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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G. juin 2001}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{CG-IG juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Métropole~\decofourright\\ juin 2001}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Dans un magasin on a relevé le mode de paiement et le montant $M$ (en euros) mentionnés sur 250 tickets de caisse.
 
On a constaté que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tous les achats strictement inférieurs à 10 euros sont payés en
 espèces ;
\item[$\bullet~$] La moitié des achats dont le montant $M$ est tel que 
$10 \leqslant M \leqslant 20$  est payé en espèces ;
\item[$\bullet~$] 16\:\% des achats sont payés par carte de crédit.
\item[$\bullet~$] 36\:\% des achats ne sont pas payés en espèces.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item Recopier le tableau ci-dessous et finir de le remplir à
 l'aide des informations données.

\begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c |}}\hline
\backslashbox{Mode de paiement}{Montant} & $M <10$	&$10 \leqslant M \leqslant 
20$ & $M \geqslant 
20$ 
&Total\\ \hline
Espèces & & 38 &  & \\ \hline
Chèque &  &  &  &  \\ \hline
Carte de crédit &   & 15 &  &  \\ \hline
Total & 	106 & &  &	250\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\item On choisit au hasard un ticket de caisse et on
 considère les évènements :

A : \og Le ticket indique un montant supérieur à 20 euros. \fg

B : \og Le ticket correspond à un paiement par chèque \fg.

Calculer la probabilité des évènements : A, B, A~$\cap$~B, A ~$\cup$~B. 
\item On choisit un ticket de caisse correspondant à un
 paiement par chèque. Quelle est la probabilité qu'il indique un montant
 supérieur à 20 euros ? 
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 6 points}

\medskip

Le mobilier d'une bibliothèque municipale doit être changé pour contenir au moins \np{4400} livres de petit format et \np{2600} livres de grand format.
 
Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir
 110 livres de petit format et 100 livres de grand format pour un prix de
 400 euros.
 
Un deuxième fournisseur propose des meubles de type B pouvant contenir
 220 livres de petit format et 100 livres de grand format pour un prix de 
 \np{9600} euros.
  
Par ailleurs le responsable de la bibliothèque a pour consigne de
 ne passer aucune commande supérieure à \np{9600} euros chez un même fournisseur. 

\begin{enumerate} 
\item Soit $x$ le nombre de meubles de type A et $y$ le nombre
 de meubles de type B.

Traduire les contraintes que doit respecter le bibliothécaire sous
 forme d'un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$.
\item À tout couple $(x,~ y)$ de nombres réels, en associe le
 point $M$ de coordonnées $(x,~ y)$ dans un repère orthonomal  \Oij.

(On choisira un centimètre pour deux unités). 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le système obtenu au \textbf{1)} est équivalent à

\[ \left\{ \begin{array}{lc c cl }
0&\leqslant & x&\leqslant &24\\
0 &\leqslant& y&\leqslant &16\\
x+2y& &\geqslant&&40\\
x+ y&& \geqslant &&  26\\
x \in \N &&,&& y \in \N
\end{array}\right.\]
		\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système précédent. (On hachurera la zone qui ne convient pas).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la dépense $d$
 occasionnée par l'achat de $x$ meubles du type A et $y$ meubles du type B. 
		\item Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de \np{15600} euros. 
		\item Déterminer graphiquement le nombre de meubles à commander chez chacun des fournisseurs pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée. 
		\item Quelle eu alors la dépense en euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\vspace{0,25cm}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

 On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = x^2 -1 + \ln x.\] 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dérivée $g'$ de $g$
    est définie sur  $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g'(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x}.\]

		\item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g(1).$
		\item En déduire que $g(x) > 0$ pour $x > 1$ et que $g(x) < 0$ pour $0 < x < 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par: 

\[f(x) = - \dfrac{\ln x}{x} + x - 1.\]
 
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans  un repère orthogonal \Oij. 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + 0} f(x)$. En déduire que la courbe
 $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[$
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.  En déduire, en utilisant le résultat de
 la dernière question de la \textbf{partie A}, le sens de variation de $f$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}

\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[f(x) - x + 1
\right]$ et en déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote D dont on donnera une équation. 
\item Montrer que $\mathcal{C}$ est en dessous de D pour
 $x > 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe tracée sur la feuille annexe. 

\begin{enumerate} 
\item Hachurer sur le graphique de la feuille annexe la partie
 du plu comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les
 droites d'équations $x = 1$ et $x =$~e.
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$
 par :
\[ F(x) = - \dfrac{(\ln x)^2}{2} + \dfrac{x^2}{2} - x\]

est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire
 de la partie hachurée sur le graphique, puis une valeur décimale approchée à $10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center} \textbf{ANNEXE}
     
\textbf{CE DOCUMENT EST À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.55cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(8,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-1)(8,6)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(8,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,6)
\uput[dr](0,0){O} \uput[u](1,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[r](0,1){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[d](2,0){2} \uput[d](4,0){4} \uput[d](6,0){6} \uput[d](8,0){8}
\uput[d](2.718,0){e}
\uput[u](8,0){$x$} 
\uput[l](0,1){1} \uput[l](0,-1){$-1$}  \uput[l](0,2){2} \uput[l](0,3){3}
\uput[l](0,4){4} 
\uput[l](0,5){5} \uput[l](0,6){$y$}
\psline(0,-1)(7,6) \rput(6,5.2){D} \rput(6,4.6){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=1000]{0.2222}{7}{x 1 sub x ln x div sub}
\psline(2.71828,-0.1)(2.71828,0.1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}