%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23.5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S : l'intégrale de mars à décembre 1999} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 1999 \decofourright \\\vspace{0,25cm} L'intégrale de mars à décembre 1999}} \vspace{0,25cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{0,25cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 1999} \dotfill \pageref{Pondichery}\smallskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 1999} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\smallskip \hyperlink{Antilles-Guyane2}{Antilles-Guyane juin 1999} \dotfill \pageref{Antilles-Guyane2}\smallskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 1999} \dotfill \pageref{Asie}\smallskip \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 1999} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\smallskip \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole juin 1999} \dotfill \pageref{Metropolejuin}\smallskip \hyperlink{Liban}{Liban juin 1999} \dotfill \pageref{Liban}\smallskip \hyperlink{Reunion}{La Réunion juin 1999} \dotfill \pageref{Reunion}\smallskip \hyperlink{Polynesiejuin}{Polynésie juin 1999} \dotfill \pageref{Polynesiejuin} \smallskip \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 1999} \dotfill \pageref{Antillessept}\smallskip \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1999} \dotfill \pageref{Metropolesept}\smallskip \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau septembre 1999} \dotfill \pageref{Sportifs}\smallskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 1999} \dotfill \pageref{AmeriqueSud}\smallskip \hyperlink{NouvelleCaledonie}{Nouvelle-Calédonie décembre 1999} \dotfill \pageref{NouvelleCaledonie} } \begin{center} Tapuscrit : Denis Vergès \end{center} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%% Pondichéry mai 1999 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{mai 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry mai 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les questions} 2 \emph{et} 3 \emph{sont indépendantes.} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0.$ On désignera par $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive et par $z_{2}$ l'autre solution. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres $z_{1}$ et $z_{2}$. \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)^2$ \end{enumerate} \item Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité : $1$~cm), on considère le point $M_{1}$ d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$, le point M$_{2}$ d'affixe $\sqrt{2}(1 - \text{i})$ et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point M$_{3}$ image de M$_{2}$ par l'homothétie $h$ de centre A et de rapport $- 3$. \item Déterminer l'affixe du point M$_{4}$ image de M$_{2}$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $-~\dfrac{\pi}{2}$. \item Placer dans le même repère les points A,~ M$_{1}$,~ M$_{2}$,~ M$_{3}$ et M$_{4}$. \item Calculer $\dfrac{z_{3} - z_{1}}{z_{4} - z_{1}}$. \item Soient I le milieu du segment [M$_{3}$M$_{4}$] et M$_{5}$ le symétrique de M$_{1}$ par rapport à I. Montrer que les points M$_{1}$,~ M$_{3}$,~ M$_{5}$ et M$_{4}$ forment un carré. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On admet que \np{1999} est un nombre premier. Déterminer l'ensemble des couples $(a~;~b)$ d'entiers naturels admettant pour somme \np{11994} et pour PGCD \np{1999}. \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'équation $(E)$ d'inconnue $n$ appartenant à $\N$ : \[(E) : n^2 - Sn + \np{11994} = 0~\text{où}~ S~ \text{est un entier naturel.}\] On s'intéresse à des valeurs de $S$ telles que $(E)$ admette deux solutions dans $\N$. \begin{enumerate} \item Peut-on déterminer un entier $S$ tel que $3$ soit solution de $(E)$ ? Si oui, préciser la deuxième solution. \item Peut-on déterminer un entier $S$ tel que $5$ soit solution de $(E)$ ? \item Montrer que tout entier $n$ solution de $(E)$ est un diviseur de \np{11994}. En déduire toutes les valeurs possibles de $S$ telles que $(E)$ admette deux solutions entières. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Comment montrerait-on que \np{1999} est un nombre premier ? Préciser le raisonnement employé. La liste de tous les entiers premiers inférieurs à 100 est précisée ci-dessous : 2 \qquad 3 \qquad 5 \qquad 7 \qquad 11 \qquad 13 \qquad 17 \qquad 19 \qquad 23 \qquad 29 \qquad 31 \qquad 37 \qquad 41 \qquad 43 \qquad 47 \qquad 53 \qquad 59 \qquad 61 \qquad 67 \qquad 71 \qquad 73 \qquad 79 \qquad 83 \qquad 89 \qquad 97. \vspace{1,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère un triangle ABC du plan. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer et construire le point G, barycentre de \[[(\text{A}~;~1)~ ;~(\text{B}~;~- 1)~;~(\text{C}~;~1)].\] \item Déterminer et construire le point G$'$, barycentre de \[[(\text{A}~;~1)~;~ (\text{B}~;~5)~ ;~(\text{C}~;~-~2)].\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit J le milieu de [AB]. Exprimer $\vect{\text{GG}'}$ et $\vect{\text{JG}'}$ en fonction de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et en déduire l'intersection des droites (GG$'$) et (AB). \item Montrer que le barycentre I de [(B~;~2)~;~(C~;~- 1)] appartient à (GG$'$). \item Soit D un point quelconque du plan. Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [GA]. \end{enumerate} \item Déterminer trois réels $a,~d$ et $c$ tels que K soit barycentre de \[[(\text{A}~;~a)~;~(\text{D}~;~d)~;~(\text{C}~;~c)].\] \item Soit X le point d'intersection de (DK) et (AC). Déterminer les réels $a'$ et $c'$ tels que X soit barycentre de \[[(\text{A}~;~a')~;~(\text{C}~;~ c')].\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+~ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{x^2}.\] \medskip \textbf{Partie A} \textbf{Recherche graphique d'un extremum} \medskip L'observation de la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'écran graphique d'une calculatrice donne à penser que $f$ admet un minimum sur l'intervalle $[0,5~;~2]$. On se propose d'en donner une valeur approchée. Observer ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f'$, dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0,5~;~ 2]$. \begin{center} \psset{xunit=4cm} \psset{yunit=1cm} \begin{pspicture}(0,-4)(2,1) \psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.25pt](0,0)(0,-4)(2,1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-4)(2,1) \psplot[linecolor=blue]{0.5}{2}{2.71828 x exp x mul 2.71828 x exp 2 mul sub 2 add x 2 exp div} \end{pspicture} \end{center} Quels sont les éléments graphiques concernant $f'$ qui vont dans le sens de l'existence d'un minimum de $f$ sur [0,5 ; 2] ? À l'aide de ce graphique, donner un encadrement d'amplitude $0,2$ de l'abscisse de ce minimum. \medskip \textbf{Partie B} \textbf{Étude de la fonction $F$} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur $[0~;~+~\infty[$ par $h(x) = x\text{e}^x - 2\text{e}^x + 2.$ \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de $h$ (on précisera $h(0)$ mais la limite en $+ ~\infty$ n'est pas demandée). \item Déterminer le signe de $h\left(\dfrac{3}{2}\right)$. En déduire qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{3}{2}~;~2\right]$ tel que $h(a) = 0$. En déduire le signe de $h$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Étude de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $[0~;~+~\infty[$. \item Montrer que, pour tout nombre $x$ strictement positif, \[f'(x) = \dfrac{x\text{e}^x - 2\text{e}^x + 2}{x^3}.\] En déduire le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Montrer que $f(a) = \dfrac{- 1}{a(a - 2)}$ et en déduire le signe de $f(a)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \textbf{Recherche d'un encadrement du nombre $a$} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, sur $[0~;~+\infty[$, l'équation $h(x) = 0$ équivaut à \[2\left(1 - \text{e}^{-~x}\right) = x.\] \item Soit la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +~ \infty[$ par \[g(x) = 2\left(1 - \text{e}^{-~x}\right).\] On pose I = $\left[\dfrac{3}{2}~;~2 \right]$. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle I,~ $|g'(x)| \leqslant\dfrac{1}{2}$. \item Soit la suite $(x_{n})_{n > 1}$ définie par \[\left \{ \begin{array}{l c l} x_{1} & = & \dfrac{3}{2}\\ x_{n+1} & = & g(x_{n})\\ \end{array}\right.~\text{pour tout entier}~n \geqslant 1.\] On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1,~x_{n}$ appartient à $I$. \item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 : \[|x_{n+1} - a| \leqslant \dfrac{1}{2}|x_{n} - a|\] \[\text{et} \quad |x_{n} - a| \leqslant \dfrac{1}{2^n}.\] En déduire que la suite $(x_{n})$ converge vers $a$. \item Déterminer un entier $p$ tel que $x_{p}$ soit une valeur approchée à $10^{-~3}$~près du nombre réel $a$. Donner une valeur approchée de $x_{p}$ avec trois décimales. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie D} \textbf{Quelques propriétés d'une primitive de $f$} \medskip On appelle $F$ la primitive de $f$ sur $[0~;~+~ \infty[$ qui s'annule en 1. Ainsi l'on a, pour tout réel $x$ de $]0~;~ +~\infty [,~ F(x) = \displaystyle\int_{1}^x f(t)\: \text{d}t$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $F$ sur $[0~;~+~ \infty[$. \item Démontrer que, pour tout $x$ supérieur ou égal à 2, \[\int_{2}^x f(2)\: \text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{2}^x f(t)\: \text{d}t.\] Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en déduire $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} F(x)$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 1999 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord juin 1999 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie I} \medskip Lors de la préparation d'un concours, un élève n'a étudié que $50$ des $100$ leçons. On a mis $100$ papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire simultanément au hasard $2$ papiers. On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de ces sujets ? \item Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets ? \item Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul de ces sujets ? \item Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip On considère maintenant que l'élève a étudié $n$ des $100$ leçons ($n$ étant un entier naturel inférieur ou égal à $100$). \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p_n$ qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \item Déterminer les entiers $n$ tels que $p_n$ soit supérieur ou égal à $0,95$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique étant $4$~cm. On considère les points A$_0,$~ A$_1$ d'affixes respectives : $a_0 = 1~ ;$ $a_1 = \text{e}^{\frac{i\pi}{12}}$. Le point A$_2$ est l'image du point A$_1$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{12}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $a_2$ du point A$_2$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. \item Soit I le milieu du segment [A$_0$A$_2$] . Calculer l' affixe du point I. \item Faire une figure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que les droites (OI) et (OA$_1$) sont confondues. \item Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I. \item Déterminer $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12} \right)$ (les valeurs exactes sont exigées), sachant que $\sqrt{4\sqrt{3} + 8} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. \medskip \textbf{Partie I} \medskip Soit $E = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9~;~10\}.$ Déterminer les paires $\{a~;~b\}$ d'entiers distincts de $E$ tels que le reste de la division euclidienne de $ab$ par $11$ soit 1. \medskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. \begin{enumerate} \item L'entier $(n - 1)! + 1$ est-il pair ? \item L'entier $(n - 1)! + 1$ est-il divisible par un entier naturel pair ? \end{enumerate} \item Prouver que l'entier $(15 - 1)! + 1$ n'est pas divisible par 15. \item L'entier $(11 - 1)! + 1$ est-il divisible par $11$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie III} \medskip Soit $p$ un entier naturel non premier $(p \geqslant 2)$. \begin{enumerate} \item Prouver que $p$ admet un diviseur $q \:(1 < q < p)$ qui divise $(p - 1)$. \item L'entier $q$ divise-t-il l'entier $(p - 1) ! + 1$ ? \item L'entier $p$ divise-t-il l'entier $(p - 1) ! + 1$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]-~\infty~;~1[$ par : \[f(x) = \dfrac{2}{(x- 1)^2}\text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}}.\] On désigne par $(\Gamma)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, l'unité graphique étant $2$~cm. \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $X = \dfrac{2}{x - 1}$. Prouver l'égalité : $\dfrac{2}{(x - 1)^2}\text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}} = \dfrac{\text{e}}{2}X^2\text{e}^X$. En déduire la limite de $f$ quand $x$ tend vers 1. \item Déterminer la limite de $f$ en $-~\infty$. \item En déduire une asymptote à la courbe $\Gamma$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $v$ la fonction numérique définie sur $]-~\infty~;~ 1 [$ par : \[v(x) = \text{e}^{\frac{x + 1}{ x -1}}.\] Calculer $v^{\prime}(x)$. \item Démontrer que $f^{\prime}(x) = \dfrac{-~4x}{(x - 1)^4}\text{e}^{\frac{x + 1}{ x - 1}}$. \end{enumerate} \item Étudier les variations de $f$. \item Tracer la courbe $(\Gamma)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de $f$ sur $]-~\infty~ ;~ 1[$. \item Soit $\alpha$ réel tel que $0 < \alpha < 1$, déterminer : \[g(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\: \text{d}x.\] \item Quelle est la limite de $g(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers 1 ? \item Quelle est l'aire en cm$^2$ du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives $x = - \alpha$ et $x = \alpha$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie III} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ a deux solutions dont l'une est $-1$. On notera $\beta$ l'autre solution. \item Donner un encadrement de largeur $10^{- 2}$ de $\beta$. \end{enumerate} \item Soit $a$ un élément de $]- \infty~;~ 1[$. Déterminer graphiquement, en fonction de $a$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = f(a)$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles juin 1999 \hypertarget{Antilles-Guyane2}{} \label{Antilles-Guyane2} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane juin 1999 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Lors d'un examen, un questionnaire à choix multiple (Q. C. M.) est utilisé. On s'intéresse à cinq questions de ce Q. C. M. supposées indépendantes. À chaque question sont associées quatre affirmations, numérotées 1, 2, 3 et 4, dont une seule est exacte. Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de l'affirmation qu'il juge exacte ; sa réponse est correcte si l'affirmation qu'il a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte. Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire. \begin{enumerate} \item Un candidat répond à chaque question au hasard, c'est-à-dire qu'il considère que les quatre affirmations correspondantes sont équiprobables. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : \og Le candidat répond correctement à la première des cinq questions~\fg{} ; B : \og Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les cinq \fg{}. \item On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note - 1 à toute réponse incorrecte. Calculer la probabilité de l'évènement C : \og Le candidat obtient une note au moins égale à $10$ pour l'ensemble des cinq questions \fg{}. \end{enumerate} \item On suppose maintenant qu'un candidat connaît la réponse correcte à deux questions et qu'il répond au hasard aux trois autres questions. Quelle est alors la probabilité de l'évènement $C$ décrit au \textbf{1 b} ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout $\theta$ appartenant à $[0~;~2\pi [$, le point $M$ d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$. On désigne par $P$ le point d'affixe $1 + z$ et par $Q$ le point d'affixe $z^2$. \begin{enumerate} \item À partir du point $M$, donner une construction géométrique du point $P$ et une construction géométrique du point $Q$. Les points O,~ A,~$ M,~ P$ et $Q$ seront placés sur une même figure. \item Déterminer l'ensemble des points $P$ pour $\theta$ appartenant à $[0~ ;~ 2\pi[$. Tracer cet ensemble sur la figure précédente. \item Soit $S$ le point d'affixe $1 + z + z^2${} où $z$ désigne toujours l'affixe du point $M$. Construire $S$, en justifiant la construction. \item Dans le cas où $S$ est différent de O, tracer la droite (O$S)$. Quelle conjecture apparaît, relativement au point $M$ ? Démontrer que le nombre $\dfrac{1 + z + z^2}{z}$ est réel, quel que soit $\theta$ appartenant à $[0~;~ 2\pi [$. Conclure sur la conjecture précédente. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on donne le point A(12~;~18). On désigne par $B$ un point de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et par $C$ un point de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ tels que $\left(\vect{\text{A}B},~ \vect{\text{A}C}\right) = -~\dfrac{\pi}{2}$. On appelle $x$ l'abscisse de $B$ et $y$ l'ordonnée de $C$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le couple $(x~;~ y)$ est solution de l'équation : \[(\text{E}) \quad 2x + 3y = 78.\] \item On se propose de trouver tous les couples $(B,~ C)$ de points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que l'on est ramené à l'équation $(E)$, avec $x$ et $y$ appartenant à l'ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs. \item À partir de la définition de $B$ et $C$, trouver une solution particulière $(x_0 ~;~ y_0)$ de $(E)$ avec $x_0$ et $y_0$ appartenant à $\Z$. \item Démontrer qu'un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs est solution de l'équation $(E)$ si, et seulement si, il est de la forme $(12 + 3k~;~18 - 2k)$, où $k$ appartient à $\Z$. \item Combien y a-t-il de couples de points $(B,~ C)$ ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs, tels que : \[-~ 6 \leqslant x \leqslant 21 ~\text{et}~-~ 5 \leqslant y \leqslant 14~ \text{?}\] \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème\hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'objet de ce problème est d'étudier une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{x}{x + 1} - 2 \ln (x + 1).\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \item Calculer $f(0)$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par $\alpha$, appartient à $[-~ 0,72~;~-~ 0,71]$. \item Donner le signe de $f(x)$, pour $x$ appartenant à $]-~1~;~+~\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble $]-~ 1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+~\infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{\ln (x + 1)}{x^2}.\] \begin{enumerate} \item Étude de $g$ aux bornes de son ensemble de définition \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs inférieures et quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -~1} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} g(x)$. \end{enumerate} \item Sens de variation de $g$ \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ et déduire, à l'aide de la partie A, son signe. \item Montrer que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha \left(\alpha + 1\right)}$ . En déduire une valeur approchée de $g(\alpha)$ en prenant $\alpha = - 0,715.$ \end{enumerate} \item Tableau de variations et représentation graphique de $g$ \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. \item Représenter graphiquement la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : $2$~cm). \end{enumerate} \item Calcul d'aire Soit $a$ un réel strictement supérieur à $0$. On pose : \[I(a) = \int_1^a g(x)\: \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Donner, suivant les valeurs de $a$, une interprétation géométrique du réel $I(a)$. \item En remarquant que, pour $x$ appartenant à $]0~;~ +~\infty[$ : \[\dfrac{1}{x(1 + x)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}\] calculer $I(a)$ à l'aide d'une intégration par parties. \item Calculer $\displaystyle\lim_{a \to +~\infty} I(a)$ et $\displaystyle\lim_{a \to 0} I(a)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 1999 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 1999 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| l | *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{l|}{} &O &A &B &AB\\ \hline Rhésus $+$ &35,0\: \% &38,1\: \%&6,2\: \% &2,8\: \%\\ \hline Rhésus $-$ &9,0 \:\% &7,2\: \% &1,2\: \% &0,5\: \%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Dans cet exercice, les résultats numériques demandés seront, s'il y a lieu, arrondis à trois décimales. \begin{enumerate} \item L'objectif de cette question est de compléter à l'aide de données de ce tableau l'arbre suivant, à recopier sur la copie. \begin{center} \pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=2.8cm]{\Tr{}} { \pstree{\Tr{Rh$_{+}$}\taput{$p_{1} =\: ?$}} { \Tr{O}\taput{$p_{2} = ?$} \Tr{A}\taput{?} \Tr{B}\taput{?} \Tr{AB}\taput{?} } \pstree{\Tr{Rh$_{-}$}\tbput{$?$}} { \Tr{O}\taput{?} \Tr{A}\taput{?} \Tr{B}\taput{?} \Tr{AB}\taput{?} } } \end{center} L'expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population donnée (les habitants de la France). On note Rh+ l'évènement \og La personne a le facteur Rh+ \fg{}. On note O l'évènement \og La personne appartient au groupe O \fg{}. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $p_1$ c'est-à-dire $p$(Rh+). On détaillera le calcul effectué puis on reportera ce résultat dans l'arbre. Déterminer de même la probabilité $p_2$ (en détaillant les calculs). \item Compléter le reste de l'arbre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante (il est inutile de détailler les nouveaux calculs). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Comment peut-on, à partir de l'arbre complété, déterminer la probabilité de O ? Vérifier ce résultat à partir du tableau. \item Quelle est la probabilité pour qu'une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère $n$ personnes choisies au hasard dans la population donnée (les habitants de la France). Calculer, en fonction de $n$, la probabilité $p$ pour qu'il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O. \item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a $p \geqslant 0,999$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre $Z$, on pose $P(Z) = Z^4 - 1$. \begin{enumerate} \item Factoriser $P(Z)$. \item En déduire les solutions dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes de l'équation $P(Z) = 0$, d'inconnue $Z$. \item Déduire de la question précédente les solutions dans $\C$ de l'équation d'inconnue $z$ : \[\left(\dfrac{2z + 1}{z - 1}\right)^4 = 1.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (l'unité graphique est $5$~cm). Placer les points A,~ B et C d'affixes respectives : \[a = -~2,~b = -~\dfrac{1}{5} - ~\dfrac{3}{5}\text{i}~\text{et}~c = -~\dfrac{1}{5} + ~\dfrac{3}{5}\text{i}\] \item Démontrer que les points O,~ A,~ B et C sont situés sur un cercle, que l'on déterminera. \end{enumerate} \item Placer le point D d'affixe $d = -~\dfrac{1}{2}$. Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe $z'$ défini par : \[z' = \dfrac{a - c}{d - c}.\] En déduire le rapport $\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}}$. Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l'expression de $z'$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation $(E)~:~8x + 5y = 1$,~où $(x~;~y)$ est un couple de nombres entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière de l'équation $(E)$. \item Résoudre l'équation $(E)$. \end{enumerate} \item Soit $N$ un nombre naturel tel qu'il existe un couple $(a~;~b)$ de nombres entiers vérifiant : $\left\{ \begin{array}{l c l} N & = & 8a + 1\\ N &= & 5b + 2.\\ \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Montrer que le couple $(a~;~b)$ est solution de $(E)$. \item Quel est le reste, dans la division de $N$ par $40$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $8x + 5 y = 100$, où $(x~;~y)$ est un couple de nombres entiers relatifs. \item Au VIII$\up{e}$ siècle, un groupe composé d'hommes et de femmes a dépensé $100$ pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé $8$ pièces chacun et les femmes $5$ pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans le groupe ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'objet de ce problème est de résoudre une équation différentielle, d'en étudier une fonction solution et de calculer des aires. \medskip \textbf{Partie A} \textbf{Résolution de l' équation différentielle} \boldmath $(E) : y' + y = x - 1$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_1^x \text{e}^t (t - 1)\:\text{d}t.$ \item Soit $z$ une fonction dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. On pose $f(x) = z(x)\text{e}^{-~ x}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ est solution de $(E)$ si, et seulement si, pour tout $x$ de $\R,~ z'(x) = \text{e}^x(x- 1)$. \item À l'aide de la première question, déterminer toutes les fonctions $z$ vérifiant, pour tout $x$ de $\R,~ z'(x) = \text{e}^x(x- 1)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \textbf{Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x - 2 + \text{e}^{1 - x}.\] Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $1$~cm). On désigne par $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de $f$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de $f$ \item Préciser $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (D), d'équation $y = x - 2$, est asymptote à la courbe $\left(C_f\right)$. \item Préciser la position de $\left(C_f\right)$ par rapport à (D). \end{enumerate} \item Tracer (D) et $\left(C_f\right)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \textbf{Calcul d'aires} \medskip Soit $x_0$ un nombre réel strictement positif. \begin{enumerate} \item On considère le domaine limité par la courbe $(C_f)$ , son asymptote $(D)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = x_0$. Exprimer, à l'aide de $x_0$ l'aire $S_1$ de ce domaine. \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{1 - x}$, dont on trouvera la courbe représentative $(C_g)$ en annexe. Donner une interprétation, en terme d'aire, de l'intégrale ayant servi au calcul de S$_1$ à l'aide de la courbe $(C_g)$. \item A est le point de coordonnées $(x_0~;~0)$. B est le point de la courbe $(C_g)$ d'abscisse $x_0$. Soit $(T)$ la tangente à la courbe $(C_{g})$ au point d'abscisse $x_0$. C est le point d'intersection de $(T)$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de C. \item Calculer (en unités d'aire) l'aire S$_2$ du triangle ABC. Vérifier que S$_1 + 2\text{S}_2 = 0$. \newpage \begin{center} \emph{Annexe} 1 \emph{Courbe représentative} $(C_g)$ \emph{de la fonction} $g$ \emph{définie sur} $\R$ \emph{par} $g(x) = \text{e}^{1 - x}$ \vspace{2cm} \psset{unit=1.9cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(5,4) \psgrid[subgriddiv=2,griddots=5,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(5,4) \psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,4) \psaxes{->}(0,0)(5,4) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.386}{5}{2.71828 1 x sub exp} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 1999 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 1999 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne $U_1$ contient deux jetons numérotés 1 et 2. Une urne $U_2$ contient $4$ jetons numérotés $1,~2,~3$ et 4. On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne. (Les choix sont supposés équiprobables). \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 ? \item On a tiré un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'urne $U_1$ ? \end{enumerate} \item On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents. On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de tirer $2$ jetons identiques. \item Soit $S$ la variable aléatoire, qui, à chaque tirage, associe la somme des numéros des 2 jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de $S$. \item Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des numéros tirés est impaire, Claude donne $10$~euros à Dominique et que, dans le cas contraire, Claude reçoit $\lambda$ euros de Dominique. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique de Claude. Calculer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $\lambda$, puis déterminer $\lambda$ pour que le jeu soit équitable (c'est-à-dire pour que $E(X)$ soit égale à $0$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de cet exercice est d'utiliser les solutions d'une équation à deux inconnues entières pour résoudre un problème dans l'espace. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer un couple $(x_0~ ;~ y_0)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation : \[48x + 35y = 1.\] (On pourra utiliser l'algorithme d'Euclide pour la recherche du PGCD de deux nombres). \item Déduire de \textbf{a.} tous les couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de cette équation. \end{enumerate} \item L'espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées (48~;~35~;~24) et le point A de coordonnées $(-11 ~;~35~;~-13)$. \begin{enumerate} \item Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l'ensemble ($\Pi$) des points $M$ de l'espace, de coordonnées $(x~;~ y~;~ z)$ tels que $\vect{u} \cdot \vect{\text{AM}} = 0$. \item Soit (D) la droite intersection de ($\Pi$) avec le plan d'équation $z = 16$. Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières et appartiennent à l'intervalle $[- 100~ ;~ 100]$. En déduire les coordonnées du point de $(D)$, à coordonnées entières, situé le plus près de l'origine. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe rapporté à à un repère orthonormal \Ouv, A, A$'$, B, B$'$ sont les points d'affixes respectives $1,~ - 1,~ \text{i},~ - \text{i}$. À tout point $M$ d'affixe $z$, distinct des points O, A, A$'$, B et B$'$, on associe les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, tels que les triangles B$MM_1$ et A$MM_2$ soient rectangles et isocèles, avec \[\left(\vect{M_1\text{B}},~ \vect{M_1M}\right) = \left(\vect{M_2M},~ \vect{M_2\text{A}}\right) = ~\dfrac{\pi}{2}\] \emph{Voir la figure sur l'annexe} 1, \emph{qui sera complétée et rendue avec la copie} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier les égalités $z - z_1 = \text{i} (\text{i}- z_1)$ et $1 - z_2 = \text{i}( z - z_2) $. \item Vérifier que $z_1$ et $z_2$ peuvent s'écrire : \[z_1 = \dfrac{1 + \text{i}}{2}(z + 1)~~ \text{et}~~ z_2 = \dfrac{1 - \text{i}}{2}(z + i).\] \end{enumerate} \item On se propose dans cette question de déterminer les points $M$ pour lesquels le triangle O$M_1M_2$ est équilatéral. \begin{enumerate} \item Montrer que : O$M_1 = \text{O}M_2$ équivaut à $|z + 1| = |z + \text{i}|$. En déduire l'ensemble ($\Delta$) des points $M$ tels que O$M_1 = \text{O}M_2$ et tracer ($\Delta$) sur la figure. \item Montrer que : O$M_1 = M_1M_2$ équivaut à $| z + 1|^2 = 2| z|^2.$ \item En déduire l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ du plan pour lesquels O$M_1 = M_1M_2$. On pourra montrer que $| z + 1|^2 = 2| z|^2$ équivaut à $|z - 1|^2 = 2$. Tracer ($\Gamma$) sur la figure. \item En déduire les deux points $M$ pour lesquels O$M_1M_2$ est un triangle équilatéral et les placer sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \emph{Annexe} 1 \begin{pspicture}(9,9) \psline(0,2.8)(9,2.8) \psline(3,0)(3,9) \psline(5.8,2.8)(7.8,4.4) \psline(7.8,4.4)(6.2,6.4) \psline(6.2,6.4)(5.8,2.8) \psline(6.2,6.4)(4.2,7.6) \psline(4.2,7.6)(3,5.5) \psline(3,5.5)(6.2,6.4) \rput(2.7,2.3){O} \rput(0.2,2.3){A$'$} \rput(2.7,0.2){B$'$} \uput[d](5.8,2.8){A} \psline(0,2.7)(0,2.8) \psline(2.9,0)(3,0) \rput(8.1,4.3){$M_{2}$} \uput[ur](6.2,6.4){$M$} \uput[ul](4.2,7.6){$M_{1}$} \uput[l](3,5.5){B} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème\hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le but du problème est l'étude d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ et d'une primitive de $f$. \medskip \textbf{Première partie} \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $g$ \unboldmath \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par : \[ g(x) = 2x^2 - (x^2 + 1) \ln (x^2 + 1).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ et en détaillant les calculs effectués, montrer que \[g'(x) = 2x - 2x \ln \left(x^2 + 1\right).\] \item Faire l'étude du sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Montrer qu'il existe un unique réel, que l'on notera $\alpha$, dans l'intervalle $\left[\sqrt{\vphantom{l}\text{e} - 1}~;~\sqrt{\text{e}^2 - 1}\right]$, tel que $g(\alpha) = 0$~; donner l'approximation décimale à $10^{- 2}$ près par défaut de $\alpha$. \item En déduire le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+~\infty[$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie} \textbf{Étude de la fonction} $f$ \medskip La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(0) = 0 \quad \text{et} \quad f(x) = \dfrac{\ln \left(1 + x^2\right)}{x}\quad \text{lorsque}\quad x \neq 0.\] Sa courbe représentative ($\mathcal{C})$, dans le plan rapporté à à un repère d'origine O, est donnée en \emph{annexe} 2, qui sera complétée et rendue avec la copie. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 1.$ En déduire que $f$ est dérivable en $0$ et donner la valeur de $f'(0)$. \item Vérifier que, pour $x$ strictement positif, $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^2\left(1 + x^2\right)}$ Faire l'étude du sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ ~\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $x \geqslant 1,~ 0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\ln \left(2x^2\right)}{x}$. \item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \emph{Annexe} 1 \vspace{0,5cm} \psset{unit=1.8cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5,2) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.2pt](0,0)(-1,0)(5,2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.99,0)(5,2) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{5}{x 2 exp 1 add ln x div} %\psline{->}(-1,0)(5,0) \psline{->}(0,0)(0,2) \uput[u](5,0){$x$} \uput[r](0,2){$y$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Troisième partie} \textbf{Étude d'une primitive de } $f$ \medskip On note $F$ la primitive de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + ~\infty[$, qui s'annule pour $x = 1$. On rappelle que $F(x) = \displaystyle\int_1^x f(t)\:\text{d}t$ : (on ne cherchera pas à calculer $F(x)$). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $x > 0,~ f(x) \geqslant \dfrac{2 \ln x}{x}$. \item Calculer $\displaystyle\int_1^x \dfrac{2 \ln t}{t}\:\text{d}t$ pour $x \geqslant 1$ et en déduire la limite de $F$ en $+~ \infty$. \end{enumerate} \item Dresser le tableau des variations de $F$. \item Montrer que $f(1) < F(2) < f(\alpha)$ et en déduire un encadrement de $F(2)$. (On prendra $f(\alpha) \approx 0,8.$) \item On note I le point de coordonnées (1 ; 0),\: A le point de ($\mathcal{C})$ de coordonnées $(1~;~\ln 2)$ et B le point de coordonnées $(\ln 2 ~;~ \ln 2).$ \begin{enumerate} \item Vérifier que B appartient à la tangente à ($\mathcal{C})$ en O. \item Placer les points I,~ A et B sur la figure de l'\emph{annexe} 1 et tracer les segments [OA],~ [OB],~ [BA] et [AI]. \item On admet que, pour les abscisses appartenant à l'intervalle [0~;~1], la courbe ($\mathcal{C})$ est située au-dessus de [OA] et au-dessous de [OB] et de [BA]. Déterminer un encadrement de $F(0)$, d'amplitude inférieure à $2 \times 10^{- 1}$. \end{enumerate} \item Tracer la représentation graphique ($\Gamma$) de $F$ en exploitant au maximum les résultats précédents ; on précisera notamment la tangente à ($\Gamma$) au point d'abscisse 1 en la traçant et en donnant son coefficient directeur. (Unité graphique : $2$~cm) \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 1999 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Baccalauréat S Métropole juin 1999}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 4~cm comme unité sur les deux axes. On considère l'application $F$ du plan dans lui-même qui, à tout point $m$ d'affixe $z$ associe le point $M$ d'affixe $\dfrac{1}{2}z^2 - z$. L'objet de cet exercice est de tracer la courbe ($\Gamma$) décrite par $M$ lorsque $m$ décrit le cercle ($\mathcal{C}$) de centre O et de rayon 1. Soit $t$ un réel de [- $\pi~ ;~ \pi$] et $m$ le point de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}t}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de coordonnées : \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.75} \left\{ \begin{array}{l c l} x(t)& =&\dfrac{1}{2}\cos 2t - \cos t\\ y(t) & =& \dfrac{1}{2}\sin 2t - \sin t\\ \end{array}\right. ,~t \in [-~\pi~;~\pi].\] Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe ($\Gamma$). \item Comparer $x (- t)$ et $x(t)$ d'une part, $y(- t)$ et $y(t)$ d'autre part. En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera. \item Montrer que $x'(t) = \sin t(1 - 2 \cos t)$. Étudier les variations de $x$ sur [0 ;~ $\pi$]. \item Montrer que $y'(t) = (\cos t - 1) (1 + 2 \cos t)$. Étudier les variations de $y$ sur [0 ;~ $\pi$]. \item Dans un même tableau faire figurer les variations de $x$ et $y$ sur [0 ;~ $\pi$]. \item Placer les points de ($\Gamma$) correspondant aux valeurs 0,~$\dfrac{\pi}{3} ,~\dfrac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du paramètre $t$ et tracer les tangentes en ces points (on admettra que pour $t$ = 0 la tangente à ($\Gamma$) est horizontale). Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue lorsque $t$ décrit [0~;~$\pi$] puis tracer ($\Gamma$) complètement. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, $n$ est un entier naturel \emph{non nul}. On considère la suite $(u_n$) définie par : \[u_n = \int_0^2 \dfrac{2t + 3}{t + 2} \text{e}^{\frac{t}{n}} \:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur [0~;~2] par $\varphi(t) = \dfrac{2t + 3}{t + 2}$. Étudier les variations de $\varphi$ sur [0~;~2]. En déduire que, pour tout réel $t$ dans [0~;~2], \[\dfrac{3}{2} \leqslant \varphi(t) \leqslant \dfrac{7}{4}.\] \item Montrer que, pour tout réel $t$ dans [0~;~2], on a \[\dfrac{3}{2}\text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \varphi(t)\text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \dfrac{7}{4}\text{e}^{\frac{t}{n}}.\] \item Par intégration en déduire que : \[\dfrac{3}{2}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) \leqslant u_n \leqslant \dfrac{7}{4}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right).\] \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \left(\dfrac{\text{e}^h - 1}{h}\right) = 1$. Montrer que, si ($u_n$) possède une limite $\ell$, alors $3 \leqslant \ell \leqslant\dfrac{7}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $t$ dans [0~†;~2], on a : $\dfrac{2t+ 3}{t+ 2} = 2 - \dfrac{1}{t+ 2}$. En déduire l'intégrale I = $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{2t+ 3}{t+ 2}\: \text{d}t$. \item Montrer que, pour tout $t$ dans [0 ; 2], on a $1 \leqslant \text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}.$ En déduire que I $\leqslant u_n \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}$I. \item Montrer que ($u_n$) est convergente et déterminer sa limite $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2} \hfill 5 points \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les nombres \[ a_n = 4 \times 10^n - 1,~ b_n = 2 \times 10^n - 1 ~\text{et}~ c_n = 2 \times 10^n+ 1.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $a_1,~ b_1,~ c_1,~ a_2,~ b_2,~ c_2,~ a_3,~ b_3$ et $c_3$. \item Combien les écritures décimales des nombres $a_n$ et $c_n$ ont-elles de chiffres ? Montrer que $a_{n}$ et $c_n$ sont divisibles par 3. \item Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que $b_3$ est premier. \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n,~ b_n \times c_n = a_{2n}$. En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de $a_6$. \item Montrer que PGCD ($b_n ,~ c_n$) = PGCD ($c_n$,~ 2). En déduire que $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On considère l'équation : \[(1) \qquad b_3 x + c_3y = 1\] d'inconnues les entiers relatifs $x$ et $y$. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que (1) possède au moins une solution. \item Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres $c_3$ et $b_3$ ; en déduire une solution particulière de (1). \item Résoudre l'équation (1). \end{enumerate} \end{enumerate} \textsl{Liste des nombres premiers inférieurs à} 100 : 2 \quad ;\quad 3 \quad ; \quad 5 ;\quad 7 \quad ;\quad 11 \quad ;\quad 13 \quad ;\quad 17\quad ;\quad 19\quad ; \quad 23 \quad ;\quad 29 \quad ; \quad 31 ; \quad 37 ; \quad 41 ; \quad 43 ; \quad 47 ; \quad 53 \quad ; \quad 59 \quad ; \quad 61 \quad ;\quad 67 \quad ;\quad 71 \quad;\quad 73 \quad;\quad 79 \quad ;\quad 83\quad ; \quad 89 \quad ;\quad 97. \vspace{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Problème \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} : on prendra $2$~cm comme unité sur les deux axes et on placera l'axe des abscisses au milieu de la feuille et l'axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée. \medskip \textbf{Partie A} \medskip $\star$ Étude d'une fonction $f$ et de sa courbe représentative $\mathcal{C}$ On considère la fonction $f$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) (\ln x - 2)\] et on désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative relativement au repère \Oij. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et $0$. \item Montrer que $f$ est dérivable sur ]0~;~+ $\infty$[ et calculer $f'(x)$. \item Soit $u$ la fonction définie sur ]0~;~+ $\infty$[ par $u(x) = \ln x + x - 3$. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $u$. \item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~3]. Montrer que $2,20 < \alpha < 2,21$. \item Étudier le signe de $u(x)$ sur $[0 ~;~ + \infty[$ . \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$. \item Exprimer $\ln \alpha$ comme polynôme en $\alpha$. Montrer que $f(\alpha) = -~\dfrac{ (\alpha - 1)^2}{\alpha}$. En déduire un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $2 \times 10^{- 2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x)$. \item Tracer $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} $\star$ Étude d'une primitive de $f$ sur ]0 ; + $\infty$[. \medskip Soit $F$ la primitive de $f$ sur [0 ; + $\infty$[ qui s'annule pour $x = 1$. On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative de $F$ relativement au repère \Oij. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sans calculer $F(x)$, étudier les variations de $F$ sur ]0 ; + $\infty$[. \item Que peut-on dire des tangentes à $(\Gamma)$ en ses points d'abscisses 1 et $\text{e}^2$ ? \end{enumerate} \item Calcul de $F(x)$. \begin{enumerate} \item $x$ étant un réel strictement positif, calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^x \ln t \:\text{d}t$ (on pourra faire une intégration par parties). \item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif : \[f(x) = \ln x - \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{2}{x} - 2.\] \item En déduire l'expression de $F(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to 0}(x \ln x) = 0$. En déduire la limite de $F$ en $0$. \item Montrer que, pour $x$ strictement supérieur à 1, \[F(x) = x \ln x\left(1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{\ln x}\right) + 3.\] En déduire la limite de $F$ en + ~$\infty$. \item Dresser le tableau de variation de $F $. \item Tracer $(\Gamma)$ sur le même graphique que $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \item Calcul d'une aire Calculer, en cm$^2$~ l'aire du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}^2$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 19999 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Liban juin 1999 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small Liban} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 1999 \decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, l'unité de longueur étant le centimètre, les points A, B, C, D ont pour affixe $3 + \text{i},~7 - i,~-1 - 7\text{i},~8 - 4\text{i}$ respectivement. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C, D. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? \end{enumerate} \item Démontrer que A, B, C, D sont sur un même cercle. On précisera le rayon de ce cercle et l'affixe de son centre I. \item À tout point $M$ d'affixe $z$, avec $z$ non nul, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = \dfrac{10}{z}$. \begin{enumerate} \item Écrire, sous forme algébrique les affixes $a',~ b',~ c'$ des points A$'$, B$'$, C$'$ (respectivement associés à A, B, C). Placer les points A$'$, B$'$, C$'$. \item Vérifier que : $\dfrac{c' - a'}{b' - a'} = 2$. \item En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{A}'\text{B}'},~ \vect{\text{A}'\text{C}'} \right)$. \item Que peut-on en déduire pour les points A$'$, B$'$, C$'$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points} \medskip Sur une droite (D) muni d'un repère \Oij, A$_{0}$ et B$_{0}$ sont les points d'abscisses respectives $- 4$ et $3$. Pour tout entier naturel $n$, on note \[A_{n+1}\quad \text{le barycentre de}\quad \left\{(A_{n}~;~ 1),~(B_{n}~;~4)\right\}\] \[B_{n+1}\quad \text{le barycentre de}\quad \{(A_{n}~ ;~ 3),~ (B_{n}~;~ 2)\}\] \begin{enumerate} \item Placer les points A$_{0}$, B$_{0}$, A$_{1}$, B$_{1}$. \item Les points $A_{n}$ et $B_{n}$ ont pour abscisses $a_{n}$ et $b_{n}$ respectivement. Ainsi, $a_{0} = - 4$ et $b_{0} = 3$. Démontrer que, pour tout $n$ de $\N,~ a_{n+1} = \dfrac{1}{5}(a_{n} + 4b_{n})$ et $b_{n+1} = \dfrac{1}{5}(3a_{n} + 2b_{n})$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n : 3a_{n} + 4b_{n} = 0.$ \item En déduire que : $a_{n+1} = - \dfrac{2}{5}a_{n}$ et $b_{n+1} = - \dfrac{2}{5} b_{n}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ à l'aide de $n$. \item Déterminer les limites de $a_{n}$ et $b_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \item Interpréter ce résultat à l'aide des points $A_{n}$ et $B_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points } \medskip Le nombre $n$ est un entier naturel non nul. On pose : $a = 4n + 3,~ b = 5n + 2$ et on note $d$ le PGCD de $a$ et $b$. \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $d$ dans les trois cas suivants : $n = 1,~ n = 11 ,~ n = 15$. \item Calculer $5a - 4b$ et en déduire les valeurs possibles de $d$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les entiers naturels $n$ et $k$ tels que $4n + 3 = 7k$. \item Déterminer les entiers naturels $n$ et $k$ tels que $5n + 2 = 7k$. \end{enumerate} \item Soit $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par 7. Déduire des questions précédentes la valeur de $r$ pour laquelle $d$ vaut 7. Pour quelles valeurs de $r,~ d$ est-il égal à 1 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \medskip \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. La fonction $\varphi$ est définie sur $\R$ par : \[\varphi(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\varphi^{\prime}(x)$ et $\varphi^{\prime\prime}(x)$. \item Vérifier que, pour tout réel $x~:~\varphi(x) = - \varphi^{\prime\prime}(x) - 2\varphi^{\prime}(x)$. \end{enumerate} \item Démontrer que $\varphi$ admet une primitive $\Phi$, définie sur $\R$ par : $\Phi(x) = \left(Ax + B\right)\text{e}^{-x}$ où $A$ et $B$ sont des nombres réels que l'on exprimera à l'aide de $a$ et $b$. \item Déterminer $a$ et $b$ pour que : $\varphi(0) = 5$ et $\varphi'(0) = - 3$. Donner alors $\varphi'(x),~\varphi''(x)$ et $\Phi(x)$. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est de $2$~cm sur l'axe des abscisses et de $1$~cm sur l'axe des ordonnées. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[\varphi(x) = (2x + 5)\text{e}^{-x}.\] On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. Donner une interprétation graphique de cette deuxième limite. \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec les axes du repère. \item Calculer $f'(x)$, déterminer le signe de $f'(x)$ et donner le tableau des variations de la fonction $f$. \item Soit I le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $- \dfrac{1}{2}$. Une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point I est $y = g(x)$. Déterminer $g(x)$. \item On pose $d(x) = f(x) - g(x)$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $d^{\prime}$, calculer $d^{\prime}\left(- \dfrac{1}{2} \right)$ et donner le signe de $d'$. \item Étudier le sens de variations de $d$, calculer $d\left(- \dfrac{1}{2}\right)$ et donner le signe de $d$. \item Donner la position de la tangente (T) par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ et la tangente (T). \item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire en cm$^2$ de la région du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x = - \dfrac{5}{2}$ et $x = \alpha$. Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$. (On peut éventuellement utiliser le résultat de la \textbf{partie I.}) Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% La Réunion S juin 1999 \hypertarget{Reunion}{} \label{Reunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 1999~ \decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip On dispose d'un cube en bois de $3$~cm d'arête, peint en bleu. On le découpe, parallèlement aux faces, en $27$~cubes de 1~cm d'arête. On place ces $27$~cubes dans un sac. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip On tire au hasard l'un des $27$~cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de faces peintes sur le cube tiré. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On tire maintenant, au hasard, simultanément deux des $27$~cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité d'avoir, au total, six faces peintes est égale à $\dfrac{28}{351}$. \item On désigne par $n$ un nombre entier naturel non nul ; après avoir noté le nombre de faces coloriées sur les deux premiers cubes tirés, on les remet dans le sac et on recommence l'opération de manière à effectuer $n$ tirages successifs et indépendants de deux cubes. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p_{n}$ pour que l'on obtienne, au total, $6n$ faces peintes. \item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que $p_{n}$ soit inférieur à $10^{-12}$. Les résultats des calculs de probabilités seront donnés sous forme fractionnaire. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm). On considère l'application $f$ qui, à chaque point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{\overline{z}}\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$. On désigne par A et O les points d'affixes respectives $-\text{i}$ et $\text{i}$. \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre A et de rayon 1, privé de O. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre complexe $z$ non nul, démontrer que : \[\left|z' + \text{i}\right| = \left|z'\right|\quad \text{équivaut à }\quad |z + \text{i}| = 1.\] \item En déduire l'ensemble $\mathcal{C}'_{1}$, image de $\mathcal{C}_{1}$ par $f$. \item Tracer $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}'_{1}$ sur une même figure. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ non nul, $\left|z' - \text{i}\right|^2 = 2$ équivaut à $|z + \text{i}|^2 = 2$ (on pourra utiliser $\left|Z^2\right| = Z\overline{Z}$). \item En déduire l'ensemble $\mathcal{C}'_{2}$ image de $\mathcal{C}_{2}$ par $f$. \item Tracer $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}'_{2}$ sur la figure précédente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la similitude directe $\sigma$ de centre $\Omega$ d'affixe $1 + \text{i}$ de rapport 2, et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. \item Montrer que $\sigma \circ f$ est l'application qui, à chaque point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M''$ d'affixe $z''$ telle que \[z'' = \dfrac{2 \text{i} + (3 - \text{i})\overline{z}}{\overline{z}}.\] \item À l'aide des questions précédentes, déterminer les ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$, images respectives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ par $\sigma\circ f$. \item Tracer les ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ sur la figure précédente. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique $1$~cm). On considère la courbe paramétrée ($\Gamma$), ensemble des points $M(t)$ dont les coordonnées $(x(t),~y(t))$ sont définies, pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[- \pi~;~\pi]$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& 5\cos t\\ y(t) &=& 3\sin t\\ \end{array}\right.\] \vspace{0,25cm} \textbf{Partie 1} On se propose, dans cette partie, de tracer la courbe ($\Gamma$). \begin{enumerate} \item Recherche d'un intervalle d'étude. \begin{enumerate} \item Par quelle transformation géométrique le point $M(-t)$ est-il l'image du point $M(t)$ de ($\Gamma$) ? \item Par quelle transformation géométrique le point $M(\pi - t)$ est-il l'image du point $M(t)$ de ($\Gamma$) ? \item Expliquer comment, pour tracer ta courbe ($\Gamma$), on peut limiter l'étude à l'intervalle $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$. \end{enumerate} \item Tracé de ($\Gamma$). \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de chacune des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$. \item Tracer la courbe ($\Gamma$) avec ses tangentes aux points $M(0)$ et $M\left(\frac{\pi}{2}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Propriété géométrique liée à la courbe ($\Gamma$)} \medskip Soient F et F$'$ les points d'affixes respectives $4$ et $- 4$. Le point $M$, de paramètre $t$, appartenant à la courbe ($\Gamma$), on note $z = x(t) + \text{i}y(t)$ son affixe. Soit $\vect{W}$ le vecteur d'affixe $w = - 5 \sin t +3\text{i} \sin t$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $16 - z^2 = w^2$. \item En déduire que $\left(\vect{M\text{F}},~ \vect{W}\right) = \left(\vect{W},~\vect{\text{F}'M}\right)$ modulo $2\pi$. \item Comment la propriété précédente permet-elle de construire la tangente en tout point de la courbe ? Réaliser cette construction pour le point de paramètre $\frac{\pi}{3}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 5 points} L'objet du problème est d'étudier une fonction $f$ puis d'examiner des intégrales qui en sont issues. Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 3 cm). \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = \ln \left(\text{e}^x + \text{e}^{-x} \right) ;\] on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ on a : \[f(x) = x + \ln \left(1 + \text{e}^{-2x}\right).\] \item En déduire que la courbe ($\mathcal{C}$) admet comme asymptote la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$. \item Étudier la position relative de ($\mathcal{C}$) et ($\Delta$). \end{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Tracer la droite ($\Delta$) et la courbe ($\mathcal{C}$). \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ on pose \[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x \ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)\:\text{d}t.\] On ne cherchera pas à calculer $F(x)$. \begin{enumerate} \item Soit $x$ un réel strictement positif. En utilisant la question \textbf{1} de la partie A, donner une interprétation géométrique de $F(x)$. \item Étudier le sens de variation de $F$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Soit $a$ un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[1~;~1 + a]$, on a \[ \dfrac{1}{1 + a} \leqslant \dfrac{1}{t} \leqslant 1.\] \item En appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis à la fonction logarithme, établir que $\dfrac{a}{1 + a} \leqslant \ln (1 + a) \leqslant a$. \end{enumerate} \item Soit $x$ un réel strictement positif. Déduire de la question \textbf{3} : \[\int_{0}^x \dfrac{\text{e}^{-2t}}{1 + \text{e}^{-2t}}\:\text{d}t \leqslant F(x) \leqslant \int_{0}^x \text{e}^{-2t}\:\text{d}t.\] puis $\dfrac{1}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right) \leqslant F(x)\leqslant \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$. \item On admet que la limite de $F(x)$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ existe et est un nombre réel noté $\ell$. Établir que $\dfrac{1}{2}\ln 2 \leqslant \ell \leqslant \dfrac{1}{2}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_{n} = \displaystyle\int_{n}^{n+1}\ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 \leqslant u_{n} \leqslant \ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)\:\text{d}t$. (On pourra utiliser le sens de variations de la fonction $h$, définie sur $[0~:~+\infty[$ par $h(t) = \ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)$). \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_{n} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $S_{n}$ à l'aide de $F$ et $n$. \item La suite $\left(S_{n}\right)$ est-elle convergente ? Dans l'affirmative, donner sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 1999 \hypertarget{Polynesiejuin}{} \label{Polynesiejuin} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 1999 \decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une urne contient $5$ boules noires et $5$ boules blanches. On en prélève $n$ successivement et avec remise, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On considère les deux évènements suivants : $A$ : \og On obtient des boules des deux couleurs \fg{} ; $B$ : \og On obtient au plus une blanche \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Toutes les boules tirées sont de même couleur \fg{}. \item Calculer la probabilité de l'évènement : \og On obtient exactement une boule blanche \fg{}. \item En déduire que les probabilités $p(A \cap B),~ p(A),~ p(B)$ sont : \[p(A \cap B) = \dfrac{n}{2^n},\quad p(A) = 1 - \dfrac{1}{2^{n-1}},\quad p(B) = \dfrac{n+1}{ 2^n}.\] \end{enumerate} \item Montrer que $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$ si, et seulement si, \[ 2^{n-1} = n + 1.\] \item Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n$ entier naturel supérieur ou égal à deux par \[ u_n = 2^{n-1} - (n + 1).\] Calculer $u_2,~ u_3,~ u_4$. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. \item En déduire la valeur de l'entier $n$ tel que les évènements $A$ et $B$ soient indépendants. \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2\hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv~ d'unité graphique $2$~cm. \begin{enumerate} \item Résoudre, dans $\C$, l'équation $(E)~ :~ z^3 - 8 = 0.$ \item On considère dans le plan $(P)$ les points A,~ B et C d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\] \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme trigonométrique. \item Placer les points A, B et C. \item Déterminer la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \item On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[ z' = \text{e}^{2i\frac{\pi}{3}}z.\] \begin{enumerate} \item Caractériser géométriquement l'application $f$. \item Déterminer les images des points A et C par $f$. En déduire l'image de la droite (AC) par $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n~ :~ 2^{3n} - 1$ est un multiple de 7 (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). En déduire que $2^{3n + 1} - 2$ est un multiple de 7 et que $2^{3n + 2} - 4$ est un multiple de 7. \item Déterminer les restes de la division par $7$ des puissances de 2. \item Le nombre $p$ étant un entier naturel, on considère le nombre entier \[A_p = 2^p + 2^{2p} + 2^{3p}.\] \begin{enumerate} \item Si $p = 3n$, quel est le reste de la division de $A_p$, par 7 ? \item Démontrer que si $p = 3 n + 1$ alors $A_p$ est divisible par 7. \item Étudier le cas où $p = 3 n + 2$. \end{enumerate} \item On considère les nombres entiers $a$ et $b$ écrits dans le système binaire : \[a = \overline{\np{1001001000}}~~~ b = \overline{\np{1000100010000}}.\] Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme $A_p$. Sont-ils divisibles par 7 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Problème \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = x - \text{e}^{2x- 2}.\] On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. On prendra $5$~cm comme unité. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $-~ \infty$. \item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul : $f(x) = x\left[1 - 2\text{e}^{-~ 2} \times \left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\right)\right].$ \end{enumerate} \item Déterminer $f'$. Étudier le signe de $f'(x)$ et calculer la valeur exacte du maximum de $f$. \item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et (D). \item On note A le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe $(\mathcal{C})$. \item \begin{enumerate} \item On note I l'intervalle [0 ; 0,5]. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle I une unique solution qu'on notera $a$. \item Déterminer une valeur approchée à $10^{- 1}$ près de $a$. \end{enumerate} \item Construire la courbe $(\mathcal{C})$, l'asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \textbf{Détermination d'une valeur approchée de} $a$. \medskip On définit dans $\R$ la suite $(u_n)$ par : \[\left\{ \begin{array}{l c l} u_0 & = & 0\\ u_{n + 1}& =& \text{e}^{2u_n - 2} \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{2x- 2}$. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ est équivalente à $g(x) = x$. En déduire $g(a)$. \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, on a : \[ \left|g'(x)\right| \leqslant \dfrac{2}{\text{e}}.\] \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I,~ $g(x)$ appartient à I. \item Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour tout entier naturel $n~ :~ \left|u_{n + 1} - u_n\right| \leqslant \dfrac{2}{\text{e}}\left|u_n - a\right|.$ \item Démontrer, par récurrence, que : $\left|u_{n} - a\right| \leqslant \left(\dfrac{2}{\text{e}}\right)^n$. \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge et donner sa limite. \item Déterminer un entier naturel $p$ tel que : $\left|u_p - a\right| < 10^{- 5}$. \item En déduire une valeur approchée de $a$ à $10^{- 5}$ près : on expliquera l'algorithme utilisé sur la calculatrice. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1999 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \label{Antilles-Guyane} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1999~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4,5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Dans tout l'exercice on considère 20 boules indiscernables au toucher (10 noires et 10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune desquelles on placera 10 boules suivant un mode qui sera précisé dans chaque question. \begin{enumerate} \item On choisit dix boules au hasard et on les met dans l'urne A. On place les dix autres boules dans l'urne B. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent chacune que des boules de même couleur ? \item Quelle est la probabilité pour que les deux urnes contiennent chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ? \end{enumerate} \item Soit $x$ un entier tel que $0 \leqslant x \leqslant 10$. On place maintenant $x$ boules blanches et $10 - x$ boules noires dans l'urne A et les $10 - x$ boules blanches et $x$ boules noires restantes dans l'urne B. On procède à l'expérience E : On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au hasard une boule de B et on la met dans A. On désigne par M l'évènement \og chacune des deux urnes a la même composition avant et après l'expérience \fg. \begin{enumerate} \item Pour cette question \textbf{a.}, on prend $x = 6$. Quelle est la probabilité de l'évènement M ? \item Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à : \[\dfrac{1}{55} \left(- ~x^2 + 10x + 5\right).\] \item Pour quelles valeurs de $x$ l'évènement M est-il plus probable que l'évènement contraire $\overline{\text{M}}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Pour tout point $P$, on convient de noter $z_{P}$ son affixe. \begin{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des complexes l'équation (E) : ~$z^3 +8 = 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que $z^3 +8 = (z+2) (az^2 + bz + c)$ pour tout complexe $z$. \item Résoudre l'équation (E) (on donnera les solutions sous la forme $x + y$i, avec $x$ et $y$ réels). \item Écrire ces solutions sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ , où $r$ est un réel positif. \end{enumerate} \item On considère les points A, B, C d'affixes respectives -~2, 1 - i$\sqrt{3}$ et 1 + i$\sqrt{3}$, le point D milieu de [OB] et la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer que R(A) = B, R(B) = C et R(C) = A. En déduire que le triangle ABC est équilatéral. Placer A, B, C, D dans le plan. \item On considère le point L défini par $\vect{\text{AL}} = \vect{\text{OD}}$. Déterminer son affixe $z_{\text{L}}$. Déterminer un argument de $\dfrac{z_{\text{L}}}{z_{\text{D}}}$. En déduire que le vecteur $\vect{\text{OL}}$ est orthogonal au vecteur $\vect{\text{OD}}$ et au vecteur $\vect{\text{AL}}$. Montrer que L est sur le cercle de diamètre [AO]. Placer L sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij. On donne le point A(6 ; 0) et le point A$'$(0 ; 2). À tout point $M$ de l'axe des abscisses différent de A on associe le point $M'$ tel que : \[\text{A}M = \text{A}'M' \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{A}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{mod}~2\pi.\] On admet l'existence et l'unicité de $M'$. On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on prendra $-4$ pour abscisse de $M$. \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point de l'axe des abscisses différent de A. \begin{enumerate} \item Placer le point $M'$ sur la figure. \item Pour cette question on pourra donner une démonstration purement géomé\-tri\-que ou utiliser les nombres complexes. Démontrer qu'il existe une unique rotation, dont on précisera le centre, noté I et l'angle, qui transforme A en A$'$ et $M$ en $M'$. Placer I sur la figure. \item Démontrer que la médiatrice de [$MM'$] passe par I. \end{enumerate} \item On veut déterminer et construire les couples de points $(M,~ M')$ vérifiant la condition supplémentaire $MM' = 20$. \begin{enumerate} \item Calculer I$M$ et démontrer qu'il existe deux couples solutions : $\left(M_{1},~ M'_{1}\right)$ et $\left(M_{2},~ M'_{2}\right)$. \item Placer ces quatre points sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Étude d'une fonction et résolution d'une équation liée à cette fonction. Dans tout le problème, on considère la fonction réelle $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0~;~+ \infty$[ par : \[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right).\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij (unité graphique : 4 cm). \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Étude du sens de variation de la fonction} ~\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $]0~;~+~ \infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur ] 0 ; $+~ \infty$[. \item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et en 0. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ élément de l'intervalle I = [0,7~;~0,9],~$f(x)$ est aussi élément de I et que $|f'(x)| \leqslant 0,9$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On se propose dans cette partie de montrer que l'équation $f(x) = x$ a une solution unique dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et de donner une valeur approchée de cette solution à l'aide d'une suite. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty$[ par : \[g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $g$ en +~$\infty$ et en 0. \item Montrer que $g$ est une fonction strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique, que l'on notera $\alpha$, appartenant à l'intervalle I = [0,7~;~0,9]. Montrer que cette équation n'a pas d'autre solution dans $]0~;~+ \infty[$. \item Que peut-on en déduire pour l'équation $f(x) = x$ ? Sur le graphique joint en annexe, que l'on rendra avec la copie, figure la partie de la courbe $\mathcal{C}$ dont les points ont une abscisse comprise entre 0,7 et 0,9 et le segment [AB], où A et B sont les points de coordonnées respectives (0,7~;~0,7) et (0,9~;~0,9). Que représente le point de coordonnées ($\alpha~;~f(\alpha))$ pour la courbe $\mathcal{C}$ et le segment [AB] ? Placer ce point sur le graphique joint en annexe. \end{enumerate} \item On considère la suite réelle $(a_{n})$ définie par $a_{0} = 0,7$ et $a_{n+1} = f(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ a_{n}$ est élément de I. \item Construire sur le graphique joint en annexe les éléments de $(a_{n})$ pour $n = 1,~2,~3,~4$. Justifier que la suite n'est pas monotone. \item Démontrer, en utilisant l'inégalité des accroissements finis, que \[\left|a_{n+1}- \alpha \right| \leqslant 0,9\left|a_{n}- \alpha \right|~ \text{pour tout entier}~ n.\] \item Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que \[\left|a_{n} - \alpha \right| \leqslant (0,9)^n \times 0,2 ~\text{pour tout entier}~n.\] En déduire que la suite ($a_{n}$) converge vers $\alpha$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $x < \alpha$ alors $f(x) > \alpha$ et que si $x > \alpha$ alors $f(x) < \alpha$. On admet que, pour tout entier naturel $n$ pair, $a_{n} < \alpha$ et que pour tout entier naturel $n$ impair, $a_{n} > \alpha$. \item Le tableau de valeurs suivant a été écrit par un élève ayant recopié les résultats donnés par un logiciel informatique pour le calcul des valeurs approchées des termes de la suite $(a_{n})$, en ne retenant que les 5 premières décimales. Or, une valeur a été incorrectement recopiée. Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle on est sûr que la valeur approchée écrite de $a_{n}$ est incorrecte ? Pourquoi ? Soit $p$ cette valeur. Calculer à la calculatrice une valeur approchée de $a_{p}$ et vérifier la valeur approchée de $a_{p + 1}$ écrit dans le tableau. Peut-on affirmer à l'aide de ce tableau que $\np{0,80640} < \alpha < \np{0,80651}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \[\begin{array}{| c | c || c | c |} \hline ~~n =~~& a_{n} & ~~n =~~& a_{n}\\ \hline 0 & \np{0,70000} & 12 & \np{0,80523}\\ \hline 1 & \np{0,88730} & 13 & \np{0,80731}\\ \hline 2 & \np{0,75471} & 14 & \np{0,80588}\\ \hline 3 & \np{0,84371} & 15 & \np{0,80686}\\ \hline 4 & \np{0,78172} & 16 & \np{0,80619}\\ \hline 5 & \np{0,82383} & 17 & \np{0,80665}\\ \hline 6 & \np{0,79472} & 18 & \np{0,80633}\\ \hline 7 & \np{0,81461} & 19 & \np{0,80655}\\ \hline 8 & \np{0,80091} & 20 & \np{0,80640}\\ \hline 9 & \np{0,81029} & 21 & \np{0,80650}\\ \hline 10 & \np{0,80884} & 22 & \np{0,80643}\\ \hline 11 & \np{0,80826} & & \\ \hline \end{array}\] \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \end{center} Partie de la courbe $\mathcal{C}$ dont les points ont une abscisse comprise entre 0,69 et 0,91 et le segment [AB], où A et B sont les points de coordonnées respectives (0,7~;~0,7) et (0,9~;~0,9). \begin{center} \psset{xunit=30cm,yunit=30cm} \begin{pspicture}(0.68,0.68)(0.92,0.92) \psline(0.68,0.68)(0.92,0.92) \psline(0.68,0.68)(0.92,0.68) \psline(0.68,0.68)(0.68,0.92) \psline(0.7,0.68)(0.7,0.675) \psline(0.75,0.68)(0.75,0.675) \psline(0.8,0.68)(0.8,0.675) \psline(0.85,0.68)(0.85,0.675) \psline(0.9,0.68)(0.9,0.675) \psline(0.68,0.7)(0.675,0.7) \psline(0.68,0.75)(0.675,0.75) \psline(0.68,0.8)(0.675,0.8) \psline(0.68,0.85)(0.675,0.85) \psline(0.68,0.9)(0.675,0.9) \uput[ul](0.7,0.7){A} \uput[r](0.9,0.9){B} \rput(0.7,0.7){$\times$} \rput(0.9,0.9){$\times$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.68}{0.92}{1 x div 1 add ln} \uput[d](0.7,0.68){0,70} \uput[d](0.75,0.68){0,75} \uput[d](0.8,0.68){0,80} \uput[d](0.85,0.68){0,85} \uput[d](0.9,0.68){0,90} \uput[l](0.68,0.7){0,70} \uput[l](0.68,0.75){0,75} \uput[l](0.68,0.8){0,80} \uput[l](0.68,0.85){0,85}\uput[l](0.68,0.9){0,90} \rput{45}(0.77,0.75){$y = x$} \rput{-35}(0.87,0.7854){\blue $y = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole SEPTEMBRE 1999 - SÉRIE S \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 1999~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.} Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l'expérience suivante : On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l'urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute une boule noire dans l'urne. Puis on tire simultanément, et au hasard, trois boules de l'urne. \medskip \begin{enumerate} \item On appelle E$_0$ l'évènement : \og Aucune boule blanche ne figure parmi les trois boules tirées \fg{} et B l'évènement : \og Le jeton est tombé sur la face blanche \fg. \begin{enumerate} \item Calculer P(E$_0~ \cap $~ B), P (E$_0~ \cap \overline{\text{B}}$), puis P(E$_0$). \item On tire trois boules de l'urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est la probabilité que le jeton soit tombé sur la face noire ? \end{enumerate} \item On appelle E$_{1}$ l'évènement : \og Une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules tirées \fg{} et B l'évènement : \og Le jeton est tombé sur la face blanche \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement E$_{1}$. \item On effectue successivement quatre fois l'expérience décrite au début, qui consiste à lancer le jeton, puis à tirer les trois boules de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir, au moins une fois, une et une seule boule blanche ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsl{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv~ (unité graphique : 2~cm). On note $Z_{M}$ l'affixe d'un point $M$. Soit A le point d'affixe 4 et B le point d'affixe 4i. \begin{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel de $[0~;~2\pi[$ et $r$ un réel strictement positif. On considère le point $E$ d'affixe $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ et $F$ le point tel que O$EF$ est un triangle rectangle isocèle vérifiant $\left(\vect{\text{O}E},~\vect{\text{O}F}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'affixe de $F$ ? \item Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l'exercice. On choisira, uniquement pour cette figure : \[\theta = 5\dfrac{\pi}{6}~ \text{et}~ r = 3.\] \item On appelle P,~$ Q,~ R,~ S$ les milieux respectifs des segments [AB], [B$E$], [$EF],~ [F$A]. \begin{enumerate} \item Prouver que P$QRS$ est un parallélogramme. \item On pose : $Z = \dfrac{Z_{R} - Z_{Q}}{Z_{Q} -Z_{\text{P}}}$. Déterminer le module et un argument de $Z$. En déduire que P$QRS$ est un carré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes respectives des points P et $Q$. \item Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'aire du carré P$QRS$ ? \item $r$ étant fixé, pour quelle valeur de $\theta$ cette aire est-elle maximale ? Quelle est alors l'affixe de $E$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit le repère orthonormal direct \Ouv{} du plan complexe. Les points A, B et C sont définis par leurs affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 3 - \text{i}\sqrt{3}~;~z_{\text{B}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}~;~ z_{\text{C}} = 2 + \sqrt{3} + 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm. (On placera l'origine sur la gauche de la feuille). \item Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct. Soit G le centre de gravité du triangle OAB. Déterminer l'affixe $z_{\text{G}}$ de G. Dans la suite de l'exercice, on étudie deux isométries transformant [OA] en [GC]. \item Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes et R l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = az + b$. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ et $b$ pour que R(O) = G et R(A) = C. \item Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. \item Prouver que les droites (OA) et (GC) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des points G, B et C ? \item Construire, en justifiant la construction, l'image du triangle OAB par R. \end{enumerate} \item Soit $a'$ et $b'$ deux nombres complexes et $f$ l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = a'\overline{z} + b'$. \begin{enumerate} \item Déterminer $a'$ et $b'$ pour que $f$(O) = G et $f$(A) = C. \item Soit I le milieu du segment [OG]. Déterminer le point $f$(I). $f$ est-elle une réflexion ? \item Construire en justifiant la construction, l'image du triangle OAB par $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{ x}.\] On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$, dans un repère orthogonal \Oij{} du plan (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées). \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et 0. \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $x$. Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $\ln x(2 - \ln x)$. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$ dans \Oij. \item On pose pour $p \geqslant 1,~ I_{p} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}^2} \dfrac{(\ln x)^p}{x^2}\: \text{d}x$. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer : \[I_{1} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}^2} \dfrac{\ln x}{x^2}\: \text{d}x.\] \item Prouver, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $p$ supérieur ou égal à 1 : \[I_{p+1} = - \dfrac{2^{p + 1}}{\text{e}^2} + (p + 1)I_{p}.\] \item En utilisant les résultats précédents, calculer successivement $I_{2},~I_{3},~I_{4}$. \item On fait tourner autour de l'axe des abscisses l'arc de courbe constitué des points de $\mathcal{C}$, d'abscisses comprises entre 1 et e$^2$. Le point $M$ de $\mathcal{C}$, d'abscisse $x$, décrit alors un cercle de rayon $f(x)$. Calculer le volume du solide ainsi engendré, en unités de volume. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B :} \medskip Soit $a$ un réel strictement positif et $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. Soit T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$. \begin{enumerate}\item Écrire une équation de T$_{a}$. \item Déterminer les réels $a$, pour lesquels T$_{a}$ passe par l'origine O du repère. \item Donner une équation de chacune des tangentes à $\mathcal{C}$, passant par O. Tracer ces tangentes sur la figure. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C :} \medskip On étudie maintenant l'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{\text{e}^2}x$. \begin{enumerate} \item On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{1}(x) = x - \text{e} \ln x$. Montrer que $\varphi_{1}$ est strictement croissante sur ]e,~+$~\infty$[ et strictement décroissante sur ]0~;~e[. \item On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{2}(x) = x + \text{e} \ln x.$ \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $\varphi_{2}$ sur ] 0,~ +~$\infty$[. \item Prouver que $\varphi_{2}(x) = 0$ a une solution unique sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$. On appelle $\alpha$ cette solution ; donner un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-~1}$. \item En déduire que $\varphi_{2}(x) = 0$ a une seule solution sur $]0~;~+~\infty$[. \end{enumerate} \item Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau septembre 1999 \hypertarget{Sportifs}{} \label{Sportifs} \lfoot{\small Sportifs de haut-niveau} \rfoot{\small{septembre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau~\decofourright \\ septembre 1999}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité} Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et quatre boules noires. On prélève simultanément quatre boules dans l'urne. Les prélèvements sont supposés équiprobables. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'un prélèvement unicolore. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ? \item Démontrer que la probabilité d'un prélèvement bicolore est $\dfrac{68}{165}$. \end{enumerate} \item Déduire des résultats précédents la probabilité d'un prélèvement tricolore. \item Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux boules rouges sachant que le prélèvement est bicolore ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par E l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^3$ soit un nombre réel positif ou nul. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le point A d'affixe $ a = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ appartient-il à E ? \item On note B le point d'affixe $b = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$. Calculer un argument de $b$ et montrer que B appartient à E. \end{enumerate} \item On suppose $z \neq 0$ et on note $\theta$ un argument de $z$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\theta$ pour que $z^3$ soit un nombre réel positif. \item Après avoir vérifié que le point O appartient à E, déduire des résultats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que l'on déterminera. Placer les points A et B et représenter E sur une figure. \item À tout point $P$ d'affixe $z \neq 0$, on associe les points $Q$ d'affixe i$z$ et $R$ d'affixe $z^4$. On note F l'ensemble des points $P$ tels que l'angle $(\vect{\text{O}Q},~ \vect{\text{O}R}$) ait pour mesure $-~\dfrac{\pi}{2}$. Montrer que F est l'ensemble E privé du point O. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). \medskip \begin{enumerate} \item On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 + 4i et 5 + 2i. On considère la translation $t$ de vecteur $\vect{\text{BC}}$, la symétrie S d'axe (AB) et la transformation $f = t\circ~$ S. On désigne par A$'$ et B$'$ les images respectives de A et B par $f$. Calculer les affixes de A$'$ et B$'$ et placer les points A, B, C, A$'$ et B$'$ sur une figure. \item On rappelle que l'écriture complexe d'un antidéplacement est de la forme $z' = a\overline{z} + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $|a| = 1$. À tout point $M$ d'affixe $z$,~ $f$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$. Justifier que $f$ est un antidéplacement et démontrer que : \[z' = \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{38 - 6\text{i}}{5}.\] \item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. La transformation $f$ est-elle une symétrie ? \item On appelle D le point d'affixe 3 + 6i,~$\Delta$ la médiatrice de [BD] et S$'$ la symétrie d'axe $\Delta$. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $\Delta$ et (AB) sont parallèles. Déterminer S~$\circ$~S$'$. \item Montrer que $f \circ \text{S}'$ est la translation, notée $t'$, de vecteur $\vect{\text{DC}}$. En déduire que $f = t' \circ \text{S}'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Ce problème comporte trois parties \textbf{A, B} et \textbf{C}. Les parties \textbf{B} et \textbf{C} sont indépendantes. Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 4~cm). On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-~x}\right).\] On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variation de $f$. \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = - x + \ln \left(1 + \text{e}^x \right)$. En déduire que la courbe $\Gamma$ admet, en -~$\infty$, une asymptote, notée $(\Delta)$. \item Tracer $(\Delta)$ et $\Gamma$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = \dfrac{-~1}{1 + \text{e}^x}$. \item On note A, B et C les points de $\Gamma$ d'abscisses respectives 0, 1 et $- 1$. On appelle T$_{0}$,~T$_{1}$ et T$_{-1}$ les tangentes respectives à la courbe $\Gamma$ aux points A, B et C. \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite (BC) est parallèle à la droite T$_{0}$. \item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de T$_{1}$ et T$_{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur [0 ;~+~$\infty$[ par : \[u(t) = \ln(1 + t) - t \quad \text{et} \quad v(t) = \ln (1 + t) - t + \dfrac{1}{2}t^2.\] Étudier les variations de $u$ et $v$. En déduire que, pour tout nombre réel $t$ positif, on a : \[t- \dfrac{1}{2}t^2 \leqslant \ln(1 + t) \leqslant t.\] \item Soit $n$ un entier naturel ($n \geqslant 1$). On considère le nombre $S_{n} = f(1) + f(2) + \ldots + f(n)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : \[ \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{\text{e} - 1} - \dfrac{1}{2} . \dfrac{1 - \text{e}^{-2n}}{\text{e}^2 - 1} \leqslant S_{n} \leqslant \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{\text{e} - 1}.\] \item On admet que la suite $(S_{n})$ a une limite réelle L. Montrer que $\left|\text{L} - \dfrac{1}{\text{e} - 1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2\left(\text{e}^2 - 1\right)}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Sportifs de haut-niveau septembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 1999 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{septembre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 1999}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un appareil électronique envoie à une imprimante un code qui est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre ne pouvant prendre que les valeurs $0$ ou $1$ (par exemple : 1011). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien l'appareil peut-il fabriquer de codes distincts ? \hspace{-1,4cm} \textsl{On supposera dans ce qui suit que tous ces codes ont la même probabilité} \hspace{-1,4cm} \textsl{d'être produits}. \item Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de 1 figurant dans le code. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. \end{enumerate} \item Une imprimante a été choisie au hasard dans une série. À la suite d'études antérieures, on a observé cinq cas possibles. Dans le cas E$_{0}$, l'imprimante n'écrit que des $0$, quel que soit le code émis par l'appareil. Pour chaque élément $n$ de l'ensemble \{ 1,~ 2,~ 3\}, dans le cas E$_{n}$ l'imprimante écrit correctement les $n$ premiers caractères du code et n'écrit ensuite que des $0$. Par exemple, lorsque E$_{2}$ survient, tous les codes commençant par $01$ sont imprimés $0100$. Dans le cas E$_{4}$, l'imprimante fonctionne correctement. L'état de l'imprimante sera donc considéré comme le résultat d'une épreuve aléatoire ayant cinq issues possibles $\text{E}_{0},~\text{E}_{1},~\text{E}_{2},~ \text{E}_{3},~ \text{E}_{4}$. On admet que, pour chaque élément $n$ de l'ensemble \{ 0,~ 1,~ 2,~ 3\},~ $P(\text{E}_{n}) = 32 \times 10^{-3}$. Le code émis par l'appareil est indépendant de l'état de l'imprimante. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(\text{E}_{4})$. Pour la suite, C désigne l'évènement : \og le code imprimé est identique à celui émis par l'appareil \fg. \item On suppose que E$_{0}$ se produit. Quelle est la probabilité $P(\text{C}/\text{E}_{0})$ que le code imprimé soit quand même celui que l'appareil a envoyé ? En déduire la probabilité $P(\text{C} \cap \text{E}_{0})$. \item Déterminer de même $P(\text{C}/\text{E}_{n})$ puis $P(\text{C} \cap \text{E}_{n})$ pour tout élément $n$ de l'ensemble \{1,~ 2,~3,~4\}. En déduire $P$(C). \item Si le code imprimé est exactement celui émis par l'appareil, quelle est la probabilité que E$_{2}$ se soit produit ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On pose $I_{0} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin 3x\:\text{d}x$ et, pour tout nombre $n$ entier naturel non nul, $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x^n\sin 3x\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_{0}$. \item En utilisant une intégration par parties, calculer $I_{1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En effectuant deux intégrations par parties successives, déterminer, lorsque $n \geqslant 1,~I_{n+2}$ en fonction de $I_{n}$. \item Vérifier que $I_{3} = \dfrac{\pi^2}{108} - \dfrac{2}{27}$. \end{enumerate} \item Sans calculer l'intégrale $I_{n}$, \begin{enumerate} \item montrer que la suite $\left(I_{n}\right)_{n\in \N}$ est monotone ; \item pour tout nombre $n$ entier naturel non nul, comparer $I_{n}$ à $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x^n\:\text{d}x$.\\ \item déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On considère l'équation \[(1)\qquad :\quad 20b - 9c = 2.\] où les inconnues $b$ et $c$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si le couple $(b_{0}~;~c_{0}$ d'entiers relatifs est une solution de l'équation (1), alors $c_{0}$ est un multiple de 2. \item On désigne par $d$ le p.g.c.d. de $|b_{0}|$ et $|c_{0}|$. Quelles sont les valeurs possibles de $d$ ? \end{enumerate} \item Déterminer une solution particulière de l'équation (1), puis déterminer l'ensemble des solutions de cette équation. \item Déterminer l'ensemble des solutions $(b~;~ c)$ de (1) telles que p.g.c.d.$(b~;~c) = 2$. \item Soit $r$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2. Le nombre entier naturel $P$, déterminé par $P = \alpha_{n}r^n + \alpha_{n-1}r^{n-1} + ... + \alpha_{1}r + \alpha_{0}$ , où $\alpha_{n},~\alpha_{n-1},~ \ldots ,\: \alpha_{1},~ \alpha_{0}$ sont des nombres entiers naturels vérifiant $0 < \alpha_{n} < r,\:0 \leqslant \alpha_{n-1} < r, ...,$ $0 \leqslant \alpha_{0} < r$ est noté $\overline{\alpha_{n}\alpha_{n-1}\ldots\alpha_{1}\alpha_{0}}^{(r)}$ ; cette écriture est dite \og écriture de $P$ en base $r$ \fg. Soit $P$ un nombre entier naturel s'écrivant $\overline{ca5}^{(6)}$ et $\overline{bbaa}^{(4)}$ (en base six et en base quatre respectivement). Montrer que $a + 5$ est un multiple de 4 et en déduire les valeurs de $a$, puis de $b$ et de $c$. Donner l'écriture de $P$ dans le système décimal. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = x^2 +x - \dfrac{1 + \ln x}{x}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. Unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction auxiliaire $\varphi$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[\varphi(x) = 2x^3 + x^2 + \ln x.\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de $\varphi$. \item Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ a une solution unique qu'on appellera $\alpha$. Trouver le nombre entier naturel $p$ tel que : \[p \times 10^{-2} \leqslant \alpha < (p + 1) \times 10^{-2}.\] \item En déduire le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative $\mathcal{C}$ ? \item Étudier le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Soit la fonction $g$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par \[g(x) = x^2 + x.\] On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.\\ Préciser les positions relatives des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 & 0,2 & 0,4 & 2 & 2,5\\\hline $f(x)$ & & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] Les valeurs de $f(x)$ seront données à $10^{-2}$ près. \item Tracer $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. Unité graphique : 4~cm. À tout point $M$ d'affixe non nulle $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' = z^2 + z - \dfrac{1 + \ln |z|}{z}.\] On dit que $M'$ est l'image de $M$. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points P et Q d'affixes respectives $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et i. Calculer les affixes des images P$'$ et Q$'$ de ces points. Placer P, Q, P$'$ et Q$'$. \item \begin{enumerate} \item $\Delta$ est la demi-droite constituée des points d'affixe réelle strictement positive. Soit $M$ un point de $\Delta$, d'affixe $x$. Quelle est l'affixe de son image $M'$ ? \item En utilisant le tableau des variations de la fonction $f$, indiquer la valeur de $x$ pour laquelle l'abscisse de $M'$ est minimum. \item Définir et représenter l'ensemble $\Delta'$ des points $M'$ lorsque $M$ décrit la demi-droite $\Delta$. \end{enumerate} \item Le point $M$ décrit maintenant le cercle E de centre O et de rayon 1.\\ On note $\theta$ un argument de $z$,~ $\theta$ décrivant $[- \pi~;~ \pi]$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une représentation paramétrique de l'ensemble E$'$ des points $M$ est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x(\theta) & = & \cos 2\theta\\ y(\theta) & = & \sin 2\theta + 2 \sin \theta\\ \end{array}\right.\] \item Que peut-on dire des points E$'$ de paramètres respectifs $\theta$ et $- \theta$ ?\\ En déduire qu'il suffit de construire la partie E$'$ correspondant à l'ensemble $[0~;~ \pi]$ des valeurs de $\theta$ (partie qu'on désignera par E$'_{1}$ pour obtenir E$'$. \item Étudier conjointement les variations sur l'intervalle $[0 ~;~ \pi]$ des fonctions $x$ et $y$. \item Préciser les points d'intersection de E$'_{1}$ avec chacun des axes de coordonnées. \item Déterminer les points où E$'_{1}$ admet une tangente parallèle à l'un des axes de coordonnées. On admet qu'au point correspondant à la valeur $\pi$ du paramètre, E$'_{1}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \item Tracer E$'$ en utilisant avec précision les éléments obtenus précédemment. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie décembre 1999 \hypertarget{NouvelleCaledonie}{} \label{NouvelleCaledonie} \lfoot{\small Nouvelle-Calédonie} \rfoot{\small{décembre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie décembre 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, on considère les points A$(3~;~0~;~1)$, B$(0~;~- 1~;~ 2)$ et C$(1~;~- 1~;~ 0)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \item Soit D le point de coordonnées (1, 1, - 2). Calculer le produit scalaire du vecteur $\vect{\text{DA}}$ et du vecteur $\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par D et dont un vecteur directeur est $\vect{n}$. \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection H de cette droite avec le plan ABC. \item Calculer DH (distance du point D au plan ABC). \end{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point D$'$, symétrique du point D par rapport au plan ABC. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} ; unité graphique : 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les points A, B, et D d'affixes respectives $\sqrt{3} + \text{i}$,~ $\sqrt{3} - \text{i}$ et $- \dfrac{ 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$. \item On considère la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la translation T de vecteur d'affixe 1. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la rotation R. \item Déterminer l'affixe $z_{\text{D}'}$, du point D$'$, image du point D par la translation T. \item Placer les points A$'$,~ B$'$ et D$'$. \end{enumerate} \item Déterminer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}}$.\\ Justifier que la droite (OD$'$) est une médiatrice du triangle OA$'$B$'$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : $N = 9 n + 1$ et $M = 9n - 1$. \begin{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n = 2p$, avec $p$ entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n = 2p + 1$ , avec $p$ entier naturel. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2 - 1$. \begin{enumerate} \item Exprimer l'entier $81n^2 - 1$ en fonction des entiers $M$ et $N$. \item Démontrer que si $n$ est pair alors $81 n - 1$ est impair. \item Démontrer que $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si $n$ est impair. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle : \[y'- 2y = \text{e}^{ 2x}, \quad (\text{E}).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = x \text{e}^{2 x}$ est une solution de (E). \item Résoudre l'équation différentielle : $y'- 2y = 0$ \quad (E$_{0}$). \item Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $\R$ est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$). \item En déduire toutes les solutions de l'équation (E). \item Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B - Étude d'une fonction} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1) \text{e}^{2x} .\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en + ~$\infty$ puis la limite de $f$ en $-\infty$. \item Soit $x$ un nombre réel. Calculer $f'(x)$.\\ Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.\\ Préciser le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$. \item Soit un réel $\alpha$ strictement inférieur à $- 1$. On considère le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par $\mathcal{C}$, les droites d'équation $x = \alpha,~ x = - 1$ et l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire $\mathcal{D}(\alpha)$ du domaine $\mathcal{D}$. \item Déterminer la limite de $\mathcal{D}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $-\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C - Résolution d'une équation} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une solution unique $x_{0}$ dans l'intervalle [0,2~;0,3]. \item Recopier, puis compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0,05 & 0,1 & 0,15 & 0,2 & 0,25 & 0,3 \\ \hline $f(x)$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies avec une précision de $10^{-2}$ près par défaut. \item Sur le papier millimétré, ci-dessous, où les unités sont de 10 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées, tracer l'arc de la courbe $\mathcal{C}$ pour $x$ appartenant à $[0~;~0,3]$. Faire apparaître $x_{0}$ sur le graphique. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=10cm,yunit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(1,2.2) \psgrid[subgriddiv=50,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.3pt](0,0)(1,2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20]{->}(0,0)(1,2.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=1](0,0)(0.3,2.2) \end{pspicture} \end{center} \medskip Démontrer que $x_{0}$ satisfait à la relation : $x_{0} = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x_{0}+1}\right)$. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie D - Approximation de} \boldmath $x_{0}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur I = [0,2 ; 0,3] par \[h(x) = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x_{0}+1}\right).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de I,~$h(x)$ appartient à I. \item Démontrer que pour tout $x$ de I,~$|h'(x)| \leqslant 0,42$. \end{enumerate} \item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{0} = 0,2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = h(u_{n})$. \begin{enumerate} \item En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\left|u_{n+1} - x_{0}\right| \leqslant 0,42\left| u_{n} - x_{0}\right|$. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, déduire que, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n} - x_{0}| \leqslant 0,1 \times (0,42)^n$. \item Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. \item Déterminer un entier $p$ tel que $|u_{p} - x_{0}| \leqslant 10^{-5}$. \item On note $b$ la valeur de $u_{p}$ affichée sur la calculatrice. Déterminer $\beta$ valeur décimale approchée par défaut de $b$ à $10^{-5}$ près. Classer par ordre croissant les réels $f(\beta),~ f(\beta + 10^{- 5})$ et 2. En déduire la valeur décimale approchée par défaut de $x_{0}$ à $10^{- 5}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédoniedécembre 1999 \end{document}