\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,multido} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23.5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \makeatletter%graduations décimales \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \rhead{A. P. M. E. P.} \chead{\small L'intégrale 2004} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\gray \decofourleft~BaccalaurŽéat STT 2004 \decofourright \\\vspace{0,5cm} L'intégrale de mars à novembre 2004}} \vspace{0,5cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{0,5cm} {\Large \hyperlink{Caledonie2}{Nouvelle-Calédonie ACA-ACC mars 2004} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry ACA-ACC avril 2004} \dotfill 5 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane ACA-ACC juin 2004} \dotfill 8 \medskip \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers ACA-ACC juin 2004} \dotfill 10 \medskip \hyperlink{France2}{Métropole ACA-ACC juin 2004} \dotfill 13 \medskip \hyperlink{LaReunion}{La Réunion ACA-ACC juin 2004} \dotfill 15 \medskip \hyperlink{Polynesie2}{Polynésie ACA-ACC juin 2004} \dotfill 18 \medskip \hyperlink{MetropoleACA}{Métropole-La Réunion ACA-ACC septembre 2004} \dotfill 20 \medskip \hyperlink{PolynesieACA}{Polynésie ACA-ACC septembre 2004} \dotfill 24 \medskip \hyperlink{CaledonieACA}{Nouvelle-Calédonie ACA-ACC novembre 2004} \dotfill 26 \medskip \medskip \hrule \medskip \hyperlink{Pondichery2}{Pondichéry CG-IG avril 2004} \dotfill 28 \medskip \hyperlink{Antilles3}{Antilles-Guyane CG-IG juin 2004} \dotfill 32 \medskip \hyperlink{Centresetrangers2}{Centres étrangers CG-IG juin 2004} \dotfill 35 \medskip \hyperlink{Metropole4}{Métropole CG-IG juin 2004} \dotfill 38 \medskip \hyperlink{LaReunion2}{La Réunion CG-IG juin 2004} \dotfill 41 \medskip \hyperlink{Polynesie4}{Polynésie CG-IG juin 2004} \dotfill 43 \medskip \hyperlink{AntillesCGIGsept}{Antilles-Guyane CG-IG septembre 2004}\dotfill 45 \medskip \hyperlink{Metropole3}{Métropole CG-IG septembre 2004 } \dotfill 48 \medskip \hyperlink{Polynesie3}{Polynésie CG-IG septembre 2004} \dotfill 50 \medskip \hyperlink{LaReunion3}{La Réunion CG-IG septembre 2004} \dotfill 52 \medskip \hyperlink{Caledonie3}{Nouvelle-Calédonie CG-IG novembre 2004} \dotfill 54 \medskip} \newpage ~ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie ACC ACA mars 2004 \hypertarget{Caledonie2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACC-ACA}%tapez un titre \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACC--ACA Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\ mars 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} \hfill 7 points} \medskip Une enquête portant sur \nombre{5000} clients d'une grande surface spécialisée en informatique a montré que 80\,\% des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus 70\:\% des clients qui ont bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat alors que 20\:\% seulement des clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien de clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur ? \item Parmi les clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur, combien ont effectué un achat ? \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Ont effectué un achat& N'ont pas effectué d'achat& Total\tabularnewline \hline Ont bénéficié des&&& \tabularnewline conseils d'un vendeur&&&\tabularnewline \hline N'ont pas bénéficié des&&&\\ conseils d'un vendeur&&&\tabularnewline \hline Total&&& 5 000\tabularnewline \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item On interroge au hasard un des clients sur lequel a porté l'enquête et on admet qu'il y a équiprobabilité. On considère les évènements suivants : A : \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg{}, B : \og le client a effectué un achat \fg{}. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement A puis celle de l'évènement B. \item Définir par une phrase les évènements A~$\cap$~B et A~$\cup$~B. \item Calculer les probabilités $p(\text{A}~\cap~\text{B})$ et $p(\text{A}~\cup~\text{B})$ des évènements A~$\cap$~B et A~$\cup$~B. \end{enumerate} \item On interroge au hasard un des clients qui a effectué un achat et on admet qu'il y a équiprobabilité. Quelle est la probabilité qu'il ait bénéficié des conseils d'un vendeur ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 13 points} \medskip Une entreprise de menuiserie produit et vend des tables. L'objectif de ce problème est de comparer les recettes et les coûts provoqués par cette activité. On note $x$ le nombre de tables fabriquées chaque semaine, $x$ étant un nombre entier compris entre 3 et 12. Le coût total de production de ces $x$ tables, exprimé en centaine d'euros, est donné par : \[C_{\text{T}} = 0,25x^2 + x + 20,25.\] \bigskip \textbf{Partie A :} étude de fonction \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [3~;~12] par : \[f(x) = 0,25x^2 + x + 20,25.\] Pour tout entier $x$ de l'intervalle [3~;~12], on a : $C_{\text{T}} = f(x)$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$.\\ Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [3~;~12]. \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 3 & 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10&11&12\tabularnewline \hline $f(x)$ & & & & & & &49,5 & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. Unités graphiques : axe des abscisses : 1 cm pour 1, \hspace{2cm} axe des ordonnées : 1 cm pour 5. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} Recherche d'un prix de vente. \medskip Toutes les tables fabriquées sont vendues et l'entreprise doit fixer le prix de son produit. On note $R(x)$ la recette, en centaine d'euros, occasionnée par la vente de $x$ tables. \begin{enumerate} \item La première proposition est un prix dc 550 euros par table. \begin{enumerate} \item Calculer $R(10)$ dans ce cas. \item Donner l'expression de $R(x)$ en fonction de $x$. \item À l'aide de la question 2 de la partie A, expliquer pourquoi ce prix de vente ne peut pas convenir sur le plan commercial. \end{enumerate} \item La seconde proposition est un prix unitaire de 630 euros. \begin{enumerate} \item Calculer $R(x)$ dans ce cas. \item Représenter sur le graphique précédent la droite d'équation : $y = 6,3x$. \item En déduire graphiquement, en justifiant la réponse, les valeurs entières de $x$ appartenant à l'intervalle [3 ; 12] pour lesquelles la recette sera strictement supérieure au coût total. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer le nombre de tables fabriquées et vendues pour avoir un bénéfice maximum. \begin{enumerate} \item Montrer que l'expression du bénéfice est : \[B(x) = - 0,25x^2 + 5,3x - 20,25.\] \item Calculer $B'(x)$ où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$. En déduire les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [5 ; 12] en précisant les valeurs extrêmes de $B(x)$. \item En déduire la valeur de $x$ qui procure un bénéfice maximum. On pourra calculer $B(10)$ et $B(11)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Calédonie ACC ACA mars 2004 %%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry ACA ACC avril 2004 \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A.-A.C.C.} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{avril 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat technologique A.C.A.-A.C.C. ~\decofourright\\ Pondichéry --avril 2004}} La calculatrice est autorisée. Le formulaire officiel est autorisé. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Dans un lycée, il n'y a qu'une classe par niveau et par série (par exemple, une seule terminale STT ACA, une seule terminale ES, etc.)\\ Un professeur de mathématiques a, au total, 35 élèves, répartis en deux classes, la terminale STT ACA et la terminale ES. $40\:\%$ de ses élèves sont en ES. Dans chaque série, les garçons, peu nombreux, ne représentent que $\dfrac{1}{7}$ des effectifs. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &STT ACA &ES & Total\\ \hline Filles & & &\\ \hline Garçons & & &\\ \hline Total & & & 35\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \emph{Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible et sous forme décimale, si besoin arrondie au centième.} Le professeur croise, au hasard, un de ses élèves. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p_1$ que ce soit une fille ? \item Quelle est la probabilité $p_2$ que ce soit un élève de STT ACA ? \item Quelle est la probabilité $p_3$ que ce soit une fille de STT ACA? \item L'élève croisé est une fille. Quelle est la probabilité $p_4$ qu'elle soit en STT ACA ? \item L'élève croisé est en STT ACA. Quelle est la probabilité $p_5$ que ce soit une fille ? \end{enumerate} \item Il est prévu, pour la rentrée 2004, que la structure du lycée ne change pas (une seule classe par niveau et par série) mais qu'il y ait, par rapport à la rentrée 2003, une augmentation des effectifs : $\bullet~$ d'élèves en plus en terminale STT ACA. $\bullet~$ $100\:\%$ d'élèves en plus en terminale ES. Si ce professeur garde les mêmes classes, quelle sera, en pourcentage, l'augmentation du nombre de ses élèves ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Une entreprise fabrique des jouets qu'elle vend par lots. Elle peut fabriquer jusqu'à 14 lots par jour et, lorsqu'elle fabrique et vend $x$ lots, le coût de fabrication journalier correspondant est donné, en centaine d'euros, par : \[C(x) = 0,2x^3 - 3,6x^2 + 21,6x - 30,\] $x$ appartenant à l'intervalle [2 ; 14]. De plus, le prix de vente d'un lot dépend du nombre $x$ de lots vendus et il est exprimé, en centaine d'euros, par : \[P(x) = 7,2 - 0,3x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le montant de la recette journalière correspondant à la vente de $x$ lots est donné, en centaine d'euros, par : \[R(x) = 7,2x-0,3x^2.\] \item Le graphique, représenté en annexe, décrit le montant des recettes journalières $R$ et le coût de production $C$ en fonction du nombre de lots $x$ fabriqués et vendus par jour. On utilisera ce graphique pour répondre aux question \textbf{2 a, 2 b} et \textbf{2 c} suivantes : \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant. (Les résultats seront donnés en nombres entiers) \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &3 & 5 & 10 & 12 & 14\\ \hline Coût de production (en centaine d'euros) & & & & &\\ \hline Recette journalière (en centaine d'euros) & & & & &\\ \hline Bénéfice journalier (en centaine d'euros) &11 & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Combien doit-on produire de lots pour que l'entreprise réalise un bénéfice chaque jour? Justifier. \item Pour quel nombre de lots e bénéfice vous paraît-il maximum ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On souhaite déterminer exactement le nombre de lots pour lequel le bénéfice est maximum. Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [2~;~11] on pose : \[f(x) = R(x) - C(x) = -0,2x^3 + 3,3x^2- 14,4x + 30.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$désigne la dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(x) = 0,6(8 - x)(x- 3)$. \item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [2~;~11]. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle. \item En déduire quel doit être le nombre de lots fabriqués et vendus pour que le bénéfice journalier soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice maximal ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{\gray ANNEXE}} \vspace{0,8cm} \psset{xunit=8mm,yunit=1mm} \begin{pspicture}(15,130) \psaxes[Dy=10](0,0)(15,130) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,130)} \multido{\n=0+10}{14}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(15,\n)} \multido{\n=0.5+1.0}{15}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,130)} \multido{\n=5+10}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(15,\n)} \psplot{2}{14}{ 0.2 x 3 exp mul 3.6 x 2 exp mul sub 21.6 x mul add 30 sub} \psplot{2}{14}{ 7.2 x mul 0.3 x 2 exp mul sub} \rput(14.5,40){$R$} \rput(14.5,115){$C$} \rput(7,-10){Nombre de lots} \rput{90}(-1,65){En centaine d'euros} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry ACA ACC avril 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane ACC ACA juin 2004 \hypertarget{Antilles}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Antilles juin 2004~\decofourright}} \vspace{0,5cm} Coefficient 2 \hfill Durée 2 heures \vspace{0,5cm} La calculatrice est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Le tableau suivant donne la répartition des \nombre{1300} salariés dune entreprise en fonction de leur salaire mensuel exprimé en euro et de leur sexe : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}& [\nombre{1000}~;~\nombre{1500}[&[\nombre{1500}~;~\nombre{2000}[&[\nombre{2000}~;~\nombre{2500}[&[\nombre{2500}~;~\nombre{3000}[\\ \hline \text{Hommes}& 440& 200& 50& 10\\ \hline \text{Femmes}& 400& 180& 15& 5\\ \hline \end{tabularx}\] \emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés à} ~$10^{-2}$ \emph{près}. \begin{enumerate} \item Déterminer la moyenne des variables suivantes : \begin{enumerate} \item le salaire des hommes ; \item le salaire des femmes ; \item le salaire du personnel. \end{enumerate} \item On choisit une personne au hasard parmi le personnel de cette entreprise. Déterminer les probabilités des évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og cette personne est un homme \fg{} ; \item \og cette personne a un salaire compris entre \nombre{2000} et \nombre{2500} \euro \fg{} ; \item \og cette personne est un homme dont le salaire est compris entre \nombre{2000} et \nombre{2500} \euro \fg{} ; \item \og cette personne est un homme ou son salaire est compris entre \nombre{2000} et \nombre{2500} \euro \fg{}. \end{enumerate} \item La personne choisie a un salaire compris entre 2000 et 2500 \euro, quelle est la probabilité que ce soit un homme ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Première partie} \medskip Pour un produit A, on a relevé au cours des huit derniers mois les prix de vente au kilogramme et les quantités achetées en milliers de tonnes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix de vente & & & & & & & &\\ en euro $x_i$ &1 &1,1 &1,2 &1,3 &1,4 &1,5 &1,6 &1,7\\ \hline Quantités ache- & & & & & & & &\\ tées en milliers &18 &17,9 & 17,6 & 17,3 & 17,4 & 17,2 &16,8 & 17\\ de tonnes $y_i$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i,~ y_i\right)$ correspondant à cette série statistique double dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques : \ding{226} sur l'axe des abscisses, 2~cm pour 10~centimes d'euro, en commençant à 1~euro, \ding{226} sur l'axe des ordonnées, 2 cm pour 0,10~millier de tonnes, en commençant à 16,8~milliers de tonnes. \item On se propose de faire un ajustement affine de ce nuage. On appelle G$_1$ le point moyen du nuage constitué par les quatre premiers points du tableau et G$_2$ le point moyen du nuage constitué par les quatre derniers points du tableau. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ \item Tracer la droite (G$_1$G$_2$) \item Déterminer par le calcul une équation de cette droite. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie} \begin{enumerate} \item Soit la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par \[f(x) = \dfrac{x}{4} + 1 + \dfrac{4}{x}.\] On note $f'$ la dérivée de $f'$ ; vérifier que $f'(x) = \dfrac{(x - 4)(x + 4)}{4x^2}$. En déduire le tableau de variations de $f$. \item Le coût de production, exprimé en million d'euro, pour fabriquer $q$ milliers de tonnes de produit A est donné par \[C(q) = 4 + q + \dfrac{q^2}{4}.\] Pour que l'entreprise existe, la production ne peut être inférieure à un millier de tonnes de produit A et ne peut être supérieure à 20 milliers de tonnes. \begin{enumerate} \item Déterminer $U(q)$ le coût unitaire de production d'un millier de tonnes de produit A, lorsque la production est de $q$ milliers de tonnes. \item L'entreprise décide de choisir le niveau de production qui minimisera son coût unitaire. En utilisant la question \textbf{1} de cette même partie, déterminer cette production. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane ACC ACA juin 2004 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers ACA ACC juin 2004 \hypertarget{Centres etrangers}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Centres étrangers~\decofourright\\ juin 2004}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip Une enquête a été effectuée sur un échantillon de 891 personnes actives afin de connaître leur situation par rapport au chômage.\\ On a pu relever les renseignements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item un onzième est au chômage ; parmi ces personnes au chômage, deux sur trois relèvent du secteur privé ; \item 508 travaillent et n'ont jamais été au chômage ; parmi ces 508 personnes, $69,7\:\%$ relèvent du secteur public. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau à l'aide des renseignements fournis (on arrondira les résultats à l'entier le plus proche). On ne demandera pas dejustifier les calculs. \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Secteur public& Secteur privé& Total\\ \hline Personnes travaillant et &&&\\ n'ayant jamais été au chômage&&&\\ \hline Personnes travaillant et& 94&& \\ ayant déjà été au chômage && & \\ \hline Personnes au chômage&&& \\ \hline Total&& 416& 891\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On contacte au hasard une des personnes interrogées. Chaque personne a la même probabilité d'être contactée. Dans cette question, les résultats seront arrondis sous forme décimale au centième. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements suivants \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item A : \og La personne relève du secteur privé \fg{} ; \item B : \og La personne travaille et n'a jamais été au chômage \fg{} ; \item C : \og La personne est au chômage ou a déjà été au chômage \fg{}. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Décrire par une phrase A ~$\cap$~ B. Calculer la probabilité de A ~$\cap$~ B ainsi que la probabilité de A ~$\cup$~ B. \end{enumerate} \item On contacte maintenant au hasard une des personnes du secteur privé. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement D : \og La personne travaille et n'a jamais été au chômage \fg{}. \item Décrire par une phrase l'évènement contraire $\overline{\text{D}}$ de D et calculer sa probabilité. \item Comparer et commenter les probabilités des événements C et $\overline{\text{D}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Chaque jour, une petite entreprise fabrique $x$ centaines de cartons d'emballages ($x$ étant compris entre 0 et 12). Le coût total de la fabrication journalière de ces cartons, en euros, est exprimé par \[f(x) = x^3 - 12x^2 + 50x + 126.\] \begin{enumerate} \item Quel est le montant des charges fixes ? La courbe $\mathcal{C}$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~ ;~12]. La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0~;~126). \item Lire graphiquement $f(8)$ et $f(12)$. \item établir, à partir du graphique, le tableau de variations de la fonction $f$. \item Dans le même repère, tracer la droite D d'équation $y = 50x$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On suppose que toute la production est vendue au prix de 50~euros les 100~cartons. La recette journalière totale, exprimée en euros, est donnée par \[R(x) = 50x.\] La droite D est la représentation graphique de la fonction $R$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le nombre minimum et le nombre maximum de cartons à fabriquer pour que l'entreprise réalise des bénéfices. (Justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.) \item Lire graphiquement le bénéfice réalisé par la production journalière de 800~cartons (justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le bénéfice journalier $B(x)$, exprimé en euros, est donné par la fonction $B$ définie par : \[B(x) = -x^3 + 12x^2 - 126.\] \item Calculer $B'(x)$ pour $x$ compris entre 0 et 12 où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$ et vérifier que $B'(x) = - 3x(x - 8)$. \item Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~12], puis établir le tableau de variations de $B$. \item En déduire le nombre de cartons à fabriquer chaque jour pour avoir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} Annexe de l'exercice 2 \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm} \begin{pspicture}(12,750) \psaxes[Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(12,750) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=0.05](0,0)(12,750) \multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,750)} \multido{\n=0+25}{31}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](0,\n)(12,\n)} \uput[dl](0,0){O} \qdisk(0,126){2pt} \uput[dr](0,126){A$(0~;~126)$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{12}{x 3 exp 12 x 2 exp mul sub 50 x mul add 126 add} \uput[u](9,350){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers ACA ACC juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% France ACC ACA juin 2004 \hypertarget{France2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.C.-A.C.A.} \lfoot{\small{France}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT A.C.C.-A.C.A.~\decofourright\\ France juin 2004}} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points } \medskip Les parties \textbf{A} et \textbf{B} peuvent être traitées de manière indépendante. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Le tableau suivant donne le prix (exprimé en euros) d'une machine de 1999 à 2004. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004\\ \hline Rang $x_i$ & 1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline Prix $y_i$ & \nombre{18300}& \nombre{18900}& \nombre{19800}& \nombre{20400}& \nombre{21000}& \nombre{21900}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~ y_i\right)$ associé à cette série statistique. On prendra sur l'axe des abscisses 2~cm pour unité, sur l'axe des ordonnées 1~cm pour un millier d'euros et en commençant à graduer à partir de \nombre{10000}. \item On choisit pour ajustement affine du nuage de points la droite D qui a pour équation $y = 700x + \nombre{17600}$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite D dans le repère orthogonal. \item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. \item Montrer par le calcul que G appartient à la droite D et le placer sur le graphique. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés utiles, l'estimation du prix de la machine en 2005. Retrouver ce résultat par le calcul. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Monsieur Guillaume, artisan menuisier, désire acquérir la machine en 2005. Au $1\up{er}$ janvier 2001, il a placé la somme de \nombre{16000} euros, à intérêts composés au taux annuel de $6,75\:\%$. On note $u_n$ le capital, exprimé en euros, disponible au $1\up{er}$ janvier de l'année $2001 + n$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1,~u_2$ et $u_3$ (arrondir à l'unité près). \item Montrer qu'il ne disposera pas au $1\up{er}$ janvier 2005 de la somme nécessaire à l'acquisition de la machine si le prix de celle-ci est estimé à \nombre{22500}~euros. Quelle somme lui manquera-t-il ? (arrondir à 100~euros près). \item Déterminer la somme, exprimée en euros, qu'il aurait dû placer au $1\up{er}$ janvier 2001 pour disposer du capital nécessaire à l'achat de la machine au $1\up{er}$ janvier 2005 (arrondir la somme à 10 euros près). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 12 points } \medskip Les parties \textbf{A} et \textbf{B} peuvent être traitées de manière indépendante. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Une enquête a été réalisée auprès des consommateurs de yaourts 250~personnes ont été interrogées. \begin{enumerate} \item Parmi les personnes interrogées : $\bullet~ 36\:\%$ achètent des yaourts à la ferme ; $\bullet~$ trois dixièmes achètent des yaourts moins d'une fois par semaine ; $\bullet~$ les trois cinquièmes de ceux qui achètent des yaourts moins d'une fois par semaine le font à l'hypermarché. Aucun des clients n'achète à la fois à la ferme et à l'hypermarché. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (aucune justification n'est demandée). \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Achètent une fois& Achètent moins& Total\\ \multicolumn{1}{c|}{}&par semaine ou plus& d'une fois par semaine& \\ \hline Achètent à la ferme& 60& & \\ \hline Achètent à l'hypermarché & & & \\ \hline Total & & & 250 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \textsl{Les probabilités demandées dans la question} \textbf{2} \textsl{ci-dessous seront données sous forme décimale.} \item On choisit au hasard une personne parmi les 250 acheteurs, toutes les personnes ayant la même probabilité d'être choisies. On considère les évènements : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item A : \og La personne choisie achète des yaourts moins d'une fois par semaine \fg, \item B : \og La personne choisie achète des yaourts à l'hypermarché \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p$(A) et $p$(B). \item Calculer $p(\text{A} \cap \text{B})$, puis en déduire $p(\text{A} \cup \text{B})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Monsieur Deschamps, agriculteur, fabrique des yaourts qu'il commercialise sous la marque \og Yaourts Des Champs \fg. Il désire promouvoir ses yaourts et fait distribuer des prospectus publicitaires dans les boîtes à lettres. Il estime, qu'après la distribution de $x$ milliers de prospectus, la probabilité qu'une personne prise au hasard dans la population connaisse les \og Yaourts Des Champs \fg{} s'exprime par la fonction $p$ définie par \[p(x) = \dfrac{4x+ 1}{5x+ 5},\] où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~11]. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au centième près). \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &1 & 2 & 3 & 4 & 8 & 9 & 11\\ \hline $p(x)$ & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout $x \in [0~;~11]$ : \[p'(x) = \dfrac{15}{(5x+ 5)^2},\] où $p'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $p$. \item Étudier le signe de $p(x)$ pour $x$ élément de [0 ; 11]. En déduire sur l'intervalle [0~;~11] le tableau de variations de $p$. \item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de $p$ dans un repère orthogonal. On prendra 1~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 20~cm pour unité sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés utiles, le nombre de prospectus qu'il faut distribuer pour que la probabilité qu'une personne connaisse les \og Yaourts Des Champs \fg{} soit égale à \begin{enumerate} \item 0,7 \item 0,75. \end{enumerate} En déduire le nombre de prospectus supplémentaires qu'il faut distribuer pour que la probabilité qu'une personne connaisse les \og Yaourts Des Champs \fg{} passe de 0,7 à 0,75. \item Monsieur Deschamps décide de ne faire distribuer que \nombre{5000} prospectus. Compte tenu des résultats précédents, expliquer son choix. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin France ACC ACA juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% La Réunion ACC ACA juin 2004 \hypertarget{LaReunion}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{ juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACA - ACC La Réunion~\decofourright\\juin 2004}} \vspace{0,5cm} Coefficient 2 \hfill Durée 2 heures \vspace{0,5cm} La calculatrice est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~10] par \[f(x) = 2x + \dfrac{18}{x}.\] La courbe représentée en annexe est la courbe représentative de cette fonction $f$. L'unité graphique est 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée. \begin{enumerate} \item Calculer $f(1)$ et $f(9)$. Les résultats trouvés sont-ils cohérents avec le graphique ? On justifiera la réponse en fournissant les tracés nécessaires. \item On note $f'$ la dérivée de $f$. Prouver que $f'(x) = \dfrac{2(x- 3)(x+3)}{x^2}$ avec $x$ réel de l'intervalle [1~;~10]. \item Étudier le signe de $f'$ et donner le tableau de variations complet de $f$ sur l'intervalle [1~;~10]. Est-il cohérent avec la courbe fournie en annexe ? Justifier. \item \begin{enumerate} \item Sachant que $f$ représente le coût total, en milliers d'euros, de la fabrication de $x$ tonnes d'un certain produit, déterminer, par lecture graphique, le nombre de tonnes de produit à fabriquer pour que ce coût soit égal à \nombre{20000} \euro. \item Combien faut-il fabriquer de tonnes de produit pour avoir un coût total minimum ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Un jour donné, le gérant d'un restaurant d'entreprise s'intéresse aux préférences culinaires des 500 employés qui viennent déjeuner dans son restaurant. Ce jour-là, ils ont le choix entre du poulet, du poisson ou un steak, accompagné de frites ou de haricots verts. Chaque employé prend une viande et un légume. Il remarque que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 40\: \% des employés choisissent le poulet ; parmi ceux-ci, il y en a 150 qui choisissent des frites ; \item[$\bullet~$] $\dfrac{1}{5}$ des employés choisit le poisson ; \item[$\bullet~$] le quart des employés choisit le steak-frites ; \item[$\bullet~$] toutes les personnes qui prennent du poisson l'accompagnent de haricots verts. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Après l'avoir reproduit, compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & Frites & Haricots verts & Total\\ \hline Poulet & 150 & & \\ \hline Poisson & & & \\ \hline Steak & & & \\ \hline Total & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Les résultats du \textbf{2 a} seront donnés sous forme de fraction irréductible. \item \begin{enumerate} \item On choisit un employé au hasard parmi les 500 convives. On note A l'évènement \og l'employé choisit un steak \fg{} et B l'évènement \og l'employé choisit des haricots verts \fg{}. $\bullet~$ Déterminer $p$(A), $p$(B) et $p(\text{A}~\cap~\text{B})$. $\bullet~$ En déduire la probabilité pour cet employé de choisir le steak ou les haricots verts. \item Parmi les gens qui prennent le steak, déterminer le pourcentage de ceux qui choisissent les haricots verts en accompagnement. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Pendant la semaine consacrée au nouvel an chinois, voulant sortir de la routine, le gérant décide de proposer à ses convives un plat exotique. Il s'inquiète de l'accueil fait à sa nouvelle recette et s'intéresse donc au nombre d'employés qui choisiront cette nouveauté. Il obtient les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Jour de la semaine & lundi & mardi & mercredi & jeudi & vendredi & samedi\\ \hline Rang $x_i$ du jour &1 &2 &3 & 4 & 5 & 6\\ \hline Nombre $y_i$ de plats & 29 & 37 & 63 & 70 & 112 & 149\\ exotiques choisis & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_i$ de coordonnées $\left(x_i~;~ y_i\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques 1~cm pour 1~unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~ unités sur l'axe des ordonnées. Prévoir de faire varier $x$ de 1 à 12 et $y$ de 0 à $150$ pour l'ensemble des questions à traiter dans la \textbf{partie B}. \emph{Les résultats des questions suivantes seront, si besoin est, arrondis à une décimale.} \item \begin{enumerate} \item On note G$_1$ le point moyen du sous-nuage associé aux trois premiers jours de la semaine. Calculer les coordonnées de G$_1$. \item On note G$_2$ le point moyen du sous-nuage associé aux trois jours restants. Calculer les coordonnées de G$_2$. \item Vérifier par le calcul que l'équation de la droite (G$_1$G$_2$) est $y = 22,4 x - 1,8$. \item Tracer (G$_1$ G$_2$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les employés accueillent favorablement ce nouveau plat. Le gérant décide alors de le proposer sur une semaine supplémentaire. En supposant que la progression linéaire se poursuive de la même façon cette semaine, estimer graphiquement le nombre de plats exotiques qui seront choisis le mercredi. On effectuera tous les tracés nécessaires à cette recherche (attention, le dimanche n'est pas travaillé !). Retrouver ce résultat par le calcul. \item Déterminer, par un calcul, le jour à partir duquel plus de la moitié des employés choisira ce plat. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\gray ANNEXE} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(12,24) %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-2)(16,12) \multido{\n=-2+2}{14}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](-2,\n)(12,\n)} \multido{\n=-2+1}{15}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,-2)(\n,24)} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(12,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-2)(0,24) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[dl](0,1){J} \psplot{1}{10}{x 2 mul 18 x div add} \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(2,12)(4,12) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion ACC ACA juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie ACC ACA juin 2004 \hypertarget{Polynesie2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A.-A.C.C.} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Polynésie ~\decofourright\\juin 2004}} \vspace{0,5cm} Coefficient 2 \hfill Durée 2 heures \vspace{0,5cm} La calculatrice est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points} \medskip Le service social d'une usine a mené une enquête sur le moyen de transport utilisé par ses 500~employés pour se rendre sur leur lieu de travail dans une ville de province. Les résultats de cette enquête ont montré que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $60\:\%$ des salariés se rendent sur leur lieu de travail en voiture. \item[$\bullet~$] $44\:\%$ des salariés habitent en banlieue, et parmi eux, 23 prennent l'autobus. \item[$\bullet~$] $14\:\%$ des salariés habitent en ville et prennent leur voiture pour se rendre à l'usine. \item[$\bullet~$] 75 employés habitent en ville et prennent l'autobus, ce qui représente un tiers de ceux qui habitent en ville. \item[$\bullet~$] 50 salariés habitent à la campagne et prennent leur voiture. \item[$\bullet~$] Aucun autobus ne dessert la campagne environnante. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de répartition suivant : \medskip \hspace*{-0,5cm} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de sa-& Nombre de sa- & Nombre de sa-&\\ \multicolumn{1}{c|}{}& lariés prenant&lariés prenant & lariés utilisant& \\ \multicolumn{1}{c|}{} & leur voiture & l'autobus & un autre moyen & Totaux\\ \multicolumn{1}{c|}{} & & & de transport &\\ \hline Nombre de sa-& && & \\ lariés vivant& 70 & & & \\ en ville & & & & \\ \hline Nombre de sa- & & & & \\ lariés vivant& & & & \\ en banlieue & & & & \\ \hline Nombre de sa-& & & & \\ lariés vivant à& 50 & & & \\ la campagne & & & & \\ \hline Totaux & & & & 500\\ \hline \end{tabular} \medskip \textsl{Les probabilités demandées dans les questions} ~\textbf{2} \textsl{et}~ \textbf{3} \textsl{seront données sous forme décimale exacte ou si besoin sous forme décimale arrondie à} 0,001 \textsl{près.} \item Lors d'une assemblée générale réunissant tous les salariés de l'usine, on interroge au hasard l'un des employés. On considère les évènements suivants, concernant l'employé interrogé : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item A : \og il prend le bus pour se rendre à l'usine \fg{}. \item B : \og il habite en ville \fg{}. \item C : \og il habite en banlieue et prend sa voiture pour aller au travail \fg{}. \item D : \og il ne prend ni bus ni voiture pour se rendre sur son lieu de travail \fg{}. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer $p$(A), $p$(B), $p$(C), $p$(D), probabilités respectives des évènements A, B, C, D. \item Décrire, à l'aide d'une phrase, l'évènement : A $~\cap~$B. Calculer la probabilité de cet évènement. \item Déduire des questions précédentes la probabilité de l'évènement : A $~\cup~$B. \item Calculer la probabilité de l'évènement E : \og il prend le bus ou habite à la campagne \fg{}. \end{enumerate} \item On interroge au hasard un habitant de la banlieue. Quelle est la probabilité pour que ce soit une personne prenant sa voiture pour se rendre à l'usine ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 11 points} \medskip Une entreprise fabrique et vend une quantité $x$ d'objets par jour, $x$ étant un nombre entier compris entre 10 et 100. Elle doit assumer des charges représentant un coût total quotidien dont le montant en euro est donné par : \[C(x) = 0,2x^2 + 8x + 500.\] \textbf{Partie A} \medskip On rappelle que le coût moyen unitaire de fabrication d'un objet est égal à $\dfrac{C(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que ce coût moyen unitaire est égal à : $0,2x + 8 + \dfrac{500}{x}$. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [10~;~100] par : \[f(x) = 0,2x + 8 + \dfrac{500}{x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. \item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{(x - 50)(0,2x + 10)}{x^2}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau complet des variations de la fonction $f$. \item En déduire la quantité d'objets fabriqués pour laquelle le coût moyen unitaire est minimum. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100\\ \hline $f(x)$& & & & & & & & 30,3 & & \\ \hline \end{tabularx}\] \emph{Les résultats seront arrondis au dixième.} \item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. Unités graphiques : axe des abscisses, 1~cm pour 10 ; axe des ordonnées, 2~cm pour 10. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Le prix de vente d'un objet dépend de la quantité produite et s'exprime, en euro, par la relation : $p(x) = 62 - \dfrac{x}{4}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la recette totale obtenue avec une production et une vente de 40~objets. \item Déterminer en fonction de la quantité $x$ produite et vendue le montant de la recette totale $R(x)$. \end{enumerate} \item Montrer que le résultat, en euro, de la vente de $x$ objets est alors donné par : \[B(x) = - 0,45 x^2 + 54 x - 500.\] \item \begin{enumerate} \item Calculer $B'(x)$ où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$. \item étudier le signe de $B'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [10~;~100], puis dresser le tableau des variations de la fonction $B$ sur cet intervalle. \end{enumerate} \item Quelle quantité d'objets doit-on produire et vendre pour que le résultat soit un bénéfice maximum ? Quel est alors ce bénéfice maximum ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie ACC ACA juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole ACA-ACC septembre 2004 \hypertarget{MetropoleACA}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC}%tapez un titre \lfoot{\small{France - La Réunion}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACA - ACC France - La Réunion~\decofourright\\ septembre 2004}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Un opérateur de radiotéléphonie est amené chaque année à réaliser des investissements considérables pour améliorer et étendre son réseau. Le tableau suivant donne les investissements réalisés par cet opérateur de 1998 à 2002, ainsi que le nombre d'abonnés obtenu : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline ANNÉES &1998 &1999 &2000 &2001 &2002\\ \hline Investissement $x_i$ & & & & & \\ en milliards d'euros &1 & 1,1 & 1,2 & 1,3 & 1,4\\ \hline Nombre d'abonnés & & & & & \\ $y_i$, en milliers & 90 & 100 & 105 & 110 & 112\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm pour 0,1~milliard d'euros en abscisses, et 5~cm pour 10~milliers d'abonnés en ordonnées. On commencera la graduation de l'axe des abscisses à 1 et celle des ordonnées à 80. \item Madame Armand propose d'ajuster le nuage par la droite $d$ d'équation $y = 50x + 45$. Vérifier que cette droite passe par les points A(1,1 ; 100) et B(1,3 ; 110). \item Madame Pons propose d'ajuster le nuage par la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 1,6] par $f(x) = a - \dfrac{b}{x}$. \begin{enumerate} \item Sachant que cette courbe passe par les points A et B, montrer que $a = 165$ et que $b = 71,5$. \item Compléter, après l'avoir recopié sur votre copie, le tableau suivant (arrondir les valeurs $f(x)$ à l'unité). \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 1 & 1,1 & 1,2 & 1,3 & 1,4 & 1,5 & 1,6\\\hline $f(x)$ & & 100 & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item En 2003, l'opérateur a augmenté ses investissements de 0,2~milliards d'euros. Le nombre d'abonnés observé a été de \nombre{118000}. \begin{enumerate} \item Calculer l'estimation du nombre d'abonnés en 2003 avec chacun des modèles proposés par Madame Armand et Madame Pons. \item En considérant la valeur effectivement observée en 2003, quel modèle vous paraît le plus approprié ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \textsl{Les trois parties A, B et C sont indépendantes.} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Une boîte de petits fours contient 50 gâteaux, qui sont chocolatés ou meringués ; par ailleurs ils sont soit de forme carrée, soit de forme ronde. Dans cette botte, il y a $30\:\%$ de petits fours chocolatés, et parmi ceux-ci, 10 petits fours sont carrés. De plus $60\:\%$ des gâteaux de la boîte sont ronds. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant, après l'avoir recopié sur votre copie. On ne demandera pas de justifier les calculs. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& petits fours ronds& Petits fours carrés& TOTAL \\ \hline Petits fours chocolatés & & & \\ \hline Petits fours meringués & & & \\ \hline TOTAL & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} À l'occasion d'un goûter, un enfant choisit au hasard un petit four de la boîte. Chaque petit four a la même probabilité d'être choisi. \item Calculer la probabilité des évènements suivants : A : \og L'enfant a choisi un petit four carré \fg{} ; B : \og L'enfant a choisi un petit four meringué \fg{} ; C : \og L'enfant a choisi un petit four carré et meringué \fg{} ; D : \og L'enfant a choisi un petit four carré ou meringué \fg{}. \item L'enfant a choisi un petit four rond. Chaque petit four rond a la même probabilité d'être choisi. Quelle est alors la probabilité que ce petit four soit chocolaté ? On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise fabrique et vend ce type de boîtes de petits fours. Le prix de vente d'une centaine de boites de petits fours est fixé à 450 euros. La production mensuelle varie de 20 à 150 centaines de boîtes. \begin{enumerate} \item On note $R(x)$ la recette en euros, obtenue pour la verte de $x$ centaines de boîtes de petits fours (où $R$ est une fonction définie sur [20~;~150]). Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$. \item Le coût total de production de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donné en euros par la fonction $C$ définie par \[C(x) = 6x^2 - 246x + \nombre{5184}\] $x$ étant un réel de l'intervalle [20 ; 150]. On donne, en annexe 1, \textbf{à joindre à la copie}, les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. \begin{enumerate} \item Préciser à l'aide de l'annexe 1 la courbe représentant la fonction $R$ et la courbe représentant la fonction $C$. \item Déterminer graphiquement les valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice (justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles). \item Déterminer graphiquement le bénéfice maximal que peut réaliserl'entreprise et la valeur de $x$ correspondante (justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice en euros, réalisé par l'entreprise est donné par la fonction $B$ définie par : \[B(x) = - 6 x^2 + 696x - \nombre{5184}.\] \item Déterminer la fonction dérivée $B'$ de la fonction $B$ sur l'intervalle [20~;~150] ; étudier son signe. Établir le tableau de variations de la fonction $B$. \item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le bénéfice est maximal, ainsi que ce bénéfice maximal. Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux de la question \textbf{2 c} ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip En décembre 2003, l'entreprise a réalisé un bénéfice de \nombre{13000} euros sur la vente de ces boîtes de petits fours. Elle décide, pour aider une association s'occupant d'enfants handicapés, de placer cette somme, à intérêts composés, pendant deux ans à compter du$1\up{er}$ janvier 2004, au taux mensuel de $0,4\:\%$. Quel sera le montant disponible pour l'association au terme de la période de deux ans, c'est à dire au $1\up{er}$ janvier 2006 ? Justifier votre réponse. \newpage \begin{landscape} \begin{center} \textbf{\gray ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.00009cm} \begin{pspicture}(150,120000) \psaxes[Dx=10,Dy=10000]{->}(0,0)(160,130000) \multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,120000)} \multido{\n=0+5000}{25}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(150,\n)} \psplot{20}{150}{450 x mul} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{20}{150}{x 2 exp 6 mul 246 x mul sub 5184 add} \uput[u](140,63000){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](140,89000){$\mathcal{C}_{1}$} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole ACA-ACC septembre 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%% Polynésie ACA-ACC septembre 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{PolynesieACA}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACA - ACC Polynésie \decofourright\\septembre 2004 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip En 1990, une entreprise de fabrication de jouets a été créée. Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du pourcentage des salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise. Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre $x$ d'années écoulées depuis 1990 et le pourcentage $y$ de salariés à temps partiel correspondant. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année&1992& 1994& 1995& 1998 & 1999 & 2001 & 2002 & 2003\\ \hline $x$& 2& 4& 5 & 8 & 9 & 11 & 12 & 13\\ \hline $y$ (en $\:\%$)& 8,9& 10,2 & 10,5& 12,2 & 12,3 & 13,2 & 13,8 & 14,9\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal \Oij{} d'unité graphique 1~cm, représenter le nuage des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. \item Placer le point G sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point G et de coefficient directeur 0,5. \begin{enumerate} \item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent. \item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item On réalise, â l'aide de la droite $\mathcal{D}$ à un ajustement affine du nuage représenté à la question \textbf{1}. À l'aide de cet ajustement, déterminer graphiquement : \begin{enumerate} \item le pourcentage de salariés à temps partiel dans l'entreprise en 2000 ; \item en quelle année le pourcentage des salariés dans l'entreprise atteindra $16\:\%$. \textsl{Pour ces deux questions, les traits nécessaires à la lecture devront figurer sur le graphique.} \end{enumerate} \item Retrouver par le calcul les résultats de la question précédente à l'aide de l'équation de $\mathcal{D}$ obtenue à la question \textbf{3. b.}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A \hfill 5 points} \medskip Un horloger bijoutier possède 100~montres dans son magasin. Les montres sont de deux types : des montres de type A (à affichage analogique) et des montres de type N (à affichage numérique). Certaines de ces montres ont un bracelet métal et les autres un bracelet plastique. On compte 45~montres de type A, 75~montres avec un bracelet plastique dont 40 sont de type N. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de répartition des montres du magasin : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & Montres avec & Montres avec & Total\\ \multicolumn{1}{c|}{} &bracelet métal & bracelet plastique & \\ \hline Montres de type A & & & \\ \hline Montres de type N & & & \\ \hline Total & & & 100\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Un client choisit au hasard une montre dans le magasin. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre de type A. \item Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre avec un bracelet métal. \item Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre de type A avec un bracelet métal. \item Calculer la probabilité pour que le client choisisse une montre de type A ou une montre avec un bracelet métal. \end{enumerate} \item Un client choisit au hasard une montre parmi celles qui ont un bracelet métal. Calculer la probabilité pour que le client achète une montre de type A. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B \hfill 7 points} \medskip Une entreprise fabrique et vend ce type de montres. On note $x$ ($x$ appartenant à l'intervalle [2~ ;~24]) le nombre de montres produites par jour. On appelle $C(x)$ le coût total journalier de fabrication (en euro) et $R(x)$ la recette totale journalière (en euro). Pour $x$ appartenant à l'intervalle [2~ ;~24], $R(x)$ et $C(x)$ sont donnés par \[R(x) = 20x \quad \text{et} \quad C(x) = x^2-4x+80.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 2 & 4 & 10 & 16 & 20 &22 & 24 &\\ \hline $C(x)$ & & & & & 272 & & & \\ \hline \end{tabularx}\] Calculer $R$(4) et $R$(20). \item Représenter graphiquement les fonctions $C$ et $R$. Unités graphiques : axe des abscisses : 1~cm pour 2~unités, axe des ordonnées : 2,5~cm pour 100~unités. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $B(x)$ le résultat journalier : $B(x) = R(x) - C(x)$. Calculer $B(x)$. \item À l'aide des résultats de la question \textbf{1.} déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles le résultat journalier est un bénéfice. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer $x$ pour que le bénéfice soit maximum. \begin{enumerate} \item Montrer que $B'(x) = - 2x + 24$, où $B'$ est la dérivée de la fonction $B$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$. \item Combien de montres faut-il produire pour réaliser un bénéfice maximum ? Quel est alors le montant de ce bénéfice maximum ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie ACC-ACA novembre 2004 \hypertarget{CaledonieACA}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACC-ACA} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACC--ACA Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\ novembre 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} \hfill 7 points} \medskip Une enquête portant sur \nombre{5000} clients d'une grande surface spécialisée en informatique a montré que $80\:\%$ des clients avaient bénéficié des conseils d'un vendeur. De plus $70\:\%$ des clients qui ont bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat alors que $20\:\%$ seulement des clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien de clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur ? \item Parmi les clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur, combien ont effectué un achat ? \item Recopier et compléter le tableau suivant : \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabular}{|*{4}{c|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & Ont effectué un achat&N'ont pas effectué &Total\\ \multicolumn{1}{c|}{}& &d'achat & \\ \hline Ont bénéficié des & & & \\ conseils d'un vendeur& & &\\ \hline N'ont pas bénéficié des& & &\\ conseils d'un vendeur& & &\\ \hline Total & & &\nombre{5000}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item On interroge au hasard un des clients sur lequel a porté l'enquête et on admet qu'il y a équiprobabilité. On considère les évènements suivants : A : \og le client a bénéficié des conseils d'un vendeur \fg{}, B : \og le client a effectué un achat \fg{}. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement A puis celle de l'évènement B. \item Définir par une phrase les évènements A $\cap$ B et A $\cup$ B. \item Calculer les probabilités $p(\text{A} \cap \text{B})$ et $p(\text{A} \cup \text{B})$ des évènements A $\cap$ B et A~$\cup$~B. \end{enumerate} \item On interroge au hasard un des clients qui a effectué un achat et on admet qu'il y a équiprobabilité. Quelle est la probabilité qu'il ait bénéficié des conseils d'un vendeur ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 13 points} \medskip Une entreprise de menuiserie produit et vend des tables. L'objectif de ce problème est de comparer les recettes et les coûts provoqués par cette activité. On note $x$ le nombre de tables fabriquées chaque semaine, $x$ étant un nombre entier compris entre 3 et 12. Le coût total de production de ces $x$ tables, exprimé en centaine d'euros, est donné par : \[C_{\text{T}} = 0,25x^2 + x + 20,25.\] \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A : Étude de fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[3~; ~ 12]$ par : \[f(x) = 0,25x^2 + x + 20,25.\] Pour tout entier $x$ de l'intervalle $[3~;~12]$, on a : $C_{\text{T}} = f(x)$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[3~;~ 12]$. \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 3 &4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline $f(x)$ & & & & & & &49,5 & & &\\ \hline \end{tabularx}\] \item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. Unités graphiques : axe des abscisses : 1~cm pour 1, axe des ordonnées : 1~cm pour 5. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B : Recherche d'un prix de vente} \medskip Toutes les tables fabriquées sont vendues et l'entreprise doit fixer le prix de son produit. On note $R(x)$ la recette, en centaine d'euros, occasionnée par la vente de $x$ tables. \begin{enumerate} \item La première proposition est un prix de 550 euros par table. \begin{enumerate} \item Calculer $R(10)$ dans ce cas. \item Donner l'expression de $R(x)$ en fonction de $x$. \item À l'aide de la \textbf{question 2 de la partie A}, expliquer pourquoi ce prix de vente ne peut pas convenir sur le plan commercial. \end{enumerate} \item La seconde proposition est un prix unitaire de 630 euros. \begin{enumerate} \item Calculer $R(x)$ dans ce cas. \item Représenter sur le graphique précédent la droite d'équation : $y = 6,3x$. \item En déduire graphiquement, en justifiant la réponse, les valeurs entières de $x$ appartenant à l'intervalle $[3~;~12]$ pour lesquelles la recette sera strictement supérieure au coût total. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer le nombre de tables fabriquées et vendues pour avoir un bénéfice maximum. \begin{enumerate} \item Montrer que l'expression du bénéfice est : \[B(x) = - 0,25x^2 + 5,3x - 20,25.\] \item Calculer $B'(x)$ où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$. En déduire les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[5~;~ 12]$ en précisant les valeurs extrêmes de $B(x)$. \item En déduire la valeur de $x$ qui procure un bénéfice maximum. On pourra calculer $B(10)$ et $B(11)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2004 %%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry CG IG avril 2004 \hypertarget{Pondichery2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-I.G.}%tapez un titre \lfoot{\small Pondichéry} \rfoot{\small{avril 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat STT C.G.-I.G. Pondichéry ~\decofourright\\ avril 2004} \vspace{0,5cm} Deux feuilles de papier millimétré sont nécessaires pour traiter ce sujet. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Les résultats (en pourcentage) d'une étude menée pour un Parc Naturel Régional concernant les nouveaux visiteurs en 2003 sont rassemblés dans le tableau suivant. Ils sont partagés entre touristes français et étrangers. Cette étude a été menée pour connaître la raison de la venue de ces touristes. \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l ||*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline &Français &étrangers& Total\\ \hline A : Bouche à oreille & 30 & & 35\\ \hline B : Publicité & 20 & 20 & \\ \hline C : Autre & & &\\ \hline Total & 70 & & 100\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau sur la feuille annexe 1. \item On interroge un touriste au hasard. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement F : \og cette personne est française \fg{} ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement B : \og cette personne est venue grâce à la publicité \fg{} ? \item Comment peut-on noter l'évènement : \og cette personne est française et elle est venue grâce à la publicité \fg{}. Quelle est la probabilité de cet évènement ? \item Comment peut-on noter l'évènement : \og cette personne est française ou est venue grâce à la publicité \fg{}. Quelle est la probabilité de cet évènement ? \end{enumerate} \item On interroge un touriste étranger au hasard. Quelle est la probabilité que cette personne soit venue grâce à la publicité ? \item On interroge au hasard une personne venue grâce au bouche à oreille. Quelle est la probabilité qu'elle soit française ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip \textbf{L'utilisation de papier millimétré est nécessaire pour traiter cet exercice.} Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au centième près. \begin{enumerate} \item Le loyer de monsieur X est révisé chaque année sur la base de la moyenne de l'indice trimestriel du coût de la construction. Cette moyenne est calculée sur quatre trimestres consécutifs. Le tableau suivant donne les indices pour chaque trimestre de l'année 2001 : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Trimestres & T 1 & T 2 & T 3 & T 4\\ \hline Indices &\nombre{1125}&\nombre{1139}&\nombre{1145}& \nombre{1140}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Calculer la moyenne de ces indices. On obtient ainsi l'indice moyen du 4\up{e} trimestre 2001. \item Le loyer mensuel de monsieur X au 4\up{e} trimestre 2000 était de 310~euros. Lors de la révision de son loyer en 2001, on lui propose un montant s'élevant à : \[310 \times \nombre{1137,25} \div \nombre{1098}.\] \begin{enumerate} \item Calculer le montant de son nouveau loyer. \item Quel est le pourcentage d'augmentation ? \end{enumerate} \item En observant les pourcentages de variation annuelle des indices moyens, trimestre après trimestre, monsieur X se demande s'il ne pourrait pas estimer la prochaine augmentation de son loyer. Ces pourcentages sont rassemblés dans le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &\multicolumn{2}{| c}{2001} &\multicolumn{3}{| c |}{2002}\\ \hline Trimestre &T 3 &T 4& T 1 & T 2& T 3\\ \hline Rang ~$x_i$ & 1 & 2& 3 & 4& 5\\ \hline Variation en pourcentage $y_i$ & +4,76 & + 3,57 & +3,36&+2,74&+2,12\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{Ce tableau permet de déterminer le pourcentage d'augmentation du loyer lors des réactualisations. Par exemple le loyer réactualisé sur la base du 4\up{e} trimestre $2001$ a été calculé ainsi:} \[310 \times \nombre{1,0357} = 321,08.\] \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M$ de coordonnées $\left(x_i,~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités : 2~cm pour les abscisses 1~cm pour $0,2\:\%$ pour les ordonnées en commençant à $1\:\%$. \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer dans le repère. \item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par G et de coefficient directeur égal à $- 0,61$. Construire $\mathcal{D}$ dans le repère. \item Estimer graphiquement le pourcentage correspondant au 4\up{e} trimestre 2002 en utilisant la droite $\mathcal{D}$ construite précédemment. Vérifier le résultat par un calcul. En déduire l'estimation du nouveau loyer de monsieur X, réactualisé sur la base du 4\up{e} trimestre 2002. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{L'utilisation de papier millimétré est nécessaire pour traiter ce problème.} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ lafonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[g(x)= 12x^2 + 17x + 36.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Calculer la dérivée $g'(x)$ et étudier son signe. \item Dresser le tableau de variations de $g$. \item Calculer $\displaystyle\int_0^3 g(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[h(x) = 36\text{e}^{0,5x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $h(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Calculer la dérivée $h'(x)$ et étudier son signe. \item Dresser le tableau de variations de $h$. \item \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $H(x) = 72\text{e}^{0,5x}$. Démontrer que pour tout réel $x$ positif : $H'(x) = h(x)$. \item En déduire $\displaystyle\int_0^3 h(x)\:\text{d}x$. On donnera le résultat en valeur exacte puis en valeur approchée à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant à l'unité. \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 &3\\ \hline $g(x)$ & & & & & & & \\ \hline $h(x)$ & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Dans un même repère orthogonal représenter les courbes représentatives $\mathcal{C}_g$ de $g$ et $\mathcal{C}_h$ de $h$. On prendra pour unités : 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10 sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie D Application économique} \medskip Dans une entreprise, pour une certaine machine, le coût instantané d'entretien est une fonction $f~:~ x \mapsto f(x)$ où $x$ représente l'âge de la machine en années et $f(x)$ le coût instantané d'entretien en milliers d'euros. On sait que cette fonction $f$ est encadrée sur l'intervalle [0~;~3] par $g$ et $h$. Sachant que le coût total d'entretien entre deux années $a$ et $b$ s'exprime par $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x$, donner un encadrement du coût total d'entretien de cette machine au bout de trois ans en euros. \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (Exercice 1)} \vspace{0,5cm} Document à rendre avec la copie \vspace{2cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{| l |*{3}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & Français &étrangers & Total\\ \hline A : Bouche à oreille & 30 & & 35 \\ \hline B : Publicité & 20 & 20 & \\ \hline C : Autre & & & \\ \hline Total & 70 & & 100 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry CG IG avril 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane CG IG juin 2004 \hypertarget{Antilles3}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-I.G.}%tapez un titre \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{juin 2004} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG Antilles juin 2004~\decofourright}} \vspace{0,5cm} Coefficient 2 \hfill Durée 2 heures \vspace{0,5cm} La calculatrice est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points } \medskip Deux candidats A et B sont présents au second tour d'une élection. Sur les 600~électeurs il y a 320~hommes. $20\:\%$ des hommes ont voté blanc ou nul ; il y a 73 femmes qui ont voté pour le candidat A ; il y a $42,5\:\%$ des électeurs qui ont voté pour le candidat B et il y a 118 votes blancs ou nuls. Les 600 personnes ont voté. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \backslashbox{Sexe de l'électeur}{Vote} &Candidat A & Candidat B & Blancs ou nuls & Total \\ \hline Hommes & & & &320\\ \hline Femmes &73 & & &\\ \hline Total & & &118 &600\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,4cm} \emph{Pour la suite, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible puis arrondis sous forme décimale à} $10^{-2}$ près. \item On interroge au hasard une personne ayaynt voté. Calculer la probabilité que cette personne ait voté pour le candidat B. \item On interroge au hasard une électrique. Calculer la probabilité qu'elle ait voté \og blanc ou nul \fg{}. \item On interroge au hasard une personne ayant voté pour le candidat A. Calculer la probabilité que ce soit une femme. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip \textbf{L'utilisation de deux feuiles de papier millimétré est nécessaire pour traiter cet exercice.} On a relevé de 1991 à 2000 les dépenses des ménages d'un pays, en achats de service. \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \text{année} &1991 &1992 &1993 &1994 &195 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000\\ \hline $x$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $z$ &200 &220 &245 &300 &365 &440 &540 &660 &800 &900\\ \hline \end{tabularx}\] $x$ représente le rang de l'année et $z$ les dépenses en achats de service ; $z$ est exprimé en milliers d'euro. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal représenter sur une feuille de papier millimétré le nuag e de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 1 ; \item sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente 100. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Peut-on de façon satisfaisante, envisager un ajustement affine ? \end{enumerate} \item On pose $y = \ln z_{i}$ et on obtient le tableau suivant : \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \text{année} &1991 &1992 &1993 &1994 &195 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000\\ \hline x &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline y &5,3 &5,4 &5,5 &5,7 &5,9 &6,1 &6,3 &6,5 &6,7 &6,8\\ \hline \end{tabularx}\] Dans un autre repère orthogonal représenter le nuage de points $P_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 1 ; \item sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente 0,1. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On fait partir l'axe des ordonnées de 5. \item On considère le point moyen $G_{1}$ des cinq premiers points $P_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ du nuage et le point moyen $G_{2}$ des cinq derniers points de ce même nuage. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des points $G_{1}$ et $G_{2}$. \item Tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$. \item Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y = mx + p$ ($m$ et$p$ arrondis à $10^{-3}$ près). \end{enumerate} \item On admettra que cette droite réalise un ajustement affine convenable du nuage de points $P_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. Déduire du \textbf{3 c} une expression de $z$ en fonction de $x$. \item Quel est le montant prévisible des dépenses des ménages en achats de service en 2005 ? On donnera le résultat en millions d'euro, arrondi à $10^{-3}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{L'utilisation d'une feuille de papier millimétré est nécessaire pour traiter ce problème.} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A } \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation suivante : \[2x^2 - 5x +2 = 0.\] \item On pose, pour tout nombre réel $x : P(x) = - 2x^2 + 9x - 7$. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$. \item Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $P(x) = (- 2x + 7)(x - 1)$. \item Déterminer, en fonction de $x$, le signe de $P(x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left(2x^2 - 5x + 2\right)\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $f(x) = 2\dfrac{x ^2}{\text{e}^x} - 5\dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x}$. \item À l'aide de $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}$, déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{\text{e}^x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Quelle interprétation graphique peut-on en faire ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, puis vérifier que $f'(x) = P(x)\text{e}^{-x}$. \item À partir du signe de $P(x)$, déterminé en \textbf{partie A}, déduire le signe de $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Déduire du \textbf{1.} de la \textbf{partie A} les solutions dans $\R$ de l'équation $f(x) = 0$ ; en déduire les coordonnées des deux points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (donner les valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près.) \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline $x$ &$-0,2$ &0 &0,5 &1 &2 &3 &3,5 &4 &5 &6\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx}\] \item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij. Unités graphiques : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses 1~cm représente 1 ; \item sur l'axe des ordonnées 4~cm représentent 1. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane CG IG juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers CG IG juin 2004 \hypertarget{Centresetrangers2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-I.G.} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG Centres étrangers juin 2004~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Un gérant décide de visualiser l'évolution des bénéfices réalisés depuis le nouvel aménagement de sa crêperie en 1999. Il souhaite établir des prévisions sur les bénéfices à venir. \begin{center} $1\up{er}$ Tableau \vspace{0,25cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années &1999 &2000 &2001 &2002 &2003\\ \hline $x_i$ : nombre d'années & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ depuis le nouvel aménagement & & & & &\\ \hline $b_i$ : bénéfices réalisés & 0,96& 1,69& 2,03& 2,31& 2,55\\ en dizaines de milliers d'euros & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Pour chaque valeur de $_i$1, on pose : $y_i = \text{e}^{b_i}$. On obtient le tableau suivant qu'on ne demande pas de justifier : \begin{center} $2\up{e}$ Tableau \vspace{0,25cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années &1999 & 2000 &2001 &2002 &2003\\ \hline $x_i$ : nombre d'années & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ depuis le nouvel aménagement & & & & &\\\hline $y_i = \text{e}^{b_i}$ & 2,6 & 5,4 & 7,6 & 10,1& 12,8\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ issus du $2\up{e}$ tableau, où : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 2 cm représentent une année sur l'axe des abscisses ; \item 1 cm représente une unité sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Soit G le point moyen des $M_i(x_i~;~y_i)$ issus du $2\up{e}$ tableau. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G, puis placer le point G. \item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par G et par le point A(4,5~;~11,45). Montrer que la droite $\mathcal{D}$ a pour équation : \[y= 2,5x+ 0,2\] et tracer la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Le gérant aimerait prévoir les bénéfices qu'il devrait réaliser pour l'année 2004 ; on considère que $\mathcal{D}$ est une droite d'ajustement affine de ce nuage de points. \begin{enumerate} \item À l'aide de l'équation de la droite $\mathcal{D}$ , calculer la valeur prévue de $y_{6}$ pour l'année 2004. Vérifier ensuite graphiquement la valeur trouvée (faire apparaître les traits de construction). \item En déduire la valeur du bénéfice $b_i$ prévu pour l'année 2004 arrondi à l'euro près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \textsl{Dans cet exercice, on donnera la valeur exacte de tous les résultats.} Lors de la dernière journée d'un championnat international d'athlétisme, les athlètes sont encouragés par \nombre{75000} spectateurs. $70\:\%$ des spectateurs sont français et $30\:\%$ sont étrangers. De plus, $85\:\%$ des spectateurs étrangers et $25\:\%$ des spectateurs français possèdent une licence d'athlétisme. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant (aucune justification n'est demandée) \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} &Licenciés & Non licenciés & Total\\ \hline Spectateurs français & & &\\ \hline Spectateurs étrangers & & &\\ \hline Total & & &\nombre{75000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On choisit une personne au hasard parmi les spectateurs. On note les évènements suivants $\bullet~$ F : \og le spectateur est français \fg{} ; $\bullet~$ L : \og le spectateur possède une licence d'athlétisme \fg{}. \begin{enumerate} \item Définir à l'aide d'une phrase les évènements suivants : $\overline{\text{F}},~\overline{\text{L}},~\text{F} \cap \text{L}$. \item Calculer les probabilités des évènements F et L. \item Calculer la probabilité de l'évènement $\text{F} \cap \text{L}$. En déduire la probabilité de l'évènement $\text{F} \cup \text{L}$. \end{enumerate} \item Le prix d'une place au tarif normal est de 70 euros. Sachant que chaque spectateur licencié obtient une remise de $10\:\%$, calculerla recette obtenue lors de la dernière journée des championnats. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip L'objet de ce problème est l'étude d'une fonction $f$ issue d'un problème économique. Soit \Oij{} un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm. Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) =\dfrac{1}{2}x^2 -6x + 8\ln x+ \dfrac{11}{2}.\] Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = x^2 - 6x + 8.\] On note $\mathcal{C}_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans le repère \Oij. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ dans $\R$ \[g(x) = (x - 2)(x - 4).\] étudier suivant les valeurs de $x$ le signe de $g(x)$. \item Étude des limites de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $0$. Que peut-on en déduire graphiquement ? \item On écrit $f$ sous la forme \[f(x)= x\left(\dfrac{1}{2}x-6\right) + 8\ln x + \dfrac{11}{2}.\] Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item étude des variations de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ et montrer que pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[$, on a : \[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}.\] \item À l'aide de la \textbf{question 1.} étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente T. \item Calcul d'une aire. \begin{enumerate} \item Hachurer la partie $\mathcal{E}$ du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 4$. Déterminer graphiquement le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4]. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[F(x)= \dfrac{x^3}{6} - 3x^2+ 8x \ln x - \dfrac{5}{2}x,\] est une primitive de la fonction $f$. \item Calculer la valeur exacte exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie $\mathcal{E}$. Donner une valeur décimale approchée arrondie à 0,01 près de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers CG IG juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole CG IG juin 2004 \hypertarget{Metropole4}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-G.I.} \lfoot{\small{Métropole métropolitaine}} \rfoot{\small{ juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT C.G - G.I. Métropole juin 2004~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Une commune désire aménager un nouvel espace vert. Une société de vente lui propose des lots A comprenant dix rosiers, un magnolia et un camélia pour un montant de 200~\euro{} ou des lots B comprenant cinq rosiers, un magnolia et trois camélias pour un montant de 300~\euro. Les besoins sont d'au moins 100~rosiers, 16~magnolias et 30~camélias. On désigne par $x$ le nombre de lots A, et par $y$ le nombre de lots B achetés. L'annexe 1 présente une solution graphique de ce problème. Ce graphique sera complété et remis avec la copie. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la contrainte concernant les rosiers ? Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ? \item Quelle est la contrainte concernant les magnolias ? Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ? \item Quelle est la contrainte concernant les camélias ? Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ? \end{enumerate} \item Si $d$ désigne la dépense totale en euros pour l'achat des $x$ lots A et $y$ lots B, montrer que : \[y = - \dfrac{2}{3} x+ \dfrac{d}{300}.\] Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = - \dfrac{2}{3} x+ \dfrac{d}{300}$ lorsque $d = \nombre{5400}$. \item Expliquer comment obtenir à l'aide du graphique le couple $(x ~;~ y)$ qui permet de satisfaire les besoins au coût le plus faible possible. Quel est ce couple ? Calculer alors la dépense minimale possible. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une urne contient quatre boules : deux rouges, une verte et une jaune, indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de cette urne. Après avoir noté la couleur de la boule obtenue, on la replace dans l'urne et on procède à un second tirage. On note alors à nouveau la couleur obtenue. \begin{enumerate} \item Dessiner l'arbre correspondant à cette expérience. \item Soit E l'évènement : \og les deux boules tirées sont rouges \fg{} et F l'évènement : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg{}. À l'aide de l'arbre, calculer les probabilités $p$(E) et $p$(F). \item Définir par une phrase l'évènement G = E ~$\cup$~ F. Calculer $p$(G). \item À l'aide de $p$(G), calculer $p$(H) où H est l'évènement : \og aucune des deux boules tirées n'est rouge \fg{}. \item Les boules de l'urne portent chacune un numéro : les rouges le numéro 1, la verte le numéro 2, la jaune le numéro 4. On s'intéresse maintenant aux numéros obtenus lors des tirages. On appelle $S$ la somme des numéros obtenus après le tirage des deux boules. Quelle est la probabilité que $S$ soit supérieure ou égale à 4 ? (on pourra faire apparaître les différentes sommes à l'extrémité des branches de l'arbre de la \textbf{question 1}). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = a + (x + b)\text{e}^{-x}.\] où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij avec pour unités graphiques 1~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f(x)$ , où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. \item \begin{enumerate} \item En annexe 2 est fourni le tracé de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Ce graphique sera remis complété avec la copie. Justifier que $f(0) = 2$ et $f'(0) = 2$. \item À l'aide de ces deux égalités, déterminer les réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On prend pour tout réel $x$ \[f(x) = 3 + (x - 1)\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Montrer que, pour tout réel $x$ : \[f(x) = 3 + \dfrac{x}{\text{e}^x} - \text{e}^{-x}.\] Sachant que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. En déduire une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ : \[f'(x) = (2 - x)\text{e}^{- x},\] où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. Dresser le tableau de variations de $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique en annexe 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : \[F(x) =x\left(3 - \text{e}^{-x}\right),\] est une primitive de $f$ sur $\R$. \item Déterminer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \vspace{0,5cm} \psset{unit=3.9mm} \begin{pspicture}(31,21) \psaxes[Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(31,21) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(31,21) \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(10,0)(0,20) \pspolygon[fillstyle=hlines](0,0)(16,0)(0,16) \pspolygon[fillstyle=crosshatch](0,0)(30,0)(0,10) \uput[u](2,17){$\mathcal{D}_1$} \uput[u](7,10){$\mathcal{D}_2$} \uput[u](22,3){$\mathcal{D}_3$} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{Annexe 2} \psset{xunit=0.9cm,yunit=1.8cm} \begin{pspicture}(-4,-1)(9,5) \psaxes[Dx=2,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(9,5) \psline(-1.5,-1)(1.5,5) \psline[linestyle=dotted](-4,4)(8,4) \psline[linestyle=dotted](-4,3)(8,3) \psline[linestyle=dotted](1,-1)(1,5) \psline[linestyle=dotted](2,-1)(2,5) \uput[l](-1.5,-0.8){T} \uput[dl](0,0){0} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole CG IG juin 2004%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% La Réunion CG IG juin 2004 \hypertarget{LaReunion2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-I.G.}%tapez un titre \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{ juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. La Réunion ~\decofourright\\juin 2004}} \vspace{0,5cm} Deux feuilles de papier millimétré sont nécessaires pour traiter ce sujet. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points } \medskip Dans une urne on place 4 jetons portant chacun une des lettres du mot \textbf{TARD}. On tire au hasard un jeton de l'urne et on le pose sur une table. On recommence 2 fois cette opération en plaçant le jeton tiré à droite de celui tiré précédemment : on obtient ainsi un mot de 3 lettres (qui n'a pas nécessairement une signification). \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut ainsi former 24 mots différents. \item Quelle est la probabilité d'obtenir le mot \og ART \fg{} ? \item Soient A et B les évènements suivants : A : \og Le mot obtenu contient une voyelle \fg{}, B : \og Le mot obtenu commence par une consonne \fg{}. Calculer les probabilités $p$(A) et $p$(B) des évènements A et B. \item \begin{enumerate} \item Définir par une phrase l'évènement $\overline{\text{A}}$. Calculer la probabilité $p(\overline{\text{A}})$ de l'évènement $\overline{\text{A}}$. \item Définir par une phrase l'évènement A ~$\cap$~ B Calculer la probabilité $p(\text{A} n \text{B})$ de cet évènement. \item Définir par une phrase l'évènement A ~$\cup$~ B. Calculer la probabilité $p(\text{A}~ \cup~ \text{B})$ de cet évènement. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le tableau suivant donne l'espérance de vie à la naissance des femmes et des hommes pour les années 1991 à 2000 en France. \begin{center} \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline années $i$& espérance de vie & espérance de vie\\ & des femmes $x_i$& des hommes $y_i$\\ \hline 1991 &81,2& 72,9\\ \hline 1992 & 81,5& 73,2\\ \hline 1993 & 81,5& 73,3\\ \hline 1994 & 81,9& 73,7\\ \hline 1995 & 81,9& 73,9\\ \hline 1996 & 82,1& 74,1\\ \hline 1997 & 82,3& 74,6\\ \hline 1998 & 82,4& 74,8\\ \hline 1999 & 82,5& 75,0\\ \hline 2000 & 82,7& 75,2\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage des points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ avec $x_i$ : espérance de vie des femmes, et $y_i$ : espérance de vie des hommes. (Unités graphiques : sur l'axe des abscisses 5~cm pour une année, en commençant la graduation à 81 ; sur l'axe des ordonnées 5~cm pour une année, en commençant la graduation à 72). \item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ du nuage formé des points M$_1$, M$_2$, M$_3$, M$_4$ et M$_5$ et celles du point moyen G$_2$ du nuage formé des points M$_6$, M$_7$, M$_8$, M$_9$ et M$_{10}$. \item On réalise un ajustement des points du nuage à l'aide de la droite (G$_1$G$_2$). Montrer que cette droite admet pour équation : $y = 1,675 x - 63,28$. \item Par lecture graphique, indiquer l'espérance de vie à la naissance des femmes quand celle des hommes sera de 76 ans. On fera apparaître les constructions utilisées. \item Retrouver par le calcul le résultat de la question \textbf{4.} (on donnera le résultat au dixième près). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{8 \ln x}{x^2}.\] On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative. \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes de $f(1),~f(\text{e})$ et $f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$. \item Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$ et interpréter graphiquement le résultat. \item Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement le résultat. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[~ :~f'(x) =8\dfrac{[1 - 2\ln (x)]}{x^3}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant des valeurs arrondies de $f(x)$ à $10^{-2}$ près : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0,7 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 4 & 5 & 7 & 10\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Déterminer une équation de la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente (U) à ($\mathcal{C}$) au point B d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$. \item Tracer (T), (U), ($\mathcal{C}$) et ses asymptotes dans un repère orthonormal \Oij du plan, unité graphique : 2 cm. \item Soit la fonction $G$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par \[G(x) = \dfrac{\ln (x) + 1}{x}.\] Calculer $G'(x)$ et en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$. \item Calculer la valeur exacte, puis approchée à $10^{-2}$ près, de l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion CG IG juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie CG IG juin 2004 \hypertarget{Polynesie4}{} \lhead{\small Baccalauréat STT A.C.C.-A.C.A.}%tapez un titre \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT ACC-ACA Polynésie~\decofourright \\septembre 2003}} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points} \medskip Le tableau ci-dessous présente la part en pourcentage des dépenses des ménages français consacrée à l'alimentation et celle consacrée aux services de santé. {\small \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline { Années} & 1960 & 1965 & 1970 & 1975 & 1980 & 1985 & 1990 & 1995\\ \hline Rang de l'année &0 &5 & 10 & 15 &20 &25 & 30 & 35\\ \hline Part des produits & 33,3 & 29,6&26 & 23,5 & 21,4 &20,7 &19,2 & 18,2\\ alimentaires (en $\%$) & & & & & & & & \\ \hline Part des services & 6 &6,1 &6,9 &7,8 &7,7 &8,4 &9,5 &10,3\\ de santé (en $\%$) & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} {\footnotesize\emph{Source : INSEE (les chiffres de l'économie -- Alternatives économiques HS numéro 50)}} Par exemple, dans le tableau précédent, les dépenses alimentaires, en 1970, représentent 26~\% des dépenses des ménages français. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points d'abscisse le rang de l'année et d'ordonnée la part en pourcentage des produits alimentaires en prenant pour unités graphiques : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 1 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisses ; \item 0,5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item L'aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite D$_1$ d'équation : $y = -0,418x + 31,31$. Construire la droite D$_1$ dans le repère précédent. \item En utilisant l'ajustement précédent, estimer la part en pourcentage des dépenses alimentaires des ménages français en 2005. On donnera ce pourcentage avec un seul chiffre après la virgule. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur le même graphique que précédemment, construire le nuage de points d'abscisse le rang de l'année et d'ordonnée la part en pourcentage des services de santé. \item Déterminer les coordonnées du point moyen G$_2$ de ce nuage et placer G$_2$ sur le graphique. \item L'aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite D$_2$ passant par G$_2$ et admettant comme coefficient directeur 0,123. Déterminer une équation de D$_2$ et la tracer. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection de D$_1$ et D$_2$. \item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de D$_1$ et D$_2$ à 0,1 près. \item Quelles prévisions fondées sur les ajustements précédents, l'abscisse de ce point d'intersection permet-elle de réaliser ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Première partie} \medskip Dans une entreprise piscicole, un bassin contient 100~poissons dont : $\bullet~$ dix tanches de moins de 40~centimètres ; $\bullet~$ vingt tanches mesurant strictement plus de 40~centimètres et moins de 60 centimètres ; $\bullet~$ dix carpes de moins de 40~centimètres ; $\bullet~$ quinze carpes mesurant strictement plus de 40~centimètres et moins de 60~centimètres ; $\bullet~$ trente carpes mesurant strictement plus de 60~centimètres ; $\bullet~$ cinq brèmes mesurant strictement plus de 40~centimètres et moins de 60~centimètres ; $\bullet~$ dix brèmes mesurant strictement plus de 60~centimètres. Reproduire et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \backslashbox{Taille $t$ (en cm)}{Poissons} & Tanches & Carpes & Brèmes & Total\\ \hline $0 \leqslant t \leqslant 40$ & & & 0 & \\ \hline $40 \leqslant t \leqslant 60$ & & 15 & & \\ \hline $t > 60$ & 0 & & & \\ \hline Total & & & & 100\\\hline \end{tabularx} \end{center} On admet que tous les poissons du bassin ont la même probabilité d'être pêchés. On pêche un poisson dans le bassin. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement E$_1$ : \og le poisson pêché est une tanche \fg{} ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement E$_2$ : \og le poisson pêché mesure strictement plus de 40~centimètres et moins de 60~centimètres \fg{} ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement E$_3$ : \og le poisson pêché est une tanche et mesure strictement plus de 40~centimètres et moins de 60~centimètres \fg{} ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement E$_4$ : \og le poisson pêché mesure strictement plus de 40~centimètres et moins de 60 centimètres ou c'est une tanche \fg{} ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Deuxième partie} \medskip Un bassin A contient 100~poissons dont exactement 20~gardons. Un bassin B contient $x$ gardons et 100~poissons autres que des gardons. $x$ est un nombre entier compris entre 1 et 30. On admet que, dans chaque bassin, tous les poissons ont la même probabilité d'être pêchés. \begin{enumerate} \item Un poisson est pêché dans le bassin A. Quelle est la probabilité $p_{\text{A}}$ que ce soit un gardon ? \item Un poisson est pêché dans le bassin B. Quelle est la probabilité $p_{\text{B}}$ que ce soit un gardon ? \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 30] par \[f(x) = \dfrac{x}{x + 100}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~30]. \item étudier le sens de variations de $f$ sur [1~;~30]. \item Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : - 0,5 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses, - 20 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées. \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0,2$. \end{enumerate} \item Combien doit-on placer au minimum de gardons dans le bassin B pour que $p_{\text{B}}$ soit supérieur à $p_{\text{A}}$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie CG IG juin 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane CG-IG septembre 2004 %%%%%%%% \hypertarget{AntillesCGIGsept}{} \lfoot{\small Antilles--Guyane} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G. Antilles--Guyane ~\decofourright\\ septembre 2004}\end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill} \medskip Un \og petit épargnant \fg{} place \nombre{1500}~\euro{} le 1\up{er} août 2002. À cette époque, le taux de placement à intérêts composés est de 3\:\% l'an. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par quel nombre doit-on multiplier \nombre{1500} afin d'obtenir la somme que cet épargnant aurait pu récupérer un an après ? \item Les sommes récupérables chaque année, les 1\up{er} août, forment une suite de nombres. Est-elle géométrique ou arithmétique ? Quelle est sa raison ? \item Cet épargnant espérait récupérer au août 2012 la somme ainsi placée avec ses intérêts. Quelle somme A pouvait-il espérer récupérer à cette date ? Quel aurait été alors le montant des intérêts en euro. \end{enumerate} \item Mais le 1\up{er} août 2003, le gouvernement a décidé de baisser ce taux d'intérêts à 2,25\:\%. \begin{enumerate} \item Calculer la somme que cet épargnant pourra récupérer le 1\up{er} août 2004. \item Supposons que ce taux d'intérêts composés de 2,25\:\% reste inchangé jusqu'au 1\up{er} août 2012, quelle somme B pourra-t-il récupérer ainsi à cette date? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle sera au 1\up{er} août 2012 la différence A~$-$~B en euro. \item Que représente en pourcentage cette différence par rapport au montant de l'intérêt espéré calculé à la question \textbf{1. c.}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill} \medskip Un promoteur étudie la construction d'une résidence composée de studios et de petits appartements. Il prévoit pour un studio une surface habitable de $30$~m$^2$ et une fenêtre et espère le vendre \nombre{60000}~euros. Pour un petit appartement, il prévoit une surface habitable de $50$~m$^2$ et $3$ fenêtres et espère le vendre \nombre{120000}~euros. Il veut que la residence ait au moins $20$ logements. Il dispose de \nombre{1160}~m$^2$ de surface habitable et $60$ fenêtres. Par ailleurs, il se peut pas vendre plus de $15$~studios. Le but de l'exercice est de déterminer le nombre $x$ de studios et le nombre $y$ de petits appartements que le promoteur doit construire pour réaliser an chiffre d'affaires maximal. \begin{enumerate} \item Déterminer on système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes du problème. \item On se place dans un repère orthonormal \Oij{} (unité : $0,5$~cm). Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : \[\left\{ \begin{array}{l c r} 0 \leqslant x& \leqslant& 15\\ y & \geqslant &0\\ x +y &\geqslant &20 \\ 3x+ 5y &\leqslant & 116\\ x + 3y &\leqslant & 60\\ \end{array} \right.\] \emph{On hachurera la partie du plan ne convenant pas.} \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le chiffre d'affaires $C$, exprimé en euro, correspondant à la vente de $x$ studios et de $y$ petits appartements. \item Déterminer l'équation de la droite $\Delta_{C}$ correspondant à un chiffre d'affaires $C$. On mettra cette équation sous la forme $y = ax + b$. \item Tracer la droite $\Delta_{C}$ avec $C = \nombre{2160000}$. \end{enumerate} \item Déterminer à l'aide du graphique, en le justifiant, le nombre $x$ de stufios et le nombre $y$ de petits appartements à construire pour permettre au promoteur de réaliser un chiffre d'affaires maximal. Calculer ce chiffre d'affaires maximal. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill} \medskip Une entreprise veut lancer une nouvelle boisson haut de gamme. Elle va ainsi faire un essai dans les hypermarchés dune ville pendant un mois. Pour ce faire, elle recrute en contrat à durée déterminée, à temps partiel, une \og ani\-matrice-démonstratrice \fg{} qu'elle paiera directement sans participation des hypermarchés. Les capacités de production de l'entreprise, pour cet essai sur un mois, sont limitées à \nombre{1500}~boissons. Toutes les boissons produites sont vendues aux hypermarchés. \medskip \textbf{Partie A - Lecture graphique} \medskip Sur le graphique page suivante, pour tout entier naturel $x$ sur l'intervalle [0~;~\nombre{1500}], $C(x)$ est le coût dc production en euro pour $x$ boissons produites, et $R(x)$ est la recette en euro pour $x$ boissons vendues aux hypermarchés. Les résultats lus graphiquement seront justifiés par des tracés sur l'annexe. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $C(0)$ : que représente ce nombre ? \item Pour quel nombre $x$ de boissons produites, le coût de production est-il maximum ? Quel est ce coût ? \item Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ pour $x$ variant de $0$ à \nombre{1500}. \item Pour quel(s) nombre(s) de boissons produites le coût de production est-il égal à \nombre{1250} ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour quel nombre de boissons produites et vendues le bénéfice pour cette entreprise est-il nul ? \item Pour quelles valeurs de $x$ l'entreprise fera-t'elle un bénéfice ? Quel pourrait être, en euro, son bénéfice maximum ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que la recette est donnée par la fonction $R$ définie pour tout $x$ de l'ensemble [0~;~\nombre{1500}] par : $R(x) = 1,5x$, quel est le prix payé par les hypermarchés pour une boisson ? \item En fait, la fonction $C$ représentée ici, est telle que pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~\nombre{1500}] : \[C(x) = \dfrac{- x^2}{\nombre{1000}} + 2x + 500.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~\nombre{1500}] par \[B(x) = \dfrac{x^2}{\nombre{1000}} - 0,5x- 500.\] \item On note $B'$ la dérivée de $B$, calculer $B'(x)$. \item Déterminer le signe de $B'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~\nombre{1500}]. \item Pour quel nombre de boissons produites et vendues l'entreprise réalise-t-elle une perte record ? Quelle est cette perte ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{2cm} \begin{center} \textbf{Graphique} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.006cm} \begin{pspicture}(-200,-200)(1800,2250) \uput[d](1550,-50){{\small Nombre de boissons}} \uput[r](0,2200){{\small en euro}} \uput[d](1500,0){1 500} \uput[d](100,0){100} \uput[l](0,100){100} \uput[d](1000,0){1000} \multido{\n=-200+25}{81}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-200)(\n,2250)} \multido{\n=-200+100}{21}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-200)(\n,2250)} \multido{\n=-200+25}{99}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-200,\n)(1800,\n)} \multido{\n=-200+100}{26}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-200,\n)(1800,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(-200,-200)(1800,2250) \pstextpath[r](10,20){\psplot{0}{1500}{1.5 x mul}}{$y = R(x)$~~~~} \pstextpath[c](10,20){\psplot{0}{1500}{2 x mul 500 add x 2 exp 1000 div sub}}{$y = C(x)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane CG IG septembre 2004 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre CG IG 2004 \hypertarget{Metropole3}{} \lhead{\small Baccalauréat STT CG - IG } \lfoot{\small{France métropolitaine}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG France ~\decofourright\\septembre 2004}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip On interroge 100 clients d'un hypermarché pour connaître leurs avis sur deux produits génériques A et B. Les résultats sont les suivants : tous les clients ont répondu, $20$~clients sont satisfaits des deux produits, $35$~clients sont satisfaits du produit A et $27$~clients ne sont satisfaits que du produit B. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \hspace{-0,5cm} \begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline Nombre de personnes & Satisfaites de A & Non satisfaites de A & Total\\ \hline Satisfaites de B & & & \\ \hline Non satisfaites de B& & & \\ \hline Total & & &100\\ \hline \end{tabularx} \item On interroge un client au hasard. Dans chacun des cas suivants, calculer, en justifiant la réponse,la probabilité que ce client soit : \begin{enumerate} \item satisfait de B ; \item satisfait de A seulement ; \item non satisfait des deux produits ; \item satisfait d'un seul produit ; \item satisfait d'au moins un produit. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Dans le tableau suivant figurent les données concernant les ventes annuelles, pendant six années consécutives, d'une entreprise spécialisée dans un seul type de produit. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline Nombre de ventes en &2,6 &4,3 &8,2&11,1 &23,4 &30,0 \\ milliers : $v_i$ & & & & & & \\ \hline $y_i = \ln (v_i)$ & 0,96& & & & & 3,40\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter la dernière ligne du tableau (où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) par les valeurs manquantes de $y_i$, arrondies au centième près. \item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~ y_i\right)$ dans un repère orthonormal du plan (unité graphique $2$~cm). \item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. \item Sur le graphique précédent, tracer la droite D d'équation : $y = \dfrac{1}{2}x + 1$. Pour la suite, on admet que cette droite ajuste correctement le nuage de points. \item Montrer que le nombre $v_i$ de ventes en fonction du rang $x_i$ de l'année est : \[v_i = \text{e}^{1 + \frac{1}{2}x_i}.\] \item Donner une estimation du nombre de ventes, pour l'année de rang $6$ (en admettant que la tendance observée entre l'année de rang $0$ et l'année de rang $5$ se poursuive). \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}.\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). \item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = \dfrac{1}{x}[1 + \ln (x)]$, déterminer la limite de $f$ en $0$. En déduire l'existence d'une deuxième asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$ est définie par : $f'(x) = - \dfrac{\ln (x)}{x^2}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre sur $]0~;~ + \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. \item Recopier et compléter le tableau suivant (chaque valeur manquante sera donnée arrondie au centième) \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{4}$ &\rule[-3mm]{0mm}{8mm}&$\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{4}$ & 2 & 4 & 8 \\ \hline $f(x)$ & & & 0 & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$) en prenant 2 cm pour unité graphique \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[F(x) = \ln (x) + \dfrac{1}{2}[\ln (x)]^2.\] Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Hachurer sur le graphique la partie du plan située entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie hachurée. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole CGIG septembre 2004 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2004 \hypertarget{Polynesie3}{} \lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG Polynésie~\decofourright \\ septembre 2004}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Madame Maréchal tient une librairie pour la jeunesse. Une grande partie de sa clientèle lit des romans ou des bandes dessinées (BD). Pour approvisionner son rayon cette libraire a besoin d'au moins $5$ romans et $20$~BD, mais ne peut dépasser les $180$~ouvrages au total. La place nécessaire, en moyenne, est de $3$~cm pour un roman et de $2$~cm pour une BD. Madame Maréchal ne dispose que de $4,80$~m de longueur d'étagères pour ces ouvrages. On note $x$ le nombre de romans et $y$ le nombre de BD en rayonnage. \begin{enumerate} \item Montrer que les contraintes de l'énoncé peuvent se traduire par le système d'inéquations suivantes : \[\left\{\begin{array}{l c l} x & \geqslant & 50\\ y & \geqslant & 20\\ x + y & \leqslant &180\\ 3x + 2y & \leqslant & 480\\ \end{array}\right.\] où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. \item À tout couple $(x~;~y)$, on associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans le repère orthonormal \Oij. Unités graphiques : $1$~cm pour $10$~unités. Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées vérifient les contraintes (on hachurera la zone ne convenant pas). Cet ensemble est l'intérieur d'un quadrilatère. On déterminera précisément par le calcul les coordonnées des sommets de ce quadrilatère. \item Madame Maréchal réalise un bénéfice de $0,50$~\euro{} par roman et de $0,40$~\euro{~} par BD. Elle désire connaître le nombre de romans et de BD pour obtenir un bénéfice maximal dans l'hypothèse où elle vend la totalité de ses ouvrages. \begin{enumerate} \item Exprimer son bénéfice $B$ en fonction de $x$ et de $y$. \item Tracer les droites (D$_1$) et (D$_2$) correspondant respectivement à un bénéfice $B_1$, de $100$~\euro{} et à un bénéfice $B_2$ de $80$~\euro. Justifier que ces droites sont parallèles. \item À l'aide du graphique, déterminer alors le nombre de romans et le nombre de BD que Madame Maréchal doit avoir en rayon pour obtenir un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Chez un marchand de journaux $180$ revues ont été accidentellement mélangées. $30\:\%$ de ces revues sont des mensuels, les autres sont des hebdomadaires. $125$ sont des programmes de télévision et $34\:\%$ d'entre eux sont des hebdomadaires. Il y a $11$ mensuels consacrés au sport et $9$ des hebdomadaires sont des revues d'informatique. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c |}{} & Informatique& Programmes TV & Sport & Total\\ \hline Mensuels & & & & \\\hline Hebdomadaires & & & & \\\hline Total & & & &180\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textsl{Les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \item On ramasse une revue au hasard. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : \begin{enumerate} \item A : \og La revue est mensuelle \fg{} ; \item B : \og La revue n'est pas une revue d'informatique \fg{} ; \item C : \og La revue est consacrée ce sport. \fg{} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement L : \og La revue est un mensuel consacré au sport \fg{}. \item En déduire la probabilité de l'évènement A ~$\cup$~ C. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A : Étude de la fonction $f$ et tracé de la courbe \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath} \medskip On considére la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x} + 2x - 2.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. Unité graphique : $2$~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme : \[f(x) = \dfrac{1}{x}\left(\ln x + 1 + 2x^2 - 2x\right).\] En déduire la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{2x^2 - \ln x}{x^2}$. \item En admettant que $2x^2 - \ln x$ est strictement positif sur $]0~;~+ \infty[$ étudier le signe de $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant les valeurs décimales de $f(x)$ arrondies à $10^{-2}$ près. \medskip \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0,3 & 0,4 & 0,5& 0,6 & 0,7 & 0,8\\ \hline $f(x)$& & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \medskip \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que ses asymptotes. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B : Calcul intégral} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + \ln x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$. \item En déduire qu'une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est donnée par \[F(x) = h(x) + x^2 -2x.\] \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. \item À partir des variations de la fonction $f$ déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [1~;~e]. \item Interpréter graphiquement $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie CGIG septembre 2004 %%%%%%%%%%%%%% \newpage %%% La Réunion septembre 2004 \hypertarget{LaReunion3}{} \lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG La Réunion ~\decofourright\\septembre 2004}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip On interroge 100~clients d'un hypermarché pour connaître leurs avis sur deux produits géneriques A et B. Les résultats sont les suivants : tous les clients ont répondu. $20$~clients sont satisfaits des deux produits. $35$~clients sont satisfaits du produit A et $27$~clients ne sont satisfaits que du produit B. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline Nombre de personnes &satisfaites de A& non satisfaites de B & Total\\ \hline Satisfaites de B & & & \\ \hline Non satisfaites de B & & & \\ \hline Total & & &100 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On interroge un client au hasard. Dans chacun des cas suivants, calculer, en justifiant la réponse, la probabilité que ce client soit : \begin{enumerate} \item satisfait de B \item satisfait de A seulement ; \item non satisfait des deux produits ; \item satisfait d'un seul produit ; \item satisfait d'au moins un produit. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Dans le tableau suivant figurent les données concernant les ventes annuelles, pendant six années consécutives, d'une entreprise spécialisée dans un seul type de produit. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline Nombre de ventes en & & & & & & \\ milliers : $v_{i}$ &2,6 & 4,3 & 8,2 & 11,1 &23,4 & 30,0\\ \hline $y_{i} = \ln (v_{i})$ & 0,96 & & & & & 3,40\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter la dernière ligne du tableau (où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) par les valeurs manquantes de $y_{i}$ arrondies au centième près. \item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthonormal du plan (unité graphique $2$~cm). \item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. \item Sur le graphique précédent, tracer la droite D d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$. Pour la suite, on admet que cette droite ajuste correctement le nuage de points. \item Montrer que le nombre $v_{i}$ de ventes en fonction du rang $x_{i}$ de l'année est : \[v_{i} = \text{e}^{1 + \frac{1}{2}x_{i}}.\] \item Donner une estimation du nombre de ventes, pour l'année de rang 6 (en admettant que la tendance observée entre l'année de rang 0 et l'année de rang 5 se poursuive). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). \item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln (x))$, déterminer la limite de $f$ en $0$. En déduire l'existence d'une deuxième asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ est définie par : $f'(x) = - \dfrac{\ln (2x)}{x^2}$. \item Étudier le signe de $f(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre sur $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. \item Recopier et compléter le tableau suivant (chaque valeur manquante sera donnée arrondie au centième) \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ \rule[-3mm]{0mm}{8mm}& $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{4} $& & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{4}$ & 2 & 4 & 8\\ \hline $f(x) $& &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} & 0 & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$) en prenant $2$~cm pour unité graphique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \ln (x) + \dfrac{1}{2}\left[ \ln (x)\right]^2$. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty[$. \item Hachurer sur le graphique la partie du plan située entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie hachurée. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%% La Réunion CGIG septembre 2004 %%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2004 \hypertarget{Caledonie3}{} \lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\ novembre 2004} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Le personnel d'une entreprise est constitué de $180$~femmes et de $200$~hommes. Afin d'appliquer la loi anti-tabac, on réalise une étude dans l'entreprise, sur le comportement des employés face au tabac. Les résultats de l'étude indiquent que : $\bullet~$ Parmi les hommes la moitié fume régulièrement et $20\:\%$ sont des fumeurs occasionnels. $\bullet~$ Une femme sur trois fume régulièrement. $\bullet~$ Autant d'hommes que de femmes fument occasionnellement. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant, en justifiant les calculs : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & Hommes & Femmes & Total\\ \hline Fumeurs réguliers & & & \\ \hline Fumeurs occasionnels & 40 & &\\ \hline Non fumeurs & & & 140 \\ \hline Total & & & 380\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textsl{Dans les questions suivantes, tous les résultats seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible.} \item On choisit au hasard une personne de l'entreprise. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements suivants : A : \og la personne choisie est non fumeur \fg{}. B : \og la personne choisie est une femme \fg{}. \item Définir, à l'aide d'une phrase, l'évènement A $\cap$ B, puis calculer sa probabilité. \item Définir. à l'aide d'une phrase, l'évènement A $\cup$ B, puis calculer sa probabilité. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Sur la feuille annexe 1, (à rendre avec la copie) dans un repère orthonormal \Oij, on a construit les droites D et D$'$ d'équations respectives : D : $2x + y = 24$ D$'$ : $2x + 3y = 36$. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point I, intersection des droites D et D$'$. \item Hachurer sur la feuille annexe 1, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient : \[\left\{\begin{array}{l c l} x & \geqslant & 0\\ 0 \leqslant & y & \leqslant 9\\ 2x + y & \leqslant & 24\\ 2x +3y & \leqslant & 36\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en hêtre, les autres sont en chêne. En raison de contraintes liées à l'approvisionnement, cet artisan ne peut produire plus de $9$~portes en chêne par semaine. La fabrication d'une porte en hêtre dure $4$~heures et nécessite $2$~m$^2$ de bois. Celle d'une porte en chêne dure 2 heures et nécessite $3$~m$^2$ de bois. L'artisan ne travaille pas plus de $48$~heures par semaine et il ne peut pas entreposer plus de $36$~m$^2$ de bois dans son atelier. Soit $x$ le nombre de portes en hêtre fabriquées et $y$ le nombre de portes en chêne fabriquées par semaine ($x$ et $y$ sont des nombres entiers). \begin{enumerate} \item Déterminer, en justifiant les réponses, le système d'inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l'artisan. \item Utiliser le graphique réalisé dans la \textbf{partie A} pour répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Si l'artisan produit 3 portes en hêtre, combien de portes en chêne peut-il fabriquer ? \item Si l'artisan produit $5$ portes en chêne, combien de portes en hêtre peut-il fabriquer ? \end{enumerate} \item L'artisan fait un bénéfice de $30$~\euro{} sur une porte en hêtre et un bénéfice de $20$~\euro{} sur une porte en chêne. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice total réalisé, lorsque $x$ portes en hêtre et $y$ portes en chêne sont vendues. On admet que la droite $\Delta$ d'équation $3x + 2y = 18$ contient les points dont les coordonnées correspondent à un bénéfice de $180$~\euro. Construire la droite $\Delta$ sur le graphique de la feuille annexe 1. \item Déterminer graphiquement te nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal. Expliquer la méthode suivie. \item Quel est, alors, ce bénéfice en euros ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème }\hfill 10 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie 1. Étude graphique} \medskip Sur la feuille annexe 2, on a construit une portion de la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij, d'unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $0,5$~cm sur l'axe des ordonnées. On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Soit A le point de coordonnées $(1~;~-4)$. La droite (OA) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \begin{enumerate} \item En utilisant le graphique, donner un encadrement de $f(-3)$ par deux entiers consécutifs. \item Par lecture graphique il semblerait que la courbe $\mathcal{C}$ ait une droite asymptote au voisinage de moins l'infini. Quelle serait alors son équation ? \item Déterminer graphiquement le nombre dérivé $f'(0)$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie 2. Étude de la fonction} $\mathbf{f.}$ \medskip La fonction $f$ est la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 5.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. \item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \text{e}^{2x}\left(1 - \dfrac{6}{\text{e}^x} + \dfrac{5}{\text{e}^{2x}}\right)$. En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. \item Les réponses aux questions précédentes permettent-elles de confirmer l'observation faite à la question \textbf{2.} de la \textbf{partie 1} ? Justifier votre réponse. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 3\right)$. \item Étudier le signe de $f'(x)$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$, puis dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie 3 Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer quo la fonction $F$ définie sur $\R$ par \[F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 5x\] est une primitive de $f$ sur $\R$. \item Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 2, la partie $\mathcal{E}$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 2$ et $x = 0$. \item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$ puis sa valeur approchée arrondie au centième. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe 1\\ à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(19,18) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-0.5,0)(19,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-0.5)(0,18) \psplot{3}{12.3}{24 x 2 mul sub} \psplot{0}{19}{12 x 0.666667 mul sub} \uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[r](12.3,-0.5){D} \uput[d](18,0){D$'$} \uput[ur](9,6){I} \multido{\n=0+1}{20}{\psline(\n,-0.1)(\n,0.1)} \multido{\n=0+1}{19}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe 2\\ à rendre avec la copie} \vspace{2cm} Courbe $\mathcal{C}$ représentation graphique de la fonction $f$ \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.333cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-5,-7)(4,20) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(4,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-7)(0,20) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[u](-4,5){$\mathcal{C}$} \uput[ur](1,-4){A} \psline(-5,20)(2,-8) \multido{\n=-5+1}{10}{\psline(\n,-0.1)(\n,0.1)} \multido{\n=-7+1}{28}{\psline(-0.05,\n)(0.05,\n)} \psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{2.067}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 6 mul sub 5 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie CGIG novembre 2004%%%%%%%%%%%%%%% \end{document}