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%Tapuscrit : Denis Verg\`es 
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\vect{k}\right)$}
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\makeatletter%graduations d\'ecimales
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\begin{document}
\lhead{\small  A. P. M. E. P.  Aquitaine}
\lhead{\small  M. Descroix Lyc\'ee Louise Michel Bobigny}
\rhead{\small{Baccalaur\'eat blanc  S : }}
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\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~BACCALAUR\'EAT BLANC DE MATH\'EMATIQUES S~\decofourright  
  \\janvier 2008 \vspace{0,5cm} }}
\end{center}


\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}}\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R_{+}$ par :
 
\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}.\]


On note (C) la courbe représentative de $f$.
\begin{enumerate}
\item  \'Etudier les variations de $f$. Déterminer la limite de $f(x)$ en $+\infty$.
\item  On définit la fonction $h$ sur $\R^+$ par : $h(x) = f(x) -  x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation $\text{e}^x -  \text{e}^{-x} -  2 = 0$ ( on pourra poser $X = \text{e}^x$)
		\item  En déduire que $\text{e}^x  - \text{e}^{-x} - 2 = \left(\text{e}^x - 1 - \sqrt{2} \right)\left(\text{e}^x - 1 + \sqrt{2} \right)$.
		\item  \'Etudier les variations de $h$.
		\item  Montrer que $h$ admet un minimum $m$, qui est strictement positif.\\
Calculer $m$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
 	\end{enumerate}
\item On définit une suite $\left(U_{n}\right)$ de la façon suivante :
\[U_{0} = 1~ \text{et}~ U_{n+1} = f\left(U_{n}\right)~ \text{pour}~ n ~\text{entier naturel}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la différence $U_{n+1} -  U_{n}$ peut être minorée par $m$ (calculé en 2. c.).
		\item  Démontrer par récurrence que $U_{n} - U_{0} \geqslant  n \cdot m$.
		\item  En déduire la limite de $\left(U_{n}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}}\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~ +\infty[$ par 
\[f( x ) = 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\]
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unité
graphique : $5$~cm.
\begin{enumerate}
\item  Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.\\
Déterminer les asymptotes de $\mathcal{C}$.
\item  \'Etudier le sens de variation de $f$.\\
Dresser le tableau de variation de $f$.
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1\right]$ une solution unique, notée $\alpha$.\\
Déterminer un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-2}$.\\
Donner, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ sur $]0 ~ ;~ +\infty[$.
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}\\
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $\left(r_{n}\right)_{n \in \N}$ la suite géométrique réelle de premier terme $r_{0}$ strictement positif et de raison $\dfrac{2}{3}$.\\
Exprimer $r_{n}$ en fonction de $r_{0}$ et $n$.
		\item   Soit $\left(\theta_{n}\right)_{n \in \N}$ la suite arithmétique réelle de premier terme $\theta_{0}$ appartenant à l'intervalle $\left[0~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et de raison
$\dfrac{2\pi}{3}$.\\
Exprimer $\theta_{n}$ en fonction de $\theta_{0}$ et de $n$.
		\item   Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = r_{n} \left(\cos \theta_{n} + \text{i} \sin \theta_{n}\right)$.\\
Sachant que $z_{0},~ z_{1}$ et $z_{2}$ sont liés par la relation $z_{0}z_{1}z_{2} = 8$, déterminer le module et un argument
de $z_{0},~ z_{1}$ et $z_{2}$.
 	\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $4$
~cm), on appelle $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points M$_{0}$, M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ dans le plan $\mathcal{P}$.
		\item  Pour tout entier $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$.
		\item  Calculer alors $M_{n}M_{n+1}$ en fonction de $n$.
		\item  On pose $l_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n
M_{k}M_{k+1} = M_{0}M_{1} + \cdots  + M_{n}M_{n+1}$.\\
Calculer $l_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de $l_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
%\vspace{1cm}

%\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}\\
%Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité\\

%\begin{enumerate}
%\item  On considère l'équation 
%\[(\text{E})\quad  50x  - 11y = 3\]
% où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
%	\begin{enumerate}
%		\item  Déterminer une solution particulière de l'équation 5$50x - 11y = 1$ et en déduire une solution
%particulière $\left(x_{0},~ y_{0}\right)$ de l'équation (E).
%		\item Résoudre l'équation (E).
% 	\end{enumerate}
%\item $n$ est un entier naturel non nul . On considère les entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a = 11n + 3$ et $b = 13n - 1$.\\
%Soit $d = \text{PGCD}(a ~;~ b)$.
%	\begin{enumerate}
%		\item  Montrer que $d$ est un diviseur de 50. En déduire l'ensemble des valeurs possibles pour $d$.
%		\item  Montrer que si $d = 50$ alors il existe un entier $m$ tel que 
%50 - 13m n?=.50113mn?=
%.
%		\item  En déduire l'ensemble des entiers n tels que PGCD( a, b) = 50.
% 	\end{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item  Montrer que si $a$ est un entier impair non divisible par 5 alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux
%(on pourra utiliser le résultat de la question 2 a.
%		\item  Montrer que $a$ est impair si et seulement si $n$ est pair.
%		\item  Déduire des questions précédentes deux valeurs supérieures à $100$ de l'entier n tels que $a$ et $b$
%soient premiers entre eux
% 	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}\\
\emph{\`A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte
rapporte le nombre de points affecté (ou la moitié s'il y a deux réponses exactes \ldots) ; une réponse
inexacte enlève le quart du nombre de points affecté.\\
Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions : la question ne rapporte alors aucun point et n'en coûte aucun.\\
Les réponses devront être \textbf{justifiées} : en l'absence de justification la réponse ne sera pas prise en compte.\\
Pour chaque question, une ou plusieurs réponses sont exactes.\\
Si le total de points est négatif, la note est ramenée à zéro.}

\begin{enumerate}
\item  Une solution de $z^2 + 2z + 4 = 0$ est dans $\C$ :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box$ $1 + \text{i} $&$\Box$ $- \sqrt{3} - \text{i}$& $\Box$ $2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$& $\Box$ $- 1 - \text{i}\sqrt{3}$\\
\end{tabularx}.
\item   Soit $z_{1}$ et $z_{2}$ les nombres complexes définis par $z_{1} = \sqrt{3} - \text{i}$  et $z_{2} = 2\text{i} - z_{1}$.\\
Alors $\dfrac{z_{2}}{z_{1}} =$ :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box$ $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$&
$\Box$ $- \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}$&
$\Box$ $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&
$\Box$ $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. \\
 \end{tabularx}
\item   Soit deux points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \sqrt{3}$ dans un repère orthonormal \Ouv. L'affixe de C, image de B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ est :\\
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box$ $- \text{i}$& $\Box$ $2\text{i}$ &$\Box$ $3 + \text{i}$ &$\Box$ $3 + 2\text{i}$\\
\end{tabularx}
\item   Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant la relation
arg$\left(\dfrac{ z + 2}{z - 2\text{i}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est inclus dans :\\
$\Box$ La droite d'équation $y = - x$\\
$\Box$ Le cercle de centre I$(- 1 + \text{i})$ et de rayon R = 2 \\
$\Box$ La droite d'équation y = x \\
$\Box$ Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 2$
et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
\item   Soit A$(- \text{i}$) , B(3) et C($2 + 3\text{i}$). Le triangle ABC est :
$\Box$ quelconque \\
$\Box$ isocèle \\
$\Box$ rectangle \\
$\Box$équilatéral
 \end{enumerate}
\end{document}