\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow}% \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{colortbl} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[dvipsnames]{pstricks}%dvipsnames pour l'accès à toutes les couleurs \usepackage{pst-plot,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{xcolor} \usepackage{colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lfoot{\small L'année 1997} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 1997 \decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de mars à décembre 1997}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry mars 1997} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 1997} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 1997} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers I juin 1997} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 1997} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 1997} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Metropole1}{Métropole groupe 1bis juin 1997} \dotfill \pageref{Metropole1}\\ \hyperlink{Metropole2}{Métropole groupe 2bis juin 1997} \dotfill \pageref{Metropole2}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1997} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antillessept}{Antilles-Guyane septembre 1997} \dotfill \pageref{Antillessept}\\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1997} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 1997} \dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau octobre 1997} \dotfill \pageref{Sportifs}\\ %\hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud novembre 1997} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie décembre 1997} \dotfill \pageref{Caledonie}\\ \end{tabularx} \newpage ~ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 1997 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small juin 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Sur les 700 salariés d'une usine, 140 sont des cadres, les autres sont des ouvriers. Des stages sont organisés : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Chaque salarié participe à un stage au plus. \item 9\,\% des salariés partent en stage. \item 10\,\% des ouvriers partent en stage. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Un salarié est choisi au hasard : \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier ? \item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier partant en stage ? \item Quelle est la probabilité que ce soit un cadre partant en stage ? \end{enumerate} \item Quel est le pourcentage de cadres partant en stage ? \item Le stage dure 10 jours pour un ouvrier, et 8 jours pour un cadre. On définit la variable aléatoire $X$ égale au nombre de jours de stage suivis par un salarié de l'usine. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Déterminer la loi de probabilité de $X$ ? \item Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un carnet de santé, on peut lire le poids moyen d'un enfant de sa naissance à 12 ans. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{p{2,5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline Âge en années $x_{i}$& 0 &1 &2 &4 &7 &11 &12\\ \hline Poids en kg $y_{i}$& 3,4 &7 &10,5 &14,5 &20,5 &33 &37,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip Aucun calcul manuel n'est demandé. Dans cet exercice les résultats seront donnés à $10^{- 1}$ près. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour 1~année en abscisse, 1~cm pour 2~kg en ordonnée). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de point~s associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \item Déterminer et représenter le point moyen de cette série. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $y$ en $x$ est-il envisageable ? Pourquoi ? \item Donner alors une équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$. La tracer sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement, en expliquant votre raisonnement, à partir de quel âge le poids moyen d'un enfant dépasse 25~kg. \item Retrouver ce résultat par le calcul en utilisant l'équation de $D$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par \[f(x) = \text{e}^{\left(- \frac{x^2}{8} + x\right)}\] et on note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item $f'$ étant la fonction dérivée de $f$, déterminer $f'(x)$, étudier son signe, en déduire le tableau de variation de $f$. \item Tracer (C). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une action est introduite en bourse à l'instant $t = 0$. On suppose que la cote de l'action, exprimée en centaines de francs, est : \[g(t) = f(t) + \text{e}\] où $t$ (exprimé en mois) appartient à l'intervalle [0~;~12] et e est le réel tel que $\ln \text{e}= 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $g(t)$ en fonction de $t$. \item En utilisant les résultats de la partie A, donner le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~12]. \item À quel instant la cote de l'action est-elle maximale ? Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de cette cote. \item Un gestionnaire prudent décide de revendre son action lorsque la cote de celle-ci retombe en dessous de sa valeur initiale. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de la cote de l'action à l'instant $t = 0$. \item Pour quelle autre valeur de $t$ l'action retrouve-t-elle cette cote ? Justifier la réponse par le calcul. \end{enumerate} \item Donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de $g(11)$. En déduire que, pour tout $t$ tel que $11 \leqslant t \leqslant 12$, la cote de l'action est strictement inférieure à $275$~F. \end{enumerate} Sur les 700 salariés d'une usine, 140 sont des cadres, les autres sont des ouvriers. Des stages sont organisés : r \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Chaque salarié participe à un stage au plus. \item 9\,\% des salariés partent en stage. \item 10\,\% des ouvriers partent en stage. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Un salarié est choisi au hasard. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier ? \item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier partant en stage ? \item Quelle est la probabilité que ce soit un cadre partant en stage ? \end{enumerate} \item Quel est le pourcentage de cadres partant en stage ? \item Le stage dure 10 jours pour un ouvrier, et 8 jours pour un cadre. On définit la variable aléatoire $X$, égale au nombre de jours de stage suivis par un salarié de l'usine. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Déterminer la loi de probabilité de $X$ ? \item Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \vspace{1cm} \item Chacun des 10 mots de la phrase \og rien ne sert de courir, il faut partir à point \fg{} est inscrit sur un carton. On suppose les cartons indiscernables au toucher et on les place dans une urne. On tire au hasard un carton (les tirages sont donc supposés équiprobables). - Si le mot inscrit sur le carton contient une voyelle, on gagne 10 points. - Si le mot inscrit sur le carton contient deux voyelles, on perd 20 points. - Si le mot inscrit sur le carton contient trois voyelles, on gagne 20 points. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de points obtenus (positif ou négatif). \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et l'écart-type de $X$. \item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique est nulle. Sans changer les gains obtenus pour les mots contenant une ou trois voyelles, quelle devrait être la perte pour un mot contenant deux voyelles dans un jeu équitable ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 997 \hypertarget{AmeriqueduNord}{} \label{AmeriqueduNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small juin 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des parfums haut de gamme, qui seront appelés par la suite des originaux. Il existe sur le marché des contrefaçons qui seront appelées par la suite des copies. On sait que 0,5\,\% des flacons proposés à la vente sont des copies. Pour éliminer ces copies, l'entreprise a mis au point un test optique per- mettant, sans rompre le ruban de garantie, de se faire une opinion concernant la conformité du produit. On sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la probabilité que le test soit positif (c'est-à-dire qu'il indique qu'il s'agit d'une copie) sachant que le produit est une copie est $0,85$ ; \item la probabilité que le test soit négatif sachant que le produit est un original est $0,95$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On tire un flacon au hasard et on le soumet au test. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que : \begin{enumerate} \item la probabilité que le produit soit un original est égale à $0,995$. \item la probabilité que le test soit positif sachant que le produit est un original est égale à $0,05$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que : \begin{enumerate} \item le produit soit une copie et que le test soit positif. \item le produit soit un original et que le test soit positif. \item le test soit positif. \item le produit soit un original sachant que le test est positif. \item le produit soit une copie sachant que le test est positif. \end{enumerate} \item Exprimer brièvement votre opinion sur la fiabilité de ce test. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une étude statistique a montré qu'un archer de très bon niveau, tirant dans une cible à onze zones numérotées 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10, a atteint avec une flèche : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la zone 10 avec une fréquence de $0,3$ \item la zone 9 avec une fréquence de $0,6$ \item la zone 8 avec une fréquence de $0,1$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} À chaque flèche tirée est associé un nombre de points égal au numéro de la zone atteinte. On admet que, pour cet archer se présentant à une compétition, les probabilités des évènements \og la flèche marque 10 \fg \og la flèche marque 9 \fg \og la flèche marque 8 \fg sont respectivement égales aux fréquences observées et que les tirs sont indépendants les uns des autres. On appelle volée deux tirs successifs d'une flèche. \medskip \begin{enumerate} \item Cet archer tire une volée. On associe à une volée la variable aléatoire $X$, somme des points marqués à chacun des deux tirs de la volée. On appelle volée réussie toute volée telle que $X \geqslant 19$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Vérifier que la probabilité de l'évènement \og $X \geqslant 19$ \fg{} est $\dfrac{9}{20}$. Calculer la probabilité de l'évènement \og $17 \leqslant X \leqslant 19$ \fg. \item Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $X$. \end{enumerate} \item Cet archer tire trois volées successives, que l'on suppose indépendantes. On considère la variable aléatoire $Y$, nombre de volées réussies parmi les trois tirées. Calculer la probabilité des évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og $Y = 2$ \fg. \item \og $Y \geqslant 1$ \fg. \end{enumerate} \item Cet archer tire $n$ volées successives, que l'on suppose indépendantes. Quelle doit être la valeur minimale $n_{0}$ de $n$ pour que la probabilité de l'évènement \og une volée au moins est réussie \fg{} soit supérieure ou égale à $0,999$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x^2 - 1 + 2 \ln x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son intervalle de définition. \item étudier le sens de variation de $g$ (le tracé de la courbe représentative de $g$ n'est pas demandé). \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet le nombre réel $1$ comme unique solution sur $]0~;~+ \infty[$. \item De l'étude précédente, déduire le signe de $g(x)$, en fonction de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln x - \dfrac{\ln x}{x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[,\: f'(x)$ et $g(x)$ sont de même signe. \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\Gamma$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et ln dans un repère orthonormal, \Oij{} (unité graphique 4~cm). étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $\Gamma$. Tracer $\Gamma$ puis $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On désigne par $\Delta$ le domaine représentant sur le graphique précédent l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient \[\left\{\begin{array}{l c c c l} 1&\leqslant &x&\leqslant& 4\\ f(x)&\leqslant& y&\leqslant& \ln x. \end{array}\right.\] On note $\mathcal{A}(\Delta)$ l'aire, en cm$^2$, de $\Delta$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer $\Delta$ sur le graphique précédent. Exprimer $\mathcal{A}(\Delta)$ sous forme d'une intégrale (le calcul n'est pas demandé). \item \begin{enumerate} \item On considère la fonction $h$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\] Calculer $h'(x)$. En déduire une primitive, sur $]0~;~+ \infty[$ de la fonction qui, à $x$ associe $\dfrac{\ln x}{x^2}$. \item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}(\Delta)$. En donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 1997 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small juin 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8 &9 \\ \hline &\footnotesize Inde&\footnotesize Koweït&\footnotesize Mauri\-tanie&\footnotesize France&\footnotesize Ghana&\footnotesize Congo&\footnotesize Véné\-zuéla&\footnotesize Japon&\footnotesize Mada\-gascar\\ \hline $X_{i}$ &25,7 &69,6 &17 &98,7 &42,8 &55,4 &87,8 &100 &61,6\\ \hline $Y_{i}$& 95 &34 &127 &7,7 &90 &73 &25,1 &5 &120\\ \hline \multicolumn{10}{r}{D'après Les Chiffres du Monde Universalis - 1990} \end{tabularx} \medskip Dans le tableau ci-dessus, $i$ désigne le numéro de l'observation, $X_{i}$ désigne le taux d'alphabétisation des femmes (\%) et $Y_{i}$ désigne le taux de mortalité infantile (\textperthousand). \medskip \begin{enumerate} \item Construire le nuage de points associé à cette série statistique double, (On prendra 1 cm pour 10\,\% en abscisse et 1 cm pour 10\,\textperthousand{} en ordonnée). \medskip \emph{Dans les questions suivantes, le détail des calculs n'est pas demandé.} \medskip \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(X_{i},~Y_{i}\right)$ avec $1 \leqslant i \leqslant 9$, puis celui de la série $\left(X_{i},~Y_{i}\right)$ avec $1 \leqslant i \leqslant 8$. Pour laquelle de deux séries un ajustement affine est-il le plus approprié ? Justifier la réponse. Dans la suite on élimine les données concernant Madagascar en considérant la série $\left(X_{i},~Y_{i}\right)$ avec $1 \leqslant i \leqslant 8$. \item Déterminer une équation de la droite de régression linéaire de $Y$ en $X$. Tracer cette droite. Donner le résultat à $10^{-2}$ près par défaut. \item Si on appliquait le modèle précédent à un pays où le taux d'alphabétisation des femmes est de 61,6\,\%, quel taux de mortalité infantile le calcul donnerait-il ? Le résultat sera donné à $10^{-1}$ près, \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une grave maladie affecte le cheptel bovin d'un certain pays, On estime 7\,\% des bovins atteints, On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer la maladie, on a établi que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item quand un animal est malade, le test est positif dans 87\,\% des cas; \item quand un animal n'est pas malade, le test est négatif dans 98\,\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $F$ l'évènement \og être malade \fg et $T$ l'évènement \og avoir un test positif \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des trois évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og $F$ et T\fg{} ; \item \og $\overline{F}$ et $\overline{T}$ \fg{} ; \item \og $F$ et $\overline{T}$ \fg. \end{enumerate} \item En déduire la probabilité de $T$. \item Quelle est la probabilité pour qu'un animal ayant un test négatif soit malade ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans une urne se trouvent : cinq boules marquées du numéro 10 ; quatre boules marquées du numéro 15 ; trois boules marquées du numéro 20, On tire simultanément trois boules de cette urne, Les tirages sont supposé équiprobables, \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité des évènements suivants: $A$ : \og on tire au moins une boule marquée 15 \fg{}; $B$ : \og ont tire trois boules portant trois numéros différents \fg{} ; $C$ : \og on tire trois boules portant le même numéro \fg{} ; $D$ : \og parmi les trois boules tirées, deux exactement portent le même numéro \fg. \item Il faut payer 51~francs pour effectuer un tirage de trois boules, et chaque tirage rapporte en francs la somme des points marqués. Montrer que la probabilité d'être gagnant est de $\dfrac{13}{220}$. \item On effectue cinq tirages successifs de trois boules en remettant les trois boules dans l'urne après chaque tirage. Déterminer la probabilité d'être gagnant exactement trois fois. Donner le résultat à $10^{-3}$ près par excès. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 11 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $P$ le polynôme tel que \[P(x) = 3x^3 - 2x^2 - 1.\] Vérifier que $P(x) = (x - 1 )\left(3x^2 + X + 1\right)$ puis étudier le signe de $P(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x^3 - x^2 + 1 - \ln x.\] étudier le sens de variation de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. Les limites ne sont pas demandées. En déduire que pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[,\: g(x) > 0$. \item La fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 2\dfrac{\ln x}{x} + x^2 - 2x + 3.\] \begin{enumerate} \item étudier les limites de $f$ en zéro et en l'infini. \item Calculer la fonction dérivée de $f$ et exprimer $f'(x)$ à l'aide de $g(x)$. En déduire le sens de variation de $f$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $[0,2~;~4]$ une solution unique $\alpha$ ; déterminer la valeur décimale approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près par défaut. \end{enumerate} \item Soit un repère \Oij{} (unités : 2~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée). Soit $P$ la courbe d'équation $y = x^2 - 2x + 3$ et soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans ce repère. \begin{enumerate} \item Calculer $f(x) - \left(x^2 - 2x + 3\right)$. En déduire la limite quand $x$ tend vers l'infini de $f(x) - \left(x^2 - 2x + 3\right)$. Que peut-on en déduire pour les courbes $P$ et $C$ ? \item étudier les positions relatives de P et C. ~ \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point A d'abscisse $1$. \item Tracer $P, T$ et $C$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En remarquant que $\dfrac{\ln x}{x}$ peut s'écrire $\dfrac{1}{x}\ln x$, déterminer une primitive de la fonction $x \longmapsto 2\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan comprise entre les courbe $C$ et $P$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 3$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 1997 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers I}} \rfoot{\small juin 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans une classe de $30$ élèves, $14$ sont des filles. Par ailleurs, $8$ filles et $4$ garçons sont internes. Les autres élèves sont externes. On choisit un élève au hasard dans cette classe. On considère les évènements suivants : $A$ : \og l'élève choisi est interne \fg{} ; $B$ : \og l'élève choisi est un garçon \fg. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions simplifiées et seront justifiés. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ puis de l'évènement $B$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $p(B/A)$, c'est-à-dire la probabilité que l'élève choisi soit un garçon, sachant qu'il est interne. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap B$. \end{enumerate} \item Calculer $p(A/B)$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $A \cup B$, à partir des questions précédentes, ou par une justification directe. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Dans cet exercice, les calculs peuvent être effectués à la calculatrice ; leur détail n'est pas exigé.} \medskip Le tableau ci-dessous donne la charge maximale $y_{i}$ en tonnes, qu'une grue peut lever pour une longueur $x_{i}$ en mètres, de la flèche. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{p{1,8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline Longueur $x_{i}$& 16,5 &18 &19,8 &22 &25 &27 &29 &32 &35 &39 &41,7\\ \hline Charge $y_{i}$& 10 &9 &8 &7 &6 &5,5& 5 &4,5& 4& 3,5& 3,2\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Les réponses numériques à cette question seront données à $10^{-2}$ près. \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ à l'aide d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités 1~cm pour 2~mètres en abscisses et 1~cm pour une tonne en ordonnées. \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. \item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Construire cette droite sur le graphique précédent. \item Utiliser cette équation pour déterminer la charge maximale que peut lever la grue avec une flèche de $26$~mètres. \end{enumerate} \item On pose $z_{i} = \dfrac{1}{y_{i}}$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant (les $z_{i}$ seront arrondis à $10^{-3}$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline $x_{i}$ &16,5 &18 &19,8 &22 &25 &27 &29 &32 &35 &39 &41,7\\ \hline $z_{i}$& \small 0,100 & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$ puis une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les résultats numériques seront arrondis à $10^{- 4}$ près. \item En se fondant sur les résultats obtenus en 2. b, calculer la valeur de $z$ correspondant à $x = 26$ ; en déduire la charge maximale que peut lever la grue avec une flèche de $26$~mètres. \item Ce résultat vous paraît-il plus satisfaisant que celui de 1. a ? Pourquoi ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans un lycée, 55\,\% des élèves sont des filles. Dans ce même lycée, 22\,\% des filles et 18\,\% des garçons étudient l'allemand. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un élève du lycée. \begin{enumerate} \item Sachant que l'élève choisi est un garçon, quelle est la probabilité qu'il apprenne l'allemand ? \item Calculer la probabilité que l'élève choisi apprenne l'allemand et qu'il soit un garçon. \item Montrer que la probabilité que l'élève choisi étudie l'allemand est $p = 0,202$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question les résultats seront donnés à $10^{-4}$ près.} On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante 5 élèves du lycée. (On suppose que l'effectif du lycée est suffisamment élevé pour que cette expérience soit assimilée à un schéma de Bernoulli.) \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que, sur les 5 élèves choisis, aucun n'étudie l'allemand ? \item Quelle est la probabilité que les 5 élèves étudient l'allemand ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 élèves étudiant l'allemand ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le coût de production, en milliers de francs, de $x$ centaines d'appareils fabriqués par une entreprise est donné par la fonction $C$, définie par : \[C(x) = 3x + 25 + \text{e}^{3 - 0,1x}. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, en arrondissant à un franc près, le coût de production de 3 centaines d'appareils. Quel est dans ce cas le coût moyen de production, arrondi au franc près, d'un appareil ? \item Vérifier que lorsqu'on fabrique $x$ centaines d'appareils, le coût moyen, en francs, d'un appareil est $\dfrac{10C(x)}{x}$. \end{enumerate} \item Calculer $C'(x)$ et en déduire le sens de variation de $C$ dans l'intervalle [0~ ;~ 10]. \item Chaque appareil est vendu $200$~F pièce, mais, en raison de défauts de fabrication et de distribution, seulement 95\,\% des appareils fabriqués sont effectivement vendus. \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice, en milliers de francs, obtenu avec la fabrication de $x$ centaines d'objets est : \[B(x ) = 16x - 25 - \text{e}^{3 - 0,1x}.\] \item Calculer $B'(x)$ et étudier le sens de variation de $B$ dans l'intervalle [0~;~10]. \item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle [0~;~10]. On note $\alpha$ cette solution. \item Déterminer un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{- 2}$. \item En déduire le nombre entier minimum d'appareils à produire pour réaliser un bénéfice. \item Quel est, en francs, le bénéfice obtenu en fabriquant \np{1000} appareils ? (Arrondir au franc le plus proche.) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 1997 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small La Réunion} \rfoot{\small juin 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = a \ln (x) + bx + c\] où $a,\: b,\: c$ désignent des nombres réels que l'on cherche à déterminer. La courbe (C) représente la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-7)(11,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-6.9)(11,4.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{9.5}{x ln 3 mul 2 x mul sub 5 add} \psline(-2,3.2164)(10,3.2164) \psline(1.5,0)(1.5,3.2164) \psline(-2,0)(2.5,4.5) \psdots(1,3)(-2,0) \uput[l](1,3){A} \uput[ul](-2,0){B}\uput[u](1.8,3.8){(T)}\uput[ur](3.75,1.4){(C)} \end{pspicture*} \end{center} Il est précisé que : \begin{itemize} \item le point A(1~;~3) appartient à (C) ; \item la droite T, tangente à (C) au point A, passe par le point B$(-2~;~0)$ ; \item $f$ admet un maximum en $x = \dfrac{3}{2}$ et la tangente à (C) au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$ est parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB). \item À l'aide des informations fournies, démontrer que les réels $a$ et $b$ vérifient le système \[\left\{\begin{array}{l c l} a + b &=& 1\\ 2a + 3b &=& 0 \end{array}\right.\] En déduire les valeurs de $a$ et $b$. \item Démontrer que $c = 5$. \end{enumerate} \item On pose $g(x) = x(3 \ln (x) - x + 2)$ pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ \begin{enumerate} \item Démontrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan comprise entre (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On s'intéresse dans cet exercice aux abonnés d'un magazine. Une enquête porte sur les abonnés de l'année en cours. Ils sont de deux types : \begin{itemize} \item les nouveaux abonnés (25\,\%); \item les anciens abonnés (75\,\%). \end{itemize} Cette enquête a démontré que ces abonnés ont choisi l'une des deux formules dans les proportions suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{} &Nouveaux abonnés &Anciens abonnés\\ \hline Abonnement de 6 mois & 37\,\% &28\,\%\\ \hline Abonnement d'un an &63\,\% &72\,\%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Un sondage téléphonique est effectué auprès des lecteurs abonnés. On désigne par $N$ l'évènement: \og le lecteur interrogé est un nouvel abonné \fg. On désigne par $S$ l'évènement: \og le lecteur interrogé a souscrit un abonnement de 6 mois\fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements : \begin{itemize} \item A : \og le lecteur est un nouvel abonné et a souscrit l'abonnement d'un an \fg{} ; \item B : \og le lecteur est un ancien abonné et a choisi l'abonnement de 6 mois\fg{} ; \item C : \og le lecteur s'est abonné pour un an \fg. \end{itemize} \item D'après les estimations, 40\,\% des nouveaux abonnés et 80\,\% de anciens reprendront un abonnement une fois terminé l'abonnement en cours. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'un lecteur abonné se réabonne est égale à $0,7$. \item Sachant que le lecteur interrogé se réabonne, quelle est la probabilité qu'il fasse partie des nouveaux abonnés ? (Donner la valeur exacte) \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Voici la liste des quinze pays composant l'Union européenne avec, pour chacun d'eux, la date d'entrée dans l'Union : Allemagne (1958) ; Autriche (1995) ; Belgique (1958) ; Danemark (1973) ; Espagne (1986) ; Finlande (1995) ; France (1958) ; Grèce (1981) ; Irlande (1973) ; Italie (1958) ; Luxembourg (1958) ; Pays-Bas (1958) ; Portugal (1986) ; Royaume-Uni (1973) ; Suède (1995). Pour représenter l'Union européenne à une conférence internationale, on décide de choisir au hasard deux pays délégués. Pour cela, on place dans une urne quinze jetons portant chacun le nom d'un pays de l'Union et on tire simultanément deux jetons de l'urne. Les résultats des questions 1, 2 et 3 seront donnés sous forme fractionnaire, les résultats de la question 4 seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{- 3}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que la France soit choisie ? \item Sachant que les deux pays choisis font partie de l'Union depuis 1958, quelle est la probabilité pour que la France soit choisie ? \item Soit $X$ la variable aléatoire associant, à chaque tirage de deux jetons, le nombre de pays faisant partie de l'Union depuis 1958. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on choisit les délégués pour les cinq prochaines années. Pour cela on tire au hasard cinq fois de suite. deux jetons simultanément, les jetons étant remis dans l'urne avant chaque nouveau tirage. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que la France fasse partie de la délégation deux années exactement ? \item Quelle est la probabilité pour que la France fasse partie de la délégation au moins une année ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution de la population d'une ville moyenne au cours des cinq dernières années : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1992 &1993 &1994 &1995 &1996\\ \hline Rang : $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Nombre d'habitants (en milliers) : $z_i$ &58 &59,04 &59,88 &60,55 &61,1\\ \hline $y_i = z_i - 58$ & 0 &1,04 &1,88 &2,55 &3,1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques, 2,5~cm pour une unité en abscisse et 2,5~cm pour 1 millier d'habitants en ordonnée. On construira sur le même dessin les différentes représentation graphiques demandées dans ce problème. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associés à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer à $10^{- 2}$ près une valeur approchée du coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ (on ne donnera pas le détail des calculs). Expliquer pourquoi un ajustement linéaire semble justifié ici. \item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$, droite de régression de $y$ en $x$, et construire cette droite. \item Calculer une estimation de la population de cette ville pour l'année 1998. \end{enumerate} \item On appelle taux annuel de croissance pour l'année $n$, le pourcentage d'accroissement de la population entre l'année $n$ et l'année $n + 1$. Calculer, en arrondissant à $10^{- 2}$ près les taux annuels de croissance pour 1992, 1993, 1994 et 1995. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une modélisation prenant en compte une évolution du taux annuel de croissance analogue à celle des quatre dernières années amène à envisager la fonction $f$ définie par : \[f(x) = 5,3\left(1 - \text{e}^{x \ln 0,8}\right)\] pour $x \in [0~;~+ \infty[$. Selon ce modèle, pour une valeur entière de $x,\:f(x) + 58$ représente la population pour l'année $1992 + x$ (en milliers d'habitants). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et montrer que : $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. En déduire l'existence d'une asymptote (D) à la courbe (C) représentant la fonction $f$. Donner l'équation réduite de cette droite. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item Construire la courbe (C) et la droite (D) sur le dessin de la partie A. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après l'étude précédente, conclure sur la façon selon laquelle évolue la population de la ville suivant ce modèle. \item Donner une estimation de la population pour 1998 à 10 habitants près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 1997 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small Asie} \rfoot{\small juin 1997} \vspace{0,5cm} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{Baccalauréat ES Asie juin 1997} } \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill } \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution des obligations (capitalisation en fin d'anée en milliards de francs) en France de 1980 à 1986. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années &1980 &1981 &1982 &1983 &19874 &1985 &1986\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline Montant des obligations $y_{i}$ &567,3 &580,5 &778,9 &\np{1032,9}&\np{1296,7}&\np{1598,1}&\np{1870,6}\\ \hline \multicolumn{8}{r}{\footnotesize \emph{La Bourse : temple de la spéculation au marché financier ; B.Bellante - juillet 1989}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On envisage un ajustement exponentiel de $y$ en $x$ : on pose donc $Y_{i} = \ln y_{i}$. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant (les valeurs de $Y_{i}$ seront arrondies à $0,01$ près par défaut). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $Y_{i}$&6,34& & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série $(\left(x_{i}~;~Y_{i} \right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités : 2~cm pour unité en abscisse (origine 1979) ; 10~cm pour une unité en ordonnée (origine 6). Donner le coefficient de corrélation de la série $(\left(x_{i}~;~Y_{i} \right)$ à $0,01$ près par défaut. (Le détail des calculs n'est pas demandé). En déduire que, pour cette série, un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est satisfaisant. Donner alors une équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ sous la forme $Y = ax + b$ ($a$ et $b$ donnés à $0,01$ près par défaut), aucune justification n'est demandée. Tracer cette droite. \item En utilisant la droite de régression trouvée à la question précédente, avec les valeurs approchées de $a$ et $b$, et l'égalité $Y = \ln y$, donner les valeurs estimées de $Y_{i}$, puis de $y_{i}$ pour les années 1986 et 1987 (valeurs données à $0,01$ près par défaut). Placer ces deux nouveaux points$\left(x_{i}~;~\text{valeur estimée de}\:y_{i} \right)$ correspondant aux années 1986 et 1987 dans le repère précédent. \item On remarque que cette estimation est bonne pour 1986 mais l'année 1987 a connu un krach boursier et le montant réel des obligations en 1987 a été de \np{1941,6} milliards de francs,. À quelle erreur (en pourcentage de la valeur réelle) l'estimation conduit-elle ? Le résultat sera donné au centième près par défaut. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill} \medskip Une entreprise décide de fabriquer et de commercialiser un produit. Sa capacité maximale de production est de 20~tonnes. La courbe $C$ ci-jointe représente le coût de production $C(x)$, exprimé en milliers de francs, en fonction du nombre $x$ de tonnes produites. \medskip \begin{enumerate} \item Après une étude de marché, l'entreprise espère vendre son produit 84~milliers de francs la tonne. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction du nombre $x$ de tonnes produites, la recette $R(x)$ en milliers de francs espérée par cette entreprise. \item Tracer la représentation graphique $\Delta$ de la fonction $R$ sur le graphique ci-dessous, pour $x \in [0~;~20]$. Déterminer graphiquement à quel intervalle doit appartenir $x$ pour assurer un bénéfice à l'entreprise. \item Déterminer graphiquement, à une tonne près, le nombre de tonnes à produire pour assurer un bénéfice maximum. \end{enumerate} \item On considère maintenant que \[C(x) = x^3 - 30x^2 + 300x\quad \text{avec } \: x > 0.\] Pour affaiblir la concurrence, l'entreprise décide de vendre son produit le moins cher possible sans perdre d'argent. Soit $C_{m}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$ le coût moyen de fabrication. \begin{enumerate} \item Exprimer $C_{m}(x)$ en fonction de $x$. Étudier les variations de $C_{m}(x) $ sur l'intervalle [0~;~20]. \item En déduire la valeur $x_{m}$ qui assure un coût moyen minimum. Quel est alors le prix d'une tonne ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.005cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-50)(21,2050) \multido{\n=0+5}{5}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2000)} \multido{\n=0+500}{5}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)} \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](1,0)(1,2000) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(-1,-50)(21,2050) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=500](0,0)(-1,-50)(21,2050) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,0.5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 3 exp 300 x mul add x dup mul 30 mul sub} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill } \medskip Le but de ce problème est l'étude d'une fonction, le tracé de sa représentation graphique et le calcul d'une aire liée à cette représentation. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = - 1 + (1 - x )\text{e}^{- x}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $g^{\prime}(x)$. étudier son signe. \item Démontrer que la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $1$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. On précisera $g(0)$. \item Démontrer que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\:g(x) < 0$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x \text{e}^{- x} - x + 4.\] Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. Unité : 2~cm. \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$, $f^{\prime}(x) = g(x)$. \item étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ ; préciser la limite en $+ \infty$. \item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 4$ est asymptote à $\mathcal{C}$. étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$. \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et préciser la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = - \dfrac{x}{2} + 4.\] Tracer sa représentation graphique $D$ dans le m\^eme repère que $\mathcal{C}$. \item Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $D$. \item étudier le signe de $f(x) - h(x)$ sur $[0~;~+ \infty[$ et en déduire la position relative de $\mathcal{C}$ et $D$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $G$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[G(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}\]. Calculer $G^{\prime}(x)$. \item En déduire une primitive de la fonction qui à $x$ associe $x\text{e}^{- x} - \dfrac{x}{2}$, sur $[0~;~+ \infty[$. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 2$. On donnera une valeur approchée à $10^{- 2}$ près par défaut de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole groupe 1bis juin 1997 \hypertarget{Metropole1}{} \label{Metropole1} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small juin 1997} \vspace{0,5cm} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\textbf{\large TES Baccalauréat Métropole groupe I bis juin 1997}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Le tableau suivant donne le total des prestations sociales reçues par les ménages en France de 1988 à 1992 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1988 &1989 &1990 &1991 &1992\\ \hline Rang $x_i$, de l'année & 0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Total des prestations en milliards de francs : $y_i$&\np{1338}&\np{1415}&\np{1505}&\np{1606}&\np{1700}\\\hline \multicolumn{6}{r}{\emph{\small{SOURCE : INSEE, Tableaux de l'économie française 1993- 1994.}}} \end{tabularx} \medskip \textbf{N.B.} - \textit{Aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est demandé dans cet exercice.} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ : le plan est rapporté à un repère orthogonal. Les unités graphiques sont : 2~cm par année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 100 milliards de francs sur l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à \np{1000}~milliards. \item \begin{enumerate} \item Calculer à $10^{-3}$ près par excès, le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i;~y_i\right)$. En déduire qu'un ajustement affine est justifié. \item Écrire une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés : on donnera les coefficients à $10^{- 1}$ près par défaut. Tracer cette droite sur le graphique de la question \textbf{1)}. \item Estimer le total des prestations sociales reçues par les ménages en 1997. \end{enumerate} \item En supposant que la tendance ainsi constatée se maintienne, à partir de quelle année le total des prestations dépassera-t-il \np{2200}~milliards ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (obligatoire)\hfill 5 points} \medskip Un groupe industriel possède deux usines, l'usine Alpha et l'usine Bêta. L'usine Alpha emploie 30\,\% des salariés, l'usine Bêta 70\,\%. La répartition des salaires mensuels dans les deux usines est la suivante : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Salaire mensuel $x$ en francs & Pourcentage des salariés de l'usine Alpha& Pourcentage des salariés de l'usine Bêta\\ \hline $\np{4000} \leqslant s < \np{6000}$ &32 &22\\ \hline $\np{6000} \leqslant s < \np{8000}$ &35 &43\\ \hline $\np{8000} \leqslant s < \np{14000}$ &22 &23\\ \hline $\np{14000} \leqslant s < \np{18000}$ &7 &12\\ \hline $\np{18000} \leqslant s < \np{30000}$ &4 &0 \\ \hline \end{tabularx} \medskip On choisit un au hasard parmi l'ensemble des salariés du groupe. On admet l’équiprobabilité des choix. On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $E$ \og le salarié gagne au moins \np{8000}~F par mois \fg{} ; \item $A$ \og le salarié travaille dans l'usine Alpha \fg{} ; \item $B$ \og le salarié travaille dans l'usine Bêta \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de $A$ puis celle de $ B$. \item Calculer la probabilité qu'un salarié de l'usine Alpha gagne au moins \np{8000}~F par mois. Faire le même calcul pour un salarié de l'usine Bêta. \item Montrer que la probabilité de $E$ est : $0,344$. \end{enumerate} \item On considère maintenant les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ dont les valeurs et les lois de probabilités sont données dans les tableaux suivants : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$ & 5 & 7 & 11 & 16 & 24\\ \hline $P\left(X = x_i\right)$ & 0,32 & 0,35 & 0,22 & 0,07 & 0,04\\ \hline \end{tabularx} \begin{tabularx}{0.833\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $y_i$ &5 &7 &11 &16\\ \hline $P\left(Y = y_i\right)$ &0,22 &0,43 &0,23 &0,12\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer à $10^{-2}$ près l’espérance mathématique et l’écart type de chacune des variables aléatoires $X$ et $Y$. \item Utiliser le résultat de a. pour comparer les salaires moyens dans les usines Alpha et Bêta. Comment interpréter alors le résultat sur les écarts-types ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (spécialité)\hfill 5 points} \medskip Une entreprise dispose de deux machines, appelées machine \og $a$ \fg{} et machine \og $b$ \fg{}, pour fabriquer le même type de pièces. Certaines des pièces produites sont écartées comme défectueuses : \begin{itemize} \item pour la machine \og $a$ \fg{} la probabilité d'obtenir une pièce sans défaut est 0,9 ; \item pour la machine \og $b$ \fg{} cette probabilité est 0,95. \end{itemize} La machine \og $a$ \fg{} fournit les deux tiers de la production, la machine \og $b$ \fg{} le tiers restant. On notera $p$(E) la probabilité d'un évènement $E$, $p(E/F)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit une pièce au hasard, avec équiprobabilité des choix. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements suivants : $A$ : \og la pièce provient de la machine "$a$" \fg{} ; $B$ : \og la pièce provient de la machine "$b$" \fg. \item Soit $S$ l'évènement : \og la pièce est sans défaut \fg. Calculer $p(S/A)$ et $p(S/B)$. En déduire que $p(S) = \dfrac{11}{12}$. \end{enumerate} \item On considère un échantillon de 7 pièces produites par l'entreprise et on admet que le choix des 7 pièces suit une loi binomiale. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que l'échantillon ne comporte que des pièces sans défaut. \item Calculer la probabilité que l'échantillon comporte exactement 6 pièces sans défaut. \item En déduire la probabilité d'avoir au moins 2 pièces défectueuses dans l'échantillon. Les résultats de cette question \textbf{2)} seront donnés à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \medskip On considère les fonctions définies dans $\R$ par : \[f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{- x} \quad\text{ et } \quad g(x) = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2.\] Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; le point O est placé à 5~cm du bord gauche de la feuille, et l'unité graphique est 3~cm. Les courbes représentatives de $f$ et de $g$ sont appelées respectivement $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. \medskip \begin{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{P}$. \item étude de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+~\infty$~ $\left(\text{on pourra écrire }\: f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^{x}} - \dfrac{2x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right)$. Donner une interprétation graphique de ce résultat pour la courbe $\mathcal{C}$. \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que : \[f'(x) = (x - 1)(3 - x)\text{e}^{- x}.\] Dresser le tableau de variation de $f$. \item Tracer la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 0. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points communs à $\mathcal{C}$ et à $\mathcal{P}$. \item étudier le signe de $f(x) - g(x)$. En donner une interprétation graphique. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur le même graphique que $\mathcal{P}$.\\ \item Soit $F$ la fonction définie dans $\R$ par : \[F(x) = -~ \text{e}^{- x}(x^2 + 1).\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$. \item Donner la valeur exacte de I = $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ puis une valeur décimale approchée à $10^{- 2}$ près. Quelle est l'interprétation géométrique de 1. ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole groupe 1bis juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole groupe 2bis juin 1997 \hypertarget{Metropole2}{} \label{Metropole2} \lfoot{\small Métropole groupe II bis} \rfoot{\small juin 1997} \vspace{0,5cm} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\textbf{\large TES Baccalauréat Métropole groupe II bis juin 1997}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Le tableau ci-dessous indique le taux de départ en vacances des Français de 1965 à 1993 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $x_{i}$ &1965 &1975 &1980 &1985 &1990 &1992 &1993\\ \hline Taux $t_{i}$ & 41 & 52,5 &57,2 &57,5 &59,1 &60 &60,9\\ \hline \multicolumn{8}{r}{\footnotesize\textsc{SOURCE : INSEE}, \emph{Tableaux de l'économie française 1994-1995}}\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{N. B . -} \emph{Aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est demandé dans cet exercice.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~t_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses on placera 1965 à l'origine et on choisira 0,5~cm pour unité ; \item sur l'axe des ordonnées on placera 40 à l'origine et on choisira 1~cm pour unité. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série double et placer ce point sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $t$. Peut-on envisager un ajustement affine ? \item Déterminer une équation de la droite de régression $D$ de $t$ en $x$ par la méthode des moindres carrés : on prendra les valeurs approchées à deux décimales par excès pour les coefficients. \item Tracer la droite $D$ sur le graphique de la question 1. a. \end{enumerate} \item En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon pour les années suivantes, donner une estimation du taux de départ en vacances de Français en l'an 2000. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 4 points} \medskip Dans une usine d'automobiles, trois chaînes \og a \fg{}, \og b \fg{} et \og c \fg{} fournissent respectivement 25\,\%, 35\,\% et 40\,\% de la production de moteurs. Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes : 5\,\% pour la chaîne \og a \fg{} ; 4\,\% pour la chaîne \og b\fg{} ; 1\,\% pour la chaîne \og c \fg. On prend un moteur au hasard et on définit les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $A$ : \og le moteur est issu de la chaîne "a" \fg{} ; \item[ ] $B$ : \og le moteur est issu de la chaîne "b" \fg{} ; \item[ ] $C$ : \og le moteur est issu de la chaîne "c" \fg{} ; \item[ ] $D$ : \og le moteur est défectueux \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} On notera $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$ et $p(F/F)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. Les résultats des calculs seront donnés à $10^{-4}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé en utilisant le vocabulaire des probabilités. \item Montrer que $p(D) = \np{0,0305}$. \item Quelle est la probabilité qu'un moteur sorte de la chaîne \og a \fg{} sachant qu'il est défectueux ? \item Calculer la probabilité qu'un moteur sorte de la chaîne \og c \fg{} sachant qu'il n'est pas défectueux. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 4 points} \medskip Le gérant d'un hôtel souhaite renouveler le linge de toilette de son établissement. Il a besoin de $90$ draps de bain, $240$ serviettes et $240$ gants de toilette. Une première entreprise de vente lui propose un lot A comprenant 2 draps de bain, 4 serviettes et 8 gants de toilette pour $200$~F. Une deuxième entreprise vend pour 400~F un lot B de 3 draps de bain, 12 serviettes et 6 gants de toilette. Pour répondre à ses besoins, le gérant achète $x$ lots A et $y$ lots B. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire par un système d'inéquations les contraintes auxquelles satisfont $x$ et $y$. \item On considère un plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormé \Oij. À tout couple $(x~;~y)$ on associe le point $M$ de $\mathcal{P}$ de coordonnées $x$ et $y$, en convenant que 2~cm représentent 5~lots sur chaque axe, soit 4~mm par lot. Représenter dans $\mathcal{P}$ l'ensemble G des points $M(x~;~y)$ satisfaisant aux inéquations : \[\left\{\begin{array}{l c l} x \geqslant 0 & \text{et} & y \geqslant 0\\ 2x + 3y &\geqslant & 90\\ x + 3y &\geqslant & 60\\ 4x + 3y &\geqslant & 120\\ \end{array}\right.\] On hachurera la partie du plan formée des points pour lesquels le contraintes ne sont pas vérifiées. \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense en francs occasionnée par l'achat de $x$ lots A et de $y$ lots B. \item Est-il possible de procéder aux achats nécessaires avec \np{5000}~F? On justifiera la réponse. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement, en précisant la démarche choisie, le nombres de lots A et B à acheter pour avoir une dépense minimale. Quelle est cette dépense minimale ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip Ce problème est consacré à l'étude d'une fonction (partie A) et au calcul d'une intégrale (partie B). \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie dans $\R$ par : \[f(x) = \left(2x^2 + 3x - 3\right)\text{e}^{- x}.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} - unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm ur l'axe des ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la limite de $f$ en $- \infty$ ? \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ : on rappelle que pour tout nombre réel $\alpha$ positif on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^{\alpha}\text{e}^{- x} = 0$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? \end{enumerate} \item Calculer $f^{\prime}(x)$, où $f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$. étudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$. \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera pour $f(x)$ des valeurs décimales approchées à $10^{-1}$ près). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}{>{\small}c|}*{7}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-2,3$ & $-2,2$&$-2,1$ &$-2$ &$-1,5$ &$-1$ &$-0,5$& 0 &1 &2 &4 & 6\\ \hline $f(x)$ &6,8 & & $-3,9$& &$-13,4 $ & &$-6,6$& &0,7& & & 0,2\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Donner une interprétation graphique du résultat. \item Tracer la partie de la courbe composée des points d'abscisse comprise entre $- 2,3$ et $6$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $F$ la fonction définie dans $\R$ par : \[F(x) = \left(- 2x^2 - 7x - 4\right)\text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ dans $\R$. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{- 1}^0 [- f(x)]\:\text{d}x$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole groupe 2bis juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 1997 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 4 points} \medskip Soit $G$ une grandeur économique définie en fonction du temps $t$, exprimé en années, par : \[G(t) = 3 \times (1,7)^t.\] \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur de $G$ à l'instant $t = 0$ ? \item Montrer que le rapport : $\tau = \dfrac{G(t + 1) - G(t)}{G(t)}$ est constant. \item Exprimer $\ln G(t)$ en fonction de $t$\: (ln désigne la fonction logarithme népérien). \item Dans le tracé ci-joint, on a représenté la fonction $G$ dans un plan P rapporté à un repère semi-logarithmique pour $t \in [0~;~10]$. Pourquoi la fonction $G$ a-t-elle pour représentation graphique une droite $\Delta$ ? Exprimer en fonction de $\tau$ le coefficient directeur de cette droite. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=4cm} \begin{pspicture}(15,3) \psaxes[axesstyle=frame,logLines=y,ylogBase=10,xsubticks=5,ysubticks=10,Dy=1](15,3) \multido{\n=0.0+0.2}{76}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)} %\psplot{0}{10}{x 0.531 mul 1.0986 add} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=SkyBlue]{0}{10}{x 0.230 mul 0.477 add} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip La cote d'une voiture d'occasion est donnée dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année de mise en circulation&1991 &1992 &1993 &1994& 1995 \\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Cote $y_{i}$&\np{42900} F &\np{54200} F &\np{64100} F &\np{81600} F &\np{102000} F\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan est muni d'un repère orthogonal. Les unités graphiques sont: en abscisses: 2~cm pour un an ; en ordonnées: 1~cm pour \np{10000}~F. Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ (fig. 1). \item Les points n'étant pas parfaitement alignés, on pose : \[z = \ln y.\] \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$ & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \emph{Les valeurs de $z_{i}$ seront données sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut}. \item On rapporte le plan à un nouveau repère orthogonal. Les unités graphiques sont désormais : en abscisses : 2 cm pour un an ; en ordonnées: 1 cm pour 0,1. Représenter le nuage de points $N_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ (fig. 2). (\emph{Dans la suite, le détail des calculs n'est pas demandé}). \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$. Un ajustement affine est-il justifié ? \item Donner une équation de la droite de régression $D$ de $z$ en $x$. (On arrondira les coefficients à $10^{-2}$ par défaut.) Représenter $D$ sur la figure 2. \item Calculer la valeur de $z$ donnée par l'équation précédente pour l'année 1988. En déduire une estimation de la cote de cette voiture de l'année 1988. (On donnera une valeur arrondie à 100~F près.) \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Une étude statistique effectuée par une librairie montre que 30\,\% des livre qu'elle vend sont primés, c'est-à-dire distingués par un prix littéraire ; 15\,\% sont des livres reliés. \emph{Pour chaque question, on donnera le résultat exact, puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près par défaut} \medskip \begin{enumerate} \item Un client achète un livre. La probabilité pour qu'il soit relié, sachant qu'il est primé, est égale à $0,2$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p_{1}$ pour qu'il soit relié et primé. \item Calculer la probabilité $p_{2}$ pour qu'il soit primé, sachant qu'il est relié. \end{enumerate} \item Un client achète cinq livres. On suppose que les choix de ces livres sont indépendants. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $p_{3}$ pour qu'exactement trois d'entre eux soient des livres primés ? \item Quelle est la probabilité $p_{4}$ pour que, parmi ces cinq livres, l'un aumoins soit un livre primé ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ une fonction définie sur [0~;~5], dérivable sur ]0~;~5]. Sa fonction dérivée $f'$ est représentée graphiquement ci-après. \medskip \psset{xunit=2cm,yunit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.2,-5)(5,2.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-5)(5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,-5)(5,2) \uput[ul](0.368,0){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[d](2.71828,0){e} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.177}{5}{2.71828 x sub x 0.3679 sub mul 1.825 mul x div} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le signe de $f'(x)$ pour $x \in ]0~;~5]$. \item On donne : \[f(0) = \dfrac{2 - \text{e}}{1 - \text{e}}, \:\:f\left(\dfrac{1}{\text{e}} \right) = - \dfrac{2}{\text{e}},\:\: f(\text{e}) = 2,\:\:f(1) = 0.\] \begin{enumerate} \item Construire le tableau de variation de $f$. \item Démontrer qu'il existe un unique nombre réel $\alpha$ dans $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\text{e}\right[$ tel que : \[ f(\alpha) = 0.\] Désormais, on supposera que $\alpha = 1$. \item étudier le signe de $f(x)$ pour $x \in \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~\text{e}\right]$. \item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan définie par : \[\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant x \leqslant \text{e}\quad \text{et} \quad 0 \leqslant y \leqslant f'(x).\] Donner le résultat exact, puis le résultat arrondi à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \text{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\left[- \dfrac{2}{\text{e}}~;~ 2\right]$ par \[g(x) = \ln (1 + x),\] où ln désigne la fonction logarithme népérien. \medskip \begin{enumerate} \item étudier ses variations et dresser son tableau de variation. \item Soit $h$ la fonction composée de $g$ et de $f$ : $h = g \circ f$. On étudie $h$ sur l' intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~\text{e}\right]$. \begin{enumerate} \item Calculer $h(\text{e}), h(1), h\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$. On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près. \item Déterminer le sens de variation de $h$. \item Justifier que : \[h'(x) = \dfrac{f'(x)}{1 + f(x)}.\] Calculer $h'(\text{e}),\: h'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$. \item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $h$, dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 5~cm). On représentera en particulier les points d'abscisses e, 1, et $\dfrac{1}{\text{e}}$ et les tangentes en ces points. On pourra résumer les résultats de cette partie dans le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$&$\dfrac{1}{\text{e}}$ &1 &e\\ \hline $h(x)$ & & &\\ \hline $h'(x)$ & &1,8&\\ \hline Nom du point de $\mathcal{C}$ &A &B &C\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1997 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small septembre 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = 1 - \text{e}^{2x}\] et $f'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Dans $\R$, par le calcul, résoudre les équations ou inéquations suivantes : \begin{enumerate} \item $f(x) ? 0~$ ; \item $f(x) = - 2$ ; \item $f(x) = - 1$. \end{enumerate} \item étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire l'équation d'une asymptote horizontale s'il y a lieu. \item étudier les variations de $f$ sur $\R$. \item Calculer $\displaystyle\int_{- 3}^{- 1} f(x)\:\text{d}x.$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de touristes (en dizaines de milliers) d'un département français entre 1991 et 1996. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| l| *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1991 &1992 &1993 &1994 &1995 &1996\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 & 2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Nombre de touristes $y_{i}$ &7,3 &5,9 &5,2 &5,1 &5,3 & 6,1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le nuage de points associé à cette série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné sur le graphique suivant : \begin{center} \psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,-1)(6.5,8) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-1)(7,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-1)(6.5,8) \rput(0,-0.5){0} \rput(1,-0.5){1} \rput(-0.2,1){1} \rput(-0.2,7.8){$y$} \rput(6.5,-0.5){$x$} \psdots(1,7.3)(2,5.9)(3,5.2)(4,5.1)(5,5.3)(6,6.1) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ est environ égal à $- 0,5$. Est-ce en accord avec le graphique ? (justifier votre réponse). \item Afin d'effectuer un ajustement à l'aide d'une parabole on effectue le changement de variable $t_{i} = \left(x_{i} - 4\right)^2$. Présenter dans un tableau la nouvelle série $\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$ et calculer son coefficient de corrélation linéaire $r$ à $10^{-3}$ près. Qu'en déduisez-vous ? \item Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $t$. On donnera les résultats à $10^{-2}$ près par excès. \item Si la tendance ne change pas, effectuer une prévision pour 1998. \item À l'aide de l'équation 3, trouver un ajustement de la forme $y = ax^2 + bx + c$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip À partir de l'année 1990, Pierre verse au le 1\up{er} janvier de chaque année \np{9000}~F sur un compte rémunéré à un taux annuel de 6\:\% À intérêts composés. Ainsi, chaque 1\up{er} janvier, on ajoute \np{9000}~F au capital déjà acquis. On note $u_{n}$ le capital disponible à partir du 1\up{er} janvier de l'année 1990 + $n$, ainsi $u_{0} = \np{9000}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $u_{1} = \np{18540}$ et que $u_{n+1} = 1,06 u_{n} + \np{9000}$. \item Soit la suite auxiliaire $(v_{n})$ telle que $v_{n} = u_{n} + \np{150000}.$ \begin{enumerate} \item Calculer $v_{0}$ et $v_{1}$. \item Montrer que $v_{n+1} = 1,06 v_{n}$~; en déduire la nature de la suite $(v_{n}$). \item Donner l'expression de $v_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item À partir de quelle année Pierre disposera-t-il de plus de \np{200000}~F? (On pourra utiliser la fonction logarithme népérien). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 12 points} \medskip On donne à la page suivante dans un repère orthonormé \Oij{} les courbes représentatives $(C_f),\:(C_{f'}),\:(C_g)$ pour $x > 0$ de trois fonctions $f,\: f'$ et $g$. \medskip \textbf{ Partie A : étude de } \boldmath $f$ \unboldmath \medskip La fonction $f$ est définie Sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\text{e}^{x+2}}{(x+2)^2}.\] \begin{enumerate} \item étudier la limite de $f$ en +$\infty$.~(On pourra poser $X = x + 2$). \item $f'$ étant la fonction dérivée de $f$, montrer que $f'(x) = \dfrac{x\text{e}^{x + 2}}{(x + 2)^3}$. \item Donner le tableau de variation de $f$. \item Montrer que l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe $(C_{f'})$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 4$ est égale à $\dfrac{\text{e}^4}{144}\left(4\text{e}^2 - 9\right)$ en unités d'aire. \end{enumerate} \textbf{ Partie B Coût marginal et bénéfice} \medskip Une entreprise constate que pour une quantité $x$ d'un article A (en milliers d'articles) le coût total $C_T$ (en milliers de francs) peut être évalué par $C_T(x) = f(x)$ pour $x$ appartenant à [1~;~5]. Le coût marginal $C_m$ est alors défini pour tout $x$ appartenant à [1~;~5] par $C_m(x) = f'(x)$. On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ sur l'intervalle [1~;~5]. On admettra que, $f''(x) = \dfrac{x^2 + 2}{(x + 2)^4}\text{e}^{x + 2}$ \medskip \begin{enumerate} \item étudier le signe de $f''$ et en déduire le tableau de variations de $f'$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $f'(x) = 4$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~5]. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut. \end{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x) \geqslant 4$ sur l'intervalle [1~;~5] puis donner sous forme d'un tableau le signe de $4 - f'(x)$. \item Le prix de vente d'un article est 4 francs. Soit $B(x)$ le bénéfice correspondant À $x$ milliers d'articles vendus. On a donc $B(x) = 4x - f(x)$. \begin{enumerate} \item établir le tableau de variation de $B$. \item En déduire une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $x$ pour lequel le bénéfice est maximum. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip {\textbf{ Partie C Coût moyen} \medskip Si $x$ est le nombre de milliers d'articles, on note $g$, la fonction définie sur [1~;~5] par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$. Cela représente donc le coût moyen d'un article. Les courbes $(C_g)$ et $(C_{f'})$ sont sécantes en un point $I$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $I$ a pour abscisse 2. Graphiquement, que représente l'ordonnée de $I$ pour la fonction $g$ ? \item Soit $J$ le point de la courbe de $(C_f)$ de même abscisse que $I$. Déterminer l'équation de la tangente $(\Delta)$ en $J$ à $(C_f)$ et vérifier que $(\Delta)$ passe par l'origine du repère. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=10mm,yunit=10mm} \begin{pspicture*}(-0.6,-0.6)(7,10.1) \psaxes[dy=5\psyunit,Dy=5,dx=5\psxunit,Dx=5]{->}(7,10.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(1,1) {\pscurve(0,1.847)(0.5,1.949)(1,2.232)(1.5,2.703)(2,3.412)(2.5,4.45)(3,5.937) (3.8,9.819)} {\pscurve(0,0)(0.5,0.39)(1,0.744)(1.5,1.159)(2,1.706)(2.5,2.47)(3,3.562)(3.5,5.148) (4,7.47)(4.5,10.899)} {\pscurve(0.17,10.94)(0.25,7.496)(0.5,3.898)(1,2.232)(1.5,1.802)(2,1.706)(2.5,1.778)(3,1.979) (3.5,2.311)(4,2.802)(4.5,3.498)(5,4.476)(5.5,5.844)(6,7.763)(6.5,10.465)} \rput(2,1.1){($\mathcal{C}_{f'}$)} \rput(5.5,5){($\mathcal{C}_{g}$)} \rput(2.5,6){($\mathcal{C}_{f}$)} \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \rput(0.5,-0.4){$\vect{\imath}$} \rput(-0.4,0.5){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 1997 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small septembre 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 5 points} \medskip Pour l'achat d'un nouveau matériel, un chef d'entreprise a réalisé un emprunt d'un coût total de \np{285000} francs sur cinq ans. À la fin de chaque mois, on note $y_i$ le montant en milliers de francs (en abrégé : kF) des bénéfices cumulés réalisés depuis l'achat du nouveau matériel. Le tableau ci-dessous correspond au relevé des neuf premiers mois de remboursement : \begin{center} \begin{tabular}{| c | c |}\hline & Montant $y_i$\\ Rang $x_i$ du mois & des bénéfices cumulés\\ & en kF\\ \hline 1 & 35\\ \hline 2 & 40 \\ \hline 3 & 46 \\ \hline 4 & 54 \\ \hline 5 & 65 \\ \hline 6 & 80 \\ \hline 7 & 90 \\ \hline 8 & 102 \\ \hline 9 & 120\\ \hline \end{tabular} \end{center} N. B. - \emph{Dans cet exercice, aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est demandé.}\\ \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm en abscisses, 1 cm pour 10 kF en ordonnées, en faisant débuter la graduation sur l'axe des ordonnées à 30. \item Si on effectue un ajustement affine sur la série statistique considérée, on obtient l'équation : \[y = 10,66x + 16,88\] comme équation de la droite de régression D de $y$ en $x$. En admettant que la tendance décrite par D se maintienne, à partir de quel mois l'emprunt sera-t-il amorti par les bénéfices assurés par l'achat du nouveau matériel ? \item L'expérience prouve que l'hypothèse d'une croissance linéaire des bénéfices est trop optimiste. Dans cette question on va envisager une croissance plus lente. \begin{enumerate} \item On pose $t_i = \sqrt{x_i}$. Représenter sous forme de tableau la série statistique $(t_i, y_i)$ pour les valeurs non entières de $t_i$ on prendra les valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près par défaut. Un ajustement affine est-il envisageable pour cette série ? \item On procède à cet ajustement, les coefficients étant évalués à $10^{-2}$ près par défaut. Quelle relation obtient-on entre $y$ et $x$ ? \item En admettant la validité de la relation obtenue en b), l'emprunt sera-t-il amorti à son échéance ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un sac contient des jetons indiscernables au toucher et marqués de l'une des trois lettres \og a \fg, \og b \fg{} et \og c \fg. Il y a autant de jetons marqués \og a \fg{} que de jetons marqués \og b \fg{} et que de jetons marqués \og c \fg. On forme des \og mots \fg{} de trois lettres en tirant successivement trois jetons, le jeton tiré étant remis dans le sac avant d'effectuer le tirage suivant : \og abc \fg, \og aaa \fg, \og cbc \fg, \og bca \fg sont des exemples de tels \og mots \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre de mots différents qu'il est possible d'obtenir. \item Calculer la probabilité des évènements suivants : $A$ \og le mot ne contient pas la lettre "a" \fg ; $B$ \og le mot est formé de trois lettres distinctes \fg ; $C$$ $\og le mot contient au moins deux fois la même lettre\fg ; D \og la première et la dernière lettre sont identiques \fg. N. B. - \emph{On donnera les résultats sous forme exacte}. \item Déterminer les probabilités des deux évènements \og $A$ ou $B$ \fg et \og $A$ ou $D$ \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2}\hfill 5 points \textbf{Enseignement de spécialité} Un touriste revient de vacances avec 15 films : 2 films de photographies d'Italie ; 8 films de photographies de Grèce ; 5 films de photographies de Turquie. Aucune marque distinctive ne permet d'identifier les films. Pour des raisons financières le touriste ne fait développer à son retour que 11 de ces 15 films. N.B. - \emph{On donnera les résultats sous forme décimale approchée à} $10^{-4}$ \emph{près}. \medskip \begin{enumerate} \item Combien y a-t-il de choix différents possibles de 11 films parmi les 15 ? \item Quelle est la probabilité que, parmi les 11 films développés, il y ait : \begin{enumerate} \item Tous les films sur la Grèce ? \item Aucun film sur l'Italie ? \item Autant de films sur la Grèce que sur la Turquie ? \item Deux fois plus de films sur la Turquie que sur l'Italie ? \end{enumerate} \item Le photographe, d'origine italienne, propose à son client de lui faire cadeau du développement des films sur l'Italie, s'il en trouve parmi les 11 films. On appelle $X$ la variable aléatoire \og nombre de films sur l'Italie développés \fg. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction numérique de variable réelle définie dans $[0, +\infty[$ par : \[f(x) = 100(2x - 5)\text{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère \Oij. Unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées. \medskip \textbf{Partie A. étude de la fonction $f$} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra écrire $f(x) = 100\left(\dfrac{2x}{\text{e}^x} - \dfrac{5}{\text{e}^x}\right)$). Quelle est l'interprétation graphique ? \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.\\ Dresser le tableau de variation de $f$. \item Construire la partie de la courbe $\mathcal{C}$ correspondant aux points dont l'abscisse est comprise entre 2 et 8. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 4$ admet une solution et une seule $\alpha$ dans l'intervalle $\left[2~;~\dfrac{7}{2}\right]$. On admettra que cette même équation admet une solution et une seule $\beta$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{7}{2}~;~8\right]$. \item Utiliser une calculatrice pour donner de $\alpha$ un encadrement décimal à $10^{-2}$ près. On admettra que $4,70 < \beta < 4,71$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Calcul de primitive} \begin{enumerate} \item Déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ définie dans $[0, +\infty[$ par~: $F(x) = 100(ax + b)\text{e}^{- x}$ soit une primitive de $f$ sur $[0~,~+\infty[$ \item Calculer la valeur exacte de \[I = \int_{3}^{6} f(x)\:\text{d}x. \] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C. Application} \medskip Le nombre $f(x)$ représente le bénéfice en milliers de francs que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de pièces (pour $x$ compris entre 2 et 8). Par exemple, si l'entreprise fabrique 300 pièces, elle réalise un bénéfice de $f(3) \times \np{1000}$~F. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant si nécessaire la courbe $\mathcal{C}$ et les résultats de la partie \textbf{A}, déterminer : \begin{enumerate} \item Les quantités de pièces à produire pour que l'entreprise ne travaille pas à perte. \item La quantité de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal que l'on précisera au franc près. \item Les quantités de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins \np{4000}~F. \end{enumerate} \item Lorsque l'entreprise produit entré $300$ et $600$ pièces, elle réalise un bénéfice moyen qui, exprimé en milliers de francs, est égal à : \[\dfrac{1}{3}\int_{3}^{6} f(x)\:\text{d}x.\] Utiliser la partie \textbf{B} pour déterminer au franc près ce bénéfice moyen. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 1997 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small septembre 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous, dans lequel $x_{i}$ est le nombre annuel de mariages en milliers et $y_{i}$ le nombre annuel de divorces (également en milliers), donne l'évolution des mariages et des divorces en France de 1977 à 1986 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1977 &1978 &1979 &1980 &1981 &1982 &1983 &1984 &1985 &1986\\ \hline $x_{i}$ &368 & 355 &340 &334 &315 &312 &300 &281 & 269& 266\\ \hline $y_{i}$ &71 &74 &78 &81 &86 &92 &97 &102 &106 &107\\ \hline \end{tabularx} \medskip Exemple de lecture : en 1979 il y a eu \np{340000}~mariages et \np{78000} divorces (nombres arrondis au millier). \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal, en graduant l'axe des abscisses à partir de $265$ et l'axe des ordonnées à partir de $71$ -- unités graphiques : 1 cm pour 5 milliers en abscisse, 1 cm pour 2 milliers en ordonnée, \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnés du point moyen G du nuage et le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ au centième près. Quel type d'ajustement peut-on envisager ? \item Donner une équation de la droite de régression $y= ax + b$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira $a$ au centième et $b$ à l'unité. \textbf{N. B.} : Le détail des calculs n'est pas demandé, \item Tracer la droite de régression sur la figure utilisée pour le nuage de points, \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sachant que le nombre de divorces en 1988 était de \np{140000}, à quelle estimation du nombre de mariages conduit la méthode précédente pour cette même année 1988? \item En réalité le nombre des mariages a été de \np{271000}. À quelle erreur l'estimation conduit-elle ? Exprimer cette erreur en pourcentage de la valeur réelle. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \medskip Soit X la variable aléatoire, pouvant prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4, dont la fonction de répartition $F$, définie par $F(x) = p(X \leqslant x)$ (c'est-à-dire probabilité de l'évènement : \og $X \leqslant x$ \fg), est représentée graphiquement par la figure ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=6cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(5,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1](0,0)(5,1) \multido{\n=0.0+0.1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(5,\n)} \psline{[-[}(1,0.2)(2,0.2) \psline{[-[}(2,0.3)(3,0.3) \psline{[-[}(3,0.666)(4,0.666) \psline{[-[}(4,1)(5,1) \uput[l](0,0.666){$2/3$} \psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,0.666)(3,0.666) \end{pspicture} \end{center} Exemple : La probabilité que $X \leqslant 2,7$ est $0,3$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité de l'évènement: \og $X = 4$ \fg{} est égale à $\dfrac{1}{3}$, puis donner, à l'aide de fractions irréductibles, et sans justifications, la loi de probabilité de $X$. \item Calculer la valeur exacte de l'espérance mathématique de $X$ puis une valeur approchée par défaut à $10^{-3}$ près de l'écart type de $X$. \item On dispose de deux urnes : l'urne $A$ qui contient : 3 boules noires et 2 boules blanches ; l'urne $B$ qui contient : 3 boules noires et 4 boules blanches. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience suivante : \begin{itemize} \item lorsque $X$ prend la valeur 4, on tire une boule au hasard de l'urne $A$ \item lorsque $X$ ne prend pas la valeur 4, on tire une boule au hasard de l'urne $B$. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item En traduisant les conditions de l'énoncé, expliciter les probabilités des évènements suivants : tirer une boule blanche sachant que $X = 4$ ; tirer une boule blanche sachant que $X \neq 4$. En déduire la probabilité de l'évènement: \og $X = 4$ \fg{} et on tire une boule blanche \fg. \item Déterminer la probabilité de tirer une boule blanche. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{N. B.} : On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles, \vspace{0,5cm} \textbf{Problème\hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie dans $\R$ par : \[f(x) = 3x + 2 - \text{e}^{3x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. \item En écrivant $f(x) = 3x\left(1 + \dfrac{2}{3x} - \dfrac{\text{e}^{3x}}{3x}\right)$ pour $x \neq 0$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. étudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$. \item Démontrer que sur [0~;~1] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$. \item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant (formé à l'aide de valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\tiny\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline $x$ &$- 2$ & $- 1$ &$- 0,7$&$- 0,5$&$- 0,4$&$- 0,3$&$- 0,2$&$- 0,1$& 0 &0,3 &0,4 &0,7 & 1\\ \hline $f(x)$ &$- 4,00$ &$-1,05$& &0,28 & & & & & &0,44 &$-0,12$&$-4,07$&\tiny $-15,09$\\ \hline \end{tabularx} \medskip En déduire un encadrement de $\alpha$. \end{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées). On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans ce plan. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 3x + 2$ est asymptote à la courbe $\Gamma$ lorsque $x$ tend vers $ - \infty$. étudier la position relative de $\Delta$ et $\Gamma$. Tracer $\Delta$, puis $\Gamma$, pour $x$ dans l'intervalle $[-2~;~0,7]$. \item Déterminer le point A de $\Gamma$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y = 2x$. Représenter, sur la figure précédente, le point A et la tangente en A à $\Gamma$. \item On considère l'ensemble des points du plan situés entre $\Gamma$ et $\Delta$ et entre les droites d'équations $x = - 0,5$ et $x = 0.$ Hachurer cette partie du plan, sur la figure précédente. Calculer son aire, en unités d'aire (on donnera la valeur exacte, puis une va- leur décimale approchée à $10^{-1}$ près), \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau septembre 1997 \hypertarget{Sportifs}{} \label{Sportifs} \lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}} \rfoot{\small septembre 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau septembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une salle de spectacle peut contenir $400$ places. Le tableau suivant donne le nombre moyen de spectateurs enregistrés sur une large période, en fonction du prix d'une place. $p$ est le prix d'une place. $n$ est le nombre moyen de spectateurs. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $p$ & 5 &10 &15 &20 &25 &30 &35 &40 &45\\ \hline $n$ & 362 &323 &275 &248 &198 &162 &117 &88 &34\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette partie, les résultats doivent être arrondis au millième près et le détail des calculs n'est pas demandé. \begin{enumerate} \item Donner le coefficient de corrélation linéaire r de cette série statistique à deux variables $p$ et $n$. \item écrire une équation de la droite de régression linéaire de n en p. \end{enumerate} \item Dans cette partie, on pose $n = - 8p + 400$. \begin{enumerate} \item Exprimer la recette pour un spectacle en fonction de p. \item Les frais fixes pour un spectacle s'élèvent à \np{3200}~F, exprimer le bénéfice pour un spectacle en fonction de $p$. \item Dans quel intervalle le directeur doit-il fixer le prix des places pour amortir au moins les frais fixes ? \item Quel prix doit-il fixer pour obtenir le bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un restaurateur propose trois types de menu: le premier à 150~F, le deuxième à 90~F et le troisième à 70~F. Il constate que 30\,\% de ses clients prennent le menu à 150 F et 50\,\% celui à 90 F. De plus, parmi ceux qui prennent le menu à 150 F, 85\,\% donnent un pourboire au serveur; parmi ceux qui prennent le menu à 90 F, 65\,\% donnent un pourboire au serveur et parmi ceux qui prennent le menu à 70 F, 25\,\% donnent un pourboire au serveur. Pour un client, on désigne par : $A$ : l'évènement\og prendre un menu à 150 F \fg. $B$ : l'évènement \og prendre un menu à 90 F \fg. $C$ : l'évènement \og prendre un menu à 70 F \fg. $S$ : l'évènement \og donner un pourboire au serveur \fg. \medskip \begin{enumerate} \item À la sortie du restaurant, on interroge un client choisi au hasard. Calculer la probabilité: \begin{enumerate} \item qu'il ait pris un menu à 70~F ; \item qu'il ait pris un menu à 90~F et qu'il ait donné un pourboire au serveur ; \item qu'il ait donné un pourboire au serveur ; \item qu'il ait pris un menu à 150~F sachant qu'il a donné un pourboire au serveur (le résultat de cette question sera donné sous forme exacte, puis sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut). \end{enumerate} \item On suppose que, quand un pourboire est donné au serveur, son montant est 5\,\% du prix du menu. On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le montant en francs du pourboire donné au serveur par un client. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique E$(X)$. \item Quelle somme le serveur peut-il espérer gagner, s'il sert 30~clients ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans une station de sport d'hiver, on a observé qu'un tiers des skieurs emprunte une télécabine les emmenant directement au sommet des pistes. Les autres skieurs utilisent un télésiège qui les transporte dans un domaine intermédiaire. Parmi ceux-ci, un quart emprunte un téléski pour se rendre au sommet des pistes, les autres skient dans ce domaine intermédiaire. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \medskip \begin{enumerate} \item On considère, dans cette station, une personne partant skier. Calculer la probabilité : \begin{enumerate} \item que ce skieur aille au sommet des pistes en utilisant le télésiège, puis le téléski; \item que ce skieur aille skier au sommet des pistes. \end{enumerate} \item Au sommet des pistes, on interroge un skieur choisi au hasard. Prouver que la probabilité qu'il soit arrivé en télécabine est $\dfrac{2}{3}$. \item Dans un moment de très grande affluence au sommet des pistes, on interroge au hasard quatre skieurs. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'au moins un d'entre eux ne soit pas venu en télécabine. \item Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de skieurs venus en télécabine. Déterminer la loi de probabilité de $X$. Calculer son espérance E$(X)$ et sa variance $V(X)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le but de ce problème est de déterminer une approximation du prix d'équilibre d'un produit manufacturé. (On rappelle que le prix d'équilibre est le prix pour lequel l'offre est égale à la demande). Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 4~cm). \bigskip \textbf{Partie A : étude de la fonction d'offre} \medskip $\bullet~~$ $x$ désigne le prix d'une unité de produit, exprimé en milliers de francs. $\bullet~~$ $f(x)$ désigne la quantité offerte sur le marché, exprimée en milliers d'articles. On admet que la fonction d'offre $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = x - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = x$. Déterminer la limite de $\varphi - f$ en $+ \infty$. \item Soit $D$ la droite d'équation $y = x$. Interpréter graphiquement le résultat de la question b. \end{enumerate} \item étudier le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Dresser le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude de la fonction de demande} \medskip $x$ désigne toujours le prix d'une unité, exprimé en milliers de francs. $g(x)$ désigne la quantité demandée, exprimée en milliers d'articles. On admet que la fonction de demande $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ est de la forme \[g(x) = \dfrac{a}{x} + b \ln x\quad \text{avec $a$ et $b$ réels}.\] \begin{enumerate} \item On note $\Gamma$ la courbe représentative de $g$ dans \Oij. Déterminer les nombres $a$ et $b$ sachant que $\Gamma$ passe par le point A(1~;~2) et admet en ce point une tangente $\Delta$ de coefficient directeur $- 3$. \item On pose dans toute la suite $g(x) = \dfrac{2}{x} - \ln x$. \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. \item Construire, sur l'annexe , la courbe $\Gamma$ ainsi que sa tangente $\Delta$ en A. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Détermination du prix d'équilibre} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Méthode graphique} À l'aide des graphiques de $\mathcal{C}$ et de $\Gamma$, indiquer le prix d'équilibre (à 100~F près). \item \textbf{étude théorique} Soit la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[h(x) = f(x) - g(x).\] \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de $h$. \item Déterminer la limite de $h$ en $0$, puis en $+ \infty$. \item Prouver que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à [1,73~;~1,74]. Déduire de ce qui précède un encadrement du prix d'équilibre à 10~F près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Sportifs de haut-niveau septembre 1997 \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 1997 \hypertarget{Caledonie}{} \label{Caledonie} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small décembre 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie décembre 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Dans cet exercice les résultats pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice. Le tableau suivant donne l'évolution de 1955 à 1995 de l'espérance de vie des hommes et des femmes en France. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{| l |*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $i$ &1955 &1965 &1975 &1985 &1995 \\ \hline Rang $x_i$ de l'année $i$ &0 &10 &20 &30 &40 \\ \hline Espérance de vie des hommes $h_i$ &65 &67,5 &69 &71,3 &73\\ \hline Espérance de vie des femmes $f_ i$ &71,2 &74,4 &76,9 &79,4 &82\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter les deux nuages de points associés aux séries statistiques $\left(x_{i},~h_{i}\right)$ et $\left(x_{i},~f_{i}\right)$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal. Unités graphiques : sur l'axe des abscisses 0,25~cm ; sur l'axe des ordonnées 1~cm ; de plus, sur l'axe des ordonnées, on placera 65 à l'origine. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $h$ (on donnera la valeur décimale arrondie à $10^{-3}$ près). \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite (D) de régression de $h$ en $x$ (pour les coefficients, on donnera les valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près). \item Tracer (D) dans le repère précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $f$ (on donnera la valeur décimale arrondie à $10^{-3}$ près). \item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite (D$'$) de régression de $f$ en $x$ (pour les coefficients, on donnera les valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près). \item Tracer (D$'$) dans le repère précédent. \end{enumerate} \item En supposant que les évolutions correspondent durant les années à venir aux équations des droites précédentes, déterminer par le calcul : \begin{enumerate} \item quelle serait l'espérance de vie des hommes et des femmes en l'an 2000 ? \item en quelle année l'espérance de vie des femmes deviendrait supérieure de 10 ans à celle des hommes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2}\hfill 5 points \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans un sac se trouvent 6 jetons numérotés de 1 à 6. Un jeu consiste à tirer au hasard l'un des jetons. Si le numéro obtenu est un multiple de 2, le joueur gagne 1 franc ; s'il obtient \og 1 \fg ou \og 3 \fg, il gagne 2 francs ; s'il obtient \og 5 \fg il garde le jeton tiré et il tire un second jeton parmi les cinq restants ; si le second numéro obtenu est un multiple de 2, il gagne 2 francs ; si le second numéro obtenu est \og 1 \fg, il gagne 9 francs ; et si le second numéro est \og 3 \fg, il gagne $k$ francs, où $k$ est un nombre réel. Pour jouer à ce jeu, le joueur achète au préalable un ticket à 3 francs. On suppose à chaque fois que les tirages sont équiprobables. Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur la différence entre le gain et le prix du ticket. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'un arbre, représenter les différentes issues possibles. \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la question précédente, donner les valeurs $x_{i}$, que peut prendre la variable aléatoire $X$ ; donner ensuite la loi de probabilité de $X$. \item Montrer que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{k - 40}{30}$. \item Déterminer $k$ pour que l'organisateur du jeu gagne 0,10 franc en moyenne par ticket vendu. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $k = 32$. \begin{enumerate} \item Un joueur joue une fois à ce jeu. Montrer que P$(X \geqslant 0) = \dfrac{1}{15}$. \item Ce joueur joue maintenant 3 parties indépendantes. Calculer la probabilité d'avoir un gain aux deux premières parties et une perte à la troisième (donner la valeur arrondie de cette probabilité à $10^{-3}$ près). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans un rayon d'un magasin ouvert dix heures par jour, on peut trouver soit un vendeur A pendant six heures de temps, soit pendant son absence, un vendeur B pendant trois heures de temps, soit en l'absence de A et B, aucun vendeur pendant une heure de temps. Les plages horaire de présence varient, si bien que le fait qu'un client soit conseillé par A, par B ou ne soit pas conseillé est aléatoire. Quand ils sont conseillés par A, 70\,\% des clients effectuent un achat, 50\,\% l'effectuent quand ils sont conseillés par B et 20\,\% seulement quand personne n'est là pour les conseiller. Pour un client qui se présente dans ce rayon, on considère les évènements suivants : A : \og Le client est conseillé par A. B : \og Le client est conseillé par B. C : \og Le client n'est conseillé par personne. H : \og Le client effectue un achat. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire, en terme de probabilités conditionnelles, les données numériques de l'énoncé à l'aide des évènements A, B, C et H. \begin{enumerate} \item Un client se présente dans le rayon. Quelle est la probabilité que le client soit conseillé par A et qu'il effectue un achat ? \item Quelle est la probabilité que le client effectue un achat ? \item Le client effectue un achat. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas été conseillé par A ? \end{enumerate} \item Pendant $n$ jours, $n$ clients viennent dans ce rayon indépendamment les uns des autres, à raison de un client par jour. \begin{enumerate} \item On prend $n = 7$. Quelle est la probabilité qu'au moins cinq des clients aient été conseillés par A ? \item Maintenant, $n$ est quelconque. Montrer que la probabilité qu'au moins un des clients ait été conseillé par A est égale à $1 - (0,4)^n$. Calculer $n$ pour que cette probabilité soit au moins égale à 0,99. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Problème\hfill 10 points} \textbf{Partie I} \medskip On considère les fonctions numériques $f$ et $g$, définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(t) = 13 t^2 + 50t \quad;\quad g(t) = \np{2000} \text{e}^{-0,116t}.\] On note ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{2}$) leurs courbes représentatives respectives dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. Unités graphiques : axe des abscisses 0,5~cm pour une unité; axe des ordonnées 0,5~cm pour 100~unités. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de la fonction $f$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de la fonction $g$. \item Déterminer la limite de la fonction $g$ en + ~ $\infty$. En déduire une droite asymptote à la courbe ($\mathcal{C}_{2}$) ; quelle est la position de ($\mathcal{C}_{2}$) par rapport à cette asymptote ? \end{enumerate} \item Tracer, dans le repère \Oij{} les courbes ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{2}$). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Une usine, fabriquant uniquement un produit B, décide la fabrication d'un produit A. Les nombres $f(t)$ et $g(t)$, définis à la partie I, représentent les quantités respectives de produit A et de produit B fabriquées par jour, où $t$ est la durée, exprimée en mois, écoulée depuis le lancement de A. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $h$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $h(t) = f(t) - g(t)$. \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de la fonction $h$. \item Montrer que l'équation $h(t) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle [6~;~7]. \item En déduire combien de mois après son lancement la fabrication de A dépasse celle de B. \end{enumerate} \item On considère la fonction $q$, définie sur $[0~;~+~\infty[$ par : $q(t) = f(t) + g(t)$. \begin{enumerate} \item Que représente $q(t)$ ? \item Donner une primitive $Q$ de $q$. \item Calculer la valeur moyenne de la fonction $q$ sur l'intervalle [0 ; 10], c'est-à-dire le nombre $N = \dfrac{1}{10} \displaystyle\int_{1}^{10} q(t)\:\text{d}t$. Après avoir calculé la valeur exacte de $N$, on en donnera une valeur approchée à 1 unité près. \end{enumerate} \item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit A supérieure à \np{3000}. Par lecture graphique, déterminer au bout de combien de mois ce rythme est atteint. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 1997 \end{document}