\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2000~\decofourright \\Physique de laboratoire et de procédés industriels}}
 
\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4
\end{center}  

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct 
 (unité graphique 10~cm).

Pour tout entier naturel $n$, on note $M_{n}$ le point 
d'affixe $z_{n} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\cdot \text{i}^n$ où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument	$\dfrac{\pi}{2}$ . (Par convention, pour $n = 0,$

$\text{i}^0 = 1$.)

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la forme algébrique ainsi que le module et un
argument de chacun des nombres complexes $z_{0},~z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$.

Placer dans le plan les points $M_{0},~M_{1},~M_{2}$ et $M_{3}$.

\item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$. En déduire que
$M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$, par une rotation $r$ de centre O. Préciser une mesure de l'angle de cette rotation.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer un argument de $z_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ soit confondu avec $M_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $Q_{n}$, le point
d'affixe $\omega_{n} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\cdot 
\left(\dfrac{\text{i}}{2} \right)^n$.  (par convention, pour $n = 0,~
\left(\dfrac{\text{i}}{2} \right)^0 = 1)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, les points O,~ 
$M_n$, et $Q_{n}$ sont alignés.
		\item Placer les points $Q_{0},~ Q_{1},~ Q_{2}$ et $Q_{3}$ dans
le plan.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Les unités physiques utilisées sont le mètre (m) et le kilogramme (kg).

Un mobile de masse 16~kg, guidé rectilignement sur un banc à coussin d'air, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vaut $k = 1$.

Si l'on écarte le centre d'inertie G du solide de sa position d'équilibre O, alors G effectue des oscillations autour de celle-ci.

À l'instant $t$, la position de G est repérée par le point 
$M$ d'abscisse $f(t)$ dans le repère 
$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath}\right)$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5)
\psline(0,0)(0,1) 
\psline(0,0.5)(0.8,0.5)(1.05,1)(1.55,0)(2.05,1)(2.55,0)(3.05,1)(3.55,0)(4.05,1)(4.55,0)
(5.05,1)(5.55,0)(6.05,1)(6.55,0)(7.05,1)(7.2,0.5)(7.5,0.5)
\psframe(7.5,0)(8.5,1)  \rput(8,0.5){G}
\psline(0,2)(0,3)
\psline(0,2.5)(9,2.5) \psline[linewidth=2pt]{->}(4.2,2.5)(5.2,2.5)
\uput[u](4.2,2.5){O} \uput[u](8,2.5){$M$}
\uput[d](4.5,2.5){$\vect{\imath}$} \uput[d](8,2.5){$f(t)$}
\psline(0,3.5)(0,4.5)
\psline(0,4)(0.8,4)(1.05,4.5)(1.3,3.5)(1.55,4.5)(1.8,3.5)(2.05,4.5)(2.3,3.5)(2.55,4.5)
(2.8,3.5)(3.05,4.5)(3.3,3.5)(3.4,4)(3.8,4)
\psframe(3.8,3.5)(4.8,4.5) \rput(4.3,4){G}
\psline(8,2.4)(8,2.6)
\end{pspicture}    
\end{center}

\vspace{0,8cm}

On admettra que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :

\[(\text{E}) \qquad :~ 16y'' +y = 0.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation
    différentielle (E).

		\item On suppose qu'à l'instant $t= 0$ le mobile est au point 
d'abscisse $f(0) = 0,5$ m et a une vitesse égale à $f'(0) = 0,125$ 
m.s$^{-1}$.

Montrer que la fonction $f$ est définie par 
$f(t) = \dfrac{1}{2}\left[ \cos \dfrac{t}{4} + \sin 
\dfrac{t}{4}\right]$.

		\item Vérifier que, pour tout réel $t~ :~ f(t) = 
\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos \left[\dfrac{1}{4}(t- \pi)\right]$.

	\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout réel $t$, on a : $- 
\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqslant f(t) \leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la valeur positive $t_{0}$ de $t$ pour laquelle
le point $M$ se trouve pour la première fois en O.
		\item Combien de fois le point $M$ se trouve-t-il en O dans l'intervalle de temps [0~;~35] ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = - 2 \ln x + ax^2 + bx,~ \text{où}~a~ \text{et}~b~ \text{sont deux nombres réels.}\]

On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Ouv~ d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$	passe par le point 
A$\left(1~;~- \dfrac{13}{2}\right)$ et que le coefficient directeur de la tangente en A est égal à $- 6$, déterminer les valeurs des nombres $a$ et $b$.
\item Pour la suite du problème, on prendra $f(x)= -  2 
\ln x + \dfrac{5}{2}x^2 - 9x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$.
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item Vérifier que l'on peut écrire : 

\[f(x) = x^2\left(- 2\dfrac{\ln x}{x^2} + \dfrac{5}{2} - 
\dfrac{9}{x}\right).\]

En déduire la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle
$]0~;~+ \infty[$.
\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$.
	\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.	
\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, dans l'intervalle [3~;~4], l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $x_{0}$.
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude $0,01$ de $x_{0}$.	
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite D tangente 
à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
\item Tracer dans le repère \Ouv{} la droite D et la courbe
$\mathcal{C}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = x \ln x - x.\]

Expliciter la dérivée $g'$ de la fonction $g$.

\item Déduire de la question précédente une 
primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[$.
\item On appelle $\mathcal{A}$	la partie du plan située entre la
courbe,	l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = x_{0}$ 
et $x = 5$~ ($x_{0}$ est défini à la question \textbf{B. 2}).
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer sur la figure la partie $\mathcal{A}$.
		\item On désigne par A l'aire, en unités d'aire, de la partie $\mathcal{A}$.
Calculer A en fonction de $x_{0}$ puis calculer une valeur approchée de A en prenant 3,88 comme valeur approchée de $x_{0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}