\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{colortbl} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{xcolor} \usepackage{colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lfoot{\small L'année 1996} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 1996 \decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à décembre 1996}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry mars 1996} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 1996} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1996} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Centresetrangers1}{Centres étrangers I juin 1996} \dotfill \pageref{Centresetrangers1}\\ \hyperlink{Centresetrangers2}{Centres étrangers II juin 1996} \dotfill \pageref{Centresetrangers2}\\ \hyperlink{La Reunion}{La Réunion juin 1996} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 1996} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Metropole1}{Métropole groupe 1bis juin 1996} \dotfill \pageref{Metropole1}\\ \hyperlink{Metropole2}{Métropole groupe 2bis juin 1996} \dotfill \pageref{Metropole2}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1996} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 1996} \dotfill \pageref{Antillessept}\\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1996} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 1996} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau octobre 1996} \dotfill \pageref{Sportifs}\\ \hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud novembre 1996} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie décembre 1996} \dotfill \pageref{Caledonie}\\ \end{tabularx} \newpage ~ %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%% Pondichéry mars 1996 \hypertarget{Pondichery}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small mars 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry mars 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour étudier la progression d'une épidémie de grippe, une enquête est faite auprès d'un échantillon de \np{1000}~personnes; le tableau ci-dessous donne le nombre $N(t)$ d'individus ayant été contaminés, à la date $t$, exprimée en jours. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &1 &2 &5 &10 &15 &20\\ \hline $N(t)$ &88 &172 &306 &420 &485&500\\ \hline \end{tabularx} \medskip On considère qu'après $20$~jours l'épidémie est terminée, c'est-à-dire que le nombre total de personnes ayant été contaminées ne varie plus. Dans ce problème, on utilisera, pour les calculs statistiques, les fonctions de la calculatrice (le détail de ces calculs n'est pas demandé). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij, pLacer le points de coordonnées $(t~;~N(t))$ (unités graphiques : 0,5~cm pour 1~jour en abscisse, 1~cm pour 50~individus en ordonnée). \item Donner à $10^{-2}$ près la valeur du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double donnée dans le tableau. Un ajustement affine est-il envisageable ? \item Déterminer une équation de la droite de régression de $N$ en $t$ et la tracer. Les coefficients seront donnés à 1 près. \end{enumerate} \item On considère la fonction définie sur [0~;~40] par \[f(t) = 500\left( 1 - \text{e}^{- 0,2t}\right).\] \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant (les résultats seront donné à 1 près). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &1 &2 &5 &10 &15 &20 &30 &50\\ \hline $f(t)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij{} précédent. \item Déterminer graphiquement quelle est, de la droite de la première question ou de la courbe précédente, celle qui ajuste le mieux le nuage et l'utiliser pour indiquer la date à laquelle le quart de la population étudiée a déjà été atteint. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[-1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln (ax+b) + 2 - x,\] où $a$ et $b$ sont deux réels qui seront déterminés dans la question 1. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Sachant que $f(-1) = 3$ et que $f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 0$, calculer $a$ et $b$. \item Montrer que la fonction $G \::\: x \longmapsto \left(x + \dfrac{3}{2}\right) \ln (2x + 3) - x$ est une primitive sur $[-1~;~+ \infty[$ de la fonction $g \::\: x \longmapsto \ln (2x + 3)$. \item En observant que $f(x) = g(x) + 2 - x$ pour $x \in [-1~;~+ \infty[$, calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans son troupeau, un berger possède deux races de brebis, $A$ et $B$. La race $A$ est représentée dans la proportion de 40\,\%. Une étude sur la fécondité des races $A$ et $B$ a montré qu'en moyenne : \begin{description} \item[ ] 67,5\,\% des brebis A ont un agneau ; \item[ ] 30\,\% des brebis A ont deux agneaux ; \item[ ] 2,5\,\% des brebis A sont stériles; \item[ ] 55\,\% des brebis B ont un agneau; \item[ ] 40\,\% des brebis B ont deux agneaux ; \item[ ] 5\,\% des brebis B sont stériles. \end{description} \smallskip On suppose que le nombre de brebis du troupeau est suffisamment grand pour que le fait de prélever une brebis ne change pas la proportion des brebis $A$ et $B$. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit une brebis au hasard. Montrer que la probabilité pour qu'elle soit stérile est 0,04. \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à une brebis, associe le nombre d'agneaux qu'elle produit. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. \item Si le troupeau comprend \np{1000}~brebis, combien d'agneaux peut espérer le berger ? \end{enumerate} \item Un acheteur choisit 12 brebis au hasard. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, 3 exactement soient stériles ? \item Quelle est la probabilité pour qu'aucune ne soit stérile ? On donnera les résultats à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Une étude effectuée sur un certain produit a montré que, lorsqu'il est au prix p, exprimé en francs, la demande $f(p)$ pour ce produit est donné par \[f(p) = \dfrac{10^5 \times p}{p^2 - 100},\: \text{avec }\: p \in [11~;~+\infty[.\] \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer La demande pour Les valeurs suivantes : $p = 11$ ;\: $p = 15$ ;\: $p = 90$ (arrondir, si nécessaire, à L'unité près). \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $f(p) > 0$ pour tout $p$ de $[11~;~+\infty[$. \item Montrer que $f$ est une fonction décroissante sur $[11~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item On suppose que Le prix $p$, initialement égal à 15~F, subit une augmentation de 1\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer le nouveau prix $p'$, ainsi que la demande correspondant à ce prix, arrondie à l'unité près. \item En déduire le pourcentage de variation de la demande, consécutive à l'augmentation de prix. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On pose $g(p) = \ln[f(p)]$ pour $p \in [11~;~ +\infty[$. On appelle \og élasticité \fg{} de la demande par rapport au prix $p$, le nombre $E(p) = pg'(p)$ , où $p \in [11~;~+\infty[$. On admettra que ce réel donne une bonne approximation du pourcentage de variation de la demande, pour une augmentation de 1\,\% d'un prix donné. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le signe de $E(p)$ pour $p \in [11~;~+\infty[$ ? Justifier la réponse et interpréter ce résultat. \item établir l'égalité $E(p) = 1 - \dfrac{2p^2}{p^2 - 100}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item étudier la limite suivante : $\displaystyle\lim_{p \to + \infty} E(p)$. \item Calculer $E'(p)$ où $E'$ désigne la dérivée de $E$, et en déduire le tableau de variations de $E$. \item Calculer la valeur $p_{0}$ pour laquelle l'élasticité est de $- 1,25$. \item Comment évolue la demande quand le prix passe de $30$~F à $30,30$~F? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry mars 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 1996 \hypertarget{AmeriqueduNord}{} \label{AmeriqueduNord} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le seuil maximum d'alcoolémie toléré pour conduire une automobile est 0,5 gramme par litre. Un laboratoire a mis au point un éthylotest. Théoriquement, celui-ci devrait être positif si et seulement si la personne testée a une alcoolémie strictement supérieure au seuil toléré. Mais il n'est pas parfait : $\bullet~~$ lorsqu'une personne a un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré, l'éthylotest est positif $96$ fois sur $100$. $\bullet~~$ lorsqu'une personne a un taux d'alcoolémie inférieur ou égal au seuil toléré, l'éthylotest est positif $3$ fois sur $100$. On suppose que ces résultats portent sur un échantillon suffisamment important pour qu'ils soient constants. Dans une région donnée, 95\,\% des conducteurs d'automobile ont un seuil d'alcoolémie inférieur ou égal au seuil toléré. On soumet, au hasard, un automobiliste de cette région, à l'éthylotest. On définit les événements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item $P$ : l'éthylotest est positif ; \item $N$ : l'éthylotest est négatif; \item $S$ : le conducteur a un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré; \item $I$ : le conducteur a un taux d'alcoolémie inférieur ou égal au seuil toléré. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Que valent $P(I), P(P/S), P(P/I)$ ? \item Quelle est la probabilité pour que l'automobiliste ait un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré ? \item Quelle est la probabilité pour qu'il ait un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré, et que l'éthylotest soit positif ? \item \begin{enumerate} \item Calculer $p(P \cap I)$, puis $p(P)$· \item Quelle est la probabilité pour qu'il ait un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré, sachant que l'éthylotest est positif ? \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que l'éthylotest donne un résultat erroné ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le tableau suivant donne les indices du coût de la construction pour la période 1981-1990. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1981 &1982 &1983& 1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990\\ \hline Rang de l'année $t_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline Indice $I_{i}$& 648 &718 &766 &811 &837 &864 &890 &915 &927 &950\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\small (INSEE : moyenne des relevés trimestriels arrondie à l'unité près)}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter par un nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~I_{i}\right)$ la série statistique $(t~;~I)$. On utilisera un plan muni d'un repère orthogonal, avec pour unités graphiques : \qquad 2~cm pour représenter 1~année, sur l'axe des abscisses ; \qquad 5~cm pour 100~points d'indice, sur l'axe des ordonnées. L'intersection des axes de coordonnées correspond au point de coordonnées $(0~;~600)$. \item On pose $\ln t_{i} = x_{i}$ et $\ln I_{i} = y_{i}$ (ln désigne le logarithme népérien). \medskip \begin{enumerate} \item Recopier, en le complétant, le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $x_{i}$&&& 1,10 &1,39 &1,61 &1,79 &1,95 &2,08 &2,20&\\ \hline $y_{i}$&& 6,58 &&6,70 &6,73&&& 6,82&& 6,86\\ \hline \end{tabularx} \medskip (On donnera, pour chaque valeur, son arrondi à $10^{-2}$ près). Calculer à $10^{-2}$ près le coefficient de corrélation de $x$ et $y$. \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$ sous la forme $y = mx + p$ ; on donnera les valeurs arrondies de $m$ et $p$ à $10^{-2}$ près. \item Déduire du 2. b une prévision de l'indice 1996 du coût de la construction (à une unité près). \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{N. B.} Le détail des calculs de $r, m, p$ n'est pas demandé. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Au cours de ses deux premières années de publication, le nombre d'abonnés à un journal mensuel a été en progression arithmétique. Chaque mois, $400$~lecteurs supplémentaires se sont abonnés. Au bout de $24$ mois de publication, \np{21200}~abonnements ont été souscrits. On notera $u_{n}$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois de publication. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le nombre $u_{1}$ d'abonnés à la fin du premier mois de publication de ce journal, était de \np{12000}~personnes. \item Calculer le nombre d'abonnés au bout de $12$~mois de publication. En déduire le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnements souscrits lors de la deuxième année. \item Douze numéros sont édités par an. Calculer le nombre total de journaux adressés par voie d'abonnement, au cours des deux première années de publication. \item Le journal modifie sa politique commerciale. Le nombre des abonnés augmente de 40\,\% au cours de la troisième année. On suppose que le taux de croissance mensuel du nombre d'abonné est constant au cours de la troisième année. Calculer ce taux. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale approchée par excès à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan $P$ est rapporté à un repère orthogonal \Oij (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 2,5~cm sur l'axe de ordonnées ; le point O est choisi en bas et à gauche de la feuille). \bigskip \textbf{A. étude et représentation graphique d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [4~;~10] par \[f(x) = 8\dfrac{\ln (x + 2)}{x + 2}\] (ln désigne la fonction logarithme népérien). On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans $P$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$. étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Tracer $\mathcal{C}$. Les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses 4, 6 et 10 seront placés avec précision. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. équilibre d·un marché} \medskip La fonction de demande d'un bien, exprimée en francs, est $f$. La fonction d'offre, $g$, de ce bien, exprimée en francs par unité, est définie sur l'intervalle [4~;~10] par \[g(x) = (x - 3)\ln 2.\] $x$ exprime la quantité produite en milliers d'unités. \medskip \begin{enumerate} \item En le recopiant, compléter le tableau suivant ; les résultats seront donnés en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 4& 6& 10 \\ \hline $f(x)$&&&\\ \hline $g(x)$&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Dans le plan $P$, tracer la droite $\Delta$ représentant $g$. \item On admet que les courbes $\Delta$ et $\mathcal{C}$ admettent un unique point d'intersection, E. Déduire du B. 1, la quantité $x_{\text{E}}$ d'équilibre du marché ? Quel est, au centième près, $y_{\text{E}}$ prix par unité à l'équilibre du marché ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Calcul d'aire} \medskip On note $D$ l'ensemble des points $M$ du plan, de coordonnées $(x~;~y)$, vérifiant \[\left\{\begin{array}{l c c c l} 4 &\leqslant &x& \leqslant& 6\\ 3\ln 2& \leqslant& y &\leqslant& f(x) \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Hachurer $D$ sur la figure. \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de $D$. On donnera une valeur décimale approchée de $\mathcal{A}$ en unités d'aire, à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 1996 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 1996 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Dans cet exercice, on pourra utiliser les fonctions statistiques de la calculatrice, le détail des calculs n'est pas exigé.} \medskip La société Dulog a mis au point un nouveau logiciel destiné essentiellement à des entreprises. Une enquête a été effectuée par la société auprès de $300$ entreprises déjà équipées d'un matériel apte à recevoir ce logiciel, afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d'acquérir ce nouveau logiciel. Elle a obtenu les résultats suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ : prix proposé pour le nouveau logiciel (en milliers de francs)& $y_{i}$ : nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix \\ \hline 32 &80 \\ \hline 27 &125\\ \hline 24 &145\\ \hline 18,5 &200\\ \hline 15,5 &225\\ \hline 12 &250\\ \hline 11 &265\\ \hline 8 &280\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation de cette série statistique. (Résultat donné à $10^{-3}$ près). Interpréter ce résultat. \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression (D) de y en x (valeurs données à $10^{-3}$ près). \item Dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1 cm pour \np{2000}~francs en abscisses et 5~cm pour $100$ entreprise en ordonnées, représenter: - le nuage de points associé à la série statistique ci-dessus; - la droite (D). \item \begin{enumerate} \item à partir de ce graphique, déterminer le prix de vente maximum que doit fixer la société Dulog, pour que les $300$ entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel. (On donnera un résultat à $500$ francs près.) \item Retrouver le résultat précédent par le calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans un magasin d'électro-ménager, un acheteur potentiel s'intéresse à un lave-linge et à un sèche-linge. La probabilité pour qu'il achète le lave-linge est 0,6. La probabilité pour qu'il achète le sèche-linge quand il a acheté le lave-linge est 0,7. La probabilité pour qu'il achète le sèche-linge quand il n'a pa acheté le lave-linge est 0,1. On désigne par L l'évènement : \og le client achète le fave-linge \fg{} et par S l'évènement : \og le client achète le sèche-linge \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités des évènements suivants: \begin{enumerate} \item \og Le client n'achète pas le lave-linge\fg. \item \og Le client n'achète pas le sèche-linge quand il n'a pas acheté le lave-linge \fg. \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité pour que le client n'achète ni le lave-linge ni le sèche-linge est $0,36$. \item Le lave-linge coûte \np{4000}~F et le sèche-linge \np{3200}~F. On désigne par $D$ la dépense effective du client. \begin{enumerate} \item établir les valeurs possibles de la variable aléatoire $D$. \item Déterminer la loi de probabilité de $D$. \item Calculer l'espérance mathématique de $D$. \item Le \og service clientèle \fg du magasin sait qu'il se présente en moyenne chaque semaine 25 acheteurs potentiels pour ces deux appareils. Quel chiffre d'affaires hebdomadaire le magasin peut-il espérer réaliser ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Deux constructeurs d'automobiles lancent simultanément deux modèles de voitures $a$ et $b$. Afin de promouvoir leur produit, ils font appel à des sociétés de publicité qui procèdent à des sondages. La campagne publicitaire dure plusieurs mois. Chaque mois on interroge les même individus. On définit les évènements suivants : $A_{n}$ : \og L'individu interrogé se déclare favorable au modèle $a$ au $n$-ième mois\fg. $B_{n}$ : \og L'individu interrogé se déclare favorable au modèle $b$ au $n$-ième mois\fg. On pose : $p_{n} =$ probabilité de $A_{n}$ ; $q_{n} =$ probabilité de $B_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose qu'un individu interrogé est obligé de se déterminer soit pour le modèle $a$, soit pour le modèle $b$. écrire alors une relation entre $p_{n}$ et $q_{n}$. \item On constate qu'un individu favorable au modèle $a$ à un moment donné, garde une fois sur deux le même avis le mois suivant, alors qu'un individu favorable au modèle $b$ garde le même avis sept fois sur dix le mois suivant. Déterminer dans ces conditions les probabilités conditionnelles suivantes : $p\left(B_{n+1}/A_{n}\right)$ et $p\left(B_{n+1}/B_{n}\right)$. \item En utilisant la formule des probabilités totales et les résultat des questions précédentes, démontrer que : \[p\left(B_{n} \cap B_{n+1}\right) = 0,7 \times q_{n}\quad \text{et que}\quad p\left(A_{n} \cap B_{n+1}\right) = 0,5 \times p_{n}.\] En déduire que $p\left(B_{n+1}\right) = 0,7 q_{n} + 0,5 p_{n}$. Montrer que $q_{n+1} = 0,2 q_{n} + 0,5$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$, définie sur $\N$, de terme général: $u_{n} = q_{n} - 0,625$ est une suite géométrique de raison $0,2$. \item Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$ puis celle de $\left(q_{n}\right)$ ; en déduire la limite de $\left(p_{n}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Le but du problème est d'étudier une fonction, d'en construire la représentation graphique, de donner une valeur approchée d'une solution d'une équation et de calculer une aire. Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\] On désigne par ($C$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm en abscisses et 4cm en ordonnées). \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et construction de la courbe \boldmath$(C)$\unboldmath} \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire ? Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et étudier on signe. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. Déterminer le signe de $f(x)$. \item Déterminer les équations des tangentes à la courbe $(C)$ aux points d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses. Construire ces tangentes. \item Construire $(C)$. \end{enumerate} \item \textbf{Résolution approchée d'une équation} \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{4}$ admet une solution unique $\alpha$ dans [1~;~e] \item Déterminer graphiquement un encadrement de $\alpha$. Calculer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'aire} \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction g définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x(2 - \ln x)^2.\] \item Calculer l'aire (en cm$^2$) du domaine limité par l'axe des abscisses et l'arc de la courbe $(C)$ correspondant aux $f(x)$ positifs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers I juin 1996 \hypertarget{Centresetrangers1}{} \label{Centresetrangers1} \lfoot{\small{Centres étrangers I}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers I juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréducti\-bles.} \medskip Dans un jeu, il s'agit de trouver la bonne réponse à une question posée. Les questions sont classées en \textbf{trois} catégories : sport, cinéma, musique. Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. Les trois catégories sont donc équiprobables. Alain, fervent supporter de ce jeu, est conscient qu'il a : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 5 chances sur 6 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en sport ; \item 2 chances sur 3 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en cinéma ; \item 1 chance sur 9 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en musique. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Alain participe à ce jeu et tire au hasard une question. Déterminer la probabilité que : \begin{enumerate} \item la question soit dans la catégorie sport et qu'il donne la bonne réponse ; \item sa réponse soit bonne à la question posée. \end{enumerate} \item Pour participer au jeu, Alain doit payer 10 F de droit d'inscription. Il recevra : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 10 F s'il est interrogé en sport et que sa réponse est bonne ; \item 20 F s'il est interrogé en cinéma et que sa réponse est bonne ; \item 50 F s'il est interrogé en musique et que sa réponse est bonne ; \item 0 F si la réponse qu'il donne est fausse. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain d'Alain (on appelle gain la différence, en francs, entre ce qu'il reçoit et les 10 F de droit d'inscription). \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs prises par $X$. \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$. Alain a-t-il intérêt à jouer ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan ($\mathcal{P}$) est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. On rappelle que $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et e le nombre réel tel que $\ln \text{e} = 1$. On considère la fonction numérique $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~\text{e}]$ par \[ f(x) = x - \dfrac{\ln x}{x} \] \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~\text{e}]$. \item La courbe ($\mathcal{C}$) ci-dessous représentedans le plan ($\mathcal{P}$) la fonction $f$. On appelle ($\Delta$) la droite d'équation $y = x$. \begin{enumerate} \item étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de $x - f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~$ e]. \item En déduire la position relative de la courbe ($\mathcal{C}$) et de la droite ($\Delta$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~$ e] par $g(x) = (\ln x)^2$. En déduire, sur cet intervalle, une primitive de la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{\ln x}{x}$. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie du plan ($\mathcal{P}$) limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), la droite ($\Delta$) et les droites d'équations $x = 1$ et $x$ = e.\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \psset{unit=2cm} \begin{center} \begin{pspicture}(3,4) \psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(3,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline{<->}(0.2,1)(1.8,1) \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(3,3) \rput(0.5,-0.2){$\vect{\imath}$} \rput(-0.2,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput(0.5,3.2){\blue $\mathcal{(C)}$} \rput(2.9,3.1){($\Delta$)} \rput(2.72,-0.2){e} \psline[linestyle=dashed](2.728,0)(2.728,4) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.314}{3}{x x ln x div sub} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans une entreprise, le salaire mensuel des employés est de \np{7040}~F, celui des techniciens le double et celui des cadres \np{21120}~F. La masse salariale mensuelle de cette entreprise s'élève à \np{380160}~F, pour un salaire mensuel moyen de \np{8640}~F Pour des raisons économiques, la direction doit diminuer la masse salariale de 2\,\%. Cette diminution se répartit alors de la façon suivante : une baisse de 1 \% sur le salaire des employés, de 3\,\% sur celui des techniciens et de 6\,\% sur celui des cadres. On désigne respectivement par $a$ le nombre d'employés, $b$ le nombre de techniciens, $c$ le nombre de cadres. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données précédentes par trois égalités vérifiées par les entiers $a, b$ et $c$. \item Sachant que le triplet $(a,\: b,\: c)$ est solution du système suivant, d'inconnues $X,\: Y,\: Z$, \[\left\{\begin{array}{l c l} X + Y + Z&=&44\\ X + 2Y + 3Z&=& 54\\ X + 6Y + 18Z&=& 108, \end{array}\right.\] résoudre ce système et en déduire l'effectif de chaque catégorie de salariés. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous décrit le nombre moyen $y$ d'objets qu'un ouvrier commençant à travailler sur une chaîne de montage produit en un jour, le $x$-ième jour où il travaille sur cette chaîne. \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& 1& 3& 5& 7& 9\\ \hline $y_{i}$&27& 41& 46& 48& 49\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on utilisera pour les calculs statistiques les fonctions de la calculatrice (le détail des calculs n'est pas demandé). \medskip \begin{enumerate} \item Le plan (P) est muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : 1~cm pour un jour en abscisse et 1~cm pour 5 objets en ordonnée. Dans le plan (P) représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une valeur approchée à $10^{- 2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \item Donner une équation de la droite $\Delta$ de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite $\Delta$ sur le graphique précédent. \item Un ajustement affine de ce nuage de points est-il acceptable ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit alors la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[ f(x) = 50 - 34 \text{e}^{- 0,4x}.\] \begin{enumerate} \item On appelle ($C$) sa courbe représentative dans le plan (P). \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Dans la situation de la partie A, on constate une stabilisation de la quantité d'objets produits en un jour après un certain temps de manipulation de la machine. Une étude permet de considérer que le nombre d'objets produits par un ouvrier le $x$-ième jour où il travaille sur cette chaîne est modélisé par une expression de la forme $50 - a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle [0~;~100] par \[g(x) = 50 - a\text{e}^{bx}.\] Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la courbe représentant la fonction $g$ dans le plan (P) passe par les points A et B de coordonnées respectives (1~;~27) et (9~;~49). On donnera de $a$ la valeur exacte puis une valeur entière approchée à une unité près. On donnera de $b$ la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près. \item En considérant que, pour $x$ entre 0 et 100, $f(x)$ est une bonne approximation de $g(x)$, estimer le nombre d'objets que devrait produire un ouvrier le 15\up{e} jour où il travaille sur la chaîne. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Centres étrangers I juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers II juin 1996 \hypertarget{Centresetrangers2}{} \label{Centresetrangers2} \lfoot{\small{Centres étrangers II}} \rfoot{\small juin 1996} % \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers II juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne, en millions, le nombre de réfugiés dans le monde. \medskip \begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{Année}&\textbf{1978}&\textbf{1980}&\textbf{1982}&\textbf{1984}&\textbf{1986} &\textbf{1988} &\textbf{1990}&\textbf{1992}\\ \hline \textbf{Rang de l'année :} $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4 & 5 & 6 &7\\ \hline \textbf{Nombre de réfugiés :} $y_i$ &4,6&8,2&10,4 &10,5 &12& 14,8 & 17,2 &18,9 \\\hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize{(Source : Haut Commissariat pour les réfugiés -\emph{Express}, juin 1995)}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen de cette série. \item Représenter graphiquement le nuage des points $M\left(x_i~;~y_i\right)$. On prendra un repère orthogonal \Oij{} d'unités : 1~cm pour 1 année en abscisse et 1~cm pour un million d'individus en ordonnée. \item Le détail des calculs dans cette question n'est pas exigé ; les résultats sont donnés à $10^{-2}$ près. \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Que peut-on en déduire ? \item Déterminer une équation de la droite de régression $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. \item Construire cette droite dans le repère défini précédemment. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En supposant que la tendance n'a pas changé, établir une estimation du nombre de réfugiés en 1994. \item Il y avait en réalité 23 millions de réfugiés en 1994. Quelle est la variation, en pourcentage, du nombre de réfugiés par rapport à l'estimation ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip à la kermesse de l'école, une tombola est organisée : 250 billets, numérotés de 1 à 250, sont vendus 10 francs chacun à 250 personnes différentes. Après tirage, on apprend que tous les billets dont le numéro finit par 3 rapportent 50 francs, et ceux dont les numéros finissent par 20 ou 65 rapportent 150 francs. (Dans chacun des calculs demandés, donner les valeurs exactes des résultats sous forme de fraction irréductible.) \medskip \begin{enumerate} \item On interroge au hasard une personne ayant acheté un billet. Quelle est la probabilité d'interroger : A : une personne avec un billet gagnant $150$ francs ? B : une personne avec un billet gagnant ? C : une personne ayant reçu $150$ francs, alors que l'on savait que cette personne possédait un billet gagnant ? \item Soit $X$ la variable aléatoire associant à chaque participant son gain algébrique ($X$ prend donc la valeur $- 10$ pour l'achat d'un billet non gagnant). \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de la variable $X$. \item Quelle est l'espérance mathématique de $X$ ? Si l'on avait pu connaître à l'avance la répartition et le montant des gains, l'achat d'un billet aurait-il été conseillé ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Monsieur Dumont est très content. Il a réussi à louer pour la semaine tout son matériel, réparti en 4 catégories : 70 paires de ski \og détente \fg, 50 paires de ski \og compétition \fg, 50 paires de chaussures \og adulte \fg et 30 paires de chaussures \og enfant \fg. Il a constitué un fichier informatique de $200$~fiches pour les $200$~articles loués. (Pour chacun des calculs demandés, donner une expression exacte et le résultat arrondi au centième.) \medskip \begin{enumerate} \item Il lit au hasard trois fiches (on suppose les tirages équiprobables). \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour qu'il ait lu : A : deux fiches \og skis \fg et une fiche \og chaussures \fg{} ? B : trois fiches \og skis de compétition \fg{} ? C : au moins une fiche \og chaussures enfants \fg{} ? \item Montrer que la probabilité de l'évènement D : \og lire trois fiches de catégories différentes \fg{} est de 35 \%. \end{enumerate} \item Il renouvelle plusieurs fois son expérience, de manière indépendante. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que, après cinq lectures de trois fiches, Monsieur Dumont ait obtenu, quatre fois exactement, trois fiches de catégories différentes ? \item Quel est le nombre minimum de lectures de trois fiches à effectuer pour que l'évènement D se réalise au moins une fois avec une probabilité supérieure à $0,99$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Pour un promoteur immobilier, le coût de production, en millions de francs, pour $n$ maisons construites, $0 \leqslant n \leqslant 30$, est donné par : \[\text{C}(n) = \np{0,5}n + 2 - \np{1,5} \ln (n + 1).\] Chaque maison est vendue \np{400000}~F. \bigskip \textbf{Partie A - étude de la fonction~ \boldmath$f$\unboldmath~définie sur [0~;~30] par} \boldmath$f(x) = 0,5x + 2 - 1,5 \ln (x + 1) $\unboldmath On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ et (D) la droite d'équation $y = 0,4x$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités : 0,5~cm en abscisses, 2~cm en ordonnées). \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. \item Montrer qu'il existe un point A de ($\mathcal{C}$) où la tangente ($\Delta$) est parallèle à (D). Donner les coordonnées de A. \item Tracer (D), ($\Delta$) et ($\mathcal{C}$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Utilisation du graphique} (Les réponses seront justifiées.) \medskip \begin{enumerate} \item Quel nombre de maisons faut-il construire pour que le coût de production soit minimal ? \item Combien le promoteur doit-il construire de maisons pour réaliser du bénéfice ? \item Comment peut-on utiliser le graphique pour déterminer le nombre de maisons à construire pour obtenir le bénéfice maximal ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - étude du bénéfice} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de $n$ maisons est en millions de francs B$(n) = - \np{0,1} n - 2 + \np{1,5} \ln (n + 1)$. \item \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie sur [0~;~30] par \[g(x) = - \np{0,1} x - 2 + \np{1,5} \ln (x + 1).\] \item Démontrer qu'il existe un réel unique $x_0$ dans l'intervalle [0~;~6] tel que $g(x_0) = 0$. Donner un encadrement de $x_0$ d'amplitude $10^{-1}$. \item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g(x)$ est maximal. \end{enumerate} \item En déduire le nombre minimal de maisons à construire pour que le bénéfice soit positif, et le nombre de maisons pour que le bénéfice soit maximal. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers II juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 1996 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La représentation graphique, fournie ci-dessous, est celle d'une fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+ \infty[$. Les points A$(- 2~;~0)$, B$(- 1~;~0)$ et C(0~;~4) appartiennent à la courbe. Unités graphiques : 2~cm en abscisse, 1~cm en ordonnée. \begin{center} \psset{xunit=1.4cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-5,-2)(2,7) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-2)(2,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.44}{0.6}{6 x mul 12 x 3 add div add} \end{pspicture} \end{center} $f$ est la dérivée d'une fonction $F$ définie sur $]- 3~;~ + \infty[$, dont la représentation graphique est l'une des quatre courbes fournie ci-dessous. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer laquelle de ces quatre courbes représente $F$, en justifiant l'élimination de chacune des autres courbes. \item La fonction $F$ est définie sur $]- 3~;~+ \infty[$ par : \[F(x) = ax^2 + b \ln (x + 3) - 10\] où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs. Calculer $F'(x)$, où $F'$ désigne la dérivée de $F$. En déduire, à l'aide de la représentation graphique de $f$, que : $a = 3$ et $b = 12$. \item Calculer l'aire de la surface comprise entre les segments [OB] et [OC] et la représentation graphique de $f$. Donner la valeur exacte en unités d'aire. \end{enumerate} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-5,-6)(2,6) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-5)(2,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.07}{0.55}{x dup mul 3 mul x 3.224 add ln 12 mul add 11.047 sub} \psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,-2)(0,-2) \end{pspicture}&\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(1,7) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-4)(1,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(-3,-4)(-3,7)\uput[ur](0,0){O} %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.74}{1}{x 3 add ln 12 mul x 4 exp 2 mul sub} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.9,-4)(-2.8,0)(-2.5,2)(-2.15,2.85)(-2,2.9)(-1.75,3)(-1,3.3)(0,5)(0.8,7.) \end{pspicture}\\ Graphique \no 1&Graphique \no 2 \\ \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(2,6) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-4)(2,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.74}{0.56}{x dup mul 3 mul x 3 add ln 12 mul add 10 sub} \psline(-3,-4)(-3,6) \end{pspicture}&\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-6)(2,5) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-5)(2,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.6}{0.9}{3 ln 12 mul x 3 add ln 12 mul sub x dup mul 3 mul sub 1 add} \psline(-3,-5)(-3,5) \end{pspicture}\\ Graphique \no 3&Graphique \no 4 \\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On propose le jeu suivant : Pour une mise de 6 francs, on lance un dé parfaitement équilibré ; pour la sortie du 6, on reçoit $18$~francs; pour celle du 5, on reçoit $6$~francs; pour celle du 4, on reçoit 1 franc, et dans le autres cas on ne reçoit rien. On appelle gain d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain à l'issue d'une partie. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique E($X$). \item Un joueur se présente; il n'a que $10$~francs en poche. On demande de répondre aux deux questions suivantes qu'il se pose avant d'entrer dans le jeu (la construction d'un arbre décrivant les divers états possibles de la fortune du joueur est conseillée) : \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que je puisse jouer une deuxième partie ? \item Quelle est la probabilité qu'il me reste dix francs au moins à l'issue de cette deuxième partie sachant que je peux jouer une deuxième partie ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Lors du deuxième tour d'élections municipales, les habitants d'une ville importante ont été amenés à choisir entre la liste conduite par M\up{me} A. (liste A) et celle conduite par M. B. (liste B). 42\,\% des électeurs ont voté pour la liste A, 30\,\% pour la liste B, 3\,\% ont voté \og nul\fg{} et 25\,\% se sont abstenus d'aller voter. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'un votant ait choisi la liste A est égale à 0,56 et que la probabilité qu'il ait choisi la liste B est égale à 0,4. \item En déduire la probabilité qu'un votant ait voté \og nul \fg. \end{enumerate} \item Le jour de ces élections, cinq journalistes se sont rendus sur le terrain, en vue d'un reportage. Chacun d'eux a interrogé une personne qui venait de participer au vote. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : $E_{1}$ : \og Aucun des journalistes n'a interrogé quelqu'un ayant voté pour la liste A\fg. $E_{2}$ : \og Exactement deux des cinq journalistes ont interrogé quelqu'un ayant voté pour la liste~A \fg. $E_{3}$ : \og Au moins quatre des cinq journalistes ont interrogé quelqu'un ayant voté pour la liste~A \fg. Donner les valeurs exactes, puis des valeurs décimales approchées à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = x^3 - \np{1200}x - 100.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. étudier le sens de variation de $g$ et dresser le tableau de variations. \item Montrer que l'équation: $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [20~;~40]. Donner, en la justifiant, une valeur approchée de $\alpha$ à l'unité près. \item En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = x + 50 + \dfrac{\np{1200}x + 50}{x^2}.\] On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (on prendra 1~cm pour $5$ en abscisse et 1~cm pour 20 en ordonnée). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Montrer que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on a : $f'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie A. \item étudier les variations de $f$ \item Montrer que la droite $D$ d'équation: $y = x + 50$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Construire $\mathcal{C}$ et $D$ sur le même graphique. \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 130$. On donnera les valeurs approchées des solutions à l'unité près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le coût total de fabrication d'une quantité $x$ d'un produit, exprimée en centaines d'unités, est défini sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[C(x) = \dfrac{x^3 + 50 x^2 + \np{1200} x + 50}{x}, \] $C(x)$ étant exprimé en milliers de francs. Le coût moyen de fabrication par centaine d'objets est donc défini par : $C_{m}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité d'objets, à la centaine près, à fabriquer pour avoir un coût moyen minimum. \item On suppose que le prix de vente d'une centaine d'objets est égal à \np{130000}~F. Déterminer graphiquement, à la centaine près, le nombre minimum et le nombre maximum d'objets que l'entreprise doit fabriquer pour être rentable. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 1996 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{La question $4$ est indépendante des autres questions} \parbox{0.72\linewidth}{$a$ et $b$ étant deux réels, on considère la fonction $F$, définie sur $\R$ par \[F(x) = (ax + b)\text{e}^x.\] On note $\bullet~~f$ la fonction dérivée de $F$ sur $\R\: (F' = f)$, $\bullet~~\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 1~cm, $\bullet~~T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Le graphique ci-contre contient une partie de $\mathcal{C}$ et de $T$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $f(x)$ et $f'(x)$ à l'aide de $a$ et $b$. \item Lire sur le graphique $f(0)$ et $f'(0)$. En déduire les valeurs de $a$ et de $b$. \item Soit $D$ le domaine limité par les droites d'équations $x = 0$ et $x = \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses, et la courbe $\mathcal{C}$. On note $A$ l'aire de $D$, en cm$^2$. Calculer $A$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = (2x + 1 )\text{e}^x$. Justifier les informations contenues dans le tableau de variations suivant (valeurs, sens de variation et limites) \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(2,9) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1pt](-1,-1)(2,9) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(2,9) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1.06}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp mul} \end{pspicture}} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,3) \uput[u](0.75,2.5){$x$} \uput[u](2,2.5){$- \infty$} \uput[u](5.25,2.5){$- 3/2$} \uput[u](8.5,2.5){$+ \infty$} \uput[u](0.75,1.9){$g'(x)$} \uput[u](3.375,1.9){$-$} \uput[u](5.25,1.9){$0$}\uput[u](7.125,1.9){$+$} \rput(0.75,1){$g(x)$} \uput[d](2,2){$0$}\uput[u](5.25,0){$- 2\text{e}^{- 3/2}$} \uput[d](8.5,2){$+ \infty$} \psline{->}(2,1.5)(4.75,0.5) \psline{->}(5.75,0.5)(8.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On dispose de deux dés cubiques.Toutes les faces ont la même probabilité d'apparaître. Le 1\up{er} cube a cinq faces rouges et une face verte. Le 2\up{e} cube a une face rouge, deux vertes et trois bleues. \medskip \begin{enumerate} \item On jette les deux dés. On regarde la couleur des faces supérieures de chaque dé. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $A$ l'évènement \og les deux faces sont rouges \fg. \item[ ] $B$ l'évènement \og les deux faces sont de la même couleur \fg. \item[ ] $C$ l'évènement \og l'une des faces est rouge et l'autre verte \fg. \item[ ] $D$ l'évènement \og les deux faces sont de couleurs différentes \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} Expliquer pourquoi $p(A) = \dfrac{5}{36}$ et $p(C) = \dfrac{11}{36}$. Calculer $p(B)$ et $p(D)$. à chaque jet de ces deux dés est associé un jeu qui permet : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] un gain de 5 F si les deux faces sont rouges, \item[$\bullet~~$] un gain de 2 F si les deux faces sont vertes, \item[$\bullet~~$] une perte si les deux faces sont de couleurs différentes. On note $x$ le montant en francs de cette perte. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On définit ainsi une variable aléatoire $X$ qui, à chaque jet des deux dés, associe le gain, ou la perte ainsi réalisé. Déterminer $p(X = 5), p(X = 2), p(X = -x)$. On note E($X$) l'espérance mathématique de $X$. Un tel jeu est dit \og équitable \fg{} lorsque E$(X) = 0$. Déterminer la valeur de $x$ correspondante. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x^2 + 8 - 8 \ln x.\] étudier les variations de $g$ et en déduire le signe de $g(x)$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[(x) = x - 1 + 8\dfrac{\ln x}{x}.\] \begin{enumerate} \item étudier les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. \item étudier le sens de variation et dresser le tableau de variations de $f$. \item Montrer que la représentation graphique $C$ de $f$ admet une asymptote oblique $D$, d'équation $y = x - 1$. Déterminer la position relative de $C$ et $D$. \item Construire $C$ et $D$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe de ordonnées). \item Déterminer les coordonnées du point B de $C$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y = x - 1$. Donner une équation de cette tangente et la tracer. \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = (\ln x)^2.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $h'$ de $h$. \item En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Calculer en cm$^2$,l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $C$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. En donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole gr. 1 bis juin 1996 \hypertarget{Metropole1}{} \label{Metropole1} \lfoot{\small{Métropole groupe I bis}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole groupe I bis juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la dette des pays du Tiers Monde entre 1978 et 1992 (en milliards de dollars). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1978 &1982 &1986 &1990 &1992\\ \hline Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &4 &8 &12 &14\\ \hline Dette $\left(y_{i}\right)$& 383 &753 &\np{1089} &\np{1346} &\np{1510}\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{Source: Banque mondiale, FMI, $1993$}} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthogonal. Les unités graphiques sont : 1 cm pour 2 ans, en abscisse 1~cm pour $100$~milliards de dollars, en ordonnées. Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, et le point moyen, M, de cette série. \item Aucun calcul manuel n'est demandé. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série double (on donnera le résultat à $10^{-3}$ près). Un ajustement affine peut-il être envisagé? Pourquoi? \item écrire une équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés (les coefficients de l'équation seront donnés sous forme décimale approchée à $10^{-1}$ près par défaut). Tracer $D$. \item Estimer, à 1 milliard de dollars près, le montant prévisible de la dette des pays du Tiers Monde en 2000. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \textbf{étude préliminaire} \medskip On donne la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par : \[ f(x) = \dfrac{x}{1 + x}.\] \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de! Dresser son tableau de variation. \item Démontrer que : \[\text{si}\:\: 0 < x < \dfrac{1}{10}, \quad \text{alors}\:\: 0 < f(x) < 1.\] \end{enumerate} \textbf{Achat d'essence} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le prix d'un litre d'essence est $p$ ($p$ est exprimé en francs). Quel est le volume $V_{1}$ du carburant acheté pour 100~F ? \item Le prix du litre d'essence a augmenté de 25\,\% par rapport à $p$. Quel est le volume $V_{2}$ du carburant acheté pour 100~F? \item Calculer $V_{2}$, et vérifier que le pourcentage de diminution de $V_{1}$ volume du carburant acheté est 20\,\%. \end{enumerate} \item Plus généralement, démontrer que si le prix augmente de $t$\,\%, alors le volume baisse de $n$\,\% avec: \[n = \dfrac{100t}{100 + t}\] On pose $x = \dfrac{t}{100}$ et $y = \dfrac{n}{100}$. Exprimer $y$ en fonction de $x$. \item On suppose que l'augmentation du prix du litre de carburant est inférieure à 10\,\%, c'est-à-dire que $0 < x < 0,1$. A-t-on raison de dire que la diminution de volume de carburant acheté, en résultant, est inférieure à 10\,\% ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Cinq amis nommés A, B, C, D, E achètent en commun une photocopieuse. Pour des raisons de surface disponible, cette photocopieuse peut être entreposée seulement chez A ou chez B. On procède à un vote à bulletin secret pour savoir chez lequel de A ou de B elle sera entreposée. Chacun des cinq amis émet un choix et un seul sur l'une des deux personnes A ou B. Ces choix ont supposés équiprobables. Par exemple, le résultat d'un vote noté (A, B, B, A, A) signifie que: A a voté pour A ; B a voté pour B ; C a voté pour B ; D a voté pour A ; E a voté pour A. \emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \medskip \begin{enumerate} \item Quel nombre de résultats différents peut-on concevoir ? \item On considère la variable aléatoire $X$ qui, au résultat de chaque vote, associe le nombre de voix obtenues par A lors de ce vote. \begin{enumerate} \item établir la loi de probabilité de $X$. \item Vérifier que la probabilité $p_{1}$ pour que la photocopieuse soit entreposée chez A est égale à $\dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item à chaque début d'année, on effectue un vote, dans les mêmes conditions. On suppose que les votes sont des événements indépendants. Calculer la probabilité $p_{2}$ pour que A soit choisi pendant trois années consécutives. \item C a libéré de la place dans son logement, et peut maintenant aussi entreposer la photocopieuse. Le vote se déroule toujours de la même façon. \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de résultats possibles à l'issue de ce vote? \item Quelle est la probabilité $p_{3}$ pour que C soit choisi avec exactement quatre voix ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unité graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées). La courbe $\Omega$ (voir ci-dessous) est la représentation graphique sur l'intervalle $]0~;~4]$ d'une fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par : \[f(x) = x^2(a + b \ln x),\] où $a$ et $b$ désignent deux constantes réelles, et ln la fonction logarithme népérien. \medskip \psset{xunit=2.7cm,yunit=0.9cm,comma=true} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.25,-1)(4,8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(4,8) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5](0,0)(4,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4}{3 x ln 2 mul sub x mul x mul} \psline(2.71828,0)(2.71828,7.389) \psline{<->}(2.21828,7.389)(3.21828,7.389) \psline{<->}(0.4,0.6)(2.25,8) \uput[d](2.71828,0){$\beta$} \uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item La courbe représentative de $f$ passe par le point A(1~;~3). Elle admet en A une tangente D de coefficient directeur $4$. Montrer que $f(x) = x^2(3 - 2 \ln x)$. \item Déterminer une équation de la droite $D$. \item Déterminer la valeur exacte de l'abscisse $\beta$ du point B de la courbe où la tangente à $\Omega$ est parallèle à l'axe des abscisses. \item étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[4~;~+ \infty[$. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. Montrer que l'équation $f(x) = 3$ admet une solution unique sur l'intervalle [4~;~5] et donner une valeur approchée à $0,01$ près de cette solution. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par: \[g(x) = x^3 \left(11 - 6 \ln x\right).\] \item En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $0,1$ près par excès, de l'aire exprimée en cm$^2$ de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets ($0 < x < 4$). Le coût de fabrication de tous ces objets, en milliers de francs, est supposé égal à $f(x)$, où $f$ désigne la fonction étudiée précédemment. Le coût moyen de fabrication d'un objet est, en francs : \[m(x) = \dfrac{f(x)}{x}.\] Soit $k$ le nombre d'objets pour lequel le coût moyen de fabrication est maximal. \medskip \begin{enumerate} \item étudier les variations de la fonction $m$ sur l'intervalle ]0~;~4[. \item En déduire la valeur exacte du nombre entier $k$. \item Calculer le coût moyen maximal à $1$ centime près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole gr. 1 bis juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole gr. 2 bis juin 1996 \hypertarget{Metropole2}{} \label{Metropole2} \lfoot{\small{Métropole groupe II bis}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole groupe II bis juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne la consommation finale d'énergie en millions de tonnes équivalent-pétrole dans différents secteur utilisateurs de 1986 à 1994, en France : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1986 &1988 &1990 &1992 &1994\\ \hline Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$ &1 &3 &5 &7 &9\\ \hline Secteurs résidentiel et tertiaire $\left(y_{i}\right)$ & 71,6 &74,9 &78,1 &83,2 &86,3\\ \hline $z_{i} = y_{i} - 70$ & 1,6 &4,9 &8,1 &13,2 &16,3\\ \hline Transports $\left(t_{i}\right)$&38,7&42,1 &$t_{5}$&47,5 &48,3\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{(Source : Observatoire de l'énergie)}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. Le plan est rapporté à un repère orthogonal ; les unités graphiques sont : $\bullet~~$2 cm par année sur l'axe des abscisses ; $\bullet~~$1 cm pour 1~million de tonnes équivalent-pétrole, sur l'axe de ordonnées. \item \emph{Dans cette question, aucun calcul manuel n'est demandé. Les valeurs obtenues à l'aide de la calculatrice seront données sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut.} \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. \item écrire une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le graphique précédent. \item Estimer la consommation d'énergie dans les secteurs résidentiel et tertiaire en 1996. \end{enumerate} \item On considère maintenant la série statistique $\left(x_{i}~;~t_{i}\right)$ ; on admet que la droite de régression de $t$ en $x$ a pour équation : \[t = 1,27 x + 38,04.\] Calculer l'ordonnée $\overline{t}$ du point moyen du nuage associé à la série double $\left(x_{i}~;~ t_{i}\right)$ ; en déduire la valeur $t_{5}$ non fournie, arrondie au dixième. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un gérant de société a dépensé en 1995, pour l'achat du papier de son secrétariat, la somme de \np{16000,00}~F. \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que le papier coûte 64 F les \np{1000}~feuilles, combien le gérant a-t-il utilisé de milliers de feuilles en 1995 ? \item On suppose qu'au 1\up{er} janvier 1996, le prix du papier a augmenté de 5\,\%. On ne prévoit pas d'autre augmentation du prix du papier au cours de l'année. Si le gérant maintient sa dépense, quel nombre de milliers de feuilles de papier pourra-t-il acheter en 1996 ? (on arrondira le résultat à $0,1$ près). Quel pourcentage de diminution de consommation de papier cela représentera-t-il ? \item On suppose maintenant que le prix du papier a augmenté de $n$\,\% le 1\up{er} janvier 1996. On ne prévoit pas d'autre augmentation du prix du papier au cours de l'année. On suppose que le gérant maintient sa dépense de papier. \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre de milliers de feuilles qu'il pourra acquérir en 1996 est : \[N = \dfrac{\np{25000}}{100 + n}.\] \item Calculer, en fonction de $n$, le pourcentage de diminution de la consommation de papier qu'il doit envisager pour 1996. \item Le gérant ne veut pas restreindre sa consommation de papier de plus de 8\,\%. Quel pourcentage maximum d'augmentation n pourra-t-il supporter ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans une fête foraine, une loterie utilise une roue circulaire tournant autour d'un axe et une flèche fixe déterminant la position d'arrêt de la roue. Cette roue est partagée en 10 secteurs tel que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item le secteur 1 occupe le premier quart de la roue ; \item les secteurs 2 et 3 se partagent également le deuxième quart ; \item les secteurs 4, 5 et 6 se partagent également le troisième quart ; \item les secteurs 7, 8, 9 et 10 se partagent également le dernier quart. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \pscircle(0,0){2} \multido{\n=0+-22.5}{5}{\psline(0;0)(2;\n)} \multido{\n=-11.25+-22.5,\na=10+-1}{4}{\rput(1.5;\n){\na}} \multido{\n=-90+-30}{4}{\psline(0;0)(2;\n)} \multido{\n=-105+-30,\na=6+-1}{3}{\rput(1.5;\n){\na}} \multido{\n=-180+-45}{3}{\psline(0;0)(2;\n)} \multido{\n=-202.5+-45,\na=3+-1}{2}{\rput(1.5;\n){\na}} \rput(1.5;45){1} \end{pspicture} \end{center} Quand la roue est lancée, elle s'arrête de façon aléatoire, et la flèche ne peut indiquer qu'un seul secteur. \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre $n$ étant un entier de [1~;~10], la probabilité pour que la flèche indique le secteur $n$ est notée $p_{n}$. On suppose qu'elle est proportionnelle à l'angle au centre de ce secteur. Calculer $p_{1}, p_{2}, p_{4}, p_{7}$. (Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.) \item Le jeu proposé est le suivant : Le joueur mise une certaine somme. Il perd sa mise si la flèche indique les secteurs 1, 2, 4 ou 7. Sa mise lui est remboursée si la flèche indique 3, 5 ou 8. Il gagne le double de sa mise si la flèche indique un autre secteur. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité $p'_{1}$, pour que le joueur perde est égale à $\dfrac{25}{48}$, et que la probabilité $p'_{2}$ pour qu'il soit remboursé vaut $\dfrac{13}{48}$. \item Calculer la probabilité $p'_{3}$ pour que le joueur gagne et celle $p'_{4}$ pour qu'il ne perde pas. \end{enumerate} \item Un joueur joue 5 parties. (Dans les questions suivantes les résultats seront arrondis à $0,001$~près.) \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p'_{5}$ pour qu'il gagne au moins quatre fois. \item Calculer la probabilité $p'_{6}$ pour qu'il perde deux fois et qu'il ne perde pas trois fois. \item Calculer la probabilité $p'_{7}$ pour qu'il gagne deux fois et qu'il ne perde pas trois fois. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Question préliminaire} \medskip Vérifier que le nombre $\alpha = - 1 + \ln 125$ est solution de l'équation (E) : \[\text{e}^{x + 1} - 10^4 \text{e}^{-(x + 1)} - 45 = 0.\] En donner la valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par excès. On admettra que $\alpha$ est la seule solution de (E). \bigskip \textbf{Offre et demande} \medskip D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ d'un produit de prix unitaire $x$ sont telles que : \[f(x) = 100 \left(\text{e}^{x + 1} - 45\right) ;\quad g(x) = \text{e}^{-(x + 1)}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ et $g(x)$ sont positives ou nulles. On désignera par I l'intervalle trouvé ; cet intervalle est dit \og intervalle de validité du modèle \fg. \item Déterminer la valeur $x$ telle que $f(x) = g(x)$, appelée \og prix d'équilibre \fg. \item étudier les variations de $f$ et de $g$ sur l'intervalle I (on précisera les limites en $+ \infty$). \item Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \Oij. Le unités graphiques sont : 2~cm pour unité sur l'axe des abscisses, et 1~cm pour \np{2000} unités sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Tracer les courbes représentatives de $f$ et de $g$ dans P. \item Vérifier graphiquement le prix d'équilibre trouvé à la question 2. \end{enumerate} \item On considère la fonction $E_{f}$ définie sur I par : \[E_{f} = x\dfrac{f'(x)}{f(x)} \quad (\text{où}\: f'\: \text{désigne la fonction dérivée de}\:f).\] Le nombre Ef (x) s'appelle \og élasticité de l'offre par rapport au prix x \fg{} ; on admet qu'il indique le pourcentage de variation de l'offre pour un accroissement de 1\,\% d'un prix $x$ donné. $E_{f}(x)$ est négatif lors d'une diminution de l'offre. \begin{enumerate} \item Calculer $E_{f}(x)$. \item On considère le prix $x = 3,8$. Pour un accroissement de 1\,\% de ce prix, quel est le pourcentage de variation de l'offre ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole gr. 2 bis juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 1996 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique: 2 cm). On considère la parabole $\Pi$ d'équation $y = x^2$, et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter $\Pi$ et $\Delta$, quand $x$ appartient à l'intervalle $[- 2~;~+ 2]$. \item Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^2\:\text{d}x$. \item \begin{enumerate} \item La droite $\Delta$ coupe $\Pi$ en deux points, A, d'abscisse positive, et B, d'abscisse négative. On note C et D les points de l'axe des abscisses tels que ABCD soit un rectangle. Dessiner ce rectangle, et calculer son aire, en cm$^2$. \item On note P la partie du plan comprise entre le segment [AB] et la parabole $\Pi$. Calculer, en cm$^2$, l'aire de P. \item Vérifier que l'aire de P est égale aux deux tiers de l'aire de ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un vendeur d'adoucisseurs d'eau a l'intention de proposer deux de ses produits (modèle \emph{simple} et modèle \emph{haut de gamme}) dan un lotissement nouvellement construit. Une enquête a montré que 20\,\% des foyers se déclarent intéressés par l'achat d'un adoucisseur. L'expérience du vendeur lui a appris que, parmi les foyers se déclarant intéressés, 50\,\% achètent le modèle \emph{simple}, 40\,\% le modèle \emph{haut de gamme}, les autres renonçant finalement à l'achat. On nomme : $I$ l'évènement: \og le foyer est intéressé \fg{} ; $A$ l'évènement: \og le foyer achète le modèle \emph{simple} \fg{} ; $B$ l'évènement: \og le foyer achète le modèle \emph{haut de gamme} \fg{} ; $C$ l'évènement: \og le foyer renonce à l'achat \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements $I \cap A, I \cap B, I \cap C$. \item Montrer que la probabilité pour qu'un foyer pris au hasard n'achète pas d'adoucisseur est égale à $0,82$. \item Le vendeur envisage de fixer le prix du modèle \emph{simple} à \np{4000}~F et celui du \emph{haut de gamme} à \np{8000~}~F. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme (éventuellement nulle) versée au vendeur par un foyer visité au hasard. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique. \item Pour que son bénéfice soit suffisant, l'espérance de gain du vendeur devrait être de \np{1300}~F pour un foyer visité. S'il veut vendre le modèle \emph{simple} à moitié prix du modèle \emph{haut de gamme}, comment doit-il modifier ses prix ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 7$ et, pour tout entier naturel $n$, par \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 6}{5}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$. \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = u_{n} - 2$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, et en déduire que : $u_{n} = 5\left(\dfrac{2}{5} \right)^n + 2$ \item Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip La fonction $g$ est définie, sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$, par : \[g(x) = \dfrac{2x}{\text{e}} - 1 - \ln x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. étudier son signe, et, en déduire le sens de variation de $g$. \item Calculer la limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. (On pourra écrire : $\left. g(x) = x \left[\dfrac{2}{\text{e}} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}\right]\right)$. \item Calculer $g\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et $g\left(\dfrac{\text{e}}{2}\right)$. \item Dresser le tableau de variation de $g$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g(\text{e})$ et justifier que $g(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant \text{e}$. \item Montrer que $g$ s'annule sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~\dfrac{\text{e}}{2}\right]$ pour une valeur unique que l'on notera $\alpha$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{- 2}$. \end{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij (unité graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 4~cm sur l'axe des ordonnées). \begin{enumerate} \item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $g$. Placer, en particulier, les points d'abscisses $\alpha$ et e. \item Résoudre graphiquement l'inéquation : $g(x) \geqslant 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction f est définie, sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$, par : \[f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}} - x \ln x.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $f'(x) = g(x)$. En déduire le tableau de variation de $f$. \item Justifier que $f$ est positive ou nulle sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$. On ne demande pas de représenter graphiquement $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La fonction $g$ représente le chiffre d'affaires marginal d'une entreprise, en fonction du nombre de ses employés. C'est la dérivée de la fonction correspondant au chiffre d'affaires exprimé en francs. Déterminer ce chiffre d'affaires, sachant qu'il est nul pour un employé. %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1996 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small septembre 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~ 0[$ par : \[ f(x) = ax + b + \ln (- 2x)\] où $a$ et $b$,, sont deux réels donnés. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. \item Le tableau ci-dessous représente les variations d'une fonction particulière $f$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.25) \psframe(7,3.25) \psline(0,1.5,7,1.5)\psline(0,2.5,7,2.5) \psline(1,0)(1,3.25) \psline(0,1.5)(7,1.5)\psline(0,2.5)(7,2.5) \uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](4,2.5){$-1/2$} \uput[u](6.9,2.5){$0$} \rput(0.5,2){$f'(x)$}\rput(2.5,2){$+$}\rput(4,2){$0$}\rput(5.5,2){$-$} \rput(0.5,0.75){$f(x)$}\uput[d](4,1.5){$2$} \psline{->}(1.5,0.25)(3.5,1.25) \psline{->}(4.5,1.25)(6.5,0.25) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item En utilisant les données du tableau déterminer les valeurs $a$ et $b$ qui caractérisent cette fonction. \item Pour cette fonction particulière $f$, déterminer $\displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 0\\x < 0\\ \end{subarray}} f(x)$. \item Montrer que, dans l'intervalle $\left[- \frac{1}{2}~;~- 0,01\right]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique. En donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une société possède plusieurs usines réparties à travers le pays. L'usine A emploie \np{1000}~personnes dont $70$ sont affectées au service social, les autres étant des ouvriers ou des cadres. \medskip \begin{enumerate} \item Sachant qu'il y a deux fois plus d'ouvriers que de cadres dans A, trouver le nombre de personnes appartenant à chaque catégorie. \item Par suite de problèmes dus à des baisses de charges, il est procédé à une restructuration de l'usine A : 10\,\% des cadres et 30\,\% des ouvriers sont mutés. Donner le nombre de cadres et le nombre d'ouvriers mutés. \item Le directeur est ce jour-là sur les lieux, tout le personnel est présent, et le directeur a la même probabilité de rencontrer chaque employé. \begin{enumerate} \item Quelle probabilité a-t-il de rencontrer une personne qui doit être mutée ? \item Il réunit toutes les personnes qui doivent être mutées et il donne la parole à l'une d'entre elles prise au hasard. Quelle probabilité a-t-il de s'adresser à un ouvrier ? \end{enumerate} \item Le directeur reçoit par la suite l'ensemble de tous les ouvriers mutés et leur donne les informations suivantes : \og Vos mutations seront effectuées dans quatre villes A, B, C et D, en fonction de vos compétences et une prime de déménagement vous sera accordée de la façon suivante : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Ville &A &B &C &D\\ \hline Prime (en F) &\np{20000} &\np{15000} &\np{12000} &\np{10000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip Vous devez savoir que $62$ personnes partiront pour la ville A, $31$ pour la ville B, $18$ pour la ville C et les autres pour la ville D. Une lettre vous informera de votre nouveau lieu de travail. \fg On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme reçue en francs par chaque ouvrier muté. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$, en donner une interprétation. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement de sp\'ecialit\'e} \medskip On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par : \[U_{n+1} = - \dfrac{3}{4}U_{n} + \dfrac{11}{12}\: \text{pour tout }\:n \geqslant 1\:\text{avec}\: U_{1} = \dfrac{1}{2},\] et la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par : \[V_{n} = U_{n} - \dfrac{11}{21}\: \text{pour tout }\: n \geqslant 1.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_{n}$ et en déduire que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{3}{4}$ ; préciser le premier terme. \item Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$. \item à une date donnée deux amis, Claire et Benoît décident de se téléphoner régulièrement. On désigne par $\left(B_{n}\right)$ l'évènement : \og Benoît téléphone à Claire le $n$-ième jour qui suit leur décision \fg. $p\left(B_{n}\right)$ est la probabilité de cet évènement. La probabilité que Benoît téléphone à Claire le premier jour est $p\left(B_{1}\right) = \frac{1}{2}$. Sachant que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item si Benoît lui a téléphoné le $n$-ième jour, la probabilité pour qu'il l'appelle le lendemain est de $\frac{1}{6}$ ; \item par contre, si Benoît n'a pas appelé Claire le $n$-ième jour, la probabilité pour qu'il le fasse le $(n + 1)$-ième jour, est de $\frac{11}{12}$ ; \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item énoncer $\overline{B_{n}}$ évènement contraire de $B_{n}$ ; \item montrer que $p\left(B_{n+ 1} \cap B_{n}\right) = \dfrac{1}{6} p\left(Bn\right)$ et que $p\left(B_{n+ 1} \cap \overline{B_{n}}\right) = \dfrac{11}{12} p\left(Bn\right)$ ; \item en déduire que $p\left(B_{n+ 1}\right) = - \dfrac{3}{4} p\left(B_{n}\right) + \dfrac{11}{12}$. \end{enumerate} \item En utilisant les questions 2. et 3., déterminer une valeur approchée à $10^{- 3}$ près de la probabilité pour que Benoît téléphone à Claire le 60\up{e} jour. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par \[f(x) = x \text{e}^{x^2 - 1}\] et on note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $10$~cm. \medskip \begin{enumerate} \item étudier les variations de la fonction $f$. \item Soit (D) la droite d'équation $y = x$, on veut étudier la position de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à la droite (D). Pour cela : \begin{enumerate} \item Résoudre dans [0~;~1], l'inéquation $\text{e}^{x^2 - 1} < 0$. En déduire la position de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à (D). \end{enumerate} \item Construire $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère \Oij. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur [0~;~1]. \item Montrer qu'en unité d'aire, l'aire A de la partie du plan limitée par la droite (D) et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est égale à $\dfrac{1}{2\text{e}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans la commune Mateco, la répartition des réserves d'une banque en fonction du nombre de clients a fait l'objet d'une étude. Les résultats sont donnés par la série statistique suivante : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $X_{i}$ &0,01 &0,40 &0,60 &0,70 &0,90&1\\ \hline $Y_{i}$ &0,04 &0,18 &0,31 &0,42 &0,74&1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} $X_{i}$ fréquence cumulée croissante des effectifs $Y_{i}$ fréquence cumulée croissante des réserves \emph{Interprétation du tableau }: 60\,\% des clients ne détiennent que 31\,\% des réserves de la banque. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique dessiné dans la troisième question de la première partie, construire en pointillés et en partant du point O la ligne polygonale $(\Gamma)$ obtenue en joignant successivement les points de coordonnées $\left(X_{i}~;~Y_{i}\right)$. $(\Gamma)$ est appelée courbe de Lorentz. \item Lire le pourcentage des réserves détenues par 65\,\% des clients. \item Quel pourcentage des réserves se partagent les 20\,\% les plus riches ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 1996 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small septembre 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère une fonction définie et dérivable sur I $ = [0~;~14]$. Sa représentation graphique est la courbe $C$ ci-dessous. Elle passe par le point A(7~;~2), et la tangente en A à $C$ est la droite $\Delta$ qui passe par le point B$(9~;~- 1)$. \medskip \psset{unit=0.675cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-2,-4)(16,9) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2,-4)(16,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1) \psdots(7,2)(9,-1) \uput[ur](7,2){A} \uput[dl](9,- 1){B}\uput[ur](10.5,-3){$\Delta$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ul](13.5,6){$C$} \psplot{5.5}{10.5}{12.5 1.5 x mul sub} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-3)(1,0)(2,2)(3,3.5)(4,4)(5,3.8)(6,3.1)(7,2)(8,0.9)(9,0.2)(10,0)(11,0.5)(12,2)(13,4)(14,7) \end{pspicture} \end{center} Les questions suivantes sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item Par lecture graphique : \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de $f$. Indiquer le signe de $f'(x)$ sur I. \item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = - 2$ sur I. \item Donner l'ensemble des réels tels que: $0 \leqslant f(x) \leqslant 2$. \end{enumerate} \item Que valent $f(7)$ et $f'(7)$ ? écrire une équation de $\Delta$. \item Dresser le tableau de variation de $\dfrac{1}{f}$ sur ]1~;~10[. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Lors d'une promotion, un hypermarché vend par paquets de un kilogramme des clémentines et des oranges, en provenance de l'Union européenne (Italie, Espagne) et du Maroc. Le nombre de kilos mis en vente est donné par le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{|r|}{Origine}&Italie &Espagne &Maroc\\ Fruits&&&\\ \hline Clémentines &100 &250 &200\\ \hline Oranges &350 &450 &650\\ \hline \end{tabularx} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %\diaghead{\theadfont Diag ColumnmnHead II}{Origine~~~}{Fruits}&\thead{Italie} &\thead{Espagne} &\thead{Maroc}\\ \hline %Clémentines &100 &250 &200\\ \hline %Oranges &350 &450 &650\\ \hline %\end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Un acheteur pressé prend au hasard un paquet de fruits. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants: \begin{enumerate} \item Acheter des clémentines. \item Acheter italien. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p_{1}$ d'acheter des clémentines, sachant que l'acheteur ne veut que des produits \og européens \fg{} ? \item Quelle est la probabilité $p_{2}$ d'acheter \og européen \fg, sachant que des clémentines ont été choisies ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un artisan fabrique des objets A et des objets B. La réalisation d'un objet A demande $30$~F de matière première et $125$~F de main-d'{\oe}uvre. La réalisation d'un objet B demande $70$~F de matière première et $75$ F de main-d' {\oe}uvre. Les profits réalisés sont de $54$~F par objet A, et de $45$~F par objet B. On note $x$ le nombre d'objets A fabriqués, et $y$ le nombre d'objets B fabriqués, en une journée. La dépense journalière en matière première ne doit pas dépasser $560$~F. La dépense journalière en main-d'{\oe}uvre ne doit pas dépasser \np{1250}~F. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire ces deux hypothèses. \item Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1~cm). Représenter graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées vérifient ces hypothèses. \item Exprimer le bénéfice journalier $b$ de l'entreprise en fonction de $x$ et de $y$, puis la production journalière d'objets A et B qui assurerait un bénéfice maximum. On précisera, graphiquement, et par le calcul, cette production journalière. En déduire le montant de ce bénéfice. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip étude de la fonction $f$ définie dans $[-2~;~1]$ par : \[f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1.\] Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm). On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans ce plan. \medskip \begin{enumerate} \item étudier les variations de $f$. Dresser le tableau de ses variations. \item Calculer : \begin{enumerate} \item l'ordonnée du point A de C d'abscisse $0$ ; \item les coordonnées du point B de C en lequel la tangente à C est parallèle à l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item Donner: \begin{enumerate} \item une équation de $T_{0}$ tangente à $C$ en A; \item une équation de $T_{1}$ tangente à $C$ en B. Déduire des questions précédentes la position de C par rapport à $T_{1}$ ; \item les coordonnées du point G, intersection de $T_{0}$ et $T_{1}$ \end{enumerate} \item Construire $C$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le but de cette question est de calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de $C$, et les segments [BG) et [GA]. Afin de déterminer la position de $C$ par rapport à $T_{0}$, on va étudier au préalable la fonction $g$ définie sur $[- 1~;~1]$ par \[g(x) = f(x) - (x + 1).\] \begin{enumerate} \item étude des variations de $g$. \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de $[- 1~;~1]$, $g'(x) = 2\left(\text{e}^x - 1\right) \left(\text{e}^x + \dfrac{1}{2}\right)$ (où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$). \item Déterminer le signe de $\text{e}^x - 1$ sur $[- 1~;~1]$ ; en déduire le signe de $g'(x)$. \item Dresser le tableau de variation de $g$. \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $[- 1~;~1]$, puis la position de $C$ par rapport à $T_{0}$· \end{enumerate} \item Calcul de $\mathcal{A}$. \begin{enumerate} \item Calculer : $\displaystyle\int_{- \ln 2}^0 f(x)\:\text{d}x$. \item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unités d'aire. \item Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ à $10^{-2}$ près par défaut. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 1996 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique: 2 cm). On considère la parabole $\Pi$ d'équation $y = x^2$, et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter $\Pi$ et $\Delta$, quand $x$ appartient à l'intervalle $[- 2~;~+ 2]$. \item Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^2\:\text{d}x$. \item \begin{enumerate} \item La droite $\Delta$ coupe $\Pi$ en deux points, A, d'abscisse positive, et B, d'abscisse négative. On note C et D les points de l'axe des abscisses tels que ABCD soit un rectangle. Dessiner ce rectangle, et calculer son aire, en cm$^2$. \item On note P la partie du plan comprise entre le segment [AB] et la parabole $\Pi$. Calculer, en cm$^2$, l'aire de P. \item Vérifier que l'aire de P est égale aux deux tiers de l'aire de ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un vendeur d'adoucisseurs d'eau a l'intention de proposer deux de ses produits (modèle \emph{simple} et modèle \emph{haut de gamme}) dan un lotissement nouvellement construit. Une enquête a montré que 20\,\% des foyers se déclarent intére-- és par l'achat d'un adoucisseur. L'expérience du vendeur lui a appris que, parmi les foyers se déclarant intéressés, 50\,\% achètent le modèle \emph{simple}, 40\,\% le modèle \emph{haut de gamme}, les autres renonçant finalement à l'achat. On nomme : $I$ l'évènement: \og le foyer est intéressé \fg{} ; $A$ l'évènement: \og le foyer achète le modèle \emph{simple} \fg{} ; $B$ l'évènement: \og le foyer achète le modèle \emph{haut de gamme} \fg{} ; $C$ l'évènement: \og le foyer renonce à l'achat \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements $I \cap A, I \cap B, I \cap C$. \item Montrer que la probabilité pour qu'un foyer pris au hasard n'achète pas d'adoucisseur est égale à $0,82$. \item Le vendeur envisage de fixer le prix du modèle \emph{simple} à \np{4000}~F et celui du \emph{haut de gamme} à \np{8000~}~F. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme (éventuellement nulle) versée au vendeur par un foyer visité au hasard. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique. \item Pour que son bénéfice soit suffisant, l'espérance de gain du vendeur devrait être de \np{1300}~F pour un foyer visité. S'il veut vendre le modèle \emph{simple} à moitié prix du modèle \emph{haut de gamme}, comment doit-il modifier ses prix ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 7$ et, pour tout entier naturel $n$, par \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 6}{5}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$. \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = u_{n} - 2$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, et en déduire que : $u_{n} = 5\left(\dfrac{2}{5} \right)^n + 2$ \item Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip La fonction $g$ est définie, sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$, par : \[g(x) = \dfrac{2x}{\text{e}} - 1 - \ln x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. étudier son signe, et, en déduire le sens de variation de $g$. \item Calculer la limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. (On pourra écrire : $\left. g(x) = x \left[\dfrac{2}{\text{e}} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}\right]\right)$. \item Calculer $g\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et $g\left(\dfrac{\text{e}}{2}\right)$. \item Dresser le tableau de variation de $g$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g(\text{e})$ et justifier que $g(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant \text{e}$. \item Montrer que $g$ s'annule sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~\dfrac{\text{e}}{2}\right]$ pour une valeur unique que l'on notera $\alpha$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{- 2}$. \end{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij (unité graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 4~cm sur l'axe des ordonnées). \begin{enumerate} \item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $g$. Placer, en particulier, les points d'abscisses $\alpha$ et e. \item Résoudre graphiquement l'inéquation : $g(x) \geqslant 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction f est définie, sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$, par : \[f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}} - x \ln x.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $f'(x) = g(x)$. En déduire le tableau de variation de $f$. \item Justifier que $f$ est positive ou nulle sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$. On ne demande pas de représenter graphiquement $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La fonction $g$ représente le chiffre d'affaires marginal d'une entreprise, en fonction du nombre de ses employés. C'est la dérivée de la fonction correspondant au chiffre d'affaires exprimé en francs. Déterminer ce chiffre d'affaires, sachant qu'il est nul pour un employé. %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau septembre 1996 \hypertarget{Sportifs}{} \label{Sportifs} \lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}} \rfoot{\small septembre 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau septembre 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On a mesuré entre 1989 et 19941 l'effet de la pollution sur la population piscicole d'une rivière. Les résultats présentés dans le tableau suivant donnent une estimation du nombre $y_{i}$ de poissons, exprimé en milliers, correspondant à l'année dont le rang est $x_{i}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1989 &1990 &1991 &1992 &1993 &1994\\ \hline $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline $y_{i}$& 951,3 &106,7 &96,5 &63,2 &21 &9,4\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la série statistique double $(x~;~y)$. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Expliquer pourquoi un ajustement linéaire ne paraît pas bien adapté. \item On pose $z_{i} = \ln y_{i}$ pour $i \in \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}$. \begin{enumerate} \item Calculer les nombres $z_{i}$ ; (on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut). \item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. Justifier l'utilisation d'un ajustement affine pour la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. \item Déterminer l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$. Tracer cette droite sur le graphique de la question b. \end{enumerate} \item On suppose que l'évolution de cette population se poursuit sur le même modèle. \begin{enumerate} \item à partir de quelle année cette population sera-t-elle strictement inférieure à \np{1000} ? \item Donner une estimation de la population de cette rivière en l'an 2000 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une entreprise de bateaux propose chaque jour une croisière sur le Rhône. Les relevés météorologiques permettent d'affirmer que, dans la région, l'évènement, noté $B$, \og le temps est au beau fixe \fg{} se réalise $180$~jours par an ; l'évènement, noté $N$, \og le temps est nuageux sans pluie \fg{} se réalise $120$~jours par an ; l'évènement, noté $P$, \og le temps est pluvieux \fg{} se réalise $65$~jours par an. On suppose qu'une année compte $365$~jours. On note $p_{F}(E)$ la probabilité d'un évènement $E$ sachant qu'un évènement $F$ est réalisé. [Cette probabilité se note aussi $p(E/F)$]. On donnera les valeurs exactes des probabilités demandées. Un jour est choisi au hasard. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p(B), p(N), p(P)$ pour que, ce jour-là, le temps soit respectivement beau, nuageux sans pluie, pluvieux. \item Soit $V$ le nombre de billets vendus ce jour-là. On considère les évènements : \[A_{1} : \og 0 \leqslant V \leqslant 15 \fg{} \quad A_{2} : \og 15 < V \leqslant 30 \fg{} \quad A_{3} : \og 30 < V \leqslant 50 \fg{} \] On dispose des renseignements suivants: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &$i = 1$ &$i = 2$ &$i = 3$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité de $A_{i}$ sachant $B$ &$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{4}{8}$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité de $A_{i}$ sachant $N$ &$\dfrac{2}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{3}{8}$\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité de $A_{i}$ sachant $P$ &$\dfrac{5}{8}$&$\dfrac{2}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \emph{Exemple de lecture : la probabilité pour que \og $15 < V \leqslant 30$ sachant que $B$ est réalisé \fg{} est égale \`a $\dfrac{3}{8}$} Calculer $p\left(A_{1} \cap B\right)$ puis $p\left(A_{1}\right)$. De manière analogue, on trouverait $p\left(A_{2}\right) = \dfrac{206}{584}$ et $p\left(A_{3}\right) = \dfrac{229}{584}$, résultat que l'on admettra. \item On considère que le bilan quotidien de l'entreprise est positif si elle a vendu au moins seize billets. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que le bilan soit positif. \item Si le bilan est positif, quelle est la probabilité pour que le temps ait été nuageux ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Une entreprise produit une pièce en grande série. Parmi les pièces produites, 5\,\% sont défectueuses. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité pour qu'une pièce, prélevée au hasard dans le stock, soit défectueuse. \item On prélève, au hasard, des échantillons de dix pièces dans le stock. Le nombre de pièces est suffisamment grand pour que la probabilité d'obtenir une pièce défectueuse soit la même à chacun des dix prélèvements. Déterminer la probabilité des évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og il y a exactement 3 pièces défectueuses dans un échantillon \fg{} ; \item \og il n'y a pas de pièce défectueuse dans un échantillon \fg{} ; \item \og il y a au moins une pièce défectueuse dans un échantillon \fg. \end{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de pièces défectueuses dans un échantillon de $10$~pièces. \begin{enumerate} \item Donner l'ensemble des valeurs prises par $X$. \item Soit $k$ une de ces valeurs. Exprimer, en fonction de $k$, la probabilité pour qu'un échantillon contienne exactement $k$ pièces défectueuses. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les fonctions $g$ et $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = x \quad \text{et} \quad h(x) = x - \dfrac{1}{2} x^2.\] Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} [unités graphiques $2$~cm]. On note $P$ la courbe représentative de $h$ dans ce repère. \medskip \begin{enumerate} \item étudier les variations de la fonction $h$. \item Déterminer une équation cartésienne de la tangente $D$ à la courbe $P$ au point d'abscisse $0$ et préciser la position relative de $P$ et de $D$. \item Tracer sur une même figure la courbe $P$ et la droite $D$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln ( 1 + x).\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère précédent. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \item On se propose d'étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $D$. Pour cela on considère la fonction $\varphi$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[\varphi(x) = x - \ln (1 + x). \] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $\varphi'$ de $\varphi$. En déduire le sens des variations de $\varphi$. \item Calculer $\varphi(0)$. Déterminer enfin le signe de $\varphi$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu. \end{enumerate} \item On se propose d'étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $P$. Pour cela on considère la fonction $\psi$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[\psi(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{1}{2}x^2.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $\psi'$ de $\psi$. En déduire le sens des variation de $\psi$. \item Calculer $\psi(0)$. Déterminer enfin le signe de $\psi$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu. \end{enumerate} \item Placer la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère précédent. \item \begin{enumerate} \item Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^1 x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^1 \left(x - \dfrac{1}{2}x^2\right)\:\text{d}x$. \item Soit $A$ l'aire de la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. Montrer que : $\dfrac{1}{3} \leqslant A \leqslant \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item Parmi les fonctions $k$ définies sur $[0~;~+ \infty[$, vérifiant, pour tout $x$ positif, $h(x) \leqslant k(x) \leqslant g(x)$, peut-on trouver une fonction strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Sportifs de haut-niveau septembre 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 1996 \hypertarget{AmeriqueduSud}{} \label{AmeriqueduSud} \lfoot{\small Amérique du Sud} \rfoot{\small{novembre 1996}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne: la cylindrée $\left(\text{en cm}^3\right)$, le couple maximum à \np{2000} tours/min (en m.kg), le poids remorquable freiné (en kg) de voitures automobiles à moteur Diesel. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\scriptsize}m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline &Peugeot 605&Renault Express&Renault Safrane&Audi &Ford Escort&Ford Mondéo&Citroën C15 &Mazda &Peugeot 306&Fiat\\ \hline cylindrée $z_{i}$ &2088 &1870 &2068 &1665 &1753 &1753 &1769 &1998 &1905 &1929\\ \hline couple $x_{i}$ & 26 &12,3 &19.5 &19,4 &18,3 &18,1 &11,4 &17,2 &12,5 &20\\ \hline poids remor\-qua\-ble freiné $y_{i}$ &\np{1500} &700 &\np{1300} &\np{1300} &900 &\np{1300} &800&\np{1250}&\np{1000} &\np{1400}\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\scriptsize Source Auto-journal, août 1995.}\\ \end{tabularx} \medskip Le but de l'exercice est de voir s'il y a une meilleure corrélation entre $z$ et $y$ ou entre $x$ et $y$. Dans tout l'exercice, on pourra donner directement les résultats fournis par la calculatrice, arrondis à $10^{- 2}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les coefficients de corrélation linéaire des séries $\left(z_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. Conclure. \item On considère la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \begin{enumerate} \item Dessiner le nuage de points (unités graphiques: sur l'axe des abscisses, 1~cm représente 1~unité; sur l'axe des ordonnées, 1~cm représente 100~kg). \item Déterminer et construire le point moyen G du nuage. \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. La construire. \item En déduire une estimation, au kg près, du poids remorquable freiné correspondant à un couple de $16$~m.kg. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Vingt personnes participent à un congrès dans une ville. Pour s'y rendre, les participants utilisent soit leur véhicule personnel, soit le train. Dans ce groupe, il y a 40\,\% d'hommes, 75\,\% des hommes viennent avec leur véhicule ; 50\,\% des femmes prennent le train. Ces pourcentages restent les mêmes tous les ans. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant en exprimant les résultats en effectifs. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Moyen de transport &Hommes &Femmes &Total\\ \hline Véhicule personnel&&& \\ \hline Train&&& \\ \hline Total&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Madame Untel se rend tous les ans à ce congrès. Quelle est la probabilité qu'elle utilise au moins une fois le train sur une période de 10 ans ? On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat. \end{enumerate} \item La ville offre six places pour un spectacle. Les bénéficiaires sont tirés au sort parmi les $20$~congressistes. (On suppose qu'il y a équiprobabilité.) \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que, parmi les 6 places, il y en ait au moins une attribuée à une femme? \item Quelle est la probabilité que ces $6$ places soient attribuées à $3$ femmes et à $3$ hommes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Probl\`eme}\hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{2}x + \text{e}^{-\frac{1}{2}x + 3}\] et on note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 1~cm). \bigskip \textbf{Partie A} \textbf{étude de \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de \boldmath $(C)$\unboldmath } \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $[0~;~+ \infty[$ l'inéquation : $\text{e}^{-\frac{1}{2}x + 3} \leqslant 1$. \item Calculer l'expression de $f'(x)$ pour $x$ élément de $[0~;~+ \infty[$. étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$. \item étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. Dresser alors le tableau de variation de $f$. \item \begin{enumerate} \item On considère la droite $(\Delta)$ d'équation $y = \frac{1}{2}x$. Montrer que $(\Delta)$ est asymptote oblique à $(C)$ et étudier la position de $(C)$ par rapport à $(\Delta)$ sur [0~;~20]. \item Construire (C) et $(\Delta)$ sur l'intervalle [0 ; 20]. \end{enumerate} \item Calculer l'aire en cm$^2$ du domaine plan limité par $(C)$, $(\Delta)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 10$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{- 1}$ près). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \textbf{Application économique} \medskip Un atelier fabrique $x$ unités d'un produit. Ce nombre $x$ est limité à $10$. $f(x)$ représente, en francs, le coût moyen de fabrication d'une unité lorsqu'on en fabrique $x$. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'unités à produire pour avoir un coût moyen de fabrication minimal ? \item Chaque unité est vendue 5~F. On désire déterminer le nombre d'unités pour lequel l'atelier réalise un bénéfice. Indiquer une méthode de résolution graphique puis l'appliquer pour résoudre la question. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 1996 \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 1996 \hypertarget{Caledonie}{} \label{Caledonie} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small décembre 1996} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie décembre 1996~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} Un mélange de graines de fleurs contient : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 50 graines de type A; \item 90 graines de type B ; \item 60 graines de type C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Toutes les graines n'ont pas le même pouvoir de germination. On conviendra qu'une graine germe correctement si celle-ci donne naissance à une plante qui fleurit. On considère que la probabilité pour qu'une graine germe correctement est de : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $0,5$ pour une graine de type A ; \item $0,8$ pour une graine de type B ; \item $0,6$ pour une graine de type C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On sème une graine prise au hasard dans le mélange. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que ce soit une graine de type A ? \item Quelle est la probabilité que ce soit une graine de type A et que celle-ci germe correctement ? \item Quelle est la probabilité que la graine semée soit une graine qui germe correctement ? \item Quelle est la probabilité que la graine semée soit une graine de type C qui ne germe pas correctement ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \emph{Dans cet exercice les résultats numériques pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice, sans justification. Ils seront arrondis à $10^{-3}$ près, sauf indication contraire.} Le tableau suivant donne l'évolution de 1987 à 1994 de la dette extérieure des pays en développement, en milliards de dollars. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $i$& 1987 &1988 &1989 &1990 &1991 &1992 &1993 &1994\\ \hline Rang $x_{i}$ &1& 2& 3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Montant $d_{i}$ de la dette& 1369 &1375 &1427 &1539 &1627 &1696 &1812 &1945\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Banque Mondiale.}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On pose $y_{i}= \ln \left(d_{i}\right)$, o\`u ln désigne la fonction logarithme népérien. Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant par les valeurs de $y_{i}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang $x_{i}$ de l'année $i$& 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline $y_{i}$&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 20~cm sur l'axe des ordonnées). ~ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. \item Déduire de la question précédente une relation entre $d$ et $x$, de la forme : $d = \alpha \beta^x$. \end{enumerate} \item En supposant que la relation précédente soit valable pour les années à venir, estimer, pour 1996, le montant de la dette extérieure des pays en développement (arrondir le résultat à un milliard près). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit la suite $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ définie par \[U_{n} = \displaystyle\int_{n}^{n+1} 2\text{e}^{- 2x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $U_{0}$. \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,\:U_{n} = \text{e}^{-2n} \left(1 - \text{e}^{- 2}\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + ... + U_{n}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item étudier la limite de la suite $\left(S_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip \emph{Utiliser le dessin ci-dessous pour tous les graphiques demandés dans ce problème.} \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-2,-2.75)(2,2.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange] \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.75)(2,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{2.71828 x dup mul exp 1 sub x mul} \uput[r](1.1,2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = \ln (x + 1) + 2x.\] Sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} est désignée par $\mathcal{C}_{g}$ (unités graphiques : $4$~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $g$ en $- 1$ et en $+ \infty$ ; en déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote D dont on donnera une équation. \item Déterminer le sens de variation de chacune des deux fonctions $h$ et $k$ définies sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = \ln (x + 1)\quad \text{et}\quad k(x) = 2x.\] En déduire le sens de variation de $g$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de $g$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Calculer $g(0)$ et en déduire le signe de $g$ sur $[0~;~+\infty[$. Tracer, sur le graphique joint la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et l'asymptote $D$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $G$, définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par \[G(x) = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x + x^2,\] est une primitive de $g$. \item Calculer l'intégrale $I_{1} = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = x\left(\text{e}^{x^2} - 1\right).\] Cette fonction est représentée, sur l'intervalle $[-2~;~2]$, dans le repère \Oij, par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ (voir le dessin joint). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier l'égalité suivante, pour tout nombre réel $x,$ \[f'(x) = \text{e}^{\left(x^2\right)} - 1 + 2x^2\text{e}^{\left(x^2\right)}.\] Quel est le signe de $\text{e}^{\left(x^2\right)} - 1$ ? En déduire que, pour tout nombre réel $x,\:f'(x)$ est positif ou nul. \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+\infty$. \item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Soit $I_{2}$, l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. Montrer que $I_{2} = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On admettra que, sur [0~;~1], la fonction $f$ est positive et que les fonctions $f$ et $g$ vérifient : $f \leqslant g$. Soit $\mathcal{A}$ la surface délimitée, sur le graphique, par les deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. Colorier la surface $\mathcal{A}$, puis calculer à l'aide des intégrales $I_{1}$ et $I_{2}$ l'aire de $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$. Donner la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$, puis sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 1996 \end{document}