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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  juin 2004~\decofourright\\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}
\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Une partie de dé est organisée selon les règles suivantes :

on mise 2 \euro{} puis on lance un dé parfaitement équilibré ;

pour la sortie du 6 on reçoit 6 \euro{} ; 

pour la sortie du 5 on reçoit 2 \euro{}  ;

pour la sortie du 4 on reçoit 1 \euro{} 

et dans les autres cas on ne reçoit rien.

On appelle gain d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

\begin{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Établir la loi de probabilité de $X$
		\item Déterminer l'espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\item Un joueur se présente il a en poche 2,50 \euro.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue d'une partie ?
		\item Déterminer la probabilité qu'il puisse jouer deux parties.
		\item On suppose qu'il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue des deux parties ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre le système suivant d'inconnues complexes $z$ et $z'$ :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z + \text{i}z'&=&-1\\
z - z' &= & 2 + \text{i}\\
\end{array}\right.\]

On donnera les solutions sous forme algébrique.
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv d'unité
 graphique 3 cm.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives
 $z_{\text{A}} = - 1,~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} =  -2 + 
 \text{i}$.
		\item Calculer les modules des nombres complexes : $z_{\text{B}} - 
z_{\text{C}}$  et $z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$.

Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
		\item On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l'affixe du point I puis calculer la distance BI.
		\item Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item  On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal  \Oij{} d'unité graphique 2 cm.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item On rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  x^n\text{e}^x = 0$ pour tout $n$ entier naturel.

En remarquant que $f(x) =  x^2\text{e}^x - 5x\text{e}^x + 7\text{e}^x$, déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

En  déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f'(x) =  (x^2 - 3x + 2)\text{e}^x$.
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$.

Dresser le tableau de variations de $f$ (on donnera les valeurs 
exactes de $f(1)$ et de $f(2)$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. 
		\item Que peut-on dire de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 ? et au point d'abscisse 2 ?
	\end{enumerate}
\item Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$- 2$	&$- 1$	&0	&1	&2 	&2,5\\ \hline
$f(x)$	&		&		&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près par défaut.
\item Construire la droite T et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer sur le dessin la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $x = 1$  et les deux axes du repère. On appelle  $\mathcal{A}$ son aire, en cm$^2$. 
		\item En utilisant la partie 1 montrer que pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] on a :

\[7 \leqslant  f(x) \leqslant  3\text{e}.\]

\item En déduire l'encadrement suivant :

\[7 \leqslant \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x \leqslant  3\text{e}.\]

\item En utilisant l'encadrement ci-dessus justifier que l'aire $\mathcal{A}$ est comprise entre 28 et 33 cm$^2$.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[g(x)  = \left(x^2 - 7x+ 14\right)\text{e}^x.\]

Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis la valeur arrondie à l'unité près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}