\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,multido} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \setlength\parindent{0mm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{hyperref} \begin{document} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat}, pdftitle = {Baccalauréat STT 2001}, allbordercolors = white } \rhead{A. P. M. E. P.} \lhead{\small L'intégrale 2001} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STT 2001 \decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de mai à novembre 2001}} \vspace{0,5cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{0,5cm} {\Large \hyperlink{AntillesACC}{Antilles-Guyane ACA-ACC juin 2001} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{EtrangersACC}{Centres étrangers ACA-ACC juin 2001} \dotfill 5 \medskip \hyperlink{MetroACC}{Métropole ACA-ACC juin 2001} \dotfill 7 \medskip \hyperlink{FranceACAsep}{Métropole ACA-ACC septembre 2001} \dotfill 11 \medskip \hyperlink{CaledonieACA}{Nouvelle--Calédonie ACA-ACC novembre 2001} \dotfill 14 \medskip \bigskip \hrule \bigskip \hyperlink{PondicheryIG}{Pondichéry CG-IG mai 2001} \dotfill 16 \medskip \hyperlink{EtrangersIG}{Centres étrangers CG-IG juin 2001} \dotfill 19 \medskip \hyperlink{MetroIG}{Métropole CG-IG juin 2001} \dotfill 21 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie CG-IG juin 2001} \dotfill 25 \medskip \hyperlink{MetroIGsep}{Métropole bis CG-IG juin 2001} \dotfill 29 \medskip \hyperlink{CaledonieIG}{Nouvelle--Calédonie CG-IG novembre 2001} \dotfill 32 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane ACA-ACC juin 2001 \hypertarget{AntillesACC}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2001}} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Antilles-Guyane~\decofourright\\juin 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip Les deux parties de cet exercice sont indépendants. Une banque compte \np{2500}~clients. 42\,\% des clients possèdent un plan épargne logement (PEL), 1/4 des clients possède un compte-épargne logement (CEL) et 325 clients possèdent à la fois un PEL et un CEL. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Titulaires d'un PEL&Non Titulaires d'un PEL&Total\\ \hline Titulaires d'un CEL & & &\\ \hline Non Titulaires d'un CEL & & &\\ \hline Total & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On tire un nom de client au hasard, on note P l'évènement suivant : \og il est titulaire d'un PEL \fg{} et on note C l'évènement : \og il est titulaire d'un CEL \fg. Tous les résultats des calculs de probabilités seront donnés sous forme décimale exacte. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer le nom d'un client qui possède un PEL mais pas de CEL ? \item Traduire par une phrase l'évènement E $ = \text{P}~ \cup~ \text{C}$ puis calculer la probabilité de E. \item Calculer la probabilité de l'évènement contraire de E \end{enumerate} \item On tire un nom de client au hasard parmi les titulaires d'un CEL. Quelle est la probabilité de tirer le nom d'un client qui soit aussi titulaire d'un PEL ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} Un agent commercial de la banque doit visiter trois clients X, Y, et Z qui n'ont ni PEL ni CEL. L'employé choisit un trajet au hasard. \begin{enumerate} \item Écrire tous les trajets possibles (on pourra utiliser un arbre). \item Quelle est la probabilité pour que Y soit visité en premier ? \item Quelle est la probabilité pour que X ne soit pas visité juste avant Z ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Monsieur Faucher a pour habitude de toujours mettre 100 francs d'essence dans le réservoir de sa voiture. \begin{enumerate} \item Si l'essence est vendue 5 Francs le litre, quel volume $V_{0}$ met-il dans son réservoir ? \item Si ensuite le prix de l'essence augmente de 25\,\%, quel volume $V_{1}$ pourra-t-il mettre dans son réservoir ? \item Calculer $V_{1} / V_{0}$ et en déduire que le volume acheté a diminué de 20\,\%. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~400]$ par \[f(x) = \dfrac{100 x}{(100 + x)}.\] \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &25 &50 &80 &100&150&200&300&400\\ \hline $f(x)$ & & 20& & & 50& & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout $x$ de $[0~;~400]$ on a $f'(x) = \dfrac{\np{10000}}{(100 + x)^2}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur [0~;~400]. \end{enumerate} \item Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère orthogonal \Oij. Montrer que la droite $D$ tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ pour équation $y = x$. \item Tracer $(\mathcal{C})$ et $D$ (unités graphiques : en abscisse $1$ ~cm pour $25$ et en ordonnée $1$~cm pour $10$). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On admet que, quel que soit le prix de départ, s'il y a augmentation de $x$\,\% du prix du litre, alors le volume reçu diminue de $y$\,\% avec $y = f(x) = \dfrac{\np{10000}}{(100 + x)^2}$. \begin{enumerate} \item Calculer $f(25)$. Retrouve-t-on le résultat du A. 3. ? \item Si le volume acheté diminue de 30\,\%, déterminer graphiquement de quel pourcentage a augmenté le prix. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers ACC juin 2001 \hypertarget{EtrangersACC}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. -- A.C.C.} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Centres étrangers~\decofourright\\ juin 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne le montant des importations et exportations (en milliards de francs) en France pour les années 1991 à 1998. (Source I.N.S.E.E., comptes nationaux.) \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année& 1991& 1992& 1993& 1994& 1995& 1996& 1997 &1998\\ \hline Rang& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline Importations& \np{1514}& \np{1493}& \np{1405}& \np{1523}& \np{1638}& \np{1664}& \np{1768}& \np{1922}\\ \hline Exportations& \np{1538}& \np{1588}& \np{1556} & \np{1664}& \np{1745}& \np{1805}& \np{1999}& \np{2123}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Créer un tableau dans lequel apparaît le rang de l'année et l'excédent commercial (différence entre le montant des exportations et celui des importations). \item Représenter graphiquement le nuage de points correspondant (unités : 1~cm pour 1~an en abscisse et 1~cm pour 10~milliards de francs en ordonnées). \item Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Le placer sur le graphique. \item Déterminer l'équation de la droite passant par les points : \[\text{A}(2~;~85)\quad \text{et} \quad \text{B}(8~;~205).\] La représenter sur le graphique. \item En admettant que la droite précédente représente un ajustement linéaire acceptable de la tendance, donner une approximation de l'excédent commercial de l'année 2000. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 12 points} \medskip Nous allons étudier différents aspects de la vente d'occasion automobile en France. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A - étude statistique (d'après L'Argus automobile)} \medskip On effectue un classement des cinq modèles de véhicules les plus vendus en France au premier trimestre 2000 et on dresse le tableau suivant, en milliers de voitures (à rendre avec la copie) \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &Moins de 1 an & De 1 à 4 ans & Plus de 4 ans & TOTAL\\\hline Renault Clio & 16 & & & 78\\ \hline Peugeot 205 & 0 & 3 & 66 & 69\\ \hline Renault 5 & & & 60 & \\ \hline Renault Mégane & 21 & 24 & 0 & 45\\ et Scénic & & & & \\ \hline Volkswagen Golf & 3 & 9 & 36 & 48\\ \hline TOTAL & & 60 & & 300 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau d'effectifs précédent. \item On suppose qu'un client choisit sa voiture parmi les cinq modèles proposés dans le tableau. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'il ait une voiture de moins de 1 an ? \item Calculer la probabilité qu'il ait une Renault ? \item Calculer la probabilité qu'il ait une Renault Clio ou une voiture de moins de un an ? On exprimera les probabilités sous forme d'une fraction puis d'un nombre décimal, arrondi au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le prix moyen d'un véhicule d'occasion dépend du nombre d'années de son ancienneté. Le tableau ci-dessous indique le prix moyen constaté en l'an 2000 du véhicule Biomobile en fonction du nombre d'années d'ancienneté (les véhicules sortis en 2000 ont l'ancienneté $x = 0$). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre d'années d'ancienneté $x$ & 0 & 1 & 2 &3 & & 5 & 6\\ \hline Prix (milliers de francs) &80 &54 &40&34 & &22 & 19\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement le prix de la Biomobile en fonction de $x$, en prenant les unités suivantes pour un repère orthogonal : $\bullet~$ en abscisse, 1~cm pour 1~an ; $\bullet~$ en ordonnées, 1~cm pour \np{4000}~F. \item On pose $f(x) = \dfrac{\np{80000}}{0,5x + 1}$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~10]. \begin{enumerate} \item Montrer, en détaillant les calculs, que : \[f'(x) = \dfrac{-\np{40000}}{(0,5x + 1)^2}\] pour tout $x$ appartenant à [0~;~10]. En déduire le tableau de variations de $f$ sur [0~;~10]. \item Calculer les valeurs prises par $f(x)$ pour $x$ entier, compris entre $0$ et $10$ ; présenter ces résultats sous forme de tableau. On arrondira à l'unité près \item Représenter $f$ sur le graphique précédent. \item La fonction $f$ vous semble-t-elle une bonne approximation de la cote d'Argus ? \item En utilisant l'approximation précédente, donner une estimation du prix d'occasion, en l'an 2000, d'une Biomobile sortie en 1996. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers ACA juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole ACC juin 2001 \hypertarget{MetroACC}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. -- A.C.C.} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Métropole~\decofourright\\ juin 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip En 1997, \np{2500} personnes ont acheté, chacune, un télévision et certaines d'entre elles ont souscrit en même temps une assurance. Celle-ci couvre la totalité des dépenses liées à d'éventuelles pannes pouvant survenir dans les trois années suivant la date d'achat. En 2000, une enquête auprès de tous ces acheteurs fournit les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 125 téléviseurs ont eu exactement une panne ; $52\,\%$ des propriétaires de ces télévisions ont souscrit à l'assurance. \item[$\bullet~$] 75 téléviseurs ont eu exactement deux pannes ; $48\,\%$ des propriétaires de ces télévisions n'ont pas souscrit à l'assurance. \item[$\bullet~$] Aucun téléviseur n'a eu plus de deux pannes. \item[$\bullet~$] Parmi les propriétaires des télévisions qui n'ont eu aucune panne, $40\,\%$ ont souscrit à l'assurance. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que 65 téléviseurs assurés ont eu exactement une panne. \item Montrer que 920 téléviseurs assurés n'ont eu aucune panne. \item Reproduire puis compléter le tableau suivant : \begin{center} \scriptsize{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline &Nombre de télévi- & Nombre de télévi- & Nombre de télévi- &\\ &seurs ayant subi &seurs ayant subi &seurs n'ayant subi &Totaux \\ &une seule panne &deux pannes &aucune panne & \\ \hline Nombre de & & & &\\ téléviseurs & & & & \\ assurés & & & & \\ \hline Nombre de & & & & \\ téléviseurs & & & & \\ non assurés & & & & \\ \hline Totaux & 125 &75 & &\np{2500}\\ \hline \end{tabularx} }\end{center} \emph{Toutes les probabilités demandées dans les questions } 2 \emph{et} 3 \emph{seront données sous forme décimale exacte.} \end{enumerate} \item On téléphone, au hasard, à un des \np{2500} propriétaires des téléviseurs, sans connaître les réponses fournies lors de l'enquête. Soient A et B les évènements suivants : A : \og Le propriétaire a souscrit une assurance \fg B : \og Le poste du propriétaire a subi exactement deux pannes \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de A, notée $p$(A) ; calculer la probabilité de B, notée $p$(B). \item Décrire, à l'aide d'une phrase, l'évènement : A$~\cap~$ B. Calculer la probabilité de cet évènement. \item Déduire des questions précédentes la probabilité de l'évènement : A~$~\cup~$~B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de propriétaires de téléviseurs n'ayant pas eu de réparation à payer pendant les trois années, pour maintenir le poste en état de marche. \item Déduire de la question \textbf{1 a} la probabilité $p$(C) de l'évènement C : \og Le propriétaire contacté par téléphone n'a pas eu de réparation à payer pendant les trois années pour maintenir son poste en état de marche \fg. \end{enumerate} \item On téléphone maintenant au hasard, à l'un des propriétaires parmi ceux ayant souscrit une assurance lors de l'achat de leur téléviseur. \begin{enumerate} \item Combien de propriétaires sont susceptibles d'être contactés ? \item Déterminer, dans ce cas, la probabilité notée $p'$(D), de l'événement D : \og Le propriétaire contacté reconnaît que l'assurance souscrite lui a été utile \fg. On donnera le résultat en arrondissant à 0,01 près. \item Traduire le résultat précédent par une phrase, en terme de pourcentage. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} \medskip Une entreprise fabrique des machines-outils. Ses capacités de production, sur un an, sont telles qu'eHe peut fabriquer entre 20 et 80 machines. Soit $x$ le nombre des machines fabriquées annuellement. Les représentations graphiques, données en annexe, sont celles de deux fonctions $C$ et $B$, définies toutes deux sur l'intervalle [20~;~80]. Pour tout $x$ entier naturel, $C(x)$ est le coût de production unitaire, exprimé en francs, $B(x)$ est le bénéfice, exprimé en francs. \emph{Il est à remarquer que l'axe des abscisses est commun aux deux représentations, mais que deux axes des ordonnées sont utilisés, l'un de ceux-ci sert à la lecture de} $C(x)$ \emph{et il est gradué en milliers de francs, l'autre sert à la lecture de} $B(x)$ \emph{et il est aussi gradué en milliers de francs.} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A. Lectures graphiques} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le coût de production unitaire lorsque 25 machines sont produites ? lorsque 70~machines sont produites ? \item Quelles productions correspondent à un coût unitaire de \np{32500}~francs ? \item Quel est le coût unitaire de production minimum ? À quelle production correspond-il ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelles productions assurent un bénéfice supérieur ou égal à \np{350000}~francs ? \item Quelle production assure un bénéfice maximum ? Quel est ce bénéfice ? \item Quel bénéfice est obtenu lorsque la production vise le coût unitaire minimum ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Études de fonctions.} \medskip En fait la fonction $C$ représentée en annexe est telle que, pour tout $x$ de l'intervalle [20~;~80], \[C(x) = 400x + \dfrac{\np{490000}}{x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $C'(x)$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$. Montrer que $C'(x) = \dfrac{400}{x^2} (x + 35)(x - 35)$. \item Étudier le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle [20~;~80]. Construire le tableau de variation de $C$. \item Comparer les résultats obtenus à la question \textbf{1. c.} de la partie A, avec ceux fournis dans le tableau de variation précédent. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le coût total de production de $x$ machines-outils, appelé $C_t(x)$ et exprimé en francs, est égal à $400x^2 + \np{490000}$. \item Le prix de vente de chaque machine-outil est de \np{40000}~francs. Montrer que la fonction $B$ représentée en annexe, est en fait définie sur l'intervalle [20~;~80] par : \[B(x) = - 400x^2 + \np{40000}x - \np{490000}. \] \item Calculer $B'(x)$ où $B'$ est la fonction dérivée de $B$. étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [20~;~80]. Construire le tableau de variations de $B$. Comparer les résultats obtenus à la question \textbf{2. b.} de la \textbf{partie A}, avec ceux fournis par le tableau de variations précédent. \item Le chef d'entreprise décide de produire 50 machines-outils par an. Calculer le bénéfice réalisé par machine produite. Quel serait ce bénéfice par machine, si le chef d'entreprise décidait de produire seulement 35 machines-outils ? Le bénéfice maximal pour l'entreprise et le bénéfice maximal par machine sont-ils obtenus pour la même production ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,2cm} \psset{xunit=1.2mm,yunit=0.001cm} \begin{pspicture}(0,22000)(90,41000) \psgrid[xunit=1.2mm,yunit=1cm,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,22)(90,41) \pstextpath[r](1.4ex,1.4ex){\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{20}{80}{490000 x div 400 x mul add}}{Représentation de C~~}% Ceci c'est C(x) \pstextpath[r](1.4ex,1.4ex){\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.25pt](20,25000)(30,29000)(40,31250)(50,32200) (60,31250)(70,29000)(80,25000)}{Représentation de B~~}% ici B(x) \uput[d](20,23000){20} \uput[d](30,23000){30} \uput[d](40,23000){40} \uput[d](50,23000){50} \uput[d](60,23000){60} \uput[d](70,23000){70} \uput[d](80,23000){80} \uput[l](5,25000){25} \uput[l](5,30000){30} \uput[l](5,35000){35} \uput[l](5,40000){40} \uput[l](15,25000){150} \uput[l](15,26000){200} \uput[l](15,28000){300} \uput[l](15,30000){400} \uput[l](15,32000){500} \uput[l](15,34000){600} \rput{90}(8,37000){Coût unitaire en milliers de francs} \rput{90}(18,37000){Bénéfice en milliers de francs} \rput(55,22000){Nombre de machines-outils produites} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](5,23000)(20,23000) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](15,23000)(15,25000) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](5,23000)(5,25000) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(5,25000)(5,40000) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(15,25000)(15,40000) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(20,23000)(90,23000) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Métropole ACA juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2001 \hypertarget{FranceACAsep}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A.--A.C.C.} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Métropole~\decofourright\\septembre 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \bigskip \textbf{A - Vente de billets à un guichet} \medskip Parmi les billets vendus dans une gare, on distingue trois catégories A, B et C : \begin{center} \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline A : billets individuels& B : billets famille& C : billets groupes\\\hline \end{tabular} \end{center} D'autre part, deux types de destinations sont recensés : \begin{center} \begin{tabular}{|*{2}{c|}}\hline destination française & destination internationale\\\hline \end{tabular} \end{center} Une étude statistique sur \np{1000} billets vendus a donné les renseignements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 35\,\% des billets sont vendus pour des destinations internationales. Dans cette catégorie, la moitié est constituée de billets individuels. \item[$\bullet~$] La catégorie B représente $30\,\%$ du total des ventes et 2/3 des billets de cette catégorie sont à destination française. \item[$\bullet~$] Dans la catégorie C, le nombre de billets internationaux vendus est le triple de celui des billets à destination française. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer que sur \np{1000} billets vendus, le nombre de \og billets famille à destination française \fg{} est égal à $200$. \item Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant les renseignements précédents : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \backslashbox{Destinations}{Catégories}&A &B &C &Total\\ \hline française &425 & 200 & & \\ \hline internationale & & & &\\\hline Total&&&&\np{1000}\\\hline \end{tabularx} \end{center} \item On choisit au hasard un billet vendu. Soit les évènements \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] E : \og le billet choisi est individuel \fg{} \item[$\bullet~$] F : \og le billet choisi est à destination française \fg{} \item[$\bullet~$] G : \og le billet choisi est un billet à destination française de la catégorie A \fg{}. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Comment s'exprime G en fonction de E et de F ? \item Calculer les probabilités notées $p$(E), $p$(F), $p$(G), $p$(E $~\cup ~$ F) des évènements E, F, G, E ~$\cup$~F. \item Quelle est la probabilité d'obtenir un billet n'appartenant pas à la classification \og billet famille à destination française \fg{} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B - Évolution de la fréquentation} \medskip La fréquentation normale est de \np{1000} acheteurs de billets par journée. Au début d'une période de vacances, on prévoit que la fréquentation augmentera, cinq fois de suite, de $8\,\%$ par journée avant de se stabiliser. La direction estime qu'un guichet ne peut s'occuper que de 200 acheteurs, au maximum, par journée. Pour rendre le meilleur service à la clientèle, la direction prévoit en fonction de l'affluence de la journée d'ouvrir autant de guichets que nécessaire dès le début de la journée. Elle s'appuie sur le tableau suivant, où la première augmentation de la fréquentation se produit lorsque l'on passe de la journée 1 à la journée 2. Recopier et compléter (sur les 7 premiers jours de l'évolution) le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline N$\up{o}$ de la journée & 1 & 2 & 3& 4 & 5& 6 & 7\\ \hline Fréquentation (en arrondissant & & & & & & & \\ à l'entier le plus proche) &\np{1000}& & & & & & \\ \hline Nombre de guichets à ouvrir & 5 & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \medskip Dans un hôpital, deux parties sont à des niveaux différents, le dénivelé étant de un mètre. On désire créer une rampe d'accès reliant les deux plates-formes. On écarte la solution la plus simple schématisée ci-dessous qui consisterait à relier les deux niveaux par une rampe au profil rectiligne. \begin{center} \begin{pspicture}(10,2) \psline(0,0)(6.5,0)(6.5,1.4)(10,1.4) \psline[linestyle=dotted](2.5,0)(6.5,1.4) \uput[u](2.5,0){O} \uput[u](6.5,1.4){A} \psline[linestyle=dotted]{<->}(9.3,0)(9.3,1.4) \uput[d](3,0){niveau inférieur} \uput[d](8,1){niveau supérieur} \uput[r](9.5,0.7){1 m} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} En effet, cette solution est rejetée car les raccordements aux extrémités sont jugés trop brutaux et peuvent engendrer des ennuis par le transport des patients et pour les matériels. Un bureau d'études propose une solution dont le profil est donné par une fonction du troisième degré. On choisit le repère orthonormé \Oij{} dans lequel le point A a pour coordonnées (4~;~1). (On prendra comme unité graphique 4 cm.) On propose comme courbe répondant au problème la courbe $\mathcal{C}$ d'équation : \[y = - \dfrac{1}{32} x^3 + \dfrac{3}{16} x^2,\] avec $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 4]. \begin{enumerate} \item Vérifier que les points O et A sont situés sur la courbe $\mathcal{C}$. \item Soit $f$ la fonction, représentée par $\mathcal{C}$, définie sur [0~;~4] par \[f(x) = - \dfrac{1}{32} x^3 + \dfrac{3}{16} x^2.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Montrer que : \[f'(x) = - \dfrac{3}{32}x(x-4).\] \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~4] et donner le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(4)$. Donner une interprétation graphique de ce résultat. \item Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ à l'origine. Montrer que la tangente en O est l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant. On arrondira les valeurs au centième. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 & 0,5 &1 & 1,5 &2 &2,5& 3 &3,5 &4\\ \hline $f(x)$ & & 0,04& & 0,32 & & & &0,96 & \\ \hline en cm & &0,16 & & 1,28 & & & &3,84 & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ et les tangentes en O et en A. (On rappelle que l'unité graphique est 4~cm.) \item Monter que, pour le point I de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 2, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ a pour coefficient directeur 0,375. \textsl{Dans le repère orthonormé, ce nombre est aussi appelé pente.} Construire soigneusement cette tangente sur le graphique. \item En utilisant la question précédente, quelle est la pente $p$ de la tangente à la courbe au point I, exprimée en pourcentage ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole ACA septembre 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie ACCC-ACA novembre 2001 \hypertarget{CaledonieACA}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.C.-A.C.A.} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip Un club de vol libre compte 150 membres. Chacun des membres pratique un seul des trois sports suivants : le parapente, le deltaplane, le cerf-volant. De plus on sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 42\,\% des membres ont 35 ans ou plus, \item[$\bullet~$] 20\,\% des membres pratiquent le deltaplane, \item[$\bullet~$] $\dfrac{1}{3}$ des moins de 35 ans pratiquent le cerf-volant, \item[$\bullet~$] $\dfrac{2}{5}$ des pratiquants du deltaplane ont moins de 35 ans, \item[$\bullet~$] le nombre de parapentistes est le double de celui des pratiquants du cerf-volant. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléŽter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &Parapente &Deltaplane & Cerf-volant & Total\\ \hline Moins de 35 ans & & & & \\ \hline 35 ans et plus & & & & \\ \hline Total & & & & 150\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On justifiera le rŽésultat : 40~membres pratiquent le cerf-volant. \emph{Les rŽésultats des questions $2$ et $3$ seront donnéŽs sous forme d'une fraction irrŽéductible puis sous la forme déŽcimale arrondie ˆ à $10^{-2}$ près}. \item On choisit au hasard un membre de ce club, calculer les probabilitŽés des ŽévŽènements suivants : A : \og ce membre a moins de 35 ans \fg ; B : \og ce membre ne pratique pas le parapente \fg ; C : \og ce membre a moins de 35 ans et pratique le parapente \fg ; D : \og ce membre a moins de 35 ans ou pratique le parapente \fg. \item Quelle est la probabilitŽé qu'un membre du club choisi au hasard parmi ceux qui pratiquent le parapente ait 35 ans ou plus ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points} \medskip Un artisan se lance dans la fabrication en sŽérie d'un petit objet. Il calcule que le coûžt de fabrication de $n$~objets est donnéŽ en francs par \[ C(n) = - 0,2n^2 + 50n + 2000. \] \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On note $C'$ la déŽrivŽée de la fonction $C$.\\ Calculer $C'(n)$ et montrer que la fonction $C$ est croissante sur l'intervalle [0~;~100]. \item Reproduire et complŽèter le tableau suivant : \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ & 0 & 20 & 40 & 60 & 80 & 100 \\ \hline $C(n)$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \] \item Construire la courbe reprŽésentative de $C$ dans un repère orthogonal pour $n \leqslant 100$. UnitŽés : 1~cm reprŽésente 5~objets en abscisse, 1~cm reprŽésente 250~francs en ordonnéŽe. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Tous les objets fabriquŽés sont vendus 80~ francs pièce. Quel est le montant $R(n)$ des rentréŽes d'argent pour la vente de $n$ objets ? Tracer la droite reprŽésentative de $R$ dans le m\^eme repère que celui de la question \textbf{A 3}. \item Lire graphiquement : \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $n$ l'artisan réŽalise un béŽnéŽfice. \item Pour quelle valeur de $n$ l'artisan subit une perte de \np{1000}~francs. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le bŽénéŽfice réŽaliséŽ pour la vente de $n$ objets est donnŽé par \[ B(n) = 0,2n^2 + 30n - \np{2000}.\] \item Montrer que $B(n) = 0,2(n - 50)(n + 200)$. Expliquer comment on retrouve le rŽésultat du \textbf{B 2 a}. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% Fin Nouvelle-Calédonie ACC-ACA novembre 2 \newpage %%%%%%%%%%%% Pondichéry IG mai 2001 \hypertarget{PondicheryIG}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{mai 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Pondichéry~\decofourright\\mai 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip Un assembleur en micro-informatique utilise pour le montage des ordinateurs qu'il vend : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] un processeur P$_1$ de haut de gamme ; \item[$\bullet~$] un processeur P$_2$ de gamme moyenne ; \item[$\bullet~$] une carte graphique G performante. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Il doit pouvoir disposer, au début du mois de décembre, de 50 ~processeurs P$_1$, 80~processeurs P$_2$ et 90~cartes graphiques G. Il commande son matériel début novembre, afin d'être livré pour le début du mois de décembre et s'adresse pour cela à un fournisseur qui propose à ses clients des lots : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] le lot L$_1$ composé de 5 processeurs P$_1$, 5 processeurs P$_2$ et 5 cartes graphiques G ; \item[$\bullet~$] le lot L$_2$ composé de 2 processeurs P$_1$, 4 processeurs P$_2$ et 6 cartes graphiques G. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour bénéficier d'une remise, l'assembleur doit commander au moins 3 lots L$_1$ et 3 lots L$_2$. \textbf{Après cette remise}, le fournisseur facture à l'assembleur : 5 900 francs un processeur P$_1$, \np{3200}~francs un processeur P$_2$ et 900~francs une carte graphique G. On note $x$ le nombre de lots L$_1$ et $y$ le nombre de lots L$_2$ que doit commander l'assembleur début novembre, afin de satisfaire la demande pour début décembre. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi les contraintes auxquelles doivent satisfaire $x$ et $y$ afin que l'assembleur obtienne les produits dont il a besoin, tout en profitant de la remise du fournisseur, se traduisent par le système d'inéquations ci-après. \[\text{(S)} \left\{\begin{array}{l c l} x& \geqslant & 3\\ y &\geqslant & 3\\ 5x+2y & \geqslant & 50\\ 5x+4y & \geqslant & 80\\ 5x+6y & \geqslant & 90\\ \end{array}\right.\] \item On considère le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. Déterminer la région du plan formée des points $M(x ~;~ y)$ dont les coordonnées vérifient le système (S). On rayera la partie du plan formée des points dont les coordonnées \textbf{ne vérifient pas le système} (S) et on expliquera la démarche suivie pour les trois premières contraintes du système (S). \item \begin{enumerate} \item À combien revient la commande d'un lot L$_1$ ? Même question pour un lot L$_2$. \item Montrer que la dépense $D$ en francs, occasionnée à l'assembleur pour l'achat de $x$ lots L$_1$, et de $y$ lots L$_2$ s'exprime en fonction de $x$ et $y$ sous la forme : \[D = \np{50000}x + \np{30000}y.\] \item Montrer que l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ correspondant à une dépense donnée $D$ sont les coordonnées de points situés sur une droite $\Delta_D$ dont on donnera l'équation réduite (sous la forme $y = mx + p$). \item Tracer la droite $\Delta_D$ pour $D = \np{900000}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Expliquer comment, à l'aide du graphique, on peut déterminer le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ correspondant à une dépense $D$ minimale. \item En déduire, à l'aide du graphique, le nombre $x_0$ de lots L$_1$ et le nombre $y_0$ de lots L$_2$ que doit commander l'assembleur afin de satisfaire la demande de début décembre. Quelle est alors la dépense engagée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Une usine fabrique en très grand nombre des pièces métalliques. La fabrication est vérifiée journellement par prélèvement de pièces produites, dont on mesure la longueur. En fin de journée, on calcule la longueur moyenne des pièces prélevées durant la journée et le contremaître juge que la fabrication est valable lorsque cette longueur moyenne est comprise entre 7,45 cm et 7,55 cm. Dans ce cas, on considère que la machine est bien réglée, sinon on doit procéder à son réglage. Fin novembre, la machine est réglée et fabrique donc des pièces de longueur valable au début du mois de décembre. Durant les 8 premiers jours du mois de décembre, on a obtenu, en fin de journée, les résultats suivants \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{8}{c|}}\hline Jour $x_i$ &1 &2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8\\ \hline Longueur moyenne $y_i$&7,50 & 7,50 & 7,49 & 7,49 & 7,48 & 7,47 & 7,47 & 7,46\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points $M_i(x_i~;~y_i)$ associé à la série statistique ci-dessus. On utilisera comme unités : $\bullet~$ en abscisse 1~cm pour un jour $\bullet~$ en ordonnée : 1~cm pour 0,01 en commençant à graduer l'axe à partir de $7,44$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs exactes des coordonnées du point moyen G$_1$, associé aux 4~points du nuage ayant les plus petites abscisses. Placer G$_1$ sur le graphique. \item Déterminer les valeurs exactes des coordonnées du point moyen G$_2$ associé aux 4 points du nuage ayant les plus grandes abscisses. Placer G$_2$ sur le graphique. \item Tracer la droite $d = \left(\text{G}_1\text{G}_2\right)$ sur le graphique. Déterminer l'équation réduite (sous la forme $y = mx + p$) de la droite $d$. On donnera les valeurs de $m$ et $p$ avec 6 décimales. \end{enumerate} \item On admet que la droite $d$ représente l'évolution, dans le temps, de la longueur des pièces fabriquées par la machine. En utilisant le graphique, déterminer à partir de quel jour du mois de décembre la machine a-t-elle besoin d'un nouveau réglage. Vérifier le résultat par calcul. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = a(\ln x)^2 + b\ln x + c\] où $a,~b$ et $c$ sont des réels fixés. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, d'unité graphique 2~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $c$ sachant que : $f(1) = - \dfrac{1}{2}$. \item En utilisant la valeur de $c$ trouvée en \textbf{a}, déterminer $a$ et $b$ sachant que $f\left(\text{e}^2\right) = \dfrac{3}{2}$ et que le point de coordonnées $\left(\text{e}^3~;~ \dfrac{11}{2}\right)$ est un point de $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item On considère dans la suite la fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par : \[f(x) = (\ln x)^2 - \ln x - \dfrac{1}{2}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[~ : \quad f(x) = \ln x(\ln x - 1) - \dfrac{1}{2}$. En déduire la limite de $f$ en 0 et en $+ \infty$. \item Déterminer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire \[f'(x) = \dfrac{2\ln x -1}{x}.\] \item Déterminer le sens de variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous, en donnant des valeurs approchées décimales à $10^{-2}$ près: \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ \rule[-3mm]{0mm}{8mm} &0,2 & 0,5 & 0,9 &$\text{e}^{\frac{1}{2}}$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 8\\ \hline $f(x)$ &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. En utilisant la représentation graphique, expliquer pourquoi l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions distinctes dans $]0~;~5]$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ telle que : \[0,6 \leqslant \alpha \leqslant 0,7.\] À l'aide de la calculette, donner une valeur approchée décimale de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[F(x) = x (\ln x)^2 - 3x \ln x + \dfrac{5}{2}x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. En déduire l'expression d'une primitive quelconque de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Déterminer la primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ qui prend la valeur $3$ pour $x = 1$. \item Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_5^7 f(x) \:\text{d}x$. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 5$ et $x = 7$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Pondichéry IG mai 2001 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers IG juin 2001 \hypertarget{EtrangersIG}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \lfoot{\small{juin 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Centres étrangers~\decofourright\\juin 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Dans une entreprise créée en 1994, on étudie l'évolution annuelle de la proportion de salariés payés au SMIC, par rapport au nombre total de salariés de l'entreprise. Le tableau ci-dessous indique le nombre $x$ d'années écoulées depuis 1994 ainsi que le pourcentage $y$ de salariés payés au SMIC pour l'année correspondante. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1994 &1995 &1996 &1997 &1998 &1999\\ \hline $x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $y$ &8,6 & 10,6 & 10,8 & 12,6 & 13 & 14,3\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij, représenter le nuage des points de coordonnées $(x~;~y)$ associé aux données du tableau. Unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour $1\,\%$ sur l'axe des ordonnées. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G$_1$ des trois premiers points (abscisses respectives 0, 1, 2) et celles du point moyen G$_2$ des trois autres points. \item Placer G$_1$ et G$_2$ sur le graphique et tracer la droite (G$_1$G$_2$). \item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$) . \end{enumerate} \item On réalise avec la droite (G$_1$G$_2$) un ajustement du nuage de points représenté à la question \textbf{1}. \begin{enumerate} \item Utiliser le graphique pour estimer quel serait le pourcentage de salariés payés au SMIC en 2001. \item Utiliser l'équation de la droite (G$_1$G$_2$) pour estimer au cours de quelle année le pourcentage de salariés payés au SMIC serait supérieur à $20\,\%$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Un groupe représentatif d'une population est constitué de $1\:300$ personnes. Il compte 667~personnes de sexe féminin. Parmi celles-ci, 168 ont moins de 20 ans et 384 ont entre 20 et 65 ans. Parmi les personnes de sexe masculin, 176 ont moins de 20 ans et 192 ont plus de 65 ans. \begin{enumerate} \item Reproduire et remplir le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &Moins & Entre & Plus & \\ \multicolumn{1}{c|}{} &de 20 ans & 20 et 65 ans & de 65 ans & Total\\ \hline Personnes de & & & & \\ sexe féminin & & & & \\ \hline Personnes de & & & & \\ sexe masculin & & & & \\ \hline Total & & & & \np{1300}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Dans les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près. \item On choisit au hasard une personne dans le groupe de \np{1300} personnes. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'elle soit de sexe masculin (évènement A) ? \item Quelle est la probabilité qu'elle ait moins de 20 ans (évènement B) ? \item Déterminer la probabilité de chacun des évènements A $\cap$ B et A $\cup$ B. \end{enumerate} \item On choisit à présent au hasard une personne parmi les personnes de sexe masculin du groupe. Quelle est la probabilité qu'elle ait entre 20 et 65 ans ? \item On choisit au hasard dans le groupe de $1\:300$ personnes une personne de plus de 65 ans. Quelle est la probabilité qu'elle soit de sexe féminin ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$, définie sur $\R$ par \[ f(x) = \text{e}^{2x} - 10\text{e}^x + 16.\] On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. Les objectifs de ce problème sont d'étudier la fonction $f$ et de tracer la courbe $\mathcal{C}$ , puis de calculer une aire qui lui est associée. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x - 8\right)$. \item En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout nombre réel $x$ : \[f'(x) = 2 \text{e}^x\left(\text{e}^x - 5\right).\] \item Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des deux points A et B situés à l'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. (On pourra utiliser le résultat de la question \textbf{2.a.}) \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en portant les arrondis à $10^{-1}$ près. \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ &0 & 1 & 2 &2,2\\ \hline $f(x)$ & & & 12,5 & 7 &$-3,8$ & & 7,2\\ \hline \end{tabularx}\] \item Tracer $\mathcal{C}$. Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \item Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en cm$^2$, de la partie limitée sur le graphique par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers IG juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole IG juin 2001 \hypertarget{MetroIG}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Métropole~\decofourright\\juin 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Dans un magasin on a relevé le mode de paiement et le montant $M$ (en euros) mentionnés sur 250~tickets de caisse. On a constaté que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Tous les achats strictement inférieurs à 10~euros sont payés en espèces ; \item[$\bullet~$] La moitié des achats dont le montant $M$ est tel que $10 \leqslant M \leqslant 20$ est payé en espèces ; \item[$\bullet~$] 16\,\% des achats sont payés par carte de crédit. \item[$\bullet~$] 36\,\% des achats ne sont pas payés en espèces. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier le tableau ci-dessous et finir de le remplir à l'aide des informations données. \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}l|*{4}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline \backslashbox{Mode de \\paiement}{Montant} & $\footnotesize M <10$ &$\footnotesize 10 \leqslant M \leqslant 20$ & \footnotesize $M \geqslant 20$ &\footnotesize Total\\ \hline Espèces & & 38 & & \\ \hline Chèque & & & & \\ \hline Carte de crédit & & 15 & & \\ \hline Total & 106 & & & 250\\ \hline \end{tabularx} \medskip \renewcommand\arraystretch{1} \item On choisit au hasard un ticket de caisse et on considère les évènements : A : \og Le ticket indique un montant supérieur à 20 euros. \fg B : \og Le ticket correspond à un paiement par chèque \fg. Calculer la probabilité des évènements : A, B, A~$\cap$~B, A ~$\cup$~B. \item On choisit un ticket de caisse correspondant à un paiement par chèque. Quelle est la probabilité qu'il indique un montant supérieur à 20 euros ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip Le mobilier d'une bibliothèque municipale doit être changé pour contenir au moins \np{4400}~livres de petit format et \np{2600} livres de grand format. Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir 110 livres de petit format et 100~livres de grand format pour un prix de 400~euros. Un deuxième fournisseur propose des meubles de type B pouvant contenir 220~livres de petit format et 100~livres de grand format pour un prix de \np{9600}~euros. Par ailleurs le responsable de la bibliothèque a pour consigne de ne passer aucune commande supérieure à \np{9600}~euros chez un même fournisseur. \begin{enumerate} \item Soit $x$ le nombre de meubles de type A et $y$ le nombre de meubles de type B. Traduire les contraintes que doit respecter le bibliothécaire sous forme d'un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$. \item À tout couple $(x~;~y)$ de nombres réels, en associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans un repère orthonormal \Oij. (On choisira un centimètre pour deux unités). \begin{enumerate} \item Montrer que le système obtenu au \textbf{1)} est équivalent à \[ \left\{ \begin{array}{lc c cl } 0&\leqslant & x&\leqslant &24\\ 0 &\leqslant& y&\leqslant &16\\ x+2y& &\geqslant&&40\\ x+ y&& \geqslant && 26\\ x \in \N &&,&& y \in \N \end{array}\right.\] \item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système précédent. (On hachurera la zone qui ne convient pas). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la dépense $d$ occasionnée par l'achat de $x$ meubles du type A et $y$ meubles du type B. \item Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de \np{15600}~euros. \item Déterminer graphiquement le nombre de meubles à commander chez chacun des fournisseurs pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée. \item Quelle eu alors la dépense en euros ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = x^2 -1 + \ln x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée $g'$ de $g$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[g'(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x}.\] \item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g(1).$ \item En déduire que $g(x) > 0$ pour $x > 1$ et que $g(x) < 0$ pour $0 < x < 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = - \dfrac{\ln x}{x} + x - 1.\] On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + 0} f(x)$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire, en utilisant le résultat de la dernière question de la \textbf{partie A}, le sens de variation de $f$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left[f(x) - x + 1 \right]$ et en déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote D dont on donnera une équation. \item Montrer que $\mathcal{C}$ est en dessous de D pour $x > 1$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe tracée sur la feuille annexe. \begin{enumerate} \item Hachurer sur le graphique de la feuille annexe la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[ F(x) = - \dfrac{(\ln x)^2}{2} + \dfrac{x^2}{2} - x\] est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de la partie hachurée sur le graphique, puis une valeur décimale approchée à $10^{- 2}$ près. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \textbf{CE DOCUMENT EST À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1.55cm} \begin{pspicture}(0,-1)(8,6) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-1)(8,6) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(8,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,6) \uput[dr](0,0){O} \uput[u](1,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[r](0,1){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[d](2,0){2} \uput[d](4,0){4} \uput[d](6,0){6} \uput[d](8,0){8} \uput[d](2.718,0){e} \uput[u](8,0){$x$} \uput[l](0,1){1} \uput[l](0,-1){$-1$} \uput[l](0,2){2} \uput[l](0,3){3} \uput[l](0,4){4} \uput[l](0,5){5} \uput[l](0,6){$y$} \psline(0,-1)(7,6) \rput(6,5.2){D} \rput(6,4.6){$\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.2222}{7}{x 1 sub x ln x div sub} \psline(2.71828,-0.1)(2.71828,0.1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% Fin Métropole CG-IG juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie CG-IG juin 2001 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{CG-IG juin 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Polynésie~\decofourright\\ juin 2001}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip \textbf{Maximalisation par programmation linéaire} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. Unités graphiques : 1 cm pour dix unités en abscisse et en ordonnée. Hachurer, sur la figure donnée page suivante l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ ne vérifient pas le système $(S)$ suivant : \renewcommand\arraystretch{1.5} \[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l} x &\geqslant& 0 ;\\ y&\geqslant& 0 ; \\ y &\leqslant& - \frac{7}{8}x+ 126,25 ;\\ y &\leqslant& - \frac{3}{2}x + 195 ; \\ y &\leqslant&- \frac{5}{8}x + 118,75. \end{array}\right.\] \renewcommand\arraystretch{1} \item Afin de renouveler son stock, un confiseur décide d'organiser une vente promotionnelle et propose deux lots : $\bullet~~$Un lot A comportant 7 boîtes de chocolats, 6 boîtes de dragées, et 5 boîtes de pâtes de fruits, $\bullet~~$Un lot B comportant 8 boîtes de chocolats, 4 boîtes de dragées et 8 boîtes de pâtes de fruits. La vente d'un lot A lui rapporte 700\euro{} et celle d'un lot B, 600\euro{}. Le confiseur dispose en stock de \np{1010} boîtes de chocolats, de $780$ boîtes de dragées et de $950$ boîtes de pâtes de fruits. On désigne par $x$ le nombre de lots A et par $y$ le nombre de lots B. \begin{enumerate} \item Montrer que les contraintes de la situation peuvent se traduire par le système $(S)$ de la question 1, où $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. \item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la recette $R$, en euros, réalisée par la vente de $x$ lots A et de $y$ lots B. \item Écrire l'équation de la droite $\mathcal{D}$ correspondant à une recette de \np{54000}~\euro{} sous la forme $y = ax + b$. Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur la figure ci-dessous. \item À l'aide du graphique, donner les nombres de lots A et de lots B que le confiseur doit vendre pour que la recette soit maximale. Quelle est alors cette recette ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=0.055cm} \begin{pspicture}(-10,-10)(200,210) \multido{\n=0+5}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,210)} \multido{\n=0+5}{43}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(200,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(200,210) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(10,10) \uput[d](10,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,10){$\vect{\jmath}$} \uput[u](208,0){$x$}\uput[r](0,208){$y$} \psplot{0}{130}{195 3 x mul 2 div sub}\uput[l](0,195){195} \psplot{0}{144.29}{126.25 7 x mul 8 div sub}\uput[l](0,126.25){126,25} \psplot{0}{190}{118.75 5 x mul 8 div sub}\uput[l](0,118.75){118,75} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Une urne contient 60 boules : vertes, bleues ou jaunes. Dans chaque couleur, certaines sont unies et d'autres sont rayées de noir. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la répartition des boules par un tableau sachant que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 30\,\% des boules sont bleues unies, \item 20\,\% des boules sont vertes et les deux tiers d'entre elles sont rayées, \item il y a deux fois plus de boules jaunes que de vertes, \item 75\,\% des boules jaunes sont rayées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item On choisit au hasard une boule dans cette urne. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : $A$ : \og obtenir une boule rayée \fg, $B$ : \og obtenir une boule verte et unie \fg, $C$ : \og obtenir une boule jaune ou unie \fg, $D$ : \og obtenir une boule ni bleue, ni unie \fg. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à $10^{-3}$ près de chacune des probabilités demandées. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 9 points} \medskip Les objectifs de ce problème sont de déterminer graphiquement quelques résultats concernant une fonction $f$ (partie A), puis d'étudier cette fonction et de calculer une intégrale qui lui est associée (partie B). \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous, représente une fonction $f$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. Sur cette figure, sont également tracées une droite $\mathcal{D}$ ainsi que les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses respectives $0$ et $1,5$. En utilisant cette figure : \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$. \item Déterminer une valeur approchée à $0,1$ près de $f(1,5)$, ainsi qu'une valeur approchée à $0,1$ près de $f'(1,5)$. \item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$. \item Préciser le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-3~;~1,5]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction étudiée graphiquement dans la partie A est la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x ) = \text{e}^x - x + 1.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. \item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x ) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 1 + \dfrac{1}{x}\right)$ et déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} [f(x) - (- x + 1)]$. Qu'en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Étudier, pour $x$ appartenant à $\R$, le signe de $f(x) - (- x + 1)$. Interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Résoudre, pour $x$ appartenant à $\R$, l'inéquation $\text{e}^x - 1 \geqslant 0$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$, sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$. \item Montrer que $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\:\text{d}x = 2 + \text{e} - \dfrac{1}{\text{e}}$. \item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près par excès de cette intégrale et interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1.4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(3,5) \multido{\n=-3.5+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,5)} \multido{\n=-1.50+0.25}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-3.5,\n)(3,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=0.5]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(3,5) \uput[u](3,0){$x$}\uput[r](0,5){$y$} \psplot{-3.5}{2.5}{1 x sub} \psplot{-0.0785}{1.92}{3.5 x mul 1.25 sub} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{1.75}{2.71828 x exp x sub 1 add}\uput[dl](0,0){O} \psline(1.5,0)(1.5,4)(0,4)\uput[ul](1.5,4){A}\uput[u](-2.75,3.75){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie CG-IG juin 2001 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole CG-IG septembre 2001 \hypertarget{MetroIGsep}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2001}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Métropole~\decofourright\\juin 2001}} \end{center} \vspace{0,2cm} Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 4 \vspace{0,2cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Avant de commercialiser une voiture, un constructeur fabrique une pré-série de \np{1000}~véhicules afin d'en étudier les éventuels défauts. Ces voitures fonctionnent, soit avec un moteur essence, soit avec un moteur diesel. Deux types de défauts, notés D$_{1}$ et D$_{2}$, sont apparus. Voici le schéma que l'on a pu construire à l'issue de l'étude : \begin{center} \begin{pspicture}(0,-0.3)(13,5) % \psgrid \psframe(4,-0.3)(10,3.5) \psline(7,0)(7,3.5) \psellipse(7,1)(1.4,1) \psellipse(7,2.2)(1.4,1) \rput(4.5,2){335} \rput(9,2){631} \rput(6.2,0.8){4} \rput(7.4,0.8){7} \rput(6.5,1.7){6} \rput(7.5,1.7){2} \rput(6.2,2.4){5} \rput(7.4,2.4){10} \rput(4,4.2){350 voitures à moteur essence} \rput(2,2.4){23 voitures avec} \rput(2,1.8){le défaut D$_{1}$} \rput(2,0.4){19 voitures avec} \rput(2,-0.2){le défaut D$_{2}$} \rput(10,4.2){650 voitures à moteur diesel} \psline(4,4)(5,3.5) \psline(9,4)(8.6,3.5) \psline(3.5,2.4)(5.6,2.4) \psline(3.5,0.4)(5.85,0.4) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,4cm} Chaque voiture possède un numéro de série inscrit sur une clé, un employé mélange toutes les clés. On choisit au hasard l'une d'entre elles. Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront donnés sous forme décimale. \begin{enumerate} \item On considère les évènements suivants : $A$ \og la clé est celle d'une voiture à moteur diesel \fg, $B$ \og la clé est celle d'une voiture ne présentant aucun défaut \fg, $C$ \og la clé est celle d'une voiture présentant un seul défaut \fg. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités suivantes : $p(A),\: p(B)$ et $p(C)$. \item Définir par une phrase l'évènement $A~\cap~B$, puis calculer $p(A~\cap~B)$. \end{enumerate} \item On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. Définir par une phrase l'évènement $\overline{A}~\cap~ C$, puis calculer $p\left(\overline{A}~\cap~C\right)$. \begin{enumerate} \item Le constructeur décide le lancement en série des voitures à condition que plus de 98\,\% des voitures à moteur diesel, et plus de 95\,\% des voitures à moteur essence ne présentent aucun défaut. Le lancement en série peut-il débuter ? Justifier. \item Une nouvelle directive décide le démarrage en série si moins de 3,5\,\% de l'ensemble des voitures présentent au moins un défaut. La construction en série peut-elle démarrer ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \medskip Les espaces publicitaires d'un magazine sont soumis à deux contraintes : $\bullet~$ D'une part, il ne doit pas y avoir plus de 20 publicités. $\bullet~$ D'autre part, l'aire du domaine occupé par l'ensemble de la publicité ne doit pas dépasser \np{2240}~cm$^2$. Dans ce magazine, il existe deux types de formats publicitaires : $\bullet~$ Un \og grand format \fg{} d'aire 224 cm$^2$ ; $\bullet~$ Un \og petit format \fg{} d'aire 64 cm$^2$. On appelle $x$ le nombre de publicités \og grand format \fg{} et $y$ le nombre de publicités \og petit format \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifiez que les couples d'entiers $(x,~ y)$ vérifiant les contraintes de l'énoncé sont solutions du système (S) suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} x& \geqslant & 0\\ y &\geqslant & 0\\ x + y &\leqslant & 20\\ 7 x + 2 y& \leqslant & 70\\ \end{array}\right.\] \vspace{0,4cm} \item Représenter graphiquement l'ensemble des points $M(x,~ y)$ vérifiant le système (S) dans un repère orthonormal d'unité 1 cm. (On hachurera la partie du plan qui ne convient pas). \end{enumerate} \item Le magazine réalise un bénéfice de \np{1200}~F par publicité \og grand format \fg{} et de $600$~F par publicité \og petit format \fg. \begin{enumerate} \item Exprimer le bénéfice B dégagé par l'édition de $x$ publicités \og grand format \fg{} et $y$ publicités \og petit format \fg. \item Représenter graphiquement la droite $\Delta$ du bénéfice dans le cas où B~=~\np{12000}~F. \item Expliquer la méthode graphique qui permet de déterminer les nombres $x$ et $y$ de publicités induisant un bénéfice maximal pour le magazine. Calculer ce bénéfice. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème\hfill 10 points} \bigskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 1 - \dfrac{1}{x} + \ln x.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal,(unité : 2~cm sur chaque axe). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. Interpréter ce résultat pour $\mathcal{C}$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie sur $]0~ ;~+ \infty[$ par $f'(x)= \dfrac{x + 1}{x^2}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variation de $f$. \item Calculer $f(1)$ et, à l'aide du tableau de variations, étudier le signe de $f(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant. On donnera des valeurs approchées à $0,1$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline $x$ & 0,2 & 0,5 & 1 & 2 & 4 &6 & 8\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite T. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[F(x) = (x - 1) \ln x\] est une primitive de $f$ sur cet intervalle. \item Hachurer la partie D du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = \text{e}$. \item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de ta partie D. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette aire. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole IG septembre 2001 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2001 \hypertarget{CaledonieIG}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.}%tapez un titre \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2001}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. - I.G. Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\ novembre 2001}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip L'Association des fournisseurs d'accès et de services internet (AFA) a relevé les données suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois & 01/ & 04/ & 07/ & 10/& 01/& 04/& 07/& 10/\\ & 1998 & 1998 & 1998 & 1998 & 1999 & 1999 & 1999 & 1999\\ \hline Rang $x_i$ du mois& 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline Abonnements & & & & & & & &\\ individuels $y_i$& 540 &697 &802 &960 &\np{1280}& \np{1500}& \np{1642} & \np{1925}\\ AFA (en milliers)& & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{flushright}(\textsl{Source : http : //www.afa-france.com/html/chiffres/index.} htm)\end{flushright} On considère le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau ci-dessus, dans un repère orthogonal \Oij, unités : 2~cm par rang de mois en abscisses, 1~cm pour 100~milliers d'abonnements en ordonnées. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points. \item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer G sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item On divise la série en deux parties, la première correspondant à l'année 1998 et la seconde à l'année 1999. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points moyens G$_1$ et G$_2$ de chacune de ces deux parties. \item Déterminer une équation de la droite d'ajustement (G$_1$G$_2$) et tracer cette droite. \end{enumerate} \item En utilisant l'équation de la droite d'ajustement \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul une estimation du nombre d'abonnés en janvier 2001. \item Au cours de quel mois peut-on envisager un quintuplement (multiplication par 5) du nombre d'abonnés par rapport au mois de janvier 1988 ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre les mois de janvier 1998 et janvier 1999 (on arrondira au nombre entier le plus proche). \item En supposant que ce pourcentage reste constant, quel serait le nombre d'abonnés prévisible en janvier 2000, puis en janvier 2001 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Une classe comprend 36 élèves âgés de 16,17 ou 18 ans. Il y a 22 garçons dont 3 garçons âgés de 18 ans. $50\,\%$ des élèves sont des garçons âgés de 17 ans et $25\,\%$ des élèves sont âgés de 18 ans. $50\,\%$ des filles sont âgées de 17 ans. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau d'effectifs suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \backslashbox{âges}{sexes}& garçons& filles& Total\\ \hline 16 ans & & & \\ \hline 17 ans & & & \\ \hline 18 ans & & & \\ \hline Total & & &36 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Dans les questions suivantes, les résultats seront mis sous forme de fractions irréductibles. \item Lors d'un cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un élève. Calculer la probabilité des évènements suivants : \begin{enumerate} \item A : \og l'élève interrogé a 16 ans \fg{} ; \item B : \og l'élève interrogé est un garçon \fg{}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Définir sous forme d'une phrase les évènements : \[\text{C} = \text{A} \cap \text{B} \quad \text{et} \quad \text{D} = \text{A} \cup \text{B}.\] \item Calculer la probabilité de l'évènement C. \item À l'aide des probabilités de A, B et C, calculer la probabilité de l'évènement D. \end{enumerate} \item Le professeur décide d'interroger au hasard un garçon. Quelle est la probabilité de l'évènement E : \og l'élève interrogé a 17 ans \fg{} ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème} \medskip \textbf{Partie A - étude d'une fonction} \medskip Soit la fonction numérique $f$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par : \[f (x) = x - 1,5 + \text{e}^{- x + 1}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $1 - \text{e}^{- x + 1} = 0$. \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1 - \text{e}^{- x + 1} \geqslant 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Vérifier que $f'(x) = 1 - \text{e}^{- x + 1}$. à l'aide de la question précédente, dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1,5$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse $0$. \item Tracer la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente T. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une fonction primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item En déduire l'aire, en cm$^2$, de la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -- Application économique} Une entreprise fabrique un produit. Le coût total de fabrication d'un produit est donné par la fonction $f$ précédente, où $x$ est exprimé en tonnes et $f(x)$ est exprimé en milliers de francs. \begin{enumerate} \item Quelle quantité de produit faut-il fabriquer pour que le coût total de fabrication soit minimal ? \item Une tonne de produit est vendue $750$ F. \begin{enumerate} \item On appelle $R(x)$ la recette exprimée en milliers de francs procurée par la vente de $x$ tonnes de produit. Justifier que $R(x) = 0,75x$. \item Exprimer le bénéfice $B(x)$ en fonction de $x$. \item On donne le signe de l'expression $-0,25 + \text{e}^{- x + 1}$ dans le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|c | c c c c r|}\hline $x$& 0& & $1 - \ln 0,25$& & $+ \infty$\\ \hline signe de $- 0,25 + \text{e}^{-x + 1}$& & + &0 & $-$& \\ \hline \end{tabular} \end{center} \textsl{On ne demande pas de justifier ce tableau.} Déterminer la production donnant le bénéfice maximum ; on donnera le résultat à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie IG nov 2001 \end{document}