point E. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le rapport $\dfrac{z_{\text{D}}-z_{\text{C}}}{z_{\text{E}}-z_{\text{C}}}$. On écrira le résultat sous forme exponentielle. \item En déduire la nature du triangle CDE. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Liban juin 2007} \medskip \emph{Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère la droite ($d$) dont un système d'équations paramétriques est : $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&2 - \dfrac{t}{2}\\ y &=& 1\\ z &=&5 - \dfrac{3t}{2}\\ \end{array}\right. ~~(t \in \R)$ On note A le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$, B le point de coordonnées $(4~;~-2~;~2)$ et C le point de ($d$) d'abscisse $1$. \begin{enumerate} \item Proposition 1 \og La droite ($d$) est parallèle à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ \fg. \item Proposition 2 \og Le plan $P$ d'équation $x+ 3z - 5=0$ est le plan passant par A et orthogonal à ($d$) \fg. \item Proposition 3 \og La mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$ radians \fg. \item Soit G le barycentre des points pondérés (A ; $-1$), (B ; 1) et (C ; 1). Proposition 4 \og Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu \fg. \item Proposition 5 \og La sphère de centre C et passant par B coupe le plan $P$ d'équation $x+3z -5 = 0$ \fg. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2007} \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. Soit $R$ la rotation du plan de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$ et d'angle de mesure $\theta$. L'image par $R$ d'un point du plan est donc définie de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $R(\Omega) = \Omega$ \item pour tout point $M$ du plan, distinct de $\Omega$, l'image $M'$ de $M$ est définie par $\Omega M' = \Omega M$ et $\left(\vect{\Omega M},~\vect{\Omega M'}\right) = \theta \quad [2\pi]$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On rappelle que, pour des points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$,~ $AB = |b-a |$ et $\left(\vect{u},~\vect{AB}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$. \emph{Question :} Montrer que les affixes $z$ et $z'$ d'un point quelconque $M$ du plan et de son image $M'$ par la rotation $R$, sont liées par la relation \[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\theta} (z -\omega).\] \item On considère les points I et B d'affixes respectives $z_{\text{I}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}$. Soit $R$ la rotation de centre B et d'angle de mesure $ \dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $R$. \item Soit A l'image de I par $R$. Calculer l'affixe $z_{\text{A}}$ de A. \item Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$. \item En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right)$. \end{enumerate} \item Soit $T$ la translation de vecteur $\vect{\text{IO}}$. On pose A$' = T$(A). \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$. \item Quelle est la nature du quadrilatère OIAA$'$ ? \item Montrer que $- \dfrac{\pi}{12}$ est un argument de $z_{\text{A}'}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery1_avril2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery1_avril2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2007} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - 2z + 4 = 0$ et les points A de coordonnées (3 ; 2 ; 6), B de coordonnées (1 ; 2 ; 4), et C de coordonnées $(4~;~-2~;~5)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. \item Vérifier que ce plan est le plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est rectangle. \item Écrire un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. \item Soit K le projeté orthogonal de O sur $\mathcal{P}$. Calculer la distance OK. \item Calculer le volume du tétraèdre OABC. \end{enumerate} \item On considère, dans cette question, le système de points pondérés \[S = \left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}\] \begin{enumerate} \item Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G. \item On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI). \item Déterminer la distance de G au plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant : \[\left\|3\vect{M\text{O}} +\vect{M\text{A}}+\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 5.\] Déterminer $\Gamma$. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à $\mathcal{P}$ et $\Gamma$ ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_mars2007}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2007_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle-Calédonie mars 2007} \medskip Pour tout cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item \emph{Question de cours} Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vect{n}(a,~ b,~ c)$ et un point $M_{0}\left(x_{0},~y_{0},~z_{0}\right)$. \item On considère les points A$(1 ~;~2~;~ -3)$, B$(-3~;~1~;~4)$ et C$(2~;~6~;~ -1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $2x - y + z + 3 = 0$. \item Soit I le point de coordonnées $(-5~;~9~;~4)$. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\mathcal{D}$ passant par I et perpendiculaire au plan (ABC). \item Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC). \item En déduire la distance du point I au plan (ABC). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2006} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. Soit $\left(P_{1}\right)$ le plan d'équation cartésienne $-2 x +y + z-6 = 0$ et $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $x-2y+ 4z-9 =0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont perpendiculaires. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non nul à l'un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l'autre. \item Soit (D) la droite d'intersection de $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$. Montrer qu'une représentation paramétrique de (D) est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& -7 + 2t\\ y&=& - 8 + 3t\\ z& =&t\\ \end{array}\right. (t~\in~\R).\] \item Soit $M$ un point quelconque de (D) de paramètre $t$ et soit A le point de coordonnées $(-9~;~-4~;~- 1)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que A n'appartient ni à $\left(P_{1}\right)$, ni à $\left(P_{2}\right)$. \item Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)=2t^2 -2t + 3.$ \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Étudier les variations de $f$. \item[$\bullet~$] Pour quel point $M$, la distance A$M$ est-elle minimale ? Dans la suite, on désignera ce point par I. \item[$\bullet~$] Préciser les coordonnées du point I. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \item Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de (Q). \item Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France septembre 2006} \medskip On considère dans l'espace un cube de 3~cm de côté, noté ABCDEFGH et représenté sur l'annexe. Soit I le barycentre des points pondérés (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et enfin K celui de (G ; 2) et (C ; 1). \emph{On veut déterminer l'ensemble des points $M$ équidistants de} I, J \emph{et} K. \emph{On note }$\Delta$ \emph{cet ensemble.} \begin{enumerate} \item Placer les points I, J et K sur la figure de \textbf{l'annexe qui sera rendue avec la copie.} \item Soit $\Omega$ le point de $\Delta$ situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK ? \emph{Pour la suite de l'exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal suivant :} $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}}\right)$. \item Donner les coordonnées des points l, J et K. \item Soit P(2~;~0~;~0) et Q(1~;~3~;~3) deux points que l'on placera sur la figure. Démontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK). \item Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x~;~y~;~z)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $M$ appartient à $\Delta$ si, et seulement si, le triplet $(x~;~y~;~z)$ est solution d'un système de deux équations linéaires que l'on écrira. Quelle est la nature de $\Delta$ ? \item Vérifier que P et Q appartiennent à $\Delta$. Tracer $\Delta$ sur la figure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan. \item Déterminer alors les coordonnées exactes de $\Omega$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2006} \medskip Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \bigskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on donne les points A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l'isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). \medskip \textbf{Proposition 1 :} \og l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{\text{A}M} \cdot \vect{\text{BC}} = 0$ est le plan (AIO) \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 2 :} \og l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\|$ est la sphère de diamètre [BC] \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 3 :} \og le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 4 :} \og le plan (ABC) a pour équation cartésienne $2x + y + 2z = 4$ et le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9} \right)$ \medskip \textbf{Proposition 5 :} \og la droite (AG) admet pour représentation paramétrique \[\left\{ \begin{array}{l c l} x&=&t\\ y& =& 2t\\ z&=&2-2t\\ \end{array}\right. \quad (t \in \R) \fg{}.\] \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2006} \medskip \emph{Pour chacune des questions $1, 2, 3$ et $4$, \textbf{parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses}. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu'il pense exactes. Aucune justification n'est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur $1$ point. \\Toute réponse juste rapporte $0,5$ point.\\ Donner plus de $2$ réponses à une question entraîne la nullité de la question.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item Soit $P$ le plan d'équation $2x +3y + 4z - 1 = 0$. \begin{enumerate} \item La distance du point O au plan $P$ est égale à 1. \item La distance du point O au plan $P$ est égale à $\dfrac{1}{\sqrt{29}}$. \item Le vecteur $\vect{n}\left(1~;~\dfrac{3}{2}~;~2\right)$ est un vecteur normal au plan $P$. \item Le plan $Q$ d'équation $-5x + 2y + z = 0$ est parallèle au plan $P$. \end{enumerate} \item On désigne par $P$ le plan d'équation $2x + y - z = 0$, et par $D$ la droite passant par le point A$(1~;~ 1~;~ 1)$ et de vecteur directeur $\vect{u} \left(1~;~-4~;~-2\right)$. \begin{enumerate} \item La droite $D$ est parallèle au plan $P$. \item La droite $D$ est orthogonale au plan $P$. \item La droite $D$ est sécante avec le plan $P$. \item Un système d'équations paramétriques de $D$ est $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1+t \\ y& = &1 - 4t\\ z &=& 1- 2t\\ \end{array}\right. ~ (t~\in~\R).$ \end{enumerate} \item On désigne par E l'ensemble des points $M(x~;~ y~;~ z)$ tels que : $x+y+z = 3$ et $2x -z = 1$. Soit le point A$(1~;~ 1~;~1)$. \begin{enumerate} \item L'ensemble E contient un seul point, le point A. \item L'ensemble E est une droite passant par A. \item L'ensemble E est un plan passant par A. \item L'ensemble E est une droite de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~-3~ ;~ 2)$. \end{enumerate} \item ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit $P$ le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC). \begin{enumerate} \item Le plan $P$ contient toujours le point D. \item Le plan $P$ contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC. \item Le plan $P$ est toujours l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : \[\vect{\text{B}M} \cdot \vect{\text{BC}} = \vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}.\] \item Le plan $P$ est toujours le plan médiateur du segment [BC]. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 2006} \medskip Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace. On considère les points \[\text{A}(2~;~4~;~ 1),~\text{B}(0~;~4~;~-3),~\text{C}(3~;~1~;~-3),~\text{D}(1~;~0~;~-2),~\text{E}(3~;~2~;~-1),~\text{I}\left(\dfrac{3}{5}~;~4~;~- \dfrac{9}{5}\right)\] \emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.} \begin{enumerate} \item Une équation du plan (ABC) est : $2x + 2y - z - 11 = 0$. \item Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). \item Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. \item La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante : \[(\text{CD})\quad \left\{\begin{array}{l c l} x &=& - 1+2t\\ y&=&- 1+t\\ z &= &1- t\\ \end{array}\right. \quad (t \in \R).\] \item Le point I est sur la droite (AB). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2006} \medskip ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$ \bigskip \textbf{Partie A.} Un triangle et son centre de gravité. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle BDE est équilatéral. \item Soit I le centre de gravité du triangle BDE. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de I. \item Démontrer que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AG}}$. Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ? \end{enumerate} \item Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B.} Une droite particulière \medskip Pour tout nombre réel $k$, on définit deux points $M_{k}$ et $N_{k}$, ainsi qu'un plan $\mathcal{P}_{k}$ de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $M_{k}$ est le point de la droite (AG) tel que $\vect{\text{A}M_{k}} = k\vect{\text{AG}}$ ; \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{k}$ est le plan passant par $M_{k}$ et parallèle au plan (BDE) ; \item[$\bullet~$] $N_{k}$ est le point d'intersection du plan $\mathcal{P}_{k}$ et de la droite (BC). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Identifier $\mathcal{P}_{\frac{1}{3}},~M_{\frac{1}{3}}$ et $N_{\frac{1}{3}}$ en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance $M_{\frac{1}{3}}N_{\frac{1}{3}}$. \item Calcul des coordonnées de $N_{k}$. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de $M_{k}$ dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \item Déterniner une équation du plan $\mathcal{P}_{k}$ dans ce repère. \item En déduire que le point $N_{k}$ a pour coordonnées $(1~;~3k - 1 ~;~0)$. \end{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $k$ la droite $\left(M_{k}N_{k}\right)$ est-elle orthogonale â la fois aux droites (AG) et (BC) ? \item Pour quelles valeurs de $k$ la distance $M_{k}N_{k}$ est-elle minimale ? \item Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}_{\frac{1}{2}}$. Tracer la droite $\left(M_{\frac{1}{2}}N_{\frac{1}{2}} \right)$ sur la même figure. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4 (commun à tous les candidats)} \vspace{1cm} \textbf{Feuille à compléter età rendre avec la copie} \vspace{4cm} \begin{pspicture}(6,6) \psset{unit=3cm} \psframe(0,0)(2,2) %ABFE \psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH \psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG \psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD \psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH \psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC \uput[dr](0.4,0.85){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](2,0){C} \uput[dr](2.75,0.75){D} \uput[dr](0.5,3){E} \uput[ul](0,2){F} \uput[ul](2,2){G} \uput[dr](2.5,3){H} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane juin 2006} \medskip On considère le tétraèdre ABCD; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD]. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{A},~ 1)~;~ (\text{B},~ 1)~;~ (\text{C},~-1)~;~ (\text{D},~1)\}$. Exprimez $\vect{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\vect{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille annexe). \item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~1)~;~(B,~1)~ ;~(D,~ 2)\}$. Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$. \item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J. \end{enumerate} \item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~1)~;~(B,~1)~;~(C,~m - 2)~;~(D,~m)\}$. \begin{enumerate} \item Précisez l'ensemble $\mathcal{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre $G_{m}$ existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathcal{E}$. \item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD). \item Démontrez que le vecteur $m\vect{\text{J}G_{m}}$ est constant. \item En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit l'ensemble $\mathcal{E}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2006}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2006_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry avril 2006} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} \begin{center} (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)\end{center} Soit $a, b, c$ et $d$ des réels tels que $(a,~b,~c) \neq (0,~0,~0)$. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$. On considère le point $I$ de coordonnées $\left(x_{1},~ y_{1} ,~z_{1}\right)$ et le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(a,~b,~c)$. Le but de cette partie est de démontrer que la distance de $I$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. \begin{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Déterminer, en fonction de $a,~ b,~ c,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$, un système d'équations paramétriques de $\Delta$. \item On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{P}$. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{IH} = k\vect{n}$. \item Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a,~ b,~ c,~ d,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$. \item En déduire que $IH = \dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} Le plan $\mathcal{Q}$ d'équation $x - y + z - 11 = 0$ est tangent à une sphère $\mathcal{S}$ de centre le point $\Omega$ de coordonnées $(1,~-1,~3)$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de la sphère $\mathcal{S}$. \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $\mathcal{Q}$ \item En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{Q}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 2005} \medskip \emph{Dans cet exercice, une réponse par \og VRAI \fg{} ou \og FAUX \fg{}, sans justification, est demandée au candidat en regard d'une liste d'affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne} 0,4 \emph{point. Toute réponse erronée enlève} 0,1 \emph{point. L'absence de réponse n'est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif.} \medskip \noindent\parbox{0,5\textwidth}{On donne le cube ABCDEFGFH, d'arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. \emph{Le candidat est appelé à juger chacune des} 10 \emph{affirmations suivantes.}} \hfill \parbox{0,45\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.5,0)(4.5,5) \pspolygon(0.4,1.05)(2.7,0.4)(4.4,2.2)(2,2.8)%ABCD \pspolygon(0,3.2)(2.4,2.6)(4,4.4)(1.7,5)%EFGH \pspolygon(0,3.2)(1.55,0.725)(4.2,3.3)%EIJ \psline(0.4,1.05)(0,3.2) \psline(2.7,0.4)(2.4,2.6) \psline(4.4,2.2)(4,4.4) \psline(2,2.8)(1.7,5) \uput[dl](0.4,1.05){A} \uput[dr](2.7,0.4){B} \uput[dr](4.4,2.2){C} \uput[ul](2,2.8){D} \uput[ul](0,3.2){E} \uput[dr](2.4,2.6){F} \uput[ur](4,4.4){G} \uput[ul](1.7,5){H} \uput[dl](1.55,0.725){I} \uput[r](4.2,3.3){J} \end{pspicture} } \medskip \textbf{On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.} \begin{center}\begin{tabular}{|l|l|c|}\hline &Affirmation& VRAI ou FAUX\\\hline\hline \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textbf{1.}~~&$\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{2}$&\\ \hline \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textbf{2.}~~&$\vect{\text{AC}}\cdot \vect{\text{AI}} = \vect{\text{AI}}\cdot \vect{\text{AB}}$&\\ \hline \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textbf{3.}~~&$\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IJ}} = \vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IC}}$& \\ \hline \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textbf{4.}~~&$\vect{\text{AB}}\cdot \vect{\text{IJ}} = \text{AB} \times \text{IC} \times \cos \dfrac{\pi}{3}$\hspace{4,3cm} &\\ \hline \end{tabular} \medskip On utilise à présent le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \noindent \begin{tabular}{|c|p{8.4cm}|p{2.5cm}|}\hline & Affirmation& VRAI ou FAUX\\ \hline\hline \textbf{5.} &Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est : $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t+1\\ y& =& 2t\\ z&=&t\\ \end{array}\right.$, le paramètre $t$ décrivant $\R$.& \\ \hline \textbf{6.}&Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est : $\left\{\begin{array}{l c l} x & = & \dfrac{1}{2}t + 1\\ y &=& t + 1\\ z &=&\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}\end{array}\right.$,~le paramètre $t$ décrivant $\R$ & \\ \hline \textbf{7.}&$6x - 7y + 8z - 3 = 0$ est une équation cartésienne de la droite (IJ). &\\\hline \textbf{8.}& L'intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite passant par I et par le milieu de l'arête [DC].& \\ \hline \textbf{9.}&Le vecteur de coordonnées $\left(\begin{array}{r}-4\\ 1\\2\\ \end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (FIJ). &\\ \hline \textbf{10.}&\rule[-4mm]{0mm}{10mm}Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à $\dfrac{1}{6}$.& \\ \hline \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2005} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le repère \Ouv, on considère la courbe $\mathcal{H}$ d'équation $y^2 - x^2 = 16$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{H}$ est la réunion de deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ où $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$ et où $\mathcal{C}'$ est l'image de $\mathcal{C}$ par une transformation simple que l'on précisera. \item Étudier la fonction $f$ (limites aux bornes de l'ensemble de définition et sens de variation). \begin{enumerate} \item Montrer que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote de $\mathcal{C}$. \item Tracer $\mathcal{H}$ dans le repère \Ouv. On nomme A et B les points de la courbe d'abscisses respectives $-3$ et $3$. On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan constitué des points $M(x~;~ y)$ vérifiant : \[-3 \leqslant x \leqslant 3~\text{et}~ \sqrt{x^2 + 16} \leqslant y \leqslant 5.\] Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ et exprimer l'aire de $\mathcal{D}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $ - \dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $r$. \item On désigne par $x'$ et $y'$ les coordonnées du point $M'$, image du point $M(x~;~ y)$ du plan. Vérifier que $\left\{\begin{array}{l c l} x' &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}} (x + y)\\ y'&=& \dfrac{1}{\sqrt{2}}(- x + y)\\ \end{array}\right.$ Déterminer les coordonnées des points A$'$ et B$'$, images respectives de A et B par la rotation $r$. Placer les points A$'$ et B$'$ dans le repère \Ouv. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{H}'$ l'hyperbole d'équation $xy = 8$. \begin{enumerate} \item Tracer $\mathcal{H}'$ dans le repère \Ouv. \item Montrer que $\mathcal{H}'$ est l'image de $\mathcal{H}$ par la rotation $r$. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}'$ l'image de $\mathcal{D}$ par la rotation $r$. On admet que $\mathcal{D}'$ est l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan vérifiant $\sqrt{2} \leqslant x \leqslant 4\sqrt{2}$ et $ \dfrac{8}{x} \leqslant y \leqslant5\sqrt{2} - x$. \begin{enumerate} \item Hachurer $\mathcal{D}'$. \item Calculer l'aire de $\mathcal{D}'$,exprimée en cm$^2$. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l'aire de $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France septembre 2005} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point B$(1~;~-2~;~1)$ et de vecteur normal $\vect{n}(-2~;~1~;~5)$ et le plan $\mathcal{R}$ d'équation cartésienne $x + 2y - 7 = 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont perpendiculaires. \item Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ est la droite $\Delta$ passant par le point C$(-1~;~4~;~-1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$. \item Soit le point A$(5~;~- 2~;~-1)$. Calculer la distance du point A au plan $\mathcal{P}$, puis la distance du point A au plan $\mathcal{R}$. \item Déterminer la distance du point A à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit, pour tout nombre réel $t$, le point $M_{t}$ de coordonnées $(1 + 2t~ ; ~3 - t~;~ t)$. Déterminer en fonction de $t$ la longueur A$M$. On note $\varphi(t)$ cette longueur. On définit ainsi une fonction $\varphi$ de $\R$ dans $\R$. \item Étudier le sens de variations de la fonction $\varphi$ sur $\R$ ; préciser son minimum. \item Interpréter géométriquement la valeut de ce minimum. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles-Guyane septembre 2005} \medskip \emph{Pour cet exercice, vous recopierez pour chaque question, votre réponse.\\ Chaque réponse juste rapporte $1$ point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré $0,5$ point par réponse fausse. La note finale de l'exercice ne pourra pas être inférieure à zéro.} \medskip Soit \Oijk un repère orthonormal. \begin{enumerate} \item La droite passant par A$(1~ ;~ 2~ ;~ -4)$ et B$(-3~ ;~ 4~ ;~ 1)$ et la droite représentée par $\left\{\begin{array}{l c l} x & = & - 11 - 4t\\ y & = & 8 + 2t\\ z & = & 11 + 5t\\ \end{array}\right. \quad t \in \R ~~\text{sont :}$ $\square \quad $ sécantes $\square \quad $ strictement parallèles $\square \quad $ confondues $\square \quad $non coplanaires \item Soient le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x +3y - z + 4 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ représentée par $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& t \\ y& =& t\\ z&=&8 + t\\ \end{array}\right. \quad t \in \R$ $\square \quad \mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont sécants. \quad $\square$ \quad $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sont strictement parallèles. $\square$ \quad $\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$. $\square$ \quad Aucune de ces possibilités n'est vraie. \item La distance du point A$(1~ ;~ 2~ ;~ -4)$ au plan d'équation $2x + 3y - z + 4 = 0$ est : $\square \quad \dfrac{8\sqrt{14}}{7} \quad \square \quad 16 \quad \square \quad 8\sqrt{14}\quad \square \quad \dfrac{8}{7}$ \item Soient le point B$(-3~ ;~ 4~ ;~ 1)$ et la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 16$ ; $\square$ B est à l'intérieur de $\mathcal{S} \quad \square$ B est à l'extérieur de $\mathcal{S}$ $\square$ B est sur $\mathcal{S}. \quad \square$ On ne sait pas. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Asie juin 2005} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équations paramétriques : $\left\{\begin{array}{l c l} x &= &1+2t\\ y &= &2- t\\ z &= &-3-t\\ \end{array}\right.$ et $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $x + 2y - 3z - 1 = 0$. \emph{Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l'affirmation choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à} $0$. \vspace{0,4cm} {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Numéro & & & \\ de la& Affirmation A& Affirmation B& Affirmation C\\ ligne& & & \\ \hline &Le point& Le point& Le point\\ \textbf{1.} &M de coordonnées $(-1~;~3~;~2)$& N de coordonnées $(2~;~-1~;~ -1)$& R de coordonnées $(3~;~1~;~- 4)$\\ & appartient à $\mathcal{D}$& appartient à $\mathcal{D}$& appartient à $\mathcal{D}$\\ \hline &Le vecteur& Le vecteur& Le vecteur\\ \textbf{2.}& $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~2~;~-3)$&$\vect{v}$ de coordonnées $(-2~;~1~;~1)$&$\vect{w}$ de coordonnées $(3~;~1~;~-4)$\\ &est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ & est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ & est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ \\\hline & & & \\ \textbf{3.} & $\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$& $\mathcal{D}$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$& $\mathcal{D}$ est sécante à $\mathcal{P}$\\ & & & \\ \hline & Le point& Le point & Le point\\ \textbf{4.}& G de coordonnées $(1~;~3~;~-2)$& G de coordonnées (1~;~3~;~2) &G de coordonnées $(1~3~;~- 1)$\\ &appartient à $\mathcal{P}$& appartient à $\mathcal{P}$& appartient à $\mathcal{P}$ \\\hline &Le plan Q$_{1}$ d'équation carté- & Le plan Q$_{2}$ d'équation carté- & Le plan Q$_{3}$ d'équation carté-\\ \textbf{5.}& sienne $x+2y-3z+1=0$& sienne $4x - 5y -2z + 3 = 0$& sienne $-3x + 2y - z - 1=0$\\ & est perpendiculaire à $\mathcal{P}$& est perpendiculaire à $\mathcal{P}$ & est perpendiculaire à $\mathcal{P}$\\ \hline &La distance du point T de coor-& La distance du point T de& La distance du point T de coor-\\ \textbf{6.}& données $(-1~;~-3~;~2)$ & coordonnées $(-1~;~-3~;~2)$ & données $(-1~;~-3~;~2)$ au\\ &plan $\mathcal{P}$ est : $\sqrt{14}$&au plan $\mathcal{P}$ est : 14 &plan $\mathcal{P}$ est : $2\sqrt{3}$ \\\hline \end{tabularx}} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2005} \medskip Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = $a$. On appelle A$_{1}$ le centre de gravité du triangle BCD. \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\left(\text{A}\text{A}_{1}\right)$ est orthogonale au plan (BCD). $\left(\text{On pourra par exemple calculer}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot \vect{\text{CD}}~ \text{et}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot \vect{\text{BC}}.\right)$ \item En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$. \item On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC]. \begin{enumerate} \item Montrer que G appartient au segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$ et déterminer la longueur AG. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que \[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 2 \left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\] \end{enumerate} \item Soit H le symétrique de A par rapport à G. \begin{enumerate} \item Démontrer que $4\vect{\text{GA}} + \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{BA}}$. \item Démontrer l'égalité $\text{HC}^2 - \text{HD}^2 = \vect{\text{DC}} \cdot \vect{\text{BA}}$. \item En déduire que HC = HD. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur $h$ et d'aire de base associée $b$ est} \[V = \dfrac{1}{3}bh.\] \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2005} \medskip On appelle hauteur d'un tétraèdre toute droite contenant l'un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes. \medskip \textbf{Partie A} On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD. \medskip \textbf{Partie B} Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{} on donne les points A$(3~;~ 2~;~ - 1)$, B$(-6~ ;~ 1~;~ 1)$, C$(4~; -3~;~ 3)$ et D$(- 1~ ;~ -5~;~ - 1)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (BCD) est : $- 2x - 3y+ 4z -13 = 0$. \item Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{BH}} \cdot \vect{\text{CD}}$. \item Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ? \end{enumerate} \item On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Liban juin 2005} \medskip Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{}.} Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro. \begin{enumerate} \item \og Si $a$ est un nombre réel quelconque et $f$ une fonction définie et strictement décroissante sur $[a~;~+ \infty[$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. \fg{} \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[,~ g$ ne s'annulant pas : \og Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ et si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = - 1$ \fg{}. \item \og Si $f$est une fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ telle que $ 0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{x}$ sur $[0~;~+ \infty[$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ \fg{} \item On considère un repère \Oij~ du plan. \og Si $f$ est une fonction définie sur $\R^*$ alors la droite d'équation $x = 0$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij \fg{}. \item \og La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 3x + 1\right)\text{e}^x$ est une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' - y = (2x + 3)\text{e}^x$ \fg{}. \item Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et $- 2$. \og Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,$- 2$ et $1$ alors G est le milieu du segment [CI] \fg{}. \item Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients $3,~-2$ et $1$ \og L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|3\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\| = 1$ est le cercle de centre G et de rayon 1 \fg{}. \item Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par $M$ un point quelconque du plan. \og Le produit scalaire $\vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{B}}$ est nul si et seulement si $M$ = A ou $M$ = B \fg{}. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2005} \medskip \textsl{Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.} \textbf{ \textsl Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \textsl{Une réponse exacte rapporte} 1 \textsl{point ; une réponse inexacte enlève} 0,5 \textsl{point ; l'absence de réponse est comptée} 0 \textsl{point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B$(- 6~;~ 2~;~ 1)$. Le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne $x + 2y + 2z = 5$. \begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|4\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}}\right\| = 2$ est : \textbf{a.}~ un plan de l'espace\quad \textbf{b.}~ une sphère \quad \textbf{c.}~ l'ensemble vide. \item Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ sont : \textbf{a.}~$\left(\dfrac{11}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) \quad$ \textbf{b.}~$\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{7}{3}\right) \quad$ \textbf{c.}~$\left(\dfrac{7}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{5}{3}\right). $ \item La sphère de centre B et de rayon 1 : \begin{enumerate} \item coupe le plan $\mathcal{P}$ suivant un cercle ; \item est tangente au plan $\mathcal{P}$ ; \item ne coupe pas le plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~2~;~-1)$ et la droite $\mathcal{D}'$ d'équations paramétriques $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&3 + 2t\\ y&=&3+t\\ z&=&t\\ \end{array}\right. (t~\in~\R)$. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont : \textbf{a.}~ coplanaires et parallèles \quad \textbf{b.}~ coplanaires et sécantes \quad \textbf{c.}~ non coplanaires. \item L'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants des points A et B est : \begin{enumerate} \item la droite d'équations paramétriques $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&-\dfrac{3}{2} - t\\ y&=&\dfrac{3}{2}- 7t\\ z &= &2 + t\\ \end{array}\right. (t \in \R)$. \item le plan d'équation cartésienne $9x - y + 2z + 11 =0$. \item le plan d'équation cartésienne $x + 7y - z - 7 = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2005}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2005_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry juin 2005} \bigskip L'espace E est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1 ; 0 ; 2), (1 ; 1 ; 4) et $(-1~;~1~;~1)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$. Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soient P$_{1}$ et P$_{2}$ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1= 0$ et $x - 2y + 6z = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques. \item La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ? \end{enumerate} \item Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t$. Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I. Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$. \item Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C. Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec $G$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_nov2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2004_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie novembre 2004} \medskip \begin{center} \textbf{Cet exercice est un questionnaire ˆ choix multiples (Q.C.M.)}\end{center} \textsl{Les rŽéponses ˆ cet exercice sont ˆ à inscrire sur la feuille jointe en annexe . Toute réŽponse ambigu‘ sera considéŽréŽe comme une absence de rŽéponse.} \textbf{Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs rŽéponses sont exactes. Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante.} Aucune justification n'est demandŽée. Pour chaque question, 3 rŽéponses correctes rapportent 1 point et 2 rŽéponses correctes rapportent $\dfrac{1}{2}$ point. \vspace{0,2cm} \parbox[c]{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.3cm}\begin{center}\begin{pspicture}(3,3) \psline(2,2)(0,2.35)(1,2.85)(3,2.5)(2,2)(2,0)%GFEHGC \psline(0,0.4)(2,0)(3,0.4)(3,2.5)%BCDH \psline(0,2.35)(0,0.4) \psline[linestyle=dotted,arrowscale=1.5]{->}(1,0.8)(0,0.4) \psline[linestyle=dotted,arrowscale=1.5]{->}(1,0.8)(3,0.4) \psline[linestyle=dotted,arrowscale=1.5]{->}(1,0.8)(1,2.85) \uput[d](1,0.8){A} \uput[dl](0,0.4){B} \uput[d](2,0){C} \uput[dr](3,0.4){D} \uput[u](1,2.85){E} \uput[l](0,2.35){F} \uput[u](2,2){G} \uput[ur](3,2.5){H} \end{pspicture}\end{center}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{Soit ABCDEFGH un cube de c\^o™téŽ 1. On choisit le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$} \medskip On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG]. L est le barycentre de $\{(\text{A},~1)~;~(\text{B},~3)\}$. Soit ($\pi$) le plan d'Žéquation $4x - 4y + 3z - 3 = 0$. \begin{enumerate} \item Les coordonnŽées de L sont : \textbf{a.} $\left(\dfrac{1}{4}~;~0~;~0\right)$ \qquad \textbf{b.} $\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~0\right)$ \qquad \textbf{c.} $\left(\dfrac{2}{3}~;~0~;~0\right)$ \item Le plan ($\pi$) est le plan \textbf{a.} (GLE) \qquad \textbf{b.} (LEJ) \qquad \textbf{c.} (GFA) \item Le plan parallèle au plan ($\pi$) passant par I coupe la droite (FB) en M de coordonnŽées \textbf{a.} $\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{4}\right)$ \qquad \textbf{b.} $\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{5}\right)$ \qquad \textbf{c.} $\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{3}\right)$ \item \textbf{a.} Les droites (EL) et (FB) sont séŽcantes en un point N qui est le syméŽtrique de M par rapport ˆ B. \textbf{b.} Les droites (EL) et (IM) sont parallèles. \textbf{c.} Les droites (EL) et (IM) sont sŽécantes. \item Le volume du téŽtraèdre FIJM est : \textbf{a.} $\dfrac{1}{36}$ \qquad \textbf{b.} $\dfrac{1}{48}$ \qquad \textbf{c.} $\dfrac{1}{24}$ \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2004_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles--Guyane septembre 2004} \medskip Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA$'$, ACB$'$ et ABC$'$. On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravités respectifs des triangles B CA$'$, ACB$'$ et ABC$'$. \begin{center} \begin{pspicture}(6,7) \rput(2.3,5.5){$\bullet$} \uput[u](2.3,5.5){A} \rput(1.3,3.5){$\bullet$} \uput[l](1.3,3.5){B} \rput(5.2,3.4){$\bullet$} \uput[r](5.2,3.4){C} \rput(3.2,0){$\bullet$} \uput[d](3.2,0){A$'$} \rput(5.5,7){$\bullet$} \uput[r](5.5,7){B$'$} \rput(0,5.3){$\bullet$} \uput[l](0,5.3){C$'$} \rput(3.2,2.2){$\bullet$} \uput[d](3.2,2.2){P} \rput(4.3,5.3){$\bullet$} \uput[ur](4.3,5.3){Q} \rput(1.15,4.7){$\bullet$} \uput[l](1.15,4.7){R} \pspolygon(2.3,5.5)(1.3,3.5)(5.2,3.4) \pspolygon(3.2,2.2)(4.3,5.3)(1.15,4.7) \pspolygon(2.3,5.5)(5.5,7)(5.2,3.4)(3.2,0)(1.3,3.5)(0,5.3) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,3cm} On note $a,~ b,~ c,~ a',~ b',~ c',~ p,~ q$ et $r$ les affixes respectives des points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, P, Q et R. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire, avec les affixes des points concernés, que C$'$ est l'image de A dans une rotation d'angle de mesure dont on précisera le centre. \item Montrer que $a'+ b'+ c' = a + b + c$. \end{enumerate} \item En déduire que $p + q + r= a + b+ c$. \item En déduire que les triangles ABC, A$'$B$'$C$'$ et PQR ont même centre de gravité. \item Montrer que : \[3(q - p) = (b' - c) + (c - a') + (a - b).\] On admettra que, de même : \[3(r - p) = (a - c) + (b - a') + (c' - b).\] \item Justifier les égalités suivantes : \[a - c = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(b' - c)~ ;~ b - a'= \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - a') ~;~ c' - b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b).\] \item Déduire des \textbf{questions 4.} et \textbf{5.} que le triangle PQR est équilatéral. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_mai2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_mai2004_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Nord mai 2004} \medskip Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC. Pour tout réel $m$, différent de $- \dfrac{1}{3}$, on note $G_m$ le barycentre du système de points pondérés \[S_m = \left\{(\text{A},~1),~(\text{B},~m),~(\text{C},~2m)\right\}.\] Pour tout point $M$ du plan on note $\vect{V_{M}} = 3\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - 2\vect{M\text{C}}.$ Pour chacune des six affirmations suivantes, dites si elle est vraie (V) ou fausse (F). \emph{Chaque bonne réponse donne} 0,5 \emph{point, chaque réponse fausse ou illisible enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à $0$}. Répondre aux affirmations sur la page annexe. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{2.2} \begin{tabular}{| l | c |}\hline \multicolumn{1}{| c |}{\textbf{Affirmation}}& ~\textbf{V ou F}~ \\\hline G$_{1}$ est le milieu du segment [CI].& \\\hline G$_{1}$ est barycentre de $\left\{(\text{J},~ 2),~\left(\text{C},~\dfrac{2}{3}\right)\right\}$& \\\hline Pour tout point $M~, ~\vect{V_{M}} = \vect{\text{AB}} + 2\vect{\text{AC}}$.&\\ \hline Pour tout $m$, distinct de $- \dfrac{1}{3},~ \vect{\text{A}G_{m}}$ est colinéaire à $\vect{\text{AG}_{-1}}$.& \\\hline IBG$_{-\frac{1}{2}}$ est un triangle rectangle.&\\ \hline Pour tout point $P$ de (AG$_{-1}$), il existe un réel $m$ tel que $P = G_{m}$.&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2004_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Antilles--Guyane juin 2004} \medskip On considère le tétraèdre ABCD ; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD]. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{A},~1)~;~(\text{B},~1)~;~(\text{C},~-1)~;~(\text{D},~1)\}$. Exprimez $\vect{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\vect{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille annexe). \item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~1)~;~ (B,~1)~ ;~ (D,~2)\}$. Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$. \item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J. \end{enumerate} \item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~1)~;~(B,~1)~;~(C,~m-2)~;~(D,~m)\}$. \begin{enumerate} \item Précisez l'ensemble $\mathcal{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre $G_{m}$ existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathcal{E}$. \item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD). \item Démontrez que le vecteur $m\vect{\text{J}G_{m}}$ est constant. \item En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit l'ensemble $\mathcal{E}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2004_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 2004} \medskip Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on donne le point S$(1 ~;~ - 2~;~ 0)$ et le plan P d'équation $x + y - 3z + 4 = 0$. \begin{enumerate} \item Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est : \[\text{A} : \left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 + t\\ y &= &1 - 2t\\ z&=&-3\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \text{B} : \left\{\begin{array}{l c l} x&= &2 + t\\ y &= &-1 + t\\ z&= & 1 - 3t \end{array}\right.,~ t \in \R\] \[ \quad \text{C} : \left\{\begin{array}{l c l} x&= &1+t\\ y&=&-2 - 2t\\ z&=&3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \text{D} : \left\{\begin{array}{l c l} x&=&2 + t\\ y&=&-1 + t\\ z&=&-3 - 3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R.\] \item Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont : \[\text{A} : (-4~;~0~;~0) \quad \text{B} : \left(\dfrac{6}{5}~;~\dfrac{-9}{5}~;~\dfrac{3}{5} \right) \quad \text{C} : \left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{-2}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right) \quad \text{D} ; \left(\dfrac{8}{11}~;~\dfrac{-25}{11}~;~\dfrac{9}{11}\right)\] \item La distance du point S au plan P est égale à : \[\text{A} : \dfrac{\sqrt{11}}{3} \qquad \text{B} : \dfrac{3}{\sqrt{11}} \qquad \text{C} : \dfrac{9}{\sqrt{11}} \qquad \text{D} : \dfrac{9}{11}\] \item On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sphère S et du plan P est égale A : au point I$(1 ~;~-5~;~0)$ B : au cercle de centre H et de rayon $r = 3\sqrt{\dfrac{10}{11}}$ C : au cercle de centre S et de rayon $r = 2$ D : au cercle de centre H et de rayon $r = \dfrac{3\sqrt{10}}{11}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_mars2004}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie mars 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_mars2004_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie mars 2004} \medskip \parbox[l]{0.55\textwidth}{On considère Ie cube ABCDEFGH ci-contre. O$_{1}$ et O$_{2}$ sont les centres des carrés ABCD et EFGH, et I est le centre de gravité du triangle EBD. Soit $m$ un nombre réel et $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés :} \hfill \parbox[r]{0.4\textwidth}{\psset{unit=1.4cm}\begin{pspicture}(4,4) \psframe(0,0)(2,2) %ACGF \psline(0,2)(1.3,3)(3.3,3)(2,2)%FEHG \psline(3.3,3)(3.3,1)(2,0)%HDC \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.3,1)(1.3,3)(0,0)(3.3,1)(1.3,3)%BAEBDE \psline[linestyle=dashed](3.3,1)(1.3,1)(2,2)%DAG \uput[ul](1.3,1){A } \uput[dl](0,0){B } \uput[dr](2,0){ C} \uput[dr](3.3,1){D } \uput[ul](1.3,3){E } \uput[ul](0,2){F } \uput[ul](2,2){G } \uput[ur](3.3,3){H } \end{pspicture}} \bigskip \[\{(\text{E}~;~1),~(\text{B}~;~1 - m),~(\text{G}~;~2m - 1),~(\text{D}~;~1 - m)\}\]. \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du point $G_{m}$. \item Préciser la position du point G$_{1}$. \item Vérifier que G$_{0}$ = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés. \item Démontrer que $\vect{\text{A}G_{m}} = m\vect{\text{AO}_{2}}$. En déduire l'ensemble des points $G_{m}$ lorsque $m$ parcourt l'ensemble des nombres réels. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A, $G_{m}$ , E et O$_{1}$, sont coplanaires. \item Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $G_{m}$ se trouve sur la droite (EI). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_nov2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_nov2003_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie novembre 2003} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} ; on considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). \item Montrer que la droite (AB) coupe l'axe des abscisses au point E(9~;~0~;~0). \item Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC. \begin{enumerate} \item Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC. \item Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH). \item Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne \[ 20x + 9y + 12z - 180 = 0.\] \item Montrer que le système $\left\{\begin{array}{l c l} x & = & 0\\ 4y -3z &= & 0\\ 20x + 9y + 12z - 180& =& 0\\ \end{array}\right.$ a une solution unique. Que représente cette solution ? \item Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l'aire du triangle EBC. \end{enumerate} \item En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation obtenue en \textbf{2. c.} ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2003_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2003} \medskip L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $s$ un nombre réel. On donne les points A (8~;~0~;~8), B(10~;~3~;~10) ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équations paramétriques : \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& - 5+ 3s\\ y &=&1+ 2s\\ z &=& - 2s\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ définie par A et B. \item Démontrer que $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont non coplanaires. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le plan $\mathcal{P}$ est parallèle à $\mathcal{D}$ et contient $\Delta$. Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~- 2~;~1)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$. Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}$. \item Montrer que la distance d'un point quelconque $M$ de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{P}$ est indépendante de $M$. \item Donner un système d'équations paramétriques de la droite définie par l'intersection de $\mathcal{P}$ avec le plan ($x$O$y$). \end{enumerate} \item La sphère $\mathcal{S}$ est tangente à $\mathcal{P}$ au point C(10 ; 1 ; 6). Le centre $\Omega$ de $\mathcal{S}$ se trouve à la distance $d = 6$ de $\mathcal{P}$, du même côté que O. Donner l'équation cartésienne de $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2003_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Asie juin 2003} \medskip L'espace E est rapportŽé au repère orthonormal \Oijk. Les points A, B et C ont pour coordonnŽées respectives : \[\text{A}(3~;~- 2~;~2) \quad ; \quad\text{B}(6~;~1~;~5) \quad;\quad \text{C}(6~;~- 2~;~-1).\] \vspace{0,4cm} \begin{center} \begin{pspicture}(8,5) \pspolygon(1,3.8)(2.8,4.8)(7.6,1.5)(0,0)%ABDC \psline(0,0)(2.8,4.8)%BC \psline(3.9,0)(3.9,5)%axe des $z$ \psline(5.5,4.85)(1.4,0)%axe des $x$ \psline(0,3.6)(8,2.35)%axe des $y$ \psline{->}(3.9,3)(3.6,2.6) \psline{->}(3.9,3)(4.5,2.9) \psline{->}(3.9,3)(3.9,3.6) \uput[l](1,3.8){A} \uput[u](2.8,4.8){B} \uput[d](7.6,1.5){D} \uput[d](0,0){C} \uput[ul](3.9,3){O} \uput[ul](3.6,2.6){$\vect{\imath}$} \uput[dl](4.5,2.9){$\vect{\jmath}$} \uput[l](3.9,3.6){$\vect{k}$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,4cm} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. \item Soit P le plan d'Žéquation cartŽésienne $x + y + z - 3 = 0$. Montrer que P est orthogonal ˆà la droite (AB) et passe par le point A. \item Soit P$'$ le plan orthogonal ˆ la droite (AC) et passant par le point A. DŽéterminer une Žéquation cartŽésienne de P$'$. \item DéŽterminer une reprŽésentation paraméŽtrique de la droite $\Delta$, droite d'intersection des plans P et P$'$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit D le point de coordonnŽées $(0~;~4~;~- 1)$. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC). \item Calculer le volume du téŽtraèdre ABDC. \item Montrer que l'angle gŽéoméŽtrique BDC a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radian. \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle BDC. \item En dŽéduire la distance du point A au plan (BDC). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2003_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 2003} \bigskip \parbox[l]{0.4\textwidth}{Soient $a$ un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : $\bullet$ OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, $\bullet$ OA = OB = OC = $a$. On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par $\vect{\text{HO}} = \vect{\text{OD}}$.} \hfill \parbox[r]{0.55\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(-1,0)(8.5,10) \psline[linestyle=dotted](1.2,0.9)(2,4)(1.5,9.7) \psline[linestyle=dotted](8.5,4)(2,4) \psline[linestyle=dotted](3.7,4.9)(0.2,3.1) \psline(1.5,9.7)(0.2,3.1)(1.2,0.9)(8.5,4)(1.5,9.7)(4.85,2.45) \uput[d](1.2,0.9){A} \uput[d](4.85,2.45){I} \uput[dr](8.5,4){B} \uput[ul](1.5,9.7){C} \uput[ul](2,4){O} \uput[l](0.2,3.1){D} \uput[r](3.7,4.9){H} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle ABC ? \item Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC. \item Calcul de OH \begin{enumerate} \item Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC. \item Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = $a\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. \end{enumerate} \item Étude du tétraèdre ABCD. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{O}~ ;~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OA}},~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OB}},~ \dfrac{1}{a}\vect{\text{OC}}\right)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point H a pour coordonnées : $\left(\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3}\right)$. \item Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur). \item Soit $\Omega$ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que $\Omega$ est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2003_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large La Réunion juin 2003} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1. Le nombre $a$ désigne un réel strictement positif. On considère le point $M$ de la demi-droite [AE) défini par $\vect{\text{A}M}=\dfrac{1}{a}\;\vect{\text{AE}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le volume du tétraèdre ABD$M$ en fonction de $a$. \item Soit $K$ le barycentre du système de points pondérés : \[\left\{\left(M\,;\,a^2\right),~(\text{B}\,;\,1),~(\text{D}\,;\,1)\right\}.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $\vect{\text{B}K}$ en fonction de $\vect{\text{B}M}$ et de $\vect{\text{BD}}$. \item Calculer $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{AD}}$ puis en déduire l'égalité $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$. \item Démontrer l'égalité $\vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$. \item Démontrer que $K$ est l'orthocentre du triangle BD$M$. \end{enumerate} \item Démontrer les égalités $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$ et $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$. Qu'en déduit-on pour la droite (A$K$) ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle BD$M$ est isocèle et que son aire est égale à $\dfrac{\sqrt{a^2 +2}}{2a}$ unité d'aire. \item Déterminer le réel $a$ tel que l'aire du triangle B$M$ soit égale à 1 unité d'aire. Déterminer la distance A$K$ dans ce cas. \end{enumerate} \end{enumerate} \vskip 1cm \begin{center} \begin{pspicture}(6,6) \psset{unit=2cm} \psframe(0,0)(2,2) %ABFE \psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH \psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG \psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD \psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH \psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC \psline[linestyle=dashed](2,0)(0.75,0.75)%BD \psline[linestyle=dashed](0,1.5)(0.75,0.75)%MD \psline(0,1.5)(2,0)%MB \uput[dr](0.4,0.85){D} \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](2,0){B} \uput[dr](2.75,0.75){C} \uput[dr](0.5,3){H} \uput[ul](0,2){E} \uput[ul](2,2){F} \uput[dr](2.5,3){G} \uput[dl](0,1.65){$M$} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2003}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2003_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie juin 2003} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A, B, C et D de coordonnŽées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B($2\sqrt{2}~;~0~;~- 1$), C($- \sqrt{2}~;~- \sqrt{6}~;~-1$),~D($- \sqrt{2}~;~\sqrt{6}~;~-1$). \begin{enumerate} \item DŽémontrer que ABCD est un téŽtraèdre rŽégulier, c'est-ˆà-dire un tŽétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur. \item On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; dŽémontrer que RSTU est un paralléŽlogramme de centre O. \item Ce parallŽélogramme a-t-il des propriŽétéŽs supplŽémentaires ? Expliquer. \begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5) \psline(0,1)(2.6,5.4)(4.6,1.3)(2,0.3)(0,1) \psline(2.6,5.4)(2,0.3) \psline{->}(2.9,2.4)(2.5,1.8) \psline{->}(2.9,2.4)(3.5,2.4) \psline{->}(2.9,2.4)(2.9,2.9) \psline[linestyle=dashed](0,1)(4.6,1.3) \uput[l](0,1){C} \uput[ur](2.6,5.4){A} \uput[r](4.6,0.3){D} \uput[d](2,0.3){B} \uput[u](2.7,2.3){$\vect{\imath}$} \uput[d](3.2,2.4){$\vect{\jmath}$} \uput[r](2.8,2.65){$\vect{k}$} \end{pspicture}\end{center} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On dispose de trois tŽétraèdres identiques au prŽécŽédent, parfaitement ŽéquilibrŽés. Chacun d'eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tŽétraèdres simultanŽément (on remarquera que, lorsqu'on lance un tel tŽétraèdre, une seule face est cachŽée et trois faces sont visibles). \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitŽé pour qu'au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tŽétraèdres. \item Calculer la probabilitéŽ pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun téŽtraèdre. \item Calculer la probabilitŽé de l'Žévènement E \og les six faces rouges sont visibles \fg{}. \item On rŽépète $n$ fois l'expŽérience qui consiste ˆà lancer les trois tŽétraèdres. Calculer la probabilitŽé $p_{n}$ pour que l'ŽévŽènement E soit rŽéalisŽé au moins une fois. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2002}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2002_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 2002} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv {} [unité graphique : $2$~cm]. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$. On pose $a=\sqrt{3}+\text{i}$ et $b=\sqrt{3}-\text{i}$. Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle et placer les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. \item \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer l'affixe $a'$ du point $A'$ image du point A par $r$. Écrire $a'$ sous forme algébrique et placer $A'$ sur la figure précédente. \item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-\dfrac{3}{2}$. Calculer l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point B par $h$. Placer $B'$ sur la figure précédente. \end{enumerate} \item Soit $C$ le centre du cercle circonscrit au triangle O$A'B'$ et $R$ le rayon de ce cercle. On désigne par $c$ l'affixe du point $C$. \begin{enumerate} \item Justifier les égalités suivantes : \begin{center} \begin{tabular}{ccc} $c\overline{c}=R^2$ & $(c - 2\text{i})\left(\overline{c}+2\text{i}\right)=R^2$ & $\left(c+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\text{i}\right)\left(\overline{c}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\text{i}\right) = R^2.$\\ \end{tabular} \end{center} \item En déduire que $c-\overline{c}=2\text{i}$ puis, que $c + \overline{c}=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. \item En déduire l'affixe du point $C$ et la valeur de $R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_dec2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie décembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec2001_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie décembre 2001} \medskip \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} L'espace E est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : \[ (- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 2~;~4). \] On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et $\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : \[ 8x + 9y + 5z - 12 = 0. \] \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. \item Montrer que : \[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}. \] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD]. \[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} \qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}} \] Soit G le barycentre de {(A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1)}. \begin{enumerate} \item Déterminer les barycentres de {(A, 3), (D, 1)} et le barycentre de {(B, 3), (C, 1)}. \item En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2001_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2001} \medskip L'espace E est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les trois points A (2 ; 0 ; 0), B (1 ; 1 ; 0) et C (3 ; 2 ; 6). (D) est la droite passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$(0 ; 1 ; 1) et ($\Delta$) la droite passant par C et de vecteur directeur $\vect{v}(1~;~- 2~;~2)$. \begin{enumerate} \item Écrire une représentation paramétrique de chacune des droites (D) et ($\Delta$) puis montrer que (D) et ($\Delta$) sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{w} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$ (question hors programme en 2002), puis écrire une équation cartésienne du plan (ABC). \item Soit H le projeté orthogonal du point F(2 ; 4 ; 4) sur le plan (ABC). \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi il existe un réel $k$ non nul tel que $\vect{\text{FH}} = k\vect{w}$. \item Déterminer la valeur de $k$ et en déduire les coordonnées de H. \item Calculer le volume du tétraèdre FABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2001}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2001_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 2001} \medskip Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit $k$ un réel de l'intervalle $[- 1~;~1]$. On note $G_k$ le barycentre du système \{(A, $k^2+ 1$), (B,~ $k$), (C,~$ - k$)\}. \begin{enumerate} \item Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G$_1$ et G$_{-1}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $k$ de l'intervalle [- 1 ; 1], on a l'égalité : \[\vect{\text{A}G_k} = - \dfrac{k}{k^2 + 1}\vect{\text{BC}}.\] \item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $[- 1~;~1]$ par \[f(x) = - \dfrac{x}{x^ 2 + 1}.\] \item En déduire l'ensemble des points $G_{k}$ quand $k$ décrit l'intervalle $[- 1~;~1]$. Pour la suite de l'exercice, aucune figure n'est demandée sur la copie. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble E des points $M$ de l'espace tels que : $$\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\| = \|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\|.$$ \item Déterminer l'ensemble F des points $M$ de l'espace tels que : $$\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\| = \|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\|.$$ \item L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0~;~0~;~2), $(- 1~;~2~;~ 1)$ et $(- 1~;~2~;~5)$. Le point $G_{k}$ et les ensembles (E) et (F) sont définis comme ci-dessus. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G$_1$ et G$_{-1}$. Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants. \item Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ intersection de (E) et (F). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_dec2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie décembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec2000_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie décembre 2000} \medskip Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk , on considère les points : A(4 , 0, 0), B(2, 4, 0), C(0, 6, 0), S(0, 0, 4), E(6, 0, 0) et F(0, 8, 0) \begin{enumerate} \item Réaliser une figure comportant les points définis dans l'exercice que l'on complètera au fur et à mesure. \item Montrer que E est le point d'intersection des droites (BC) et (OA). \item On admettra que F est le point d'intersection des droites (AB) et (OC). \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du produit vectoriel $\vect{\text{SE}} \wedge \vect{\text{EF}}$. En déduire l'équation cartésienne du plan (SEF). \item Calculer les coordonnées du point A$'$ barycentre des points pondérés (A, 1) et (S,3). \item On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A$'$. Vérifier qu'une équation cartésienne de P est $4x + 3y + 6z -22 = 0$. \end{enumerate} \item Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide SOABC respectivement aux points O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de O$'$. \item Vérifier que C$'$ apour coordonnées $\left(0,~ 2,~ \dfrac{8}{3}\right)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en déduire les coordonnées du point B$'$. \end{enumerate} \item Vérifier que O$'$A$'$B$'$C$'$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2000_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France septembre 2000} \medskip \textbf{Enseignement obligatoire} (hors-programme en 2002) \medskip \parbox[c]{0.35\textwidth}{Les questions \textbf{1)} et \textbf{2)} sont indépendantes. L'espace est muni d'un repère orthonormal direct. ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. Son arête $a$ pour longueur 1, le centre de la face ABCD est le point I. Aucune figure n'est demandée sur la copie.}\hfill \noindent\parbox[c]{0.55\textwidth}{ \begin{pspicture}(7,6) \psline(0,0)(4.2,0)(5.8,1.3)(5.8,5.5)(4.2,4.2)(4.2,0) \psline(5.8,5.5)(1.6,5.5)(0,4.2)(0,0) \psline(0,4.2)(4.2,4.2) \psline[linestyle=dashed](1.6,5.5)(1.6,1.3)(5.8,1.3)(0,0)(1.6,1.3) \psline[linestyle=dashed](1.6,1.3)(4.2,0) \uput[l](0,0){A} \uput[r](4.2,0){B} \uput[r](5.8,1.3){C} \uput[ul](1.6,1.3){D} \uput[l](0,4.2){E} \uput[r](4.2,4.2){F} \uput[ur](5.8,5.5){G} \uput[ul](1.6,5.5){H} \uput[u](2.9,0.8){I} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BA}}$. \item En déduire l'ensemble ($\mathcal{E}$) des points $M$ de l'espace tels que : \[\left(\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BC}}\right) \wedge \vect{\text{B}M} = \vect{0}.\] \item Déterminer l'ensemble ($\mathcal{F}$) des points $M$ de l'espace tels que : \[\left(\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BC}}\right) \cdot \vect{\text{B}M} = 0.\] \end{enumerate} \item On appelle P le barycentre du système $\{(\text{A}, 2)~;~(\text{C}, - 1)\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A. \item Soit ($\mathcal{G}$) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : \[\| 2 \vect{M\text{A}} - \vect{M\text{C}}\| = \|-~\vect{M\text{A}} + 2 \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\|.\] Déterminer l'ensemble ($\mathcal{G}$). Montrer que le point A appartient à l'ensemble ($\mathcal{G}$). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2000_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 2000} \medskip On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer plus simplement le vecteur $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}}$. \item En déduire que le produit scalaire $\vect{\text{AG}} . \vect{\text{BD}}$ est nul. \item Démontrer de même que le produit scalaire $\vect{\text{AG}} \cdot \vect{\text{BE}}$ est nul. \item Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE). \end{enumerate} \item Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire de \textbf{1) a.} que le point I est le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG]. \item Dans cette question, l'espace est orienté par le repère orthonormal direct (A ;~$\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}$). \begin{enumerate} \item Écrire une équation du plan (BDE). \item Écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point H et orthogonale au plan (BDE). \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite $\Delta$ avec le plan (BDE). \item En déduire la distance du point H au plan (BDE). \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \begin{pspicture}(7,6) \psframe(0,0)(4.3,4.3) \psline(4.3,0)(5.9,1.3)(5.9,5.6)(1.6,5.6)(0,4.3)(4.3,4.3)(5.9,5.6) \psline[linestyle=dotted](0,0)(5.9,1.3)(1.6,5.6)(0,0)(1.6,1.3)(5.9,1.3) (1.6,5.6)(1.6,1.3)(5.9,1.3) \psline[linestyle=dotted](1.6,1.3)(4.3,4.3) \uput[ul](1.6,1.3){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4.3,0){C} \uput[dr](5.9,1.3){D} \uput[u](1.6,5.6){E} \uput[ul](0,4.3){F} \uput[dr](4.3,4.3){G} \uput[ur](5.9,5.6){H} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2000_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Nord juin 2000} \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(7,7) \psline(0,0)(5,0) %OA \psline(0,0)(0,5) % OD \psline(5,0)(5,5) % AE \psline(1.4,1.7)(1.4,6.7) % CG \psline(6.4,1.8)(6.4,6.8) % BF \psline(1.4,1.7)(6.4,1.7) % CB \psline(1.4,6.7)(6.4,6.7) % GF \psline(0,5)(5,5) %DE \psline(0,0)(1.4,1.7) % OC \psline(0,5)(1.4,6.7) % DG \psline(5,5)(6.4,6.8) % EF \psline(5,0)(6.4,1.8) % AB \rput(0,-0.3){O} \rput(5,-0.3){A} \rput(6.6,1.8){B} \rput(1.6,1.9){C} \rput(-0.3,5){D} \rput(4.8,5.2){E} \rput(6.4,7){F} \rput(1.4,7){G} \end{pspicture} \end{center} \medskip Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus. L'espace est orienté par le repère orthonormai direct $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OC}},~ \vect{\text{OD}}\right)$. On désigne par $a$ un réel strictement positif. L,~ M et K sont les points définis par $\vect{\text{O}L} = a \vect{\text{OC}},~\vect{\text{O}M} = a \vect{\text{OA}}$, et $\vect{\text{B}K} = a \vect{\text{BF}}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{D}M} \wedge \vect{\text{D}L}$. \item En déduire l'aire du triangle D$LM$. \item Démontrer que la droite (O$K$) est orthogonale au plan (D$LM$). \end{enumerate} \item On note $H$ le projeté orthogonal de O (et de $K$) sur le plan (D$LM$). \begin{enumerate} \item Démontrer que $\vect{\text{O}M} \cdot \vect{\text{O}K} = \vect{\text{O}H} \cdot \vect{\text{O}K}$. \item Les vecteurs $\vect{\text{O}H}$ et $\vect{\text{O}K}$ étant colinéaires, on note $\lambda$ le réel tel que $\vect{\text{O}H} = \lambda\vect{\text{OK}}$. Démontrer que $\lambda = \dfrac{a}{a^2 + 2}$. En déduire que $H$ appartient au segment [O$K$]. \item Déterminer les coordonnées de $H$. \item Exprimer $\vect{HK}$ en fonction de $\vect {\text{O}K}$. En déduire que $HK = \dfrac{a^2 - a + 2}{\sqrt{a^2 + 2}}$. \end{enumerate} \item À l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DL$MK$ en fonction de $a$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Etranger_juin2000}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Etranger_juin2000_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Centres étrangers juin 2000} \medskip Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que AB = BC = CD = DA = 5 et $(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}) = \dfrac{\pi}{3}$. On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] , [DA] et [BD]. On note $(\Delta)$ la médiatrice de [AB] et $(\Delta')$ la médiatrice de [CD]. \begin{enumerate} \item Soit $f$ l'isométrie du plan définie par $f(\text{A}) = \text{B} ,~ f (\text{B}) = \text{O} ,~ f(\text{D}) = \text{C}.$ \begin{enumerate} \item Prouver que $f$ est un antidéplacement. \item Démontrer que s'il existe un point $M$ invariant par $f$, alors $M$ est équidistant des points A,~ B,~ C, D. \item L'isométrie $f$ admet-elle un point invariant ? \end{enumerate} \item Soit $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$ et $r$ la rotation de centre B et d'angle $-~\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f = r \circ \sigma$. \item A-t-on $f = \sigma \circ r$ ? \end{enumerate} \item Soit $s_1$, la symétrie orthogonale d'axe (BC). \begin{enumerate} \item Déterminer l'axe de la symétrie orthogonale $s_2$, telle que $r = s_2 \circ s_1$. \item En déduire que $f$ peut s'écrire sous la forme $f = s_1 \circ t_1$, , où $t_1$ est une translation que l'on précisera. \end{enumerate} \item Soit $t_2$ la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{AD}}$ ; on note $t_2^{-~1}$ sa réciproque et on pose $g = t_2^{-~1} \circ f$. \begin{enumerate} \item Déterminer $g(\text{D}),~ g(\text{I}),~ g(\text{O})$. En déduire la nature précise de la transformation $g$. \item Démontrer que $f = t_2 \circ g$. A-t-on $f = g \circ t_2$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledonie_dec1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie décembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NlleCaledonie_dec1999_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Nouvelle--Calédonie décembre 1999} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, on considère les points A$(3~;~0~;~1)$, B$(0~;~- 1~;~2)$ et C$(1~;~- 1~;~0)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \item Soit D le point de coordonnées (1, 1, - 2). Calculer le produit scalaire du vecteur $\vect{\text{DA}}$ et du vecteur $\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par D et dont un vecteur directeur est $\vect{n}$. \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection H de cette droite avec le plan ABC. \item Calculer DH (distance du point D au plan ABC). \end{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point D$'$, symétrique du point D par rapport au plan ABC. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin1999_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France juin 1999} \medskip Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 4~cm comme unité sur les deux axes. On considère l'application $F$ du plan dans lui-même qui, à tout point $m$ d'affixe $z$ associe le point $M$ d'affixe $\dfrac{1}{2}z^2 - z$. L'objet de cet exercice est de tracer la courbe ($\Gamma$) décrite par $M$ lorsque $m$ décrit le cercle ($\mathcal{C}$) de centre O et de rayon 1. Soit $t$ un réel de [- $\pi~ ;~ \pi$] et $m$ le point de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}t}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de coordonnées : \[ \left\{ \begin{array}{l c l} x(t)& =&\dfrac{1}{2}\cos 2t - \cos t \\ y(t) & =& \dfrac{1}{2}\sin 2t - \sin t \\ \end{array}\right. ,~t \in [-~\pi~;~\pi].\] Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe ($\Gamma$). \item Comparer $x (- t)$ et $x(t)$ d'une part, $y(- t)$ et $y(t)$ d'autre part. En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera. \item Montrer que $x'(t) = \sin t(1 - 2 \cos t)$. Étudier les variations de $x$ sur [0 ;~ $\pi$]. \item Montrer que $y'(t) = (\cos t - 1) (1 + 2 \cos t)$. Étudier les variations de $y$ sur [0 ;~ $\pi$]. \item Dans un même tableau faire figurer les variations de $x$ et $y$ sur [0 ;~ $\pi$]. \item Placer les points de ($\Gamma$) correspondant aux valeurs 0,~$\dfrac{\pi}{3} ,~ \dfrac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du paramètre $t$ et tracer les tangentes en ces points (on admettra que pour $t$ = 0 la tangente à ($\Gamma$) est horizontale). Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue lorsque $t$ décrit [0 ; ~$\pi$] puis tracer ($\Gamma$) complètement. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin1999_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Liban juin 1999} \medskip Sur une droite (D) muni d'un repère \Oij, A$_{0}$ et B$_{0}$ sont les points d'abscisses respectives $- 4$ et $3$. Pour tout entier naturel $n$, on note \[A_{n+1}\quad \text{le barycentre de}\quad \{(A_{n}~;~ 1),~(B_{n}~;~4)\}\] \[B_{n+1}\quad \text{le barycentre de}\quad \{(A_{n}~ ;~ 3),~ (B_{n}~;~ 2)\}\] \begin{enumerate} \item Placer les points A$_{0}$, B$_{0}$,A$_{1}$, B$_{1}$. \item Les points $A_{n}$ et $B_{n}$ ont pour abscisses $a_{n}$ et $b_{n}$ respectivement. Ainsi, $a_{0} = - 4$ et $b_{0} = 3$. Démontrer que, pour tout $n$ de $\N,~ a_{n+1} = \dfrac{1}{5}(a_{n} + 4b_{n})$ et $b_{n+1} = \dfrac{1}{5}(3a_{n} + 2b_{n})$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n : 3a_{n} + 4b_{n} = 0.$ \item En déduire que : $a_{n+1} = - \dfrac{2}{5}a_{n}$ et $b_{n+1} = - \dfrac{2}{5} b_{n}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ à l'aide de $n$. \item Déterminer les limites de $a_{n}$ et $b_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \item Interpréter ce résultat à l'aide des points $A_{n}$ et $B_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_juin1999}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry juin 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin1999_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Pondichéry juin 1999} \medskip On considère un triangle ABC du plan. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer et construire le point G, barycentre de \[[(\text{A} ~;~ 1)~ ;~ (\text{B}~ ;~ -~ 1)~;~ (\text{C}~ ;~ 1)].\] \item Déterminer et construire le point G$'$, barycentre de \[[(\text{A}~;~ 1)~ ;~ (\text{B}~ ;~ 5)~ ;~ (\text{C}~ ;~ -~ 2)].\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit J le milieu de [AB]. Exprimer $\vect{\text{GG}'}$ et $\vect{\text{JG}'}$ en fonction de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et en déduire l'intersection des droites (CG$'$) et (AB). \item Montrer que le barycentre I de [(B~ ;~ 2)~ ;~ (C~ ;~ -~ 1)] appartient ? (GG$'$). \item Soit D un point quelconque du plan. Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [GA]. \end{enumerate} \item Déterminer trois réels $a,~ d$ et $c$ tels que K soit barycentre de \[[(\text{A}~;~a)~;~(\text{D}~;~d)~;~(\text{C}~;~c)].\] \item Soit X le point d'intersection de (DK) et (AC). Déterminer les réels $a'$ et $c'$ tels que X soit barycentre de \[[(\text{A}~;~a')~;~(\text{C}~;~c')].\] \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov1998}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 1998}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueSud_nov1998_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Amérique du Sud novembre 1998} \medskip Dans le plan (P), on considère le triangle ABC isocèle en A, de hauteur [AH] tel que AH = BC = 4. On prendra le centimètre pour unité. \begin{enumerate} \item En justifiant la construction, placer le point G, barycentre du système de points pondérés \{(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 1)\}. \item On désigne le point $M$ un point quelconque de (P). \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vec{V} = 2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}$ est un vecteur dont la norme est 8. \item Déterminer et construire l'ensemble E$_{1}$ des points $M$ du plan tels que \[\left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vec{V}\right\|\] \end{enumerate} \item On considère le système de points pondérés \{(A ; 2) ; (B ; $n$) ; (C ; $n$)\} où $n$ est un entier naturel fixé. \begin{enumerate} \item Montrer que le barycentre G$_{n}$ de ce système de points pondérés existe. Placer G$_{0}$,~G$_{1}$,~G$_{2}$. \item Montrer que le point G$_{n}$ appartient au segment [AH]. \item Calculer la distance AG$_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de AG$_{n}$ quand $n$ tend vers +~$\infty$. Préciser la position limite de G$_{n}$ quand $n$ tend vers +~$\infty$. \item Soit E$_{n}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que \[\left\|2\vect{M\text{A}} + n \vect{M\text{B}} + n\vect{M\text{C}}\right\| = n\left\|\vect{V}\right\|.\] Montrer que E$_{n}$ est un cercle qui passe par le point A. En préciser le centre et le rayon, noté R$_{n}$. \item Construire E$_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept1998}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 1998}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept1998_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large France septembre 1998} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le produit vectoriel $\vect{\strut AB}\wedge \vect{\strut AC}$. \item Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points A,\ B et C. \end{enumerate} \item Soit (Q) le plan d'équation : \[x+y-3z+2=0\] et (Q$'$) le plan de repère \Oijk. \begin{enumerate} \item Pourquoi (Q) et (Q$'$) sont-ils sécants~? \item Donner un point E et un vecteur directeur$\vect{\strut u}$ de la droite d'intersection $(\Delta)$ des plans (Q) et (Q$'$). \end{enumerate} \item Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2. \item On considère les points J et K de coordonnées respectives : \[ \text{J}\left( \begin{array}{c}% -~2\\ 0 \\0\\ \end{array} \right) \qquad\quad \text{K}\left( \begin{array}{c}% 1\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right) \] Déterminer avec soin l'intersection de la sphère (S) et de la droite (JK). \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept1998}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 1998}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept1998_retour}{Retour au tableau} %\item \textbf{\Large Polynésie septembre 1998} \medskip Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk, nous consi\-déŽrons les points A de coordonnŽées (0~;~6~;~0), B de coordonnéŽes (0~;~0~;~8), C de coordonnéŽes (4~;~0~;~8). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item RŽéaliser la figure comportant les points dŽéfinis dans l'exercice (unitŽé graphique : 1~cm). \item DéŽmontrer que : $\bullet~$ les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ; $\bullet~$ les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ; $\bullet~$ la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB). \item DŽéterminer le volume, en cm$^3$, du tŽétraèdre OABC. \item DŽémontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphère dont vous dŽéterminerez le centre et le rayon. \end{enumerate} \item À tout rŽéel $k$ de l'intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associŽé le point $M(0~;~0~;~k)$. Le plan ($\pi$) qui contient $M$ et est orthogonal àˆ la droite (OB) rencontre les droites (OC), (AC), (AB) respectivement en $N,~P,~Q$. \begin{enumerate} \item DéŽterminer la nature du quadrilatère ($MNPQ$). \item La droite ($PM$) est-elle orthogonale àˆ la droite (OB) ? Pour quelle valeur de $k$, la droite ($MP$) est-elle orthogonale àˆ la droite (AC) ? \item DŽéterminer $MP^2$ en fonction de $k$. Pour quelle valeur de $k$, la distance $PM$ est-elle minimale ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{4cm} \aldineleft~ Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus.~ \aldineright http://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/ \end{document}