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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2004~ \decofourright\\Physique de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

 Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

Ce sujet nécessite l'utilisation de deux feuilles de papier millimétré

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

L'iode 131 est un produit radioactif. Tout échantillon d'iode 131 a sa masse qui diminue régulièrement par désintégration.

\begin{enumerate} 
\item Dans un premier livre de physique, on lit que la masse de tout 
échantillon d'iode 131 diminue de $8,3\,\%$ chaque jour.

On dispose d'un échantillon de masse initiale M$_0$ = 100 g.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer, arrondie au dixième, la masse M$_1$ de l'échantillon au bout d'une journée puis sa masse M$_2$ au bout de deux jours.
		\item On note $M_n$ la masse de l'échantillon au bout de $n$ jours. Démontrer que la suite $\left(M_n\right)$ est une suite géométrique.
		\item Calculer la masse M$_{10}$ de l'échantillon au bout de 10 jours, arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\item Dans un second livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d'iode 131 est une fonction du temps, $M : t \longmapsto M(t)$ qui est solution de  l'équation différentielle : 

\[M'(t) = \lambda  \cdot M(t)\qquad (\text{E})\]

où $t$ est le temps exprimé en jours et $\lambda$ une constante réelle.
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation (E).
		\item Sachant que lorsque $t = 0$, la masse de l'échantillon est de 100 g, exprimer $M(t)$ en fonction de $t$ et de $\lambda$.
		\item Calculer $M(1)$ en fonction de $\lambda$. Pour quelle valeur de $\lambda$ a-t-on $M(1) = 91,7$ ? 

On donnera une valeur approchée de $\lambda$ arrondie au dix-millième.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{}  (unité graphique : 1 cm).

i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 
$\dfrac{\pi}{2}$.

À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan complexe, on fait correspondre le point  $M'$ d'affixe $z'$ tel que 

\[z'= (1 + \text{i})z - 2\text{i}.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le nombre complexe $z$ tel que $z'= z$.
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} =2$ et $z_{\text{B}} = - 1 + 3\text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$. Que peut-on dire du point A$'$ ?
		\item Placer les points A, B et B$'$ dans le repère \Ouv.
		\item Démontrer que le triangle ABB$'$ est un triangle rectangle et isocèle.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier l'égalité : $\left|z'\right|  = \sqrt{2} \times | z - (1 + \text{i})|$.
		\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$.

Interpréter géométriquement $|z|$ et $|z- (1 + \text{i})|$.
		\item Déduire des questions précédentes l'ensemble (D) des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z'|  = \sqrt{2} \times |z|$
et tracer (D) dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
  \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 2x+1 + \dfrac{1}{\text{e}^x + 1}\]

On note  $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal
(unités : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0,~ x$ réel positif.

En déduire que $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on précisera l'équation.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.

Montrer que la droite D d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$.

Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer, pour tout $x$ réel strictement positif, le nombre dérivé $f'(x)$.

Montrer que, pour tout $x$ réel strictement positif, 

\[f'(x) = 2 \dfrac{\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)}{\left(\text{e}^x - 1\right)^2 }.\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

En déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout $x > 0$,

\[f(x) = ax + b + \dfrac{c\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}.\]

		\item Hachurer la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.

Déterminer l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}