\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,multido} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{A. P. M. E. P.} \lhead{\small L'intégrale 2005} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STT 2005 \decofourright \\\vspace{0,5cm} L'intégrale de mars à novembre 2005}} \vspace{0,5cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{0,5cm} {\Large \hyperlink{Nouvelle-Caledonie2}{Nouvelle-Calédonie ACA-ACC mars 2005} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry ACA-ACC mars 2005} \dotfill 5 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles ACA-ACC juin 2005} \dotfill 7 \medskip \hyperlink{Metropole2}{Métropole ACA-ACC juin 2005} \dotfill 12 \medskip \hyperlink{La Reunion2}{La Réunion ACA-ACC juin 2005} \dotfill 15 \medskip \hyperlink{Polynesie2}{Polynésie ACA-ACC juin 2005} \dotfill 18 \medskip \hyperlink{La Reunion}{Métropole--La Réunion ACA-ACC septembre 2005} \dotfill 20 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie septembre ACA-ACC 2005} \dotfill 22 \medskip \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie ACA-ACC novembre 2005} \dotfill 25 \medskip \medskip\hrule\medskip \hyperlink{Pondichery2}{Pondichéry CG-IG 31 mars 2005} \dotfill 27 \medskip \hyperlink{Antilles-Guyane}{Antilles-Guyane juin 2005 CG-IG juin 2005} \dotfill 30 \medskip \hyperlink{Metropole4}{Métropole juin 2005 CG-IG juin 2005} \dotfill 33 \medskip \hyperlink{La Reunion4}{La Réunion juin 2005 CG-IG juin 2005} \dotfill 37 \medskip \hyperlink{Polynesie4}{Polynésie juin 2005 CG-IG juin 2005} \dotfill 39\medskip \hyperlink{Polynesie3}{Polynésie septembre 2005 CG-IG} \dotfill 43 \medskip \hyperlink{Caledonie2}{Nouvelle--Calédonie CG-IG novembre 2005} \dotfill 45 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie ACC ACA mars 2005 \hypertarget{Nouvelle-Caledonie2}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~ BaccalaurŽéat STT ACA-ACC Nouvelle--Calédonie\decofourright\\mars 2005 }} \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center} La calculatrice (conforme ˆ la circulaire N$\up{o}$ 99-186 du 16-11-99) est autorisŽée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Le tableau suivant donne le nombre d'adhérents d'un club hippique de 1995 à 2004. \begin{center}{\small\begin{tabularx}{\textwidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1995 &1996&1997&1998&1999&2000& 2001&2002& 2003& 2004\\ \hline Rang de &\multirow{2}{0,5cm}{1}& \multirow{2}{0,5cm}{2}& \multirow{2}{0,5cm}{3}& \multirow{2}{0,5cm}{4}&\multirow{2}{0,5cm}{5}& \multirow{2}{0,5cm}{6}& \multirow{2}{0,5cm}{7}&\multirow{2}{0,5cm}{8}&\multirow{2}{0,5cm}{9}& \multirow{2}{0,5cm}{10}\\ l'année $(x_{i})$ & & & & & & & & & & \\ \hline Nombre & & & & & & & & & &\\ d'adhérents & 53 & 66 & 80 & 75 & 75 & 95 &97 & 97 & 110 &112\\ $(y_{i})$ & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx}} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i},~ y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : $\bullet~$ 1~cm pour 1 année sur l'axe des abscisses, $\bullet~$ 1~cm pour 5~adhérents sur l'axe des ordonnées qui sera gradué à partir de 50. \item Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'adhérents entre 1997 et 2003 ? \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ associé aux points du nuage. \item Placer le point $G$ sur le graphique. \end{enumerate} \item On choisit pour ajustement affine la droite $\Delta$ d'équation $y = 6,48x + 50,36$. \begin{enumerate} \item Construire la droite $\Delta$. \item Montrer que $G$ est sur la droite $\Delta$. \item À l'aide du graphique, estimer le nombre d'adhérents que le centre peut espérer en 2010. Les traits utilisés pour la lecture devront figurer sur le graphique. \end{enumerate} \item Utiliser l'équation de la droite $\Delta$ pour calculer à partir de quelle année le nombre d'adhérents deviendra supérieur ou égal à 200. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Une entreprise qui fabrique des chaussures fait une étude sur une production journalière comprise entre $5$ et $50$ paires de chaussures. Le coût de production, en euro, de $x$ paires de chaussures est \[C(x) = x^2 + 16 x + 256.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $C'(x)$ où $C'$ désigne la dérivée de la fonction $C$. La fonction $C'$ est la fonction coût marginal. \item Tracer la représentation graphique $\mathcal{D}$ de la fonction $C'$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : $\bullet~$ $2$~cm pour $5$~paires de chaussures sur l'axe des abscisses en commençant à la graduation $5$. $\bullet~$ $1$~cm pour $5$~euros sur l'axe des ordonnées qui sera gradué à partir de $20$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le coût de production de 40 paires de chaussures ? \item On désigne par $f(x)$ le coût unitaire moyen pour $x$ paires de chaussures fabriquées. \begin{enumerate} \item Calculer $f(40)$. \item Montrer que $f(x) = x + 16 + \dfrac{256}{x}$. \end{enumerate} \item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [5~;~50]. Calculer $f'(x)$ et démontrer que \[f'(x) = \dfrac{(x - 16)(x + 16)}{x^2}.\] \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [5~;~50]. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 5 &10 &15 &20 & 25 &30&35 &40&45 &50\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & & & 71,1\\ \hline \end{tabularx}\] Les résultats seront arrondis au dixième. \item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le repère précédent. \item Combien de paires de chaussures l'entreprise doit-elle fabriquer pour que le coût unitaire moyen soit minimal ? Indiquer ce coût. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $f(16) = C'(16)$. \item Mettre en évidence cette égalité sur le graphique précédent. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie ACC ACA mars 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2005 ACA-ACC \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{31 mars 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA-ACC Pondichéry \decofourright\\31 mars 2005 }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Dans une station balnéaire on a interrogé 600 touristes, français ou étrangers, sur leur séjour. Tous ont répondu être, soit au camping, soit à l'hôtel, soit en location. $\bullet~ 10\,\%$ des touristes sont logés à l'hôtel, $\bullet~ 40\,\%$ des touristes étrangers sont dans un camping, $\bullet~ 40\,\%$ des touristes étrangers ont choisi une location, $\bullet~$ il y a deux fois plus de touristes français en camping qu'en location. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sachant que $48$ touristes étrangers sont à l'hôtel, montrer que le nombre de touristes étrangers interrogés est $240$. En déduire le nombre de touristes français interrogés. \item Montrer que le nombre de touristes français en location est 116. \item Montrer que le nombre de touristes en camping est $328$. \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &Camping & Location&Hôtel & Total\\ \hline Français & & & & \\ \hline Étrangers & & & 48 & \\ \hline Total & & & &600\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. On choisit au hasard une personne parmi les 600 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les évènements : $\bullet~$ A : \og La personne interrogée est un touriste étranger \fg{}. $\bullet~$ B : \og La personne interrogée séjourne dans un camping \fg{}. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p$(A) et $p$(B) des évènements A et B. \item Calculer la probabilité $p$(C) de l'évènement C : \og La personne interrogée est un touriste étranger et séjourne dans un camping \fg{}. \item Calculer la probabilité $p(\text{A} \cup \text{B})$ de l'évènement A $\cup$ B. \item On sait que la personne interrogée est en location. Calculer la probabilité qu'elle soit un touriste français. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Durant l'année 2004, le nombre de familles qui ont loué un emplacement au \og camping de la plage \fg{} est $500$. Le directeur prévoit pour l'avenir me augmentation annuelle de $5\,\%$. On désigne par : $u_{0}$ le nombre de familles reçues par le camping en 2004 $\left(u_{0} = 500\right)$, $u_{1}$ le nombre de familles reçues par le camping en 2005, $u_{2}$ le nombre de familles reçues par le camping en 2006, $u_{n}$ le nombre de familles reçues par le camping en $2004 + n$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser sa raison. \item En supposant que la tendance se poursuive, combien de familles le directeur peut-il espérer pour l'année 2011 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points} \medskip Une entreprise a conçu un logiciel de gestion de camping. Pour décider du prix de vente de ce logiciel, elle a effectué une enquête auprès de $100$ campings susceptibles de l'acheter. Le résultat est donné dans le tableau suivant, où $x$ désigne le prix de vente proposé, en euros, et $y$ le nombre de campings qui acceptent d'acheter le logiciel à ce prix. \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ & 600 &650 & 700 & 750 &800 &850 &900 & 990\\ \hline $y_{i}$ & 76 & 70 & 65 & 61 & 55 & 49 & 45 & 39\\ \hline \end{tabularx}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Ainsi, par exemple, $39$ campings achèteraient le logiciel s'il était vendu $990$ euros. Quel serait, dans ce cas, le chiffre d'affaires ? \item Parmi les 8 prix proposés, quel est celui qui permettrait à l'entreprise de réaliser le meilleur chiffre d'affaires ? Dans les questions suivantes, on étudie une amélioration du résultat précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. Unités graphiques : $\bullet~$ axe des abscisses : $2$~cm pour $100$~euros et commencer les graduations à partir de $500$, $\bullet~$ axe des ordonnées : $2$~cm pour $10$~campings. \item On appelle G le point moyen associé au nuage de points. Calculer les coordonnées de G. Placer ce point sur le graphique. \item Déterminer une équation de la droite $\Delta$ passant par G de coefficient directeur $- 0,1$. Construire cette droite sur le graphique. \end{enumerate} \item On choisit la droite $\Delta$ comme droite d'ajustement du nuage. \begin{enumerate} \item Pour un prix de vente du logiciel de $x$ euros, quel serait le nombre $y$ de logiciels que l'on peut espérer vendre ? \item En déduire que le chiffre d'affaires correspondant est $- 0,1x^2 + 135,5 x$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [500~;~ \np{1000}] par : \[f(x) = - 0,1x^2+ 135,5x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. \item Étudier le signe de $f'(x)$, puis construire le tableau de variations de $f$. \item Déterminer le nombre de logiciels à vendre et le prix de vente de ce logiciel afin d'obtenir le meilleur chiffre d'affaires. Donner également la valeur de ce chiffre d'affaires. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Pondichéry ACA-ACC avril 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane ACAACC juin 2005 \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{ACA - ACC }} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA - ACC Antilles-Guyane~\decofourright\\juin 2005}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill } \medskip Une entreprise fabrique des lits et des commodes. Sa production, sur les dix dernières années, est donnée par le tableau suivant : \medskip {\footnotesize \begin{tabularx}{\textwidth}{|p{1,5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $x_{i}$ &1994 &1995&1996&1997& 1998& 1999& 2000&2001&2002&2003 \\ \hline Production $y_{i}$ de lits &\np{1550}&\np{1650} &\np{1600}&\np{1750}&\np{1700}&\np{1750}&\np{1650}&\np{1850}&\np{1700}&\np{1800} \\ \hline Productions $Y_{i}$ de commodes &\np{1150}&\np{1300} &\np{1350}&\np{1350}&\np{1225}&\np{1350}&\np{1500}&\np{1500}&\np{1650}&\np{1500} \\ \hline \end{tabularx}} \medskip On a représenté page suivante les points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère du plan avec le symbole $+$ et les points de coordonnées $\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$ avec le symbole $\times$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points$\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$. Placer le point G sur le graphique. \item Déterminer one équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de ce nuage par la méthode des moindre carrés. On utilisera la calculatrice et on arrondira les coefficients de l'équation à l'unité par défaut. La droite est déjà tracée sur le graphique en annexe. \item On choisit $\mathcal{D}$ comme droite d'ajustement de la production de lits en fonction de l'année. \end{enumerate} \item On choisit comme droite d'ajustement de la série $(x_{i}, Y_{i})$ la droite $\Delta$ d'équation $Y = 42x - \np{82489}$. Tracer $\Delta$. On justifiera la construction. \item À partir des ajustements donnés aux questions précédentes, déterminer à partir de quelle année on peut estimer que la production de commodes sera supérieure ou égale à celle des lits. Retrouver ce résultat par le calcul. \end{enumerate} \newpage \begin{landscape} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(18,1200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx =1,Ox=1993,Dy=100,Oy=1000](0,0)(18,1200) \psline(0,590)(18,950) \multido{\n=0+0.5}{37}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1200)} \multido{\n=0+50}{25}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)} \psdots[dotstyle=+](1,550)(2,650)(3,600)(4,750)(5,700)(6,750)(7,650)(8,850)(9,700)(10,800) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,150)(2,300)(3,350)(4,350)(5,225)(6,350)(7,500)(8,500)(9,650)(10,500) \end{pspicture} \end{landscape} \newpage \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill } \medskip Une usine fabrique des ordinateurs. Lors du passage au contrôle qualité, on teste les ordinateurs pour savoir s'ils présentent un défaut. Les défauts ont été regroupes en deux catégories : les défauts de type 1 et les défauts de type 2. Un ordinateur est dit défectueux lorsqu'il présente au moins un des deux types de défauts. On a réalisé une étude sur $900$ ordinateurs et on a obtenu les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 5\,\% des ordinateurs présentent un défaut de type 1 ; \item[$\bullet~$] 4\,\% des ordinateurs présentent un défaut de type 2 ; parmi ces derniers 25\,:\% présentent aussi un défaut de type 1. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer la part, en pourcentage, des ordinateurs qui présentent les deux types de défauts. \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} &présente un défaut de type 1& ne présente pas un défaut de type 1& Total\\ \hline présente un défaut de type 2 & & & \\ \hline ne présente pas un & & & \\ défaut de type 2 & & & \\ \hline Total & & & 900\\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans la suite, on donnera les différentes probabilités sors forme de fractions irréductibles. \item On choisit un ordinateur au hasard. Calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A \og l'ordinateur présente un défaut de type 1 \fg \item[$\bullet~$] B \og L'ordinateur présente un défaut de type 2 \fg \item[$\bullet~$] C \og L'ordinateur présente un défaut de type 1 et un défaut de type 2. \fg \item[$\bullet~$] D \og L'ordinateur est défectueux \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Déterminer les probabilités suivantes $p_{\text{D}}(\text{A})$ et $p_{\text{A}}(\text{D})$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill } \medskip Le but de ce problème est d'associer les courbes ci-dessous à certaines fonctions puis de les exploiter. Le document sera complété au fil des questions. L'intervalle d'étude est [0~;~8]. Dans le repère orthonormal \Oij{} proposé, l'unité graphique est 1,5~cm. On donne les représentations graphiques de trois fonctions $f,~ g$ et $h$. \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(8,10) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(8,10) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-2)(8,10) \psplot[plotpoints=1000]{0.0425}{8}{x ln dup mul} \psplot[plotpoints=1000]{0.031}{8}{3 x ln 2 mul sub} \psplot[plotpoints=1000]{0.001}{8}{5 x mul x ln x mul 2 mul sub} \uput[u](7.5,-1){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[u](7.5,4){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](7.5,7.3){$\mathcal{C}_{3}$} \end{pspicture} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0~;~8] par : $f(x) = (\ln x)^2$ \item[$\bullet~$] la fonction $g$ est définie sur l'intervalle ]0~;~8] par : $g(x) = 3 - 2\ln x$ ; \item[$\bullet~$] la fonction $h$ est définie sur l'intervalle ]0~;~8] par : $h(x) = 5x - 2x\ln x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ et $g'$ les fonctions dérivées respectives de $f$ et de $g$ sur l'intervalle ]0~;~8]. Déterminer $f'(x)$ et $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~8]. \item Étudier les signes respectifs de $f'(x)$ et $g'(x)$ pour $x$ appartenant à ]0~;~8]. \item En déduire les variations respectives de $f$ et de $g$ sur ]0~;~8]. \item Calculer $h(1)$. \end{enumerate} \item Déduire des informations obtenues à la question 1, à quelle fonction($f,~ g$ ou $h$) on associe chacune des courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ de l'annexe. \item Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point d'abscisse 2. Tracer cette droite sur le graphique fourni en annexe. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = g (x)$ équivaut à : \[(\ln x + 3) \times (\ln x - 1) = 0.\] \item Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$. \item Interpréter graphiquement le résultat de la question 2. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles ACA-ACC juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole A.C.C-A.C.A. juin 2005 \hypertarget{Metropole2}{} \lhead{\small BaccalaurŽéat STT A.C.C-A.C.A.}%tapez un titre \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STT A.C.C. -- A.C.A.~\decofourright\\France juin 2005}} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill } \medskip Monsieur Dupré, PDG d'une société fabriquant du mobilier urbain, s'intéresse au coût unitaire de production, en euros, ainsi qu'au bénéfice réalisé pendant une semaine. On considère qu'il fabrique par semaine $x$ lots de mobilier urbain où $x$ est un entier compris entre $0$ et $100$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe donnée en annexe 1 représente le coût unitaire de production $f(x)$ en fonction du nombre $x$ de lots fabriqués. On fera figurer sur le graphique tous les tracés utiles. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le coût unitaire de production lorsque Monsieur Dupré fabrique $70$ lots. Quelle autre quantité de lots fabriqués donne le même coût unitaire de production ? \item Déterminer graphiquement la quantité de lots que l'entreprise doit produire pour que le coût unitaire soit minimal et préciser la valeur de ce coût. \item On admet que $f(x)$ a pour expression $f(x) = x^2 + bx + \np{5000}$. Déterminer le réel $b$ sachant que le coût unitaire pour 100 lots est de \np{6600}~euros. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le coût de production $C(x)$ pour $x$ lots produits est \[C(x) = x^3 - 84x^2 + \np{5000}x.\] \item Chaque lot étant vendu \np{5000} euros, justifier que le bénéfice, exprimé en euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ lots est donné par la fonction $B$ définie par : \[B(x) = -x^3 + 84x^2.\] \item Vérifier que $B(x) = x^2(84 - x)$ et en déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles $B(x)$ est strictement négatif. Que va en déduire Monsieur Dupré pour sa production ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer $B'(x)$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$, puis montrer que $B'(x) = 3x(56 - x)$. \item Étudier le signe de $B'(x)$ pour tout $x$ élément de [0 ; 100] et dresser le tableau de variations de $B$ sur [0 ; 100]. \item En déduire le nombre $x_{M}$ de lots que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal $B_{M}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.002cm} \begin{pspicture}(0,3000)(112,8000) \psaxes[Dx=10,Oy=3000,Dy=500,subticks=5]{->}(0,3000)(112,8000) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{110}{x dup mul 84 x mul sub 5000 add} \rput(100,3200){Nombre de lots $x$} \rput(0,8100){$f(x)$ en euros} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill} \medskip Le tableau suivant donne la répartition en 2005 des $270$~employés de l'entreprise de Monsieur Dupré suivant leur sexe et leur salaire mensuel en milliers d'euros. Pour simplifier, les salaires ont été regroupés en classe. \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\hline \backslashbox{Sexe}{Salaire S}&$1 \leqslant S < 2$& $2 \leqslant S < 3$& $3 \leqslant S < 4$\\ \hline Femme&150 & 40 & 30\\ \hline Homme & 10 & 20 & 20\\ \hline \end{tabular}\end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère au hasard une employée travaillant dans cette entreprise, toutes les employées ayant la même probabilité d'être choisies. Quelle est la probabilité qu'elle ait un salaire compris entre \np{3000} et \np{4000} euros ? On arrondira le résultat au centième. \item On considère un salarié de cette entreprise disposant d'un salaire supérieur ou égal à \np{3000} euros. Quelle est la probabilité que ce salarié soit une femme ? \end{enumerate} \item Pour les calculs de moyennes on prendra les centres des classes. \begin{enumerate} \item Vérifier que le salaire moyen des femmes est \np{1955} euros (à un euro près). \item Calculer (à un euro près) le salaire moyen des hommes et le salaire moyen dans l'entreprise. \end{enumerate} \item On considère maintenant l'entreprise de Monsieur Duchamp. Le tableau suivant donne la répartition en 2005 des $270$~employés de l'entreprise de Monsieur Duchamp suivant leur sexe et leur salaire mensuel en milliers d'euros. Pour simplifier, les salaires ont été regroupés en classe. \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\hline \backslashbox{Sexe}{Salaire S}&$1 \leqslant S < 2$& $2 \leqslant S < 3$& $3 \leqslant S < 4$\\ \hline Femme &15 & 3 & 2\\ \hline Homme & 130 & 70 & 50\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer la proportion (en pourcentage) des femmes dans chaque entreprise. \item Les salaires moyens de l'entreprise de Monsieur Duchamp ont été calculés (il est inutile de les vérifier) : $\bullet~$ Le salaire moyen des femmes est \np{1850}~euros. $\bullet~$ Le salaire moyen des hommes est \np{2180}~euros. $\bullet~$ Le salaire moyen dans l'entreprise est \np{2156}~euros. Monsieur Duchamp déclare à Monsieur Dupré : \og En moyenne, mes salariés sont mieux payés que les vôtres \fg{}. Monsieur Dupré répond : \og Je ne suis pas d'accord. Dans mon entreprise, les femmes sont mieux payées que dans la vôtre et les hommes aussi sont mieux payés \fg. Ces deux déclarations sont-elles exactes ? Justifier. \item Comment peut s'expliquer le fait que ces deux déclarations semblent contradictoires ?  \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Métropole ACA-ACC juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% La Réunion ACA-ACC juin 2005 \hypertarget{La Reunion2}{} \lhead{\small BaccalauréŽat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{La RŽéunion}} \rfoot{\small{juin 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STT ACA - ACC La RéŽunion~\decofourright\\juin 2005}} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points } \medskip Dans une entreprise de nettoyage industriel créée voici quatre ans, on a relevé l'ancienneté des $120$ techniciens et techniciennes de surface y travaillant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Ancienneté en mois &Nombre \\ \hline [0 ; 6] &37\\ \hline [6 ; 12] &23\\ \hline [12 ; 24] &19\\ \hline [24 ; 36] &6\\ \hline [36 ; 48] &35\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item En considérant les intervalles d'ancienneté comme étant les classes d'une série statistique à une variable et le nombre d'employés comme étant leurs effectifs correspondants. \begin{enumerate} \item Calculer les centres de ces classes. \item Calculer l'ancienneté moyenne en mois de ces $120$ employés. \end{enumerate} \emph{Dans toute la suite de cet exercice, les probabilités seront données à} $10$^{-2}$ \emph{près}. \item Un (ou une) employé(e) est choisi(e) au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ou qu'elle ait une ancienneté inférieure à un an ? \item Chacune de ces $120$ personnes a un contrat de travail. Dans cette entreprise on rencontre 3 types de contrat de travail différents : Le Contrat à Durée Déterminée (C. D. D) Le Contrat à Durée Indéterminée à mi-temps (C. D. I./M. T.) Le Contrat à Durée Indéterminee à temps complet (C. D. I./T. C.) Les C. D. D. représentent $30$\,\% de l'effectif total et 75\,\% des C. D. D. sont à des femmes. Les C. D. I/T. C. représentent la moitié de l'effectif total et $60$\,\% des C. D. I./T. C. sont à des hommes Un seul homme a un C. D. I./M. T. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &C. D. D. & C. D. I./M. T. & C. D. I./T. C. & Total\\\hline Hommes & & & & \\\hline Femmes & & & & \\\hline Total & & & &120 \\\hline \end{tabularx} \end{center} \item On choisit au hasard une personne parmi ces $120$ employés. On considère les évènements suivants : A : \og La personne a un C. D. D. \fg{} ; B : \og La personne est une femme \fg{} ; C : \og La personne a un C. D. D. ou est une femme \fg{}. Calculer la probabilité de chacun des évènements A, B et C. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Parmi les hommes, quelle est la probabilité d'en choisir un ayant un C. D. I./T. C. ? \item Parmi les femmes, quelle est la probabilité d'en choisir une ayant un C. D. I./T. C. ? \item Que remarque-t-on ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip Pour participer à la finale du jeu \og Super Game \fg{}, organisée par un magasin de jeu vidéo, deux enfants, Ulysse et Victor, s'entraînent chaque jour, pendant les vacances. Pour être sélectionné, un joueur doit obtenir un minimum de \np{2000} points avant la date de la finale et contacter l'organisateur qui l'inscrit alors sur la liste des participants au concours. Le premier jour de son \og entraînement \fg{}, Ulysse, féru de jeu vidéo, obtient un très bon score de \np{1500}~points. Victor, qui est plus jeune, marque \np{1000}~points. Au fur et à mesure des jours, Ulysse remarque que, quotidiennement, son score progresse de $3$\,\% alors que celui de Victor augmente de $70$~points. On note $u_{0}$ et $v_{0}$ les scores obtenus respectivement par Ulysse et Victor le premier jour de leur entraînement, soit le 30 juin (on a donc $u_{0} = \np{1500}$ et $v_{0} = \np{1000}$). De même, $u_{n}$ et $v_{n}$ correspondront aux scores obtenus le $n$ juillet. \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$ en arrondissant le score au point supérieur. \item Calculer $v_{1},~v_{2}$ et $v_{3}$. \item Quelle est la nature de chacune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ? Justifier. \item La finale a lieu le 14 juillet. Qui sera sélectionné pour y participer ? Justifier la réponse par un calcul. \item À l'aide de la calculatrice, pour chacun des enfants, déterminer la date à laquelle il aura atteint le score fatidique des \np{2000} points. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur [0~ ;~15] par \[f(x) = x^3 - 10x^2 + 25x + \np{1200}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~ ;~15]. Déterminer $f'(x)$. \item Montrer que $f'(x) = (3x - 5)(x -5)$. \item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0~ ;~15]. \end{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}$ jointe en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$précédente. À l'aide de cette courbe, résoudre graphiquement l'équation $f(x) = \np{2000}$. On fera apparaître sur l'annexe, que l'on joindra à la copie, le tracé utilisé. \item Un troisième joueur, Fabrice, s'est également entraîné à partir du 30 juin pour la finale du jeu \og Super Game \fg{}. La fonction précédente correspond aux points obtenus par Fabrice, où $x$ représente le nombre de jours écoulés depuis le 30 juin. \begin{enumerate} \item Que représente $f(0)$ ? \item Utiliser le résultat de la \textbf{question 2.} pour déterminer si ce joueur sera sélectionné pour la finale du 14 juillet. À quelle date ? Qui, entre Ulysse, Victor et Fabrice sera sélectionné le premier ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \psset{xunit=0.8cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(15,7) \psgrid[gridlabels=0pt,dy=1,Dy=500,subgriddiv=5,gridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](0,0)(15,6) \psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=5,dy=1,Dy=500]{->}(0,0)(15,6) \rput(15,-0.3){$x$} \rput(-0.5,6){$y$} \uput[d](1,0){$1$} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{x 3 exp x 2 exp 10 mul sub 25 x mul add 1200 add 500 div} \uput[u](13,4.2){$\mathcal{C}$} \rput(7.5,-1){\textbf{ANNEXE EXERCICE 2 Partie B}} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion ACCACA juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2005 \hypertarget{Polynesie2}{} \lhead{\small BaccalauréŽat STT A.C.A.-A.C.C.} \lfoot{\small{PolynŽésie }} \rfoot{\small{10 juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~BaccalaurŽéat STT ACC - ACA PolynŽésie ~\decofourright\\10 juin 2005}} \vspace{0,25cm} Coefficient 2 \hfill DuréŽe 2 heures \vspace{0,25cm} La calculatrice est autoriséŽe. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Un disquaire propose dans un de ses rayons un choix entre \np{1365} disques de catégories Rap, Soul ou Métal. Certains sont en langue française, les autres en langue anglaise. $\bullet~$ Les $259$ disques de Rap français représentent $35$\,\% des disques de langue française. $\bullet~12\,\%$ des disques anglais sont des disques de catégorie Soul. $\bullet~$ On dénombre $214$ disques français dans la catégorie Métal. $\bullet~$ Dans la catégorie Métal, on compte deux fois plus de disques en anglais qu'en français. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre de disques de langue française est $740$. \item Reproduire puis compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} & Nombre de disques de catégorie Métal & Nombre de disques de catégorie Soul& Nombre de disques de catégorie Rap&\footnotesize Totaux\\ \hline Nombre de disques en français& 214& & 259& \\\hline Nombre de disques en anglais& & & & \\\hline Totaux & & & &\footnotesize \np{1365}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \textsl{Les probabilités demandées dans les questions suivantes seront données sous forme décimale arrondie au centième.} \item M. Martin désire offrir un disque pour l'anniversaire de son petit-fils. Pour cela il choisit un disque au hasard dans le rayon précédent du disquaire. On appelle A et B les évènements suivants : A : \og Le disque choisi est de catégorie Rap \fg{}, B : \og Le disque choisi est en langue anglaise \fg{}. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement A, notée $p$(A). Calculer ensuite la probabilité de l'évènement B, notée $p$(B). \item Définir, à l'aide d'une phrase, l'évènement A ~$\cup$~B. Calculer la probabilité de cet évènement. \item Déduire des questions précédentes la probabilité de l'évènement A ~$\cap$~B. \end{enumerate} \item M. Martin décide de choisir un disque parmi ceux de langue anglaise. Quelle est alors la probabilité, notée $p$(C), de l'évènement C : \og Le disque choisi est de catégorie Métal \fg{} ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Une entreprise fabrique et commercialise des appareils. On suppose que cette entreprise est capable de répondre â la demande des consommateurs. Le prix de vente d'un appareil, exprimé en milliers d'euros, est noté $x$. Le nombre d'appareils demandés par les consommateurs et vendus peut être exprimé, en fonction du prix de vente unitaire $x$, par \[d(x) = - 40x + 220\] pour $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~5]. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'appareils vendus si le prix de vente unitaire est fixé à 1,2~millier d'euros. Quel est alors le chiffre d'affaires réalisé (en milliers d'euros) ? \textsl{Remarque le chiffre d'affaires est le produit du nombre d'appareils vendus par le prix de vente unitaire.} \item On note $f(x)$ le chiffre d'affaires réalisé, en milliers d'euros, lorsque les appareils sont vendus au prix unitaire $x$. \begin{enumerate} \item Montrer, que pour tout $x$ élément de l'intervalle [1~;~5],~ $f(x) = - 40x^2 + 220x.$ \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. \item Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~5]. \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 1 &1,5 & 2 &2,5& 3 &3,5& 4 &4,5&5\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx}\] \item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : axe des abscisses : $1$~cm pour $0,5$~millier d'euros ; \hspace{1,5cm} axe des ordonnées : $1$~cm pour $20$~milliers d'euros. \item Pour quel prix de vente unitaire le chiffre d'affaires est-il maximal ? Quel est, en millier d'euros, le montant de ce chiffre d'affaires maximal ? \end{enumerate} \item Pour la fabrication de ces appareils, les coûts fixes s'élèvent à $75$~milliers d'euros. De plus, la fabrication de chaque appareil revient à $2$~milliers d'euros. On note $c(x)$ le coût total de fabrication des appareils vendus, (en milliers d'euros), pour un prix unitaire $x$ (en milliers d'euros). \begin{enumerate} \item Montrer que $c(x) = 75 + 2 d(x)$. En déduire que $c(x) = - 80x + 515$. \item Représenter graphiquement la fonction $c$ dans le repère précédent. (On indiquera les coordonnées des points utilisés pour le tracé) \end{enumerate} \item À l'aide du graphique, et en justifiant la réponse, déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice (valeurs arrondies à $0,1$~millier d'euros). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie ACAACC juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole La Réunion septembre 2005 \hypertarget{La Reunion}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{septembre 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA-ACC Métropole--La Réunion~\decofourright\\ septembre 2005}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne la CSP (catégorie socioprofessionnelle) de 6 022 fils en fonction de celle de leurs pères. Par exemple, on peut lire, \textbf{3} fils dont le père appartient à la CSP \og Cadre supérieur et profession libérale \fg{} sont \og Agriculteurs \fg{} d'autre part, \textbf{1 911} fils sont ouvriers. \begin{center} \begin{tabular}{|c|p{2.5cm}|*{7}{c|}}\cline{3-9} \multicolumn{2}{c|}{~}&\multicolumn{7}{c|}{CSP du fils}\\ \cline{3-9} \multicolumn{2}{c|}{~}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Agriculteur\\\end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Artisan, commerçant,\\ chef d'entreprise\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Cadre supérieur et\\ profession libérale\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Profession \\ intermédiaire\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Employé\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Ouvrier\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Ensemble\\ \end{tabular}}\\ \hline \multirow{7}{0.5cm}{\rotatebox{90}{CSP du père \hspace{1,5cm}~}}&Agriculteur& 258& 81& 108& 153& 84& 365&1049\\ \cline{2-9} &Artisan, commerçant, chef d'entreprise&14&246&180&168&56&167&831\\ \cline{2-9} &Cadre supérieur et profession libérale&3&54& 266&104&42& 34&503\\ \cline{2-9} &Profession intermédiaire& 5& 56& 225&190&61& 97&634\\ \cline{2-9} &Employé&1&49&148&215&74& 180&667\\ \cline{2-9} &Ouvrier& 19& 204 &228& 568&251&\nombre{1068}&\nombre{2338}\\ \cline{2-9} &Ensemble&300&690&\nombre{1155}&\nombre{1398}& 568 &\nombre{1911} &\nombre{6022}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{flushright}D'après source INSEF.\end{flushright} \emph{On exprimera les probabilités sous la forme d'un nombre décimal arrondi au centième.} \textbf{Les deux parties sont indépendantes} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit un fils au hasard parmi les \nombre{6022}. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi. \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de fils agriculteurs dont le père est agriculteur ? \item Vérifier que le nombre de fils appartenant à la même CSP que le père est \nombre{2102}. En déduire la probabilité $P_{1}$ que la CSP du fils soit la même que celle du père. \end{enumerate} \item On choisit un fils dont le père est agriculteur. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $P_{2}$ qu'il soit agriculteur ? \item Commenter le résultat $P_{2} < P_{1}$. \end{enumerate} \item On choisit un fils agriculteur. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $P_{3}$ que son père soit agriculteur ? \item Commenter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On choisit un fils au hasard parmi les \nombre{6022}. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi. On considère les deux évènements : A : \og La CSP de son père est Profession intermédiaire \fg{}. B : \og La CSP du fils est Cadre supérieur et profession libérale \fg{}. \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase les évènements A~ $\cap$~B et A~$\cup$~B. \item Calculer les probabilités $P$(A), $P$(B) et $P(\text{A}~ \cap~ \text{B})$. En déduire le calcul de $P(\text{A}~ \cup~ \text{B})$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points} \medskip Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de $0$ à $80$~tonnes de produit chimique. Le coût de la fabrication de $x$ tonnes, exprimé en centaines d'euro, est donné par la fonction $C$ définie par : \[C(x) = 0,01x^3- 1,05x^2 + 37x + 40.\] Chaque tonne est vendue 19 centaines d'euro. \begin{enumerate} \item Calculer, en euro, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à $40$ tonnes. \item Calculer $C'(x)$ pour $x$ compris entre $0$ et $80$ (où $C'$ est la fonction dérivée de la fonction $C$) et vérifier que $C'(x) = 0,03\left[(x - 35)^2 + \dfrac{25}{3}\right]$. En déduire que la fonction $C$ est croissante sur [0~;~80]. \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &10 &20 &30 &40 &50 &60 &70 &80\\ \hline $C(x)$ & & 315 & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item La recette est exprimée en centaines d'euro par la fonction $R$ définie par $R(x) = 19x$. Tracer la représentation graphique de $C$ et de $R$ dans un même repère orthogonal. Unité sur l'axe des abscisses : $2$~cm pour $10$~tonnes. Unité sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100~centaines d'euro. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement à partir de quelle quantité l'entreprise réalise un bénéfice. Justifier en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice mensuel en centaines d'euro, est donné par la fonction $B$ définie par : \[B(x) = - 0,01x^3+1,05x^2- 18x - 40.\] \item Montrer que $B'(x) = (- 0,03 x + 0,3)(x - 60)$ où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$. \item À l'aide d'un tableau de signes, étudier le signe de $B(x)$ sur [0~ ;~80]. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur [0~;~80]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire de la question précédente, le nombre de tonnes que doit vendre l'entreprise pour que son bénéfice mensuel soit maximal. Justifier. Que vaut alors ce bénéfice en euro ? \item Comment retrouver ces deux résultats par lecture graphique ? Justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole--La Réunion ACAACC septembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie ACA ACC septembre 2005 \hypertarget{Polynesie}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACA-ACC} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA -- ACC Polynésie \decofourright\\septembre 2005}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} Les parties A et B sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip Au cours de six années consécutives, on a relevé le chiffre d'affaires d'une entreprise, exprimé en milliers d'euros : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*6{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1998 &1999 &2000&2001 &2002&2003\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ & 1 &2 &3 &4 &5 & 6\\ \hline Chiffre d'affaires $y_{i}$ & 115 &133 &150&167 &180 & 200 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points $M_{i}$, de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ correspondant à cette série statistique. On prendra : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses, $2$~cm pour une année, \item sur l'axe des ordonnées, $1$~cm pour $10$~milliers d'euros. On commencera la graduation à $100$~milliers d'euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points obtenu. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite passant par les points M$_{1}$ et M$_{6}$. \item Montrer par le calcul que la droite (M$_{1}$M$_{6}$) passe par le point G. \end{enumerate} \item On prend la droite (M$_{1}$M$_{6}$) comme droite d'ajustement. Déterminer par le calcul une prévision du chiffre d'affaires pour 2005. Vérifier ce résultat graphiquement en faisant apparaître les traits de constructions nécessaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Afin de mieux connaître sa clientèle, une station de sports d'hiver a effectué une enquête auprès de $250$ skieurs. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous présentant la synthèse des réponses au sondage sachant que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] deux tiers des personnes qui viennent tous les week-ends possèdent leur matériel ; \item[$\bullet~$] la moitié des personnes venant deux semaines par an possèdent également leur matériel ; \item[$\bullet~$] $44$\,\% des personnes interrogées louent sur place. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &Possède son &Loue sur & Loue ail- & Total\\ \multicolumn{1}{c|}{} &matériel &place & leurs & \\ \hline Vient 1 semaine par an &25 & & &\\ \hline Vient tous les week-ends & & & 5 &30\\ \hline Vient 2 semaines par an & &30 & &100 \\ \hline Total & & & 45 &250\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On choisit au hasard un client parmi les $250$~personnes interrogées, toutes ayant la même chance d'être choisies. On considère les évènements suivants : A \og la personne vient aux sports d'hiver $2$~semaines par an \fg{}, B \og la personne loue son matériel sur place \fg{}. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p$(A) et $p$(B) des évènements A et B. \item Calculer la probabilité $p(\text{A} \cap \text{B})$, puis en déduire la probabilité $p(\text{A} \cup \text{B})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \begin{center}\textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A :} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous, est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par : \[f(x) = x^3 - 48x + 600\] dans un repère orthogonal dont la graduation est précisée sur les axes. La droite $\mathcal{D}$ a pour équation $y = 99x$. \medskip \psset{yunit=0.0067cm} \begin{pspicture}(11,1200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=200]{->}(0,0)(11,1200) \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(10,990) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{10}{x 3 exp 48 x mul sub 600 add} \rput(1.7,140){$\mathcal{D}$} \rput(1.7,470){$\mathcal{C}$} \rput(0,600){$\bullet$}\rput(4,472){$\bullet$} \rput(10,1120){$\bullet$} \uput[u](0,600){$(0~;~600)$} \uput[u](4,472){$(4~;~472)$} \uput[u](10,1120){$(10~;~1120)$} \end{pspicture} \bigskip Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes (aucune justification n'est demandée et on inscrira V ou F dans chaque case) \begin{center} \begin{tabular}{ l l l l} $\Box$ & $f$~est monotone sur~ $[0~;~10]$& $\Box$ &$f '(x) >0$~pour~ $x \in [0~ ;~ 4[$\\ $\Box$ & $f'(x) = 3x^2 - 48$& $\Box$ &$f'(x) = 3(x - 4)(x + 4)$\\ $\Box$ &f'(4) = 0 &$\Box$ & $f$~a un minimum pour~ $x = 4$\\ $\Box$ &Pour tout~ $x \in [0~;~ 10],~ f(x) \geqslant 472$&$\Box$ &Pour tout~ $x \in [0~;~10],~600 \leqslant f(x) \leqslant 1\:120$\\ $\Box$ &\multicolumn{1}{p{4.5cm}}{L'équation ~$f(x) = 99x$~admet deux solutions dans l'intervalle [4~;~10]}& $\Box$ & $f(x) < 99 x$~\text{ pour}~ $x \in ]4~;~9[$\\ \end{tabular} \end{center} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Une entreprise produit des crayons de couleur en quantité journalière $q$ (exprimée en milliers). Lorsque la quantité $q$ est comprise entre $4$ et $10$, on admet que le coût de production journalier, exprimé en euro, est donné par : \[ C(q) = q^3 -48 q + 600.\] L'entreprise vend chaque millier de crayons $99$~euros, ce qui donne une recette journalière : \[R(q) = 99 q.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice journalier $B(q)$, exprimé en euros, est donné par : \[B(q) = - q^3 + 147q - 600~ \text{avec}~ q \in [4~;~10].\] \item Calculer $B'(q)$ où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$. Vérifier que $B'(q) = - 3(q - 7) (q + 7).$ \item Étudier le signe de $B'(q)$ sur l'intervalle [4~;~10]. Dresser le tableau de variations de la fonction $B$. \item En déduire le nombre de milliers de crayons à produire quotidiennement pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice maximal ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie ACA ACC septembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2005 \hypertarget{Caledonie}{} \lhead{\small Baccalauréat STT ACC--ACA } \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STT ACC--ACA Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\ novembre 2005} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Le montant du PIB (Produit Intérieur Brut) par habitant de l'Union Européenne, exprimé en milliers de dollars, des années 1994 à 1999 est donné par le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1994 &1995 &1996 &1997 &1998 &1999\\ \hline Rang $x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline PIB par habitant $y_{i}$&18,3 &19,4 &20 &20,6 &21,5 &22,5\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize (Source Alternatives Économiques -- HS n\up{o} 50 -- 4\up{e} trimestre 2001)} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $1 \leqslant i \leqslant 6$. Unités graphiques : $\bullet~$ axe des abscisses : $1$~cm pour une unité ; $\bullet~$ axe des ordonnées : $1$~cm pour mille dollars en commençant la graduation à \np{10000} dollars. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. L'ordonnée de G sera arrondie au centième. \item On prend comme droite d'ajustement la droite $\mathcal{D}$ passant par G et de coefficient directeur $0,8$. Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère ci-dessus. En donner une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Lire graphiquement l'année à partir de laquelle le PIB par habitant de l'Union Européenne dépassera \np{25000} dollars. Justifier la réponse en faisant apparaître tous les tracés utiles sur le graphique. \item En utilisant l'ajustement affine obtenu en \textbf{2. b.}, calculer le PIB par habitant de l'Union Européenne en 2000 puis en 2003. \end{enumerate} \item En 2003, le PIB par habitant de l'Union Européenne était de \np{23052} dollars. (Sources : Alternatives économiques ). Calculer, en pourcentage, l'erreur commise en adoptant l'estimation obtenue au \textbf{3 b}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A :} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par : \[f(x) = - x^3 + 24x^2 - 84x -100.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(x) = - 3(x - 2)(x - 14)$. \item Étudier le signe de $f' (x)$ à l'aide d'un tableau de signes. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. \end{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{c|}*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &1 &1 &3 &5 &6 &10 &12 &14 &16 &19 &20 \\ \hline $f(x)$& &$-161$ & &$-163$& &44 & & & & &109 & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : $1$~cm pour $2$~unités en abscisse et $1$~cm pour $100$~unités en ordonnée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B :} \medskip Une entreprise de maroquinerie fabrique des sacs. Les coûts journaliers de fabrication sont de deux types : $\bullet~$ des charges fixes d'un montant de $100$~euros. $\bullet~$ des charges de fabrication qui dépendent du nombre de sacs fabriqués ; ces charges s'élèvent à $n^2 - 24 n + 194$ euros par sac fabriqué lorsque la production journalière est de $n$ sacs. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le coût total $C(n)$ exprimé en euros, de fabrication journalière de $n$ sacs. \item Chaque sac est vendu $110$ euros. Déterminer la recette totale $R(n)$ exprimée en euros, pour la vente journalière de $n$ sacs. \item Exprimer le bénéfice $B(n)$ réalisé lors de la vente journalière de $n$ sacs. \item En utilisant les résultats de la première partie, déterminer le nombre de sacs que l'entreprise doit produire en une journée : \begin{enumerate} \item Pour réaliser un bénéfice positif ; \item Pour réaliser un bénéfice maximum. À combien s'élève alors le bénéfice réalisé ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie ACC ACA novembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2005 \hypertarget{Pondichery2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{31 mars 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STT CG-IG Pondichéry \decofourright\\ 31 mars 2005}} \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center} La calculatrice est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Les deux parties sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On répondra sur la copie par VRAI ou FAUX aux affirmations suivantes, en notant le numéro de la question. On ne demande pas de justification. \textsl{Barème :\\ $0,5$ point par réponse juste et $- 0,25$ par réponse inexacte. En cas de total négatif, celui-ci est ramené à $0$.} \begin{enumerate} \item L'équation $(\ln x)^2 + \ln x =4$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item $\ln \left(2^2\right) + \ln \sqrt{2} - \ln 16 = - \dfrac{3}{2}\ln 2$. \item L'inéquation $1 - \ln x \geqslant 0$ admet pour ensemble de solutions l'intervalle $[\text{e}~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip À l'occasion de la naissance de leur petite-fille des grands-parents font un placement à intérêts composés sur un livret d'épargne. Le $1\up{er}$ janvier 2005 une somme de \np{3000}~euros est déposée. Le taux d'intérêt est de $2,5\,\%$ l'an. Cette somme reste sur le livret d'épargne pendant de nombreuses années et on suppose que le taux d'intérêt reste fixe au cours des années. On appelle C$_{0}$ le capital initial au $1\up{er}$ janvier 2005. Nous avons alors C$_{0} = \np{3000}$. \begin{enumerate} \item Calculer C$_{1}$ et C$_{2}$. On arrondira C$_{2}$ au centime d'euros près. \item Exprimer le capital C$_{n}$ acquis le $1\up{er}$ janvier de l'année $(2005 + n)$ en fonction de C$_{0}$ et de $n$. \item Calculer au bout de combien d'années la petite fille disposera d'au moins \np{5000} euros. (On sera amené à résoudre une inéquation.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Lors d'une course cycliste comportant deux étapes, $200$ coureurs sont engagés au départ. Dans ce peloton, $15\,\%$ des coureurs dont 10 Français ont moins de $25$~ans et participent au classement du meilleurjeune. L'organisation constate que $80\,\%$ du peloton est formé de coureurs étrangers. \begin{enumerate} \item Reproduire puis compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Jeunes coureurs de& Coureurs de 25 ans& Total\\ \multicolumn{1}{c|}{}& moins de 25 ans& ou plus & \\ \hline Coureurs & & & \\ français & & & \\ \hline Coureurs & & & \\ étrangers & & & \\ \hline Total & & & 200\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item À l'arrivée de la course, le peloton est réduit à $147$~unités dont $25$~jeunes de moins de $25$~ans. Pour comparer les performances des jeunes coureurs par rapport à l'ensemble du peloton, calculer : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Le taux en pourcentage des abandons des jeunes coureurs entre le départ de la première étape et l'arrivée de la course. \item Le taux en pourcentage des abandons des coureurs de $25$~ans ou plus entre le départ de la première étape et l'arrivée de la course. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche. Conclure. \item Dans le cadre de la lutte antidopage, un coureur est tiré au hasard à l'arrivée de la première étape pour passer un contrôle. Aucun abandon n'a été enregistré lors de la première étape. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le coureur contrôlé soit : Un jeune ? Un jeune Français ? \item Calculer la probabilité que le coureur contrôlé soit un coureur étranger ou un coureur de 25~ans ou plus. \item Le coureur contrôlé est tiré parmi les jeunes coureurs de moins de $25$~ans. Quelle est la probabilité que ce coureur soit français ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \begin{center} Les parties B et C peuvent être traitées de manière indépendante. \end{center} \textbf{Partie A} \medskip On étudie le taux d'équipement en micro-ordinateurs connectés à internet des ménages français. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 2000& 2001& 2002& 2003 & 2004\\ \hline Rang $x_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline Taux $y_{i}$ en pourcentage& 10 & 17 & 25 & 32 & 40\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé à cette série statistique. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour $10\,\%$ sur l'axe des ordonnées. L'origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré. \item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points obtenu puis le placer sur le graphique. En raison de l'allure du nuage de points, nous décidons d'effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : ajustement affine} \medskip On choisit pour ajustement affine du nuage de points la droite $\Delta$ d'équation $y = 7,4 x + 10$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère précédent. \item Montrer par le calcul que le point moyen G appartient à la droite $\Delta$. \item \begin{enumerate} \item Évaluer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés utiles, l'année à partir de laquelle au moins $75\,\%$ des ménages seront équipés en micro-ordinateurs connectés à internet. \item Retrouver ce résultat par le calcul, en utilisant l'équation de la droite $\Delta$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : ajustement logistique} \medskip On choisit pour ajustement du nuage de points la courbe représentant sur le graphique précédent la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{10}{0,1+ \text{e}^{-0,5x}}\] \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ . Interpréter graphiquement ce résultat. \item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{5\text{e}^{-0,5x}}{\left(0,1 + \text{e}^{-0,5x}\right)^2}$. \item Déterminer le signe de $f'$ sur $[0~;~ + \infty[$ puis dresser le tableau des variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Après l'avoir recopié, compléter le tableau de valeurs ci-dessous en donnant les valeurs arrondies à 0,1 près. \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant 75$. \item On rappelle que, pour $x$ entier représentant le rang de l'année, $f(x)$ représente le taux en pourcentage d'équipement en micro-ordinateurs connectés à internet des ménages français. Interpréter le résultat du \textbf{4. a.} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry CGIG avril 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Antilles CGIG juin 2005 \hypertarget{Antilles-Guyane}{} \lhead{\small BaccalauréŽat STT C.G.-I.G.} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STT CG - IG Antilles juin 2005~\decofourright}} \vspace{0,25cm} Coefficient 2 \hfill DurŽée 2 heures \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisŽée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points } \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.} \emph{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie.} \emph{Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point.} \emph{Si le total est négatif la note est ramenée à $0$}. \begin{enumerate} \item $A$ et $B$ désignent deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que $p(A) = 0,25,~ p(B) = 0,6$ et $p(A \cup B) = 0,7$. $p(A \cap B)$ est alors égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}} \text{A.}\quad 0,35 &\text{B.}\quad 0,85 & \text{C.}\quad 0,15\\ \end{tabularx} \end{center} \item Si le prix d'un article passe de $10$~\euro~ à $20$~\euro~le prix de cet article a augmenté de : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}} \text{A.}\quad 50\,\% &\text{B.}\quad 100\,\% & \text{C.}\quad 10\,\%\\ \end{tabularx} \end{center} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_{1}= 10$. Alors $u_{1}$ est égal à : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}} \text{A.}\quad 1,25 &\text{B.}\quad 12 & \text{C.}\quad 0,625\\ \end{tabularx} \end{center} \item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln x < 1$ équivaut à : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}} \text{A.}\quad $0 < x < \text{e}$ &\text{B.}\quad $x > 1$ & \text{C.}\quad $0 < x < 1$\\ \end{tabularx} \end{center} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = x - 1 + \text{e}^{-x}$. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}} \text{A.}\quad $1 - \text{e}$ &\text{B.}\quad $1 + \text{e}$ & \text{C.}\quad $1 - \dfrac{1}{\text{e}}$\\ \end{tabularx} \end{center}\end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une médiathèque dispose de \np{1500}~titres différents. Chaque titre est présenté soit sur un support CD, soit sur un support DVD. Les \np{1500}~titres sont classés en trois catégories : les nouveautés qui datent de moins de 3 mois, les titres récents qui ont entre 3 mois et un an, les titres anciens qui datent de plus de un an. De plus, parmi les \np{1500}~titres proposés, il y a : $\bullet~$ $10$\,\% de nouveautés ; $\bullet~$ $25$\,\%de DVD ; $\bullet~$ $10$\,\% de DVD anciens ; $\bullet~$ $500$ titres récents ; $\bullet~$ $70$\,\% des nouveautés qui sont des CD. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter ce tableau d'effectifs : \begin{tabular}{|l|*{3}{c|}} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& DVD & CD & Totaux\\ \hline Nouveautés&\multicolumn{1}{p{2.5cm}|}{}&\multicolumn{1}{p{2.5cm}|}{}&\multicolumn{1}{p{2.5cm}|}{}\\ \hline Titres récents & & & \\ \hline Titres anciens & & & \\ \hline Totaux & & & \\ \hline \end{tabular} \emph{Dans toute la suite de l'exercice toutes les probabilités seront données sous forme décimale arrondie à} $10^{-2}$ \emph{près.} \item On choisit un titre au hasard dans la médiathèque. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité des évènements suivants : $\bullet~$ E : \og Ce titre est un titre récent \fg{} ; $\bullet~$ F : \og Ce titre est un CD \fg{} ; $\bullet~$ G : \og Ce titre est un CD récent \fg{} ; $\bullet~$ H : \og Ce titre n'est pas une nouveauté \fg{} ? \item Quelle est la probabilité de l'évènement : \og Ce titre est un titre récent ou un CD \fg{} ? \end{enumerate} \item Un titre est choisi au hasard parmi les anciens. Quelle est la probabilité que ce soit un DVD ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ lafonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = x + \dfrac{4}{1 + \text{e}^x}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de$f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites en $+ \infty$ et$- \infty$ de la fonction $f$. \item \begin{enumerate} \item On désigne par$f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = \left(\dfrac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\right)^2$. \item En déduire le sens de variations de$f$sur $\R$ et dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$. \item On admet que la droite $\mathcal{D}'$ d'équation $y = x + 4$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $- \infty$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}'$. \item Sur le graphique fourni en annexe, préciser les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ et tracer la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,~f'x) = x + 4 - \dfrac{4\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$. \item En déduire que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : \[F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 4x - 4 \ln \left(1 + \text{e}^x\right)\] est une primitive sur $\R$ de $f$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $f(-1)$. En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$. \item Calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, du domaine du plan compris entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = - 1$ et $x = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1,5cm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-6,-6)(6,7.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-6,-6)(6,6) \psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-6,-6)(6,6) \uput[d](6,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$} \rput(0,7){\textbf{ANNEXE}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane CGIG juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole CGIG juin 2005 \hypertarget{Metropole4}{} \lhead{\small BaccalauréŽat STT C.G.-G.I.} \lfoot{\small{Métropole méŽtropolitaine}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STT C.G-I.G. Métropole juin 2005~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill } \medskip Dans un pays tropical, une région agricole compte \np{100000}~agriculteurs qui produisent soit du coton, soit du café, soit des fruits et légumes selon la répartition suivante : $\bullet~$42\,\% des agriculteurs produisent du coton ; $\bullet~$19\,\% produisent du café ; $\bullet~$39\,\% produisent des fruits et légumes. De plus : $\bullet~$75\,\% des agriculteurs travaillent pour l'exportation, les autres pour la consommation locale ; $\bullet~$86\,\% des producteurs de coton et tous les producteurs de café travaillent pour l'exportation. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline \backslashbox{Destination}{Production} &Coton & Café & Fruits, légumes & Total\\ \hline Exportation & & & & \\ \hline Consommation locale & & & & \\ \hline Total & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies si nécessaire à} $10^{-4}$. \item On choisit au hasard un agriculteur de cette région et on considère les évènements : C : \og il produit du coton \fg{} ; E : \og il travaille pour l'exportation \fg{}. \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase les évènements C ~$\cap$~E, C ~$\cup$~E et A $= \overline{\text{C}~\cup~\text{E}}$. \item Calculer les probabilités $P$(C), $P$(E), $P$(C~$\cap$~E), $P$(C~$\cup$~E) et $P$(A). \end{enumerate} \item On choisit au hasard un agriculteur travaillant pour l'exportation. Quelle est la probabilité qu'il produise du café ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill } Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. On considère la figure représentée en annexe 1 et on appelle $\mathcal{D}$ la partie hachurée, bords compris. On admettra que : la droite (CD) a pour équation $y = 40 - x$, et que la droite (AD) a pour équation $y = -\dfrac{5}{3}x + 50$. Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins $300$ véhicules et $400$~tonnes de matériel. Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose : $\bullet~$ de $30$~bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et $10$~tonnes de matériel ; $\bullet~$ de $35$ bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et $10$~tonnes de matériel. On note $x$ le nombre de bateaux de type A et $y$ le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations. \item Montrer que ce système caractérise la partie $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de \np{10000}~\euro{} et celui d'un bateau de type B de \np{7500} \euro. Soit $C$ le coût total d'affrètement de $x$ bateaux A et $y$ bateaux B. \begin{enumerate} \item Exprimer $C$ en fonction de $x$ et de $y$. \item Déterminer une équation de la droite ($d$) correspondant à un coût total de \np{450000}~\euro{} et représenter ($d$) dans la figure tracée sur \textbf{l'annexe 1}. \item Déterminer graphiquement le couple d'entiers $(x~;~y)$ qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \end{center} Les points A, B, C, D, ont pour coordonnées : \begin{center} A(9 ; 35) ; B(30 ; 35) ; C(30 ; 10) ; D(15 ; 25)\end{center} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(60,60) \psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.75pt,subticks=2]{->}(0,0)(61,61) \psline(0,40)(40,0) \psline(0,50)(30,0) \psline(0,35)(60,35) \psline(30,0)(30,60) \uput[ur](9,35){A} \uput[ur](30,35){B} \uput[ur](30,10){C} \uput[dl](15,25){D} \uput[dl](0,0){O} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psline(9,35)(30,35) \psline(30,10)(15,25)(9,35)} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill } \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'unité 2 cm sur chaque axe. La courbe ($\mathcal{C}$) donnée en annexe 2 représente une fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$. Le point A a pour coordonnées (1~;~2). La droite ($T$) est tangente en A à ($\mathcal{C}$) ; elle passe par le point de coordonnées (0~;~6). Le point B a pour abscisse $\text{e}^2$. La tangente à ($\mathcal{C}$) en B est parallèle à (O$x$), cette tangente n'est pas tracée sur le dessin. \vspace{0,25cm} \textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f$\unboldmath} \medskip La fonction $f$ représentée par ($\mathcal{C}$) est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer l'abscisse du point d'intersection de ($\mathcal{C}$) avec (O$x$). \item \begin{enumerate} \item En remarquant que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}$, calculer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ? \end{enumerate} \item En remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)$, calculer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ? \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{2 \ln x - 4}{x^2}$. \item Résoudre : $2 \ln x - 4 \geqslant 0$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ et le tableau de variations de $f$. \item Donner l'ordonnée exacte du point B (détailler les calculs). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item On considère les fonctions $G$ et $g$ définies respectivement sur $]0~;~+ \infty[$ par \[D(x) = (\ln x)^2\quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{2\ln x}{x}\] \begin{enumerate} \item Montrer que G est une primitive de $g$ sur $]0~ ;~ + \infty[$. \item Vérifier que $f(x) = \dfrac{2}{x} - g(x)$ ; en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item On pose : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x) \,\text{d}x$. \begin{enumerate} \item $\mathcal{A}$ est l'aire, en unités d'aire, d'un domaine ($\mathcal{D}$) : hachurer ($\mathcal{D}$) sur le graphique. \item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. \item En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine ($\mathcal{D}$). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{Annexe 2} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(8,7) \psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(8,7) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(8,7) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.49}{8}{2 2 x ln mul sub x div} \psline(-0.25,7)(1.75,-1) \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,2){A} \uput[d](7.389,-0.271){B} \uput[r](0.6,5.5){$\mathcal{C}$} \uput[r](1.7,-0.8){$T$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Métropole CGIG juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% La Réunion CGIG juin 2005 \hypertarget{La Reunion4}{} \lhead{\small BaccalauréŽat STT C.G--I.G} \lfoot{\small{La RŽéunion}} \rfoot{\small{juin 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STT C.G. -- I.G. La RéŽunion~\decofourright\\juin 2005}} \vspace{0,25cm} \emph{Fournir du papier millimŽétrŽé au candidat.} \emph{L'usage des calculatrices et du formulaire officiel est autorisé.} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points } \medskip Une entreprise de menuiserie fabrique des étagères. Elle propose trois hauteurs différentes ($120$~cm, $180$~cm, $200$~cm), deux largeurs différentes ($60$~cm, $80$~cm), et trois coloris différents (acajou, chêne foncé et pin). Elle peut ainsi, par exemple, fabriquer une étagère de $200$~cm de haut, $60$~cm de large, coloris chêne foncé. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de variétés d'étagères différentes à fabriquer (on pourra utiliser un arbre). \item Une chaîne de magasins souhaite travailler avec cette entreprise et décide de contrôler la qualité de fabrication en choisissant une étagère au hasard. Le stock contient le même nombre de chaque variété d'étagères. Calculer la probabilité des évènements suivants (on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible) A \og l'étagère est coloris acajou \fg{} ; B \og l'étagère mesure moins de $190$~cm de haut \fg{} ; C \og l'étagère est coloris pin ou mesure $60$~cm de large \fg{}. \item L'étagère contrôlée fait $200$~cm de haut. Quelle est la probabilité qu'elle fasse $80$~cm de large ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Un jardinier souhaite aménager un parterre. Deux jardineries proposent : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item l'une, le lot A constitué de $5$ tulipes, $3$ muscaris, $2$ narcisses pour une somme de $1,90$~\euro{} ; \item l'autre, le lot B constitué de $6$ tulipes, $1$ muscari, $3$ narcisses pour une somme de $0,90$~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le jardinier veut planter entre $165$ et $180$ tulipes et au moins $60$~muscaris. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B que le jardinier doit acheter pour que la dépense soit minimale. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi les contraintes auxquelles doivent satisfaire les nombres $x$ et $y$ se traduisent par le système d'inéquations : \[\left\{\begin{array}{l c l} x & \geqslant & 0\\ y & \geqslant &0\\ 5x + 6y & \geqslant &165\\ 5 x + 6y & \leqslant & 180\\ 3 x + y & \geqslant & 60\\ \end{array}\right.\] \item À tout couple $(x~;~y)$ de nombres réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans un repère orthonormal (on choisira 1 cm pour deux unités). Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système précédent (on hachurera la zone qui ne convient pas). \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense $D$ occasionnée par l'achat de $x$ lots A et $y$ lots B. \item Tracer dans le repère précédent la droite correspondant à une dépense de 34,20 \euro. \item Déterminer graphiquement le nombre de lots à commander dans chaque jardinerie pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée. \item Quelle est alors la dépense en euros ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g (x) = x \text{e}^x - \text{e}^x + 1.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $]- \infty~;~ + \infty[$. \item Calculer $g(0)$ et en déduire que, pour tout $x \in \R,~ g(x) \geqslant 0$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]- \infty~;~ + \infty[$ par \[f(x)= x \text{e}^x - 2\text{e}^x + x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Après avoir vérifié que pour tout réel $x$ on a $f(x) = \text{e}^x(x - 2) + x$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = g (x)$. \item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]- \infty~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie C} \medskip On note ($\mathcal{C}$) la représentation graphique de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que la droite ($D$), dont une équation est $y =x$, est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$) en $- \infty$. \item Montrer que la droite ($D$) coupe la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $x = 2$. \end{enumerate} \item Construire la droite ($D$), la courbe ($\mathcal{C}$), et la tangente à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$. \item Soit $\mathcal{W}$ le domaine délimité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 3$. On admettra que sur l'intervalle [2~;~3] la courbe ($\mathcal{C}$) est située au-dessus de l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Soit $F$ lafonction définie sur $]- \infty~;~ + \infty[$ par \[F(x) = (x - 3)\text{e}^x + \dfrac{1}{2}x^2.\] Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer la valeur exacte, en cm$^2$, de l'aire du domaine $\mathcal{W}$. En déduire l'arrondi au centième de cette aire exprimée en cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin La Réunion CGIG juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2005 \hypertarget{Polynesie4}{} \lhead{\small BaccalauréŽat STT C.G.-I.G. } \lfoot{\small{PolynŽésie}} \rfoot{\small{10 juin 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STT C.G.-I.G. PolynŽésie~\decofourright\\10 juin 2005}} \vspace{0,25cm} Coefficient 4 \hfill DurŽée : 3 heures \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisŽée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Tous les ans, lors de la journée du Patrimoine, un musée d'art contemporain accueille gratuitement les visiteurs. On note dans le tableau suivant l'évolution du nombre de visiteurs depuis 6 ans. \begin{center}$1\up{er}$ Tableau \vspace{0,2cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004\\ \hline $x_{i}$ : rang de l'année &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline $v_{i}$ : nombre de visiteurs &164 &270 &330 &493 &545 & 812\\ \hline \end{tabularx}\end{center} Au vu de la forme du nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, l'ajustement linéaire ne semble pas judicieux. On décide de poser $y_{i} = \ln (v_{i})$ pour chaque valeur de $i$. On obtient le tableau suivant : \begin{center} $2\up{e}$ tableau \vspace{0,25cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004\\ \hline $x_{i}$ : rang de l'année &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline $y_{i}~:~ y_{i} = \ln (v_{i})$ &5,1 &5,6 &5,8 &6,2 &6,3 & 6,7\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans un repère orthogonal, représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ issus du $2\up{e}$ tableau, où : $\bullet~$ 2~cm représentent une année sur l'axe des abscisses ; $\bullet~$ 4~cm représentent une unité sur l'axe des ordonnées (commencer à graduer à partir de $5$). \item Soit $G$ le point moyen du nuage. On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = 0,3 x + 4,9$ dans le repère. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de $G$. \item Tracer la droite $\Delta$. \item Montrer que la droite $\Delta$ passe par le point $G$ ainsi que par certains points du nuage qu'on déterminera. \end{enumerate} \item Le directeur désirerait avoir une estimation du nombre de visiteurs pour l'année 2005. On considère que la droite $\Delta$ réalise un ajustement affine du nuage de points issus du second tableau. \begin{enumerate} \item À l'aide de l'équation de la droite $\Delta$, calculer la valeur de $y_{i}$, pour l'année 2005. Puis, vérifier graphiquement la valeur trouvée (faire apparaître les traits de construction). \item En déduire le nombre de visiteurs $v_{i}$ estimé pour l'année 2005 arrondi au visiteur près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip On dispose d'une urne contenant $3$ boules indiscernables au toucher, de couleur rouge, bleue et jaune et de $3$ boîtes de couleur rouge, bleue et jaune. La boîte rouge contient $1$ ticket avec la mention \og gain de $100$~euros \fg{} et 3 tickets avec la mention \og perdu \fg. La boîte bleue contient $2$ tickets avec le mention \og gain de $20$~euros \fg{}, 1 ticket avec la mention \og gain de $5$~euros \fg{} et $1$~ticket avec la mention \og perdu \fg. La boîte jaune contient $1$~ticket avec la mention \og gain de $15$~euros \fg, $1$~ticket avec la mention \og gain de $10$~euros \fg{}, $2$~tickets avec la mention \og gain de $1$~euro \fg. Tous les tickets sont indiscernables au toucher. Un candidat choisit au hasard une boule dans l'urne puis il prend un ticket au hasard dans la boîte ayant la même couleur que la boule tirée. Il gagne la somme d'argent indiquée sur le ticket. \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre. \item On considère les évènements suivants : A : \og le candidat a gagné $100$~euros \fg{}. B : \og le candidat a pris un ticket dans la boîte jaune \fg{}. C : \og le candidat a gagné une somme supérieure à $9$~euros \fg{}. Les résultats numériques des questions qui suivent seront donnés sous forme de fraction. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p$(A), $p$(B) et $p$(C). \item Calculer la probabilité $p(\text{C} \cap \text{B})$ puis la probabilité de $p(\text{C} \cup \text{B})$. \item Les évènements A et B sont-ils incompatibles ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip L'objectif de ce problème est de mettre en {\oe}uvre les principales techniques d'analyse relatives aux études de fonctions étudiées dans la classe. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left(4 - x^2\right) \text{e}^{ -0,5x}\] dont la représentation graphique $\mathcal{C}$ est donnée en annexe. \medskip \textbf{Partie A Étude graphique} \medskip En utilisant l'annexe, pour chacune des questions figurant dans le tableau ci-dessous, reporter sur la copie la lettre correspondant à la réponse exacte (aucune justification n'est demandée). \vspace{0,25cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline n$\up{o}$ & Questions &Réponse A& Réponse B&Réponse C\\ \hline 1 &$f$ est positive sur : &$]-2,1~;~-2] \cup [2~;~10[$& $[- 2~;~2]$&[0~;~5]\\ \hline 2 &$f'(0) = $ & $- 2$ & 2 & $- 0,5$\\ \hline 3 &$f(0) = $ & 0 & 4 & $- 2$ et $2$\\ \hline &Solution(s) de l'équation& & & \\ 4 &$f(x) = 0$ &4 &$-2$ et 2& aucune\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie B Étude de la fonction} \medskip \begin{enumerate} \item Étude des limites \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item En utilisant le résultat : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{0,5x}}{x^2} = + \infty$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$, puis interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \item Dérivée et tangente On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\R$ :$f'(x) = \text{e}^{-0,5x} \left(0,5x^2 - 2x - 2\right)$. \item Déterminer les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ du trinôme $0,5x^2 - 2x - 2$. \item Que peut-on dire des tangentes à la courbe aux points d'abscisse $x_{1}$ et $x_{2}$ ? \item Tracer ces deux tangentes sur le document annexe. \end{enumerate} \item Calcul d'aire \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$,on pose : $F(x) = \left(2x^2 + 8x + 8\right)\text{e}^{-0,5x}$. Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Déterminer graphiquement le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$. \item Mettre en évidence sur le graphique donné en annexe la partie $\mathcal{A}$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = -2$ et l'axe des ordonnées. \item Calculer la mesure, en unité d'aires, de l'aire de $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE PROBLÈME} \textbf{À rendre obligatoirement avec la copie} \vspace{0,5cm} \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline \no& QUESTION& RÉPONSE DU CANDIDAT (A, B ou C)\\ \hline 1 & $f$ est positive sur :& \\ \hline 2 & $f'(0) = $& \\ \hline 3 & $f(0) = $& \\ \hline 4 & Solution(s) de l'équation $f(x) = 0$ & \\ \hline \end{tabular} \vspace{0,5cm} \psset{unit=0.857cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(11,6) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(11,6) \psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-3,-4)(11,6) \uput[d](11,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=500,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.264}{11}{4 x 2 exp sub 2.71828 .5 x mul exp div } \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie CGIG juin 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2005 \hypertarget{Polynesie3}{} \lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG } \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT CG-IG Polynésie~\decofourright \\ septembre 2005}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Une entreprise produisant des micro-ordinateurs a étudié l'évolution de la proportion des ordinateurs portables dans le total de ses ventes d'ordinateurs. Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre $x$ d'années écoulées depuis 1998 ainsi que le pourcentage $y$ de portables parmi les micro-ordinateurs vendus. \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1999 & 2000 &2001 &2002&2003 & 2004\\ \hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline $y$ & 16 & 17,6 &20,4 &21,7 &22,9 & 25,3\\ \hline \end{tabularx}\] \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonorma) \Oij{} d'unité graphique $1$~cm, représenter le nuage des points $M$ de coordonnées $(x~ ;~ y)$.\\ On graduera l'axe des ordonnées à partir de $13$. \item Soit G le point moyen du nuage. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point G et placer G sur le graphique. \item On appelle ($\Delta$) la droite passant par le point G et par le point A$(1~;~ 16{,}4)$. Tracer la droite ($\Delta$) sur le graphique précédent. \item Montrer que la droite ($\Delta$) a pour équation $y =1{,}7x + 14{,}7$. \end{enumerate} \item On admet que la droite ($\Delta$) réalise un ajustement affine du nuage représenté. Calculer â l'aide de l'équation de la droite ($\Delta$) une estimation : \begin{enumerate} \item du pourcentage d'ordinateurs portables vendus en 2005 ; \item de l'année où le pourcentage de vente des ordinateurs portables atteindrait $30$\,\%. \end{enumerate} \item Retrouver graphiquement les résultats de la question \textbf{3.} en faisant apparaître tous les tracés nécessaires sur le graphique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Un centre sportif souhaitant organiser les horaires des cours pour la prochaine saison fait une enquête auprès de ses membres. Pour les activités escrime, gymnastique et tir à l'arc, sur $200$ réponses, le centre a obtenu les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $60$\,\% des personnes préfèrent venir en semaine (du lundi au vendredi), les autres préfèrent venir le week-end ; \item[$\bullet~$] $96$ font de la gymnastique et les trois quarts d'entre eux préfèrent venir en semaine ; \item[$\bullet~$] $28$\,\% pratiquent l'escrime et la moitié d'entre eux désirent venir en semaine. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant (aucune justification n'est demandée) : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &Escrime &Gymnastique &Tir à l'arc & Total\\ \hline Week-end & & & & \\ \hline Semaine & & & & \\ \hline Total & & & & 200\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les résultats numériques obtenus aux questions suivantes seront donnés sous forme décimale. \item On choisit au hasard une réponse parmi les $200$ ; calculer la probabilité des évènements suivants : A : \og la réponse choisie est celle d'une personne qui veut faire de la gymnastique \fg{} ; B : \og la réponse choisie est celle d'une personne qui préfère venir le week-end~\fg{} ; C : \og la réponse choisie est celle d'une personne qui désire faire du tir à l'arc en semaine \fg{}. \item Définir par une phrase les évènements $\overline{\text{A}},~ \text{A} \cap \text{B}$ et $\text{A} \cup \text{B}$ puis calculer leur probabilité. \item On choisit maintenant au hasard une réponse parmi ceux qui préfèrent venir en semaine. Quelle est la probabilité pour que la réponse soit celle d'une personne voulant faire de la gymnastique ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{6\text{e}^x - 9}{\text{e}^{2x}}.\] Soit $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, unité graphique : $4$~cm. \medskip \textbf{Partie A Étude de la fonction} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. \item Vérifier que pour tout $x$ réel $f(x) = 6\text{e}^{-x} - 9\text{e}^{-2x}$. En déduire la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Interpréter graphiquement le résultat précédent. \end{enumerate} \item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{18 - 6\text{e}^x}{\text{e}^{2x}}$. \item Déterminer le signe de $f'(x)$. \item En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. Indiquer la valeur exacte des extremums éventuels ainsi que les limites. \end{enumerate} \item On appelle A le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses et B le point d'intersection avec l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points A et B. \item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe au point A. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$,dans le repère \Oij. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Calcul d'aire} \medskip On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par : \[F(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 6\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Déterminer graphiquement le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [1~;~2]. \item Déterminer la valeur exacte, en unités d'aire, de la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie CG IG septembre 2005 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2005 \hypertarget{Caledonie2}{} \lhead{\small Baccalauréat STT CG-IG} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT novembre 2005~\decofourright}} {\Large \textbf{ Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion}} {\Large \textbf{ Nouvelle-Calédonie}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Soient deux dés cubiques notés $D_1$ et $D_2$ dont toutes les faces ont la même probabilité d'apparition. Le dé $D_1$ a une face numérotée $1$ et cinq faces numérotées $2$.\\ Le dé $D_2$ a deux faces numérotées $1$, une face numérotée $2$ et trois faces numérotées~$3$. On jette le dé $D_1$ puis le dé $D_2$ et on regarde le chiffre obtenu par chacun d'eux. On appelle évènement élémentaire tout couple $(a , b)$ de deux chiffres, où $a$ est le chiffre apparu sur le dé $D_1$ et $b$ le chiffre apparu sur le dé~$D_2$. \begin{enumerate} \item Dresser un tableau à double entrée faisant apparaître les $36$ couples possibles. \item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : \begin{enumerate} \item $A$ : \og deux faces portent le même numéro \fg{} ; \item $B$ : \og deux faces portent des numéros différents \fg{} ; \item $C$ : \og au moins une face porte le numéro $1$ \fg{} ; \item $E$ : \og une des faces et une seule porte le numéro $3$ \fg. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements $(C \cap E)$ et $(C \cup E)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $0,5$~cm. On donne deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respextives $x + 2y = 30$ et $2x + y = 30$ \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul les coordonnées du point $I$, intersection de ces deux droites. \item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système : \[ \left\{\begin{array}{l} x \geqslant 0\\ y \geqslant 0\\ x+2y \geqslant 30\\ 2x+y \geqslant 30 \end{array}\right. \] \textbf{On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.} \item Un cyclo-club désire acheter au moins un cuissard et au moins un coupe-vent pour équiper chacun de ses $60$ adhérents. Le trésorier du club contacte deux fournisseurs. Le premier propose un lot $A$ composé de $2$ cuissards et $4$ coupe-vent, au prix de $80$ \euro{} ; Le second propose un lot $B$ de $4$ cuissards et $2$ coupe-vent, au prix de $90$ \euro{}. On désigne par $x$ le nombre de lots $A$ et $y$ le nombre de lots $B$ commandés par le trésorier. \begin{enumerate} \item Justifier que le système de la question \textbf{2.} est un système d'inéquations traduisant les contraintes d'achat. \item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense $d$ occasionnée par l'achat de $x$ lots $A$ et $y$ lots $B$. \item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $80x + 90y = \np{1800}$ dans le repère \Oij{}. \item En expliquant la méthode utilisée, déterminer graphiquement les valeurs de $x$ et de $y$ qui occasionnent la dépense minimale. Calculer alors cette dépense. \item En déduire la somme restant à la charge du club dans le meilleur des cas si chaque adhérent verse $10$ \euro{}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\] On note $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2\ $cm.\\ \medskip \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item En déduire que la courbe $(\mathscr{C})$ admet deux asymptotes et donner leur équation. \end{enumerate} \item Soit $f'$ la dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Étudier le signe de $f'(x)$. \item Donner le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathscr{C})$ au point A d'abscisse~$1$. \item Déterminer une équation de la tangente $(T')$ à $(\mathscr{C})$ au point B d'abscisse $\mathrm{e}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant, pour chaque valeur de $x$, une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près de $f(x)$: \[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $x$ &0,3 &0,4 &0,5 &0,7 &1 &2 &e &4\\ \hline $ f(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \] \item Construire $(T)$ et $(T')$, les deux asymptotes puis la courbe $(\mathscr{C})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = 0,5 [\ln x ]^2$. Montrer que $h$ est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer en cm$^2$, l'aire $D$ du domaine plan limité par la courbe $(\mathscr{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$. \item Calculer en cm$^2$, l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équations $x=1$, $x=\mathrm{e}$, $y=1$ et l'axe des abscisses. \item En déduire, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathscr{C})$ et les droites d'équation $y = 1$, $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie CG IG novembre 2005 \end{document}