\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{colortbl} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{xcolor} \usepackage{colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lfoot{\small L'année 2001} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat A1 et B 1994 \decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à décembre 1994}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} {\Large \hyperlink{PondicheryA1}{Pondichéry A1 avril 1994} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{PondicheryB}{Pondichéry B avril 1994} \dotfill 5 \medskip \hyperlink{Amerique du NordA1}{Amérique du Nord A1 juin 1994} \dotfill 7 \medskip \hyperlink{Amerique du NordB}{Amérique du Nord B juin 1994} \dotfill 9 \medskip \hyperlink{Aix}{Aix-Marseille A1 et B juin 1994} \dotfill 11 \medskip \hyperlink{AmiensA1}{Amiens A1 juin 1994} \dotfill 13 \medskip \hyperlink{AmiensB}{Amiens B juin 1994} \dotfill 15 \medskip \hyperlink{Besancon}{Besançon A1 et B juin 1994} \dotfill 18 \medskip \hyperlink{BordeauxA1}{Bordeaux A1 juin 1994} \dotfill 21 \medskip \hyperlink{BordeauxB}{Bordeaux B juin 1994} \dotfill 24 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane A1 et B juin 1994} \dotfill 26 \medskip \hyperlink{Centres etrangersA1}{Centres étrangers A1 juin 1994} \dotfill 29 \medskip \hyperlink{Centres etrangersB}{Centres étrangers B juin 1994} \dotfill 31 \medskip \hyperlink{Asie}{Asie A1 et B juin 1994} \dotfill 33 \medskip \hyperlink{PolynesieA1}{Polynésie A1 juin 1994} \dotfill 36 \hyperlink{PolynesieB}{Polynésie B juin 1994} \dotfill 38 \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane B septembre 1994} \dotfill 41 \medskip \hyperlink{Indesept}{Inde--Liban A1 et B septembre 1994} \dotfill 43 \hyperlink{Metropolesept}{Métropole A1 et B septembre 1994} \dotfill 45 \medskip \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie A1 et B septembre 1994} \dotfill 47 \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau A1 octobre 1994} \dotfill 49 \hyperlink{AmduSudA1}{Amérique du Sud A1 décembre 1994} \dotfill 52 \medskip \hyperlink{AmduSudB}{Amérique du Sud B décembre 1994} \dotfill 54 \medskip \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie A1 et B décembre 1994} \dotfill 56 \medskip } \newpage ~ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%% Pondichéry A1 avril 1994 \hypertarget{PondicheryA1}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1)} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small avril 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (A1) Pondichéry avril 1994~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f(x) = \dfrac{x^2}{4 - x^2}\quad \text{et} \quad g(x) = \ln \left(4 - x^2 \right).\] \begin{enumerate} \item Soit I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Quel est le signe de I ? \item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] \[f(x) = - 1 + \dfrac{1}{2 - x}+ \dfrac{1}{2 + x}\] \item Calculer la valeur exacte de I. \end{enumerate} \item En utilisant une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = \ln 3 + 21$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le jeune Éric, trois ans, s'amuse à taper sur les touches du minitel. \medskip \begin{enumerate} \item Il frappe au hasard sur une touche du clavier, chaque touche ayant la même probabilité d'être frappée. Ce clavier comporte 57 touches dont 26 représentent les 26 lettres de l'alphabet français. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre ? \item Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre de son prénom ? \end{enumerate} \item Éric frappe successivement 4 touches, distinctes ou non. Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants : \begin{enumerate} \item Éric frappe son prénom. \item Éric frappe les 4 lettres de son prénom. \item Éric frappe 4 touches différentes. \item Éric frappe son prénom sachant qu'il a frappé 4 touches différentes. On donnera les résultats approchés sous la forme $a \times 10^{- n}$ où $n$ est un entier naturel et $a$ un nombre entier tel que $0 < a < 10$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- \infty~;~1]$ par : \[f(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2x - 4.\] On appelle $(C)$ sa représentation graphique dans un repère \Oij. Unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses, et 2~cm sur l'axe des ordonnées. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Soit $g(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{3}{2}\text{e}^x - 1\right)$. Montrer que $g(x)$ s'annule pour $x = \ln 3$. Étudier le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]- \infty~;~1]$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f(x) - (- 2x - 4) = g(x)$. \item En déduire que la droite (D) d'équation $y = - 2x - 4$ est asymptote à $(C)$. Étudier la position de $(C)$ par rapport à (D). \end{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]- \infty~;~1]$, \[f'(x) = \left(3\text{e}^x + 2\right)\left(\text{e}^x - 1\right).\] En déduire le signe de $f'(x)$. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $x_0$ dans l'intervalle $[-3~;~0]$. En utilisant la calculatrice donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $x_0$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $3\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2= 2$ en posant $X = \text{e}^x$. \item En déduire qu'il existe un point A unique de $(C)$ où la tangente a pour coefficient directeur $2$ et que l'abscisse de A est égale à $\ln \dfrac{4}{3}$. \end{enumerate} \item Tracer la droite (D), la courbe $(C)$ et la tangente à $(C)$ en A. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry A1 avril 994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Pondichéry B avril 1994 \hypertarget{PondicheryB}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (B)} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small avril 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (B) Pondichéry avril 1994~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $P$ le polynôme défini sur $\R$ par \[P(x) = x^3- x^2 - 14x + 24.\] \begin{enumerate} \item Calculer $P(2)$. En déduire une factorisation de $P(x)$. \item Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$. \end{enumerate} \item En déduire les solutions dans ~ des équations suivantes: \begin{enumerate} \item $2\ln x + \ln (x -1) = \ln (14x-24)$ \item $\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + 24\text{e}^{-x} - 14 = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \emph{Dans cet exercice tous les résultats seront donnés sous forme de fractions.} \medskip Une urne contient trente boules numérotées de 1 à 30 indiscernables au toucher. \medskip \begin{enumerate} \item On tire au hasard une boule de l'urne. Calculer: \begin{enumerate} \item la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3 et de 5 ; \item la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3 ou de 5. \end{enumerate} \item On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois un numéro multiple de 3 et de 5. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Soit la fonction numérique f définie sur $]0~+ \infty[$ par \[f(x) = (\ln x)^3 - 3 \ln x.\] On note (C) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij (unité graphique : 2 cm). \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Après avoir factorisé $f(x)$, déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Prouver que pour tout $x$ réel strictement positif on a \[f'(x) = 3 (\ln x - 1) (\ln x + 1)\] où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]0~+ \infty[$. Que représentent pour (C) les solutions de cette équation ? \item Construire (C). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip Soient $I, \:J$, et $K$ les intégrales définies par : \[I = \displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 \ln x\:\text{d}x, \quad J = \displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 (\ln x )^2 \:\text{d}x, \quad K = \displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 (\ln x )^3\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Soit la fonction $G$ définie sur $]0~+ \infty[$ par : \[G(x) = x \ln x - x.\] Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0~+ \infty[$ par $g(x) = \ln x$. En déduire la valeur de $I$. \item Soit la fonction $H$ définie sur $]0~+ \infty[$ par : \[H(x) = x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x).\] Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~+ \infty[$ par $h(x) = (\ln x)^2$. En déduire la valeur de $J$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $K = \dfrac{1}{\text{e}} - 3J$ et en déduire que $K = \dfrac{6}{\text{e}} - 6$. \item En utilisant $I$ et $K$ calculer $\displaystyle\int_{1/\ln \text{e}}^1 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \item En déduire l'aire, en cm$^2$, de l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que : \[\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant x \leqslant 1 \quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\] On donnera la valeur exacte du résultat puis la valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry B juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord (A1) 1994 \hypertarget{Amerique du NordA1}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1)} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (A1) Amérique du Nord juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} \hfill 4 points} \medskip Une population est constituée de $100$~personnes ($40$~hommes et $60$~femmes), telles que : $50$ ont les yeux bleus, $60$\,\% des hommes ont les yeux bleus. On tire au sort une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. Calculer, sous forme de fractions, les probabilités des évènements suivants : A : \og avoir choisi un homme \fg B : \og avoir choisi un homme aux yeux bleus \fg C : \og avoir choisi une femme aux yeux bleus \fg D : \og avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c'est une femme \fg E : \og avoir choisi une femme, sachant que c'est une personne ayant les yeux bleus \fg. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \ln \left(\dfrac{2x + 1}{x}\right).\] Soit $g$ la fonction définie sur $]\ln 2~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x - 2}.\] Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 3 cm). On appelle $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans P. \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip $\bullet~~$\textbf{Étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. Quelles sont les conséquences graphiques de ces résultats ? \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item Construire $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip $\bullet~~$\textbf{Étude de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de la fonction $g$ en $\ln 2$ et en $+ \infty$. Quelles sont les conséquences graphiques de ces résultats ? \item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. En déduire le sens de variation de $g$ sur $]\ln 2~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de $g$. \item Construire $\mathcal{C}_{g}$, sur la même figure que $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip $\bullet~~$\textbf{Tangentes à \boldmath $\mathcal{C}_{f}$ \unboldmath et }\boldmath $\mathcal{C}_{g}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Soit A le point de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\frac{1}{2}$. Écrire une équation de la tangente en A à $\mathcal{C}_{f}$. \item Déterminer l'abscisse du point B de $\mathcal{C}_{g}$ où la tangente a pour coefficient directeur $- 1$. En déduire l'équation de cette tangente. Que remarque-t-on ? \item Construire cette droite sur la figure précédente. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE D} \medskip $\bullet~~$\textbf{Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant une intégration par parties, calculer: \[I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \ln \left(\dfrac{2x+ 1}{x}\right)\:\text{d}x.\] \item En déduire une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par les droites d'équations $x = 1,\: x = 2$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord (A1) 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord (B) 1994 \hypertarget{Amerique du NordB}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (B)} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (B) Amérique du Nord juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Un pion se déplace par sauts successifs sur la droite $\Delta$ munie du repère $\left(\text{O}~ ;~\vect{\imath}\right)$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,1) \psline(0,0.5)(10,0.5) \psline(5,0.7)(5,0.3) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,0.5)(6,0.5) \uput[ul](5,0.5){O}\uput[u](5.5,0.5){$\vect{\imath}$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Son point de départ est le point O}. Deux types de sauts sont possibles : D : 2 unités vers la droite, G : 1 unité vers la gauche. Les sauts successifs sont supposés indépendants les uns des autres, et chaque type de saut a la même probabilité d'être effectué. On suppose que le pion va effectuer 3 sauts successifs. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la liste des différents parcours possibles. On pourra, éventuellement, dessiner \og l'arbre des parcours \fg, et désigner chaque parcours à l'aide d'un triplet, par exemple : (D, D, G) signifie que le pion s'est déplacé d'abord deux fois vers la droite, puis une fois vers la gauche. \item Pour chaque parcours trouvé, préciser l'abscisse du point occupé par le pion après les 3 sauts. \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe l'abscisse du point où aboutit le pion. Donner la loi de probabilité de $X$, et son espérance mathématique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip On a noté, entre 1982 et 1990, le nombre $x$ de parcours de golf et le nombre $y$ de licenciés de la Fédération Française de Golf. (Source : \og L'Équipe Magazine \fg, août 1993.) Les résultats ont été rassemblés dans le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1982 &1984 &1986 &1988 &1990\\ \hline Nombre de parcours de golf $x$ &134 &141 &176 &249 &458\\ \hline Nombre de licenciés $y$ &\np{47159} &\np{63696} &\np{97019} &\np{135146}&\np{181147}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Construire le nuage de points correspondant à la série statistique $(x~;~y)$, dans le plan muni d'un repère orthogonal, avec, pour unités graphiques: 1 cm pour 30 parcours en abscisses, 1 cm pour \np{10000} licenciés, en ordonnées. Déterminer et représenter le point moyen G de cette série. \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. Un ajustement linéaire se justifie-t-il ? Préciser. \item Déterminer une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$. Construire D, sur le graphique précédent. \item En 1992, le nombre de licenciés a été de \np{207000}. À quelle estimation du nombre de parcours en 1992 conduit l'équation précédente ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Le but de ce problème est l'étude de la fonction définie sur $]0~;~+ \infty]$ par : \[f(x) = \dfrac{(x - 1)\ln x}{x},\] sa représentation graphique et le calcul d'une aire qui lui est liée. Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). La courbe représentative de $f$ dans P est notée $\mathcal{C}$. \bigskip \textbf{PARTIE I} \medskip \textbf{Étude de } \boldmath $f$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $0$. Quelle en est la conséquence graphique ? \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que : \[f'(x) = \dfrac{x - 1 + \ln x}{x^2}.\] \item Déterminer le signe de la somme $(x - 1) + \ln x$ lorsque $0 < x < 1$, puis lorsque $x > 1$. \item En déduire le tableau de variations de $f$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE II} \medskip \textbf{Courbe représentative de } \boldmath $f$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, selon les valeurs de $x$, le signe de la différence $d(x) = f(x) - \ln x$. \item Soit $\Gamma$ la courbe représentative, dans P, de la fonction ln. Interpréter géométriquement le nombre $d(x)$, et déduire, de la question précédente, la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. \item Tracer $\Gamma$, puis $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE III} \medskip \textbf{Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer la partie du plan limitée par les droites d'équations $x = 1,\: x = \text{e}$, et les deux courbes précédentes. \item Déterminer une primitive de la fonction définie par : \[g(x) = (\ln x) \times \dfrac{1}{x}.\] \item En déduire l'aire, en cm$^2$, de la partie hachurée. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord (B) 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Aix-Marseille juin 1994 \hypertarget{Aix}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Aix-Marseille-Corse-Montpellier-Nice-Toulouse}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (A1 et B) Aix-Marseille\footnote{Corse-Montpellier-Nice-Toulouse} juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Une urne contient 3 boules vertes portant le numéro 0, deux boules rouges portant le numéro 5 et une boule noire portant le numéro $a$ ($a$ est un entier naturel non nul, différent de 5 et de 10). Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Un joueur tire simultanément trois boules de l'urne : \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour qu'il tire : \begin{enumerate} \item trois boules de la même couleur ; \item trois boules de couleurs différentes ; \item deux boules et deux seulement de la même couleur. \end{enumerate} \item Le joueur reçoit, en francs, la somme des numéros marqués sur les boules tirées. Les gains possibles du joueur sont donc : \[0 \quad;\quad 5 \quad;\quad 10 \quad;\quad a \quad;\quad 5 + a \quad;\quad 10 + a.\] \begin{enumerate} \item Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique de X en fonction de $a$. \item Calculer $a$ pour que l'espérance de gain du joueur soit de $20$~francs. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Série B} \medskip Le tableau suivant donne le montant (en millions de dollars) des droits de retransmission télévisée des jeux olympiques d'été de 1972 à 1992. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Ville -- Année &Rang de l'année $x_i$&Montant $y_i$\\ \hline Munich -- 1972& 1& 15,2\\ \hline Montréal -- 1976&2&29,5\\ \hline Moscou -- 1980&3&92,6\\ \hline Los Angeles -- 1984&4&288,0\\ \hline Séoul -- 1988&5&402,0\\ \hline Barcelone -- 1992&6&634,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i \right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra 2~cm pour 1~rang sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~millions de dollars sur l'axe des ordonnées. \item On pose $z_i = \ln y_i$. Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les valeurs des $z_i$ les coefficients $a$ et $b$ de la droite de régression seront arrondis au centième le plus proche. \item Déduire de la question précédente une relation approchée entre $y$ et $x$ de la forme $y = \alpha . \beta^x$. Les coefficients $\alpha$ et $\beta$ seront arrondis au centième le plus proche. \item À l'aide de la question 3, donner une prévision du montant des droits de retransmission télévisée pour les jeux olympiques d'Atlanta en 1996. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 - \dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x}\] et $C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij{} (unités : 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ a le signe de $\ln x$. Étudier le sens de variation de $f$ et en déduire le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. (Pour le calcul de $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} f$ on pourra écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = 1 - \dfrac{1 + \ln x}{x}$.) \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x) = 1$. \item Résoudre l'inéquation $f(x) > 1$. En déduire la position de $C$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$. \end{enumerate} \item Soit A le point d'intersection de $C$ et de $\Delta$. Déterminer l'équation de la tangente T à $C$ au point A. \item Construire, dans le repère \Oij, $\Delta$, T puis $C$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ a une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~1]$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{- 2}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée de $u$ définie par: \[u(x) = 1 + \ln x.\] En déduire une primitive de $g$ définie par \[g(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x).\] \item Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{1 + \ln x}{x}\:\text{d}x$. \item Calculer en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $C$, l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Aix-Marseille juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%%% Amiens A1 juin 1994 \hypertarget{AmiensA1}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1)} \lfoot{\small{Amiens-Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat (A1) Amiens\footnote{Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles} juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} \hfill 5 points} \medskip Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela, il a droit à deux tentatives : un premier service suivi, s'il n'est pas réussi, d'un second service. La probabilité pour que le premier service réussisse est égale à $\dfrac{2}{3}$. S'il a échoué, la probabilité pour que le deuxième service réussisse est égale à $\dfrac{4}{5}$. Lorsque les deux services échouent, il y a \og double faute \fg, sinon, la mise en jeu est réussie. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la probabilité pour que le second service ne soit pas réussi, sachant que le premier service n'est pas réussi. \item Montrer que, sur une mise en jeu, la probabilité pour que ce joueur fasse une double faute est égale à $\dfrac{1}{15}$. \item En déduire la probabilité pour que la mise en jeu soit réussie. \end{enumerate} \item Ce joueur fait un pari avec un de ses camarades. Il effectue 10 mises enjeu successives (de manière indépendante). \begin{enumerate} \item Calculer en fonction de $k$ ($k \in \{0, 1, \ldots, 10\}$) la probabilité $p_k$ pour que le joueur réussisse $k$ mises en jeu. \item S'il réussit $10$ ou $9$ mises en jeu, il gagne $10$~F par mise en jeu réussie. Sinon, il perd $50$~F. Soit $X$ la variable aléatoire représentant la somme gagnée (comptée positivement), ou perdue (comptée négativement), par ce joueur. $\bullet~~$Calculer: $p(X = 100)$ ; $p(X = 90)$ ; $p(X = - 50)$. $\bullet~~$Calculer l'espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 15 points} \medskip La courbe C représentée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$, définie sur $\R$ par \[f(x) = a + bx\text{e}^{- x},\] où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. La droite T est la tangente à la courbe C au point d'abscisse zéro. \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-1.5)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1) \psline[linestyle=dashed](0,1)(3.5,1) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.35) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.5,1.37)(1.5,1.37) \psplot{-1.2}{0.8}{x 1 add} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.95}{3.5}{x 2.71828 x exp div 1 add} \uput[d](3.5,0){$x$}\uput[ur](0.8,1.8){T} \uput[d](-1.5,0){$x'$} \uput[r](0,-1.5){$y'$} \uput[r](0,2){$y$} \end{pspicture} \end{center} Reproduire l'allure de la courbe C sur la copie (repère orthonormal: unité graphique : 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Lecture graphique} \begin{enumerate} \item Lire sur le graphique proposé ci-dessus $f(0)$ et $f'(0)$. \item En déduire la valeur de $a$ et celle de $b$. Dans toute la suite, on prend $f(x) = 1 + x\text{e}^{-x}$. \end{enumerate} \item \emph{Variations de} $f$ \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ Déterminer la tangente à C au point d'abscisse $1$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; interpréter graphiquement le résultat obtenu. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \item \emph{Étude du point d'intersection de} C \emph{avec l'axe des abscisses} \begin{enumerate} \item Prouver que l' équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule telle que $- 1 < \alpha < - \dfrac{1}{2}$. \item On pose $\alpha' = - 0,56$. Calculer $f\left(\alpha'\right)$ à la précision $10^{-4}$. Prouver que $\alpha < \alpha'$ : et que $\alpha' - \alpha < 10^{-2}$ (on pourra calculer $f(- 0,57)$. \end{enumerate} \item Calcul d'une intégrale. Pour tout nombre réel $\lambda$, on pose $I(\lambda) = \displaystyle\int_0^{\lambda} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_0^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties. \item En déduire que $I(\lambda) = \lambda + 1 -(\lambda + 1) \text{e}^{-\lambda} = (\lambda + 1)\left(1- \text{e}^{-\lambda}\right)$. \item Déterminer la limite de $I(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \emph{Calcul approché d'une aire} \begin{enumerate} \item À l'aide de la question 4. b., calculer $\left(\alpha'\right)$ à $10^{-4}$ près. \item Établir que $0 \leqslant \displaystyle\int_{\alpha}^{\alpha'} f(x)\:\text{d}x \leqslant \left(\alpha' - \alpha \right)f\left(\alpha'\right)$. \item En déduire une valeur approchée de $I(\alpha)$ à $10-{-3}$ près. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% fin Amiens A1 juin 1994 \newpage %%%%%%%%% Amiens B juin 1994 \hypertarget{AmiensB}{} \lhead{\small Baccalauréat (B)} \lfoot{\small{Amiens-Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat (B) Amiens\footnote{Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles} juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$ par : \[f\: x \longmapsto x^2 \ln x.\] Le plan P est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques = 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées). La courbe représentative de $f$ dans P est notée $\mathcal{C}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. Étudier son signe. \item En déduire le sens de variations de $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$. Marquer le point A de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1, puis le point B de coordonnées $(\text{e}~:~0)$. \end{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I = \displaystyle \int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. En déduire la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$. En donner une valeur approchée à 0,01 près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip À \og La Ferme de la Poule Pondeuse \fg, on produit des \oe{}ufs de trois tailles différentes : des petits, dans la proportion de 20\,\% ; des moyens, dans la proportion de 50\,\% ; des gros, dans la proportion de 30\,\%. Ils sont de deux qualités : \textbf{ordinaire}, étiquetés sous la dénomination \og \oe{}ufs frais \fg ; \textbf{supérieure}, étiquetés sous la dénomination \og \oe{}ufs extra \fg. On a remarqué que : 80\,\% des petits \oe{}ufs sont de qualité ordinaire ; 50\,\% des \oe{}ufs moyens sont de qualité ordinaire ; 20\,\% des gros \oe{}ufs sont de qualité ordinaire. Dans tout le problème, on suppose que le nombre d' \oe{}ufs est suffisamment grand pour que le fait de prélever un \oe{}uf ne modifie pas ces proportions. \medskip \begin{enumerate} \item On prend un \oe{}{}uf au hasard. Quelle est la probabilité pour qu'il soit : \begin{enumerate} \item de petite taille et de qualité ordinaire ? \item de qualité ordinaire ? \item de qualité supérieure? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité pour un \oe{}uf d'être gros et de qualité supérieure est égale à $0,24$. \item On remplit au hasard une boîte de douze \oe{}ufs. On suppose les choix des \oe{}ufs indépendants les uns des autres. Quelle est la probabilité pour que cette boîte contienne exactement cinq \oe{}ufs de la catégorie \og gros \oe{}ufs extra \fg ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On se propose d'étudier le taux d'équipement en \textbf{lave-linge des ménages français}. On a recueilli les informations consignées dans le tableau ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années $x_i$ &1955 &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985\\ \hline Taux en\,\% $y_i$ &10 &25 &41 &60 &69 &80 &86 \\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans les questions suivantes, pour simplifier les calculs, on pose: \[t_i = \dfrac{x_i - 1955}{5}\] où $t_i $représente le \og rang \fg{} de l'année d'observation. On obtient ainsi : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $y_i$ &10 &25 &41 &60 &69 &80 &86 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A - Question préliminaire} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal (unités : 2~cm pour 1~unité, sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 10\,\%, sur l'axe des ordonnées). Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(t_i~;~y_i\right)$. Calculer les coordonnées du point moyen G et le placer sur la figure précédente. Au vu du schéma, on décide d'effectuer deux ajustements successifs, en vue de faire des prévisions. (\emph{Les questions B et C sont indépendantes}.) \bigskip \textbf{Partie B - Ajustement linéaire} \medskip \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée à $0,01$ près par défaut du c\oe{}fficient de corrélation linéaire de la série $\left(t_i~;~y_i\right)$. \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $t$, par la méthode des moindres carrés. La représenter sur la figure précédente. \item En utilisant cette représentation graphique, indiquer à partir de quelle année, au moins 95\,\% des ménages seront équipés en lave-linge. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Ajustement logistique} \medskip Soit la fonction $f$, définie pour $t$ réel positif ou nul par : \[f(t) = \dfrac{100}{1 + k\text{e}^{at}},\] où $k$ et $a$ sont des constantes que l'on va déterminer. \medskip \begin{enumerate} \item On impose que la courbe représentative de $f$ passe par le point M de coordonnées (0~;~10) et le point N de coordonnées (5, 80). Traduire ces deux conditions et en déduire les valeurs exactes de $k$ et $a$, puis la valeur décimale approchée de $a$ à 0,1 près par excès. \item Soit la fonction $f$ définie sur $\R_{+}$ par: \[f(t) = \dfrac{100}{1 + 9\text{e}^{ 0,7t}}.\] \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. \item Calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ Déterminer son signe, et en déduire le tableau de variation de $f$. Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx} {\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $f(t)$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip (On indiquera les valeurs décimales approchées de $f(t)$ à une unité près.) Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur la figure précédente. \item Résoudre l'inéquation: \[f(t) \geqslant 95.\] Donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amiens B juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%% Besançon A1 et B juin 1994 \hypertarget{Besancon}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Besançon-Dijon-Grenoble-Lyon-Metz-\\Nancy-Reims-Strasbourg}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Besançon\footnote{Dijon-Grenoble-Lyon-Metz-Nancy-Reims-Strasbourg} juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice } \hfill 5 points} \medskip Au cours d'une quinzaine commerciale, un magasin offre un billet de loterie à tout acheteur d'un appareil électroménager. Les $500$ billets sont numérotés de $001$ à $500$ et ils sont tous distribués. À la fin de la quinzaine, on effectue un tirage au sort, à l'issue duquel: le numéro 397 gagne \np{10000}~F ; les 4 autres numéros se terminant par $97$ gagnent chacun \np{1000}~F ; les $45$ autres numéros se terminant par $7$ gagnent chacun $100$~F. Il y a ainsi en tout $50$ numéros gagnants. Après l'achat d'un appareil, une personne tire un billet au hasard. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par X la variable aléatoire qui, au numéro de ce billet, associe le gain correspondant. \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs que peut prendre X. \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer son espérance mathématique E(X). \end{enumerate} \item On considère les deux évènements : $A$ = [le numéro obtenu est gagnant] et $B$ = [le deuxième chiffre du numéro est 9]. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$. \item Les évènements A et B sont-ils indépendants ? \end{enumerate} \item Le magasin annonce dans sa publicité : \og Pour doubler vos chances d'avoir au moins un billet gagnant, achetez deux appareils ! \fg. Une personne achète deux appareils et tire deux billets au hasard. \begin{enumerate} \item On considère l'évènement $C$ = [aucun des deux numéros n'est gagnant]. Calculer la probabilité $p(C)$. \item En déduire la probabilité pour qu'un numéro au moins soit gagnant. Cette annonce publicitaire est-elle correcte ? Justifier la réponse par le calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Série B} \medskip Une société investit de manière continue en publicité. Le budget publicitaire (BP) et le chiffre d'affaires (CA) sont connus pour 10 mois consécutifs. Ils figurent dans le tableau suivant où l'unité est le millier de francs. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l r *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois&$i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline BP &$x_i$ &10 &12 &15 &13 &10 & 9 &8 &6 &8 &7\\ \hline CA &$z_i$ &45 &79 &99 &115&109&80 &70 &60 &37 &61\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près. Que peut-on en conclure ? \item En fait, il faut prendre en compte le temps nécessaire à la publicité pour produire son effet. Ce temps est estimé à un mois. On considère donc désormais la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$, où, pour $ 1 \leqslant i \leqslant 9,\:y_i = z_i+1$. \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l r *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &$i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline BP &$x_i$&10 &12 &15 &13 &10 &9 &8 &6 &8 \\ \hline CA&$y_i$&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. Donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près. \item Déterminer l'équation $y = mx + p$ de la droite de régression de $y$ en $x$. \item En déduire une estimation du chiffre d'affaires $z_{11} - y_{10}$ du onzième mois. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip La courbe $C$ représentée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = a + bx\text{e}^{-x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. La droite T est la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse zéro. \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(3.2,2) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-1.5)(3.2,1.95) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.368) \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.55,1.368)(1.5,1.368) \psplot{-1.1}{0.8}{x 1 add} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{3}{x 2.71828 x exp div 1 add} \uput[u](3,0){$x$} \uput[u](-1.4,0){$x'$} \uput[r](0,1.9){$y$} \uput[r](0,-1.4){$y'$} \uput[u](1.6,2.6){T}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](2.9,1.15){$C$} \end{pspicture*} \end{center} \medskip Reproduire l'allure de la courbe $C$ sur la copie (repère orthonormal : unité graphique : 2 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Lecture graphique. \begin{enumerate} \item Lire sur le graphique proposé ci-dessus $f(0)$ et $f'(0)$. \item En déduire la valeur de $a$ et celle de $b$. \end{enumerate} Dans toute la suite, on prend $f(x) = 1 + x\text{e}^{- x}$. \item Variations de $f$ \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Déterminer la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; interpréter graphiquement le résultat obtenu. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Étude du point d'intersection de $C$ avec l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule telle que $- 1 < \alpha < - \frac{1}{2}$. \item On pose $\alpha' = - 0,56$. Calculer $f(\alpha')$ à la précision $10^{-4}$. Prouver que $\alpha < \alpha'$ et que $\alpha' - \alpha < 10^{- 2}$ (on pourra calculer $f(- 0,57)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Besançon juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%% Bordeaux A1 juin 1994 \hypertarget{BordeauxA1}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1)} \lfoot{\small{Bordeaux-Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-\\Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Bordeaux\footnote{Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours} juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} \hfill 5 points} \medskip Les questions 1. et 2. peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme de fractions. À la gare A, 16 voyageurs ont pris chacun un billet dont : 7 pour la gare B (prix du billet 50 francs) 5 pour la gare C (prix du billet 60 francs) 4 pour la gare D (prix du billet 75 francs). \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un de ces voyageurs. Soit X la variable aléatoire associant à chaque voyageur le prix de son billet (en francs). \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique de X. \end{enumerate} \item On choisit au hasard trois de ces voyageurs. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que ces trois voyageurs aient trois destinations différentes. \item Calculer la probabilité pour qu'au moins un des voyageurs ait un billet pour la gare B. \item Quelle est la probabilité pour que cette destination soit B, sachant que les trois voyageurs ont la même destination. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 15 points} \medskip Les trois parties sont largement indépendantes. \medskip Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm). Dans ce repère, on a tracé (ci-après) la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = \dfrac{x^3+ 3x}{x^2 + 1}.\] On y trouvera également la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ et la droite $d$ parallèle à l'axe des ordonnées $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$. Cette droite $d$ coupe respectivement l'axe des abscisses, $\Delta$ et $\Gamma$ aux points A, B et C de même abscisse appartenant à l'intervalle [1~;~10]. La réunion de la partie hachurée P et de la partie tramée représente à l'échelle 1/50\up{e} la voile d'un bateau. Les parties P et T exigent des toiles différentes, mais doivent avoir la même aire. Le but du problème est de choisir le nombre $\alpha$ de telle sorte que les aires des parties P et T soient égales. \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(3.5,2.8) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(3.5,2.8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](1.9,0){$\alpha$} \psline(2.8,2.8)\psline(1.9,0)(1.9,1.9) \rput(1,0.6){Partie T} \uput[ur](1.9,0){A} \uput[dr](1.9,1.9){B}\uput[dr](1.9,2.8){C} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.9}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div} \psline(1.9,1.9)(0,0)} \uput[r](2.7,2.7){$\Delta$}\uput[l](1,2){$\Gamma$} \rput(3,0.2){(Échelle 0,5)} \rput(1,1.7){Partie P} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie 1} \medskip \textbf{Étude du bord supérieur de la voile} \medskip Aucune représentation graphique n'est demandée pour cette partie 1. \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ positif, $g(x) = x + \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. \item \begin{enumerate} \item En déduire que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\Gamma$. \item En déduire également la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \textbf{Calcul des aires de P et de T} Le nombre $\alpha$ est celui précisé dans le préambule. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $I = \displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\:\text{d}x$. On exprimera le résultat en fonction du nombre positif $\alpha$. \item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et la droite d équation $x = \alpha$. On pourra utiliser le résultat établi en 1. de la partie 1. \item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ de la partie tramée T, puis en déduire l'aire de la partie hachurée P. \end{enumerate} \textbf{Partie 3} \medskip \textbf{Détermination du nombre } \boldmath $\alpha$ \unboldmath Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) - \dfrac{x^2}{2}\] (ln désigne la fonction logarithme népérien). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée, de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $x (1 - x)$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ (on admettra que la limite en $+ \infty$ de $f$ est $- \infty$). On ne demande pas de représenter $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que sur l'intervalle [1~;~10] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \item Démontrer l'égalité $\ln \left(\alpha^2 + 1\right) = \dfrac{\alpha^2}{2}$. En déduire que, pour cette valeur $\alpha$, les aires des parties P et T sont égales et indiquer la solution du problème posé en préambule. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Bordeaux A1 juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Bordeaux B juin 1994 \hypertarget{BordeauxB}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (B)} \lfoot{\small{Bordeaux-Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-\\Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat B Bordeaux\footnote{Caen-Clermont-Ferrand-Limoges-Nantes-Orléans-Poitiers-Rennes-Tours} juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l} x - 3y &=&2\ln 2\\ x + y &=&4\ln 2 \end{array} \right.$ \item On pose $I = \displaystyle\int_0^{\ln 16} \dfrac{\text{e}^x + 3}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_0^{\ln 16} \dfrac{1}{\text{e}^x + 4}\:\text{d}x$. Calculer $I - 3J$ et $I + J$. En déduire les valeurs exactes de $I$ et $J$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution des surfaces cultivées en avoine (en milliers d'hectares) en France de 1970 à 1990. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1970 &1975 &1980 &1985 &1990\\ \hline Rang de l'année $x_i$&0 &5 &10 &15 &20\\ \hline Superficie en milliers d'ha $y_i$&805 &629,7 &534,3 &431 &218\\ \hline \multicolumn{6}{r}{Source : \emph{Quid 1993}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : en abscisse 0,5~cm pour 1~unité, en ordonnée 2~cm pour 100~milliers d'hectares). \item Le détail des calculs n'est pas demandé. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage, la variance de $x$, la variance de $y$ et la covariance $\sigma_{xy}$. \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. En donner l'arrondi au millième. Un ajustement affine est-il justifié ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left(2x^2 - 3x\right) \text{e}^x\] et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. (On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(x^n \text{e}^x\right) = 0$ pour tout entier naturel $n$.) En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses. \item Donner l'équation de la tangente T à C en $0$. \end{enumerate} \item Construire dans le repère \Oij{} la droite T et la courbe C. \item Soit $m$ un réel. Discuter graphiquement l'existence, le nombre et le signe des solutions de l'équation : \[\left(2x^2 - 3 x\right)\text{e}^x = m.\] \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \geqslant 0$. \item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par : \[F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x.\] Déterminer $a,\: b$ et $c$ réels tels que $F$ soit une primitive de $f$ sur $\R$. \item Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équations $x = - 3$ et $x = 0$. On donnera la valeur exacte et l'arrondi au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Bordeaux juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 1994 \hypertarget{Antilles}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Antilles--Guyane juin 1994~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pourtour $x$ élément de $\R - \{- 2 \:;\: 0 \:;\: 2\}$, on a : \[\dfrac{4}{x\left(x^2 - 4\right)} = - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2(x + 2)} + \dfrac{1}{2(x - 2)}.\] \item Trouver une primitive sur $]2~;~+ \infty[$ de la fonction numérique $f$ définie par : \[f(x) = \dfrac{4}{4\left(x^2 - 4\right)}.\] \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer : \[\displaystyle\int_3^4 \dfrac{8x\ln x}{\left(x^2 - 4\right)^2}\:\text{d}x. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \emph{Les questions 1. et 2. sont indépendantes} \emph{On donnera les résultats sous forme décimale arrondie au millième} \medskip Voici quelques vers d'un poème de Pablo Neruda : \emph{Parmi les plumes qui effraient, parmi les nuits\\ Parmi les magnolias, parmi les télégrammes,\\ Parmi le vent du sud et l'ouest marin,\\ te voici qui viens en volant.} On recopie chacun des 29 mots de cette strophe (\og l' \fg{} compte pour un mot) sur un carton que l'on place dans une urne. \medskip \begin{enumerate} \item On tire simultanément et au hasard trois cartons parmi les 29. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'obtenir ensemble les trois mots: \og parmi, les, plumes \og. \item Quelle est la probabilité de tirer au moins une fois le mot \og parmi \fg{} ? \end{enumerate} \item On tire maintenant un seul carton de l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir le mot \og parmi \fg{} ? On répète l'expérience 3 fois avec remise du carton tiré dans l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois le mot \og parmi \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm. La courbe $\Gamma$ ci-dessous représente la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~6]$ par : \[f(x) = \dfrac{2 \ln x - 1}{x}.\] \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-3)(6.5,1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-3)(6.5,1) \psaxes(0,0)(-0.9,-3)(6.5,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.635}{6}{x ln 2 mul 1 sub x div} \rput(3.5,-2){(échelle 0,5)}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} % \begin{enumerate} \item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de $\Gamma$ et de l'axe des abscisses. \item Étudier graphiquement sur l'intervalle ]0~;~6] le signe de $f(x)$. \item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~6] par : \[F(x) = (\ln x)^2 - \ln x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule pour $x = 1$. \item Donner l'aire en cm$^2$ du domaine plan limité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$. On en donnera une valeur arrondie à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction $F$ définie au A- 3. On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $F$ dans un repère orthonormal \Oij{ ayant pour unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $F$ en $0$. \item En utilisant la partie A, donner le sens de variation de $F$ puis dresser son tableau de variation. \item Après avoir factorisé $F(x)$, résoudre l'équation : $F(x) = 0$. Interpréter graphiquement le résultat. \item Établir une équation de la tangente (T) à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $1$. \item Calculer les valeurs approchées à $0,1$ près de $F(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ : $0,25 \:;\: 0,5 \:;\: \sqrt{\text{e}} \:;\: \text{e} \:;\: 4 \:;\: 6$. \item Tracer la tangente (T) puis la courbe $(C)$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \textbf{Calcul d'aire} \medskip 1 1 ( e-x ) \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de $I = ]0~;~ + \infty[,$\: \[\dfrac{1}{3\left(\text{e}^x - 1\right)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\text{e}^{- x}}{1 - \text{e}^{- x}} \right).\] En déduire une primitive de la fonction définie par $f(x) - 2x$, sur $I$. \item \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel de l'intervalle $J = \left[\dfrac{3}{2}~; \text{e}^2\right]$. Montrer que l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par les deux droites d'équations $x = \ln \dfrac{3}{2}$ et $x = \ln \lambda$, la droite D et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à : \[\dfrac{25}{3}\ \left[3\left(1 - \dfrac{1}{\lambda}\right)\right].\] \item Calculer $\lambda$ pour que cette aire soit égale à $\dfrac{25}{6}$. (On donnera la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur décimale apprrochée à $10^{-2}$ près par défaut.) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane A1 et B juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers A1 juin 1994 \hypertarget{Centres etrangersA1}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1)} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Centres étrangers~\decofourright\\ juin 1994}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[u_{1} = \dfrac{3}{2}\quad \text{et, pour tout }\:n \geqslant 1,\: u_{n+ 1} = \dfrac{3 + u_{n}}{2}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier vos réponses. \item Pour tout $n \geqslant 1$, on pose $v_{n} = 3 - u_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ ainsi définie est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ . \item En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une urne A contient trois boules : 1 rouge, 1 bleue et 1 noire. Une urne B contient trois boules: 1 rouge et 2 noires. Une urne C contient trois boules: 2 bleues et 1 noire. On tire une boule, au hasard, de chaque urne. On suppose que, dans chaque urne, les tirages sont équiprobables. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité P0 de n'obtenir aucune boule noire? \item Quelle est la probabilité P1 d'obtenir exactement 1 boule noire? \item Quelle est la probabilité P2 d'obtenir exactement 2 boules noires ? \item Quelle est la probabilité P3 d'obtenir 3 boules noires? \end{enumerate} \item Si on tire exactement 1 boule noire, on perd 1 point. Si on tire 0 ou 2 boules noires, on gagne 0 point. Si on tire 3 boules noires, on gagne 3 points. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui à tout tirage associe le gain réalisé. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. La règle du jeu est-elle favorable au joueur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip La courbe $(C)$ donnée ci-après représente dans le repère orthogonal \Oij{} la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right) \text{e}^{2x} + 8 (1 - x) \text{e}^x - 1.\] (unités graphiques: 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.) \medskip \begin{enumerate} \item Par une lecture graphique: \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs de la dérivée $f'(x)$ pour $x = 0$ et $x = \ln 4$. \item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x = - 1$ et pour $x = 1$. \item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement, d'amplitude $10^{- 1}$, du nombre $x_0$ solution de l' équation $f(x) = 0$. \end{enumerate} \item On complète, par le calcul, l'étude de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on remarquera que $x\text{e}^{2x} = x\text{e}^x\text{e}^x$). En déduire que la courbe $(C)$ admet une asymptote que l'on précisera. \item Montrer que, pour tout $x$ non nul, \[f(x) = x\text{e}^{2x} \left(1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{8}{x\text{e}^x} - \dfrac{8}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{x\text{e}^{2x}} \right).\] En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item Le but de cette partie est de déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré sur le graphique. \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x} (x - 1).\] Calculer $g'(x)$. En déduire $\displaystyle\int_{- 2}^0 \left(x - \dfrac{1}{2}\right) \text{e}^{2x}\:\text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(-6,-1)(2,9) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-1)(2,9) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dr](0,0){O}\psline[linestyle=dashed](1.38,0)(1.38,0.8) \uput[d](1.38,0){$\ln 4$} \psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{-6}{1.82}{x 0.5 sub 2.71828 x 2 mul exp mul 1 x sub 8 mul 2.71828 x exp mul add 1 sub} \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.88,0.8)(1.88,0.8) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-0.5,6.5)(0.5,6.5) \psline[linestyle=dashed](-6,-1)(2,-1) \pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{-2}{0}{x 0.5 sub 2.71828 x 2 mul exp mul 1 x sub 8 mul 2.71828 x exp mul add 1 sub} \psline(0,0)(-2,0)} \psline(-2,0)(-2,2.2) \uput[l](1.7,8){$(C)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers A1 juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers B juin 1994 \hypertarget{Centres etrangersB}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (B)} \lfoot{\small{Centres étrangers B}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers B juin 1994~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Une fonction $f$ est définie sur $\left]- 1~;~\dfrac{1}{2}\right[$ par \[f(x) = \ln \left(ax^2 + bx + c\right)\] avec $a, b, c$ réels.On suppose que son tableau de variations est le suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,4) \psframe(11,4) \psline(0,3)(11,3)\psline(0,3.5)(11,3.5) \psline(1,0)(1,4)\psline(1.1,0)(1.1,3)\psline(1.2,0)(1.2,3) \psline(10.9,0)(10.9,3)\psline(11,0)(11,3) \uput[u](0.5,3.5){$x$} \uput[u](1.2,3.5){$- 1$} \uput[u](3,3.4){$- \frac{1}{2}$} \uput[u](7,3.5){$0$} \uput[u](9,3.4){$\frac{1}{4}$} \uput[u](10.8,3.4){$\frac{1}{2}$} \uput[u](0.5,3){$f'(x)$}\uput[u](2,3){$+$}\uput[u](6,3){$0$}\uput[u](6,3){$-$} \psline{->}(1.5,0.5)(5.5,2.5) \psline{->}(6.5,2.5)(10.5,0.5) \rput(3,1.3){$0$}\rput(7,2.3){$0$} \rput(9,1.3){$\ln \frac{5}{8}$} \rput(0.5,1.5){$f(x)$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item En utilisant les données numériques du tableau, déterminer $a, b$ et $c$. \item Calculer $f'(x)$ et résoudre l'équation $f'(x) = 0$. \item Vérifier que le sens de variation de la fonction $f$ obtenue est bien celui indiqué dans le tableau. Donner la valeur exacte du maximum de $f$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip \emph{Toutes les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.} \medskip Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules rouges. Un joueur extrait simultanément trois boules de l'urne. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. \medskip \begin{enumerate} \item À l'issue d'un tirage de trois boules : si aucune boule n'est rouge, le joueur perd $10$~francs ; si une seule boule est rouge, le joueur gagne $5$~francs ; si deux boules sont rouges, le joueur gagne $20$~francs. X est la variable aléatoire qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue d'un tirage. Donner la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique E(X). \item Le joueur joue deux fois de suite selon les mêmes règles en remettant dans l'urne, après chaque tirage, les trois boules extraites. Y est la variable aléatoire qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue des deux tirages. Donner les valeurs possibles pour Y. Déterminer la probabilité que le joueur gagne exactement $10$~francs à l'issue des deux parties. (On pourra s'aider d'un arbre.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2}\text{e}^{2x}\] et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 8~cm en abscisse, 1~cm en ordonnée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. En déduire une asymptote à la courbe représentative C de $f$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra vérifier que $f(x) = 4 \left(1 - \dfrac{1}{2x}\right) \dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x > 0$ : \[f'(x) = \dfrac{2 \left(2x^2 - 2 x + 1\right)}{x^3}\text{e}^{2x}.\] \item Étudier le sens de variation de $f$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ et trouver le signe de $f(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Écrire une équation de la tangente T à C au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$. \item Tracer C et T. \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}.\] Calculer $g'(x)$. En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire A de la partie du plan limitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. On donnera la valeur exacte de A et sa valeur décimale approchée à $0,01$ près par excès. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers B juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 1994 \hypertarget{Asie}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Asie juin 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Un jeu consiste à lancer simultanément deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6 (un dé vert et un dé rouge), et à lire les points marqués sur chacune des faces supérieures. Chaque face a la m\^eme probabilité d'apparaître. Les résultats sont donnés sous la forme d'un couple, le premier nombre correspondant aux points marqués sur le dé vert. Par exemple : (2~;~5) signifie 2 sur la face supérieure du dé vert et 5 sur celle du dé rouge. La somme $S$ des points marqués est alors 7. \medskip \begin{enumerate} \item Combien y a-t-il de couples possibles ? \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p_1$ pour que la somme S des points marqués soit un multiple de 5 ? \item Quelle est la probabilité $p_2$ pour que la somme S des points marqués soit un multiple de 2 qui ne soit pas multiple de 5 ? \end{enumerate} \item Un joueur gagne 3~F si la somme S est un multiple de 5 et 2~F si S est un nombre pair qui n'est pas multiple de 5. Il perd 4~F dans les autres cas. On appelle $X$ la variable aléatoire représentant en francs la somme gagnée ou perdue ($X > a$ si le joueur gagne, $X < a$ si celui-ci perd). Déterminer la loi de probabilité de $X$ et l'espérance mathématique E($X$). Le jeu est-il avantageux pour le joueur ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 4 points} \medskip Le tableau suivant représente l'indice des prix à la consommation. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $x$ & 1970 &1972 &1974 &1976 &1978 &1980 &1982 &1983 &1984\\ \hline Indice $y$ & 100,0 &112,0 &136,7 &167,5 &199,8 &251,8 &316,1 &345,5 &371,8\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\emph{(Source: INSEE.)}} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le tableau par un nuage de points dans un repère orthogonal (on prendra 1~cm pour représenter 2~années sur l'axe des abscisses et 1~cm pour représenter 20~points d'indice sur l'axe des ordonnées). \item Calculer les coordonnées du point moyen à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire à $10^{-3}$ près. L'interpréter. \item Rechercher, en utilisant la méthode des moindres carrés, une droite d'ajustement linéaire $y = ax + b$. Tracer cette droite dans le repère précédent (aucun tableau de calcul n'est exigé ; les coefficients $a$ et $b$ seront donnés à $10^{-1}$ près mais tous les calculs intermédiaires devront être effectués avec la précision de la calculatrice). \item Quel indice aurait-on pu prévoir pour 1988 avec cet ajustement ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~ 1]$ par : \[f(x) = (5x - 2) \text{e}^x -3 x - 2.\] Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unité graphique 2~cm sur (O$x$) et 1~cm sur (O$y$). C est la courbe représentative de $f$ dans ce repère. Le but de ce problème est l'étude de $f$ et le calcul d'une aire liée à $f$. \bigskip \textbf{PARTIE A} \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~ 1]$ par \[g(x) = (5 x + 3)\text{e}^x - 3\] et représentée ci-dessous par la courbe $\Gamma$. \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-6,-5)(2.25,7) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-5)(2.25,7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,1) \uput[d](1,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \psline[linestyle=dashed](-1.6,0)(-1.6,-4) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-2.6,-4)(-0.6,-4) \uput[ul](2.25,-5){(échelle 0,5)} \uput[u](-1.6,0){$- \frac{8}{5}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{2}{5 x mul 3 add 2.71828 x exp mul 3 sub} \end{pspicture*} \end{center} Utiliser le graphique pour : \medskip \begin{enumerate} \item Donner le signe de $g(x)$. \item Donner la limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $(- \infty)$ sachant que la droite d'équation $y = - 3$ est une asymptote à la courbe. \item Construire le tableau de variation de $g$ en précisant la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-2}$ près du minimum. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \textbf{Étude de }\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = g(x)$. En déduire le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$. \item Déterminer la limite de $f$ en $(- \infty)$ et dresser le tableau de variation de $f$. \item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = - 3 x - 2$ est une asymptote à la courbe C lorsque $x$ tend vers $(- \infty)$. \item Étudier les positions relatives de C et de $\Delta$. \item Tracer, dans le repère \Oij{} la droite $\Delta$ et la courbe C. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \textbf{Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[I = \displaystyle\int_{-3}^{-2} (5 x - 2) \text{e}^x\text{d}x.\] \item En déduire l'aire A en cm$^2$ du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = - 3$ et $x = - 2$. Le résultat sera donné à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Asie A1 et B juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie A1 juin 1994 \hypertarget{PolynesieA1}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Polynésie~\decofourright\\juin 1994 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip On veut ranger trois boules distinctes numérotées de 1 à 3 dans deux cases A et B. On suppose que chacune des cases peut contenir de zéro à trois boules. La place des boules dans les cases est considérée comme sans importance. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'il y a $2^3$ rangements possibles. \item On suppose que tous les rangements ont la même probabilité de se réaliser. Calculer les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] E : \og toutes les boules sont dans la case A \fg \item[ ] F : \og il n'y a pas de boule dans la case A \fg \item[ ] G : \og A contient la boule portant le numéro 2 \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout rangement associe le nombre de boules contenues dans la case A. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{N. B.} On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = x - \text{e}^x\] et $C_{1}$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$. Étudier les variations de $g$, déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$ (on pourra mettre $x$ en facteur) puis déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$. Dresser le tableau de variation de $g$. \item Montrer que la droite D d'équation $y = x$ est asymptote à $C_{1}$ et préciser la position de $C_{1}$ par rapport à D. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère maintenant la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{x^2}{2} - \text{e}^x.\] Soit $C_{2}$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = g(x)$. Déduire de la partie A le signe de $f'(x), x \in \R$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ (on pourra mettre $x^2$ en facteur), puis déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. Dresser le tableau de variation de $f$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique dans $\R$, cette solution appartenant à $[- 1~;~0]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x) - g(x),\: x \in \R$. En déduire la position de $C_{2}$ par rapport à $C_{1}$· \item Construire D, $C_{1}$ et $C_{2}$ dans le repère \Oij. \item Déterminer en cm$^2$ l'aire de la portion du plan comprise entre les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie A1 juin 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie B juin 1994 \hypertarget{PolynesieB}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (B) } \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat B Polynésie~\decofourright\\juin 1994 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous présente la répartition des ménages en France en 1982 par catégories socio-professionnelle et selon le nombre d'enfants. La catégorie socio-professionnelle (C.S.P.) est celle de la personne de référence. Les nombres de ménages sont donnés en milliers. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\scripsize}m{3cm}|}*{7}{>{\centering \arraybackslash}X}|c} \multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{7}{c}{Nombre d'enfants}&\\ \cline{2-8} \multicolumn{1}{c|}{~} &0 &1 &2 &3 &4 &5 &$> 5$&TOTAL\\ \cline{1-8} Agriculteurs exploitants &480 &146 &119 &52 &14 &4 &1&816\\ Artisans, commerçants, chefs d'entreprise & 634 &285 &232 &72 &15 &4 &2&1244\\ Cadres, professions intellectuelles supérieures &737 &330 &323 &102 &18 &3 &1&\np{1514}\\ Professions intermédiaires &\np{1259} &608 &504 &136 &21 &4 &1&\np{2533}\\ Employés (y compris personnels des services)&\np{1307} &468 &315 &99 &22 &6 &3&\np{2220}\\ Ouvriers (y compris ouvriers agricoles)&\np{2156} &\np{1184} &930 &423 &137 &54 &36&\np{4920}\\ Retraités &\np{4822} &77 &18 &5 &2 &1 &1&\np{4926}\\ Autres personnes sans activité professionnelle &\np{1177} &119 &65 &32 &14 &6 &4&\np{1417}\\ \cline{1-8} \multicolumn{1}{c}{TOTAL} &\np{12572} &\np{3217} &\np{2506} &921 &243 &82 &49&\np{19590}\\ \multicolumn{9}{r}{\emph{Source: recensement de 1982 - Sondage au 1/20}}\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item D'après ce tableau, quelles sont les probabilités (arrondies à $10^{-2}$ près) \begin{enumerate} \item qu'un ménage dont la personne de référence est dans la catégorie Ouvriers ait 2 enfants ? \item qu'un ménage qui a 2 enfants soit dans la catégorie Ouvriers ? \item qu'un ménage qui a 2 enfants ne soit pas dans la catégorie Ouvriers? \item qu'un ménage soit dans la catégorie Ouvriers et ait 2 enfants ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les fréquences marginales du caractère \og Nombre d'enfants \fg{} (arrondies à $10^{-3}$ près). \item Quelle est la probabilité qu'un ménage pris au hasard ait au minimum 2 enfants? \end{enumerate} \item On interroge 10 ménages sur leur catégorie socio-professionnelle et le nombre d'enfants qu'ils ont. Les réponses données par chacun de ces ménages sont supposées indépendantes de celles des autres. La probabilité de l'évènement \og Ouvrier sans enfant \fg{} est : $p = 0,11$. Quelle est la probabilité (arrondie à $10^{-2}$ près) que 3 des 10 ménages interrogés soient dans la catégorie Ouvriers et n'aient pas d'enfants ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Le tableau donne le nombre de salariés de l'un des constructeurs français d'automobiles, selon les années : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année&Rang de l'année $x_i$& Nombre de salariés $y_i$\\ \hline 1986& 1 &\np{196731}\\ \hline 1987& 2 &\np{188936}\\ \hline 1988& 3 &\np{178665}\\ \hline 1989& 4 &\np{174573}\\ \hline 1990& 5 &\np{157378}\\ \hline 1991& 6 &\np{147185}\\ \hline \multicolumn{3}{r}{\scriptsize \emph{Sources : Les Balises de l'Express, M 4326 ; Hors série \no 2}} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique ci-dessus. Le plan est rapporté à un repère orthogonal, avec les indications suivantes : \begin{itemize} \item l'unité, sur l'axe des abscisses, est 2 cm pour 1 année. \item l'origine, sur l'axe des ordonnées, correspondant à \np{147000} salariés. \item l'unité, sur l'axe des ordonnées, est 0,5 cm pour \np{1000} salariés. \end{itemize} \item Le détail des calculs n'est pas demandé. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire. \item Écrire une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés. La tracer sur la figure précédente. \end{enumerate} \item En supposant que l'évolution continue de façon analogue, estimer le nombre de salariés en 1993. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = x + (x + 2)\text{e}^{-x}.\] Le plan P est rapporté à un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm). On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans P. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $- \infty$. \item Montrer qu'on peut écrire : \[f(x) = x + \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x}.\] Calculer la limite de $d(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x}$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et une conséquence graphique pour $C$. \item Soit $D$ la droite d'équation $y = x$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $D$ et $C$. Étudier, suivant les valeurs de $x$, la position de $C$ par rapport à $D$. Représenter $D$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, puis $f''(x)$, où $f'$ et $f''$ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de $f$. $\left(\text{‘On vérifiera que}\: f''(x) = x\text{e}^{- x}\right)$. \item Recopier, puis compléter, à l'aide de tous les résultats précédents, le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline $s$&$- \infty$\hfill $0$ \hfill $+ \infty$\\ \hline Signe de $f''(x)$&\\ \hline Sens de variation de $f'$&\\ \hline Signe de $f'(x)$&\\ \hline Variation de $f$&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Représenter, dans le plan P, le point A de C d'abscisse $0$ et la tangente à $C$ en ce point. Tracer la courbe $C$. \end{enumerate} \item Soit l'équation : $f(x) = 0$ \quad (E). Calculer $f(-2)$ et $f(-1)$. Justifier que (E) admet une racine unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~- 1]$. \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer: \[I = \displaystyle\int_{-2}^0 (x + 2) \text{e}^{- x}\: \text{d}x.\] Donner une interprétation graphique du résultat. \end{enumerate} \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane B septembre 1994 \hypertarget{Antillessept}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (B)} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat B Antilles--Guyane ~\decofourright\\septembre 1994 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} ayant comme unités graphiques 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. La courbe tracée ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2]. \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(2.2,4.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2.2,4.2) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3.901)(0,3.901)\uput[l](0,3.901){$5 - \ln 3$} \psline[linestyle=dashed](0,1.307)(1,1.307)\uput[l](0,1.307){$2 - \ln 2$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul 1 add x 1 add ln sub} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul 1 add x 1 add ln sub} \psline(1,0)(0,0)} \end{pspicture} \end{center} On sait que sur l'intervalle [0~;~2], on a : \[f(x) = x^2 + 1 - \ln (ax + b)\] où $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant les points A et B placés sur le graphique montrer que les réels $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations : \[\left\{\begin{array}{l c l} a + b&=&2\\ 2a + b&=&3. \end{array}\right.\] \item Déterminer alors $f(x)$. \end{enumerate} \item Au moyen d'une intégration par parties calculer l'intégrale \[\int_{0}^1 \ln (x + 1)\:\text{d}x.\] Indication : on posera $u'(x) = 1$ et on remarquera que pour $x \neq - 1$, on a : \[\dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}.\] \item Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ du domaine hachuré sur la figure. Exprimer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ à l'aide notamment d'un logarithme. En donner ensuite une valeur approchée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 5 points} \medskip On dispose de deux urnes U et V et d'un jeu de 32 cartes ; l'urne U contient trois boules blanches et cinq boules noires, indiscernables au toucher ; l'urne V contient six boules blanches et quatre boules noires, indiscernables au toucher. \emph{Les questions $1$. et $2$. sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item Une première expérience consiste à tirer une boule de l'urne U puis une boule de l'urne V. Calculer la probabilité de tirer : \begin{enumerate} \item deux boules noires ; \item deux boules de couleurs différentes. \end{enumerate} \item On réalise maintenant une deuxième expérience consistant en le tirage d'une carte du jeu suivi du tirage d'une boule dans l'une des urnes. Une carte est une figure si c'est un ROI, une DAME ou un VALET. Il y en a douze. On tire une carte du jeu ; si cette carte est une figure, on tire une boule de l'urne U. Si la carte n'est pas une figure alors on tire une boule de l'urne V. On note $F$ l'évènement \og la boule provient de l'urne U \fg, $G$ l'évènement \og la boule provient de l'urne V \fg{} et $B$ l'évènement \og la boule tirée est blanche \fg. \begin{enumerate} \item Montrer que $p(B/F) = \dfrac{3}{8}$. En déduire $p(B \cap F)$. \item Calculer de m\^eme $p(B \cap G)$. \item Calculer la probabilité d'obtenir une boule blanche. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie par : \[f(x) = \ln \left(x^2 + 4x + 3\right).\] On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en $- 1,\:-3,\:+ \infty$ et $- \infty$. \item Calculer la fonction dérivée de $f$. \item Déterminer le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. \item Construire $\mathcal{C}_f$. \item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses. \item Soit la fonction $g$ définie par : \[g(x) = f(x) - \dfrac{1}{2}x - 1.\] \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $g$ ; en déduire le sens de variation de $g$ ainsi que son tableau de variations. \item Montrer que sur l'intervalle $\left[-~\dfrac{1}{2}~;~6\right]$ l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$ admet une solution unique notée $\alpha$. \item Calculer $g(-0,2)$ et $g(- 0,1)$ au centième près. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Inde-Liban septembre 1994 \hypertarget{Indesept}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Inde--Liban}} \rfoot{\small septembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Inde--Liban A1 et B septembre 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une population est constituée de $100$~personnes ($40$~hommes et $60$~femmes), telles que : $50$ ont les yeux bleus, $60$\,\% des hommes ont les yeux bleus. On tire au sort une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. Calculer, sous forme de fractions, les probabilités des évènements suivants : A : \og avoir choisi un homme \fg B : \og avoir choisi un homme aux yeux bleus \fg C : \og avoir choisi une femme aux yeux bleus \fg D : \og avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c'est une femme \fg E : \og avoir choisi une femme, sachant que c'est une personne ayant les yeux bleus \fg. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 6 points} \medskip Un pion se déplace par sauts successifs sur la droite $\Delta$ munie du repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,1) \psline(0,0.5)(10,0.5) \psline(5,0.7)(5,0.3) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,0.5)(6,0.5) \uput[ul](5,0.5){O}\uput[u](5.5,0.5){$\vect{\imath}$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Son point de départ est le point O}. Deux types de sauts sont possibles : D : 2 unités vers la droite, G : 1 unité vers la gauche. Les sauts successifs sont supposés indépendants les uns des autres, et chaque type de saut a la même probabilité d'être effectué. On suppose que le pion va effectuer 3 sauts successifs. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la liste des différents parcours possibles. On pourra, éventuellement, dessiner \og l'arbre des parcours \fg, et désigner chaque parcours à l'aide d'un triplet, par exemple : (D, D, G) signifie que le pion s'est déplacé d'abord deux fois vers la droite, puis une fois vers la gauche. \item Pour chaque parcours trouvé, préciser l'abscisse du point occupé par le pion après les 3 sauts. \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe l'abscisse du point où aboutit le pion. Donner la loi de probabilité de $X$, et son espérance mathématique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Le but de ce problème est l'étude de la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{(x - 1)\ln x}{x},\] sa représentation graphique et le calcul d'une aire qui lui est liée. Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). La courbe représentative de $f$ dans P est notée $\mathcal{C}$. \medskip \textbf{Étude de } \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $0$. Quelle en est la conséquence graphique ? \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ Montrer que : $f'(x) = \dfrac{x - 1 + \ln x}{x^2}$. \item Déterminer le signe de la somme : $(x - 1) + \ln x$, lorsque $0 < x < 1$, puis lorsque $x > 1$. \item En déduire le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Courbe représentative de }\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, selon les valeurs de $x$, le signe de la différence $d(x) =f(x) - \ln x$. \item Soit $\Gamma$ la courbe représentative, dans P, de la fonction ln. Interpréter géométriquement le nombre $d(x)$, et déduire, de la question précédente, la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. \item Tracer $\Gamma$, puis $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer la partie du plan limitée par les droites d'équations $x = 1, x = \text{e}$, et les deux courbes précédentes. \item Déterminer une primitive de la fonction définie par $g(x) = (\ln x) x$. \item En déduire l'aire, en cm$^2$, de la partie hachurée. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Inde-Liban septembre 1994 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole septembre 1994 \hypertarget{Metropolesept}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small septembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Métropole septembre 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Un document statistique donne les renseignements suivants, concernant la région Rhône-Alpes : \og La population totale augmente régulièrement de 1,2\,\% par an; La population agricole diminue régulièrement de 3\,\% par an. Au 1\up{er} janvier 1990, la population totale est de \np{4650000}~habitants, et la population agricole représente 9\,\% de la population totale.\fg \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle était la population théorique totale au 1\up{er} janvier 1991 ? \item Quelle était celle au 1\up{er} janvier 1992 ? \item On désigne par $p(n)$ la population totale prévue au 1\up{er} janvier $(1990 + n)$, où $n$ est un entier positif. Démontrer que $p(n) = (1,012)^n \times p(0)$. \item Quelle population totale peut-on prévoir au 1\up{er} janvier 1995 ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la population agricole au 1\up{er} janvier 1990 ? \item On désigne par $a(n)$ la population agricole au 1\up{er} janvier $(1990 + n)$. Calculer $a(n)$. \item Quelle population agricole peut-on prévoir au 1\up{er} janvier 1995 ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer le rapport $r(n) = \dfrac{a(n)}{p(n)}$ en fonction de $n$. \item Calculer la valeur minimale de $n$ pour laquelle $r(n) \leqslant 0,03$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 5 points} \medskip On s'intéresse aux visiteurs de la \og Tour Mathématiques \fg. Cette tour a trois étages. Elle est desservie par un ascenseur et par un escalier. Neuf visiteurs sur dix utilisent l'ascenseur et, parmi ceux-ci : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la moitié va au troisième étage ; \item un tiers va au deuxième étage ; \item les autres vont au premier étage. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les autres visiteurs utilisent l'escalier, et, parmi ceux-ci : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la moitié va au deuxième étage ; \item les autres vont au premier étage. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item On interroge un visiteur, au hasard, à la sortie de la tour. Quelle est la probabilité pour que : \begin{enumerate} \item il soit allé au deuxième étage, en ascenseur ? \item il soit allé au deuxième étage ? \item il soit monté à pied, sachant qu'il est allé au deuxième étage ? (On donnera les valeurs exactes des résultats.) \end{enumerate} \item Les tarifs affichés pour la visite de la tour sont les suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{X} Ascenseur : \\ Premier étage \dotfill 17 F\\ Deuxième étage \dotfill 34 F\\ Troisième étage \dotfill 51 F\\ Escalier, quel que soit l'étage\dotfill 7 F \\ \end{tabularx} \end{center} Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe le prix qu'il a payé pour la visite. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer son espérance mathématique E($X$), sa variance $V(X)$ et son écart-type. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Le but de ce problème est la représentation graphique de la fonction $f$ définie dans $]2~;~+\infty[$ par \[f(x) = x - 3 - \dfrac{\ln x}{x - 2}\] dans le plan P muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \begin{center} \textbf{Partie A} \textbf{ÉTUDE D'UNE FONCTION AUXILIAIRE} \end{center} Soit $g$ la fonction définie sur $I = ]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = 1 - \dfrac{2}{x} - \ln x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $g'(x) = \dfrac{2 - x}{x^2}$. \item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $I$, et en déduire le signe de $g(x)$ sur $I$. On ne demande aucun calcul de limite. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \textbf{ÉTUDE DE \boldmath $f$ \unboldmath ET DE SA COURBE REPRÉSENTATIVE $C$ DANS P} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ pour la valeur 2. Quelle est la conséquence graphique ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x - 2} = 0$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que la droite D d'équation $y = x - 3$ est asymptote à $C$. Montrer que $C$ est située au-dessous de D. \end{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. Vérifier que $f'(x) = 1 - \dfrac{g(x)}{(x - 2)^2}$. En déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variations de $f$. \item Dans le plan P, construire D, puis en tenant compte des résultats obtenus dans les questions précédentes, construire $C$. \item \begin{enumerate} \item On constate graphiquement que l'équation $f(x) = 0$ admet, dans l'intervalle ]3~;~4[, une solution unique, $\alpha$. Justifier rigoureusement ce résultat. \item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 1994 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 1994 \hypertarget{Polynesiesept}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Polynésie septembre 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Marie et Thomas participent, avec 18 autres personnes, à un stage sportif en montagne où leur sont proposées plusieurs randonnées en vélo tout terrain. Les organisateurs du stage ne disposent que de 15 vélos. Avant chaque randonnée ils choisissent donc au hasard 15 personnes parmi les 20 stagiaires pour former un groupe de randonnée. On supposera dans tout l'exercice que chaque stagiaire a la même probabilité d'être choisi, et que les divers choix de groupes de randonnée sont indépendants les uns des autres. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le nombre de groupes de randonnée différents que les organisateurs peuvent former. \item On note $A$ l'évènement \og Marie participe à la première randonnée \fg. Montrer que la probabilité de $A$ est égale à $\dfrac{3}{4}$. \end{enumerate} \item On note $B$ l'évènement \og Marie et Thomas ne participent pas ensemble à la première randonnée \fg. Montrer que la probabilité, de $B$ est égale à $\dfrac{17}{38}$. \item Le résultat de cette question sera donné sous forme de fraction irréductible. Il y a en tout cinq randonnées organisées. On note $C$ l'évènement \og Marie participe à au moins une randonnée \fg{} et $D$ l'évènement \og Marie participe à exactement trois randonnées \fg. Calculer la probabilité de l'évènement $C \cap D$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 4 points} \medskip Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 5~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées. La courbe $\Gamma$, tracée ci-dessous à une échelle réduite, représente une fonction numérique $f$ définie sur [0~;~3] par \[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x},\] où $a$ et $b$ sont deux nombres qu'on se propose de déterminer. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-1.5)(3.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(3.5,1.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 sub 2.71828 x exp div} \psplot{0}{3}{0.367879 x mul 0.367879 sub} \uput[u](1,0){A}\uput[u](2.9,0.2){$\Gamma$}\uput[u](2.9,0.7){$T$} \uput[l](0,-0.367879){$- \frac{1}{\text{e}}$}\uput[dr](0,-0.367879){B} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. \item Le point A(1~;~0) est un point de $\Gamma$. Quelle relation entre $a$ et $b$ en déduit-on ? Cette relation sera notée (1). \item La droite $T$ est tangente en A à $\Gamma$ et passe par le point B$\left(0~;~- \dfrac{1}{\text{e}}-\right)$. Quel est son coefficient directeur ? Quelle relation entre $a$ et $b$ en déduit-on ? Cette relation sera notée (2). \item Montrer que $f(x) = (x - 1)\text{e}^{- x}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{QUESTION PRÉLIMINAIRE} \medskip Soit $g$ la fonction numérique définie par : \[g(x) = x^2 + 1 - \ln x\] \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g.$ Étudier son signe. \item Établir le tableau de variations de $g$. En déduire le signe de $g(x)$ (on ne demande pas le calcul des limites de $g$ aux bornes de $\mathcal{D}_{g}$). \end{enumerate} \item \textbf{ÉTUDE DE LA FONCTION NUMÉRIQUE \boldmath$f$\unboldmath DÉFINIE PAR :} \[f(x) = 2x - 1 + 2\dfrac{\ln x}{x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}_{g}$. \item Calculer $f'(x)$ et, en utilisant la question préliminaire déterminer son signe. \item Établir le tableau de variations de $f$ sur $\mathcal{D}_{g}$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $J = \left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ une solution unique, notée $x_{0}$. \end{enumerate} \item \textbf{COURBE REPRÉSENTATIVE DE \boldmath$f$\unboldmath ET CALCUL D'AIRE} \medskip Le plan $P$ est rapporté au repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 5 cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. La courbe représentative de $f$ est notée $\mathcal{C}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f(x) - (2x - 1)$, et montrer que la droite $D$ d'équation $y = 2x - 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$. En déduire la position relative de $D$ et $\mathcal{C}$. \item Construire $D$ et $\mathcal{C}$ sur la figure et hachurer la partie du plan définie par $x_{0} \leqslant x \leqslant 1$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 2x - 1$. On se propose dans la suite de calculer l'aire $A$ de cette partie du plan. \item Exprimer $A$ à l'aide d'une intégrale. \item On pose $\varphi(x) = \dfrac{2\ln x}{x}$ , et $u(x) = \ln x$. Calculer $u'(x)$ et écrire $\varphi$ en fonction de $u$ et de $u'$. En déduire une primitive de $\varphi$, puis l'expression de $A$ en fonction de $x_{0}$. \item On rappelle que $f(x_{0}) = 0$. Utiliser cette relation pour montrer que $A = \dfrac{1}{4}x_{0}^2\left(1 - 2x_{0}^2\right)$ (en unités d'aire). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau octobre 1994 \hypertarget{Sportifs}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1)} \lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}} \rfoot{\small septembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Sportifs de haut-niveau ~\decofourright\\septembre 1994 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par \[f\::\: x \longmapsto \dfrac{5 - x^2}{(x + 2)^2}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer trois nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout $x \in ]- 2~;~+ \infty[$, \[f(x) = a + \dfrac{b}{x + 2} + \dfrac{2}{(x+2)^2}.\] \item Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Le but du problème est d'étudier l'équation : \[(E) \::\: (\ln x)^2 - 2\ln x + 2 - x = 0,\quad \text{où}\: x > 0\] en utilisant une méthode d'approximation. À cet effet, on considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x + 2.\] On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Étude de la fonction}\:\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. \item Étudier le signe de $\ln x - 1$. En déduire le signe de $f'(x)$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item Tracer la courbe $C$ en précisant la tangente T au point A d'abscisse $1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Étude de l'équation } \boldmath $(E)$ \unboldmath \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = f(x) - x.\] L'équation $(E)$ est donc équivalente à l'équation $g(x) = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Étude graphique Tracer la droite D d'équation $y = x$. En déduire graphiquement que l'équation $(E)$ a une solution $\alpha$ telle que $1 < \alpha < \text{e}$. \item Étude de $g$ sur [1~;~\text{e}] Calculer $g(1)$ et $g(e)$. En utilisant A - 3, montrer que $g'(x) < 0$ sur [1~;~e]. \item Existence et approximation de $\alpha$ Prouver que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans l'intervalle [1~;~e]. Établir que $1,42 < \alpha < 1,43$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip La courbe $C$ représentée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = a + bx\text{e}^{-x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. La droite T est la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse zéro. \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(3.2,2) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-1.5)(3.2,2) \psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.368) \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.55,1.368)(1.5,1.368) \psplot{-1.1}{0.8}{x 1 add} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{3}{x 2.71828 x exp div 1 add} \uput[d](3,0){$x$} \uput[d](-1.5,0){$x'$} \uput[d](0,2){$y$} \uput[d](0,-1.5){$y'$} \uput[u](1.6,2.6){T}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](2.9,1.15){$C$} \end{pspicture*} \end{center} \medskip Reproduire l'allure de la courbe $C$ sur la copie (repère orthonormal : unité graphique : 2 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Lecture graphique. \begin{enumerate} \item Lire sur le graphique proposé ci-dessus $f(0)$ et $f'(0)$. \item En déduire la valeur de $a$ et celle de $b$. \end{enumerate} Dans toute la suite, on prend $f(x) = 1 + x\text{e}^{- x}$. \item Variations de $f$ \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Déterminer la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ ; interpréter graphiquement le résultat obtenu. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Étude du point d'intersection de $C$ avec l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Prouver que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule telle que $- 1 < \alpha < - \frac{1}{2}$. \item On pose $\alpha' = - 0,56$. Calculer $f(\alpha')$ à la précision $10^{-4}$. Prouver que $\alpha < \alpha'$ et que $\alpha' - \alpha < 10^{- 2}$ (on pourra calculer $f(- 0,57)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Sportifs de haut-niveau octobre 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 1994 \hypertarget{AmduSudA1}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1)} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small décembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Amérique du Sud ~\decofourright\\décembre 1994 }} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip On considère les 5 suites numériques suivantes pour tout entier naturel $n$ : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $\left(a_{n}\right)$ définie par $a_{n} = (- 1)^n$ ; \item[ ] $\left(b_{n}\right)$ définie par $b_{n} = n\text{e}^{-n}$ ; \item[ ] $\left(c_{n}\right)$ définie par $c_{n} = \dfrac{n + 5}{n + 1}$ ; \item[ ] $\left(d_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l} d_{0}&=&5\\ \text{et}&&\\ d_{n+1}&=&d_{n} - 5\end{array}\right.$ \item[ ] $\left(u_{n}\right)$ définie par définie par $d_{n} = \ln \left(n^2 + n + 1\right)$ (où ln représente le logarithme népérien). \end{description} \setlength\parindent{0mm} On sait que, parmi ces 5 suites, une et une seule est géométrique ; une et une seule est minorée par 1 ; une et une seule est croissante ; une et une seule converge vers $0$. \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant. en cochant les cases qui correspondent à une réponse \og oui \fg{} : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6} \multicolumn{1}{c|}{}&$\left(a_{n}\right)$&$\left(b_{n}\right)$&$\left(c_{n}\right)$&$\left(d_{n}\right)$&$\left(u_{n}\right)$\\ \hline est géométrique&&&&&\\ \hline est minorée par 1&&&&&\\ \hline est croissante&&&&&\\ \hline converge vers $0$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Si le tableau ci-dessus était rempli par un dispositif aléatoire qui, ligne par ligne et de manière indépendante, coche au hasard une case unique par ligne, quelle serait la probabilité qu'il y ait au moins une réponse exacte ? \end{enumerate} \textbf{N. B.} : \og au hasard \fg{} signifie qu'il s'agit d'équiprobabilité. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = 1 - x^3 - 2 \ln x\] où ln représente le logarithme népérien. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Calculer la dérivée de $g$ et établir le tableau de variation de la fonction $g$. \item Montrer que 1 est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$. En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par: 2 \[f(x) = \dfrac{2\ln x}{x^2} - 2 x + 3.\] Soit $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 4~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Calculer la dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = 2g(x)$. En déduire le signe de $f'(x)$, puis le sens de variation de $f$. Établir le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la droite D d'équation $y = - 2x + 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Étudier les positions relatives de D et $\mathcal{C}$. \item Tracer, dans le repère \Oij, la droite D et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale : \[\int_{1}^{\frac{3}{2}} \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x.\] \item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud décembre 1994 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 1994 \hypertarget{AmduSudB}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (B)} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small décembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat B Amérique du Sud décembre 1994~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Lors d'un prochain match, l'équipe F aura à affronter l'une des 4 équipes : A, B, C, D. Un tirage au sort désignera l'équipe adverse de F. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que l'équipe A soit désignée pour affronter F ? \item Il n'y a pas de match nul. La probabilité que F gagne si elle affronte A est $0,6$. Elle est la même si F affronte B. Si F joue contre C, sa probabilité de gagner est $0,7$, mais si F affronte D, la probabilité qu'elle perde le match est $0,8$. Calculer les probabilités des évènements suivants : $E_1$ : \og F affronte A et gagne le match \fg $E_2$ : \og F affronte C et gagne le match \fg $E_3$ : \og F affronte D et gagne le match \fg. \item En déduire la probabilité que F gagne le match. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de cas d'une maladie M, de 1985 à 1991. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline ANNÉE& 1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline Rang $x_1$ de l'année&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline Nombre $y_i$ de cas en milliers&29 &57 &112 &189 &286 &385 &418\\ \hline \multicolumn{8}{r}{\scriptsize (Source Organisation Mondiale de la Santé)}\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal (2~cm pour unité graphique en abscisse ; 1~cm pour 20~milliers de cas en ordonnée). \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $x$ et de $y$. \item Déterminer une équation dela droite de régression de $y$ en $x$,sous la forme : $y = mx + p$ où $m$ et $p$ seront arrondis à $10^{-1}$ près. Représenter cette droite dans le repère précédent, en faisant apparaître le point moyen G de la série. \item Combien de cas de la maladie M peut-on prévoir pour 1993, en supposant que l'évolution se poursuive de la même manière ? On donnera le résultat à \np{1000} cas près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Soient $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x^3\text{e}^x - 1\] et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2 cm). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ et vers $- \infty$. $\left(\text{On rappelle que }\:\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(x^3\text{e}^x\right) = 0\right)$. \item Étudier les variations de $f$. Dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle [0~;~1]. Trouver un encadrement de cette solution d'amplitude $10^{-1}$. \item Construire la courbe $(C)$ et la droite $(D)$ d'équation $y = - 1$. Préciser la tangente à $(C)$ au point d'abscisse $0$ et l'asymptote. \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^3\text{e}^x$. Vérifier que la fonction $G$ définie par G$(x) = \left(x^3 - 3x^2 + 6x - 6\right) \text{e}^x$ est une primitive de $g$ sur $\R$. \item En déduire l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = -3$. Donner une valeur approchée de cette aire à $10^{-2}$ près par excès. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud B décembre 1994 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 1994 \hypertarget{Caledonie}{} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B)} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small novembre 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\novembre 1994}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, on donnera tous les résultats sous forme de fractions irréductibles. Le coffre de jouets d'un enfant contient : - 7 balles : 2 rouges, 3 bleues et 2 vertes; - 18 cubes : 7 rouges, 10 bleus et 1 jaune; - 5 voitures : 1 rouge, 1 bleue, 2 vertes et 1 jaune. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, l'enfant tire au hasard un objet du coffre. \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités des évènements suivants : A : l'enfant a tiré une balle. B : l'enfant a tiré un objet rouge. \item Déterminer la probabilité pour que l'enfant ait tiré un objet bleu, sachant qu'il a tiré un cube. \end{enumerate} \item Dans cette question, l'enfant choisit au hasard, simultanément, deux objets dans le coffre. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement suivant: \og Il y a au moins un cube parmi les deux objets choisis.\fg \item Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de cubes tirés du coffre. Déterminer la loi de probabilité de X, et son espérance mathématique. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \textbf{N. B.} : \emph{Le détail des calculs intermédiaires nécessaires à l'obtention des résultats n'est pas exigé.} \medskip Le tableau suivant indique la cote de la voiture FORD \og Fiesta 1,1 Fun \fg{} suivant le nombre d'années écoulées depuis la date de mise en circulation. $x$ désigne le nombre d'années écoulées depuis la date de mise en circulation (âge de la voiture). $y$ désigne la cote de la voiture en millier. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$ (en année) &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline $y_i$ (en milliers de francs) &43 &33,6 &24,75 &19,7 &14,7\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement cette série statistique par un nuage de points. En abscisse : 2,5~cm représentent 1~an. En ordonnée : 1~cm représente 2~milliers de francs. \item \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. On rappelle que : la droite de régression de $y$ en $x$ a pour équation : - \[y - \overline{y} = \dfrac{\text{cov}\: (x, y)}{\sigma_x^2} \left(x - \overline{x}\right).\] \item Tracer cette droite sur le graphique. \item Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ ? En donner une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près. \item En utilisant le résultat obtenu en 2. a. donner une estimation de la cote $y$ d'une voiture de 6 ans. \end{enumerate} \item On se propose de déterminer un nouvel ajustement de ce nuage de points. On pose $z_i = \ln y_i$. Pour tous les résultats, on donnera une valeur décimale approchée à $10^{- 3}$ près. \begin{enumerate} \item Calculer les $z_i $ et dresser le tableau de valeurs de la série double $\left(x_i~;~z_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant 5}$. \item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$. \item Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre $z$ et $x$ ? \item À partir de la relation entre $z$ et $x$ obtenue en 3. b. et de l'égalité $z = \ln y$, donner une nouvelle estimation de la cote $y$ d'une voiture de 6 ans. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 4~;~2[$ par : \[f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 4}{2 -x}\right) \] où ln désigne la fonction logarithme népérien. On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- 4$ puis quand $x$ tend vers $2$. $(C)$ admet-elle des asymptotes ? Si oui, préciser leurs équations. \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 4~;~2[$. \item En déduire le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \item Calculer une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de $f(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ : $- 3 \:;\: - 2 \:;\: -1 \:;\: 0\:;\: 1$. \item Tracer soigneusement la courbe $(C)$ ainsi que ses asymptotes. \item Calculer l'abscisse du point A de $(C)$ d'ordonnée 1. En donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près. \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 4~;~2[$ par : \[g(x) = (x + 4) \ln (x + 4) + (2 - x) \ln (2 - x).\] Montrer que $g'(x) = f(x)$. Calculer l'aire exacte, en cm$^2$, au domaine limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - 1$ et l'axe des ordonnées. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie A1 et B novembre 1994 \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Études graphiques} \medskip On donne ci-après la représentation graphique, $\mathcal{C}$, d'une fonction $g$ et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$. A et B sont les points de $\mathcal{C}$ de coordonnées respectives : $\left(\text{e}^{\frac{3}{4}}~;~0\right)$ et $\left(\text{e}^{\frac{7}{4}}~;~4\text{e}^{-\frac{7}{4}}\right)$. L'axe des abscisses et l'axe des ordonnées sont des asymptotes à $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}$ admet au point B une tangente de vecteur directeur $\vect{\imath}$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement : \begin{enumerate} \item $g(x) = 0$. \item $g(x) \leqslant 0$. \item $g'(x) = 0$. \item $g'(x) \geqslant 0$. ($g'$ désigne la fonction dérivée de $g$). \begin{center} \psset{xunit=0.55cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(17,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](-1,-1)(17,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5]{->}(0,0)(-1,-1)(17,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5](0,0)(-1,-1)(17,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.47}{17}{x ln 4 mul 3 sub x div } %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1.4,-1)(1.5,-0.7)(2,-0.03)(3,0.4)(4,0.6)(5.754,0.695)(7,.66)(8,0.59)(9,0.46)(10,0.32)(11,0.21)(12,0.14)(17,0.02) \uput[dr](2.117,0){A}\uput[u](5.755,0.695){B}\uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(4.255,0.695)(7.255,0.695) \uput[u](10,0.61){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item Soit $\varphi$ une primitive de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$, c'est-à-dire que : pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, $\varphi'(x) = g(x)$. Déterminer le sens de variation de $\varphi$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Étude d'une fonction }\boldmath $f$ \unboldmath \medskip Parmi les primitives de $g$, l'une d'entre elles prend la valeur $0$ pour $x= \text{e}$. On la note $f$. Elle est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 2 (\ln x)^2 - 3 \ln x + 1.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. (On pourra mettre $(\ln x)^2$ en facteur.) \end{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, puis déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. \item Construire la courbe $\Gamma$ représentative de $f$ dans le plan P muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 3~cm). \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Les questions 1. et 2. peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme de fractions. À la gare A, 16 voyageurs ont pris chacun un billet dont : 7 pour la gare B (prix du billet 50 francs) 5 pour la gare C (prix du billet 60 francs) 4 pour la gare D (prix du billet 75 francs). \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un de ces voyageurs. Soit X la variable aléatoire associant à chaque voyageur le prix de son billet (en francs). \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique de X. \end{enumerate} \item On choisit au hasard trois de ces voyageurs. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que ces trois voyageurs aient trois destinations différentes. \item Calculer la probabilité pour qu'au moins un des voyageurs ait un billet pour la gare B. \item Quelle est la probabilité pour que cette destination soit B, sachant que les trois voyageurs ont la même destination. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% Les trois parties sont largement indépendantes. \medskip Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm). Dans ce repère, on a tracé (ci-après) la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = \dfrac{x^3 + 3x}{x^2 + 1}.\] On y trouvera également la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ et la droite $d$ parallèle à l'axe des ordonnées $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$. Cette droite $d$ coupe respectivement l'axe des abscisses, $\Delta$ et $\Gamma$ aux points A, B et C de même abscisse appartenant à l'intervalle [1~;~10]. La réunion de la partie hachurée P et de la partie tramée représente à l'échelle 1/50\up{e} la voile d'un bateau. Les parties P et T exigent des toiles différentes, mais doivent avoir la même aire. Le but du problème est de choisir le nombre $\alpha$ de telle sorte que les aires des parties P et T soient égales. \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(3.5,2.8) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(3.5,2.8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](1.9,0){$\alpha$} \psline(2.8,2.8)\psline(1.9,0)(1.9,1.9) \rput(1,0.6){Partie T} \uput[ur](1.9,0){A} \uput[dr](1.9,1.9){B}\uput[dr](1.9,2.8){C} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.9}{x 3 exp x 3 mul add x dup mul 1 add div} \psline(1.9,1.9)(0,0)} \uput[r](2.7,2.7){$\Delta$}\uput[l](1,2){$\Gamma$} \rput(3,0.2){(Échelle 0,5)} \rput(1,1.7){Partie P} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie 1} \medskip \textbf{Étude du bord supérieur de la voile} \medskip Aucune représentation graphique n'est demandée pour cette partie 1. \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ positif, $g(x) = x + \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. \item \begin{enumerate} \item En déduire que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\Gamma$. \item En déduire également la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \textbf{Calcul des aires de P et de T} Le nombre $\alpha$ est celui précisé dans le préambule. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $I = \displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\:\text{d}x$. On exprimera le résultat en fonction du nombre positif $\alpha$. \item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et la droite d équation $x = \alpha$. On pourra utiliser le résultat établi en 1. de la partie 1. \item Calculer, en fonction de $\alpha$, l'aire en cm$^2$ de la partie tramée T, puis en déduire l'aire de la partie hachurée P. \end{enumerate} \textbf{Partie 3} \medskip \textbf{Détermination du nombre } \boldmath $\alpha$ \unboldmath Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) - \dfrac{x^2}{2}\] (ln désigne la fonction logarithme népérien). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée, de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $x (1 - x)$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ (on admettra que la limite en $+ \infty$ de $f$ est $- \infty$). On ne demande pas de représenter $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que sur l'intervalle [1~;~10] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \item Démontrer l'égalité $\ln \left(\alpha^2 + 1\right) = \dfrac{\alpha^2}{2}$. En déduire que, pour cette valeur $\alpha$, les aires des parties P et T sont égales et indiquer la solution du problème posé en préambule. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers ? %%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}\text{e}^{2x}\] et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 8~cm en abscisses, 1~cm en ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. En déduire une asymptote à la courbe représentative $C$ de $f$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra vérifier que $f(x) = 4\left(1 - \dfrac{1}{2x}\right)\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x > 0$ \[f'(x) = \dfrac{2\left(2x^2 - 2x + 1\right)}{x^3}\text{e}^{2x}.\] \item Étudier le sens de variation de $f$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ et trouver le signe de $f(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Écrire une équation de la tangente T à $C$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$. \item Tracer $C$ et T. \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}.\] Calculer $g'(x)$. En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ et sa valeur décimale approchée à $0,01$ près par excès. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% Espagne ? \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[u_1 = \dfrac{3}{2}\quad \text{et, pour tout }\:n \geqslant 1, \quad u_{n+1} = \dfrac{3 + u_n}{2}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier vos réponses. \item Pour tout $n \geqslant 1$, on pose $v_n = 3 - u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ ainsi définie est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire $u_n$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%% Métropole sept 1994 ? \begin{enumerate} \item \textbf{Question préliminaire} \medskip Soit $g$ la fonction numérique définie sur I = $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. Étudier son signe (on ne demande pas le calcul des limites de $g$ aux bornes de I). \item Établir le tableau de variations de $g$. En déduire le signe de $g(x)$ sur I. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la fonction numérique \boldmath $f$\unboldmath définie sur I par :} \[f(x) = 2x - 1 + 2 \dfrac{\ln x}{x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de I. \item Calculer $f'(x)$ et, en utilisant la question préliminaire, déterminer son signe. \item Établir le tableau de variations de $f$ sur I. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $x_0$ sur l'intervalle J $= \left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$. \end{enumerate} \item \textbf{Courbe représentative de \boldmath $f$\unboldmath et calcul d'aire} \medskip Le plan P est rapporté au repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées). La courbe représentative de $f$ est notée $C$. Elle est représentée sur la feuille annexe : on complétera cette figure et on rendra la feuille annexe avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f(x) - (2x - 1)$ et montrer que la droite D d'équation $y = 2x - 1$ est asymptote à $C$. En déduire la position relative de D et $C$. Construire D sur la figure. Hachurer la partie du plan définie par : \[\left\{\begin{array}{l c c c l} x_{0} &\leqslant& x & \leqslant & 1,\\ f(x) &\leqslant& y &\leqslant &2x - 1. \end{array}\right.\] \item On se propose de calculer l'aire A de cette partie du plan. L'exprimer à l'aide d'une intégrale. On pose $\Phi(x) = 2 \dfrac{\ln x}{x}$, puis $u(x) = \ln x$. Calculer $u'(x)$ et écrire $\Phi$ en fonction de $u$ et $u'$. En déduire une primitive de $\Phi$, puis l'expression de A en fonction de $x_{0}$. On rappelle que $f\left(x_{0}\right) = 0$. Utiliser cette relation pour montrer que : \[\text{A}= \dfrac{1}{4}x_{0}^2\left(1 - 2x_{0}\right)^2\quad \text{(en unités d'aire)}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture*}(-0.3,-4.5)(4,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](0,-5)(4,7) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.3,-4.5)(4,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.2}{3.8}{x 2 mul 1 sub x ln 2 mul x div add} \end{pspicture*} \end{center}