\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-node,pst-tree} \everymath{\displaystyle} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{27 mai 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord 27 mai 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{L'exercice suivant est un Q. C. M. (questionnaire à choix multiples) Pour chaque proposition choisir l'unique bonne réponse sachant qu'une bonne réponse rapporte un point et que l'absence de réponse ou une réponse fausse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \emph{Aucune justification n'est demandée.} \bigskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = x\text{e}^{-x}.\] La courbe représentative de $f$ est tracée dans le repère ci-dessous : \medskip \psset{unit=1.5cm} \begin{center} \begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(5.3,2.3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-2)(6,2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(5.2,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](5.2,0){$x$}\uput[r](0,1.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.85}{5.2}{x 2.71828 x exp div} \end{pspicture*} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x,\, f'(x)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $- \text{e}^{- x}$ &\textbf{b.}~~ $\text{e}^{- x}$ &\textbf{c.}~~ $(1 - x)\text{e}^{- x}$\\ \end{tabularx} \medskip \item La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 a pour équation : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $y = x$&\textbf{b.}~~ $y = 2x$ &\textbf{c.}~~ $y = -x$\\ \end{tabularx} \medskip \item Une primitive $F$ de $f$ est définie sur $\R$ par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 \text{e}^{- x}$&\textbf{b.}~~ $F(x) = - (1 + x)\text{e}^{- x}$&\textbf{c.}~~ $F(x)= - x\text{e}^{- x}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ négative&\textbf{b.}~~ inférieure à 1&\textbf{c.}~~ supérieure à 3\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le glacier d'Aletsch, classé à l'UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes, situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône. Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors $25,6$~km. Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20~ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement le pied du glacier en 1900. Les mesures successives ont été relevées dans le tableau ci-dessous. On note $t$ la durée, en années, écoulée depuis 1900, et $r$ le recul correspondant, mesuré en kilomètres. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année de mesure :& 1900 &1920 &1940 &1960 &1980 &2000\\ \hline Durée $t$ écoulée (depuis 1900): &0 &20 &40 &60 &80 &100\\ \hline Recul $r$ (en km) : &0 &0,3 &0,6 &1 &1,6 &2,3\\ \hline \multicolumn{7}{r}{Mesures déduites de : The Swiss Glaciers,}\\ \multicolumn{7}{r}{Yearbooks of the Glaciological Commission of the Swiss} \end{tabularx} \medskip Par exemple, en 1940 ($t = 40$), le recul du glacier par rapport à 1900 a été de 0,6~km : la longueur du glacier était donc de $25,6 - 0,6 = 25$km. \medskip \textbf{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-3}$ près.} \medskip \textbf{Partie A} Étude d'un modèle affine \medskip \begin{enumerate} \item Tracer le nuage de points dans le repère donné en annexe (Durée $t$ en abscisse, distance $r$ en ordonnée). \item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $r$ en fonction de $t$, puis tracer cette droite dans le repère précédent. \item À partir du modèle affine obtenu précédemment, estimer par le calcul : \begin{enumerate} \item Le recul puis la longueur du glacier en 2011. \item L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} Utilisation d'un modèle exponentiel \medskip Le résultat du \textbf{3. b.} de la partie A étant peu en accord avec la plupart des autres études, les glaciologues considèrent un autre modèle : le modèle exponentiel. \medskip On pose $y = \ln (r)$. On rappelle que $\ln (r)$ désigne le logarithme népérien du recul $r$. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier puis compléter le tableau suivant sur votre copie (pour permettre le calcul de $y$, la durée 0 de l'année 1900 a été exclue du tableau. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Durée $t$ (à partir de 1900) &20 &40 &60 &80 &100\\ \hline $y = \ln (r)$ & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $y$ en fonction de $t$. \item Déduire que $r(t) = \text{e}^{0,025 t - 1,599}$. \end{enumerate} \item En utilisant le modèle obtenu précédemment, estimer par le calcul : \begin{enumerate} \item Le recul puis la longueur du glacier en 2011. \item L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près. \medskip On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux évènements d'un ensemble probabiliste, avec $A$ de probabilité non nulle, la probabilité de $B$ sachant $A$ est le réel noté $P_{A}(B)$. \medskip \emph{L'asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.\\ En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ $4$\,\% des hommes et $5$\,\% des femmes sont asthmatiques.} \medskip Dans la population française, on considère l'ensemble des couples homme-femme. \medskip \textbf{Partie A} Étude de l'état d'asthme du couple \medskip On note : \begin{description} \item[ ] $H$ l'évènement : \og L'homme est asthmatique \fg, \item[ ] et $F$ l'évènement : \og La femme est asthmatique \fg. \end{description} \parbox{0.62\textwidth}{On admet que les évènements $H$ et $F$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre. \item On note les évènements : $A$ : \og Aucun des deux adultes du couple n'est asthmatique \fg $B$ : \og Un seul des deux adultes du couple est asthmatique \fg $C$ : \og Les deux adultes du couple sont asthmatiques \fg Montrer que : $P(A) = 0,912$ ; $P(B) = 0,086 \quad ; \quad P(C) = 0,002$. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.34\textwidth}{ \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$H$~}} { \TR{$F$} \TR{$\overline{F}$} } \pstree{\TR{$\overline{H}$~}} { \TR{$F$} \TR{$\overline{F}$} } } \end{center}} \bigskip \textbf{Partie B} Étude de la transmission de l'asthme au premier enfant \medskip Les études actuelles sur cette maladie montrent que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Si aucun des parents n'est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,1$. \item[$\bullet~~$] Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,3$. \item[$\bullet~~$] Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,5$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \parbox{0.62\textwidth}{On note E l'évènement: \og Le premier enfant du couple est asthmatique \fg. \begin{enumerate} \item Reproduire sur votre copie puis compléter l'arbre de probabilités ci-contre. \item Montrer que $P(\text{E}) = 0,118$. \item Calculer $P_{\text{E}}(\text{A})$ et interpréter le résultat. Déduire $P_{\text{E}}\left(\overline{\text{A}}\right)$ et interpréter le résultat. \item Quelle est la probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ? (\textbf{Indication :} on pourra chercher à calculer l'évènement contraire) \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.34\textwidth}{ \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$~}} { \TR{$E$} \TR{$\overline{E}$} } \pstree{\TR{$B$~}} { \TR{$E$} \TR{$\overline{E}$} } \pstree{\TR{$C$~}} { \TR{$E$} \TR{$\overline{E}$} } } \end{center}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} Étude d'un site \medskip \parbox{0.68\textwidth}{Un site internet comporte 8 pages, notées A, B, C, D, E, F, G, H reliées entre elles suivant le graphe ci-contre. Ainsi, par exemple, à partir de la page A on peut directement accéder aux pages B, C et D. Par contre, la page A ne permet pas d'accéder directement à la page~F. \begin{enumerate} \item Le technicien souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages ? Justifier la réponse. \item Pour marquer les changements de page, l'administrateur du site souhaite que deux pages reliées aient des couleurs différentes. On note $N$ le nombre minimum de couleurs nécessaires. \begin{enumerate} \item Donner un sous-graphe complet d'ordre maximal. \item En utilisant la question 2. a. et à l'aide d'un algorithme, montrer, que $N = 3$. \end{enumerate}\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.29\textwidth}{\psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(5,5) \psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt} \rput{0}(2.5,2.5){\multido{\rA=90+51.4268,\n=0+1}{7}{\Cnode(2.5;\rA){S\n}}} \Cnode(2.5,3){S7} \rput(S0){\small{A}}\rput(S1){\small{B}}\rput(S2){\small{E}}\rput(S3){\small{G}} \rput(S4){\small{H}} \rput(S5){\small{F}} \rput(S6){\small{D}} \rput(S7){\small{C}} \ncline{S0}{S1}\ncline{S1}{S2} \ncline{S2}{S3} \ncline{S3}{S4} \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S6} \ncline{S6}{S0} \ncline{S7}{S0} \ncline{S7}{S1} \ncline{S7}{S2} \ncline{S7}{S6} \ncline{S2}{S5} \ncline{S3}{S5} \end{pspicture}} \medskip \textbf{Partie B} Étude de propagation d'un virus d'un site à l'autre \medskip Le site précédent, appelé site \no 1, propose un unique lien vers un site partenaire, appelé Site \no 2, sans retour possible. De même, le site \no 2 propose un unique lien vers un site \no 3, sans retour possible et ainsi de suite ... (voir le schéma ci-dessous) : Site \no 1 $\longrightarrow$ Site \no 2 $\longrightarrow$ Site \no 3 $\longrightarrow$ ... $\longrightarrow$ Site \no $n$ $\longrightarrow$ Site \no $n+1$ ... Le site \no 1 vient d'être infecté par un virus informatique qui utilise les liens entre les sites pour essayer de se propager, les autres sites n'étant pas encore touchés. Face à ce nouveau virus, les antivirus ne sont efficaces qu'à 80\,\%. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item V l'état \og le site est infecté par le virus \fg \item S l'état \og le site est sain (non infecté par le virus) \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On a dessiné ci-dessous le graphe probabiliste traduisant les risques de propagation du virus d'un site au suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,2) %\psgrid \cnodeput(1.5,1){A}{V}\cnodeput(3.5,1){B}{S} \rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.6}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.6}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A} \rput(2.5,0.4){$0$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier la valeur $0$ indiquée sur le graphe probabiliste précédent, puis recopier et compléter ce graphe sur votre copie. \item Préciser la matrice de transition $M$ de ce graphe (première ligne pour V, deuxième ligne pour S) Pour tout entier naturel non nul $n$, on note : $P_{n}$ la probabilité que le $n$-ième site soit infecté, $Q_{n}$ la probabilité que le $n$-ième site soit sain et $X_{n} = \left(P_{n} \quad Q_{n}\right)$. On a donc $X_{1} = (1\quad 0)$ (traduisant que le site \no 1 est infecté) et $X_{n+1} = X_{n}~M$. \item \begin{enumerate} \item En utilisant la relation $X_{n+1} = X_{n}M$, montrer que $P_{n+1} = 0,2P_{n}$. \item En déduire $P_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(P_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un supermarché souhaite acheter des fruits à un fournisseur. Ce fournisseur propose des prix au kilogramme, dégressifs en fonction du poids de fruits commandé. Pour une commande de $x$ kilogrammes de fruit, le prix $P(x)$ en euros du kilogramme de fruits est donné par la formule : \[ P(x) = \dfrac{x + 300}{x + 100} \quad \text{pour}\, x \in [100~;~+\infty[.\] Par exemple si le supermarché achète $300$~kilogrammes de fruits, ces fruits lui sont vendus $P(300) = \dfrac{600}{400} = 1,50$~euros le kilogramme. Dans ce cas, le supermarché devra payer $300 \times 1,5 = 450$~euros au fournisseur pour cette commande. \medskip \textbf{Partie A} Étude du prix $P$ proposé par le fournisseur \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} P(x)$. \item Montrer que $P'(x) = - \dfrac{200}{(x + 100)^2}$ sur $[100~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $P$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} Étude de la somme $S$ à dépenser par le supermarché \medskip On appelle $S(x)$ la somme en euros à dépenser par le supermarché pour une commande de $x$ kilogrammes de fruits (ces fruits étant vendus par le fournisseur au prix de $P(x)$ euros par kilogramme). Cette somme est donc égale à $S(x) = xP(x)$ pour $x \in [100~;~+ \infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} S(x)$. \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100~;~+ \infty[$ : $S'(x) = \dfrac{x^2 + 200x + \np{30000}}{(x + 100)^2}$. \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100~;~+ \infty[$ : $S(x) = x + 200 - \np{20000} \times \dfrac{1}{x + 100}$. \item En déduire une primitive $T$ de $S$ sur $[100~;~+ \infty[$ . \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C } Étude de différentes situations \medskip Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. \medskip \begin{enumerate} \item Le magasin dispose d'un budget de 900~euros pour la commande de fruits. Préciser, au kilogramme près, le poids maximum de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget. On justifiera la réponse. \item On rappelle que la valeur moyenne $M$ d'une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $[a~;~b]$ est donnée par la formule $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$. Le supermarché estime acheter régulièrement entre 400 et 600~kilogrammes de fruits à ce fournisseur. Déterminer la valeur moyenne de $S$ sur [400~;~600] et donner le résultat arrondi à l'unité. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE \\(à rendre avec la copie)} \vspace{2cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.075cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-10,-0.5)(170,3.5) \uput[u](145,0){Durée (à partir de 1900)} \uput[u](11,3.5){Recul (mesuré en km)}\uput[dl](0,0){O} \multido{\n=0+10}{18}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3.5)} \multido{\n=0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(170,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20]{->}(0,0)(0,0)(170,3.5) \end{pspicture} \end{center} \end{document}