\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},\vect{u},\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small L'intégrale 1999 ES } \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 1999~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à décembre 1999}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord juin 1999} \dotfill \pageref{AmeriqueduNord}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 1999} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Asie}{Asie juin 1999} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers juin 1999} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\ \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 1999}\dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Reunion}{La Réunion juin 1999} \dotfill \pageref{LaReunion}\\ \hyperlink{Liban}{Liban juin 1999} \dotfill \pageref{Liban}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 1999}\dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles--Guyane septembre 1999} \dotfill \pageref{Antillessept}\\ \hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 1999} \dotfill \pageref{Metropolesept}\\ \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 1999}\dotfill \pageref{Polynesiesept}\\ \hyperlink{Sportifs}{Sportifs de haut-niveau octobre 1999} \dotfill \pageref{Sportifs}\\ \hyperlink{AmeriqueduSud}{Amérique du Sud novembre 1999}\dotfill \pageref{AmeriqueduSud}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie décembre 1999}\dotfill \pageref{Caledonienov} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 1999 \hypertarget{AmeriqueduNord}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \label{AmeriqueduNord} \lfoot{\small Amérique du Nord} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles. Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 43,5\,\% ont choisi l'abonnement 4 spectacles, \item[$\bullet~$] 33\,\% ont choisi l'abonnement 5 spectacles, \item[$\bullet~$] le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} D'autre part, $65\,\%$ des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la répartition est différente : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 40\,\% ont choisi l'abonnement 4 spectacles, \item[$\bullet~$] 40\,\% ont choisi l'abonnement 5 spectacles, \item[$\bullet~$] le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On interroge un abonné au hasard. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] On note $A$ l'évènement \og L'abonné interrogé a moins de 25 ans \fg{}. Ainsi la probabilité $p$(A) de cet évènement est 0,65. \item[$\bullet~~$] On note $B$ l'évènement \og L'abonné interrogé a choisi 5 spectacles \fg{}. \item[$\bullet~~$] Pour tout évènement $V$, on note $\overline{V}$ l'évènement contraire de $V$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus ? \item Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle est la probabilité qu'il ait choisi 5 spectacles ? \item Décrire l'évènement $(A \cap B)$, et démontrer que la probabilité $p(A \cap B)$ est égale à $0,26$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité $p\left(\overline{A} \cap B\right)$ est égale à $0,07$. \item En déduire la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé. \end{enumerate} \item L'abonnement pour 4 spectacles coûte 50~euros, celui pour 5 spectacles coûte 60~euros, et celui pour 6 spectacles coûte 70~euros. On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la somme dépensée par l'abonné interrogé. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$ en complétant : \[\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{| c | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline $x_{i}$ &50 &60 &70\\ \hline $p(X = x_{i})$ & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Calculer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip On donne, dans un repère orthonormal \Oij{} du plan, la courbe représentative ($\Gamma$) d'une fonction $f$, définie et dérivable sur [0~;~6]. Les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;~2\right), B\left( 4~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et C(2~;~1) sont des points de ($\Gamma$), et (T) est la tangente à ($\Gamma$) en C. \psset{unit=1.25cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10,3) \psgrid[subgriddiv=4,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(10.2,3.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psdots(0.5,2)(4,0.25)(2,1) \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline(0,2)(4,0) \uput[ur](0.5,2){A} \rput(0.6,1.4){(T)} \rput(2.2,1.2){C} \uput[ur](4,0.25){B} \rput(-0.2,-0.2){O} \rput(0.5,-0.5){$\vect{\imath}$ } \rput(-0.5,0.5){$\vec{\jmath}$ } \uput[u](3,0.7){\blue $\Gamma$} %\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red,showpoints=true](0,2.5)(2,0.7)(0,2.3)(2,1) \pscurve[linewidth=1.pt,linecolor=blue](0,2.5)(0.5,2)(1,1.6)(1.5,1.25)(2,1)(3,0.62)(4,0.25)(5,0)(6,0.25) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer par lecture graphique le minimum et le maximum de $f$ sur [0~;~6]. \item Déterminer par lecture graphique l'image par $f$ de l'intervalle [0~;~2]. \item En utilisant le graphique, donner l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) < \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que (T) est parallèle à (AB). Déterminer alors $f'(2)$. \item Déterminer l'équation réduite de (T), et celle de (AB). \item Justifier à l'aide du graphique que, pour tout $x$ de $\left[\dfrac{1}{2}~;~4\right]$ on a : \[-\dfrac{1}{2} x + 2 \leqslant f(x) \leqslant - \dfrac{1}{2} x + \dfrac{9}{4}.\] \end{enumerate} \item On pose I =$\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^9 f(x)\: \text{d}x.$ Déduire du résultat précédent \textbf{2. c.} que l'intégrale I est comprise entre $\dfrac{49}{16}$ et $\dfrac{ 63}{16}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. ABCDOFGH est un pavé défini par $\vect{\text{OH}} = 3 \vect{\imath},\, \vect{\text{OF}} = 4\vect{\jmath}$ et $\vect{\text{OA}} = 3\vect{k}$. Soit L le milieu de [CG]. \begin{center} \begin{pspicture}(7,5) \psframe(0.8,0.8)(4.8,3.8) %CGHD \pspolygon(0.8,3.8)(4.8,3.8)(6,5)(2,5) %ABCD \pspolygon(4.8,0.8)(6,2)(6,5)(4.8,3.8) %CBFG \psline[linestyle=dashed](2,3)(2,5) \psline[linestyle=dashed](3,2)(6,2) \psline[linestyle=dashed](2,2)(0.8,0.8) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(2,2)(1.6,1.6) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(2,2)(3,2) \psline[linewidth=1.2pt]{->}(2,2)(2,3) \rput(2.2,2.2){O} \rput(1.7,5){A} \rput(6.2,5.2){B} \rput(4.7,4){C} \rput(0.6,3.7){D} \rput(6.2,2.2){F} \rput(5,0.5){G} \rput(1,0.5){H} \rput(1.7,2){\footnotesize $\vect{\imath}$} \rput(2.5,1.6){\footnotesize $\vect{\jmath}$} \rput(1.8,2.4){\footnotesize $\vect{k}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère l'ensemble ($\Pi$) des points dont les coordonnées $x, y$ et $z$ vérifient : $4x - 3y + 8z - 12 = 0$. \item Parmi les points A, B, O, G, H, L lesquels appartiennent à ($\Pi$) ? \item Justifier que l'ensemble ($\Pi$) est le plan (BLH). \item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vect{n}$ au plan (BLH). \item Soit ($\Delta$) la droite passant par A et de vecteur directeur $\vect{n}$. Montrer que ($\Delta$) est l'ensemble des points $M$ tels que $\left\{ \begin{array}{l} \vect{\text{AM}} \cdot \vect{\text{NH}} = 0\\ \text{et}\\ \vect{\text{AM}} \cdot \vect{\text{BL}} = 0.\\ \end{array}\right.$ En déduire un système d'équations caractérisant la droite ($\Delta$). \item Montrer que le point de coordonnées $\left(- \dfrac{48}{89} ; \dfrac{36}{89} ;\dfrac{171}{89} \right)$ appartient à ($\Delta$) et à $(\Pi)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Une entreprise envisage la fabrication d'un nouveau produit. Sa décision dépend des résultats de plusieurs études : \textbf{Étude de la demande pour ce nouveau produit} : c'est l'objet de la partie A. \textbf{Étude d'un coût moyen de production} : c'est l'objet de la partie B. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip Une étude a permis d'établir le tableau suivant où, pour différentes observations, $x_{i}$ désigne la quantité de produit (en milliers d'unités) que la clientèle est disposée à acheter, et $y_{i}$ le prix de vente (en francs) d'une unité : \[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline $x_{i}$& 1,5& 3&5 &8 &11 &12\\ \hline $y_{i}$& 120& 110& 100 & 90& 80& 70\\ \hline \end{tabularx}\] Ainsi, pour que la clientèle soit disposée à acheter \np{5000}~unités, le prix de vente d'une unité doit être fixé à 100~F. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à cette série statistique. Prendre 1~cm pour 1~millier d'unités en abscisse, et 1 cm pour 10 francs en ordonnée. \emph{Dans les questions suivantes, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé ; les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près}. \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Un ajustement affine est-il approprié ? justifier la réponse. \item \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. \item D'après ce modèle, comment faut-il fixer le prix de vente d'une unité si l'on veut pouvoir vendre un minimum de \np{6500}~unités ? \end{enumerate} \item On admet que le prix de vente d'une unité, noté PV, est une fonction de la demande $x$ (en milliers d'unités) définie, pour $x \in$ [2~;~15], par : PV$(x) = - 4,33x+ 124,2$. Représenter la fonction PV dans le repère utilisé dans la question 1. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Le coût total de production (en francs) de $x$ milliers d'unités est, pour $x \in [2~;~15]$ : \[\text{CT}(x) = 105\left[x + 4 - 3\ln (x)\right]\] et le coût moyen de production d'une unité est, pour $x \in $ [2~;~15] \[\text{CM}(x) = \dfrac{\text{CT}(x)}{\np{1000}x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item On note CM$'$ la dérivée de la fonction CM. Calculer CM$'(x$) et démontrer que CM$'(x$) a le même signe que $\ln (x) - \dfrac{7}{3}$ pour tout $x \in$ [2~;~15]. \item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+\infty$[ l'inéquation $\ln (x) - \dfrac{7}{3} \geqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de CM sur l'intervalle [2~;~15]. \item Tracer la représentation graphique de CM dans le repère utilisé dans la partie \textbf{A}. \item À l'aide du graphique, déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise peut faire un bénéfice. (On donnera la réponse sous forme d'un intervalle dont les bornes sont des entiers.) \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane juin 1999 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small Antilles--Guyane} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unités sont 1~cm sur chaque axe. Construire ce repère sur votre copie en plaçant l'origine du repère en bas et à gauche. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la droite (D$_{1}$) d'équation $3x+ y = 30$, la droite (D$_{2}$) d'équation $x + 4y = 32$ et la droite (D$_{3}$) d'équation $x + y = 10$. \item Déterminer au moyen d'un calcul les coordonnées du point d'intersection I des droites (D$_{1}$) et (D$_{2}$). \item Repérer graphiquement à l'aide d'une croix (\og $\times$ \fg{}) les points du plan dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs, $x$ et $y$, qui vérifient de plus les conditions : \[3x + y \leqslant 30 \quad ; \quad x + 4y \leqslant 32 \quad ; \quad x + y \geqslant 10.\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites poupées et des grandes poupées. Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes poupées une heure seulement. L'artisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30 heures au plus par jour. L'artisan ne dispose que de 32~mètres de tissu par jour. Il lui faut 1~mètre de tissu pour habiller une petite poupée et 4 mètres pour habiller une grande poupée. On désigne par $x$ le nombre de petites poupées et par $y$ le nombre de grandes poupées produites dans une journée. L'artisan s'impose de fabriquer au moins 10~poupées par jour. On admet que les contraintes de l'énoncé correspondent aux conditions suivantes : \[\begin{array}{l l} x ~\text{et}~ y ~\text{sont deux nombres entiers positifs} ~;&3x+y \leqslant 30~ ;\\ x \geqslant 0~;& x + 4y \leqslant 32~;\\ y \geqslant 0~;& x + y \geqslant 10.\\ \end{array}\] Le nombre total de poupées produites dans une journée de travail est représenté par $S = x +y$. L'artisan veut que sa production journalière $S$ soit maximum. Combien de poupées de chaque sorte doit-il fabriquer ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Une suite réelle $(U_{n})_{n \in \N}$ est définie par son premier terme $U_{0}$ strictement positif et par la relation de récurrence suivante : \[U_{n+1} - U_{n} = - 0,04 U_{n}.\] \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item En fonction de $U_{0}$, calculer $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$. \item Démontrer que cette suite est une suite géométrique de premier terme $U_{0}$ et de raison $q$ que l'on déterminera. \item Quel est son sens de variation ? \item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $U_{0}$ et de $n$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Le 1$\up{er}$ janvier 1997, la population d'une commune rurale était de \np{3000}personnes. On admet que cette population a diminué de 4\,\% par an. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle a été la population de cette commune au 1$\up{er}$ janvier 1999 ? \item Quelle sera la population de cette commune au 1\up{er} janvier 2000 ? \item À partir de quelle année la population chutera-t-elle à moins de \np{2000}~personnes ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne la moyenne $y$ des maximums de tension artérielle en fonction de l'âge $x$ d'une population donnée. \[\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c| *{6}{>{\centering \arraybackslash} X|} }\hline Âge $x$ &36&42 &48 &54 &60 &66\\ \hline Tension $y$ &12&13,5&12,6 &14,3 &15,4 &15\\ \hline \end{tabularx}\] \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement le nuage de points $M(x~;~y)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques 0,5~cm pour 1 an en abscisse et 3~cm en ordonnée pour l'unité de tension artérielle, l'origine correspond au point 1 de coordonnées (30 ~;~ 10). \item Dans cette partie, vous pourrez utiliser votre calculatrice. \begin{enumerate} \item Calculer à $10^{-2}$ près le coefficient de corrélation entre $x$ et $y$. On admet qu'un ajustement par la méthode des moindres carrés est justifié. \item Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ et la représenter (les coefficients seront donnés à $0,001$ près). \item Une personne de $70$ ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression ? Comparer avec la tension réelle. \item Compléter le tableau de l'annexe en utilisant les valeurs de \og $a$ \fg{} et de \og$b$\fg{} obtenues pour la droite de régression. Calculer la somme des \og carrés \fg{} de la dernière colonne, associée à cet ajustement (calcul de la somme des résidus associés à cet ajustement). \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Annexe :} À rendre avec la copie (après l'avoir complétée) TABLEAU $ a = \ldots \ldots b = \ldots \ldots$ \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c| c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &$y_{i}$&$ax_{i} + b$&$y_{i} - (ax_{i} + b)$&$\left[y_{i} - (ax_{i} + b)\right]^2$\\ \hline 36 &12 & & & \\ \hline 42 &13,5 & & & \\ \hline 48 &12,6 & & & \\ \hline 54 &14,3 & & & \\ \hline 60 &15,4 & & & \\ \hline 66 &15 & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Somme des \og carrés \fg{} de la dernière colonne : \ldots \ldots. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip \emph{Le but du problème est l'étude d'une fonction et le calcul d'une aire liée à cette fonction.} \vspace{0,3cm} \textbf{Partie A} \medskip La courbe ($\Gamma$) ci-jointe (annexe 1) est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Les points A$\left( 1 ; \dfrac{3}{2}\right)$ et B$\left(\text{e} ;\dfrac{\text{e}^2}{2}\right)$ appartiennent à la courbe ($\Gamma$) et la tangente en A à ($\Gamma$) est parallèle à l'axe des abscisses. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $g(1)~;~g(\text{e})$ et $g'( 1)$. \item Déterminer les réels $a$ et $b$, sachant que la fonction $g$ est définie sur $]0~;~+\infty$[ par une expression de la forme : \[g(x) = \dfrac{x^2}{2} + a + b \ln x.\] \item Sachant que $g (x) = \dfrac{x^2}{2} + 1 - \ln x$, retrouver au moyen d'un calcul, le sens de variation de $g$. (Le calcul des limites n'est pas demandé.) En utilisant ce dernier résultat, étudier le signe de $g$ sur $]0 ~;~ +\infty$[. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{x}{2}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$. (On admet le résultat suivant : limite en $+\infty$ de $\dfrac{\ln x}{x} = 0$.) \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Vérifier que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$ pour tout réel positif $x$. En déduire les variations de $f$. \item Montrer que la représentation graphique ($\mathcal{C}$) de $f$ dans un repère orthonormal admet deux asymptotes que l'on précisera. La courbe ($\mathcal{C}$) de $f$ est donnée en annexe dans un repère orthonormal \Oij, unité 2 cm sur chaque axe. \item On admet l'existence d'un réel $\alpha$ unique, appartenant à $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ tel que $f(\alpha) = 0$. Que représente $\alpha$ pour la courbe ($\mathcal{C}$) ? Placer sur la courbe ($\mathcal{C}$) le point I d'abscisse $\alpha$. Montrer que $\ln \alpha = -\dfrac{\alpha^2}{2}$. En déduire que $f'(\alpha) = \dfrac{1 + \alpha^2}{\alpha^2}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = (\ln x)^2$. \item En déduire le calcul de J = $\displaystyle\int_{1}^{t} \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\: \text{d}x.$ \item Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine plan limité par ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \textrm{e}$. Déterminer l'aire, en cm$^2$, de ce domaine. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\gray \emph{Annexe} 2} \emph{À rendre avec la copie (après l'avoir complétée)\\ Courbe} {\blue $(\Gamma$}) \vspace{1cm} \psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(4,5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(4,5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) %\psline{->}(0,-0.5)(0,4.5) \psline{->}(-1,0)(4,0) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.5)(0,1.5) \psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,3.695) \uput[u](1,1.55){A} \uput[u](2.6,3.7){B} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \rput(4,-0.3){$x$} \uput[l](0,5){$y$} \psline(0,1)(0.1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.02}{3.21}{x dup mul 2 div 1 add x ln sub} \end{pspicture} \vspace{2cm} \emph{Courbe} ($\mathcal{C}$) \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(6,3.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-2)(6,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](6,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$} \rput(2.2,1.8){\blue $\mathcal{C}$} \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0)(\n,0.1)} \multido{\n=-2+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.41}{5.5}{x ln x div x 2 div add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 1999 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small Asie} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Le tableau suivant recense par clinique le nombre de postes du personnel non médical en fonction du nombre de lits de la clinique : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Clinique &$C_1$ &$C_2$ &$C_3$ &$C_4$ &$C_5$ &$C_6$ &$C_7$ &$C_8$ &$C_9$ &$C_{10}$ &$C_{11}$\\ \hline Nombre de lits $x_i$ &122 &177 &77 &135 &109 &88 &185 &128 &120 &146 &100\\ \hline Nombre de postes $y_i$&205 &249 &114 &178 &127 &122 &242 &170 &164 &188 &172\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : 1~cm pour 20~lits en abscisse et 1~cm pour 50~postes en ordonnée. \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. \item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les détails des calculs ne sont pas demandés). Pour les coefficients, on prendra les valeurs décimales arrondies à $10^{-1}$ près. Tracer cette droite dans le repère précédent. \item Une clinique possède 35 lits. \begin{enumerate} \item En utilisant les résultats obtenus en 3, combien devrait-elle embaucher de personnel occupant un poste non médical à temps plein ? \item En réalité, cette clinique dispose de 60 postes. Calculer la différence entre le nombre de postes réels et le nombre de postes théoriques obtenu précédemment. Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la situation théorique ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Énoncé} \medskip Un grand club de ski français propose à la vente : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] des licences ; \item[$\bullet~$] des cartes neige à prix normal ; \item[$\bullet~$] des cartes neige à prix réduit pour les habitants de la commune. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour chacun de ces titres vendus, il faut distinguer deux catégories : la catégorie jeunes et la catégorie adultes. Le nombre de titres vendus pour la saison 98 se répartit de la manière suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 8,5\,\% de licences ; \item[$\bullet~$] 77,5\,\% de cartes neige à prix réduit ; \item[$\bullet~$] 1,5\,\% de licences catégorie jeunes ; \item[$\bullet~$] 2,5\,\% de cartes neige à prix normal catégorie jeunes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} De plus, parmi les personnes ayant acheté une carte neige à prix réduit, $86,5\,\%$ sont des adultes. On note : $L$ : l'évènement \og La personne a acheté une licence \fg{} ; $CN$ : l'évènement \og La personne a acheté une carte neige à prix normal \fg{} ; $CR$ : l'évènement \og La personne a acheté une carte neige à prix réduit \fg{} ; $J$ : l'évènement \og La personne est dans la catégorie jeunes \fg{} ; $A$ : l'évènement \og La personne est dans la catégorie adultes \fg. \textbf{Questions} On choisit au hasard un client de la saison 98. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité pour que : \begin{enumerate} \item cette personne ait acheté une carte neige à prix normal ; \item cette personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie adultes. \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité pour que la personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie jeunes est égale à $0,105$. \item Sachant que la personne a acheté une licence, quelle est la probabilité pour qu'elle appartienne à la catégorie adultes ? \item Quelle est la probabilité pour que cette personne appartienne à la catégorie jeunes ? \item Sachant que la personne est jeune, quelle est la probabilité pour qu'elle ait acheté une licence ? Pour répondre aux questions, on peut utiliser la méthode des arbres. Tous les résultats sont donnés avec un arrondi à $10^{-3}$ près (ex : 0,105 ou $10,5\,\%$.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \textbf{Énoncé} \medskip Dans l'espace rapporté au repère orthonormal \Oij, on a placé les points : \medskip \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{*{3}{X}}\\ A(0 ~;~0 ~;~18) &B(0~;~15~;~0) & \\ C(22,5~;~0~;~0) &D(0~;~0~;~12,5)&(voir Annexes 1 et 2)\\ E(0~;~25~;~0) &F(12,5~;~0~;~0). & \\ \end{tabularx} \medskip Le plan (ABC) a pour équation : $4 x + 6y + 5 z = 90$. Le plan (DFE) a pour équation : $2x + y + 2z = 25$. La droite (GI) est l'intersection des plans (ABC) et (DFE). On admet que tout point $M(x~;~y~;~z)$ appartenant au polyèdre ODGBIF a des coordonnées qui satisfont aux conditions : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{*{2}{X}} $\bullet~ x > 0$ & $\bullet~4x + 6y + 5z \leqslant 90$\\ $\bullet~ y \geqslant 0$ & $\bullet~2x + y + 2z \leqslant 25$\\ $\bullet ~z > 0$ & \\ \end{tabularx} \end{center} Une usine fabrique 3 types de vannes pour l'industrie pétrolière. Pour fabriquer le modèle V1, il faut 20 heures d'usinage et 20 heures de montage. Pour fabriquer le modèle V2, il faut 30 heures d'usinage et 10 heures de montage. Pour fabriquer le modèle V3, il faut 25 heures d'usinage et 20 heures de montage. Le nombre d'ouvriers spécialisés permet de disposer de $450$ heures d'usinage par semaine. Le nombre d'ouvriers monteurs permet de disposer de $250$ heures de montage par semaine. On désigne par $x$ le nombre de vannes de type V1 fabriquées dans une semaine, $y$ le nombre de vannes de type V2 et $z$ le nombre de vannes de type V3. Les points de coordonnées $(X~;~Y~;~Z)$ qui satisfont aux contraintes précédentes sont situés à l'intérieur du polyèdre ODGBIE. Le bénéfice réalisé sur une vanne de type V1 est de \np{2000}~F, sur une vanne de type V2, il est de \np{3000}~F et enfin sur une vanne de type V3, il est de \np{5000}~F. Un point de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ représente une production. \medskip \textbf{Questions} \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Montrez que les points représentant une production pour laquelle le bénéfice total est de \np{30000}~F sont situés sur le plan (P) d'équation cartésienne : $2 x + 3y + 5 z = 30$. Le plan (P) est tracé sur la figure de l'annexe 2. \item[\textbf{b.}] Montrez qu'une production de 5 vannes de type V1, de 5 vannes de type V2 et d'une vanne de type V3 est réalisable par cette usine en une semaine et que le bénéfice alors réalisé est de \np{30000}~F. Quelle conclusion en tirez-vous sur la position du point K de coordonnées (5~;~ 5~;~1) ? \item[\textbf{c.}] Montrez que les points représentant une production pour laquelle le bénéfice total est de \np{60000}~F sont situés sur le plan (Q) d'équation cartésienne : $2 x + 3y + 5 z = 60$. \item[\textbf{d.}] Quelle remarque pouvez-vous faire sur les plans (P) et (Q) ? \item[\textbf{e.}] On admet que le bénéfice réalisé par l'entreprise est maximal lorsque le plan (R) d'équation $2 x + 3y + 5 z = b$ passe par le point G dont les coordonnées sont $\left(0~;~\dfrac{55}{7}~; ~ \dfrac{60}{7}\right)$. Calculer ce bénéfice maximal. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \large{\textbf{Partie A}}\normalsize{} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~50] par : \[f(x) = x^2 + \dfrac{50x}{x + 1} - 50 \ln (x + 1) - 50.\] La dérivée $f'(x)$ est égale à : $\dfrac{2x(x - 4)(x + 6)}{(x + 1)^2}$. La courbe ($\mathcal{C}$) de $f$ est donnée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~50]. \item Dresser le tableau de variation de $f$ sur [0~;~50]. On admet que $f(x)$ s'annule pour une seule valeur $\alpha$et de l'intervalle ]0~;~50[ ; en déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~50]. \item Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs. Pour la suite du problème, on prendra pour $\alpha$ la plus petite de ces deux valeurs. \end{enumerate} \bigskip \large{\textbf{Partie B}}\normalsize{} \medskip Une entreprise fabrique une quantité $x$, exprimée en kilogrammes, d'un certain produit. Le coût marginal $C$, exprimé en euros, est défini sur [0~;~50] par \[C(x) = 2x + \dfrac{50}{x + 1}\] \smallskip \begin{enumerate} \item La fonction coût total, notée $C_{\text{T}}$ est la primitive de la fonction C sur [0 ~;~ 50] qui prend la valeur 50 pour $x = 0$. Vérifier que $C_{\text{T}}(x) = x^2 + 50 \ln (x + 1) + 50.$ \item Le coût moyen est la fonction $C_{m}$, définie par : \[C_{m}(x) = \dfrac{C_{\text{T}}(x)}{x} \text{sur} ]0~;~50].\] \begin{enumerate} \item Donner une expression de $C_{m}(x)$ en fonction de $x$. \item Vérifier que la dérivée de $C_{m}$ peut se mettre sous la forme \[C'_{m}(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \large{\textbf{Partie C}} \medskip \begin{enumerate} \item Déduire des résultats précédents le tableau de variation de la fonction $C_{m}$ sur ]0~;~50]. \item Tracer dans un repère orthonormal \Oij{} la courbe représentative de $C_{m}$ sur [1~;~50]. \item Quelle est la production donnant le coût moyen minimal ? Calculer alors le coût total et le coût marginal correspondant au coût moyen minimal. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Annexe 3} Courbe ($\mathcal{C}$) de la fonction $f$. \vspace{1.5cm} \psset{xunit=4mm,yunit=0.64mm} \begin{pspicture}(0,-80)(20,10) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200]{->}(0,0)(0,-80)(20,10) \uput[l](0,10){$y$} \uput[d](20,0){$x$} \uput[dl](0,0){O} \rput(-1,-50){$-50$} \rput(10,-40){\blue $(\mathcal{C}$)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x dup mul 50 x mul x 1 add div add x 1 add ln 50 mul sub 50 sub} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \emph{Annexe} 1 \psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-12,-12)(26,19) \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(-0.71,-0.71) \rput(0,-2){$\vect{\imath}$} \rput(1,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput(-2,1){$\vect{k}$} \psline(0,0)(26,0) \psline(0,0)(0,19) \psline(0,0)(-12,-12) \psline(0,18)(15,0) \psline(15,0)(-11.2,-11.2) \psline(-11.2,-11.2)(0,18)%ABC% \psline(0,12.5)(25,0) \psline(25,0)(-6.4,-6.4) \psline(0,12.5)(-6.4,-6.4) %DEF \psline(7.85,8.57)(6.1,-4) %GI % \psline(5,0)(5,-0.5) \psline(0,5)(-0.5,5) \psline(-3.55,-3.55)(-4.05,-3.55) \rput(-1,18){A} \rput(15.5,1){B} \rput(-12,-10){C} \rput(1,12.9){D} \rput(25,1){E} \rput(5,-1){5}\rput(-1,5){5}\rput(-4,-4.7){5} \rput(-7,-6){F} \rput(8,9.8){G} \rput(6,-4.8){I} \end{pspicture} \end{center} \begin{center} \emph{Annexe} 2 \psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-12,-12)(26,19) \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(-0.71,-0.71) \rput(0,-2){$\vect{\imath}$} \rput(1,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput(-2,1){$\vect{k}$} \psline(0,0)(26,0) \psline(0,0)(0,19) \psline(0,0)(-12,-12) \psline(0,18)(15,0) \psline(15,0)(-11.2,-11.2) \psline(-11.2,-11.2)(0,18)%ABC% \psline(0,12.5)(25,0) \psline(25,0)(-6.4,-6.4) \psline(0,12.5)(-6.4,-6.4) %DEF \psline(7.85,8.57)(6.1,-4) %GI % \psline(5,0)(5,-0.5) \psline(0,5)(-0.5,5) \psline(-3.55,-3.55)(-4.05,-3.55) \psline[linestyle=dashed](0,5)(10,0) \psline[linestyle=dashed](10,0)(-8.57,-8.57) \psline[linestyle=dashed](-8.57,-8.57)(0,5) \rput(5,2){(P)} \rput(-1,18){A} \rput(15.5,1){B} \rput(-12,-10){C} \rput(1,12.9){D} \rput(25,1){E} \rput(5,-1){5}\rput(-1,5){5}\rput(-4,-4.7){5} \rput(-7,-6){F} \rput(8,9.8){G} \rput(6,-4.8){I} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 1999 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 1999 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small Centres étrangers} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip \emph{Aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n'est exigé dans cet exercice.} Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffres d'affaires réalisé à l'exportation par une entreprise. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année& 1990& 1991&1992& 1993&1994& 1995&1996&1997&1998\\ \hline $x_{i}$&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $y_{i}$&100 & 101 &107&122&127&139&136&157&165\\ \hline \end{tabularx} \medskip $x_{1}$ désigne le rang de l'année, $y_{i}$ désigne l'indice du chiffre d'affaires à l'exportation rapporté à la base 100 en 1990. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série double dans un repère orthogonal. On prendra : $\bullet$ pour origine le point $M_{0}(0~;~100)$, $\bullet$ pour unités : 1,5~cm sur l'axe des abscisses, \hspace{2cm} 2~cm pour 10~points d'indice sur l'axe des ordonnées. \item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série statistique et placer ce point sur le graphique. (On donnera la valeur décimale arrondie au dixième de l'ordonnée de G.) \end{enumerate} \item Déterminer la valeur décimale arrondie au centième du coefficient de corrélation linéaire de la série double. Ce résultat permet-il d'envisager un ajustement affine ? Pourquoi ? \item Soit $\mathcal{D}$, la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. \begin{enumerate} \item Donner la valeur décimale arrondie au dixième du c?fficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. \item En utilisant les coordonnées du point moyen G, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$. Tracer cette droite sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item En supposant que l'évolution du chiffre d'affaires se poursuive de la même façon au cours des années suivantes, estimer l'indice du chiffre d'affaires de cette entreprise en l'an 2001 (on en donnera la valeur arrondie à l'unité). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(obligatoire)} \medskip Une étude statistique indique que 95\,\% des téléviseurs fabriqués par une entreprise sont en état de fonctionnement. On fait subir à chaque appareil un test de contrôle. On constate que : $\bullet$ quand un appareil est en état de fonctionnement, il est accepté dans 96\,\% des cas à l'issue du test ; $\bullet$ quand un appareil n'est pas en état de fonctionnement, il est néanmoins accepté dans 8\,\% des cas à l'issue du test. On choisit au hasard un téléviseur fabriqué par l'entreprise. On définit les évènements suivants : $F$ : \og le téléviseur est en état de fonctionnement \fg{} ; $T$ : \og le téléviseur est accepté à l'issue du test \fg{} ; $\overline{T}$ : \og le téléviseur est refusé à l'issue du test \fg. Ainsi : $\bullet$ la probabilité de l'évènement $F$, notée $P(F)$ est $0,95$ ; $\bullet$ la probabilité $P(T/F)$ qu'un téléviseur soit accepté à l'issue du test sachant qu'il est en état de fonctionnement est $0,96$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un téléviseur soit refusé à l'issue du test sachant qu'il est en état de fonctionnement. \item Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à l'issue du test et qu'il soit en état de fonctionnement. \item Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à l'issue du test et qu'il ne soit pas en état de fonctionnement. \end{enumerate} \item En déduire la probabilité pour que le téléviseur soit refusé à l'issue du test. \item Quelle est la probabilité pour qu'un téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu'il est refusé à l'issue du test ? (On donnera la valeur décimale arrondie au millième du résultat.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(spécialité)} \medskip Le salaire annuel d'un technicien s'élevait pour l'année 1998 à \np{90000}~F. Chaque année son employeur décide de l'augmenter de $2\,\%$ et de lui allouer en plus \np{5000}~F. On désigne par $S_{0}$ le salaire du technicien pour l'année 1998. Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $S_{n}$ son salaire pour l'année $(1998 + n)$. Par exemple : $S_{2}$ est le salaire du technicien pour l'année 2000. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $S_{1}$ et $S_{2}$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $S_{n+1}$ en fonction de $S_{n} $. \item On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = S_{n} + \np{250000}$ pour tout entier naturel. \begin{enumerate} \item Calculer $U_{0}$. \item Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,02$. \item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire le salaire prévu pour l'année 2005. \end{enumerate} \item À partir de quelle année le salaire de ce technicien aura-t-il doublé ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip L'objet de ce problème est l'étude d'une fonction et le tracé de sa représentation graphique (\textbf{partie B}) s'appuyant sur l'étude d'une fonction auxiliaire (\textbf{partie A}). On calculera enfin une aire (\textbf{partie C}). On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Soient $a, b$ et $c$ des nombres réels. On définit une fonction $g$ sur $\R$ par \\$g(x) = (ax + b)\text{e}^{-x} + c$. On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de $g$. \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$. \item Le tableau de variation de $g$ est le suivant : \begin{center} \psset{xunit=10mm,yunit=10mm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(-1,0.4)(9,-3) \psframe(-,0.4)(9,-3) \psline(-1,0)(9,0) \psline(-1,-1)(9,-1) \psline(0,0.4)(0,-3) \psline{->}(1,-2.5)(5,-1.4) \psline{->}(6.7,-1.4)(8.2,-2.4) \psline(6,0)(6,-1) \rput(-0.5,0.2){$x$} \rput(-0.5,-0.5){$g'(x)$} \rput(-0.5,-2){$g(x)$} \rput(0.4,0.2){$-\infty$} \rput(2.5,0.2){0} \rput(4,0.2){1} \rput(6,0.2){2} \rput(8.5,0.2){$+\infty$} \rput(3.5,-0.5){+} \rput(6,-0.5){0} \rput(7,-0.5){-} \rput(0.4,-2.6){$-\infty$} \rput(2.5,-2.1){1} \rput(4,-1.64){2} \rput(6,-1.3){$\text{e}^{-2} + 2$} \rput(8.5,-2.6){2} \end{pspicture} \end{center} En utilisant les données numériques de ce tablcau, établir que $a = 1, \:b = -1$ et $c = 2$. Ainsi, pour la suite du problème : $g(x) = (x - 1 )\text{e}^{-x} + 2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[- 1~;~0]$ . On note $\alpha$ cette solution. \item Déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur décimale arrondie au dixième de $\alpha$. \end{enumerate} \item Étudier le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = 2 x + 1 - x\text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on admettra que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$). \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ (on pourra mettre $x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que $f'(x) = g (x)$. \item Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on appelle $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ et $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $y = 2x + 1$. \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}[f(x) - (2x + 1)]$. \item Donner une interprétation graphique de ce résultat. \item Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D})$. \item Tracer $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \medskip Soient $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = -\text{e}^{- x}(1 + x)$ et $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{ - x}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$. \item Hachurer sur le graphique précédent le domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\mathcal{D})$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \item Calculer l'aire $S$ en cm$^2$ du domaine hachuré. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole juin 1999 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne l'indice mensuel des dépenses d'assurance maladie d'août 94 à juin 95 (tendances observées à fin juillet 1995 - base 100 janvier 1990). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{6}{>{\small \centering \arraybackslash}X |}}\hline Mois &Août 94&Octobre 94 &Déc. 94&Février 95 &Avril 95 &Juin 95\\ \hline Rang du mois $x_i$ &1 &3 &5 &7 &9 &11\\ \hline Indice $y_i$ & 123,4 & 125,9 &127,5 &127,9 &129 &131,4\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\scriptsize(Source : Département statistique de la Caisse Nationale de l'Assurance Maladie des Travailleurs Salariés).} \end{tabularx} \end{center} \emph{Pour tout l'exercice, les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés. Les résultats seront arrondis avec deux chiffres après la virgule.} On a représenté sur le document 1 de l'annexe ci-jointe le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique dans un repère orthogonal. G désigne le point moyen du nuage. On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point G et placer ce point sur le graphique. \item \emph{Le modèle étudié dans cette question sera appelé \og droite de Mayer\fg{}}. \begin{enumerate} \item G$_{1}$ désigne le point moyen des trois premiers points du nuage et G$_{2}$ celui des trois derniers points. Déterminer les coordonnées de G$_{1}$ et de G$_{2}$. \item Déterminer l'équation réduite de la droite (G$_{1}$G$_{2})$ sous la forme $y = $A$x$ + B. \item Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2})$ sur le graphique précédent. \item En utilisant la calculatrice, déterminer la somme des résidus pour cet ajustement affine : \[S_{1} = \displaystyle\sum_{i=1}^6 (y_{i}- \text{A}x_{i} - \text{B})^2.\] \end{enumerate} \item \emph{Le deuxième modèle proposé est celui des moindres carrés}. La calculatrice donne : $\bullet~$ l'équation de la droite (D) d'ajustement de $y$ en $x$ : \[y = 0,71x + 123,26.\] $\bullet~$ la somme des résidus pour cet ajustement S$_{2} = 1,7$ (arrondie avec un chiffre après la virgule). \begin{enumerate} \item Des droites (D) et (G$_{1}$G$_{2})$ quelle est celle qui réalise le meilleur ajustement affine ? Justifier. \item Tracer (D) sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quels sont les indices mensuels que l'on pouvait prévoir en utilisant l'ajustement affine par la méthode des moindres carrés (question 3) pour les mois cités dans le tableau ci-dessous ? \item Recopier le tableau ci-dessous et le compléter. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois & nov. 95 &déc. 95 &janvier 96\\ \hline Indices prévisionnels calculés par l'ajustement affine des \emph{moindres carrés} & & & \\ \hline Tendances réellement observées &134,3 &133,4 &133,5 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quel commentaire peut-on faire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \emph{Annexe Document $1$ à compléter et à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm} \begin{pspicture}(-2,0)(12,9) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,9)} \psaxes[Oy=120,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(12,9) \psdots[dotscale=1.3](1,1.4)(3,2.9)(5,4.5)(7,4.9)(9,6)(11,8.4) \rput(10.5,-1){Rang du mois} \rput{90}(-1.3,8){indice} \rput(12,-0.3){$x$} \rput(-0.5,9){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{2cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ dans le repère \Oij. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La droite $(T_{A})$ est la tangente au point $A$ d'abscisse 0. La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1. Enfin, la fonction $f$ est croissante sur $[ 1~;~+ \infty[$ et sa limite en $+ \infty$ est $+ \infty$. \begin{center} \psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(5,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] \psline(0,2)(5,2) \psline(1,0)(1,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(0,2)(1.333,-2) \rput(1.5,-1.5){(T$_{\text{A}}$)} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[ur](0,2){A} \psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.5,1)(1.5,1) \psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,2)(0.3333,1)(0.75,1)(1,1) \psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1,1)(1.25,1)(1.42,1)(3,2) \psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](3,2)(4,2.754)(4.3,3)(5,3.7) \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \begin{enumerate} \item À partir des informations portées sur le graphique et complétées par les précisions précédentes, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous : \[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 & 1\\ \hline $f(x)$ & & \\ \hline $f'(x)$ & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$, complété par la limite en $+ \infty$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $g$ inverse de la fonction c'est-à-dire $g = \dfrac{1}{f}$. On note $g'$, la fonction dérivée de $g$. \begin{enumerate} \item Déterminer $g(0),~g(1),~g(3)$. \item Quel est le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0~;~ +\infty[$ ? Justifier la réponse donnée. \item Déterminer les valeurs $g'(0),~g'(1)$. \item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. \end{enumerate} \item On souhaite traduire graphiquement les informations obtenues pour la fonction $g$. Tracer une courbe qui satisfait aux résultats obtenus à la question 2, dans un repère orthonormal (unité 2~cm) sur une feuille de papier millimétré ; le tracé des tangentes aux points d'abscisses 0 et 1 devra apparaître sur la figure. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk{} représenté sur le document 2 de l'annexe ci-jointe. Le plan (R) est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées ; il a pour équation : $x + z = 2$. \begin{enumerate} \item On donne les points A, B, C définis par leurs coordonnées respectives : A(6~;~0~;~0), B(0~;~3~;~0) et C(0~;~0~;~6). \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C dans le repère \Oijk et tracer le triangle ABC. \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées (1 ~;~ 2 ~; ~1). Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan (P) passant par A, B et C. \item Vérifier que le plan (P) a pour équation $x + 2y + z = 6$. \end{enumerate} \item On a placé dans le repère les points G, E et F à coordonnées entières. Le point G est situé sur l'axe (O~ ;~ $\vect{\jmath}$) le point E dans le plan \Oij{} et le point F dans le plan $\left(\text{O} ~;~\vect{\jmath}, ~\vect{k}\right)$. Le plan (Q) passant par les points G, E et F est parallèle au plan $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. \begin{enumerate} \item Donner l'équation du plan (Q). \item Donner les coordonnées des points G, E et F. \item Parmi les points E, F et G, quels sont ceux situés dans le plan (P) ? \item Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées ($x~;~y~;~z$) vérifient le système \[\left\{ \begin{array}{l c l} y &= & 2\\ x + 2y + z & = & 6. \end{array}\right.\] \item Représenter cet ensemble sur l'annexe 2 ci-jointe. \end{enumerate} \item On considère le système S de trois équations à trois inconnues $x, y, z$ : \end{enumerate} \[\left\{ \begin{array}{c c c c l} x+ & &z &= &2\\ & y & & = & 2\\ x &+ 2y &+ z & = & 6. \end{array}\right.\] Quel est l'ensemble des points du plan R dont les coordonnées sont les solutions du système S ? \newpage \begin{center} Document 2 à compléter et à rendre avec la copie \end{center} \hspace*{-0.5cm} \psset{xunit=5mm,yunit=5mm} \begin{center} \begin{pspicture}(22,10) \psline[linewidth=1.25pt](4,4)(22,4) \psline[linewidth=1.25pt](4,4)(4,10) \psline[linewidth=1.25pt](4,4)(0,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,4)(6,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,4)(4,6) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,4)(3,3) \psline(2,2)(4,8) \psline(4,8)(22,8) \psline(2,2)(22,2) \rput(3.5,4.5){O} \rput(6.5,1.5){E} \rput(8.5,8.5){F} \rput(18.5,7.5){(R)} \rput(4,3){$\vect{\imath}$} \rput(4.5,5){$\vect{k}$} \rput(5.5,3){$\vect{\jmath}$} \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabelcolor=white] \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip On a tracé dans un repère orthonormal \Oij{} la courbe représentative ($\mathcal{C}$) de la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~4] par : \[f(x) = x - \dfrac{1}{2} - \ln x.\] \emph{Dans tout le problème, on donnera les résultats arrondis à} $10^{-3}$. \vspace{0,5cm} $\star$ \textbf{A. - Étude théorique liée à la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~4]. \item Étudier la limite de $f$ en $0$. \item Donner le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Soit (Z) la partie du plan délimitée par la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équations : $y = \dfrac{1}{2},~x = 1$ et $x = 3$. \begin{enumerate} \item Justifier que l'on a $f(x) \geqslant \dfrac{1}{2}$ sur ] 0~;~4 ] et exprimer à l'aide d'une intégrale (que l'on n'essaiera pas de calculer dans cette question) l'aire $\mathcal{A}_{z}$, en unités d'aire, de la partie (Z) du plan. \item Soit $g$ la fonction définie sur ]0~;~4] par $g(x) = x \ln x - x$. Calculer $g'(x)$. \item En déduire la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}_{z}$, en unités d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} $\star$ \textbf{B. - Probabilité et jeu} \medskip Au cours de l'élaboration d'une phase d'un jeu vidéo inspiré du golf, on cherche à évaluer la probabilité de gagner. L'écran est le carré AOFB. Les sommets du carré ont pour coordonnées : \centerline{A(0~;~4)\quad O(0~;~0)\quad F(4~;~0)\quad B(4~;~4).} La courbe ($\mathcal{C}$) partage l'écran en deux parties : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item la partie de l'écran située strictement au-dessus de la courbe représente une mare et elle est notée (M) ; \item la partie de l'écran située au-dessous de la courbe représente le terrain de jeu et elle est notée (T). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} La partie (Z) définie au paragraphe \textbf{A} est donc incluse dans (T). \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, le jeu consiste à simuler le lancer d'une balle. On admet que la probabilité d'atteindre une partie de l'écran est donnée par : \[\dfrac{\text{Aire de la partie de l'écran considérée}}{\text{Aire du carré AOFB}}\] Cette probabilité est indépendante de l'unité graphique choisie. Déterminer, par le calcul, la probabilité que la balle atteigne la zone (Z). \item Dans cette question, le jeu consiste à simuler trois lancers successifs et indépendants ; on admet que, pour chaque lancer, la probabilité d'atteindre (Z) est de $0,044$. On gagne lorsque deux au moins des trois balles lancées ont atteint la partie (Z). Calculer la probabilité de gagner. On pourra s'aider d'un arbre et on fera figurer le détail des calculs sur la copie. \vspace{1cm} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(4,4) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \rput(0.5,-0.3){$\vect{\imath}$} \rput(-0.3,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[ul](0,4){A} \uput[ur](4,4){B} \uput[r](4,0){F} \rput(1.5,2.5){(M)} \rput(3.5,1.5){\red ($\mathcal{C}$)} \rput(2.5,0.8){Z} \rput(3.5,0.2){(T)} \uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline(1,0.5)(3,0.5) \psline(3,0.5)(3,1.401) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.0112}{4}{x 0.5 sub x ln sub} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 1999 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small La Réunion} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Une entreprise est équipée d'ordinateurs de trois modèles différents. 30\,\% sont de marque (M$_1$), 50\,\% sont de marque (M$_2$) et 20\,\% de marque (M$_3$). On choisit un appareil au hasard. Tous les choix sont équiprobables. Pour $i$ égal à 1, 2 ou 3, on appelle $M_i$ l'évènement : \og l'appareil choisi est de marque (M$_i$) \fg{}. On note $p(M_i)$ la probabilité de l'évènement $M_i$. On a donc $p(M_{1}) = 0,3$ ; $p(M_{2}) = 0,5$ et $p(M_{3}) = 0,2$. On note $T$ l'évènement : \og l'appareil choisi tombe en panne \fg{} et $p(T)$ la probabilité de cet évènement. On suppose que si un appareil tombe en panne, il est réparé et qu'il fonctionne alors correctement. La probabilité $p_1(T)$ qu'un appareil de marque (M$_1$) tombe en panne est $\dfrac{1}{30}$. La probabilité $p_2(T)$ qu'un appareil de marque (M$_2$) tombe en panne est $\dfrac{1}{20}$. La probabilité $p_3(T)$ qu'un appareil de marque (M$_3$) tombe en panne est $\dfrac{1}{40}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire toutes les données sur un arbre pondéré. \item Calculer la probabilité que l'appareil choisi soit de marque (M$_2$) et qu'il tombe en panne. \item Vérifier que la probabilité qu'un ordinateur tombe en panne est égale à $0,04$. \item Quelle est la probabilité que l'appareil soit de marque (M$_2$) sachant qu'il est tombé en panne ? \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, on donnera le résultat à} 0,1 \emph{près}. Un service de l'entreprise possède quatre ordinateurs. On suppose que les pannes éventuelles de ces ordinateurs sont indépendantes deux à deux. Quelle est la probabilité qu'aucun des quatre ordinateurs ne tombe en panne ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(obligatoire)} \medskip Dans cet exercice aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n'est demandé. Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale (en m$^3$) utilisée par son exploitation depuis le premier jour et donne le résultat suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *5{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Nombre de jours écoulés :} $x_i$ & 1 & 3 & 5 & 8 & 10\\ \hline \textbf{Volume utilisé (en m}$^3): y_i$ & 2,25 & 4,3 & 8 & 17,5 & 27\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le plan est muni d'un repère orthogonal. On prendra pour unité graphique sur l'axe des abscisses 1~cm pour un jour et sur l'axe des ordonnées 0,5~cm pour un mètre-cube. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter alors la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$. \item \begin{enumerate} \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ en arrondissant le résultat lu sur la calculatrice à $10^{-3}$ près. \item Donner l'équation de $\Delta$ droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = \alpha x + \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les arrondis à $10^{-2}$ près des valeurs lues sur la calculatrice. \item Représenter la droite $\Delta$ sur le graphique. \end{enumerate} \item Le nuage de points permet d'envisager un ajustement par la parabole $\mathcal{P}$ qui passe par les points A(1 ; 2,25) ; B(10 ; 27) et qui a pour équation $y = ax^2 + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. \begin{enumerate} \item Déterminer $a$ et $b$ et donner l'équation de la parabole $\mathcal{P}$. \item Représenter la parabole $\mathcal{P}$ sur le graphique. \end{enumerate} \item Dans cette question on compare les deux ajustements à l'aide du tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}|m{2,5cm}}\cline{1-6} $x_i$ &1 &3 &5 &8 &10 & \\\cline{1-6} $y_i$ &2,25 &4,3 &8 &17,5 &27 & \\ \hline $\left|y_i - \alpha x^2_i + \beta \right|$ &2,54 &0,91 &2,71 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} & &\multicolumn{1}{c|}{Total $T_1$ : }\\ \hline $\left|y_i - a x^2_i + b \right|$ &0 &0,05 &0,25 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} & &\multicolumn{1}{c|}{Total $T_2$ : }\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On ne demande pas de recopier ce tableau. Les deux totaux calculés évaluent pour chaque ajustement la somme des écarts entre les ordonnées des points du nuage et les ordonnées des points de même abscisse de l'ajustement. Donner les arrondis à $10^{-1}$ près des deux totaux $T_1 $ et $T_2$ calculés ci-dessus. (Aucun détail n'est demandé.) En déduire l'ajustement qui parait le mieux adapté. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(spécialité)} \medskip Dans cet exercice aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n'est demandé. Dans une région de \np{1000}~km$^2$, la superficie des terrains urbanisés entre 1970 et 1998 est donnée par le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Années} &1970&1974&1978&1982&1986&1990&1994&1998\\ \hline \textbf{Rang :} $x_i$ & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 &28 \\ \hline \textbf{Superficie (en km}$^2$) : $y_i$ & 80 & 94 & 110 & 129 & 152 & 178 & 205 & 236\\ \hline Y$_i$ & 4,38 & 4,54 & 4,70 &4,86 & 5,02 &5,18 & 5,32 & 5,46\\ \hline \end{tabularx} \medskip Le nuage de points associé à la série statistique $(x_i~;~ y_i)$ est représenté ci-dessous. \bigskip \psset{unit=1cm}\begin{center} \begin{pspicture}(9,9) \psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(9,9) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(9,9) \rput(-0.8,0.5){80} \rput(-0.8,1.5){100} \rput(-0.8,2.5){120} \rput(-0.8,4){150} \rput(-0.8,6.5){200} \rput(-0.8,9){250} \rput(1,-0.5){4} \rput(2,-0.5){8} \rput(3,-0.5){12} \rput(4,-0.5){16} \rput(5,-0.5){20} \rput(6,-0.5){24} \rput(7,-0.5){28} \rput(8,-0.5){Années} \psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](0,0.5)(1,1.2)(2,2)(3,2.45)(4,4.1)(5,5.4)(6,6.75)(7,8.3) \rput(4.4,4){A} \rput(7.4,8.3){B} \rput(0.6,9.2){Superficie} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textsl{Les estimations de superficie demandées dans l'exercice seront données en} km$^2$ \textsl{et arrondies à l'unité}. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner l'arrondi $r$ à $10^{-2}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série $(x_i~;~ y_i)$. \item Donner l'estimation E$_1$ obtenue par la méthode des moindres carrés de la superficie des terrains urbanisés en 2010. \end{enumerate} \item Au vu de la forme du nuage, on effectue un autre ajustement. On calcule $\ln y_i$. On appelle $Y_i$ l'arrondi à $10^{-2}$ près de $\ln y_i$. Les valeurs $Y_i$ sont données dans le tableau considéré. \begin{enumerate} \item Donner l'arrondi $r'$ à $10^{-4}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~Y_i\right)$. \item On prendra $Y = 0,039x + 4,39$ pour équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Calculer la valeur $y$ estimée pour l'année 2010. En déduire une estimation E$_2$ de la superficie des terrains urbanisés en 2010. \end{enumerate} \item On fait un troisième ajustement du nuage de points en utilisant la droite $\mathcal{D}$ passant par les points A(16~;~152) et B(28~;~236). \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite $\mathcal{D}$. \item En déduire l'estimation E$_3$ faite avec cet ajustement, de la superficie des terrains urbanisés en 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = 1 + (- x + 2)\text{e}^{-x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ ou $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$ et étudier son signe selon les valeurs de $x$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$. Préciser $g(3)$. On ne demande pas les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x + (x - 1)\text{e}^{- x}.\] \medskip On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal. On prendra 2~cm pour une unité graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$, on a : $f'(x) = g(x),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$. \item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $f(x) = x + \dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}$. En déduire la limite de $f$ en +$\infty$. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. \item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$. On précisera les coordonnées de leur point d'intersection A. \end{enumerate} \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la droite $\Delta$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[F(x) = x + (ax + b)\text{e}^{-x}\] soit une primitive de $f$. \item Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. En donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%% Liban juin 1999 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban juin 1999~\decofourright}}\normalsize{} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill } \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Tous les jours, Obélix part en promenade en quête soit de casques romains pour sa collection, soit de sangliers qu'il ne trouve que dans la forêt. Il ne rentre au village que lorsqu'il a atteint l'un ou l'autre de ses objectifs. Durant sa promenade, soit il rencontre des Romains à la sortie du village avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$, soit il entre dans la forêt. Une fois dans la forêt, la probabilité de rencontrer des Romains est égaie à~$\dfrac{1}{5}$, celle de rencontrer des sangliers est égale à~$\dfrac{4}{5}$. Pour faciliter la résolution de cet exercice, on pourra représenter les données précédentes sur un arbre. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'Obélix \og récolte \fg{} des casques dans la forêt. \item Calculer la probabilité qu'Obélix \og récolte \fg{} des sangliers. \end{enumerate} \item Le druide Panoramix voit Obélix entrer dans le village les bras chargés de casques romains. Quelle est la probabilité qu'Obéiix ait atteint la forêt ? \item Panoramix observe le manège d'Obélix pendant 3 jours. Quelle est la probabilité qu'Obélix revienne de ses promenades au moins une fois avec des sangliers ? (On donnera une valeur décimale approchée par défaut à $10^{-3}$ près de cette probabilité.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill } \medskip Jean et Pierre sont deux jumeaux : Jean, qui est fumeur, dépense \np{3000}~F par an pour l'achat de ses cigarettes. Pierre, qui ne fume pas, lui demande d'imaginer les économies qu'il réaliserait s'il plaçait cette somme plutôt que de continuer à fumer. Il lui propose de déposer tous les ans, le 2 janvier, cette somme de \np{3000}~F sur un compte rémunéré à intérêts composés par la banque, au taux annuel de 3\,\%. La banque ajoute chaque année, le 31 décembre, les intérêts acquis sur le compte. Le 2 janvier 1999, il verse \np{3000}~F et les intérêts acquis sont capitalisés le 31 décembre 1999. Tous les ans, le 2 janvier, il verse à nouveau \np{3000}~F. \begin{enumerate} \item Quelle est la somme disponible sur le livret aux dates suivantes : \begin{enumerate} \item Le 3 janvier 2000 ? \item Le 3 janvier 2001 ? \end{enumerate} \item On note $u_{0}$ la somme disponible sur le livret le 3 janvier 1999, $u_{1}$ la somme disponible sur le livret le 3 janvier 2000, $u_{2}$ la somme disponible sur le livret le 3 janvier 2001, $u_{n}$ la somme disponible sur le livret le 3 janvier de l'année $1999 + n$, où $n$ désigne un entier naturel. Montrer qu'on a la relation $u_{n+1} = 1,03 u_{n} + \np{3000}$. \item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} + \np{100000}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis celle de $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Pierre affirme qu'en moyenne, un fumeur s'arrête après avoir fumé pendant trente ans. De quelle somme Jean aurait-il pu disposer le 3 janvier 2029 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill } Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$, par \[f(x) = x\left(\text{e}^{-x} + 1 \right).\] On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan. (Unité graphique : 2~cm.) \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit la fonction $g$ définie, pour tout réel $x$, par \[g(x) = \text{e}^{-x}(1 - x) + 1.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $g$ puis dresser son tableau de variations (on ne demande pas de limites). \item En déduire le signe de $g(x)$ pour tout $x$ réel. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$. Déterminer, en les justitiant, les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $ - \infty$. \item Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $y = x$. Démontrer que $(\mathcal{D})$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$. Étudier les positions de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D})$. \item Si $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$. À l'aide de la question A 2., déterminer les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations. \item Déterminer une équation de la tangente $(\text{T}_{0})$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. \item Déterminer par le calcul les coordonnées du point de $(\mathcal{C})$ où la tangente $(\text{T}_{1})$ est parallèle à l'asymptote $(\mathcal{D})$. \item Tracer $(\mathcal{D}), (\text{T}_{0}), (\text{T}_{1})$ et $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Liban juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 1999 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~6]. Sa courbe représentative ($\mathcal{C}$) dans un repère orthogonal est donnée ci-contre. La courbe ($\mathcal{C}$) passe par les points A(1~;~0), B(2~;~1), D(4~;~4) et E(6~;~1). Les tangentes à la courbe aux points A et D sont parallèles à l'axe des abscisses. La tangente à la courbe au point E passe par le point F(5~;~5). \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(6,5) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(6,5) \rput(0.8,0.2){A} \rput(1.8,1.2){B} \rput(2.5,2.7){\blue $\mathcal{C}$} \rput(4.2,4.2){D} \rput(6.2,0.9){E} \rput(4.7,4.7){F} \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](4,4)(4.5,3.92)(5,3.74)(5.5,2.5)(6,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 2.5 mul 25 x mul 6 div sub 2 add x 3 exp 3 div sub} \psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](4,4)(5.5,4)(5.5,3)(6,1) \psline[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(3.5,4)(4.5,4) \psline(6,1)(5,5) \psline[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(6,1)(5,5) \psline{<->}(0,0)(2,0) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie I} \medskip Par lecture graphique, résoudre l'équation $f(x) = 0$ et donner le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [ 1 ; 6]. \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle ] 1 ; 6 ] par $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ et ($\Gamma$) sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g(2),~ g(4)$ et $g(6)$. \item Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers 1. Que peut-on en déduire pour la courbe ($\Gamma$) ? \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle ] 1 ; 6 ] en donnant les justifications nécessaires. \item Déterminer $f'(4)$ ; en déduire $g'(4)$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe ($\Gamma$) ainsi que son asymptote et la tangente au point d'abscisse 4. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le tableau suivant donne pour les années indiquées, le nombre de demandes d'emploi en fin d'année dans une région. \begin{center} \begin{tabular}{|l |r @{\:}l |r@{\:} l|}\hline & \multicolumn{2}{|c |}{1996} & \multicolumn{2}{| c |}{1997}\\ \hline Total & ~~~85 &079~~~ & ~~~85 & 240~~~\\ \hline Moins de 25 ans &22 &238 & 20&276\\ De 25 ans à 39 ans & 54 & 719 & 55 & 994\\ 50 ans et plus& 8 & 122 & 8 & 970\\ \hline Hommes & 39 & 998 & 39 & 766\\ Moins de 25 ans & 10 & 176 & 9 & 170\\ De 25 ans à 39 ans& 25 & 528 & 25 & 853\\ 50 ans et plus& 4 &284 & 4 & 743\\ \hline Femmes & 45 & 091 & 45 & 474\\ Moins de 25 ans & 12 & 062 & 11 & 106\\ De 25 ans à 39 ans & 29 & 191 & 30& 141\\ 50 ans et plus & 3 & 838 & 4 & 227\\ \hline \end{tabular}\\ \tiny{Source: ANPE-INSEE Poitou-Charentes.}\normalsize{}\\ \end{center} \emph{Les résultats des calculs seront donnés sous forme approchée à $10^{- 2}$ près par défaut.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage d'évolution du total des demandes d'emploi entre 1996 et 1997. \item Le nombre de demandes d'emploi est en baisse pour une tranche d'âge seulement. Calculer le pourcentage d'évolution des demandes d'emploi des hommes pour cette tranche d'âge. \end{enumerate} \item En 1996, une entreprise est subventionnée pour employer une personne de moins de 25 ans. Elle choisit une personne au hasard parmi les demandeurs d'emploi concernés. Tous les choix sont équiprobables. Quelle est la probabilité que la personne embauchée soit une femme ? \item L'entreprise désire créer un emploi en 1998 et choisit au hasard une personne dans les demandeurs d'emploi de 1997. Tous les choix sont équiprobables. Calculer la probabilité $p$ que la personne embauchée soit un homme.\\ Vérifier que 0,46 est une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $p$. \item Dans cette question, on prendra $p$ égal à $0,46$. L'entreprise choisit trois demandeurs d'emploi de 1997. Les choix sont indépendants et on assimilera ce choix à un tirage avec remise. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'elle choisisse trois hommes ?\\ \item Quelle est la probabilité qu'elle choisisse un homme et un seul On pourra utiliser un arbre pondéré. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour financer ses études, une étudiante fait du démarchage par téléphone pour vendre un produit qui lui rapporte 20 francs. Elle ne peut vendre qu'un produit par appel. Lorsqu'elle compose un numéro de téléphone, trois possibilités se présentent : $\bullet$~ l'évènement $A$ \og Personne ne répond \fg{} de probabilité $p(A)$ égale à 0,3~; $\bullet$~ l'évènement $B$ \og Le répondeur téléphonique diffuse un message \fg{} avec une probabilité $p(B)$ égale à 0,1~ ; $\bullet$~l'évènement $C$ \og Un correspondant répond \fg{} de probabilité $p(C)$ égale à 0,6. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité que l'étudiante vende son produit sachant qu'un correspondant répond à son appel est égale à $0,4$. Les probabilités qu'elle vende son produit dans les autres cas sont nulles. Vérifier que la probabilité que l'étudiante réalise une vente lors d'un appel téléphonique fait au hasard est égale à $0,24$. \item Lorsque personne ne répond à son appel téléphonique, l'étudiante débourse 0 franc. Lorsqu'un répondeur téléphonique diffuse un message, l'étudiante débourse 1 franc. Lorsqu'un correspondant répond, l'appel coûte 1 franc et dans ce cas $\rhd~$ si l'étudiante vend son produit, qui lui rapporte 20 francs, elle aura donc fait un gain de $+ 19$ francs, $\rhd~$ si elle ne vend pas son produit, elle aura perdu 1 franc. On considère la variable aléatoire $X$ correspondant au gain algébrique possible lors d'un appel téléphonique de l'étudiante. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que le gain algébrique soit égal à $-1$ est 0,46. \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \item On suppose que l'étudiante compose successivement de manière indépendante cinq numéros de téléphone au hasard. Déterminer la probabilité qu'elle réalise exactement trois ventes. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On prendra pour unité graphique 2 cm. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par \[f(x) = (-~x + 4)\text{e}^{x- 1}~ \text{et}~ g(x) = \ln\left(\dfrac{x + 6} {2x + 2}\right).\] Dans le repère choisi, on appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ et $(\Gamma)$ la courbe représentative de $g$. \vspace{0,5cm} \textbf{\gray Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item Vérifier que la fonction dérivée de $f$ est définie pour tout $x$ positif par $f'(x) = (- x + 3)\text{e}^{x - 1}$ .\\ \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation. On précisera $f(0),~ f'(0),~f(3),~ f'(3).$ \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par $F(x) = (ax+ b)\text{e}^{x- 1}$ soit une primitive de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\gray Partie B} \medskip On considère la fonction $u$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[u(x) = \dfrac{x + 6}{2x + 2}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ positif, $u(x)$ est strictement positif. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $u(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item étudier le sens de variation de $u$.\\ Dresser le tableau de variations de $u$ et retrouver le résultat de la question \textbf{1.} de la partie \textbf{B}. \end{enumerate} \item En utilisant les résultats précédents, déterminer le sens de variation de la fonction $g$ et démontrer que la courbe $(\Gamma)$ admet une asymptote $(D)$ au voisinage de $+~\infty$ dont on donnera une équation. \item Tracer la courbe $(\Gamma)$ et la droite $(D)$ sur le même graphique que celui de la partie \textbf{A}. \item Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[G(x) = (x+ 6)\ln(x + 6) - (x + 1)\ln(2x + 2).\] Démontrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre, à l'aide des représentations graphiques faites, l'inéquation $g(x) \leqslant f(x) .$ \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ du domaine du plan constitué des points $M(x~;~ y)$ tels que : \[2 \leqslant x \leqslant 3~ \text{et}~ g(x) \leqslant y \leqslant f(x).\] Donner l'arrondi de $\mathcal{A}$ à l'unité près. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 1999 \hypertarget{Antillessept}{} \label{Antillessept} \lfoot{\small Antilles -- Guyane} \rfoot{\small{septembre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 1999 ~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Effectuer les calculs à l'aide de la calculatrice. Aucun détail n'est demandé. Le tableau suivant donne le PNB ainsi que le nombre d'hôpitaux pour 1 million d'habitants dans quelques pays européens. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}| *8{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Pays& A &B& C& D& E& F & G & H\\ \hline PNB, $x$, en euro par habitant & \np{5100} &\np{7800} & \np{11200} & \np{15800} & \np{20100} & \np{26230} & \np{28910} & \np{31910}\\ \hline Nombre $y$ d'hôpitaux par million d'habitants & 620 & \np{1080} & \np{1550}& \np{2100} & \np{3000} & \np{3800} & \np{4200} & \np{4400}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série $(x~;~y)$. Unités : en abscisse : 1~cm pour \np{1000}euros, en ordonnée : 1~cm pour 200~hôpitaux. On prendra pour origine le point M$_0(\np{5000}~;~600)$. On appelle G le point moyen de ce nuage. \medskip \item \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ (donner la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près). On admet qu'un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est justifié. \item Donner une équation de la droite D de régression de $y$ en $x$. \item Tracer D dans le repère précédent (question \textbf{1.}). \item Calculer les coordonnées de G et vérifier graphiquement que G appartient à D. \end{enumerate} \item Un pays a un PNB de \np{23400}~euros. Quelle estimation peut-on faire du nombre d'hôpitaux dans ce pays ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{(obligatoire)} \medskip Un lycée propose trois options facultatives : arts plastiques, histoire des arts, musique. Un élève ne peut choisir qu'une seule de ces trois options. Le groupe des élèves ayant fait l'un de ces choix à la rentrée 1997 se décompose de la façon suivante : 35\,\% en arts plastiques, 45\,\% en histoire des arts, 20 \% en musique. À la rentrée 1998, 60\,\% des élèves en arts plastiques, 70\,\% en histoire des arts, 80\,\% en musique, conservent leur option. Des animateurs, ne connaissant pas les élèves, organisent une réunion du groupe des élèves inscrits en 1997 dans une des options. On note ainsi les évènements suivants : \begin{description} \item[ ] $A$ \og L'élève est inscrit en arts plastiques à la rentrée 1997 \fg. \item[ ] $H$ \og L'élève est inscrit en histoire des arts à la rentrée 1997 \fg. \item[ ] $M$ \og L'élève est inscrit en musique à la rentrée 1997 \fg. \item[ ] $C$ \og L'élève a conservé son option à la rentrée 1998 \fg. \end{description} \medskip \begin{enumerate} \item Décrire la situation à l'aide d'un arbre de répartition. \item On admet que l'animateur choisit au hasard un élève. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement \og il était inscrit en arts plastiques en 1997 et a conservé cet enseignement en 1998 \fg. \item Montrer que la probabilité de l'évènement C est égale à \np{0,6135}. \end{enumerate} \item Un des animateurs souhaite connaître les motivations des élèves qui n'ont pas conservé leur option en 1998. Il demande à ces élèves de lever la main et il en appelle un au hasard. Calculer la probabilité de l'évènement \og cet élève était inscrit en histoire de arts en 1997 \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{(spécialité)} \medskip Les questions I et II sont indépendantes. \vspace{0,5cm} \textbf{I.} 25 élèves d'une classe de seconde sont admis en première. Ils se répartissent de la façon suivante : \begin{description} \item[ ]10 en série L ; \item[ ]9 en série ES ; \item[ ]6 en série S. \end{description} On choisit au hasard trois élèves de cette classe de seconde qui sont admis en classe de première. Calculer la probabilité de l'évènement : \og Les trois élèves sont admis en série ES \fg{}. \bigskip \textbf{II.} Dans l'établissement, sur 300 élèves de seconde admis en première, on a la répartition suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item 75 élèves en série L ; \item 120 élèves en série ES ; \item 105 élèves en série S. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Parmi les élèves admis en série L, 60\,\% sont des filles. De même, 55\,\% des admis en série ES et 40\,\% des admis en série S sont des filles. On choisit au hasard un élève admis en classe de première. On note ainsi les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $L$ : \og L'élève est admis en série L \fg{} ; \item[] $E$ : \og L'élève est admis en série ES \fg{} ; \item[] $S$ : \og Un élève est admis en série S \fg{} ; \item[] $F$ : \og L'élève est une fille \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement suivant : \og L'élève est une fille admise en série ES \fg{} ? \item Calculer la probabilité de l'évènement $F$. \end{enumerate} \item On prend au hasard le dossier d'un des élèves admis en première. Après utilisation, on le remet avec les autres. On effectue, au total, cinq fois cette opération. Calculer la probabilité de l'évènement : \og Trois dossiers exactement sont des dossiers de filles \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \medskip \emph{L'objet de ce problème est l'étude d'une fonction.} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur I = $]-\infty~;~ + 1[$ par : \[f(x) = \dfrac{\ln (1 - x)}{1 - x} + x + 1.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 2~cm. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur I par \[g(x) = x^2 - 2x + \ln (1 - x).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Étudier la variation de $g$ sur I (on ne demande pas le calcul des limites). \item Calculer $g(0)$. Étudier le signe de $g(x)$ sur $]-\infty~;+ 1[$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. On admettra le résultat suivant : la limite de $\dfrac{\ln(1 - x)}{1 - x}$ quand $x$ tend vers $- \infty$ vaut zéro. \item Calculer la limite de $f$ en + 1 et interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \item On admet que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ vérifie l'égalité ci-dessous : \[f'(x) = \dfrac{g(x)}{(1 - x)^2}.\] En déduire les variations de $f$. Dresser le tableau des variations de $f$ sur I. \item Soit la droite D d'équation $y = x + 1$. \begin{enumerate} \item Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à D suivant les valeurs de $x$. \item Montrer que D est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $-\infty$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ avec ses asymptotes dans le repère orthonormal défini dans l'introduction. (Unité graphique : 2~cm.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C - Calcul d'une aire} \medskip Soit la fonction $H$ définie sur I par \[H(x) = - \dfrac{1}{2}\left[\ln (1 - x)\right]^2.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur I par \[h(x) = \dfrac{\ln (1 - x)}{1 - x}\] \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur exacte en unité d'aire, de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D et les droites d'équations $x = -1$ et $x = 0$. \item Donner une valeur approchée de cette aire en cm$^2$ à $10^{-2}$ près par défaut. \item Sur le graphique construit en \textbf{Partie B. 4.}, hachurer le domaine correspondant. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 1999 \hypertarget{Metropolesept}{} \label{Metropolesept} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small{septembre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1999~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Le lycée IXE a décidé d'organiser un voyage en Australie pour assister aux Jeux olympiques de l'an 2000 qui se dérouleront à Sydney. Pour réduire le coût, élèves et adultes cherchent à organiser des activités qui rapportent de l'argent. Le Club Poésie décide d'éditer et de vendre un recueil de textes écrits par les élèves. Pour cela il commence par réaliser une \og étude de marché \fg{} auprès de la population du lycée, afin de savoir à quel prix vendre ce recueil pour avoir la plus importante rentrée d'argent. Les résultats de cette étude figurent dans le tableau ci-dessous. $x_{i}$ est le prix de vente en francs d'un recueil. $y_{i}$ est le nombre de personnes prêtes à acheter le recueil au prix $x_{i}$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 \\ \hline $y_{i}$ & \np{1200} & 900 & 800 & 550 & 500 & 350 & 300 & 100\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{Tous les calculs statistiques seront faits à la calculatrice.} \medskip \begin{enumerate} \item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra pour origine le point de coordonnées (10~;~0), 2~cm pour 5~francs en abscisse et 1~cm pour 100~personnes en ordonnée. \item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire (donner une valeur arrondie à $10^{-3}$. Pourquoi un ajustement linéaire est-il justifié ? \item Donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode de moindres carrés. Le coefficient directeur sera arrondi à $10^{-2}$ près et l'ordonnée à l'origine à l'unité près. \item \begin{enumerate} \item Calculer alors, en fonction du prix de vente $x$, la somme que peut encaisser le Club Poésie si la réalité est conforme à la prévision. On nomme S$(x)$ cette somme. \item Étudier les variations de cette fonction S et en déduire le prix $x_{0}$ pour lequel cette somme atteint son maximum ($x_{0}$ sera arrondi au franc le plus proche). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour recueillir des fonds pour un voyage en Australie en l'an 2000, le lycée organise une fête. Le Club Maths décide de monter un stand de loterie. Le \og futur gagnant \fg{} tire au hasard une boule dans une ume contenant 15 boules bleues et 10 boules rouges. S'il tire une boule bleue, il lance la roue bleue, S'il tire une boule rouge, il lance la roue rouge. Chaque roue est partagée en 8 secteurs de même dimension. Quand la roue est lancée, elle s'arrête de façon aléatoire et la flèche ne peut indiquer qu'un seul secteur. Tous les secteurs ont donc la même chance de \og sortir \fg{}. \begin{center} \begin{pspicture}(10,5.5) \rput(1.5,5){\textbf{Roue bleue}} \rput(7.5,5){\textbf{Roue rouge}} \psline[linewidth=.1]{->}(3,4.5)(2.7,3.8) \psline[linewidth=.1]{->}(9,4.5)(8.7,3.8) \pscircle(2,2){2} \pscircle(8,2){2} \psline(0,2)(4,2) \psline(2,0)(2,4) \psline(0.6,0.6)(3.4,3.4) \psline(0.6,3.4)(3.4,0.6) \rput(2.7,3.4){Perdu} \rput(3.2,2.5){20F} \rput(3.2,1.5){Perdu}\rput(2.5,0.5){10 F} \rput(1.4,0.5){Perdu} \rput(0.7,1.5){10 F} \rput(0.7,2.5){Perdu}\rput(1.3,3.4){50 F} \psline(6,2)(10,2) \psline(8,0)(8,4) \psline(6.6,0.6)(9.4,3.4) \psline(6.6,3.4)(9.4,0.6) \rput(8.7,3.4){Perdu} \rput(9.2,2.5){10F} \rput(9.2,1.5){Perdu}\rput(8.5,0.5){10 F} \rput(7.4,0.5){Perdu} \rput(6.7,1.5){Perdu} \rput(6.7,2.5){Perdu}\rput(7.3,3.4){25 F} \end{pspicture} \end{center} On note $B$ l'évènement \og Tirer une boule bleue \fg, $R$ l'évènement \og Tirer une boule rouge \fg{} et $G$ l'évènement \og Gagner \fg. \emph{On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $B$, puis celle de l'évènement $R$. \item On a tiré une boule bleue : quelle est la probabilité de gagner ? \item En déduire la probabilité de l'évènement $G \cap B$. \end{enumerate} \item Calculer alors la probabilité de gagner à ce stand. \item Vérifier que la probabilité de gagner 50~F est $\dfrac{3} {40}$. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain (éventuellement nul) du joueur. Recopier le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ et calculer les résultats manquants. \[\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline gain $x_{i}$ &0 &10 &20 &25 &50\\ \hline \rule[-4mm]{0mm}{10mm}$p(X = x_{i})$ &$\dfrac{11}{20}$ & &$\dfrac{3}{40}$& & $\dfrac{3}{40}$\\ \hline \end{tabularx}\] \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. On peut compter sur 150~participants à ce stand pendant la fête, et on voudrait faire un bénéfice d'au moins \np{1000}~francs. Quelle participation minimale, arrondie au franc supérieur, de chaque joueur faut-il alors envisager ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 }\hfill 5 points} \textbf{(spécialité)} \medskip Le club de football du lycée décide d'organiser un match entre élèves et professeurs pour récolter des fonds pour partir en Australie en l'an 2000. Les joueurs s'entraînent, d'autant plus qu'une rencontre amicale sera organisée à Sydney contre une équipe de lycéens australiens. Pour s'entraîner aux tirs au buts, l'entraîneur dispose 5~ballons face aux buts, et chaque joueur tire ces 5~ballons. Une étude statistique a montré que sur une série de 5 ballons, un joueur pris au hasard marque : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 5 buts avec une probabilité de 0,2 ; \item 4 buts avec une probabilité de 0,5 ; \item 3 buts avec une probabilité de 0,3. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Chaque joueur, à chaque entraînement, tire 2 séries de 5 ballons. On admet que les résultats d'un joueur à chacune des 2 séries sont indépendants. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un un joueur au cours d'un entraînement. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs aux buts lors d'un entraînement. \item Préciser les valeurs possibles de $X$ et établir sa loi de probabilité (on pourra s'aider d'un arbre). Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de $X$ arrondi avec deux chiffres après la virgule. \end{enumerate} \item Un entraîneur considère que le joueur a réussi l'épreuve des tirs aux buts lorsque $X \geqslant 8$. Montrer que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entraînement est égale à $0,61$. \item Chaque joueur participe à 10~séances d'entrainement. On admet que les épreuves de tirs aux buts sont indépendantes les unes des autres. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un joueur à l'épreuve des tirs aux buts au cours de ces 10~entraînements. Les résultats seront donnés par défaut, avec trois chiffres après la virgule. Calculer pour un joueur : \begin{enumerate} \item la probabilité de n'avoir aucun échec lors des 10 séances ; \item la probabilité d'avoir exactement 6 succès ; \item la probabilité d'avoir au moins 1 succès. \end{enumerate} \item Calculer le nombre minimum d'entraînements auxquels doit participer un joueur pour que la probabilité d'avoir au moins un succès soit supérieure à $0,99$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} \textsl{Nota : les parties} \textbf{B} \textsl{et} \textbf{C} \textsl{sont indépendantes.} \medskip À la rentrée scolaire, une étude statistique s'intéresse au prix des classeurs. \[f(x) = 4 \ln \left( \dfrac{6}{x}\right) \quad \text{et} \quad g(x) = 4 \ln (x - 1)\] représentent respectivement les quantités demandées et offertes, c'est-à-dire : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item pour $f(x)$ les quantités de classeurs exprimées en milliers que les consommateurs sont prêts à acheter en fonction du prix unitaire $x$ du classeur exprimé en francs ; \item Pour $g(x)$ les quantités de classeurs exprimées en milliers, que les producteurs sont prêts à vendre en fonction du prix unitaire $x$ du classeur exprimé en francs. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l} f(x) \geqslant 0\\ g(x) \geqslant 0 \end{array}\right.$. L'intervalle I solution du système est l'intervalle d'étude du modèle. \item Étudier les variations de $f$ et de $g$ sur I. Tracer les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ de $f$ et de $g$, dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} ; on prendra 2~cm pour 1~franc en abscisse et 2~cm pour \np{1000}~classeurs en ordonnée. \item Déterminer les coordonnées $(x_{0}, y_{0})$ du point A intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. La valeur de $x_{0}$ est appelée prix d'équilibre. \item Quel est le revenu total des producteurs pour le prix d'équilibre ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie par : \[F(x) = 4 \left[x \ln \left(\dfrac{6}{x}\right) + x\right]\] est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Les consommateurs se procurent les quantités offertes à un prix supérieur à celui d'équilibre. La somme totale alors perçue en plus par les producteurs est représentée par l'aire de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = x_{0}$ et la droite d'équation $x = 6$, où $x_{0}$, est l'abscisse du point d'équilibre ; elle traduit le surplus des consommateurs exprimé en francs. Calculer ce surplus. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Le prix $x$ augmente de 1\,\%. Calculer, en fonction de $x$, la variation relative de la demande. \item Donner la valeur de la variation de la demande en pourcentage, arrondie à 0,1\,\%, pour un prix initial de 5 francs qui augmente de 1\,\%. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Métropole sept. 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 1999 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small Polynésie} \rfoot{\small{septembre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise peint des jouets. Pour cela, elle utilise deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$. La machine M$_{1}$ peint un quart de la production. On sait que la machine M$_{1}$ peint correctement un jouet avec une probabilité de 0,85 alors que la machine M$_{2}$, plus récente, le fait avec une probabilité de 0,95. Tous les jouets sont mélangés puis acheminés ensemble vers l'unité d'emballage. On choisit alors un jouet au hasard, tous les choix étant équiprobables. On note : $A_{1}$ l'évènement : \og le jouet est peint par M$_{1}$ \fg{} \hspace{1.7cm}$A_{2}$ l'évènement : \og le jouet est peint par M$_{2}$ \fg{} \hspace{1.7cm}$B$ l'évènement : \og le jouet est peint correctement \fg{}. \medskip \begin{enumerate} \item   \begin{enumerate} \item Représenter par un arbre pondéré la situation décrite. \item Définir par une phrase l'évènement $A_1 \cap B$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $A_1 \cap B$. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$, notée $p$, est égale à $0,925$. \item Le jouet choisi est peint correctement. Quelle est la probabilité pour qu'il ait été peint par la machine M$_{1}$ ? \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, on donnera les résultats arrondis à} $10^{-2}$ \emph{près}. On choisit maintenant au hasard et de fa\c{c}on indépendante 4 jouets. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que les 4 jouets soient peints correctement ? \item Quelle est la probabilité pour qu'un jouet au moins ne soit pas peint correctement ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \medskip On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, croissante sur cet intervalle et telle que sa représentation graphique notée $\mathcal{C}_{f}$ est donnée par le graphique 1 sur la feuille annexe. La feuille annexe est à remettre avec la copie, en mettant en évidence sur les graphiques toutes les constructions utilisées. \medskip \begin{enumerate} \item Les graphiques 2 et 3 donnent les représentations graphiques de la fonction $g = \ln f$ et de la fonction $f'$ dérivée de $f$.\\ Préciser quelle courbe est donnée par chacun des graphiques 2 et 3 avec les justifications nécessaires. \item On sait que $f(x) = \dfrac{1}{2}x+ 2 - h(x)$ où $h$ est une fonction définie et strictement négative sur l'intervalle $]0 ~;~ +\infty[$, telle que la limite de $h$ en $+ \infty$ est égale à 0. Interpréter graphiquement les renseignements donnés sur $h$. \item Quel graphique de l'annexe 1 permet de déterminer l'abscisse $x_{0}$ du point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ où la tangente a pour coefficient directeur 0,6 ?\\ Indiquer parmi les intervalles suivants celui auquel appartient $x_{0}$ : \[ \text{I}_{1} = [0~;~1] \quad ; \quad \text{I}_{2} = [1~;~4]\quad ; \quad \text{I}_{3} = [4~;~7].\] \item On considère l'intégrale $I$ définie par $I = \displaystyle \int_{4}^6 f(x)\,\text{d}x.$ À l'aide de la représentation graphique de $f$ trouver, en expliquant la démarche utilisée, un nombre entier $n$ tel que $n < I < n + 1$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \begin{center} \begin{tabular}{c c c} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(10,8) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10,8) \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{10}{x 2 div 2 add 2.71828 x neg exp sub} \rput(4,9){Graphique 1} \end{pspicture}&~~~~~~& \psset{xunit=0.6cm,yunit=1.75cm} \begin{pspicture}(10,2.55) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1](0,0)(10,2) \multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linecolor=blue](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10,2.2) \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{10}{0.5 2.71828 x neg exp add} \rput(4,2.55){Graphique 2} \end{pspicture}\\ & & \vspace{0,5cm}\\ \psset{xunit=0.6cm,yunit=1.75cm} \begin{pspicture}(10,2.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1](0,0)(10,2) \multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linecolor=blue](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10,2.25) \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{10}{x 2 div 2 add 2.71828 x neg exp sub ln} \rput(4,2.2){Graphique 3} \end{pspicture}&~~~~~~& \\ \end{tabular} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = -(\ln x)^2 + 4\ln x - 3.\] La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est donnée en fin d'énoncé. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item   \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement le résultat. \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. (On pourra mettre $\ln x$ en facteur dans l'expression $f(x)$). \item $f'$ étant la fonction dérivée de $f$, montrer que $f'(x) = \dfrac{4 - 2\ln x}{x}$. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item  \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2 - 4X +3 = 0$ et déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses. \item En déduire par lecture graphique les valeurs de $x$ telles que $f(x) > 0$. \end{enumerate} \item  \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement le nombre $A = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^3} f(x)\,\text{d}x$. \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par $h(x) = - x\left[(\ln x)^2 - 6\ln x + 9\right]$.\\ Déterminer la dérivée $h'$ de $h$ et en déduire une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$. \item En déduire la valeur exacte de $A$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise constate que la vente de sa production dégage un bénéfice moyen par objet (en milliers de francs) égal à : $(\ln x)^2 - 4\ln x + 3$ où $x$ désigne le nombre de milliers d'objets fabriqués. Ce bénéfice moyen par objet n'est pas toujours positif. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le bénéfice total de l'entreprise pour une production de \np{1000} objets puis de \np{3000} objets. Indiquer, dans chaque cas, si l'entreprise fait un bénéfice positif. \item Déduire de la partie A pour quelles quantités d'objets produits l'entreprise fait un bénéfice positif. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-7)(23,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-7)(23,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-7)(23,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1](0,0)(0,0)(23,3) \uput[u](4,0.5){\red $\mathcal{C}$} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.43}{23}{ x ln dup mul neg x ln 4 mul add 3 sub} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie sept. 1999 \newpage %%%%%%%%%%%%% Sportifs de haut-niveau octobre 1999 \hypertarget{Sportifs}{} \label{Sportifs} \lfoot{\small Sportifs de haut--niveau} \rfoot{\small{octobre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Sportifs de haut--niveau octobre 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le repère utilisé est orthonormal : unité 1~cm. La figure ci-dessous est la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 1 - \ln x$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(7,4) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-1,-2)(7,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(7,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) %\psline(-1,0)(7,0) \psline(0,-2)(0,4) \psplot[plotpoints=100,plotstyle=curve,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.05}{7}{1 x ln sub } \rput(1.8,0.8){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture} \end{center} L'une des deux fonctions représentées ci-dessous a pour fonction dérivée la fonction $f$ dont la représentation graphique est $\mathcal{C}_f$. \vspace*{1cm} \begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(8,4) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-1,-2)(8,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(8,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(-1,0)(8,0) \psline(0,-2)(0,4) \psline{<->}(1.718,1.718)(3.718,1.718) \psline[linestyle=dashed](0,2.718)(0.5,2.718) \psline[linestyle=dashed](0,1.718)(1.718,1.718) \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2.718) \psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1.718) \rput(0.5,-0.4){0,5} \rput(2.71,-0.4){e} \rput(-0.8,1.718){e - 1} \rput(-0.4,2.718){e} \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.3,3.2)(0.5,2.718)(1,2.2)(2,1.75)(2.718,1.718)(3,1.7)(4,1.5)(5,1) (6,0)(7,-0.85)(8,-1) \end{pspicture}\\ Figure 1\end{center} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(7,2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-1,-1)(7,2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(7,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linestyle=dashed](0,1.718)(2.718,1.718) \psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1.718) \psline{<->}(1.718,1.718)(3.718,1.718) \rput(2.71,-0.4){e} \rput(-0.8,1.718){e - 1} \psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.3}{7}{2 x mul 1 sub x ln x mul sub} \end{pspicture}\\ Figure 2\end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que la courbe représentée sur la figure 1 ne peut convenir. On note $F$ la fonction dont la courbe représentative est tracée figure 2. Que représente la fonction $F$ pour $f$ ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer par lecture graphique $F$(e) et $F(1)$. \item En déduire l'aire en cm$^2$ de l'ensemble E des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ tels que : $1 \leqslant x \leqslant \text{e}$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$. \end{enumerate} \item Montrer que la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 1 passe par l'origine. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $G$ définie sur $]0~;~+\infty$[ par \[G(x) = -x + \ln x + 2x + k\] où $k$ est un réel, a pour dérivée la fonction $f$. \item Déterminer le réel $k$ pour que la courbe représentative de $G$ soit celle de la figure 2. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{(obligatoire)} \medskip Un enquête faite auprès d'une population comprenant 51\,\% de femmes et 49\,\% d'hommes montre que 20\,\% des femmes et 15\,\% des hommes de cette population ne vont jamais au cinéma. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un individu de cette population. Tous les choix sont équiprobables. On note : $F$ l'évènement : \og l'individu choisi est une femme \fg{} ; $C$ l'évènement : \og l'individu choisi fréquente les salles de cinéma \fg. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $F \cap C$. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à \np{0,1755}. \item Déterminer la probabilité que la personne choisie soit une femme, sachant qu'elle ne va jamais au cinéma. \emph{(Le résultat sera arrondi à} $10^{-4}$ \emph{près.)} \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question les résultats seront arrondis à} $10^{-4}$ \emph{près}. On choisit trois individus au hasard dans cette population. On suppose la population assez nombreuse pour pouvoir considérer que l'on répète alors trois fois de manière indépendante l'expérience \og choisir au hasard un individu dans la population \fg{} dans des conditions identiques. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'aucun des trois individus choisis ne fréquente les salles de cinéma ? \item En déduire la probabilité que l'un au moins des individus choisis fréquente les salles de cinéma. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{(spécialité)} \medskip Dans un lycée de 810 élèves, les effectifs par niveau sont : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item 280 élèves en seconde ; \item 240 élèves en première ; \item 220 élèves en terminale ; \item 70 élèves en BTS. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a décidé d'interroger chaque jour un groupe de 5 élèves choisis au hasard Pour connaître leur opinion concernant les menus à la cantine. \begin{center} \textbf{A - Pour une journée} \end{center} \emph{Dans cette partie on ne demande aucun calcul approché.} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que les 5 élèves interrogés soient des élèves de seconde. \item Calculer la probabilité que, parmi les 5 élèves interrogés, un, exactement, soit un élève de première. \item Calculer la probabilité $p$ pour qu'au moins un élève de BTS soit interrogé. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{B - On répète l'opération pendant 6 jours de manière indépendante} \end{center} \emph{Dans cette partie les résultats seront arrondis à $10^{- 5}$, près.} Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où au moins un élève de BTS est interrogé. Dans tous les calculs on prendra \np{0,3643} comme valeur de la probabilité qu'au moins un élève de BTS soit interrogé. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que l'évènement : \og au moins un élève de BTS est interrogé \fg{} se produise 4 fois exactement au cours de ces 6 jours. \item Calculer la probabilité pour que, au cours de ces 6 jours, aucun élève de BTS ne soit interrogé. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Dans cette partie, on pourra utiliser les fonctions statistiques de la calculatrice. Le détail des calculs n'est pas exigé. Une étude statistique portant sur la répartition des revenus d'une population a donné les résultats suivants : $x$ représente un revenu annuel, exprimé en millions de francs, $N$ représente le nombre, exprimé en milliers d'individus, dont le revenu est supérieur ou égal à $x$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{6}{ >{\centering \arraybackslash}X|} }\hline $x_i$ en millions de F &0,35 &0,6 &0,9 &1,5 &2 &3\\ \hline $N_i$ en milliers &4,448 &1,359 &0,557 &0,181 &0,148 &0,039\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Après l'avoir reproduit, compléter le tableau suivant, où $z_i$ est l'arrondi à $10^{-2}$ près de $\ln \left(N_i\right)$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{ |*{7}{ >{\centering \arraybackslash}X|} }\hline $x_i$&0,35 &0,6 &0,9 &1,5 &2 &3\\ \hline $z_i$&1,49 & &$-0,59$ & &$-1,91$ & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~z_i\right)$. \end{enumerate} \item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{- 1}$ près. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~+$\infty$[ par : \[f(x) = \text{e}^{-1,6x + 1,3}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty$[ et déterminer la limite de $f$ en +$ \infty$. \item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal. On prendra 4~cm pour unité graphique. Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 et tracer cette tangente. \item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = -xf'(x)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $g(x) = 1,6x\text{e}^{-1,6x + 1,3}$. \item Montrer que la fonction $G$ définie sur $[0~;~+\infty$[ par \[G(x) = \left(-x - \dfrac{5}{8}\right)\text{e}^{-1,6x + 1,3}\] est une primitive de la fonction $g$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie B} est une bonne modélisation de la situation présentée dans la \textbf{partie A}, c'est-à-dire que : pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, le nombre, en milliers, d'individus de la population dont le revenu annuel est supérieur ou égal à $x$ millions de francs est égal à $f(x)$. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre d'individus dont le revenu est supérieur ou égal à 2 millions de francs. \item Déterminer le nombre d'individus dont le revenu est supérieur ou égal à 2 millions de francs et strictement inférieur à 2,5~millions de francs. \end{enumerate} \item En économie, le nombre R = $\np{1000}\displaystyle\int_p^q g(x)\:\text{d}x$, où $g$ est la fonction définie dans la \textbf{partie B}, représente la somme des revenus annuels des individus dont le revenu annuel, en millions de francs, est compris entre $p$ et $q$. \begin{enumerate} \item Déterminer la somme des revenus annuels des individus dont le revenu annuel est compris entre 2 et 2,5 millions de francs. \item Calculer le revenu annuel moyen d'un individu de ce groupe. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Sportifs haut-niveau oct. 1999 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 1999 \hypertarget{AmeriqueduSud}{} \label{AmeriqueduSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 1999~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip L'étude de l'évolution de la population de deux villes d'une région entre 1978 et 1998 a été réalisée de deux façons différentes. Les populations sont exprimées en milliers d'habitants et n désigne un entier naturel. \medskip \begin{enumerate} \item La 1\up{re} étude a établi que, pour chacune de ces villes, le nombre d'habitants exprimé en milliers pour l'année $(1978 + n)$ est donné par les relations suivantes : \begin{description} \item[ ] ville A : $u_n = \text{e}^{0,1 n}$ \item[ ] ville B : $v_n = 4 \text{e}^{- 0,1 n}$ \end{description} Déterminer l'année au cours de laquelle les villes A et B auront le même nombre d'habitants. \item La 2\up{e} étude a établi que le nombre d'habitants de la ville A a augmenté de $10,5$\,\% par an entre 1978 et 1998. On note $P_0$ la population de la ville A en 1978 et $P_n$ sa population en $(1978 + n)$. On suppose que $P_0 = 1$. \begin{enumerate} \item Exprimer $P_{n + 1}$ en fonction de $P_n$ et montrer que $P_n$ est une suite géométrique de raison $1,105$. \item Exprimer $P_n$ en fonction de $n$. \item En utilisant $u_n$ et $P_n$ obtient-on à $20$ individus près les mêmes résultats pour la population de la ville A en 1980 ? en 1995 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Claude, élève en terminale littéraire, va passer l'épreuve d'enseignement scientifique. Il sait que chacune des trois matières, mathématiques, sciences physiques et sciences de la vie et de la terre, a la même probabilité d'être tirée au sort comme épreuve du bac. Claude a remarqué au cours de l'année qu'il obtenait la moyenne 4 fois sur 5 en mathématiques et 2 fois sur 3 dans chacune des 2 autres matières. Soit : $E$ l'évènement \og Claude obtient la moyenne en enseignement scientifique \fg{}; \hspace{1.cm}$M$ l'évènement \og l'interrogation de l'enseignement scientifique porte sur les mathématiques \fg{} ; \hspace{1.cm}$P$ l'évènement \og l'interrogation de l'enseignement scientifique porte sur les sciences physiques\fg{} ; \hspace{1.cm}$S$ l'évènement \og l'interrogation de l'enseignement scientifique porte sur les sciences de la vie et de la terre \fg. Soit $X$ un évènement, on note $p(X)$ la probabilité qu'il soit réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer avec les notations ci-dessus l'évènement \og Claude obtient la moyenne en enseignement scientifique en étant interrogé en mathématiques \fg. Calculer la probabilité de cet évènement. Le résultat sera donné sous forme de fraction. \item Calculer $p(E \cap P)$ et $p(E \cap S)$, en déduire la probabilité que Claude ait la moyenne en enseignement scientifique. Les résultats seront donnés sous forme de fraction. \item Cinq élèves de sa classe évaluent de la même façon leurs chances d'obtenir ou non la moyenne dans cette épreuve selon la matière tirée au sort. Quelle est la probabilité que les cinq élèves obtiennent la moyenne ? On donnera une valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A - Étude d'une fonction homographique} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{3x - 1}{x - 2}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = a + \dfrac{b}{x-2}$. \item Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'ensemble de définition. \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$, étudier son signe suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Représentation d'une fonction exponentielle} \medskip ln désigne le logarithme népérien. Soit $h$ la fonction définie sur $]\ln 2~;~+ \infty]$ par : \[h(x) = \dfrac{3\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - 2}.\] $\mathcal{C}_h$ est la courbe représentative de $h$ dans un repère orthonormal \Oij. (unité graphique : 1 cm). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $h$ en $\ln 2$. Que peut-on en déduire ? \item Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$ et montrer que la droite d'équation $y = 3$ est asymptote à $\mathcal{C}_h$ en $+ \infty$. Préciser la position de $\mathcal{C}_h$ par rapport à cette droite. \item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$. Calculer $h'(x)$, étudier son signe suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de la fonction $h$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_h$ dans le repère \Oij{} ainsi que ses asymptotes. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item $H$ est la fonction définie par \[H(x) = c \ln \left(\text{e}^x - 2\right) + dx.\] Déterminer les réels $c$ et $d$ tels que $H$ soit une primitive de $h$ sur $]\ln 2~;~+ \infty]$. \item Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}_h$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \ln 3$ et $x = \ln 5$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 1999 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 1999 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small Nouvelle-Calédonie} \rfoot{\small{décembre 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie décembre 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, on considère les points A$(3~;~ 0~;~1)$, B$(0~;~- 1~;~2)$ et C$(1~;~- 1~;~ 0)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n} = \vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \item Soit D le point de coordonnées (1, 1, - 2). Calculer le produit scalaire du vecteur $\vect{\text{DA}}$ et du vecteur $\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par D et dont un vecteur directeur est $\vect{n}$. \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection H de cette droite avec le plan ABC. \item Calculer DH (distance du point D au plan ABC). \end{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point D$'$, symétrique du point D par rapport au plan ABC. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} ; unité graphique : 2~cm. \begin{enumerate} \item Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les points A, B, et D d'affixes respectives $\sqrt{3}$ + i,~ $\sqrt{3}$ - i et -~$\dfrac{ 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i. \item On considère la rotation R de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et la translation T de vecteur d'affixe 1. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la rotation R. \item Déterminer l'affixe $z_{\text{D}'}$, du point D$'$, image du point D par la translation T. \item Placer les points A$'$,~ B$'$ et D$'$. \end{enumerate} \item Déterminer un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}}$.\\ Justifier que la droite (OD$'$) est une médiatrice du triangle OA$'$B$'$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : $N = 9 n + 1$ et $M = 9n - 1$. \begin{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n = 2p$, avec $p$ entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n = 2p + 1$ , avec $p$ entier naturel. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs. \item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2 - 1$. \begin{enumerate} \item Exprimer l'entier $81n^2 - 1$ en fonction des entiers $M$ et $N$. \item Démontrer que si $n$ est pair alors $81 n - 1$ est impair. \item Démontrer que $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si $n$ est impair. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle : \[y'- 2y = \text{e}^{ 2x}, \quad (\text{E}).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = x \text{e}^{2 x}$ est une solution de (E). \item Résoudre l'équation différentielle : $y'- 2y = 0$ \quad (E$_{0}$). \item Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $\R$ est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$). \item En déduire toutes les solutions de l'équation (E). \item Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur $1$ en $0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude d'une fonction} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1) \text{e}^{2x} .\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en + ~$\infty$ puis la limite de $f$ en $-\infty$. \item Soit $x$ un nombre réel. Calculer $f'(x)$. Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations. Préciser le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$. \item Soit un réel $\alpha$ strictement inférieur à $- 1$. On considère le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par $\mathcal{C}$, les droites d'équation $x = \alpha,~ x = - 1$ et l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire $\mathcal{D}(\alpha)$ du domaine $\mathcal{D}$. \item Déterminer la limite de $\mathcal{D}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $-\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Résolution d'une équation} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une solution unique $x_{0}$ dans l'intervalle [0,2~;~0,3]. \item Recopier, puis compléter le tableau suivant : \[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0,05 & 0,1 & 0,15 & 0,2 & 0,25 & 0,3 \\ \hline $f(x)$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies avec une précision de $10^{-2}$ près par défaut. \item Sur le papier millimétré, ci-dessous, où les unités sont de 10 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées, tracer l'arc de la courbe $\mathcal{C}$ pour $x$ appartenant à $[0~;~0,3]$. Faire apparaître $x_{0}$ sur le graphique. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=10cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(1,2.2) \psgrid[subgriddiv=50,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt](0,0)(1,2) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,2) \uput[d](0.1,0){0,1} \uput[d](0.2,0){0,2} \uput[d](0.3,0){0,3} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[l](0,2){2} \end{pspicture} \end{center} \bigskip Démontrer que $x_{0}$ satisfait à la relation : $x_{0} = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x_{0}+1}\right)$. \bigskip \textbf{Partie D - Approximation de} \boldmath $x_{0}$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur I = [0,2~;~0,3] par \[h(x) = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x_{0}+1}\right).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ de I,~ $h(x)$ appartient à I. \item Démontrer que pour tout $x$ de I,~ $|h'(x)| \leqslant 0,42$. \end{enumerate} \item Soit ($u_{n}$) la suite définie par : $u_{0} = 0,2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = h\left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\left|u_{n+1} - x_{0}\right| \leqslant 0,42\left| u_{n} - x_{0}\right|$. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, déduire que, pour tout entier naturel $n$ on a : $\left|u_{n} - x_{0}\right| \leqslant 0,1 \times (0,42)^n$. \item Déterminer la limite de ($u_{n})$ . \item Déterminer un entier $p$ tel que $\left|u_{p} - x_{0}\right| \leqslant 10^{-5}$. \item On note $b$ la valeur de $u_{p}$ affichée sur la calculatrice. Déterminer $\beta$ valeur décimale approchée par défaut de $b$ à $10^{-5}$ près. Classer par ordre croissant les réels $f(\beta),\: f(\beta + 10^{- 5})$ et 2. En déduire la valeur décimale approchée par défaut de $x_{0}$ à $10^{- 5}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie décembre 1999 \end{document}