\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{colortbl} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{xcolor} \usepackage{colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lfoot{\small L'année 1995} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat ES 1995 \decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 1995}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 1995} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 1995} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\\ \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 1995} \dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1995} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 1995} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 1995} \dotfill\pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 1995} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1995} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 1995} \dotfill \pageref{Antillessept}\\ \hyperlink{LaReunionsept}{La Réunion septembre 1995} \dotfill \pageref{LaReunionsept}\\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1995} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 1995} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau octobre 1995} \dotfill \pageref{Sportifs}\\ \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie novembre 1995} \dotfill \pageref{Caledonie}\\ \hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud décembre 1995} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ \end{tabularx} \newpage ~ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%% Pondichéry avril 1995 \hypertarget{Pondichery}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small avril 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry avril 1995}~\decofourright} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les questions 1 et 2 sont indépendantes. \begin{center} \textbf{La crise de la presse écrite} \end{center} Pour répondre aux questions suivantes, il faut lire les graphiques donnés à la fin de l'énoncé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les taux de variation des diffusions de la presse quotidienne nationale et de la presse quotidienne régionale de 1982 à 1992 (document 1). \item Quel est, de ces deux secteurs, celui qui, pourcentage, est le plus touché depuis 1982 ? \end{enumerate} \item En utilisant le document 2, déterminer quels étaient les investissements publicitaires pour la presse nationale en 1990. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Document 1 :} la presse quotidienne \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Presse quotidienne (G. P.) nationale &Presse quotidienne (G. P.) régionale et départementale\\ \emph{évolution moyenne journalière $1982-1992$ millions d'exemplaires, diffusion payée en France}&\emph{évolution moyenne journalière $1982-1992$ millions d'exemplaires, diffusion payée en France}\\ \psset{xunit=0.4cm,yunit=10cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(10,0.35) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1.50,Dy=0.10,Ox=1982,Dx=2](0,0)(10,0.31) \psline(0,0.163)(1.2,0.16)(2,0.2)(3,0.2)(4,0.3)(5,0.14)(6,0.2)(7,0.18)(8,0.16)(9,0.14)(10,0.157) \uput[l](0,0.1663){\footnotesize 1,663}\uput[r](10,0.1557){\footnotesize 1,557} \end{pspicture}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=4.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(10,0.80) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=5.75,Dy=0.25,Ox=1982,Dx=2](0,0)(10,0.75) \psline(0,0.407)(1,0.5)(3,0.46)(4,0.48)(5,0.37)(6,0.34)(7,0.22)(8,0.23)(9,0.15)(10,0.15) \uput[l](0,0.407){\footnotesize 6,157}\uput[ur](10,0.1){\footnotesize 5,850} \end{pspicture}\\ \multicolumn{2}{|c|}{\emph{Source : troisième observatoire annuel de l'écrit, OJD diffusion contrôle, juin $1993$}}\\ \hline \end{tabularx} \begin{center} \textbf{Document 2 :} Les investissements publicitaires en 1992 \begin{tabular}{| l | c | c | c|}\hline IREP & Total & \multicolumn{2}{|c|} {Évolution}\\ (OJD, \textit{op. cit.}) & hors gratuits & \multicolumn{2}{|c|} {} \\ \cline{3-4} & en millions de F & 1991/1992 &1992/1993\\ \hline Quotidiens nationaux & \np{2532} & $- 16,9$\:\% & $- 18,4$\:\%\\ \hline Quotidiens régionaux & \np{4868} & $- 8,5$\:\% & $- 5,7$\:\% \\ \hline Magazines & \np{8284} & $- 6$\:\% & $- 0,9$\:\%\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Chacun des 10 mots de la phrase \og Rien ne sert de courir, il faut partir à point \fg{} est inscrit sur un carton. On suppose les cartons indiscernables au toucher et on les place dans une urne. On tire au hasard un carton. (Les tirages sont donc supposés équiprobables.) Si le mot inscrit sur le carton contient une voyelle, on gagne 10 points. Si le mot inscrit sur le carton contient deux voyelles, on perd 20 points. Si le mot inscrit sur le carton contient trois voyelles, on gagne 20 points. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de points obtenus (positif ou négatif). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique de X et l'écart-type de X. \item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique est nulle. Sans changer les gains obtenus pour les mots contenant une ou trois voyelles, quelle devrait être la perte pour un mot contenant deux voyelles dans un jeu équitable ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un sac contient 2 pièces de 20 centimes, 4 pièces de 10 centimes et 4 pièces de 50 centimes. On tire 3 pièces simultanément. (Les tirages sont supposés équiprobables.) \medskip \begin{enumerate} \item Soit X la variable aléatoire égale au nombre de pièces de 20 centimes sorties lors d'un tirage. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X. \end{enumerate} \item On considère l'évènement $A$ \og la somme obtenue lors d'un tirage est strictement inférieure à 50 centimes \fg. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de $A$ est égale à 125' \item On répète l'épreuve 4 fois. (Les pièces sont remises dans le sac après chaque épreuve.) Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de fois où on a obtenu une somme strictement inférieure à 50~centimes. Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale. En déduire l'espérance mathématique de Y. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Une entreprise fabrique des objets $P$. On note $x$ le nombre d'objets fabriques, exprimé en milliers. Pour des raisons d'approvisionnement, $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~3,5]$. On note $C(x)$ le coût de fabrication exprimé en millions de francs. On définit une fonction \og coût marginal \fg $M$ par $M(x) = C'(x)$, où $C'$ désigne la fonction dérivée de $C$. On définit une fonction \og coût moyen \fg $C$ par $C_{m}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose que, pour cette production, le coût marginal est défini par \[M(x) = 1 + \dfrac{x - 3}{8}\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $M'$ la fonction dérivée de $M$. Calculer $M'(x)$. Déterminer le signe de $M'(x)$, et en déduire le sens de variation de $M$ sur l'intervalle $[0~;~ 3,5]$. En déduire ensuite que $M$ est strictement positive sur $[0~;~ 3,5]$. \item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ 3,5]$ par $g(x) = \dfrac{ax+b}{8}\text{e}^x$, où $a$ et $b$ sont deux réels. Déterminer $a$ et $b$ pour que la dérivée $g'$ soit définie par $g'(x) = \dfrac{x - 3}{8}\text{e}^x$. En déduire la primitive de $M$ sur $[0~;~ 3,5]$ qui s'annule pour $x = 0$.\\ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On définit la fonction \og coût \fg{} $C$ par \[C(x) = x + \dfrac{x - 4}{8}\text{e}^x+ \dfrac{1}{2}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~ 3,5]$, $C'(x) = M(x)$. Dresser le tableau de variations de $C$. \item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $\mathcal{C}$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'origine $0$. On prendra en abscisses 2~cm pour représenter un millier d'objets, et en ordonnées, 5~cm pour représenter un million de francs. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On désigne par $A$ un point d'abscisse $x$ sur la courbe $\Gamma$ et par $\mathcal{D}_{x}$, la droite $(OA)$. \medskip \begin{enumerate} \item Pourquoi le coefficient directeur de $\mathcal{D}_{x}$ est-il égal à $C_{m}(x)$ ? \item Tracer les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ correspondant respectivement à $x = 1$ et à $x = 2$. Quelle est celle qui a le plus petit coefficient directeur ? \item Par une lecture du graphique, déterminer à la centaine près le nombre d'objets à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. \item On sait en économie que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal. \begin{enumerate} \item Montrer que résoudre l'équation $C_{m}(x) = M(x)$ revient à résoudre l'équation $(x - 2)^2\text{e}^x - 4 = 0$. \item On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ 3,5]$ par \[f(x) = (x - 2)^2\text{e}^x - 4.\] Étudier les variations de $f$, et en déduire que, sur l'intervalle $[0~;~3,5]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution strictement positive dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-1}$. \item En déduire le nombre d'objets à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 1995 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 1995 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small juin 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 199~\decofourright5}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit la fonction $g$ définie dans l'intervalle [2,~;~3] par : \[g(x) = x \ln x + (4 - x) \ln (4 - x).\] Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. \item En déduire la valeur exacte de l'intégrale: \[A = \int_{2}^3 \ln \dfrac{x}{4 - x}\:\text{d}x.\] \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie dans l'intervalle [2,~;~3] par \[f(x) = \ln \dfrac{x}{4 - x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in [2~;~3]$. \item ~ \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(4,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,3){$y$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.2}{3.8}{x 4 x sub div ln} \end{pspicture} \end{center} Dans le tracé ci-dessus on a représenté la fonction $f$ dans un plan rapporté à un repère orthonormé (unité graphique : 1~cm). Déterminer l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe, les deux droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une pièce est usinée successivement par deux machines $M_{1}$ et $M_{2}$, les résultats des deux usinages étant \textbf{indépendants}. Après passage dans la première machine $M_{1}$, 5\,\% des pièces présentent un défaut. On note $A$ l'évènement : \og la pièce est défectueuse après passage dans $M_{1}$ \fg. . Après passage dans la deuxième machine $M_{2}$ (et quel que soit leur état après leur passage dans $M_{1}$), 2\,\% présentent un autre défaut. On note $B$ l'évènement: \og la pièce est défectueuse après passage dans $M_{2}$ \fg. On extrait au hasard une pièce parmi les pièces ayant subi les deux usinages. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités de $A$ et de $B$. Exprimer à l'aide des évènements $A$ et $B$ les évènements suivants : $C$ : \og la pièce est défectueuse pour les deux usinages par $M_{1}$ et $M_{2}$ \fg{} ; $D$ : \og la pièce est défectueuse \fg{} ; $E$ : \og la pièce ne présente aucun défaut \fg. Calculer les probabilités des évènements $C, D$ et $E$. \item \begin{enumerate} \item Sachant que la pièce extraite est défectueuse, quelle est la probabilité que la pièce présente des défauts d'usinage par les deux machines ? . \item Exprimer à l'aide de $A$ et $B$ l'évènement : \og le défaut provient uniquement de la machine $M_{2}$ \fg, puis sa probabilité. En déduire la probabilité que le défaut provienne uniquement de la machine $M_{2}$, sachant que la pièce est défectueuse. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un constructeur de moteurs de \og Formule 1 \fg{} fabrique des moteurs de compétition. La probabilité qu'un de ces moteurs soit exempt de défaut, et par suite ne \og casse \fg pas lors d'un Grand Prix, est $0,8$. On dira pour simplifier qu'un tel moteur est \og bon \fg{} et on notera $B$ l'évènement : \og le moteur est bon \fg. Avant chaque Grand Prix, un contrôle très sévère est effectué : soit le moteur est déclaré utilisable, soit il est rejeté. On note $U$ l'évènement : \og le contrôle déclare le véhicule utilisable \fg. Ce contrôle n'est pas infaillible : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item sachant qu'un moteur est bon. il est déclaré utilisable dans 95\,\% des cas ; \item sachant qu'un moteur a un défaut, il est rejeté dans 80\,\% des cas. \end{itemize} Notation : si $E$ est un évènement, on notera $\overline{E}$ l'évènement contraire. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \quad $V$ : \og le moteur est bon et il est déclaré utilisable \fg{} ; \quad $W$ : \og le moteur a un défaut et il est déclaré utilisable \fg. En déduire la probabilité de $U$. \item Montrer que la probabilité qu'un moteur soit bon sachant qu'il est déclaré utilisable est $0,95$. \end{enumerate} \item Au cours d'une saison (16 grands prix), ces moteurs sont montés après contrôle sur des voitures en course. On s'intéresse aux moteurs montés sur une voiture déterminée : ils sont changés à chaque compétition et l'on admet que les choix des moteurs sont indépendants les uns des autres. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que les 16 moteurs soient \og bons \fg ? \item Quelle est la probabilité que seulement 2 moteurs cassent ? \item Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs casse? \item Quel est le nombre moyen de moteurs cassés auquel on peut s' attendre, au cours d'une saison ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par : \[f(x) = x + \text{e}^{- x}.\] Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm). La courbe représentative de $f$ dans ce plan est appelée $\mathcal{C}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 > \text{e}^{- x}$. \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. Déduire de a le sens de variation de $f$. \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. On pourra écrire $f(x) = (- x) \left(- 1 + \dfrac{\text{e}^{- x}}{- x}\right)$. \item Dresser le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$. \item Résoudre dans $\R$ l'équation : $\text{e}^{- x} = 3$. Montrer que $\mathcal{C}$ admet une tangente $T$ de coefficient directeur $- 2$. Déterminer l'abscisse du point de contact A, son ordonnée, puis l'équation de $T$. \item Compléter le tableau suivant (on donnera les valeurs numériques arrondies à $10^{-2}$ près) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & $- 2$& $- 1$ &0&1&2&3&4\\ \hline $f(x)$&&1,72&&1,37&&3,05&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire, dans le plan, les droites $D$ et $T$, puis la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sans faire de calcul de dérivée et en donnant les justifications nécessaires, établir le tableau des variations de $\dfrac{1}{f}$ à partir de celui de $f$. \item Sur la même figure que $\mathcal{C}$ mais en utilisant une autre couleur, construire la courbe représentative $\Gamma$ de $\dfrac{1}{f}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 1995 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole juin 1995 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small juin 1995} % \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij. La courbe $\mathcal{C}$ (voir figure ci-dessous) représente la fonction $f$ définie sur $\R$ par, \[f(x) = (ax + b) \text{e}^x\] où $a$ et $b$ sont deux nombres que l'on se propose de déterminer, en utilisant les informations lues sur la figure. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item Déterminer graphiquement $f'(- 2)$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$. \end{enumerate} \item En utilisant une valeur de la fonction lue sur le graphique trouver une autre relation entre $a$ et $b$. Calculer $a$ et $b$ et écrire l'expression de $f(x)$ ainsi obtenue. \item \begin{enumerate} \item Préciser le minimum de la fonction $f$ ; on donnera la valeur exacte. \item Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de l'équation \[m = (x + 1) \text{e}^x.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-4,-0.2)(0.1,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-4,-0.2)(0.1,1.2) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.1}{2.71828 x exp 1 x add mul} \uput[dl](0,0){O}\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-0.135) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-3,-0.135)(-1,-0.135) \rput(-2,1.1){Courbe $\mathcal{C}$}\uput[d](0.1,0){$x$}\uput[l](0,1.2){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Les deux tableaux ci-dessous regroupent des données sur le commerce extérieur relatif aux industries agro-alimentaires pour la période 1981-1991. \medskip \textbf{Premier tableau} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \multicolumn{12}{c}{Exportations $x_{i}$ et importations $y_{i}$ (en milliards de F)}\\ \hline Année &1981 &1982 &1983 &1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline $x_{i}$ \ldots&55,6&59,1 &65,1 &76,1 &77,2 &73,8 &76,4 &89,2 &103,3 &105,6 &111,3\\ \hline $y_{i}$ \ldots& 45 &52,1 &60 &67,8 &71,4 &69,4 &72 &80,3 &89,4 &88,9 &95,2\\ \hline \multicolumn{12}{r}{\emph{Source : Tableaux de l 'économie française, $1993$}}\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Deuxième tableau} \medskip ~ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \multicolumn{12}{c}{Rang $t_{i}$ de l'année et solde $z_{i} = x_{i} - y_{i}$ (également en milliards de F)}\\ \hline Année &1981 &1982 &1983 &1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline $t_{i}$\ldots &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline $z_{i}$\ldots &10,6 &7 &5,1 &8,3 &5,8 &4,4 &4,4 &8,9 &13,9 &16,7 &16,1\\ \hline \multicolumn{12}{r}{\emph{Source : Tableaux de l 'économie française, $1993$}}\\ \end{tabularx} \medskip Aucun tableau de calculs n'est demandé dans cet exercice. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la série double $\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$ formée à partir du deuxième tableau. \begin{enumerate} \item Faire une représentation graphique du nuage des points. On prendra en abscisses 1~cm pour 1~an (année de rang 0 à l'origine O) et en ordonnées 1~cm pour 1~milliard de francs (solde 4 à l'origine O). Un ajustement affine est-il approprié? On justifiera la réponse. \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série double. \end{enumerate} \item On considère maintenant la série double $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ formée à partir du premier tableau. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis avec deux décimales). \item Déterminer en milliards de francs le montant prévisible (arrondi à l'unité près) des exportations lorsque le montant des importations aura atteint 100~milliards de francs. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un boulanger fabrique des pains de campagne qui doivent peser, en théorie, 600~grammes. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur les poids possibles des pains de campagne, exprimés en grammes et arrondis à 10~grammes près. Le tableau suivant indique la probabilité $p_{i}$ de l'évènement $X = x_{i}$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $X = x_{i}$ & 580 &590 &600 &610 &620\\ \hline $p_{i}$ &0,12 &0,25 &0,32 &0,27 &0,04\\ \hline \end{tabularx} \medskip Exemple de lecture, la probabilité qu'un pain choisi au hasard pèse 590 grammes est 0,25. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et l'écart type de $X$. \item Un client achète un pain de campagne. Quelle est la probabilité que son pain pèse au moins 600~grammes ? \item Un contrôleur du service de la Répression des fraudes entre dans la boulangerie et prélève, au hasard, dix pains de campagne. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'avoir exactement trois pains de 580 grammes ? \item Quelle est la probabilité d'avoir au moins un pain de campagne de 580 grammes ? \item Quelle est la probabilité d'avoir au plus un pain de campagne de 580 grammes ? On donnera les valeurs exactes puis des valeurs décimales approchées à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Une entreprise achète une machine \np{30000}~F. Elle peut la revendre au bout de $t$ années au prix de \[v(t) = \dfrac{30}{0,5 t + 1}\quad \text{pour}\quad 0 \leqslant t \leqslant 8.\] où $t$ est exprimé en années et $v(t)$ en milliers de francs (en abrégé kF). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu 50\,\% de sa valeur à l'achat? \item Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans ? \item La différence, exprimée en kF, entre le prix d'achat de la machine et son prix de revente au bout de t années est, $D(t) = 30 - v(t)$. Montrer que $D$ est une fonction croissante sur l'intervalle [0~;~8]. \end{enumerate} \item On peut exprimer le coût total d'entretien en kF, pour une durée de $t$ années d'utilisation, par \[E(t) = 2,5 \text{e}^{0,4t} - t - 2,5.\] \begin{enumerate} \item Calculer $E'(t)$, où $E'$ désigne la fonction dérivée de $E$. \item En déduire que $E$ est une fonction croissante sur l'intervalle [0~;~8]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le coût total (en kF) d'usage de cette machine est : \[f(t) = D(t) + E(t) = 27,5 - \dfrac{30}{0,5t + 1} + 2,5\text{e}^{0,4t} - t.\] \item Déduire des questions précédentes le sens de variation de $f$ sur [0~;~8]. \item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $f$, dans le plan muni d'un repère rectangulaire, avec pour unités : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 4~kF sur l'axe des ordonnées. On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline $t$&0&1&2&3&4&4,5&5&6&7&8\\ \hline $f(t)$&0&10,23&16,06&20,80&25,88&28,9,&32,40&41,56&54,94&74,83\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item Le coût moyen d'utilisation, en kF et au bout de $t$ années, est égal à \[U(t) = \dfrac{f(t)}{t}\quad \text{avec} \:\: 1 \leqslant t \leqslant 8.\] \begin{enumerate} \item Soit $M$ le point d'abscisse $t$ de la courbe $\Gamma$. Montrer que $U(t)$ est le coefficient directeur de la droite (O$M$). \item Déterminer graphiquement la valeur de $t$ pour laquelle $U(t)$ est minimum. \item On admet que la fonction dérivée de $U$ peut s'écrire sous la forme $U'(t) = \dfrac{g(t)}{t^2}$, où $g$ est une fonction continue dont le tableau de variation est le suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(10,3) \psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(2,0)(2,3) \psline{->}(2.5,2)(5.5,0.5) \psline{->}(6.5,0.5)(9.5,2) \uput[u](1,2.5){$t$} \uput[u](2.2,2.5){$1$} \uput[u](6,2.5){$2,7$} \uput[u](9.8,2.5){$8$} \rput(1,1.25){$g(t)$}\uput[d](2.3,2.5){$- 3,0$}\uput[u](6,0){$- 6,8$}\uput[d](9.7,2.5){$118$} \rput(8,1.25){$1$} \end{pspicture} \end{center} Montrer que $g$ s'annule en un point et un seul de [1~;~8], que l'on notera $a$. On admettra que l'on a, $4,4 \leqslant a \leqslant 4,5$. \item Dresser le tableau de variation de $U$ et vérifier que $U$ admet un minimum. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 1995 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 1995 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small juin 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 1995~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Toutes les réponses de cet exercice doivent être justifiées avec soin.\\ Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} on considère la courbe ci-dessous, représentant une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[- 2~;~4]$.} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(7,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](-2,-2)(7,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(7,7) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,6.5)(-1,2)(-0.5,0.8)(0,0.5)(0.65,1)(1,2)(1.23,3)(1.4,3.22)(1.5,3.36)(2,3.5)(2.6,3)(3,2)(3.5,0)(4,-2) %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2}{ 0.5 x dup mul x 3 exp 3 div sub 2.25 mul add 0.5 mul ln} \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-1,0.5)(1,0.5) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1,3.5)(3,3.5) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-1.5,3.5)(-0.5,0.5) \psline[linestyle=dashed](-2,5)(0,-1) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Lire $f(0),~ f(-1),~ f'(-1)$ et $f'(2)$. \item Déterminer la dérivée logarithmique de $f$ en $- 1$ et en $2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le signe de $f$ et de sa dérivée $f$. \item Expliquer pourquoi la fonction $\ln f$ (c'est-à-dire logarithme népérien de $f$) est définie sur l'intervalle $[-2~;~3,5[$. \end{enumerate} \item Déterminer les variations de $\ln f$ par les deux méthodes suivantes : \begin{enumerate} \item MÉTHODE 1 : Donner le signe de la dérivée de $\ln f$, et en déduire le tableau de variations de $ln f$. \item MÉTHODE 2 : Sachant que $ln f$ est la composée de $f$ suivie de $\ln$ (c'est-à-dire $\ln \circ f$), dresser les tableaux de variations des fonctions $f$ et $\ln$ puis en déduire celui de $\ln f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Cet exercice comporte deux questions indépendantes l'une de l'autre. \medskip \begin{enumerate} \item Un libraire vend des livres scientifiques, des livres de littérature et divers autres livres dans les proportions suivantes: \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item livres scientifiques : 20\,\% des ventes ; \item livres de littérature : 38\,\% des ventes ; \item divers autres livres 42\,\% des ventes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans chacune de ces trois catégories, il y a des livres scolaires et des livres non scolaires. Pour chaque livre vendu, le libraire remplit une fiche de renseignements. Il a constaté que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 80\,\% des livres scientifiques sont des livres scolaire ; \item 70\,\% des livres de littérature ne sont pas scolaires ; \item 50\,\% des divers autres livres ne sont pas scolaires. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le libraire prend une fiche au hasard dans son fichier. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour qu'elle corresponde à un livre scientifique et scolaire ? \item Quelle est la probabilité pour qu'elle corresponde à un livre non scolaire ? \end{enumerate} \item Au cours d'une semaine promotionnelle, pour tout achat dans cette librairie d'un ou plusieurs livres, une enveloppe cachetée contenant un seul billet est remise à chaque client. Si elle contient : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item un billet vert, le client gagne $100$~francs ; \item un billet jaune, le client gagne $20$~francs ; \item un billet blanc, le client ne gagne rien. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pendant cette semaine, \np{1000}~personnes ont reçu une enveloppe et toutes les enveloppes ont été distribuées. Dans ces \np{1000}~enveloppes, il y a $10$ billets verts $30$~billets jaunes et les autres sont blancs. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant, en francs, au montant du gain. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Depuis qu'il est à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis, il recueille chaque fois $120$ litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de $300$~litres. Chaque semaine les matières stockées perdent, après décomposition ou prélèvement les trois quarts de leur volume. Soit $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ les volumes en litres stockés respectivement les premier, deuxième et troisième samedis après la tonte. De manière générale, soit $V_{n}$ le volume stocké le $n$-ième samedi après la tonte. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $V_{1} = 120$ litres, $V_{2} = 150$ litres, $V_{3} = 157,5$ litres. \item Calculer les volumes $V_{4}, V_{5}, V_{6}$ exprimés en litres, stockés respectivement les quatrième, cinquième, sixième samedis après la tonte. \end{enumerate} \item Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_{n}$. \item On définit, pour tout $n \geqslant 1,\: t_{n}$ par : $t_{n} = 160 - V_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(t_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $t_{1} = 40$ et de raison $\frac{1}{4}$. \item En déduire les expressions de $t_{n}$ puis de $V_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de $\left(t_{n}\right)$ puis celle de $\left(V_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} On considère les fonctions $h$ et $p$ définies sur $\R$ par \[h(x) = \text{e}^x\quad \text{et}\quad p(x) = x^2.\] \begin{enumerate} \item Tracer les courbes représentatives de $h$ et $p$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm. \item Ces deux courbes se coupent en un point A d'abscisse $\alpha$. Montrer que $a$ est solution de l'équation $x^2\text{e}^x = 1$ et lire sur le graphique une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 2cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item Vérifier que $f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^x} - 1$ et en déduire la limite de $f$ en + $\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variations. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique comprise entre $- 1$ et $0$ et que cette solution est $\alpha$. \item Donner un encadrement de $\alpha$à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1. \item Construire les tangentes et l'asymptote trouvées, ainsique $\mathcal{C}_{f}$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = (x^2 + 2x + 2)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer $g'(x)$. \item En déduire la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 1995 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 1995 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 1995} % \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une étude a été faite sur la fréquentation du cinéma dans une ville française pendant un mois. Dans cette ville, 25\,\% des habitants sont dans la tranche d'âge 0--14 ans (les \og enfants \fg) et 20\,\% des habitants sont dans la tranche d'âge 15--25 ans (les \og jeunes \fg). Les autres habitants seront dits \og adultes \fg. On choisit au hasard un habitant de cette ville. On note $E,~ J$, et $A$ les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $E$ \og l'habitant choisi est dans la tranche 0--14 ans \fg{} ; \item $J$ \og l'habitant choisi est dans la tranche 15--25 ans \fg{} ; \item $A$ \og l'habitant choisi est un adulte \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de séances auxquelles l'habitant choisi a assisté pendant un mois. L'étude menée permet d'établir les tableaux de probabilités conditionnelles suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &0 &1&2 &3\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p\left(X = x_{i}/E\right)$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{2}{10}$ & $\dfrac{2}{10}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p\left(X = x_{i})/J\right)$ & $\dfrac{1}{10}$ & $\dfrac{2}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $ \dfrac{3}{10}$& $\dfrac{3}{10}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& 0& 1 & 2 & 3\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p\left(X = x_{i}/A\right)$ & $\dfrac{4}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{2}{10}$ &$\dfrac{1}{10}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip Par exemple, $p(X = 2)/J$ désigne la probabilité pour que l'habitant choisi aille deux fois par mois au cinéma, sachant qu'il est jeune. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité pour que l'habitant choisi : \begin{enumerate} \item soit adulte ; \item soit jeune et aille deux fois par mois au cinéma. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que l'habitant choisi aille deux fois par mois au cinéma. \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant pour obtenir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline $p\left(X = x_{i}\right)$ & 0,315 & 0,280 & & 0,165 &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer E$(X)$, l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat obtenu. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation : \[x^2 - 4x - 5 = 0.\] \item En déduire la résolution, dans l'ensemble des nombres réels, des équations suivantes : \begin{enumerate} \item $(\ln x)^2 - 4\ln x - 5 = 0.$ \item $\ln (x - 3) + \ln(x - 1) = 3\ln 2.$ \item $\text{e}^x - 4 = 5\text{e}^{-x}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $u_{0} = \text{e}$ et, pour tout entier naturel $n,$ $ u_{n+1} = \sqrt{u_{n}}$. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_{n} = \ln u_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = ~ \dfrac{1}{2}v_{n}$ ; en déduire que $v_{n}$ est le terme général d'une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. \item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire celle de $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$ et $P_{n} = u_{0} \times u_{1} \times \cdots \times u_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P_{n} = \text{e}S_{n}$. \item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire l'expression de $P_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)_{n \in \N}$ ; en déduire celle de la suite $\left(P_{n}\right)_{n \in \N}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Le but du problème est de déterminer le prix d'équilibre d'un produit. On rappelle que le prix d'équilibre d'un produit est obtenu lorsque l'offre et la demande sont égales. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix proposé &$x_{i}$ &0,30 &0,35 &0,45 &0,65 &0,80 &1\\ \hline Demande &$y_{i}$ & 6,25 &4,90 &3,75 &2,75 & 2,40&2,25\\ \hline Offre &$z_{i}$ &1,251 &1,301 &1,301 &1,501 &1,551 &1,60\\ \hline \end{tabularx} \medskip Une étude faite sur ce produit a donné les résultats suivants (le prix au kilogramme est exprimé en francs et les quantités pour l'offre et la demande sont exprimées en milliers de kilogrammes). Dans ce problème, on utilisera, pour les calculs statistiques, les fonctions de la calculatrice (le détail de ces calculs n'est pas demandé). Tous les résultats numériques seront donnés en valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 10~cm pour 1~franc en abscisse et 2~cm pour 1~millier de kilogrammes en ordonnée. Représenter sur le même graphique les nuages de points associés respectivement aux séries statistiques $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~ z_{i}\right)$. Pour ces représentations, on recommande de prendre le papier millimétré dans le sens de la largeur et de figurer par des signes différents (croix ou points par exemple) les points de coordonnées $(x_{i}~;~y_{i})$ et ceux de coordonnées $(x_{i}~;~z_{i})$ respectivement. \item \textbf{Étude de la demande} La forme du nuage de points associé à la série $(x_{i}~;~y_{i})$ permet d'envisager un ajustement exponentiel de $y$ en $x$. On pose donc $Y_{i} = \ln y_{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x_{i}~;~Y_{i})$. Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $Y$ en $x$ est-il satisfaisant ? Pourquoi ? \item Donner alors une équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ sous la forme $Y = ax + b$. Grâce à l'égalité $Y_{i} = \ln y_{i}$, en déduire une estimation de la demande $y$, en fonction du prix $x$ au kilogramme. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de l'offre} La forme du nuage de points associé à la série $(x_{i}~;~ z_{i})$ permet d'envisager un ajustement affine de $z$ en $x$. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$. Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $z$ en $x$ est-il satisfaisant ? Pourquoi ? \item Donner alors une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = mx + p$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude graphique du prix d'équilibre} On considère, dans la suite du problème, que la demande et l'offre sont respectivement formalisées par les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0 ; 2] par $f(x) = \text{e}^{-~1,41x + 2,08}$ et $g(x) = 0,53x + 1,10.$ \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0, 2] et dresser son tableau de variations. \item Sur le graphique du 1), tracer les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. \item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre du produit. \end{enumerate} \item \textbf{Étude numérique du prix d'équilibre} On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par \[h(x) = f(x) - g (x).\] \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~2] et dresser son tableau de variations. \item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet dans l'intervalle [0 ; 2] une solution unique $x_{0}$. Donner une valeur approchée décimale à $10^{- 1}$ près de $x_{0}$. \item Quel est le prix d'équilibre du produit considéré ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% La Réunion juin 1995 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{À propos de pourcentages} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un pays X, l'inflation était de 15\,\% au cours du mois d'octobre 1994. S'il en est de même au cours du mois de novembre 1994, peut-on dire que l'inflation aura été de 30\,\% sur l'ensemble des 2 mois ? Justifier. \item Deux sociétés A et B proposent à leurs clients les placements suivants : A propose un intérêt de 9\,\% par an. B propose un intérêt de 0,75\,\% par mois. Dans les deux cas, les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de chaque période de référence ; année pour A, mois pour B. \begin{enumerate} \item Si un client place un capital de \np{1000000}~F, que sera devenu ce capital au bout d'une année dans les deux cas? \item Laquelle des deux sociétés offre le placement le plus avantageux pour les clients ? \end{enumerate} \item Dire qu'un taux mensuel de $t$\,\% est équivalent à un taux annuel de $t'$\,\% signifie qu'une somme placée au taux mensuel de $t$\,\% acquiert, au bout d'un an, la même valeur que si elle avait été placée au taux annuel de $t'$\,\%. On a donc : \[1 + \dfrac{t'}{100} = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{12}.\] Calculer $t$ à $10^{-2}$ près pour que $t'$ soit égal à 15 (on pourra utiliser la fonction logarithme). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On lance simultanément un dé cubique bleu et un dé cubique rouge. Les faces de chacun de ces deux dés sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer apparaît donc un couple de nombres. On suppose tous les résultats équiprobables. On désigne par $E$ l'évènement \og la somme des deux nombres est supérieure ou égale à 10 \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de $E$ est égale à $\dfrac{1}{6}$. \item On lance ces deux dés 10 fois de suite. Quelle est la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé exactement 3 fois ? (on donnera une valeur décimale arrondie à $10^{-3}$ près). \item On lance les deux dés $n$ fois de suite. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité $p_{n}$ que $E$ soit réalisé au moins une fois est égale à $1 - \left(\dfrac{5}{6} \right)^n$. \item Quel est le nombre minimum de lancers pour que cette probabilité $p_{n}$ soit supérieure à $0,9$ ? \item Quelle est la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \[g(x) = - x^2 - 2 + 2 \ln x.\] (ln désigne le logarithme népérien) $g'$ désignant la fonction dérivée de $g$, calculer $g'(x)$. Étudier le sens de variation de $g$. Calculer $g(1)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item On désigne par $f$ la fonction définie sur L'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = - x + 5 - 2\dfrac{\ln x}{x}.\] On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique: 1~cm). \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et quand $x$ tend vers $0$. \item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'$. Dresser le tableau de variations de $f$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x + 5$ est une asymptote à la courbe $(C)$. Étudier la position de $(C)$ par rapport à (D). \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~5]. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10-1? \item Tracer (D) et $(C)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[u(x) = (\ln x)^2.\] En déduire une primitive $H$ de la fonction $h$ définie ln x sur $]0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\] \item On désigne par $E$ la partie du plan limitée par la courbe $(C)$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. Mettre $E$ en évidence sur le graphique. Calculer l'aire, en cm$^2$, de cette partie $E$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% Asie juin 1995 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small juin 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 1995~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On a relevé dans le T. E. F. (Tableaux de l'économie française) de l'année 1994 les prestations sociales concernant la santé reçues par les ménages, en France, au cours d'un certain nombre d'années. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1988 &1989 &1990 &1991 &1992 &1993\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Dépenses de santé $y_{i}$ (en milliards de francs) &368 &395 &420 &443 &468 &487\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (on choisira des unités convenables de façon à utiliser au mieux toute la feuille de papier millimétré; en particulier on mettra $300$ à l'origine sur l'axe des ordonnées). (Les résultats numériques des questions 2 et 3 seront arrondis à $10^{- 3}$ près.) \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. \item Tracer cette droite de régression sur le graphique de la question 1. \end{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $y$ en $x$. \item D'après les résultats précédents, et en l'absence de contraintes nouvelles, quel aurait da être le montant approximatif, à 1 milliard de francs près, des prestations de santé, versé en 1994 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip À la cafétéria, dans la vitrine pâtisserie, \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item 60\,\% des gâteaux sont à base de crème ; \item parmi ceux qui sont à base de crème, 30\,\% ont aussi des fruits ; \item parmi les gâteaux qui n'ont pas de crème, 80\,\% ont des fruits. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prend un gâteau au hasard. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir un gâteau à base de crème et comportant des fruits. \item Calculer la probabilité d'avoir un gâteau avec des fruits mais sans crème. \item En déduire que la probabilité d'avoir un gâteau avec des fruits est égale \`a $0,50$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le gâteau pris au hasard comporte des fruits. Quelle est la probabilité qu'il soit à base de crème ? \item Le gâteau pris au hasard ne comporte pas de fruit. Quelle est la probabilité qu'il soit à base de crème ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$, par son premier terme $u_{0} = 5$ et, pour tout entier $n$, par la relation de récurrence $u_{n+1} = a u_{n} + 4$ ($a$ est un réel). On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le réel $a$ pour que la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ soit une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. \item Dans la suite de l'exercice, on prend $a = \dfrac{1}{3}$. Calculer $v_{n}$ en fonction de $n$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle convergente ? \item Déduire de la question précédente la limite de $\left(u_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? \item \begin{enumerate} \item Calculer la somme $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$ en fonction de $n$. \item Étudier la convergence de la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur $\N$. \item En déduire la limite de la somme $\sum_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ telle que: \[f(x) = ax^3 + bx^2 + c\quad \text{où}\: a, b et c \text{désignent des nombres réels}.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij. Calculer les réels $a, b$ et $c$ sachant que la courbe $\mathcal{C}$ possède les propriétés suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $\mathcal{C}$ coupe l'axe (O,[) au point d/ordonnée 20. \item $\mathcal{C}$ passe par le point A( - 1 ; 18) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 3. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\R$ par \[g(x) = - x^3 - 3x^2 + 20.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $g$. \item Calculer $g(2)$. Déduire de ce résultat et de l'étude des variations de $g$ l'ensemble des solutions dans $\R$, de l'inéquation : $g(x) > 0$. \item Représenter graphiquement la fonction $g$ sur $[- 2~;~2[$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unités : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. On notera $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de $g$. \item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-2~;~1]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $h$ la fonction numérique définie sur $]- \infty~;~2[$ par: \[h(x) = \ln \left(- x^3 - 3x^2 + 20\right).\] \begin{enumerate} \item Utiliser des résultats de la partie B pour justifier que $h$ est bien définie sur $]- \infty~;~2[$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $h$ en $- \infty$ et en $2$. \item Établir le tableau de variation de $h$. \end{enumerate} \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{2}$ de $h$ sur $[- 2~;~2[$ dans le repère précédent. \item \begin{enumerate} \item En utilisant le graphique, justifier que l'équation, $h(x) = 2$, a une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~2[$. \item Démontrer que $\alpha$ est élément de l'intervalle $\left[1~; \dfrac{7}{4}\right]$. \item Calculer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par excès. \item L'équation $g(x) = \text{e}^2$ a une solution unique dans $\R$ ; laquelle ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Asie juin 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie juin 1995 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1995~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une étude statistique de l'INSEE sur la situation des familles françaises a permis de construire le graphique joint ci-après. On se propose de faire une prévision pour la situation en 1995, en admettant que l'évolution se poursuive de la même façon. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Utiliser le graphique pour compléter le tableau suivant (que l'on recopiera sur la copie) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $a_{i}$& 1970 &1975 &1980 &1985 &1990\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Nombre de naissances hors mariage &&&&&\\ \hline Pourcentage correspondant $z_{i}$&6,5&&&&30\\ \hline $y_{i} = \ln z_{i}$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les pourcentages $z_{i}$ seront lus à 0,5\,\% près et les valeurs de $y_{i}$ données à $10^{-2}$ près. \item Calculer le nombre total de naissances en 1990. \end{enumerate} \item Comme le suggère le graphique, un ajustement affine est à rejeter. On va procéder à un ajustement exponentiel. Le détail des calculs n'est pas demandé. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 5~cm sur l'axe des ordonnées) dont on choisira convenablement l'origine. \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés. Représenter cette droite sur le graphique de la question précédente. \item Quelle valeur de $y$ peut-on prévoir en 1995 ? En déduire une estimation du pourcentage du nombre de naissances hors mariage, par rapport au nombre total de naissances, en 1995. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=1.8cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(0,-4)(6,32) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1965](0,0)(6,32) \multido{\n=0+1}{33}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(6,\n)} \uput[r](0,32){Pourcentage}\uput[u](6,0){Années} \psdots[dotscale=1.5](1,6.5)(2,8.5)(3,12)(4,20)(5,30.1) \rput(3,-3.5){Document graphique: source INSEE, statistiques de l'état-civil.} \end{pspicture} \end{center} Exemple de lecture : en 1980, \np{229107} enfants sont nés hors mariage et représentent 30,1\,\% du total des naissances. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le but de cet exercice est de vérifier l'efficacitéé d'un vaccin sur une population donnée. On dispose des données suivantes : \begin{enumerate} \item[i.] Un quart de la population a été vaccinée contre la maladie. \item[ii.] Au cours d'une épidémie. on constate qu'il y a 1 vacciné sur 13 parmi les malades. \item[iii.] La probabilité qu'un individu soit malade sachant qu'il est vacciné est égale à $0,1$. \end{enumerate} Pour une personne choisie au hasard on notera $M$ l'évènement \og être malade \fg, $\overline{M}$ son contraire, $V$ l'évènement \og être vacciné \fg, $\overline{V}$ son contraire. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard une personne dans la population. Décrire à l'aide de $M$ et de $V$ les diverses situations possibles de cette personne, en ce qui concerne la vaccination et l'atteinte par la maladie (par exemple: \og être malade et être vacciné \fg, etc.). Traduire, en langage de probabilités, les hypothèses de l'énoncé. \item Calculer la probabilité de l'évènement \og $M$ et $V$ \fg, notée $p(M (] V$). En déduire que la probabilité $p(M)$ de l'évènement $M$ est égale à $\dfrac{13}{40}$. \item Calculer les probabilités des deux évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og être malade et ne pas être vacciné \fg, notée $p\left(M \cap \overline{V}\right)$. \item \og être malade sachant que l'on n'est pas vacciné \fg, notée $p\left(M/\overline{V}\right)$. \end{enumerate} \item Déterminer le réel $k$ tel que $p(M/V) = kp\left(M /\overline{V}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches. On tire simultanément 2 boules. \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les probabilités des évènements suivants : $A$ : \og Obtenir 2 boules blanches \fg. $B$ : \og Obtenir 2 boules rouges \fg. $C$ : \og Obtenir 2 boules de couleurs différentes \fg. Quelle est la probabilité pour qu'il soit satisfait 4 fois sur 5 ? \item On fixe la règle du jeu suivante : lors d'un tirage de deux boules \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item on gagne $10$ francs si l'on tire deux boules blanches (évènement $A$); \item on gagne $2$ francs si l'on tire deux boules rouges (évènement $B$) ; \item on perd $5$ francs si l'on tire deux boules de couleur différente (évènement $C$). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On définit ainsi une variable aléatoire $X$ égale au gain, positif ou négatif, associé à une partie. Quelle est l'espérance de gain au cours d'une partie (espérance mathématique de $X$) ? \item On répète $5$ fois de suite le tirage, en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne, de sorte que les tirages successifs peuvent être considérés comme indépendants. Le joueur est satisfait à chaque fois que $A$ est réalisé. Quelle est la probabilité pour qu'il soit satisfait 4 fois sur 5 ? On donnera une valeur décimale approchée à $10^{-5}$ près. - \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip L'objectif de ce problème est l'étude de la fonction $f$ définie dans $\R$ par \[f(x) = \dfrac{3\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1}\] et de sa représentation graphique $\mathcal{C}$ dans un plan muni d'un repère orthonormé (unité graphique : 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit la fonction $g$ définie dans $[0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{3x - 1}{lx + 1}.\] Étudier les variations de $g$ ; on précisera la limite en $+ \infty$. \item Montrer que la fonction $f$ est la composée de $g$ et d'une fonction à préciser, dont on rappellera le sens de variation. \item Utiliser b. pour étudier les variations de $f$ sur $\R$. On déterminera les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ et on en donnera l'interprétation graphique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{f(x) + f(-x)}{2}$. Il en résulte, ce que l'on admettra, que la courbe $\mathcal{C}$ a le point I(0~;~1) comme centre de symétrie. \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. Donner une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Utiliser tous les résultats obtenus précédemment pour construire $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par \[F(x) = 4\ln \left(\text{e}^x + 1\right) - x\] est une primitive de $f$. \item Calculer l'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$. On donnera une valeur exacte, puis une valeur approchée en cm$^2$, au mm$^2$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1995 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small septembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1995~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne, en fonction de l'année, le montant des prêts d'aide, à l'accession à la propriété (les PAP) en milliers de francs. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c |*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline\hline Année &1982 &1983 &1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline Rang : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline PAP : $y_{i}$ &127&115 &113 &93&86 &78,1&60 &48 &38 &33\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\small (Source: ministère de l'Équipement, du Logement et des Transports)}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra 1~cm pour un rang sur l'axe des abscisses et 1~cm pour \np{10000}~F sur l'axe des ordonnées. Ce nuage permet-il d'envisager un ajustement linéaire? \item Le détail des calculs n'est pas demandé et les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Interpréter le résultat trouvé. \item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Construire cette droite dans le repère précédent. \end{enumerate} \item Si la progression se poursuivait dans les mêmes conditions, à partir de quelle année le montant des prêts PAP deviendrait-il nul ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = 3x^2 - 5x - 2.\] \begin{enumerate} \item Factoriser $f(x)$. \item Pour quelle valeur de $x$, $f$ admet-elle un minimum ? Quelle est la valeur minimale de $f(x)$ ? \item Tracer la courbe représentative $C$ de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. (unités : 3~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée.) \end{enumerate} \item On pose $b(x) = \dfrac{1}{3x^2 - 5x - 2}$ avec $x \in [0~;~2[$. \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x < 2}} b(x)$. \item Étudier les variations de $b$ sur l'intervalle $I = [0~;~2[$. \item Tracer la courbe représentative $C'$ de $b$ dans le même repère que $C$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un dé cubique A porte inscrits sur ses faces les nombres : $- 2,\: 1,\: 1,\: 1,\: 2n,\: - n$ (où $n$ est un entier relatif). On suppose qu'à chaque lancer, les faces de A ont la même probabilité d'apparition. \medskip \begin{enumerate} \item On lance une fois le dé A et on note $X$ le nombre obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire. Déterminer la loi de probabilité de $X$ : \begin{enumerate} \item lorsque $n = 3$. \item lorsque $n = - 1$ ; calculer alors l'espérance mathématique de $X$. \hspace{-1.25cm}\emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera à $n$ la valeur $- 1$.} \end{enumerate} \item On lance A, 6 fois de suite. Déterminer la probabilité d'obtenir 4 fois exactement le nombre $1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit B un autre dé cubique dont les faces portent les nombres $-3,\: -2,\: - 1,\: 1,\:2,\:3,$ de telle sorte que les probabilités d'apparition respectives de ces nombres soient six termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $p(-3)$, probabilité d'apparition de la face portant le nombre $- 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité d'apparition de chacune des faces de B. \item On lance le dé A puis de façon indépendante le dé B. Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à $- 1$ ? \end{enumerate} \textbf{N. B.} : On donnera les résultats sous forme fractionnaire. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Une entreprise fabrique un solvant pour peinture. On désigne par $x$ le nombre de m$^3$ de solvant produits chaque jour ; $x \in [1~;~6]$. Le coût total de production de ces $x$ mètres cubes, en milliers de francs (kF) est : \[C_{t}(x) = \dfrac{x^2}{4} + 2,8 + 2\ln x.\] On cherche à déterminer le prix de vente pour que l'entreprise fasse des bénéfices. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Étude de la fonction \og coût total \og}{}\: \boldmath $C_{t}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $C_{t}$ sur [1~;~6]. (Ces variations pourront être déduites de celles des fonctions $x \longmapsto \dfrac{x^2}{4}+ 2,8$ et $x \longmapsto 2\ln x$). \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4 &4,5 &5 &5,5 &6 \\ \hline $C_{t}(x)$ à $10^{-1}$ près&& & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer dans un repère \Oij{} la représentation graphique $C$ de la fonction $C_{t}$ (unités : 2~cm pour 1 m$^3$ et 1~cm pour 1~kF). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Étude de la fonction \og coût moyen \fg{}} \boldmath $C_{m}$ \unboldmath \medskip Pour une production journalière de $x$ mètres cubes, le coût moyen de production en milliers de francs de 1 m$^3$ est \[C_{m}(x) = \dfrac{C_{t}(x)}{x}.\] \begin{enumerate} \item Écrire $C_{m}(x)$ en fonction de $x$. \item Démontrer que pour tout réel $x$ de [1~;~6], $C_{m}(x)$ a le même signe que $f(x) = x^2 - 3,2 - 8\ln x$. \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur [1~;~6]. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans [1~;~6], puis déterminer une valeur approchée par excès de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \medskip \emph{Dans la suite du problème, on utilisera cette valeur dans les calculs.} \item En déduire le signe de $f(x)$ sur [1~;~6]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction Cm sur [1~;~6]. \item Quel est le coût minimal de production de 1 m$^3$ de solvant? Pour quelle production ? \item Comment faut-il choisir le prix de vente de 1 m$^3$ de solvant pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% La Réunion septembre 1995 \hypertarget{La Reunionsept}{} \label{LaReunionsept} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small septembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion septembre 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip $\bullet~~$ À propos de pourcentages \medskip \begin{enumerate} \item Dans un pays X, l'inflation était de 15\,\% au cours du mois d'octobre 1994. S'il en est de même au cours du mois de novembre 1994, peut-on dire que l'inflation aura été de 30\,\% sur l'ensemble des 2 mois ? Justifier. \item Deux sociétés A et B proposent à leurs clients les placements suivants : A propose un intérêt de 9\,\% par an. B propose un intérêt de 0,75\,\% par mois. Dans les deux cas, les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de chaque période de référence : année pour A, mois pour B. \begin{enumerate} \item Si un client place un capital de 1 000 000 F, que sera devenu ce capital au bout d'une année dans les deux cas? \item Laquelle des deux sociétés offre le placement le plus avantageux pour les clients ? \end{enumerate} \item Dire qu'un taux mensuel de $t$\,\% est équivalent à un taux annuel de $t’$\,\% signifie qu'une somme placée au taux mensuel de $t$\,\% acquiert, au bout d'un an, la même valeur que si elle avait été placée au taux annuel de $t’$\,\%. On a donc : $1 + \dfrac{t’^9}{100} = \left(1 + \dfrac{0,75t}{100}\right)^{12}$. Calculer $t$ à $10^{-2}$ près pour que $t'$ soit égal à $15$. (On pourra utiliser la fonction logarithme.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip On lance simultanément un dé cubique bleu et un dé cubique rouge. Les faces de chacun de ces deux dés sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer apparaît donc un couple de nombres. On suppose tous les résultats équiprobables. On désigne par E l'évènement \og la somme des deux nombres est supérieure ou égale à 10 \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de E est égale à $\dfrac{1}{6}$. \item On lance ces deux dés $10$ fois de suite. Quelle est la probabilité que l'évènement E soit réalisé exactement 3 fois ? (On donnera une valeur décimale arrondie à $10^{-3}$ près.) \item On lance les deux dés $n$ fois de suite. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité $P_n$ que E soit réalisé au moins une fois est égale à $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n$. \item Quel est le nombre minimum de lancers pour que cette probabilité $P_n$ soit supérieure à 0,9 ? \item Quelle est la limite de $P_n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = - x^2 - 2 + 2\ln x\] (ln désigne le logarithme népérien). $g'$ désignant la fonction dérivée de $g$, calculer $g'(x)$. Étudier le sens de variation de $g$. Calculer $g (1)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty$. \item On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = - x + 5 - 2\dfrac{\ln x}{x}.\] On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unités graphiques : 1 cm). \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et quand $x$ tend vers $0$. \item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$ calculer $f'(x)$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'$. Dresser le tableau de variations de $f$. \item Montrer que la droite (D) d'équation $y = - x + 5$ est une asymptote à la courbe (C). Étudier la position de (C) par rapport à (D). \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~5]. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. \item Tracer (D) et (C). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $u(x) = (\ln x)^2$. En déduire une primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. \item On désigne par E la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. Mettre E en évidence sur le graphique. Calculer l'aire, en cm$^2$, de cette partie E. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin La Réunion septembre 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole septembre 1995 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small septembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'épargne des ménages (en milliards de francs) en France, entre 1981 et 1988. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{| m{3cm} |*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \hline Année &1981 &1992 &1983 &1984 & 1985 & 1986& 1987 & 1988\\ \hline $x_i$ : rang de l'année &1 &2 & 3 &4 &5 &6 & 7 & 8\\ \hline $y_i$ : épargne des ménages & 417 & 458 & 459 &447& 465&463 &417 &475\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à cette série statistique, dans un plan rapporté à un rep\`ere orthogonal ; on choisira pour unités graphiques : - sur l'axe des abscisses, 1~cm pour une année - sur l'axe des ordonnées, 2~cm pour 10 milliards de francs. \textbf{N. B.} - On ne cherchera pas à faire apparaître l'origine sur la feuille. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d'accroissement annuel de l'épargne des ménages pour chacune des années de 1982 à 1988 (on exprimera le résultat en pourcentage avec une décimale) ; par exemple, pour 1984, ce taux est : \[\dfrac{447 - 459}{459} = - 0,026\,\%\quad \text{soit} \:\: - 2,6\,\%\] \item Quelle est, sur la période 1982--1988, la moyenne $M$ des taux calculés en a. ? (On exprimera le résultat en pourcentage.) \end{enumerate} \item Pour effectuer une prévision sur le montant ultérieur de l'épargne, on peut utiliser un ajustement logarithmique, de la forme \[y = a \ln x + b,\quad \text{où}\: a\: \text{et} b\: \text{sont deux nombres réels.}\] \begin{enumerate} \item Calculer $a$ et $b$ sachant que la courbe d'ajustement passe par les deux points M(1~;~417) et M(8~;~475). \item En déduire, selon ce procédé, le montant prévisionnel $E$ (arrondi à l'unité prés) de l'épargne des ménages pour 1995. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans un immeuble de vacances, il y a 50 studios et 60 appartements de type F1 en location. L'agence chargée de la location fournit les renseignements suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~} &\multicolumn{4}{c|}{Type d'appartement}\\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~} &\multicolumn{2}{|c|}{Studio}&\multicolumn{2}{c|}{F1}\\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~} &Adultes&Enfants&Adultes &Enfants\\ \hline Nombre de lits & 2 & 2 & 2 & 3 \\ \hline \end{tabularx} \medskip Chaque vacancier, adulte ou enfant, a une fiche à l'agence de location. On suppose que chaque lit est occupé par une seule personne. Chaque logement est loué par deux adultes avec enfants, et tous les lits sont occupés. On tire, au hasard, la fiche d'un vacancier de l'immeuble. \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $S$ : \og Le vacancier habite un studio \fg{} ; \item $F$ : \og Le vacancier habite un F1 \fg{} ; \item $A$ : \og Le vacancier est un adulte \fg{} ; \item $E$ : \og Le vacancier est un enfant \fg{} ; \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Quelle est la probabilité de tirer la fiche d'un enfant habitant un F1 ? \item On tire la fiche d'un enfant. Quelle est la probabilité pour qu'il habite un studio ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le président d'une association sportive constate que, chaque année, l'association garde 75\,\% de ses anciens adhérents et qu'il y a $800$ nouveaux adhérents. On suppose que l'évolution du nombre des adhérents reste la même au fil des ans. On se propose d'étudier cette évolution. On note $u_n$ le nombre d'adhérents au bout de $n$ années. On sait qu'au démarrage de l'association, il y avait \np{1600} adhérents, soit $u_{0} = \np{1600}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item Montrer que, pour tout $n,\: u_{n+ 1} = 0,75u_{n} + 800$. \item On pose $v_{n} = \np{3200} - u_{n}$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_{0}$. \item Vérifier que $v_{n+1} = 0,75v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n} \right)_{n \in \N}$ ? En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire que $u_{n} = \np{3200} - \np{1600} \times (0,75)^n$. Étudier la limite de la suite $\left(u_{n} \right)_{n \in \N}$. Que peut-on en déduire concernant le nombre d'adhérents de l'association ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[u(x) = \text{e}^{0,5x}\quad \text{et}\quad v(x) = \dfrac{1}{4}(x + 2)^2.\] Sur la figure placée à la fin de l'énoncé, on a donné les courbes représentatives $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$ de ces deux fonctions, dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques: 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées). Les courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$ se coupent aux points d'abscisses $0$ et $\alpha$. La but du problème est de comparer $u$ et $v$, à travers leur différence puis leur quotient. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip En utilisant le graphique, on va étudier la différence entre $u$ et $v$. Pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$, on pose $b(x) = v(x) - u(x)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $b'(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + 2 - \text{e}^{0,5x}\right)$. \item La droite $D$ d'équation $y = x + 2$ a été tracée sur le graphique. On appelle $\beta$ l'abscisse du point d'intersection de $D$ et $\mathcal{C}_{u}$. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs de $x$, le signe de $b'(x)$. En déduire les variations de $b$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Soient $M$ et $N$ les points d'abscisse $x$, situés respectivement sur les courbes $\mathcal{C}_{u}$ et $\mathcal{C}_{v}$. On a ainsi $b(x) = y_{N} - y_{M}$ où $y_{M}$ désigne l'ordonnée du point $M$ et $y_{N}$ l'ordonnée du point $N$. Utiliser cette propriété pour construire, sur la figure donnée et sans faire aucun calcul, la courbe représentative $\Gamma$ de $b$. On construira, en particulier, les points d'abscisses $1, 2, \alpha, \beta$ et on indiquera la tangente de $\Gamma$ en $0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On va maintenant étudier les variations du quotient $q$ des deux fonctions $u$ et $v$. Pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$, soit $q(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ et soit $f(x) = \ln [q(x)]$. \medskip \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi les fonctions $q$ et $f$ ont les mêmes variations. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f(x) = 2\ln (x + 2) - 2\ln 2 - \dfrac{x}{2}$. Calculer la dérivée de $f$, étudier son signe, et en déduire les variations de $q$. \item Vérifier que, pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[$, \[q(x) = \dfrac{(0,5x)^2}{\text{e}^{0,5x}} \times \dfrac{(x+ 2)^2}{x^2}.\] En déduire la limite de $q$ en $+ \infty$. \item Dresser le tableau de variations de $q$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(6,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(6,20) \psline(0,2)(6,8)\rput(5.7,7.3){$D$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{2.71828 0.5 x mul exp} \rput(5.1,15){$\mathcal{C}_{u}$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 2 add dup mul 0.25 mul} \rput(6.1,15){$\mathcal{C}_{v}$} \uput[l](0,1){$1$} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](3.36,0)(3.36,5.36) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.03,0)(5.03,12.37) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 1995 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small septembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le polynôme \[P(x) = 2x^3 - 9x^2 + x + 12. \] \begin{enumerate} \item Calculer $P\left(\dfrac{3}{2}\right)$. \item Dresser le tableau des valeurs $P(x)$ pour $x$ entier dans l'intervalle $[-2~;~5]$. \item Trouver deux racines réelles de l'équation \[2\text{e}^{3x} - 9\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} + 12 = 0.\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une coopérative agricole peut louer chaque jour, pour la journée, trois tracteurs identiques. En désignant par $N$ le nombre de tracteurs demandés chaque jour, la coopérative a pu établir les probabilités des valeurs de $N$ sous la forme du tableau suivant \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline $N$ &0 &1 &2 &3 &4 &5& 6 et plus\\ \hline $p$&0,22 &0,34 &0,26 &0,13 &0,04 &0,01&0\\ \hline \end{tabularx} \medskip On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tracteurs loués un jour donné. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Pour la location d'un tracteur à la journée la coopérative demande \np{2400}~F à l'utilisateur. Le coût d'entretien de \textbf{l'ensemble des tracteurs} est de $800$~F par jour, quel que soit le nombre d'engins loués, auquel s'ajoutent $600$~F par jour pour chaque engin effectivement utilisé. \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice de la coopérative (en francs) est par jour $B = \np{1800}X - 800$. \item Donner, sous forme de tableau, les différentes valeurs possibles du bénéfice quotidien et les probabilités associées. \item Calculer l'espérance mathématique du bénéfice quotidien. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une urne A contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Une urne B contient 1 boule noire et 3 boules vertes. On tire simultanément trois boules, deux dans l'urne A et une dans l'urne B. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que les deux boules tirées de A soient noires ? Montrer que la probabilité de tirer trois boules noires est égale à $\dfrac{1}{10}$ (\og tirage noir \fg) \item On tire trois boules de trois couleurs différentes ; préciser pour chacune des couleurs l'urne d'origine de la boule correspondante. Quelle est la probabilité de l'évènement \og les trois boules tirées sont de trois couleurs différentes \fg{} ? \end{enumerate} \item On répète cinq fois de suite le tirage de trois boules, en remettant à chaque fois les boules tirées dans leurs urnes respectives, de sorte que l'on peut considérer les tirages successifs comme indépendants. Quelle est la probabilité que, sur les cinq tirages, on ait obtenu deux fois exactement un \og tirage noir \fg ? \textbf{N. B.} : Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{N. B.} : Toutes les réponses doivent être justifiées. \medskip Soit $f$ la fonction définie dans $\R$ par \[f(x) = x + \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}.\] Sa courbe représentative, dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 3~cm), est notée $\mathcal{C}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. En déduire le sens de variation de $f$ dans $\R$, et dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $D_{1}$, d'équation $y = x$, et $D_{2}$ d'équation $y = x + 2$, sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. Préciser les positions de $D_{1}$ et de $D_{2}$ par rapport à $\mathcal{C}$. \item Donner une équation de la tangente $T$ de $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. \item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant, avec des valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$- 3$ &$-2,5$ &$-2$ &$-1,5$ &$-1$ &$-0,5$ &0\\ \hline $f(x)$ & & &$-0,24$& &0,46 &0,74 &\\ \cline{1-7}\hline\hline $x$ &0,5 &1 &1,5 &2 &2,5 &3 &\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{1-7} $f(x)$ & 1,26 &1,54 & & 2,24 & & 3,09 &\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{1-7} \end{tabularx} \medskip \item Représenter $D_{1}, D_{2}, T$ et $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans $[-3~;~3]$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $2.10^{-2}$. \item On se propose de déterminer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D_{1}$, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$. \begin{enumerate} \item Hachurer cette partie du plan sur le graphique. \item Vérifier que $\dfrac{2}{\text{e}^x + 1} = 2 - \dfrac{2u'(x)}{u(x)}$ où $u(x) = \text{e}^x + 1$ et où $u'$ est la dérivée de $u$. En déduire une primitive de $g(x) = \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}$. \item Calculer $\mathcal{A}$ ; en donner la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 1995 \newpage %%%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau octobre 1995 \hypertarget{Sportifs}{} \label{Sportifs} \lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}} \rfoot{\small octobre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau octobre 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau ci-dessous donne, pour les années impaires, le taux de chômage de la population active entre 1973 et 1993 (source : \emph{INSEE - Ministère du travail $1994$}). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline année &73 &75 &77 &79 &81 &83 &85 &87 &89 &91 &93\\ \hline rang de l'année $\left(x_{i}\right)$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline taux de chômage en \,\% $\left(y_{i}\right)$ &2,5 &3,9 &4,8 &6 &7,1 &8 &9,9 &10,5&9,8&10,4 &12\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter dans un repère orthonormal (unité graphique : 1~cm) le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et placer le point moyen $G$, après avoir donné ses coordonnées $x$ et $y$ (arrondies à $10^{-1}$ près). \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'approximation décimale arrondie à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ (on ne demande pas de présenter les calculs intermédiaires). Un ajustement affine est-il justifié? \item Donner, sous la forme $y = ax + b$, l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ (on donnera pour $a$ et $b$ les approximations décimales arrondies à $10^{-1}$ près). Construire cette droite sur le graphique de la question 1. \item Si l'on utilisait l'équation précédente, quel taux de chômage pourrait-on prévoir pour l'année 1995 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un examen comportant deux épreuves vient d'avoir lieu. On appelle $N_{1}$ la note obtenue à la première épreuve, et $N_{2}$ celle obtenue à la deuxième. Un étudiant est reçu à l'examen si, à chacune des deux épreuves, sa note est supérieure ou égale à $10$. Le tableau ci-dessous donne une répartition des notes des $350$ étudiants qui ont subi les deux épreuves de l'examen. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} & $N_{1} < 10$ & $10 \leqslant N_{1} < 12$& $N_{1} \geqslant 12$& Total\\ \hline $N_{2} < 10$ &70 & & &210 \\ \hline $N_{2} \geqslant 10$& & & &\\ \hline Total & 140 & & &350 \\ \hline \end{tabularx} \medskip On sait, de plus, que - pour $20$\,\% des étudiants, $N_{1} \geqslant 12$ ; - parmi les étudiants pour lesquels $N_{1} \geqslant 12$, il y en a $80$\:\% pour lesquels $N_{2} \geqslant 10$. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau précédent. On expliquera seulement pourquoi il y a $56$~étudiants pour lesquels $N_{1} \geqslant 12$ et $N_{2} \geqslant 10$. \item On décide de choisir au hasard un étudiant parmi les $350$ qui ont subi les deux épreuves de l'examen. À l'aide du tableau, donner les probabilités que : \begin{enumerate} \item ses deux notes soient strictement inférieures à 10; \item sa note à la deuxième épreuve soit strictement inférieure à 10, sachant que la note qu'il a obtenue à la première épreuve est strictement inférieure à 10 ; \item cet étudiant soit reçu à l'examen. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Étude graphique de \boldmath$f$ \unboldmath sur \boldmath $[-1~;~3]$ \unboldmath} \medskip Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, dont la dérivée est notée $f'$. À l'aide d'un ordinateur, on a tracé ci-dessous la courbe $\Gamma$, représentative de $f'$ sur l'intervalle $[-1~;~3]$, dans un repère orthogonal \Oij. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-3.5)(3,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(3,1.1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7}{3}{1 2 2.71828 x exp div sub} \uput[ul](0.69,0){$\ln 2$}\rput(1,-3.5){Représentation graphique de $f'$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} On répondra, à l'aide de cette figure, aux questions posées dans cette partie. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-1~;~3]$. Préciser pour quelle valeur de $x$, la fonction $f$ admet un extremum. \item $\mathcal{C}_{f}$ désignant la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij, donner le coefficient directeur de la tangente de cette courbe, au point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \item Parmi les courbes $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}, \mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ représentées ci-dessous, se trouve la courbe $\mathcal{C}_{f}$. Indiquer celles qui ne conviennent pas, en donnant pour chacune une justification. \end{enumerate} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(3,5) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(3,5) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{0.5 2.71828 x exp mul 1 sub}\uput[r](2.2,3){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[d](0.69,0){\small $\ln 2$} \end{pspicture}&\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-4)(3,3) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-4)(3,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 2.71828 x exp 0.5 mul sub 3 add} \uput[d](0.69,0){\small $\ln 2$}\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.69,0)(0.69,2.6)\uput[r](2.2,0.8){$\mathcal{C}_{2}$} \end{pspicture}\\ \hline \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(3,4.5) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(3,4.5) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 2 2.71828 x exp div add} \uput[d](0.69,0){\small $\ln 2$}\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.69,0)(0.69,1.6)\uput[u](2.8,2.9){$\mathcal{C}_{3}$} \end{pspicture}&\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(3,4) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(3,4) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{2.71828 x exp 0.125 mul x 0.5 mul sub 1.586 add} \uput[d](0.69,0){\footnotesize $\ln 2$}\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.69,0)(0.69,1.4)\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](1.38,0)(1.38,1.4) \uput[d](1.38,0){\footnotesize $2 \ln 2$}\uput[u](2.8,2.3){$\mathcal{C}_{4}$} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Étude de la fonction \boldmath$f$\unboldmath sur }\:\boldmath$\R$\unboldmath \medskip Dans cette partie, on se propose d'étudier sur $\R$, par le calcul, la fonction $f$ de la partie A. On admet que $f$ est définie, pour tout $x$ de $\R$, par \[f(x) = x + 2\text{e}^{-x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et préciser la position relative de $D$ et de $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x}\left(x\text{e}^x + 2\right)$. En déduire la limite de $f$ en $- \infty$ (on admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^{- x} = 0$). \item Calculer $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente de $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$. \item Existe·t·il des droites tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ parallèles à $D$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis l'approximation décimale arrondie à $10^{-2}$ près. Décrire une partie du plan ayant pour aire (en unité d'aire) la valeur trouvée. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Sportifs de haut-niveau octobre 1995 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 1995 \hypertarget{Caledonie}{} \label{Caledonie} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 1995}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Terminale ES Nouvelle-Calédonie novembre 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Le niveau sonore $d(I)$, en décibels (db), d'un son d'intensité $I$ est donné par la formule : $d(I) = \dfrac{10}{\ln 10}\left(\ln I - \ln I_{0}\right)$, où $I_{0}$ est l'intensité du seuil d'audibilité de l'oreille humaine. \medskip \begin{enumerate} \item Une voix humaine produit un son dont l'intensité $I$ est égale à $10^6 I_{0}$. Calculer le niveau sonore $d(I)$, en décibels, atteint par cette voix humaine. \item Calculer $\dfrac{I_{1}}{I_{0}},\:\dfrac{I_{2}}{I_{0}}$ puis $\dfrac{I_{2}}{I_{1}}$ lorsque : $I_{1}$ correspond à un niveau sonore de 90 db (au-delà de ce niveau, on considère qu'il y a danger et risque de surdité). $I_{2}$ correspond à un niveau sonore de 120 db (c'est le niveau sonore atteint par un concert des \og Who \fg{} en 1976). \item Dans cette question, $I_{1}$ et $I_{2}$ désignent des intensités quelconques ; on suppose $I_{1} \leqslant I_{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $d\left(I_{2}\right) - d\left(I_{1}\right) = \dfrac{10}{\ln 10} \left(\ln I_{2} - \ln I_{1}\right)$. \item Calculer cette différence $d\left(I_{2}\right) - d\left(I_{1}\right)$, arrondie au dixième le plus proche, lorsque $I_{2} = 2 I_{1}$. \item Déterminer $\dfrac{I_{2}}{I_{1}}$ lorsque $d\left(I_{2}\right) - d\left(I_{1}\right) = 15$, puis justifier l'affirmation suivante : \og 115 décibels, c'est environ 32 fois plus fort que 100 décibels \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Au secrétariat d'un lycée, chaque élève a un dossier scolaire. Tous ces dossiers sont regroupés dans une m\^eme armoire. On a les données suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 20\,\% des élèves de ce lycée sont internes, 50\,\% sont demi-pensionnaires et 30\,\% sont externes; \item 60\,\% des internes sont des garçons ; \item 50\,\% des demi-pensionnaires sont des filles ; \item 10\,\% des externes sont des garçons. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item On extrait au hasard un dossier d'élève de l'armoire. Quelle est la probabilité d'obtenir le dossier : \begin{enumerate} \item d'une fille interne ? \item d'une fille ? \item d'un garçon ? \item d'un demi-pensionnaire sachant que c'est le dossier d'une fille ? \end{enumerate} \item Soit $A$ l'évènement \og le dossier extrait est celui d'un garçon externe \fg. Montrer que la probabilité de $A$ est égale à 0,03. \item On extrait au hasard un dossier de l'armoire, on regarde ce que l'on obtient, puis on le replace dans l'armoire. On répète cinq fois cette expérience. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir ainsi, les dossiers de cinq garçons externes ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir ainsi, les dossiers de cinq garçons externes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On a rangé en vrac dans une boîte neuf cartes postales indiscernables au toucher. Cinq de ces cartes proviennent de France, une provient d'Australie et trois des États-Unis. \medskip \textbf{Partie A -} On tire simultanément et au hasard 3 cartes de la boîte. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de n'obtenir aucune carte de France parmi les 3 cartes tirées est égale à $\dfrac{1}{21}$. \item Calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] E1 : \og Lors d'un tirage, obtenir une carte de chaque pays \fg. \item[ ] E2 : \og Lors d'un tirage, obtenir au moins une carte de France \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage de 3 cartes de la boîte, le nombre de cartes de France obtenues. Déterminer la loi de probabilité de $X$. Les différentes probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles et le résultats seront rassemblés dans un tableau. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -} \medskip \begin{enumerate} \item On répète ce tirage cinq fois de suite en remettant à chaque fois les 3 cartes tirées dans la boîte. Quelle est la probabilité de l'évènement : \og lors de ces cinq tirages, deux fois et deux fois seulement, on n'obtient aucune carte de France \fg. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat. \item On répète ce tirage $n$ fois de suite en remettant à chaque foi les 3 cartes tirées dans la boîte. À partir de quelle valeur de $n$, la probabilité d'obtenir au moins un tirage sans carte de France est-elle supérieure ou égale à $0,95$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \medskip La fonction $f$ est une fonction numérique définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$. On sait qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : \[\text{pour tout }\:x > -1,\:f(x) = 2 + \dfrac{a}{(x+1)} + \dfrac{b}{(x + 1)^2 },\] de plus, le tableau de variation de $f$ est donné ci-dessous (où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$) : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3)\psline[doubleline=true](2,0)(2,2.5) \psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) \uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](2,2.5){$- 1$} \uput[u](5,2.5){$1$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+}\psline(5,2)(5,2.5) \rput(6.5,2.25){$-$} \rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](2.5,0){$- \infty$}\rput(5,1.5){$\frac{9}{4}$} \uput[u](7.5,0){2} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. \item En utilisant les données du tableau de variation de $f$ et la question a., déterminer les réels $a$ et $b$. \medskip On trouve donc : pour tout $x > - 1$, \[f(x) = 2 + \dfrac{1}{(x+1)} + \dfrac{1}{(x + 1)^2 }.\] \end{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une seule solution $\alpha$ et que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[- 0,5~;~0]$. Donner une valeur approchée décimale de $\alpha$ à $10^{-1}$ près par défaut. \item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère. Déduire du tableau de variation de $f$ que $(C)$ possède deux asymptotes $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ dont on donnera une équation. Construire $(C)$, $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x)$ sur $]- 1~;~+ \infty[$ en utilisant le tableau de variation. \item Déterminer une primitive de $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. \item Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan située entre la courbé $(C)$, l'axe des abscisses du repère et les droites d' équations $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\left]- \frac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ par $g(x) = \ln (f(x))$. En utilisant les fonctions composées, déduire les variations de $g$ de celles de $f$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 1995 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Sud décembre 1995 \hypertarget{AmeriqueduSud}{} \label{AmeriqueduSud} \lfoot{\small Amérique du Sud} \rfoot{\small décembre 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud décembre 1995~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'indice des prix en France de 1950 à 1990. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1950 &1955 &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985 &1990\\ \hline Rang de l'année : $x$ &0 &5 &10 &15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline Indice : $y$ & 100 &131 & 176 &212 &262 &400 &658 &\np{1040} &\np{1211}\\ \hline \multicolumn{10}{r}{Source : \emph{Quid 1995.}}\\ \end{tabularx} \medskip (Tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-4}$ près.) \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement le nuage de points $M(x~;~y)$. On prendra pour origine du repère le point correspondant à $x = 0$ et $y = 100$. 1 cm pour 5 années en abscisses. 1 cm pour 100 points d'indice en ordonnées. \item Expliquer pourquoi on ne peut pas envisager un ajustement linéaire de cette série statistique. \end{enumerate} \item On pose $t = \ln y$ (ln désigne le logarithme népérien). \begin{enumerate} \item Donner le tableau de la nouvelle série statistique $(x~;~t)$. \item Représenter le nuage de points $P(x~;~t)$. On prendra pour origine du repère le point correspondant à $x = 0$ et $t = 0$. 1 cm pour 5 années en abscisses. 1 cm pour 1 unité en ordonnées. \end{enumerate} \item (Pour les résultats suivants, le détail des calculs n'est pas demandé.) \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $t$. Que peut-on en déduire ? \item Déterminer une équation de la droite de régression de $t$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Construire cette droite sur le graphique. \item En supposant que la tendance ne change pas, donner une estimation de l'indice des prix en 1993. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par $P_i$ la probabilité d'apparition de la face numérotée $i$ lors d'un lancer du dé. Ces probabilités vérifient les trois conditions suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $P_1,\: P_3,\: P_5$ sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $\frac{1}{8}$. \item[$\bullet~~$] $P_2,\: P_4,\: P_6$ sont, dans cet ordre, les termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$. \item[$\bullet~~$] $3P_1 = 2P_2$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer tous les $P_i$ en fonction de $P_1$. En déduire la valeur de $P_1$. Vérifier que $P_6 = \dfrac{1}{24}$. \item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair lors d'un lancer du dé ? \item On lance le dé $6$ fois de suite. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois le nombre 6 ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le nombre 6 ? (Ces deux résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{-4}$ près.) \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie I} \medskip On désigne par $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = 1 - x\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ et vérifier que $g'(x) = (x-1)\text{e}^{-x}$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ et dresser le tableau de variations. (Les limites de $g$ aux bornes de $\R$ ne sont pas demandées). \item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = x + 2 + (x + 1)\text{e}^{-x}.\] Soit (C) ja courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2 cm). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$. \item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = g(x)$. \item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation. \end{enumerate} \item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe (C). Préciser la position de la courbe (C) par rapport à cette asymptote. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~- 1]$. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. \item Tracer (D) et (C) dans le repère \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par \[H(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x}.\] Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$. \item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. Exprimer en fonction de $\lambda$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (D), l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \lambda$. Quelle est la limite de cette aire quand $\lambda$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud décembre 1995 \end{document}