\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small A. P. M. E. P.} %\chead{\small L'intégrale 2005} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STL 2004 \decofourright \\\vspace{1cm}L'intégrale de juin à septembre 2004}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Metrobio}{Métropole Biochimie juin 2004} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Polynesiebio}{Polynésie Biochimie juin 2004} \dotfill 5 \hyperlink{Metrobiosep}{Métropole Biochimie septembre 2004} \dotfill 7 \medskip \hyperlink{MetroChimie}{Métropole Chimie de laboratoire juin 2004} \dotfill 9 \medskip \hyperlink{MetroChimiesep}{Métropole Chimie de laboratoire septembre 2004} \dotfill 11 \medskip \hyperlink{MetroPhysique}{Métropole Physique de laboratoire juin 2004} \dotfill 13 \medskip \hyperlink{MetroPhysiquesep}{Métropole Physique de laboratoire septembre 2004} \dotfill 15 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Biochimie juin 2004 \hypertarget{Metrobio}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat STL Biochimie--GŽénie biologique}\lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STL Métropole juin 2004~\decofourright\\ Biochimie - GŽénie biologique}} \vspace{0,25cm} Calculatrice autorisŽée \vspace{0,25cm} DurŽée de l'Žépreuve : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Des rŽésultats expéŽrimentaux} \medskip On peut estimer l'‰âge de très vieux troncs d'arbres de deux façons : $\bullet~$ d'une part, en Žétudiant les anneaux de croissance ; $\bullet~$ d'autre part, en mesurant la radioactivitéŽ rŽésiduelle du carbone 14. On a ainsi analyséŽ d'anciens morceaux de sŽéquoias et de pins par les deux méŽthodes. Voici le tableau des rŽésultats obtenus : $t$, est l'‰âge, en milliers d'annŽées, donnŽé par la mŽéthode des anneaux de croissance ; $A_i$ est la radioactivitŽé rŽésiduelle expriméŽe en unitŽé de radioactivitŽé. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$&0,5&1&2&3&4&5&6,3&7,8\\ \hline $A_i$&14,5&13,5&12&10,8&9,9&8,9&8&6,8\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et complèŽter le tableau suivant où $\ln A_i$, est le logarithme néŽpŽérien de $A_i$. On arrondira les valeurs trouvŽées au centime le plus proche. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ &0,5 &1 &2 &3 &4 &5 &6,3&7,8\\ \hline $y_{i} = \ln A_{i}$ &2,67 & & & & & & &1,92\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer le nuage de points $M_i\left(t_{i}~;~y_i\right)$ On prendra en abscisses : 1 cm pour 500~ans ; en ordonnéŽes : 5 cm pour une unitéŽ. \item \begin{enumerate} \item DéŽterminer une Žéquation de la droite $D$ passant par le premier et le dernier point de ce nuage. \item Calculer les coordonnŽées du point moyen $G$ de ce nuage. \item Le point $G$ appartient-il ˆ $D$ ? \item Placer $G$ et $D$ sur le dessin précédent. \end{enumerate} \item On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la mŽéthode des anneaux de croissance) vieux de 5\,700 ans. Donner alors la radioactivitŽé rŽésiduelle qu'on lui trouverait en utilisant la droite $D$ prŽécéŽdente : \begin{enumerate} \item graphiquement, en faisant apparaî”tre sur le dessin les traits permettant la lecture du rŽésultat ; \item par le calcul, en prenant pour Žéquation de $D : y = -0,1 t + 2,72$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \textbf{Des rŽésultats théŽoriques} \vspace{0,4cm} \textbf{Partie A} \medskip Les êtres vivants contiennent du carbone 14 radioactif (constamment renouvelŽé) qui se maintient à la valeur de 15,3 unitŽés. À leur mort, ce carbone 14 n'est plus renouvelŽé ; il est dŽésintégré à une vitesse proportionnelle, à ˆ tout instant, au carbone 14 encore prŽésent dans l'organisme. On montre que le coefficient de proportionnalitŽé est voisin de 0,123. Ainsi, la radioactivitŽé du carbone 14 prŽésent dans un organisme à ˆ l'instant $t$ après sa mort ($t$ exprimŽé en milliers d'annŽées), notéŽe $f(t)$, véŽrifie les deux conditions : \[f'(t)=- 0,123f(t)\qquad \text{et} \qquad f(0) = 15,3.\] RéŽsoudre l'Žéquation difféŽrentielle $y'= - 0,123 y$ et $y(0) = 15,3$. \vspace{0,3cm} \textbf{Partie B} \medskip On Žétudie sur $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f$ dŽéfinie par \[f(t) = 15,3 \text{e}^{-0,123t}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. \item En dŽéduire l'existence d'une asymptote (que l'on prŽécisera) à ˆ $\mathcal{C}$ courbe repréŽsentative de $f$ dans un repère orthogonal. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout nombre $t$ positif, calculer $f'(t)$, où $f'$ dŽésigne la dŽérivŽée de $f$. \item ƒÉtudier le signe de $f'(t)$ et en dŽéduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Construire $\mathcal{C}$ en prenant : $\bullet~$ 2 cm pour 5 milliers d'annŽées en abscisses, $\bullet~$ 1 cm pour 1 unitŽé en ordonnŽées. (On placera les points d'abscisses: 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 et 30). \item Placer sur le dessin préŽcŽédent la tangente T ˆ $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \vspace{0,3cm} \textbf{Partie C} \medskip On considère que la fonction $f$ donnŽée dans la partie B donne la radioactivitŽé du carbone 14 dans un organisme après sa mort, en fonction de $t$ (en milliers d'annŽées). \begin{enumerate} \item On trouve dans une grotte des dŽébris d'os prŽésentant une radioactivitŽé Žégale à 10,2 unitŽés. Estimer l'‰âge de ces dŽébris à l'aide d'une lecture graphique. \item Lorsque la radioactivitŽé devient inféŽrieure à $1\,\%$ de sa valeur initiale, le calcul de $f(t)$ est entachŽé de trop d'incertitude pour permettre de dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. Trouver àˆ partir de quel âge, un organisme ne peut plus être datŽé au carbone 14. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole Biochimie juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie Biochimie juin 2004 \hypertarget{Polynesiebio}{} \lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{ juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie juin 2004~\decofourright\\ Biochimie - Génie biologique }} \vspace{0,8cm} Calculatrice autorisée \vspace{0,5cm} Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient : 2 La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les deux exercices peuvent être traités indépendamment l'un de l'autre. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Une personne possède une cave de \np{2400} bouteilles de vin, rouge et blanc, de trois régions, Bordeaux, Bourgogne et Loire. La moitié de ses vins sont des Bordeaux, et il y a deux fois plus de bouteilles venant de Bourgogne que de bouteilles venant de Loire. $75\,\%$ des vins sont rouges et, parmi eux. $54\,\%$ viennent du Bordelais. Dans les vins de Loire, il y a autant de blancs que de rouges. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}& Bordeaux & Bourgogne & Loire & Total\\ \hline Blanc & & & & \\ \hline Rouge & & & & \\ \hline Total & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On prend, au hasard, une bouteille dans cette cave. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : \og le vin est blanc \fg{} ; B : \og le vin vient de Bordeaux \fg, puis la probabilité des évènements A$~\cap~$B et A$~\cup~$B. \item On choisit une bouteille de vin blanc. Calculer la probabilité que ce soit un Bordeaux. \item On choisit une bouteille de Bourgogne. Calculer la probabilité que ce soit un vin blanc. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip On injecte dans le sang 100~mg d'un médicament A. Pendant l'élimination naturelle, la dose restant dans le sang à l'instant $t$ est donnée en mg par la fonction $f$ définie par : \[f(t) = 100\text{e}^{-0,4t}\] où $t$ est exprimé en heure. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip Étude de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Calculer $f'(t)$ et justifier son signe. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal (unités : 1~cm pour 1~h en abscisse et 1~cm pour 10~mg en ordonnée). Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point A d'abscisse 0. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip On injecte une deuxième dose de 100~mg huit heures après la première. \begin{enumerate} \item Calculer la dose totale dans le sang juste après cette deuxième injection. \item La dose restant dans le sang après la deuxième injection est donnée en mg par la fonction $g$ définie sur $[8~;~+ \infty[$ par \[g(t) =100\text{e}^{-0,4t} \left(1 + \text{e}^{- 3,2}\right)\] où $t$ est exprimé en heure. Tracer T et $\mathcal{C}$ sur [0~;~8] puis la courbe $\mathcal{C}'$ représentative de $g$ sur [8~;~16]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \medskip On répondra aux questions suivantes par lecture graphique. On considère que le médicament est efficace lorsque la dose restant dans le sang est supérieure à 20~mg. \begin{enumerate} \item Au bout de combien de temps la première injection perd-elle son effet ? \item Sur quels intervalles de temps le médicament agit-il ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie Biochimie juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole Biochimie septembre 2004 \hypertarget{Metrobiosep}{} \lhead{\small STL Biochimie--Génie biologique} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL France septembre 2004 \decofourright\\ Biochimie--Génie biologique}} \end{center} \normalsize{} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Afin de mettre en évidence le réchauffement de l'atmosphère (effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète. Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) depuis 1974. \begin{center} {\begin{tabular}{|l|*{7}{c|}}\hline Année : $x_i$&1974 &1978 &1982 &1986 &1990 &1994 &1998\\ \hline Température :& & & & & & &\\ $y_i$ (en °C)& 19,12&19,70 &19,62 &20 &20,60 &20,88 &20,92 \\ \hline \end{tabular}} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~ y_i\right)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour origine le point (1970~;~19) et comme unités graphiques : $1$ cm pour $2$ ans sur l'axe des abscisses $5$ cm pour $1$ degré sur l'axe des ordonnées. Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ? \item On désigne par G$_1$ le point moyen des trois premiers points du nuage et par G$_2$ le point moyen des quatre derniers. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ et tracer la droite (G$_1$G$_2$) sur le graphique. \item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$). On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage. \end{enumerate} \item Si la tendance se confirme, déterminer \begin{enumerate} \item la température que l'on peut prévoir en 2005, à l'aide d'une lecture graphique ; \item par le calcul, en quelle année la température aura dépassé $22\up{o}$ C. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip La désintégration radioactive du Zirconium 95 se fait en deux étapes : formation de Niobium (Nb) puis transformation qui conduit à un isotope stable. On s'intéresse à l'évolution du $^{95}$Nb en fonction du temps. À l'instant $t$ (exprimé en jours), on note $N(t)$ le nombre d'atomes de $^{95}$Nb. On admet que sur l'intervalle $[0~;~+ \infty [$, l'expression de $N(t)$ est : \[N(t) = 200\left(\text{e}^{-0,01t} - \text{e}^{-0,02t}\right).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $N$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : $1$ cm pour $10$ jours sur l'axe des abscisses et $1$ cm pour $10$ unités sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Calculer $N(0)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $N(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$. \item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $N'$ dérivée de $N$ vérifie \[N'(t) = 200 \text{e}^{-0,02t}\left(0,02 - 0,01\text{e}^{0,01t}\right).\] \item Résoudre l'équation $N'(t) = 0$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près de la solution $t_0$ de cette équation. \item Résoudre dans $[0~;~+ \infty [$ l'inéquation $N'(t) \geqslant 0$. En déduire le tableau de variations de la fonction $N$. Préciser la valeur exacte de $N\left(t_{0}\right)$. \end{enumerate} \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle [0~;~150]. \item Déterminer graphiquement l'intervalle de temps pour lequel $N(t) \geqslant 40$. (On laissera apparaître sur la figure les constructions utiles). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Biochimie septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Chimie de laboratoire juin 2004 \hypertarget{MetroChimie}{} \lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL juin 2004~\decofourright\\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 3 heures \vspace{0,5cm} \begin{center} Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4 \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Une partie de dé est organisée selon les règles suivantes : on mise 2 \euro{} puis on lance un dé parfaitement équilibré ; pour la sortie du 6 on reçoit 6 \euro{} ; pour la sortie du 5 on reçoit 2 \euro{} ; pour la sortie du 4 on reçoit 1 \euro{} et dans les autres cas on ne reçoit rien. On appelle gain d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale. \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Établir la loi de probabilité de $X$ \item Déterminer l'espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \item Un joueur se présente il a en poche 2,50 \euro. \begin{enumerate} \item Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue d'une partie ? \item Déterminer la probabilité qu'il puisse jouer deux parties. \item On suppose qu'il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue des deux parties ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant d'inconnues complexes $z$ et $z'$ : \[\left\{\begin{array}{l c l} z + \text{i}z'&=&-1\\ z - z' &= & 2 + \text{i}\\ \end{array}\right.\] On donnera les solutions sous forme algébrique. \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv d'unité graphique 3 cm. \begin{enumerate} \item Placer dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1,~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = -2 + \text{i}$. \item Calculer les modules des nombres complexes : $z_{\text{B}} - z_{\text{C}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$. Donner une interprétation géométrique de ces résultats. \item On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l'affixe du point I puis calculer la distance BI. \item Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2 cm. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item On rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0$ pour tout $n$ entier naturel. En remarquant que $f(x) = x^2\text{e}^x - 5x\text{e}^x + 7\text{e}^x$, déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f'(x) = (x^2 - 3x + 2)\text{e}^x$. \item Déterminer le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$. Dresser le tableau de variations de $f$ (on donnera les valeurs exactes de $f(1)$ et de $f(2)$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \item Que peut-on dire de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 ? et au point d'abscisse 2 ? \end{enumerate} \item Reproduire puis compléter le tableau suivant : \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$- 2$ &$- 1$ &0 &1 &2 &2,5\\ \hline $f(x)$ & & & & & &\\ \hline \end{tabularx}\] On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près par défaut. \item Construire la droite T et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Hachurer sur le dessin la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $x = 1$ et les deux axes du repère. On appelle $\mathcal{A}$ son aire, en cm$^2$. \item En utilisant la partie 1 montrer que pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] on a : \[7 \leqslant f(x) \leqslant 3\text{e}.\] \item En déduire l'encadrement suivant : \[7 \leqslant \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x \leqslant 3\text{e}.\] \item En utilisant l'encadrement ci-dessus justifier que l'aire $\mathcal{A}$ est comprise entre 28 et 33 cm$^2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[g(x) = \left(x^2 - 7x+ 14\right)\text{e}^x.\] Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $\R$. \item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis la valeur arrondie à l'unité près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole Chimie de laboratoire juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole Chimie de laboratoire septembre 2004 \hypertarget{MetroChimiesep}{} \rhead{\small STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels} \rfoot{\small{septembre 2004}} \lfoot{\small{Métropole}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2004~\decofourright\\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels }} \vspace{0,5cm} \textbf{\emph{\footnotesize L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation \[z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\] \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. Soit les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i} \quad ; \quad z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i} \quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}.\] \begin{enumerate} \item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. \item Construire les points A, B et C. \item Calculer $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{B}}\right|$. \item Quelle est la nature du triangle OAB ? (justifier la réponse). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique. \item Montrer que C est le milieu du segment [OA]. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier la réponse). \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Une urne contient trois boules : une jaune J, une verte V et une rouge R, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules dans l'urne, en remettant la première, après avoir noté sa couleur, avant de tirer la deuxième. On appelle résultat, un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage, et le second élément celle obtenue au second tirage. Par exemple, le couple (J ; V) est un résultat différent du couple (V ; J). \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des 9 résultats possibles (on pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre). \item On convient de la règle de jeu suivante, associée au tirage précédent : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] pour chaque boule jaune tirée, le joueur perd $3$~\euro{}; \item[$\bullet~$] pour chaque boule verte tirée, le joueur gagne $1$~\euro{}; \item[$\bullet~$] pour chaque boule rouge tirée, le joueur gagne $k$~\euro{} (où $k$ est un nombre positif). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne par X la variable aléatoire qui à tout tirage associe le gain (positif ou négatif) du joueur. Par exemple, pour le tirage (J ; V) le gain est de $- 2$ \euro. \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. \item Donner la loi de probabilité de X \item Calculer l'espérance E(X) de la variable X en fonction de $k$. \item Quelle valeur faut-il donner à $k$ pour que le jeu soit équitable ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = - 2x^2 - 1 + \ln x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de $]0~ ;~ + \infty[$. Étudier son signe sur $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~ + \infty[$. (On ne demande pas les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition). \item En déduire que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[,~g(x) < 0$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = -x + 1 - \dfrac{1}{2} \times x \dfrac{\ln x}{x}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[$. \item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[,~ f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$. \item Déduire de la \textbf{partie A.} le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer $f(1)$. En déduire le signe de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Dans le plan muni du repère \Oij, tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0~ ;~ + \infty[$ par $F(x) = - \dfrac{1}{2}x^2 + x - \dfrac{1}{4}(\ln x)^2$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer l'intégrale I $ = \displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. (on donnera la valeur exacte). \item \begin{enumerate} \item Hachurer sur le graphique la partie $\mathcal{E}$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =1$ et $x =$ e. \item Déduire de la question \textbf{2.} de la \textbf{partie C} la valeur exacte de l'aire $S$ de $\mathcal{E}$ en cm$^2$, puis en donner la valeur arrondie en cm$^2$, au mm$^2$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole Chimie de laboratoire septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%% Physique de laboratoire Métropole juin 2004 \hypertarget{MetroPhysique}{} \lhead{\small Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2004~ \decofourright\\Physique de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 3 heures \vspace{0,5cm} \begin{center} Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient : 4 Ce sujet nécessite l'utilisation de deux feuilles de papier millimétré \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip L'iode 131 est un produit radioactif. Tout échantillon d'iode 131 a sa masse qui diminue régulièrement par désintégration. \begin{enumerate} \item Dans un premier livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d'iode 131 diminue de $8,3\,\%$ chaque jour. On dispose d'un échantillon de masse initiale M$_0$ = 100 g. \begin{enumerate} \item Calculer, arrondie au dixième, la masse M$_1$ de l'échantillon au bout d'une journée puis sa masse M$_2$ au bout de deux jours. \item On note $M_n$ la masse de l'échantillon au bout de $n$ jours. Démontrer que la suite $\left(M_n\right)$ est une suite géométrique. \item Calculer la masse M$_{10}$ de l'échantillon au bout de 10 jours, arrondie au dixième. \end{enumerate} \item Dans un second livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d'iode 131 est une fonction du temps, $M : t \longmapsto M(t)$ qui est solution de l'équation différentielle : \[M'(t) = \lambda \cdot M(t)\qquad (\text{E})\] où $t$ est le temps exprimé en jours et $\lambda$ une constante réelle. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation (E). \item Sachant que lorsque $t = 0$, la masse de l'échantillon est de 100 g, exprimer $M(t)$ en fonction de $t$ et de $\lambda$. \item Calculer $M(1)$ en fonction de $\lambda$. Pour quelle valeur de $\lambda$ a-t-on $M(1) = 91,7$ ? On donnera une valeur approchée de $\lambda$ arrondie au dix-millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1 cm). i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$. À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan complexe, on fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[z'= (1 + \text{i})z - 2\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre complexe $z$ tel que $z'= z$. \item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} =2$ et $z_{\text{B}} = - 1 + 3\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$. Que peut-on dire du point A$'$ ? \item Placer les points A, B et B$'$ dans le repère \Ouv. \item Démontrer que le triangle ABB$'$ est un triangle rectangle et isocèle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier l'égalité : $\left|z'\right| = \sqrt{2} \times | z - (1 + \text{i})|$. \item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$. Interpréter géométriquement $|z|$ et $|z- (1 + \text{i})|$. \item Déduire des questions précédentes l'ensemble (D) des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z'| = \sqrt{2} \times |z|$ et tracer (D) dans le repère précédent. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 2x+1 + \dfrac{1}{\text{e}^x + 1}\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées). \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0,~ x$ réel positif. En déduire que $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on précisera l'équation. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Montrer que la droite D d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D. \item \begin{enumerate} \item Calculer, pour tout $x$ réel strictement positif, le nombre dérivé $f'(x)$. Montrer que, pour tout $x$ réel strictement positif, \[f'(x) = 2 \dfrac{\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)}{\left(\text{e}^x - 1\right)^2 }.\] \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. En déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout $x > 0$, \[f(x) = ax + b + \dfrac{c\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}.\] \item Hachurer la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$. Déterminer l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Physique de laboratoire Métropole juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2004 Physique de laboratoire \hypertarget{MetroPhysiquesep}{} \lhead{\small Baccalauréat STL } \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL France septembre 2004~\decofourright\\Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \vspace{0,25cm} Le sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré \end{center} Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Soit l'équation différentielle (E) : $y'' + 4y = 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = 0$. \item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = 2 \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right)$. \item Résoudre l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ sur l'intervalle $[0 ~;~2\pi]$. \item Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{8}\right]$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Dans P, les points A et B ont pour affixes respectives 8 et 8i. \begin{enumerate} \item On appelle D l'image de A par la rotation R$_{1}$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ et C l'image de B par la rotation R$_{2}$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ de $\C$ dans $\C$ associées respectivement aux rotations R$_{1}$ et R$_{2}$. \item Calculer les affixes des points C et D. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un m\^eme cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer le cercle $\mathcal{C}$ dans le plan $P$ et représenter les points A, B, C et D. \item Quelle est la nature du triangle OCD ? \end{enumerate} \item On note $a$ l'affixe du vecteur $\vect{\text{AD}}$ et $b$ celle du vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$. Montrer que $b = a\sqrt{3}$. En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème } \hfill 10 points} \medskip Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie sur $\R$ par \[f(x) = 2 - \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ puis quand $x$ tend vers $- \infty$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes $D$ et $D'$ dont on donnera les équations. \end{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point I$(0~;~1)$. Déterminer une équation de la droite $T$. \item \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$, on appelle $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $M'$ celui d'abscisse $- x$. Démontrer que I(0~;~1) est le milieu du segment $[M M']$. \item Que représente le point I pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item Tracer les droites $D,~D',~T$ et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. \item $\alpha$ désigne un réel inférieur ou égal à 1. On appelle $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan, ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : \[ \left\{\begin{array}{l c c c l} \alpha & \leqslant & x & \leqslant & 1\\ 0 & \leqslant & y & \leqslant & f(x)\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$. \item Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}(0)$ puis sa valeur arrondie au cm$^2$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} \mathcal{A}(\alpha)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2004 Physique de laboratoire \end{document}