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%Tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\rhead{\small Baccalaur\'eat blanc S}%tapez un titre
\lfoot{\small{Lyc\'ee Maupassant Rouen}}
\rfoot{\small{28 janvier 2008}}

\begin{center}{\Large \decofourleft~Baccalaur\'eat blanc TS sp\'ecialit\'e~\decofourright\\
Lyc\'ee Maupassant Rouen} \end{center}

Le sujet comporte 4 pages et une annexe , \`a rendre avec la copie.
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1 : Q. C. M. } \hfill 4 points}\\
\emph{Les quatre questions de cet exercice sont ind\'ependantes (bien que les deux derni\`eres fassent r\'ef\'erence au m\^eme nombre) et sont not\'ees sur un point chacune.
Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n'est demand\'ee.
Chaque r\'eponse exacte rapporte 0,5 point, chaque r\'eponse fausse enl\`eve 0,25 point.\\
Donner trois propositions ou plus d'une question, ou bien n'en donner aucune ne rapporte aucun point.\\
Si, par l'application de ce bar\`eme, le total des points de l'exercice est n\'egatif, il est ramen\'e \`a z\'ero.}
\begin{enumerate}
\item  On consid\`ere trois suites $\left(u_{n}\right),~ \left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ ayant, pour tout entier naturel $n$, les propri\'et\'es suivantes :\\
$u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n},~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - 1,$  et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_{n} =  1$.\\
Alors
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ ;
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est minor\'ee ;
\item  Pour tout $n$ de $\N$, on a $-1 \leqslant v_{n}
 \leqslant 1$.
\item  On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.
\end{enumerate}
\item  Deux suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont d\'efinies pour $n > 0$ par les relations :
\[x_{n} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}~\text{et}~y_{n} = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{2n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont toutes deux croissantes.
		\item $x_{3} = \dfrac{19}{20}$ et $y_{3} = \dfrac{37}{60}$.
		\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ ne sont pas major\'ees.
		\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont adjacentes.
	 \end{enumerate}
\item  Si $z = -5\left(\dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{3} - \text{i}}\right)$, alors l'argument de $z$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $-5 \times \text{arg}\left(\dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{3} - \text{i}}\right)$  
		\item $\pi  + \text{arg}(1 + \text{i}) - \text{arg}\left(\sqrt{3} - \text{i}\right)$
		\item $\dfrac{4\pi}{3}$
		\item $- \dfrac{7\pi}{12}$
	 \end{enumerate}
\item Si $z = -5\left(\dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{3} - \text{i}}\right)$, alors le module de z est :
	 \begin{enumerate}
		\item $\dfrac{|1 + \text{i}|}{|\sqrt{3} - \text{i}|}$
		\item $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
		\item $-5 \times \dfrac{|1 + \text{i}|}{|\sqrt{3} - \text{i}|}$
		\item $5\left|\dfrac{5 - \text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}\right|$
	\end{enumerate}\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}\\
Le but de l'exercice est d\'emontrer que l'\'equation (E) :
\[ \text{e}^x = \dfrac{1}{x},\]
admet une unique solution dans l'ensemble
$\R$ des nombres r\'eels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.\\
\noindent \textbf{I. Existence et unicit\'e de la solution}\\
On note $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par : 
\[f(x) = x - \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $x$ est solution de l'\'equation (E) si et seulement si $f(x) = 0$.
\item  \'Etude du signe de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier le sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item En d\'eduire que l'\'equation (E) poss\`ede une unique solution sur $\R$, not\'ee $\alpha$
.
		\item D\'emontrer que 
 appartient $\alpha$ \`a l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$. 
		\item \'Etudier le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~ ;~\alpha
]$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{II. Deuxi\`eme approche}\\
On note $g$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0 ; 1]$ par : 
\[g(x) = \dfrac{1 + x}{1 + \text{e}^x}.\]

\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que l'\'equation $f(x) = 0$ est \'equivalente \`a l'\'equation $g(x) = x$.
\item  En d\'eduire que 
$\alpha$ est l'unique r\'eel v\'erifiant : $g(
\alpha) = \alpha$
.
\item  Calculer $g'(x)$ et en d\'eduire que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0 ~;~\alpha 
]$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{III. Construction d'une suite de r\'eels ayant pour limite}\\ 
On consid\'erera la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{0} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n : 0 \leqslant 
 u_{n} \leqslant  
 u_{n+1}$
.
\item En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On note 
 $\ell$ sa limite.
\item Justifier l'\'egalit\'e : $g(\ell
) = 
\ell$. En d\'eduire la valeur de $\ell$
.
\item  \`A l'aide de la calculatrice, d\'eterminer une valeur approch\'ee de $u_{4}$ arrondie \`a la sixi\`eme d\'ecimale.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3 (sp\'ecialit\'e)} \hfill 4 points}\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $N$ un entier naturel, impair non premier.\\
On suppose que $N = a^2 - b^2$ o\`u $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la m\^eme parit\'e.
\item  Montrer que $N$ peut s'\'ecrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.
\item  Quelle est la parit\'e de $p$ et de $q$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
On admet que \nombre{250\:507} n'est pas premier.\\
On se propose de chercher des couples d'entiers naturels $(a ~;~ b)$ v\'erifiant la relation :
\[(\text{E}) \quad  a^2 - \nombre{250\:507} = b^2.\]
\begin{enumerate}
\item  Soit $X$ un entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner dans un tableau, les restes possibles de $X$ modulo 9 ; puis ceux de $X^2$ modulo 9.
		\item Sachant que $a^2 - \nombre{250\:507} = b^2$, d\'eterminer les restes possibles modulo 9 de $a^2 - \nombre{250\:507}$ ; en
d\'eduire les restes possibles modulo 9 de $a^2$.
		\item Montrer que les restes possibles modulo 9 de $a$ sont 1 et 8.
	\end{enumerate}
\item Justifier que si le couple $(a ~;~ b)$ v\'erifie la relation (E), alors $a > 501$. Montrer qu'il n'existe pas de solution du type $(501 ~;~ b)$.
\item On suppose que le couple $(a ~;~ b)$ v\'erifie la relation (E).
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que $a$ est congru \`a 503 ou \`a 505 modulo 9.
		\item D\'eterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que le couple $(505 + 9k~;~ b)$ soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.
	\end{enumerate}
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes une \'ecriture de \Nombre{250 507} en un produit deux facteurs.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}\\
Le plan complexe est rapport\'e au rep\`ere orthonormal direct \Ouv
. A, B, C d\'esignent les points
d'affixes respectives 
\[a = - 2\sqrt{3},~ b = \sqrt{3} - 3\text{i}~ \text{et}~  c = 2\text{i}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  \'Ecrire $b$ sous forme exponentielle.
		\item Les points A et C sont repr\'esent\'es sur la figure jointe en annexe 1.\\
Construire \`a la r\`egle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
	\end{enumerate}
\item On d\'esigne par E le barycentre du syst\`eme $\{(A ~;~ 1) ; (C~ ;~ 3)\}$ et par F le barycentre du syst\`eme
$\{(A ~;~ 2) ; (B~; ~1)\}$.
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etablir que l'affixe $e$ du point E est \'egale \`a $- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$.
		\item D\'eterminer l'affixe $f$ du point F.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que le quotient $\dfrac{e - c}{e - b}$
peut s'\'ecrire $k$i o\`u $k$ est un nombre r\'eel \`a d\'eterminer.\\
En d\'eduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.
		\item D\'emontrer que le point F poss\`ede une propri\'et\'e analogue. Placer F sur le dessin.
	\end{enumerate}
\item On d\'esigne par H le barycentre du syst\`eme $\{(A ; 2) ; (B; 1) ; (C; 6)\}$. D\'emontrer que le point H est le
point d'intersection des droites (BE) et (CF).\\
Qu'en d\'eduit-on pour le point H ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
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\end{center}

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