\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ifthen,fp} \usepackage{multirow} \usepackage{multicol} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{xkeyval,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeatletter \def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} \def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% \ifx#1\@emptyO\else#1\fi \ifx#2\@empty\else,#2\fi} \makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat L spécialité} \rhead{\small juin à septembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat L spécialité 2012~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de juin à novembre 2012}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Ameriquenord}{Amérique du Nord juin 2012} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2012} \dotfill 8 \medskip \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2012} \dotfill 12 \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole--La Réunion juin 2012} \dotfill 17 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2012} \dotfill 21 \medskip \hyperlink{Metropolesep}{Métropole--La Réunion septembre 2012} \dotfill 26 \medskip \hyperlink{AmduSud}{Amérique du Sud novembre 2012} \dotfill 32 \medskip \hyperlink{Caledonie}{Nouvelle-Calédonie novembre 2012} \dotfill 38 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord 2012 \hypertarget{Ameriquenord}{} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{31 mai 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center} { \Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat L Amérique du Nord 31 mai 2012~\decofourright}}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Chaque résultat sera exprimé sous la forme d'une fraction irréductible. Un arbre est donné en annexe 1. \textbf{Il est à compléter et à rendre avec la copie.} Une grande surface propose le jeu suivant à ses clients : On dispose de deux urnes. \begin{itemize} \item La première urne notée $U_1$ contient $10$ boules indiscernables au toucher : une rouge et neuf noires. \item La deuxième urne noté $U_2$ contient $5$ boules indiscernables au toucher : une rouge et quatre noires. \end{itemize} Le joueur tire au hasard une boule de l'urne $U_1$ qu'il place dans l'urne $U_2$. Il tire ensuite, au hasard, une boule de l'urne $U_2$. Le joueur gagne s'il tire une boule rouge de l'urne $U_2$. On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $R_1$ : \og le joueur tire une boule rouge de l'urne $U_1$\fg{} ; \item $N_1$ : \og le joueur tire une boule noire de l'urne $U_1$\fg{}; \item $R_2$ : \og le joueur tire une boule rouge de l'urne $U_2$\fg{} ; \item $N_2$ : \og le joueur tire une boule noire de l'urne $U_2$\fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le joueur tire une boule rouge dans l'urne $U_2$ sachant qu'il a tiré une boule rouge dans l'urne $U_1$ ? \item Compléter l'arbre donné en annexe 1. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabiité pour un joueur de gagner à ce jeu est égale à $\dfrac{11}{60}$. \item \emph{Dans cette question, tout trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte pour l'évaluation.} À chaque joueur gagnant, la grande surface propose un bon d'achat de $10$ euros. En moyenne chaque semaine, $\np{12000}$ clients participent au jeu. Quelle estimation la grande surface peut-elle faire du coût hebdomadaire de ce jeu ? \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le client ait tiré une boule rouge dans l'urne $U_1$ sachant qu'il a gagné à ce jeu ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant ($N$ désigne un entier naturel) : \fbox{ \centering \begin{minipage}{0.9\linewidth} \begin{description} \item[\texttt{\emph{Entrée}} :] \texttt{Saisir la valeur de $N$} \item[\texttt{\emph{Initialisation}} :] \texttt{Affecter à $i$ la valeur $0$}\\ \texttt{Affecter à $P$ la valeur $63,2$} \item[\texttt{\emph{Traitement} :}] Tant que $i < N$ \\ \texttt{Affecter à $i$ la valeur de $i+1$} \\ \texttt{Affecter à $P$ la valeur de $1,002\times P+0,1$} \\ \item[\texttt{\emph{Sortie}} :] Afficher $P$ \end{description} \end{minipage} } Justifier, en faisant fonctionner l'algorithme, que pour $N = 4$ l'arrondi à $10^{-3}$ du nombre affiché en sortie est $64,108$. \item L'objectif de cette question est de donner une prévision possible de la population de la France métropolitaine en 2050. Au 1\up{er} janvier 2010, cette population était de $\np{63200000}$ habitants (source INSEE). Une équipe de statisticiens prévoit un accroissement naturel de $2$ pour \np{1000} sur les $40$ prochaines années (l'accroissement naturel étant la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité). Cette équipe estime par ailleurs que le solde migratoire (qui représente la différence entre le nombre de personnes qui sont entrées en France métropolitaine et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l'année) sera de $\np{100000}$ habitants soit $0,1$ million. Soit $n$ le nombre entier naturel. On note $p_n$ la population de la France métropolitaine (estimée en millions d'habitants) au $1$\up{er} janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi, d'après ce qui précède $p_0 = 63,2$ et $p_{n+1} = 1,002\times p_n + 0,1$. \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs arrondies à $10^{-3}$ de $p_1$ et $p_2$. \item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$, \[ p_n = 113,2 \times 1,002^n - 50. \] \item En déduire une estimation en millions d'habitants de la population française au premier janvier 2050 (on arrondira le résultat à $10^{-3}$.) \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La population peut être également estimée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1\,;\,40]$ par : \[f(t) = 113,2\e^{0,002t} - 50,\] où $t$ désigne le nombre d'année écoulées depuis le premier janvier 2010 et où $f(t)$ est exprimé en millions d'habitants. On utilisera le modèle pour répondre aux trois questions suivantes. \begin{enumerate} \item Justifier que la population de la France métropolitaine peut être estimée à $\np{72628000}$ habitants au premier janvier 2050. Comparer ce résultat à celui obtenu dans la partie A. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1\,;\,40]$ (on pourra éventuellement déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$). \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation}. Que pensez-vous de l'affirmation suivante ? \og en 2040 pour la première fois la population dépassera $70$ millions d'habitants\fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip \emph{Dans tout l'exercice, on utilisera une lettre majuscule pour désigner un point de l'espace et une lettre minuscule pour désigner une représentation plane de ce point. Par exemple, $a$ représente $A$.} \emph{Toutes les constructions seront faites sur l'annexe 2} \emph{Aucune justification des construction n'est attendue mais les traits de construction seront laissés apparents.} \emph{La représentation finale sera repassée en gras ou en couleur afin d'en améliorer la lisibilité.} La figure donnée en annexe 2 présente le dessin en perspective centrale d'un cube $ABCDEFGH$ posé sur un plan horizontal et dont la face $ABCD$ est dans un plan frontal. \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $\omega$ le point de fuite principal de cette représentation en perspective centrale. Construire le point $\omega$. \item On appelle $d_1$ et $d_2$ les points de distance de cette représentation en perspective centrale. Construire $d_1$ et $d_2$ puis tracer la ligne d'horizon. \item La figure \ref{fig_BacLAmeriqueNord_12a} donne une représentation en perspective cavalière de l'assemblage décrit dans cette question. \begin{figure}[!h] \centering \begin{pspicture}(0,0)(8.25,8) % la perspective cavalière n'est pas normalisée : angle de 22° % Cube ABCDEFGH \psset% {% PointSymbol=none,% }% \pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){A} \pstGeonode[PosAngle=-90](3.5,0){B} \pstRotation[RotAngle=90,PosAngle=180]{A}{B}[D] \pstRotation[RotAngle=-90,PosAngle=-45]{B}{A}[C] \pspolygon(A)(B)(C)(D) \pstRotation[RotAngle=22,PointName=none,PointSymbol=none]{A}{B}[e] \pstTranslation[DistCoef=0.714,PosAngle=135]{A}{e}{A}[E] \pstTranslation[PosAngle=-45]{A}{E}{B}[F] \pstTranslation[PosAngle=-45]{A}{E}{C}[G] \pstTranslation[PosAngle=135]{A}{E}{D}[H] \pspolygon(B)(C)(G)(F) \psline[linestyle=dashed](D)(H)(G) \psline[linestyle=dashed](H)(E)(F) \psline[linestyle=dashed](E)(A) % pyramide \psset% {% PointSymbol=none,% PointName=none,% }% \pstMiddleAB{D}{G}{I} \pstTranslation{A}{D}{I}[S] \psline(D)(S)(G) \psline(S)(C) \psline[linestyle=dashed](S)(H) % Cube du fond \pstTranslation{A}{E}{E}[e] \pstTranslation{A}{E}{F}[f] \pstTranslation{A}{E}{G}[g] \pstTranslation{A}{E}{H}[h] \pspolygon(F)(G)(g)(f) \psline[linestyle=dashed](H)(h)(e)(E) \psline[linestyle=dashed](e)(f) \pstInterLL{h}{g}{G}{S}{i} \psline(g)(i) \psline[linestyle=dashed](i)(h) \end{pspicture} \caption{}\label{fig_BacLAmeriqueNord_12a} \end{figure} \begin{enumerate} \item Derrière le cube $ABCDEFGH$, contre la face $EFGH$, on pose un second cube, identique au premier. Dessiner ce second cube sur l'annexe 2. \item Sur la face supérieure du cube $ABCDEFGH$ on pose une pyramide dont la base est le carré $DCGH$ et dont le sommet est à la verticale du centre de cette base. La hauteur de cette pyramide a une longueur égale à celle d'une arête du cube $ABCDEFGH$. Dessiner cette pyramide dans la représentation en perspective centrale de l'annexe 2. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{landscape} \begin{figure}[!p] \centering \begin{pspicture*}(0,0)(20,15) \psset% {% % xunit=1,% % yunit=1,% PointSymbol=none,% PointName=none,% % algebraic=true,% }% \pstGeonode[PosAngle=90](12,12){o} \pstGeonode[PosAngle=90](19.5,12){d_2} \pstGeonode[PosAngle=-90,PointName=a](3,4){a} \pstGeonode[PosAngle=-90,PointName=b](6.5,4){b} \pstRotation[RotAngle=90,PosAngle=135,PointName=d]{a}{b}[d] \pstTranslation[PosAngle=0,PointName=c]{a}{d}{b}[c] \pspolygon(a)(b)(c)(d) \pstInterLL[PointName=f]{a}{d_2}{b}{o}{f} \pstInterLL[PointName=g]{d}{d_2}{c}{o}{g} \pstTranslation[PointName=none]{b}{a}{g}[H] \pstInterLL[PosAngle=135,PointName=h]{d}{o}{g}{H}{h} \pspolygon(b)(c)(g)(f) \pspolygon(c)(g)(h)(d) \pstInterLL[PosAngle=90]{c}{h}{o}{d_2}{d_1} \pstTranslation[PosAngle=-90,PointName=e]{g}{h}{f}[e] \psline[linestyle=dashed](h)(e)(a) \psline[linestyle=dashed](e)(f) \end{pspicture*} \caption{Annexe 2} \end{figure} \end{landscape} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $25$ par $6$. \item En déduire que pour tout nombre entier naturel $n$, \[5^{2n} \equiv 1 (6) \text{ et }5^{2n+1} \equiv 5 (6).\] En déduire les restes dans la division euclidienne par $6$ des nombres $A = 5^{\np{2011}}$ et $B= 5^{\np{2012}}$. \item Quel le reste dans la division euclidienne par $6$ du nombre $C$ qui s'écrit dans le système de numération en base : $C= \overline(\np{2100})$. \end{enumerate} \item On s'intéresse maintenant à la suite de nombres $(A_n)$ définis pour tout nombre entier $n$ par : \[A_n = 5^n + 5^{2n}.\] \item Recopier et compléter le tableau \ref{tab_BacLAmeriqueNord_12a}. \begin{table}[!h] \centering \setlength{\tabcolsep}{2ex} \begin{tabular}{|p{3cm}|*{3}{>{$}c<{$}|}} \hline $n$ & 1 & 2 & 3 \\ \hline $A_n$ & & & \\ \hline Reste de la division euclidienne de $A_n$ par $6$ & & & \\ \hline \end{tabular} \caption{ } \label{tab_BacLAmeriqueNord_12a} \end{table} \item Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. \begin{itemize} \item[$(P_1)$] : Pour tout nombre entier naturel $n$, $A_n$ est divisible par $6$. \item[$(P_1)$] : Il existe au moins un entier naturel $n$ tel que $A_n -2$ est divisible par $6$. \item[$(P_3)$] : Pour tout nombre entier naturel $n$, $A_n$ est un nombre entier pair. \end{itemize} \end{enumerate} \begin{figure}[!p] \centering \caption{Annexe 1 à compléter et à rendre avec la copie)}\label{fig_} \begin{pspicture}(0,-5)(0,5) \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree{\Tr{$R_1$}}{\Tr{$R_2$} \Tr{$N_2$}} \pstree{\Tr{$N_1$}}{\Tr{$R_2$} \Tr{$N_2$}} } \end{pspicture} \end{figure} %%%%%%%%%%%%% Fin Amérique du Nord 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2012 \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{19 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L (spécialité) Antilles-Guyane~\decofourright\\ 19 juin 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le dessin ci-dessous représente en perspective un élément de la bordure d'une chaussée. La partie piétonne $ABCD$, en partie revêtue de goudron, est un carré de centre $O$. Le rectangle $AEFB$ représente un mur. La partie $AB'OD'$, elle aussi carrée, est non revêtue car destinée à recevoir des plantations. Le segment $[CL]$ représente un lampadaire. \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-6,-2)(8,10) \pspolygon[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](-1,1)(2,1)(4,-1)(1,-1) \pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid](-3,3)(-3,4.5)(1,0.5)(1,-1) \psline(1,-1)(-3,3) \psline(-3,3)(3,3) \psline(3,3)(7,-1) \psline(7,-1)(1,-1) \psline(-1,1)(2,1) \psline(2,1)(4,-1) \psline(4,-1)(1,-1) \psline(1,-1)(-1,1) \psline(-3,3)(-3,4.5) \psline(-3,4.5)(1,0.5) \psline(1,0.5)(1,-1) \psline(1,-1)(-3,3) \psline(3,3)(3,8) \begin{scriptsize} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](1,-1) \rput[bl](0.62,-1.55){$A$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-3,3) \rput[bl](-3.28,2.54){$B$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](3,3) \rput[bl](3.1,3.05){$C$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](7,-1) \rput[bl](7.17,-1.55){$D$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](2,1) \rput[bl](2.09,1.05){$O$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](4,-1) \rput[bl](4.13,-1.48){$D'$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-1,1) \rput[bl](-1.38,0.55){$B'$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](1,0.5) \rput[bl](1.1,0.55){$E$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-3,4.5) \rput[bl](-3.21,4.69){$F$} \psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](3,8) \rput[bl](3.1,8.06){$L$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} Les deux figures données en annexe sont à compléter et à rendre avec la copie. On veillera à laisser apparents les traits de construction. \begin{enumerate} \item Compléter la représentation en perspective parallèle donnée dans la \textbf{figure 1} par l'ombre du mur portée sur le plan horizontal du sol; la source lumineuse en $L$ est supposée ponctuelle.\\ Pour plus de lisibilité, la représentation de cette ombre sera colorée. \item Dans la \textbf{figure 2}, les points $a$, $b'$, $o$, $d'$ et $e$ représentent, en perspective centrale, les points $A$, $B'$, $O$, $D'$ et $E$. On a aussi représenté la ligne d'horizon ainsi que $\Omega$, le point de fuite principal. Les points $A$, $B$, $B'$, $C$, $D$, $D'$ et $O$ sont dans un plan horizontal et le mur est vertical. \smallskip La jardinière carrée est représentée par $ab'od'$. \begin{enumerate} \item Comment vérifier que, sur la \textbf{figure 2}, $ab'od'$ représente un quadrilatère ayant les côtés parallèles deux à deux~? \item Les droites $(B'O)$ et $(BC)$ sont parallèles. Comment cela se traduit-il dans cette représentation en perspective centrale~? \item Terminer le dessin en représentant la partie $ABCD$ qui entoure $AB'OD'$ ainsi que le mur $AEFB$ qui borde la partie piétonne (on ne représentera pas le lampadaire). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le séjour de vacances peut se décliner selon deux formules : \begin{itemize} \item une formule \og tourisme \fg{}; \item une formule \og aventure \fg{}. \end{itemize} Les deux formules ne peuvent être combinées, 60\,\% des clients du séjour ont choisi la formule \og tourisme \fg{} et 40\,\% ont choisi la formule \og aventure \fg. \smallskip Une enquête de satisfaction conduite auprès des clients concernés montre que 70\,\% des clients de la formule \og tourisme \fg{} ont exprimé être satisfaits et, parmi les clients de la formule \og aventure \fg, ils sont 90\,\% à exprimer être satisfaits. \smallskip L'agence procède à un tirage au sort pour offrir un cadeau à l'un des clients de ce séjour. \smallskip On considère les évènements suivants: \begin{description} \item[$T$:] le tirage au sort a désigné un client de la formule \og tourisme \fg{}; \item[$A$:] le tirage au sort a désigné un client de la formule \og aventure \fg{};\item[$S$:] le tirage au sort a désigné un client qui a exprimé être satisfait; \item[$\overline{S}$:] le tirage au sort a désigné un client qui n'a pas exprimé être satisfait; \end{description} \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilités associé à cette expérience. \item Préciser les valeurs de $P_T(S)$ et de $P_A\left(\overline{S}\right)$. \item Définir par une phrase l'évènement $A \cap\overline{S}$. Calculer $P\left(A\cap\overline{S}\right)$. \item Montrer que la probabilité que le client désigné par le tirage au sort soit un client n'ayant pas exprimé être satisfait est \np{0,22}. \item Calculer la probabilité que le tirage au sort ait désigné un client de la formule \og aventure \fg{} parmi les clients qui n'ont pas exprimé être satisfaits. Exprimer le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant en indiquant les restes de la division euclidienne de $7^n$ par $10$. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $n$: & 1 &2&3&4&5&6&7&8\\ \hline reste&7&9& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Montrer que $7^{4n}\equiv 1~(\text{modulo }10)$ pour tout nombre entier naturel $n$. \item En déduire le chiffre des unités du nombre $7^{2013}$. \end{enumerate} \smallskip \emph{Dans la question 2, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \item Déterminer le chiffre des dizaines de $7^{2013}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par: \[f(x) = \text{e}^{x - 1} + x - 1.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. On a obtenu l'écran ci-dessous à l'aire d'un traceur de courbe. \begin{center} \psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1,-2)(4,5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{4.0}{EXP(x-1)+x-1} \psline(-1,-2)(4,-2)(4,5)(-1,5)(-1,-2) \uput[90](3.5,0){$x$} \uput[0](0,4.5){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(2)$. \item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $f(4)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$. \item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $\R$. \end{enumerate} \item On admet, comme il apparait sur la copie d'écran ci-dessus, que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse $\alpha$. \begin{enumerate} \item Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie ci-dessus: \begin{center} \begin{tabular}{|ll} \textbf{entrée:} & $B$ est un nombre réel positif.\\ \textbf{traitement:} & \rnode{a}{\phantom{c}} Donner à $X$ la valeur 0\\ &\phantom{c} Donner à $Y$ la valeur $f(0)$\\ &\phantom{c} Tant que $Y{\centering \arraybackslash}X|}}\hline temps écoulé en minutes&3 &9 &15 &25 & 40\\ \hline hauteur mesurée en mètres& 302 &703 &896 &\np{1082} & \np{1143} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On veut vérifier si la formule théorique est compatible avec les mesures effectuées. On appelle : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \emph{écart absolu} : la différence entre la valeur calculée avec la fonction $h$ et la valeur mesurée . \item[$\bullet~~$] \emph{écart relatif} : le quotient de l'écart absolu par la valeur mesurée. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On considère que la fonction $h$, est acceptable si, pour chacune des cinq mesures effectuées, l'écart relatif est compris entre $- 5$\,\% et $+ 5$\,\%. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de l'annexe 2 en arrondissant à l'unité les hauteurs et au dixième de pourcent les écarts relatifs. \item La fonction $h$ est-elle acceptable ? \end{enumerate} \item Étude de la fonction $h$ sur l'intervalle [3~;~60]. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $h^{\prime}$ dérivée de $h$ vérifie $h^{\prime}(t) = 120\text{e}^{- 0,1t}$. \item En déduire le sens de variation de $h$. \item Établir le tableau de variation de $h$. On fera figurer les images de $3$ et de $60$ dans le tableau. \item À l'aide du tableau de variation, indiquer si les équations suivantes ont une solution dans l'intervalle [3~;~60]. On justifiera la réponse. (1)\quad $h(t) = 500$ (2)\quad $h(t) = \np{1200}$ \item Déterminer le temps nécessaire au ballon pour atteindre la hauteur de \np{1000}~m, en considérant que cette hauteur est donnée par la fonction $h$. \emph{On arrondira le résultat à la minute.} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage {\large \textbf{Annexe 1 - à rendre avec la copie}} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 : Compléter uniquement les rectangles.} \bigskip \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$C$}\taput{\begin{pspicture}(1.2,0.4)\psframe(0,0)(1.2,0.4)\end{pspicture}}} { \TR{$A$}\taput{\begin{pspicture}(1.2,0.4)\psframe(1.2,0.4)\end{pspicture}} \TR{$\overline{A}$}\tbput{\begin{pspicture}(1.2,0.4)\psframe(1.2,0.4)\end{pspicture}} } \pstree{\TR{$\overline{C}$}\tbput{\begin{pspicture}(1.2,0.4)\psframe(1.2,0.4)\end{pspicture}}} { \TR{$A$}\taput{} \TR{$\overline{A}$}\tbput{} } } \end{center} \vspace{2cm} {\large \textbf{Annexe 2 - à rendre avec la copie}} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4; tableau à compléter} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline temps écoulé en minutes &3 &9 &15 &25 &40\\ \hline hauteur mesurée en mètres &302 &703&896&\np{1082} &\np{1143}\\ \hline $h(t)$ & 311 &712&932& &\\ \hline écart absolu &9 &9 & & 19 & \\ \hline écart relatif &3,0\,\%& & &1,8\,\% & \\ \hline \end{tabularx} \begin{landscape} {\large \textbf{Annexe 3 - à rendre avec la copie}} \medskip \textbf{Exercice 2} \psset{unit=0.8cm} \begin{center} \begin{pspicture}(24,13) \psline(7.3,4.4)(9.4,0.9)(13.6,4.4) \uput[l](7.3,4.4){$e$}\uput[r](13.6,4.4){$a$}\uput[d](9.4,0.9){$f$} \uput[u](0.2,12){$(h)$} \psline(0,12)(24,12) \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%% Fin Centres étrangers juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole juin 2012 \hypertarget{Metropole}{} \lfoot{\small Métropole} \rfoot{\small 22 juin 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small 22 juin 2012} \cfoot{\thepage} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} %\thispagestyle{empty} \everymath{\displaystyle} \renewcommand{\labelitemi}{\textbullet} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole 22 juin 2012~\decofourright}} \end{center} \textbf{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}\label{exo1}\bigskip \medskip Un club a 100 adhérents. Leur répartition est décrite dans le tableau suivant ci-dessous : \begin{center} \begin{tabular}{|*3{c|}} \hline ~ & Hommes & Femmes \\ \hline Marié(e)s ~ & 48 & 27 \\ \hline Célibataires ~ & 12 & 13 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\bigskip On choisit un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item \textbf{H} l'évènement : \og l'adhérent choisi est un homme \fg{} ; \item \textbf{F} l'évènement : \og l'adhérent choisi est une femme \fg{} ; \item \textbf{M} l'évènement : \og l'adhérent choisi est marié \fg{} ; \item \textbf{C} l'évènement : \og l'adhérent choisi est célibataire \fg. \end{itemize}\medskip \textbf{Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes de chaque probabilité.} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement \textbf{F} ainsi que celle de l'évènement \textbf{M}. \item Déterminer la probabilité que l'adhérent choisi soit marié sachant que c'est une femme. Les évènements \textbf{F} et \textbf{M} sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. \item Déterminer la probabilité que l'adhérent choisi soit un homme sachant qu'il est célibataire. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}\label{exo2}\bigskip \emph{\textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} }\bigskip Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[0~;~+\infty[$ par : \[ f(x) = \frac{1}{2}(x + 1)- \ln(x + 1) ~ , \hspace{2cm} g(x)= 0,5\,\text{e}^{-x} ~ , \hspace{2cm} h(x) = \frac{1}{2x + 2} \] On note $(C_f)$, $(C_g)$ et $(C_h)$ les courbes représentatives de $f$, $g$ et $h$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij On note $f\,^\prime$ la fonction dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item Soit A le point de coordonnées $\left( 0~;~\frac 12 \right)$ dans le repère \Oij. Démontrer que le point A est commun aux trois courbes $(C_f)$, $(C_g)$ et $(C_h)$. \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$, $f\,^\prime (x) = \frac{x - 1}{2(x + 1)}$ \item Démontrer que les 3 courbes $(C_f)$, $(C_g)$ et $(C_h)$ admettent la même tangente au point A. \item Démontrer qu'une seule des trois fonctions $f$, $g$ et $h$ n'est pas décroissante sur $[0\,;+\infty[$ \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}\label{exo3} \bigskip Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $u(n)$ le nombre entier naturel qui s'écrit dans le système décimal avec $n$ chiffres tous égaux à 1. Par exemple $u(3)=111$. \begin{enumerate} \item Existe-t-il un entier $n$ tel que $u(n)$ soit divisible par 2 ? Justifier la réponse. \item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que le nombre entier $u(n)$ soit divisible par 3.\medskip \textbf{Dans toute la suite de l'exercice on s'intéresse au problème suivant : \og Trouver des entiers naturels non nuls \boldmath $n$ tels que $u(n)$ soit divisible pa $n+1$.~\fg}\medskip \item Montrer que 6 est une solution de ce problème. \item On considère l'algorithme suivant :\bigskip \tt{ \begin{tabular}{lll} Entrée &:& $n$ un entier naturel non nul \\ Initialisation &:& A = 0 , U = 0 et D = 1\\ Traitement &:& tant que A < $n$ :\\ & & \begin{tabular}{c|l} ~ & affecter à A la valeur A + 1 ;\\ & affecter à U la valeur 10 $\times$ U + 1;\\ & affecter à D la valeur D + 1;\\ & affecter à R la valeur du reste de\\ & la division de U par D ;\\ & Si R = 0 alors afficher U , D et \og OUI \fg.\\ \end{tabular} \end{tabular} }\bigskip Donner les affichages pour $n$ = 10. Interpréter les affichages de cet algorithme relativement au problème posé. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}\label{exo4}\bigskip \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3)(5,3) \pnode(0,0){I} \pnode(-5,-2.5){A} \pnode(2.5,0|A){B} \psRelNode(I)(A){-1}{C} \psRelNode(I)(B){-1}{D} \psRelNode(I)(A){0.75}{A1} \psRelNode(I)(B){0.75}{B1} \psRelNode(I)(C){0.75}{C1} \psRelNode(I)(D){0.75}{D1} \pnode(A|0,0.5){M} \pnode(I|0,1.5){P} \pspolygon[linewidth=1.3pt](A)(B)(C)(D) \pspolygon(A1)(B1)(C1)(D1) \psline[linewidth=1.5pt](A)(M) \psline[linewidth=1.5pt](I)(P) \psline[linestyle=dashed](A)(C) \psline[linestyle=dashed](B)(D) \uput[210](A){A} \uput[-60](B){B} \uput[60](C){C} \uput[120](D){D} \uput[150](A1){A$_1$} \uput[0](B1){B$_1$} \uput[100](C1){C$_1$} \uput[180](D1){D$_1$} \uput[-90](I){I} \uput[0](P){P} \uput[90](M){M} \end{pspicture} \end{center} \medskip Le dessin ci-dessus représente, en perspective parallèle, un terrain ABCD qui a la forme d'un carré de centre I. A l'intérieur de ce terrain, A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ est une aire de jeu dont la forme est celle d'un carré. Celui-ci a pour centre I et ses bords sont parallèles à ceux du carré ABCD. Les segments [IP] et [AM] représentent deux piquets plantés verticalement, la hauteur de [AM] étant le double de celle de [IP].\bigskip \textbf{\emph{Un dessin est donné en annexe. Il est à compléter au fur et à mesure de la résolution de l'exercice et à rendre avec la coipie. Les candidats sont invités à laisser apparents les traits de construction.}}\bigskip \textbf{Le dessin en annexe} est une représentation en perspective centrale du terrain ABCD dans laquelle le plan (ABM) est frontal. Les points a, b, c, d, m et b$_1$ représentent respectivement les points A, B, C, D, M et B$_1$.\bigskip \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \begin{enumerate} \item La ligne ligne d'horizon (h) est parallèle à la droite (ab). Compléter cette représentation en perspective centrale par le point w, point de fuite principal, la ligne d'horizon (h), ainsi que les 2 points de distance w$_1$ et w$_2$. \item Construire les points i, a$_1$, c$_1$ et d$_1$ représentant les points I, A$_1$, C$_1$ ,D$_1$ puis représenter le piquet [IP]. \end{enumerate}\bigskip \vfill \textbf{Annexe - Exercice 4} (à compléter et à rendre avec la copie) \begin{pspicture}(-2,-1)(16,15) \pnode(0,0){a} \pnode(0,5){m} \pnode(10,0){b} \pnode(3.7,6.5){d} \pnode(8.4,6.5){c} \psdots[dotscale=0.5](9,1) \uput[dr](9,1){b$_{1}$} \pspolygon(a)(b)(c)(d) \psline(a)(m) \uput[210](a){a} \uput[-45](b){b} \uput[60](c){c} \uput[120](d){d} \uput[90](m){m} %\psset{linecolor=gray} %\psIntersectionPoint(a)(d)(b)(c){w} %\psRelLine(d)(w){1.05}{v} %\psRelLine(c)(w){1.05}{v} %\psParallelLine(a)(b)(w){1}{v} %\psParallelLine(a)(b)(w){-1}{v} %\psIntersectionPoint(a)(c)(w)(v){w1} %\psIntersectionPoint(b)(d)(w)(v){w2} %\psRelLine(c)(w2){1.05}{v} %\psRelLine(d)(w1){1.05}{v} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%% Fin Métropole juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Polynésie juin 2012 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{8 juin 2012}} \thispagestyle{empty} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité~\decofourright\\Polynésie 8 juin 2012}} \end{center} \vspace*{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points} \medskip La ville de Mathheim a deux clubs de football, l'Olympique et le Sporting. Pour le match opposant ces deux clubs un pari est organisé auprès des supporters des deux équipes. Parmi les parieurs, 75\,\% sont des supporters de l'Olympique et 25\,\% des supporters du Sporting. Aucun parieur n'est supporter des deux équipes. On sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 80\,\% des supporters de l'Olympique ont parié la victoire de leur équipe, 10\,\% sa défaite et 10 \,\% un match nul. \item[$\bullet~~$] 70\,\% des supporters du Sporting ont parié la victoire de leur équipe, 20\,\% sa défaite et 10\,\% un match nul. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prend au hasard l'un des parieurs et on note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og le parieur est supporter de l'Olympique \fg, \item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement \og le parieur a pronostiqué la victoire de l'Olympique \fg, \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og le parieur a pronostiqué la victoire du Sporting \fg, \item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement \og le parieur a pronostiqué le match nul \fg. \item[$\bullet~~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé quelles sont les probabilités $P(A)$ de l'évènement $A$ et $P_{A}(O)$ de l'évènement $O$ sachant $A$ ? \item Calculer la probabilité que le parieur soit supporter de l'Olympique et donne son équipe gagnante. \item Démontrer que $P(O) = 0,65$ et $P(N) = 0,1$. \item Calculer la probabilité que le parieur soit un supporter de l'Olympique sachant qu'il a donné l'Olympique gagnant. \emph{On donnera une valeur approchée au millième}. \item Les évènements $A$ et $O$ sont-ils indépendants ? \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points} \medskip Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Pour chaque question, une seule réponse est acceptée. Aucune justification n'est demandée. \emph{Une réponse exacte apporte $1$ point; une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points.} \medskip \begin{enumerate} \item $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{-x}$. La fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par : \begin{enumerate} \item $f^{\prime}(x) = - \text{e}^{-x}$ \item $f^{\prime}(x) = x\text{e}^{-x} - x$ \item $f^{\prime}(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}$ \item Aucune des expressions précédentes. \end{enumerate} \item On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $g$ et la tangente (AB) à la courbe au point B d'abscisse $0$. \begin{enumerate} \item Cette tangente a pour équation $y = 0,52x + 0,6$ \item Cette tangente a pour équation $y = - 0,52x - 0,6$ \item Cette tangente a pour équation $y = - 0,52x + 0,6$ \item Cette tangente n'a pour équation aucune des expressions précédentes. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(6,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt,subgridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(6,3) \psline[linestyle=dashed](-1.739,-1.5)(6,2.52) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.739}{6}{0.52 x mul x dup mul 0.08 mul sub 0.6 sub} \end{pspicture} \end{center} \item On considère l'algorithme suivant : \medskip \begin{tabular}{|l l} \textbf{Entrée :}& $N$ un entier naturel\\ &\\ \textbf{Initialisation :}& Affecter à $U$ la valeur $N$\\ &\\ \textbf{Traitement :}& Tant que $U \geqslant 7$\\ &\hspace{1cm} Affecter à $U$ la valeur $U - 7$\\ & Fin Tant que\\ & \\ \textbf{Sortie :}& Afficher $U$\\ \end{tabular} \medskip Soit $N$ un entier naturel quelconque. On fait fonctionner cet algorithme avec un nombre entier naturel $N$. Le nombre $U$ obtenu en sortie : \begin{enumerate} \item est le reste de la division euclidienne de $N$ par $7$. \item est le quotient de la division euclidienne de $N$ par $7$. \item est le PGCD de $N$ et de $7$. \item n'est aucun des nombres précédents. \end{enumerate} \item Soit $n$ un nombre entier naturel. Quand on effectue la division euclidienne de ce nombre entier naturel $n$ par $97$ le reste est $57$. Quand on effectue sa division euclidienne par $98$ le quotient est inchangé mais le reste vaut $37$. \begin{enumerate} \item $n = \np{11503}$ \item $n = \np{1900}$ \item $n = \np{1997}$ \item $n$ n'est égal à aucun des nombres précédents. \end{enumerate} \item On sait que $\np{9117} \equiv 3 \quad \text{modulo} \quad 7$. \begin{enumerate} \item $\np{9117}^7 \equiv 1 \quad \text{modulo}\quad 7$ \item $\np{9117}^7 \equiv 3 \quad \text{modulo} \quad 7$ \item $\np{9117}^7 \equiv 0 \quad \text{modulo} \quad 7$ \item Aucune des congruences précédentes n'est exacte. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 } \hfill 5 points} \medskip Rappels : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] On note log la fonction logarithme décimal. \item[$\bullet~~$] log $10 = 1$ et log $1 = 0$. \item[$\bullet~~$] Quels que soient les nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ et quel que soit le nombre entier $n$ on a : $\log(ab) = \log a + \log b$ ; $\log \dfrac{1}{b} = - \log b$ ; $\log \left(a^n\right) = n \log a$ ; $\log a = b \iff a = 10^b$ ; $\log a \leqslant \log b \iff a \leqslant b$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{L'échelle de Richter} \medskip L'échelle de Richter, basée sur les mesures faites par les sismographes, exprime la magnitude $M$ d'un séisme. Cette magnitude se calcule selon la formule $M = \log \left(\dfrac{A}{A_{0}}\right)$, où $A$ représente l'amplitude maximale relevée par le sismographe et $A_{0}$ une amplitude de référence. \medskip \begin{enumerate} \item Que vaut la magnitude $M$ lorsque $A = A_{0}$ ? Lorsque $A = 10 \times A_{0}$ ? Lorsque $A = \np{10000} \times A_{0}$ ? \item Un séisme est dit \og léger \fg, provoquant des secousses d'objets à l'intérieur des maisons et quelques faibles dommages, lorsque sa magnitude est comprise entre 4 et 5. Montrer qu'alors son amplitude est telle que $10^4 \times A_{0} \leqslant A \leqslant 10^5 \times A_{0}$. \item La magnitude connue la plus importante est de 9,5. Elle a été enregistrée au Chili en mai 1960. Exprimer son amplitude $A$ en fonction de $A_{0}$. \emph{On donnera une valeur approchée de l'amplitude sous la forme $ a \times 10^b \times A_{0}$ avec $0 < a < 10$ et $b$ entier naturel}. \item Un pays vient de connaître un séisme de magnitude 8 suivi d'une réplique de magnitude 4. Un journaliste écrit alors que la réplique a été deux fois moins puissante que le premier séisme. Que pensez-vous de cette affirmation du journaliste ? Argumentez votre réponse. \end{enumerate} \vspace*{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip Un infographiste a commencé le dessin de l'entrée d'une salle de cinéma. Ce dessin, en perspective centrale, est donné en annexe. Il est à compléter au fur et à mesure des questions, et à rendre avec la copie, \textbf{en laissant apparents les traits de construction}. Une vue en perspective parallèle de cette salle est donnée ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,8) \psline(0,4)(0,0)(6.4,0)(11.6,3.2)(11.6,7.2)(5.2,7.2)(0,4)(6.4,4)(6.4,0)%ABFGHDCB \psline(6.4,4)(11.6,7.2)%CG \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,4)(1.6,4)(4.2,5.6)(2.6,5.6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.2,4)(4.8,4)(7.4,5.6)(5.8,5.6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.2,5.6)(5.8,5.6)(8.4,7.2)(6.8,7.2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.4,5.6)(9,5.6)(11.6,7.2)(10,7.2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,0)(4,0)(9.2,3.2)(7.6,3.2) \psframe*(2.4,0)(2.55,0.8)\psframe*(5,1.6)(5.15,2.4)\psframe*(7.6,3.2)(7.75,4) \psline[linestyle=dashed](0,0)(5.2,3.2)(5.2,7.2)%AEH \psline[linestyle=dashed](5.2,3.2)(11.6,3.2)%EF \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](6.4,0){B} \uput[u](6.4,4){C} \uput[ul](0,4){D} \uput[ur](5.2,3.2){E} \uput[r](11.6,3.2){F} \uput[ur](11.6,7.2){G} \uput[u](5.2,7.2){H} \uput[d](2.4,0){I} \uput[u](2.6,0.8){J} \uput[u](5,2.4){K} \uput[u](7.6,4){L} \uput[d](4,0){M} \uput[ur](9.2,3.2){N} \uput[ul](7.6,3.2){P} \uput[ul](5,1.6){Q} %\psgrid \end{pspicture} \end{center} \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] ABFEDCGH est un pavé droit. \item[$\bullet~~$] Au sol est disposé un tapis rectangulaire IMNP tel que AI = MB et dont les côtés [IP] et [MN] sont parallèles à la longueur [AE] de la salle, \item[$\bullet~~$] Sur le bord gauche du tapis sont disposés trois piliers [IJ], [QK] et [PL], espacés régulièrement et de même hauteur, \item[$\bullet~~$] Le plafond comporte huit dalles identiques, alternativement blanches et noires. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On notera respectivement $a, b, \ldots$ les points de la vue en perspective centrale représentant A, B, \ldots \medskip \begin{enumerate} \item Sur le dessin donné en annexe, ABCD est dans un plan frontal. Placer le point de fuite principal $\omega$. \item L'image du bord gauche [IP] du tapis est dessinée. Construire l'image du bord droit de ce tapis, puis colorier la surface du tapis. \item L'image du premier pilier [IJ] est dessinée. Construire les images des deux autres piliers. \item Construire les huit dalles du plafond et les colorier. \end{enumerate} \newpage {\large\textbf{Annexe - à rendre avec la copie}} \vspace{1cm} \psset{unit=0.9cm} \begin{center} \begin{pspicture}(13,20) \psframe(12.6,20) \psline(0,0)(3.6,5.6)%bf \psline(7.7,5.6)(12.6,0)%gc \psline(0,12.3)(3.6,9.7)%ip \psline(0,20)(3.6,12.3)%ae \psline(7.7,12.3)(12.6,20)%hd \psframe(3.6,5.6)(7.7,12.3) \psframe*(0,12.3)(2.7,12.15)%ij \rput{-90}(-0.3,20){$a$} \rput{-90}(-0.30,0){$b$} \rput{-90}(12.9,0){$c$} \rput{-90}(12.9,20){$d$} \rput{-90}(3.6,12.6){$e$} \rput{-90}(3.6,5.3){$f$} \rput{-90}(7.7,5.3){$g$} \rput{-90}(7.7,12.6){$h$} \rput{-90}(-0.3,12.3){$i$} \rput{-90}(3,12.3){$j$} \rput{-90}(3.9,9.7){$p$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% Fin Polynésie juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2012 \hypertarget{Metropolesep}{} \lfoot{\small Métropole--La Réunion} \rfoot{\small 14 septembre 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion ~\decofourright\\14 septembre 2012}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabular}{l l} Entrée :&A est un nombre entier naturel.\\ Traitement :& Affecter à $N$ la valeur $A^2 - 3A + 6$\\ & Tant que $N \geqslant 0$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $N$ la valeur $N - 4$\\ &\\ Sortie :& Afficher la valeur de $N$\\ \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Que donne l'affichage en sortie pour chacune des entrées suivantes : $A = 5,\: A = 8$ et $A = 9$ ? \item Modifier l'algorithme pour que, avec l'entier $A$ pour entrée, la valeur affichée en sortie donne le reste de la division euclidienne de l'entier $A^2 - 3A + 6$ par $4$. \end{enumerate} \item On cherche l'ensemble $(S)$ des entiers naturels $A$ vérifiant la relation: \[A^2 - 3A + 6 \equiv 0 \quad (\text{modulo}\: 4).\] \begin{enumerate} \item Soit $A$ un entier naturel quelconque. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de $A$ par 4 ? \item ~ $\bullet~~$Si $A \equiv 0\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ? $\bullet~~$Si $A \equiv 1\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ? $\bullet~~$Si $A \equiv 2\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ? $\bullet~~$Si $A \equiv 3\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ? \item On considère quatre familles de nombres qui s'écrivent respectivement de la manière suivante : $A = 4N,\: A = 4N + 1,\: A = 4N + 2$ et $A = 4N + 3$ où $N$ est un entier naturel. Parmi ces quatre familles, quelles sont celles qui appartiennent à l'ensemble (S) ? On ne demande pas de justification. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Une grande surface vend vingt climatiseurs de trois types de classe énergétique. Cinq sont de classe A, sept de classe B et les autres sont de classe C. La garantie d'un climatiseur est de deux ans. La probabilité qu'un climatiseur de la classe A ait une panne dans les deux premières années d'utilisation est de 0,15. La probabilité qu'un climatiseur de la classe B ait une panne dans les deux premières années d'utilisation est de 0,20. La probabilité qu'un climatiseur de la classe C ait une panne dans les deux premières années d'utilisation est de 0,30. On prend un climatiseur au hasard parmi le stock de cette grande surface. On note $A$ l'évènement \og L'appareil pris est de classe A \fg. On note $B$ l'évènement \og L'appareil pris est de classe B \fg. On note $C$ l'évènement \og L'appareil pris est de classe C \fg. L'évènement \og L'appareil aura une panne dans les deux premières années d'utilisation \fg{} est noté $D$. On note $\overline{D}$ évènement contraire de $D$. Les résultats seront donnés sous formes décimales, exactes ou arrondies à $10^{- 4}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilités complet résumant les données précédentes. \item Déterminer la probabilité que l'appareil soit de classe A et qu'il ne tombe pas en panne pendant la durée de la garantie. \item Démontrer que la probabilité que l'appareil ne tombe pas en panne pendant la durée de la garantie est de 0,7725. \item L'appareil est tombé en panne pendant la durée de la garantie. Déterminer la probabilité qu'il soit de classe C. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle [0~;~6]. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. La droite (d) est la tangente à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. Le dessin ci-dessous représente $\mathcal{C}$ et (d). \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-1,-3.5)(6.5,5) \multido{\n=-1.0+0.2}{38}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.5)(\n,5)} \multido{\n=-3.333+0.333}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1,\n)(6.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3.5)(6.5,5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue] {-0.35}{6}{3 x mul 2 sub 2.71828 x 0.4 mul exp div} \psplot{-0.37}{1.85}{3.8 x mul 2 sub} \uput[d](6.4,0){$x$}\uput[l](0,4.9){$y$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Les réponses aux questions suivantes seront données par lecture graphique et sans justifications. On donnera des valeurs approchées à 0,1 près. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. \item Sur quel intervalle la fonction $f$ semble-t-elle décroissante ? \end{enumerate} \item La fonction $f$ précédente est définie sur l'intervalle [0~;~6] par \[f(x) = (3x - 2)\text{e}^{- 0,4x}.\] \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle [0~;~6]. On admet que la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~6] est donnée par: \[f'(x) = (3,8 - 1,2x)\text{e}^{-0,4x}.\] \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~6]. \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant la valeur exacte de $f(0)$ et des valeurs approchées à $0,1$ près de $f(6)$ et du maximum de $f$ sur l'intervalle [0~;~6]. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} La droite (d) passe-t-elle par le point de coordonnées (1,4~;~3,3) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip \emph{Deux dessins sont donnés en annexe. Ils sont à rendre avec la copie.} \medskip Sur le dessin ci-dessous, on a schématisé en perspective parallèle un enclos électrifié servant à parquer des moutons. Il est constitué de cinq pieds verticaux [A$'$A], [B$'$B], [C$'$C], [D$'$D] et [E$'$E] de même hauteur et du fil électrique qui joint les sommets de ces pieds en formant un polygone ABCD horizontal vérifiant les conditions suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item le point E est le milieu de [AD], \item les droites (DA) et (BC) sont perpendiculaires à la droite (AB), \item AB = BC = AE. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,9) \pspolygon(0,1)(5.9,1)(8.75,4.8)(5.7,8.6) \psline(0,1)(0,0.3) \psline(5.9,1)(5.9,0.3)\psline(8.75,4.8)(8.75,4.1)\psline(5.7,8.6)(5.7,7.9)\psline(2.85,4.8)(2.9,4.1) \uput[ul](0,1){A} \uput[ul](5.9,1){B} \uput[ur](8.75,4.8){C} \uput[u](5.7,8.6){D} \uput[ul](2.85,4.8){E} \uput[dr](0,0.3){A$'$} \uput[dr](5.9,0.3){B$'$} \uput[dr](8.7,4.1){C$'$} \uput[dr](5.7,7.9){D$'$} \uput[dr](2.85,4.1){E$'$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item En plein jour, l'enclos est entièrement éclairé par le soleil et son ombre entièrement sur le sol horizontal. Les rayons du soleil sont parallèles entre eux. Sur l'\textbf{annexe 1}, on a représenté l'ombre [A$'$A$''$] du pied [A$'$A]. Compléter le dessin en représentant l'ombre complète de l'enclos (pieds et fil électrique). \item L'\textbf{annexe 2} donne une partie d'une représentation en perspective centrale de l'enclos. Les segments [AA$'$] et [BB$'$] sont dans le même plan frontal. La droite $(\delta)$ est la ligne d'horizon. Les points \texttt{a}, \texttt{a}$'$, \texttt{b}, \texttt{c} sont les images respectives de A, A$'$, B, C dans cette perspective. La droite (\texttt{aa}$'$) est perpendiculaire à $(\delta)$. \begin{enumerate} \item Construire le point \texttt{e}, image de E. \item Que peut-on dire des droites (CD) et (BE) ? On ne demande pas de justifier. \item En déduire la construction du point \texttt{d}, image de D. \item Construire le polygone \texttt{abcde}. \item Terminer le dessin par la construction des images des cinq pieds. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 - A rendre impérativement avec la copie} \vspace{0,5cm}\begin{flushleft} \textbf{Exercice 4 - Question 1} \end{flushleft} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-1)(9,9) \pspolygon(0,1)(5.9,1)(8.75,4.8)(5.7,8.6) \psline(0,1)(0,0.3)(2.04,-0.86) \psline(5.9,1)(5.9,0.3)\psline(8.75,4.8)(8.75,4.1)\psline(5.7,8.6)(5.7,7.9)\psline(2.85,4.8)(2.9,4.1) \uput[ul](0,1){A} \uput[ul](5.9,1){B} \uput[ur](8.75,4.8){C} \uput[u](5.7,8.6){D} \uput[ul](2.85,4.8){E} \uput[dl](0,0.3){A$'$} \uput[dr](5.9,0.3){B$'$} \uput[dr](8.7,4.1){C$'$} \uput[dr](5.7,7.9){D$'$} \uput[dr](2.85,4.1){E$'$}\uput[ur](2.04,-0.86){A$''$} \end{pspicture} \end{center} \begin{landscape} \textbf{Annexe 2 - À rendre impérativement avec la topie} \bigskip Exercice 4 - Question 2 \bigskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(19,10) \psline(3,7)(19.5,7) \psline(6.6,0.2)(6.6,1)(13.2,1)(14.5,4) \uput[u](18,7){$\delta$} \uput[r](6.6,0.2){\texttt{a}$'$}\uput[ur](6.6,1){\texttt{a}}\uput[ul](13.2,1){\texttt{b}}\uput[ur](14.5,4){\texttt{c}} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%% Fin Métropole septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2012 \hypertarget{AmduSud}{} \lfoot{\small Amérique du Sud} \rfoot{\small 16 novembre 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Amérique du Sud~\decofourright\\16 novembre 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Lors d'une élection, trois candidats, Abel, Bernoulli et Cauchy se sont présentés. Un sondage fait à la sortie des urnes sur \np{1000}~personnes dont 55\,\% sont des femmes donnent les résultats suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] 40\,\% des femmes ont voté pour Abel et 35\,\% des femmes pour Bernoulli. \item[ ] 50\,\% des hommes ont voté pour Bernoulli et 30\,\% des hommes pour Cauchy. \end{description} \setlength\parindent{0mm} On admet que chacune des \np{1000}~personnes a voté pour un des 3 candidats. Parmi ces \np{1000}~personnes, on choisit une personne au hasard. On note les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $F$ : \og La personne choisie est une femme \fg. \item[ ] $H$ : \og La personne choisie est un homme \fg. \item[ ] $A$ : \og La personne choisie déclare avoir voté pour Abel \fg. \item[ ] $B$ : \og La personne choisie déclare avoir voté pour Bernoulli \fg. \item[ ] $C$ : \og La personne choisie déclare avoir voté pour Cauchy \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous: \begin{center} \psset{arrows=->} \pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F$}\taput{$0,55$}} { \TR{$A$}\taput{$0,4$} \TR{$B$} \TR{$C$} } \pstree{\TR{$H$}} {\TR{$A$} \TR{$B$} \TR{$C$} } } \end{center} \item Que représente l'évènement $F \cap A$ ? Donner sa probabilité. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A) = 0,31$. \item La personne choisie déclare avoir voté pour Abel. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Jambe-De-Bois et deux autres pirates veulent se partager entre $70$ et $90$ pièces d'or. Quand ils les partagent en trois parts égales il reste $2$ pièces d'or. Quand ils les partagent en cinq parts égales, Jambe-De-Bois s'adjugeant $3$ parts et les deux autres pirates une part chacun, il reste 3 pièces. On se propose de déterminer le nombre $x$ de pièces du trésor. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle donnée de l'énoncé utilise-t-on quand on écrit $x \equiv 2\quad (\text{mod}\:\: 3)$ ? \item Quelle donnée de l'énoncé utilise-t-on quand on écrit $x \equiv 3\quad (\text{mod}\:\: 5)$ ? \end{enumerate} \item On se propose de résoudre le système : \[(S) \qquad \left\{\begin{array}{l c l} x& \equiv& 2\quad (\text{mod}\:\: 3)\\ x& \equiv& 3\quad (\text{mod}\:\: 5) \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant avec des entiers naturels strictement inférieurs à 5 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $y\quad (\text{mod}\:\: 5)$& 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline $3y + 2 \quad (\text{mod}\:\: 5)$&&&&1& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En déduire les solutions de l'équation $3y + 2 \equiv 3\quad (\mod 5)$ puis qu'une solution $x$ du système $(S)$ est nécessairement de la forme $x = 15z + 8$ avec $z$ un entier. \item Réciproquement, démontrer que tout entier $x$ de la forme $x = 15z + 8$ avec $z$ entier est une solution du système $(S)$. \end{enumerate} \item Combien y-a-t-il de pièces dans le trésor ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \emph{Dans cet exercice les parties A et B sont indépendantes} \medskip Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète à l'instant $t = 0$ un autocar d'une valeur de $200$~milliers d'euros. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Cette valeur de l'autocar se déprécie. Sa perte de valeur en fonction du temps $t$ est donnée par la fonction $f$ définie par \[f(t) = 200\left(1 - \text{e}^{- 0,086t}\right),\] où $t$ est mesuré en années et $f(t)$ est exprimé en milliers d'euros. On donne la courbe représentative de la fonction $f$: \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.025cm} \begin{pspicture}(-1,-20)(20,200) \multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,200)} \multido{\n=0+10}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50]{->}(0,0)(20,200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=30,Dy=300](0,0)(-1,-20)(20,200) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 2.71828 0.086 x mul neg exp sub 200 mul} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement au bout de combien d'années l'autocar aura perdu 50\,\% de sa valeur initiale. Faire apparaître les traits de construction sur le graphique donné en annexe 1 (à remettre avec la copie). \item Déterminer par le calcul, au bout de combien de temps la valeur de l'autocar aura diminué de 120 milliers d'euros. Le résultat sera arrondi au centième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On estime que les recettes en milliers d'euros procurées par l'exploitation de cet autocar, hors dépréciation du véhicule, sont données par une fonction notée $g$. Cette fonction est définie pour tout nombre réel $t$ positif, par \[g(t) = 150\left(5 + t - 5\text{e}^{0,1t}\right),\] $t$ mesurant le nombre d'années d'exploitation de l'autocar. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $t \in [0~;~+ \infty[,\: g^{\prime}(t) = 150 \left(1 - 0,5\text{e}^{0,1t}\right)$ où la fonction $g^{\prime}$ est la fonction dérivée de la fonction $g$. \item Étudier le signe de $g^{\prime}(t)$ selon les valeurs de $t$ et construire le tableau de variation de la fonction $g$ (la limite de $g(t)$ en $+ \infty$ n'est pas demandée). En déduire que les recettes sont maximales pour une valeur $t_{0}$ de $t$ dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à l'unité près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère une table de cuisine parallèle au sol et éclairée par une ampoule notée O. Sur la figure suivante, on a représenté en perspective cavalière le dessus de la table. L'ombre du point M sur le sol est notée \texttt{m}. \begin{center} \end{center} Compléter sur l'annexe 2 (à remettre avec la copie), l'ombre de la table sur le sol. \medskip \textbf{Partie B} \medskip On se propose de représenter dans une perspective centrale, une partie du carrelage de cette cuisine composée de 6 carrés représentés ci -dessous : \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5) \psframe(3,2) \psline(0,1)(3,1)\psline(1,0)(1,2)\psline(2,0)(2,2) \uput[ul](0,2){A} \uput[u](1,2){B} \uput[u](2,2){C} \uput[ur](3,2){D} \uput[l](0,1){E} \uput[dl](1,1){F}\uput[dr](2,1){G} \uput[r](3,1){H} \uput[l](0,0){I} \uput[dl](1,0){J} \uput[dr](2,0){K} \uput[r](3,0){L} \end{pspicture} \end{center} Dans cette perspective centrale, le point A est représenté par \texttt{a}, le point B, par \texttt{b} et la droite (AD) est une droite frontale. On a représenté en annexe 3 (à remettre avec la copie) la ligne d'horizon, les points de distance \texttt{x} et \texttt{y}, ainsi que les points \texttt{a}, \texttt{c} et \texttt{f}. \medskip \begin{enumerate} \item Tracer la droite (\texttt{af}). Expliquer pourquoi cette droite passe par le point \texttt{x}. \item Placer successivement les points \texttt{h}, \texttt{k} et \texttt{i}. \item Terminer la figure. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 1} \medskip \textbf{(¿ remettre avec la copie)} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 3}\end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.03cm} \begin{pspicture}(-1,-100)(20,200) \multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-100)(\n,200)} \multido{\n=-100+10}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50]{->}(0,0)(0,-100)(20,200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=30,Dy=300](0,0)(-1,-100)(20,200) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 2.71828 0.086 x mul neg exp sub 200 mul} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 2} \medskip \textbf{(¿ remettre avec la copie)} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 4} \medskip \textbf{Partie A} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12.5,7) \uput[r](12.2,1.88){\texttt{m}} \pspolygon(2,3)(7,3)(8.4,3.8)(3.4,3.8) \uput[r](8.4,3.8){M}\uput[u](4.2,5.9){O} \psdots(12.2,1.88)(4.2,5.9) %\psline(4.2,5.9)(12.2,1.88) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 3} \medskip \textbf{(¿ remettre avec la copie)} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 4} \medskip \textbf{Partie B} \end{flushleft} \vspace{1cm} \begin{pspicture}(10,13.7) \psline(5,0)(5,13.7) \psdots(5,1)(5,13)(3.3,2.025)(2.5,2.5)(3.325,6)%yxcfa \rput{-90}(4.7,1){\texttt{y}} \rput{-90}(4.7,13){\texttt{x}} \rput{-90}(3,2){\texttt{c}} \rput{-90}(2.2,2.5){\texttt{f}} \rput{-90}(3,6){\texttt{a}} %\psline(2.5,2.5)(5,13) %\psline(2.5,2.5)(5,1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% Fin Amérique du Sud novembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2012 \hypertarget{Caledonie}{} \lfoot{\small Nouvelle-Calédonie} \rfoot{\small novembre 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Au premier janvier 2010, la population d'une ville était de \np{32500}~habitants, On considère que chaque année : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le nombre d'habitants augmente de 2\,\% du fait des naissances et des décès ; \item[$\bullet~~$] \np{1500}~habitants s'ajoutent à l'augmentation précédente du fait de nouveaux arrivants. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $u_{0}$ le nombre d'habitants de la ville au premier janvier 2010. On note $u_{1}$ le nombre d'habitants de la ville au premier janvier 2011. Pour tout $n$ entier naturel, on note $u_{n}$ le nombre d'habitants au premier janvier $2010 + n$ \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre d'habitants de cette ville prévu au premier janvier 2011 est de \np{34650}. \item Déterminer le nombre d'habitants de cette ville prévu au premier janvier 2012. \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,02 u_{n} + \np{1500}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} + \np{75000}$. \begin{enumerate} \item Monlrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = \np{107500}$ et de raison $q = 1,02$. \item Déterminer $v_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item En justifiant votre réponse, déterminer à partir de quelle année le nombre d'habitants de cette ville aura doublé par rapport à sa valeur au premier janvier 2010. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Soient $N$ et $B$ deux nombres entiers naturels. On appelle $Q$ le quotient entier de $N$ par $B$. Par exemple si $B = 3$ et $N = 17$ alors le quotient entier de $N$ par $B$ est $Q = 5$. On considère l'algorithme : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|X|}\hline Entrée &Deux entiers naturels $N$ et $B$\\ \hline Initialisation &$Q = 1$\\ \hline Traitement &Tant que $Q \neq 0$\\ &Affecter à $Q$ le quotient entier de $N$ par $B$.\\ &Affecter à $R$ la valeur $(N - Q \times B)$.\\ &Afficher $R$.\\ &Affecter à $N$ la valeur de $Q$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs successives de $R$ affichées par cet algorithme pour $B = 2$ et $N = 12$ ? \item \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs successives de $R$ affichées par cet algorithme pour $B = 3$ et $N = 346$ ? \item Quelle est l'écriture de $346$ en base $3$. \end{enumerate} \item Que permet de déterminer cet algorithme ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Une maladie touche 20\,\% de la population d'une ville. Lors d'un dépistage de la maladie, on utilise un test biologique qui a les caractéristiques suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item lorsque la personne est malade, la probabilité d'avoir un test positif est $0,85$. \item lorsque la personne n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est $0,95$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit une personne au hasard dans cette population. On note $T$ l'évènement \og la personne a un test positif à cette maladie \fg{} et $M$ l'évènement \og la personne est atteinte de cette maladie \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, donner les probabilités $p(M),\:p_{M}(T)$ et $p_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)$. \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous : \begin{center}\psset{nodesep=2pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$M$}} { \TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } \pstree{\TR{$\overline{M}$}} { \TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } } \end{center} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $T$ est égale à $0,21$. \end{enumerate} \item On appelle valeur prédictive positive du test, la probabilité qu'une personne soit malade sachant que le test est positif. On estime que ce test est efficace pour une population donnée lorsque celte probabilité est supérieure à $0,95$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur prédictive positive de ce test. Ce test est-il efficace sur la population étudiée ? \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Étudier l'efficacité du test lorsque 60\,\% des personnes d'une ville sont touchées par cette maladie. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip Le \emph{volley-ball} se pratique sur un terrain qui a la fonne d'un rectangle ABCD de 18 mètres de longueur sur 9 mètres de largeur. La ligne \emph{centrale} [IJ] s'étend sous le filet sur toute la largeur du terrain et sépare les deux camps. Les lignes \emph{d'ataque} [HG] et [EF] sont peintes au sol dans chaque moitié de terrain, à 3 mètres du filet ; elles sont communément appelées \og \emph{lignes des 3 mètres} \fg{} ; (voir la Figure 1). \medskip Les deux \emph{poteaux} [PM] et [QN] sont écartés d'une distance MN. Leur implantation déborde de part et d'autre du terrain. Un \emph{filet} rectangulaire PQRS est tendu au sommet des deux \emph{poteaux} (voir la Figure 2). \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,10) \rput(2.75,10){\textbf{Figure 1}} \psframe(0.5,0.5)(5,9.5) \psline(0.5,3.5)(5,3.5) \psline(0.5,5)(5,5) \psline(0.5,6.5)(5,6.5) \uput[dl](0.5,0.5){A}\uput[dr](5,0.5){B} \uput[ur](5,9.5){C}\uput[ul](0.5,9.5){D} \uput[l](0.5,3.5){E}\uput[r](5,3.5){F} \uput[ur](0.5,5){I}\uput[ul](5,5){J} \uput[l](0.5,6.5){H}\uput[r](5,6.5){G} \psdots(0.3,5)(5.2,5) \uput[l](0.3,5){M}\uput[r](5.2,5){N} \psline(6,0.5)(6,1.6) \psline(11,0.5)(11,1.6) \multido{\n=1.1+0.1}{6}{\psline(6,\n)(11,\n)} \multido{\n=6.0+0.1}{51}{\psline(\n,1.1)(\n,1.6)} \rput(8.5,3){\textbf{Figure 2}} \uput[ul](6,1.6){P}\uput[ur](11,1.6){P} \uput[r](11,1.1){R}\uput[l](6,1.1){S} \uput[l](6,0.5){M}\uput[r](11,0.5){N} \end{pspicture} \emph{Dans les questions suivantes, on laissera les traits de construction apparents.} \medskip \begin{enumerate} \item Sur le plan horizontal contenant le terrain, est placé un lampadaire [YO] muni en O d'une source lumineuse. On a représenté sur l'\textbf{ANNEXE 1}, en perspective parallèle, les poteaux et le filet ainsi que le lampadaire. \begin{enumerate} \item Quelle est l'ombre du point M ? Construire l'ombre P$'$ du point P. \item Terminer l'ombre sur le sol des poteaux et du filet. On hachurera l'ombre du filet. \end{enumerate} \item On a représenté sur l'\textbf{ANNEXE 2}, en perspective centrale, la ligne d'horizon $\Delta$ et les images \texttt{e, f} et \texttt{g} des points E, F et G du terrain. \begin{enumerate} \item Construire le point de fuite \texttt{w}$_{1}$ de la droite (FG). Justifier que \texttt{w}$_{1}$ est aussi le point de fuite de la droite (EH), \item Construire le point de fuite \texttt{w}$_{2}$ de la droite (EF), \item En déduire la construction de l'image \texttt{h} du point H, \item Construire le point de fuite \texttt{w}$_{3}$ de la droite (FH). Tracer les segments [\texttt{eg}] et [\texttt{fh}] puis construire les images \texttt{i} et \texttt{j} des points I et J, \item Justifier que les droites (FH), (DG) et (EB) ont le même point de fuite puis terminer la construction du terrain (on ne représentera ni les poteaux ni le filet). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1\\(À remettre avec la copie)} \vspace{2cm} \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4 \\Question 1}\end{flushleft} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,6) \psline(0,0)(0,1.6)\psline(6.8,0)(6.8,1.6) \multido{\n=0.900+0.175}{5}{\psline(0,\n)(6.8,\n)} \multido{\n=0+0.2}{35}{\psline(\n,0.9)(\n,1.6)} \psline(4.4,2.1)(4.4,4.7) \uput[r](4.4,2.1){Y}\uput[r](4.4,4.7){O} \uput[l](0,1.6){P}\uput[r](6.8,1.6){Q} \uput[l](0,0.9){S}\uput[r](6.8,0.9){R} \uput[l](0,0){M}\uput[r](6.8,0){N} \end{pspicture} \newpage \textbf{ANNEXE 2\\(À remettre avec la copie)} \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4 \\ Question 2}\end{flushleft} \begin{pspicture}(12,6.5) \psline(0,6)(12,6) \uput[d](0,6){$\Delta$} \psline(4.8,2.3)(7.3,0.55)(9,1.7) \uput[ul](4.8,2.3){\texttt{e}} \uput[d](7.3,0.55){\texttt{f}} \uput[dr](9,1.7){\texttt{g}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% Fin Nouvelle-Calédonie novembre 2012