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%Compil\'e en pdftex
% Fourier for math | Utopia (scaled) for rm | Helvetica for ss | Latin Modern for tt
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%Tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\rhead{\small Bac blanc ann\'ee 2007}%tapez un titre
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat blanc S \no 2 -- 4 heures~\decofourright\\ Fr\'ed\'eric Laroche - Montpellier
5 mars 2007 }}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation de la calculatrice est autorisée \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 : Nombres complexes (non sp\'ecialistes)\hfill 5 points}\\
\emph{Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse brièvement \ldots Les deux parties sont indépendantes.}\\

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A}
Soit T la transformation du plan complexe de repère orthonormal \Ouv qui au point $M$ d'affixe $z$
associe le point $M'$ d'affixe $z'$.
\begin{enumerate}
\item  Si $z ' = z + \text{i}- 2$ alors $T$ est une translation de vecteur $2\vect{u} - \vect{v}$ ;
\item  Si $z' = 2z - \text{i}$ alors $T$ est une homothétie de centre le point A d'affixe i et de rapport 2 ;
\item  Si $z' = \Im m(\overline{z})$ alors $T$ est la projection orthogonale sur l'axe $\left(\text{O}~ ;~ \vect{v}\right)$ ;
\item  Si $z' = - \text{i}z + 2$ alors $T$ est la rotation de centre B d'affixe $1 - \text{i}$ et d'angle
$- \dfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}\\
Dans le plan complexe de repère orthonormé direct \Ouv, soit A, B et C les points d'affixes respectives
$2 - \text{i},~ 2 + 2\text{i}$ et $2$. Soit E l'équation : $z - 2 - 2\text{i} = 2\text{i}( z - 2 + \text{i})$.
\begin{enumerate}
\item  Si l'affixe $z$ du point $M$ vérifie l'équation E alors $M$ est sur la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C.
\item  Si l'affixe $z$ du point $M$ vérifie l'équation E alors : arg$(z -  2 - 2\text{i}) =  \text{arg}(z -  2 + \text{i})$.
\item Si l'affixe $z$ du point $M$ vérifie l'équation E alors : $\vect{\text{A}M} \cdot \vect{\text<{BA}} = 0$.
\item Si l'affixe $z$ du point $M$ vérifie l'équation E alors $M$ est sur le cercle de diamètre le segment [AB].
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 : \'Equation différentielle\hfill 5 points}\\
\begin{enumerate}
\item  Restitution organisée des connaissances\\
\emph{Prérequis} : on sait que les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions de la
forme $f(x) = C\text{e}^{ax}$ où $C$ est une constante réelle.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$.
\item  En faisant un changement de variable de la forme $y = \varphi(Y)$ dans l'équation précédente on obtient l'équation $Y' = 2aY + 2b \sqrt{Y}$ . Quelle est la fonction $\varphi$ à votre avis ?
\end{enumerate}
\item   \textbf{Résolution d'une équation différentielle}\\
On considère l'équation différentielle (1) : $y' + y = 2\text{\^e}^{-x}$, dans laquelle $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (2) : $y'+ y = 0$.\\
On considère l'équation différentielle (1) : $y' +  y = 2\text{\^e}^{-x}$, dans laquelle $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item   Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (\alpha x +\beta) \text{e}^{-x}$. Trouver les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $h$ soit solution de l'équation (1).
\item   On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme $g + h$, où $g$ désigne une solution de
l'équation (2).
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation (1) vérifiant la condition initiale $f(0)=-1$.
\item  Quelle est la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ? Vers  $- \infty$ ? Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 : Centre de gravité\hfill 4 points}\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A : Calcul d'une primitive}\\
On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par $g(x) = \dfrac{x}{x+1}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2], $g(x) = a + \dfrac{b}{x+1}$.
\item  En déduire une primitive de $g$ sur l'intervalle [0 ; 2].
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B : Détermination du centre de gravité d'une plaque homogène}\\
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : $f(x) =  \dfrac{1}{x + 1}$.\\
On considère une plaque homogène formée par l'ensemble des points $M(x~ ;~ y)$ du plan dont les
coordonnées vérifient les relations : $0 \leqslant  x \leqslant  2$ et $0 \leqslant  y \leqslant  f(x)$. (Voir schéma ci-dessous).
\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2.5,1.5)
\psplot[linewidth=2.5pt]{0}{2}{1 x 1 add div}
\psline[linewidth=2.5pt](0,1)(0,0)(2,0)(2,0.3333)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit S l'aire de la plaque exprimée en unité d'aire. Calculer S.

\item  Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées $(X ~;~ Y)$ de G sont données par
les formules suivantes :
\[  X = \dfrac{1}{2S}\int_{0}^2  x f(x)\: \text{d}x~\text{et}~Y = \dfrac{1}{2S}\int_{0}^2  [f(x)]^2\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la valeur exacte de $X$, puis une valeur approchée arrondie au centième.
\item  Calculer la valeur exacte de $Y$, puis une valeur approchée arrondie au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 : Calcul de la racine carrée\hfill 6 points}\\
On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies sur $\N$ par $u_{0} = 3$ et les relations : $u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}$ et
$v_{n} = \dfrac{7}{u_{n}}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $v_{0},~ u_{1},~ v_{1},~ u_{2},~ v_{2},~ u_{3}$ et $v_{3}$. Donner l'approximation de $u_{3}$ et $v_{3}$ lue sur la calculatrice.
\item  Justifier par récurrence que pour tout $n$ de $\N,~ u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$.
\item \begin{enumerate}
\item  Démontrer que quel que soit $n$ de $\N,~ \left(u_{n} + v_{n}\right)^2 - 28 =  \left(u_{n} - v_{n}\right)^2$.
\item   En déduire que $u_{n+1} - v_{n+1} = \dfrac{1}{4u_{n+1}}\left(u_{n} - v_{n}\right)^2$.
\item   Conclure que quel que soit $n$, on a $u_{n} - v_{n} \geqslant 0$.
\end{enumerate}
\item  En s'aidant de la question 3. c., prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
\item   \begin{enumerate}
\item  Démontrer que quel que soit $n$ de $\N*,~ u_{n} \geqslant  \dfrac{21}{8}$.
\item  Utiliser le résultat précédent pour démontrer que $u_{n+1} - v_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{10}\left(u_{n} - v_{n}\right)^2$.
\item En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que $u_{n} - v_{n} \leqslant \dfrac{1}{10^{2^n - 1}}$.
\item  Déterminer la limite de $u_{n} - v_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
\item  Conclure que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes et déterminer leur limite commune.
\item  Justifier que $u_{3}$ est une approximation de $\sqrt{7}$ à $10^{-7}$ près.
\item  Proposez une méthode générale pour trouver une valeur approchée de $\sqrt{a}$ où $a$ est un réel quelconque positif.\\
Cette méthode est celle utilisée par le mathématicien grec Héron (1\up{er} siècle) pour déterminer une approximation des racines carrées.
\end{enumerate}
\end{document}