\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Centres étrangers groupe 1 Sujet 1 13 mars 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage[np]{numprint} %\renewcommand\arraystretch{1.3} %\frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\setlength\parskip{3pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Centres étrangers groupe I}} \rfoot{\small{13 mars 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\bf\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers Groupe 1 \footnote{Groupe 1 (A) : Burkina Faso, Côte d'Ivoire, Ghana, Guinée, Mali, Mauritanie, Sénégal et Togo. \\ Groupe 1 (B) : Algérie, Angola, Bénin, Cameroun, Congo, Gabon, Irlande, Niger, Nigeria, Portugal, République centrafricaine, République démocratique du Congo, Royaume-Uni, Tchad et Tunisie. \\ Groupe 1 (C) : Belgique – Danemark – Égypte – Guinée équatoriale – Luxembourg – Norvège – Pays-Bas - Suède. \\ Centres étrangers du groupe 1 (D) : Afrique du Sud – Arabie saoudite – Bahreïn – Burundi - Comores – Djibouti - Éthiopie – Jordanie – Kenya – Koweït – Madagascar – Mozambique - Qatar. \\ Groupe 1 (E) : Émirats arabes unis, Iran, République de Maurice.} - 13 mars 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} QCM\hfill 5 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée. \smallskip Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. \bigskip \textbf{Question 1 :} \medskip On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par \[u_n = \dfrac{1 + 2^n}{3 + 5^n}.\] Cette suite : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} diverge vers $+\infty$ &\textbf{c.~~} converge vers 0\\ \textbf{b.~~} converge vers $\dfrac25$ &\textbf{d.~~} converge vers $\dfrac13$. \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2 :} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$. L'expression de la fonction dérivée de $f$ est : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} $f'(x) = 2x\ln x$.&\textbf{c.~~} $f'(x) = 2$.\\ \textbf{b.~~} $f'(x) = x(2\ln x + 1)$.&\textbf{d.~~} $f'(x) = x$. \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 3 :} \medskip On considère une fonction $h$ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous: %\begin{center} %\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} %\begin{pspicture}(8.5,2.5) %\psframe(8.5,2.5) %\psline(0,2)(8.5,2)\psline(2.5,0)(2.5,2.5) %\uput[u](1.25,1.9){$x$}\uput[u](3,1.9){$- \infty$}\uput[u](5.5,1.9){$1$}\uput[u](8,1.9){$+\infty$} %\rput(1.25,1){Variations de $h$}\uput[u](3,0){$- \infty$}\rput(5.5,1){0}\uput[d](8,2){$+ \infty$} %\psline{->}(3.1,0.5)(5,0.95)\psline{->}(6,1.05)(8,1.5) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \def\esp{\hspace*{3cm}} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & -\infty & \esp & +\infty \\ \hline %f'(x) & & \pmb{+} & \\ %\hline & & & \Rnode{max}{+\infty} \\ \text{ Variations de $h$ } & & & \\ & \Rnode{min}{-\infty} & & \ncline{->}{min}{max} \rput*(-2,0.8){\Rnode{zero}{0}} \rput(-2,1.9){\Rnode{alpha}{1}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s'annule en $0$. Elle vérifie la propriété : \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~}$H$ est positive sur $]-\infty~;~0]$.& \textbf{c.~~} $H$ est négative sur $]-\infty~;~1]$.\\ \textbf{b.~~}$H$ est croissante sur $]-\infty~;~1]$.& \textbf{d.~~}$H$ est croissante sur $\R$. \end{tabularx} %\medskip \newpage \textbf{Question 4 :} \medskip Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$. On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l'intervalle $[a~;~b]$ et qui s'annule en un réel $\alpha$. Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est: \smallskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~}&\textbf{c.~~}\\ \begin{tabular}{l} def racine$(a, b)$:\\ \quad while abs$(b - a)> = 0.001$:\\ \qquad $m = (a + b)/2$ \\ \qquad if $f(m) < 0$ :\\ \qquad \quad $b = m$\\ \qquad else:\\ \qquad \quad $a = m$ \\ \quad return $m$ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} def racine$(a, b)$:\\ \quad $m = (a + b)/2$\\ \quad while abs$(b - a)<=0.001$:\\ \qquad if $f(m)< 0$ :\\ \qquad \quad $a = m$ \\ \qquad else:\\ \qquad \quad $b = m$ \\ \quad return $m$ \end{tabular}\\ \medskip \textbf{b.~~}& \medskip\textbf{d.~~}\\ \begin{tabular}{l} def racine$(a, b)$: \\ \quad $m = (a + b)/2$\\ \quad while abs$(b - a)>= 0.001$:\\ \qquad if $f(m) < 0$:\\ \qquad \quad$a = m$\\ \qquad else:\\ \qquad \quad $b = m$\\ \quad return $m$\\ \end{tabular} & \begin{tabular}{l} def racine $(a, b)$:\\ \quad while abs $(b - a)>= 0.001$:\\ \qquad $m =(a + b)/2$\\ \qquad if $f(m) < 0$:\\ \qquad \quad $a = m$\\ \qquad else :\\ \qquad\quad$b = m$\\ \quad return $m$ \end{tabular} \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 5 :} \medskip Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes est : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~}$\left(\dfrac{7}{10}\right)^2 \times \dfrac{3}{10}$&\textbf{c.~~} $\ds\binom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$\\ \textbf{b.~~}$\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$&\textbf{d.~~}$\ds\binom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$ \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill6 points} \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On estime que : \begin{itemize} \item lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ; \item lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$. \end{itemize} \smallskip On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle. Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l'évènement \og la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service\fg{} et $p_n$ la probabilité de $B_n$. Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. \emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$B_n$~}\taput{$p_n$}} {\TR{$B_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{B_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{B_n}$~}\tbput{\ldots}} {\TR{$B_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{B_{n+1}}$}\tbput{\ldots} }} \end{center} \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\: $p_n \geqslant 0,8$. \item À partir de ce résultat, quelle communication l'entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = p_n - 0,8$. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. \item En déduire l'expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$. \item En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante : \begin{itemize} \item l'état d'une trottinette est indépendant de celui des autres ; \item la probabilité qu'une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$. \end{itemize} \smallskip On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état. \item Calculer la probabilité qu'au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$. \item On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat. \end{enumerate} %\bigskip \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \begin{minipage}{0.58\linewidth} On considère le prisme droit ABFEDCGH, de base ABFE, trapèze rectangle en A. On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath}, \vect{\jmath},\vect{k}\right)$ tel que : \[\vect{\imath} = \dfrac14\vect{\text{AB}}, \quad \vect{\jmath} = \dfrac14\vect{\text{AD}}, \quad \vect{k} = \dfrac18\vect{\text{AE}}.\] De plus on a $\vect{\text{BF}} = \dfrac12\vect{\text{AE}}$. On note I le milieu du segment [EF]. On note J le milieu du segment [AE]. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.35\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,8) %\psgrid \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(5.7,0) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.2,7.3) \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0.2,1.4)(4.2,3.2) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(4.2,3.2)(5.2,3.7) \psline(2.6,0.8)(4.2,1.6)(4.2,4.2)(2.6,3.4)(2.6,0.8)%BCGFB \psline(4.2,4.2)(1.8,7.3)(0.2,6.8)(2.6,3.4)%GHEF \psline(0.2,4)(1.35,5.2)(4.2,4.2)%JIG \psline(1.35,5.2)(1.8,7.3)%IH \psline(2.6,0.8)(4.2,4.2)%FE \psline[linestyle=dashed](4.2,1.6)(1.8,2.1)(1.8,7.3)%CDH \psline[linestyle=dashed](1.8,7.3)(0.2,4)(4.2,4.2)%HJG \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.8,1.24) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.7,1.6) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.2,1.4)(0.2,2.2) \uput[dl](0.2,1.4){A} \uput[d](2.6,0.8){B} \uput[r](4.2,1.6){C} \uput[ul](1.8,2.1){D} \uput[l](0.2,6.8){E} \uput[dl](2.6,3.4){F} \uput[r](4.2,4.2){G} \uput[u](1.8,7.3){H} \uput[d](1.35,5.2){I} \uput[l](0.2,4){J} \uput[d](0.5,1.3){$\vect{\imath}$} \uput[ur](0.35,1.5){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0.2,1.8){$\vect{k}$} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points I et J. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (IGJ). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (IGJ). \end{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan (IGJ) et passant par H. \item On note L le projeté orthogonal du point H sur le plan (IGJ). Montrer que les coordonnées de L sont $\left(\dfrac83~;~ \dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right)$. \item Calculer la distance du point H au plan (IGJ). \item Montrer que le triangle IGJ est rectangle en I. \item En déduire le volume du tétraèdre IGJH. \end{enumerate} \begin{center} On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule : $V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$ \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill3 points} \medskip Un biologiste a modélisé l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'entités) par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = \text{e}^3 - \text{e}^{-0,5t^2 + t + 2}\] où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l'expérience. \medskip À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d'elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse. \begin{list}{\textbullet}{} \item\textbf{Affirmation 1} : \og La population augmente en permanence \fg. \item\textbf{Affirmation 2} : \og À très long terme, la population dépassera \np{21000} bactéries\fg. \item\textbf{Affirmation 3} : \og La population de bactéries aura un effectif de \np{10000} à deux reprises au cours du temps \fg. \end{list} \end{document}