\documentclass[10pt]{article} 
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%tapuscrit : Denis Verg\\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalaur\'eat blanc}
\rhead{\small }
\lfoot{\small{A. Turbergue}} 
\rfoot{\small{29 f\'evrier  2008}} 
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat blanc TS 29 f\'evrier  2008~\decofourright\\ Lyc\'ee Pierre Mend\`es-France Tunis  \\ 
}}
L'utilisation de la calculatrice est autoris\'ee. Le candidat est invit\'e \`a faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incompl\`ete, qu'il aura d\'evelopp\'ee. Il est rappel\'e que la pr\'esentation, la qualit\'e de la r\'edaction et la pr\'ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appr\'eciation des copies.
 \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 7 points} \\

\medskip
\noindent \textbf{Partie A : restitution organis\'ee de connaissances}\\
Pr\'erequis :  on utilisera exclusivement les r\'esultats rappel\'es ci-dessous

\begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] la forme alg\'ebrique des nombres complexes et les r\`egles de calcul correspondantes,
 \item[\textbf{b.}] la d\'efinition de l'exponentielle complexe : pour tout r\'eel $\theta, \quad  \text{e}^{\text{i}\theta} = \cos \theta + \text{i}\sin \theta$
 \item[\textbf{c.}] les formules d'addition suivantes : pour tous r\'eels $\theta$ et $\theta'$,
\[\cos(\theta + \theta') = \cos \theta \cos \theta'  - \sin \theta \sin \theta'~ \text{et}~ \sin (\theta + \theta') =  	\sin \theta \cos \theta' + \cos \theta \sin \theta'\]
\end{enumerate}

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que pour tous r\'eels $\theta$ et $\theta',~\text{e}^{\text{i}(\theta + \theta')}  = \text{e}^{\text{i}\theta} \times \text{e}^{\text{i}\theta'}$.

\item En d\'eduire que pour tout r\'eel $\theta$ et pour tout entier $n$ de $\N,~ \left(\text{e}^{\text{i}\theta}\right)^n = \text{e}^{\text{i}n \theta}$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B : construction d'un pentagone r\'egulier}\\
Le plan complexe est rapport\'e au rep\`ere orthonormal \Ouv. L'unit\'e graphique est $4$~cm. On. pose
\[w= \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{5}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Simplifier $w^5$ puis calculer $1 + w + w^2 + w^3 + w^4$.
\item  Montrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul,

\[\dfrac{1}{z^2}\left(1 + z + z^2 + z^3 + z^4\right) = \left(z + \dfrac{1}{z}\right)^2 +\left(z + \dfrac{1}{z}\right) - 1.\]
\item  
 	\begin{enumerate}
		\item  R\'esoudre dans $\C$ l'\'equation $Z^2 + Z - 1 = 0$.
		\item En d\'eduire la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  On note K, A et B. les points d'affixes respectives $- \dfrac{1}{4},~\dfrac{1}{2}\text{i}$ et $w$. \\
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre K passant par A.
	\begin{enumerate}
		\item D\'eterminer une \'equation du cercle $\mathcal{C}$.
		\item 	Le cercle $\mathcal{C}$ coupe l'axe $\left(\text{O}~ ;~ \vect{u}\right)$ en deux points H et H$'$ (H \'etant d'abscisse positive).\\
Montrer que H a pour abscisse $\cos \left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.
		\item 	En d\'eduire une construction g\'eom\'etrique simple du point B.
		\item 	Achever la construction du pentagone r\'egulier de centre O dont B est un sommet (expliquer et justifier).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \\
\textbf{R\'eserv\'e aux \'el\`eves n'ayant pas choisi la sp\'ecialit\'e Math\'ematiques}\\
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle 
\[(\text{R})~~ :\quad  y - y' = \dfrac{\text{e}^x}{x^2}\]
 et on cherche l'ensemble des solutions
de cette \'equation d\'efinies sur $]0 ~;~ + \infty[$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que la fonction $u$ d\'efinie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par $u(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x^2}$ est solution de (E).
		\item  	D\'emontrer qu'une fonction $v$ d\'efinie sur $]0 ~;~ + \infty[$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $v - u$, d\'efinie sur $]0 ~;~ + \infty[$, est solution de l'\'equation diff\'erentielle $y - y' = 0$.
		\item  	En d\'eduire toutes les solutions d\'efinies sur $]0 ~;~ + \infty[$[ de l'\'equation (E).
	\end{enumerate}
\item Pour tout r\'eel $k$ n\'egatif ou nul, on consid\`ere la fonction $f_{k}$ d\'efinie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par :

\[f_{k}(x) = \dfrac{kx + 1}{x} 	\text{e}^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item D\'eterminer les limites de $f_{k}$ en $0$ et en $+\infty$.
		\item	Calculer $f'_{k}(x)$ pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[$ et d\'eterminer le nombre de solutions sur $]0 ~;~ + \infty[$ de l'\'equation $f_{k}(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f_{k}$, dans un rep\`ere orthonormal \Oij.\\
On a trac\'e sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{-1},~ \mathcal{C}_{-0,25},~ \mathcal{C}_{-0,15}$ et $\mathcal{C}_{0}$.\\
En utilisant la deuxi\`eme question, reconna\^{\i}tre chaque courbe (les r\'eponses doivent être
justifi\'ees).
\end{enumerate}
		
\medskip
		
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(8,40)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-20)(8,40)
\psplot{0.1}{3.34}{1 x 1 mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[linestyle=dashed]{0.1}{5.62}{1 x 0.25 mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[linewidth=2pt,linestyle=dotted]{0.1}{7.32}{1 x 0.15 mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psset{dash=3mm 1mm 1mm}
\psplot[linestyle=dashed,linecolor=blue]{0.1}{5.36}{1  x div 2.71828 x exp mul}
\rput(5.5,35){Courbe a} \rput(6.5,5){Courbe b} \rput(5.5,-10){Courbe c} \rput(3,-15){Courbe d}
\multido{\n=-1+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-20)(\n,40)}
\multido{\n=-20+10}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](-1,\n)(8,\n)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \\
\textbf{R\'eserv\'e aux candidats ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\
Dans cet exercice, on pourra utiliser le r\'esultat suivant : \'etant donn\'es deux entiers naturels $a$
et $b$ non nuls, si PGCD$(a~ ;~ b) = 1$ alors PGCD$\left(a^2~ ;~  b^2\right) = 1$.\\
 La suite $\left(S_{n}\right)$ est d\'efinie pour $n \in \N$ par
 \[S_{n} = \sum_{p=1}^n p^3.\]
On se propose de d\'eterminer, pour tout entier naturel non nul $n$, le plus grand commun diviseur
de $S_{n}$ et $S_{n+1}$.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que, pour tout entier $n> 0,~ S_{n} =\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$.
\item  \'Etude du cas o\`u $n$ est pair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k$.
	\begin{enumerate}
		\item D\'emontrer, que PGCD$\left(S_{2k}~  ;~ S_{2k+1}\right) = (2k + 1)^2 \text{PGCD} \left(k^2~ ;~ (k + 1)^2\right)$. 
		\item Montrer que $k$ et $k + 1$ sont premiers entre eux. 
		\item En d\'eduire PGCD$\left(S_{2k}~  ;~ S_{2k+1}\right)$.
	 \end{enumerate}
\item Étude du cas o\`u $n$ est impair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que les entiers $2k + 1$ et $2k + 3$ sont premiers entre eux. 
		\item  D\'eterminer PGCD$\left(S_{2k+1}~;~S_{2k+2}\right)$.
	 \end{enumerate}
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes qu'il existe une unique valeur de $n$, que l'on d\'eterminera, pour laquelle $S_{n}$ et $S_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 2 points} \\
\emph{Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la r\'eponse choisie. Une r\'eponse non justifi\'ee ne rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une solution de l'\'equation diff\'erentielle $y' = - 2y + 2 ,~ f$ n'\'etant pas une fonction constante.\\
\textbf{Affirmation 1 :} la repr\'esentation graphique de $f$ dans un rep\`ere du plan, n'admet	aucune tangente parall\`ele \`a l'axe des abscisses.
\item Soit $g$ la fonction, d\'efinie sur $[0~; +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}\ln x$ si  $x > 0$ et $g(0) = 0$. \\
\textbf{Affirmation 2 :} la fonction $g$ est d\'erivable en z\'ero.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \\	
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $\varphi :  x  \longmapsto \dfrac{\ln\left(x^2 + 1\right)}{x}$.
\item 	Soit $n$ un entier naturel non nul, $n$ \'etant fix\'e pour cette question. On d\'efinit la fonction $f$, sur $[0~;~ + \infty[$ par
\[f_{n}(x) = 2x - 2 + \dfrac{\ln\left(x^2 + 1\right)}{n}\]
		
	\begin{enumerate}
		\item D\'eterminer la limite de $f_{n}$ en $+ \infty$.
		\item 	Calculer la d\'eriv\'ee de $f_{n}$ sur $[0~;~ +\infty[$.
		\item 	Dresser le tableau de variations de $f_{n}$.
		\item 	En d\'eduire que l'\'equation d'inconnue $x,~ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_{n}$ dans $[0~;~ +\infty[$.
		\item 	Justifier que $0 < \alpha_{n} < 1$.
	\end{enumerate}
\item Prouver que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln\left(\alpha_{n}^2 + 1\right) = 2n\left(1 -  \alpha_{n}\right)$.\\
En d\'eduire que $f_{n+1}\left(\alpha_{n}\right) < 0$.
\item \'Etude de la suite $\left(\alpha_{n}\right)_{n\in\N*}$
	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de la calculatrice, proposer sans justification, des valeurs d\'ecimales approch\'ees \`a $10^{-2}$ pr\`es de $\alpha_{1},~\alpha_{4}$ et $\alpha_{10}$.
		\item 	D\'emontrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est croissante.
		\item  En. d\'eduire qu'elle est convergente..
		\item 	\emph{Dans cette derni\`ere question, toute trace de recherche, même incompl\`ete, ou d'initiative	même infructueuse, sera prise en compte dans l'\'evaluation.}\\
	D\'eterminer la limite de cette suite.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}