\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 2005~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de mars à novembre 2005}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} 
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  31 mars 2005} \dotfill \pageref{Pondichery}
 
\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 1\up{er}juin 2005} \dotfill\pageref{AmeriqueNord}

\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2005} \dotfill \pageref{Antilles}\\

\hyperlink{Asie}{Asie juin 2005} \dotfill \pageref{Asie}\\

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers 17 juin 2005}\dotfill \pageref{Etranger}\\

\hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2005}\dotfill \pageref{Metropole}\\

\hyperlink{Reunion}{La Réunion juin 2005}\dotfill \pageref{Reunion}\\

\hyperlink{Liban}{Liban juin 2005}\dotfill\pageref{Liban}\\
 
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2005}\dotfill \pageref{Polynesie}\\

\hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre 2005}\dotfill \pageref{Antillessep}\\

\hyperlink{Metropolesept}{Métropole septembre 2005}\dotfill \pageref{Metropolesep}\\

\hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud novembre 2005}\dotfill \pageref{AmduSud}\\

\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2005}\dotfill \pageref{Caledonienov}
\end{tabularx}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Pondichéry 31 mars 2005
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery} 
\lfoot{\small{Pondichéry}} 
\rfoot{\small{31 mars 2005}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry 31 mars 2005~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. L'appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour. 

Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien). 

Le gestionnaire a constaté que :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item $60\,\%$ des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci $20\,\%$ ne souscrivent aucune formule d'entretien ; 
\item La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par $45\,\%$ des locataires de Studio et par $55\,\%$ des locataires de deux-pièces ; 
\item $18\,\%$ des locataires ne souscrivent aucune formule. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rencontre un résident au hasard. 

Soit $S$ l'évènement \og Le résident a loué un studio \fg 

$A$ l'évènement \og Le résident a souscrit la formule Simple \fg 

$B$ l'évènement \og Le résident a souscrit la formule Confort \fg 

$R$ l'évènement \og Le résident n'a souscrit aucune formule d'entretien \fg 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ? 
		\item Calculer $P_{S}(B)$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $P(R \cap S)$ ; en déduire $P\left(R \cap \overline{S}\right)$. 
		\item Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15. 
	\end{enumerate} 
\item Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation. 
\item La location d'un studio à la semaine coûte 350~euros, celle d'un deux-pièces $480$~euros. 

La formule Simple coûte $20$ euros et la formule Confort $40$~euros. 

Soit $L$ le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs $L_{i}$. On désigne par $p_{i}$, la probabilité que le coût de la semaine soit égal à $L_{i}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$L_{i}$ & 350 	&370 	&390 	&480 	& 500 	&520 \\ \hline 
$p_{i}$ & 0,12 	& 		&0,21 	& 		& 		&0,12\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip

		\item Calculer l'espérance de $L$. En donner une interprétation. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte. 

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l'affirmation exacte sans justifier votre choix. 

\textsl{Barème : À chaque question est attribué $1$ point.\\ 
Une réponse inexacte enlève $0,5$ point.\\ 
Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ 
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]4~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = -2x + 1 - \dfrac{8}{x - 4}\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Une autre expression de $f(x)$ est 

$\bullet~ f(x)= -2x+1 - \dfrac{2}{x - 1}$ 

$\bullet~ f(x) = \dfrac{2x^2 - 9x+12}{4 - x}$ 

$\bullet~f(x) = \dfrac{2x^2 + 9x - 2}{x - 4}$ 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]4~;~ + \infty[$. Une expression de $f '(x)$ est 

$\bullet~f'(x) = - 2 - \dfrac{8}{(x - 4)^2}$ 

$\bullet~f'(x) = \dfrac{ (2 - x)(x - 6)}{(x - 4)^2} $ 

$\bullet~f'(x) = \dfrac{- 2x^2 +16x - 24}{(x - 4)^2}$ 

\item La courbe $\Gamma$ admet pour asymptote 

$\bullet~$ la droite d'équation $y =4$ 

$\bullet~$ la droite d'équation $x =4$ 

$\bullet~$ la droite d'équation $y = 4x$ 

\item La droite d'équation $y = - 2x +1$ est 

$\bullet~$ asymptote à la courbe $\Gamma$ 

$\bullet~$ située en dessous de la courbe $\Gamma$ 

$\bullet~$ tangente à la courbe $\Gamma$. 

\item La fonction $x \longmapsto F(x)$ donnée par 

$\bullet~ F(x) = -x^2 + x + 8 (x - 4)^2$ 

$\bullet~ F(x) = -x^2 + x + 8 \ln(x - 4)$ 

$\bullet~ F(x) = -x^2 + x - 8 \ln(x - 4)$ 

est une primitive de $f$ sur $]4~;~+ \infty[$. 

\end{enumerate} 

\vspace{1cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\dfrac{\ln x}{x}\right) = 0$. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x - \sqrt{x}$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on a : $f'(x) = \dfrac{2 - \sqrt{x}}{2x}$. 
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ (les limites aux bornes ne sont pas demandées). 
\item Justifier alors que, pour tout $x$ de $]0 ~;~+\infty[$, on a : $\ln x < \sqrt{x}$. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B : Utilisation des théorèmes de comparaisons} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement supérieur à 1, 
on a :

$0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$ . En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)$. 

\textsl{ On rappelle que la dérivée de la fonction} $x \longmapsto \sqrt{x}$ \textsl{est} $x \longmapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Le tableau suivant donne la population d'une ville nouvelle entre les années 1970 et 2000. 

\begin{center}\begin{tabular}{|m{3cm}|*{7}{c|}}\hline 
Année 					&1970 	&1975 	&1980 	&1985 	&1990 	&1995 	&2000\\ \hline 
Rang de l'année $x$ 	& 0 	& 5 	& 10 	&15 	& 20 	& 25 	& 30\\ \hline 
Population en milliers d'habitants $y$ 		&18		&21		&25		&30		&36		&42		& 50\\ \hline 
\end{tabular} \end{center} 

Le nuage de points associé à ce tableau est représenté graphiquement sur l'annexe jointe le rang $x$ de l'année est en abscisse et la population $y$ en ordonnée. 

\textsl{Cette annexe sera complétée au fur et à mesure des questions et rendue avec la copie.} 

\bigskip 

\textbf{Partie A : Un ajustement affine} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 

Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe. 
\item Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B : Un ajustement exponentiel} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item L'allure du nuage incite à chercher un ajustement par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ sont des réels. 

Déterminer $a$ et $b$ tels que $f(0) = 18$ et $f(30) = 50$. On donnera une valeur arrondie de $b$ au millième. 
\item Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près. 
\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur le graphique donné en annexe. 
\item La population en 2003 était de 55 milliers. Lequel des deux ajustements vous semble le plus pertinent ? Justifier votre choix. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie C : Calcul d'une valeur moyenne} 

\medskip

On considère maintenant que, pour une année, la population est donnée en fonction du rang $x$ par $f(x) = 18\text{e}^{0,034x}$. 

\begin{enumerate} 
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur [0~;~30] ; on donnera le résultat arrondi au dixième. 
\item À l'aide d'une lecture graphique, déterminer l'année au cours de laquelle la population atteint cette valeur moyenne ? 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center} 
\textbf{Annexe à rendre avec la copie} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 4}
 
\bigskip

\psset{unit=0.3cm} 
\begin{pspicture}(35,55) 
 
\multido{\d=0+5}{8}{\psline[linecolor=cyan](\d,0)(\d,55)} 
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linecolor=cyan](0,\n)(35,\n)}
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(35,55)
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(35,55)
\psdots[linecolor=red,dotscale=1.25] (0,18)(5,21)(10,25)(15,30)(20,36)(25,42)(30,50) 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Pondichéry mai 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Amérique du Nord juin 2005
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{1\up{er} juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord 1\up{er} juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textsl{Les deux questions sont indépendantes.}

\textsl{Les résultats seront arrondis à} $10^{-2}$.

\medskip

Le gouvernement d'un pays envisage de baisser un impôt de 30\,\% en cinq ans.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.

\medskip

Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89\,\%.
\item  La première année cet impôt baisse de 5\,\%, la deuxième année la baisse est de 1\,\% et la troisième année de 3\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années ?
		\item Pour atteindre son objectif quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires (C. A.), en millions d'euros, sur la période 1994-2003.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l| *{5}{c|}}\hline
Année			&1994	&1997	&1999	&2001	&2003\\ \hline
Rang $x_{i}$	&1		&4		&6		&8		&10\\ \hline
C. A. $y_{i}$	&176	&209	&284	&380	&508\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

\begin{center}\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}\begin{pspicture}(11,550)

\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-20)(\n,550)}
\multido{\n=0+100}{6}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-0.5,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[Dx=2,Dy=100,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(11,550)
\qdisk(1,176){2pt} \qdisk(4,209){2pt} \qdisk(6,284){2pt} \qdisk(8,380){2pt} 
\qdisk(10,508){2pt}
\uput[r](1,176){$M_{1}$} \uput[r](4,209){$M_{2}$} \uput[r](6,284){$M_{3}$} \uput[r](8,380){$M_{4}$} \uput[r](10,508){$M_{5}$}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,530){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,3cm}

\item On pose $z_{i} =  \ln y_{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en arrondissant à $10^{-2}$ près, pour $i$ variant de 1 à 5, les valeurs $z_{i}$, associées aux rangs $x_{i}$ du tableau.
		\item Construire le nuage de points $N_{i}(x_{i}~;~ z_{i})$ dans le repère orthogonal suivant :
 
- sur l'axe des abscisses, on placera $0$ à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année,
 
- sur l'axe des ordonnées, on placera $5$ à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre $0,1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à $10^{-2}$ près) et tracer la droite $d$ dans le repère précédent.
		\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = A \times k^x$. (arrondir $A$ à l'entier près et $k$ à  $10^{-2}$ près)
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $d$ dans le même repère que celui du nuage de points $\left(N_{i}\right)$.
		\item Donner une estimation, arrondie au millier d'euros, du chiffre d'affaires en 2005.
		\item À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à 1 milliard d'euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi la spécialité mathématique}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(7,4.25)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=15,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt](0,0)(7,4)
\uput[dl](0,0){O}  \uput[d](6.3,0){$x$} \uput[l](0,4.3){$y$}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(7,4.25)
\uput[l](0.75,1.5){\blue $\mathcal{H}_{1}$} \uput[r](1.25,1.5){\red$\mathcal{H}_{2}$} 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{7}{1 x div}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.5}{7}{2 x div}
\psline(1,0)(1,0.15) \psline(0,1)(0.15,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Les courbes $\blue \mathcal{H}_{1}$ et $\red \mathcal{H}_{2}$ représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation

\[y = \dfrac{1}{x}\quad  \text{et} \quad  y= \dfrac{2}{x}.\]

On note $\mathcal{D}_{2}$ le domaine délimité par les courbes $\mathcal{H}_{1}$ et $\mathcal{H}_{2}$	et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$.

On note $\mathcal{D}'_{2}$ le domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{H}_{1}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Colorier les domaines $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{D}'_{2}$ d'une couleur différente et montrer qu'ils ont la même aire.

Soit $n$ un entier naturel strictement positif. On note $u_{n}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ délimité par les courbes $\mathcal{H}_{1}$ et $\mathcal{H}_{2}$ et les droites d'équation $x = n$ et $x = n +1$.
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

\textsl{On  pourra comparer les nombres} $n(n +2)$ \textsl{et} $(n + 1)^2$.
\item Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Déterminer la plus grande valeur de $n$ telle que l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ reste supérieure à $\dfrac{1}{10}$ d'unité d'aire. Soit $N$ cette valeur.
\item Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{H}_{1}$ et $\mathcal{H}_{2}$ et les droites d'équation $x =  1$ et $x = N$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. 
 
L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.

\textbf{Barème :}  Une bonne réponse rapporte $1$ point ; une mauvaise réponse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

\textbf{Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\vspace{0,3cm}

\begin{center}\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE DONNÉ EN ANNEXE} \end{center}

\vspace{0,2cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{5cm}|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{QUESTIONS} & 	\multicolumn{1}{c|}{RÉPONSES}\\ \hline
\textbf{1.} Soit une série statistique à deux variables $(x ~;~y)$. Les valeurs de $x$ sont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la  méthode des moindres carrés est 
$y = 1,35x +22,8$. Les coordonnées du point moyen sont :&$\Box$ (6,5 ; 30,575)

$\Box$ (32,  575 ; 6,5)

$\Box$ (6,5 ; 31,575)\\  \hline
\textbf{2.} $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $-5$.

Laquelle de ces affirmations est exacte ? &$\Box$ 	Pour tout entier $n,$  

$u_{n+1} - u_{n} = 5$

$\Box~$	 	$u_{10}= u_{2}+ 40$

$\Box~ u_{3} = u_{7} + 20$\\ \hline
\textbf{3.} L'égalité $\ln \left(x^2 - 1\right) = \ln (x - 1) + \ln (x+1)$ est vraie&$\Box~$ Pour tout $x$ de  

$]- \infty~;~-1[ \cup]1~;~+ \infty[$

$\Box~$Pour tout $x$ de $\R - \{-1~ ;~ 1\}$.

$\Box~$ Pour tout $x$ de $]1~ ;~+\infty[$\\ \hline
\textbf{4.} Pour tout réel $x$, le nombre $\dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 2}$ égal à :  & $\Box ~- \dfrac{1}{2}$

$\Box~\dfrac{\text{e}^{-x} - 1}{\text{e}^{-x} + 2}$

\rule[-0.4cm]{0pt}{0pt} $\Box~\dfrac{1 - \text{e}^{-x}}{1 + 2\text{e}^{-x}}$\\ \hline
\textbf{5.} On pose I $= \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{1}{\text{e}^x - 1}\,\text{d}x$ et 

J $ = \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}\,\text{d}x$ \rule[-0.4cm]{0pt}{0pt} alors le nombre  I $-$ J est égal à&
$\Box~ \ln \dfrac{2}{3}$

$\Box~\ln \dfrac{3}{2}$

$\Box~\dfrac{3}{2}$\\ \hline
\textbf{6.}  L'ensemble des solutions de l'inéquation	\rule[-0.4cm]{0pt}{0pt}$\left(1 - \dfrac{2}{100}\right)^x \leqslant 0,5$ est & $\Box$ S $= \left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,98)}~;~+ \infty\right[$

$\Box$ S $= \left[- \infty~;~\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,98)}\right[ $

$\Box$ S $=\left[\ln \dfrac{0,5}{0,98}~;~+\infty\right[$\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On a représenté ci-dessous la courbe représentative $\Gamma$, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie sur $\R$. La courbe $\Gamma$ passe par les points A(0~;~2) et C$(-2~;~0)$ et la droite (AB) est la tangente en A à  $\Gamma$. La tangente à $\Gamma$ en son point D d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-3,-1.5)(3.5,3.2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(3.5,3.2)
\uput[u](2.5,0.4){\blue $\Gamma$} 
\uput[u](-1,2.7183){D} \uput[ur](2,0){B} \uput[ur](0,2){A} \uput[ul](-2,0){C}
\psline(-1,3)(3.2,-1.2)

\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=gray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{0}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psline(0,0)(-2,0)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.15}{3.2}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psline{<->}(-1.5,2.7183)(-0.5,2.7183)

\end{pspicture}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée $f'$ de $f$ et une autre représente une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.

\begin{center}\begin{tabular}{c c c }
Courbe 1&	Courbe 2& 	Courbe 3\\
\psset{unit=0.45cm}\begin{pspicture}(-4,-2)(4,5)
\psaxes[Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(4.1,5) \uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.8}{4}{x 1 add neg 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.45cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(4,2)
\psaxes[Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(4.1,2.1) \uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.8}{4}{x 1 add  2.71828 x exp div}
\end{pspicture} &\psset{unit=0.45cm} \begin{pspicture}(-4,-6)(4,2)
\psaxes[Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-6)(4.1,2.1) \uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{4}{ 2  x 3 add  2.71828 x exp div sub}
\end{pspicture}\\
\end{tabular}\end{center}

Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$.

\textsl{Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide des renseignements fournis par l'énoncé, les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
		\item On suppose que $f(x)$ est de la forme $f(x) =  (x+K)\text{e}^{\alpha x}$ où $K$ et $\alpha$ sont des constante réelles.

Calculer $f'(x)$, puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d'équations d'inconnues $K$ et $\alpha.$
 
En déduire que $f$ est définie par $f(x) =  (x+2)\text{e}^{-x}$.
\end{enumerate}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $\varphi$ définie par $\varphi(x)= (-x -3)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f$.
 		\item En déduire la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface hachurée.

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord mai 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane juin 2005
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{ juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ;  pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte.\\
\textbf{Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la bonne affirmation sans justifier votre choix.}

\emph{Barème :}

\emph{À chaque question et attribué un certain nombre de points. Une réponse inexacte  enlève la moitié des points affectés. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, il est ramené à zéro.}

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Question 1}& & & \\
Ce tableau incomplet donne les résultats d'un sondage dans une population de 60 personnes. & & & \\
\begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{l|}{}&Cadres&	Employés\\ \hline
Hommes & & 25\\ \hline
Femmes & 8 & 15\\ \hline
\end{tabular}&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{2}{5}$&$\dfrac{8}{23}$\\
On interroge une personne au hasard ; la probabilité que ce soit une femme sachant que c'est un cadre est : & & & \\\hline
\textbf{Question 2}& & & \\
Une loi de probabilité d'espérance $\mu$, de variance V et d'écart type $\sigma$ est définie par le tableau ci-dessous.& & & \\
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
$x_{i}$&1	& 2 	& 3		& 4 \\ \hline
$p_{i}$&0,2 & 0,4 	& 0,1 	& 0,3\\ \hline
\end{tabular} & V $= \dfrac{5}{4}$ & $\mu = 2$ & $\sigma = \dfrac{\sqrt{5}}{4}$\\ 
On a alors :  & & &\\ \hline
\textbf{Question 3}& & & \\
Soient $C$ et $D$ deux évènements indépendants.& & & \\
On donne $P(C) = \dfrac{1}{3}$  et $P(D)  = \dfrac{1}{12}$.&	$P(D \cap C) = \dfrac{5}{12}$&$P(C \cup D) = \dfrac{7}{18}$&$P_{D}(C) = \dfrac{1}{36}$\\
On a alors : & & & \\ \hline
\textbf{Question 4}& & & \\
On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. La probabilité d'obtenir au moins une fois pile est : &$\dfrac{1}{4}$ &$\dfrac{15}{16}$ &$\dfrac{1}{16}$\\\hline
\textbf{Question 5}& & & \\
Une expérience aléatoire est représentée par  l'arbre ci-dessous où A et B sont deux évènements, $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{B}}$ leurs évènements contraires&&&\\
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}}
	{\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,3}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}}
	{\TR{$B$}\taput{0,1}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
}\:\:Alors on a : & $P(B) = 0,22$ & $P\left(\overline{A} \cap B\right) = 0,8$ & $P_{B}(A) = 0,7$\\\hline
\end{tabularx}}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ; on désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{center} 
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}\begin{pspicture}(10,5)
%\psgrid
\psframe(0,0)(10,5)
\psline(0,3)(10,3) \psline(0,4.5)(10,4.5) 
\psline(2,0)(2,5) \psline(5.95,0)(5.95,4.5) \psline(6.05,0)(6.05,4.5) 
\psline{->}(2.5,0.5)(3.8,2.4) \psline{->}(4.4,2.4)(5.5,0.4)
\psline{->}(6.5,2.4)(7.8,0.5) 
\psline{->}(8.2,0.5)(9.5,2.4) 
\uput[u](1,4.4){$x$} \uput[u](2.4,4.4){$- \infty$} \uput[u](4,4.4){$-3$} 
\uput[u](5.8,4.4){$-1$} \uput[u](8,4.4){$1$} \uput[u](9.6,4.4){$+ \infty$} 
\rput(1,4){Signe de} \rput(1,3.5){$f'(x)$} 
\rput(1,1.5){Variations} \rput(1,1){de $f$}
\rput(3,3.75){$+$} \rput(4,3.75){$0$} \rput(5,3.75){$-$} 
\rput(7,3.75){$-$} \rput(8,3.75){$0$} \rput(9,3.75){$+$} 
\uput[u](2.5,0){$-\infty$} \uput[d](4,3){$-6$} \uput[u](5.5,0){\ldots} 
\uput[d](6.5,3){$+\infty$} \uput[u](8,0){$2$} \uput[d](9.5,3){\ldots} 
\end{pspicture}\end{center}
On admet que $f$ est définie sur $]- \infty~;~-1[~\cup~]-1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x + 1}\]

où $a,~b$ et $c$ sont des réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de  $a,~b$ et $c$.
\item En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus, montrer que l'on a : $a = 1,\: b = - 1,~c = 4$.
\item Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni.
\item Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ admet comme asymptote la droite $D$ d'équation $y = x - 1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $- \infty$.

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de son asymptote $D$.
\item Déterminer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^2 [f(x) - (x - 1)] \,\text{d}x$ et interpréter le résultat en terme d'aire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une zone de marais on s'intéresse à la population des libellules.

On note $P_{0}$ la population initiale et $P_{n}$ la population au bout de $n$ années.

Des études ont permis de modéliser  l'évolution de $P_{n}$ par la relation :

\[\text{(R) Pour tout entier naturel}~n \text{on a :}~P_{n+2} - P_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(P_{n+1} - P_{n}\right).\]

On suppose que $P_{0} = \np{40000}$ et $P_{1} = \np{60000}$.

On définit l'accroissement de la population pendant la $n$-ième  année par la différence $P_{n} - P_{n - 1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'accroissement  de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en déduire $P_{2}$ et $P_{3}$.
\item On considère les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

\[U_{n} = P_{n+1} - P_{n} \quad  \text{et} \quad V_{n} = P_{n+1} - \dfrac{1}{2}P_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		 \item Prouver que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En utilisant la relation (R), calculer $V_{n+1} - V_{n}$.

En déduire que, pour tout $n$, on a : $V_{n} = P_{1} - \dfrac{1}{2}P_{0}$.

Calculer $V_{n}$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n} = 2\left(V_{n} - U_{n}\right)$.

En déduire une expression de $P_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que la suite $\left(P_{n}\right)$ converge et calculer sa limite.

Que peut-on en déduire en ce qui concerne l'évolution de cette population au bout d'un nombre d'années suffisamment grand ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production $C(x)$ d'un engrais en fonction de la masse $x$ produite.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs $x_{i}$ de masse d'engrais produite et celles

$y_{i} = C(x_{i})$ des coûts totaux de production correspondants pour $i$ entier variant de 1 à 5.

\vspace{0,3cm}

\begin{center} \begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
$x_{i}$ en tonnes 			& 10 	& 12 & 14 & 16 & 18\\ \hline
$y_{i}$ en centaines d'euros& 100 	&110 &145 &196 &308\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : $0,5$~cm pour une tonne sur l'axe des abscisses et $0,05$~cm  pour une centaine d'euros sur l'axe des ordonnées.)
\item On recherche une fonction définie sur l'intervalle [10~;~18] dont la courbe représentative \og ajuste \fg{} de façon acceptable le nuage de points.

Une fonction $f$ est dite \og acceptée \fg{} si, pour les cinq valeurs $x_{i}$ du tableau, on a :

\[- 10 \leqslant f(x_{i}) - C(x_{i}) \leqslant 10.\]

	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ la fonction définie sur [10 ; 18] par :

\[ f(x) = \text{e}^{0,3x} + 80.\]

Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à $10^{-2}$).

La fonction $f$ est-elle \og acceptée \fg{} ?

\begin{center}\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ & 10 & 12 & 14 & 16 & 18\\ \hline
$f(x_{i})$ & & & & & \\ \hline
$f(x_{i}) - C(x_{i})$ & & & & & \\\hline
\end{tabularx}\end{center}

		\item Étudier les variations de $f$ sur [10~;~18] et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [10 ; 18] par 

\[g(x) = (0,3x - 1)\text{e}^{0,3x} - 80.\]

\begin{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$.

Montrer que, pour tout $x$ de [10~;~18], on a : $g'(x) = 0,09x\text{e}^{0,3x}$.

En déduire le sens de variations de $g$ sur [10~;~18].

\item Établir le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle [10~;~18].

\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur [10~;~18] et donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$.

En déduire le signe de $g(x)$ sur [10~;~18].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le coût moyen de production d'une tonne en fonction de la masse $x$ produite est  exprimé en centaines d'euros par :

\[C_{m}(x) = \dfrac{f(x)}{x}\]
où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A} et $x \in [10~;~18]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $C'_{m}$ la fonction dérivée de la fonction $C_{m}$.
 
Calculer  $C'_{m}(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [10~;~18].
\item Déduire à l'aide de la \textbf{partie B} le sens de variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle [10~;~18].
\item Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal ?
  
Quel est ce coût à un euro près par défaut ?
\end{enumerate}   
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2005
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie  juin 2005~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse} \fbox{\mathstrut \textbf{a}},~ \fbox{\mathstrut \textbf{b}},~\fbox{\mathstrut \textbf{c}},~ \emph{ou} \fbox{\mathstrut \textbf{d}},~ \emph{est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie la réponse exacte.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève, aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif , la note globale attribuée à l'exercice est} $0$.

\medskip

Les trois arbres donnés ci-dessous représentent des situations probabilistes. Les nombres indiqués sur les différentes flèches sont des  probabilités, et,  en deuxième niveau,  des probabilités conditionnelles. Ainsi pour l'arbre donné 	dans la question 1 : $0,35 = P(A)$ et $0,1 =  P_{\text{A}}(E)$.

\vspace{0,5cm}

\parbox{0.35\textwidth}{
\textbf{Question 1}\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(0,1.5)(1.8,0.5) \psline{->}(0,1.5)(1.8,2.5)
\psline{->}(2.2,2.5)(3.8,3) \psline{->}(2.2,2.5)(3.8,2) 
\psline{->}(2.2,0.5)(3.8,1)  \psline{->}(2.2,0.5)(3.8,0)
\rput(2,2.5){$A$}   \rput(2,0.5){$B$} 
\rput(4,3){$E$} \rput(4,2){$F$} \rput(4,1){$E$} \rput(4,0){$F$} 
\rput(1,2.5){0,35}  \rput(1,0.5){0,65} 
\rput(3,2.95){0,1}  \rput(3,1.9){0,9}  \rput(3,0.95){0,5}  \rput(3,-0.1){0,5} 
\end{pspicture}}\hfill   \parbox{0.6\textwidth}{La probabilité de l'évènement $E$ est égale à :\\ \\
\fbox{\mathstrut \textbf{a}}~~ 0,5~~ \fbox{\mathstrut \textbf{b}}~~ 0,1~~\fbox{\mathstrut \textbf{c}}~~0,6~~  \fbox{\mathstrut \textbf{d}}~~0,36
}
\vspace{0,5cm}

\parbox{0.35\textwidth}{
\textbf{Question 2}\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(0,1.5)(1.8,0.5) \psline{->}(0,1.5)(1.8,2.5)
\psline{->}(2.2,2.5)(3.8,3) \psline{->}(2.2,2.5)(3.8,2) 
\psline{->}(2.2,0.5)(3.8,1)  \psline{->}(2.2,0.5)(3.8,0)
\rput(2,2.5){$A$}   \rput(2,0.5){$B$} 
\rput(4,3){$G$} \rput(4,2){H} \rput(4,1){$G$} \rput(4,0){$H$} 
\rput(1,2.5){0,35}  \rput(1,0.5){0,65} 
\rput(3,2.95){0,3}  \rput(3,1.9){0,7}  \rput(3,0.95){$x$}  \rput(3,-0.1){$1 - x$} 
\end{pspicture}}\hfill   \parbox{0.6\textwidth}{Les évènements $A$ et $G$ étant supposés indépendants, $x$ est égal à :\\ \\
\fbox{\mathstrut \textbf{a}}~~ 0,35~~ \fbox{\mathstrut \textbf{b}}~~ 0,1~~\fbox{\mathstrut \textbf{c}}~~0,3~~  \fbox{\mathstrut \textbf{d}}~~0,36
}

\vspace{0,5cm}

\parbox{0.35\textwidth}{
\textbf{Question 3}\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(0,1.5)(3.8,3) \psline{->}(0,1.5)(3.8,0)
\rput(4,3){$A$}   \rput(4,0){$B$}  
\rput(2,2.6){0,35}  \rput(2,0.3){0,65}  
\end{pspicture}}\hfill   \parbox{0.6\textwidth}{Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l'arbre ci-contre.

Cette expérience aléatoire est répétée quatre fois de façon indépendante.

La probabilité d'obtenir au moins une fois l'évènement $A$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\fbox{\mathstrut \textbf{a}}~~0,35&\fbox{\mathstrut \textbf{b}}~~\np{0,82149375}\\
\fbox{\mathstrut \textbf{c}}~~\np{0,17850625}&  \fbox{\mathstrut \textbf{d}}~~\np{0,01500625}
\end{tabularx}
}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{20}{1 + 15\text{e}^{-0,4x}}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement le résultat.
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

La fonction $f$ modélise sur l'intervalle [0 ; 14] la fonction coût total de production, en euro, d'un produit. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée $\Gamma$, est donnée en \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}.

 Pour une quantité de produit $q$, exprimée en tonnes et comprise entre $0$ et $14$, on pose donc :

\[f(q) = \dfrac{20}{1 + 15\text{e}^{-0,4q}}.\]

Pour tout $q$ dans l'intervalle [0~;~14], le quotient $\dfrac{f(q)}{q}$ est appelé coût moyen de production de $q$ tonnes de produit.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour $q$ dans l'intervalle [0 ; 14], soit $Q$ le point d'abscisse $q$ de la représentation graphique ($\Gamma$) de la fonction $f$.

Montrer que le coefficient directeur de la droite (O$Q$) est égal au coût moyen $\dfrac{f(q)}{q}$.
\item L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
 
Par lecture graphique indiquer la valeur de $q$ qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
 \end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour fabriquer un alliage une usine utilise deux métaux A et B en quantités $x$ et $y$ exprimées en tonnes. Le coût de production qui en résulte, exprimé en milliers d'euros, est donné par la formule :

\[C(x,y) = 2x + 0,5y^2 + 4.\]

\textbf{L'ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)} comporte deux figures.

\begin{itemize}
\item La figure  1 représente la surface d'équation $z = C(x~;~y)$ pour $0 \leqslant x  \leqslant 20$ et $0  \leqslant y  \leqslant 12$.
\item La figure 2 représente les courbes de niveau de cette surface pour $z$ variant de 20 en 20.
\end{itemize}

\begin{center}\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.}\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Cette partie est un questionnaire choix multiples constitué de deux questions, chacune comportant quatre propositions de réponse dont une seule est exacte.

\emph{Une bonne réponse rapportera} 0,5\emph{point}.

\emph{Une mauvaise réponse sera pénalisée de} 0,25 \emph{point}.

\emph{Si le total des points de cette partie est négatif, la note attribuée sera} 0.

Les réponses seront indiquées sur la copie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Lequel des points donnés ci-dessous est  un point de la surface d'équation 
$z = C(x~;~y)$ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a}} M(13~;~9~;~60)&	\fbox{\textbf{b}} N(12~;~4~;~40)& \fbox{\textbf{c}} R(12~;~8~;~60)&	\fbox{\textbf{d}} S(15~;~4~;~40)
\end{tabularx}

\item La courbe de niveau $z = 20$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a}} une parabole&	\fbox{\textbf{b}}  une droite&	\fbox{\textbf{c}} une hyperbole	&\fbox{\textbf{d}} autre réponse
\end{tabularx}

\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Les métaux A et B sont achetés respectivement 0,5 et 1 millier d'euros la tonne. L'entreprise affecte 11 milliers d'euros à l'achat des métaux.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Un exemple :

Si l'entreprise achète 4 tonnes de métal A,  combien de tonnes de métal B achète-t-elle ?
\item Cas général

Soit $x$ la quantité de métal A et $y$ la quantité de métal achetées.

Montrer que $x$ et $y$ sont liés par la relation $x + 2y = 22$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer sur la figure 2 de l'ANNEXE 1 l'ensemble des points dont l'équation est 

\[x + 2y =  22.\]

		\item En déduire, graphiquement le coût minimum de production des alliages pour un investissement de $11$~milliers d'euros, et les quantités correspondantes de métaux A et B achetées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
	
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~6].

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est représentée sur la \textbf{feuille ANNEXE 2}.

Soit A le point du plan de coordonnées $(-1~;~0)$ et B le point du plan de coordonnées (1~;~5). Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

La droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $f'(1)$, où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6].

\item L'une des trois courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$, et $\mathcal{C}_{3}$ représentées sur les figures 1, 2 et 3 de la \textbf{feuille ANNEXE 2}  représente la fonction $f'$. Laquelle ?

Justifier votre réponse.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du prix d'une matière première.

\emph{On ne fera qu'un seul graphique qui sera complété tout au long des questions.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne le prix d'une tonne de matière première en milliers d'euros au 1\up{er} janvier de chaque année : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{4}{c|}}\hline	
Année & 1998&	1999&	2000 &	2001\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$ & 6,48 &5,74 & 5,19 & 5,01\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}~;~y_{i})$, le plan étant rapporté a un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2~cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).
\item Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du prix de cette matière première.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la  calculatrice et les résultats seront donnés à $10 ^{-3}$ près).
		\item En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1\up{er} janvier 2005 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En fait, à partir de l'année 2001, le prix d'une tonne de cette matière première commence à remonter, comme le montre le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{4}{c|}}\hline	
Année 						&2001	&2002	&2003 	&2004\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$ 	&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers
 d'euro $y_{i}$ 			&5,01 	&5,10 	&5,20 	&5,52\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placer  sur le graphique de la \textbf{partie A} les points associés à ce 2\up{e} tableau.
\item On désire trouver une fonction qui modélise l'évolution de ce prix sur la période 1998--2008.

Pour cela, on considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~11] par

\[f(x) = x + 10 - 5 \ln (x + 2).\]
 
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle, et on notera $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate} 
		\item Donner un tableau de valeurs de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ entières comprises entre $0$ et $11$. Les valeurs de la fonction seront arrondies à $10 ^{-2}$.
		\item Calculer $f'(x)$, puis étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~11].

Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront données à $10 ^{-2}$ près.
		\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de la fonction $f$ sur le graphique de la \textbf{partie 4.}
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ modélise l'évolution du prix de cette matière première sur la période 1998--2008.
	\begin{enumerate} 
		\item	Selon ce modèle, quel serait le prix d'une tonne de matière première au \up{er} janvier 2005 ?
		\item Déterminer en quelle année le prix d'une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\textbf{Exercice 2}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{À rendre avec la copie}

\textbf{Courbe $\Gamma$}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(14,20)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(14,20)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(14,20)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](13.5,0){$x$} \uput[l](0,19.5){$y$}
\uput[ul](10,16){\blue $\Gamma$} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{20 2.71828 -0.4 x mul exp 15 mul 1 add div}

\end{pspicture}
\end{center}
 
\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\textbf{Exercice 3}

Courbe de $f$ :

\psset{xunit=1.333cm,yunit=0.75cm}\begin{pspicture}(-2,-1)(7,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-2,-1)(7,7)
\psline(-1.4,-1)(1.4,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-2,-1)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.8,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.8){$\vect{\jmath}$}
\uput[ul](-1,0){A} \uput[ul](1,5){B}
\uput[ur](2,4.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\savedata{\mesdonnees}[
{(0,0)(0.32,1)(0.5,2)(0.65,3)(0.79,4)(1,5)(1.275,5.25)(1.679,5)(2,4.45)(3,3.2)(4,2.45)(5,2)(6,1.7)}}]
\dataplot[plotstyle=curve,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{\mesdonnees}
\end{pspicture}

\end{center}
 
\textbf{Propositions pour la courbe de $f'$ :}
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.2)(7,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1](0,0)(-1,-2)(7,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1,-2)(7,8)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[ur](1,5){\red $\mathcal{C}_{1}$}
\savedata{\mesdannees}[{(0,0)(0.08,1)(0.12,2)(0.15,3)(0.2,4)(0.24,5)(0.28,6)(0.34,7)(0.5,7.5)(0.67,7)(0.77,6)(0.83,5)(0.89,4)(1,2.5)(1.2,0)(1.4,-1)(1.75,-1.5)(3,-1)(4,-0.6)(5,-0.3)(6,-0.2)}]
\dataplot[plotstyle=curve,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{\mesdannees}
\uput[d](3,-1.75){Figure 1}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X }
\psset{unit=0.62cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(7,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1](0,0)(-1,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1,-2)(7,4)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[ur](1,2){\cyan $\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{6}{6 5 x mul sub 4.5 mul x mul 2.71828 1.9 x mul exp div}
\uput[d](3,-2){Figure 2}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture} &
\psset{xunit=0.62cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(7,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1](0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[ur](5,3){\blue $\mathcal{C}_{3}$}
\parabola[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(3,4.5)
\uput[d](3,-0.5){Figure 3}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
 
\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\textbf{Exercice 2}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Figure 1 : surface d'équation $z = C(x~;~y)$}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.35,yunit=0.7}
\begin{pspicture*}(-2,-8)(25,16)
\psset{Beta=30,Alpha=150}
 \pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=20,yMax=12,zMax=120,drawing=false]
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,12)(0,12,12)(20,12,12)(20,12,0)(20,0,0)(0,0,0)
\pstThreeDPut(-0.75,0,2){20}
\pstThreeDPut(-0.75,0,4){40}
\pstThreeDPut(-0.75,0,6){60}
\pstThreeDPut(-0.75,0,8){80}
\pstThreeDPut(-0.75,0,10){100}
\pstThreeDPut(-0.75,0,12){120}  
\pstThreeDPut(-0.75,0,0){0}
\pstThreeDPut(10,-2,0){$x$} \pstThreeDPut(22,6,0){$y$}
\pstThreeDPut(-2,0,4.5){$z$}
\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,12)
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,-1,0){\n}}
\multido{\n=0+6}{3}{\pstThreeDPut(20.5,\n,0){\n}}
\psplotThreeD[xPlotpoints=15,yPlotpoints=15,drawStyle=xyLines,linecolor=blue,plotstyle=curve](0,20)(0,12){%
x 2 mul y 2 exp 0.5 mul add 4 add 10 div}% 10 div uniquement pour l'Žchelle
\multido{\n=0+2}{7}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,12,\n)(20,12,\n)}
\multido{\n=0+1}{20}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,0.5,0)}
\multido{\n=0+1}{12}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(19.5,\n,0)}
\pstThreeDLine(0,5.66,1.6)(1,5.29,1.6)(2,4.9,1.6)(3,4.47,1.6)(4,4,1.6)(5,3.46,1.6)(6,2.83,1.6)(7,2,1.6)(7.8,0.894,1.6)
\pstThreeDLine(0,8.49,3.6)(1,8.25,3.6)(2,8,3.6)(3,7.75,3.6)(4,7.48,3.6)(5,7.21,3.6)(6,6.93,3.6)(7,6.63,3.6)(8,6.32,3.6)(9,6,3.6)(10,5.66,3.6)(11,5.29,3.6)(12,4.9,3.6)(13,4.47,3.6)(14,4,3.6)(15,3.46,3.6)(16,2.83,3.6)(17,2,3.6)(17.8,0.894,3.6)
\pstThreeDLine(0,10.58,5.6)(1,10.39,5.6)(2,10.2,5.6)(3,10,5.6)(4,9.8,5.6)(5,9.59,5.6)(6,9.38,5.6)(7,9.165,5.6)(8,8.94,5.6)(9,8.72,5.6)(10,8.485,5.6)(11,8.246,5.6)(12,8,5.6)(13,7.75,5.6)(14,7.48,5.6)(15,7.21,5.6)(16,6.93,5.6)(17,6.63,5.6)(18,6.32,5.6)(19,6,5.6)(20,5.29,5.6)
\pstThreeDLine(0,12.33,7.6)(1,12.17,7.6)(2,12,7.6)(3,11.83,7.6)(4,11.66,7.6)(5,11.49,7.6)(6,11.31,7.6)(7,11.14,7.6)(8,10.95,7.6)(9,10.77,7.6)(10,10.58,7.6)(11,10.39,7.6)(12,10.2,7.6)(13,10,7.6)(14,9.8,7.6)(15,9.59,7.6)(16,9.39,7.6)(17,9.165,7.6)(18,8.944,7.6)(19,8.72,7.6)(20,8.49,7.6)
\pstThreeDLine[linecolor=blue](0,12,7.6)(20,12,11.6)
\pstThreeDLine[linecolor=blue](20,0,4.4)(0,0,0.4)
\pstThreeDLine[linecolor=blue](20,0,4.4)(20,1,4.45)(20,2,4.6)(20,3,4.85)(20,4,5.2)(20,5,5.65)(20,6,6.2)(20,7,6.85)(20,8,7.6)(20,9,8.45)(20,10,9.4)(20,11,10.45)(20,12,11.6)
\end{pspicture*}

\newpage

\textbf{Figure 2 :  courbes de niveau}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(20,12)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{0}{18}{18 x sub 0.5 exp 2 mul}
\psline(18,0)(8,0) \psplot{8}{0}{8 x sub 0.5 exp 2 mul}
}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(0,12)(2,12) \psplot{2}{20}{38 x sub 0.5 exp 2 mul}
\psplot{20}{0}{28 x sub 0.5 exp 2 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{12}{20}{48 x sub 0.5 exp 2 mul}
\psline(20,10.5)(20,12)(12,12)
}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(20,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(20,12)
\rput(10,-1.5){$x$} \uput[r](20,6){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2005
\hypertarget{Etranger}{}

\label{Etranger}
\lfoot{\small{Centres Žétrangers}}
\rfoot{\small{17 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2005~\decofourright}} 
 \end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.
 
L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans  explication.

\textbf{Barème :} Une bonne réponse rapporte $0,5$ point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point.

L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun  point.

Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

\medskip

\begin{tabular}{|c|l|l|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{QUESTIONS}}& \textbf{RÉPONSES CHOISIES}\\ \hline
 & & {\huge $\Box$} $x \longmapsto \text{e}x$\\
\textbf{1.}&La fonction : $x \longmapsto \text{e}x + \ln 2$ a pour dérivée &{\huge $\Box$} $x \longmapsto \text{e}x + \dfrac{1}{2}$\\
&&{\huge $\Box$} $x \longmapsto \text{e}$\\ \hline
  & & {\huge $\Box$} $x \longmapsto \dfrac{1}{3x} + \dfrac{1}{3}$\\
\textbf{2.}& 	La fonction $x \longmapsto \ln (3x) + \ln 3$ a pour dérivée & {\huge $\Box$} $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$\\ 
&& {\huge $\Box$} $x \longmapsto \dfrac{1}{3x}$\\ \hline
&&  {\huge $\Box$} $x \longmapsto - 2 \text{e}^{-2x + 3}$\\
\textbf{3.}& Sur $\R$, une primitive de la fonction $x \longmapsto  \text{e}^{-2x + 3}$ est & {\huge $\Box$} $x \longmapsto \text{e}^{-2x + 3}$\\
  & &{\huge $\Box$} $x \longmapsto  - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x + 3}$\\\hline%
  && {\huge $\Box$} 2 solutions\\
\textbf{4.}& Dans $\R$, l'équation : $\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 6 = 0$ possède & {\huge $\Box$} 1 solution\\
 & & {\huge $\Box$} 0 solution\\ \hline
  & & {\huge $\Box$} 2 solutions \\
\textbf{5.} & Dans $]0~;~+ \infty[$, l'équation : $(\ln x]^2 + \ln x - 6 = 0$ possède& {\huge $\Box$} 1 solution\\
  & & {\huge $\Box$} 0 solution\\ \hline
 & & {\huge $\Box$}~~ 2\\
 \textbf{6.}& Dans $\R$ l'équation : $1,1^x =  2,2$ a pour solution le nombre&{\huge $\Box$}~~$\ln 2$\\
  & & {\huge $\Box$} $\dfrac{\ln 2,2}{\ln 1,1}$\\ \hline
 \end{tabular}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

(\emph{Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles})

Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur les deux thèmes \og Cinéma \fg{} ou \og Musique \fg.

Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le  thème \og Cinéma \fg, les autres portant sur le thème \og Musique \fg.

Le candidat à ce jeu s'appelle Pierre.

\vspace{0,5cm}

\textbf{PREMIÈRE PARTIE :} Dans cette partie, on pose à Pierre une question choisie au hasard dans la boîte et on sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité que Pierre réponde correctement à  une question du thème \og Cinéma \fg{} est égale à $\dfrac{1}{2}$.
\item La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème \og Musique \fg{} est égale à $\dfrac{3}{4}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On  considère les évènements suivants : 

$C$ : la question porte sur le thème \og Cinéma \fg,

$M$ : la question porte sur le thème \og Musique\fg,

$E$ : Pierre répond correctement à la question posée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement :

\og La question porte sur le thème \og Musique \fg{} et Pierre y a répondu correctement \fg.

\item Montrer que la probabilité de l'évènement E est égale à $\dfrac{2}{3}$.
\item On suppose que Pierre n'a pas répondu correctement à la question posée ; quelle est la probabilité pour que la question ait porté sur le thème \og Cinéma{}\fg ?

(\emph{Certaines de ces réponses pourront être justifiées à l'aide d'un arbre de probabilités})
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE :} En fait le jeu se déroule de la façon suivante :

\medskip

On pose à Pierre une première question (selon les modalités décrites dans la première partie) et il marque 5 points s'il répond correctement et le jeu s'arrête.

Sinon, on lui pose une deuxième question choisie, indépendamment de la première et il marque 2 points s'il répond correctement et le jeu s'arrête.

Sinon, on lui pose une  troisième question (choisie indépendamment des deux précédentes) et  il marque 1 point s'il répond correctement.

Sinon le jeu s'arrête et il ne marque aucun point.

À chaque fois qu'une question est tirée, on remet dans la boîte une question portant sur le même thème.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
\item Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre.
\item Calculer l'espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On a divisé une population en deux catégories : \og fumeurs \fg{} et \og non-fumeurs \fg.

Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération à l'autre,

$\bullet~$ 60\,\% des descendants de fumeurs sont des fumeurs,

$\bullet~$ 10\,\% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.

On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-fumeurs.

On désigne par :

$\bullet~~f_{n}$ le pourcentage de fumeurs à la génération de rang $n$,

$\bullet~~g_{n}= 1 - f_{n}$  le pourcentage de non-fumeurs à la génération de rang $n$, où $n$ est un entier naturel.

On considère qu'à la génération $0$, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.

On a donc $f_{0} = g_{0 } = 0,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
\item Justifier l'égalité matricielle :

\[\left(f_{n+1}\quad  g_{n+1}\right) = \left(f_{n}\quad  g_{n}\right) \times \: A \text{ où }\, A \text{ désigne la matrice :} \: \begin{pmatrix}
0,6& 0,4\\
0,1& 0,9
\end{pmatrix} \]

\item Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.
\item Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
\item Montrer que : pour tout entier naturel $n, \: f_{n+1} =  0,5f_{n} + 0,1$.
\item On pose, pour tout entier naturel $n,~u_{n} = f_{n} - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~f_{n} = 0,3 \times 0,5^n + 0,2$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(f_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur la figure ci-dessous on donne les représentations graphiques $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ de deux fonctions $f_{1}$  et $f_{2}$ définies et dérivables sur [0~;~3].

\begin{center}
\psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\uput[d](1.71828,0){$\text{e}-1$} \uput[l](0,2.71828){$\text{e}$}
\uput[u](0.5,2.22){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[u](3,1.3){\blue $\mathcal{C}_{2}$} 
\psline(0,2.71828)(3,-0.2817)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 add ln}
\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=blue,hatchcolor=blue]{
\psline(0,2.71828)(1.71828,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.71828}{0}{x 1 add ln}}
\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](1.71828,0)(1.71828,1)(0,1)
\rput(1.25,-0.4){\textbf{Figure  1}}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'une des deux courbes représentées ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur [0 ; 3] par $f(x) = f_{1}(x) -  f_{2}(x)$.

\psset{unit=1.3cm}\begin{pspicture}(0,-1.75)(3.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1.7)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\rput(1.25,-1.5){\textbf{Figure  2}}
\uput[l](0,2.71828){$\text{e}$}
\def\f{2.71828-x-ln(x+1)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{3}{\f}
\end{pspicture} \hspace{1,5cm}	
\psset{unit=1.3cm}\begin{pspicture}(0,-1.75)(3.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1.5)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\uput[l](0,2.71828){e}
\rput(1.25,-1.5){\textbf{Figure  3}}
\def\f{2.71828-8*ln(x+1)+8*x/(x+1)+.25*x^2}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{3}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.3}{2.71828 x 1 add ln x mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.3}{3}{2.71828 x 1 add ln x mul sub x 2.2 sub 2 exp 1.4 mul add}
\psline[linestyle=dashed](1.71828,0)(1.71828,1)(0,1)
\uput[d](1.71828,0){\footnotesize $\text{e}-1$}
\end{pspicture} 

Laquelle de ces deux courbes ne peut pas convenir ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
		\item Donner le tableau de signes de la fonction $f'$ dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
\end{enumerate}
\item On note $F$ une primitive de $f$ sur [0~;~3]. Indiquer les variations de $F$ sur l'intervalle [0~;~3].
\item L'une des trois fonctions représentées ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $F$.

\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(0,-1)(3.5,3.5)%Figure 4
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\rput(1.25,-1){\textbf{Figure  4}}
\uput[l](-0.2,2.19453){$\frac{\text{e}^2 - 3}{2}$}
\psline{<->}(1.01828,2.19453)(2.41828,2.19453)
\def\f{(Euler+1)*x-.5*x^2-(x+1)*ln(x+1)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{3}{\f}
\psline[linestyle=dashed](1.71828,0)(1.71828,2.19453)(0,2.19453)
\end{pspicture} \hspace{1.1cm}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,-1)(3.5,3.5)%Figure 5
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\uput[l](-0.2,2.19453){$\frac{\text{e}^2 - 3}{2}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,-1)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\def\f{(Euler^2-3)/2-.25*(x+1-Euler)^3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{\f}
\rput(1.25,-1){\textbf{Figure  5}}
\psline[linestyle=dashed](1.71828,0)(1.71828,2.19453)(0,2.19453)
\psline{<->}(1.01828,2.19453)(2.41828,2.19453)
\end{pspicture} \hspace{1cm}
\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(0,-1)(3.5,3.5)%Figure 6
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\uput[l](-0.2,2.19453){$\frac{\text{e}^2 - 3}{2}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,-1)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.19453)(0,2.19453)
\uput[dl](0,0){O} 
\psline{<->}(1.5,2.19453)(2.5,2.19453)
\rput(1.25,-1){\textbf{Figure  6}}
\def\f{3.71828*x-1.08198*x^2-1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{\f}
\end{pspicture}

Justifier que les courbes représentées sur les figures 5 et 6 ne peuvent pas convenir.

\item Donner la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{\text{e} - 1} f(x)\,\text{d}x$.
\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré sur la figure 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous tes candidats}

\medskip

Un club sportif a été créé en 1998 ; à l'origine le nombre d'adhérents était égal à $600$.

\bigskip

\textbf{Première partie} Étude du nombre d'adhérents de 1998 à 2004

\medskip

On donne, dans le tableau ci-dessous, le nombre d'adhérents de 1998, à 2003 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1998	&1999	&2000	&2001	&2002		&2003\\\hline
rang de l'année $x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4			&5\\\hline
nombre d'adhérents $y_{i}$&	600	&690	&794	&913	&\np{1045}	&\np{1207}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

On pose $Y_{i} =  \ln \left(y_{i}\right)$ et on réalise un ajustement affine par la méthode des moindres carrés du nuage de points $\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$.

Une équation de la droite d'ajustement de $Y$ par rapport à $x$ est $Y =  0,14 x + 6,397$.

En utilisant cet ajustement,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une prévision du nombre d'adhérents en 2004.
\item Justifier les affirmations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $y_{i} = 600 \times  1,15^{x_{i}}$ ; 600 a été arrondi à l'unité, $1,15$ a été arrondi au centième.
		\item De 1998 à 2004, on peut considérer que le nombre d'adhérents a augmenté de 15\,\% par an.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie :} Étude du nombre d'adhérents à partir de l'année 2004

\medskip

En fait le club a compté \np{2400} adhérents lors de l'année 2004.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{\np{3600}}{1 + 0,5 \text{e}^{-x}}.\]

On suppose que le nombre d'adhérents en (2004 $+ n)$  est égal à $f(n)$, où $n$ est un entier naturel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.
\item On se propose de calculer le nombre moyen d'adhérents M de 2005 à 2009 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&	2005	&2006	&2007 	&2008	&2009\\ \hline
$n$		&	1		&2		&3 		&	4 	&	5\\ \hline
$f(n)$ 	&\np{3040} 	&  		&  		&  		&  \\ \hline 
\multicolumn{6}{|c|}{Les valeurs de $f(n)$ seront arrondies à l'unité}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
		\item Calculer la valeur de M, moyenne du nombre prévisionnel d'adhérents entre 2005 et 2009 (le résultat sera arrondi à l'unité).
	\end{enumerate}
\item On  considère la fonction $F$ définie	sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[F(x) =  \np{3600} \ln \left(\text{e}^x + 0,5\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que  $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle [0,5~;~5,5].

On pourra constater que les valeurs M et $\mu$ sont proches.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers  juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole  juin 2005
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\parbox[l]{0.5\textwidth}{La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-contre est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-3~;~+ \infty[$.

On sait que le point A de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe ($\mathcal{C}$) et que la fonction $f$ admet un minimum pour $x = 0$. En outre, les droites d'équations respectives $y = 4$ et $x = -3$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.}\hfill
\parbox[l]{0.47\textwidth}{\psset{unit=0.35cm}\begin{pspicture}(-4,-1)(15,18)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=5,gridcolor=orange](0,0)(-4,-1)(15,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-4,-1)(15,18)
\uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,18){$y$}
\uput[ul](0,4){4} \uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-3,0){$-3$}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,4)(15,4)
\psline[linewidth=1.25pt](-3,-1)(-3,18)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.545}{15}{6 2.71828  x 0.5 mul neg exp mul  15 sub  x 3 add div 4 add}\uput[d](14,3.4){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[ur](0,1){A}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse \textsl{sur la feuille réponse fournie en} \textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}.

\textsl{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à} $0$.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|X|}\hline
\textbf{1.} La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est :& \begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $+ \infty$
\item[$\bullet~$] $- 3$
\item[$\bullet~$] $4$
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{2.}	On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-3~;~+ \infty[$&\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f'(0)= 1$
\item[$\bullet~$] $f'(1) = 0$
\item[$\bullet~$] $f'(0) = 0$
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{3.}	L'équation de la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A est :&\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $y = 1$
\item[$\bullet~$] $y = x$
\item[$\bullet~$] $y = 0$
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{4.}	Sur l'intervalle $]-3~;~+\infty[$, l'équation $f(x) = x$&\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] n'admet aucune solution
\item[$\bullet~$] admet comme solution unique : $x = 0$
\item[$\bullet~$] admet une solution unique appartenant à l'intervalle ]1~;~2[
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Dans les deux questions suivantes, on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-3~;~+ \infty[$ par $g = \ln \circ f$,~où ln désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|X|}\hline
\textbf{5.} Si $x =0$, alors	&\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] on ne peut pas calculer $g(x)$
\item[$\bullet~$] $g(x) =1$ 
\item[$\bullet~$] $g(x)= 0$
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{6.}	On peut affirmer que sur l'intervalle \mbox{$]-3~;~+\infty[$}&\begin{itemize} 
\item[$\bullet~$] $g$ a les mêmes variations que la fonction ln
\item[$\bullet~$] $g$ a les mêmes variations que la fonction $f$
\item[$\bullet~$] $g$ a les variations inverses de celles de la fonction $f$
\end{itemize}\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En 2004, une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d'un trimestre de cotisation des années antérieures selon le tableau suivant :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge de l'adhérent en années	&54	&55	&56	&57	&58\\  \hline
Rang $x_{i}$				&0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
Montant $y_{i}$ du rachat d'un trimestre de cotisation en euros
&	\np{2229}&	\np{2285}&	\np{2340}&	\np{2394}&	\np{2449}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{(Source : \textsl{CARMF} mai 2004)}
\end{tabularx}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'augmentation en pourcentage du montant du rachat d'un trimestre entre un salarié de 54~ans et un salarié de 58~ans. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
\item Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour une unité ;
\item[$\bullet~$]	sur l'axe des ordonnées, on placera \np{2200} à l'origine et on choisira 1 cm pour 20 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item \textsl{Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.}

Le nuage de points permet de penser qu'un ajustement affine est justifié. 

Donner une équation de la droite de régression (D) de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. 

Représenter la droite (D) dans le repère précédent.
\item Quel serait avec cet ajustement affine le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans ?
\item En fait le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans est de \np{2555}~euros et le montant du rachat d'un trimestre après 60~ans est calculé de la façon suivante : à partir de 60~ans, le montant du rachat baisse de 3\,\% par an.

Calculer le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié ayant 65 ans.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de \np{100000}~habitants.

Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1\up{er} janvier 2005 :

$\bullet~$	le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5\,\% du fait des naissances et des décès ;

$\bullet~$	du fait des mouvements migratoires, \np{4000}~personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A : étude théorique}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d'habitants de cette ville au 1\up{er} janvier de l'année 2005$ + n$.

Ainsi, $u_{0} = \np{100000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,~u_{n+1} =1,05 u_{n} +  \np{4000}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} + 80\,000$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$.
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		
En déduire que $u_{n} = \np{180000} \times (1,05)^n  - \np{80000}$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1\up{er} janvier 2020 ?
\item À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle \np{200000}~habitants ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{FORMULAIRE POUR L'EXERCICE 2}

\textbf{SUITES ARITHMÉTIQUES, SUITES GÉOMÉTRIQUES}\end{center}

Suite arithmétique de premier terme $u_{0} \in \R$ et de raison $a \in \R$ :

Pour tout $n \in \N,\qquad	u_{n+1} = u_{n} + a, \qquad	u_{n} = u_{0} + na$.

\vspace{0,4cm}

Suite géométrique de premier terme $u_{0} \in \R$ et de raison $b \in \R$ :

Pour tout $n \in \N,\qquad 	u_{n+1} = bu_{n}, \qquad		u_{n} = u_{0}b^n$.

Somme de termes :	$\bullet~1+ 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} \\ 	\bullet~ $Si $b \neq 1$ alors $1 + b + b^2  + \cdots + b^n = \dfrac{1 - b^{n+1}}{1 - b}$

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = x - 2 +10\text{e}^{-0,5x}.\]

On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation $y = x - 2$. La courbe ($\mathcal{C}$) est partiellement représentée en \textbf{ANNEXE 2}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item On pose $\alpha =2 \ln 5$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(\alpha) = \alpha$.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$,pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, et dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 2)] = 0$ et que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,

\[f(x) - (x - 2) > 0.\]

Donner l'interprétation graphique de ces résultats.

\item Sur le graphique donné en \textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)} :
	\begin{enumerate}
		\item placer le point de la courbe ($\mathcal{C}$) d'abscisse $\alpha$ ;
		\item tracer la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $\alpha$ ;
		\item tracer la droite (D).
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe ($\mathcal{C}$), la droite (D) et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 6$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique, donné en \textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}, le domaine E, puis exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.
		\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis en donner la valeur arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70\,\% de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.

Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites \og hors calibre \fg, sont rejetées.

Il a été constaté que 20\,\% des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre, 5\,\% des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et 4\,\% des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre.

Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées.

Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante : un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de \og bon calibre \fg{} ou \og hors calibre \fg.

Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.

On appellera $F_{1}$ l'évènement : \og la pomme prélevée provient du premier producteur \fg

$F_{2}$ l'évènement : \og la pomme prélevée provient du deuxième producteur \fg

$F_{3}$ l'évènement : \og la pomme prélevée provient du troisième producteur \fg

$C$ l'évènement : \og la pomme prélevée a un bon calibre \fg

$\overline{C}$ l'évènement : \og la pomme prélevée est hors calibre \fg.

\smallskip

\textsl{Tous les résultats de cet exercice seront donnés à} $10^{-4}$ \textsl{près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements $F_{2}$ et $F_{3}$.
\item Recopier sur votre copie et compléter l'arbre suivant :

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F_{1}$~}\taput{0,7}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F_{2}$~}\taput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
	\pstree{\TR{$F_{3}$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}
	  }
}
\end{center}

\item Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est \np{0,1440}.
\item Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : \np{0,8465}.
\item La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme :

\begin{center} \og Cette pomme provient très probablement du premier producteur \fg. \end{center}

Quel calcul permet de justifier cette affirmation ?

Faire ce calcul et conclure.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\textbf{Exercice 2}

\textbf{À rendre avec la copie}

Courbe représentative $(\mathcal{C})$ sur l'intervalle [0~;~8] de la fonction $f$ définie par :

\[f(x) = x - 2 + 10\text{e}^{- 0,5x}.\]



\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(8,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(8,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8.3,8.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](8.3,0){$x$} \uput[l](0,8.3){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{10 2.71828 0.5 x mul exp div x add 2 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion juin 2005
\hypertarget{Reunion}{}

\label{Reunion}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2005~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun ˆ tous les candidats}

\medskip

Au rayon \og image et son \fg{} d'un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine. Une personne se présente :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'elle achète le téléviseur est $\dfrac{3}{5}$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle achète le téléviseur est $\dfrac{7}{10}$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle n'achète pas le téléviseur est	$\dfrac{1}{10}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $T$ l'évènement : \og la personne achète le téléviseur \fg{} et par L l'évènement : \og la personne achète le lecteur de DVD \fg.

On notera $\overline{T}$ et $\overline{L}$ les évènements contraires respectifs de $T$ et de $L$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Déterminer les probabilités des évènements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fractions) :
	\begin{enumerate}
		\item \og la personne achète les deux appareils \fg
		\item \og la personne achète le lecteur de DVD \fg
 		\item \og la personne n'achète aucun des deux appareils \fg.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que, si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu'elle achète aussi le téléviseur est $\dfrac{21}{23}$.
 \item Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500~\euro{} et le lecteur de DVD 200~\euro. Pendant cette semaine, le magasin fait une remise de 15\,\% pour l'achat d'un seul des deux appareils et de 25\,\% pour l'achat des deux appareils. On désigne par $D$ la dépense effective (en \euro) de la personne.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de $D$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $D$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$.
		\item Le responsable du rayon \og image et son \fg{} prévoit qu'il se présentera dans la semaine $80$ personnes intéressées par ces deux appareils. Quel chiffre d'affaires peut-il espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,4cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Une seule-réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte} 0,5 \emph{point. Une mauvaise réponse enlève} 0,25 \emph{point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note totale attribuée à l'exercice est} 0.
 
\begin{tabular}{*{4}{l}}
\multicolumn{4}{l}{\textbf{1.} La population d'une commune rurale diminue de 2\,\% par an.}\\
\multicolumn{4}{l}{Sa population aura diminué de moitié dans :}\\
\textbf{A} : 15 ans&\textbf{B} : 20 ans&\textbf{C} : 35 ans&\textbf{D} : 50ans\\
\multicolumn{4}{l}{}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{2.} Le prix d'un article augmente d'un certain pourcentage puis baisse }\\
\multicolumn{4}{l}{immédiatement du même pourcentage. Finalement le prix de cet article :}\\
\textbf{A} : a augmenté&	\textbf{B} : a baissé&	\textbf{C} : n'a pas varié&	\textbf{D} : on ne peut pas savoir\\
\multicolumn{4}{l}{}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{3.} La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000.}\\
\multicolumn{4}{l}{Le taux d'accroissement moyen annuel a été de :}\\
\textbf{A} : 3\,\%&	\textbf{B} : 2,75\,\%	&\textbf{C} : 2,5\,\%&	\textbf{D}:1,75\,\%\\
\multicolumn{4}{l}{}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{4.} Pour tout réel $x,~ \left(\text{e}^x\right)^2  \times \text{e}^{3x - 1}$ est égal à :}\\
\textbf{A}  : $\text{e}^{x^2 + 3x - 1}$ & 	\textbf{B}  : $\text{e}^{2x(3x - 1)}$ &	\textbf{C}  : $\dfrac{\text{e}^{5x}}{\text{e}}$&	\textbf{D} : $\dfrac{\text{e}^{\left(x^2\right)}}{\text{e}^{1-3x}}$\\
\multicolumn{4}{l}{}\\
 \multicolumn{4}{l}{\textbf{5.} Le nombre $-2$ est solution de l'équation :}\\
\textbf{A} : $\text{e}^x= -2$&	\textbf{B} : $\text{e}^{\ln x}   = -2$&	\textbf{C} : $\ln x = - \ln 2$&	\textbf{D}: $\ln \text{e}^x = - 2$\\
\multicolumn{4}{l}{}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{6.} L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln (x + 3) < \ln 6$ est :}\\
\textbf{A} : $S = ]-\infty~;~3[$&	\textbf{B} : $S = ]- 3~;~3[$&	\textbf{C} : $S = ]0~;~3[$&	\textbf{D} : $S = ]3~;~+\infty[$\\
\multicolumn{4}{l}{}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{7.} $\displaystyle\int_{1}^4 x^2\,\text{d}x = $}\\
\textbf{A} : 6 &	\textbf{B} : 15&	\textbf{C} : 21&	\textbf{D} : 63\\
\multicolumn{4}{l}{}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{8.} La valeur moyenne sur l'intervalle [1 ; 3] de la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x}$ est :}\\
\textbf{A} : $\dfrac{1}{2}$ &	\textbf{B} : $\dfrac{2}{3}$&	\textbf{C} : $\ln \sqrt{3}$&	\textbf{D}: $\ln 2$\\
\end{tabular}
            
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Sur un parcours donné, la consommation $y$ d'une voiture est donnée en fonction de sa vitesse moyenne $x$ par le tableau suivant :
 
\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ (en km/heure)		&80	&90	&100	&110	&120\\ \hline
$y$ (en litres/100 km)	&4	&4,8&6,3	&8 		&10\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item La consommation est-elle proportionnelle à la vitesse moyenne ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2~cm pour 10~km/h sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1~litre sur l'axe des ordonnées).
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer sur le graphique.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme $y = ax + b$, de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés et tracer cette droite (on arrondira $a$ au millième et $b$ au centième).
		\item En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture pour une vitesse de 130 km/h.
	\end{enumerate}
\item La forme du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose : $z = \ln y$ et on admet que la droite d'ajustement obtenue pour les cinq points $(x~;~z)$ du nuage par la méthode des moindres carrés, a pour équation 
$z = \np{0,0234}x - \np{0,5080}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $y$ sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}~ \left(\text{donner}\: A\:\text{et}\: B\: \text{arrondis à}\: 10^{-4}\right)$.
		\item Tracer, sur le même graphique, la courbe d'équation $y = A\text{e}^{Bx}$ pour $x$ élément de l'intervalle [80~;~120].
		\item En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100~km (arrondie au dixième) de la voiture, pour une vitesse de 130~km/h.
	\end{enumerate}
\item Des deux valeurs obtenues dans les questions \textbf{2. d.} et \textbf{3. c.}, pour la consommation à une vitesse de 130 km/h, laquelle vous semble la plus proche de la consommation réelle ? Expliquer votre choix.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le 1\up{er} janvier 2005, une grande entreprise compte \np{1500}~employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10\,\% de l'effectif du 1\up{er} janvier partira à la retraite au cours de l'année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.
 
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_{n }$ le nombre d'employés de l'entreprise le 1\up{er}~ janvier de l'année $(2005+n)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{0},~u_{1}$ et $u_{2}$.
 
La suite $u$ de terme général $u_{n}$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.
 		\item Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel $n,$
		$u_{n+1}  = 0,9 u_{n} + 100$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_{n} = u_{n} - \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $v$ de terme général $v_{n}$ est géométrique. Préciser sa raison.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
 
En déduire que pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = 500 \times 0,9^n + \np{1000}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $u$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} - u_{n} = - 50 \times 0,9^n$.
 
En déduire le sens de variation de la suite $u$.
 \item Au 1\up{er} janvier 2005, l'entreprise compte un sur-effectif de 300 employés. À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera -t-elle plus en sur-effectif ?
\end{enumerate}  
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $]0~;~1[\,\cup\, [1~;~+ \infty[$
par 

\[f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}\]

et on nomme $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.

\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,4)
\psframe(0,0)(9,4)
\psline(0,2)(9,2) \psline(0,3)(9,3) 
\psline(2,0)(2,4) \psline[doubleline=true](2.25,0)(2.25,3)  
\psline[doubleline=true](6,0)(6,3) 
\psline{->}(2.5,0.5)(3.8,1.7)\psline{->}(4.2,1.65)(5.7,0.5)
\psline{->}(6.5,1.6)(8.6,0.5)
\uput[u](1,3.1){$x$}\uput[u](2.25,3.1){$0$}\uput[u](4,3){$\dfrac{1}{\text{e}}$} 
\uput[u](6,3.1){$1$}\uput[u](8.7,3.1){$+ \infty$} 
\uput[u](1,2.3){$f'(x)$}\uput[u](3,2.3){$+$}\uput[u](4,2.3){$0$}  
\uput[u](5,2.3){$-$}  \uput[u](7.5,2.3){$-$} 
\uput[u](1,0.8){$f(x)$} \rput(2.55,0.2){$-\infty$}  
\rput(4,1.8){$- \text{e}$}\rput(5.65,0.2){$-\infty$}  
\rput(6.3,1.8){$+\infty$} \rput(8.7,0.2){$0$}   
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier les éléments suivants donnés par ce tableau de variations :

signe de $f'(x)$, limites aux bornes de l'ensemble de définition, image de $\dfrac{1}{\text{e}}$ par $f$.
 
\textbf{On admet que :} $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.
\item Combien la courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle d'asymptotes ? Donner une équation de chacune d'elles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point A d'abscisse $\dfrac{1}{\text{e}}$.
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point B d'abscisse e.
	\end{enumerate} 
\item Indiquer pour quelles valeurs du réel $k$ l'équation $f(x) = k$.
	\begin{enumerate}
		\item ne possède aucune solution  ;
		\item possède une solution unique ; 
		\item possède deux solutions distinctes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
(Aucune justification n'est attendue dans cette question, on pourra s'aider de la représentation graphique de la fonction $f$ obtenue à l'aide de la calculatrice)
%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Liban ES juin 2005
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{6 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban 6 juin 2005~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans un repère orthonormal du plan \Oij{} d'unités graphiques 2 cm, la courbe $(\Gamma)$, tracée ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~3,5].

$\bullet~$ I et J sont les points du plan tels que $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$ et $\vect{\text{OJ}} = \vect{\jmath}$ ;

$\bullet~$ C est le point de $(\Gamma)$ situé sur la bissectrice de $\widehat{\text{IOJ}}$ ;

$\bullet~$ (OA) est la tangente en O à $(\Gamma)$ ;

$\bullet~$ $\mathcal{S}$ est la surface hachurée sur la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=2.75cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.5,2.25)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(3.5,2.2)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} 
\uput[ul](0.5,2){A}\uput[u](1,2){B} \uput[r](1.75,1.78){C}
\uput[u](3.25,1.2){\blue $(\Gamma)$}
\psline(0,0)(2.2,2.2)
\psline{->}(0,0)(0.55,2.2)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.75,2)(1.25,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(3.5,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.25,0.95)(0.5,1.55)(0.75,1.84)(1,2)(1.25,1.97)(1.5,1.87)(1.75,1.75)(2,1.62)(2.5,1.38)(3,1.2)(3.5,1.16)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.25,0.95)(0.5,1.55)(0.75,1.84)(1,2)
\psline(1,0)(0,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le tableau de variations de $g$ sur [0~;~3,5] ?
		\item Quelles sont les valeurs de $g'(0)$ et de $g'(1)$ ?
		\item Quelles sont les coordonnées du point C ?
		\item Résoudre l'inéquation $g(x) \geqslant x$ sur [0~;~3,5].
	\end{enumerate}
\item Définir la surface $\mathcal{S}$ par un système d'inéquations et déterminer graphiquement un encadrement de l'aire de $\mathcal{S}$ d'amplitude 2 cm$^2$.

\textsl{Rappel : l'aire d'un trapèze est donnée par la formule} : $\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$ \textsl{où} $B$ \textsl{et} $b$ \textsl{sont les bases du trapèze et} $h$ \textsl{sa hauteur}.

\item On suppose que l'une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive de la fonction $g$ s'annulant en $0$. En justifiant l'élimination de deux des courbes, indiquer celle qui est la représentation graphique de cette primitive.

\begin{center}
\begin{tabular}{ c c c }
Courbe \no 1& Courbe \no 2&Courbe \no 3\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(3.5,2.5)
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
%\pscurve(0,0)(0.5,0.77)(1,1.2)(1.5,1.8)(2,2.5)
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{1.85}{ x sqrt x dup mul 3 div add}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(3.5,2.5)
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
%\pscurve(0,0)(0.25,0.075)(0.5,0.25)(1,1.3)(1.5,2.18)(1.7,2.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=1000,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{1.57}{1.75*ln((8*x^2+7)/7)-.233854*atg(1.06904*x)+.25*x}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(3.5,2.5)
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
%\pscurve(0,0)(0.25,0.15)(0.5,0.42)(0.75,1.35)(1,1.5)(1.5,1)(2,0.45)(3,0.2)(3.5,0.17)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.5}{10 x dup mul mul  2.71828 2 x mul exp div}
\end{pspicture*}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un fournisseur d'accès à internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour l'année 2005, il établit un relevé du nombre des abonnés des années 2000 à 2004.

Il affecte l'indice 100 à l'année 2000 pour établir la statistique des abonnés et consigne les données sur le tableau et le graphique ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
Année 			&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang $x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
Indice $y_{i}$ 	&100	&112	&130	&160	&200\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(1,100)(6,250)
\multido{\n=1+0.5}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,100)(\n,250)}
\multido{\n=100+12.5}{13}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](1,\n)(6,\n)}
\psaxes[Ox=1,Oy=100,Dx=1,Dy=50,linewidth=1.25pt](1,100)(6,250)
\qdisk(1,100){2pt} \qdisk(2,112){2pt} \qdisk(3,130){2pt} 
\qdisk(4,160){2pt} \qdisk(5,200){2pt} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'abonnés était  de \np{2040} pour l'année 2000, de combien est-il pour l'année 2004 ?
\item Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004 ?
\item Quelle est l'équation  de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ?
\item Quelles prévisions du nombre d'abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010 ?

\textsl{On arrondira à l'entier le plus proche.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le fournisseur décide d'utiliser un changement de variable pour obtenir un autre ajustement, il crée un nouveau tableau en posant $Y = \ln (y)$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item ~Recopier et compléter le tableau. \textsl{On donnera des valeurs approchées à} $10^{-2}$.

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$				&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$Y_{i} = \ln y_{i}$	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le plan muni d'un repère, construire le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$ et la droite de régression de $Y$ en $x$ donnée par l'équation : $Y = 0,17x + 4,39$.
\item Exprimer le nombre d'abonnés $n_{i}$ en fonction du rang $x_{i}$ de l'année.
\item En déduire une nouvelle prévision du nombre d'abonnés pour les années 2005 et 2010.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi la spécialité mathématique}

\vspace{0,3cm}

\begin{center} \textbf{Utiliser le DOCUMENT RÉPONSE DONNÉ EN ANNEXE} \end{center}

\bigskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on désigne par $\mathcal{S}$ l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ de l'espace tel que $z = 3xy$. On dit $\mathcal{S}$ est la surface d'équation $z = 3xy$.

Une courbe de niveau de cote $z_{0}$ est l'intersection d'un plan d'équation $z = z_{0}$, parallèle au plan ($x$O$y$) avec la surface $\mathcal{S}$. On définit de façon identique une courbe de niveau d'abscisse $x_{0}$ et une courbe de niveau d'ordonnée $y_{0}$.

\begin{enumerate}
\item Soient les courbes de niveau d'abscisse 1, d'abscisse $\dfrac{3}{2}$ et d'abscisse $2$.

Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan ($y$O$z$) sur la figure 1 du document réponse.

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature des courbes de niveau d'abscisse constante ?
		\item Montrer que les courbes de niveau de cote constante non nulle sont des hyperboles.
	\end{enumerate}
\item Sur la figure 2 sont représentées trois courbes $\mathcal{C}_{1},\:\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ représentant les projections orthogonales dans le plan ($x$O$y$) de trois courbes de niveau de cote constante $k$.

Préciser, en le justifiant, la valeur de $k$ associée à chaque courbe.

\item Le point A$'$ représenté sur la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la figure 2 est la projection orthogonale dans le plan ($x$O$y$) d'un point A$(x~;~y~;~z)$, de la surface $\mathcal{S}$.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point A dans le repère \Oijk.
		\item Préciser les coordonnées du point A$''$, projeté orthogonal de A dans le plan ($y$O$z$), puis placer ce point A$''$ sur la figure 1.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + 6y - z - 6 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient au plan $\mathcal{P}$.
		\item Montrer que le plan $\mathcal{P}$ contient la courbe de niveau d'abscisse 2.
 		\item Démontrer que l'intersection de la surface $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$ est la réunion de deux droites : la courbe de niveau d'abscisse 2 et une autre droite que l'on déterminera par un système d'équations cartésiennes.

On pourra utiliser la factorisation $x + 2y - xy - 2 = (x - 2)(1 - y)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}\textbf{Tableau d'informations } \boldmath $\no 1$ \unboldmath

\bigskip

\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(0,0)(11,3)
\psline(0,1)(11,1)
\psline(0,2)(11,2)
\psline(3,0)(3,3) \psline(5,0)(5,2) \psline(7,0)(7,2) \psline(9,0)(9,2)
\uput[u](1.5,2){$x$} \uput[u](3.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- 1$} 
\uput[u](7,2){$\dfrac{1}{2}$} \uput[u](9,2){$2$} \uput[u](10.5,2){$+\infty$}
\uput[u](1.5,1.2){Signe de $u(x)$}\uput[u](4,1.2){$+$} \uput[u](5,1.2){$0$} \uput[u](6,1.2){$-$} \uput[u](8,1.2){$-$} \uput[u](9,1.2){$0$}\uput[u](10,1.2){$+$}
\uput[u](1.5,0.2){Signe de $u'(x)$}\uput[u](4,0.2){$-$}
\uput[u](6,0.2){$-$} \uput[u](7,0.2){$0$}
\uput[u](8,0.2){$+$}\uput[u](10,0.2){$+$} 
\end{pspicture}
\end{center}

Le tableau d'informations \no 1 ci-dessus fournit des informations sur une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item Établir un tableau des variations de la fonction $u$.

On considère maintenant les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \ln [u(x)]$ et $g(x) = \text{e}^{u(x)}$ où $u$ désigne la fonction de la question précédente.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle ? Justifier en précisant le bon ensemble de définition :

Affirmation 1 : \og La fonction $f$ est définie sur $\R$ \fg{} ;

Affirmation 2 :  \og La fonction $g$ est définie sur $\R$ \fg.
		\item Donner les variations des fonctions $f$ et $g$. Énoncer le(s) théorème(s) utilisé(s).
		\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to 2 \atop x > 2} f(x)$
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Voici d'autres informations relatives à la fonction $u$ et à sa dérivée $u'$.

\begin{center}
\textbf{Tableau d'informations }\boldmath $\no 2$.\unboldmath
\end{center}

\[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$		&$-2$	& 0 	&$\dfrac{1}{2}$		&2&3\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$u(x)$		&4		&$-2$	&$- \dfrac{9}{4}$	&0&4\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$u'(x)$	& $-5$	&	1 	&0 					&3&5\\ \hline
\end{tabularx}\]


Terminer chacune des deux phrases \textbf{a.} et \textbf{b.} par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix.

	\begin{enumerate}
		\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est parallèle :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\bullet~$ à	l'axe des abscisses &$\bullet~$ à la droite d'équation& $\bullet~$ à la droite d'équation \\
 & 	$y = x$& $y = 3x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Le nombre $f'(-2)$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\bullet~$ n'existe pas&$\bullet~$ vaut $- 20$&$\bullet~$ vaut $- \frac{4}{5}$&$\bullet~$ vaut $-\frac{5}{4}$&$\bullet~$ vaut $\frac{5}{4}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. comportant quatre questions dont voici le barème et les instructions :

Pour chaque question, une seule des quatre propositions A, B, C ou D est exacte.

L'élève recopie sur sa feuille une grille de réponses présentée comme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question& Réponse :\\
 		& A, B, C, D\\ \hline
1		& \\ \hline
2		& \\ \hline
3		& \\ \hline
4		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point.

L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

\textbf{Les trois candidats répondent correctement à la première question.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quentin choisit de ne pas répondre à la question \no 2 et de donner une réponse à chacune des deux dernières questions, en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des quatre réponses proposées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M. ?
		\item Combien de grilles différentes peut-il remplir ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de faire deux fautes ? 
 		\item Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité. En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.
	\end{enumerate}
 \item Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable l'une des quatre réponses proposées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M. ? 
 		\item Combien de grilles différentes peut-il remplir ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ? 
 		\item Quelle probabilité a-t-il de faire trois fautes ? 
 		\item Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité. En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.
	\end{enumerate} 
\item Lucien choisit de ne répondre à aucune des trois dernières questions.

Classer les stratégies de Quentin, Nicolas et Lucien.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC  LA COPIE}

(Exercice 2 spécialité)

\vspace{0,5cm}

\textbf{Figure 1}

\begin{pspicture}(10,8)

\psgrid[linestyle=dotted,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(10,8) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=12,Dy=12](10,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=12,Dy=12]{->}(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[d](10,0){$y$} \uput[l](0,1){1} \uput[l](0,8){$z$} 
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Figure 2}

\psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(6.2,4.2)
\psgrid[linestyle=dotted,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](6.2,0){$x$} \uput[l](0,4.2){$y$} 
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{6}{1 x div}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.5}{6}{2 x div}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.75}{6}{3 x div}
\qdisk(1,1){2pt} \qdisk(1,2){2pt} \qdisk(1,3){2pt}  \qdisk(2,1){2pt}
\uput[ur](2,1){A$'$} \uput[d](3,0.323){\blue $\mathcal{C}_{1}$} 
\uput[d](3,0.656){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[d](3,1.){\cyan $\mathcal{C}_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Liban juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2005
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large  \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat ES Polynésie  9 juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise étudie la progression de ses bénéfices ou pertes, évalués au premier janvier de chaque année, depuis le $1 \up{er}$ janvier 1999. Chaque année est identifiée par son rang.

À l'année 1999 est attribué le rang $0$ et à l'année $1999 + n$ le rang $n$ ainsi 2001 a le rang 2.

Le tableau ci-dessous indique pour chaque rang $x_{i}$ d'année le bénéfice ou perte réalisé, exprimé en milliers d'euros et noté $y_{i}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ &0 			&1 			&2 		&3 		&4 		&5 \\ \hline
$y_{i}$ &$- 25,000$ &$-3,111$ 	&9,892 	&17,788 &22,598 &25,566 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}  

On cherche à approcher ces bénéfices par une fonction.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = - \text{e}^{\left(-\frac{x}{2}+ 4 \right)} + 30.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour 4 unités en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère que l'approximation des bénéfices par $f$ est satisfaisante si la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées $y_{i}$ et les valeurs approchées $f\left(x_{i}\right)$ est inférieure à $0,5$.

L'approximation par $f$ est-elle satisfaisante ? (Le résultat obtenu à l'aide de la calculatrice constituera une justification acceptable pour cette question.)

\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote D dont on précisera l'équation.
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à D.

\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le modèle que constitue la fonction $f$, en quelle année le bénéfice évalué au $1 \up{er}$ janvier dépassera-t-il \np{29800} euros ?
		\item Ce bénéfice atteindra-t-il \np{30000} euros ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Construire $\mathcal{C}_{f}$, en faisant apparaître tous les éléments graphiques mis en évidence dans les questions précédentes. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.

$10\,\%$ des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.

Un joueur tire un jeton au hasard.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] S'il est rouge, il remporte le gain de base. 
\item[] S'il est blanc, il remporte le carré du gain de base. 
\item[] S'il est bleu, il perd le cube du gain de base.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que le gain de base est 2 euros.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité sur l'ensemble des résultats possibles.
		\item Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.
	\end{enumerate}
\item On cherche à déterminer la valeur $g_{0}$ du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d'euro.

Soit $x$ le gain de base en euros.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = - 0,1x^3 + 0,3x^2 + 0,6x.\]

		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Déterminer $f'(x)$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Conclure sur le problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

La figure de l'annexe représente un pavé droit ; le point O est le milieu de [AD].

Soit P le milieu du segment [EF].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $z =2$ ?
		\item Déterminer une équation du plan (ABF).
		\item En déduire un système d'équations qui caractérise la droite (EF).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points A, G et P ? 
		\item Placer sur la figure le point Q de coordonnées (0~;~0,5~;~0). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ).
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur la figure les segments [PQ] et [AG]. 
		\item Le point G appartient-il au plan (APQ) ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On construit la figure précédente à l'aide d'un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de représenter le point d'intersection des droites (AG) et (PQ). Quelle pourrait être la réponse de l'ordinateur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des quatre questions, une et une seule affirmation est exacte. 

\textbf{Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l'affirmation exacte ; aucune justification n'est demandée sauf pour la question 4.}

\textsl{Barème des trois premières questions} :

\textsl{À chaque question est attribué} 1 \textsl{point.}

\textsl{Une réponse inexacte enlève} 0,5 \textsl{point.}

\textsl{Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\textsl{Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux évènements. Il est possible que :

$\bullet~~p(A) = 0,8\quad	\text{et}	\quad p(B) = 0,4\quad	\text{et} \quad	p(A \cap B) = 0,1.$

$\bullet~~p(A) = 0,7\quad	\text{et}	\quad p(B) = 0,5	\quad \text{et} \quad	p(A \cap B) = 0,2.$

$\bullet~~p(A) = 0,8\quad	\text{et}  \quad	p(B) = 0,9\quad	\text{et} \quad	p(A \cap B) = - 0,1.$

\item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $p(A) = 0,3$ et \\$p(B) = 0,2$. Alors :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $p(A \cap B) = 0,5.$
\item[$\bullet~$]  Les informations précédentes ne suffisent pas à calculer $p(A \cap B)$.
\item[$\bullet~$]  $p(A \cap B) = 0,06.$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements incompatibles mais non impossibles, alors $A$ et $B$ sont indépendants.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Cette affirmation est vraie.
\item[$\bullet~$] Cette affirmation est fausse.
\item[$\bullet~$] On ne peut pas savoir.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On justifiera soigneusement la réponse à cette question.

On répète quatre fois de manière indépendante une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est 0,35. Alors la probabilité d'obtenir au moins un succès est :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] environ 0,015.
\item[$\bullet~$] environ 0,821.
\item[$\bullet~$] environ 0,985.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2~;~10]$. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

On précise que le point d'abscisse 4,83 de $\mathcal{C}_{f}$ a pour ordonnée 1,86 et que cette valeur est le maximum de la fonction $f$.

On note $\mathcal{C}_{F}$ la courbe représentative de la primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 1. On précise que le point A(5~;~5,43) appartient à $\mathcal{C}_{F}$.

On note $\mathcal{C}_{f'}$ la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$ de $f$.

\smallskip

\emph{Toutes les estimations graphiques seront données à $0,25$ près. Les résultats des calculs numériques seront arrondis à $10^{-2}$.}

\begin{center}
\psset{unit=0.95cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(10,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](-2,-2)(10,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-2)(10,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](9.5,1.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](-2,0){$- 2$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{10}{x dup mul 2 div 2 sub 2.71828 x 2 div exp div 1 add}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement sur quel(s) intervalle(s) $\mathcal{C}_{f'}$ est située en dessous de l'axe des abscisses.
		\item Déterminer, en justifiant, l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_{F}$ en A.
		\item Préciser, en justifiant, le sens de variation de $F$ sur l'intervalle $[-2~;~10]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\int_{1}^5 f(t)\,\text{d}t$.
		\item Rappeler la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle $[a~;~b]$ et donner une interprétation de cette notion dans le cas où $f$ est positive.
		\item Donner la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [1 ; 5].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe  à rendre avec la copie} 

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 (spécialité)}

\vspace{2cm}

\begin{pspicture}(-6,-4)(6,6)
\psline(-4,-4)(4,4) \psline(-6,0)(6,0) \psline(0,-4)(0,5.5)
\psframe(-1,-1)(1.4,3.7)
\psframe(1,1)(3.2,5.6)
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(2.3,2.3)
\uput[ul](0,0){O } \uput[d](-1,-1){A } \uput[d](1.4,-1){B } \uput[dr](3.2,1){C } 
\uput[dr](1,1){D} \uput[l](-1,3.7){E} \uput[u](1.4,3.7){F} \uput[ur](3.2,5.6){G}
\uput[ul](1,5.6){H}
\uput[r](-0.5,-0.5){$\vect{\imath}$} \uput[d](1,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,1.2){$\vect{k}$}\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-1,-1) 
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(2.3414,0) 
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,2.2)
\psline(1.4,-1)(3.2,1)
\psline(1.4,3.7)(3.2,5.6)
\psline(-1,3.7)(1,5.6)
\uput[l](0,4.7){2} 
\uput[ul](1,5.6){H}
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane septembre 2005 
\hypertarget{Antillessep}{}

\label{Antillessep}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\left[- \dfrac{3}{2}~;~+ \infty\right[$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Les points J$\left(- \frac{3}{2}~ ;~- \frac{3}{2}\right)$,  K$(- 1~;~0$),  A(1~;~e) et B(2~;~2) sont des points de $\mathcal{C}$ ;
\item[$\bullet~$] La tangente à $\mathcal{C}$ en A est parallèle à l'axe des abscisses.
\item[$\bullet~$] La tangente à $\mathcal{C}$ en B passe par T(4~;~0).
\item[$\bullet~$] La droite d'équation $y =  1$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
\item[$\bullet~$] La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[- \frac{3}{2}~;~1\right[$ et strictement décroissante sur $[1~;~+ \infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(7,4)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=2,gridlabels=0,subgridcolor=orange](0,0)(-1.5,-1.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.5,-1.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](-1,0){K} \uput[ul](1,2.7183){A} \uput[ur](-1.5,-1.5){J}
\uput[ur](2,2){B} \uput[ur](4,0){T} \uput[u](6.6,1.25){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.6){$\vect{\jmath}$}
\psline{<->}(0.4,2.71828)(1.6,2.71828)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-1.5,-1.5)(-.9,0.5)(0,2.71828)(1,2.71828)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1,2.71828)(1.3,2.71828)(1.5,2.5)(2,2)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](2,2)(3,1)(6,1.2)(7,1.17)
\psline(0,4)(5.5,-1.5)
\psline(-1.5,1)(7,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $f\left(- \frac{3}{2}\right),~ f(- 1),~f(1),~f(2)$ ainsi que la limite de $f$ en $+\infty$. 
		\item Donner, en justifiant vos réponses, les nombres $f'(1)$ et $f'(2)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x) =  \ln [f(x)]$ et $\Gamma$ sa représentation graphique.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle I de définition de $g$. Calculer les limites de $g$ en $-1$ et en $+ \infty$.

En déduire les asymptotes à la courbe $\Gamma$ en précisant une équation pour chacune d'elles.
		\item Exprimer $g'(x)$ à l'aide de $f(x)$ et $f'(x)$. En déduire le tableau de
variations de $g$. 
		\item Déterminer $g(2)$ et $g'(2)$, puis une équation de la tangente à $\Gamma$ au point B$'$ d'abscisse 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, A et B étant des évènements, $\overline{\text{A}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement A, $P$(A) la probabilité de A et $P_{\text{B}}$(A) la probabilité de A sachant que B est réalisé.}

\medskip

Une entreprise fabrique des appareils en grand nombre. Une étude statistique a permis de constater que 10\,\% des appareils fabriqués sont défectueux.

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 80\,\% des appareils défectueux, mais il élimine également à tort 10\,\% des appareils non défectueux. Les appareils non éliminés sont alors mis en vente.

On prend au hasard un appareil fabriqué et on note $D$ l'évènement \og
l'appareil est défectueux \fg{} et $V$ l'évènement \og l'appareil est mis en vente \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(V \cap  D)$ et $P\left(V \cap  \overline{D}\right)$.

En déduire que la probabilité qu'un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,83.
		\item Calculer la probabilité qu'un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux.
		\item Vérifier que $P_{V}(D) \approx  0,24 \times  P(D)$.
		
Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d'acquérir un appareil défectueux suivant que l'entreprise applique ou non le test de contrôle.
	\end{enumerate}
\item Une entreprise décide d'appliquer le contrôle, tout en continuant
à fabriquer le même nombre d'appareils. Elle fabriquait et vendait une
quantité $q_{0}$ d'appareils au prix $p_{0}$.

\emph{Les pourcentages demandés  seront arrondis à l'unité. }
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est, en fonction de $q_{0}$ la nouvelle quantité $q_{1}$ d'appareils mis en vente après contrôle ?
		\item De quel pourcentage la quantité vendue a-t-elle diminué ? 
		\item Quel doit être le nouveau prix $p_{1}$ (en fonction de $p_{0}$ pour que l'entreprise maintienne son chiffre d'affaires ?
		
Quel est alors le pourcentage d'augmentation du prix de vente ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\medskip

Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui
suivent, la substance est éliminée par les reins. La quantité $q_{i}$ présente dans le sang ($q_{i}$ en milligrammes) à l'instant $t_{i}$ ($t_{i}$, en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures	.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering}X|}}\hline
$t_{i}$ (heures)& 0	&2	&4	&6	&8	\tabularnewline \hline
$q_{i}$ (mg)	& 9,9&7,5	&5,5	&3,9	&3 \tabularnewline \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\textbf{Modélisation par une fonction affine}

Le nuage de points associé à la série $\left(t_{i}~;~q_{i}\right)$  est représenté dans le repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}	
%\begin{figure}
\begin{pspicture}(13,11)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(13,11)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(13,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.4](0,9.9)(2,7.5)(4,5.5)(6,3.9)(8,3)
\uput[d](12.5,0){$t$ (heures)}
\uput[l](0,11){$q$ (mg)}
\end{pspicture}
%\end{figure}
\end{center}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite D d'ajustement affine de $q$ en $t$ par la méthode des moindres carrés $\left(\text{coefficients arrondis à } 10^{-2}\right)$ ; tracer la droite D sur la figure 1. 
\item En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, quelle estimation obtient-on de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures ? Qu'en pensez-vous ?
\end{enumerate}	

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\textbf{Recherche d'un modèle mieux adapté}

\begin{enumerate}
\item  Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point associé à la série  $\left(t_{i}~;~q_{i}\right)$.

Quel type d'ajustement l'allure de cette représentation permet-elle d'envisager ?
\item  On pose $y_{i} = \ln q_{i}$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (valeurs arrondies au centième). 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering}X|}}\hline
$t_{i}$ (heures)	& 0	& 2	& 4	& 6	& 8	\tabularnewline \hline
$y_{i}$ (mg)	& 	& 	& 	& 	& \tabularnewline \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite
d'ajustement affine de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis au centième). 
\item  Montrer que l'expression de $q$ en fonction de $t$ obtenue à partir de cet ajustement est de la forme $q = a \text{e}^{-bt}$ où $a$ est arrondi à l'unité et $b$ au centième. 
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur [0 ; 15] par :

\[f(t) = 10\text{e}^{-0,15t}.\]

Tracer sa courbe représentative $\mathcal{C} $sur la figure 1.
\item  On suppose que ce nouveau modèle reste valable pendant 12 heures.
Calculer à $10^{-1}$  près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures. Placer le point correspondant sur le graphique.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=10cm}
%\begin{figure}[ht]
\begin{pspicture}(13,1.1) 
\makeatletter
\multido{\nA=1+1}{9}{%
\multido {\nD=\nA+.2}{5}{\psplot[plotpoints=2,linewidth=0.1pt, linecolor=lightgray]{0}{13}{\nD\space log}}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=0.25pt]{-0.1}{13}{\nA\space log}
\rput[r](! \pst@number\pslabelsep \pst@number\psxunit div neg
             \nA\space log){\nA}}
\psaxes[logLines=y,ylogBase=10,ysubticks=1,yticksize=0 13,xsubticks=5, xticksize=0 1,xsubticksize=1,tickwidth=0.25pt,xsubtickwidth=0.1pt,Dx=5,Ox=0,labels=x](13,1)            
\makeatother\uput[d](12.5,0){$t$ (heures)}
\uput[u](0.5,1){$q$ (mg)}
\end{pspicture}
%\end{figure}
\end{center}

\medskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{f(t+1) - f(t)}{f(t)}$. Interpréter le résultat par une phrase concernant le pourcentage de variation de la quantité de médicament présente dans le sang.
\item Le médicament reste efficace tant que la quantité présente dans le sang reste supérieure à 2~mg.

Déterminer graphiquement, à 1~heure près par défaut, la durée d'efficacité de l'injection.
\item  Calculer, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10~heures qui suivent l'injection.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Sur un marché où seul un produit A était présent, un nouveau produit B est mis en vente à partir de l'année 2003. Une enquête a montré que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  la probabilité qu'un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l'année suivante est $0,67$ ;
\item[$\bullet~$]  la probabilité qu'un client de B, une année donnée, choisisse A l'année suivante est $0,27$
.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que la clientèle totale pour les deux produits ne change pas. On prend un client au hasard l'année $(2002 + n)$.
 
Notations :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item On appelle $A$ l'état \og acheter le produit A \fg{} ;
\item On appelle $B$ l'état \og acheter le produit B \fg{} ;
\item On note $a_n$ la probabilité que ce client achète A pendant l'année $(2002 + n)$.
\item On note $b_n$ la probabilité que ce client achète B pendant
l'année $(2002 + n)$.
\item On a donc  $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.

La matrice $M$ de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets du graphe dans l'ordre $A$ puis $B$, est donc : 
 
\[M = \begin{pmatrix}
 0,67& 0,33\\
0,27& 0,73 \\
\end{pmatrix}\]

\item On appelle $P_n = \begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice décrivant l'état probabiliste de la clientèle l'année $(2002 + n)$
	\begin{enumerate}
		\item Donner la relation matricielle liant l'état $P_1$ à l'état $P_0$. Calculer $P_1$  et traduire ce résultat par une phrase.
		\item Calculer et traduire de même l'état $P_2$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer P$_{n+1}$ en fonction de $P_n$. En déduite que, pour tout entier $n$, on a :
		 
\[a_{n+1} =  0,67a_n + 0,27b_n\quad  \text{puis} \quad  a_{n+1} = 0,4a_n + 0,27.\]

		\item On définit la suite $\left(u_n\right)$  par $u_n =  a_n - 0,45$ pour tout entier $n$. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison  et le premier terme.
		\item Exprimer $u_n$ puis $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les limites respectives $a$ et $b$ des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.
		
Exprimer ces résultats en termes de répartition sur le marché des produits A et B. 
		\item On pose $P = \begin{pmatrix}a &  b\end{pmatrix}$.
		
Vérifier que $P =  P \times  M$.

Que représente l'état $P$ ? Dépend-il de l'état initial $P_0$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole septembre 2005 
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une enquête menée pour le compte d'une entreprise a permis d'établir le nombre d'acheteurs d'un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de l'enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous dans lequel :

\medskip

$\bullet~~x_{i}$ désigne le prix de vente unitaire (en euros) du produit X ;

$\bullet~~y_{i}$ le nombre d'acheteurs en milliers.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*6{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&1		&1,50	&2	&3	&4\\ \hline
$y_{i}$	&3,75	&2,8	&2	&1	&0,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan (unités graphiques : 4~cm pour 1~euro en abscisse et 2 cm pour \np{1000} acheteurs en ordonnée).
\item On recherche un ajustement affine de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		
\emph{Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au centième ; on ne demande aucune justification.}
		\item Tracer cette droite dans le même repère que précédemment.
		\item Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton.

Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible.

Lorsque la bille n'atteint pas la cible elle revient à son point de départ.

Dans la suite de l'exercice, on notera :
  
$\bullet~~$ $C$ l'évènement \og la cible est atteinte \fg{} ;
  
$\bullet~~$ $B$ l'évènement \og la bille est avalée \fg.
  
Une étude préliminaire a démontré que :

\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
	\item la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à $0,3$ ;
	\item  lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à $0,2$.
	\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité.
\item On actionne le bouton.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P_{1}$ que la bille soit avalée.
		\item Calculer la probabilité $P_{2}$ qu'elle reste sur la cible.
	\end{enumerate}
Une partie se déroule selon la règle ci-dessous.

Pour jouer, on paie $0,50$~euro et on actionne le bouton qui lance la bille :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si la bille est avalée, on gagne un lot d'une valeur de $g$ euros ;
\item[$\bullet~$] si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
\item[$\bullet~$] si la bille rate la cible, on perd la mise.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d'un joueur : on recopiera et on
complétera le tableau ci-dessous ; aucune justification n'est demandée.

\[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{gain}&$- 0,50$ &	0&	$g -0,50$\\ \hline
\text{probabilité} & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'espérance de gain d'un joueur en fonction de $g$ est :

\[\text{E} = 0,06g - 0,38.\]

		\item On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées.
Pour quelles valeurs de $g$ les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone. Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier. Après avoir observé un grand nombre d'appels de Mademoiselle Z, on peut faire l'hypothèse suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l'assurance à Mademoiselle Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux ;
\item   si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), Mademoiselle Z se décourage et n'arrive à convaincre le client suivant qu'une fois sur cinq.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.
		\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
	\end{enumerate}
\item Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d'acheter le produit proposé. La matrice ligne décrivant l'état initial au premier appel est donc $P_{0} = (1~;~0)$.

Donner la matrice ligne $P_{1}$ exprimant l'état probabiliste au deuxième appel.
\item On donne la matrice $M^5 =  \begin{pmatrix}
\np{0,28745}&  \np{0,71255}\\
\np{0,28502}&  \np{0,71498}\\
\end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit $P_{0}M^5$. En déduire la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client ce lundi.
		\item Quelle aurait été la probabilité que Mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n'avait pas convaincu le premier ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du système. Comment peut-on l'interpréter ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

L'objet de cet exercice est l'étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ donnée en \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par :

\[f(x) = \text{e}^{-0,7x+2,1}.\]

De même, la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ est la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par :

\[g(x) = 0,5x + 0,7.\]

On admet que les fonctions $f$  et $g$ sont dérivables sur l'intervalle [0~;~5].

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $h$ la fonction définie par $h(x) = f(x) -  g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~5].
		\item Étudier le signe de $h'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~5]. En déduire que la fonction $h$ est strictement monotone sur cet intervalle.
		\item Justifier que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~5] et donner à l'aide d'une calculatrice une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près (on ne demande pas de justification sur la méthode d'obtention de cette valeur).
		\item Déduire de l'étude précédente les valeurs arrondies à $10^{-2}$ des coordonnées du point d'intersection F de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite du problème, on prendra $\alpha = 2,17$ et $f(\alpha) = g(\alpha) = 1,79$.
	\begin{enumerate}
		\item Soient les points C$(0~;~f(\alpha))$ et E$(\alpha~;~ 0)$. Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire du rectangle OCFE exprimée en unités d'aire.
		\item  Interpréter graphiquement le nombre $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x)\: \text{d}x$.
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x)\: \text{d}x$ en fonction de $\alpha$ et en donner la valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PARTIE B}

\medskip

La fonction $f$ définie dans la \textbf{PARTIE A} représente la fonction de demande d'un produit ; elle met en correspondance le prix $f(x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité $x$, exprimée en tonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.

La fonction $g$ définie dans la \textbf{PARTIE A} est la fonction d'offre de ce produit ; elle met en correspondance le prix $g(x)$ exprimé en milliers d'euros et la quantité $x$, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre à ce prix les producteurs.

On appelle prix d'équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note $p_{0}$ le prix d'équilibre et $q_{0}$ la quantité échangée sur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : $f\left(q_{0}\right) = g\left(q_{0}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des résultats donnés dans la \textbf{PARTIE A} les valeurs de $q_{0}$ et de $p_{0}$.
\item Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix $p_{0}$) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs, vaut par définition $\displaystyle\int_{0}^{q_{0}} f(x)\:\text{d}x - p_{0} \times   q_{0}$. Il s'exprime ici en milliers d'euros.
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de la feuille \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
		\item  indiquer les valeurs $q_{0}$ et $p_{0}$ sur les axes de coordonnées ;
		\item  hachurer le domaine dont l'aire s'écrit :
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\[\displaystyle\int_{0}^{q_{0}} f(x)\:\text{d}x - p_{0} \times   q_{0}.\]

		\item Calculer, en milliers d'euros, le surplus des consommateurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\textbf{À rendre avec la copie}
\end{center}

{\footnotesize Pour chacune des questions ci-dessous, une seule réponse est exacte. On demande de cocher cette réponse.\\
\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève} 0,25 \emph{point.  L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est} $0$.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}X| >{\small}m{4cm}|}\hline
\multicolumn{1}{|c}{QUESTIONS}&	\multicolumn{1}{|c|}{RÉPONSES}\\ \hline
\textbf{1.} La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet pour tangente au point d'abscisse 1, la droite d'équation :&$\Box~y = x + 1$
	
$\Box~y = x - 1$
 
$\Box~y = x + \text{e}$\\ \hline
\textbf{2.} La représentation graphique de la fonction exponentielle admet pour asymptote :&	$\Box$  la droite d'équation $y = x$

$\Box$ 	l'axe des abscisses

$\Box$	l'axe des ordonnées\\ \hline
\textbf{3.} La fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{-2x} + \ln (2x + 4)$ est une primitive sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$  de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-2~;~ + \infty[$ par : &\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~	g(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{2}{x + 2}$

\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~g(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{x + 2}$

\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~g(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{2x + 4}$\\\hline
\textbf{4.} L'intégrale$\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\:\text{d}x$ est égale à :&$\Box~	- 0,5$

$\Box~	 0$

$\Box~	 0,5$\\ \hline
\textbf{5.} La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle  $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par $f(x)  = \dfrac{-2x^3 + 3x - 1}{(2x - 1)^3}$  est égale à :&	$\Box~	 1$

$\Box~- 1$

$\Box~ - \dfrac{1}{4}$\\ \hline
\textbf{6.} Le diagramme en boîte ci-dessous résume une série statistique dont la médiane est :

\begin{pspicture}(5.7,1) \psframe(0.9,0.4)(4.2,1)
\psline(2.2,0.4)(2.2,1)
\psline(0,0.7)(0.9,0.7) \psline(4.2,0.7)(5.8,0.7)
\psline(0,0.55)(0,0.85) \psline(5.8,0.55)(5.8,0.85)
\uput[d](0,0.32){$a$} \uput[d](0.9,0.4){$b$} \uput[d](2.2,0.32){$c$} \uput[d](4.2,0.4){$d$} \uput[d](5.8,0.32){$e$} 
\end{pspicture}
&\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~\dfrac{1}{2}(a + e)$

	\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\Box~\dfrac{1}{2}(b + d)$
	 
$\Box~ c$\\ \hline
\textbf{7.} La droite des moindres carrés associée à une série statistique à deux variables passe par le point moyen	du nuage :&$\Box~$ jamais

$\Box~$ 	dans certains cas seulement

$\Box~$ toujours\\ \hline
\textbf{8.} Selon l'INSEE les prix à la consommation ont augmenté de 8,9\,\% du 1\up{er} janvier 1998 au 31 décembre 2003. Si le taux d'évolution des prix d'une année à la suivante était fixe de 1998 à 2003, et égal à $t\,\%$, la valeur de $t$ arrondie à $10^{-2}$ qui donnerait la même augmentation des prix à la fin de l'année 2003, serait égale à : 	&$\Box~$	1,48\,\%

										$\Box~$	1,72\,\%
										
										$\Box~$	1,43\,\%\\\hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,3cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

 \end{center}
 
 \textbf{Figure à compléter}
 
 \vspace{0,3cm}
 
\psset{xunit=1.9cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(5.1,10.1)

\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(5.2,10)
%\multido{\n=0.5+1}{5}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.25pt](\n,0)(\n,10)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5.1,10.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](2.2,1.9){F} \uput[u](4.5,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](4.5,2.9){$\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 2.1 0.7 x mul sub exp}
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{5}{0.7 0.5 x mul add} \uput[u](5.1,0){$x$}\uput[r](0,10.1){$y$}
\uput[d](4.6,0){quantité} \uput[r](0,9.5){prix}\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%  fin Métropole septembre 2005 
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Amérique du Sud novembre 2005
\hypertarget{AmduSud}{}

\label{AmduSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2005}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud 
novembre 2005~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 3x - 2 - 2x\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous le tableau de variations de $f$. Recopier ce tableau sur la copie.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le signe de $f'(x)$ sur chacun des intervalles $\left]0~;~\sqrt{\text{e}}\right[$ et  $\left]\sqrt{\text{e}}~;~+ \infty\right[$.
		\item Calculer la valeur exacte de $f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)

\psframe(8,3.5)
\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3.5) 
\psline[doubleline=true](2.25,0)(2.25,3)
\psline(0,3)(8,3)
\psline{->}(2.85,0.5)(4.5,2.1)  \psline{->}(5.2,2.1)(7.2,0.5) 
\uput[u](1,2.9){$x$}  \uput[u](2.25,2.9){$0$} \uput[u](5,2.9){$\sqrt{\text{e}}$} \uput[u](1,2.4){$f'(x)$}  \uput[u](3.5,2.5){$+$}  \uput[u](5,2.5){$0$}  \uput[u](6.5,2.5){$-$}  
\uput[u](1,1){$f(x)$}  \uput[u](2.6,0){$-2$} \uput[u](5,1.9){$f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$} 
\uput[u](7.5,0){$-\infty$}
\uput[u](7.5,2.9){$+ \infty$}
\end{pspicture} 
\end{center}

\item À l'aide de ce tableau de variations, indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Si ces solutions existent, donner pour chacune d'elles la valeur décimale approchée arrondie au dixième (aucune justification n'est demandée).
\item Indiquer, en justifiant la réponse à l'aide du tableau de variations, si chacune des affirmations suivantes est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse} :
	\begin{enumerate}
		\item La courbe représentative de $f$ admet dans le plan muni d'un repère orthonormal, une asymptote verticale d'équation $x = 0$.
		\item Toute primitive de $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0~;~\sqrt{\text{e}}\right[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{(pour les candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité)}

\medskip

Lors d'un examen, Julien doit répondre à un Q. C. M.

À chaque question trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.

Pour chaque question, soit il connaît la réponse et répond de façon exacte, soit il ne la connaît pas et, dans ce cas, bien qu'il ait la possibilité de ne pas répondre, il préfère tenter sa chance et répond au hasard il a alors une chance sur trois que sa réponse soit exacte.

On suppose, de plus, que la probabilité que Julien connaisse la réponse à une question donnée est égale à $\dfrac{1}{2}$.

On note	$C$ l'évènement \og Julien connaît la réponse \fg{},

\hspace*{1.2cm} $E$ l'évènement \og la réponse est exacte \fg{}.
 
\medskip

\emph{Rappel de notation} : pour un évènement $A$ donné, $p(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Julien répond à une question du Q. C. M.
		
Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
		\item Démontrer que : $p(E) = \dfrac{2}{3}$.
		\item Calculer la probabilité que Julien connaisse la réponse à la question sachant que sa réponse est exacte.
	\end{enumerate} 
\item Le Q.C.M. est composé de trois questions indépendantes. Il est noté sur $3$ points. Une bonne réponse rapporte $1$~point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$~point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$. Soit $X$ la note obtenue par Julien à ce Q. C. M.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. On pourra s'aider d'un arbre. Les résultats seront donnés sous forme de fractions.
		\item Quelle est la probabilité que Julien ait au moins $1,5$ point à ce Q. C. M. ?
		\item En supposant que tous les élèves se comportent comme Julien, quelle moyenne, arrondie au centième, peut-on attendre à ce Q. C. M. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{(pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité)}

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2000, la population d'une ville se répartit également entre locataires et propriétaires. La population globale ne varie pas mais, chaque année, pour raisons familiales ou professionnelles, $10\,\%$ des propriétaires deviennent locataires tandis que $20\,\%$ des locataires deviennent propriétaires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $p_{n}$ la probabilité qu'un habitant de la ville choisi au hasard, soit propriétaire au 1\up{er} janvier de l'année $2000 + n\:(n$ entier supérieur ou égal à 0), et par $l_{n}$, la probabilité qu'il soit locataire.

La matrice $P_{0}= (0,5~~ 0,5)$ traduit l'état probabiliste initial et la matrice 

$P_{n} = \left(p_{n}~~l_{n}\right)$ (avec, pour tout $n$ de $\N,~ p_{n} + l_{n} = 1$) l'état probabiliste après $n$ années.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste et en déduire que ce graphe a pour matrice de transition $M =\begin{pmatrix}
0,9&0,1\\
0,2& 0,8\\
\end{pmatrix}$.
		\item Calculer l'état probabiliste $P_{1}$.
		\item Déterminer l'état stable du graphe. Que peut-on en conclure pour la population de cette ville ?
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la relation $P_{n+1}= P_{n}  \times \text{M}$, démontrer que, pour tout entier naturel $n,$

$p_{n+1} = 0,7p_{n} + 0,2$.
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n} = p_{n} - \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$.
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et démontrer que $p_{n} = - \dfrac{1}{6}\times 0,7^n + \dfrac{2}{3}$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et retrouver le résultat de la question 1. c.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{(commun à tous les candidats)}

\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$), donnée en annexe  1, est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. La droite (T) est la tangente à cette courbe au point de coordonnées (0~;~2). On appelle $\alpha$ la valeur de la variable $x$ pour laquelle $f$ admet un maximum noté $M\: :\,M = f(\alpha)$ (la valeur de $\alpha$ n'est pas demandée).

On précise que $f(-1),\,f(0),\,f(2),\,f'(0)$ sont des nombres entiers.

\bigskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Déterminer graphiquement $f(0),\, f'(0)$ et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ sur l'intervalle $[-6~;~2]$.
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~2[ par $g(x) = \ln \left[f(x)\right]$ et $g'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant notamment des résultats obtenus par lecture graphique de la courbe ($\mathcal{C}$), dresser le tableau de variations de $g$ et déterminer la limite de $g$ en 2.
		\item Déterminer $g'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R,\, F'$ désigne la dérivée de $F$ sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide du graphique $F'(- 1)$ et $F'(2)$.
\item On admet qu'il est possible de trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x,~ F(x) = \left(ax^2 + bx - 1\right)\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $F'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et $b$.
		\item En utilisant les résultats trouvés à la question 1 de la \textbf{partie B}, démontrer que pour tout $x$ de $\R,~ F(x) = \left(- x^2 +3x - 1\right)\text{e}^x$.
		\item Calculer $F(2) - F(-1)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{(commun à tous les candidats)}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.

On note $X_{i}$ l'année. L'indice $i$ varie de 1 â 11. Par commodité on pose $x_{i} = X_{i} - 1950.$
 
$y_{i}$ désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1\up{er} janvier de l'année $X_{i}$.

\[\begin{array}{|l|*{11}{c|}}\hline
X_{i}&1950 	&1955 	&1960	&1965	&1970	&1975	&1980	&1985	&1990	&1995		&2000\\ \hline
x_{i}&0		&5		&10		&15		&20		&25		&30		&35		&40		&45			&50\\ \hline
y_{i}&201	&231	&290	&361	&423	&498 	&567 	&684 	&874 	&\np{1079} 	&\np{1267}\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{\text{\small\emph{Source :  Insee, bilan démographique}. Champ : France métropolitaine.}}
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Estimation à l'aide d'un graphique semi-logarithmique
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le repère semi-logarithmique fourni en annexe 2.
		\item Construire sur ce graphique la droite passant par les points M$_{1}(0~;~201)$ et
M$_{11}(50~;~\np{1267})$ et justifier que l'ajustement du nuage à l'aide de cette droite est satisfaisant.
		\item En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir de quelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.
	\end{enumerate}
\item La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un ajustement exponentiel. On pose $z = \ln y$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les résultats au millième.
		\item En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au millième.
		\item En déduire une modélisation de $y$ en fonction de $x$ sous la forme 
		
$y = A\text{e}^{Bx}$. (Le réel $A$ sera arrondi à l'unité et le réel $B$ au millième)
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~70] par : $f(x) = 200\text{e}^{0,037x}$ modélise de façon satisfaisante l'évolution de cette population.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant  \np{2000}$ et interpréter ce résultat.
		\item Calculer la valeur décimale approchée arrondie au millième de
		$\dfrac{1}{50}\displaystyle\int_{0}^{50} f(x)\,\text{d}x$.
		
Que représente ce résultat pour la population étudiée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{Annexe 1 -- Exercice 3  (à remettre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-6,-5)(4,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-5)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline{<->}(-2,-4)(1,5)  \rput(2,4.5){\blue $(\mathcal{C})$} 
\rput(-1.5,-2){(T)}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-6}{2.1785}{x 2 add x 2 exp sub 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Annexe 2 -- Exercice 4  (à remettre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.17cm,yunit=3cm}
\pspicture(-0.2,-0.2)(70,4)
\psaxes[axesstyle=frame,logLines=y,ylogBase=10,subticks=10,xsubticks=2,xticksize=0 4,xsubticksize=1,Dx=10,yticklinestyle=dashed](0,0)(70,4)
\uput[dr](0,2.3032){M$_{1}$} \uput[dr](50,3.10278){M$_{11}$} 
\rput(0,2.3032){$\bullet$} \rput(50,3.10278){$\bullet$} 
\endpspicture

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X_{i}$&1950&1955 	&1960	& 1965	&1970&1975	&1980&1985&1990&1995&2000\\ \hline
$x_{i}$&0	&5	&10	&15		&20		&25	&30		&35	&40		&45	&50\\ \hline
$y_{i}$&201	&231&290&361	&423&498&567&684 &874 &\np{1079}&\np{1267}\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Sud novembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Nouvelle-Calédonie novembre 2005 Tapuscrit de Jean-Yves Le Goff
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 
novembre 2005~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

\parbox{0.59\textwidth}{On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~6]$ par :

\[f(x)=\dfrac{3}{4}x^2 -3x + 6\]

La courbe $(\mathcal{C}_f)$ ci-contre est représentative de la
fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan d'origine O.\\
La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe
$(\mathcal{C}_f)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la
droite d' équation $x = 6$.} \hfill
\parbox{0.39\textwidth}{\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(7,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=cyan](0,0)(7,16)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot{0}{6}{x 2 exp 0.75 mul x 3 mul sub 6 add}
\pscustom[fillstyle=solid,fillstyle=vlines,fillcolor=blue]{
\psplot{0}{6}{x 2 exp 0.75 mul x 3 mul sub 6 add}
\psline(6,0)(0,0)
}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Calculer, en unités d'aire, l'aire $S$ de la partie hachurée.
\item On considère un point $M$ appartenant à la courbe  $(\mathcal{C}_f)$ d'abscisse $x$ avec \mbox{$x \in [0~;~6]$.}

La parallèle à l'axe des ordonnées passant par $M$ coupe l'axe des
  abscisses en un point $H$.

La parallèle à l'axe des abscisses passant par $M$ coupe l'axe des  ordonnées en un point $K$.

On appelle $R(x)$ l'aire, en unités d'aire, du rectangle O$HMK$.

Prouver que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~6]$,
\mbox{$R(x) = 0,75x^3-3x^2+6x$.}
\item On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de $x$
 de l'intervalle $[0~;~6]$ telles que l'aire $R(x)$ du rectangle O$HMK$ soit   égale à l'aire hachurée $S$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le problème précédent revient à résoudre
  l'équation \mbox{$g(x)= 0$} où $g$ est la fonction définie sur l'intervalle  $[0~;~6]$ par :
   
  \[g(x) = 0,75x^3 - 3x^2 + 6x - 36.\]
  
		\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $[0~;~6]$ et
  dresser le tableau de variation de $g$. En déduire que l'équation
  $g(x) = 0$ admet sur l'intervalle $[0~;~6]$ une solution unique
  $\alpha$.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une ville, deux fournisseurs d'accès au réseau internet sont en
concurrence.

Pour  étudier l'évolution du nombre d'abonnés à ces deux fournisseurs
$A$ et $B$, on a reporté dans le tableau suivant, à la fin de chaque
année, le nombre total d'abonnés déclaré par chacun des deux
fournisseurs.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
    \hline
Année						&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline 
Nombre total $y_i$ d'abonnés 
par le fournisseur $A$ 		&975	&\np{1443}&\np{2049}&\np{2930}&\np{4220}&\np{5850}\\\hline
Nombre total $t_i$ d'abonnés 
par le fournisseur $B$ 		&\np{4012}&\np{4813}&\np{5872}&\np{7281}&\np{8664}&\np{10432}\\ \hline
\end{tabularx}
  
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.0006cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(9,12000)
\psaxes[Ox=1,Dy=20000](0,0)(0,-100)(6,11990)
\uput[d](0,-200){1}
\multido{\n=0+1000}{12}{\psline(0,\n)(6,\n)}
\multido{\n=0+1000}{12}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=1.5](0,975)(1,1443)(2,2049)(3,2930)(4,4220)(5,5850)
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.5](0,4012)(1,4813)(2,5872)(3,7281)(4,8664)(5,10432)
\psframe(6.5,5000)(8.3,7000)
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.5](6.7,5500)
\psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=1.5](6.7,6500)
\rput(7.5,5500){Fournisseur B}
\rput(7.5,6500){Fournisseur A}
\end{pspicture}
\end{center}
  
\vspace{0,3cm} 

\begin{enumerate}
\item Recopier les deux dernières lignes du tableau suivant en les
  complétant.

On détaillera chacun des quatre calculs et on arrondira les
  résultats à l'entier le plus proche.

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
    &\footnotesize Augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004&\footnotesize Pourcentage
    d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004&\footnotesize Pourcentage
    \textbf{annuel moyen} d'augmentation du nombre d'abonnés entre
    1999 et 2004\\ \hline
    Fournisseur A&\dots  	&500 \%  & \dots\: \%  \\\hline
    Fournisseur B&\np{6420} &\dots\:\%& \dots\: \%  \hfill\\    
\hline
\end{tabularx}}
\item 
\begin{enumerate}
\item L'allure du nuage de points associé à la série statistique
    $\left(x_i~;~y_i\right)$ permet d'envisager un ajustement exponentiel. On
pose $Y_i=\ln \left(y_i\right)$.

Écrire une  équation de la droite $(d)$ d'ajustement de $Y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.

\emph{Les calculs seront faits avec la calculatrice (sans justification) et les résultats finaux seront arrondis au millième.}
\item En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre  d'abonnés au fournisseur $A$ en 2006.
\end{enumerate}
\item L'allure du nuage de points associé à la série statistique
    $\left(x_i~;~t_i\right)$ permet d'envisager un ajustement exponentiel.

En posant $T_i= \ln (t_i)$, on obtient, par la méthode des moindre
    carrés, une  équation de la droite $(\Delta)$ d'ajustement de $T$
    en $x$ sous la forme : 
    
    \mbox{$T=0,193x+8,102$} (ce résultat est admis).

En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre d'abonnés au fournisseur $B$ en 2006.
\item En supposant que les ajustements précédents restent pertinents, préciser l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés au fournisseur $A$ dépassera le nombre d'abonnés au fournisseur $B$.

Justifier.
\end{enumerate}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le bénéfice $B$ d'une entreprise dépend à la fois des investissements
et de la production.

On appelle $x$ le montant des investissements en millions d'euros et
$y$ la quantité produite en milliers d'unités. On admet que le
bénéfice $B$ de cette entreprise, exprimé en millions d'euros, est
modélisé par la fonction $B$ définie par 

\[B(x~;~y) = x^2y\mathrm{e}^{-x}.\]

Voici une vue de la surface $(S)$ d'équation $z = x^2y\mathrm{e}^{-x}$,
avec $x$  élément de l'intervalle $[0~;~5]$ et $y$  élément de
l'intervalle $[0~;~10]$, dans un repère orthogonal de l'espace. 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8,-1)(5,12)
\psset{Alpha=-135,Beta=30}%avant Beta=30,Alpha=150 
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=5,yMax=10,zMax=6,drawing=false]
\pstThreeDPut(2.5,-1.5,0){$x$} \pstThreeDPut(-1.5,5,0){$y$}
\pstThreeDPut(6.5,0,3){$z$}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDPut(\n,-0.5,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,-0.2,0)}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDPut(5.5,0,\n){\n}}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDLine(5.2,0,\n)(5,0,\n)}
\pstThreeDBox(0,0,0)(5,0,0)(0,10,0)(0,0,6)
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(-0.5,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(-0.2,\n,0)(0,\n,0)}
\psplotThreeD[xPlotpoints=20,yPlotpoints=20,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0,5)(0,10){%
x dup mul y   mul 2.71828 x exp div  }% 
\pstThreeDPut(1,8,2.943){$\bullet$}  \pstThreeDPut(1.2,8.3,3){A} 
\pstThreeDPut(2,5.437,2.943){$\bullet$}  \pstThreeDPut(2.2,6,2.94){E}   
\end{pspicture}

\begin{enumerate} 
\item Déterminer par lecture graphique le montant des investissements
  et la valeur de la production qui permettent d'obtenir un bénéfice
  maximal quand $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~5]$ et $y$
  appartient à l'intervalle $[0~;~10]$. Calculer la valeur
  correspondante de ce bénéfice.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure ci-dessus, on a placé le point $A$ appartenant à
  la surface $(S)$, ayant pour abscisse $x_A =1$ et pour ordonnée
  $y_A=8$. Calculer la troisième coordonnée $z_A$ du point $A$.
		\item Sur la figure ci-dessus, on a placé le point $E$ appartenant à
  la surface $(S)$, ayant pour abscisse $x_E=2$ et pour troisième
  coordonnée $z_E=z_A$. Calculer la valeur exacte $y_E$ de l'ordonnée
  du point $E$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature de l'intersection de la surface $(S)$
  avec le plan d'équation $x=1$ ? Justifier.
  
Tracer cette intersection dans un plan muni d'un repère orthonormal
  d'unité graphique $1$ cm, $y$ appartenant à l'intervalle $[0~;~10]$.
  Déterminer, à l'euro près, le montant en euros du bénéfice maximal
  réalisé par l'entreprise quand le montant des investissements est
  fixé à $1$ million d'euros.
\item Déterminer une  équation de la courbe d'intersection de la
  surface $(S)$ avec le plan d'équation $y = 10$. Expliquer alors
  comment retrouver le résultat de la question $1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2~;~+
\infty[$ par : 

\[f(x)=\ln (2x - 4).\]

On appelle $(\mathcal{C}_f)$ la courbe tracée ci-dessous,
représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$ et
  $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe
  $\displaystyle (\mathcal{C}_f)$?
		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		\item La courbe $(\mathcal{C}_f)$ coupe l'axe des  abscisses au point $A$. Quelles sont les coordonnées exactes de $A$ ?
		\item Déterminer une  équation de la droite $(T)$ tangente en $A$ à
  la courbe  $(\mathcal{C}_f)$.
\end{enumerate}
\hspace{-1cm}
\psset{unit=0.8cm}  
\begin{pspicture}(-5,-1.5)(10,9.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-1)(10,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{2.184}{9}{x 2 mul 4 sub ln}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=3000]{-5}{2.638}{2.71828 x exp 2 div 2 add}
\psline(2,-1)(7,9)
\psline(-5,0)(10,7.5)
\psline[linestyle=dashed](-1,-1)(9,9)
\uput[ul](2.5,0){A}   \uput[dr](0,2.6){A$'$} 
\uput[dr](9,9){$D$}   \uput[dl](7.2,8){$(T)$}
\uput[dr](8,6.5){$(T')$}
\uput[dr](2.5,8){\red $\mathcal{C}_{g}$} \uput[dl](8,2.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{0}{2}{2.71828 x exp 2 div 2 add}
\psline(2,5.6945)(0,5.6945)
   }
\end{pspicture}

\item Sur la figure ci-dessus, on a tracé la courbe
$(\mathcal{C}_f)$, le point $A$, la droite $(T)$ et la droite $(D)$
d' équation $y=x$. Par la symétrie axiale d'axe $(D)$, la courbe
$(\mathcal{C}_f)$ se transforme en une courbe  $(\mathcal{C}_g)$
représentative d'une fonction $g$ définie dans $\R$. 
 
On   admet que, pour tout $x$ réel, $g(x)$ s'écrit sous la forme
$g(x) = a + b \mathrm{e}^x$ où   $a$ et $b$ sont deux nombres réels. 
 
La  courbe  $(\mathcal{C}_g)$ ainsi construite passe par le point $A'$
image de $A$ par la symétrie d'axe $(D)$. De plus, la courbe
$(\mathcal{C}_g)$ admet au point $A'$ une tangente $(T')$ qui est
l'image de la droite $(T)$ par la symétrie d'axe $(D)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justification, le coefficient directeur de la
droite $(T')$.
		\item Calculer $a$ et $b$ en justifiant soigneusement les calculs.
		\item Calculer l'ordonnée exacte du point $E$ appartenant à
$(\mathcal{C}_g)$ et ayant pour abscisse $2$.
		\item Quelles sont les coordonnées du point $E'$ image de $E$ par la
symétrie d'axe $(D)$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle \int_0^2 \left(2+
  \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^x\right)\, \mathrm{d}x$.
		\item En déduire l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, du domaine
  hachuré défini par la courbe  $(\mathcal{C}_g)$, l'axe des ordonnées
  et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par $E$. On
  demande la valeur exacte du résultat.
		\item Expliquer comment on peut en déduire, sans faire de calculs,
  la valeur exacte de $\displaystyle \int_{\frac{5}{2}}^{2+\frac{1}{2}\mathrm{e}^2}  f(x) \mathrm{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%  fin Nouvelle-Calédonie novembre 2005
\end{document}