\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \makeatletter%graduations décimales \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small BaccalauréŽat L } \rhead{\small L'année 2002} \lfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat L 2002 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2002}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{AmduNord}{Amérique du Nord juin 2002} \dotfill 3\medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles juin 2002} \dotfill 10 \medskip \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2002} \dotfill 13 \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole & Nouvelle-Calédonie juin 2002} \dotfill 17 \medskip \hyperlink{Japon}{Japon juin 2002} \dotfill 21 \medskip \hyperlink{Reunion}{La Réunion juin 2002} \dotfill 25 \medskip \hyperlink{Liban}{Liban juin 2002} \dotfill 28 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2002} \dotfill 30 \medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles septembre 2002} \dotfill 34 \medskip \hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2002} \dotfill 36 \medskip \hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud novembre 2002} \dotfill 39 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2002 \hypertarget{AmduNord}{} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Amérique du Nord juin 2002~\decofourright}} \vspace{0,25cm} \textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2 ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4. \vspace{0,25cm} Une feuille de papier millimétré est mise à la disposition du candidat \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire }\hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur [-1 ; 8] par $g(x) = x^2 - 6 x + 5$ et représentée ci-dessous. \begin{center}\psset{yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(9,22) \psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-5)(9,22) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(9,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-5)(0,22) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$} \psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{8}{x dup mul x 6 mul sub 5 add} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = 0$. \item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle [- 1 ; 8]. \item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = -3$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction $g$ admet-elle un minimum sur [- 1 ; 8] ? \item Vérifier que $g(x)= (x- 1)(x-5)$ pour $x$ appartenant à [- 1 ; 8]. \item Retrouver le signe de $g(x)$ \^a l'aide d'un tableau. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~8]$ par \[f(x) = 0,2x^3 - 1,8x^2 + 3x + 4.\] On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij~(unité de longueur 1 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $f$ notée $f'$. \item Vérifier que $f'(x) = 0,6 g(x)$ pour tout $x$ de [- 1 ; 8] ($g$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}). En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau des variations de la fonction $f$ sur [- 1 ; 8]. \item Tracer ($\mathcal{C}$) dans le repère \Oij. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Un hypermarché, à l'occasion de son $25\up{e}$ anniversaire, organise le jeu suivant : Dans un premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse un bulletin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter. Chaque client doit gratter seulement 3 cases. - si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d'achat de 100 euros, - si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d'achat de 5 euros, - dans tous les autres cas, le bulletin est perdant. Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans une urne pour une loterie ultérieure. Un client ne peut déposer qu'un seul bulletin dans cette urne. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements suivants : \begin{enumerate} \item A \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 100 euros après un passage en caisse \fg. \item B \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 5 euros après un passage en caisse \fg. \end{enumerate} \item En déduire que la probabilité de l'évènement \og un client ne gagne rien au grattage \fg{} est $\dfrac{3}{4}$. \item Monsieur M. effectue quatre passages en caisse durant la période du jeu. Determiner la probabilité que Monsieur M. gagne exactement deux bons d'achats. \item Pour la loterie, $30\:000$ bulletins ont été déposés dans l'urne. On tire successivement et sans remise 100 bulletins de l'urne. Chaque bulletin tiré gagne un bon d'achat de 100 euros. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'un bulletin déposé dans l'urne soit gagnant lors de ce tirage. \item Démontrer que la probabilité qu'un bulletin soit perdant après le grattage et gagnant après le tirage est $\dfrac{1}{400}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une suite} \medskip Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \np{1500000}$ et $u_{n+1} = 1,013 u_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item On pose pour tout entier naturel $n,~ v_n = u_n + 100\:000$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_0$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} = 1,013 v_n.$ En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$. \item Déterminer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que $u_n = 1\:600\:000 \times (1,013)^n - 100\:000$. \item Calculer $u_{18}$. Le résultat sera arrondi à l'entier le plus proche. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Application} \medskip \emph{Pour cette partie, tous les résultats numériques seront arrondis à l'entier le plus proche.} Une étude de la population d'un département laisse appara\^itre les informations suivantes : \begin{itemize} \item la population est estimée à \np{1500000} habitants en 2002, \item le taux d'accroissement naturel est de $1,3\:\%$ par an, \item le flux migratoire (différence entre le nombre de personnes entrant dans le département et le nombre de personnes en sortant) est estimé à \np{1300} habitants par an. On estime que ces données resteront constantes au fil des ans. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la population estimée de ce département en 2003 et en 2004. \item On pose $w_0 = \np{1500000}$. Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $w_n$ une estimation du nombre d'habitants de ce département durant l'année $(2002 + n)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $w_{n+1} = 1,013 w_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$. \item En utilisant la \textbf{partie A}, déduire une estimation de la population de ce département en 2020. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \bigskip \textbf{Partie A : Étude de fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 200] par \[f(x) = \sqrt{100x+ 49}.\] On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité : 1 mm). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $f$, notée $f'$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variations, de la fonction $f$ sur [0 ; 200]. \item Tracer ($\mathcal{C}$). \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 130$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Application} \medskip La distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule automobile est fonction de sa vitesse avant le freinage. En notant $x$ cette distance exprimée en m ($x$ variant de 10 à 200) et $y$ cette vitesse exprimée en km$\cdot$h$^{-1}$. Les experts d'assurance automobile estiment que $v =f(x)$ o\`u $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la vitesse d'un véhicule pour lequel une distance de 100 m est nécessaire pour s'arrêter ? \item \begin{enumerate} \item Quelle est la distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule roulant à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ? \item Le code de la route impose un délai de 2 secondes entre chaque véhicule. Ce délai est-il suffisant si le véhicule roule à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ? (Justifier votre réponse.) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur [-1 ; 8] par $g(x) = x^2 - 6 x + 5$ et représentée ci-dessous. \begin{center}\psset{yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(9,22) \psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-5)(9,22) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(9,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-5)(0,22) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$} \psplot[linecolor=blue]{-1}{8}{x dup mul x 6 mul sub 5 add} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = 0$. \item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $[- 1~;~8]$. \item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = -3$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction $g$ admet-elle un minimum sur $[- 1~;~8]$ ? \item Vérifier que $g(x)= (x- 1)(x-5)$ pour $x$ appartenant à $[- 1~;~8]$. \item Retrouver le signe de $g(x)$ â l'aide d'un tableau. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} Soit $f$ la fonction définie sur $[- 1~;~8]$ par \[f(x) = 0,2x^3 - 1,8x^2 + 3x + 4.\] On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij~(unité de longueur 1 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $f$ notée $f'$. \item Vérifier que $f'(x) = 0,6 g(x)$ pour tout $x$ de [- 1 ; 8] ($g$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}). En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau des variations de la fonction $f$ sur [- 1 ; 8]. \item Tracer ($\mathcal{C}$) dans le repère \Oij. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Un hypermarché, à l'occasion de son $25\textsuperscript{e}$ anniversaire, organise le jeu suivant : Dans un premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse un bulletin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter. Chaque client doit gratter seulement 3 cases. - si le client découvre 3 cases rouges, il gagne un bon d'achat de 100 euros, - si le client découvre 3 cases vertes, il gagne un bon d'achat de 5 euros, - dans tous les autres cas, le bulletin est perdant. Dans un deuxième temps, seuls les bulletins perdants portant le nom du client sont placés dans une urne pour une loterie ultérieure. Un client ne peut déposer qu'un seul bulletin dans cette urne. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements suivants : \begin{enumerate} \item A \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 100 euros après un passage en caisse \fg. \item B \og un client du magasin gagne un bon d'achat de 5 euros après un passage en caisse \fg. \end{enumerate} \item En déduire que la probabilité de l'évènement \og un client ne gagne rien au grattage \fg{} est $\dfrac{3}{4}$. \item Monsieur M. effectue quatre passages en caisse durant la période du jeu. Déterminer la probabilité que Monsieur M. gagne exactement deux bons d'achats. \item Pour la loterie, $30\:000$ bulletins ont été déposés dans l'urne. On tire successivement et sans remise 100 bulletins de l'urne. Chaque bulletin tiré gagne un bon d'achat de 100 euros. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'un bulletin déposé dans l'urne soit gagnant lors de ce tirage. \item Démontrer que la probabilité qu'un bulletin soit perdant après le grattage et gagnant après le tirage est $\dfrac{1}{400}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une suite} \medskip Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \np{1500000}$ et $u_{n+1} = 1,013 u_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item On pose pour tout entier naturel $n,~ v_n = u_n + \np{100000}$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_0$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n+1} = 1,013 v_n.$ En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$. \item Déterminer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que $u_n = 1\:600\:000 \times (1,013)^n - 100\:000$. \item Calculer $u_{18}$. Le résultat sera arrondi à l'entier le plus proche. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Application} \medskip \emph{Pour cette partie, tous les résultats numériques seront arrondis à l'entier le plus proche.} Une étude de la population d'un département laisse apparaître les informations suivantes : \begin{itemize} \item la population est estimée à \np{1500000} habitants en 2002, \item le taux d'accroissement naturel est de $1,3\,\%$ par an, \item le flux migratoire (différence entre le nombre de personnes entrant dans le département et le nombre de personnes en sortant) est estimé à 1\:300 habitants par an. On estime que ces données resteront constantes au fil des ans. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Déterminer la population estimée de ce département en 2003 et en 2004. \item On pose $w_0 = 1\:500\:000$. Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $w_n$ une estimation du nombre d'habitants de ce département durant l'année $(2002 + n)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $w_{n+1} = 1,013 w_n + \np{1300}$ pour tout entier naturel $n$. \item En utilisant la \textbf{partie A}, déduire une estimation de la population de ce département en 2020. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A : Étude de fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 200] par \[f(x) = \sqrt{ 100x+ 49}.\] On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij~ (unité : 1 mm). \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $f$, notée $f'$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variations, de la fonction $f$ sur [0 ; 200]. \item Tracer ($\mathcal{C}$). \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 130$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Application} \medskip La distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule automobile est fonctio de sa vitesse avant le freinage. En notant $x$ cette distance exprimée en m ($x$ variant de 10 à 200) et $y$ cette vitesse exprimée en km$\cdot$h$^{-1}$. Les experts d'assurance automobile estiment que $v =f(x)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la vitesse d'un véhicule pour lequel une distance de 100 m est nécessaire pour s'arrêter ? \item \begin{enumerate} \item Quelle est la distance de freinage jusqu'à l'arrêt d'un véhicule roulant à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ? \item Le code de la route impose un délai de 2 secondes entre chaque véhicule. Ce délai est-il suffisant si le véhicule roule à 130 km$\cdot$h$^{-1}$ ? (Justifier votre réponse.) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% Fin Amérique du Nord juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane juin 2002 \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{Durée : 3 heures} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Antilles-Guyane juin 2002~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill 7 points} \medskip Les trois parties de l'exercice sont indépendantes. Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Dans cet exercice, on effectue selon différentes modalités, des tirages au hasard parmi les huit cartes que constituent les quatre dames et les quatre rois d'un jeu de cartes. \textbf{Préliminaire :} \medskip Écrire le triangle de Pascal donnant les nombres ${n \choose p}$ pour $n$ inférieur ou égal à 8. \bigskip \textbf{ I - Première modalité} \medskip On tire simultanément au hasard trois cartes parmi les huit cartes. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de tirages possibles. \item Déterminer le nombre de tirages qui comprennent trois rois. \item Déterminer la probabilité de réaliser, un tirage de trois cartes de même niveau, c'est-à-dire trois rois ou trois dames. \end{enumerate} \bigskip \textbf{ II. Deuxième modalité :} \emph{on pourra s'aider d'un arbre.} \medskip On tire successivement au hasard deux cartes parmi les huit cartes. Le tirage est sans remise. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement R$_1$ \og La première carte tirée est un roi \fg. \item Sachant que la première carte tirée est un roi, calculer la probabilité d'obtenir encore un roi pour la deuxième carte. \item Déterminer la probabilité d'obtenir deux rois. \item Quelle est la probabilité d'obtenir deux figures de même niveau, c'est-à-dire deux rois ou deux dames ? \item Quelle est la probabilité de ne pas obtenir deux figures de même niveau ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{ III. Troisième modalité} \medskip On tire une carte que l'on remet dans le paquet de huit cartes avant d'effectuer le tirage suivant. Les tirages sont indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'obtenir un c?ur quand on tire une carte parmi les huit choisies. \item On effectue quatre tirages successifs. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité $p_1$ d'obtenir quatre fois un coeur. \item Déterminer la probabilité $p_2$ d'obtenir exactement deux fois un c{\oe}ur. \end{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner le nombre de tirages nécessaires pour que la probabilité de n'obtenir que des c{\oe}urs soit inférieure à $10^{-6}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{10}x^3 - 6x^2 +120x \qquad ; \qquad g (x) = 40 x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le nombre dérivé $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{3}{10}(x-20)^2.$ \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer $f(10),~ f(20)$ et $f(40)$. \end{enumerate} \item La courbe ($\mathcal{C}_f$) représentative de la fonction $f$ est tracée sur la feuille annexe que l'on remettra avec la copie. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe ($\mathcal{C}_f$) au point A d'abscisse 10. \item Tracer sur la feuille annexe la courbe ($\mathcal{C}_g$) représentative de la fonction $g$. \item Montrer que la courbe ($\mathcal{C}_f$), la courbe ($\mathcal{C}_g$) et la droite T$_{\text{A}}$ se coupent au point d'abscisse 40. En déduire le tracé de la tangente T$_{\text{A}}$ que l'on réalisera sur la feuille annexe. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{ Partie B} \medskip Le coût exprimé en euros d'une production est fonction du nombre d'unités $x$ fabriquées est égal à $f(x)$ o\`u $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. On prendra $x$ dans l'intervalle [0 ; 45]. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x$ unités produites et vendues 40 euros l'unité, le bénéfice en euros s'exprime par $g(x)-f(x)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sur l'intervalle [0 ; 45]. On fera les traits de construction utiles et on vérifiera que les valeurs entières lues sont solutions. \item Déterminer l'intervalle auquel doit appartenir le nombre d'unités fabriquées $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{ AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4} \end{center} \textbf{\textsc{ Exercice 3} \hfill 6 points} Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes. Les résultats demandés seront arrondis au centième. Pour effectuer un achat dont le coût s'élève à $1\:600$ euros un client a le choix entre deux formes de paiement. \medskip \textbf{ I.} Dans cette question, le premier versement s'élève à 150 euros et on effectue une suite de versement notée $\left(a_n\right)$ qui vérifie $a_0 = 150$ et, pour tout entier $n$ : $a_{n+1} = 0,95a_n + 100$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le deuxième versement $a_1$ et le troisième $a_2$. \item Montrer qu'avec cinq versements, la somme de 1600 euros est remboursée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{ II.} Dans cette question, le premier versement s'élève à 200 euros, puis chaque versement est égal au précédent diminué de $5\:\%$. On note $\left(b_n\right)$ la suite des versements avec $b_0 = 200$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $b_1= 190$ et calculer $b_2$ et $b_3$ \item Exprimer le terme $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$. En déduire la nature de la suite $\left(b_n\right)$ et donner l'expression du terme général $b_n$ en fonction de $n$. \item Calculer en fonction de $n$ la somme $S_n$ égale à $b_0 + b_1 + \cdots + b_n$ des $(n + 1)$ premiers versements. Calculer les sommes $S_8$ et $S_9$ et interpréter le résultat. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que 1999 est congru à 4 modulo 7. \item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 2007 modulo 7. \end{enumerate} \item Soit $n$ un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7. \begin{enumerate} \item Déterminer un nombre entier naturel congru à $n^3$ modulo 7. \item En déduire que $\left(n^3 + 1\right)$ est divisible par 7. \end{enumerate} \item Montrer que si $n$ est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors $\left(n^3 - 1\right)$ est divisible par 7. \item On considère le nombre A $= 1999^3 + 2007^3$. Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que A est divisible par 7. \end{enumerate} %\newpage \begin{center} \psset{xunit=2mm,yunit=0.02mm} {\large \textbf{Annexe à rendre avec la copie}} \vspace{1,5cm} \begin{pspicture}(-15,-2000)(55,4000) \psplot{-10}{50}{x 3 exp 0.1 mul x dup mul 6 mul sub 120 x mul add} \psline[linewidth=2pt]{->}(-15,0)(55,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-2000)(0,4000) \multido{\n=-10+10}{7}{\psline(\n,-2000)(\n,4000)} \multido{\n=-2000+1000}{7}{\psline(-15,\n)(55,\n)} \multido{\n=-10+10}{7}{\uput[d](\n,0){\n}} \multido{\n=-2000+1000}{7}{\uput[l](-2,\n){\n}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% Fin Antilles-Guyane juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2002 \hypertarget{Etranger}{} \lfoot{\small{Bac L facultatif }} \rfoot{\small{ juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽat TL Centres Žétrangers juin 2002~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \begin{center} Tableau I \end{center} \parbox[c]{0.25\textwidth}{ \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(3,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5) \psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-4,-5)(3,5) \rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 1 : fonction $L$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3.275}{1.275}{x 3 exp x 2 exp 3 mul add 2 sub } \end{pspicture}} \parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(3,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5) \psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-4,-5)(3,5) \rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 2 : fonction $M$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.71}{2.71}{x 3 exp x 2 exp 3 mul sub 3 x mul add 1 sub} \end{pspicture}} \parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-3,-5)(4,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-5)(4,5) \psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-3,-5)(4,5) \rput(0,-6){\footnotesize figure 3 : fonction $P$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.275}{3.275}{x 3 exp x 2 exp 3 mul sub 2 add} \end{pspicture}} \parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(4,7) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(4,7) \psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,7) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-3,-3)(4,7) \rput(0,-4){\footnotesize figure 4 : fonction $Q$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.355}{2.195}{x 3 exp 3 x mul sub 3 add} \end{pspicture}} \vspace{1cm} Les courbes figurant dans le tableau 1 sont les repréŽsentations graphiques de quatre fonctions polynô™mes de degréŽ 3 : $L,~ M,~ P,~ Q$. \begin{center} Tableau 2 \end{center} \parbox[c]{0.25\textwidth}{ \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(4,6) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-4)(4,6) \psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-4)(0,6) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-3,-4)(4,6) \rput(0,-5){\footnotesize figure 5 : fonction $f$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.635}{2.635}{x 2 exp 3 mul 6 x mul sub } \end{pspicture}} \parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(3,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-5)(3,5) \psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(3,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,5) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-4,-5)(3,5) \rput(-0.5,-6){\footnotesize figure 6 : fonction $g$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.635}{0.635}{x 2 exp 3 mul 6 x mul add} \end{pspicture}} \parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(4,7) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(4,7) \psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(4,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,7) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-3,-3)(4,7) \rput(0,-4){\footnotesize figure 7 : fonction $h$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.525}{2.525}{x 2 exp 3 mul 6 x mul sub 3 add} \end{pspicture}} \parbox[c]{0.25\textwidth}{\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(3,6) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-4)(3,6) \psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(3,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-4)(0,6) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psframe(-3,-4)(3,6) \rput(0,-5){\footnotesize figure 8 : fonction $k$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.735}{1.735}{x 2 exp 3 mul 3 sub} \end{pspicture}} \vspace{1cm} Les paraboles figurant dans le tableau 2 sont les repréŽsentations graphiques de quatre fonctions : $f,~g,~h,~k$. Ces fonctions sont, {\color{red} dans un ordre àˆ dŽéterminer}, les dŽérivŽées des fonctions $L,~ M,~ P,~ Q$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour chacune des paraboles du tableau 2, donner le signe de la fonction repréŽsentéŽe. \item Pour chacune des courbes du tableau 1, Žétablir par lecture graphique le tableau de variations de la fonction reprŽésentéŽe. Pour chaque tableau de variation, on indiquera le signe de la déŽrivŽée de la fonction correspondante (on n'Žétudiera pas les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$). \item Pour chacune des fonctions $L,~ M,~ P,~ Q$, préŽciser celle des fonctions, $f,~ g,~ h,~ k$ qui est sa fonction dŽérivéŽe. \end{enumerate} \item La fonction $f$ repréŽsentŽe sur la figure 5 est dŽéfinie sur $\R$ par $f(x)= 3x^2 + b x + c$ où $b$ et $c$ sont deux nombres réŽels. \begin{enumerate} \item RŽésoudre graphiquement $f(x) = 0$ et utiliser cette réŽsolution pour calculer $b$ et $c$. \item On note $\mathcal{C}_{P}$ la courbe reprŽésentative de la fonction $P$. Elle a pour éŽquation : \[y = x^3 + \dfrac{b}{2}x^2 + cx + d.\] En utilisant les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{P}$ avec l'axe des ordonnŽées, calculez $d$. Donner l'expression de $P(x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip Pour se rendre ˆ l'arrêt du bus qui passe ˆ 7~h~30 et qui l'amène au lycŽée, ValéŽrie a le choix entre trois itinŽéraires A, B ou C. La probabilitéŽ qu'elle choisisse l'itinéŽraire A est $\dfrac{1}{2}$, celle qu'elle choisisse l'itinéŽraire B est $\dfrac{1}{3}$. La probabilitéŽ qu'elle \emph{rate} le bus qui passe àˆ 7~h~30 sachant qu'elle a choisi l'itinéŽraire A est $\dfrac{3}{10}$, celle qu'elle rate le bus qui passe àˆ 7~h~30 sachant qu'elle a choisi l'itinŽéraire B est $\dfrac{2}{5}$, celle qu'elle \emph{rate} le bus qui passe àˆ 7~h~30 sachant qu'elle a choisi l'itinŽéraire C est $\dfrac{1}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette partie, on donnera les rŽésultats sous forme de fraction irrŽéductible. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitéŽ que ValéŽrie choisisse l'itinéŽraire C. \item Construire un arbre de probabilitéŽs donnant les diverses possibilitŽés. Reporter les probabilitŽés donnŽées dans l'ŽénoncŽé. \item Calculer la probabilitŽé que ValéŽrie prenne le bus qui passe àˆ 7~h~30 et qu'elle ait choisi l'itinŽéraire B. \item Montrer que la probabilitéŽ que ValéŽrie prenne le bus qui passe ˆ à 7~h~30 est $\dfrac{19}{30}$. \item Sachant que ValŽérie a pris le bus qui passe ‰à 7~h~30, calculer la probabilitŽé qu'elle ait choisi l'itinéŽraire C. \end{enumerate} \item Dans cette partie, on donnera les rŽésultats sous forme d'une valeur approchéŽe ˆ $10^{-3}$. ValéŽrie essaie de prendre le bus qui passe àˆ 7 h 30 quatre jours par semaine dans les mêmes conditions. On suppose que pour ValéŽrie, prendre ou rater le bus qui passe ˆà 7~h~30, un jour donnéŽ dans la semaine est indŽépendant du fait de prendre ou rater le bus qui passe àˆ 7~h~30 un autre jour dans la semaine. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitéŽ que ValéŽrie prenne le bus qui passe àˆ 7~h~30 quatre fois dans la semaine. \item Calculer la probabilitéŽ qu'elle prenne le bus qui passe àˆ 7~h~30 exactement deux fois dans la semaine. On rappelle la formule donnant la probabilitéŽ de E sachant F : \[p_{\text{F}} (\text{E}) = \dfrac{p(\text{E} \cap \text{F})}{p(\text{F}}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 au choix \hfill 6 points} \medskip Le but de cet exercice est de dŽémontrer que, pour tout entier naturel $n$ entier non nul, le nombre $A = n(n^2-1)$ est un multiple de 6. \medskip \begin{enumerate} \item Dans chacun des cas suivants calculer $A$ et dŽéterminer le reste dans la division euclidienne de $A$ par 6. \begin{enumerate} \item $n = 5 $ ; \item $n = 16$ ; \item $n = 32$. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que le reste de la division eucidienne de $n$ par 6 est 5 ; on peut donc éŽcrire \[n \equiv 5 \qquad [\text{mod}~ 6].\] \begin{enumerate} \item Que peut-on en conclure pour $(n - 1)$ et $(n + 1)$ ? \item Quel est le reste de la division euclidienne de $(n^2- 1)$ par 6 ? \item Justifier alors que $n(n^2 - 1)$ est un multiple de 6. \end{enumerate} \item Recopier et complŽter le tableau. \begin{center} \begin{tabular}{| c |c |c |c |c |}\hline Reste de la& Reste de la& Reste de la& Reste de la& Reste de la\\ division de& division de& division de& division de& division de\\ $n$ par 6& $(n-1)$ par 6& $(n+1)$ par 6& $(n^2-1)$ par 6& $n(n^2-1)$ par 6\\ \hline 0&&&&\\ \hline 1&&&&\\ \hline 2&&&&\\ \hline 3& 2& 4& 2& 0\\ \hline 4&&&&\\ \hline 5&&&&\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Conclure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 au choix \hfill 6 points} \medskip Un jardinier a ˆà sa disposition un sac rempli de \np{1000} bulbes de tulipes. Parmi ceux-ci : $60\,\%$ sont des bulbes de tulipe jaune ; $25\,\%$ sont des bulbes de tulipe rouge ; le reste est constituŽé de bulbes de tulipe noire. Par ailleurs : $28\,\%$ de la totalitéŽ de ces bulbes ne fleuriront pas ; $80\,\%$ des bulbes de tulipe jaune fleuriront ; 60 bulbes de tulipe noire ne fleuriront pas. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Recopier et complèŽter le tableau ci-dessous \begin{center} \begin{tabular}{l | c | c | c | c} &Nombre de& Nombre de& Nombre de& \\ &bulbes de& bulbes de& bulbes de& Total\\ &tulipe jaune& tulipe rouge& tulipe noire& \\ \hline Nombre de bulbes de tulipe & & 150&&\\ qui fleuriront&&&&\\ \hline Nombre de bulbes de tulipe&&&&\\ qui ne fleuriront pas&&&&\\ \hline Total&&&&1000\\ \hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le jardinier tire dans son sac un bulbe au hasard. On note : F l'Žévènement : \og Le bulbe fleurira \fg{} ; J : \og Le bulbe est celui d'une tulipe jaune \fg{} ; R : \og Le bulbe est celui d'une tulipe rouge \fg{} ; N : \og Le bulbe est celui d'une tulipe noire \fg. \medskip \begin{enumerate} \item DŽéterminer les probabilitéŽs des Žévènements suivants : J ~$\cap$~ F,~ J,~ F, J~$\cup$~F. \item Les Žévènements J et F sont-ils indŽépendants ? Justifier la réŽponse. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilitéŽ que le bulbe soit celui d'une tulipe noire, sachant qu'il fleurira est $0,125$. \item Sachant que le bulbe est celui d'une tulipe noire, dŽéterminer la probabilitéŽ qu'il ne fleurisse pas. \end{enumerate} \end{enumerate} On rappelle : - la formule donnant la probabilitéŽ de B sachant A : $p_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{A})}$ - la déŽfinition de l'indŽépendance de B vis-ˆ-vis de A : $p_{\text{A}}(\text{B}) = p(\text{B})$. %%%%%%%%%%%%%%% Fin Centres étrtangers juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2002 \hypertarget{Metropole}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole juin 2002~\decofourright}} \vspace{0,25cm} \textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2 ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4. \vspace{0,25cm} Une feuille de papier millimétré est mise à la disposition du candidat \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire }\hfill 7 points} \medskip On considère un jeu de boules comme le jeu de pétanque par exemple. Un joueur lance une boule et on s'intéresse ici à la trajectoire de la boule.\\ Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[g(x) = - x^2 + 1,5x +1\] où : $x$ est le temps écoulé, en secondes, à partir de l'instant où la boule quitte la main du lanceur, $g(x)$ représente, en mètres, la distance (verticale) séparant le sol de la boule après $x$ secondes écoulées. \begin{enumerate} \item La fonction $g$ est représentée par une partie de la courbe donnée en annexe. Repasser en couleur la courbe représentative $(\mathcal{C}_{g})$ de la fonction $g$ sur la feuille annexe. \item \begin{enumerate} \item Calculer $g(0)$. Décrire par une phrase ce que représente le point d'abscisse $0$. \item Calculer $g(1)$. Décrire par une phrase ce que représente le point d'abscisse $1$. \end{enumerate} \item Calculer $g'(x),~g'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $g$. \item \begin{enumerate} \item Rechercher le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x,~ x\in [0~ ;~ 2]$. \item En déduire le tableau complet des variations de la fonction $g$. \item En explicitant la méthode utilisée, indiquer à quel instant la boule atteint sa hauteur maximale. \item En explicitant la méthode utilisée, indiquer à quel instant la boule touche le sol. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire }\hfill 6 points} \medskip Les codes secrets des cartes bancaires sont formés de quatre chiffres pris de 0 à 9. Pierre n'a pas noté celui de sa carte bancaire dans son agenda, mais comme il a peur de l'oublier, il a quand même noté la forme \og cryptée \fg{} de son code secret de façon que son code secret ne soit pas découvert si son agenda était perdu. Pierre réalise toujours son cryptage de la façon suivante : \begin{itemize} \item Il choisit deux chiffres $a$ et $b$, appelés \og clés du cryptage \fg, qui vont lui servir a tout le cryptage. \item Il remplace chaque chiffre $n$ de son code secret par le chiffre $p$, appelée forme cryptée de $n$, qu'il calcule à l'aide de la formule suivante \[p \equiv a \times n + b \quad (\text{modulo}~ 10).\] \end{itemize} L'objectif de la partie A est de retrouver le code secret de la carte bancaire de Pierre, connaissant les clés du cryptage. L'objectif de la partie B est de retrouver les clés d'un autre cryptage. \medskip \textbf{LES PARTIES A ET B SONT DONC INDÉPENDANTES.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Pierre a choisi ici $a = 3$ et $b = 7$. Alors $ p \equiv 3 \times n + 7 \quad (\text{modulo}~ 10).$ Par exemple, la forme cryptée du chiffre $5$ sera le chiffre $2$. Car $3\times5 + 7 = 22$ et $22 \equiv 2 \quad (\text{modulo}~10)$. \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter la table de cryptage ci-dessous correspondant à la formule de Pierre. \[\begin{array}{|*{11}{c|}}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline p&&&&6&9&2&&&1&\\ \hline \end{array}\] \item Pierre a inscrit $8~5~0~3$ dans son agenda qui est la forme cryptée de son code secret. Quel est son véritable code secret ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pierre a fait des émules. Quentin utilise la même formule que Pierre $p \equiv a \times n + b\quad (\text{modulo} ~ 10)$, mais en prenant deux autres valeurs de $a$ et $b$ parmi les chiffres de $0$ à $9$. Pierre prétend pouvoir déterminer la formule de Quentin (c'est-à-dire trouver les nombres $a$ et $b$) car ce dernier lui a avoué les formes cryptées de deux chiffres : \begin{itemize} \item La forme cryptée du chiffre 3 est le chiffre 3 ; \item La forme cryptée du chiffre 4 est le chiffre 2. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Établir que découvrir $a$ et $b$ revient à résoudre le système d'inconnue $(a~;~b)$ \[\left\{\begin{array}{l c l} 3a + b &=& 3 \quad (\text{modulo}~10)\\ 4a + b &=& 2 \quad (\text{modulo}~10)\\ \end{array}\right.\] où $a$ et $b$ sont des chiffres de $0$ à $9$. \item Pierre prétend que le couple (9 ; 6) est une solution de ce système. Montrer qu'il a raison. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 ou exercice 4 ? Indiquer clairement votre choix sur la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points} \medskip Soit OA$_{0}$A$_{1}$ un triangle rectangle isocèle en A$_{1}$. Extérieurement au triangle OA$_{0}$A$_{1}$, on construit sur le côté [OA$_{1}$] un triangle OA$_{1}A_{2}$ rectangle isocèle en $A_{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item On pose OA$_{0} = 1$. Montrer que OA$_{1}$ = A$_{0}$A$_{1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. \item On itère le procédé et on trace une suite de triangles rectangles isocèles. Si O$A_{n-1}A_{n}$ est un triangle rectangle isocèle en $A_{n}$, on trace alors extérieurement à celui-ci, le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ rectangle isocèle en$A_{n+1}$. Établir que O$A_{n+1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{O}A_{n}$. \medskip \textbf{Dans la suite de l'exercice on note \boldmath $\left(u_{n}\right)$, la suite telle que} $u_{0}= \text{OA}_{0},~ u_{1} = \text{OA}_{1},~ \ldots u_{n} = \text{O}A_{n}$.\unboldmath \item \begin{enumerate} \item Déduire de la question précédente que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique et la caractériser. \item Exprimer $\left(u_{n}\right)$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée OA$_{0}$A$_{1} \ldots A_{n-1}A_{n}$, c'est-à-dire : \[L_{n} = \text{OA}_{0} + \text{A}_{0}\text{A}_{1} + \ldots + A_{n-1}A_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}.\] Établir que $L_{n} = \dfrac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} $ et en déduire la limite de la suite $\left(L_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$). \end{enumerate} \medskip \textbf{Formulaire} \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si $0 < b < 1$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b^n = 0$.\\ \item[$\bullet~$] Si $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q (q \neq 1)$ et de premier terme $q_{0}$, alors : \[S_{n} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n} = v_{0}\dfrac{1-q^n}{1-q}.\] \end{itemize} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 ou exercice 4 ? Indiquer clairement votre choix sur la copie} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{ Exercice 4 }\hfill 7 points} \medskip Une chaîne de fabrication produit des rasoirs jetables en très grand nombre. À la sortie de la chaîne, chaque rasoir subit un test de contrôle par un automate. L'automate rejette les rasoirs présentant un défaut. Il arrive cependant que le test ne décèle pas un défaut et laisse passer le rasoir, ou au contraire rejette un rasoir qui ne présente aucun défaut. Une étude statistique faite sur un très grand nombre de rasoirs a en fait montré que : \begin{itemize} \item lorsque le rasoir est correctement fabriqué, le test confirme cela et accepte l'objet dans $998$ cas sur \np{1000} ; \item si le rasoir a un défaut de fabrication, le test détecte ce défaut et rejette le rasoir dans $985$ cas sur \np{1000} ; \item sur \np{1000} rasoirs fabriqués, $980$ n'ont aucun défaut, les autres sont défectueux. \end{itemize} On choisit un rasoir au hasard. On note dans la suite, D l'évènement \og le rasoir n'a pas de défaut de fabrication \fg, $\overline{\text{D}}$ l'évènement contraire de D, A l'évènement \og le test accepte le rasoir \fg, $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A. \medskip \begin{enumerate} \item Décrire chacun des évènements suivants par une phrase : \[\overline{\text{D}} \cap \text{A}, \quad \overline{\text{D}} \cap \overline{\text{A}},\quad \text{D} \cap \text{A},\quad \text{D} \cap \overline{\text{A}}.\] \item À l'aide de l'énoncé, donner les probabilités suivantes : $p_{\text{D}}(\text{A})$ (probabilité de A sachant que D est réalisé) et $p_{\overline{\text{D}}}\left(\overline{\text{A}}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant en faisant figurer les résultats exacts. \psset{nodesep=6pt} \begin{center}\pstree[treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{D}} { \TR{A}\taput{} \TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{} } \pstree{\TR{$\overline{\text{D}}$}} { \TR{A}\taput{} \TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{} } } \end{center} \item Quelle est la probabilité qu'un rasoir soit accepté après le test de contrôle ? Donnez l'arrondi avec une précision de $10^{-4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% Fin Métropole juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Japon juin 2002 \hypertarget{Japon}{} \lfoot{\small{Japon}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L option Japon juin 2002 \decofourright}} \vspace{0,25cm} \textbf{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill 7 points} \medskip Les résultats d'une enquête menée auprès d'une population dont $52\,\%$ des personnes sont des femmes et $48\,\%$ des hommes, montrent que $80\,\%$ des femmes et $70\,\%$ des hommes jouent au Loto au moins une fois par mois. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un individu de cette population. Tous les choix sont équiprobables. On note : H l'évènement \og L'individu choisi est un homme.\fg{}, $\overline{\text{H}}$ l'évènement contraire de H, c'est-à-dire \og L'individu choisi est une femme. \fg{}, L l'évènement \og L'individu joue au Loto au moins une fois par mois.\fg{}, $\overline{\text{L}}$ l'évènement contraire de L, c'est-à-dire \og L'individu joue au Loto moins d'une fois par mois. $p_{\text{H}}(\text{L})$, probabilité conditionnelle de l'évènement L par rapport à l'évènement H. \emph{On pourra représenter un arbre de probabilités.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement H ~$\cap~ \overline{\text{L}}$ puis celle de l'évènement $\overline{\text{H}} \cap \overline{\text{L}}$. \item Montrer que la probabilité de L est égale à 0,752. \item Déterminer $p_{\text{L}}(\text{H})$, probabilité que l'individu choisi soit un homme sachant qu'il joue au moins une fois par mois au Loto. Donner le résultat arrondi à $10^{-4}$. \end{enumerate} \item Cette population étant suffisamment nombreuse, on répète quatre fois, de manière indépendante, dans des conditions identiques (ou que l'on peut considérer comme telles), l'expérience de la première question \og Choisir au hasard un individu de cette population \fg{}. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'un et un seul des quatre individus choisis joue au moins une fois par mois au Loto, les trois autres jouant moins d'une fois par mois. Donner le résultat arrondi à $10^{-4}$. \item Déterminer la probabilité qu'un, au moins, des quatre individus choisis joue au Loto au moins une fois par mois. Donner le résultat arrondi à $10^{-4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 8 points} \medskip On considère les fonctions $C$ et $B$ définies sur l'intervalle [0 ; 60] par : \[C(x)= 450 - 5x \quad ;\quad B(x)= -x^2 + 55x - 450.\] \textbf{ Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction dérivée de $B$ est notée $B'$. Calculer $B'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs de $x$. \item Construire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; 60]. \item Montrer que $B(x)$ peut s'écrire $(- x + 10) (x - 45)$ et résoudre l'équation $B(x) = 0$. \item D'après les représentations graphiques des fonctions $C$ et $B$ données en annexe, la droite représentant la fonction $C$ semble tangente à la courbe représentant la fonction $B$ au point d'abscisse 30. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la fonction $B$ au point d'abscisse 30 et justifier la remarque précédente. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un stade peut accueillir \np{50000}~personnes. On suppose que le prix $x$ exprimé en euros d'un billet est le même pour tous les spectateurs et que le nombre de spectateurs $N(x)$ est fonction du prix du billet. On estime que $N(x) = \np{50000} - \np{1000}x$. Organiser un spectacle coûte \np{200000}~euros d'installation auxquels s'ajoutent des frais qui s'élèvent à $5$ euros par spectateur. \begin{enumerate} \item Montrer que la dépense totale exprimée en milliers d'euros pour un spectacle est donnée en fonction du prix $x$ d'un billet par $C(x)$. \item Montrer que la recette exprimée en milliers d'euros pour un spectacle est donnée en fonction du prix $x$ d'un billet par $50 x - x^2$. \item Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros pour un spectacle est donné en fonction du prix $x$ d'un billet par $B(x)$. \item En exploitant les représentations graphiques données en annexe et les résultats de la \textbf{partie A}, déterminer : \begin{enumerate} \item le prix du billet correspondant à un bénéfice maximum ; \item les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice est positif ou nul. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4} \medskip \textbf{\textsc{ Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Urbain et Valérie ont obtenu le même diplôme la même année et ont été embauchés, tous les deux, le $1\up{er}$ janvier 2000, dans deux entreprises différentes, sous deux contrats à durée indéterminée différents : - La première année, le salaire annuel net d'Urbain s'élève à 14\:000 euros et ce salaire augmente de $4\,\%$ chaque année au $1\up{er}$ janvier par rapport au salaire annuel précédent. - Valérie débute avec un salaire annuel net de \np{14500} euros et ce salaire augmente de $500$ euros chaque année au $1^{\text{er}}$ janvier. On appelle $u_{n}$, le salaire annuel net d'Urbain en euros pour l'année $(\np{2000} + n)$ et $v_{n}$, celui de Valérie. Avec ces notations, on a : $u_{0} = \np{14000}$ et $v_{0}= \np{14500}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison. \item Exprimer le terme général $u_{n}$, en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les termes $v_{1}$ et $v_{2}$. \item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on donnera la raison. \item Exprimer le terme général $v_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Calculer $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{8}$ et $v_{0} + v_{1} + \ldots + v_{8}$. Interpréter ces résultats. La situation est-elle la même à la fin de l'année suivante ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip Les parties I et II sont indépendantes. \bigskip \textbf{ Partie I -} On considère deux nombres entiers naturels $a$ et $b$ tels que : $a$ est congru à 10 modulo 23 et $b$ est congru à 15 modulo 23. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à $(a + b)$ modulo 23. \item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à $ab$ modulo 23. \end{enumerate} \bigskip \textbf{ Partie II -} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à \np{1000} modulo $111$. \item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n, \np{1000}n$ est congru à $n$ modulo $111$. En déduire que le nombre $10^8 + 10^4 + 1$ est divisible par $111$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.164cm,yunit=0.0125cm} \begin{pspicture}(-5,-700)(80,500) \psline[linewidth=2pt]{->}(-5,0)(80,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,-700)(0,500) \pstextpath[r](0.5,0.5){\psplot{0}{60}{450 5 x mul sub}}{$C(x) = 450 - 5x~~~~~$} \pstextpath[r](0.5,0.5){\psplot{0}{60}{55 x mul x dup mul sub 450 sub}}{$B(x) = - x^2 + 55x - 450~~~~~$} \multido{\n=0+10}{9}{\uput[d](\n,0){\n}} \multido{\n=0+10}{9}{\psline(\n,-700)(\n,500)} \multido{\n=-600+200}{6}{\uput[l](0,\n){\n}} \multido{\n=-600+200}{6}{\psline(0,\n)(80,\n)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% Fin Japon juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2002 \hypertarget{Reunion}{} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L facultatif La Réunion juin 2002~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire}\hfill 7 points} \medskip On veut construire le long d'un bâtiment une aire de jeu rectangulaire de 450~m$^2$. De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10 m. Cet espace de jeu est entouré sur trois cotés d'une allée de 3 m de large comme l'indique le croquis ci-dessous. \begin{center} \begin{pspicture}(7,4) \psframe(1,0)(5.6,3) \psline(0,3)(6.2,3) \psframe(1.7,0.7)(5,3) \psline{<->}(1,2.7)(1.7,2.7) \uput[d](1.45,2.7){3} \psline{<->}(1.7,0.5)(5,0.5) \uput[d](3.35,0.5){$y$} \psline{<->}(5.2,0.7)(5.2,3) \uput[r](5.2,1.85){$x$} \rput(3.2,2.5){aire de jeu} \rput(3.2,3.4){bâtiment} \multips(0.3,3)(0.8,0){8}{\psline(0,0)(0.5,0.6)} \uput[dl](1,0){B} \uput[dl](1,3){A} \uput[dr](5.6,0){C} \uput[dr](5.6,3){D} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} L'ensemble est clôturé sur les trois côtés [AB], [BC] et [CD]. On s'intéresse à la longueur $L$ de la clôture : $L$ = AB + BC + CD. On note $x$ et $y$ les dimensions en mètres de l'aire de jeu. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $y = \dfrac{450}{x}$, puis justifier que $x$ appartient à l'intervalle [10 ; 45]. \item Exprimer la longueur $L$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [10 ; 45] par \[f(x) = 2x + 12 + \dfrac{450}{x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à [10 ; 45], $f'(x)$ a le même signe que $(x^2 -225)$. En déduire le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Déduire de l'étude précédente les dimensions à donner à l'aire de jeu pour que la longueur de la clôture soit la plus petite possible. Quelle est alors cette longueur ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points} \medskip Un mobile part d'un point et avance sur une droite. À chaque minute, il se déplace d'un mètre augmenté de la moitié de la distance parcourue pendant la minute précédente. On pose $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $u_n$ la distance, en mètres, parcourue durant la $n$-ième minute. Ainsi $u_1 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_2$ \item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1.\] \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n = u_n - 2$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_0,~ v_1,~ v_2$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: \[v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n.\] \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \item On rappelle que, pour tout réel $b$ différent de 1 et tout entier naturel $n$ supérieur à 2, \[1 + b + b^2 +. \cdots + b^n = \dfrac{1 - b^{n+1}}{1 - b}.\] Calculer $v_0 + v_1 + \cdots + v_{10}$. \end{enumerate} \item On désire connaître la distance $d$ parcourue par le mobile au bout de dix minutes, c'est-à-dire $d = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $d = v_0 +v_1 + \cdots + + v_{10} + 22.$ \item En déduire la valeur exacte de $d$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ Le candidat traitera au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4} \medskip \textbf{\textsc{ Exercice 3 au choix} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Les parties I et II sont indépendantes.} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie I} \medskip Nathalie communique avec une amie en fabriquant des messages codés. Chaque lettre de l'alphabet est repérée par son rang $x,~1 \leqslant x \leqslant 26$ : 1 pour A, 2 pour B, etc. La lettre de rang $x$ est codée par la lettre de rang $y$ tel que : \[1 \leqslant y \leqslant 26 \quad \text{et} \quad y \equiv x + 10 \quad (\text{modulo} \quad 26).\] \textbf{Exemple} : la lettre V a pour rang $x = 22$ ; on a $1 \leqslant y \leqslant 26$ et $y \equiv 32 \quad $(modulo 26), donc $y = 6$. La lettre V est codée par la lettre F. \begin{enumerate} \item Recopier et dresser le tableau ci-dessous pour toutes les lettres de l'alphabet. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c| l|c | l |}\hline Lettre & A & \ldots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ & V& \ldots ~~~~~~~~~~~~~~~\\ \hline $x$ & 1 & & 22& \\ \hline y& 11& & 6 & \\ \hline Codage& K&& F& \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Retrouver le codage du mot \og ARITHMETIOUE \fg{}. \item Décoder le mot \og OEBY \fg{}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{ Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item En remarquant que $999 = 27 \times 37$, démontrer que : \[10^3 \equiv 1\quad (\text{modulo} \quad 37)\quad \text{et}\quad 10^{30} \equiv 1 \quad (\text{modulo} \quad 37).\] \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $10^{3n} \equiv 1 \quad (\text{modulo} \quad 37)$. \item En déduire que le nombre $N = 10^{10} + 10^{20} + 10^{30}$ est un multiple de 37. (On pourra remarquer que $10^{10} = 10^9 \times 10$). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 4 au choix }\hfill 6 points} \medskip \textbf{Dans cet exercice on donnera les résultats arrondis à} \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath. Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : une jaune, sept rouges et deux bleues. Un jeu consiste à tirer d'abord au hasard une boule de l'urne : si cette boule est jaune, alors le jeu s'arrête, sinon on effectue un second tirage sans remettre la première boule tirée dans l'urne. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune au premier tirage ? \item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage ? \item Quelle est la probabilité que le joueur tire une boule jaune au deuxième tirage sachant qu'il a tiré un boule rouge au premier tirage ? \end{enumerate} \item Dans cette question, on pourra utiliser un arbre de probabilité. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage et une boule rouge au second tirage ? \item Démontrer que la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage est $\dfrac{28}{45}$. \end{enumerate} \item Un joueur gagne s'il tire une boule rouge au second tirage. Quatre personnes participent à ce jeu indépendamment les unes des autres. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'aucune de ces quatre personnes ne gagne. \item Calculer la probabilité qu'une au moins de ces quatre personnes gagne. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin La Réunion juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Liban juin 2002 \hypertarget{Liban}{} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Liban juin 2002~\decofourright}} \vspace{0,25cm} Les exercices 1 et 2 sont obligatoires. Ie troisième exercice est à choisir parmi les exercices 3 et 4. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1} \hfill 7 points} \medskip Dans une classe composée de dix filles et huit garcons, on forme des groupes en choisissant au hasard trois élèves. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est Ie nombre de groupes possibles ? \item Déterminer \begin{enumerate} \item la probabilité pour que les trois élèves choisis soient trois filles, \item la probabilité pour que l'un au moins des huit garcons soit choisi. Ces deux résultats seront donnés sous forme de fraction simplifiée. \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité pour que le groupe soit mixte (c'est-à-dire comprenne au moins une fille et au moins un garçon) est égale à $\dfrac{40}{51}$. \item On forme un tel groupe de trois élèves, lors de chacun des trois trimestres de l'année scolaire, par tirage au sort. Un même élève peut être donc désigné plusieurs fois. Calculer à 0,001 près, la probabilité pour qu'au cours d'une année scolaire, il y ait exactement deux groupes mixtes parmi les trois formés. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Un rectangle ABCD a pour périmètre 10 cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on pose AB = $x$ (cm). \medskip \begin{enumerate} \item Dans quel intervalle fermé le réel $x$ peut-il varier ? \item Exprimer l'aire $S(x)$ du rectangle ABCD en fonction de $x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = - x^2 + 5x .\] \begin{enumerate} \item En faisant appel à sa fonction dérivée $f'$, dresser Ie tableau de variations de $f$. \item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du rectangle ABCD est maximale. \item \begin{enumerate} \item Dans le plan muni d'un repère orthonormé (unité : 2 cm sur chaque axe), tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ sur l'intervalle [0 ; 5]. \item Sur la même figure qu'au \textbf{3. a.} tracer la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip On considère Ie nombre entier A = $18^{\np{2002}}$. \medskip \begin{enumerate} \item A est-il divisible par 9 ? Par 4 ? (Justifier les réponses) \item On cherche a obtenir le reste de la division euclidienne de A par 7, en utilisant des congruences. \begin{enumerate} \item Trouver l'entier $r$ verifiant $0 \leqslant r < 7$ et $18 \equiv r \quad (\text{modulo} 7)$. \item Quel est Ie plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $r^n \equiv 1 \quad (\text{modulo} 7)$ ? \item Prouver que pour tout nombre entier naturel $k,~ 4^{3k}$ est congru a 1 modulo 7. \item En déduire Ie reste de la division euclidienne de A par 7. \end{enumerate} \item Montrer que $\np{2002}^{18}$ est divisible par 13. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A : étude d'une suite} \medskip La suite $(u_{n})$ est définie sur $\N$ par la donnée de son premier terme $u_{0} = 800$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,6 u_{n} + 400$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item On définit une autre suite $(v_{n})$ sur $\N$ en posant pour tout entier naturel \\$n,~ v_{n} = \np{1000} - u_{n}$. \begin{enumerate} \item Calculer les trois premiers termes de cette suite $(v_{n})$. \item Montrer que cette suite $(v_{n})$ est geometrique et en déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire des résultats précédents que $u_{n} = \np{1000} - 200 \times (0,6)^n$. \item Quelle est la limite de la suite $(u_{n})$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : application} \medskip Le président d'une association culturelle constate que chaque année l'association garde $60\,\%$ de ses anciens adhérents et que $400$ personnes nouvelles adhèrent. On suppose que ces données chiffrées restent les mêmes au fil des ans. À la création de cette association, en janvier 2001, il y avait $800$ adhérents. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre des adhérents en janvier 2002. \item Quel sera le nombre d'adhérents en janvier 2003 ? \item En quelle année verra-t-on pour la première fois l'effectif de l'association dépasser $990$ ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Liban juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2002 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L option Polynésie juin 2002~\decofourright}} \vspace{0,25cm} LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2 ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4. \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij~ (unité graphique : 1 cm). \medskip \textbf{A -} On considère une fonction $g$ définie sur $\R$ et on appelle $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormal. Le graphique ci-dessous représente la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$. \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-5)(5,3) \psaxes(0,0)(-4,-5)(5,3) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.195}{3.195}{x 2 add x dup mul sub} \uput[u](4.8,0){$x$} \uput[r](0,2.8){$y$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Utiliser le graphique pour déterminer le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs de $x$. En déduire le sens de variations de la fonction $g$. \item Justifier que $g$ possède des extremums ; pour quelles valeurs de $x$ sont-ils atteints ? \item Existe-t-il des points de la courbe en lesquels la tangente a un coefficient directeur égal a $- $4 ? Déterminer alors l'abscisse du ou des point(s) correspondant(s). \end{enumerate} \bigskip \textbf{B -} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = -x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + 6x - 2.\] On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout nombre réel $x$ : \[f'(x) = 3(x + 1)(2 - x).\] \item Indiquer le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. Vérifier que $f'(x)$ et $g'(x)$ ont le même signe. \item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ (on ne demande pas d'étudier les limites en $+ \infty$ ou en $- \infty$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-2,5~;~3,5]$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Une source sonore émet un son dont l'intensité est \np{1000} décibels. Une plaque d'isolation phonique d'un certain type absorbe $45\:\%$ de l'intensité du son. On note $U_n$ l'intensité du son, mesurée en décibels, après la traversée de $n$ plaques d'isolation phonique. Ainsi $U_0 = \np{1000}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $U_1,~ U_2,~ U_3$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~U_{n+1} = 0,55U_n$. \item En déduire que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison. Donner l'expression de $U_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Calculer la limite de $U_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Interpréter le résultat obtenu. \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le nombre minimum de plaques que doit traverser le son pour que l'intensité soit inférieure au dixième de sa valeur initiale. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 3 au choix} \hfill 8 points} \medskip Sur le catalogue d'une entreprise de vente par correspondance, la référence de chaque article et constituée d'un nombre à cinq chiffres $xyztu$ (le premier de ces chiffres $x$ étant différent de zéro), suivi d'une lettre majuscule choisie entre A et N, à l'exception de la lettre I. À Cette lettre majuscule est associé un nombre appelé clé selon le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabular}{| *{14}{c|}}\hline lettre & A&B&C &D&E&F& G&H&J& K& L& M&N\\ \hline clé&0&1&2& 3&4&5&6&7&8& 9&10&11 &12\\ \hline \end{tabular} \end{center} À des fins du contrôle, on impose, pour chaque référence, que la somme du nombre à cinq chiffres et de la clef obtenue grâce au tableau, soit un nombre divisible par 13. Par exemple considérons un article dont la référence est \np{18501} M. Le nombre à cinq chiffres est \np{18501}. La clé associée à M est 11. $\np{18501} + 11 = \np{18512} = 13 \times \np{1424}$. \np{18512} est divisible par 13, donc cette référence est correcte. \medskip \begin{enumerate} \item Les deux références suivantes sont-elles correctes ? \np{13587}M \hspace{2cm} \np{45905} A Les réponses doivent être justifiées. \item On veut retrouver la lettre d'une référence dont il ne reste que le nombre à cinq chiffres $26\:014$. \begin{enumerate} \item Montrer que $13 \times 2001 < \np{26014} < 13 \times \np{2002}$. \item En déduire la lettre manquante. \end{enumerate} \item On veut retrouver un chiffre illisible dans la référence d'un article. Cette référence est $85\:z29$ C ($z$ étant le chiffre illisible). \begin{enumerate} \item Montrer que le problème revient à trouver $z \quad (0 \leqslant z \leqslant 9)$ tel que : \[8 \times 10^4 + 5 \times 10^3 + z \times 10^2 + 2 \times 10 + 9 + 2 \equiv 0 \quad (\text{modulo} \quad 13)\] Cette relation sera notée (E) dans toute la suite. \item Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide d'entiers naturels compris entre 0 et 12. $\fbox{10^0 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}\fbox{10^1 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$ $\fbox{10^2 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$ $\fbox{10^3 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$ $\fbox{10^4 \equiv \ldots (\text{modulo}\, 13)}$ \item En utilisant les propriétés des congruences et les résultats obtenus dans le tableau précédent, montrer que le problème revient à trouver $z \quad (0 \leqslant z \leqslant 9)$ tel que : $11 + 9z \equiv 0 \quad (\text{modulo}\, 13)$. \item Déterminer le chiffre illisible de la référence. Écrire alors cette référence. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 4 au choix} \hfill 8 points} \medskip Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles. Une série qualificative pour une course internationale réunit six concurrents : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item deux français portant les dossards 32 et 33 ; \item trois italiens portant les dossards 34, 35, 36 ; \item un allemand portant le dossard 37. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Seules les deux premières places sont qualificatives. Le résultat de la série est représenté par les dossards des concurrents classés aux deux premières places. On obtient ainsi un couple. Par exemple le couple (32, 36) représente le résultat suivant : le concurrent classé premier porte le dossard 32, le concurrent classé deuxième porte le dossard 36. On décrit les résultats possibles de la série à laide de l'arbre ébauché dans le schéma ci-dessous : \psset{tnpos=a,radius=1pt} \pstree[linecoor=red,treemode=R,levelsep=2cm,treesep=0.37cm]{\Tr}{\pstree{\Tr{32}} {\Tr{33} \Tr{34} \Tr{35} \Tr{36} \Tr{37}} \pstree{\Tr{33}} { \Tr{32} \Tr{34} \Tr{35} \Tr{36} \Tr{37}} \pstree{\Tr{34}} { \TR{32} \TR{33} \TR{35} \TR{36} \TR{37}} \psset{linestyle=dashed} \pstree{\Tr{35}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{} \Tr{} \Tr{} } \Tr{36} \Tr{37} } \begin{enumerate} \item Reproduire le schéma sur la copie et le compléter. Quel est le nombre de résultats possibles ? \item Tous les coureurs sont de niveaux sportifs sensiblement égaux et ont le même espoir de qualification. On considère les évènements suivants : A : \og les deux qualifiés sont italiens \fg. B : \og les deux qualifiés portent un dossard pair \fg. \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité de chacun des évènements A et B est $\dfrac{1}{5}$. \item On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A et $\overline{\text{B}}$ l'évènement contraire de B. Expliciter, par une phrase, chacun des évènements $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{B}}$. Calculer leur probabilité. \item On note A $\cap$ B l'intersection des évènements A et B,~ A $\cup$ B leur réunion. Expliciter, par une phrase, l'évènement A $\cap$ B, puis calculer sa probabilité. En déduire la probabilité de l'évènement A $\cup$ B. \end{enumerate} \item On considère les évènements suivants : G : \og les deux qualifiés sont de la même nationalité \fg. H : \og les deux qualifiés portent des dossards congrus modulo 3 \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de chacun des évènements G et H. \item Expliciter. par une phrase, l'évènement G $\cap$ H. En déduire la probabilité de l'évènement G $\cup$ H. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Polynésie juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2002 \hypertarget{Antillessep}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2002}} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \medskip {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Antilles septembre 2002~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill (7 points)} \medskip On considère un segment [AB] de longueur 10 centimètres et un point $M$ de ce segment, différent de A et B. Les points $N$ et $P$ sont tels que A$MNP$ est un carré. L'objectif de l'exercice est de déterminer le point $M$ du segment [AB] pour lequel la distance B$N$ est minimale. Les distances sont exprimées en centimètres. \bigskip \textbf{I.} On pose A$M = x$. \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Déterminer l'intervalle des valeurs possibles pour $x$. \item Déterminer en fonction de $x$ la distance B$M$. \item Déterminer en fonction de $x$ la distance B$N$. (On rappelle le théorème de Pythagore : dans un triangle ABC rectangle en A on a BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$) \end{enumerate} \bigskip \textbf{II.} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 10] par \[f(x) = \sqrt{2x^2 - 20x+ 100}.\] La fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie sur l'intervalle [0 ; 10] par \[f'(x) = \dfrac{2x - 10}{ \sqrt{2x^2 -20x +100}}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 10]. \item Montrer que la fonction $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 10] que l'on précisera. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal d'unité un centimètre. \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 8$. On fera apparaître les traits de construction utiles et on donnera des valeurs approchées des solutions lues. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{III.} En utilisant les résultats précédents, déterminer le point $M$ du segment [AB] pour lequel la distance B$N$ est minimale. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill (6 points)} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et pour tout entier naturel $n,$ \[u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n - 5.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$. \item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique? géométrique ? On justifiera les réponses. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[v_n = u_n +10.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et calculer le premier terme $v_0$. \item Exprimer le terme général $v_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4} \textbf{\textsc{ Exercice 3} \hfill 7 points} \medskip Une urne contient trois boules vertes, une boule bleue et cinq boules rouges. On tire au hasard simultanément trois boules de cette urne. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de choix possibles pour ce tirage. \item On considère les évènements A, B, C et D suivants : A : \og Tirer trois boules rouges \fg. B : \og Tirer trois boules de la même couleur \fg. C : \og Ne tirer aucune boule verte \fg. D : \og Tirer au moins une boule verte \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité $p$(A) de l'évènement A est égale à $\dfrac{5}{42}$. \item Déterminer la probabilité de chacun des événements B, C et D. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. \end{enumerate} \item Un tirage est gagnant si l'on tire trois boules rouges. On effectue quatre tirages successifs en remettant à chaque fois les trois boules tirées dans l'urne. Tous les tirages sont indépendants. Déterminer la probabilité d'obtenir exactement trois tirages gagnants. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 4} \hfill 7 points} \medskip On considère les nombres A$ = \np{8387592115}$ et B $= \np{9276312516}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que \np{1000} est divisible par 8. \item Montrer que A est congru à 3 modulo 8. \item Donner l'entier naturel $b$ strictement inférieur à 8 tel que B soit congru à $b$ modulo 8. \end{enumerate} \item Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs à 8 qui sont congrus respectivement à A+B et à AB. \item \begin{enumerate} \item Montrer que B$^2$ est divisible par 8. \item Montrer que A$^2$ n'est pas divisible par 8. \item Montrer que A$^{100}$ n'est pas divisible par 8. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Antilles-Guyane septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2002 \hypertarget{Metropolesep}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} .\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole septembre 2002~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,15cm} \begin{center}Durée de l'épreuve : 3 heures \end{center} \vspace{0,15cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire}\hfill 8 points} \vspace{0,3cm} \parbox[c]{0.55\textwidth}{Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l'allure de la courbe ci-contre.} \hfill \parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5) \psline(-0.5,0)(3.5,0) \psline(0,-0.5)(0,2.5) \psplot{0}{3}{4 27 div x mul x dup mul mul 2 3 div x dup mul mul sub 2 add} \uput[l](0,2){2} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){0} \uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3} \psline(0,1)(0.15,1) \psline(1,0)(1,0.15) \psline(2,0)(2,0.15) \psline(3,0)(3,0.15) \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prendra 3 cm pour unité graphique. L'objet de l'exercice est de modéliser ce profil à l'aide de la courbe représen\-ta\-tive $\mathcal{C}$ d'une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3] vérifiant les conditions suivantes : (1) La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0 ; 2) et B(3 ; 0) ; (2) La courbe $\mathcal{C}$ admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \bigskip \textbf{ Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\R$ par : \[ f(x) = - \dfrac{2}{3}x^2 + 2.\] Étudier les variations de la fonction $f$ (on ne demande pas l'étude des limites). \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\R$ par : \[g(x) = \dfrac{1}{3} x^2 - 2x + 3.\] Étudier les variations de la fonction $g$ (on ne demande pas l'étude des limites). \end{enumerate} \item On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ passent par le point K $\left(1~;~\dfrac{4}{3}\right)$ et ont la m\^eme tangente T en ce point. \item Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie de $\mathcal{C}_{f}$ correspondant aux points d'abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de $\mathcal{C}_{g}$ correspondant aux points d'abscisses comprises entre 1 et 3. \emph{La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une réponse au problème posé.} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Le bureau d'études a établi que l'on pouvait également modéliser le profil du toboggan à l'aide d'une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$, définie sur $\R$ par : \[h(x) = \dfrac{4}{27}x^3 - \dfrac{2}{3}x^2 + 2.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $h$ vérifie les conditions (1) et (2). \item Déterminer les coordonnées du point de $\mathcal{C}_{h}$ d'abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill 7 points} \medskip Alice et Carole comparent leurs salaires. Elles débutent chacune avec un salaire de \np{1500}~euros. Chaque mois, à partir du deuxième mois : $\bullet$ Le salaire d'Alice augmente de 8 euros. $\bullet$ Le salaire de Carole augmente de 0,2\,\% et on y ajoute 4 euros. Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_{n}$, le salaire mensuel en euros que perçoit Alice à la fin du $(n+ 1)$-ième mois, et par $c_{n}$, celui perçu par Carole. Ainsi : $a_{0} = c_{0} = \np{1500}~ ;~a_{1}$, et $c_{1}$ représentent les salaires perçus à la fin du deuxième mois. \begin{enumerate} \item Calculer $a_{1}$ et $c_{1},~ a_{2}$ et $c_{2}$. \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$. Quelle est la nature de la suite $(a_{n})$ ? \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $a_{n}$, en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ : \[c_{n+1} = 1,002c_{n} + 4.\] \item On considère la suite $(v_{n})$ telle que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = c_{n} + \np{2000}$. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $1,002$. Calculer $v_{0}$ et, pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que : \[c_{n} = 3\:500 \times 1,002^n - 2\:000.\] \end{enumerate} \item Calculer, puis comparer les salaires annuels qu'Alice et Carole ont perçus au cours de leur première année de travail. \end{enumerate} \textbf{Rappel} Si $q$ est un réel différent de 1 et $n$ un entier naturel supérieur à 2, \[1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] \[\text{et} \qquad 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\] \vspace{0,25cm} \begin{center}\textbf{Le candidat traitera au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 5 points} \medskip Une agence de voyages de Paris organise des circuits touristiques comprenant les sites suivants : le musée d'Orsay, le musée du Louvre, le musée Grévin, l'Arc de Triomphe, la tour Eiffel, l'Assemblée nationale. \begin{enumerate} \item L'agence propose à ses clients un forfait pour la visite de quatre sites parmi les six cités. \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de choix possibles si on ne tient pas compte de l'ordre des visites ? \item Combien de ces choix comprennent à la fois la visite de la tour Eiffel et celle du musée d'Orsay ? \end{enumerate} \item Une étude statistique a permis d'observer que 55\,\% des clients de l'agence sont des femmes et 45\,\% des hommes. De plus, parmi ces clients, 30\,\% des hommes et 20\,\% des femmes visitent l'Assemblée nationale. On choisit au hasard un client. On note F l'évènement \og le client est une femme \fg{}, H l'évènement \og le client est un homme \fg{}, A l'évènement \og le client visite l'Assemblée nationale \fg{} et $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A : \og le client ne visite pas l'Assemblée nationale \fg{}. \medskip \begin{enumerate} \item D'après les informations de l'énoncé, préciser les probabilités $p$(F), $p$(H), $p_{\text{H}}$(A), $p_{\text{F}}$(A). \item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.\\ En déduire la valeur de $p$(A). \begin{center}\pstree[linecolor=red,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{F}} { \TR{A} \TR{$\overline{\text{A}}$} } \pstree{\TR{H}} { \TR{A} \TR{$\overline{\text{A}}$} } } \end{center} \item Quelle est la probabilité que le client soit un homme sachant qu'il ne visite pas l'Assemblée nationale ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 4 au choix} \hfill 5 points} \medskip Le $1\up{er}$ août 2002 sera un jeudi. Le but du problème est de déterminer les années comprises entre 2003 et 2029 pour lesquelles le $1^{\text{er}}$ août tombera aussi un jeudi. Pour ces années, une année bissextile est une année dont le millésime est divisible par 4. On rappelle qu'une année non bissextile compte 365 jours et une année bissextile 366 jours. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la liste des années bissextiles comprises entre 2003 et 2029. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'on a : $365 \equiv 1$ (modulo 7) et $366 \equiv 2$ (modulo 7). \item Prouver que le $1\up{er}$ août 2003 sera un vendredi et le $1\up{er}$ août 2004 un dimanche. \item Préciser le jour de la semaine correspondant au $1\up{er}$ août de chacune des années de 2005 à 2013. \end{enumerate} \item Donner la liste des années de 2003 à 2029 pour lesquelles le $1\up{er}$ août sera un jeudi. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Métropole septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2002 \hypertarget{AmduSud}{} \lfoot{\small{Bac L facultatif }} \rfoot{\small{novembre 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L Amérique du Sud novembre 2002 \decofourright}} \vspace{0,25cm} LE CANDIDAT TRAITERA OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 ET L'EXERCICE 2 ET AU CHOIX SOIT L'EXERCICE 3 SOIT L'EXERCICE 4. \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire} \hfill 6 points} À \og La ferme de la poule pondeuse \fg, chaque jour on produit des {\oe}ufs de deux tailles différentes : $60\,\%$ des oeufs sont moyens et $40\,\%$ des oeufs sont gros. Les {\oe}ufs sont classés en deux catégories : ceux de qualité ordinaire et ceux de qualité supérieure. On a remarqué que : $50\,\%$ des {\oe}ufs moyens sont de qualité ordinaire, $20\,\%$ des gros {\oe}ufs sont de qualité ordinaire. On choisit un {\oe}uf au hasard. Le choix au hasard d'un {\oe}uf dans la production du jour signifie qu'on se place dans un modèle avec équiprobabilité. On définit les évènements suivants : M : \og l'{\oe}uf est moyen \fg, G : \og l'{\oe}uf est gros \fg, O : \og l'{\oe}uf est de qualité ordinaire \fg, S : \og l'{\oe}uf est de qualité supérieure \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les probabilités suivantes : $P$(G), probabilité que l'oeuf soit gros, P$_{\text{G}}$(S), probabilité que l'{\oe}uf soit de qualité supérieure sachant qu'il est gros. \item Démontrer que la probabilité de prendre un {\oe}uf gros et de qualité supérieure est égale à $0,32$. \item Calculer la probabilité $P(\text{M} \cap \text{S})$ que l'{\oe}uf soit moyen et de qualité supérieure puis la probabilité $P$(S) de l'évènement S. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire} \hfill 8 points} \medskip On veut résoudre, dans l'ensemble des nombres réels $\R$ l'équation : \[x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0.\] \textbf{A -- Méthode graphique :} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le nombre 2 n'est pas solution de l'équation. \item Montrer que, pour $x \neq 2$, l'équation $x^2 = \dfrac{4x - 5}{x - 2}$ est équivalente à l'équation $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ différent de 2 par $f(x) = \dfrac{4x - 5}{x-2}$. Sa courbe représentative $\mathcal{H}$ dans un repère orthonormé est donnée en annexe à rendre avec la copie. \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, indiquer le sens de variations de $f$ sur chacun des intervalles $]- \infty~;~ 2[$ et $]2~;~ +\infty[$. \item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ puis justifier le résultat lu dans la question précédente. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. Tracer sa courbe représentative $\mathcal{P}$ dans le repère utilisé pour utilisé pour $\mathcal{H}$. \item Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0$. Donner la valeur exacte ou une valeur approchée à $10^{-1}$ près de chacune de ces solutions. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B - Méthode algébrique} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x~:~ (x - 1) (x^2 - x - 5) = x^3 - 2x^2 - 4x + 5$. \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x^2 - x - 5$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $h$. \item Montrer que $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$ est la valeur minimum prise par $h$. \item On pose $x = \dfrac{1}{2} + u$. Exprimer $h\left(\dfrac{1}{2} + u\right)$ en fonction de $u$~; factoriser l'expression obtenue. \item En déduire les valeurs du réel $x$ pour lesquelles $h(x) = 0$. \end{enumerate} \item Donner l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = 0.$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{ LE CANDIDAT TRAITERA L'UN DES DEUX EXERCICES SUIVANTS} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 6 points} \medskip On divise un triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux obtenus en traçant les segments joignant les milieux des côtés et on noircit le triangle central. Chaque triangle non noirci est alors divisé en quatre triangles équilatéraux selon le même procédé et on noircit le triangle central comme précédemment. \begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,2.5) \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.598) \pspolygon(5,0)(8,0)(6.5,2.598) \pspolygon*(6.5,0)(7.25,1.299)(5.75,1.299) \pspolygon(10,0)(13,0)(11.5,2.598) \pspolygon*(11.5,0)(12.25,1.299)(10.75,1.299) \pspolygon*(12.25,0)(12.625,0.6495)(11.875,0.6495) \pspolygon*(11.5,1.299)(11.875,1.9485)(11.125,1.9425) \pspolygon*(10.75,0)(11.125,0.6495)(10.375,0.6495) \uput[d](6.5,-0.2){$1^{\text{ère}}$ étape}' \uput[d](11.5,-0.2){$2^{\text{e}}$ étape} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Réaliser la $3^{\text{e}}$ étape en partant d'un triangle équilatéral de côté 16 cm. Combien de triangles noircis ont-ils été rajoutés ? \item Combien de triangles noircis seront-ils rajoutés à la quatrième étape ? \end{enumerate} \item On note $T_n$ le nombre de triangles noircis rajoutés à la $n$-ième étape où $n$ est un entier supérieur ou égal à 1. La suite $\left(T_n\right)$, ainsi définie, est une suite géométrique de raison 3. \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $T_1,~ T_2,~ T_3$. \item Exprimer $T_n$ en fonction de $n$. Vérifier les résultats trouvés à la question \textbf{1.} \end{enumerate} \item Calculer le nombre total de triangles noircis après la dixième étape. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 au choix} \hfill 6 points} \medskip Une urne contient 11 jetons (indiscernables au toucher) numérotés de 1 à 11. On tire simultanément trois jetons de l'urne. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le nombre de tirages possibles est égal à 165. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de tirages ne comportant que des jetons ayant un numéro impair. \item En déduire le nombre de tirages ayant au moins un jeton dont le numéro est pair. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de tirages comportant trois jetons ayant un numéro pair. \item Déterminer le nombre de tirages comportant le jeton numéroté 2 et aucun autre jeton ayant un numéro pair. En déduire le nombre de tirages avec un seul jeton portant un numéro pair. \item Justifier que le nombre de tirages ayant seulement deux jetons avec un numéro pair est égal à 60. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Amérique du Sud novembre 2002 \end{document}