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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord mai 2021~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip


Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
\item[$\bullet~~$]si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme. 

On note $D$ l'évènement \og l'athlète est dopé \fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. 

On admet que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à 0,08.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
\item Démontrer que $P(T) = 0,083$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?
		\item Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement \og un athlète présentant un test positif est dopé \fg{} est supérieure ou égale à $0,95$.

Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question \textbf{1.}, on suppose que les organisateurs décident de contrôler $5$ athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
		\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?
	\end{enumerate}
\item Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement \og au moins un athlète contrôlé présente un test positif\fg{} soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip


Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.

Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

\smallskip

Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0		&=	&0,6\\
u_{n+1}	&=	&0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right)
\end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1] et dresser son tableau de variations.
\item Résoudre dans l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$.
\end{enumerate}

On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
		\item Le biologiste a programmé en langage Python la fonction \textbf{menace()} ci-dessous:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}%\hline
def menace()\\
\quad u = 0,6\\
\quad n = 0\\
\quad while u > 0,02\\
\hspace{1cm} u = 0,75*u*(1-0,15*u)\\
\hspace{1cm} n = n+1\\
\quad return n\\ %\hline
\end{tabular}
}
\end{center}

Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\smallskip

\textbf{Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,radius=2pt}
\begin{pspicture}(0,-1)(9,7)
%\psgrid[subgriddiv=2,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Cnode*(0.5,0.4){A} \Cnode*(5.5,0){B} 
\Cnode*(0.5,5.4){E} \Cnode*(5.5,5){F} 
\Cnode*(7.3,0.8){C} %\Cnode*(8.5,1.4){C} 
\Cnode*(7.3,5.8){G}  %\Cnode*(8.5,6.4){G} 
\Cnode*(2.3,6.2){H} %\Cnode*(3.5,6.8){H}
 \Cnode*(2.3,1.2){D} % \Cnode*(3.5,1.8){D}
\Cnode*(3,5.2){I} 
\Cnode*(6.4,0.4){J} %\Cnode*(7,0.7){J} 
\Cnode*(0.5,2.9){K}
%%%%%%%%%%%%%%%
\uput[dl](A){A} \uput[dr](B){B} \uput[r](C){C} 
\uput[ur](D){D} \uput[ul](E){E} \uput[u](F){F} 
\uput[ur](G){G} \uput[u](H){H} \uput[u](I){I}
\uput[dr](J){J}\uput[l](K){K}
%%%%%%%%%%%%%%%
\pspolygon(A)(B)(F)(E)
\psline(B)(C)(G)(F)
\psline(G)(H)(E)
\psline[linewidth=1.6pt](A)(I)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](I)(J)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](K)(H)%KH
\psline[linestyle=dashed](A)(D)(H)%ADH
\psline[linestyle=dashed](D)(C)%DC
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,
\end{enumerate}

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points I et J.
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{IJ}},~\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont coplanaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:

\[d_1  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&3 + t\\
y 	&=& 8 - 2t\\
z	&=& - 2 + 3t\\
\end{array}\right. , t \in \R\quad \text{et}\quad 
d_2  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&4 + t\\
y 	&=&1 + t\\
z	&=&8 + 2t\\
\end{array}\right. , t \in \R.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\item Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
\item Montrer que le point L(4~;~0~;~3) est le projeté orthogonal du point M(5~;~3~;~1) sur le plan $\mathcal P$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice au choix du candidat}}

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

\bigskip

\textbf{Exercice A  \hfill 5 points}

\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
\hspace{1.25cm}$\bullet~~$Fonction exponentielle\\
\hspace{1.25cm}$\bullet~~$Convexité\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. 

On justifiera chaque réponse. 

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Pour tous réels $a$ et $b$,\, $\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}$.

\smallskip
\textbf{Affirmation 2 :}  Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x$ admet pour équation réduite $y = 2x + 1$.

\smallskip
\textbf{Affirmation 3 :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{3}{x}\right) = 0$.

\smallskip
\textbf{Affirmation 4 :} L'équation $1 - x + \text{e}^{-x} = 0$ admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0~;~2].

\smallskip
\textbf{Affirmation 5 :} La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x$ est convexe.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice B} \hfill 5 points}
 
\smallskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés : \\ 
\hspace{1cm}$\bullet~~$Fonction logarithme népérien\\
\hspace{1cm}$\bullet~~$Convexité\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$, deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point A(1~;~4).

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.8)(6.4,4.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray](0,-1)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.8)(6.4,4.4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{6.4}{x ln 1 add 4 mul x div}
\psline[linewidth=1.25pt](0,4)(6.4,4)\uput[u](5.8,4){$T$}
\uput[u](5.8,1.9){\red $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](1,4){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,\, 
\text{où }\, a \text{ et}\, b \text{ sont deux nombres réels}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

\[f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.\]

\item En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

\[f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.\]

\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède un unique point d'inflexion B dont on précisera les coordonnées.
\end{enumerate}
\end{document}
