\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{diagbox} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath}, \vect{\jmath}, \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue,pdfstartview=FitH, pdfpagemode=FullScreen]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small L'intégrale 1998 ES } \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 1998~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à décembre 1998}} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 1998} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 1998} \dotfill\pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 1998} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 1998} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\ \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 1998} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 1998}\dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1998}\dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antillessept}{Antilles--Guyane septembre 1998} \dotfill \pageref{Antillessept}\\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1998} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 1998}\dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau octobre 1998}\dotfill\pageref{Sportifs}\\ \hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud novembre 1998} \dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie décembre 1998} \dotfill \pageref{Caledonienov} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 1998 \hypertarget{AmeriqueduNord}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \label{AmeriqueduNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Aucun détail des calculs statistiques à effectuer à la machine n'est demandé dans cet exercice.} Dans une région imaginaire sévit depuis quelques années une mystérieuse maladie : toute personne atteinte est, pendant plusieurs mois, plongée dans un profond sommeil. Le tableau ci-dessous concerne la population de cette région. Il indique, au 1\up{er} janvier de chaque année : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item l'année, variable $x$ (l'année 1992 a été notée 92 et ainsi de suite jusqu'à l'année 1998 notée 98) ; \item le nombre de personnes atteintes, variable $z$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $x_i$ &92 &93 &94 &95 &96 &97&98\\ \hline Nombre de personnes atteintes, $z_i$ &\np{45400} &\np{49100} &\np{52300} &\np{50400} &\np{52600} &\np{53900}&\np{55000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur décimale arrondie au dixième du coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$. Ce résultat permet-il d'envisager un ajustement affine entre les variables $x$ et $z$ ? \item Représenter le nuage de points associé à la série ($x~;~z)$. Unités : en abscisse, 91 est l'origine des années et 1 cm représente une année ; en ordonnée, \np{40000} est l'origine et 5~cm représentent \np{10000} personnes. \item \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Pour les coefficients, on prendra les valeurs décimales arrondies au dixième. Tracer cette droite sur le graphique précédent. \item En supposant que l'évolution de la maladie se poursuive de la même façon au cours de l'année 1998, donner une estimation de la population atteinte par cette maladie le 1\up{er} janvier 1999. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le tableau suivant donne le montant des cotisations qu'ont eu à payer en 1997 les adhérents à une médiathèque, selon la catégorie à laquelle ils appartiennent : \begin{center} \begin{tabular}{*{3}{| c } |}\hline Adhérents & Catégories& Cotisation \\\hline & Catégorie A : scolaires & gratuit \\\cline{2-3} Résidents & Catégorie B : étudiants & 60 F \\\cline{2-3} & Catégorie C : autres & 100 F \\ \hline Non résidents & Catégorie D & 140 F \\\hline \end{tabular} \end{center} La recette totale de la médiathèque se compose : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item d'une subvention municipale ; \item des cotisations des adhérents. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item En 1997 : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la subvention municipale a été de \np{200000}~F ; \item il y a eu au total \np{5000} adhérents, dont 72\,\% de résidents ; parmi les résidents, 45\,\% appartiennent à la catégorie A et 30\,\% à la catégorie B. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Combien y a-t-il eu d'adhérents dans chaque catégorie ? \item Quelle a été la recette totale ? \end{enumerate} \item En 1998 : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item pour équilibrer le budget, la recette totale doit augmenter de 10\,\% ; \item la subvention municipale est augmentée de 3\,\%. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer que, pour équilibrer le budget, la part de la recette totale provenant des cotisations en 1998 doit être égale à \np{399880}~F. \item Le nombre d'adhérents augmente en 1998 de 10\,\% dans chaque catégorie. On modifie uniquement les cotisations des catégories C et D ; la cotisation de la catégorie C passe à $105$~F. Calculer, à $10$~F près par excès, la cotisation minimale de la catégorie D, pour que la part de la recette provenant des cotisations en 1998 soit au moins de \np{399880}~F. \item Calculer dans ces conditions les pourcentages d'augmentation des cotisations des catégories C et D entre 1997 et 1998. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un lycée compte $660$~élèves. La fréquentation mensuelle du CDI (Centre de Documentation et d'Information) suivant les niveaux est donnée par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}| *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Niveaux &\multicolumn{3}{ c |}{Seconde} & \multicolumn{4}{ c |}{Première}& \multicolumn{4}{ c |}{Terminale} \\\hline Nombre de visites mensuelles &0 &1 &2 &0 &1 &2 &3 &0 &1 &2 &3 \\\hline Effectifs & 56&140&84&10&60 &70 &60 &18&70&38 &54\\ \hline \end{tabularx} \end{center} (Par exemple, 84 élèves de seconde sont venus au CDI 2 fois par mois). \medskip \begin{enumerate} \item On interroge un élève choisi par hasard et on considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $A$ \og l'élève est en seconde \fg ; \item $B$ \og l'élève vient une fois par mois au CDI \fg ; \item $C$ \og l'élève est en seconde et vient une fois par mois au CDI \fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$. \item Montrer que $p(B) = \dfrac{9}{22}$. \item Calculer $p(C)$. \item L'élève choisi au hasard est l'un de ceux qui viennent une fois par mois au CDI. Quelle est la probabilité qu'il soit en seconde ? (Donner le résultat sous forme de fraction irréductible). \end{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de visites mensuelles au CDI d'un élève du lycée. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \item On répète dix fois, de façon indépendante le choix au hasard d'un élève parmi les élèves du lycée. Quelle est la probabilité que, parmi les élèves choisis, cinq élèves exactement se rendent une fois par mois au CDI ? (Donner le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-3}$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Les objectifs de ce problème sont de déterminer une fonction qui ajuste de manière satisfaisante une série statistique (parties A et B), puis d'étudier un coût moyen résultant de l'étude précédente (partie C). Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production d'un engrais, notées CT$(x)$, en fonction de la masse $x$ produite (où $x$ est exprimée en tonnes et CT$(x)$ est exprimé en milliers de francs) : \[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &10 &12 &14 &16 &18 \\ \hline CT($x$) &100 &110&145&196&308 \\\hline \end{tabularx}\] \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Sur une feuille de papier millimétré, reporter les cinq points de coordonnées $(x~;~\text{CT}(x))$ dans un repère orthogonal \Oij. Unités : 1~cm pour une tonne sur l'axe des abscisses ; 0,05~cm pour un millier de francs sur l'axe des ordonnées. \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On recherche une fonction, définie sur l'intervalle [10 ; 18], dont la courbe représentative dans le repère \Oij{} s'ajuste de façon acceptable avec les cinq points tracés sur le graphique. Une fonction $f$ est déclarée \og acceptée \fg{} si, pour chacune des cinq valeurs de $x$ citées dans le tableau, on a $- 10 \leqslant f(x) - \text{CT}(x) \leqslant 10$. \medskip \begin{enumerate} \item On essaie la fonction $g$, définie sur l'intervalle [10 ; 18] par \[g(x) = 3,25(x - 10)^2 + 100.\] \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &10 &12 &14 &16 &18 \\\hline $g(x)$ &100 & & & &308 \\\hline $g(x) - \text{CT}(x)$& & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Pourquoi $g$ n'est-elle pas \og acceptée\fg ? \end{enumerate} \item On essaie la fonction $h$, définie sur l'intervalle [10~;~18] par : $h(x) = \text{e}^{0,3x} + 80$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h$ est \og acceptée \fg. \item Étudier le sens de variation de $h$ sur l'intervalle [10~;~18]. \item Tracer la courbe représentative de $h$ sur le graphique de la partie \textbf{A}. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} Dans cette partie, on utilise sur l'intervalle [10~;~18] la fonction $h$, \og acceptée \fg, de la partie \textbf{B}. Ainsi, le coût moyen de production d'une tonne, en fonction de la masse $x$ produite, est, en milliers de francs \[\text{CM}(x) = \dfrac{h(x)}{x} = \dfrac{\text{e}^{0,3x} + 80}{x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item On note CM$'$ la dérivée de la fonction CM. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [10~;~18], $\text{CM}'(x)$ a le même signe que $s(x) = (0,3x - 1)\text{e}^{0,3x} - 80$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle [10~;~18]. \item Montrer que l'équation $s(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle [10~;~18]. On note $\alpha$ cette solution et, pour la suite, on prendra $\alpha = 11,59$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire de ce qui précède le sens de variation de CM sur l'intervalle [10~;~18]. \item Pour quelle production a-t-on un coût moyen minimal ? Quel est ce coût, à un franc près par excès ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 1998 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le directeur d'une fabrique de microprocesseurs constate que 4\,\% de la production journalière est défectueuse. Un responsable qualité propose une vérification systématique des microprocesseurs. Cette vérification n'est pas parfaite, elle ne détecte que 95\,\% des microprocesseurs défectueux et déclare défectueux 2\,\% des microprocesseurs qui ne présentent pourtant aucun défaut. On prend au hasard l'un des microprocesseurs dans une production journalière. On appelle : - $M$ l'évènement \og le microprocesseur est défectueux \fg{} ; - $R$ l'évènement \og le microprocesseur est rejeté après vérification \fg. La notation $p(A/B)$ désignant la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser les probabilités : $p(M), p(R/M), p\left(R/\overline{M}\right)$. \item Calculer la probabilité de l'évènement ($M$ et $R$) ainsi que celle de l'évènement $\left(\overline{M} \text{ et }\: R\right)$. \item Calculer la probabilité que le microprocesseur soit défectueux et déclaré bon par la vérification. \item Calculer la probabilité que le microprocesseur soit bon sachant que la vérification va le déclarer \og à rejeter \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2}\hfill 5 points \textbf{(obligatoire)} \medskip \emph{Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice, sans justification. lis seront arrondis à $10^{-2}$ près, sauf indication contraire.} \medskip Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'étudiants inscrits dans l'enseignement supérieur depuis 1960 (en milliers d'étudiants), en France métropolitaine. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année scolaire &1960-1961 & 1970-1971& 1980-1981& 1990-1991& 1993-1994\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ &1 &11 &21 & 31 &34\\ \hline Nombre d'étudiants (en milliers) : $y_i$&309,7 & 850,6 &\np{1174,8} &\np{1698,7} &\np{2074,6}\\ \hline \multicolumn{6}{l}{\footnotesize Source : \emph{Repères et références statistiques sur les enseignements et la formation.} Édition 1995. D.E.P.} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Peut-on envisager un ajustement affine ? \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. \item En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d'étudiants qui seront inscrits dans l'enseignement supérieur en 1998-1999. (Arrondir au millier supérieur). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant la première donnée, correspondant à l'année 1960-1961. Pour cela, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$. Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant par les valeurs de $z_i$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l |*{4}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_{i}$ &11 &21 &31 & 34 \\ \hline $z_{i} = \ln (y_{i})$ & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$. Peut-on envisager un ajustement affine ? \item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$. \item En supposant que l'évolution se poursuive de cette façon, donner une valeur approchée de $z_{39}$, puis proposer une deuxième estimation du nombre d'étudiants qui seront inscrits dans l'enseignement supérieur en 1998-1999. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2}\hfill 5 points \textbf{(spécialité)} \medskip On définit deux suites de nombres réels, $U$ et $V$ par les conditions suivantes $U_{0} = 9$ et pour tout $n$ entier ($n \geqslant 0$), \[U_{n+1} = \sqrt{U_{n}}\quad ; \quad V_{n} = \ln \left(U_{n}\right).\] \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question nous nous intéresserons au calcul des premiers termes des suites $U$ et $V$. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs de $U_{0}$,\: $U_{1}$,\: $U_{2}$,\: $U_{3}$. \item Exprimer $V_{0}$,\: $V_{1}$,\: $V_{2}$,\: $V_{3}$ en fonction de $\ln (3)$. \end{enumerate} \item Dans les deux questions suivantes nous allons étudier la suite $V$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $V$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. \item Calculer $V_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $V$ ? \end{enumerate} \item On s'intéresse dans cette question au comportement de la suite $U$. \begin{enumerate} \item Calculer $U_{n}$ en fonction de $V_{n}$. \item Donner alors la limite de $U_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0~;~+ \infty$[, dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée (annexe I, ci-après), dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Au moyen d'une lecture graphique, donner, sous forme de tableau, le signe de $f$ sur [0~ ; +~$ \infty$[. \item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[0~;~+~ \infty$[. L'une des trois courbes des figures 2 a, 2 b, 2 c (annexe II) est la représentation graphique de $F$ sur $[0~;~+~ \infty[$. En utilisant le résultat du 1, déterminer celle de ces courbes qui convient et noter sur votre copie la référence de cette courbe. \item Calculer, en unité d'aire, la valeur exacte $\mathcal{A}$ de l'aire du domaine D compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ = \dfrac{1}{2}$ et $x = 2$. Sur le graphique, donné ci-dessous, hachurer ce domaine D et joindre cette annexe à votre copie. \item Au moyen d'une lecture graphique, déterminer les valeurs de $f(0),\:f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f'\left(\dfrac{3}{2}\right)$. Reporter ces valeurs dans le tableau correspondant (à joindre à votre copie). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par \[g(x) = (2x - 1) \text{e}^x.\] On note $\Gamma$ la courbe représentative de $g$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $g$ quand $x$ tend vers -~$\infty$. \item Montrer que $g(x)$ peut s'écrire : $g(x) = \left(\dfrac{2x}{\text{e}^x} - \text{e}^{-x}\right)$. Calculer la limite de $g$ en + ~$\infty$. Quelle conclusion peut-on tirer du résultat de ce calcul ? \item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. \item Dresser le tableau des variations de $g$. \item Écrire une équation de la tangente T à $\Gamma$ au point d'abscisse 0. En admettant que la courbe donnée ci-dessous représente, sur l'intervalle $[0~;~+\infty$[, la fonction $g$, tracer sur ce graphique la droite T et la courbe $\Gamma$. \end{enumerate} \newpage \textbf{Annexe I : courbe de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath \begin{center} %Courbe de la fonction $f$ \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(3.2,1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(3,1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.1}{2 x mul 1 sub 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip Tableau de valeurs pour la fonction $f$, à compléter au moyen d'une lecture graphique \renewcommand\arraystretch{1.7} \[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &$\dfrac{1}{2}$ &$\dfrac{3}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline $f(x)$ & & &$2\text{e}^{\left(-\frac{3}{2}\right)}$\\ \hline $f'(x)$ &3 &$2\text{e}^{\left(-\frac{1}{2}\right)}$& \\ \hline \end{tabularx}\] \textbf{Annexe II :} \medskip Courbe 2 a représentative de $F_{\text{a}}$. \[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &$\dfrac{1}{2}$ &$\dfrac{3}{2}$ &2 &$\dfrac{5}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline $F(x)$ &3 &$\dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}}$ &0\rule[-4mm]{0mm}{8mm} &$- \dfrac{1}{\text{e}^2}$& \\ \hline $F'(x)$&0 & & & &0 \\ \hline \end{tabularx}\] \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(0,-1)(4,1.3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(4,1.3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline{->}(0,0)(4,0) \psline{->}(0,-1)(0,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 2 x mul sub 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip Courbe 2 b représentative de $F_{\text{b}}$. \[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &$\dfrac{1}{2}$ &2\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline $F(x)$ & $-1$ &$-\dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}}$ & $- \dfrac{5}{\text{e}^2}$ \rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline $F'(x$) & & 0 & \\ \hline \end{tabularx}\] \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(0,-2)(4,1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(4,1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{ x 2 mul 1 add neg 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} Courbe 2 c représentative de $F_{\text{c}}$. \[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0\rule[-4mm]{0mm}{9mm} &$\dfrac{1}{2}$ &$\dfrac{3}{2}$ &2 \\ \hline $F(x)$ \rule[-4mm]{0mm}{9mm} & $\dfrac{3}{2}$&$\sqrt{\text{e}}$& 0 & $- \dfrac{\text{e}^2}{2}$ \\ \hline $F'(x)$ & & 0 & & \\ \hline \end{tabularx}\] \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(0,-2)(4,2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(4,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.82}{3 2 div x sub 2.71828 x exp mul} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Asie juin 1998 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$, définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x + a \right) + b\] où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles. Les renseignements connus sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=10mm,yunit=10mm} \begin{pspicture}(-0.5,0.4)(6.5,-2) \psline(-0.5,0)(6.5,0) \psline(-0.5,-1)(6.5,-1) \psline(0,0.4)(0,-2) \psline{->}(0.5,-1.2)(2.8,-1.9) \psline{->}(3.3,-1.9)(6,-1.2) \rput(-0.5,0.2){$x$} \rput(-0.5,-0.5){$f'(x)$} \rput(-0.5,-1.5){$f(x)$} \rput(0.4,0.2){$-~\infty$} \rput(3,0.2){0} \rput(5.8,0.2){$+~\infty$} \rput(3,-0.5){0} \rput(0.2,-1.2){$-3$} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$\: ($f'$désigne la fonction dérivée de $f$.) \item \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci-dessus. \item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+~\infty$. \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation \[\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) - 3 = 0\] (on pourra poser $X = \text{e}^x$ ). \item Résoudre dans $\R$ les inéquations \[\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) - 3 \geqslant -~4\] \[\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) - 3 \leqslant 0\] (On utilisera le tableau de variation donné ci-dessus et en particulier les informations obtenues en \textbf{2 b}) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un magasin de grande surface procède à des opérations de solde sur tous les disques (CD) de son rayon musique : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $20$\,\% de ces disques sont des CD \og classiques \fg. $80$ \% d'entre eux sont vendus à moitié prix, les autres sont vendus avec une remise de $40$\,\% sur le prix initial. \item[$\bullet~~$]$30$\,\% de ces disques sont des CD \og Jazz \fg. $70$\,\% d'entre eux sont vendus à moitié prix, les autres sont vendus avec une remise de $20$\,\% sur le prix initial. \item[$\bullet~~$]$50$\,\% de ces disques sont des CD \og Pop-Rock \fg. $60$\,\% d'entre eux sont vendus à moitié prix, les autres sont vendus avec une remise de $30$\,\% sur le prix initial. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les deux questions sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item Un client a payé 42 F un disque. Quels étaient les différents prix possibles de cet article avant les opérations de solde ? \item Un client choisit un disque au hasard. \begin{enumerate} \item Sachant que c'est un CD \og Jazz \fg, quelle est la probabilité qu'il le paie à moitié prix ? \item Son prix marqué avant les opérations de solde est de 90 F;~quelle est la probabilité que ce soit un CD \og Pop-Rock \fg{} vendu à 45~F ? \item Quelle est la probabilité que ce disque choisi soit vendu à moitié prix ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un dé non truqué comporte six faces ainsi marquées : \[1\qquad 1\qquad 1\qquad 2\qquad 2\qquad 4\] \smallskip \begin{enumerate} \item On lance ce dé une fois. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir une face marquée 2 ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir une face marquée 1 ou 2 ? (les résultats numériques seront donnés sous forme d'une fraction irréductible). \end{enumerate} \item On lance ce dé trois fois de suite. Les différents jets de ce dé sont supposés indépendants. On note de gauche à droite, chaque fois, le chiffre obtenu. Un nombre de trois chiffres est ainsi créé. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir le nombre 421 ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre formé exactement d'un 1, d'un 2, d'un 4 ? \item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre contenant au moins une fois le chiffre 2 ? (les résultats numériques seront donnés sous forme d'une fraction irréductible). \end{enumerate} \item On jette cinq fois de suite ce dé (les jets sont indépendants). Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois exactement le chiffre 1 ? On pourra utiliser un schéma de Bernoulli. (Le résultat numérique est donné sous forme approchée à $10^{-2}$ près par défaut.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \text{e}^x - \text{e}. \ln (x)\] dans laquelle $\text{e}. \ln (x)$ est le produit du nombre $\text{e}$ par le logarithme népérien de $x$. \medskip \begin{enumerate} \item Question préliminaire Tracer dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm -- la courbe (E) d'équation $x \in [0~;~+\infty[,\: y = \text{e}^x$ -- la courbe (H) d'équation $x \in [0~;~+ \infty[,\: y = \dfrac{\text{e}}{x}.$ Au moyen d'une lecture graphique, déterminer le signe de $\text{e}^x - \dfrac{\text{e}}{x}$ suivant les valeurs de $x$ dans $]0 ~;~+ \infty[$. \item Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0. \item En utilisant l'écriture suivante de $f(x)~ :~ f(x) = \text{e}^x\left(1 - \text{e}\cdot\dfrac{\ln x }{x}\cdot \dfrac{x}{\text{e}^x} \right)$ calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers + ~$\infty$. \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. Déduire des résultats de la question 1 l'étude des variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées. Préciser la droite asymptote à ($\mathcal{C}$) et la tangente à ($\mathcal{C}$) parallèle à l'axe des abscisses. \item Calcul d'une aire \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $s$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[s(x) = x \cdot \ln (x) - x\] est une primitive de la fonction $\ln$. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie du plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Asie juin 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 1998 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 1998~\decofourright} }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Partie A} \medskip Soient $a$ et $b$ des nombres réels. On considère la fonction $f$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[f(x) = \text{e}^{2x} + a\text{e}^x + b, \] et on désigne par $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item On sait que $f(\ln 3)$ = - 9 et $f^{\prime}(\ln 3)$ = 0. Déterminer les nombres réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le but de cette partie est le calcul de l'intégrale \[ \text{I} = \displaystyle\int_{- 1}^{1} \left[(2x + 1)\text{e}^{2x}- 6(x + 1)\text{e}^x \right]\:\text{d}x. \] \smallskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = \text{e}^{2x} - 6\text{e}^x.\] On pose, pour tout $x$ appartenant à $\R,~g(x) = xf(x)$. Calculer $g^{\prime}(x)$. \item En déduire la valeur exacte de I. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (obligatoire)\hfill 5 points} \medskip Pour chaque probabilité demandée on donnera la valeur décimale arrondie à $10^{-4}$ près. Dans une université, 55\,\% des étudiants possèdent un ordinateur. Parmi les étudiants ayant un ordinateur : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 20\,\% ont un violon ; \item 30\,\% ont une flûte ; \item aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Parmi les étudiants n'ayant pas d'ordinateur : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 5\,\% ont un violon ; \item 15\,\% ont une flûte ; \item aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un étudiant de cette université. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $D$, l'étudiant a un ordinateur ; \item $V$, l'étudiant a un violon ; \item $F$, l'étudiant a une flûte ; \item $R$, l'étudiant n'a aucun de ces deux instruments de musique. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Ainsi : la probabilité $p(D)$ de l'évènement $D$ est $0,55$ ; la probabilité $p(V/D)$ qu'un étudiant ait un violon sachant qu'il a un ordinateur est $0,2$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que l'étudiant ait un ordinateur et un violon. \item Calculer la probabilité que l'étudiant ait un violon et pas d'ordinateur. \item Calculer $p(V)$. \item Calculer $p(F)$. \item Quelle est la probabilité que l'étudiant ait un ordinateur sachant qu'il a une flûte ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points} \medskip Un éditeur établit ses prix pour l'année chaque 1\up{er} janvier. Dans tout l'exercice nous nous intéresserons à deux collections publiées par l'éditeur : la collection A et la collection B. Dans chaque collection, tous les volumes sont vendus au même prix unitaire. \medskip \textbf{I - Étude de la collection A.} \medskip Le prix unitaire des livres de cette collection augmente de 7 F au 1\up{er} janvier de chaque année. On désigne par $P$ le prix unitaire des livres le $1\up{er}$ janvier 1995. Pour tout nombre entier naturel $n$, on désigne par $P_{n}$ le prix unitaire des livres le 1\up{er} janvier de l'année $(1995 + n)$. Par exemple, $P_{3}$ est le prix unitaire le 1\up{er} janvier 1998. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour $n \geqslant 1$, exprimer $P_{n}$ en fonction de $P_{n-1}$. \item Exprimer $P_{n}$ en fonction de $n$ et de $P_{0}$. \end{enumerate} \item Le 1\up{er} janvier 1995 le prix unitaire était 150~F. \begin{enumerate} \item Quel sera le prix unitaire le 1\up{er} janvier 2007 ? \item À quelle date le prix unitaire sera-t-il pour la première fois supérieur à $250$~F ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{II - Étude de la collection B} \medskip Le prix unitaire des livres de cette collection augmente de 3\,\% au $1\up{er}$ janvier de chaque année. On désigne par $R_{0}$ le prix unitaire des livres le 1\up{er} janvier 1995. Pour tout nombre entier naturel $n$, on désigne par $R_{n}$ le prix unitaire des livres le 1\up{er} janvier de l'année $(1995 + n)$. Par exemple, $R_{3}$ est le prix unitaire le 1\up{er} janvier1998. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour $n \geqslant 1$, exprimer $R_{n}$ en fonction de $R_{n-1}$. \item Exprimer $R_{n}$ en fonction de $n$ et de $R_{0}$. \end{enumerate} \item Le 1\up{er} janvier 1995 le prix unitaire était 150 F. \begin{enumerate} \item Quel sera le prix unitaire le 1\up{er} janvier 2007 ? (on donnera la valeur arrondie entière de ce prix à 1~F près). \item À quelle date le prix unitaire sera-t-il pour la première fois supérieur à 250~F ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip Les objectifs de ce problème sont l'étude d'une fonction et le tracé de sa courbe représentative (partie II), s'appuyant sur l'étude du signe d'une fonction auxiliaire (partie I). \medskip \textbf{I} Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x - 5 + 5 \ln x.\] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $g$ (ne pas étudier les limites). \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique dans l'intervalle [1~;~7]. On note $\alpha$ cette solution. \item Déterminer la valeur décimale arrondie au centième de $\alpha$. \end{enumerate} \item Étudier le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à $]0~;~+~ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{II} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{(x - 5) \ln x}{x}\] On peut donc aussi écrire \[f(x) = \dfrac{1}{x}(x - 5) \ln x \quad \text{et} \quad f(x) = \ln x - \dfrac{5 \ln x}{x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement le résultat. \item Déterminer la limite de $f$ en $+~\infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. \item Montrer que $f(x)$ et $g(x)$ ont le même signe. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. \begin{enumerate} \item Soit A le point de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse 1. Donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ tangente en A à la la courbe $\mathcal{C}$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'axe des ordonnées. \item Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ sur papier millimétré. (Unité graphique : 2 cm) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 1998 \newpage %%%%%%%%%%% La Réunion juin 1998 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small La Réunion} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour se rendre au lycée, Frédéric a le choix entre deux itinéraires A ou B. La probabilité qu'il choisisse l'itinéraire A est $\dfrac{1}{3}$. La probabilité qu'il arrive en retard sachant qu'il emprunte l'itinéraire A est $\dfrac{2}{5}$ ; celle qu'il arrive en retard sachant qu'il emprunte l'itinéraire B est $\dfrac{3}{10}$. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que Frédéric choisisse l'itinéraire B ? \item Sachant qu'il choisit l'itinéraire A, quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure ? \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure au lycée et qu'il ait choisi l'itinéraire A ? \item Quelle est la probabilité que Frédéric arrive à l'heure au lycée ? \item Sachant que Frédéric est arrivé à l'heure au lycée, quelle est la probabilité qu'il ait emprunté l'itinéraire B ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip \begin{enumerate} \item Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- 4~;~2[$ par : \[g(x) = \dfrac{a}{x + 4} + \dfrac{b}{x - 2},\] où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. Sa courbe représentative dans un repère donné passe par A $\left(0~;~ \dfrac{3}{4}\right)$ et admet au point d'abscisse - 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses. Déterminer les réels $a$ et $b$. \item On considère la fonction $f$ définie sur $]- 4~;~2[$ par : \[f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 4}{2 - x}\right).\] Elle est représentée ci-dessous dans un repère orthonormal : \begin{center} \begin{pspicture*}(-4,-3.1)(2,3.1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-3)(2,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psclip{ \pscustom[linestyle=none]{ \psline(-1,0)(0,0)(0,0.694)} \pscustom[linestyle=none]{% \pscurve(-1,0)(-0.5,0.33647)(0,0.69315)} } \psframe*[linecolor=gray](-1,0)(0,0) \endpsclip \psline[linewidth=1.5pt,fillstyle=vlines*](-1,0)(0,0)(0,0.694) %\pscurve[linewidth=1.5pt,fillstyle=vlines*](-1,0)(-0.5,0.33647)(0,0.69315) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.7}{1.7}{x 4 add 2 x sub div ln} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle ]- 4 ; 2[, l'égalité suivante est vraie $f'(x) = g(x)$.\\ \item On considère la fonction $F$ définie sur ]- 4 ; 2[ par : $$F(x) = (x + 4) \ln (x + 4) - (x - 2) \ln (2 - x).$$ Calculer $F'(x)$.\\ \item En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine hachuré sur la figure.\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip En 1990, un pays avait une population de 50 millions d'habitants. Par accroissement naturel, sa population augmente de 1,5\:\% par an. Par ailleurs, on constate une augmentation supplémentaire de 450\:000 habitants par an, due à l'immigration. L'unité est le million d'habitants. On note $u_{0} = 50$ le nombre d'habitants en 1990 (exprimé en millions d'habitants), et $u_{n}$ le nombre d'habitants en (1990 + $n$). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. \end{enumerate} \item On se propose de prévoir directement la population en 2010 si le modèle d'évolution se poursuit de la même façoon. Pour cela on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : $v_{n} = u_{n} + 30$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_{0}$,\:$ v_{1}$ et $v_{2}$. \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison. \item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. En déduire alors la population de ce pays en l'an 2010. On donnera le résultat arrondi au million d'habitants. \end{enumerate} \item Déterminer par le calcul en quelle année la population de ce pays dépassera 100 millions d'habitants si l'évolution se poursuit ainsi. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f(x) = \dfrac{x^3 + x}{2}\qquad g(x) = \dfrac{\text{e}^x -1 + x}{\text{e}}\] Étudier le sens de variation des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1]. \item Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~1] par : $h(x) = x - g(x).$ étudier les variations de $h$ et en déduire le signe de $h(x)$ sur [0~;~1]. \item On considère un repère orthonormal. On prendra pour unité graphique 10 cm sur chaque axe. On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans ce repère. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0&0,2 &0,5 &0,7& 1 \\ \hline $f(x)$ & & & & & \\ \hline $g(x)$ & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} On donnera les valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près. \item Représenter dans le repère donné, les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et tracer la droite d'équation $y = x$. \item Calculer l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la droite d'équation $y = x$ et la courbe représentative de $g$. En donner une valeur décimale approchée à 0,01 près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La courbe ci-dessous, appelée \textbf{courbe de Lorentz}, représente une fonction $m$, définie sur l'intervalle [0 ; 1]. Elle illustre la répartition des richesses d'un pays donné. \begin{center} \psset{unit=6mm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(11,11) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.3pt](0,0)(11,11) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(11,11) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(10,10) \psclip{ \pscustom[linestyle=none]{ \psline(0,0)(10,10)} \pscustom[linestyle=none]{ \pscurve(0,0)(1,0.3)(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)(8,7.2)(9,8.4)(10,10)}} \psframe*[linecolor=gray](0,0)(10,10) \endpsclip \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(10,10) \pscurve[linewidth=1.5pt,fillstyle=vlines*](0,0)(1,0.3)(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)(8,7.2)(9,8.4)(10,10) \rput(-2,10){(100 \%)~1} \rput(-2,3){(30 \%)~0,3} \rput(4,-1.5){(40 \%)} \rput(4,-1){0,4} \rput(10,-1.5){(100 \%)} \rput(10,-1){1} \rput{45}(9,9.3){$y = x$} \rput{48}(9,7){$y = m(x)$} \psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.3pt] \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,75cm} En abscisses $x$ représente le pourcentage des personnes les plus pauvres par rapport à la population totale et en ordonnées $m(x)$ représente le pourcentage des richesses totales qu'ils possèdent. Par exemple, 40\,\% des personnes en partant des plus pauvres possèdent 30\,\% des richesses totales. Les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$ de la première partie sont respectivement les courbes de Lorentz pour un pays F et un pays G. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, par le calcul ou graphiquement, pour chacun de ces deux pays le pourcentage des richesses possédées par 50\,\% des personnes en partant des plus pauvres. \item Parmi ces deux pays, quel est celui pour lequel les richesses sont réparties de la manière la plus égalitaire ? \end{enumerate} \item On appelle \textbf{coefficient de Gini} le nombre 2A, où A est l'aire, en unités d'aire, du domaine hachuré sur la figure. Le coefficient de Gini évalue le degré d'inégalité de la répartition des richesses. Calculer le coefficient de Gini pour chacun des pays F et G. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole juin 1998 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{center} \psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(9,3.1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt, subgridwidth=0.2pt](-0.5,-1)(9,3) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-0.99)(9,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](8.8,0){$x$} \uput[r](0,2.8){$y$} \rput(0.5,-0.4){$\overrightarrow{\imath}$} \rput(-0.3,0.5) {$\overrightarrow{\jmath}$} \psline[linewidth=1pt]{<->}(-0.25,3)(0.25,1) \psline[linewidth=1pt]{<->}(1.7,-0.5)(2.3,-0.5) \psline[linewidth=1pt]{<->}(0.5,0.5)(1.5,-0.5) \psline[linewidth=1pt]{<->}(4,2)(5,2) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,2)(0.5,0.7)(1,0)(1.5,-0.38)(2,-0.5)(2.5,-0.37)(3,0)(3.5,1.1)(4,1.75)(4.5,2)(5,1.75)(5.5,1)(6,0.45)(6.5,0.2)(7,0.1) \end{pspicture*} \end{center} Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2 cm), on considère la courbe ci-dessus représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur [0~;~7]. \emph{Toutes les réponses aux questions suivantes seront obtenues à partir du graphique.} \medskip \begin{enumerate} \item Lire $f(0)$,\: $f(2)$,\: $f’(1)$,\: $f'\left(\dfrac{9}{2}\right)$. \item Déterminer le signe de la fonction$f$ et celui de sa dérivée $f'$. \item Déterminer la dérivée logarithmique en 0. \item Indiquer à 0,1 près des valeurs approchées des solutions de l'équation $f(x) = 1$. \item On note I = $\displaystyle \int_{\frac{7}{2}}^5 f(x)\: \text{d}x.$ Parmi les intervalles proposés ci-dessous, indiquer celui qui contient le nombre I (on précisera rapidement la méthode utilisé pour le déterminer) : \[\left [0 ~;~\dfrac{1}{2}\right[,\quad\left[\dfrac{1}{2}~;~2\right[,\quad [2 ~;~5[,\quad[5~;~10[\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un magasin de distribution vend deux types de téléphones portables : des téléphones standard et des téléphones miniatures. Il propose aussi deux types d'abonnements mensuels : l'abonnement 1 heure ; l'abonnement 2~h~30. Le service marketing effectue une enquête sur un échantillon de \np{2000} clients ayant acheté dans ce magasin, pendant l'année en cours, un téléphone, et un seul, de l'un des types vendus et ayant opté pour un seul des abonnements proposés. Sur les \np{2000} clients interrogés, \np{1200} ont acheté le modèle standard. Sur ces \np{2000} clients, $960$ ont choisi l'abonnement 1 heure. Un client est pris au hasard dans l'échantillon. On note les évènements : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $S$ \og Le client a acheté le modèle standard \fg{} ; \item $M$ \og Le client a acheté le modèle miniature \fg{} ; \item $A_1$ \og Le client a choisi l'abonnement 1 heure \fg{} ; \item $A_2$ \og Le client a choisi l'abonnement 2~h~30 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$. \emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale avec 3 chiffres après la virgule}. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $p(S)$,\: $p(M)$,\: $p\left(A_1\right)$. \item \begin{enumerate} \item Parmi les clients qui ont acquis le modèle standard, 32\,\% ont pris l'abonnement A$_1$. Traduire cette donnée en terme de probabilité. \item En déduire la probabilité d'avoir acquis le modèle standard et d'avoir opté pour l'abonnement A$_1$. \item Justifier que la probabilité d'avoir choisi le modèle miniature et l'abonnement A$_1$ est égale à $0,288$. \end{enumerate} \item Le coût d'un téléphone standard est de \np{1000}~F et celui d'un miniature est de \np{3000}~F. L'abonnement A$_1$ revient à $170$ F par mois. L'abonnement A$_2$ revient à $400$ F par mois. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au coût total sur 1 an occasionné par l'achat d'un téléphone et l'abonnement choisi, pour un client pris au hasard dans l'échantillon. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$, en expliquant votre raisonnement. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|} p{1,4cm}|}\hline $x_i$ &\np{3040} & &\np{5800} & \\\hline $p\left(X = x_i\right)$ &0,192 &0,288 & & \\\hline \end{tabularx} \end{center} \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et l'interpréter. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Les fabricants d'ordinateurs portables vendent leurs machines à un prix $P_n$ l'année $n$. Les quantités offertes $O_n$ sont fonction du prix $P_{n-1}$ (à l'année $n - 1$), ceci du fait des délais de fabrication. Les quantités demandées $D_n$ sur le marché sont, elles, fonction du prix $P_n$ au cours de l'année $n$. Les fabricants recherchent l'équilibre du marché, c'est-à-dire qu'à chaque année $n$ on ait $O_n = D_n$ pour qu'il n'y ait pas de stock. \[\text{On a}~\left\{\begin{array}{l c l l l} O_n & = & 2P_{n-1} - 10 &\text{avec}& n \geqslant 1\\  D_n & = &- 3P_{n} + 140 &\text{avec}& n \geqslant 0.\\ \end{array}\right.\] $P_n$ est exprimé en milliers de francs, $O_{n}$ et $D_n$ en centaines d'unités. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur le document joint (à rendre avec la copie), on a représenté les droites d'équations : $y = 2x - 10$ et $y = 3x + 140$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites. \item On a $P_0 = 15$ , déterminer la valeur de $O_1~;~ O_1$ est représenté sur le graphique. Les quantités offertes doivent chaque année être égales aux quantités demandées, donc en particulier $O_1 = D_1$ . En utilisant $D_1$ , on a représenté $P_1$ sur le graphique. Ce prix $P_1$ , détermine une offre $O_2$ qui doit être égale à $D_2$. Cette valeur déclenche alors un prix $P_2$ ; le représenter sur le graphique ainsi que $P_3$ et $P_4$. Peut-on émettre une conjecture quant à la limite de la suite $(P_n)$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans l'hypothèse d'équilibre, soit $0_n = D_n$, démontrer que : $$P_n = -~\dfrac{2}{3}P_{n-1} + 50 ~\text{avec}~ n \geqslant 1$$ \item $(u_n)$ est la suite définie pour $n > 0$ par $u_n = P_n - 30$. Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et montrer que : $$P_n = 30 - 15 \left(- \dfrac{2}{3}\right)^n ~\text{pour}~ n ? 0$$ \item Montrer que $\lim \limits_{n \to +\infty} \vert P_n - 30\vert = 0$ . Déterminer alors la limite $P$ de la suite $(P_n)$ . Pour ce prix d'équilibre $P$, quelles sont alors les quantités offertes et demandées ? \medskip \begin{center} \psset{xunit=5mm} \psset{yunit=10mm} Document à compléter \psset{xunit=0.15cm,yunit=0.055cm} \begin{pspicture}(-7.5,-40)(60,140) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(-7.5,-40)(60,140) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(-7.5,-40)(60,140) \psline(0,-10)(60,110) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,140)(60,-40) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(15,0)(15,10)\psline[linewidth=1.1pt](15,10)(15,20) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,20)(27.5,20)\psline[linewidth=1.1pt](27.5,20)(40,20) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(40,0)(40,50)\psline[linewidth=1.1pt](40,50)(40,70) \psline{->}(40,70)(32.5,70)\psline[linewidth=1.1pt](32.5,70)(20,70) \psline(8,2.5)(8,3.5) \psline(6,3.5)(4.66,3.5) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.1pt](0,70)(24,70) \rput{40}(55,95){$y = 2x - 10$} \rput{-48}(52.5,-25){$y = -3x + 140$} \uput[ur](35,0){$P_{1}$} \uput[ul](15,0){$P_{0}$} \uput[l](0,12){$O_{1}D_{1}$} \uput[l](0,70){$O_{2}D_{2}$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème\hfill 10 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la population d'un pays de 1950 à 1985. $t_{i}$ désigne le rang de l'année et $p_{i}$ la population en millions d'habitants. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.7cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 1950 &1955 &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985\\ \hline Rang de l'année $t_{i}$ &0 & 5 & 10 &15 & 20 &25 &30 &35\\ \hline $p_{i}$ & 8 & 8,9 & 9,9 &11 &12 &13,5 &15 &16,6\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{A. Exploitation des données - Recherche d'un modèle} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~p_{i}\right)$ associé à la série statistique dans un repère orthogonal. $\bullet~$ Sur l'axe des abscisses, choisir 2~cm pour 5 unités (5~ans). $\bullet~$ Sur l'axe des ordonnées, placer 8 à l'origine, puis choisir 2 cm pour une unité (1 million d'habitants). \medskip \item Les experts cherchent à modéliser cette évolution par une fonction dont la courbe est voisine du nuage de points. On pose : ~$y_{i} = \ln p_{i}$. \emph{Le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.} \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près par défaut du coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $(t_{i}~;~ y_{i})$. \item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $t$. (Les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$ près.) \item En déduire l'expression de la population $p$ en fonction du rang $t$ de l'année. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude du modèle exponentiel} \medskip On admet que la fonction $f$ définie sur [0~;~35] par : \[f(t) = 8\text{e}^{0,02t}\] est une modélisation satisfaisante de l'évolution de la population (en millions d'habitants) de 1950 à 1985. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$ sur [0~;~35] et dresser le tableau de variation complet de $f$ sur cet intervalle. \item Construire soigneusement la courbe représentative de $f$, notée ($\mathcal{C})$, dans le repère du \textbf{A}. Qu'observe-t-on ? \item On pose I = $\int\limits_{0}^{35} f(t)\:\text{d}t$. Donner une valeur approchée de I arrondie à $10^{-2}$ près. En déduire la population moyenne $m$ du pays durant ces 35 années et la représenter sur le graphique. \item Calculer le rapport : $\dfrac{f(t + 1) - f(t)}{f(t)}$ et en donner une interprétation en terme de pourcentage. \item Si le modèle exponentiel étudié dans le \textbf{B} restait valable après 1985, en quelle année la population aurait-elle dépassé les 19 millions d'habitants ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole juin 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie juin 1998 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small Polynésie} \rfoot{\small juin 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit une fonction $f$ dérivable et strictement croissante sur $[- 1~;~6]$. La courbe ($\mathcal{C}$) représentant $f$ passe par B(2~;~0) et C(5 ; 2). Sa tangente ($\mathcal{D}$) au point A(3 ; 1) passe par E$(0~;~- 1)$. Le graphique donné pourra être exploité dans tout l'exercice. \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(6,3) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(-1,-2)(6,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(6,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(-1,-1.6667)(6,3)\uput[dr](0,0){O} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,-2)(0,-1.85)(1,-1.3)(2,0)(3,1)(4,1.51)(5,2)(6,2.5) \rput(2.8,1.1){A} \rput(2.2,-0.2){B} \rput(0.2,-1.2){E} \uput[dr](5,2){C} \rput(5.6,2.1){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} On désigne par $\ln$ la fonction logarithme népérien. Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \ln [f(x)]$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $x,\: g(x)$ est-il défini ? On note I l'intervalle trouvé. \item Quel est le sens de variation de $g$ sur I (justifier) ? \item Résoudre dans l'intervalle I l'équation $g(x) = 0$. \item Donner une valeur décimale approchée de $g(5)$ à 0,01 près. \item Exprimer $g'(x)$ en fonction de $f(x)$ et de $f'(x)$. En déduire la valeur de $g'(3)$. \item Quelle est la limite de la fonction $g$ en 2 ? Interpréter graphiquement ce résultat. \item En utilisant tous les résultats précédents, donner dans un repère orthonormal (l'unité graphique est le centimètre) l'allure de la courbe (F) représentant la fonction $g$ ainsi que sa tangente au point d'abscisse 3. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On donnera les réponses sous forme de fractions. On dispose de 10 boules blanches, de 10 boules noires et de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. Un joueur peut répartir les 20 boules comme il le veut entre les deux urnes. Puis on lui bande les yeux, et il choisit au hasard l'une des deux urnes, dans laquelle il tire une boule. Si cette boule est blanche, il gagne. \medskip \begin{enumerate} \item Luc dépose une boule noire dans l'urne $U_{1}$ et les 19 autres boules dans l'urne $U_{2}$. Quelle est la probabilité qu'il gagne ? \item Yves dépose une boule blanche dans l'urne $U_{1}$ et les 19 autres boules dans l'urne $U_{2}$. Quelle est la probabilité qu'il gagne ? \item Louise dépose 5 boules blanches dans chaque urne, $n$ boules noires dans l'urne $U_{1}$ et $(10 - n)$ boules noires dans l'urne $U_{2}\:(0 \leqslant n \leqslant 10)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'elle gagne est égale à : \[P_{n} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{5}{5 + n} + \dfrac{ 5}{15 - n}\right).\] \item On donne le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0&1 &2 &3 &4&5&6&7&8&9&10\\ \hline\hline \rule[-3mm]{0mm}{9mm}$P_{n}$& &$\dfrac{50}{84}$ &$\dfrac{50}{91}$&$\dfrac{50}{96}$&$\dfrac{50}{99}$& &$\dfrac{50}{99}$&$\dfrac{50}{96}$&$\dfrac{50}{91}$&$\dfrac{50}{84}$& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Déterminer les valeurs manquantes. \item Ranger les probabilités de gagner de Luc, Yves et Louise dans l'ordre croissant. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \hfill 5 points \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Dans une entreprise, la direction et le personnel se sont mis d'accord , afin d'éviter des licenciements, pour réduire la durée hebdomadaire du travail et la faire passer de cinq jours à quatre jours. L'un des trois jours de congé sera le dimanche, les deux autres étant répartis au hasard dans la semaine. Dans un sac, on a disposé six boules portant chacune le nom d'un des jours de la semaine, du lundi au samedi. Chaque employé \og choisit \fg{} ses deux jours de congé autres que le dimanche en tirant au hasard et simultanément deux des boules, supposées indiscernables au toucher. Il remet ensuite les deux boules tirées dans le sac. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $A$ l'évènement : \og L'un des jours de congé est le samedi \fg. Montrer que la probabilité de $A$ est égale à $\dfrac{1}{3}$. \item On définit les évènements $B$ et $C$ suivants : $B$ : \og Parmi les jours de congé figurent le lundi, ou le samedi, ou ces deux jours \fg. $C$ : \og Les jours de congé sont trois jours consécutifs \fg. Calculer la probabilité de ces évènements. \item Nicolas aimerait bien avoir les mêmes jours de congé qu'Aurélie. Quelle est la probabilité que son souhait se réalise ? \end{enumerate} \item L'entreprise compte douze employés. On désigne pas $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'employés ayant tiré le samedi comme jour de congé. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que $X$ soit égal à 5. \item Le tableau suivant donne quelques valeurs de la fonction de répartition de $X$ avec une précision de \np{0,0001} : $$\begin{array}{*{6}{| c}|}\hline X& 0& 1& 2& 3& 4\\ \hline P(X \leqslant x) & \np{0,0077} & \np{0,0540} & \np{0,1811}& \np{0,3931}& \np{0,6315}\\ \hline \end{array}$$ En déduire la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à $5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Problème \hfill 10 points} \medskip Une entreprise fabrique un produit chimique liquide. Les coûts seront exprimés en milliers de francs (francs français) et les quantités en tonnes. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Coût marginal} On a observé que le coût marginal pour une production de $x$ tonnes est donné pour $x$ réel dans l'intervalle [0~;~40] par la fonction $h$ définie par : \[h(x) = 1,5\text{e}^{0,05x}.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $h$. \item Calculer $h(0),\:h(20),\: h(30),\: h(40)$. \item Représenter la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~40]. On prendra comme unités 1~cm pour 4~tonnes en abscisse, 1~cm pour 1~millier de francs en ordonnée. \item Trouver la primitive de $h$ sur l'intervalle [0~;~40] qui vaut 30 en 0. \end{enumerate} \item \textbf{Coût total} On note $f(x)$ le coût total pour une production de $x$ tonnes ($0 \leqslant x \leqslant 40$). Les coûts fixes s'élèvent à 30 milliers de francs (c'est-à-dire $f(0) = 30$). On rappelle que $P(x) = h(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f(x) = 30\text{e}^{0,05x}$. \item Calculer $\dfrac{f(x + 1)}{f(x)}$ et vérifier que ce nombre est constant. De quel pourcentage le coût total augmente-t-il quand la production augmente d'une tonne ? \end{enumerate} \item \textbf{Coût moyen} Le coût moyen unitaire est défini sur l'intervalle ]0~;~40] par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item Quel est le coût moyen unitaire d'une tonne, quand l'usine en produit $40$ ? (on donnera la réponse arrondie au franc). \item Étudier la fonction $g$ sur l'intervalle ]0~;~40] (limite en 0, sens de variation). Dresser le tableau de variation de $g$. Tracer la courbe représentative de $g$ sur le graphique précédent. \item Vérifier sur cet exemple que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 1998 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small Antilles-Guyane} \rfoot{\small{septembre 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \textsl{Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} \medskip Neuf amis, cinq garçons et quatre filles, décident de tirer au sort deux conducteurs, qui devront rester sobres durant une soirée. Chacun écrit son nom sur un carton glissé ensuite dans une boîte. L'un d'entre eux extrait au hasard, successivement et sans remise, deux cartons de la boîte. On définit les évènements $G_{1}$, $G_{2}$, $F_{1}$ et $F_{2}$ par : $\bullet~$ $G_{1}$ : \og Un garçon est désigné au premier tirage \fg{} ; $\bullet~$ $G_{2}$ : \og Un garçon est désigné au deuxième tirage\fg{} ; $\bullet~$ $F_{1}$ : \og Une fille est désignée au premier tirage \fg{} ; $\bullet~$ $F_{2}$ : \og Une fille est désignée au deuxième tirage \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le nom d'une fille apparaisse au deuxième tirage sachant que le nom d'un garçon a été lu sur le premier carton. \item Calculer la probabilité de l'évènement $G_{1} \cap F_{2}$. La comparer à celle de l'évènement $G_{2} \cap F_{1}$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'il y ait deux conductrices en fin de soirée. \item Calculer la probabilité que le sort désigne une fille au deuxième tirage. \item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles désignées. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer son espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution du SMIC horaire (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance) de 1988 à 1996. \begin{center} { \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Date &07/88 & 07/89 &07/90 &07/91 & 07/92 &07/93 &07/94 &07/95 &07/96\\ \hline Rang de l'année $(x_{i})$& 1 & 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline Montant en francs $(y_{i})$ &28,76 &29,91 &31,28 &32,66 &34,06 &34,83 &35,56 &36,98 &37,91\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\scriptsize Source : INSEE} \end{tabularx}} \end{center} \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série $(x_{i}~ ;~ y_{i})$. Le plan est rapporté à un repère \Oij{} d'unités graphiques 1 cm pour 1 an sur l'axe des abscisses et 2 cm pour 1 franc sur l'axe des ordonnées. L'origine du repère correspond au point de coordonnées (0 ; 28).\\ \item à l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série $(x_{i}~ ;~ y_{i})$. Pourquoi peut-on envisager un ajustement linéaire ? \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Les coefficients seront donnés par des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.) Tracer cette droite sur le graphique précédent. (Les coordonnées des points utilisés pour le tracé de la droite seront indiquées.) \item Estimer, à l'aide de l'équation de la droite de régression et en faisant figurer sur la copie les étapes du calcul, le montant prévisible du SMIC en juillet 1997. \item Quelle est, en pourcentage, l'erreur commise par rapport au montant réel du SMIC qui était de $39,93$~F en juillet 1997 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On considère une fonction $f$ de la variable réelle $x$, dont on donne le tableau de variations : \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(7,5) \psframe(7,5) \psline(1,0)(1,5) \psline(0,3)(7,3) \psline(0,4)(7,4) \psline{->}(1.4,2.4)(2.6,0.5) \psline{->}(3.4,0.5)(4.6,2.4) \psline{->}(5.4,2.4)(6.6,0.5) \uput[u](0.5,4){$x$} \uput[u](3,4){$-\frac{1}{2}$} \uput[u](1.2,4){$- \infty$} \uput[u](4,4){$0$} \uput[u](5,4){$1$} \uput[u](6.5,4){$+ \infty$} \uput[u](0.5,3){$f'(x)$} \uput[u](2,3){$-$} \uput[u](3,3){$0$} \uput[u](4,3){$+$} \uput[u](6,3){$-$} \uput[u](0.5,1.2){$f(x)$} \uput[d](1.2,3){$1$} \uput[u](3,0){$-\frac{1}{3}$} \uput[d](1.2,3){$1$} \uput[u](4,1.1 ){$0$} \uput[d](4.6,3){$+\infty$} \uput[d](5.4,3){$+\infty$} \uput[u](6.7,0){$1$} \end{pspicture} \end{center} On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij\\ (unités graphiques 2 cm sur chaque axe). \vspace{0,5cm} \textbf{ Partie A} \medskip En interprétant le tableau donné ci-dessus : \begin{enumerate} \item Préciser l'ensemble de définition de $f$. \item Placer dans le repère \Oij~: \begin{enumerate} \item l'asymptote horizontale (D) ; \item l'asymptote verticale (D$'$) ; \item le point A o\`u la tangente à ($\mathcal{C}$) est horizontale. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{ Partie B} \medskip On donne maintenant l'expression de $f$ : \[f(x) = 1 + \dfrac{4}{(x-1)} + \dfrac{3}{(x-1)^2}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Résoudre les équations $f(x) = 0$ et $f(x) = 1$. \item Au moyen de votre calculatrice remplir le tableau suivant (recopier ce tableau sur votre copie.) \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-1$ &$- 0,75$ &0,5 &2 &3 & 4\\ \hline $f(x)$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Placer la courbe ($\mathcal{C}$) dans le repère de la question \textbf{A. 2.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l c r} u_{0}& =& 1\\ u_{n+1} & = &\dfrac{1}{2}u_{n} + 1.\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. \item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm, tracer la droite (D) d'équation $y = x$ et droite (D$'$) d'équation $y = \dfrac{1}{2}x+ 1$. En utilisant (D$'$) et (D), représenter sur ce graphique les points P, Q, R, S, T, U, V, de coordonnées respectives : $(u_{0}~ ;~ 0), (u_{0} ~;~ u_{0}), (u_{0}~ ;~ u_{1}), (u_{1}~ ;~ u_{1}), (u_{1}~ ;~ u_{2}), (u_{2}~;~ u_{2}) (u_{2}~ ;~ u_{3})$. \item Soit $\left(v_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ la suite définie par : $v_{n} = u_{n} - 2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(v_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, en déduire l'expression de $u_{n}$ fonction de $n$. \item Calculer la limite de $u_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Problème} \hfill 10 points} \medskip \textsl{Le but du problème est d'étudier une fonction, dont on connaît la représentation graphique, d'étudier la position de la courbe par rapport à l'une de ses tangentes et de calculer une aire.} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 2x\ln x- x.\] On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$. Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij~ (voir annexe). Unités graphiques utilisées : 2 cm sur chaque axe. Joindre cette annexe à votre copie. \vspace{0,5cm} \textbf{ A. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item étude des limites de $f$ aux bornes de son intervalle de définition. \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. (On donne $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$). \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. (On pourra mettre $x$ en facteur). \end{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = 2\ln x+ 1$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. \item Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ et de l'axe des abscisses. Placer ce point A sur le graphique donné en annexe. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ B. Position de $(\mathcal{C})$ par rapport à l'une de ses tangentes} \medskip \begin{enumerate} \item Établir qu'une équation de la droite ($\Delta$), tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$ est : $y = 2x-2\sqrt{\text{e}}$. Placer ($\Delta$) sur le graphique donné en annexe. \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~ ;~+ \infty[$ par : \[g(x) = f (x) - (2x- 22\sqrt{\text{e}}).\] \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$. \item À l'aide du tableau de variations de $g$ montrer que $g(x) \geqslant 0$ sur $]0~;~ + \infty[$. En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite ($\Delta$) sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{ C. Calcul d'une aire} \medskip Soit $H$ la fonction définie sur $]0~ ;~ + \infty[$ par \[H(x) = x^2\left(\ln x - \dfrac{1}{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer $H'(x)$. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \left(2x\ln x - 3x + 2\sqrt{\text{e}}\right)\:\text{d}x$. \item Cette intégrale correspond au calcul de l'aire d'un domaine plan. \begin{enumerate} \item Colorier ce domaine sur la figure. \item Donner, en cm$^2$, une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \begin{center} \textbf{Annexe} \bigskip \psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(4,7.5) \psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](0,0)(0,-1.5)(4,7) \psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(4,0)(0,7.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \psline(-0.5,0)(4,0) \uput[d](3.8,0){$x$} \psline{->}(0,-1.5)(0,7.5) \uput[l](0,7.3){$y$} \uput[d](2.71828,0){e} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,-1.213)(0.607,-1.213)(0.607,0) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](2.71828,0)(2.71828,2.71828)(0,2.71828) \uput[u](0.607,0){$\text{e}^{-\frac{1}{2}}$} \uput[l](0,-1.213){$-2\text{e}^{-\frac{1}{2}}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{4}{x ln x mul 2 mul x sub} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole septembre 1998 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip On s'intéresse à l'évolution de la population mondiale entre les années 1950 et 1990. Le document ci-après donne une représentation graphique des données pour les années 1950, 1960, 1970, 1980 et 1990 en papier semi-logarithmique. L'allure du graphique incite à chercher un modèle sous la forme d'une fonction $f$ définie par : \[f(t) = A \text{e}^{at}\] où $t$ désigne le rang de l'année, avec comme origine des temps l'année 1950, et $f(t)$ la population en milliards d'habitants.\\ \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coefficients $A$ et $a$ en utilisant les données de 1950 et de 1990, à savoir : \begin{center} \begin{tabular}{| l *{2}{| c}|}\hline \textbf{Rang} $t$ &0 & 40\\ \hline \textbf{Population en milliards d'habitants} &2,5 & 5,2\\ \hline \end{tabular}\\ \end{center} On donnera les valeurs exactes de $A$ et $a$ puis des valeurs approchées à $10^{-~4}$ près. Dans la suite on considérera que : $f(t) = 2,5 \text{e}^{0,018t}$. \medskip \item Représenter graphiquement $f$ dans le même repère semi-logarithmique que le nuage (document page suivante). Justifier le tracé. \item à l'aide du modèle proposé, calculer une estimation de l'année au cours de laquelle la population mondiale devrait dépasser 10 milliards d'habitants. Indiquer sur le graphique comment contrôler ce résultat. \item Calculer $\dfrac{f(t + 1) - f(t)}{f(t)}$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée.\\ Interpréter ce résultat en terme de taux de croissance annuel.\\ \vspace{-0.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10,6) \rput(-1,4.605){100} \rput(-1,2.303){10} \rput(-1,0){1} \rput(0,-0.6){1950} \rput(1,-0.6){1960} \rput(2,-0.6){1970} \rput(3,-0.6){1980} \rput(4,-0.6){1990} \rput(5,-0.6){2000} \rput(6,-0.6){2010} \rput(7,-0.6){2020} \rput(8,-0.6){2030} \rput(8,4.8){Population mondiale} \rput(4,-1.5){Année} \rput(0,0.916){*} \rput(1,1.13){*} \rput(2,1.25){*} \rput(3,1.504){*} \rput(4,1.649){*} \psline(0,0)(10,0) \psline(0,0)(0,4.6) \psline(0,0.693)(10,0.693) \psline(0,1.099)(10,1.099) \psline(0,1.386)(10,1.386) \psline(0,1.609)(10,1.609) \psline(0,1.792)(10,1.792) \psline(0,1.946)(10,1.946) \psline(0,2.079)(10,2.079) \psline(0,2.197)(10,2.197) \psline(0,2.303)(10,2.303) \psline(0,2.996)(10,2.996) \psline(0,3.401)(10,3.401) \psline(0,3.689)(10,3.689) \psline(0,3.912)(10,3.912) \psline(0,4.094)(10,4.094) \psline(0,4.249)(10,4.249) \psline(0,4.382)(10,4.382) \psline(0,4.5)(10,4.5) \psline(0,4.605)(10,4.605) \psline(1,0)(1,0.1) \psline(2,0)(2,0.1) \psline(3,0)(3,0.1) \psline(4,0)(4,0.1) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans cet exercice on pourra utiliser les notations usuelles $p(E)$ pour désigner la probabilité d'un évènement $E$,\ $p(F/E)$ ou $p_{E}(F)$ pour désigner la probabilité conditionnelle de $F$, sachant l'évènement $E$ réalisé. Un concours de recrutement de techniciens hautement qualifiés est ouvert uniquement aux étudiants de deux écoles ; l'une s'appelle l'école Archimède, l'autre l'école Ptolémée. On dispose des informations suivantes concernant les taux de réussite à ce concours pour l'année 1997 : \begin{itemize} \item le taux de réussite pour les candidats issus de l'école Archimède est de :~85\,\%~; \item le taux de réussite pour les candidats issus de l'autre école est de :\: 80\,\%~; \item le taux de réussite pour l'ensemble des candidats est de :~ 82\,\%. \end{itemize} On peut interpréter ces données en termes probabilistes ; on suppose pour cela qu'on choisit un candidat au hasard. On note $R$ l'évènement : \og le candidat a réussi \fg. On note de même $A$ l'évènement : \og le candidat est issu de l'école Archimède \fg. On note $\overline{R}$ et $\overline{A}$ les évènements contraires de $R$ et de $A$. \medskip \begin{enumerate} \item Interpréter les données numériques de l'énoncé en termes probabilistes. \item Les évènements $R$ et $A$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. \item L'objet de cette question est de déterminer la proportion de candidats issus de l'école Archimède parmi les candidats. On note $x$ la proportion de candidats issus de l'école Archimède parmi les candidats : c'est aussi la probabilité qu'un candidat, choisi au hasard, soit un candidat issu de l'école Archimède. \begin{enumerate} \item Exprimer $p(R \cap A),~ p\left(\overline{A}\right)$ et $p\left(R \cap \overline {A}\right)$ en fonction de $x$. \item En déduire l'expression de $p(R)$ en fonction de $x$. \item Déterminer la valeur de $x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les deux questions \textbf{1.} et \textbf{2.} peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}. \medskip \begin{enumerate} \item On envisage un jeu publicitaire sous la forme d'un QCM (questionnaire à choix multiples). Il comporte quatre questions et, pour chaque question, trois réponses sont possibles dont une seule exacte. Un joueur répond en choisissant au hasard une réponse pour chaque question. \medskip \begin{enumerate} \item De combien de façons différentes peut-il remplir le questionnaire ? \item On nomme $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réponses exactes obtenues par le joueur. Donner la loi de probabilité de $X$. \end{enumerate} \item Pour accroître la difficulté, on modifie le QCM : il comporte cette fois cinq questions et, pour chaque question, quatre réponses sont possibles dont une seule exacte. Un joueur remplit au hasard le QCM. La deuxième ligne du tableau ci-dessous indique les probabilités respectives pour que le joueur ait exactement 0, 1, 2, 3, 4, 5 réponses justes. \begin{center} \setlength{\extrarowheight}{5pt} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *6{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de bonnes réponses &0 &1 &2 &3 &4 & 5\\ \hline Probabilité correspondante \rule[-3mm]{0mm}{5mm} &$\dfrac{243}{1024}$ &$\dfrac{405}{1024}$&$\dfrac{270}{1024}$&$\dfrac{90}{1024}$ &$\dfrac{15}{1024}$ & $\dfrac{1}{1024}$\\ \hline Nombre de points obtenus & & & & &$16 - x$&20\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Il est prévu d'attribuer 4 points par réponse juste, on ne sait comment pénaliser une réponse fausse : on note $x$ le nombre entier de points retirés au joueur par réponse fausse. \begin{enumerate} \item Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne, en indiquant dans chaque cas le nombre de points obtenus en fonction de $x$. On définit ainsi une variable aléatoire $N$ égale au nombre de points obtenus par le joueur. \item Exprimer l'espérance de $N$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \medskip Une entreprise spécialisée produit deux types de détergents liquides qu'on nommera A et B pour simplifier. Les deux parties du problème sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe ci-dessous représente le coût total de production du produit $A$ en fonction de la quantité produite. On note $x$ la quantité produite exprimée en litres et $C_{\text{T}}(x)$ le coût total exprimé en francs, $x$ variant de 0 à 800. On notera que $C_{\text{T}}(0) = 0,~ \text{C}_{\text{T}}(450) = 400,~ \text{C}_{\text{T}}(800) = \np{1800}$ et que la tangente au point d'abscisse $450$ passe par l'origine O du repère. \begin{center} \psset{xunit=0.01cm,yunit=0.0025cm} \begin{pspicture}(0,0)(800,1800) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=100,Dy=400]{->}(0,0)(0,0)(800,1800) \psline{<->}(300,266.67)(600,533.333) \psline[linestyle=dashed](0,0)(300,266.67) \psline[linestyle=dashed](450,0)(450,400)(0,400) \psline[linestyle=dashed](800,0)(800,1800)(0,1800) \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0)(100,240)(200,330)(300,360)(400,390)(450,400)(500,460)(600,680) (700,1040)(800,1800) \end{pspicture} \end{center} \vspace{.5cm} \emph{Répondre aux questions suivantes en utilisant les informations portées sur ce graphique.} \medskip \begin{enumerate} \item Les économistes définissent le coût marginal comme le supplément de coût de production engendré par la production d'une unité supplémentaire. On considère qu'il peut être modélisé par la dérivée du coût total. Nous le noterons $C_m$. On a donc $C_m = C'_\text{T}$. Parmi les quatre graphiques (1, 2, 3 et 4) de la feuille jointe, un correspond au coût marginal associé à la production du détergent A. Lequel ? Justifier la réponse. \medskip \begin{center} \begin{tabular}{c c} \psset{xunit=0.05mm,yunit=0.5mm} \begin{pspicture}(-10,-15)(900,15) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=100,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-15)(900,15) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-12.5)(800,10) \psline(0,0)(800,0) \psline(0,-15)(0,10) \rput(300,15){graphique 1} \end{pspicture} &\psset{xunit=0.05mm,yunit=1mm} \begin{pspicture}(0,0)(800,15) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=100,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(800,15) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=100,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(800,15) \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,2.5)(100,0.71)(300,0)(400,1.08)(500,3.125)(600,6.125) (700,10.083)(800,15) \rput(300,15){graphique 3} \end{pspicture}\\ ~&~\\ ~& ~\\ \psset{xunit=0.05mm,yunit=4mm} \begin{pspicture}(0,0)(900,6) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=100,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(900,6) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,1)(800,1) \rput(300,5){graphique 2} \end{pspicture} &\psset{xunit=0.05mm,yunit=2mm} \begin{pspicture}(-100,0)(900,10) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=100,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(900,10) \psline(0,0)(800,0) \psline(0,0)(0,10) \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,7.5)(100,9)(250,9.75)(350,9.75)(600,7)(800,1.5) \rput(300,11){graphique 4} \end{pspicture} \end{tabular}\\ \end{center} \vspace{1.5cm} \item Déterminer $\displaystyle\int_{0}^{450}\: \text{C}_{m}(x)\:dx$.\\ \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour le détergent B l'entreprise est en situation de monopole. Une étude a permis de modéliser le coût moyen de production par : \[f(x) = 0,5x + \dfrac{8}{x}~~ \text{où}~ x > 0.\] Le coût moyen $f(x)$ est exprimé en milliers de francs et la quantité produite $x$ en hectolitres. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan (unité graphique : 1 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Étude de la fonction coût moyen \begin{enumerate} \item étudier le sens de variation de cette fonction sur l' intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Déterminer les limites de $f(x)$ en 0 et $+ \infty$. \item Montrer que la droite D d'équation $y = 0,5x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. étudier la position relative de $\mathcal{C}$ par rapport à D. \item Construire $\mathcal{C}$ ainsi que D, donner un tableau de valeurs. \end{enumerate} \item Seuils de rentabilité pour l'entreprise L'entreprise ne peut être bénéficiaire que si le prix de vente de l'hectolitre est supérieur au coût moyen de fabrication. Le prix de vente de l'hectolitre $p(x)$ est fonction de la quantité $x$ vendue. \[p(x) = - 0,8x + 13\] où $p(x)$ est exprimé en milliers de francs et $x$ en hectolitres. \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{P}$ la représentation graphique de la fonction $p$. Tracer $\mathcal{P}$ dans les mêmes axes que la représentation de $f$, puis déterminer graphiquement l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire. \item Retrouver le résultat précédent par le calcul. (On pourra se ramener à une inéquation du second degré). \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% Métropole septembre 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie septembre 1998 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1998~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Le tableau ci-dessous représente la dette extérieure en pourcentage du PIB pour la Belgique (PIB : Produit Intérieur Brut). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ années &1975& 1976 & 1977 &1978 &1979 & 1980 &1981 &1982 &1983 &1984 &1985\\ \hline $y_{i}$ dette en \% du PIB &0,2 &0,1 &0,1 &0,5 &1,8 &4,5 & 11,0 & 16,6 &20,1 & 23,2 &21,2\\ \hline \multicolumn{12}{r}{\footnotesize{Source : CEE Eurostat Monnaies et Finances 1987}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associés à cette série statistique en choisissant des unités graphiques adaptées. \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique : le résultat sera lu sur la calculatrice et arrondi à $10^{-2}$ près. \item On veut déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindre carrés. Caractériser cette droite par une équation de la forme $y = mx + p$ où $m$ est l'arrondi à $10^{-4}$ près et $p$ l'arrondi à $10^{- 1}$ près des valeurs lues sur la calculatrice. \item \begin{enumerate} \item Utiliser la question précédente pour prévoir la dette extérieure de la Belgique, en pourcentage du PIB en 1986. \item La valeur réelle atteinte en 1986 est égale à 20,6. À quelle erreur, en pourcentage de la valeur réelle, l'estimation conduit-elle ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill 5 points} \medskip Un patineur participe à une compétition. Deux de ses sauts l'inquiètent. Il ne réussit le premier saut que dans 95\,\% des cas. Comme il est émotif, s'il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième 3 fois sur 10 ; sinon, si tout va bien lors du premier saut, il réussit le deuxième dans 90\,\% des cas. On notera $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$. Soit $R_{1}$ l'évènement : \og le patineur réussit le premier saut \fg. Soit $R_{2}$ l'évènement : \og le patineur réussit le deuxième saut \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{1}$. \item Calculer la probabilité de l'évènement sachant que $R$, est réalisé. \item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{2}$ sachant que $R_{1}$ n'est pas réalisé. \end{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement : \og~le patineur réussit les deux sauts~\fg. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{2}$. \item Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le deuxième saut. Calculer la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier saut. \end{enumerate} \item Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre $0,2$ point ; le règlement prévoit que les pénalités s'ajoutent. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le total des pénalités obtenues par ce patineur lors de la compétition. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Quelle interprétation peut-on en faire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 1 cm sur chaque axe. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = (2,5 + x) \text{e}^{-0,5x + 1}.\] \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} \textbf{I.} Étude de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -~\infty} f(x).$ \item Vérifier que pour tout réel $x,~ f(x) = \dfrac{2,5}{\text{e}^{-0,5x + 1}} + 2\text{e} \times \dfrac{ 0,5x}{\text{e}^{-0,5x}}.$ En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty}\: f(x).$ \item Dresser le tableau de variation de $f$. Tracer sa représentation graphique dans le repère \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{II.} Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 0,3x + 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Construire dans le même repère \Oij{} la représentation graphique de $g$. \item On veut résoudre dans l'intervalle [0; 10] l'équation $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $f(x) - g(x) = 0$. Pour cela on pose, pour tout $x$ de [0 ; 10], $h(x) = f(x) - g(x)$. \begin{enumerate} \item En utilisant les résultats obtenus à la question \textbf{1.}, montrer que, pour tout $x$ de [0 ; 10], ~$h'(x)$ est strictement négatif. \item En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet dans [0 ; 10] une solution unique que l'on notera~$\alpha$. \item Par lecture graphique, encadrer $\alpha$ à l'aide de deux nombres entiers consécutifs. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} \textbf{I.} On considère un produit pour lequel, en fonction du prix unitaire $p$ (en francs), la demande est donnée par $f(p)$ et l'offre par $g(p)$ ($p$ appartient à [0~;~10]). \medskip \begin{enumerate} \item Donner le prix d'équilibre c'est-à-dire celui pour lequel l'offre est égale à la demande. \item Vérifier que, pour un prix de $3,10$~F, si le prix augmente de 1\,\%, la demande diminue de 1\,\% environ. \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} La fonction E est définie sur l'intervalle [0~;~10] par E($x) = x \dfrac{f'(x)}{f(x)}$. En économie, $E$ désigne l'élasticité de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de [0~;~10], $E(x) = \dfrac{ - 0,5x^2 - 0,25x}{x + 2,5}$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans [0~;~10] l'équation : $E(x) = - 1$. \item Donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ par défaut de la solution. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau \hypertarget{Sportifs}{} \label{Sportifs} \lfoot{\small Sportifs de haut-niveau} \rfoot{\small{septembre 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut-niveau octobre 1998~\decofourright\\ }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Neuf amis, cinq garçons et quatre filles, décident de tirer au sort deux conducteurs, qui devront rester sobres durant une soirée. Chacun écrit son nom sur un carton glissé ensuite dans une boite. L'un d'entre eux extrait au hasard, successivement et sans remise, deux cartons de la boîte. On définit les évènements $G_{1}$,~ $G_{2}$,~ $F_{1}$ et $F_{2}$ par : \setlength\parindent{9mm} $G_{1}$ \og Un garçon est désigné au premier tirage \fg{} ; $G_{2}$ \og Un garçon est désigné au deuxième tirage \fg{} ; $F_{1}$ \og Une fille est désignée au premier tirage \fg{} ; $F_{2}$ \og Une fille est désignée au deuxième tirage \fg. \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le nom d'une fille apparaisse au deuxième tirage sachant que le nom d'un garçon a été lu sur le premier carton. \item Calculer la probabilité de l'évènement $G_{1}~ \cap~ F_{2}$. La comparer à celle de l'évènement $G_{2}~ \cap~ F_{1}$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'il y ait deux conductrices en fin de soirée. \item Calculer la probabilité que le sort désigne une fille au deuxième tirage. \item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles désignées. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer son espérance mathématique E($X$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 4 cm), la courbe $\mathcal{C}$, représentée ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle I $= \left]0~;~\text{e}^{1,5}\right]$. La fonction dérivée de $f$ est notée $f^{\prime}$. Les variations de $f$ sont données par le tableau suivant : \begin{center} \psset{xunit=1.4cm} \begin{pspicture}(5,2.5) \uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$0$} \uput[u](3,2){$a$} \uput[u](4.6,2){e$^{1,5}$} \rput(0.6,1){$f(x)$} \psline[doubleline=true](1.2,0)(1.2,2) \rput(3,1.7){$1/4$} \psline{->}(1.5,0.4)(2.7,1.6) \psline{->}(3.3,1.6)(4.5,0.4) \psline(0,2.5)(5,2.5) \psline(0,2)(5,2) \psline(0,0)(5,0) \psline(0,0)(0,2.5) \psline(1,0)(1,2.5) \psline(0,0)(0,2.5) \psline(5,0)(5,2.5) \end{pspicture} \end{center} On précise que : $\bullet~$ Les droites ($\Delta$) et (D) sont tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement aux points A d'abscisse $a$ et B d'abscisse 1. $\bullet~$ La droite ($\Delta$) est parallèle à l'axe des abscisses. $\bullet~$ L'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}$. \vspace{0,5cm} \textbf{I.} Par lecture graphique, sans justification des résultats, donner : \begin{enumerate} \item Les valeurs suivantes : $f(\text{eø})$,\: $f(a)$,\: $f’(1)$,\: $f’(a)$. \item La limite de $f$ en 0. \item Le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x,~ x$ étant dans l'intervalle I. \item L'ensemble des solutions, sur l'intervalle I, de l'inéquation : $f'(x) \geqslant 0$. \item Une interprétation du nombre $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\: \text{d}x$ et trouver parmi les intervalles suivants celui auquel appartient ce nombre : \[[0~;~0,2[,~[0,2~ ;~0,4[,~[0,4~;~ 0,6[,~ [0,6~;~1[,~[1~;~2[.\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II.} La fonction $f$ est définie sur $= \left]0~;~\text{e}^{1,5}\right]$ par : \[f(x) = \ln x - (\ln x)^2.\] \medskip \begin{enumerate} \item Retrouver par le calcul le résultat trouvé en \textbf{I. 3.}. \item Déterminer le nombre $a$, abscisse du point A de la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \psset{xunit=2cm,yunit=2cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.25,-1.25)(4.75,1.25) \psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0pt](0,0)(0,-1.25)(5,1.25) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1.25)(5,1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linewidth=1.2pt]{<->}(0,-1)(2.25,1.25) \psline[linewidth=1.2pt]{<->}(0.5,0.25)(2.5,0.25) \psline[linestyle=dashed](1.61,0)(1.61,0.25) \psline[linestyle=dashed](4.5,0)(4.5,-0.75) \rput(0.8,0.1){B} \rput(1.61,0.4){A} \uput[u](2.25,0.25){$\Delta$} \rput(4.5,0.1){e$^{1,5}$} \rput(1.61,-0.2){$a$} \rput(2.71,-0.2){e} \rput(2.25,1.1){(D)} \rput(4.15,-0.72){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4.5}{ x ln x ln dup mul sub} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un salarié remarque qu'il lui reste, chaque mois, \np{2000}~F (francs français) de son salaire mensuel. Il décide donc, en 1998, de réaliser une épargne \og prudente \fg{} de la façon suivante : \smallskip $\bullet~~$Le 28 de chaque mois, il verse 50\,\% du solde de son compte courant sur un plan d'épargne. Le solde est nul le 28 décembre 1997. $\bullet~~$Le 28 janvier 1998, le solde de son compte courant est : $S_{1}$ = \np{2000} F ; il verse donc la somme $e_{1} = \np{1000}$ F sur son plan d'épargne et laisse \np{1000} F sur son compte courant. $\bullet~~$Le 28 février 1998, le solde $S_{2}$ est égal à \np{3000} F : c'est-à-dire \np{1000}~F restant, plus \np{2000}~F d'économies mensuelles. Il verse donc $e_{2} = \np{1500}$~F sur son plan d'épargne. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $e_{3}$ et $e_{4}$, versements respectifs de son compte courant à son plan d'épargne le 28 mars et le 28 avril. \item On désigne par $e_{n}$ le montant théorique du versement du compte courant au plan d'épargne le 28 du $n\up{\text{e}}$ mois qui suit le mois de décembre 1997. On a donc $e_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(e_{n} + \np{2000}\right)$. Pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = \np{2000} - e_{n}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_{1}$ = \np{1000}. \item En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer $v_{1} + v_{2} + \ldots + v_{12}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $e_{n}$ en fonction de $n$. \item Trouver le montant de la somme capitalisée sur le plan d'épargne au 29 décembre 1998. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip On considère un produit dont le prix unitaire est $x$ (en milliers de francs français). D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ (en milliers d'objets) de ce produit sont définies, pour tout $x$ positif ou nul, par les formules : \[f(x) = \text{e}^{0,5x} - 1 \quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{ 8}{\text{e}^{0,5x} + 1}.\] \bigskip \textbf{ Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $f(0)$ et la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty$[. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $g(0)$ et la limite de $g$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Le plan est rapporté à un repère orthonormal (on prendra pour unité graphique 4~cm). Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ après avoir déterminé et tracé les tangentes respectives à ces deux courbes aux points d'abscisse 0. \end{enumerate} \bigskip \textbf{ Partie B} \medskip L'équation $f(x) = g(x)$ admet une solution unique $p$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner une approximation à $0,1$ près de $p$ et du nombre $n = f(p)$ (on fera apparaître les tracés permettant cette lecture). \medskip \item \begin{enumerate} \item Calculer $p$ et $n$. \item Le nombre $p$ est appelé \og prix d'équilibre \fg{} du produit. Donner le prix d'équilibre, exprimé en francs, arrondi au franc près, ainsi que le nombre correspondant d'objets proposés sur le marché. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \medskip On considère les nombres I = $\displaystyle\int_{0}^{\ln 9}\: g(x)\:\text{d}x$ et J = I $- np$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de I. En déduire une interprétation géométrique de J (on pourra utiliser des hachures de couleurs différentes). \item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = x - 2 \ln \left(\text{e}^{0,5x} + 1\right).\] \begin{enumerate} \item Déterminer $h’(x)$ où $h’$ désigne la fonction dérivée de $h$. \item En déduire que I égale $8 \ln 9 - 8 \ln 4$. \item En économie, on considère que J exprime, en millions de francs, la \og~rente~\fg{} des consommateurs. Déterminer, au millier de francs près, une estimation de la \og~rente~\fg{} des consommateurs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Sportifs de haut-niveau octobre 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 1998 \hypertarget{AmeriqueduSud}{} \label{AmeriqueduSud} \lfoot{\small Amérique du Sud} \rfoot{\small{novembre 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip \textbf{I.} Le tableau ci-dessous indique les pourcentages d'accès au niveau baccalauréat d'une génération d'élèves. { \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}| *8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Année} $x_{i}$ &1980 & 1982 & 1984 & 1986 & 1988 & 1990 & 1992 & 1994\\ \hline \textbf{Taux d'accès au niveau baccalauréat $y_{i}$} &34 \%&37,5\,\% &35,8\,\%&39,8\,\%&46,3\,\%&56,1\,\%&62,5\,\%&70,7\,\%\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source : d'après un document du Ministère de l'éducation nationale}\\ \end{tabularx} \end{center}} \textbf{N. B.} \emph{Les calculs statistiques seront effectués à la machine, aucun détail n'est demandé dans cette partie.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}~;~y_{i})$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal : - sur l'axe des abscisses on placera 1980 à l'origine et on choisira 1 cm pour une année ; - sur l'axe des ordonnées on placera 30 à l'origine et on choisira 1 cm pour 2 \%. \item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série double et placer ce point sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Peut-on envisager un ajustement affine ? \item Déterminer une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$ : on prendra la valeur approchée à trois décimales par défaut pour le coefficient directeur de la droite et l'arrondi à l'unité pour l'autre coefficient. \item Tracer la droite D sur le graphique de la question \textbf{1. a.} en expliquant sa construction. \end{enumerate} \item En supposant que l'évolution ait été la même pour les années suivantes, donner une estimation du taux d'accès au niveau baccalauréat pour 1996. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II.} Lors de la publication du tableau de la partie \textbf{I.}, le taux d'accès au niveau baccalauréat pour 1996 n'était pas encore connu. On l'a connu seulement plus tard. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d'accès en 1996 si l'on sait que, pour la période 1980 (incluse) à 1996 (incluse), la moyenne de ce taux est exactement de 50 \%, en ne retenant que les années paires. \item Comparer alors avec l'estimation faite à la question \textbf{3.} de la partie \textbf{I} et donner en pourcentage l'erreur commise en remplaçant la valeur exacte par l'estimation faite. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans une grande ville, une maladie à incubation lente touche $0,1\:\%$ de la population. Un test de dépistage est proposé : - lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $95\:\%$ des cas et négatif dans $5\:\%$ des cas ; - lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $96\:\%$ des cas, mais déclare la personne malade, c'est-à-dire est positif, dans $4\:\%$ des cas. Lorsqu'une personne, prise au hasard, passe le test, on note \begin{itemize} \item $M$ l'évènement \og la personne est malade \fg{} ; \item $\overline{M}$ l'évènement \og la personne n'est pas malade \fg{} ; \item $T$ l'évènement \og le test est positif \fg{} ; \item $\overline{T}$ l'évènement \og le test est négatif \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur de la probabilité $p(M)$ et les valeurs des probabilités conditionnelles suivantes : $p(T/M)$,\: $p\left(\text{}T/\overline{\text{M}}\right)$,\:$p\left(\overline{\text{T}}/\text{M}\right)$ et $p\left(\overline{\text{T}}/\overline{\text{M}}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement \og $M$ et $T$ \fg{}, notée $p(M \cap T)$. \item Calculer la probabilité de l'évènement \og $M$ et $T$ \fg{}, notée $p(M\cap T)$. \item En déduire que la probabilité de $T$ vaut $p(T) = \np{0,04091}$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que le test donne un résultat non conforme à la réalité. \item Le maire de la ville passe le test : il est positif. Donner la probabilité, à $10^{-1}$ près, que le maire soit effectivement malade. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip À partir de 1997 une association d'aide à la recherche médicale envoie chaque année à Monsieur X un courrier pour l'inviter à l'aider financièrement par un don. Monsieur X a répondu favorablement en 1997 en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 1998, la probabilité pour que Monsieur X fasse un don est égale à $0,9$ s'il a fait un don l'année précédente et à $0,4$ s'il n'a rien donné l'année précédente. On note pour tout entier naturel $n$ : -- $E_{n}$ l'évènement : \og Monsieur X est donateur en $1998 + n$ \fg{} ; -- $P_{n}$ la probabilité de $E_{n}$ ; -- $\overline{E_{n}}$ l'évènement contraire de $E_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données en termes de probabilités conditionnelles concernant les événements $E_{n+1}$,\:$E_{n}$,\: $\overline{E_{n}}$. \item \begin{enumerate} \item Préciser la valeur de $P_{0}$. \item Calculer $P\left(E_{1} \cap E_{0}\right)$ et $P\left(E_{1}\cap \overline{E_{0}}\right)$. En déduire la valeur de $P_{1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $P\left(E_{n+1} \cap E_{n}\right) = 0,9P_{n}$ et que $P\left(\text{E}_{n+1}\cap \overline{E_{n}}\right) = 0,4(1 - P_{n})$ pour tout entier $n$. \item En déduire que $P_{n+1} = 0,5P_{n} + 0,4$ pour tout entier naturel $n$. \item Quelle est la probabilité pour que Monsieur X soit donateur en 2001 ? \end{enumerate} \item On définit une suite $\left(U_{n}\right)$ en posant pour tout entier naturel $n : U_{n} = P_{n} - 0,8$ \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. \item Exprimer $\left(U_{n}\right)$ en fonction de $n$. \item En déduire que $P_{n} = 0,1 \times 0,5^n + 0,8$ pour tout entier naturel $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(P_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \medskip Sur le graphique ci-après, sont tracées dans un repère orthogonal, les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ de deux fonctions $f$ et $g$, dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \bigskip \textbf{ Partie A - Question préliminaire} (les résultats seront donnés à 0,1 près). \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement les équations $f(x) = 7$ et $f(x) = 4$. \item Lire graphiquement $g(0)$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~14]. \item En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle [0~;~14], où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction~$f$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ Partie B} \medskip La fonction $f$ est la fonction de demande d'un produit, elle met en correspondance le prix $f(x)$ du produit et la quantité $x$ achetée par les consommateurs. La fonction $g$ est la fonction d'offre, elle met en correspondance le prix $g(x)$ du produit et la quantité $x$ vendue par les producteurs. La quantité est exprimée en milliers d'unités et le prix en centaines de francs. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Interprétation économique} À l'aide de la lecture graphique faite en \textbf{A}, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Quelle quantité est achetée par les consommateurs : \begin{itemize} \item si le prix est de $700$ F ? \item si le prix est de $400$ F ? \end{itemize} \item Au-dessous de quel prix les producteurs ne sont-ils pas prêts à vendre ? \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la recette marginale} La fonction recette $R$ est définie sur l'intervalle [0~;~14] par $R(x) = x f(x)$. Une valeur approchée de la recette marginale (recette pour le $x^{\text{e}}$ produit vendu) est donnée par $R'(x)$, où $R'$ est la fonction dérivée de la fonction $R$. On remarque que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~14], $R'(x) = f(x) + x f'(x)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déduire du \textbf{A. 4.} le signe de R$'(x) - f(x)$ sur l'intervalle [0~;~14]. \item Comparer alors, pour tout niveau de production, la recette marginale et le prix de vente $f(x)$. \end{enumerate} \item \textbf{Équilibre du marché} \begin{enumerate} \item La fonction $f$ représentée sur le graphique est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{40}{x + 2}.\] Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} f(x)$. Quelle interprétation économique peut-on faire de ce résultat ? \item La fonction $g$ représentée sur le graphique est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \dfrac{1}{18}x^2 + 3$. Dans un marché à concurrence pure et parfaite, le prix $p_{0}$ qui se forme sur le marché selon la \og loi de l'offre et de la demande \fg{} correspond à l'égalité de l'offre et de la demande, c'est-à-dire à l'ordonnée du point d'intersection I des deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. Soit $x_{0}$ l'abscisse du point d'intersection I. \begin{itemize} \item Montrer par le calcul que $x_{0}$ est solution de l'équation \[(\text{E})\qquad x^3 + 2x^2 + 54x - 612 = 0.\] \item Développer l'expression $(x - 6) (x^2 + 8x + 102)$, résoudre l'équation (E), et en déduire la valeur de $x_{0}$. \item Calculer $p_{0} = f(x_{0})$. \end{itemize} \end{enumerate} \item \textbf{Le surplus des consommateurs} Le surplus des consommateurs se définit comme la différence entre le montant maximal que les consommateurs auraient été prêts à payer pour acheter une quantité $x_{0}$ et le montant qu'ils payent effectivement. Ce nombre $S_{\text{C}}$, en situation de concurrence pure et parfaite, est donné en centaine de milliers de francs par : \[S_{\text{C}} = \displaystyle\int_{0}^{x_{0}}\:f(x)\:\text{d}x - p_{0}x_{0}.\] On prendra $x_{0} = 6$ et $p_{0} = 5$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $S_{\text{C}}$. \item Soit les points O(0~;~0), P$\left(x_{0}~;~0\right)$,~ I$\left(x_{0}~;~ p_{0}\right)$ et R$\left(0~;~p_{0}\right)$. Sachant que le produit $p_{0} \times x_{0}$ est représenté par l'aire du rectangle OPIR, interpréter graphiquement le surplus des consommateurs. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=6mm} \begin{pspicture}(0,0)(18,21) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt] \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(18,21) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \rput(0.5,-0.4){$\vect{\imath}$} \rput(-0.4,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput(15,1.8){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \rput(14,13){\red $\mathcal{C}_{g}$} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{15}{40 x 2 add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x dup mul 18 div 3 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 1998 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 1998 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small Nouvelle-Calédonie} \rfoot{\small novembre 1998} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Au cours d'une kermesse, l'animateur d'un stand dispose, dans un enclos, de douze cages peintes : sept sont blanches, deux noires et les trois autres vertes. L'animateur place alors une souris dans l'enclos. On suppose qu'à chaque jeu, la souris choisit d'entrer au hasard dans une cage et que tous les choix sont équiprobables. Un joueur participe au jeu. Le règlement du jeu est le suivant : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item si la souris entre dans une cage blanche, le joueur perd ; \item si la souris entre dans une cage noire, le joueur gagne ; \item si la souris entre dans une cage verte, l'animateur remet la souris dans l'enclos ; si la souris entre alors dans une cage noire, le joueur gagne, sinon il perd. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que le choix de la deuxième cage est indépendant du choix de la première. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement \og le joueur gagne \fg{} est $\dfrac{5}{24}$ \item Un joueur possède 10 F qu'il verse pour participer à une partie. S'il gagne, il reçoit $k$ francs ; sinon, il ne reçoit rien. Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur la somme que possède le joueur après la partie. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer, en fonction de $k$, l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. \item Quelle valeur faut-il donner à $k$ pour que le jeu soit équitable (c'est-à-dire pour que ce joueur puisse espérer posséder 10 F à la fin de la partie) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Une lessive est vendue habituellement, dans les magasins A et B, par barils de 5~kg, au prix de 65~F le baril. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que cette lessive est en promotion dans ces deux magasins : \begin{enumerate} \item Dans le magasin A, on fait une réduction de $10$\,\% sur le prix du baril. Dans le magasin B, on offre $10$\,\% de produit gratuit en plus pour l'achat d'un baril. Déterminer dans lequel des deux magasins il est le plus avantageux d'acheter cette lessive. \item Répondre à la même question si, dans A, on fait une réduction de $20$\,\% et, dans B, on offre $25$\,\% de produit gratuit en plus. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que, dans le magasin A, on fait une réduction de $x$\,\% du prix du baril et que, dans le magasin B, on offre $y\,\%$ de produit gratuit en plus pour l'achat d'un baril. \begin{enumerate} \item Quelle relation doivent vérifier $x$ et $y$ pour que les promotions soient les mêmes dans les deux magasins ? Dans ces conditions, déterminer $x$ lorsque $y$ = 25. \item Dans cette question, $x = 10$. Quel pourcentage minimum, en nombre entier, de produit gratuit doit offrir le magasin B pour que sa promotion soit plus avantageuse que celle de A ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Une observation faite sur la fréquentation d'un stade de football a permis de constater, pour chaque année, un taux de réabonnement de $80$\,\%, ainsi que l'apparition de \np{4000} nouveaux abonnés. \textsl{L'objet de cet exercice est l'étude du devenir du nombre annuel des abonnés, en supposant que la situation décrite par l'observation reste la même au fil des ans.} \textsl{Les questions}~\textbf{2.} \textsl{et}~ \textbf{3.} \textsl{peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \medskip On note $a_{n}$ le nombre des abonnés à la fin de la $n^{\text{e}}$ année et on précise que $a_{0} = \np{7000}$. \medskip \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,8 a_{n} + \np{4000}$. \item L'objet de cette question est l'étude graphique de la suite ($a_{n}$). On considère un repère orthonormal (unité graphique : 0,5~cm représente \np{1000} abonnés). \begin{enumerate} \item Tracer dans ce repère la droite (D) d'équation $y = 0,8x + \np{4000}$ et la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$, pour les abscisses comprises entre 0 et \np{25000}. \item Placer $a_{0}$ sur l'axe des abscisses. Utiliser les droites précédentes pour placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_{1},~ a_{2}$ et $a_{3}$. \item Si l'on poursuit le processus graphique précédent, quelle limite peut-on présumer pour la suite ($a_{n}$) ? \end{enumerate} \item L'objet de cette question est l'étude numérique de la suite ($a_{n}$).\\ Soit ($u_{n}$) la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $u_{n} = \np{20000} - a_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite ($u_{n}$) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. \item Soit $n$ un nombre entier naturel ; exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $a_{n} = \np{20000} - \np{13000} \times 0,8^n$. \item En utilisant le résultat précédent, déterminer la limite de la suite ($a_{n}$). \item Après combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il \np{16000} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ Problème} \hfill 11 points} \medskip Les objectifs de ce problème sont, en s'appuyant sur une fonction auxiliaire (partie A), l'étude d'une fonction $f$, le tracé de sa représentation graphique et le calcul d'une aire associé (partie B). \vspace{0,5cm} \textbf{ Partie A} \medskip $\bigstar~$\textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction numérique définie pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x^2 - 2 + \ln x.\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de $g$ (on ne demande pas d'étudier les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$). \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique, notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle [1~;~2]. Expliquer pourquoi $\alpha$ est la seule solution de l'équation $g(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$. Donner un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-2}$. \item Étudier le signe de $g(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ Partie B} \medskip $\bigstar~$\textbf{Étude d'une fonction \boldmath$f$\unboldmath et calcul d'une aire} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x + \dfrac{ 1 - \ln x}{x}\] et on note $f'$ sa dérivée. Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le sens de variations de $f$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathcal{C}$. \item Déterminer le point d'intersection I de $\mathcal{C}$ et ($\Delta$) et étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à ($\Delta$). \end{enumerate} \item Tracer la droite ($\Delta$) et la courbe $\mathcal{C}$. \item Calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de la partie comprise sur le graphique entre $\mathcal{C}$, ($\Delta$) et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$. $\left.(\text{On pourra remarquer que \:}\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{1}{x} \times \ln x\right).$ \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 1998 \end{document}