\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{enumerate} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} %\usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{25cm} \usepackage[body={18cm,25.7cm},top=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\Large\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} \renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} %Macro Tableau par Rémi Deniaud \newcommand{\tableau}[6]{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \addtocounter{Denis}{1}\theDenis & \hypertarget{#6}{}\hyperlink{#1}{#2} & #3 & #4 & #5 \\ \hline \end{tabularx}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Exercices de spécialité}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \vspace{-0.8cm} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat S Spécialité~\decofourright }} \textbf{Index des exercices de spécialité de septembre 1999 à juin 2012} \vspace{0,5cm}Tapuscrit : \textsc{Denis Vergès}\end{center} \newcounter{Denis}[Denis] \setcounter{Denis}{0} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \No & Lieu et date&Arithmé\-tique& Espace Surfa\-ces &Transfor\-mations \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Polynesie_juin2012}{Polynésie juin 2012}{$\times$}{}{}{Polynesie_juin2012_retour} \tableau{Metropole_juin2012}{Métropole juin 2012}{}{}{$\times$}{Metropole_juin2012_retour} \tableau{Etrangers_juin2012}{Centres étrangers juin 2012}{$\times$}{}{$\times$}{Etrangers_juin2012_retour} \tableau{Asie_juin2012}{Asie juin 2012}{}{}{$\times$}{Asie_juin2012_retour} \tableau{Antilles_juin2012}{Antilles--Guyane 2012}{$\times$}{}{$\times$}{Antilles_juin2012_retour} \tableau{Liban_mai2012}{Liban mai 2012}{}{}{$\times$}{Liban_mai2012_retour} \tableau{AmeriqueNord_mai2012}{Amérique du Nord mai 2012}{}{}{$\times$}{AmeriqueNord_mai2012_retour} \tableau{Pondichery_avril2012}{Pondichéry avril 2012}{$\times$}{}{}{Pondichery_avril2012_retour} \tableau{AmeriqueSud_nov2011}{Amérique du Sud novembre 2011}{$\times$}{$\times$}{}{AmeriqueSud_nov2011_retour} \tableau{NlleCaledo_nov2011}{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}{$\times$}{$\times$}{}{NlleCaledo_nov2011_retour} \tableau{Metropole_sept2011}{Métropole septembre 2011}{$\times$}{}{$\times$}{Metropole_sept2010_retour} \tableau{Antilles_sept2011}{Antilles-Guyane septembre 2011}{$\times$}{$\times$}{ }{Antilles_sept2011_retour} \tableau{Polynesie_juin2011}{Polynésie juin 2011}{$\times$}{}{}{Polynesie_juin2011_retour} \tableau{Metropole_juin2011}{Métropole juin 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\tableau{Neocal_nov2009}{Nouvelle Calédonie novembre 2009}{$\times$}{ }{}{Neocal_nov2009_retour} \tableau{Amsud_nov2009}{Amérique du Sud novembre 2009}{}{ }{$\times$}{Amsud_nov2009_retour} \tableau{Antilles_sept2009}{Antilles-Guyane septembre 2009}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_sept2009_retour} \tableau{Polynesie_sept2009}{Polynésie septembre 2009}{}{ }{$\times$}{Polynesie_sept2009_retour} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \No & Lieu et date&Arithmé\-tique& Espace Surfa\-ces &Transfor\-mations \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Metropole_sept2009}{Métropole septembre 2009}{$\times$}{ }{}{Metropole_sept2009_retour} \tableau{Amnord_juin2009}{Amérique du Nord juin 2009}{$\times$}{ }{}{Amnord_juin2009_retour} \tableau{Liban_juin2009}{Liban juin 2009}{$\times$}{ }{ }{Liban_juin2009_retour} \tableau{Polynesie_juin2009}{Polynésie juin 2009}{ }{ }{$\times$}{Polynesie_juin2009_retour} \tableau{Centres_juin2009}{Centres étrangers juin 2009}{$\times$}{$\times$}{ }{Centres_juin2009_retour} \tableau{Asie_juin2009}{Asie juin 2009}{$\times$}{ }{ }{Asie_juin2009_retour} \tableau{Metropole_juin2009}{Métropole juin 2009}{$\times$}{ }{ }{Metropole_juin2009_retour} \tableau{Antilles_juin2009}{Antilles - Guyane juin 2009}{$\times$}{$\times$}{}{Antilles_juin2009_retour} \tableau{Reunion_juin2009}{La Réunion juin 2009}{$\times$}{$\times$}{ }{Reunion_juin2009_retour} \tableau{Pondichery_avril2009}{Pondichéry avril 2009}{$\times$}{$\times$}{ }{Pondichery_avril2009_retour} \tableau{NeoCal_dec2008}{Nouvelle--Calédonie décembre 2008}{ }{ }{$\times$}{NeoCal_dec2008_retour} \tableau{Amnord_nov2008}{Amérique du Sud novembre 2008}{ }{$\times$}{ }{Amnord_nov2008_retour} \tableau{Metropole_sept2008}{Métropole La Réunion septembre 2008}{$\times$}{ }{$\times$}{Metropole_sept2008_retour} \tableau{Antilles_sept2008}{Antilles--Guyane septembre 2008}{$\times$}{ }{$\times$}{Antilles_sept2008_retour} \tableau{Polynesie_juin2008}{Polynésie juin 2008}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Polynesie_juin2008_retour} \tableau{Reunion_juin2008}{La Réunion juin 2008}{$\times$}{ }{$\times$}{Reunion_juin2008_retour} \tableau{France_juin2008}{Métropole juin 2008}{$\times$}{ }{$\times$}{France_juin2008_retour} \tableau{Centres_juin2008}{Centres étrangers juin 2008}{ }{ }{$\times$}{Centres_juin2008_retour} \tableau{Asie_juin2008}{Asie juin 2008}{$\times$}{ }{ }{Asie_juin2008_retour} \tableau{Antilles_juin2008}{Antilles-Guyane juin 2008}{$\times$}{ }{ }{Antilles_juin2008_retour} \tableau{Amnord_mai2008}{Amérique du Nord mai 2008}{$\times$}{$\times$}{ }{Amnord_mai2008_retour} \tableau{Liban_mai2008}{Liban mai 2008}{$\times$}{$\times$}{$\times$}{Liban_mai2008_retour} \tableau{Pondichery_avril2008}{Pondichéry avril 2008}{ }{ }{$\times$}{Pondichery_avril2008_retour} \tableau{Neocal_mars2008}{Nouvelle-Calédonie mars 2008}{$\times$}{ }{ }{Neocal_mars2008_retour} \tableau{Neocal_dec2007}{Nouvelle-Calédonie décembre 2007}{$\times$}{ }{ }{Neocal_dec2007_retour} \tableau{Amsud_nov2007}{Amérique du Sud novembre 2007}{ }{ }{$\times$}{Amsud_nov2007_retour} \tableau{France_sept2007}{Métropole-La Réunion septembre 2007}{ }{ }{$\times$}{France_sept2007_retour} \tableau{Antilles_sept2007}{Antilles-Guyane septembre 2007}{ }{ }{$\times$}{Antilles_sept2007_retour} \tableau{Polynesie_juin2007}{Polynésie juin 2007}{ }{$\times$}{ }{Polynesie_juin2007_retour} \tableau{Reunion_juin2007}{La Réunion juin 2007}{ }{ }{$\times$}{Reunion_juin2007_retour} \tableau{France_juin2007}{Métropole juin 2007}{ }{ }{$\times$}{France_juin2007_retour} \tableau{Centres_juin2007}{Centres étrangers juin 2007}{ }{ }{$\times$}{Centres_juin2007_retour} \tableau{Asie_juin2007}{Asie juin 2007}{ }{ }{$\times$}{Asie_juin2007_retour} \tableau{Antilles_juin2007}{Antilles-Guyane juin 2007}{ }{ }{$\times$}{Antilles_juin2007_retour} \tableau{Amnord_juin2007}{Amérique du Nord juin 2007}{ }{ }{$\times$}{Amnord_juin2007_retour} \tableau{Liban_juin2007}{Liban juin 2007}{}{$\times$}{$\times$}{Liban_juin2007_retour} \tableau{Pondichery_avril2007}{Pondichéry avril 2007}{ }{ }{$\times$}{Pondichery_avril2007_retour} \tableau{Neocal_mars2007}{Nlle-Calédonie mars 2007}{ }{ }{$\times$}{Neocal_mars2007_retour} \tableau{Neocal_nov2006}{Nlle-Calédonie novembre 2006}{ }{ }{$\times$}{Neocal_nov2006_retour} \tableau{Amsud_nov2006}{Amérique du Sud novembre 2006}{$\times$}{ }{ }{Amsud_nov2006_retour} \tableau{France_sept2006}{Métropole septembre 2006}{$\times$}{ }{ }{France_sept2006_retour} \tableau{Polynesie_juin2006}{Polynésie juin 2006}{$\times$}{ }{ }{Polynesie_juin2006_retour} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \No & Lieu et date&Arithmé\-tique& Espace Surfa\-ces &Transfor\-mations \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Reunion_juin2006}{La Réunion juin 2006}{ }{ }{$\times$}{Reunion_juin2006_retour} \tableau{France_juin2006}{Métropole juin 2006}{$\times$}{ }{ }{France_juin2006_retour} \tableau{Centres_juin2006}{Centres étrangers juin 2006}{$\times$}{ }{ }{Centres_juin2006_retour} \tableau{Asie_juin2006}{Asie juin 2006}{$\times$}{ }{ }{Asie_juin2006_retour} \tableau{Antilles_juin2006}{Antilles-Guyane juin 2006}{ }{ }{$\times$}{Antilles_juin2006_retour} \tableau{Amnord_juin2006}{Amérique du Nord juin 2006}{ }{ }{$\times$}{Amnord_juin2006_retour} \tableau{Pondichery_avril2006}{Pondichéry avril 2006}{ }{ }{$\times$}{Pondichery_avril2006_retour} \tableau{Neocal_nov2005}{Nlle-Calédonie novembre 2005}{$\times$}{ }{$\times$}{Neocal_nov2005_retour} \tableau{Amsud_nov2005}{Amérique du Sud novembre 2005}{ }{ }{$\times$}{Amsud_nov2005_retour} \tableau{France_sept2005}{Métropole septembre 2005}{$\times$}{ }{$\times$}{France_sept2005_retour} \tableau{Amnord_juin2005}{Amérique du Nord juin 2005}{ }{ }{$\times$}{Amnord_juin2005_retour} \tableau{Antilles_juin2005}{Antilles-Guyane juin 2005}{$\times$}{ }{ }{Antilles_juin2005_retour} \tableau{Asie_juin2005}{Asie juin 2005}{ }{ }{$\times$}{Asie_juin2005_retour} \tableau{Centres_juin2005}{Centres étrangers juin 2005}{$\times$}{ }{ }{Centres_juin2005_retour} \tableau{France_juin2005}{Métropole juin 2005}{ }{ }{$\times$}{France_juin2005_retour} \tableau{Reunion_juin2005}{La Réunion juin 2005}{$\times$}{ }{ }{Reunion_juin2005_retour} \tableau{Liban_juin2005}{Liban juin 2005}{$\times$}{ }{ }{Liban_juin2005_retour} \tableau{Polynesie_juin2005}{Polynésie juin 2005}{$\times$}{ }{ }{Polynesie_juin2005_retour} \tableau{Pondichery_juin2005}{Pondichéry juin 2005}{ }{ }{$\times$}{Pondichery_juin2005_retour} \tableau{Neocal_nov2004}{Nlle-Calédonie nov. 2004}{$\times$}{ }{ }{Neocal_nov2004_retour} \tableau{Amsud_nov2004}{Amérique du Sud nov. 2004}{ }{ }{$\times$}{Amsud_nov2004_retour} \tableau{Antilles_sept2004}{Antilles septembre 2004}{$\times$}{ }{$\times$}{Antilles_sept2004_retour} \tableau{France_sept2004}{Métropole septembre 2004}{ }{ }{$\times$}{France_sept2004_retour} \tableau{Polynesie_sept2004}{Polynésie septembre 2004}{ }{ }{$\times$}{Polynesie_sept2004_retour} \tableau{Amnord_mai2004}{Amérique du Nord mai 2004}{ }{ }{$\times$}{Amnord_mai2004_retour} \tableau{Antilles_juin2004}{Antilles-Guyane juin 2004}{ }{ }{$\times$}{Antilles_juin2004_retour} \tableau{Asie_juin2004}{Asie juin 2004}{$\times$}{ }{ }{Asie_juin2004_retour} \tableau{Centres_juin2004}{Centres étrangers juin 2004}{$\times$}{ }{ }{Centres_juin2004_retour} \tableau{France_juin2004}{Métropole juin 2004}{$\times$}{ }{ }{France_juin2004_retour} \tableau{Liban_juin2004}{Liban juin 2004}{ }{ }{$\times$}{Liban_juin2004_retour} \tableau{Polynesie_juin2004}{Polynésie juin 2004}{ }{ }{$\times$}{Polynesie_juin2004_retour} \tableau{Pondichery_avril2004}{Pondichéry avril 2004}{ }{$\times$}{ }{Pondichery_avril2004_retour} \tableau{Reunion_juin2004}{La Réunion juin 2004}{$\times$}{ }{ }{Reunion_juin2004_retour} \tableau{Amsud_nov2003}{Amérique du Sud nov. 2003}{ }{ }{$\times$}{Amsud_nov2003_retour} \tableau{Neocal_nov2003}{Nouvelle Calédonie nov. 2003}{$\times$}{ }{ }{Neocal_nov2003_retour} \tableau{Antilles_sept2003}{Antilles--Guyane sept. 2003}{$\times$}{ }{ }{Antilles_sept2003_retour} \tableau{France_sept2003}{Métropole septembre 2003}{$\times$}{ }{ }{France_sept2003_retour} \tableau{Polynesie_sept2003}{Polynésie septembre 2003}{$\times$}{ }{ }{Polynesie_sept2003_retour} \tableau{Amnord_juin2003}{Amérique du Nord juin 2003}{ }{ }{$\times$}{Amnord_juin2003_retour} \tableau{Antilles_juin2003}{Antilles-Guyane juin 2003}{$\times$}{ }{ }{Antilles_juin2003_retour} \tableau{Asie_juin2003}{Asie juin 2003}{$\times$}{ }{ }{Asie_juin2003_retour} \tableau{Centres_juin2003}{Centres étrangers juin 2003}{ }{$\times$}{ }{Centres_juin2003_retour} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Lieu et date&Arithmé\-tique& Espace Surfa\-ces &Transfor\-mations \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{France_juin2003}{Métropole juin 2003}{$\times$}{$\times$}{ }{France_juin2003_retour} \tableau{Reunion_juin2003}{La Réunion juin 2003}{ }{ }{$\times$}{Reunion_juin2003_retour} \tableau{Liban_juin2003}{Liban juin 2003}{$\times$}{ }{ }{Liban_juin2003_retour} \tableau{Polynesie_juin2003}{Polynésie juin 2003}{ }{ }{$\times$}{Polynesie_juin2003_retour} \tableau{Pondichery_juin2003}{Pondichéry juin 2003}{ }{ }{$\times$}{Pondichery_juin2003_retour} \tableau{Amsud_dec2002}{Amérique du Sud déc. 2002}{$\times$}{ }{ }{Amsud_dec2002_retour} \tableau{Neocal_nov2002}{Nouvelle Calédonie nov. 2002}{$\times$}{ }{ }{Neocal_nov2002_retour} \tableau{Antilles_sept2002}{Antilles-Guyane sept. 2002}{ }{ }{$\times$}{Antilles_sept2002_retour} \tableau{France_sept2002}{Métropole septembre 2002}{ }{ }{$\times$}{France_sept2002_retour} \tableau{Amnord_juin2002}{Amérique du Nord juin 2002}{$\times$}{ }{ }{Amnord_juin2002_retour} \tableau{Antilles_juin2002}{Antilles-Guyane juin 2002}{ }{ }{$\times$}{Antilles_juin2002_retour} \tableau{Asie_juin2002}{Asie juin 2002}{$\times$}{ }{ }{Asie_juin2002_retour} \tableau{Centres_juin2002}{Centres étrangers juin 2002}{$\times$}{ }{ }{Centres_juin2002_retour} \tableau{France_juin2002}{Métropole juin 2002}{$\times$}{ }{ }{France_juin2002_retour} \tableau{Reunion_juin2002}{La Réunion juin 2002}{ }{ }{$\times$}{Reunion_juin2002_retour} \tableau{Polynesie_juin2002}{Polynésie juin 2002}{$\times$}{ }{ }{Polynesie_juin2002_retour} \tableau{Pondichery_juin2002}{Pondichéry juin 2002}{$\times$}{ }{ }{Pondichery_juin2002_retour} \tableau{Neocal_dec2001}{Nouvelle Calédonie déc. 2001}{$\times$}{ }{ }{Neocal_dec2001_retour} \tableau{Amsud_dec2001}{Amérique du Sud déc. 2001}{$\times$}{ }{ }{Amsud_dec2001_retour} \tableau{Antilles_sept2001}{Antilles-Guyane sept. 2001}{$\times$}{ }{ }{Antilles_sept2001_retour} \tableau{France_sept2001}{Métropole septembre 2001}{$\times$}{ }{ }{France_sept2001_retour} \tableau{Polynesie_sept2001}{Polynésie septembre 2001}{ }{ }{$\times$}{Polynesie_sept2001_retour} \tableau{Amnord_juin2001}{Amérique du Nord juin 2001}{$\times$}{ }{ }{Amnord_juin2001_retour} \tableau{Antilles_juin2001}{Antilles-Guyane juin 2001}{$\times$}{ }{ }{Antilles_juin2001_retour} \tableau{Asie_juin2001}{Asie juin 2001}{ }{ }{$\times$}{Asie_juin2001_retour} \tableau{Centres_juin2001}{Centres étrangers juin 2001}{$\times$}{ }{ }{Centres_juin2001_retour} \tableau{France_juin2001}{Métropole juin 2001}{ }{ }{$\times$}{France_juin2001_retour} \tableau{Liban_juin2001}{Liban juin 2001}{ }{ }{$\times$}{Liban_juin2001_retour} \tableau{Polynesie_juin2001}{Polynésie juin 2001}{$\times$}{ }{ }{Polynesie_juin2001_retour} \tableau{Pondichery_juin2001}{Pondichéry juin 2001}{$\times$}{ }{ }{Pondichery_juin2001_retour} \tableau{Neocal_dec2000}{Nouvelle-Calédonie déc. 2000}{$\times$}{ }{ }{Neocal_dec2000_retour} \tableau{Amsud_nov2000}{Amérique du Sud nov. 2000}{ }{ }{$\times$}{Amsud_nov2000_retour} \tableau{France_sept2000}{Métropole septembre 2000}{ }{ }{$\times$}{France_sept2000_retour} \tableau{Polynesie_sept2000}{Polynésie septembre 2000}{ }{ }{$\times$}{Polynesie_sept2000_retour} \tableau{Amnord_juin2000}{Amérique du Nord juin 2000}{ }{ }{$\times$}{Amnord_juin2000_retour} \tableau{Antilles_juin2000}{Antilles-Guyane juin 2000}{$\times$}{ }{$\times$}{Antilles_juin2000_retour} \tableau{Asie_juin2000}{Asie juin 2000}{$\times$}{ }{ }{Asie_juin2000_retour} \tableau{Centres_juin2000}{Centres étrangers juin 2000}{ }{ }{$\times$}{Centres_juin2000_retour} \tableau{France_juin2000}{Métropole juin 2000}{ }{ }{$\times$}{France_juin2000_retour} \tableau{Reunion_juin2000}{La Réunion juin 2000}{$\times$}{ }{ }{Reunion_juin2000_retour} \tableau{Liban_juin2000}{Liban juin 2000}{$\times$}{ }{$\times$}{Liban_juin2000_retour} \tableau{Polynesie_juin2000}{Polynésie juin 2000}{$\times$}{ }{ }{Polynesie_juin2000_retour} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \No & Lieu et date&Arithmé\-tique& Espace Surfa\-ces &Transfor\-mations \\ \hline \hline \end{tabularx} \tableau{Pondichery_juin2000}{Pondichéry juin 2000}{$\times$}{ }{ }{Pondichery_juin2000_retour} \tableau{Neocal_dec1999}{Nlle-Calédonie déc. 1999}{$\times$}{ }{ }{Neocal_dec1999_retour} \tableau{Amsud_nov1999}{Amérique du Sud nov. 1999}{$\times$}{ }{ }{Amsud_nov1999_retour} \tableau{Antilles_sept1999}{Antilles-Guyane sept. 1999}{ }{ }{$\times$}{Antilles_sept1999_retour} \tableau{France_sept1999}{Métropole sept. 1999}{ }{ }{$\times$}{France_sept1999_retour} \tableau{Sportifs_sept1999}{Sportifs haut-niveau sept. 1999}{ }{ }{$\times$}{Sportifs_sept1999_retour} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début des sujets \newpage %%%%%%%% Polynésie juin 2012 \hypertarget{Polynesie_juin2012}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2012}} \medskip \textbf{\textcolor{red}{Partie A}} \medskip On considère l'équation (E) : $25x -108y =1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(13~;~3)$ est solution de cette équation. \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie B}} \medskip Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$, alors $a^{ p-1}$ est congru à 1 modulo $p$ que l'on note $a^{ p-1}\equiv 1~[p]$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un entier naturel. Démontrer que si $x\equiv a~[7]$ et $x\equiv a~[19]$, alors $x\equiv a~[133]$. \item \begin{enumerate} \item On suppose que $a$ n'est pas un multiple de 7.\\ Démontrer que $a^6\equiv 1~[7]$ puis que $a^{108}\equiv 1~[7]$.\\ En déduire que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$. \item On suppose que a est un multiple de 7.\\ Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$. \item On admet que pour tout entier naturel $a$, $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[19]$.\\ Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[133]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie C}} \medskip On note A l'ensemble des entiers naturels $a$ tels que : $1\leqslant a\leqslant 26$. Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier $a$ de A, l'entier $r$ tel que $a^{25}\equiv r~[133]$ avec $0\leqslant r< 133$. La phase de décodage consiste à associer à $r$ , l'entier $r_1$ tel que $r^{13}\equiv r_1~[133]$ avec $0\leqslant r_1 < 133$. \begin{enumerate} \item Justifier que $r_1\equiv a~[133]$. \item Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : $128 \qquad 59$. Décoder ce message. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Polynésie juin 2012 \newpage %%%%%%%% Métropole juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2012}{} \section{\textbf{Métropole juin 2012}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = -1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 2\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = 1 + 3\text{i}.\] et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x + 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite $\mathcal{D}$. Sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite $\mathcal{D}$. \item Résoudre l'équation $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = 0$ et vérifier que la solution de cette équation est l'affixe d'un point qui n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$. \medskip Dans la suite de l'exercice, on appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $-1 + 2\text{i}$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}}$. \medskip Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \medskip \item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item Calculer les affixes des points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ des points A, B et C. \item Déterminer l'image $\mathcal{D}_{1}$ de la droite $\mathcal{D}$ par la transformation $g$ et la tracer sur la figure. \end{enumerate} \item Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait correspondre le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $h\left(\text{A}_{1}\right),\: h\left(\text{B}_{1}\right)$ et $h\left(\text{A}_{1}\right)$ et placer ces points sur la figure. \item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : \[\left|\dfrac{1}{z}- \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} \iff |z - 2| = |z|.\] \item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. \item Démontrer que tout point du cercle $\mathcal{C}$ qui est distinct de O est l'image par $h$ d'un point de la droite $\mathcal{D}_{1}$. \end{enumerate} \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} %%%%%%% fin Métropole juin 2012 \newpage %%%%%%%% Centres étrangers juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Etrangers_juin2012}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2012}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute trace de recherche sera valorisée.} \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $3x-2y=1$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.\\ \textbf{Affirmation } : les solutions de l'équation (E) sont les couples $(9+2k~;~13+3k)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs. \item Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : \[a=3n+1\text{ et } b=2n+3.\] \textbf{Affirmation } : le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 7 si et seulement si $n$ est congru à 2 modulo 7. \item Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : \[a=2n^2+7n+21\text{ et }b=2n+2.\] \textbf{Affirmation } : pour tout entier naturel $n$, le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ sont respectivement égaux à $n+2$ et $n+17$. \item Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère le point A d'affixe $3+4\mathrm{i}$.\\ On note $s$ la similitude directe $s$ de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.\\ \textbf{Affirmation } : la similitude directe réciproque $s^{-1}$ a pour écriture complexe : \[z'=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}z+\dfrac{-1+7\mathrm{i}}{2}.\] \item Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a = 1 + 2\mathrm{i}$, $b = 4 - \mathrm{i}$, $c=1-2\sqrt{3}+\mathrm{i}(3 + \sqrt{3})$ et $d =4 + \sqrt{3} + 4\mathrm{i}\sqrt{3}$.\\ \textbf{Affirmation } : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle $\dfrac{\pi}{3}$. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2012 \newpage %%%%%%%% Asie juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2012}{} \section{\textbf{Asie juin 2012}} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Partie A - Détermination d'une similitude directe} \medskip On considère les points A et B d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1~cm comme unité graphique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $f$ de centre 0 qui transforme le point A en B. \item Préciser les éléments caractéristiques de la similitude $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude d'une transformation} \medskip Le but de cette partie est d'étudier la transformation $g = s \circ f$, où $f$ désigne la similitude définie dans la partie A et $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque du plan. On désigne par $M'$ l'image du point $M$ par la transformation $g$. On note $z$ et $z'$ les affixes respectives des points $M$ et $M'$, et $\overline{z}$ celle du conjugué de $z$. \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité : $z'= 2 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\overline{z}$. \item On pose C = $g$(A) et D = $g$(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure. \item Quelle est la nature du triangle OAC ? \item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OD}}$ sont colinéaires. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la nature de la transformation $g \circ g$ et préciser ses éléments géométriques. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Asie juin 2012 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2012}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2012 }} \medskip \textbf{Les quatre questions sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple (4~;~6) est une solution de l'équation \[(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.\] \item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x~;~y) vérifiant l'équation (E). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[2^{3n} \equiv 1\quad \pmod 7.\] \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2012}}$ par 7. \end{enumerate} \item On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \dfrac{3}{2} (1 - \text{i})z + 4 - 2\text{i}.\] \item On considère l'algorithme suivant où $\text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right)$ désigne la partie entière de $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$. \medskip \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{0.75\textwidth} A et N sont des entiers naturels\\ Saisir A\\ N prend la valeur 1\\ Tant que N $\leqslant \sqrt{\text{A}}$\\ \phantom{aaaaaaaaa} Si $\dfrac{\text{A}}{\text{N}} - \text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right) = 0$ alors Afficher N et $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$\\ \phantom{aaaaaaaaa}Fin si\\ N prend la valeur N + 1\\ Fin Tant que. \end{minipage}} \end{center} \medskip Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ? Que donne cet algorithme dans le cas général? \end{enumerate} %%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2012 %%%%% \newpage %%%%%%%% Liban mai 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_mai2012}{} \section{\textbf{Liban mai 2012}} \medskip On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On note $z_n$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_0 = 0$, et telle que: \[z_{n+1}=\frac{1+\text{i}}{2}z_n+1,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\] Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$. \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points $A_1$, $A_2$ et $A_3$. Placer ces points dans le plan muni du repère $(O\,;\,\vect{u}\,;\,\vect{v})$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une similitude directe $s$, dont on définira le rapport, l'angle et le centre $\Omega$, d'affixe $\omega$. \item Démontrer que le triangle $\Omega A_nA_{n+1}$ est isocèle rectangle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a: $\Omega A_n={\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$. \item À partir de quelle valeur de $n$ les points $A_n$ sont-ils situés à  l'intérieur du disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,001$? \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la longueur $A_nA_{n+1}$ et $L_n$ la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^na_k$. $L_n$ est ainsi la longueur de la ligne polygonale $A_0A_1\cdots A_nA_{n+1}$. Déterminer la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $A_n$, $\Omega$ et $A_{n+4}$ sont alignés. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Liban mai 2012 %%%%%% \newpage %%%%%%%% Amérique du Nord mai 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord_mai2012}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2012}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soit $S$ la transformation du plan qui, à tout $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = 5\text{i} z + 6\text{i} + 4.\] \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristique de la transformation $S$. \item On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et imaginaires respectives de $z$ et $z'$. Démontrer que : \[ \begin{cases} x' & = -5y+4 \\ y' & = 5x+6 \end{cases} \] \end{enumerate} \textbf{Partie B} Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$ sont des entiers relatifs tels que $-3 \leqslant x \leqslant 5$ et $-3 \leqslant x \leqslant 5$. On note $\mathcal{E}$ l'ensemble de ces points $M$. On rappelle que les cordonnées $(x'\,;\,y')$ du point $M'$, image du point $M$ par la transformation $S$, sont $x' = -5y+4$ et $y' = 5x + 6$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(a\,;\,b)$ tels que $4a+3b = 5$. \item En déduire l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que $-3x'+4y' = 37$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de l'ensemble $\mathcal{E}$ et $M'$ son image par la transformation $S$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $x'+y' $ est un multiple de $5$. \item Démontrer que $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$. En déduire que si $x'^2-y'^2 $ est multiple de $2$ alors $x'-y'$ et $x'+y'$ le sont également. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{C}$ tels que : $x'^2 - y'^2 = 20$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%%% Pondichéry avril 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2012}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2012}} \medskip \textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissance} \medskip Soit $a, b, c, d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul. Montrer que si $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ alors $ac \equiv bd \pmod n$. \bigskip \textbf{Partie B \quad Inverse de 23 modulo 26} \medskip On considère l'équation \[(E) \::\quad 23x - 26y = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(-9~;~-8)$ est solution de l'équation $(E)$. \item Résoudre alors l'équation $(E)$. \item En déduire un entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $23a \equiv 1 \pmod {26}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C \quad Chiffrement de Hill} \medskip On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante : \medskip \fbox{ \begin{minipage}{\textwidth} \textbf{Étape 1} Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering\arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \medskip On obtient un couple d'entiers $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot. \textbf{Étape 2} $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ est transformé en $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ tel que : \[\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ y_{2} &\equiv& 7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\quad \text{avec}\: 0 \leqslant y_{1} \leqslant 25\:\: \text{et}\:\: 0 \leqslant y_{2} \leqslant 25.\] \textbf{Étape 3} $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1. \end{minipage}} \medskip Exemple : $\underbrace{\text{TE}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow} (19,4) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (13,19) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow} \underbrace{\text{NT}}_{{\text{mot codé}}}$ \medskip \begin{enumerate} \item Coder le mot ST. \item On veut maintenant déterminer la procédure de décodage: \begin{enumerate} \item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{1}\right)$, vérifie les équations du système : \[\left(S_{2}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} 23x_{1} &\equiv& 4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26}\\ 23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\] \item À l'aide de la partie B, montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$, vérifie les équations du système \[\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l} x_{1}&\equiv& 16y_{1} + y_{2} &\pmod {26}\\ x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26} \end{array}\right.\] \item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$, vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$ \item Décoder le mot \textbf{YJ}. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%% fin Pondichéry avril 2012 %%%%%% \newpage %%%%%%%% Amérique du Sud_novembre 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2011}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2011}} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \textbf{Proposition 1 :} \og Le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2011}}$ par 7 est 2 \fg. \medskip \item[$\bullet~~$] Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls. \textbf{Proposition 2 :} \og S'il existe un couple de nombres entiers relatifs $(u,~ v)$ tel que $ua + vb = 3$, alors PGCD$(a,~b) = 3$ \fg. \medskip \item[$\bullet~~$] Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $5$. \textbf{Proposition 3 :} \og L'entier $n^2 - 3n - 10$ n'est jamais un nombre premier \fg. L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \medskip \item[$\bullet~~$] On considère le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$. Soit A le point de coordonnées $(-2~;~-1~;~\gamma)$. \textbf{Proposition 4 :} \og Il existe un unique réel $\gamma$ tel que le point A appartient au cône $\Gamma$ \fg. \medskip \item[$\bullet~~$] On coupe le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$ par le plan $\mathcal{P}_{a}$ d'équation $x = a$ où $a \in \R$. \textbf{Proposition 5 :} \og Cette intersection peut être la réunion de deux droites \fg. \end{itemize} %%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2011 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Nouvelle Calédonie novembre 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_nov2011}{} \section{\textbf{Nouvelle Calédonie novembre 2011}} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère la surface $S$ d'équation : $x^2 + y^2 - z^2 = 4$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ alors le point $M'(-x~;~-y~;~-z)$ appartient aussi à $S$. Que peut-on en déduire ? \item Montrer que la surface $S$ est symétrique par rapport au plan $(x\text{O}y)$. On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans $(x\text{O}z)$ et $(y\text{O}z)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan $(x\text{O}y)$. Préciser ses éléments caractéristiques. \item Soit $k$ un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $z = k$. Préciser ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $y = 2$. \item On considère les points A$\left(2\sqrt{2}~;~0~;~2\right)$ et B$\left(0~;~2\sqrt{2}~;~- 2\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). \item La droite (AB) est-elle contenue dans la surface $S$ ? \end{enumerate} \item Identifier parmi les trois figures proposées en \textbf{annexe 2} celle qui représente la surface $S$. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse. \item Soit $H$ la section de la surface $S$ par le plan $P$ d'équation $y = 5$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $H$ si et seulement si $(x - z)(x + z) = - 21$ et $y = 5$. \item En déduire les coordonnées des points de $H$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%%% Métropole septembre 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2011}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2011}} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On note A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(6~;~1)$. Pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, on note $M'$ l'image du point $M$ par la symétrie orthogonale d'axe (AB) et $\left(x'~;~y'\right)$ ses coordonnées. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe $z'$ du point $M'$ est donnée par \[z' = a \overline{z} + b.\] \item En utilisant les points A et B, démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 1&=& a+b\\ 6 + \text{i}&=& a(6 - \text{i}) + b \end{array}\right.$ \item En déduire que, pour tout nombre complexe $z$ : \[z' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) \overline{z} + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i}).\] \item Établir que, pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, les coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ du point $M'$ sont telles que : \[x' = \dfrac{1}{13}(12x + 5y + 1)\quad \text{et} \quad y' = \dfrac{1}{13}(5x - 12y - 5).\] \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont des entiers relatifs et tels que le point $M'$ associé appartienne à l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Justifier que $M(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{E}$ si et seulement si $5(x -1) = 12y$. \item En déduire que $\mathcal{E}$ est l'ensemble des points de coordonnées $(1 + 12k~;~ 5k)$ où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que les coordonnées de $M$ sont des entiers relatifs et que l'abscisse de $M'$ est un entier relatif. \begin{enumerate} \item Démontrer que $x \equiv 5y + 1\quad [13]$. \item En déduire que $5x -12y - 5 \equiv 0\quad [13]$ et que l'ordonnée de $M'$ est un entier relatif. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer les points $M$ de la droite d'équation $x = 2$ tels que les coordonnées du point $M'$ soient des entiers relatifs. On pourra montrer que l'ordonnée $y$ d'un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13. \end{enumerate} %%%%%%%% fin Métropole septembre 2011 %%%%%%% \newpage %%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2011}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2011}} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère l'ensemble $P$ des points $M (x~;~y~;~z)$ de l'espace tels que : \[ z = x^2 + y^2.\] Les trois questions sont indépendantes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $z = 5$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $y = 1$. \end{enumerate} \item On considère la sphère $S$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$. \begin{enumerate} \item Donner une équation de la sphère $S$. \item Montrer que l'intersection de la sphère $S$ et de l'ensemble $P$ est un cercle. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de déterminer les points $M(x~;~y~;~z)$ de l'ensemble $P$, dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation $- 3x + 2 y = 1$ et vérifiant $z \leqslant 25$. \begin{enumerate} \item Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : $- 3x + 2y = 1$. \item Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont des entiers relatifs vérifiant : \[-3x+2y = 1\quad \text{et} \quad z \leqslant 25.\] \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2011 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Polynésie juin 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2011}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2011}} \medskip On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si $p$ est un nombre premier et $a$ est un entier naturel non divisible par $p$, alors $a^{p -1} \equiv 1\quad (\text{modulo} p)$. \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par : \[u_{0} = 1\, \text{et, pour tout entier naturel}\, n, u_{n+1} = 10 u_{n} + 21.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,$ $3u_{n} = 10^{n+1} - 7$. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l' écriture décimale de $u_{n}$· \end{enumerate} \item Montrer que $u_{2}$ est un nombre premier. \medskip \emph{On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ par certains nombres premiers.} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, 3u_{n} \equiv 4 - (- 1)^n \quad (\text{modulo} 11)$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est pas divisible par 11. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité : $10^{16} \equiv 1 (\text{modulo} 17)$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $k,\, u_{16k+8}$ est divisible par 17. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Polynésie juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Métropole juin 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_juin2011}{} \section{\textbf{Métropole juin 2011}} \medskip \textbf{PARTIE A - Restitution organisée de connaissances} \medskip On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au+ bv = 1$. \medskip Théorème de GAUSS : Soient $a,\, b,\, c$ des entiers relatifs. Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. \item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Déduire du théorème de GAUSS que, si $a$ est un entier relatif, tel que $a \equiv 0 \quad [p]$ et $a \equiv 0 \quad [q]$, alors $a \equiv 0 \quad [pq]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On se propose de déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} n &\equiv & 9 \quad [17]\\ n &\equiv &3 \quad [5] \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Recherche d'un élément de $\mathcal{S}$. On désigne par $(u~;~v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u + 5v = 1$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence d'un tel couple $(u~;~v)$. \item On pose $n_{0} = 3 \times 17u + 9 \times 5v$. Démontrer que $n_{0}$ appartient à $\mathcal{S}$. \item Donner un exemple d'entier $n_{0}$ appartenant à $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \item Caractérisation des éléments de $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathcal{S}$. Démontrer que $n - n_{0} \equiv 0\quad [85]$. \item En déduire qu'un entier relatif $n$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $n = 43 + 85k$ où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \item Application Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons ? \end{enumerate} %%%%%%%% fin Métropole juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%% La Réunion juin 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2011}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2011}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 8~centimètres. On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$. \item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$ \item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ? \end{enumerate} %%%%%%%% fin La Réunion juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Centres étrangers juin 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Etrangers_juin2011}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2011}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute justification complète sera valorisée.} \medskip \textbf{Question 1} On considère l'équation (E) :\quad $2x+ 11y = 7$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \emph{Affirmation} Les seuls couples solutions de (E) sont les couples $(22k - 2~;~- 4k+ 1)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs. \medskip \textbf{Question 2} On considère l'entier $N = 11^{\np{2011}}$. \emph{Affirmation} L'entier $N$ est congru à 4 modulo 7. \medskip \textbf{Question 3} On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d'affixes respectives : \[ a = 1 + \text{i}\quad ; \quad b = 3\text{i}\quad ; \quad c = \left(1 - 2\sqrt{2}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{2}\right).\] \emph{Affirmation} Le point C est l'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \medskip \textbf{Question 4} On considère, dans le plan complexe, les points A et B d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i}\quad;\quad b = 2 - \text{i}.\] Soit $f$ la similitude d'écriture complexe : $z' = \left(- \dfrac{3}{5}- \dfrac{4}{5}\text{i} \right)\overline{z} + \left(\dfrac{12}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i} \right)$. \emph{Affirmation} La transformation $f$ est la réflexion d'axe (AB). \medskip \textbf{Question 5} L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère la surface $\mathcal{S}$ dont une équation est : $z = 4x y$. \emph{Affirmation} La section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $z = 0$ est la réunion de deux droites orthogonales. %%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Asie juin 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2011}{} \section{\textbf{Asie juin 2011}} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip \begin{enumerate} \item Pré-requis: tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l'unicité de cette décomposition). \item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $629$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans un repère orthonormal \Oijk, on considère les surfaces $\Gamma$ et $C$ d'équations respectives : $\Gamma$ : $z = x y$ et $C$ : $x^2 + z^2 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la nature de la surface $C$ et déterminer ses éléments caractéristiques. \item Points d'intersection à coordonnées entières des surfaces $\Gamma$ et $C$ \begin{enumerate} \item Démontrer que les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ des points d'intersection de $\Gamma$ et de $C$ sont telles que : \[x^2 \left(1 + y^2\right) = 1.\] \item En déduire que $\Gamma$ et $C$ ont deux points d'intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. \end{enumerate} \item Points d'intersection à coordonnées entières de $\Gamma$ et d'un plan Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on désigne par $P_{n}$ le plan d'équation $z = n^4 + 4$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{1}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. \medskip Pour la suite de l'exercice, on suppose $n \geqslant 2$. \item Vérifier que : $\left(n^2 - 2n + 2\right)\left(n^2 + 2n + 2\right) = n^4 + 4$. \item Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel $n \geqslant 2,\, n^4 + 4$ n'est pas premier. \item En déduire que le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{n}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8. \item Déterminer les points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{5}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% fin Asie juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2011}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2011}} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E): $11x-7y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $11u - 7v = 1$. Trouver un tel couple. \item En déduire une solution particulière de l'équation (E). \item Résoudre l'équation (E). \item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $D$ d'équation cartésienne $11x -7y - 5 = 0$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que $0\leqslant x\leqslant 50$ et $0\leqslant y\leqslant 50$. Déterminer le nombre de points de la droite $D$ appartenant à l'ensemble $\mathcal{C}$ et dont les coordonnées sont des nombres entiers. \end{enumerate} \item On considère l'équation (F) : $11x^2-7y^2=5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Démontrer que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2$~(mod~5). \item Soient $x$ et $y$ des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants: \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.25} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Modulo 5, $x$ est congru à & 0&1&2&3&4\\ \hline Modulo 5, $x^2$ est congru à &&&&&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.25} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Modulo 5, $y$ est congru à & 0&1&2&3&4\\ \hline Modulo 5, $2y^2$ est congru à &&&&&\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ et de $2y^2$ par 5~? \item En déduire que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x$ et $y$ sont des multiples de 5. \end{enumerate} \item Démontrer que si $x$ et $y$ sont des multiples de 5, alors le couple $(x~;~y)$ n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F)~? \end{enumerate} %%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%% Liban mai 2011 %%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_mai2011}{} \section{\textbf{Liban mai 2011}} \medskip \begin{center}\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\end{center} \medskip On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct. \textbf{Prérequis :} L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'= az + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$. \medskip Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points du plan tels que A $~\neq~$ B et A$' ~\neq~$B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$. \medskip \begin{center}\textbf{Partie B}\end{center} \medskip On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que $\left(\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2} \:\text{modulo}\: 2\pi$. On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par $s$ la similitude directe transformant D en C et C en B. \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$. \item On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $s$. \begin{enumerate} \item En utilisant la relation $\vect{\text{DC}} = \vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}}$, démontrer que $\text{DC}^2 = \Omega\text{D}^2$. \item En déduire la nature du triangle $\Omega$DC. \end{enumerate} \item On pose $\sigma = s \circ s$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. \item Déterminer l'image du point D par la transformation $\sigma$. \end{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère AD$\Omega$B est un rectangle. \item Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},\,\vect{v}\right)$, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0,\, 1,\ i et 2i. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'écriture complexe de la similitude $s$ est : $z' = (1 + \text{i}) z + 2 - \text{i}$ où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un point $M$ et de son image $M'$ par $s$. \item On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$. Démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&x- y + 2\\ y'&=&x + y - 1 \end{array}\right.$ \item Soit J le point d'affixe $1 + 3\text{i}$. Existe-t-il des points $M$ du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que $\vect{\text{A}M'} \cdot \vect{\text{AJ}} = 0$, $M'$ désignant l'image du point $M$ par $s$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Liban mai 2011 %%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2011 \hypertarget{AmeriqueNord_mai2011}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2011}} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \end{center} Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$, alors $q^{p - 1} \equiv 1 \quad (\text{modulo}\, p)$ \fg. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[u_{n} = 2^n + 3^n + 6^n - 1.\] \begin{enumerate} \item Calculer les six premiers termes de la suite. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair non nul, $u_{n}$ est divisible par~4. On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ? \item Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 3. \begin{enumerate} \item Montrer que : $6 \times 2^{p-2} \equiv 3\quad (\text{modulo}\, p)$ et $6 \times 3^{p-2} \equiv 2 \quad (\text{modulo}\, p)$. \item En déduire que $6u_{p-2} \equiv 0 \quad (\text{modulo}\, p)$. \item Le nombre $p$ appartient-il à l'ensemble (E) ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2011 \newpage %%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2011 %%%%%%% \hypertarget{Pondichery_avril2011}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2011}} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}$ d'équation : \[z = (x - y)^2.\] \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{E}_{1}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{1}$. On note $\mathcal{E}_{2}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $x = 1$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}'$ d'équation : \[z = xy.\] \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{E}_{3}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{3}$ \item On note $\mathcal{E}_{4}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $z = 1$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{4}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On note $\mathcal{E}_{5}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{S}'$. Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0~;~0~;~0). On suppose qu'il existe un point $M$ appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ et dont les coordonnées $x,~y$ et $z$ sont des entiers naturels. \begin{enumerate} \item Montrer que si $x = 0$, alors le point $M$ est le point O. \item On suppose dorénavant que l'entier $x$ n'est pas nul. \begin{enumerate} \item Montrer que les entiers $x,\, y$ et $z$ vérifient $x^2 - 3xy + y^2 = 0$. En déduire qu'il existe alors des entiers naturels $x'$ et $y'$ premiers entre eux tels que $x'^2 - 3x'y' + y'^2 = 0$. \item Montrer que $x'$ divise $y'^2$, puis que $x'$ divise $y'$. \item Établir que $y'$ vérifie la relation $1 - 3y' + y'^2 = 0$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2011 %%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2010 %%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueSud_nov2010}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2010}} \medskip Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $A(n) = n^4 + 1$. \emph{L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de} $A(n)$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelques résultats \begin{enumerate} \item Étudier la parité de l'entier $A(n)$. \item Montrer que, quel que soit l'entier $n,~A(n)$ n'est pas un multiple de 3. \item Montrer que tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$. \item Montrer que, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ : \[n^8 \equiv 1\quad \mod d.\] \end{enumerate} \item Recherche de critères Soit $d$ un diviseur de $A(n)$. On note $s$ le plus petit des entiers naturels non nuls $k$ tels que $n^k \equiv 1\quad \mod d$. \begin{enumerate} \item Soit $k$ un tel entier. En utilisant la division euclidienne de $k$ par $s$, montrer que $s$ divise $k$. \item En déduire que $s$ est un diviseur de 8. \item Montrer que si, de plus, $d$ est premier, alors $s$ est un diviseur de $d -1$. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. \end{enumerate} \item Recherche des diviseurs premiers de $A(n)$ dans le cas où $n$ est un entier pair. Soit $p$ un diviseur premier de $A(n)$. En examinant successivement les cas $s = 1,~s = 2$ puis $s = 4$, conclure que $p$ est congru à 1 modulo $8$. \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de $A(12)$. \emph{Indication :} la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, \ldots \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2010 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2010 %%%%%%%%%%% \hypertarget{NlleCaledo_nov2010}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2010}} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On considère la similitude indirecte $f$ d'écriture complexe \[z' = \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\overline{z}\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$. Soient les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{\text{B}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$. On note A$'$ et B$'$ les images respectives des points A et B par $f$. \medskip \textbf{Une figure fournie en ANNEXE du sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Les différentes constructions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle. \item Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct. \item En déduire la nature du triangle OA$'$B$'$. \item Montrer que l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$ vérifie l'égalité : $z_{\text{A}'} = 2z_{\text{A}}$. En déduire la construction de A$'$ et B$'$. \end{enumerate} \item On note $r$ la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$, et $s$ la symétrie orthogonale d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. On pose $g = r \circ s$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la transformation $g$. \item Montrer que les points O et A sont invariants par $g$. \item En déduire la nature de la transformation $g$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut écrire $f = h \circ g$, où $h$ est une homothétie de centre et de rapport à déterminer. \item Sur la figure placée en \textbf{ANNEXE}, un point C est placé. Faire la construction de l'image C$'$ de C par la transformation $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie novembre 2010 \newpage %%%%%%%%%%% La Réunion septembre 2010 %%%%%%%%%%% \hypertarget{LaReunion_sept2010}{} \section{\textbf{La Réunion septembre 2010}} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 8~centimètres. On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$. \item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$ \item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin La Réunion septembre 2010 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%% Métropole septembre 2010 %%%%%%%%%% \hypertarget{Metropole_sept2010}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2010}} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives \[z_{\text{A}} = -2,~ z_{\text{B}} = -2 + \text{i},~z_{\text{C}}= \text{i},~z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},~z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\] Voir la figure donnée en annexe 3. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E. \begin{enumerate} \item Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$. \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$. \item Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ? \end{enumerate} \item On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{i}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$. \item On considère la similitude $g = s' \circ s$. Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2010 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%% Polynésie juin 2010 %%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2010}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation (E) : $7x - 6y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière de l'équation (E) \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples $(n,~m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation : $7^n - 3 \times 2^m = 1$ (F). \begin{enumerate} \item On suppose $m \leqslant 4$. Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions. \item On suppose maintenant que $m \geqslant 5$. \begin{enumerate} \item Montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n \equiv 1\quad (\text{mod}~ 32)$. \item En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $n$ est divisible par $4$. \item En déduire que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n \equiv 1\quad(\text{mod}~ 5)$. \item Pour $m \geqslant 5$, existe-t-il des couples $(n,~m)$ d'entiers naturels vérifiant la relation (F) ? \end{enumerate} \item Conclure, c'est-à-dire déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F). \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{La Réunion juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie 1 : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Prérequis :} \medskip On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe.\\ Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points A et C sont distincts et d'autre part que les points B et D sont distincts.\\ Démontrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s$(A) = B et $s$(C) = D. \medskip \textbf{Partie II :} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right)$ ; $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.\\ On considère le point C tel que ABCD est un carré.\\ Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que $\left(\vect{\text{ED}},~ \vect{\text{EF}}\right)= \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l'exercice. \item Préciser les nombres complexes $a,~ b,~ c,~ d,~ e,~ f,~ g$, affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G. \item Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que $s$(D) = F et $s$(B) = D. \end{enumerate} \item On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe $s$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de la similitude directe $s$. \item Donner l'écriture complexe de cette similitude. \item Déterminer, le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Dans tout l'exercice, \Ouv{} est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4~cm). On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$. \begin{enumerate} \item On considère la transformation $T$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point d'affixe $- \overline{z} + 2$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images respectives par la transformation $T$ du point A et du point $\Omega$ d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$. \item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $T$. \item Déterminer l'image par la transformation $T$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. \end{enumerate} \item $\mathcal{C}'$ désigne le cercle de centre O$'$ d'affixe 2 et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Construire le point A$'$ appartenant au cercle $\mathcal{C}'$ tel que : $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}'\text{A}'}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad [\text{modulo}~ 2\pi]$. \item À tout point $M$ du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ du cercle $\mathcal{C}'$ d'affixe $z'$ tel que: $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad [\text{modulo}~ 2\pi]$. Déterminer le module et un argument de $\dfrac{z' - 2}{z}$. En déduire que $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} z + 2$. \item Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r$ qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} z + 2$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip À tout point $M$ du plan, on associe le point $M_{1}$ milieu du segment $[MM']$. Quel est le lieu géométrique du point $M_{1}$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Centres_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Centres étrangers juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm, on considère les points $A,~B,~C,~M,~N$ et $P$ d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i},~ b = -1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points $A,~ B,~C,~M,~N$ et $P$ dans le repère. \item Calculer les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $NMP$. \item En déduire que ces deux triangles sont semblables. \end{enumerate} \emph{Dans la suite de l'exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP.} \item Une similitude directe Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une écriture complexe de la similitude $s$ est: \[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\] \item Déterminer le rapport, la valeur de l'angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude $s$. \item Vérifier que la similitude $s$ transforme le point $C$ en $M$. \end{enumerate} \item Une similitude indirecte Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est : \[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que : $\left\{\begin{array}{l c l} s'(A) &=& N\\ s'(B) &=& M\\ s'(C) &=& P \end{array}\right.$ \item Démontrer que $s'$ admet un unique point invariant $K$ d'affixe $k = 1 - \text{i}$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre $K$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et $J$ le point d'affixe $2$. On pose : $f = s'\circ h$. Déterminer les images des points $K$ et $J$ par la transformation $f$. En déduire la nature précise de la transformation $f$. \item Démontrer que la similitude $s'$ est la composée d'une homothétie et d'une réflexion. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Asie juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~ \vect{u},~\vect{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points B, C et H d'affixes respectives : \[b = 5\text{i},\quad c = 10\quad \text{et}\quad h = 2 + 4\text{i}.\] \emph{Construire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.} \medskip \begin{enumerate} \item Étude de la position du point H \begin{enumerate} \item Démontrer que le point H appartient à la droite (BC). \item Calculer $\dfrac{h}{h - c}$, et en déduire que $\left(\vect{\text{HC}},\vect{\text{HA}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$. \end{enumerate} \item Étude d'une première similitude \begin{enumerate} \item Calculer les rapports : $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}},~\dfrac{\text{BA}}{\text{AC}}$ et $\dfrac{\text{AH}}{\text{CH}}$. \item Démontrer qu'il existe une similitude directe $S_{1}$ qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB. \item Déterminer l'écriture complexe de cette similitude $S_{1}$ ainsi que ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Étude d'une seconde similitude\\ \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation}\\ On note $S_{2}$ la similitude qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' =(- 1 - 2\text{i})\overline{z} + 10.\] Démontrer que $S_{2}$ est composée d'une symétrie orthogonale d'axe ($\Delta$), et d'une similitude directe dont le centre $\Omega$ appartient à ($\Delta$). Préciser ($\Delta$). \item Étude d'une composée \begin{enumerate} \item Calculer le rapport de la similitude composée $S_{2} \circ S_{1}$. \item En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes: \begin{description} \item[Propriété 1:] Toute similitude indirecte qui transforme un point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ admet une expression complexe de la forme $z'=a\overline{z}+b$ où $a\in\C^*$ et $b\in\C$. \item[Propriété 2:] Soit C une point d'affixe $c$. Pour tout point D, distinct de C, d'affixe $d$ et pour tout point E, distinct de C, d'affixe $e$, on a: \[ \left(\vect{CD}~;~\vect{CE}\right)=\arg\left(\dfrac{e-c}{d-c}\right)~~(2\pi). \] \end{description} \emph{\textbf{Question:}} Montrer qu'une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé. \item Soient les points $C$ et $D$ d'affixes respectives $c = 3$ et $d = 1 - 3\text{i}$, et $\mathcal{S}_1$ la similitude qui à tout point $M$ du plan associe le point $M_1$ symétrique de $M$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ des réels. \begin{enumerate} \item Placer les points $C$ et $D$ puis leurs images respectives $C_1$ et $D_1$ par $\mathcal{S}_1$. On complètera le figure au fur et à mesure de l'exercice. \item Donner l'expression complexe de $\mathcal{S}_1$. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}_2$ la similitude directe définie par : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le point $C_1$ et son image $C' $ d'affixe $c'=1+4\i$; \item le point $D_1$ et son image $D'$ d'affixe $d'=-2+2\i$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer que l'expression complexe de $\mathcal{S}_2$ est : $z'=\i z+1+\i$. \item En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la similitude définie par $\mathcal{S}=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1$. Déterminer l'expression complexe de $\mathcal{S}$. \item On pourra admettre désormais que $\mathcal{S}$ est la similitude indirecte d'expression complexe: \[ z'=\i\overline{z}+1+\i. \] \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de $C$ par $\mathcal{S}$~? Quelle est l'image de $D$ par $\mathcal{S}$~? \item Soit $H$ le point d'affixe $h$ tel que: $h-c=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}(d-c)$. Montrer que le triangle $CDH$ est équilatéral direct. \item Soit $H'$ l'image de $H$ par $\mathcal{S}$. Préciser la nature du triangle $C'D'H'$ et construire le point $H'$ (on ne demande pas de calculer l'affixe $h'$ du point $H'$). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Amnord_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x,~y)$ solutions de l'équation \[(\text{E}) :\quad 16x - 3y = 4.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple (1~;~4) est une solution particulière de (E). \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.\\ On considère la transformation $f$ du plan, qui à tout point $M$ d' affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{8}}z.\] On définit une suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la manière suivante :\\ le point M$_{0}$ a pour affixe $z_{0} = \text{i}$ et pour tout entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. Les points M$_{0}$, M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ sont placés sur la figure donnée en annexe page 6. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$. \item On note $g$ la transformation $f \circ f \circ f \circ f$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, O$M_{n+4} =4 \text{O}M_{n}$ et que $\left(\vect{\text{O}M_{n}},~\vect{\text{O}M_{n+4}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif. \item Compléter la figure en construisant les points M$_{4}$, M$_{5}$ et M$_{6}$. \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~z_{n} = \left(\sqrt{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{3n\pi}{8} \right)}$. \item Soient deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p \leqslant n$. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $n$ et $p$ une mesure de $\left(\vect{\text{O}M_{p}},~\vect{\text{O}M_{n}}\right)$. \item Démontrer que les points O, $M_{p}$ et $M_{n}$ sont alignés si et seulement si $n - p$ est un multiple de $8$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que le point $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). On pourra utiliser la partie A. \end{enumerate} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-8,-6)(9,7) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-6)(9,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(0,1)(-1.307,0.541)(-1.439,-1.413)(1.067,-2.643) \uput[u](-1.307,0.541){$M_{1}$}\uput[l](-1.439,-1.413){$M_{2}$}\uput[r](1.067,-2.643){$M_{3}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,7){$y$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1){$M_{0}$} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-8,-6)(9,7) \end{pspicture} \newpage \hypertarget{Liban_juin2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Liban juin 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.} \medskip \emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \\ On note I le milieu du segment [AB]. \textbf{Proposition 1 :} \og La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe $z'= (1 + \text{i})z -1 - 2\text{i}$.\fg \item On appelle S l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $3x - 5y = 2$. \textbf{Proposition 2 :} \og L'ensemble S est l'ensemble des couples $(5k - 1~;~3k -1)$ où $k$ est un entier relatif. \fg \item On considère l'équation (E) : $x^2 + y^2 = 0$\quad modulo 3, où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs. \textbf{Proposition 3 :} \og Il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de $3$. \fg \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. \textbf{Proposition 4 :} \og Pour tout entier naturel $k~ (2 \leqslant k \leqslant n)$, le nombre $n! + k$ n'est pas un nombre premier. \fg \item On considère l'équation (E$'$) : $x^2 -52x + 480 = 0$, où $x$ est un entier naturel. \textbf{Proposition 5 :} \og Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l'équation (E$'$). \fg \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2010}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Pondichéry avril 2010}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2010_retour}{Retour au tableau} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on se propose d'étudier des couples $(a,~b)$ d'entiers strictement positifs, tels que : \[a^2 = b^3\] Soit $(a,~b)$ un tel couple et $d = \text{PGCD}(a,~ b)$. On note $u$ et $v$ les entiers tels que $a= du$ et $b = dv$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u^2 = dv^3$. \item En déduire que $v$ divise $u$, puis que $v = 1$. \item Soit $(a,~b)$ un couple d'entiers strictement positifs.\\ Démontrer que l'on a $a^2 = b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.}\\ Montrer que si $n$ est le carré d'un nombre entier naturel et le cube d'un autre entier, alors $n \equiv 0\quad [7]$ ou $n \equiv 1 \quad [7]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère la surface $S$ d'équation $x^2 \times y^2 = z^3$. Pour tout réel $\lambda$, on note $\mathcal{C}_{\lambda}$ la section de $S$ par le plan d'équation $z = \lambda$. \begin{enumerate} \item Les graphiques suivants donnent l'allure de $\mathcal{C}_{\lambda}$ tracée dans le plan d'équation $z = \lambda$, selon le signe de $\lambda$.\\ Attribuer à chaque graphique l'un des trois cas suivants : $\lambda < 0,~ \lambda = 0, \lambda > 0$, et justifier l'allure de chaque courbe. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.9,-1.5)(1.9,1.5) \psline(-1.8,0)(1.6,0)\psline(0,-1.2)(0,1.2) \rput(0,-1.4){graphique 1} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.9,-1.5)(1.9,1.5) \rput(0,0){(pas de courbe visible) }\rput(0,-1.4){graphique 2} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.8,-1.5)(1.8,1.5)\psplot{0.08}{1.7}{0.1 x div} \psplot{-1.7}{-0.08}{0.1 x div} \psplot{0.08}{1.7}{0.1 x div neg} \psplot{-1.7}{-0.08}{0.1 x div neg} \rput(0,-1.4){graphique 3}\rput(0.5,0.5){$\mathcal{C}_{\lambda}$} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{25}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs. \item \emph{Pour cette question, on pourra éventuellement s'aider de la question $3$ de la partie A.} Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{\np{2010}}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Neocal_nov2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Nouvelle Calédonie novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Les questions 1 et 2 sont indépendantes. \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item On considère l'équation notée $(E)$ : $3x + 7 y = 10^{2n}$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Déterminer un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tels que $3 u + 7v = 1$. En déduire une solution particulière $\left(x_{0}~;~ y_{0}\right)$ de l'équation $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~; ~y)$ solutions de $(E)$. \end{enumerate} \item On considère l'équation notée $(G)$ \[3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $100 \equiv 2~ (\text{modulo}~ 7)$.\\ Démontrer que si $(x~; ~y)$ est solution de $(G)$ alors $3x^2 \equiv 2^n~ (\text{modulo}~7)$. \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \vspace{0.1cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Reste de la division euclidienne de $x$ par 7& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline% Reste de la division euclidienne de $3x^2$ par $7$.&&&&&&& \\ \hline% \end{tabularx} \vspace{0.1cm} \item Démontrer que $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.\\ En déduire que l'équation $(G)$ n'admet pas de solution. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Amsud_nov2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2009_retour}{Retour au tableau} \medskip On considère un carré direct ABCD (c'est à dire un carré ABCD tel que :\\ $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\quad[2\pi]$) de centre I. \medskip Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. $\Gamma_1$ désigne le cercle de diamètre [AI] et $\Gamma_2$ désigne le cercle de diamètre [BK]. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate}[{\bf 1.}] \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ telle que $s(\text{A})=\text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{K}$. \item Montrer que les cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en deux points distincts~: le point J et le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$. \item \begin{enumerate}[{\bf a.}] \item Déterminer les images par $s$ des droites (AC) et (BC). En déduire l'image du point C par $s$. \item Soit E l'image par $s$ du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID]. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\ Démontrer que les points A, $\Omega$ et E sont alignés.\\ (On pourra considérer la transformation $t=s\circ s$). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{10}\vect{\text{AD}}\right)$. \medskip \begin{enumerate}[{\bf 1.}] \item Donner les affixes des points A, B, C et D. \item Démontrer que la similitude directe $s$ a pour écriture complexe \[z' = \dfrac{\text{i}}{2}z + 5 + 5\text{i}.\] \item Calculer l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de $s$. \item Calculer l'affixe $z_\text{E}$ du point E et retrouver l'alignement des points A, $\Omega$ et E. \item Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au point $\Omega$. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Antilles - Guyane septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\\ On considère la surface $S_{1}$ d'équation $z = x^2 + y^2$, et la surface $S_{2}$ d'équation $z = xy + 2x$. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x = 2$, $E_{1}$ l'intersection de la surface $S_{1}$ et du plan $\mathcal{P}$ et $E_{2}$ l'intersection de la surface $S_{2}$ et du plan $\mathcal{P}$. En \textbf{annexe}, le plan $\mathcal{P}$ est représenté muni du repère $\left(\text{A}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ où A est le point de coordonnées (2~;~0~;~0). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{1}$. \item Déterminer la nature de l'ensemble $E_{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter les ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ sur la feuille \textbf{annexe}. \item Dans le repère \Oijk{} donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip \emph{On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :} \og \emph{soient $a,~ b$ et $c$ des entiers avec $a$ premier. Si $a$ divise $bc$ alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.}\fg \medskip L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection $M(x~;~y~;~z)$ des surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ où $y$ et $z$ sont des entiers relatifs et $x$ un nombre premier. On considère un tel point $M(x~;~y~;~z)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $y(y - x) = x(2 - x)$. \item En déduire que le nombre premier $x$ divise $y$. \end{enumerate} \item On pose $y = kx$ avec $k \in \Z$. \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ divise 2, puis que $x = 2$. \item En déduire les valeurs possibles de $k$. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées possibles de $M$ et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.875cm} \begin{pspicture}(-7,-5)(8,15) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-7,-5)(8.2,15.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridwidth=2pt,gridcolor=orange](0,0)(-7,-5)(8,15) \uput[d](8,0){$y$}\uput[l](0,15.2){$z$}\uput[dl](0,0){A} \uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Polynésie septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 2~cm. On appelle $\left(\Gamma \right)$ le cercle de centre O et de rayon 1. \medskip \emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.} \medskip On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = z + \text{i} - \dfrac{1}{z}.\] \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et leurs images A$'$ et B$'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$ et $b'$. \item Placer les points A, A$'$ B et B$'$. \item Démontrer que $\dfrac{-b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. \item En déduire la nature du triangle OBB$'$. \end{enumerate} \item On recherche l'ensemble (E) des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$ \[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\] \item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E). \item Démontrer que les points de (E) appartiennent à $\left(\Gamma \right)$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel. \begin{enumerate} \item Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$. \item En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment [A$'$C] où C a pour affixe $- \text{i}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_sept2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \section{\textbf{Métropole septembre 2009}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2009_retour}{Retour au tableau} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de \np{2009} par 11. \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11. \item Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ par 11. \end{enumerate} \item On désigne par $p$ un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre $A_{n} = 2^{n} + p$.\\ On note $d_{n}$ le PGCD de $A_{n}$ et $A_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $d_{n}$ divise $2^{n}$. \item Déterminer la parité de $A_{n}$ en fonction de celle de $p$. Justifier. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la parité de $d_{n}$ en fonction de celle de $p$. En déduire le PGCD de $2^{\np{2009}} + \np{2009}$ et $2^{\np{2010}} + \np{2009}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Amnord_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2009 }} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2009_retour}{Retour au tableau} \medskip Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$. \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation \[(E) : \quad 23x + 47y = 1\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$. \item En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv 1\quad (47)$. \end{enumerate} \item Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que si $ab \equiv 0 \quad (47)$ alors $a \equiv 0 \quad (47)$) ou $b \equiv 0 \quad (47)$. \item En déduire que si $a^2 \equiv 1 \quad (47)$ alors $a \equiv 1 \quad (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad (47)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times q \equiv 1 \quad (47)$.\\ Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté $inv(p)$, appartenant à $A$ tel que $p \times inv(p) \equiv 1 \quad (47)$. Par exemple : $inv(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad (47),~ inv(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv 1 \quad (47),$ $ inv(3) = 16$ car $3 \times 16=\equiv 1 \quad (47)$. \item Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p = inv (p)$ ? \item Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Liban_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Liban juin 2009 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2009_retour}{Retour au tableau} Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $n$ dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que $n^3 \equiv 2009 \mod \np{10000}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2009}^2$ par $16$. \item En déduire que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv 2009 \;\mod 16$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : $u_{0} = \np{2009}^2 - 1$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \left(u_{n} + 1\right)^5 -1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $u_{0}$ est divisible par 5. \item Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel $n,$ \[ u_{n1} = u_{n}\left[u_{n}^4 + 5\left(u_{n}^3 + 2u_{n}^2 +2u_{n} + 1\right)\right].\] \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ est divisible par $5^{n+1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $u_{3} = \np{2009}^{250} -1$ puis en déduire que $\np{2009}^{250} \equiv 1 \mod 625$. \item Démontrer alors que $\np{2009}^{\np{8001}} \equiv \np{2009} \mod 625$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que $\np{2009}^{\np{8001}} - \np{2009}$ est divisible par \np{10000}. \item Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par \np{2009}. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Polynésie juin 2009 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2009_retour}{Retour au tableau} \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct. On supposera connu le résultat suivant : Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az+b$ où $a \in \C - \{0\}$ et $ b \in \C$. Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A$'$ est distinct de B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 2~cm. On note A, B, C, D et E les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2,~ z_{\text{C}} = 4+6\text{i},~ z_{\text{D}} = -1 +\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{E}} = -3+3\text{i}. \] \begin{enumerate} \item Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item Soit $f$ la similitude plane directe telle que $f$(A) = D et $f$(B) = A. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $f$. \item Déterminer l'angle, le rapport et le centre $\Omega$ de cette similitude. \item Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude $f$. \item En déduire la nature du triangle DAE. \end{enumerate} \item On désigne par $\left(\Gamma_{1}\right)$ le cercle de diamètre [AB] et par $\left(\Gamma_{2}\right)$ le cercle de diamètre [AD]. On note $M$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{1}\right)$ et de la droite (BC), et $N$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{2}\right)$ et de la droite (AE). \begin{enumerate} \item Déterminer l'image de $M$ par la similitude $f$. \item En déduire la nature du triangle $\Omega MN$. \item Montrer que $M\text{B} \times N\text{E} = M\text{C} \times N\text{A}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Centres_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \medskip \section{\textbf{Centres étrangers juin 2009 }} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2009_retour}{Retour au tableau} \begin{enumerate} \item On note (E) l'équation $3x + 2y = 29$ où $x$ et $y$ sont deux nombres entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E). \item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \item Préciser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ ; \end{enumerate} \item Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées\\ L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk{} et on désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x+2y= 29$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\mathcal{P}$ est parallèle à l'axe (O$z$) de vecteur directeur $\vect{k}$. \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les axes (O$x$) et (O$y$) de vecteurs directeurs respectifs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$. \item Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les trois plans de coordonnées. \item Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}$ et ($x$O$y$), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives. \end{enumerate} \item Étude d'une surface $\mathcal{S}$ est la surface d'équation $4z = xy$ dans le repère \Oijk. Les figures suivantes représentent les intersections de $\mathcal{S}$ avec certains plans de l'espace. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot{-4}{-1}{4 x div} \psplot{1}{3.5}{4 x div} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot{-2.7}{2.7}{3 x dup mul sub} \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psline(-4,0)(3,0) \psline(0,-4)(0,3) \end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \psplot{-2}{2}{2 x mul} \end{pspicture}\\ \hline figure \no 1&figure \no 2&figure \no 3&figure \no 4\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{enumerate} \item $S_{1}$ désigne la section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan ($x$O$y$). Une des figures données représente $S_{1}$ laquelle ? \item $S_{2}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan $\mathcal{R}$ d'équation $z = 1$. Une des figures données représente $S_{2}$, laquelle ? \item $S_{3}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y = 8$. Une des figures données représente $S_{3}$, laquelle ? \item $S_{4}$ désigne la section de $\mathcal{S}$ par le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y = 29$ de la question 2. Déterminer les coordonnées des points communs à $S_{4}$ et $\mathcal{P}$ dont l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ sont des entiers naturels vérifiant l'équation $3x + 2 y = 29$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Asie_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Asie juin 2009 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2009_retour}{Retour au tableau} \begin{enumerate} \item On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que \[\left\{\begin{array}{l c l r} N&\equiv&5&(13)\\ N&\equiv &1&(17) \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que 239 est solution de ce système. \item Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.\\ Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$. \item Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \item En déduire qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $N = 18 + 221k$. \item Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et $\left\{\begin{array}{l c l r} N&\equiv&5&(13)\\ N&\equiv &1&(17) \end{array}\right.$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ? \item Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Metropole_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Métropole juin 2009 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_juin2009_retour}{Retour au tableau} Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des couples $(x,\:y)$ de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : $\quad 8x - 5y = 3$. \item Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p,~ q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8 p + 1$ et $m = 5q + 4$. Montrer que le couple $(p,~ q)$ est solution de l'équation (E) et en déduire que $m \equiv 9\quad (\text{modulo}~ 40)$. \item Déterminer le plus petit de ces nombres entiers $m$ supérieurs à \np{2000}. \end{enumerate} \item %Soit $n$ un nombre entier naturel. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a : $2^{3k} \equiv 1 (\text{modulo}~7)$. \item Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}}$ par 7 ? \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. } Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a \neq 0$. On considère le nombre $N = a \times 10^3 + b$. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$. On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7. \begin{enumerate} \item Vérifier que $10^3 \equiv -1 (\text{modulo}~7)$. \item En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Antilles_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2009 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2009_retour}{Retour au tableau} \textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}. \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.\\ On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=(1+i\sqrt{3})z+2\sqrt{3}$. On note $A$ le point d'affixe $2i$. \smallskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $f$ est la similitude directe, de centre $A$, d'angle $\frac\pi3$ et de rapport 2. \end{tabular} \item \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $1991^{2009}\equiv 2~(7)$. \end{tabular} \item $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques, $n$ et $p$ sont deux entiers naturels premiers entre eux. \smallskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $a\equiv b~(p)$ si et seulement si $na\equiv nb~(p)$. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.\\ $\mathscr{E}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace dont les coordonnées $(x;y;z)$ vérifient l'équation : $z=x^2+y^2$. On note $\mathscr{S}$ la section de $\mathscr{E}$ par le plan d'équation $y=3$. \smallskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{S}$ est un cercle. \end{tabular} \item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.\\ $\mathscr{P}$ est la surface d'équation $x^2+y^2=3z^2$. \smallskip \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $O$ le seul point d'intersection de $\mathscr{P}$ avec le plan $(yOz)$ à coordonnées entières. \end{tabular} \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Reunion_juin2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{La Réunion juin 2009 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2009_retour}{Retour au tableau} L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item Soient F le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~ ;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $P$ le plan d'équation $z = -\dfrac{1}{4}$. On note $d(M,~ P)$ la distance d'un point $M$ au plan $P$. Montrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ qui vérifient $d(M,~P)= M$F a pour équation $x^2 + y^2 = z$. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $z = 2$ ? \item Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $x = 0$ ? Représenter cette intersection dans le repère $\left(\text{O}~ ;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. \begin{enumerate} \item Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $x^2$ par 7 ? \item Démontrer que 7 divise $x^2 + y^2$ si et seulement si 7 divise $x$ et 7 divise $y$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Existe-t-il des points qui appartiennent à l'intersection de l'ensemble $(S$) et du plan d'équation $z = 98$ et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer. \end{enumerate} \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2009}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Pondichéry avril 2009 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2009_retour}{Retour au tableau} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que : \[ S(\text{O}) = \text{A}~~ \text{et}~~ S(\text{A}) = \text{B}.\] \item Montrer que l'écriture complexe de $S$ est : \[z' = (1 - \text{i})z + \text{i}.\] Préciser les éléments caractéristiques de $S$ (on notera $\Omega$ le centre de $S$). On considère la suite de points $\left(A_{n}\right)$ telle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A_{0}$ est l'origine du repère et, \item[$\bullet~$] pour tout entier naturel $n, A_{n+1} = S\left(A_{n}\right)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $z_{n}$, l'affixe de $A_{n}$. (On a donc $A_{0} = \text{O},~ A_{1} = \text{A}$ et $A_{2} = \text{B}$). \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ z_{n} = 1 - (1 - \text{i})^n$. \item Déterminer, en fonction de $n$, les affixes des vecteurs $\vect{\Omega A_{n}}$ et $\vect{A_{n}A_{n+1}}$. Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{\Omega A_{n}},~\vect{A_{n}A_{n+1}}\right)$. \item En déduire une construction du point $A_{n+1}$ connaissant le point $A_{n}$. Construire les points $A_{3}$ et $A_{4}$. \end{enumerate} \item Quels sont les points de la suite $\left(A_{n}\right)$ appartenant à la droite $(\Omega \text{B})$ ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{NeoCal_dec2008}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie décembre 2008 }} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{NeoCal_dec2008_retour}{Retour au tableau} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}~;~\vect{\text{OJ}}\right)$. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$. On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous. \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{unit=1.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(4,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(4,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-2)(4,2) \psline(0,0)(1.5,1) \psline(1.5,1)(2,0) \psline(2,0)(1,-1) \psline(1,-1)(0,0) \psline(0,0)(0.24,1.26) \psline(0.24,1.26)(1.5,1) \psline(1.5,1)(2.25,0.75) \psline(2.25,0.75)(2,0) \psdots(2,0) \uput[dr](2,0){A} \psdots[linecolor=blue](1.5,1) \rput[bl](1.58,1.12){B} \psdots[linecolor=blue](1,-1) \uput[dl](1,-1){P} \uput[dl](0,0){O} \psdots(0,0)(0.24,1.26)(2.25,0.75) \rput[bl](0.32,1.38){N} \rput[bl](2.34,0.86){M} \uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B. On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$. \medskip \textbf{Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. } \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{À l'aide des transformations} \begin{enumerate} \item Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$. \item Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$. \item Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre. \item Quelle est l'image du point O par $r$ ? \item En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item \textbf{En utilisant les nombres complexes} \begin{enumerate} \item Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$. On utilisera les résultats de la question 1. a. \item En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N. \item Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%% Fin Nouvelle-Calédonie décembre 2008 %%%%% \newpage \hypertarget{Amnord_nov2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_nov2008_retour}{Retour au tableau} L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit $D$ la droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur $\vect{u}$ de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soit $D'$ la droite dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t'\\ y&=& - t' \\ z&=&- 2\\ \end{array}\right. ~(t' \in \R)\] Le but de l'exercice est d'étudier l'ensemble $S$ des points de l'espace équidistants de $D$ et de $D'.$ \begin{enumerate} \item \textbf{Une équation de} \boldmath $S$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Montrer que $D$ et $D'$ sont orthogonales et non coplanaires. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $D$. Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. Montrer que $\vect{MH}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{-x + y}{2}~;~\dfrac{x - y}{2}~;~ 2 - z \right)$. En déduire $MH^2$ en fonction de $x,~ y$ et $z$. Soit $K$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D'$. Un calcul analogue au précédent permet d'établir que : $MK^2 = \dfrac{(x + y)^2}{2} + (2 + z)^2$, relation que l'on ne demande pas de vérifier. \item Montrer qu'un point $M$ de coordonnées $(x ~;~ y ~;~ z)$ appartient à $S$ si et seulement si $z = - \dfrac{1}{4}xy$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la surface \boldmath $S$ \unboldmath d'équation}\boldmath $z = - \dfrac{1}{4}xy$ \unboldmath \begin{enumerate} \item On coupe $S$ par le plan ($x$O$y$). Déterminer la section obtenue. \item On coupe $S$ par un plan $P$ parallèle au plan ($x$O$y$). Quelle est la nature de la section obtenue ? \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.} On coupe $S$ par le plan d'équation $x + y = 0$. Quelle est la nature de la section obtenue ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%% Fin Amérique du Sud novembre 2008 %%%%% \newpage \hypertarget{Metropole_sept2008}{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{\textbf{Métropole La Réunion septembre 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Metropole_sept2008_retour}{Retour au tableau} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On réalisera une figure en prenant 4~cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip $k$ est un réel strictement positif ; $f$ est la similitude directe de centre O de rapport $k$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.\\ On note A$_{0}$ = A et pour tout entier naturel $n,~A_{n+1} = f\left(A_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étant donné un point $M$ d'affixe $z$, déterminer en fonction de $z$ l'affixe $z'$ du point $M'$ image de $M$ par $f$. \item Construire les points A$_{0}$, A$_{1}$,~A$_{2}$ et A$_{3}$ dans le cas particulier où $k$ est égal À $\dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, l'affixe $z_{n}$ du point $A_{n}$ est égale à $k^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}$. \item En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles le point $A_{n}$ appartient à la demi droite $\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$ et, dans ce cas, déterminer en fonction de $k$ et de $n$ l'abscisse de $A_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Désormais, $k$ désigne un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008. \item Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel $k$ pour laquelle $k^6$ est un multiple de 2008. \item Pour quelles valeurs des entiers $n$ et $k$ le point $A_{n}$ appartient-il à la demi droite $\left[\text{O}~;~\vect{u}\right)$ avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%Fin Métropole septembre 2008%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2008}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2008_retour}{Retour au tableau} \textbf{PARTIE A :} \medskip On considère le système de congruences : \[(S) \left\{\begin{array}{l c l r} n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3) \\ n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5)\\ \end{array}\right. , \text{où}~ n~ \text{désigne un entier relatif. }\] \begin{enumerate} \item Montrer que $11$ est solution de $(S)$. \item Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$. \item Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$, où $k$ désigne un entier relatif. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B :} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ et $g$ celle qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z''$ définies par : \[z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.\] \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications $f$ et $g$. \item On considère les points $A_{0}$ et $B_{0}$ d'affixes respectives $a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $b_{0} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$ . Soient $\left(A_{n}\right)$ et $\left(B_{n}\right)$ les suites de points définies par les relations de récurrences : \[A_{n+1} = f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad B_{n+1} = g\left(B_{n}\right).\] On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les affixes respectives de $A_{n}$ et $B_{n}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de chacun des triangles O$A_{n}A_{n+1}$ ? \item En déduire la nature du polygone $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points $B_{n}$ sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Indiquer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}B_{n}},~\vect{\text{O}B_{n+2}}\right)$. \item En déduire la nature du polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$. \item Montrer que les entiers $n$ pour lesquels les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système $(S)$ de la PARTIE A. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% Fin Antilles sept. 2008 %%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2008}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2008_retour}{Retour au tableau} \emph{Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition 1} : \og Pour tout entier naturel $n$ non nul, $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux. \fg \item Soit $x$ un entier relatif. \textbf{Proposition 2} : \og $x^2 + x + 3 = 0\left( {{\rm{modulo}}\; 5} \right)$ si et seulement si $x \equiv 1\left( {{\rm{modulo}}\; 5} \right)$. \fg \item Soit $N$ un entier naturel dont l'écriture en base 10 est $\overline{aba7}$. \textbf{Proposition 3} : \og Si $N$ est divisible par 7 alors $a + b$ est divisible par 7. \fg \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \textbf{Proposition 4} : \og La similitude directe de rapport 2, d'angle $\dfrac{\pi }{6}$ et de centre le point d'affixe $1 - \text{i}$ a pour écriture complexe $z' = \left( {\sqrt 3 +\text{i}} \right)z + \sqrt 3 - \text{i}\sqrt 3 $. \fg \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.\\ On considère un point A. On désigne par $a$ son affixe. On note $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}\;;\;\vect{u}\right)$ et $s_A $ la symétrie centrale de centre A. \textbf{Proposition 5} : \og L'ensemble des nombres complexes $a$ tels que $s \circ s_{\text{A}} = s_{\text{A}} \circ s$ est l'ensemble des nombres réels. \fg \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2008}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2008_retour}{Retour au tableau} \begin{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.\\ Soient A, B et C les points d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},~~ z_{\text{B}} = 5 + 2\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}}= \text{i}. \] $s_{1}$ désigne la symétrie d'axe (AB). \begin{enumerate} \item Démontrer que $s_{1}$ transforme tout point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\overline{z} + \left(-\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\] \item En déduire l'affixe de C$'$, symétrique de C par rapport à (AB). \item Démontrer que l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ est imaginaire pur est la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $4x+ 3y= 1$. \item Vérifier que le point C$'$ appartient à ($\mathcal{D}$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites ($\mathcal{D}$) et (AB) sont sécantes en un point $\Omega$ dont on précisera l'affixe $\omega$. \item On désigne par $s_{2}$ la symétrie d'axe ($\mathcal{D}$) et par $f$ la transformation définie par $f = s_{2} \circ s_{1}$. Justifier que $f$ est une similitude directe et préciser son rapport. \item Déterminer les images des points C et $\Omega$ par la transformation $f$. \item Justifier que $f$ est une rotation dont on donnera le centre. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n 'aboutit pas.} \begin{enumerate} \item Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de l'équation : $4x + 3y = 1$. \item Déterminer les points de ($\mathcal{D}$) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à $9$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_juin2008}{} \section{\textbf{Métropole juin 2008}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2008_retour}{Retour au tableau} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 7+ \dfrac{7}{2} \text{i}$. \begin{enumerate} \item On considère la droite ($d$) d'équation $4x + 3y = 1$. Démontrer que l'ensemble des points de ($d$) dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points $M_{k}(3k + 1,- 4k -1)$ lorsque $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs. \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en $M_{-1}(- 2~;~3)$. \item Soit $s$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z $ associe le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{2}{3}\text{i}z + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}\text{i}.\] Déterminer l'image de A par $s$, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de $s$. \item On note B$_{1}$ l'image de B par $s$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, B$_{n+1}$ l'image de B$_{n}$ par $s$. \begin{enumerate} \item Déterminer la longueur AB$_{n+1}$ en fonction de AB$_{n}$. \item À partir de quel entier $n$ le point B$_{n}$, appartient t-il au disque de centre A et de rayon $10^{-2}$ ? \item Déterminer l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels A, B$_{1}$ et B$_{n}$ sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Centres_juin2008}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2008_retour}{Retour au tableau} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} l'unité graphique est 2~cm. On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives: \[a = 2,~~b = 2 + 3\text{i},~~c=3i,~~d=- \dfrac{5}{2}+3\text{i}~~\text{et}~~e = - \dfrac{5}{2}.\] \begin{enumerate} \item Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice. \item On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.\\ Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables. \item \textbf{Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE} \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et A en B. \item Démontrer que la similitude $s$ transforme OABC en ABDE. \item Quel est l'angle de la similitude $s$ ? \item Soit $\Omega$ le centre de cette similitude. En utilisant la composée $s \circ s$, démontrer que le point $\Omega$ appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point $\Omega$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED} \begin{enumerate} \item Montrer que l'écriture complexe de la similitude indirecte $s'$ qui transforme O en B et qui laisse A invariant est : \[ z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z}+ 2 +3\text{i}\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$. \item Montrer que $s'$ transforme OABC en BAED. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer que $s'$ est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2008}{} \section{\textbf{Asie juin 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2008_retour}{Retour au tableau} Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls ; on appelle \og réseau \fg{} associé aux entiers $a$ et $b$ l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x~;~ y)$ sont des entiers vérifiant les conditions : $0 \leqslant x\leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant b$. On note $R_{a,~b}$ ce réseau. Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau. \medskip \textbf{A - Représentation graphique de quelques ensembles} \medskip Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe \no 1 à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les points $M(x~;~ y)$ du réseau $R_{8,8}$ vérifiant : \begin{enumerate} \item $x \equiv 2\quad (\text{modulo}~ 3)$ et $ y \equiv 1 \quad (\text{modulo}~3)$, sur le graphique 1 de la feuille annexe \item $x+y \equiv 1\quad$ (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ; \item $x \equiv y \quad$ (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Résolution d'une équation} \medskip On considère l'équation (E) : $7x - 4y =1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ solution de l'équation (E). \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \item Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution $(x~;~y)$ pour laquelle le point $M(x~;~y)$ correspondant appartient au réseau $R_{4, 7}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.} Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [O$A$] du réseau $R_{a,~b}$, avec O(0~;~0) et $A(a~;~b)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points du segment [O$A$] sont caractérisés par les conditions : \[0 \leqslant x \leqslant a ~;~0 \leqslant y \leqslant b~;~ay=bx.\] \item Démontrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les points O et $A$ sont les seuls points du segment [O$A$] appartenant au réseau $R_{a,~b}$. \item Démontrer que si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [O$A$] contient au moins un autre point du réseau. (On pourra considérer le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$ et poser $a = da'$ et $b = db'$.) \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2008}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2008_retour}{Retour au tableau} \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation (E) : $11x - 26y = 1$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(-7~;~-3 )$ est solution de (E). \item Résoudre alors l'équation (E). \item En déduire le couple d'entiers relatifs $(u~;~ v)$ solution de (E) tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A& B& C& D& E& F& G& H& I& J& K& L& M\\ \hline 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \hline \hline N& O& P& Q& R& S& T& U& V& W& X& Y& Z\\ \hline 13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On \og code \fg{} tout nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item on calcule $11x+8$ \item on calcule le reste de la division euclidienne de $11x +8$ par 26, que l'on appelle $y$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $x$ est alors \og codé \fg{} par $y$. Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; $11 \times11+8 = 129$ or $129 \equiv 25 (0\text{ modulo }26)$ ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z. \begin{enumerate} \item Coder la lettreW. \item Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a : \[11x \equiv j\quad (\text{modulo}~ 26)~ \text{équivaut à}~ x \equiv 19j (\text{modulo}~26).\] \item En déduire un procédé de décodage. \item Décoder la lettre W. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amnord_mai2008}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_mai2008_retour}{Retour au tableau} L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On nomme (S) la surface d'équation $x^2 +y^2 - z^2 = 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan ($x$O$y$). \item On nomme A et B les points de coordonnées respectives $(3~;~ 1~ ;~-3)$ et $(-1~;~1~;~1)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B. \item Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S). \end{enumerate} \item Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan ($x$O$y$). \item \begin{enumerate} \item On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d'équation $z = 68$. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe. \item M étant un point de (C), on désigne par $a$ son abscisse et par $b$ son ordonnée. On se propose de montrer qu'il existe un seul point M de (C) tel que $a$ et $b$ soient de entiers naturels vérifiant $a < b$ et ppcm$(a~ ;~b) = 440$, c'est-à-dire tel que $(a,~b)$ soit solution du système (1): $\left\{\begin{array}{l} a}(0,0)(2,0)\psline{->}(0,0)(-2,-1)\psline{->}(0,3.5)(0,4) \psline[linestyle=dashed]{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(1,0)\psline{->}(0,0)(-0.8,-0.4) \psplot{-1.15}{1.15}{x 2 exp 2.7 mul} \psellipse(0,3.5)(1.15,0.35) \uput[d](0,0){O} \uput[u](-0.8,-0.4){$\vect{\imath}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$} \end{pspicture}} \textbf{Proposition 5} : \og la section de la surface $\Sigma $ et du plan d'équation $x = \lambda $, où $\lambda $ est un réel, est une hyperbole \fg. \textbf{Proposition 6} : \og le plan d'équation $z = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}$ partage le solide délimité par $\Sigma $ et le plan d'équation $z = 9$ en deux solides de même volume \fg. \medskip \emph{Rappel : Soit $V$ le volume du solide délimité par $\Sigma $ et les plans d'équations $z = a$ et $z = b$ où $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 9$.\\ $V$ est donné par la formule $V = \displaystyle\int_{a}^{b} S(k)\:\text{d}k$ où $S(k)$ est l'aire de la section du solide par le plan d'équation $z = k$ où $k \in [a~;~b]$.} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2008}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2008_retour}{Retour au tableau} \textbf{Partie A} \medskip On suppose connu le résultat suivant : Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az +b$, o\`u $a \in \C^*$ et $b \in \C$. \medskip \emph{Démonstration de cours} : on se place dans le plan complexe. Démontrer que si $A, B, A'$ et $B'$ sont quatre points tels que $A$ est distinct de $B$ et $A'$ est distinct de $B'$, alors il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} on considère les points $A,~ B,~C,~ D$ d'affixes respectives \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~ z_{B},~ z_{C}$ et $z_{D}$. \item Construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ (on prendra pour unité graphique $2$~cm). \item Déterminer le milieu du segment $[AC]$, celui du segment $[BD]$. Calculer le quotient $\dfrac{z_{B}}{z_{A}}$. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$. \end{enumerate} \item On considère la similitude directe $g$ dont l'écriture complexe est $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$. \begin{enumerate} \item Déterminer les éléments caractéristiques de $g$. \item Construire à la règle et au compas les images respectives $E,~ F$ et $J$ par $g$ des points $A,~ C$ et $O$. \item Que constate-t-on concernant ces points $E,~ F$ et $J$ ? Le démontrer. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Neocal_mars2008}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2008}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_mars2008_retour}{Retour au tableau} \textbf{PARTIE A : Question de cours} \medskip Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication. \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip On note 0, 1, 2, \ldots , 9,~$ \alpha,~\beta$, les chiffres de l'écriture d'un nombre en base $12$. Par exemple : \[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 + 7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1\:711~\text{en base}~10\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 : \[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\] Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10. \item Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 : \[N_{2} = \np{1131} = 1\times 10^3 + 1\times 10^2 + 3 \times 10 + 1\] Déterminer l'écriture de $N_{2}$ en base $12$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Dans toute la suite}, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 : \[N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}\] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $N \equiv a_{0}\quad (3)$. En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12. \item À l'aide de son écriture en base $12$, déterminer si $N_{2}$ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base $10$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $N \equiv a_{n} + \cdots + a_{1}+a_{0} \quad (11)$. En déduire un critère de divisibilité par $11$ d'un nombre écrit en base 12. \item À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_{1}$ est divisible par $11$. Confirmer avec son écriture en base $10$. \end{enumerate} \item Un nombre $N$ s'écrit $\overline{x4y}^{12}$. Déterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par $33$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Neocal_dec2007}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie décembre 2007}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_dec2007_retour}{Retour au tableau} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{10}$ par $11$ ? Justifier. \item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{4}$ par $5$ ? Justifier. \item En déduire que $6^{40} \equiv 1\:[11]$ et que $6^{40} \equiv 1\:[5]$. \item Démontrer que $6^{40} - 1$ est divisible par $55$. \end{enumerate} \item Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation \[ (E) \qquad 65x - 40y = 1\] n'a pas de solution. \item Montrer que l'équation \[ (E') \qquad 17x - 40y = 1\] admet au moins une solution. \item Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $(E')$. \item Résoudre l'équation $(E')$.\\ En déduire qu'il existe un unique naturel $x_{0}$ inférieur à $40$ tel que $17x_{0}\equiv 1 \quad [40]$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $a$, démontrer que si $a^{17} \equiv b \quad [55]$ et si $a^{40} \equiv 1 \quad [55]$, alors $b^{33} \equiv a \quad [55]$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amsud_nov2007}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2007}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2007_retour}{Retour au tableau} Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice. \begin{enumerate} \item On considère les points A d'affixe $1$ et B d'affixe i. On appelle $S$ la réflexion (symétrie axiale) d'axe (AB). Montrer que l'image $M'$ par $S$ d'un point $M$ d'affixe $z$ a pour affixe $z' = -\text{i}\overline{z} + 1 + \text{i}$. \item On note $H$ l'homothétie de centre A et de rapport $-2$. Donner l'écriture complexe de $H$. \item On note $f$ la composée $H \circ S$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une similitude. \item Déterminer l'écriture complexe de $f$. \end{enumerate} \item On appelle $M''$ l'image d'un point $M$ par $f$. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = -2\vect{\text{A}M}$ est la droite (AB). \item Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{\text{A}M''} = 2\vect{\text{A}M}$ est la perpendiculaire en A à la droite (AB). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{France_sept2007}{} \section{\textbf{Métropole - Réunion septembre 2007}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2007_retour}{Retour au tableau} \begin{enumerate} \item On considère l'ensemble A$_{7} = \{1~;~2~;~3 ~;~4~;~5~;~6\}$ \begin{enumerate} \item Pour tout élément $a$ de A$_{7}$ écrire dans le tableau figurant en annexe 2 l'unique élément $y$ de A$_{7}$ tel que $ay \equiv 1 \quad (\text{modulo}~7)$. \item Pour $x$ entier relatif, démontrer que l'équation $3x \equiv 5 \quad(\text{modulo}~ 7)$ équivaut à $x \equiv 4\quad (\text{modulo}~ 7)$. \item Si $a$ est un élément de A$_{7}$, montrer que les seuls entiers relatifs $x$ solutions de l'équation $ax \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 7)$ sont les multiples de $7$. \end{enumerate} \item Dans toute cette question, $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A$_{p}= \{1~;~ 2 ~;~\ldots ~;~ p - 1\}$ des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à $p$. Soit $a$ un élément de A$_{p}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $a^{p - 2}$ est une solution de l'équation $ax \equiv 1\quad (\text{modulo}~ p)$. \item On note $r$ le reste dans la division euclidienne de $a^{p - 2}$ par $p$. Démontrer que $r$ est l'unique solution $x$ dans A$_{p}$, de l'équation $ax \equiv 1\quad (\text{modulo}~ p)$. \item Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. Démontrer que $xy \equiv 0 \quad(\text{modulo}~ p)$ si et seulement si $x$ est un multiple de $p$ o\`u $y$ est un multiple de $p$. \item Application : $p = 31$. Résoudre dans A$_{31}$ les équations : $2x \equiv 1 (\text{modulo} 31)$ et $3x \equiv 1 \quad(\text{modulo} 31)$. À l'aide des résultats précédents, résoudre dans $\Z$ l'équation $6x^2 - 5x + 1 \equiv 0 \quad(\text{modulo}~ 31)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2007}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane septembre 2007}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2007_retour}{Retour au tableau} ABC est un triangle équilatéral tel que $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC }} \right) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,~k \in \Z.$ Soit $t$ un nombre réel fixe et soient les points $M,~ N$ et $P$, deux à deux distincts, définis par \[\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AB}},~\vect{\text{B}N} = t\vect{\text{BC}}~ \text{et}~\vect{\text{C}P} = t\vect{\text{CA}}.\] Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une unique similitude directe $\sigma$ qui transforme les points A, B et C en respectivement $M,~N$ et $P$, et d'en préciser les éléments caractéristiques. On munit le plan d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. On note $a,~ b,~ c,~ m,~ n$ et $p$, les affixes respectives des points A, B, C, $M,~N$ et $P$. \begin{enumerate} \item On rappelle que toute similitude conserve le barycentre. \begin{enumerate} \item Exprimer $m,~n$ et $p$ en fonction de $a,~b,~c$ et $t$. \item En déduire que les deux triangles ABC et $MNP$ ont même centre de gravité. Ou notera G ce centre de gravité. \item On suppose que $\sigma$ existe. Déterminer l'image de G par $\sigma$. \end{enumerate} \item On considère la rotation $r$ de centre G et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$ \begin{enumerate} \item Vérifier que $M$ est le barycentre du système de points $\{\text{A}(1 -t)~;~ \text{B}(t)\}$, et en déduire que $r(M) = N$. On admet de même que $r(N) = P$ et $r(P) = M$. \item Soit $\sigma_{1}$, la similitude directe de centre G de rapport $\dfrac{\text{GM}}{\text{GA}}$ et d'angle $\left(\vect{\text{GA}},~\vect{\text{GM}}\right)$. Montrer qu'elle transforme les points A, B et C en respectivement $M,~ N$ et $P$. \item Conclure sur l' existence et l'unicité de $\sigma$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2007}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2007_retour}{Retour au tableau} Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A (1 ~;~ 3 ~;~ 2), B$(4~;~ 6~;~-4)$ et le cône ($\Gamma$) d'axe $\left(\text{O},~ \vect{k}\right)$, de sommet O et contenant le point A. \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une équation de ($\Gamma$) est $x^2 + y^2 = \dfrac{5}{2}z^2$. \item Soit (P) le plan parallèle au plan $(x\text{O}y)$ et contenant le point B. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de (P). \item Préciser la nature de l'intersection (C$_{1}$) de (P) et de ($\Gamma$). \end{enumerate} \item Soit (Q) le plan d'équation $y = $3. On note (C$_{2}$) l'intersection de ($\Gamma$) et de (Q). Sans justification, reconnaître la nature de (C$_{2}$) parmi les propositions suivantes : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] deux droites parallèles ; \item[$\bullet~$] deux droites sécantes ; \item[$\bullet~$] une parabole ; \item[$\bullet~$] une hyperbole ; \item[$\bullet~$] un cercle. \end{itemize} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} Soient $x,~ y$ et $z$ trois entiers relatifs et $M$ le point de coordonnées $(x,~ y,~ z)$. Les ensembles (C$_{1}$) et (C$_{2}$) sont les sections définies dans la partie A. \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E): $x^2 + y^2 = 40$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation (E). \item En déduire l'ensemble des points de (C$_{1}$) dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que si le point $M$ de coordonnées $(x~;~ y~;~ z)$ où $x, ~y$ et $z$ désignent des entiers relatifs est un point de ($\Gamma$) alors $z$ est divisible par 2 et $x^2+ y^2$ est divisible par $10$. \item Montrer que si $M$ est un point de (C$_{2}$), intersection de ($\Gamma$) et de (Q), alors $x^2 \equiv 1~ \text{modulo}~ 10$. \item Résoudre, dans l'ensemble des entiers relatifs, l'équation $x^2 \equiv 1~\text{modulo}~ 10$. \item Déterminer un point de (C$_{2}$), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2007}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2007_retour}{Retour au tableau} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. A, B, C, désignent les points d'affixes respectives $a = -2\sqrt{3},~ b = \sqrt{3} - 3\text{i}$ et $c = 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire $b$ sous forme exponentielle. \item Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 2. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes). \item Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~ ;~ \vect{\text{AB}}\right)$ et de l'angle $\left(\vect{u}~ ;~ \vect{\text{AC}}\right)$. \end{enumerate} \item Les points E et F ont pour affixes respectives $e = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $f = - \sqrt{3} - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, E et C, d'une part, et les points A, F et B, d'autre part, sont alignés, \item Démontrer que le quotient $\dfrac{e - c}{e - b}$ peut s'écrire $k$i où $k$ est un nombre réel à déterminer. Interpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, $\dfrac{f - c}{f - b}$ peut s'écrire $k'\text{i}$ où $k'$ est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer. \item Placer les points E et F sur la figure. \end{enumerate} \item On désigne par $S$ la similitude indirecte dont l'écriture complexe est \[z \longmapsto \dfrac{1}{2}\overline{z} - \sqrt{3}.\] Déterminer les images par $S$ des trois points A, B et C. \item Soit H le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point $S$(H) sur la figure. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{France_juin2007}{} \section{\textbf{Métropole juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2007_retour}{Retour au tableau} \emph{La figure est proposée en annexe $1$. Elle sera complétée tout au long de l'exercice.} \medskip Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B et C, d'affixes respectives $-5+6\text{i},~ - 7 -2\text{i}$ et $3 - 2\text{i}$. On admet que le point F, d'affixe $-2+\text{i}$ est le centre du cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle ABC. \begin{enumerate} \item Soit H le point d'affixe $-5$. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H. \item \begin{enumerate} \item Étant donné des nombres complexes $z$ et $z'$, on note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $z'$. Soient $a$ et $b$ des nombres complexes. Soit $s$ la transformation d'écriture complexe $z'= a\overline{z}+b$ qui, au point $M$, associe le point $M'$. Déterminer $a$ et $b$ pour que les points A et C soient invariants par $s$. Quelle est alors la nature de $s$ ? \item En déduire l'affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC). \item Vérifier que le point E est un point du cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \item Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer l'affixe du point G, image du point I par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{2}{3}$. Démontrer que les points H, G et F sont alignés. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \bigskip \emph{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \emph{À compléter et à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Exercice 3} \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(-9,-5)(9,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-9,-5)(9,7) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](9,0){$x$} \uput[l](0,7){$y$} \uput[ul](-5,6){A} \uput[dl](-7,-2){B} \psdots(-5,6)(-7,-2) \pscircle(-2,1){5.83} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-5){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-4){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-3){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-2){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-1){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-0){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,1){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,2){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,3){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,4){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,5){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,6){$\cdot$}} \multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,7){$\cdot$}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Centres_juin2007}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2007_retour}{Retour au tableau} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm. Le but de cet exercice est d'étudier la similitude plane indirecte $f$ d'écriture complexe : \[z'= \text{i}\sqrt{2}\overline{z} + 2\text{i}\sqrt{2} - 2,\] et d'en donner deux décompositions. \medskip \textbf{I. Restitution organisée de connaissances} On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme $z'= az + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres complexes avec $a \neq 1$. Déterminer en fonction de $a$ et de $b$ l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe. \medskip \textbf{II. Première décomposition de} \boldmath $f$ \unboldmath Soit $g$ la similitude plane directe d'écriture complexe : \[z'= \text{i}\sqrt{2} z +2\text{i}\sqrt{2} - 2.\] \begin{enumerate} \item Préciser les éléments caractéristiques de $g$ (centre, rapport, angle). \item Déterminer une réflexion $s$ telle que $f = g \circ s$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Ill. Deuxième décomposition de} \boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet un unique point invariant noté $\Omega$. Déterminer l'affixe $\omega$ de $\Omega$. \item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation : $y = x+2$. Montrer que pour tout point $N$ appartenant à $\mathcal{D}$, le point $f(N)$ appartient aussi à $\mathcal{D}$. \item Soit $\sigma$ la réflexion d'axe $\mathcal{D}$ et $k$ la transformation définie par : $k = f \circ \sigma$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de $\sigma$. (Indication : on pourra poser $z'= a\text{i}+b$ et utiliser deux points invariants par $\sigma$ pour déterminer les nombres complexes $a$ et $b$.) \item En déduire que l'écriture complexe de $k$ est : $ z'=\sqrt{2}z + 2\sqrt{2} - 2$. \item Donner la nature de la transformation $k$ et préciser ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte $f$ comme composée d'une réflexion et d'une homothétie. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2007}{} \section{\textbf{Asie juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2007_retour}{Retour au tableau} Le but de cet exercice est d'étudier une même configuration géométrique à l'aide de deux méthodes différentes. \textbf{I À l'aide des nombres complexes, sur un cas particulier} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et B en O. \item Déterminer les éléments caractéristiques de $s$. On note $\Omega$ son centre. \item Déterminer le point $s \circ s(\text{B})$ ; en déduire la position du point Q par rapport aux sommets du triangle ABO. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x - 2y = 0$, puis A$'$ et B$'$ les points d'affixes respectives 8+4i et 2+i. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A$'$ et B$'$ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite $\mathcal{D}$. \item Vérifier que $s$(B$'$) =A$'$. \item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{II À l'aide des propriétés géométriques des similitudes} OAB est un triangle rectangle en O tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item On note encore $s$ est la similitude directe telle que $s$(O) = A et $s$(B) = O. Soit $\Omega$ son centre. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que l'angle de $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$. \item Démontrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que $\Omega$ appartient aussi au cercle de diamètre [OB].) En déduire que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{D}$ une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB). On note A$'$ et B$'$ les projetés oorthogonauxthogonaux respectifs des points A et B sur la droite $\mathcal{D}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images des droites (BB$'$) et $\mathcal{D}$ par la similitude $s$. \item Déterminer le point $s$(B$'$). \item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [A$'$B$'$] \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2007}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2007_retour}{Retour au tableau} \Ouv{} est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1~cm). On considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=1+\text{i}$. On note $S_{1}$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et $h$ l'homothétie de centre O et de rapport 3. On pose $s=h\circ S_{1}$. \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Placer le point $A$ et compléter la figure au fur et à mesure. \item Quelle est la nature de la transformation $s$~? Justifier. \item Déterminer l'écriture complexe de la transformation $s$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $z_{B}$ du point $B$ image de $A$ par $s$. \item Montrer que $z_{B}=-3\text{i}z_{A}$. Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}A},\vect{\text{O}B}\right)$. \end{enumerate} \item Soient $M$ le milieu de $[AB]$ et $P$ l'image de $M$ par $s$. Montrer que la droite $(\text{O}P)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item On pose $C = s(B)$. Montrer que $P$ est le milieu de $[BC]$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de $s\circ s$ et en déduire sa nature. \item Montrer que l'image de la droite $(\text{O}P)$ par $s$ est la droite $(OM)$. \item Que représente le point $M$ pour le triangle O$BP$~? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amnord_juin2007}{} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2007_retour}{Retour au tableau} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $1$~cm). On fera une figure que l'on complétera tout au long de cet exercice. Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = 3 + 5\mathrm{i}$, $b = - 4 + 2 \mathrm{i}$ et $c = 1 + 4 \mathrm{i}$. Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = (2 - 2\mathrm{i})z + 1$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point B$'$ image du point B par $f$. \item Montrer que les droites (CB$'$) et (CA) sont orthogonales. \end{enumerate} \item Soit $M$ le point d'affixe $z = x + \text{i}y$ , où on suppose que $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Soit $M'$ l' image de $M$ par $f$. Montrer que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ sont orthogonaux si et seulement si $x + 3y = 2$. \item On considère l'équation (E) : $x + 3y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(- 4~;~2)$ est une solution de (E). \item Résoudre l'équation (E). \item En déduire l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle $[-5~;~5]$ et tels que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ soient orthogonaux. Placer ces points sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2007}{} \section{\textbf{Liban juin 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2007_retour}{Retour au tableau} \emph{Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \begin{enumerate} \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ définie par : $z'= 2\text{i}z+1$. \textbf{Proposition 1 :} \og Cette transformation est la similitude directe de centre A d'affixe $\dfrac{1}{5}+ \dfrac{2}{5}\text{i}$, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et de rapport 2 \fg. \item Dans l'espace muni du repère orthonormal \Oijk, on note $S$ la surface d'équation $z = x^2+2x +y^2 + 1$. \textbf{Proposition 2 :} \og La section de $S$ avec le plan d'équation $z = 5$ est un cercle de centre A de coordonnées $(-1~;~ 0~;~ 5)$ et de rayon $5$ \fg. \item \textbf{Proposition 3 :} \og $5^{750} - 1$ est un multiple de 7 \fg. \item \textbf{Proposition 4 :} \og Si un entier naturel $n$ est congru à $1$ modulo $7$ alors le PGCD de $3n + 4$ et de $4n + 3$ est égal à 7 \fg. \item Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. \textbf{Proposition 5 :} \og S'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 2$ alors le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 2 \fg. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2007}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2007_retour}{Retour au tableau} \begin{enumerate} \item \emph{Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances} On suppose connus les résultats suivants : \begin{itemize} \item La composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; \item la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude plane ; \item une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l'identité du plan. \end{itemize} Soient A, B et C trois points non alignés du plan et $s$ et $s'$ deux similitudes du plan telles que $s(\text{A}) = s'(\text{A}), s(\text{B})= s'(\text{B})$ et $s(\text{C}) = s'(\text{C})$. Montrer que $s = s'$. \item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe 2, E d'affixe $1 + \text{i}$, F d'affixe $2 + \text{i}$ et G d'affixe $3 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables. \item Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte $S$, en déterminant l'écriture complexe de $S$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. On pose A$' = h(\text{A})$ et G$' = h(\text{G})$, et on appelle I le milieu de [EA$'$]. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe (OI). Montrer que $S = \sigma \circ h$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Neocal_mars2007}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie mars 2007}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_mars2007_retour}{Retour au tableau} Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l'alphabet, on commence par associer un entier $n$ de l'ensemble $\Omega = \{0~;~1~;~2~;~\ldots~;~24~;~ 25\}$ selon le tableau ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H & I&J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\\hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \medskip $a$ et $b$ étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier $n$ de $\Omega$ le reste de la division euclidienne de $(an + b)$ par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante. \emph{Exemple} : pour coder la lettre P avec $a = 2$ et $b = 3$, on procède de la manière suivante : étape 1 : on lui associe l'entier $n = 15$. étape 2 : le reste de la division de $2 \times 15 + 3 = 33$ par 26 est $7$. étape 3 : on associe $7$ à H. Donc P est codé par la lettre H. \begin{enumerate} \item Que dire alors du codage obtenu lorsque l'on prend $a = 0$ ? \item Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit $a = 13$. \item \emph{Dans toute la suite de l'exercice}, on prend $a = 5$ et $b = 2$. \begin{enumerate} \item On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers $n$ et $p$. Montrer, que si $5n + 2$ et $5p + 2$ ont le même reste dans la division par 26 alors $n - p$ est un multiple de $26$. En déduire que $n = p$. \item Coder le mot AMI. \end{enumerate} \item On se propose de décoder la lettre E. \begin{enumerate} \item Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l'élément $n$ de $\Omega$ tel que $5n - 26y = 2$, où $y$ est un entier. \item On considère l'équation $5x - 26y = 2$, avec $x$ et $y$ entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière de l'équation $5x - 26y = 2$. \item Résoudre alors l'équation $5x - 26y = 2$. \item En déduire qu'il existe un unique couple $(x~;~y)$ solution de l'équation précédente, avec $0 \leqslant x \leqslant 25$. \end{enumerate} \item Décoder alors la lettre E. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Neocal_nov2006}{} \section{\textbf{Nouvelle-Calédonie novembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. (unité 1 cm). On construira une figure que l'on complétera au fur et mesure. \begin{enumerate} \item Soit A le point d'affixe 3, et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On note B, C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation $r$. Montrer que B a pour affixe $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$. \item Associer à chacun des points C, D, E et F l'une des affixes de l'ensemble suivant \[\left\{ - 3 ~;~- \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~- \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\right\}\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer $r$(F). \item Quelle est la nature du polygone ABCDEF ? \end{enumerate} \item Soit $s$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $s'$ la similitude directe de centre E transformant F en C. \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de $s'$. En déduire l'angle et le rapport de $s' \circ s$. \item Quelle est l'image du point D par $s' \circ s$ ? \item Déterminer l'écriture complexe de $s'$. \end{enumerate} \item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à C. \begin{enumerate} \item Sans utiliser les nombres complexes, déterminer $s(\text{A}')$ puis l'image de A$'$ par $s' \circ s$. \item Calculer l'affixe du point A$'$. Retrouver alors le résultat du \textbf{a.} en utilisant l'écriture complexe de $s' \circ s$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Amsud_nov2006}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Rappel : Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 7, et on écrit $a \equiv b \quad \mod 7$ lorsqu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a = b + 7k$. \begin{enumerate} \item \emph{Cette question constitue une restitution organisée de connaissances} \begin{enumerate} \item Soient $a,~ b,~ c$ et $d$ des entiers relatifs. Démontrer que : si $a \equiv b \mod 7$ et $c \equiv d \mod 7$ alors $ac \equiv bd \mod 7$. \item En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls si $a \equiv b \mod 7$ alors pour tout entier naturel $n,~ a^n \equiv b^n \mod 7$. \end{enumerate} \item Pour $a = 2$ puis pour $a = 3$, déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n \equiv 1 \mod 7$. \item Soit $a$ un entier naturel non divisible par 7. \begin{enumerate} \item Montrer que : $a^6 \equiv 1 \mod 7$. \item On appelle \emph{ordre} de $a \mod 7$, et on désigne par $k$, le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k \equiv 1 \mod 7$. Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de $6$ par $k$ vérifie $a^r \equiv 1 \mod 7$. En déduire que $k$ divise $6$. Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ? \item Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers $a$ compris entre $2$ et $6$. \end{enumerate} \item À tout entier naturel $n$, on associe le nombre \[A_{n} = 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n.\] Montrer que $A_{2006} \equiv 6 \mod 7.$ \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_sept2006}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item On considère l'équation $(\mathcal{E})\quad: \quad 17x - 24y = 9$, où $(x,~ y)$ est un couple d'entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(9~;~ 6)$ est solution de l'équation $(\mathcal{E})$. \item Résoudre l'équation $(\mathcal{E})$. \end{enumerate} \item Dans une fête foraine, Jean s'installe dans un un manège circulaire représenté par le schéma de l'annexe 2. Il peut s'installer sur l'un des huit points indiqués sur le cercle. Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui, se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, à vitesse constante. Il fait un tour à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse constante. Il fait un tour en 17 secondes. Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu'aux points de contact qui sont notés A, B, C et D sur le dessin. À l'instant $t = 0$, Jean part du point H en même temps que le pompon part du point A \begin{enumerate} \item On suppose qu'à un certain instant $t$ Jean attrape le pompon en A. Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon. À l'instant $t$, on note $y$ le nombre de tours effectués depuis son premier passage en A et $x$ le nombre de tours effectués par le pompon. Montrer que $(x,~ y)$ est solution de l'équation $(\mathcal{E})$ de la question 1. \item Jean a payé pour 2 minutes ; aura-t-il le temps d'attraper le pompon ? \item Montrer, qu'en fait, il n'est possible d'attraper le pompon qu'au point A. \item Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d'attraper le pompon en A avant les deux minutes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2}\end{center} \vspace{2cm} Schéma de l'exercice 2 \vspace{2cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5) \psframe(-5,-5)(5,5) \psline(-5,-5)(5,5) \psline(-5,5)(5,-5) \pscircle(0,0){5} \psline[linewidth=2.5pt]{->}(-4,5)(-3.8,5) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(4,5)(4.2,5) \psarc[linewidth=2.5pt]{<-}(0,0){5}{205}{208} \uput[r](-3.5,3.5){E} \uput[u](0,5){A} \uput[l](3.5,3.5){F} \uput[l](-5,0){D} \uput[r](5,0){B} \uput[r](-3.5,-3.5){H} \uput[l](3.5,-3.5){G} \uput[d](0,-5){C} \end{pspicture} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2006}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \begin{itemize} \item[\textbf{Proposition}]\textbf{1 :} \og pour tout entier naturel $n$, 3 divise le nombre $2^{2n} - 1$ \fg{}. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{2 :} \og Si un entier relatif $x$ est solution de l'équation $x^2+x \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 6)$ alors $x \equiv 0 \quad (\text{modulo}~ 3)$ \fg{}. \item[\textbf{Proposition}] \textbf{3 :} \og l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de l'équation $12x - 5y = 3$ est l'ensemble des couples $(4+10k~ ;~ 9+24k)$ où $k \in \Z$ \fg{}. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{4 :} \og il existe un seul couple $(a~;~ b)$ de nombres entiers naturels, tel que $a < b$ et PPCM$(a,~ b) - \text{PGCD}(a,~b) = 1$ \fg{}. Deux entiers naturels $M$ et $N$ sont tels que $M$ a pour écriture $abc$ en base dix et $N$ a pour écriture $bca$ en base dix. \item[\textbf{Proposition}]\textbf{5 :} \og Si l'entier $M$ est divisible par 27 alors l'entier $M -N$ est aussi divisible par 27 \fg{}. \end{itemize} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2006}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \emph{On complètera la figure donnée en annexe} 2 \emph{au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.} \medskip ABCD est un carré tel que $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = + \dfrac{\pi}{2}$ . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment [CD]. On désigne par $s$ la similitude directe qui transforme A en I et B en J. \medskip \emph{Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de la similitude} $s$. \emph{Dans la partie A on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$. \item On désigne par $\Omega$ le centre de cette similitude. $\Gamma_{1}$ est le cercle de diamètre [AI], $\Gamma_{2}$ est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que $\Omega$ est l'un des points d'intersection de $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$. Placer $\Omega$ sur la figure. \item Donner l'image par $s$ de la droite (BC). En déduire le point image par $s$ du point C, puis le point K image par $s$ du point I. \item On pose $h = s \circ s$ (composée de $s$ avec elle même). \begin{enumerate} \item Donner la nature de la transformation $h$ (préciser ses éléments caractéristiques). \item Trouver l'image du point A par $h$. En déduire que les points A, $\Omega$ et K sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{u},~ \vect{v}\right)$ orthonormal direct, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2 , 2 + 2i et 2i. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'écriture complexe de la similitude est $z' = \dfrac{1}{2} \text{i}z + 1 + \text{i}$. \item Calculer l'affixe du point $\Omega$. \item Calculer l'affixe du point E tel que $s$(E) = A. Placer le point E sur la figure. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \begin{center} \psset{unit=3cm} \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.2,2.2) \psframe(0,0)(2,2) \uput{0.05}[dl](0,0){A} \uput{0.05}[dr](2,0){B} \uput{0.05}[ur](2,2){C} \uput{0.05}[ul](0,2){D} \end{pspicture} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_juin2006}{} \section{\textbf{Métropole juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A : Question de cours} \begin{enumerate} \item Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. \item Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} Il s'agit de résoudre dans $\Z$ le système \[(S) \quad \left\{ \begin{array}{l c l r} n& \equiv & 13 \quad &(19)\\ n & \equiv & 6 \quad &(12)\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un couple $(u ~;~ v)$ d'entiers relatifs tel que : $19u + 12v = 1$. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple). Vérifier que, pour un tel couple, le nombre $N = 13\times 12v + 6\times 19u$ est une solution de ($S$). \item \begin{enumerate} \item Soit $n_{0}$ une solution de ($S$), vérifier que le système ($S$) équivaut à \[\left\{ \begin{array}{l c l r} n& \equiv &n_{0}\quad &(19)\\ n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\ \end{array}\right.\] \item Démontrer que le système $\left\{ \begin{array}{l c lr} n& \equiv &n_{0}\quad &(19)\\ n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\ \end{array}\right.$ équivaut à $n \equiv n_{0}\quad (12 \times 19)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Trouver un couple $(u~;~ v)$ solution de l'équation $19u + 12v = 1$ et calculer la valeur de $N$ correspondante. \item Déterminer l'ensemble des solutions de ($S$) (on pourra utiliser la question 2. b.). \end{enumerate} \item Un entier naturel $n$ est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13. On divise $n$ par $228 = 12 \times 19$. Quel est le reste $r$ de cette division ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Centres_juin2006}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2006}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier $4^n -1$, lorsque $n$ est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og si p est un nombre entier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1} -1 \equiv 0 \mod p$ \fg{}. \bigskip \textbf{Partie A.} Quelques exemples. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ 4^n$ est congru à $1$ modulo $3$. \item Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que $4^{28} - 1$ est divisible par $29$. \item Pour $1 \leqslant n \leqslant 4$ , déterminer le reste de la division de $4^n$ par $17$. En déduire que, pour tout entier $k$, le nombre $4^{4k} - 1$ est divisible par $17$. \item Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^n - 1$ est-il divisible par $5$ ? \item À l'aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de $4^{28} - 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B.} Divisibilité par un nombre premier Soit $p$ un nombre premier différent de 2. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $4^n \equiv 1 \mod p$. \item Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel tel que $4^n \equiv1 \mod p$. On note $b$ le plus petit entier strictement positif tel que $4^b \equiv 1 \mod p$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $4^r \equiv 1 \mod p$. En déduire que $r = 0$. \item Prouver L'équivalence : $4^n - 1$ est divisible par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$. \item En déduire que $b$ divise $p - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2006}{} \section{\textbf{Asie juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Étant donné un entier naturel $n \geqslant 2$, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels $x,~y$ et $z$ tels que $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1 ~ \text{modulo}~ 2^n$. \bigskip \textbf{Partie A : Étude de deux cas particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question on suppose $n = 2$. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente. \item Dans cette question, on suppose $n = 3$. \begin{enumerate} \item Soit $m$ un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste $r$ de la division euclidienne de $m$ par 8 et le reste $R$ de la division euclidienne de $m^2$ par $8$. \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $r$ & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7 \\\hline $R$& & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Peut-on trouver trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ tels que $x^2 +y^2 +z^2 \equiv 7 ~ \text{modulo}~ 8$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Étude du cas général où} \boldmath $n \geqslant 3$ \unboldmath Supposons qu'il existe trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ tels que $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1 ~ \text{modulo}~ 2^n$. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que les trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs. \item On suppose que $x$ et $y$ sont pairs et que $z$ est impair. On pose alors $x = 2q,y = 2r,~ z = 2s +1$ où $q,~ r,~ s$ sont des entiers naturels. \begin{enumerate} \item Montrer que $x^2 + y^2 +z^2 \equiv 1 ~ \text{modulo}~ 4$. \item En déduire une contradiction. \end{enumerate} \item On suppose que $x,~ y,~ z$ sont impairs. \begin{enumerate} \item Prouver que, pour tout entier naturel $k$ non nul, $k^2 + k$ est divisible par $2$. \item En déduire que $x^2 +y^2 + z^2 \equiv 3 ~ \text{modulo}~ 8$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2006}{} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2006}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit $P$ un point du segment [BC] distinct de B. On note $Q$ l'intersection de (A$P$) avec (CD). La perpendiculaire $\delta$ à (A$P$) passant par A coupe (BC) en $R$ et (CD) en $S$. \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Précisez, en justifiant votre réponse, l'image de la droite (BC) par la rotation $r$. \item Déterminez les images de $R$ et de $P$ par $r$. \item Quelle est la nature de chacun des triangles A$RQ$ et A$PS$. \end{enumerate} \item On note $N$ le milieu du segment [$PS$] et $M$ celui du segment [$QR$]. Soit $s$ la similitude de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. \begin{enumerate} \item Déterminez les images respectives de $R$ et de $P$ par $s$. \item Quel est le lieu géométrique du point $N$ quand $P$ décrit le segment [BC] privé de B ? \item Démontrez que les points $M$, B, $N$ et D sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amnord_juin2006}{} \vspace{0,5cm} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2006}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2006_retour}{Retour au tableau} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 4~cm). Soit $\Omega$ le point d'affixe 2. On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \begin{enumerate} \item On pose $\sigma = h \circ r$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. \item Montrer que l'écriture complexe de $\sigma$ est : $z \longmapsto \dfrac{1 + \text{i}}{2}z + 1 - \text{i}$. \item Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe $z$. On désigne par $M'$ son image par $\sigma$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. Montrer que $z - z' = \text{i}\left(2 - z'\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \textbf{Question de cours} $\bullet~$ \emph{Prérequis : définitions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.} \medskip Démontrer que : si $A$ est un point donné d'affixe $a$, alors l'image du point $P$ d'affixe $p$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est le point $Q$ d'affixe $q$ telle que $q - a = \text{i}(p - a)$. \item Déduire des questions précédentes la nature du triangle $\Omega M M'$, pour $M$ distinct de $Q$. \end{enumerate} \item Soit A$_{0}$ le point d'affixe $2 + \text{i}$. On considère la suite $\left(A_{n}\right)$ de points du plan définis par : \[ \text{pour tout entier naturel} \quad n,~ A_{n+1} = \sigma \left(A_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'affixe $a_{n}$ de $A_{n}$ est donnée par : \[a_{n} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\frac{(n+2)\pi}{4}}+ 2.\] \item Déterminer l'affixe de $A_{5}$. \end{enumerate} \item Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que l'on ait : pour $n \geqslant n_{0}$, le point $A_{n}$ est dans le disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,01. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2006}{} \section{\textbf{Pondichéry avril 2006}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2006_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 5~ cm pour unité graphique. Soit $f$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[ z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z+1.\] \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est une similitude directe dont on précisera le centre $\Omega$ (d'affixe $\omega$), le rapport $k$ et l'angle $\theta$. \item On note $A_{0}$ le point O et, pour tout entier naturel $n$, on pose $A_{n+1} = f(A_{n})$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $A_{1}~A_{2},~A_{3}$ puis placer les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$ et $A_{3}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \Omega A_{n}$. Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel $n,$ \[ u_{n} = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\] \item À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,1$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $\Omega A_{0}A_{1}$ ? En déduire, pour tout entier naturel $n$, la nature du triangle $\Omega A_{n}A_{n+1}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$. On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots + A_{n-1}A_{n}$. Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Neocal_nov2005}{} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2005}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Unité graphique : \textbf{4~cm} \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points I, J, H, A, B, C, D d'affixes respectives : \[ z_{\text{I}}=1\ ,\ z_{\text{J}}= \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{H}} = 1 + \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{A}}=2\ ,\ z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{C}} = 2\mathrm{i} \ \mathrm{ et } \ z_{\text{D}} = -1 \] \item Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F. Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}}= -1 + \dfrac{1}{2} \mathrm{i}$. \item Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip On considère la transformation $f$ du plan, d'écriture complexe: $z' = - \mathrm{i} \, \overline{z} + 2 \mathrm{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images des points O, A, B par $f$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une similitude. Est-ce une isométrie ? \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item La transformation $f$ est-elle une symétrie axiale ? \end{enumerate} \item Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{IJ}}$. Donner l'écriture complexe de $t$ et celle de sa réciproque $t^{-1}$. \item On pose $s=f \circ t^{-1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'écriture complexe de $s$ est: $z'= - \mathrm{i} \, \overline{z} + 1 + \mathrm{i}$. \item Montrer que I et J sont invariants par $s$. En déduire la nature de $s$. \item En déduire que $f$ est la composée d'une translation et d'une symétrie axiale à préciser. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amsud_nov2005}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2005}} \medskip \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~c$ et $d$ telles que : \[a = \text{i},\qquad b = 1 + 2\text{i},\qquad c = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}},\quad \text{et} \quad d = 3+2\text{i}.\] On considère la similitude directe $s$ qui transforme A en B et C en D. Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M'$, d'affixe $z'$, son image par $s$. \begin{enumerate} \item Exprimer $z'$ en fonction de $z$. Déterminer les éléments caractéristiques de $s$. Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite numérique définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l} U_{0}& =&0\\ U_{n+1}& =& 2U_{n} +1\quad \text{pour tout}~ n \in \N\\ \end{array}\right.\] \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ U_{n+1}$ et $U_{n}$ sont premiers entre eux. \item Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude $s$, les termes de la suite $\left(U_{n}\right)$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n} = 2^n - 1$. \item Montrer que, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ non nuls tels que $n \geqslant p$, \[U_{n} = U_{p} \left(U_{n-p} +1\right) + U_{n-p}.\] La notation pgcd$(a~;~b)$ est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels $a$ et $b$ . Montrer pour $n \geqslant p$ l'égalité \[\text{pgcd}\left(U_{n}~,U_{p}\right) = \text{pgcd}\left(U_{p},~U_{n-p}\right).\] \item Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, montrer que : \[\text{pgcd}\left(U_{n},~U_{p}\right) = U_{\text{pgcd}(n~;~p)}.\] Déterminer le nombre : pgcd$\left(U_{2005},~U_{15}\right).$ \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{France_sept2005}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} \emph{ Chaque réponse exacte rapporte} 1 \emph{point. Chaque réponse fausse enlève} 0,5 \emph{point. Une absence de réponse est comptée} 0 \emph{point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.} \begin{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation : $x^2 - x + 4 \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 6)$. A : toutes les solutions sont des entiers pairs. B : il n'y a aucune solution. C : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$. D : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$ ou $x \equiv 5 \quad (\text{modulo}~ 6)$. \item On se propose de résoudre l'équation (E) : $24x + 34y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~; y) = (34k - 7 ~;~ 5 - 24k),~ k \in \Z$. B : L'équation (E) n'a aucune solution. C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~ y) = (17k - 7~;~ 5 - 12k),~ k \in \Z$. D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~ y) = (- 7k~;~ 5k),~ k \in \Z$. \item On considère les deux nombres $n = \np{1789}$ et $p = \np{1789}^{\np{2005}}$. On a alors : A : $ n \equiv 4\quad (\text{modulo}~ 17)$ et $p \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 17)$. B : $p$ est un nombre premier. C : $p \equiv 4\quad (\text{modulo}~17)$. D : $ p \equiv 1\quad (\text{modulo}~17)$. \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. Le triangle $M$AB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse [AB] si et seulement si le point $M$ d'affixe $z$ est tel que : \begin{tabular}{l l} A : $z = \dfrac{b - \text{i}a}{1 - \text{i}}$.&\hspace{1,5cm} C : $a - z =\text{i}(b - z)$.\\ B : $ z - a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(b - a)$.&\hspace{1,5cm} D : $b - z = \dfrac{\pi}{2}(a - z)$.\\ \end{tabular} \item On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit $f$ la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ ; soit $g$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ; soit $h$ la symétrie centrale de centre 1. A : $h \circ g \circ f$ transforme A en B et c'est une rotation. B : $h \circ g \circ f$ est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB]. C : $h \circ g \circ f$ n'est pas une similitude. D : $h \circ g \circ f$ est la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amnord_juin2005}{} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l'exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction. Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB = 2, AC= $1 + \sqrt{5}$ et $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \textsl{Démonstration de cours} : démontrer qu'il existe une seule similitude directe $S$ transformant B en A et A en C. \item Déterminer le rapport et une mesure de l'angle de $S$. \end{enumerate} \item On appelle $\Omega$ le centre de $S$. Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point $\Omega$. \item On note D l'image du point C par la similitude $S$. \begin{enumerate} \item Démontrer l'alignement des points A, $\Omega$ et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D. \item Montrer que CD $= 3+ \sqrt{5}$. \end{enumerate} \item Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD). \begin{enumerate} \item Expliquer la construction de l'image F du point E par $S$ et placer F sur la figure. \item Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Annexe : exercice de spécialité} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(7,5) \pspolygon[linewidth=2pt](0,0)(2,0)(0,3.236) \uput[dr](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} \uput[ur](0,3.236){C} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2005}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul $n$ le reste dans la division euclidienne par $9$ de $7^n$. \item Démontrer alors que $(\np{2005})^{\np{2005}}\equiv 7~(9)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel non nul \[n~ :~ (10)^n\equiv 1~(9).\] \item On désigne par $N$ un entier naturel écrit en base dix, on appelle $S$ la somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante : $N\equiv S~(9)$. \item En déduire que $N$ est divisible par $9$ si et seulement si $S$ est divisible par $9$. \end{enumerate} \item On suppose que $A=(\np{2005})^{\np{2005}}$ ; on désigne par : \begin{itemize} \item $B$ la somme des chiffres de $A$ ; \item $C$ la somme des chiffres de $B$ ; \item $D$ la somme des chiffres de $C$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Démontrer la relation suivante : $A\equiv D~(9)$. \item Sachant que $\np{2 005} < \np{10000}$, démontrer que $A$ s'écrit en numération décimale avec au plus $8\,020$ chiffres. En déduire que $B\leqslant \np{72180}$. \item Démontrer que $C\leqslant 45$. \item En étudiant la liste des entiers inférieurs à $45$, déterminer un majorant de $D$ plus petit que $15$. \item Démontrer que $D = 7$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2005}{} \section{\textbf{Asie juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le but de cet exercice est d'étudier les similitudes directes qui transforment l'ensemble $S_{1}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{1}$ donné en l'ensemble $S_{2}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{2}$ donné. Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct $\mathcal{R} = $ \Ouv, unité graphique 2 cm. On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d'affixes respectives \[- \dfrac{\text{i}}{2},~1 - \dfrac{\text{i}}{2},~1 + \dfrac{\text{i}}{2},~ \dfrac{\text{i}}{2},~1 - \text{i},~3 - \text{i},~3 + \text{i},~1 + \text{i}.\] $\mathcal{C}_{1}$ est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O$_{1}$,~$\mathcal{C}_{2}$ est le carré de sommet E, F G, H de centre O$_{2}$. $S_{1}$ est donc l'ensemble \{A, B, C, D\} et $S_{2}$ l'ensemble \{E, F, G, H\}. \begin{enumerate} \item Placer tous les points dans le repère $\mathcal{R}$, construire les carrés $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $- 1$ et de rapport 2. Donner l'écriture complexe de $h$ et prouver que $h$ transforme $S_{1}$ en $S_{2}$. \item Soit $s$ une similitude directe qui transforme $S_{1}$ en $S_{2}$ et soit $g$ la transformation ~$g = h^{-1} \circ s$. \begin{enumerate} \item Quel est le rapport de la similitude $s$ ? \item Prouver que $g$ est une isométrie qui laisse $S_{1}$ globalement invariant. \item Démontrer que $g(\text{O}_{1}) = \text{O}_{1}$. \item En déduire que $g$ est l'une des transformations suivantes : l'identité, la rotation $r_{1}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, la rotation $r_{2}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\pi$, la rotation $r_{3}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item En déduire les quatre similitudes directes qui transforment $S_{1}$ en $S_{2}$. \end{enumerate} \item \' Etude des centres de ces similitudes. \begin{enumerate}\item Déterminer les écritures complexes de $h \circ r_{1},~ h \circ r_{2},~ h \circ r_{3}$. \item En déduire les centres $\Omega_{1},~\Omega_{2},~\Omega_{3}$ de ces similitudes et les placer sur le dessin. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Centres_juin2005}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip Soit $N$ un entier naturel, impair non premier. On suppose que $N = a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels. \begin{enumerate} \item Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la même parité. \item Montrer que $N$ peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$. \item Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que \np{250507} n'est pas premier. On se propose de chercher des couples d'entiers naturels $(a~;~ b)$ vérifiant la relation \[(\text{E})~ :\quad a^2 - \np{250507} = b^2.\] \begin{enumerate} \item Soit $X$ un entier naturel. \begin{enumerate} \item Donner dans un tableau, les restes possibles de $X$ modulo 9 ; puis ceux de $X^2$ modulo 9. \item Sachant que $a^2 - \np{250507} = b^2$, déterminer les restes possibles modulo 9 de $a^2 - \np{250507}$ ; en déduire les restes possibles module 9 de $a^2$. \item Montrer que les restes possibles modulo 9 de $a$ sont 1 et 8. \end{enumerate} \item Justifier que si le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E), alors $a \geqslant 501$. Montrer qu'il n'existe pas de solution du type $(501~;~b)$. \item On suppose que le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E). \begin{enumerate} \item Démontrer que $a$ est congru à 503 ou à 505 modulo 9. \item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que le couple $(505+9k~;~b)$ soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item Déduire des parties précédentes une écriture de \np{250507} en un produit deux facteurs. \item Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ? \item Cette écriture est-elle unique ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{France_juin2005}{} \section{\textbf{Métropole juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \textsl{Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe. Cette annexe sera à rendre avec la copie.} On munit le plan d'un repère orthonormal direct \Ouv. Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respectivement les points R, S, T et U). \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} On désigne par $m,~ n,~ p$ et $q$, les affixes respectives des points M, N, P et Q. \begin{enumerate} \item Soit $f$ la similitude directe de centre M qui transforme N en R. \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $f$. \item On désigne par $r$ l'affixe du point R. Démontrer que $r= \dfrac{1 + \text{i}}{2}m + \dfrac{1 - \text{i}}{2}n$, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$(on pourra éventuellement utiliser l'écriture complexe de la similitude $f$). On admettra que l'on a également les résultats $s =\dfrac{1 + \text{i}}{2}n + \dfrac{1 - \text{i}}{2}p,~ t = \dfrac{1 + \text{i}}{2}p +\dfrac{1 - \text{i}}{2}q$ et $u = \dfrac{1 + \text{i}}{2}q + \dfrac{1 - \text{i}}{2}m$, où $s,~ t $ et $u$ désignent les affixes respectives des points S, T et U. \end{enumerate} \item Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre. \item \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité $u - s = \text{i}(t - r)$. \item Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d'une part, et pour les droites (RT) et (SU), d'autre part ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \textsl{Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.} \begin{enumerate} \item Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la \textbf{partie A}, qu'il existe une unique rotation $g$ qui transforme R en S et T en U. \item Décrire comment construire géométriquement le point $\Omega$, centre de la rotation $g$. Réaliser cette construction sur la figure de l'annexe. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2005}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2005} } \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : \og Étant donnés deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls, si PGCD$(a~;~ b) = 1$ alors PGCD$(a^2~;~ b^2) = 1$ \fg{}. Une suite $\left(\text{S}_{n}\right)$ est définie pour $n > 0$ par S$_{n} = \displaystyle\sum_{p=1}^n p^3$. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul $n$, le plus grand commun diviseur de S$_{n}$ et S$_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $n > 0$, on a : S$_{n} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$. \item Étude du cas où $n$ est pair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k$. \begin{enumerate} \item Démontrer que PGCD(S$_{2k}$~;~S$_{2k+1}) = (2k+1)^2$PGCD$\left(k^2~;~(k+1)^2\right)$. \item Calculer PGCD $(k~;~k + 1)$. \item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k}~;~\text{S}_{2k+1}\right)$. \end{enumerate} \item Étude du cas où $n$ est impair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k+ 1.$ \begin{enumerate} \item Démontrer que les entiers $2k + 1$ et $2k +3$ sont premiers entre eux. \item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k+1}~;~\text{S}_{2k+2}\right)$. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de $n$, que l'on déterminera, pour laquelle S$_{n}$ et S$_{n+1}$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2005}{} \section{\textbf{Liban juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : \[109x - 226y = 1\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l'équation (E) ? \item Montrer que l'ensemble de solutions de (E) est l'ensemble des couples de la forme $(141 + 226k,~ 68 + 109k)$, où $k$ appartient à $\Z$. En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$ inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que $109d = 1 + 226e$. (On précisera les valeurs des entiers $d$ et $e$.) \end{enumerate} \item Démontrer que 227 est un nombre premier. \item On note A l'ensemble des 227 entiers naturels $a$ tels que $a \leqslant 226$. On considère les deux fonctions $f$ et $g$ de A dans A définies de la manière suivante : à tout entier de A, $f$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{109}$ par 227. à tout entier de A, $g$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{141}$ par 227. \begin{enumerate} \item Vérifier que $g[ f(0) ] = 0$. \textsl{On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :} \textbf{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$ alors $a^{p - 1} \equiv 1 \quad \text{modulo}~ p$.} \item Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A, $a^{226} \equiv 1\quad [\text{modulo}~ 227]$. \item En utilisant \textbf{1 b}, en déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A. $g[f(a)] = a$. Que peut-on dire de $f[(g(a)] = a$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2005}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}& =& 14\\ u_{n+1}& =& 5 u_{n} - 6~~\text{pour tout entier naturel}~ n\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},~ u_{2},~ u_{3}$ et $u_{4}$. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ? \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+2}\equiv u_{n}\quad (\text{modulo}~ 4)$. En déduire que pour tout entier naturel $k,~ u_{2k}\equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 4)$ et$u_{2k+1}\equiv 0 \quad (\text{modulo}~ 4)$. \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,2u_{n} = 5^{n+2} + 3$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ 2 u_{n} \equiv 28\quad (\text{modulo}~100)$. \end{enumerate} \item Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{n}$ suivant les valeurs de $n$. \item Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite $\left(u_{n}\right)$ est constant. Préciser sa valeur. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_juin2005}{} \section{\textbf{Pondichéry juin 2005}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2005_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct \Ouv. On considère l'application $f$ qui au point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = \dfrac{3+4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{1 - 2\text{i}}{5}.\] \begin{enumerate} \item On note $x$ et $x',~ y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$. Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} x' &= & \dfrac{3x+4y+1}{5}\\ y' & = & \dfrac{4x - 3y - 2}{5}\\ \end{array}\right.$ \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item Quelle est la nature de l'application $f$ ? \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble D des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit réel. \item On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière $(x_{0} ,~y_{0})$ appartenant a $\Z^2$ de l'équation $4x - 3y = 2$. \item Déterminer l'ensemble des solutions appartenant à $\Z^2$ de l'équation $4x -3y = 2$. \end{enumerate} \item On considère les points $M$ d'affixe $z = x+ \text{i}y$ tels que $x = 1$ et $y \in \Z$. Le point $M' = f(M)$ a pour affixe $z'$. Déterminer les entiers $y$ tels que Re($z'$) et lm($z'$) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Neocal_nov2004}{} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans cet exercice, $a$ et $b$ désignent des entiers strictement positifs. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $a u + b v = 1$ alors les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux. \item En déduire que si $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs $(a~;~b)$ tels que $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$. Un tel couple sera appelé solution. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ lorsque $a = b$. \item Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières. \item Montrer que si $(a~;~b)$ est solution et si $a < b$ , alors $a^2 - b^2 < 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $(x~;~y)$ est une solution différente de (1 ; 1) alors $(y - x~;~x)$ et $(y~;~y + x)$ sont aussi des solutions. \item Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions. \end{enumerate} \item On considère la suite de nombres entiers strictement positifs $\left(a_{n}\right)_{n}$ définie par $a_{0} = a_{1} = 1$ et pour tout entier $n,~ n \geqslant 0,~ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ . Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 0,~ \left(a_{n}~ ;~ a_{n +1}\right)$ est solution. En déduire que les nombres $a_{n}$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amsud_nov2004}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Soit A$_0$ et B$_0$ deux points du plan orienté tels que A$_0$B$_0$ = 8. On prendra le centimètre pour unité. Soit S la similitude de centre A$_0$, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$. On définit une suite de points $(B_n)$ de la façon suivante : \begin{center} pour tout entier naturel $n,~ B_{n+1} = \text{S}(B_n)$. \end{center} \begin{enumerate} \item Construire B$_1$,~ B$_2$,~B$_3$ et B$_4$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, les triangles A$_0B_{n}B_{n+1}$ et A$_0B_{n+1}B_{n+2}$ sont semblables. \item On définit la suite $(\ell_n)$ par : pour tout entier naturel $n,~ \ell_n = B_nB_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(\ell_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison. \item Exprimer $\ell_n$ en fonction de $n$ et de $\ell_0$. \item On pose $\Sigma_n = \ell_0 + \ell_1 + \cdots + \ell_n$. Déterminer la limite de $\Sigma_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $3x - 4y = 2$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. \item Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire en A$_0$ à la droite (A$_0$B$_0$). Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n,~ B_n$ appartient-il à $\Delta$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_sept2004}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué. \begin{enumerate} \item Le PGCD de \np{2004} et \np{4002} est 6. \item Si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels non nuls, $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$ et par $2S^{q} - 1$. \item Pour tout $n$ de $\N^{*},~ 2^n - 1$ n'est jamais divisible par 9. \item L'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation : \[24x + 35y = 9\] est l'ensemble des couples : \[(-144 + 70k~;~99 -24k)~\text{où}~k \in \Z.\] \item Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note $f$ l'homothétie de centre A et de rapport 3 et $g$ l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{1}{3}$ alors $g \circ f$ est la translation de vecteur A. \item Soit $s$ la similitude d'écriture complexe $z' = \text{i}\overline{z} + (1 - \text{i})$, l'ensemble des points invariants de $s$ est une droite. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_sept2004}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \textsl{L'exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.} A et C sont deux points distincts du plan ; on note $\Gamma$ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de $\Gamma$ ; $B$ est un point du cercle $\Gamma$ distinct des points A et C. Le point $D$ est construit tel que le triangle $B$C$D$ soit équilatéral direct ; on a donc $\left(\vect{B\text{C}},~\vect{BD}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $B$C$D$. Les droites (A$B$) et (C$G$) se coupent en un point $M$. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points $D,~ G$ et $M$ sur la figure de la feuille annexe. \item Montrer que les points O, $D$ et $G$ appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point $G$ est le milieu du segment [C$M$]. \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe $s$ de centre C transformant $B$ en $M$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives $- 1$ et 1. Soit $E$ le point construit pour que le triangle AC$E$ soit équilatéral direct ; on a donc $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{A}E}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point $E$ et construire le point $E$ sur la feuille annexe. \item Soit $\sigma$ la similitude directe d'expression complexe $z' = \dfrac{3 + \text{i}\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{4}$. Déterminer les éléments caractéristiques de $\sigma$ et en déduire que $\sigma$ est la similitude réciproque de $s$. \item Montrer que l'image $E'$ du point $E$ par $\sigma$ a pour affixe $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et montrer que le point $E'$ appartient au cercle $\Gamma$. \item On note $\mathcal{C}$ le lieu des points $M$ lorsque le point $B$ décrit le cercle $\Gamma$ privé des points A et C. Montrer que le point $E$ appartient à $\mathcal{C}$. Soit O$'$ l'image du point O par la similitude $s$. Démontrer que le point O$'$ est le centre de gravité du triangle AC$E$. En déduire une construction de $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2004}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra, sur la figure 1 cm pour unité graphique. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $- 1$ + i,~$3 + 2\text{i}$ et i$\sqrt{2}$. \begin{enumerate} \item On considère la transformation $f$ du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{2}}\overline{z} - 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A})$ et C$' = f(\text{C})$. \item En déduire la nature de $f$ et caractériser cette transformation. \item Placer les points A, B et C puis construire le point B$' = f(\text{B})$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de l'homothétie $h$ de centre A et de rapport $\sqrt{2}$. \item Montrer que la composée $g = f \circ h$ a pour écriture complexe \mbox{$z'' = (1 + \text{i})\overline{z} - 1 + 3\text{i}$}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit M$_0$ le point d'affixe 2 - 4 i. Déterminer l'affixe du point M$_0'' = g\left(\text{M}_0\right)$ puis vérifier que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AM}_0''}$ sont orthogonaux. \item On considère un point $M$ d'affixe $z$. On suppose que la partie réelle $x$ et la partie imaginaire $y$ de $z$ sont des entiers. Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}M''}$ sont orthogonaux si, et seulement si $5x + 3y = -2$. \item Résoudre dans $\Z^2$ l'équation $5x + 3y = -2$. \item En déduire les points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle $[-6~;~ 6]$ tels que $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AM}''}$ sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Amnord_mai2004}{} \section{\textbf{Amérique du Nord mai 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_mai2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. Soient les points A, A$'$, B et B$'$ d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 - 2\text{i},~ z_{\text{A}'} =-2 + 4\text{i},~z_{\text{B}} =3 - \text{i},~z_{\text{B}'} = 5\text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, A$'$, B et B$'$ dans le plan complexe. Monter que ABB$'$A$'$ est un rectangle. \item Soit $s$ la réflexion telle que $s$(A)=A$'$ et $s$(B)=B$'$. On note ($\Delta$) son axe. Donner une équation de la droite ($\Delta$) et la tracer dans le plan complexe. \item On note $z'$ l'affixe du point $M'$ image par $s$ du point $M$ d'affixe $z$. Montrer que \[z'= \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 2\text{i}-1.\] \end{enumerate} \item Soit $g$ l'application du plan dans lui même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $P$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 5 - \text{i}.\] \begin{enumerate} \item On note $C$ et $D$ les images respectives de A et B par $g$ ; déterminer les affixes de $C$ et $D$ et placer ces points dans le plan complexe. \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 + \text{i}$ et soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- 2$. Montrer que $C$ et $D$ sont les images respectives de A$'$ et B$'$ par $h$. \item Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ l'image par $h$ de $M$, d'affixe $z$. Donner les éléments caractéristiques de $h^{-1}$ et exprimer $z$ en fonction de $z_{1}$. \end{enumerate} \item On pose $f = h ^{-1} \circ g$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression complexe de $f$. \item Reconnaître $f$. En déduire une construction du point $P$, image par $g$ d'un point $M$ quelconque donné du plan. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Antilles_juin2004}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit $P$ un point du segment [BC] distinct de B. On note $Q$ l'intersection de (A$P$) avec (CD). La perpendiculaire $\delta$ à (A$P$) passant par A coupe (BC) en $R$ et (CD) en $S$. \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Précisez, en justifiant votre réponse, l'image de la droite (BC) par la rotation $r$. \item Déterminez les images de $R$ et de $P$ par $r$. \item Quelle est la nature de chacun des triangles A$RQ$ et A$PS$. \end{enumerate} \item On note $N$ le milieu du segment [$PS$] et $M$ celui du segment [$QR$]. Soit $s$ la similitude de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. \begin{enumerate} \item Déterminez les images respectives de $R$ et de $P$ par $s$. \item Quel est le lieu géométrique du point $N$ quand $P$ décrit le segment [BC] privé de B ? \item Démontrez que les points $M$, B, $N$ et D sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2004}{} \section{\textbf{Asie juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme $9 + a^2$ où $a$ est un entier naturel non nul ; par exemple $10 = 9 + 1^2~;~13 = 9 + 2^2$ etc. On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5. \begin{enumerate} \item Étude de l'équation d'inconnue $a \quad :\quad a^2 + 9 = 2^n$ où $a \in \N,n \in \N,~n \geqslant 4$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $a$ existe, $a$ est impair. \item En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution. \end{enumerate} \item Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad a^2+9 = 3^n$ où $a \in \N,~n \in \N,n \geqslant 3$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $n \geqslant 3,~ 3^n$ est congru à 1 ou à 3 modulo 4. \item Montrer que si $a$ existe, il est pair et en déduire que nécessairement $n$ est pair. \item On pose $n = 2p$ où $p$ est un entier naturel, $p \geqslant 2$. Déduire d'une factorisation de $3^n - a^2$, que l'équation proposée n'a pas de solution. \end{enumerate} \item Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad a^2 + 9 = 5^n$ où $a \in \N ,~n \in \N, n \geqslant 2$. \begin{enumerate} \item En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de solution si $n$ est impair. \item On pose $n = 2p$, en s'inspirant de \textbf{2 c} démontrer qu'il existe un unique entier naturel $a$ tel que $a^2 + 9$ soit une puissance entière de 5. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Centres_juin2004}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant : \og \emph{Les nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul chiffre $1$ peuvent-ils être premiers} ? \fg{} Pour tout entier naturel $p \geqslant 2$, on pose $N_{p} = 1 \ldots 1$ où 1 apparaît $p$ fois. On rappelle dès lors que $N_{p} = 10^{p-1} + 10^{p-2} + \cdots + 10^0$. \begin{enumerate} \item Les nombres $N_{2} = 11,~ N_{3} = 111,~N_{4} = 1111$ sont-ils premiers ? \item Prouver que $N_{p} = \dfrac{10^p -1}{9}$. Peut-on être certain que $10^p - 1$ est divisible par 9 ? \item On se propose de démontrer que si $p$ n'est pas premier, alors $N_{p}$ n'est pas premier. On rappelle que pour tout nombre réel $x$ et tout entier naturel $n$ non nul, \[x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right).\] \begin{enumerate} \item On suppose que $p$ est pair et on pose $p = 2q$, où $q$ est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{2} = 11$. \item On suppose que $p$ est multiple de 3 et on pose $p = 3q$, où $q$ est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{3} = 111$. \item On suppose $p$ non premier et on pose $p = kq$ où $k$ et $q$ sont des entiers naturels plus grands que 1. En déduire que $N_{p}$ est divisible par $N_{k}$. \end{enumerate} \item Énoncer une condition nécessaire pour que $N_{p}$ soit premier. Cette condition est-elle suffisante ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_juin2004}{} \section{\textbf{Métropole juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier naturel $x$ : \[(x-1)\left(1 +x + x^2 + \cdots + x^{k-1}\right) = x^k - 1.\] Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier $a$ supérieur ou égal à 2. \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif de $n~:~n = dk$. Montrer que $a^d- 1$ est un diviseur de $a^n - 1$. \item Déduire de la question précédente que $2^{2004} - 1$ est divisible par 7, par 63 puis par 9. \end{enumerate} \item Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $d$ leur pgcd. \begin{enumerate} \item On définit $m'$ et $n'$ par $m = dm'$ et $n = dn'$. En appliquant le théorème de Bezout à $m'$ et $n'$, montrer qu'il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que : $mu - nv = d$. \item On suppose $u$ et $v$ strictement positifs. Montrer que : $\left(a^{mu} - 1 \right) - \left(a^{nv} - 1 \right) a^d = a^d - 1$. Montrer ensuite que $a^d - 1$ est le pgcd de $a^{mu} - 1$ et de $a^{nv} - 1$. \item Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de $2^{63} - 1$ et de $2^{60} - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2004}{} \section{\textbf{Liban juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{C}} = 6+3\text{i},\quad z_{\text{D}} = - 1 + 6\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Représenter les points A, B, C et D. \item Montrer qu'il existe une similitude directe $f$ telle que $f$(A) = B et $f$(C) = D. Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques. \item Soit J le point d'affixe $3+5\text{i}$. Montrer que la rotation $R$ de centre J et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ transforme A en D et C en B. \item On appelle I le point d'affixe $1+\text{i}$,~M et N les milieux respectifs de segments [AC] et [BD]. Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN. \item On considère les points $P$ et $Q$ tels que les quadrilatères IA$P$B et IC$Q$D sont des carrés directs. \begin{enumerate} \item Calculer les affixes $z_P$ et $z_Q$ des points $P$ et $Q$. \item Déterminer $\dfrac{\text{I}P}{\text{IA}}$ et $\dfrac{\text{I}Q}{\text{IC}}$ ainsi qu'une mesure des angles $\left(\vect{\text{IA}},~\vect{\text{I}P}\right)$ et $\left(\vect{\text{IC}},~\vect{\text{I}Q} \right)$. En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe $g$ telle que $g$(A) = $P$ et $g$(C)= $Q$. \item En déduire que J est l'image de $M$ par $g$. Que peut-on en déduire pour J ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2004}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan P est rapporté a un repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 3~cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a, b, c et d telles que \[\text{a} = 3 \qquad \text{b} = 1 + \dfrac{2}{3}\text{i} \qquad \text{c} = 3\text{i} \quad \text{et} \quad \text{d} = -\dfrac{1}{3}\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Représenter les points A, B, C et D. \item Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude directe $s$ transformant A en B et C en D. \item Donner l'écriture complexe de $s$. En déduire l'affixe du centre I de $s$. \item Soit $M$ le point de coordonnées $(x~;~ y)$ et $M'(x'~;~ y')$ son image par $s$. Montrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} x' & = &-\dfrac{1}{3}y + 1\\ y' & = & \dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3}\\ \end{array} \right.$ \item On construit une suite $\left(M_{n}\right)$ de points du plan en posant \[\left\{\begin{array}{l c l} \text{M}_{0}& =&\text{A}\\ \multicolumn{3}{l}{\text{et, pour tout entier naturel } n}\\ M_{n+1} &= & s(M_{n})\\ \end{array} \right.\] Pour tout entier naturel, on note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ et on pose $r_{n} = \left|z_{n} -1\right|$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(r_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que I$M_{k} \leqslant 10^{-3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Pondichery_avril2004}{} \section{\textbf{Pondichery avril 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10). \begin{enumerate} \item Dans cette question, on se place dans le plan P$_0$ d'équation $x = 0$ rapporté au repère \Oij. On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre B passant par A. Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$. \item On nomme $\mathcal{S}$ la sphère engendrée par la rotation du cercle $\mathcal{C}$ autour de l'axe (O$z$) et $\Gamma$ le cône engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l'axe (O$z$). \begin{enumerate} \item Démontrer que le cône $\Gamma$ admet pour équation $x^2 + y^2 = z^2$. \item Déterminer l'intersection du cône $\Gamma$ et de la sphère $\mathcal{S}$. Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques. \item Illustrer ces objets par un schéma dans l'espace. \end{enumerate} \item On coupe le cône $\Gamma$ par le plan P$_1$ d'équation $x = 1$. Dans P$_1$, l'une des trois figures ci-dessous représente cette intersection. Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires. \item Soit $M(x,~y,~z)$ un point du cône $\Gamma$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que $x$ et $y$ ne peuvent pas être simultanément impairs. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabular}{c c c} \begin{pspicture}(4,4) \pscircle(2,1.5){1} \end{pspicture}& \begin{pspicture}(4,3) \psline(0.5,0)(3.5,3) \psline(0.5,3)(3.5,0) \end{pspicture}& \begin{pspicture}(4,3) \pscurve(0.2,0)(0.5,0.25)(1,0.8)(1.5,1.25)(2,1.5)(2.5,1.25)(3,0.8)(3.5,0.25)(3.8,0) \pscurve(0.2,3.7)(0.5,3.45)(1,2.9)(1.5,2.45)(2,2.2)(2.5,2.45)(3,2.9)(3.5,3.45)(3.8,3.7) \end{pspicture}\\ Figure 1 & Figure 2 & Figure 3\\ \end{tabular} \end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2004}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2004}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2004_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier naturel premier avec $p$ ; alors $a^{p-1} - 1$ est divisible par $p$ \fg{}. \begin{enumerate} \item Soit $p$ un nombre premier impair. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un entier naturel $k$, non nul, tel que $2^k \equiv 1 \quad [p]$. \item Soit $k$ un entier naturel non nul tel que $2^k \equiv 1 \quad [p]$ et soit $n$ un entier naturel. Montrer que, si $k$ divise $n$, alors $2^n \equiv 1 \quad [p]$. \item Soit $b$ tel que $2^b \equiv 1 \quad [p],~ b$ étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant la division euclidienne de $n$ par $b$, que si $2^n \equiv 1\quad [p]$, alors $b$ divise $n$. \end{enumerate} \item Soit $q$ un nombre premier impair et le nombre $A = 2^q- 1$. On prend pour $p$ un facteur premier de $A$. \begin{enumerate} \item Justifier que : $2^q \equiv 1 \quad [p]$. \item Montrer que $p$ est impair. \item Soit $b$ tel que $2^b \equiv 1 \quad [p],~ b$ étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant \textbf{1.} que $b$ divise $q$. En déduire que $b = q$. \item Montrer que $q$ divise $p - 1$, puis montrer que $p \equiv 1 \quad [2q]$. \end{enumerate} \item Soit $A_{1} = 2^{17} - 1$. Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme $34m + 1$, avec $m$ entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que $A_{1}$ est premier. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amsud_nov2003}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Oij~ (unité graphique : 1~cm). On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{5}$. \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation ( E) : $3y = 5(15 - x)$. \item Soit I le point d'affixe 1. On considère un point $A$ mobile sur le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ de centre O. Sa position initiale est en I. On appelle $d$ la distance, exprimée en centimètres, qu'a parcourue le point $A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ après avoir subi $p$ rotations $r_1$ et $q$ rotations $r_2$ \quad ($p$ et $q$ étant des entiers naturels). On convient que lorsque $A$ subit la rotation $r_1$ (respectivement $r_2$), il parcourt une distance de $\dfrac{\pi}{3}$cm (respectivement $\dfrac{\pi}{5}$ cm). Déterminer toutes les valeurs possibles de $p$ et $q$ pour lesquelles le point $A$ a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle $\mathcal{C}$ à partir de I. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip On note $h_1$ l'homothétie de centre O et de rapport 4 et $h_2$ l'homothétie de centre O et de rapport $-6$. On pose $s_1 = r_1 \circ h_1$ et $s_2 =r_2 \circ h_2$. \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les éléments caractéristiques de $s_1$ et $s_2$. \item On pose : $S_m = s_1 \circ s_1 \cdots \circ s_1$ (composée de $m$ fois $s_1$,~ $m$ étant un entier naturel non nul), $S'_n = s_2 \circ s_2 \cdots \circ s_2$ (composée de $n$ fois $s_2$,~ $n$ étant un entier naturel non nul), et $f = S'_n s_1 \circ S_m$. \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est la similitude directe de centre O, de rapport $2^{2m+n}~\times~ 3^n$ et d'angle $m\dfrac{\pi}{3} + n\dfrac{6\pi}{5}$. \item $f$ peut-elle être une homothétie de rapport 144 ? \item On appelle M le point d'affixe 6 et M$'$ son image par $f$. Peut-on avoir OM$' = 240$ ? Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels unique $(m,~n)$ tel que OM$' = 576$. Calculer alors la mesure principale de l'angle orienté $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OM}'}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Neocal_nov2003}{} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel. Montrer que l'un des trois nombres $p,{}p + 10$ et $p + 20$, et l'un seulement est divisible par 3. \item Les entiers naturels $a,~ b$ et $c$ sont dans cet ordre les trois premiers terme d'une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu'ils sont premiers. \end{enumerate} \item Soit E l'ensemble des triplets d'entiers relatifs $(u,~v,~w)$ tels que \[3u + 13v + 23w = 0.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour un tel triplet $v \equiv w ~~(\text{mod} \quad 3)$ \item On pose $v = 3k + r$ et $w = 3k' + r$ où $k,~k'$ et $r$ sont des entiers relatifs et $0 \leqslant r \leqslant 2$. Montrer que les éléments de E sont de la forme : \[(-13k - 23k' - 12r,~3k + r,~3k' + r).\] \item l'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine O et soit P le plan d'équation $3x + 13y + 23z = 0$. Déterminer l'ensemble des points $M$ à coordonnées $(x,~y,~z)$ entières relatives appartenant au plan P et situés à l'intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2003}{} \section{\textbf{Antilles septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Soit l'équation (1) d'inconnue rationnelle $x$ : \[ 78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0.\] où $u$ et $v$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item On suppose dans cette question que $\dfrac{14}{39}$ est solution de l'équation (1). \begin{enumerate} \item Prouver que les entiers relatifs $u$ et $v$ sont liés par la relation $14u + 39v = \np{1129}.$ \item Utiliser l'algorithme d'Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul, pour trouver un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs vérifiant l'équation $14x + 39y = 1$. Vérifier que le couple $(- 25~;~9)$ est solution de cette équation. \item En déduire un couple $\left(u_{0}~;~v_{0}\right)$ solution particulière de l'équation $14u + 39v = \np{1129}$. Donner la solution générale de cette équation c'est-à-dire l'ensemble des couples $(u~;~v)$ d'entiers relatifs qui la vérifient. \item Déterminer, parmi les couples $(u~;~v)$ précédents, celui pour lequel le nombre $u$ est l'entier naturel le plus petit possible. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers. En déduire, dans $\N$, l'ensemble des diviseurs de 78 et l'ensemble des diviseurs de 14. \item Soit $\dfrac{P}{Q}$ une solution rationnelle de l'équation (1) d'inconnue $x$ : \[78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0 \quad \text{où} \quad u \quad\text{et}\quad v\quad \text{sont des entiers relatifs.}\] Montrer que si $P$ et $Q$ sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors $P$ divise 14 et $Q$ divise 78. \item En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l'équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble de ceux qui sont positifs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{France_sept2003}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On rappelle que \np{2003} est un nombre premier. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que : \[123 u + \np{2003} v = 1.\] \item En déduire un entier relatif $k_0$ tel que : \[123k_0 \equiv 1\ \ [\np{2003}].\] \item Montrer que, pour tout entier relatif $x$, \[123 x \equiv 456\ \ [\np{2003}] \text{si et seulement si}~ x \equiv 456 k_0\ \ [\np{2003}].\] \item Déterminer l'ensemble des entiers relatifs $x$ tels que : \[123x \equiv 456\ \ [\np{2003}].\] \item Montrer qu'il existe un unique entier $n$ tel que : \[1 \leqslant n \leqslant \np{2002}\ \ \text{et}\ \ 123n \equiv 456\ \ [\np{2003}].\] \end{enumerate} \item Soit $a$ un entier tel que : $1 \leqslant a \leqslant \np{2002}$. \begin{enumerate} \item Déterminer : \[ \text{PGCD}(a,~\np{2003}).\] En déduire qu'il existe un entier $m$ tel que : \[am \equiv 1\ \ [\np{2003}].\] \item Montrer que, pour tout entier $b$, il existe un unique entier $x$ tel que : \[ 0 \leqslant x \leqslant \np{2002}\ \ \text{et}\ \ ax \equiv b\ \ [\np{2003}].\] \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2003}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On désigne par $p$ un nombre entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l'exercice est de démontrer que l'entier naturel $n = p^4 - 1$ est divisible par 240, puis d'appliquer ce résultat. \begin{enumerate} \item Montrer que $p$ est congru à $- 1$ ou à $1$ modulo 3. En déduire que $n$ est divisible par 3. \item En remarquant que $p$ est impair, prouver qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $p^2 - 1 = 4k(k + 1)$, puis que $n$ est divisible par $16$. \item En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de $p$ par 5, démontrer que $5$ divise $n$. \item \begin{enumerate} \item Soient $a,~ b$ et $c$ trois entiers naturels. Démontrer que si $a$ divise $c$ et $b$ divise $c$, avec $a$ et $b$ premiers entre eux, alors $ab$ divise $c$. \item Déduire de ce qui précède que $240$ divise $n$. \end{enumerate} \item Existe-t-il quinze nombres premiers $p_1,~p_2, ...,~ p_{15}$ supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier $A = p_1^4 + p_2^4 +... + p_{15}^4$ soit un nombre premier ? \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Amnord_juin2003}{} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv, d'unité graphique 1~cm, on considère les points A$_0$, A$_1$, A$_2$ d'affixes respectives $z_0 = 5 - 4\text{i},~ z_1 = - 1- 4\text{i},~ z_2 = - 4 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'existence d'une unique similitude directe $S$ telle que $S(\text{A}_0)~=~\text{A}_1$ et $S (\text{A}_1) = \text{A}_2$. \item Établir que l'écriture complexe de $S$ est $z'= \dfrac{1-\text{i}}{2}z + \dfrac{- 3 + \text{i}}{2}$. \item En déduire le rapport, l'angle et l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de la similitude $S$. \item On considère un point $M$, d'affixe $z$ avec $z ­\neq 0$, et son image $M'$, d'affixe $z'$. Vérifier la relation : $\omega - z'= \text{i}(z - z')$ ; en déduire la nature du triangle $\Omega MM'$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, le point A$_{n+1}$, est défini par A$_{n+1} = S(\text{A}_n)$ et on pose $u_n = \text{A}_n\text{A}_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Placer les points A$_0$,~ A$_1$, A$_2$ et construire géométriquement les points A$_3$,~ A$_4$,~ A$_5$,~ A$_6$. \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est géométrique. \end{enumerate} \item La suite $(v_n)$ est définie sur $\N$ par $v_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k$. \begin{enumerate} \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \item La suite $(v_n)$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer en fonction de $n$ le rayon $r_n$ du cercle circonscrit au triangle $\Omega\text{A}_n\text{A}_{n+1}$. \item Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : si $n > p$ alors $r_n < 10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2003}{} \section{\textbf{Antilles juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer : $\left(1 + \sqrt{6}\right)^2,~ \left(1 + \sqrt{6}\right)^4,~\left(1 + \sqrt{6}\right)^6$. \item Appliquer l'algorithme d'Euclide à 847 et 342. Que peut-on en déduire ? \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $a$ et $b$ les entiers naturels tels que : \[\left(1 + \sqrt{6}\right)^n = a_n + b_n\sqrt{6}.\] Que valent $a_1$ et $b_1$ ? D'après les calculs de la question \textbf{1 a}, donner d'autres valeurs de $a_n$ et $b_n$. \begin{enumerate} \item Calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$. \item Démontrer que, si 5 ne divise pas $a_n + b_n$, alors 5 ne divise pas non plus $a_{n+1} + b_{n+1}$. En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, 5 ne divise pas $a_n + b_n$. \item Démontrer que, si $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux, alors $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ sont premiers entre eux. En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2003}{} \section{\textbf{Asie juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^3 - 11n + 48$ est divisible par $n + 3$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^2 - 9n + 16$ est un entier naturel non nul. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls $a,~b$ et $c$, l'égalité suivante est vraie : \[\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD}(bc - a~;~b).\] \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 2, l'égalité suivante est vraie : \[\text{PGCD}(3n^3 - 11n~;~n + 3) = \text{PGCD}(48~;~n + 3).\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 48. \item En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $\dfrac{3n^3 - 11n}{n+3}$ soit un entier naturel. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Centres_juin2003}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \vspace{2cm} \parbox[l]{0.40\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère la surface \textbf{T} d'équation : $x^2y = z$\quad avec $-1 \leqslant x \leqslant 1$ \quad et $-1 \leqslant y \leqslant 1.$ La figure ci-contre est une représentation de la surface \textbf{T}, dans le cube de centre O et de côté 2.} \hfill \parbox[l]{0.45\textwidth}{ %\includegraphics[width=7cm]{fig.Maroc.epsf}} \psset{unit=1.5cm,xMax=2.2,yMax=2.2,zMax=2.2} \begin{pspicture}(-1.2,-1)(1,1) \pstThreeDCoor \pstThreeDBox(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2) \psplotThreeD[linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul} \psplotThreeD[linecolor=red,drawStyle=yLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul} \end{pspicture}} \vspace{0,8cm} \begin{enumerate} \item Éléments de symétrie de la surface \textbf{T}. \begin{enumerate} \item Montrer que si le point $M(x,~y,~z)$ appartient à \textbf{T}, alors le point $M'(-x,~y,~z)$ appartient aussi à \textbf{T}. En déduire un plan de symétrie de \textbf{T}. \item Montrer que l'origine O du repère est centre de symétrie de \textbf{T}. \end{enumerate} \item Intersections de la surface \textbf{T} avec des plans parallèles aux axes. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan (x\text{O}z). \item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan $(y\text{O}z)$. \end{enumerate} \item Intersections de la surface \textbf{T} avec les plans parallèles au plan $(x\text{O}y)$ d'équations $z = k$, avec $k \in [0~;~1]$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'intersection de la surface \textbf{T} et du plan d'équation $z = 0$. \item Pour $k > 0$ on note $K$ le point de coordonnées $(0,~0,~ k)$. Déterminer, dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath}\right)$, l'équation de la courbe d'intersection de \textbf{T} et du plan d'équation $z = k$. \item Tracer l'allure de cette courbe dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$. On précisera en particulier les coordonnées des extrémités de l'arc. \end{enumerate} \item On note (D) le domaine formé des points du cube unité situés sous la surface \textbf{T}. \[(\text{D}) = {M(x,~y,~z) \in (E) \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant x \leqslant 1~ ; 0\leqslant y\leqslant 1~;~ 0 \leqslant z \leqslant x^2y}.\] \begin{enumerate} \item Pour $0 < k \leqslant 1$, le plan d'équation $z = k$ coupe le domaine (D) selon une surface qu'on peut visualiser sur le graphique de la \textbf{question 3 c}. C'est l'ensemble des points $M$ du cube unitéŽ, de coordonnŽées $(x,~ y,~ z)$ tels que $y \geqslant \dfrac{k}{x^2}$ et $z = k$. Calculer en fonction de $k$ l'aire $S(k)$ exprimée en unités d'aire, de cette surface. \item On pose $S(0) = 1$ ; calculer en unités de volume, le volume $V$ du domaine (D). On rappelle que $V = \displaystyle\int_0^1 S(k)\:\text{d}k$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_juin2003}{} \section{\textbf{Métropole juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \emph{Les questions} \textbf{3} \emph{et} \textbf{4} \emph{sont indépendantes des questions} \textbf{1} \emph{et} \textbf{2} \emph{seule l'équation de} $\Gamma$ \emph{donnée en} \textbf{1 c} \emph{intervient à la question} \textbf{4}. \begin{enumerate} \item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. \begin{enumerate} \item Montrer que les plans P et Q d'équations respectives $x + y\sqrt{3}- 2z = 0$ et $2x - z = 0$ ne sont pas parallèles. \item Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ intersection des plans P et Q. \item On considère le cône de révolution $\Gamma$ d'axe (O$x$) contenant la droite $\Delta$ comme génératrice. Montrer que $\Gamma$ pour équation cartésienne $y^2 + z^2 = 7x^2$. \end{enumerate} \item On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de l avec des plans parallèles aux axes de coordonnées. Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant avec soin votre réponse. \begin{center} \psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(14,7) \pscurve(0,0)(1,1)(1.82,2)(2.5,3)(2.6,3.5)(2.5,4)(1.8,5)(1,6)(0,7) \pscurve(7,0)(6,1)(5.18,2)(4.5,3)(4.4,3.5)(4.5,4)(5.2,5)(6,6)(7,7) \pscircle(11,3.5){2.2} \end{pspicture}\end{center} \hspace{2cm}Figure 1 \hspace{5,5cm}Figure 2 \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $x^2 \equiv 3 \quad [7]$ , dont l'inconnue $x$ est un entier relatif, n'a pas de solution, \item Montrer la propriété suivante : pour tous entiers relatifs $a$ et $b$, si 7 divise $a^2 + b^2$ alors 7 divise $a$ et 7 divise $b$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soient $a,~ b$ et $c$ des entiers relatifs non nuls. Montrer la propriété suivante : si le point A de coordonnées $(a,~ b,~ c)$ est un point du cône $\Gamma$ alors $a,~b$ et $c$ sont divisibles par 7. \item En déduire que le seul point de $\Gamma$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs est le sommet de ce cône. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2003}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm, pour unité graphique. On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = -\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z - 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une similitude directe dont le centre $\Omega$ a pour affixe i. En déterminer le rapport et l'angle. \item Soit M$_{0}$ le point d'affixe $z_{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{4}\text{i}$. Calculer $\Omega \text{M}_{0}$ et donner une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\Omega \text{M}_{0}}\right)$. \item On considère la suite de points $(M_{n})_{n \geqslant 0}$, définie pour tout entier naturel $n$ par $M_{n+1} = f(M_{n})$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. \begin{enumerate} \item Placer les points $\Omega,~\text{M}_{0},~\text{M}_{1},~\text{M}_{2},~\text{M}_{3}$ et $\text{M}_{4}$. \item Montrer par récurrence, pour tout entier naturel $n$, l'égalité : \[z_{n}- \text{i} = 2^n \text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right).\] \item Pour tout entier naturel $n$, calculer $\Omega M_{n}$, puis déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\Omega M_{n} \geqslant 10^2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $7x - 12y = 1$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple $(-5~;~-3)$ est solution, résoudre l'équation (E). \item Soit $\Delta$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ telle que Im($z$) = 1 et Re($z$)$ \geqslant 0$. Caractériser géométriquement $\Delta$ et le représenter. Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite d'origine $\Omega$ dirigée par le vecteur $\vect{u}$. Préciser son plus petit élément. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Liban_juin2003}{} \section{\textbf{Liban juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Les suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont définies sur $\N$ par : \[ \begin{array}{l} x_0 = 3 \quad \text{et} \quad x_{n+1} = 2x_n - 1\\ y_0 = 1 \quad \text{et} \quad y_{n+1} = 2y_n + 3.\\ \end{array}\] \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, x_n = 2^{n+1} + 1$. \item \begin{enumerate} \item Calculer le pgcd de $x_8$ et $x_9$, puis celui de $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$. Que peut-on en déduire pour $x_8$ et $x_9$ d'une part, pour $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$ d'autre part ? \item $x_n$ et $x_{n+1}$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel $n$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 2x_n - y_n = 5$. \item Exprimer $y_n$ en fonction de $n$. \item En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $p$ le reste de la division euclidienne de $2^p$ par 5. \item On note $d_n$ le pgcd de $x_n$ et $y_n$ pour tout entier naturel $n$. Démontrer que l'on a $d_n = 1$ ou $d_n = 5$ ; en déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $x_n$ et $y_n$ soient premiers entre eux. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2003}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 2~cm. On donne les points A, C, D et $\Omega$, d'affixes respectives 1 + i, 1, 3 et $2 + \dfrac{1}{2}\text{i}$. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega$ passant par A. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{C}$ passe par C et D. \item Montrer que le segment [AD] est un diamètre de $\mathcal{C}$. \item Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D, $\Omega$ et tracer $\mathcal{C}$. On note B la seconde intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite (OA) . \item Montrer que le point O est extéŽrieur au segment [AB]. \end{enumerate} \item Montrer par un raisonnement géométrique simple que les triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques. Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD. \begin{enumerate} \item Montrer que S est une similitude indirecte différente d'une réflexion. \item Quel est le centre de S ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire de la partie \textbf{A 2} que l'on a OA $\times$ OB = OC $\times$ OD. \item En déduire le module de l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B. Déterminer un argument de $z_{\text{B}}$. \end{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de S. \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S $\circ$ S. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_juin2003}{} \section{\textbf{Pondichéry juin 2003}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2003_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \vspace{0,5cm} \textbf{Première partie} ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit $\alpha$ un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raisonnera. Cette figure sera jointe à la copie. d$_{1}$ est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle $\alpha$. d$_{2}$ est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle $\alpha$. d$_{3}$ est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle $\alpha$. A$_{1}$ est le point d'intersection de d$_{1}$ et d$_{3}$, B$_{1}$ celui de d$_{1}$ et d$_{2}$ et C$_{1}$ celui de d$_{2}$ et d$_{3}$. \begin{enumerate} \item On appelle H le point d'intersection de (BC) et d$_{1}$. Montrer que les triangles HIB et HB$_{1}$J sont semblables. \item En déduire que les triangles ABC et A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$ sont semblables. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie} Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct \Ouv. \vspace{0,25cm} \textbf{ A - Construction de la figure} \begin{enumerate} \item Placer les points A($- 4 - 6\text{i}$), B(14), C($-4 + 6\text{i}$), A$_{1}(3 - 7\text{i}$), B$_{1}(9 + 5\text{i}$) et C$_{1}(- 3 - \text{i}$). \item Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure. \item Montrer que A$_{1}$, I, B$_{1}$ sont alignés. \emph{On admettra que } B$_{1}$, J, C$_{1}$ \emph{d'une part et} C$_{1}$, K, A$_{1}$ \emph{d'autre part sont alignés.} \item Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{IB}},~\vect{\text{IB}_{1}} \right)$. \emph{On admettra que } $\left(\vect{\text{KA}},~\vect{\text{KA}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ \emph{et que} $\left(\vect{\text{JC}},~\vect{\text{JC}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$. \item Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{B - Recherche d'une similitude directe transformant ABC en A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$} On admet qu'il existe une similitude directe $s$ transformant les points A, B et C en A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'écriture complexe de $s$ est $z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z + 2 - 2\text{i}$, où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un point et de son image par $s$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de $s$. \item Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ de $s$. \end{enumerate} \item Que représente le point $\Omega$ pour ABC ? \end{enumerate} \vspace{2cm} \begin{center}Le candidat joindra cette figure à sa copie \vspace{0,8cm} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(14,11) \psline(3,3.8)(11.3,3.8)(5.1,9.65)(3,3.8) \psline(0,1.1)(14,6.3) \psline(14,4.2)(0,10.2) \psline(4.2,0)(4.2,11) \uput[dl](3,3.8){A} \uput[dr](11.3,3.8){B} \uput[u](5.1,9.65){C} \uput[dl](4.2,2.7){A$_{1}$} \uput[u](11.4,5.3){B$_{1}$} \uput[ul](4.2,8.5){C$_{1}$} \uput[d](7.15,3.8){I} \uput[ur](8.2,6.725){J} \uput[l](4.2,6.9){K} \uput[u](13,6){d$_{1}$} \uput[u](2,9.2){d$_{2}$} \uput[r](4.2,1){d$_{3}$} \psarc(7.15,3.8){1.1}{0}{21} \psarc(8.2,6.725){1}{139}{162} \psarc(4.2,6.725){1}{246}{270} \uput[u](8.45,3.8){$\alpha$} \uput[u](7.2,7.2){$\alpha$} \uput[u](3.8,5){$\alpha$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amsud_dec2002}{} \section{\textbf{Amérique du Sud décembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_dec2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On considère la suite d'entiers définie par $a_n = 1 1 1 \ldots 1 1$ (l'écriture décimale de $a_n$ est composée de $n$ chiffres 1). On se propose de montrer que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}. \begin{enumerate} \item En écrivant $a_n$ sous la forme d'une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n = \dfrac{10^n - 1}{9}$. \item On considère la division euclidienne par \np{2001} : expliquer pourquoi parmi les \np{2002} premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste. Soit $a_n$ et $a_p$ deux termes de la suite admettant le même reste $(n < p)$. Quel est le reste de la division euclidienne de $a_p - a_n$ par \np{2001} ? \item Soit $k$ et $m$ deux entiers strictement positifs vérifiant $k < m$. Démontrer l'égalité $a_m - a_n = a_{m - n} \times 10^k$. \item Calculer le PGCD de \np{2001} et de 10. Montrer que si \np{2001} divise $a_m - a_k$, alors \np{2001} divise $a_{m - k}$. \item Démontrer alors que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Neocal_nov2002}{} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie novembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On considère deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux. On pose $S = x + y$ et $P =xy$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$. \item En déduire que $S = x+y$ et $P =xy$ sont premiers entre eux. \item Démontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de parités différentes (l'un pair, l'autre impair). \end{enumerate} \item Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant. \item Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$. \item Déterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ vérifiant les conditions suivantes : \[ \left\{ \begin{array}{l c l} a + b &=& 84\\ ab& =& d^3 \\ \end{array}\right. ~\text{avec}~ d = \text{pgcd}(a ; b)\] (On pourra poser $a = dx$ et $b = dy$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux) \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2002}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que \[\text{AC = BD}\qquad \text{et}\qquad \widehat{\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right)} = - \dfrac{\pi}{2}.\] On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle ($\mathcal{C}_{1}$), ($\mathcal{C}_{2}$), ($\mathcal{C}_{3}$) et ($\mathcal{C}_{4}$) les cercles de diamètres respectifs [AB], [BC] , [CD] et [DA]. On pourra s'aider de la figure ci-jointe. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $r$ la rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l'angle de $r$ ? Montrer que le centre I de $r$ appartient aux cercles ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$). \item Soit $r'$ la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est l'angle de $r'$ ? Montrer que le centre J de $r'$ appartient aux cercles ($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$). \item Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? On désigne par P et R les points diamétralement opposés à I sur, respectivement, ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$) et par Q et S les points diamétralement opposés à J sur, respectivement, ($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$). \end{enumerate} \item Soit $s$ la similitude directe de centre I, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les images par $s$ des points D, N, B ? \item En déduire que J est le milieu de [PR]. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(8,8) \pspolygon[linestyle=dotted](2.6,6.3)(6.3,5.8)(4.2,0.7)(0.7,4.2) \psline(2.6,6.3)(4.2,0.7) \psline(6.3,5.8)(0.7,4.2) \pscircle(4.45,6.05){1.9} \pscircle(5.25,3.25){2.75} \pscircle(2.45,2.45){2.45} \pscircle(1.65,5.25){1.4} \uput[ur](2.6,6.3){A} \uput[r](6.3,5.8){B} \uput[d](4.2,0.7){C} \uput[l](0.7,4.2){D} \uput[r](3.4,3.5){M} \qdisk(3.4,3.5){1pt} \uput[u](3.5,5){N} \qdisk(3.5,5){1pt} \uput[u](4.18,4.18){I} \qdisk(4.18,4.18){1pt} \uput[l](2.82,4.5){J} \qdisk(2.82,4.5){1pt} \uput[u](4.7,7.92){P} \qdisk(4.7,7.92){1pt} \uput[r](7.8,2.2){Q} \qdisk(7.8,2.2){1pt} \uput[dl](0.72,0.72){R} \qdisk(0.72,0.72){1pt} \uput[ul](0.57,6.1){S} \qdisk(0.57,6.1){1pt} \uput[l](0,2.3){($\mathcal{C}_{3}$)} \uput[u](1.2,6.5){($\mathcal{C}_{4}$)} \uput[u](6,7.5){($\mathcal{C}_{1}$)} \uput[r](8,4.3){($\mathcal{C}_{2}$)} \end{pspicture}\end{center} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_sept2002}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{center}\psset{unit=0.87cm} \begin{pspicture}(15,4.5) \psframe(0,0)(2.2,4.5) \psframe(2.2,0)(6.7,2.2) \psframe(6.7,0)(9.05,4.5) \psframe(9.05,0)(13.6,2.2) \uput[ul](0,4.5){C} \uput[ur](2.2,4.5){B} \uput[d](0,0){D} \uput[d](2.2,0){A} \uput[d](2.9,0){E$_1$} \uput[d](5.9,0){E$_2$} \uput[u](8.9,0){E$_3$} \uput[d](9.05,0){A$_1$} \uput[d](9.85,0){E$_4$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,4cm} On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10~cm et AD = 5~cm. \begin{enumerate} \item Faire une figure : construire ABCD, puis les images respectives M, N et P de B, C et D par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \item \begin{enumerate} \item Construire le centre $\Omega$ de la rotation $r'$ qui vérifie $r'$(A) = N et $r'$(B) = P. Déterminer l'angle de $r'$. \item Montrer que l'image de ABCD par $r'$ est AMNP. \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r^{- 1} \circ r'$. \end{enumerate} \item On considère les images successives des rectangles ABCD et AMNP par la translation de vecteur $\vect{\text{DM}}$. Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points $\left(A_k\right)_{k \geqslant 1}$ vérifiant, en cm,~ D$A_k = 5 + 15k$. Sur la même demi-droite, on considère la suite de points $\left(E_n\right)_{n \geqslant 1}$ vérifiant, en cm, D$E_n = 6,55 n$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'entier $k$ tel que $E_{120}$ appartienne à $[A_k, A_{k+1}]$. Que vaut la longueur $A_kE_{120}$ en cm ? \item On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale $n_0$ le point $E_{n_0}$ est confondu avec un point $A_k$. Montrer que si un point $E_n$ est confondu avec un point $A_k$ alors $131 n - 300k = 100$. Vérifier que les nombres $n = \np{7100}$ et $k = \np{3100}$ forment une solution de cette équation. Déterminer la valeur minimale $n_0$ recherchée. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Amnord_juin2002}{} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme $\overline{abba}$ où $a$ est un chiffre supérieur ou égal à 2 et $b$ est un chiffre quelconque. Exemples d'éléments de (E) : \np{2002} ; \np{3773} ; \np{9119}. Les parties A et B peuvent être traitées séparément. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Décomposer \np{1001} en produit de facteurs premiers. \item Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'éléments de (E) ? \item Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5 ? \end{enumerate} \item Soit $n$ un élément de (E) s'écrivant sous la forme $\overline{abba}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : \og $n$ est divisible par 3 \fg{} équivaut à \og $a + b$ est divisible par 3 \fg{}. \item Montrer que : \og $n$ est divisible par 7 \fg{} équivaut à \og $b$ est divisible par 7 \fg{}. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.} \medskip Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile. On admet que pour tout élément $n$ de (F), il existe des entiers naturels $p$ et $q$ tels que : \[n = \np{2000} + 4 p \quad \text{et} \quad n = \np{2002} + 11q.\] \begin{enumerate} \item On considère l'équation (e) : $4 p - 11 q = 2$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs. Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l'équation (e) puis résoudre l'équation (e). \item En déduire que tout entier $n$ de (F) peut s'écrire sous la forme \np{2024} + 44 $k$ où $k$ est un entier relatif. \item À l'aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F). N.B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2002}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vect{\text{OI}},~ \vect{\text{OJ}}\right)$ (unité graphique 4~cm) \begin{enumerate} \item On considère les points A, B , C , D et E d'affixes respectives : \[Z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} ,~ Z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}},~ Z_{\text{C}} = - 1,~ Z_{\text{D}} = - \text{i}~ \text{et}~ Z_{\text{E}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\] \begin{enumerate} \item Faire la figure \item Montrer que EA = ED et que EB = EC. Montrer que (OE) est la médiatrice du segment [AD] et du segment [BC] \item Déterminer les points K et L images respectives de A et de B par la translation $t$ de vecteur $\vect{\text{OI}}$. Placer les points K et L sur la figure. \end{enumerate} \item On considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $Z$ associe le point $M'$ d'affixe $Z' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z}$ où $\overline{Z}$ désigne le conjugué de $Z$. \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité $F = R ~\circ~ S$ où $S$ est la réflexion ou symétrie axiale d'axe (OI) et $R$ une rotation dont on précisera le centre et l'angle. \item Montrer que $F$ est une réflexion dont on précisera l'axe. \end{enumerate} \item Soit $G$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $Z$ associe le point $M''$ dont l'affixe $Z''$ définie par la formule $Z'' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z} + 1$. Déterminer une application $T$ telle que $G = T ~\circ~ F$. En déduire que $G$ est un antidéplacement. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Asie_juin2002}{} \section{\textbf{Asie juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0 = 1,~y_0 = 8$ et \[ \left\{ \begin{array}{l c l} x_{n+ 1} & = & \dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1\\ y_{n + 1} & =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\ \end{array}\right., ~n \in \N \] \begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de coordonnées $\left(x_n,~y_n\right)$ sont sur la droite $(\Delta)$ dont une équation est $5x - y + 3 = 0$. En déduire que $x_{n+ 1} = 4x_n + 2.$ \item Montrer, par récurrence, que tous les $x_n$ sont des entiers naturels. En déduire que tous les $y_n$ sont aussi des entiers naturels. \item Montrer que : \begin{enumerate} \item $x_n$ est divisible par 3 si et seulement si $y_n$ est divisible par 3. \item Si $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence, que $x_n = \dfrac{1}{3} \left(4^n \times 5 - 2\right).$ \item En déduire que $4^n \times 5 - 2$ est un multiple de 3, pour tout entier naturel $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Centres_juin2002}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation : \[\textbf{E}~: x^2 + y^2= p ^2\] \begin{enumerate} \item On pose $p = 2$. Montrer que l'équation \textbf{E} est sans solution. On suppose désormais $p \geqslant 2$ et que le couple $(x~;~ y)$ est solution de l'équation \textbf{E}. \item Le but de cette question est de prouver que $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ et $y$ sont de parités différentes. \item Montrer que $x$ et $y$ ne sont pas divisibles par $p$. \item En déduire que $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que $p$ est une somme de deux carrés non nuls, c'est-à-dire : $p = u^2 + v^2$ où $u$ et $v$ sont deux entiers naturels strictement positifs. \begin{enumerate} \item Vérifier qu'alors le couple $\left(\left|u^2 - v^2\right|~;~2uv\right)$ est solution de l'équation \textbf{E}. \item Donner une solution de l'équation \textbf{E}, lorsque $p = 5$ puis lorsque $p = 13$. \end{enumerate} \item On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation \textbf{E} est impossible lorsque $p$ n'est pas somme de deux carrés. \begin{enumerate} \item $p = 3$ et $p = 7$ sont-ils somme de deux carrés ? \item Démontrer que les équations $x^2 +y^2 = 9$ et $x^2 + y^2 = 49$ n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_juin2002}{} \section{\textbf{Métropole juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item On considère l'équation \[(\text{E})~:~6x + 7y = 57\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(u,~v)$ tel que $6u + 7v = 1$ ; en déduire une solution particulière $(x_{0},~y_{0})$ de l'équation (E). \item Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \item Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace. On considère le plan (P) d'équation : $6x + 7y + 8z = 57$. On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan \Oij. Montrer qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point. \item On considère un point $M$ du plan P dont les coordonnées $x,~y$ et $z$ sont des entiers naturels. \begin{enumerate} \item Montrer que l'entier $y$ est impair. \item On pose $y = 2p + 1$ où $p$ est un entier naturel. Montrer que le reste dans la division euclidienne de $p + z$ par 3 est égal à 1. \item On pose $p + z = 3q + 1$ où $q$ est un entier naturel. Montrer que les entiers naturels $x,~p$ et $q$ vérifient la relation : $x + p + 4q = 7$. En déduire que $q$ prend les valeurs 0 ou 1. \item En déduire les coordonnées de tous les points de (P) dont les coordonnées sont des entiers naturels. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Reunion_juin2002}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv~ (unité graphique : 2~cm). \emph{On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.} \begin{enumerate} \item Dans cette question on considère l'application $s$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'= - \text{i}\overline{z}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $s$ est une réflexion d'axe noté D et de vecteur directeur $\vect{w}$ d'affixe $1 - \text{i}$. \item Soit D$'$ la droite d'équation $y = - 1$, on appelle $s'$ la réflexion d'axe D$'$. Calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{w},~ \vect{u}\right)$. Déterminer géométriquement la composée $r = s' ~\circ ~ s$. \item Déterminer l'écriture complexe de $r$. \end{enumerate} \item Dans cette question un considère l'application $p$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z_1 = \dfrac{1}{2}z - \dfrac{1}{2}\text{i}\overline{z} = \dfrac{z + z'}{2}$. \begin{enumerate} \item Soit le point A d'affixe $z = 2 + $~i,~ déterminer l'affixe du point A$_1$ image de A par $p$. \item Montrer que tout point $M$ a son image $M_1$ située sur la droite d'équation $y = - x$ . \item Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l'application $p$. \end{enumerate} \item On considère l'application $f$ définie par $f = s'~\circ ~p$. Construire l'image A$'$ du point A par $f$. Montrer que $s~\circ~ p = p$ et en déduire que $f= r~\circ~p$. Montrer que, tout point $M$ du plan a son image par $f$ sur une droite $\Delta$, que l'on déterminera. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2002}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. \begin{enumerate} \item Montrer que $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux. \item On pose $\alpha = n + 3$ et $\beta = 2n + 1$ et on note $\delta$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$. \begin{enumerate} \item Calculer $2\alpha - \beta$ et en déduire les valeurs possibles de $\delta$. \item Démontrer que $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement si $(n - 2)$ est multiple de 5. \end{enumerate} \item On considère les nombres $a$ et $b$ définis par : \[ \begin{array}{l c l} a & = & n^3 + 2n^2 - 3n\\ b & = & 2n^2 - n - 1\\ \end{array}\] Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $(n - 1)$. \item \begin{enumerate} \item On note $d$ le PGCD de $n(n + 3)$ et de $(2n + 1)$. Montrer que $\delta$ divise $d$, puis que $\delta = d$. \item En déduire le PGCD, $\Delta$, de $a$ et $b$ en fonction de $n$. \item Application : Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2001}$ ; Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2002}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_juin2002}{} \section{\textbf{Pondichéry juin 2002}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2002_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Calculer le P.G.C.D. de $4^5 - 1$ et de $4^6 - 1$. \vspace{0,3cm} Soit $u$ la suite numérique définie par : $u_{0} = 0,~ u_{1} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 4 u_{n}.\] \item Calculer les termes $u_{2},~ u_{3}$ et $u_{4}$ de la suite $u$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $u$ vérifie, pour tout entier naturel $n$, ~$u_{n+1} = 4 u_{n} + 1$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,~ $u_{n}$ est un entier naturel. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, le P.G.C.D. de $u_{n}$ et $u_{n+1}$. \end{enumerate} \item Soit $v$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{3}.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $v$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_{0}$. \item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, le P.G.C.D. de $4^{n + 1} - 1$ et de $4^n- 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Neocal_dec2001}{} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie décembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_dec2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} Soit $x$ un nombre réel. \begin{enumerate} \item Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$. \item En déduire que $x^4 + 4$ peut s'écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les entiers $A = n^2 - 2n + 2$ et $B = n^2 + 2n + 2$ et $d$ leur PGCD. \begin{enumerate} \item Montrer que $n^4 + 4$ n'est pas premier. \item Montrer que, tout diviseur de $A$ qui divise $n$, divise 2. \item Montrer que, tout diviseur commun de $A$ et $B$, divise $4n$. \item Dans cette question on suppose que $n$ est impair. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ et $B$ sont impairs. En déduire que $d$ est impair. \item Montrer que $d$ divise $n$. \item En déduire que $d$ divise 2, puis que $A$ et $B$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que $n$ est pair. \begin{enumerate} \item Montrer que 4 ne divise pas $n^2 - 2n + 2$. \item Montrer que $d$ est de la forme $d = 2p$, où $p$ est impair. \item Montrer que $p$ divise $n$. En déduire que $d = 2$. (On pourra s'inspirer de la démonstration utilisée à la question \textbf{4.}) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amsud_dec2001}{} \section{\textbf{Amérique du Sud décembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_dec2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère les nombres $a$ et $b$ tels que : \[a = 2 n^3 + 5n^2 + 4n + 1 \qquad \text{et} \qquad b = 2 n^2 + n.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $2n + 1$ divise $a$ et $b$. \item Un élève affirme que le PGCD de $a$ et $b$ est $2n + 1$. Son affirmation est-elle vraie ou fausse? (\emph{La réponse sera justifiée.}) \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept2001}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Soient $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls tels que PGCD$(a + b ~;~ ab) = p$, où $p$ est un nombre premier. \begin{enumerate} \item Démontrer que $p$ divise $a^2$. (On remarquera que $a^2 = a(a + b) - ab.)$ \item En déduire que $p$ divise $a$. On constate donc, de même, que $p$ divise $b$. \item Démontrer que PGCD$(a ~; ~b) = p$. \end{enumerate} \item On désigne par $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a \leqslant b$. \begin{enumerate} \item Résoudre le système \[\left\{ \begin{array}{l c l} \text{PGCD}(a,~b)& =& 5 \\ \text{PPCM}(a,~b)& =& 170\\ \end{array} \right.\] \item En déduire les solutions du système : \[\left\{ \begin{array}{l c l} \text{PGCD}(a + b,~ab)& =& 5\\ \text{PPCM}(a,~b) &=& 170\\ \end{array} \right.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_sept2001}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20. \item Soit l'équation $168x + 20y = 6$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? \item Soit l'équation $168x + 20y = 4$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en utilisant l'algorithme d'Euclide, et en détaillant les calculs effectués, deux entiers relatifs $m$ et $p$ tels que $42m + 5p = 1$. \item En déduire deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $42u + 5p = 12$. \item Démontrer que le couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $42x + 5y = 2$ si, et seulement si $42(x + 4) = 5(34 - y)$. \item Déterminer tous les couples d'entiers $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $42x + 5y = 2$. \end{enumerate} \item Déduire du \textbf{2.} les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $(42x + 5y - 3)(42x + 5y + 3) = - 5$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_sept2001}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$, unité graphique 1 cm, on considère les points B, D définis par : $\vect{\text{AB}} = 2\vect{u},\vect{\text{AD}} =3\vect{v}$ et C tel que ABCD soit un rectangle. \textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.} \begin{enumerate} \item Soit E l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{DB}}$. Déterminer l'affixe $z_{\text{E}}$ de E. \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ tels que le point F d'affixe $z_{\text{F}} = 6 - \text{i}$ soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients $a,~ b$ et 1. \item On considère la similitude $s$ qui transforme A en E et B en F. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$, image de $M$ par $s$. \begin{enumerate} \item Exprimer $z'$ en fonction de $z$. \item Déterminer le centre I, l'angle et le rapport de la similitude s. \item Déterminer les images de C et de D par $s$. \item Calculer l'aire de l'image par $s$ du rectangle ABCD. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $\Omega$ des points $M$ du plan tels que : \[\left\|6\vect{M\text{A}} - 10\vect{M\text{B}} +\vect{M\text{C}}\right\| = 9.\] \item Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l'image de $\Omega$ par $s$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Amnord_juin2001}{} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier relatif $n$, les entiers $14n + 3$ et $5n + 1$ sont premiers entre eux. \item On considère l'équation (E) : $87x + 31y = 2$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Vérifier, en utilisant par exemple la question \textbf{1 }, que 87 et 31 sont premiers entre eux. En déduire un couple $(u~ ;~ v)$ d'entiers relatifs tel que $87u + 31 v = 1$ puis une solution $(x_0~ ;~ y_0)$ de (E). \item Déterminer l'ensemble des solutions de (E) dans $\Z^2$. \item \emph{Application} : Déterminer les points de la droite d'équation $87x - 31y - 2 = 0$ dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est comprise entre 0 et 100. \textsl{Indication} : On remarquera que le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à la droite (D) si, et seulement si, le couple $(x~;~ - y)$ vérifie l'équation (E). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2001}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(5,5.5) \psline{<->}(0,0)(3.4,0) \psline{<->}(3.8,0.3)(4.9,1.5) \psline{<->}(5,1.5)(5,5.5) \psline(0,0.3)(3.4,0.3)(3.4,4.4)(0,4.4)(0,0.3) \psline(3.4,0.3)(4.5,1.5)(4.5,5.5)(3.4,4.4) \psline(3.4,4.4)(4.5,5.5)(1.2,5.5)(0,4.4) \psline[linestyle=dotted](0,0.3)(1.2,1.5)(4.5,1.5) \psline[linestyle=dotted](1.2,1.5)(1.2,5.5) \rput(1.7,-0.2){$l$} \rput(4.35,0.7){$l$} \rput(5.2,3.5){$L$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur $L$, à base carrée de côté $\ell$, où $\ell$ et $L$ sont des entiers naturels non nuls tels que $\ell < L$. On veut remplir la boîte B avec des cubes tous identiques dont l'arête $a$ est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d'espace vide). \begin{enumerate} \item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$. Quelle est la plus grande valeur possible pour a ? Quelles sont les valeurs possibles pour $a$ ? \item Dans cette question, le volume de la boîte B est $v = \np{77760}$. On sait que, pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de $a$ est 12. Montrer qu'il y a exactement deux boîtes B possibles, dont on donnera les dimensions. \end{enumerate} \item On veut remplir une caisse cubique C, dont l'arête $c$ est un entier naturel non nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la question \textbf{1} (Les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d'espace vide). \begin{enumerate} \item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$. Quelle est la plus petite arête $c$ pour la caisse C ? Quel est l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour l'arête $c$ ? \item Dans cette question, le volume de la boîte B est \np{15435}. On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105. Quelles sont les dimensions $\ell$ et $L$ de la boîte B ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2001}{} \section{\textbf{Asie juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z}.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $(f \circ f)(z)$ en fonction de $z$. \item Montrer que $f = \text{R} \circ \text{S}$, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S). \item Décomposer R à l'aide de deux symétries axiales et en déduire que $f$ est une réflexion, dont on donnera l'axe (D$_1$). Réaliser une figure, en y représentant l'axe (D$_1$) (unité graphique 2 cm). \end{enumerate} \item On considère l'application $g$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M''$ d'affixe $z''$ telle que : \[z'' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z} - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de l'ensemble des points invariants de $g$. \item Montrer que $g = \text{T} \circ f$ où T est une translation (on précisera l'affixe du vecteur de la translation T). \item Décomposer la translation T à l'aide de deux symétries axiales et en déduire que $g$ est une réflexion, d'axe noté (D$_2$). \item Quelle est l'image par $g$ du point A d'affixe $\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ En déduire une construction de la droite (D$_2$), qui n'utilise pas son équation, et l'illustrer en complétant la figure précédente. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Centres_juin2001}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Un astronome a observé au jour J$_0$ le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J$_0$ + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J$_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J$_1$ . \begin{enumerate} \item Soient $u$ et $v$ le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J$_0$ et J$_1$. Montrer que le couple $(u~;~v)$ est solution de l'équation (E$_1)~: \quad 35x - 27y = 2$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_0~;~ y_0)$ solution particulière de l'équation (E$_2$) : \[35x - 27y = 1.\] \item En déduire une solution particulière $(u_0~;~v_0)$ de (E$_1$). \item Déterminer toutes les solutions de l'équation (E$_1$). \item Déterminer la solution $(u~;~v)$ permettant de déterminer J$_1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien de jours s'écouleront entre J$_0$ et J$_1$ ? \item Le jour J$_0$ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J$_1$ ? (L'année 2000 était bissextile.) \item Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux astres ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_juin2001}{} \section{\textbf{Métropole juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv~[unité graphique : 6~cm]. On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = z\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et on définit une suite de points ($M_n$) de la manière suivante : M$_0$ a pour affixe $z_{0} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ et, pour tout entier naturel $n,~M_{n+1} = f(M_{n})$. On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_n$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$. Placer les points M$_{0}$,~M$_{1}$,~ M$_{2}$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité \[z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6}\right)}\] (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). \item Soient deux entiers $n$ et $p$ tels que $n$ soit supérieur ou égal à $p$. Montrer que deux points $M _{n}$ et $M_{p}$ sont confondus si, et seulement si, $(n - p)$ est multiple de 12. \item \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $12x - 5y = 3$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l'équation (E). \item En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2001}{} \section{\textbf{Liban juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 3 ~cm. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Soit trois droites D$_{1}$,~ D$_{2}$ et D$_{3}$, sécantes en $\Omega$ et de vecteurs directeurs respectifs $\vect{d_{1}} = \vect{u}$, et $\vect{d_{2}}$ et $\vect{d_{3}}$ supposés unitaires et tels que $\left(\vect{d_{1}},~ \vect{d_{2}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ et $\left(\vect{d_{1}},~\vect{d_{3}} \right) = -~ \dfrac{2\pi}{3}$. On note S$_{1}$, S$_{2}$ et S$_{3}$ les réflexions d'axes respectifs D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$, et $f$ la composée S$_{3} \circ$ S$_{2} \circ S_{1}$, de ces trois réflexions. \begin{enumerate} \item Tracer ces trois droites. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r = \text{S}_{2} \circ \text{S}_{1}$. \item Caractériser la réflexion S telle que $r = \text{S}_{3}\: \circ$ S . On notera D l'axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur $\vect{d}$. Tracer la droite D. \item En déduire la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Justifier que le point E d'affixe $z_{\text{E}} = \text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{12}}$ est un point de la droite D. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que la forme complexe de $f$ soit l'application $f_{1}$ définie sur $\C$ par $f_{1}(z) = a\overline{z} + b$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Choisir un point A sur D. On note B l'image de A par S$_{1}$ et C l'image de B par S$_{2}$ . Placer les points B et C . \item Démontrer que A est l'image de C par S$_{3}$. \item Que peut-on dire du point $\Omega$ pour le triangle ABC ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \hypertarget{Polynesie_juin2001}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item On considère $x$ et $y$ des entiers relatifs et l'équation (E)\quad $ 91x + 10y = 1$. \begin{enumerate} \item Énoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E). \item Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E')\quad : $91x + 10y = 412$. \item Résoudre (E'). \end{enumerate} \item Montrer que les nombres entiers $A_n = 3^{2n} - 1$, où $n$ est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence). \item On considère l'équation (E$''$) $A_3x + A_2y = \np{3296}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x,~ y)$ solutions de l'équation (E$''$). \item Montrer que (E$''$) admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_juin2001}{} \section{\textbf{Pondichéry juin 2001}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2001_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item On considère l'équation (1) d'inconnue $(n,~m)$ élément de $\Z^2$ : \[ 11n - 24m = 1.\] \begin{enumerate} \item Justifier, à l'aide de l'énoncé d'un théorème, que cette équation admet au moins une solution. \item En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution particulière de l'équation (1). \item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1). \end{enumerate} \item recherche du P.G.C.D. de $10^{11} - 1$ et $10^{24} - 1$. \begin{enumerate} \item Justifier que 9 divise $10^{11} - 1$ et $10^{24} - 1$. \item $(n,~m)$ désignant un couple quelconque d'entiers naturels solutions de (1), montrer que l'on peut écrire \[\left(10^{11n} - 1\right) - 10\left(10^{24m} - 1\right) = 9.\] \item Montrer que $10^{11} - 1$ divise $10^{11n} - 1$. (on rappelle l'égalité $a^n - 1 = (a - 1)\left(a^{n-1} + a^{n-2} + \cdots + a^0\right)$, valable pour tout entier naturel $n$ non nul). Déduire de la question précédente l'existence de deux entiers $N$ et $M$ tels que : \[\left(10^{11} - 1\right)N - \left(10^{24} - 1\right)M = 9.\] \item Montrer que tout diviseur commun à $10^{24} - 1$ et $10^{11} - 1$ divise 9. \item Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de $10^{24} - 1$ et $10^{11} - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Neocal_dec2000}{} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie décembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_dec2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans tout l'exercice $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls vérifiant $x < y$. S est l'ensemble des couples $(x,~y)$ tels que PGCD$(x,~y) = y - x$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD(363,~484). \item Le couple (363,~484) appartient-il à S ? \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n,~n + 1)$ appartient-il à S ? Justifier votre réponse. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $(x,~y)$ appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y-x)$ et $y = (k+1)(y-x)$. \item En déduire que pour tout couple $(x,~ y)$ de S on a : PPCM $(x,~y) = k(k + 1)(y - x).$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. \item En déduire l'ensemble des couples $(x,~ y)$ de S tels que PPCM $(x,~ y) = 228$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Amsud_nov2000}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2cm). On désigne par $m$ un nombre réel. On considère la transformation T$_{m}$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z'= (m + \text{i})z + m - 1 - \text{i}\] \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Peut-on choisir $m$ de telle sorte que T$_{m}$ soit une translation ? \item Déterminer le réel $m$ de telle sorte que T$_{m}$ soit une rotation. Préciser alors le centre et l'angle de cette rotation. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} Dans la suite de l'exercice on pose $m = 1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point $\Omega$ invariant par T$_{m}$. \item Pour tout nombre complexe $z$ différent de 1, calculer $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$. En interprétant géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$, démontrer que T$_{1}$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. \item Démontrer que, pour tout nombre $z$ on a : $z'- z = \textrm{i} (z - 1)$. En déduire que si $M$ est distinct de $\Omega$ , alors le triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle en $M$. \end{enumerate} \item On définit dans le plan une suite $(M_{n})$ de points en posant : $M_{0} = \text{O},~ M_{1} = \text{T}_{1}(M_{0}),~ \text{ et pour tout entier naturel}~ n~ \text{non nul}$: $M_{n} = \text{T}_{1}(M_{n-1}).$ \begin{enumerate} \item Placer les points $M_{1},~ M_{2},~ M_{3}$ et $M_{4}$ dans le plan muni du repère \Ouv. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_{n} = \Omega M_{n}$. Démontrer que la suite $(d_{n})$ est une suite géométrique. Converge-t-elle ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_sept2000}{} \section{\textbf{Métropole septembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 4~cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~ c$ et $d$ telles que : \[a = 1, \quad b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, \quad c = \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}, \quad d = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la forme exponentielle de $c$ et la forme algébrique de $d$. \item Représenter les points A, B, C et D. \item Montrer que le quadrilatère OACB est un losange. \end{enumerate} \item Montrer que les points D, A et C sont alignés. \item Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude directe $s$ de centre O qui transforme A en C. \item On note F et G les images par la similitude directe $s$ des points D et C respectivement. Montrer que les points F, C et G sont alignés. \item Déterminer l'affixe $f$ du point F. \item On considère la transformation $\varphi$ qui à tout point $M$, d'affixe $Z$, associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ telle que : \[Z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \overline{Z} + \dfrac{3}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] Pour toute droite $\delta$ du plan, on notera $\sigma_{\delta}$ la symétrie orthogonale d'axe $\delta$. \begin{enumerate} \item Soit $r$ la transformation qui à tout point $M_1$ d'affixe $Z_1$, associe le point $M'_1$ d'affixe $Z'_1$, telle que : \[Z'_1 = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}Z_1 + \dfrac{3}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\] Déterminer la nature de $r$ et donner ses éléments caractéristiques. \item En utilisant les nombres complexes, donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{AO}}, ~\vect{\text{AB}}\right)$, puis déterminer la droite $\Delta$ telle que : \[r = \sigma_{\Delta} \circ \sigma_{(\text{AO})}.\] \item Montrer que $\varphi = r \circ \sigma_{(\text{AO})}$. En déduire la nature de $\varphi$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_sept2000}{} \section{\textbf{Polynésie septembre 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct. \begin{enumerate} \item Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point d'intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] l'homothétie $h_1$ de centre I qui transforme G en E. \item[$\bullet~$] l'homothétie $h_2$ de centre I qui transforme F en H. \end{itemize} \parbox[c]{0.5\textwidth}{ \begin{enumerate} \item Déterminer l'image de la droite (CG) par l'homothétie $h_1$ puis par la composée $h_2 \circ h_1$. \item Déterminer l'image de la droite (CG) par la composée $h_1 \circ h_2$. \item Justifier l'égalité : \[h_2 \circ h_1 = h_1 \circ h_2.\] En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I. \end{enumerate}} \hfill \parbox[r]{0.4\textwidth}{ \psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(4.5,4) \psline(0.5,2.4)(0.5,3.55)(2.9,3.55) \psframe(2.9,2.4)(4.05,3.55) \psframe(0.5,0)(2.9,2.4) \uput[225](0.5,0){G} \uput[180](0.5,2.4){D} \uput[135](0.5,3.55){C} \uput[315](2.9,0){H} \uput[315](2.9,2.4){A} \uput[90](2.9,3.55){B} \uput[45](4.05,2.4){E} \uput[0](4.05,3.55){F} \end{pspicture}} \item On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du triangle AEH est une hauteur du triangle ABD. On note O le milieu du segment [EH]. \begin{enumerate} \item Exprimer le vecteur $\vect{\text{AO}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{AH}}$. \item Exprimer le vecteur $\vect{\text{BD}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$. \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AO}} . \vect{\text{BD}}$ et conclure. \end{enumerate} \item Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B et D en A. On pose AB = 1 et AD = $k \quad (k > 0)$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude S. \item Déterminer l'image de la droite (BD), puis l'image de la droite (AO), par cette similitude S. \item En déduire que le point d'intersection $\Omega$ des droites (BD) et (AO) est le centre de la similitude S. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Amnord_juin2000}{} \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O. On a donc $(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$. On note $R_{\text{A}}$ et $R_{\text{B}}$ les rotations de centres respectifs A et B et de même angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $S_{\text{O}}$ la symétrie de centre O. On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés B$ED$C et AC$FG$ directs. On a donc $(\vect{\textrm{B}E},~ \vect{\text{BC}}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$ et $(\vect{\text{AC}},~ \vect{\text{A}G}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer S$_{(\text{AO})} \circ S_{(\text{AB})}$ composée des réflexions d'axes (AB) et (AO). \item En écrivant $R_{\text{B}}$ sous la forme d'une composée de deux réflexions, démontrer que $R_{\text{A}} \circ R_{\text{B}} = S_{\text{O}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'image de $E$ par $R_{\text{A}} \circ R_{\text{B}}$. \item En déduire que O est le milieu du segment [E$G$]. \item On note $R_{F}$ et $R_{D}$ les rotations de centres respectifs F et D et de même angle. Étudier l'image de C par la transformation $R_{F} \circ S_{\text{O}} \circ R_{D}$. Déterminer la transformation R$_{\text{F}} \circ S_{\text{O}} \circ R_{D}$. \item Placer $H$ le symétrique de $D$ par rapport à O. Démontrer que $R_{F}(H) = D$. Démontrer que le triangle $F$O$D$ est rectangle et isocèle en O. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_juin2000}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Les points $A_0 = \text{O}~ ;~ A_1~ ;~\ldots ~;~A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct. Les points $B_0 = \text{O}~ ;~ B_1~ ;~B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct. Soit $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{21}$ et $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}$. On définit la suite $(M_n)$ de points par : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $M_0$ est l'un des points $A_0,~ A_1,~ A_{2},~\ldots,~ A_{20}$ ; \item pour tout entier naturel $n,~ M_{n + 1} = r_{\text{A}}(M_n).$ On définit la suite $(P_n)$ de points par : \item $P_0$ est l'un des points $B_0,~ B_1,~B_{2},~\ldots,~B_{14}$ \item pour tout entier naturel $n,~ P_{n + 1} = r_{\text{B}}(P_n)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant : \[M_n = P_n = \text{O} .\] \begin{enumerate} \item Dans cette question, $M_0 = P_0 =$ O. \begin{enumerate} \item Indiquer la position du point $M_{\np{2000}}$ et celle du point $P_{\np{2000}}$. \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $M_n = P_n =$ O. En déduire l'ensemble $S$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $M_0 = A_{19}$ et $P_0 = B_{10}$. On considère l'équation $(E) : 7x - 5y = 1$ avec $x \in \Z$ et $y \in \Z$. \begin{enumerate} \item Déterminer une solution particulière $(a~;~ b)$ de $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$. \item En déduire l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant $M_n = P_n = O$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Asie_juin2000}{} \section{\textbf{Asie juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Déterminer PGCD$(\np{2688}~;~\np{3024})$. \item Dans cette question, $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes $(1)~ \np{2688}x + \np{3024}y = - \np{3360}~; (2)~8x + 9y = -~10.$ \item Vérifier que $(1~;~-~2)$ est une solution particulière de l'équation (2). \item Déduire de ce qui précède les solutions de (2). \end{enumerate} \item Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace. On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives \[x + 2y - z = - 2 \quad \text{et} \quad 3x - y + 5z = 0.\] \begin{enumerate} \item Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D). \item Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l'équation (2). \item En déduire l'ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Centres_juin2000}{} \section{\textbf{Centres étrangers juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que AB = BC = CD = DA = 5 et $(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}) = \dfrac{\pi}{3}$. On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA] et [BD]. On note $(\Delta)$ la médiatrice de [AB] et $(\Delta')$ la médiatrice de [CD]. \begin{enumerate} \item Soit $f$ l'isométrie du plan définie par $f(\text{A}) = \text{B},~ f (\text{B}) = \text{D} ,~f(\text{D}) = \text{C}.$ \begin{enumerate} \item Prouver que $f$ est un antidéplacement. \item Démontrer que s'il existe un point $M$ invariant par $f$, alors $M$ est équidistant des points A,~B,~C, D. \item L'isométrie $f$ admet-elle un point invariant ? \end{enumerate} \item Soit $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$ et $r$ la rotation de centre B et d'angle $-~\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f = r \circ \sigma$. \item A-t-on $f = \sigma \circ r$ ? \end{enumerate} \item Soit $s_1$, la symétrie orthogonale d'axe (BC). \begin{enumerate} \item Déterminer l'axe de la symétrie orthogonale $s_2$, telle que $r = s_2 \circ s_1$. \item En déduire que $f$ peut s'écrire sous la forme $f = s_1 \circ t_1$, , où $t_1$ est une translation que l'on précisera. \end{enumerate} \item Soit $t_2$ la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{AD}}$ ; on note $t_2^{-~1}$ sa réciproque et on pose $g = t_2^{-~1} \circ f$. \begin{enumerate} \item Déterminer $g(\text{D}),~g(\text{I}),~g(\text{O})$. En déduire la nature précise de la transformation $g$. \item Démontrer que $f = t_2 \circ g$. A-t-on $f = g \circ t_2$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_juin2000}{} \section{\textbf{Métropole juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{AB}}.$ Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure. Soit un point $C$, distinct de $A$, tel que $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}C}\right) = \dfrac{\pi}{4}$. La droite parallèle à (B$C)$ passant par E coupe la droite (A$C)$ en $F$. On appelle $I$ le milieu de [B$C],~ J$ le milieu de [E$F]$ et $D$ le point d'intersection des droites (E$C)$ et (B$F)$. On note $h_{\text{A}}$ l'homothétie de centre A qui transforme B en E et $h_{D}$ l'homothétie de centre $D$ qui transforme E en $C$. \begin{enumerate} \item Déterminer $h_{\text{A}}(C)$ puis $h_{D}(F)$. \item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $h_{D} \circ h_{\text{A}}$ puis de $h_{\text{A}} \circ h_{D}$. \item On appelle E' l'image de E par $h_{\text{A}}$ et $E''$ l'image de E' par $h_{D}$. Représenter E', puis construire $E''$ en justifiant la construction. \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $h_{D} \circ h_{\text{A}} \circ h_{\text{A}} \circ h_{D}$. \item Montrer que le quadrilatère BE$CE''$ est un parallélogramme. \item On appelle $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ tels que $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}M}\right) = \dfrac{\pi}{4}.$ $(\Delta)$ est donc une demi-droite ouverte d'origine A. Pour la suite, les points A,~ B,~ E sont fixes et le point $C$ décrit $(\Delta)$. Déterminer et construire le lieu géométrique $(\Delta)''$ du point $E''$. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Reunion_juin2000}{} \section{\textbf{La Réunion juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 5, on considère les nombres \[a = n^3 - n^2 - 12n \qquad \text{et} \qquad b = 2n^2 - 7n - 4.\] \begin{enumerate} \item Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $n-4$. \item On pose $\alpha = 2 n + 1$ et $\beta = n + 3$. On note $d$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$. \begin{enumerate} \item Établir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$. \item Démontrer que $d$ est un diviseur de 5. \item Démontrer que les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement si $n - 2$ est multiple de 5. \end{enumerate} \item Montrer que $2n + 1$ et $n$ sont premiers entre eux. \item \begin{enumerate} \item Déterminer, suivant les valeurs de $n$ et en fonction de $n$, le PGCD de $a$ et $b$. \item Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers $n = 11$ et $n = 12$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Liban_juin2000}{} \section{\textbf{Liban juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soit A et B dans ce plan d'affixes respectives $a = 1 + \text{i}~;~b = -~4 -~\text{i}$ . Soit $f$ la transformation du plan $(\mathcal{P})$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $\vect{\text{O}M'} = 2\vect{\text{A}M} + \vect{\text{B}M}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $z'$ en fonction de $z$. \item Montrer que $f$ admet un seul point invariant $\Omega$ dont on donnera l'affixe. En déduire que $f$ est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport. \end{enumerate} \item On se place dans le cas où les coordonnées $x$ et $y$ de $M$ sont des entiers naturels avec $1 \leqslant x \leqslant 8$ et $1 \leqslant y \leqslant 8$. Les coordonnées $(x'~;~ y')$ de $M'$ sont alors : $x' = 3x + 2$ et $y' = 3y - 1$. \begin{enumerate} \item On appelle $G$ et $H$ les ensembles des valeurs prises respectivement par $x'$ et $y'$. Écrire la liste des éléments de $G$ et $H$. \item Montrer que $x'- y'$ est un multiple de 3. \item Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité. On se propose de déterminer tous les couples $(x'~;~y')$ de $G \times H$ tels que $m = x'^2 - y'^2$ soit un multiple non nul de 60. \item Montrer que dans ces conditions, le nombre $x'- y'$ est un multiple de 6. Le nombre $x'- y'$ peut-il être un multiple de 30 ? \item En déduire que, si $x'^2 - y'^2$ est un multiple non nul de 60, $x'+ y'$ est multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples $(x'~;~y')$ qui conviennent. En déduire les couples $(x~;~ y)$ correspondant aux couples $(x'~;~ y')$ trouvés. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie_juin2000}{} \section{\textbf{Polynésie juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item On cherche deux entiers relatifs $x$ et $y$ solutions de l'équation $(1)~ax + by = 60 ~(a$ et $b$ entiers naturels donnés tels que $ab \neq 0$). On notera $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$. \begin{enumerate} \item On suppose que l'équation (1) a au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$. Montrer que $d$ divise 60. \item On suppose que $d$ divise 60. Prouver qu'il existe alors au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$ à l'équation (1). \end{enumerate} \item On considère l'équation : $(2) \quad 24x + 36y = 60.\quad (x$ et $y$ entiers relatifs). \begin{enumerate} \item Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l'équation (2). \item Trouver une solution évidente pour l'équation (2) et résoudre cette équation. On appellera $S$ l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ solutions. \item Énumérer tous les couples $(x~;~y)$ solutions de (2) et tels que : \[- 10 \leqslant x \leqslant 10.\] Donner parmi eux, ceux pour lesquels $x$ et $y$ sont multiples de 5. \item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1~cm), représenter l'ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 3t\\ y &= &1 - 2t \\ \end{array}\right. t \in \R.\] \item Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions $(x~;~y)$ de l'équation (2) appartiennent à $E$. Comment peut-on caractériser $S$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery_juin2000}{} \section{\textbf{Pondichéry juin 2000}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2000_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour $1 \leqslant n \leqslant 6$, calculer les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7. \item Démontrer que, pour tout $n,~ 3^{ n + 6} - 3^n$ est divisible par 7. En déduire que $3^n$ et $3^{ n + 6}$ ont le même reste dans la division par 7. \item À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^{\np{1000}}$ par 7. \item De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$ par 7, pour $n$ quelconque ? \item En déduire que, pour tout entier naturel $n, 3^n$ est premier avec 7. \end{enumerate} \item Soit $U_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n-1} 3^i$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. \begin{enumerate} \item Montrer que si $U_{n}$ est divisible par 7, alors $3^n - 1$ est divisible par 7. \item Réciproquement, montrer que si $3^n - 1$ est divisible par 7, alors $U_n$ est divisible par 7. En déduire les valeurs de $n$ telles que $U_n$ soit divisible par 7. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Neocal_dec1999}{} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie décembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_dec1999_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : $N=9n+1$ et $M = 9n - 1$. \begin{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n = 2p$, avec $p$ entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n = 2p + 1$ , avec $p$ entier naturel. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2 - 1$. \begin{enumerate} \item Exprimer l'entier $81n^2 - 1$ en fonction des entiers $M$ et $N$. \item Démontrer que si $n$ est pair alors $81 n - 1$ est impair. \item Démontrer que $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si $n$ est impair. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Amsud_nov1999}{} \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov1999_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} On considère l'équation \[(1)\qquad :\quad 20b - 9c = 2.\] où les inconnues $b$ et $c$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si le couple $(b_{0}~;~c_{0}$ d'entiers relatifs est une solution de l'équation (1), alors $c_{0}$ est un multiple de 2. \item On désigne par $d$ le p.g.c.d. de $|b_{0}|$ et $|c_{0}|$. Quelles sont les valeurs possibles de $d$ ? \end{enumerate} \item Déterminer une solution particulière de l'équation (1), puis déterminer l'ensemble des solutions de cette équation. \item Déterminer l'ensemble des solutions $(b~;~c)$ de (1) telles que p.g.c.d.$(b~;~c) = 2$. \item Soit $r$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2. Le nombre entier naturel $P$, déterminé par $P = \alpha_{n}r^n + \alpha_{n-1}r^{n-1} + ... + \alpha_{1}r + \alpha_{0}$, où $\alpha_{n},~\alpha_{n-1},~ ... , \alpha_{1},~ \alpha_{0}$ sont des nombres entiers naturels vérifiant $0 < \alpha_{n} < r,~ 0 \leqslant \alpha_{n-1} < r, ...,~ 0 \leqslant,~ \alpha_{0} < r$ est noté $\overline{\alpha_{n}\alpha_{n-1}\ldots\alpha_{1}\alpha_{0}}^{(r)}$ ; cette écriture est dite \og écriture de $P$ en base $r$ \fg{}. Soit $P$ un nombre entier naturel s'écrivant $\overline{ca5}^{(6)}$ et $\overline{bbaa}^{(4)}$ (en base six et en base quatre respectivement). Montrer que $a + 5$ est un multiple de 4 et en déduire les valeurs de $a$, puis de $b$ et de $c$. Donner l'écriture de $P$ dans le système décimal. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Antilles_sept1999}{} \section{\textbf{Antilles--Guyane septembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept1999_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij. On donne le point A(6 ; 0) et le point A$'$(0 ; 2). À tout point $M$ de l'axe des abscisses différent de A on associe le point $M'$ tel que : \[\text{A}M = \text{A}'M' \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{A}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{mod}~2\pi.\] On admet l'existence et l'unicité de $M'$. On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on prendra $-4$ pour abscisse de $M$. \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point de l'axe des abscisses différent de A. \begin{enumerate} \item Placer le point $M'$ sur la figure. \item Pour cette question on pourra donner une démonstration purement géomé\-tri\-que ou utiliser les nombres complexes. Démontrer qu'il existe une unique rotation, dont on précisera le centre, noté I et l'angle, qui transforme A en A$'$ et $M$ en $M'$. Placer I sur la figure. \item Démontrer que la médiatrice de [$MM'$] passe par I. \end{enumerate} \item On veut déterminer et construire les couples de points $(M,~ M')$ vérifiant la condition supplémentaire $MM' = 20$. \begin{enumerate} \item Calculer I$M$ et démontrer qu'il existe deux couples solutions : ($M_{1},~M'_{1})$ et $(M_{2},~ M'_{2})$. \item Placer ces quatre points sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{France_sept1999}{} \section{\textbf{Métropole septembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept1999_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Soit le repère orthonormal direct \Ouv{} du plan complexe. Les points A, B et C sont définis par leurs affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 3 - \text{i}\sqrt{3}~;~ z_{\text{B}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}~;~ z_{\text{C}} = 2 + \sqrt{3} + 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm. (On placera l'origine sur la gauche de la feuille). \item Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct. Soit G le centre de gravité du triangle OAB. Déterminer l'affixe $z_{\text{G}}$ de G. Dans la suite de l'exercice, on étudie deux isométries transformant [OA] en [GC]. \item Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes et R l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = az + b$. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ et $b$ pour que R(O) = G et R(A) = C. \item Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. \item Prouver que les droites (OA) et (GC) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des points G, B et C ? \item Construire, en justifiant la construction, l'image du triangle OAB par R. \end{enumerate} \item Soit $a'$ et $b'$ deux nombres complexes et $f$ l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = a'\overline{z} + b'$. \begin{enumerate} \item Déterminer $a'$ et $b'$ pour que $f$(O) = G et $f$(A) = C. \item Soit I le milieu du segment [OG]. Déterminer le point $f$(I). $f$ est-elle une réflexion ? \item Construire en justifiant la construction, l'image du triangle OAB par $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Sportifs_sept1999}{} \section{\textbf{Sportifs de haut--niveau septembre 1999}} \vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Sportifs_sept1999_retour}{Retour au tableau} \vspace{0,5cm} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. (unité graphique : 1~cm) . \begin{enumerate} \item On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 + 4i et 5 + 2i. On considère la translation $t$ de vecteur $\vect{\text{BC}}$, la symétrie S d'axe (AB) et la transformation $f = t \circ~$ S. On désigne par A$'$ et B$'$ les images respectives de A et B par $f$. Calculer les affixes de A$'$ et B$'$ et placer les points A, B, C, A$'$ et B$'$ sur une figure. \item On rappelle que l'écriture complexe d'un antidéplacement est de la forme $z' = a\overline{z} + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $|a| = 1$. À tout point $M$ d'affixe $z$,~ $f$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$. Justifier que $f$ est un antidéplacement et démontrer que : \[z' = \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{38 - 6\text{i}}{5}.\] \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. La transformation $f$ est-elle une symétrie ? \item On appelle D le point d'affixe 3 + 6i,~$\Delta$ la médiatrice de [BD] et S$'$ la symétrie d'axe $\Delta$. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $\Delta$ et (AB) sont parallèles. \\ Déterminer S ~$\circ$~ S$'$. \item Montrer que $f \circ \text{S}'$ est la translation, notée $t'$, de vecteur $\vect{\text{DC}}$. En déduire que $f = t' \circ \text{S}'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \vspace{4cm} \aldineleft~ Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus.~ \aldineright http://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/ \end{document}