\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,multido,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \setlength\parindent{5mm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small L'intégrale 1999} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STT 1999 \decofourright \\\vspace{0,5cm} L'intégrale de juin à octobre 1999}} \end{center} \vspace{2cm} {\Large \hyperlink{MetropoleACC}{Métropole ACA-ACC juin 1999} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{PolynesieACC}{Polynésie ACA-ACC juin 1999} \dotfill 6 \medskip \hyperlink{MetropoleACCsept}{Métropole ACA-ACC septembre 1999} \dotfill 8 \medskip \hyperlink{PondicheryIG}{Pondichéry CG-IG avril 1999} \dotfill 12 \medskip \hyperlink{AntillesCG}{Antilles--Guyane CG-IG juin 1999} \dotfill 15 \medskip \hyperlink{EtrangerCG}{Centres étrangers CG-IG juin 1999} \dotfill 18 \medskip \hyperlink{PolynesieIG}{Polynésie CG-IG juin 1999} \dotfill 23 \medskip \hyperlink{MetropoleCGsept}{Métropole CG-IG septembre 1999} \dotfill 26 \medskip \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau CG-IG octobre 1999} \dotfill 29 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole ACA ACC juin 1999 \hypertarget{MetropoleACC}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT A. C. C.-- A. C. A.~\decofourright\\Métropole juin 1999}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip Un magasin d'articles de jardin fait une promotion sur des tulipes et des jacinthes. Chacune de ces fleurs est de couleur blanche, rouge ou jaune. Il met en vente $500$ fleurs : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 25\,\% sont des jacinthes ; \item[$\bullet~~$] 30\,\% sont des fleurs blanches ; \item[$\bullet~~$] Il y a $250$ fleurs rouges, parmi elles 20\,\% sont des jacinthes ; \item[$\bullet~~$] Le quart des fleurs jaunes sont des tulipes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \diagbox{Fleur}{Couleur}&Blanche &Rouge &Jaune &Total\\ \hline Tulipes&&&&\\ \hline Jacinthes&&&&\\ \hline Total&&&& 500\\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans les questions 2. et 3. les résultats seront donnés sous forme de fractions puis sous forme décimale à $10^{- 2}$ près. \item On prend une fleur au hasard parmi les $500$. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements suivants : A : \og On a une fleur rouge \fg. B : \og On a une tulipe \fg. C : \og La fleur est rouge ou est une tulipe \fg. \item Vérifier que la probabilité de l'évènement D : \og La fleur n'est pas une jacinthe jaune \fg{} est $0,85$. \end{enumerate} \item On prend au hasard une tulipe. Quelle est la probabilité de l'évènement: \og C'est une tulipe rouge\fg ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{Dans cette partie on fait une étude graphique.} Une entreprise fabrique des jouets qu'elle vend par lots. On admet que le coût de fabrication en francs d'un nombre $x$ de lots, $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18], est donné par la fonction dont la courbe $(C)$ est jointe. Chaque lot est vendu 125 F. La recette est donc donnée par $R(x) = 125x$. \medskip \begin{enumerate} \item Tracer la droite (D) d'équation $y = 125x$ dans le même repère que $(C)$ (Voir graphique ci-après). \item L'entreprise ne vend que des nombres entiers de lots. Déterminer graphiquement les valeurs du nombre $x$ de lots pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice. Justifier la réponse. \item \begin{enumerate} \item On appelle M le point d'abscisse $8$ qui est sur $(C)$. Donner une valeur approchée de son ordonnée. \item On appelle N le point d'abscisse $8$ qui est sur $(D)$. Calculer son ordonnée. \item Mesurer sur le graphique la longueur MN. Que représente-t-elle ? \end{enumerate} \item En s'inspirant de la méthode graphique qui précède, donner en le justifiant, le nombre de lots à vendre pour réaliser le bénéfice maximal. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise désire faire une étude plus précise de son bénéfice. On étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~18] par : \[f(x) = 4x^3 - 96x^2 + 576x + 100.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. \item Vérifier, en développant et en détaillant les calculs, que pour tout $x$ de [0~;~18] : \[f'(x) = 12(x - 4)(x - 12)\] \item Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ élément de [0~;~18]. \item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0~;~18]. La fonction $f$ a pour représentation graphique la courbe $(C)$. \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &12 &13 &14 \\ \hline $R(x) - f(x)$ & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Que représente la différence $R(x) - f(x)$ ? \item Les résultats obtenus dans le tableau de la question 5. sont-ils conformes à ce qui a été constaté graphiquement à la question 4. de la partie A ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.0055cm} \begin{pspicture}(-2,-50)(19,2900) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(19,2900) \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2800)} \multido{\n=0+100}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)} \uput[d](1,0){1}\uput[l](0,100){100} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x 3 exp 4 mul x dup mul 96 mul sub 576 x mul add 100 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole ACC-ACA juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie ACC-ACA juin 1999 \hypertarget{PolynesieACC}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT A. C. C.-- A. C. A.~\decofourright\\Polynésie juin 1999}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne, en francs, le montant des achats effectués par \np{2000}~personnes dans un magasin un jour donné. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Montant des achats& Centre de classe& Effectif\\ \hline [0 ; 100[ &50 &150\\ \hline [100 ; 200[ &150 &380 \\ \hline [200 ; 300[ &250 &800\\ \hline [300 ; 400[ &350 &320\\ \hline [400 ; 500[ &450 &300\\ \hline [500 ; 600[ &550 &50\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer à $0,1$ près, la moyenne $\overline{x}$ et l'écart type $\sigma$ de cette série statistique en considérant les centres des classes affectés des effectifs correspondants. \item On interroge au hasard une personne ayant acheté dans ce magasin. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que le montant de ses achats soit supérieur ou égal à $400$ francs ? \item Quelle est la probabilité pour que le montant de ses achats soit strictement inférieur à $300$ francs ? \end{enumerate} \item On décide d'interroger une personne dont le montant des achats dans ce magasin est supérieur ou égal à $300$~francs. Quelle est la probabilité, à $0,01$ près, pour que le montant de ses achats soit supérieur ou égal à 400 francs ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} \medskip Une entreprise fabrique $x$ quintaux d'un certain produit, $x$ compris entre $0 $ et $8$. On suppose que toute la production est vendue. Le coût total de fabrication, exprimé en milliers de francs, est fonction de la quantité $x$ produite. On le note $C(x)$, $C$ étant la fonction coût total dont la représentation graphique $\mathcal{C}$, dans un repère orthogonal, est donnée ci-après. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer par lecture graphique : \begin{enumerate} \item le coût de fabrication, en francs, de 8 quintaux de ce produit, \item la quantité fabriquée, en quintaux, pour un coût de fabrication de \np{196000}~francs. \end{enumerate} \item La recette totale est exprimée en milliers de francs à l'aide d'une fonction R définie sur l'intervalle [0~;~8] par $R(x) = 55x$. Tracer la représentation graphique $\mathcal{R}$ de cette fonction dans le même repère que $\mathcal{C}$, sur la feuille donnée ci-après. \item Déterminer le bénéfice réalisé, en francs, par l'entreprise pour la fabrication de 8 quintaux de ce produit. \item Déterminer graphiquement à partir de quelle quantité (exprimée à $0,1$ près) de produit vendu, le bénéfice est positif ou nul. Justifier la réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le coût de fabrication, en milliers de francs, est donné par : \[C(x) = - x^3 + 11 x^2 + 16x + 20,\:\: x\:\: \text{compris entre 0 et 8}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice, en milliers de francs, réalisé par l'entreprise est: \[B(x) = x^3 -11 x^2 + 39x - 20, \:\: x\:\: \text{compris entre 0 et 8}.\] \item Déterminer la fonction dérivée $B'$ de $B$ et montrer que $B'(x) = (x - 3)(3 x - 13)$. \item Étudier le signe de $B'$ sur l'intervalle [0~;~8] et donner le tableau de variations de la fonction $B$. \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline$x$&0&1&2&3&4&$\dfrac{13}{3}$&5&6&7&8\\ \hline $B(x)$&&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \medskip \item Tracer la courbe représentative $\mathcal{B}$ de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~8] dans un repère orthogonal. Unités graphiques : - 1~cm pour 1 quintal en abscisse - 1 cm pour 10 milliers de francs en ordonnée. \end{enumerate} \item Comment peut-on retrouver le résultat de la question 4 de la partie A à l'aide de la courbe $\mathcal{B}$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip L'entreprise décide de placer à intérêts composés au taux de 5,5\,\% l'an le bénéfice réalisé par la vente de 8 quintaux. Déterminer la valeur acquise, en francs, par cette somme au bout de $5$ ans de placement, valeur arrondie à l'unité près. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.025cm} \begin{pspicture}(-0.5,-20)(9,360) \multido{\n=0.0+0.1}{91}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)} \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)} \multido{\n=0+4}{91}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)} \multido{\n=0+40}{10}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)} \uput[l](0,20){20} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=400]{->}(0,0)(9,360) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{x dup mul 11 mul x 3 exp sub 16 x mul add 20 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Polynésie ACC-ACA juin 1999 \newpage %%%%%%%%%% Métropole ACC-ACA septembre 1999 \hypertarget{MetropoleACCsept}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Métropole~\decofourright\\ septembre 1999}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \vspace{0,25cm} Dans un magasin de produits informatiques, 50 personnes ont acheté un produit et un seul dans les rayons suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item matériel d'impression ; \item logiciel ; \item livre. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} De plus : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 20\:\% ont payé en argent liquide, les autres ayant payé par chèque ou carte ; \item la moitié de ceux qui ont payé par chèque ou carte ont acheté un logiciel; \item aucun logiciel n'a été payé en argent liquide; \item le nombre de personnes ayant acheté du matériel d'impression est le même que celui des personnes ayant acheté un livre; \item les 3/5 des personnes ayant acheté un livre ont payé en argent liquide. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Quel est le pourcentage de personnes ayant payé par chèque ou carte ? En déduire le nombre de ces personnes. \item Expliquer comment on trouve que 15 personnes ont acheté un livre. \item Compléter le tableau suivant après l'avoir recopié. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}&Matériel d'impression& Logiciel &Livre &Total \\ \hline Chèque ou carte&&&& \\ \hline Argent liquide&&&& \\ \hline Total &&&&50 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Quel est le pourcentage de personnes ayant acheté un logiciel ? \emph{Dans les questions $5$. et $6$., les résultats seront donnés d'abord sous forme d'une fraction puis sous forme décimale à un centième près.} \medskip \item On choisit au hasard une des 50 personnes, on considère les évènements suivants : E : \og la personne a acheté du matériel d'impression \fg{} ; F : \og la personne a payé en argent liquide \fg{} ; G : \og la personne a acheté du matériel d'impression en le payant en argent liquide \fg. Calculer la probabilité des évènements E, F, G. En déduire celle de E $~\cup~$ F. \item Quelle est la probabilité qu'une personne qui a acheté du matériel d'impression paie par chèque ou carte ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} Une entreprise fabrique des ordinateurs. Lorsqu'elle produit $x$ ordinateurs ($1 \leqslant x \leqslant 10$) on sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] le coût de fabrication comprenant la main d'{\oe}uvre et la matière première est $40x$ (en centaines de francs) ; \item[$\bullet~$] le coût d'étude est $\dfrac{\np{1000}}{x}$ (en centaines de francs) ; \item[$\bullet~$] le coût total est la somme des coûts de fabrication et d'étude. \end{itemize} Pour étudier le coût total, on introduit les fonctions $g$ et $h$ définies sur l'intervalle $[1~;~10]$ par : \[g(x) = 40x \quad \text{et} \quad h(x) = \dfrac{1000}{x}.\] On note $\mathcal{D}$ la courbe représentative de $g$ et $\mathcal{H}$ celle de $h$. $\mathcal{D}$ et $\mathcal{H}$ sont représentées sur la figure 1. Le bénéfice (ou la perte) réalisé, exprimé en centaines de francs, est représenté par la courbe $\mathcal{B}$ donnée à la figure 2. \medskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-50)(11,1000) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(-1,-50)(11,1000) \multido{\n=0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,1000)} \multido{\n=0+25}{41}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{10}{40 x mul} \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{10}{1000 x div} \uput[d](7.5,120){$\mathcal{H}$} \uput[u](7.5,300){$\mathcal{D}$} \rput(5.5,-120){Figure 1} \rput(11,100){Nombre}\rput(11,50){d'ordinateurs} \rput(1.75,1025){En centaines de francs} \end{pspicture} \vspace{1,5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(-1,-70)(11,60) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,-55)(11,60) \multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-55)(\n,55)} \multido{\n=-55.0+2.5}{45}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)} \multido{\n=-55+10}{12}{\uput[l](0,\n){\n}} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{10}{500 12.25 div x mul 50 12.25 div x dup mul mul sub 50 12.75 mul 12.25 div sub} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](7.5,120){$\mathcal{H}$} \uput[u](7.5,300){$\mathcal{D}$} \rput(5.5,-65){Figure 2} \rput(10.5,-7){Nombre}\rput(10.5,-10){d'ordinateurs} \rput(1.75,60){En centaines de francs} \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \textbf{Partie A - Étude graphique} \end{center} \emph{Dans cette partie, les résultats seront lus graphiquement.} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau (en centaines de francs) après l'avoir recopié. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 1& 5& 10 \\ \hline Coût de fabrication &&& \\ \hline Coût d'étude &&& \\ \hline Coût total &&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Donner la valeur de $x$ pour laquelle les deux coûts sont identiques. (Justifier) \item Combien doit-on produire d'ordinateurs pour que le coût d'étude devienne inférieur strictement à celui de fabrication ? (Justifier) \item Combien doit-on produire d'ordinateurs pour que l'entreprise réa lise un bénéfice ? (Justifier) \item Donner l'intervalle sur lequel le bénéfice est décroissant. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B - Recherche d'un coût total minimum} \end{center} On introduit la fonction $f$ définie sur $[1~;~10]$ par : \[f(x) = 40x + \dfrac{\np{1000}}{x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que : \[f'(x) = \dfrac{40(x - 5)(x + 5)}{x^2} \] \item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[1~;~10]$. \item Compléter le tableau de valeurs après l'avoir recopié. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&1&2&4&5&6&8&10 \\ \hline $f(x)$&&&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans le repère orthogonal tel que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 1 cm représente une unité sur l'axe des abscisses ; \item[$\bullet~$] 1 cm représente 100 unités sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Pour combien d'ordinateurs fabriqués le coût total est-il minimum ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole ACC-ACA septembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%% Pondichéry IG-CG avril 1999 \hypertarget{PondicheryIG}{} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{avril 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Pondichéry avril 1999}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Une entreprise fabrique des téléphones mobiles avec deux options possibles ajoutées au modèle standard que l'on notera option A ou option B. Sur un échantillon de \np{1000}~commandes une étude statistique a fait apparaître les résultats suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 20\,\% des commandes sont faites avec l'option A ; \item parmi les commandes avec option A, 15\,\% ont aussi l'option B ; \item parmi les commandes sans option A, 4\,\% ont l'option B. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de commandes& avec option A& sans option A& Total\\ \hline avec option B&&&\\ \hline sans option B&&&\\ \hline Total&&& \np{1000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On prend une commande au hasard dans l'échantillon. On définit les évènements suivants : $A$ : la commande comprend l'option A ; $B$ : la commande comprend l'option B ; \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ puis la probabilité de l'évènement $B$. \item Définir par une phrase les évènements $A \cap B$ et $A \cup B$, puis calculer la probabilité de ces deux évènements. \item Soit l'évènement $C$ : la commande comporte une et une seule option. Déterminer la probabilité de l'évènement $C$. \end{enumerate} \item On choisit une commande au hasard parmi les commandes avec option A de l'échantillon. Soit l'évènement $E$ : la commande ne comprend pas l'option B. Déterminer la probabilité de l'évènement E. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Un hôtel veut renouveler une partie de son équipement. Il faut changer au moins $72$~coussins, $48$~rideaux et $32$~jetés de lit. Deux ateliers de confection font des offres par lots: \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item l'atelier Idéa : un lot de 12 coussins, 4 rideaux et 4 jetés de lit pour un montant de \np{2000} F. \item l'atelier Rénov : un lot de 6 coussins, 6 rideaux et 2 jetés de lit pour un montant de \np{1500} F. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On notera $x$ le nombre de lots Idéa achetés et $y$ le nombre de lots Rénov achetés. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les contraintes du problème portant sur $x$ et $y$ sont traduites par un système d'inéquations équivalent au système (S) suivant : \[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant&0\\ y&\geqslant&0\\ 2x + y&\geqslant&12\\ 2x + 3y&\geqslant&24\\ 2x + y &\geqslant& 16 \end{array}\right.\] \item Résoudre graphiquement le système $(S)$ dans un repère orthonormal (unité : 1~cm). Hachurer l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées ne vérifient pas le système $(S)$ en expliquant votre démarche pour l'une des inéquations. \item \begin{enumerate} \item Exprimer la dépense occasionnée par l'achat de $x$ lots Idéa et $y$ lots Rénov. \item Montrer que l'ensemble des couples $(x~;~y)$ occasionnant la dépense $D$ sont les coordonnées des points d'une droite $\left(\Delta_{D}\right)$ dont on donnera une équation sous la forme $y = ax + b$. \item Tracer la droite $\left(\Delta_{D}\right)$ dans le cas particulier où $D = \np{24000}$~F. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement le nombre de lots de chaque type à acheter pour obtenir une dépense minimale. Calculer cette dépense minimale. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip On donne la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 2x + 1 - x \ln x\] et sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité : 1~cm) ; voir ci-après. La droite (AB) est tangente au point A(1~;~3). Le point C$\left(\text{e}^2~;~1\right)$ appartient à la courbe, le point K(0~;~1) n'appartient pas à la courbe, B a pour coordonnées (0~;~2). \bigskip \textbf{Partie A} \textbf{Étude graphique} \medskip Les questions de cette partie A ne seront pas résolues par le calcul mais uniquement par lecture graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(1)$, le nombre dérivé de $f$ en $1$. \item Résoudre $f(x) > 1$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $1$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \textbf{Étude de } \boldmath$f$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $f(x) = x(2 - \ln x) + 1$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. \item Résoudre $1 - \ln x > 0$. En déduire le signe de $f'$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \textbf{Étude de points particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les images exactes des réels $\frac{1}{\text{e}},\: \sqrt{\text{e}},\: \text{e},\: \text{e}^2$. \item Reproduire et compléter le tableau. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &8 &8,1 &8,2 &8,3 &8,4 &8,5\\ \hline $f(x)$ & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip On donnera les valeurs arrondies à $10^{- 2}$ près. Donner, en le justifiant, un encadrement d'amplitude $10^{- 1}$ de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$. \item Trouver une équation de la tangente au point d'abscisse e$^2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \textbf{Détermination d'une primitive} \medskip \begin{enumerate} \item On donne la fonction $G$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[G(x) = \dfrac{x^2}{2} \left(\ln x - \dfrac{1}{2} \right).\] Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x \ln x$. \item Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer, en centimètres carrés, l'aire du domo une plan limité par la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}^2$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(-2,-4)(11,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-2,-4)(11,5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{11}{2 x mul 1 add x ln x mul sub} \psplot{-1.5}{3}{x 2 add} \uput[ul](0,1){K}\uput[ul](0,2){B}\uput[ul](1,3){A}\uput[ur](7.4,1){C} \uput[d](7.39,0){$\text{e}^2$} \uput[d](10.9,0){$x$}\uput[l](0,4.9){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Pondichéry CG-IG avril 1999 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane CG-IG juin 1999 \hypertarget{AntillesCG}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Antilles-Guyane juin 1999}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les droites D$_{1}$, D$_{2}$, D$_{3}$ et D$_{4}$ d'équations respectives : \renewcommand\arraystretch{1.8} \[\begin{array}{l c l} y&=&- \dfrac{5}{6}x + \dfrac{50}{3}\\ y&=&- \dfrac{2}{5}x + 15\\ y&=&- \dfrac{5}{4}x + 20\\ y&=&- x + 12 \end{array}\] \renewcommand\arraystretch{1} \begin{enumerate} \item Construire ces droites dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. Unité graphique : 1~cm. \item Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites D$_{1}$ et D$_{2}$. \item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &\geqslant&0\\ y &\geqslant&0\\ 5x + 6y &\leqslant&100\\ 2x + 5y &\leqslant&75\\ 5x + 4y &\leqslant& 80 \\ x + y &\geqslant&12 \\ \end{array}\right.\] On hachurera la partie du plan qui ne convient pas. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour la fabrication de tartes on utilise de la farine, du beurre et des fruits. Le tableau ci-dessous nous donne la quantité des différents composants, exprimée en grammes, selon la nature de la tarte. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Farine en g &Beurre en g &Fruits en g\\ \hline Tarte à pâte brisée &250 &100 &500\\ \hline Tarte à pâte feuilletée &300 &250 &400\\ \hline \end{tabularx} \medskip Un restaurateur fabrique $x$ tartes à pâte brisée et $y$ tartes à pâte feuilletée et chaque jour il dispose de $5$~kg de farine, de $3,750$~kg de beurre et $8$~kg de fruits ; de plus il doit fabriquer au moins $12$~tartes chaque jour. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ et $y$ doivent être solution du système de la première partie 3. Les couples suivants vérifient-ils le système d'inéquations donné : \[ (10~;~1) \quad;\quad (13~;~2)\quad \text{et} \quad(10~;~10)\:\: ?\] \item Le bénéfice du restaurateur est de $35$~F sur une tarte à pâte brisée et de $40$~F sur une tarte à pâte feuilletée. Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice B réalisé par la vente de $x$ tartes à pâte brisée et de $y$ tartes à pâte feuilletée. Construire dans le repère de la première partie la droite à laquelle appartiennent les points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ correspondant à un bénéfice de $560$~F. En expliquant la méthode, déterminer le nombre de tartes de chaque sorte à fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \emph{Chaque probabilité sera exprimée sous forme de fraction irréductible.} \medskip Dans une boite un jeune enfant dispose de quatre cubes : un jaune, un rouge, un vert, un bleu, et de deux boules : une rouge et une verte. Il prend au hasard un objet puis, sans remettre le premier tiré, il en prend un second. Il obtient ainsi un couple d'objets que l'on appellera \og tirage \fg{} : (cube bleu ; cube rouge) est un tirage possible. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'un arbre, trouver le nombre de tirages possibles. \item Trouver la probabilité de chacun des évènements suivants : A : \og il a obtenu deux cubes \fg{} ; B : \og il a obtenu deux boules \fg{} ; C : \og il a obtenu soit un cube et une boule, soit une boule et un cube» ; D : \og il a obtenu deux objets de la même couleur \fg{} ; E : \og il a obtenu deux objets de couleur différente \fg{}. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm) on considère la courbe $C$ représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$ construite ci-après. \medskip \begin{enumerate} \item Lire $f(1)$ ; $f(\text{e})$ ; $f'(1)$. \item Lire le sens de variation de $f$. Faire son tableau de variations. \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 1$ puis l'équation $f(x) = 4$. \item Donner, à l'aide du graphique, une valeur approchée à $0,5$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$. En déduire, selon les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$. \item Hachurer l'ensemble délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. Donner, en unité d'aire, une valeur approchée à une unité près, de l'aire de cet ensemble. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{L'étude de cette partie consiste à vérifier par le calcul certains résultats de la partie précédente.} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$ par \[f(x) = 2x(1 - \ln x) + 1\] et représentée par la courbe $C$ donnée dans la première partie. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur exacte de $f(1)$ ; $f(\text{e})$ ; $f\left(\frac{1}{\text{e}}\right)$ ; $f\left(\text{e}^2\right)$. \item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de $f$ et étudier son signe. \item Établir le tableau de variations de $f$. \item Trouver une équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse e et construire cette tangente sur le graphique. \item Résoudre sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$, par le calcul, l'équation $f(x) = 1$. \item \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$ par \[F(x) = \dfrac{3}{2} x^2 - x^2 \ln x + x.\] Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$. \item Calculer l'aire exacte, exprimée en unité d'aire, de la partie de plan délimitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. Exprimer cette aire en cm$^2$ puis en donner une valeur approchée à $0,1$~près (en cm$^2$). \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-7)(8,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-7)(8,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.368,0){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[d](2.71828,0){e} \uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.368}{5.57}{1 x ln sub x mul 2 mul 1 add } \psline[linestyle=dashed](0.368,0)(0.368,2.472) \psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,1) \psline{<->}(0.5,3)(1.5,3) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Antilles CG-IG juin 1999 \newpage %%%%%%%%%% Centres étrangers CG-IG juin 1999 \hypertarget{EtrangerCG}{} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Centres étrangers juin 1999}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Un établissement scolaire compte $240$~élèves en terminale STT, parmi lesquels il y a $130$~internes. Ces élèves sont répartis entre 3 spécialités : ACC, ACA, CG. Il y a 66 élèves en ACA. 30\,\% des élèves sont en ACC, dont 40 internes. 25\,\% des élèves sont des internes de CG. \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}&ACA &ACC &CG &Total\\ \hline Internes & & & & 130\\ \hline Externes & & & &\\ \hline Total &66 & & &240\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Dans cette question, les réponses seront données à $10^{- 3}$ près. \begin{enumerate} \item Un élève est choisi au hasard parmi les $240$ élèves de STT. Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants : $E_{1}$ : \og L'élève suit la spécialité ACA \fg. $E_{2}$ : \og L'élève est externe \fg. $E_{3}$ : \og L'élève est externe et suit la spécialité ACA \fg. $E_{4}$ : \og L'élève ne suit pas la spécialité CG \fg. \item Calculer $p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)$. \end{enumerate} \item Au baccalauréat, parmi ces $240$ élèves, 80\,\% des internes et 70\,\% des externes ont été reçus. Quel est le pourcentage de réussite pour l'ensemble des $240$~élèves ? (On donnera le résultat à $0,1$\,\% près.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Introduction :} Le tableau suivant donne la distance de freinage nécessaire à une automobile circulant sur une route humide pour s'arrêter. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Vitesse de l'automobile $x_{i}$, en km/h& 30 &40 &50 &60 &70 &80 &90 &100 &110 &120\\ \hline Distance de freinage $d_{i}$ en mètres& &18 &26 &40 &58 &76 &98 &120 &148 &180 212\\ \hline \end{tabularx} \medskip Cette série statistique est représentée ci-dessous par un nuage de points, que l'on a ajusté graphiquement par une droite. \begin{center} \psset{xunit=0.07cm,yunit=0.028cm} \begin{pspicture}(-5,-25)(160,260) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=50](0,0)(160,250) \multido{\n=0+4}{41}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,250)} \multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,250)} \multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)} \multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(160,\n)} \psdots[dotscale=1.3](30,18)(40,26)(50,40)(60,58)(70,76)(80,98)(90,120)(100,148)(110,180)(120,212) \uput[d](125,-15){Vitesse de l'automobile (km/h)} \uput[u](30,250){Distance de freinage (m)} \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](28,0)(136,230) \end{pspicture} \end{center} On se propose d'améliorer cet ajustement. Pour cela, on considère le tableau statistique suivant, où $x_{i}$ désigne la vitesse de l'automobile et $y_{i}$ la racine carrée de la distance de freinage : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$&30&40&50&60&70&80&90&100&110&120\\ \hline $y_{i} = \sqrt{d_{i}}$&4,24&5,10&6,32&7,62&8,72&9,90&10,95&12,17&13,42&14,56\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, avec pour unités graphiques : en abscisse 1~cm pour 10~km/h ; en ordonnée 1 cm pour une unité. \item On appelle $G_{1}$ le point moyen des 5 premiers points de ce nuage et $G_{2}$ le point moyen des 5 derniers points. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$. \item Démontrer qu'une équation de la droite $\left(G _{1}G_{2}\right)$, est $y = 0,116x + 0,6$. \item Tracer cette droite sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant l'équation de la droite $\left(G _{1}G_{2}\right)$, déterminer une estimation de $y$ si la vitesse de l'automobile était de $140$~km/h. En déduire la distance de freinage, à $1$~m près, correspondant à cette vitesse. \item À l'aide de la droite d'ajustement de la figure de l'introduction, estimer graphiquement la distance de freinage à $140$~km/h. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\] On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on a $f'(x) = - \dfrac{\ln x}{x^2}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de $(\mathcal{C})$ avec l'axe des abscisses. \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. \item Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[F(x) = \ln x + \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$. \item Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte de $I$ en fonction de $\ln 2$). En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4]. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Centres étrangers CG-IG juin 1999 \newpage %%%%%%%%% Métropole CG-IG juin 1999 \hypertarget{MetropoleCGsept}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Métropole juin 1999}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Un club de loisirs organise une sortie à laquelle participeront cent personnes. Pour la pause du matin le responsable de la journée prévoit d'emporter au moins deux croissants par personne, au moins deux confiseries par personne et au moins cent cinquante boissons. Un premier fournisseur lui propose des lots A comprenant trois croissants, une confiserie et une boisson pour un prix de trente francs. Un second fournisseur lui propose des lots B comprenant un croissant, deux confiseries et une boisson pour un prix de vingt-cinq francs. On se propose de déterminer le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B à acheter pour que le coût soit minimum. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les contraintes sous la forme d'inéquations portant sur $x$ et $y$. \item À tout couple $(x~;~y)$ de nombres réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans un repère orthonormal \Oij{} ; (on choisira un cm pour dix unités). Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} x & \geqslant &0\\ y & \geqslant &0\\ 3x + y & \geqslant &200\\ x + 2y & \geqslant &200\\ x + y &\geqslant &150 \end{array}\right.\] Hachurer la partie du plan qui ne convient pas. \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la dépense occasionnée par l'achat de $x$ lots A et de $y$ lots B. \item Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de \np{4950}~francs. \item Déterminer graphiquement le nombre de lots A et de lots B à acheter pour que la dépense soit minimale. Quelle est cette dépense ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Un sac contient cinq boules, indiscernables au toucher, portant respectivement les nombres 1,\: 2,\: 3,\: 4\: et 5. On tire une boule du sac ; on lit le nombre inscrit sur cette boule et on la remet dans le sac. On répète cette opération une deuxième fois. Déterminer le nombre de tirages possibles. Déterminer la probabilité des évènements suivants : A : \og la somme des 2 nombres lus est égale à 10 \fg B : \og la somme des 2 nombres lus est égale à 1 \fg C : \og la somme des 2 nombres lus est égale à 6 \fg D : \og la même boule est tirée deux fois de suite\fg \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = - x^2 - 2 + 2\ln x\] dont on donne ci-dessous la représentation graphique. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-6)(3,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=3]{->}(0,0)(-2,-6)(3,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=3]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.136}{2.385}{x ln 2 mul x dup mul sub 2 sub} \psline[linestyle=dashed](0,-3)(1,-3)(1,0) \end{pspicture} \end{center} Par lecture graphique : \begin{enumerate} \item donner le tableau de variations de $g$, \item déterminer le signe de $g(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip e Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = - x + 5 - 2\dfrac{\ln x}{x}.\] On désigne par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. \item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. \item En déduire le signe de $f'$, puis le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Tracer $C$ dans le repère \Oij. On précisera les valeurs décimales approchées de $f(x)$ à $0,01$ près pour les valeurs entières de $x$ allant de $1$ à $10$ inclus. \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = (\ln x)^2.\] Calculer la dérivée de $h$. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Mettre en évidence sur le dessin la partie $E$ du plan limitée par la courbe $C$, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$, et l'axe des abscisses. Calculer l'aire de $E$ en cm$^2$. On donnera sa valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $0,01$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole CG-IG juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie CG-IG juin 1999 \hypertarget{PolynesieIG}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Polynésie juin 1999}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1&2&3\\ \hline 4 &5 &6\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On dispose d'un tapis de jeu à six cases, numérotées de $1$ à $6$ (voir la figure précédente), ainsi que de deux jetons, l'un rouge et l'autre vert. On pose au hasard : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item le jeton rouge sur l'une des cases, \item puis le jeton vert sur l'une des cases vides restantes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de dispositions possibles de ces deux jetons sur le tapis? \item Quelle est la probabilité $p$ que les deux jetons occupent des cases portant l'une un numéro pair, l'autre un numéro impair ? Quelle est la probabilité $q$ que les deux jetons occupent des cases portant des numéros pairs ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que la somme des numéros des deux cases occupées soit supérieure ou égale à $8$ ? \item Quelle est la probabilité pour que la somme des numéros des deux cases occupées soit strictement inférieure à $8$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Le tableau suivant présente l'évolution du taux de chômage, en pourcentage de la population active, au Japon, entre les années 1950 et 1996. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1950 &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985 &1990 &1995 &1996\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$&0 &10 &15 &20 &25 &30 &35 &40 &45 &46\\ \hline Taux $y_{i}$ (en\,\%)&1,2 &1,6 &1,6 &1,2 &1,1 &2,0 &2,6 &2,1 &3,1 &3,4\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\footnotesize(Sources: Problèmes économiques. La Documentation Française. Avril 1998)}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal : 1 cm représente cinq années sur l'axe des abscisses, 1 cm représente un taux de chômage de 0,5\,\% sur l'axe des ordonnées. \item Déterminer les coordonnées du point moyen A de ce nuage. Le placer sur le graphique. \item On prend pour droite d'ajustement de ce nuage la droite $(\mathcal{D})$ passant par A et de coefficient directeur égal à $0,04$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite $(\mathcal{D})$. \item Tracer la droite $(\mathcal{D})$ sur le graphique. \end{enumerate} \item Si on utilisait l'ajustement précédent (équation déterminée à la question 2. a.) : \begin{enumerate} \item Quel serait le taux de chômage prévisible au Japon pour l'année 2000 ? \item À partir de quelle année le taux prévisible dépasserait-il à nouveau 3,2\,\% ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 12 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal. La courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ tracée ci-après est la courbe représentative d'une fonction $F$ définie sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-1.5)(2,4) \uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){1}\uput[dl](-1,0){$- 1$}\uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,-1){$- 1$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{x dup mul x 1 sub 2.71828 x exp mul add} \psline(-2,-1)(2,-1) \end{pspicture} \end{center} On admettra que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$F(-1) \approx 0,26$ ; \item[$\bullet~~$]$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x) = + \infty$ ; \item[$\bullet~~$]la tangente à $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ au point de coordonnées $(0~;~- 1)$ est parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ : \begin{enumerate} \item Déterminer $F(0)$ et $F'(0)$. \item Dresser le tableau de variation de $F$ sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item On se propose d'étudier la fonction dérivée $f$ de la fonction $F$, sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item Déterminer $f(0)$. \item L'un des tracés ci-dessous est celui de la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ de la fonction $f$. Déterminer lequel, en justifiant la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.5,-5)(1.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=6](0,0)(-1.5,-5)(1.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[ul](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{2 2.71828 x exp add x mul neg} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.5,-3)(1.5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=6](0,0)(-1.5,-3)(1.5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[ul](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \uput[r](0,-1){$- 1$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{2.71828 x exp 3 mul 4 sub} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.5,-3)(1.5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=6](0,0)(-1.5,-3)(1.5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[ul](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{2 2.71828 x exp add x mul} \end{pspicture}\\ Graphique 1& Graphique 2 & Graphique 3\\ \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour toute la suite du problème, on admet que, pour tout $x$ de $[- 1~;~+ \infty[$ \[F(x) = x^2 + (x - 1)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $f(x) = x\left(\text{e}^x + 2\right)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Calculer $f(- 1)$. On en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $0,01$ près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x)$ peut s'écrire sous la forme $f'(x) = (x + 1)\text{e}^x + 2$. En déduire que, pour tout $x$ de $[- 1~;~+ \infty[$, $f'(x) > 0$. \item Déterminer une équation de la droite $(\mathcal{D})$, tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ au point de coordonnées (0~;~0). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Que représente la fonction $F$ pour la fonction $f$ ? \item Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$. On en donnera exacte puis une valeur approchée à $0,1$ près. \end{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de $I$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie CG-IG juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole CG-IG septembre 1999 \hypertarget{MetropoleCGsept}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G. Métropole~\decofourright\\septembre 1999}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Pour décorer sa vitrine de Noël, un commerçant a besoin d'au moins 50 boules multicolores, d'au moins 12~guirlandes et d'au moins 26~mètres de tissu argenté. Deux grossistes proposent : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] l'un, le lot A constitué de 10 boules multicolores, 3 guirlandes, 8 mètres de tissu argenté, pour une somme de 165~francs; \item[$\bullet~$] l'autre, le lot B constitué de 20 boules multicolores, 4 guirlandes, 2 mètres de tissu argenté, pour une somme de 110~francs. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le but de l'exercice est de déterminer le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B que le commerçant doit acheter pour que la dépense soit minimale. \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes du problème. \item On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité 2~cm). Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x& \geqslant &0\\ y& \geqslant &0\\ x+2y &\geqslant& 5\\ 3x+4y& \geqslant& 12\\ 4x+y& \geqslant& 13 \end{array}\right.\] On hachurera la partie du plan ne convenant pas. \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la dépense $D$ occasionnée par l'achat de $x$ lots A et $y$ lots B. \item Tracer dans le plan la droite $\Delta$ correspondant à une dépense $D$ de $880$~francs. \item Déterminer graphiquement le nombre $x_{0}$ de lots A et le nombre $y_{0}$ de lots B pour lesquels la dépense est minimale. Calculer cette dépense minimale. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Une entreprise fabrique des vêtements. Dans le tableau suivant, on a indiqué pour les sept premiers mois de l'année 1998 la production journalière moyenne de pulls. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &Janvier &Février &Mars &Avril &Mai &Juin &Juillet \\ \hline Rang $x_{i}$ du mois& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline Production journalière $y_{i}$&\np{2000} &\np{2100} &\np{2600} &\np{2650} &\np{2700} &\np{3000} &\np{3150} \\ \hline \end{tabularx} \medskip La direction devra fermer l'atelier de fabrication des pulls si la production journalière moyenne n'atteint pas \np{3500}~pulls pour la fin de l'année 1998. On considère le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessus, relativement à un repère orthogonal \Oij. On prendra les unités suivantes : $\bullet~$ en abscisse : 1 cm par rang de mois ; $\bullet~$ en ordonnée : 1 cm pour 200 pulls produits. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter ce nuage dans le repère \Oij. \item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer dans ce repère. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G$_{1}$ associé aux quatre premiers points du tableau, puis celles du point moyen G$_{2}$ associé aux trois derniers points. \item Déterminer une équation de la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ et la tracer. \end{enumerate} \item On admet que la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ réalise un ajustement convenable du nuage. \begin{enumerate} \item Déterminer par calcul la production journalière moyenne de pulls en décembre 1998. \item Comment peut-on retrouver graphiquement ce résultat ? \end{enumerate} \item L'atelier de fabrication des pulls a-t-il été fermé fin 1998 ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip Le repère \Oij{} est orthonormal (unité 2~ cm). On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2 -4 \ln x\] La courbe $\mathcal{C}$ est présentée ci-dessous. \psset{unit=1.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-3)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](4.5,2){$\mathcal{C}$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.33}{4.55}{x dup mul 0.5 mul 2 sub x ln 4 mul sub} \psline{<->}(1.25,-2.773)(2.75,-2.773) \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip Au moyen du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes: \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'affirmation suivante : \og l'équation $f(x) = 0$ possède deux solutions $\alpha$ et $\beta. (\alpha < \beta$ \og. \item Donner un encadrement de chacune de ces solutions par deux entiers consécutifs. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'inéquation $f(x) < 0$. \item Résoudre l'inéquation $f'(x) > O$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. \item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ \[f(x) = x^2 \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{x^2} - 4 \dfrac{\ln x}{x^2}\right).\] Calculer alors : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Établir le tableau de variations de $f$. (On calculera la valeur exacte du minimum). \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. \item Reproduire et compléter le tableau suivant. On donnera des valeurs décimales approchées de $f(x)$ à $0,01$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0,4 &0,9 &0,5 &0,6 &0,7 &0,8 \\ \hline $f(x)$&&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip En déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 + 2x - 4 x \ln x.\] Montrer que $F$ est une primitive de $f$. \item Soit A $= \displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Donner la valeur exacte de A. \item En déduire une valeur décimale approchée à $0,01$ près de l'aire, en cm$^2$, de la portion de plan comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droite d'équations $x = 4$ et $x = 5$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole CG-IG septembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau octobre 1999 \hypertarget{Sportifs}{} \lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}} \rfoot{\small{octobre 1999}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT C.G.-I.G.~\decofourright\\ Sportifs de haut niveau octobre 1999}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Deux joueurs possèdent chacun un sac contenant trois pions de couleurs différentes : un noir, un blanc, et un rouge. Le premier joueur pose devant lui un pion tiré au hasard dans son sac, puis le second joueur effectue le même geste. Un joueur gagne s'il est seul à avoir posé un pion noir. \begin{enumerate} \item On note N$_1$, B$_1$, R$_1$ les pions respectivement noir, blanc et rouge du premier joueur, et de même N$_2$, B$_2$, R$_2$ ceux du second joueur. Décrire par un arbre tous les résultats possibles de ce jeu, en indiquant pour chacun d'eux le gagnant éventuel. \item En utilisant cet arbre, déterminer les probabilités de chacun des évènements : A : \og Aucun joueur ne gagne \fg{} ; B : \og Le second joueur gagne \fg{} ; C : \og Le premier joueur pose son pion noir et il ne gagne pas \fg. \item Le premier joueur a posé son pion noir devant lui ; quelle est la probabilité qu'il gagne ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation \[x^2 + 203x - 410 = 0.\] \item Dans un supermarché, le chef du rayon électricité effectue son bilan trimestriel. Au mois d'octobre, son chiffre d'affaires est de $\np{20000}$~F. \begin{enumerate} \item Au mois de novembre, le chiffre d'affaires, noté $N(x)$, est en hausse de $x\,\%$ par rapport à celui du mois d'octobre. Exprimer $N(x)$ en fonction de $x$. \item Le chiffre d'affaires du mois de décembre, que l'on note $D(x)$, a été en augmentation de $(x + 3)\,\%$ par rapport à celui du mois de novembre. Exprimer $D(x)$ en fonction de $N(x)$ , puis vérifier que \[D(x) = \np{20600} + 406x + 2x^2.\] \item On sait qu'au mois de décembre le chiffre d'affaires est de $\np{21420}$~F. Utiliser la question \textbf{1.} pour trouver $x$ et en déduire les taux d'augmentation respectifs des chiffres d'affaires entre octobre et novembre, et entre novembre et décembre. \end{enumerate} \item Si les chiffres d'affaires avaient subi une même augmentation de $t\,\%$ entre octobre et novembre, et entre novembre et décembre, quelle valeur approchée à $10^{-3}$ près par défaut faudrait-il donner à $t$ pour que le chiffre d'affaires de décembre soit aussi de $\np{21420}$~ F, celui d'octobre étant toujours de $\np{20000}$~ F ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \medskip La figure ci-après comporte, dans le repère orthonormal \Oij~ d'unité graphique 2~cm, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ est celle d'une fonction $f$ définie sur $\R$. On admet que la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$. On admet aussi que la droite $\Delta$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $-\infty$ \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite $\Delta$ sous la forme : $y = mx + p$. \item Donner, en justifiant, la limite de $f$ en $- \infty$. \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$. \item Déterminer graphiquement une valeur approchée à $10^{-1}$ près de chacune des solutions de l'équation $f(x) = 0$. On placera sur la courbe $\mathcal{C}$ donnée les points A et B ayant permis cette résolution graphique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur par \[f(x) = \text{e}^x - x - 2.\] \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. -\item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\:\text{d}x$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près. \item Faire apparaître sur la figure ci-dessous, et commenter, l'interprétation graphique de cette intégrale. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit la fonction $g$ définie sur un intervalle I de $\R$ par \[ g(x) = ax + \ln (x + b),\] $a$ et $b$ étant deux nombres réels que l'on veut déterminer. Soit $\mathcal{C}'$ sa courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij~ de la figure ci-dessous. \begin{enumerate} \item Sachant que la courbe $\mathcal{C}'$ passe par les points E$(0~;~\ln 2)$ et F$(-1~;~1)$, montrer que les réel $a$ et $b$ sont respectivement $- 1$ et $2$. \item On sait désormais que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle I = $]-2~;~+ \infty[$ et on admet que la limite de $g$ en $+ \infty$ est $- \infty$. Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $-2$ . Interpréter graphiquement ce résultat. \item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la dérivée de $g$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$. Étudier le signe de $g'(x)$ puis établir le tableau de variations de $g$ sur $]- 2~;~+ \infty[$ \item Montrer que tout réel $ $strictement supérieur à $-2$ vérifiant $f(x) = 0$ est aussi solution de l'équation $g(x) = 0$. Interpréter ce résultat pour la courbe $\mathcal{C}'$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}'$ en faisant apparaître tous les renseignements obtenus dans les questions ci-dessus. \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-5,-3.5)(4,4.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(-5,-4)(4,5) \psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-4)(4,5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[d](3.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$} \uput[d](2.2,4){$\mathcal{C}$} \uput[ur](1,-3){$\Delta$} \psline(-5,3)(1.5,-3.5) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-5}{2.158}{2.71828 x exp x sub 2 sub} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Sportifs de haut-niveau CG-IG octobre 1999 \end{document}