\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{colortbl} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{pst-bezier} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small STT L'intégrale 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rhead{A. P. M. E. P. } \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG 2012 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2012}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{AntillesCGRH}{Antilles--Guyane CGRH juin 2012} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{MetropoleCGRH}{Métropole--La Réunion CGRH juin 2012} \dotfill 6 \medskip \hyperlink{PolynesieCGRH}{Polynésie CGRH juin 2012} \dotfill 10 \medskip \hyperlink{AntillesseptCGRH}{Antilles-Guyane CGRH septembre 2012} \dotfill 13 \medskip \hyperlink{MetropoleseptCGRH}{Métropole CGRH septembre 2012} \dotfill 16 \medskip \hyperlink{PolynesieseptCGRH}{Polynésie CGRH septembre 2012} \dotfill 21 \medskip \hyperlink{CaledonienovCGRH}{Nouvelle Calédonie CGRH novembre 2012} \dotfill 25 \medskip \medskip \hrule \medskip \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry Mercatique avril 2012} \dotfill 30 \medskip \hyperlink{AntillesMerca}{Antilles--Guyane Mercatique juin 2012} \dotfill 35 \medskip \hyperlink{MetropoleMerca}{Métropole Mercatique juin 2012} \dotfill 39 \medskip \hyperlink{PolynesieMerca}{Polynésie Mercatique juin 2012} \dotfill 44 \medskip \hyperlink{AntillesseptMerca}{Antilles-Guyane Mercatique septembre 2012} \dotfill 49 \medskip \hyperlink{MetropoleseptMerca}{Métropole Mercatique septembre 2012} \dotfill 53 \medskip \hyperlink{PolynesieseptMerca}{Polynésie Mercatique septembre 2012} \dotfill 58 \medskip \hyperlink{CaledonienovMercatique}{Nouvelle Calédonie Mercatique novembre 2012} \dotfill 62 \medskip} \newpage ~ %%%%%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles CGRH juin 2012 \hypertarget{AntillesCGRH}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{20 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG ---CGRH\\ Antilles-Guyane 20 juin 2012~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, une seule est correcte.\\ Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.} \emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.\\ Les deux parties sont indépendantes.} \smallskip \textbf{Partie I} \smallskip Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~4]$ par \[f(x)=x^3 - 3x^2 - 9x + 3.\] On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-3~;~4]$.\\ On donne le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-3~;~4]$: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline $x$ & $-3$ & \qquad\qquad & $-1$ & \qquad\qquad & $3$ & \qquad\qquad & 4\\ \hline & & &\rnode{b}{8}& & & &\rnode{d}{$-17$}\\ $f$& & & & & & & \\ &\rnode{a}{$-24$}& & & &\rnode{c}{$-24$}& & \\ \hline \end{tabular} \ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b} \ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c} \ncline[nodesep=3pt]{->}{c}{d} \end{center} \begin{enumerate} \item L'expression de $f'(x)$ est: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}} $f'(x) = x^2 - 6x - 9$ & $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ & $f'(x) = 3x^2 - 6x - 6$ \end{tabular} \end{center} \item Sur l'intervalle $[-3~;~4]$ la fonction $f'$ est: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}} positive & négative & de signe non constant \end{tabular} \end{center} \item Le calcul de $f(-2)$ donne: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}} 25 & $-11$ & 1 \end{tabular} \end{center} \item L'équation $f(x)=0$ admet sur l'intervalle $[-3~;~4]$: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}} aucune solution & une unique solution & deux solutions \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie II} \smallskip Dans cette partie, $A$ et $B$ sont deux évènements. On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ leurs évènements contraires respectifs. \smallskip On considère l'arbre pondéré suivant: \begin{center} \pstree[nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treemode=R,levelsep=3cm]{ \Tr{} } { \pstree{\Tr{$A$}^{\np{0,6}}}{\Tr{$B$} \Tr{$\overline{B}$}_{\np{0,2}}} \pstree{\Tr{$\overline{A}$}_{}}{\Tr{$B$}^{\np{0,7}} \Tr{$\overline{B}$}_{}} } \end{center} \begin{enumerate} \item La probabilité $P\left(A\cap \overline{B}\right)$ est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}} \np{0,2} & \np{0,8} & \np{0,12} \end{tabular} \end{center} \item La probabilité $P(B)$ est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{3cm}@{~~b)~~}p{3cm}@{~~c)~~}p{3.3cm}} \np{0,76} & \np{0,8} & \np{0,7} \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \smallskip Une salle de théâtre contient \np{2000} places assises. Lors du lancement d'un nouveau spectacle, le directeur s'attend à ce que le nombre de spectateurs augmente au fil du temps et note en conséquence chaque jour le nombre de personnes souhaitant y assister. \smallskip Les résultats sont consignés dans le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Rang du jour: $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline Nombre de spectateurs: $y_i$& 975 & \np{1025} & \np{1100} & \np{1225} & \np{1275} & \np{1350} & \np{1450}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage d'évolution du nombre de spectateurs entre le premier et le septième jour de représentation. \emph{On arrondira le résultat au dixième.} \item Dans un repère orthogonal et sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points associé à cette série statistique. Unités: 2~cm pour 1~jour en abscisse et 1~cm pour 50~spectateurs en ordonnée en commençant les graduations de l'axe des ordonnées à 800. \item La forme du nuage permet-elle d'envisager un ajustement affine~? Pourquoi~? \item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage et placer $G$ sur le graphique précédent. \item \begin{enumerate} \item Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.\\ \emph{On arrondira les valeurs numériques obtenues au dixième.} \item Construire cette droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item On admet dans cette question que la tendance se poursuit suivant le modèle établi dans la question précédente. \begin{enumerate} \item Combien le directeur peut-il prévoir de spectateurs le dixième jour de représentation du spectacle~? \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}\\ Au bout de combien de jours la salle affichera-t-elle complet~? Combien de personnes le directeur devra-t-il alors refuser ce jour là~? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} %: Ex 3 7 points \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \smallskip Le but de cet exercice est de comparer l'évolution de la population de deux quartiers d'une même ville: le quartier Uranus et le quartier Saturne. \smallskip En 2010, Uranus compte \np{2000} habitants et Saturne en compte \np{2700}. On fait l'hypothèse que, chaque année, la population d'Uranus augmente de 250 habitants et celle de Saturne augmente de 4~\%. \smallskip On note $u_0$ la population d'Uranus en 2010, $u_1$ sa population en 2011 et plus généralement $u_n$ sa population en l'an $2010 + n$. \smallskip De même, on note $s_0$ la population de Saturne en 2010, $s_1$ sa population en 2011 et plus généralement $s_n$ sa population en l'an $2010 + n$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$~? Justifier. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $(s_n)$ est géométrique de raison \np{1,04}. \item Exprimer $s_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Afin de prévoir l'évolution de la population de ces deux quartiers, on a réalisé \textbf{page \pageref{prout} en annexe à rendre avec la copie,} une feuille de calcul. \emph{(Les valeurs ont été arrondies à l'unité).} \begin{enumerate} \item Indiquer la formule saisie en C3 qui, recopiée vers le bas, permet d'obtenir les termes consécutifs de la suite $(s_n)$ dans la colonne C. \item Compléter les colonnes B et C. \item D'après cette feuille de calcul, en quelle année la population d'Uranus dépassera-t-elle pour la première fois celle de Saturne~? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{3cm} \begin{center} \large \textbf{ ANNEXE (à rendre avec la copie) } \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 3} \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{A}& \textbf{B}& \textbf{C}\\ \hline \textbf{1} & $n$& $u_n$ & $s_n$ \\ \hline \textbf{2} & 0 & \np{2000} & \np{2700}\\ \hline \textbf{3} & 1 & \np{2250} & \np{2808}\\ \hline \textbf{4} & 2 & \np{2500} & \np{2920}\\ \hline \textbf{5} & 3 & \np{2750} & \np{3037}\\ \hline \textbf{6} & 4 & \np{3000} & \np{3159}\\ \hline \textbf{7} & 5 & & \\ \hline \textbf{8} & 6 & & \\ \hline \textbf{9} & 7 & & \\ \hline \textbf{10} & 8 & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \label{prout} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles CGRH juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole CGRH juin 2012 \hypertarget{MetropoleCGRH}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG - CGRH~\decofourright \\ Métropole juin 2012}} \vspace{0.5cm} Coefficient 2 \hfill Durée 2 heures \vspace{0.5cm} \end{center} La calculatrice est autorisée. \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points} \medskip Le tableau suivant représente le nombre de créations d'entreprises,en milliers, de 2003 à 2010 dans le secteur immobilier. {\emph{\small(Source : INSEE, août 2011)}} Ce tableau est reproduit dans l'annexe {\textbf{à rendre avec la copie.}} \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|>{\centering \arraybackslash}m{3.5cm}|>{\centering \arraybackslash}p{3.85cm}|}\hline \rowcolor[gray]{0.75}&A & B & C& D\\\hline 1 & Année& Rang de l'année ($x_i$)&Nombre de créations d'entreprises ($y_i$)\linebreak (en milliers)&Taux annuel d'évolution (en \%)\\\hline 2 & 2003 & 0& 10,7&\cellcolor{gray}{}\\\hline 3 & 2004 & 1& 13,3 & 24,3\\\hline 4 & 2005& 2& 14,9&\\\hline 5 & 2006 & 3 & 15,4&\\\hline 6 & 2007& 4 & 17,4&\\\hline 7 & 2008& 5& 17,1&\\\hline 8 & 2009& 6 & 15,8&\\\hline 9 & 2010 & 7 & 17,8&\\\hline \end{tabular} \smallskip \emph{Dans la cellule \text{D}$3$, le nombre $24,3$ est le taux annuel d'évolution de $2003$ à $2004$, en \%, arrondi à $0,1$\,\% près.} \end{center} \vspace{0.25cm} \begin{center} {\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}} \end{center} \medskip {\textbf{Partie A}} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$, par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $0,001$ près \item Dans cette question, on prendra pour équation de la droite $\mathcal{D}$: $y=0,84x+12,35$. En admettant que ce modèle reste valable jusqu'en 2015, à combien peut-on estimer le nombre de créations d'entreprises en 2015 ? \end{enumerate} \medskip {\textbf{Partie B}} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule D3 et recopier sur la plage D3 : D9 pour calculer, en \%, les taux annuels d'évolution du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010 ? \item Compléter le tableau de l'annexe à rendre avec la copie. On arrondira les résultats à 0,1\,\% près. \item Comment interpréter le résultat obtenu dans la cellule D8 ? \item Déterminer le taux global d'augmentation du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010. On arrondira le résultat à 0,1\,\% près. \item Montrer que le taux annuel moyen d'évolution du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010, arrondi à 0,1\,\% près, est 7,5\,\%. \item On considère que l'évolution du nombre d'entreprises créées à partir de 2003 est modélisée par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 10,7$ et de raison $1,07$. $u_n$ désigne le nombre d'entreprises créées, en milliers, l'année 2003 +$ n$. \begin{enumerate} \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item En supposant que ce modèle reste valable jusqu'en 2015, déterminer le nombre de créations d'entreprises en 2015. On arrondira le résultat à la centaine près. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{\textsc{Exercice}2\hfill (7 points)} \medskip Une entreprise fabrique des pièces mécaniques. On note $x$ le nombre de \textbf{dizaines} de pièces fabriquées au cours d'une journée. Le coût de production, en euros, de $x$ \textbf{dizaines} de pièces est noté $f(x)$. La partie de la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [4~;~10] est donnée dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}. \medskip {\textbf{Partie A : Lecture graphique}} \medskip On laissera apparents, sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie, les traits nécessaires à la lecture graphique. \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique, déterminer le coût de production de 50 pièces. \item Chaque pièce est vendue $0,3$~\euro. On note $R(x)$ la recette de l'entreprise lorsqu'elle produit $x$ dizaines de pièces. Expliquer pourquoi $R(x) = 3x$. \item Représenter graphiquement la fonction $R$ dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}. \item Le bénéfice réalisé par l'entreprise, en fonction du nombre $x$ de dizaines de pièces vendues, est la différence entre la recette et le coût de production. On note $B(x)$ ce bénéfice. À l'aide du graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif. \end{enumerate} \bigskip {\textbf{Partie B : Étude du bénéfice}} \medskip On suppose que la fonction $f$ est définie par : $f(x) = x^2-8x +18$ sur l'intervalle [4~;~10]. \begin{enumerate} \item On rappelle que lorsque l'entreprise produit $x$ dizaines de pièces, sa recette est $R(x)=3x$. Vérifier que le bénéfice de l'entreprise est alors $B(x)=-x^2+11x-18$. \item \begin{enumerate} \item $B'$ est la dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle [4~;~10]. \item Déterminer, en fonction de $x$, le signe de $-2x +11$ sur l'intervalle [4~;~10]. \item En déduire les variations de $B$ sur l'intervalle [4~;~10]. \end{enumerate} \item Déterminer alors le nombre de pièces que l'entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximum. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill (5 points)} \medskip L'élection du président d'une association se fait au scrutin majoritaire à deux tours. Tout au long du scrutin, seuls les votes exprimés sont comptabilisés. Trois candidats se présentent au premier tour. Le candidat A obtient 40\,\% des voix. Le candidat B obtient 33\,\% des voix. Le candidat C obtient 27\,\% des voix. On procède alors à un second tour entre les candidats A et B. Tous les votants du premier tour votent au second tour. \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]Parmi les adhérents de l'association qui ont voté A au premier tour, 99\,\% votent A au second tour. \item[$\bullet~~$]Parmi les adhérents de l'association qui ont voté B au premier tour, 100\,\% votent B au second tour. \item[$\bullet~~$]Parmi les adhérents de l'association qui ont voté C au premier tour, 20\,\% votent A au second tour. \end{itemize} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip À l'issue du second tour, on interroge un adhérent de l'association choisi au hasard et on note : \begin{description} \item[A$_1$] l'évènement : \og cet adhérent a voté A au premier tour \fg \item[B$_1$] l'évènement : \og cet adhérent a voté B au premier tour \fg \item[C ] l'évènement : \og cet adhérent a voté C au premier tour \fg \item[A ] l'évènement : \og cet adhérent a voté A au second tour \fg \item[B ] l'évènement : \og cet adhérent a voté B au second tour \fg \end{description} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous : \medskip \begin{center} \psset{} \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{~A$_1$~}\taput{\footnotesize 0,4}} { \TR{A}\taput{ $\dots$} \TR{B}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{~B$_1$~}\taput{\footnotesize 0,33}} { \TR{A}\taput{\footnotesize 0} \TR{B}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{~C~}\tbput{\footnotesize 0,27}} { \TR{A}\taput{\footnotesize\np{ 0.2}} \TR{B}\tbput{$\dots$} } } \end{center} \end{enumerate} Les questions 2., 3. et 4. constituent un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées,une seule réponse est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité de l'évènement $C \cap A$ est : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} $\bullet~~$ 0,2&$\bullet~~$0,29&$\bullet~~$0,054&$\bullet~~$0,02\\ \end{tabularx} \item La probabilité de l'évènement A est : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} $\bullet~~$0,45&$\bullet~~$0,4&$\bullet~~$0,55&$\bullet~~$0,6\\ \end{tabularx} \item Un adhérent de l'association choisi au hasard a voté A au second tour. La probabilité que cet adhérent ait voté C au premier tour est : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} $\bullet~~$ $p(\text{A} \cap \text{C})$ &$\bullet~~$ $p_\text{A}(\text{C})$ &$\bullet~~$ $p_\text{C}(\text{A})$&$\bullet~~$ $p(\text{A} \cup \text{C})$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Un candidat est élu à l'issue du second tour de l'élection lorsqu'il obtient strictement plus de la moitié des voix. \begin{enumerate} \item Quel est le candidat élu à l'issue du second tour de l'élection ? \item Si les adhérents qui ont voté A au premier tour avaient tous voté A au second tour, A aurait-il été élu ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \end{center} {\textbf{\textsc{Exercice 1}--tableau à compléter}} \medskip \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|>{\centering \arraybackslash}m{3.5cm}|>{\centering \arraybackslash}p{3.85cm}|}\hline \rowcolor[gray]{0.75}&A & B & C& D\\\hline 1 & Année& Rang de l'année ($x_i$)&Nombre de créations d'entreprises ($y_i$)\linebreak (en milliers)&Taux annuel d'évolution (en \%)\\\hline 2 & 2003 & 0& 10,7&\cellcolor{gray}{}\\\hline 3 & 2004 & 1& 13,3 & 24,3\\\hline 4 & 2005& 2& 14,9&\\\hline 5 & 2006 & 3 & 15,4&\\\hline 6 & 2007& 4 & 17,4&\\\hline 7 & 2008& 5& 17,1&\\\hline 8 & 2009& 6 & 15,8&\\\hline 9 & 2010 & 7 & 17,8&\\\hline \end{tabular} \vspace{0.5cm} {\textbf{\textsc{Exercice 2}--Partie A : graphique à compléter}} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1.3cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(10.5,41) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.5pt](-0.5,-0.5)(11,41) \uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{4}{10}{ x 2 exp 8 x mul sub 18 add} \psline{<->}(6,0)(6,6) \psline{<->}(0,6)(6,6) \psset{fillcolor=blue} \psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.3](6,0) \psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.3](6,6) \psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.3](0,6) \uput[ur](8.5,0.11){\scriptsize Nombre de dizaines de pièces} \uput[r](0.1,40.6){\scriptsize Coût de production de $x$ dizaines de pièces (en euros).} \psaxes[linewidth=1.15pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(11.2,41.2) \end{pspicture} \end{center} \emph{Lecture du graphique: si $x=6$, l'entreprise produit 60 pièces pour un coût de 6~\euro} %%%%%%%%%%% fin Métropole CGRH juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie CGRH juin 2012 \hypertarget{PolynesieCGRH}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{6 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~ \decofourright\\ 6 juin 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un Q.C.M.} \emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.\\ Une réponse juste apporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.} Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \neq - 1$ par $f(x) = \dfrac{x + 2}{x + 1}$. \begin{enumerate} \item L'image de 3 par la fonction $f$ est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~$\dfrac{14}{3}$&B.~~$\dfrac{5}{4}$&C.~~$2$\\ \end{tabularx} \medskip \item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. Le point de coordonnées $(-2~;~0)$ est situé : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ au-dessous de la courbe $\mathcal{C}$ ?& B.~~ au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$ ?& C.~~ sur la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{tabularx} \medskip \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x \neq -1$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ $f'(x) = \dfrac{- 1}{(x + 1)^2}$&B.~~ $f'(x) = 1$& C.~~ $f'(x) = \dfrac{1}{x + 1}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-4~;~2]$ et la droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{P}$ au point d'abscisse $1$. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3)(3,3) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3)(3,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{1.5 x dup mul 2 div sub x sub} \psplot{-0.5}{2.5}{2 x 2 mul sub} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](2.8,0){$x$}\uput[l](0,2.8){$y$} \uput[u](-2.5,1.3){$\mathcal{P}$}\uput[u](2.2,-2.2){$\mathcal{D}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $g(x) = 0$ a pour solution(s) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~1,5 &B.~~$- 1$ &C.~~$- 3$ et 1\\ \end{tabularx} \medskip \item L'inéquation $g(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~$[-4~;~-1]$ &B.~~ $[-3~;~ 1]$ &C.~~ $[0~;~ 2]$\\ \end{tabularx} \medskip \item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~$g'(1) = - 2$ &B.~~ $g'(1) = - \dfrac{1}{2}$ &C.~~$g'(1) = 2$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Au cours d'une épidémie virale on a relevé chaque semaine le nombre, exprimé en milliers, de personnes contaminées. Le tableau ci-dessous rend compte de cette enquête sur une période de 10 semaines. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Semaine $\left(x_{i}\right)$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline Nombre de cas en milliers $\left(y_{i}\right)$&2&5&7&15&30&33&50&68&79&92\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique ci-dessus. (unités graphiques : 1 cm pour 1 semaine en abscisse, 1~cm pour 10~milliers de personnes en ordonnée). Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de ce nuage par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au millième. \item En utilisant ce modèle, prévoir le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées entre la 8\up{e} et la 10\up{e} semaine. \item Calculer le taux d'évolution hebdomadaire moyen, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées sur cette même période. \item On suppose que, à partir de la 10\up{e} semaine, le nombre de personnes contaminées augmente chaque semaine de 16,3\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 11\up{e} semaine. \item Calculer, en utilisant ce modèle, le nombre arrondi au millier de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip En réalité le nombre de cas relevés à la 14\up{e} semaine a été égal à \np{152000}. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi on aurait pu prévoir, à l'aide du nuage de points, l'écart entre l'estimation obtenue à la partie A et le nombre réel de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. \item Le modèle utilisé à la partie B donne-t-il une meilleure estimation du nombre réel de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine que celui de la partie A ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une enquête est réalisée auprès des \np{1500} élèves du lycée Bourbaki qui possèdent un téléphone portable afin de connaître le type d'appareil et le type de forfait dont ils disposent. Il en ressort que : 210 élèves possèdent un \emph{smartphone} et parmi eux 20\,\% ont un forfait bloqué. 375 élèves ont un forfait non bloqué. Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline &Nombre d'élèves ayant un \emph{smartphone}&Nombre d'élèves ayant un autre téléphone& Total\\ \hline Nombre d'élèves ayant un forfait bloqué & & &\\ \hline Nombre d'élèves ayant un forfait non bloqué & & &375\\ \hline Total &210& &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \medskip \textbf{Partie B} \medskip On interroge au hasard un élève du lycée Bourbaki et on considère les évènements: \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $S$ : \og l'élève interrogé a un \emph{smartphone} \fg \item $B$ : \og l'élève interrogé a un forfait bloqué \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement B et celle de l'évènement S. \item L'élève interrogé a un \emph{smartphone}. Quelle est la probabilité qu'il ait un forfait non bloqué ? \item \begin{enumerate} \item Décrire par une phrase l'évènement $S \cup B$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $S \cup B$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie CGRH juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane CGRH septembre 2012 \hypertarget{AntillesseptCGRH}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{6 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie\decofourright\\6 juin 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un Q.C.M.} \emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.\\ Une réponse juste apporte $1$ point; une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.} Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \neq - 1$ par $f(x) = \dfrac{x + 2}{x + 1}$. \begin{enumerate} \item L'image de 3 par la fonction $f$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~$\dfrac{14}{3}$&B.~~$\dfrac{5}{4}$&C.~~$2$\\ \end{tabularx} \medskip \item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. Le point de coordonnées $(-2~;~0)$ est situé : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~au-dessous de la courbe $\mathcal{C}$ ?& B.~~au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$ ?& C.~~sur la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{tabularx} \medskip \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x \neq -1$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ $f'(x) = \dfrac{- 1}{(x + 1)^2}$&B.~~ $f'(x) = 1$& C.~~ $f'(x) = \dfrac{1}{x + 1}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-4~;~2]$ et la droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{P}$ au point d'abscisse $1$. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3)(3,3) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3)(3,3) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{1.5 x dup mul 2 div sub x sub} \psplot{-0.5}{2.5}{2 x 2 mul sub} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](2.8,0){$x$}\uput[l](0,2.8){$y$} \uput[u](-2.5,1.3){$\mathcal{P}$}\uput[u](2.2,-2.2){$\mathcal{D}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $g(x) = 0$ a pour solution(s) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~1,5 &B.~~$- 1$ &C.~~ $- 3$ et 1\\ \end{tabularx} \medskip \item L'inéquation $g(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~ $[-4~;~-1]$ &B.~~ $[-3~;~ 1]$ &C.~~ $[0~;~ 2]$\\ \end{tabularx} \medskip \item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} A.~~$g'(1) = - 2$ &B.~~ $g'(1) = - \dfrac{1}{2}$&C.~~$g'(1) = 2$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Au cours d'une épidémie virale on a relevé chaque semaine le nombre, exprimé en milliers, de personnes contaminées. Le tableau ci-dessous rend compte de cette enquête sur une période de 10 semaines. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Semaine $\left(x_{i}\right)$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline Nombre de cas en milliers $\left(y_{i}\right)$&2&5&7&15&30&33&50&68&79&92\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique ci-dessus. (unités graphiques : 1 cm pour 1 semaine en abscisse, 1~cm pour 10~milliers de personnes en ordonnée). Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de ce nuage par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au millième. \item En utilisant ce modèle, prévoir le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées entre la 8\up{e} et la 10\up{e} semaine. \item Calculer le taux d'évolution hebdomadaire moyen, exprimé en pourcentage et arrondi au dixième, du nombre de personnes contaminées sur cette même période. \item On suppose que, à partir de la 10\up{e} semaine, le nombre de personnes contaminées augmente chaque semaine de 16,3\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre, arrondi au millier, de personnes contaminées à la 11\up{e} semaine. \item Calculer, en utilisant ce modèle, le nombre arrondi au millier de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip En réalité le nombre de cas relevés à la 14\up{e} semaine a été égal à \np{152000}. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi on aurait pu prévoir, à l'aide du nuage de points, l'écart entre l'estimation obtenue à la partie A et le nombre réel de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine. \item Le modèle utilisé à la partie B donne-t-il une meilleure estimation du nombre réel de personnes contaminées à la 14\up{e} semaine que celui de la partie A ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une enquête est réalisée auprès des \np{1500} élèves du lycée Bourbaki qui possèdent un téléphone portable afin de connaître le type d'appareil et le type de forfait dont ils disposent. Il en ressort que : 210 élèves possèdent un \emph{smartphone} et parmi eux 20\,\% ont un forfait bloqué. 375 élèves ont un forfait non bloqué. Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline &Nombre d'élèves ayant un \emph{smartphone}&Nombre d'élèves ayant un autre téléphone& Total\\ \hline Nombre d'élèves ayant un forfait bloqué & & &\\ \hline Nombre d'élèves ayant un forfait non bloqué & & &375\\ \hline Total &210& &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \medskip \textbf{Partie B} \medskip On interroge au hasard un élève du lycée Bourbaki et on considère les évènements: \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $S$ : \og l'élève interrogé a un \emph{smartphone} \fg \item $B$ : \og l'élève interrogé a un forfait bloqué \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement B et celle de l'évènement S. \item L'élève interrogé a un \emph{smartphone}. Quelle est la probabilité qu'il ait un forfait non bloqué ? \item \begin{enumerate} \item Décrire par une phrase l'évènement $S \cup B$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $S \cup B$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Antilles CGRH septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%% Métropole CGRH septembre 2012 \hypertarget{MetropoleseptCGRH}{} \lhead{\small Baccalauréat STG CGRH} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole~\decofourright\\13 septembre 2012}} \vspace{0,5cm} La calculatrice est autorisée. \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte}. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip Un site internet propose la vente de livres. On choisit au hasard un client de ce site qui y a acheté un livre. On note : $A$ l'évènement \og le client a acheté un roman policier \fg, $B$ l'évènement \og le client a acheté un ouvrage d'un auteur français \fg. On suppose que $p(A) = \dfrac{3}{4}$ et $p(A \cap B) = \dfrac{1}{12}$. On rappelle la formule valable pour des évènements $M$ et $N$ quelconques : \[p(M \cup N) = p(M) + p(N) - p(M \cap N).\] \begin{enumerate} \item $p\left(\overline{A}\right)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{4}{3}$ \end{tabularx} \medskip \item $p_{A}(B)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{4}{9}$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{11}{12}$ \end{tabularx} \medskip \item L'évènement \og Le client n'a acheté ni roman policier ni ouvrage d'un auteur français\fg{} est représenté par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\overline{A} \cap \overline{B}$&$\overline{A} \cup \overline{B}$&$\overline{A \cap B}$ \end{tabularx} \medskip \item On admet que $p(A \cup B) = \dfrac{15}{16}$. Dans ce cas, $p(B)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{13}{48}$&$\dfrac{11}{48}$&$\dfrac{4}{28}$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Une entreprise de menuiserie fait une étude sur la fabrication de chaises en bois pour une production comprise entre 5 et 60 chaises par jour. On admet que le coût de production, en euros, de $x$ chaises par jour est donné par : \[C(x) = x^2 - 10x + 200,\] où $C$ est une fonction définie sur l'intervalle [5~;~60]. Le prix de vente d'une chaise est de 50~\euro. La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $C$, sur l'intervalle [5~;~60], est donnée dans l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \bigskip \textbf{A Coût de production} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul le coût de production de 20 chaises. \item Par lecture graphique, estimer la quantité de chaises correspondant à un coût de production de 500~\euro. \emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B Étude graphique du bénéfice} \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $R(x)$ la recette correspondant à la vente de $x$ chaises. Montrer que $R(x)$ est donné par : $R(x) = 50x$. \item Représenter graphiquement la fonction $R$ sur l'intervalle [5~;~60], dans le repère de l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \item Le bénéfice $B(x)$ réalisé par l'entreprise en fonction du nombre $x$ de chaises vendues est la différence entre la recette et le coût de production. À l'aide du graphique, déterminer l'intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de chaises à vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif. \emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C Étude algébrique du bénéfice} \medskip Le bénéfice réalisé par l'entreprise, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [5~;~60]. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $B(x) = - x^2 + 60x - 200$. \item À l'aide de la calculatrice, remplir le tableau de valeurs de la fonction $B$ donné dans l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \item $B'$ est la dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$. \item Déterminer, en fonction de $x$, le signe de $- 2x + 60$, sur l'intervalle [5~;~60]. \item En déduire les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [5~;~60]. \item On suppose que la production est entièrement vendue. Déterminer le nombre de chaises que doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximum. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip Les données du tableau ci-dessous, reproduit dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}, concernent l'évolution de la part d'énergie renouvelable dans la production annuelle d'électricité de l'Union Européenne, pour la période allant de 2003 à 2008. (\emph{Source, Eurostat-Énergie}) \medskip \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline 4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&7,8&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Lecture du tableau : $\bullet~~$dans la cellule B3, 12,9\,\% est la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité en 2003. $\bullet~~$dans la cellule C4, 7,8\,\% est le taux d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, arrondi à $0,1$\,\% près, de 2003 à 2004. \medskip Le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} représente le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. \bigskip \textbf{A. Taux d'évolution} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C4 et recopier sur la plage D4~:~G4 pour obtenir les taux annuels d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% ? \item Compléter le tableau fourni dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. \item Déterminer le taux d'évolution global de la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne entre 2003 et 2008. \emph{On arrondira le résultat à $0,1\,\%$ près}. \item Montrer que le taux annuel moyen d'évolution entre 2003 et 2008, arrondi à $0,1$\,\% près, est égal à $5,3$\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. 1\up{er} modèle d'évolution : la droite de régression par la méthode des moindres carrés} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés. \emph{On arrondira les coefficients à $10^{-3}$ près}. \item On prend comme équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0,70x + 12,86$. Tracer cette droite sur le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. 2\up{e} modèle d'évolution : utilisation d'une suite géométrique} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 12,9$ et de raison $1,053$. On suppose que $u_{n}$ représente le pourcentage de la part d'énergie renouvelable dans la production d'énergie de l'Union Européenne l'année $2003 + n$, $n$ étant inférieur ou égal à 9. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$. \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_{9}$. \emph{On arrondira le résultat à $10^{- 1}$près}. \item Que représente $u_{9}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{D. Estimation en 2012} \medskip Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On se demande si la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne peut atteindre l'objectif de 21\,\% en 2012. L'un ou l'autre des deux modèles étudiés conduit-il à cet objectif ? \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2 : courbe représentative de la fonction} \boldmath $C$\unboldmath \vspace{1cm} \psset{xunit=0.17cm,yunit=0.003cm} \begin{pspicture}(-5,-100)(65,3200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200]{->}(0,0)(65,3200) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200](0,0)(65,3200) \multido{\n=0+5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3200)} \multido{\n=0+200}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(65,\n)} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{60}{x dup mul 10 x mul sub 200 add} \uput[dr](45,1800){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 2 : tableau de valeurs de la fonction \boldmath $B$\unboldmath{} à compléter} \bigskip \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &10 &20 &25 &30 &35 &40 &50 &60\\ \hline $B(x)$ & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 : tableau à compléter} \vspace{0,5cm} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G\\ \hline 1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline 4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&7,8&&&&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 : graphique à compléter} \vspace{0,5cm} Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité par année dans l'Union Européenne à 27 pays depuis 2003 (\emph{Source : Eurostat}) \vspace{0,75cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,12) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(9,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=10,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,12) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=10,Dy=2](0,0)(-0.5,-0.5)(9,12) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,2.9)(1,3.9)(2,4)(3,4.6)(4,5.5) (5,6.7) \uput[d](8.5,-0.75){Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$} \uput[u](0,12){Part en \,\% $\left(y_{i}\right)$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Métropole CGRH septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%% Polynésie CGRH septembre 2012 \hypertarget{PolynesieseptCGRH}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\13 septembre 2012}} \vspace{1cm} La calculatrice est autorisée. \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Les résultats d'une étude sur l'énergie éolienne en France de 2000 à 2010 sont donnés dans le tableau ci-dessous. La \og capacité en MW \fg{} est la quantité annuelle d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, exprimée en mégawatts et arrondie à l'unité. Le \og pourcentage d'évolution \fg{} est le taux d'évolution de la capacité par rapport à celle de l'année précédente. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &Capacité en MW& Pourcentage d'évolution\\ \hline 2000 &68&\\ \hline 2001 &95 &+ 39,71\,\% \\ \hline 2002 &148 &+ 55,79\,\%\\ \hline 2003 &248 &\\ \hline 2004 &386 &+ 55,65\,\% \\ \hline 2005 &757 &+ 96,11\,\%\\ \hline 2006 & & + 107,00\,\% \\ \hline 2007 &\np{2455} &+ 56,67\,\%\\ \hline 2008 &\np{3404} &+ 38,66\,\%\\ \hline 2009 &\np{4492} &+ 31,96\,\% \\ \hline 2010 &\np{5660} &+ 26,00\,\%\\ \hline \multicolumn{3}{r}{\emph{Source : www.thewindpower.net}}\\ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip \emph{Dans cette partie, les résultats donnés en pourcentage seront arrondis au centième.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage. \item Calculer la capacité en MW de l'année 2006, arrondie à l'unité. \end{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage. Déterminer, parmi les équations proposées, celle qui permet de déterminer le taux d'évolution moyen annuel $t$ de 2007 à 2010. On ne demande pas de calculer ce taux. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} \textbf{a.~~}$(1 + t)^3 = \np{2,3055}$&\textbf{b.~~} $(1 + t)^4 = \np{2,3055}$&\textbf{c.~~} $(1 + t)^3 = \np{1,3055}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose qu'à partir de 2010 le taux d'évolution de la capacité reste égal à 26\,\% par an. \begin{enumerate} \item Pour visualiser l'évolution de la quantité d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, on utilise la feuille de calcul ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 1 &Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 \\ \hline 2 &Capacité en MW &\np{5660}&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la capacité en MW en 2011, à l'unité près. \item Écrire la formule saisie dans la cellule C2, permettant par recopie vers la droite de compléter les cellules de D2 à H2. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie comme suit : $U_{0} = \np{5660}$\: et, pour tout entier naturel $n,\: U_{n}$ est la capacité en MW de l'année\: $2010 + n$. \begin{enumerate} \item Préciser la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$ et donner sa raison. \item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. \item Calculer la capacité fournie en 2016. On arrondira le résultat à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Dans l'un des ateliers d'une usine chimique, la production journalière d'une certaine substance est comprise entre $0$ et $90$ kilogrammes. Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~90], on note $f(x)$ le coût de production, en euros, de $x$ kilogrammes de cette substance. La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~90]. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe $\mathcal{C}$, représentative dans un repère orthogonal de la fonction coût de production $f$, est donnée dans l'annexe. \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Combien coûte à l'usine la production de $40$~kg de la substance ? De $80$~kg ? \item Quelle production correspond à un coût de $480$~\euro{} ? \item Quelle est la production maximale pour laquelle le coût n'excède pas 340~\euro{}? \end{enumerate} \item Un kilogramme de la substance produite est vendu $9$~\euro. La fonction $g$, exprimant la recette en euros pour $x$ kilogrammes vendus, est donc définie sur l'intervalle [0~;~90] par $g(x) = 9x$. Toute la production est vendue et l'entreprise souhaite optimiser son bénéfice. \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur l'annexe à rendre avec la copie. \item Déterminer graphiquement les quantités minimale et maximale que l'atelier doit produire et vendre pour qu'il y ait bénéfice. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans la suite, on admet que la fonction coût de production journalier $f$ est définie par : \[f(x) = 0,075x^2 + 1, 5x + 120\: \text{pour tout réel}\: x\: \text{de l'intervalle}\: [0~;~90].\] \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice $B(x)$ réalisé par l'atelier pour la production et la vente journalières de $x$ kilogrammes est donné par : \[B(x) = - 0,075x^2 + 7,5x - 120\: \text{pour tout réel}\: x\: \text{de l'intervalle}\: [0~;~90].\] \begin{enumerate} \item On note $B'$ la dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~90]. \item En déduire la quantité de substance que l'atelier doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Préciser le montant de ce bénéfice maximal. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Une épidémie due à une bactérie s'est développée dans une grande ville. Afin de lutter contre cette épidémie en distribuant de façon raisonnée un antibiotique adapté, un organisme de santé a mis au point un test de dépistage. On admet que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 15\,\% de la population est contaminée par cette bactérie \item[$\bullet~~$] le test est positif dans $99,6$\,\% des cas pour une personne contaminée par cette bactérie \item[$\bullet~~$] le test est négatif dans $97,6$\,\% des cas pour une personne non contaminée par cette bactérie. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une personne est choisie au hasard dans cette ville. On admet que chaque personne a la même probabilité d'être choisie. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $B$ : \og La personne choisie est contaminée par la bactérie \fg \item T : \og Pour la personne choisie, le test est positif \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \emph{Dans chaque question, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale exacte.} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree{\Tdot*~[tnpos=a]{$B$}\taput{$0,15$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\ldots} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\Tdot*~[tnpos=b]{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\ldots} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Quelle est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne choisie est contaminée par la bactérie ? \item Calculer la probabilité que la personne choisie soit contaminée par la bactérie, et que pour elle le test soit positif. \item Quelle est la probabilité que, pour la personne choisie, le test soit positif ? \item Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte. Calculer la probabilité que le test donne un résultat faux. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe de l'exercice 2\\À compléter et à rendre avec la copie}} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0225cm} \begin{pspicture}(-5,-0)(100,900) \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,900)} \multido{\n=0+20}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(100,900) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{90}{x dup mul 0.075 mul 1.5 x mul add 120 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Polynésie CGRH septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie CGRH novembre 2012 \hypertarget{CaledonienovCGRH}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{15 novembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG CGRH Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\15 novembre 2012}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).} \medskip \emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.\\ On indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie; aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse juste apporte 1 point; une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip On considère la fonction $f$ définie par \[f(x) = \dfrac{x^2}{2}+ x - \dfrac{3}{2}\] sur l'intervalle $[-4~;~3]$. Sa représentation graphique est la courbe $C$ donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-5,-3)(5,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-3)(5,7) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 1 add dup mul 0.5 mul 2 sub} \psplot{-0.5}{4.5}{2 x mul 2 sub} \uput[l](2.8,5.7){$C$}\uput[r](4,5.7){D}\uput[dr](0,0){0} \end{pspicture} \end{center} Le point A de la courbe $C$ à pour coordonnées A(1~;~0). La droite D est la tangente en A à la courbe $C$. \medskip \begin{enumerate} \item Une équation de la droite D est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}$y = 2x-2$ &\textbf{b.~~} $y = - 2x + 2$&\textbf{c.~~} $y = 2x + 1$ \end{tabularx} \medskip \item La valeur de $f'(1)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $f'(1) = 2$& \textbf{b.~~} $f'(1) = 1$& \textbf{c.~~} $f'(1) = - 2$ \end{tabularx} \medskip \item La fonction dérivée de la fonction $f$ est définie par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}$f'(x) = 2x + 1$ & \textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}$ &\textbf{c.~~} $f'(x) = x+1$ \end{tabularx} \medskip \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}l'intervalle $[- 4~;~-1]$&\textbf{b.~~} l'intervalle $[- 3~;~1]$ &\textbf{c.~~} l'intervalle $[- 2~;~1]$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Un lycée compte $950$~élèves. $350$ d'entre eux sont en seconde, dont 189 filles. Il y a $320$ élèves de première parmi lesquels $60$\,\% sont des filles. Les filles forment $58$\,\% de l'effectif total du lycée. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de répartition des élèves donné en Annexe 1 (aucune justification n'est demandée) : \medskip Par la suite, on choisit un élève de ce lycée au hasard. \emph{Si nécessaire, les probabilités seront arrondies au millième.} \medskip On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] $F$ : \og l'élève est une fille \fg, \item[ ] $A$ : \og l'élève est en seconde\fg, \item[ ] $B$ : \og l'élève est en première\fg, \item[ ] $C$ : \og l'élève est en terminale \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit en seconde. \item Définir l'évènement $B \cup C$ par une phrase et déterminer sa probabilité. \end{enumerate} \item Définir l'évènement $A \cap F$ par une phrase et déterminer sa probabilité. \item Déterminer les probabilités conditionnelles $P_{A}(F)$ et $P_{F}(A)$ et expliciter leurs significations par des phrases. \item Compléter l'arbre donné en Annexe 1. \item \begin{enumerate} \item Les évènements $A$ et $F$ sont-ils indépendants et pourquoi ? \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Que peut-on dire de la proportion de filles aux différents niveaux du lycée (seconde, première, terminale) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip L'évolution du SMIC mensuel exprimé en euros entre 2006 et 2011, et arrondi à l'entier, est donnée dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année : $x_{i}$ &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline SMIC mensuel : $y_{i}$&\np{1254} &\np{1280} &\np{1321} &\np{1338} &\np{1348} &\np{1365}\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\emph{Source INSEE}}\\ \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Le nuage de points associé à cette série est en partie représenté sur le graphique donné en Annexe 2. Compléter avec les deux points manquants. \item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$, et le placer sur le graphique. \item On saisit les données statistiques dans une calculatrice, et on affiche l'équation réduite de la droite d'ajustement du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ par la méthode des moindres carrés. L'écran de la calculatrice affiche : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,0)(2.5,4) \psframe[linewidth=3pt](-2.5,0)(2.5,4) \uput[d](-1.5,4){\texttt{LinearReg}} \uput[d](-0.5,3.5){\texttt{a =22.1714285}} \uput[d](-0.5,3){\texttt{b =-43213.647}} \uput[d](-0.5,2.5){\texttt{r =0.97456884}} \uput[d](-0.5,2){\texttt{r$^2$=0.94978444}} \uput[d](-0.5,1.5){\texttt{MSe=113.704761}} \uput[d](-1.5,1){\texttt{$y=ax+b$}} \rput(1.8,0.5){\texttt{COPY}} \end{pspicture} \end{center} Écrire l'équation réduite de cette droite en arrondissant les coefficients à 3 décimales. On admet que la droite passe par le point de coordonnées (2005~;~\np{1240}). Tracer cette droite sur le graphique. \item En utilisant l'ajustement de la question précédente, \begin{enumerate} \item Estimer la valeur du SMIC mensuel en 2015 (arrondir à l'entier) \item Déterminer à partir de quelle année le SMIC mensuel dépassera \np{1500}~euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le taux moyen d'évolution du SMIC mensuel entre 2008 et 2011 est d'environ $1,1$\,\%. \item Soit $u_{n}$ la valeur en euros du SMIC mensuel l'année $2011 + n$, ainsi $u_{0} = \np{1365}$. On suppose qu'à partir de l'année 2011, le SMIC mensuel augmentera tous les ans de 1,1\,\%. Les prévisions obtenues en utilisant un tableur figurent à l'Annexe 2. Les valeurs sont arrondies à l'entier. \begin{enumerate} \item Laquelle des formules suivantes a-t-on écrite dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les autres valeurs du tableau ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} =C2*1,011 &=C\$2*1,011 &=\$C\$2*1,011 \end{tabularx} \medskip \item Donner les valeurs manquantes du tableau. \end{enumerate} \item Comparer les résultats du tableau avec les valeurs trouvées à la question 4 de la partie A. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec votre copie} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 2} \textbf{1.} \medskip \end{flushleft} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Secondes &Premières &Terminales &Total\\ \hline Filles &189 & & & 551\\ \hline Garçons & & & &\\ \hline Total &350 &320 & & 950 \\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{5.} \end{flushleft} \medskip \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$}\taput{\ldots}} { \TR{$F$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$B$}\taput{0,337}} { \TR{$F$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$C$}\tbput{0,295}} { \TR{$F$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots} } } \newpage \textbf{\large ANNEXE 2} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec votre copie} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 3} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A Question 1} \end{flushleft} \medskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(7,140) \multido{\n=0+20}{8}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=2005,Oy=1240,Dy=20](0,0)(7,140) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](1,14)(3,81)(4,98)(6,125) \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Partie B Question 2. b.}\end{flushleft} \bigskip \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &année &rang &SMIC &\\ \hline 2 &2011 &0 &\np{1365} &\\ \hline 3 &2012 &1 &\np{1380} &\\ \hline 4 &2013 &2 &\np{1395} &\\ \hline 5 &2014 &3 &\np{1411} &\\ \hline 6 &2015 &4 & &\\ \hline 7 &2016 &5 &\np{1442} &\\ \hline 8 &2017 &6 &\np{1458} &\\ \hline 9 &2018 &7 &\np{1474} &\\ \hline 10 &2019 &8 &\np{1490} &\\ \hline 11 &2020 &9 & &\\ \hline 12 &2021 &10 &\np{1523} &\\ \hline 13 &2022 &11 &\np{1540} &\\ \hline 14 &2023 &12 &\np{1556} &\\ \hline 15 &2024 &13 &\np{1574} & \\ \hline 16 &2025 &14 &\np{1591} &\\ \hline 17 &2026 &15 &\np{1608} &\\ \hline 18 &2027 &16 &\np{1626} &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie CGRH novembre 2012 \newpage %%%%%%%%%% Pondichéry Mercatique avril 2012 \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small Mercatique} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{17 avril 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry~\decofourright\\17 avril 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip En avril 2011, on estime que la proportion de courrier indésirable, ou spams, sur la boite de messagerie électronique d'un particulier est de $76$\,\%. Le logiciel StopoSpam supprime $95$\,\% des messages indésirables mais aussi 3\,\% des messages acceptés (c'est-à-dire \og non indésirables \fg). On pourra s'aider d'un arbre de probabilité pour répondre aux questions suivantes. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,76& \textbf{b.~~} 0,95& \textbf{c.~~} 0,03&\textbf{d.~~} 0,24\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité qu'un message pris au hasard soit accepté et supprimé est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,03&\textbf{b.~~} \np{0,0072}&\textbf{c.~~} \np{0,2328}&\textbf{d.~~} \np{0,1824}\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité qu'un message pris au hasard soit supprimé est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \np{0,7292}& \textbf{b.~~} 0,19&\textbf{c.~~} 0,98&\textbf{d.~~} 0,722 \\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité qu'un message pris au hasard soit indésirable sachant qu'il est supprimé est, à $0,01$ près, égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}0,95& \textbf{b.~~}0,722& \textbf{c.~~}0,99& \textbf{d.~~}0,19\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos courtes sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction du nombre d'internautes connectés simultanément. Le tableau ci-dessous représente les mesures constatées : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre d'internautes connectés $x_{i}$ (en milliers)&0,5 &1 &2,5 &3 &4 &5&6\\ \hline Durée de chargement de la vidéo $y_{i}$ (en secondes)&0,3 &0,4 &0,6 &0,9 &1,3 &2 &2,8\\ \hline \end{tabularx} \medskip On cherche à estimer la durée de chargement lorsque le nombre de personnes connectées sera encore plus élevé. \medskip \textbf{Partie A : Modèle affine} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités : en abscisses 2~cm pour \np{1000} internautes connectés et en ordonnées 1~cm pour 0,2~seconde. \item Calculer les coordonnées du point moyen G (on donnera des valeurs arrondies au dixième) et le placer dans le repère. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième. \item Pour la suite, on prendra pour équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0,44x - 0,19$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent. \item Avec ce modèle, estimer le temps de réponse pour \np{8000} personnes connectées. \end{enumerate} \item Une vidéo particulièrement demandée a attiré \np{8000}~personnes simultanément et on a constaté que le temps de chargement était de 6,2~secondes. Ce résultat conduit-il à rejeter le modèle affine ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Modèle exponentiel} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par \[f(x) = 0,25 \times \text{e}^{0,4x}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~10] et on note $f'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Quel est le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~10] ? \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle. \end{enumerate} \item Calculer $f(8)$ et représenter l'allure de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère de la partie A. Quel modèle vous semble le mieux adapté ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Les dépenses annuelles de fonctionnement de deux services d'une entreprise, nommés ici A et B, ont été étudiées sur une assez longue période, ce qui a conduit à la modélisation suivante. \medskip Les dépenses du service A augmentent de \np{4000}~\euro{} chaque année, tandis que celles du service B augmentent de 15\,\% chaque année. Cette année (qui sera prise dans la suite comme année 1), les deux services ont effectué des dépenses identiques : \np{20000}~\euro. On note $a_{n}$ le total des dépenses du service A et $b_{n}$ le total des dépenses du service B la $n$-ième année. On s'intéresse aussi au cumul de ces dépenses sur plusieurs années. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &P&Q&R&S&T\\ \hline 1 &Numéro de l'année : $n$&Dépenses du service A : $a_{n}$& Cumul des dépenses du service A &Dépenses du service B : $b_{n}$&Cumul des dépenses du service B\\ \hline 2 &1&\np{20000} &\np{20000} &\np{20000} &\np{20000}\\ \hline 3 &2&\np{24000} &\np{44000} &\np{23000} &\np{43000} \\ \hline 4 &3&\np{28000} &\np{72000} &\np{26450} &\np{69450}\\ \hline 5 &4&\np{32000} & &\np{30417,50} &\np{99867,50}\\ \hline 6 &5& & & &\\ \hline 7 &6& & & &\\ \hline 8 &7& & & &\\ \hline 9 &8& & & &\\ \hline 10 &9& & & &\\ \hline 11 &10& & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A : Étude des dépenses du service A } \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(a_{n}\right)$ des dépenses annuelles du service A ? \item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer $a_{10}$. \end{enumerate} \item Proposer une formule qui, entrée dans la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépenses du service A. \item Calculer la somme $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{9} + a_{10}$. Que représente cette somme ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude des dépenses du service B} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule entrée dans la cellule S3 permet par recopie vers le bas de calculer les dépenses annuelles du service B ? \begin{enumerate} \item Quelle est la nature et quelle est la raison de la suite $\left(b_{n}\right)$ des dépenses du service B ? \item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Calculer les dépenses annuelles prévisibles pour le service B lors de la dixième année. On arrondira le résultat à la centaine d'euros. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Comparaison des deux services } \medskip Lequel des deux services aura le plus dépensé en 10 ans pour son fonctionnement ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip Un menuisier installe des portes et des fenêtres. Il se fournit chaque mois auprès d'un fabriquant, qui lui propose deux sortes de lots pour ses travaux standards : le lot A est composé de 5 portes et 5 fenêtres, le lot B est composé de 4 portes et 2 fenêtres. Le menuisier ayant une place limitée, il ne peut pas stocker plus de 120~portes et de 90~fenêtres. On note $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B qu'il achète un mois donné à son fournisseur. \medskip \begin{enumerate} \item Décrire par un système d'inéquations les contraintes du problème (on établira clairement le rapport avec l'énoncé). \item Montrer que ce système est équivalent au système suivant, dans lequel $x$ et $y$ désignent des inconnues entières : \renewcommand\arraystretch{1.8} \[(S)\qquad \left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant &0\\ y&\geqslant &0\\ y&\leqslant 30 - \dfrac{5}{4}x \\ y&\leqslant 45 - \dfrac{5}{2}x \end{array}\right.\] \renewcommand\arraystretch{1} Dans le repère orthogonal fourni en annexe, on a tracé les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ d'équations respectives $y = -\dfrac{5}{4}x + 30$ et $y = - \dfrac{5}{2}x + 45$. Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont le couple de coordonnées $(x~;~y)$ vérifie le système $(S)$. \item À l'aide du graphique, déterminer le nombre maximum de lots B que le menuisier peut acheter s'il achète 10~lots A. \item Le bénéfice effectué sur un lot A est de $400$~euros et sur un lot B de 200~euros. On suppose que le menuisier installe la totalité de son stock pendant le mois en cours. \begin{enumerate} \item Exprimer, en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice mensuel qu'il peut réaliser. \item Représenter sur le graphique précédent les couples $(x~;~y)$ qui permettent de réaliser un bénéfice de \np{5000}~\euro. \item Déterminer graphiquement les nombres de lots A et de lots B à acquérir et installer pour que le bénéfice mensuel soit le plus grand possible. Quel est ce bénéfice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4 } \vspace{1cm} \psset{unit=0.275cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(40,57) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-3)(40,57) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(40,57) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,33.75)(26.4,-3) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,52.5)(19.2,-3) \uput[r](22,3){$\left(d_{1}\right)$}\uput[r](2,40){$\left(d_{2}\right)$} \uput[d](40,0){$x$}\uput[l](0,57){$y$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry Mercatique avril 2012 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane Mercatique juin 2012 \hypertarget{AntillesMerca}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{20 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG --- Mercatique, CFE, GSI~\decofourright\\ Antilles-Guyane 20 juin 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \smallskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse et chaque question sans réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.} \smallskip \begin{center} \emph{\textbf{Dans cet exercice les pourcentages sont arrondis à \np{0,01}~\%.}} \end{center} \smallskip Entre 2009 et 2010 une entreprise a vu son chiffre d'affaire diminuer de 23~\%. Entre 2010 et 2011 son chiffre d'affaires à augmenté de \np{6,15}~\%. En 2009 le chiffre d'affaires était de \np{572128}~\euro. \medskip \begin{enumerate} \item On doit multiplier le chiffre d'affaire de 2009 pour obtenir le chiffre d'affaire de 2010 par : \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}} \np{0,23} & \np{0,77} & \np{-0,23} & \np{1,23} \end{tabular} \end{center} \item Le taux d'évolution entre 2011 et 2012 pour que le chiffre d'affaire de 2012 soit le même que celui de 2010 est: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}} \np{-6,15}~\% & \np{-5,79}~\% & \np{-0,06}~\% & \np{0,94}~\% \end{tabular} \end{center} \item Le taux d'évolution global entre 2009 et 2011 est: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}} \np{16,85}~\% & \np{-16,85}~\% & \np{-18,26}~\% & \np{-18,26}~\% \end{tabular} \end{center} \item Le taux moyen semestriel entre 2009 et 2010 est: \begin{center} \begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}} \np{-11,5}~\% & \np{11,5}~\% & \np{-12,25}~\% & \np{-4,26}~\% \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \smallskip Dans une entreprise, on sait que parmi les salariés: \begin{itemize} \item les hommes constituent $64$\,\% du personnel ; \item $90$\,\% des hommes travaillent à temps complet ; \item $40$\,\% des femmes travaillent à temps partiel. \end{itemize} On choisit au hasard un salarié de cette entreprise: tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis. \smallskip On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $F$ : \og le salarié choisi est une femme\fg{}; $C$ : \og le salarié choisi travaille à temps complet\fg{}. \end{itemize} On note respectivement $\overline{F}$ et $\overline{C}$ les évènements contraires des évènements $F$ et $C$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase l'évènement $\overline{F}$ et donner sa probabilité notée $p\left(\overline{F}\right)$. En déduire $p(F)$. \item Réaliser un arbre de probabilité schématisant cette situation. \item Traduire par une phrase l'évènement $F\cap C$ et calculer sa probabilité. \item Montrer que la probabilité que le salarié choisi travaille à temps complet est égale à \np{0,792}. \item Calculer la probabilité que le salarié soit une femme, sachant qu'il travaille à temps complet (on arrondira ce résultat au centième). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \smallskip \textbf{Partie A} \smallskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~18]$ par: \[f(x)=10 + 2\text{e}^{0,15x}.\] \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~18]$ et l'on désigne par $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0~;~18]$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~18]$. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs ce-dessous (arrondir au dixième). \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18\\ \hline $f(x)$ & 12 & \phantom{ccc} & \phantom{ccc} & \np{14,9} & \np{16,6} & \phantom{ccc} &\np{22,1} &\np{26,3} & 32 & \phantom{ccc} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item La courbe $C$, courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, est donnée \textbf{en annexe}. Dans le même repère, tracer la droite $D$ d'équation $y=2x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \smallskip Une entreprise vend des granulés de bois pour le chauffage. On note $x$ la quantité de granulés, exprimée en tonnes, vendue par mois. Chaque mois, les coûts de production, exprimés en centaines d'euros, sont donnés par: \[f(x) = 10 + 2\text{e}^{0,15x}.\] Le prix de vente d'une tonne de granulés est de $200$~euros, soit 2 centaines d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Si l'entreprise vend $x$ tonnes de granulés, déterminer la recette $R(x)$ exprimée en centaines d'euros. \item Avec la précision permise par le graphique, donner un encadrement du nombre de tonnes de granulés qu'il faut vendre pour que l'entreprise soit bénéficiaire. \item On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0~;~18]$ par \[B(x) = 2x - 10 - 2\text{e}^{\np{0,15}x}.\] Les variations de la fonction $B$ sont résumées dans le tableau ci-dessous (où $a$ est un réel de l'intervalle $[0~;~18]$). \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline $x$ & 0 & \qquad\qquad & $a$ & \qquad\qquad & 18\\ \hline & & &\rnode{b}{\quad} & & \\ $B$& & & & & \\ &\rnode{a}{\quad}& & & &\rnode{c}{\quad}\\ \hline \end{tabular} \ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b} \ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c} \end{center} \begin{enumerate} \item Vérifier que le bénéfice mensuel pour $x$ tonnes de granulés vendues est égal à $B(x)$. \item Déterminer une valeur approchée du nombre $a$, à \np{0,1} près. \item Que représente cette valeur~? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \smallskip Les grands-parents de Noé décident de lui ouvrir un compte épargne pour son treizième anniversaire, le 15 juin 2012. On leur propose deux types de placement. Placement A : ils placent \np{2500}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de \np{2,5}~\%. Placement B : ils placent \np{2500}~\euro{} sur un compte qui leur rapporte chaque année 65~\euro. Noé et ses grands-parents souhaitent comparer les deux placements. \smallskip On note $U_n$ le capital exprimé en euros avec le placement A le 15 juin $(2012 + n)$. On note $V_n$ le capital exprimé en euros avec le placement B le 15 juin $(2012 + n)$. Ainsi on a: $U_0=V_0=\np{2500}$. \begin{enumerate} \item Calculer $U_1$ et $V_1$. \item \begin{enumerate} \item Donner la nature des suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$. Justifier. \item Exprimer $U_n$ et $V_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item On donne ci-dessous un extrait d'une feuille de tableur. \begin{enumerate} \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage C3:C10. \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage D3:D10. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D\\ \hline 1 & Date & Rang de l'année & $U_n$ & $V_n$ \\ \hline 2 & 15 juin 2012 & 0 & \np{2500} & \np{2500} \\ \hline 3 & 15 juin 2013 & 1 & & \\ \hline 4 & 15 juin 2014 & 2 & & \\ \hline 5& & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, à un euro près, la somme disponible avec le placement A le jour du 18\up{e} anniversaire de Noé, soit le 15 juin 2017. \item Calculer la somme disponible avec le placement B le 15 juin 2017. \item Quel est le placement le plus intéressant si Noé décide de disposer de son argent à ses 18~ans~? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \large \textbf{ ANNEXE\\ À rendre avec la copie\\ EXERCICE 3 } \end{center} \vspace{3cm} \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture*}(-2,-5)(20,45) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(20,45) %\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} %\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(20,45) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(20,45) \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{18}{2.71828 0.15 x mul exp 2 mul 10 add} \uput[135](17,35){$C$} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane Mercatique juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole Mercatique juin 2012 \hypertarget{MetropoleMerca}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{21 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Métropole~\decofourright\\21 juin 2012}} \end{center} \subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$, le nombre $\mathrm{e}^{2x+\ln 3}$ est égal à :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $3\mathrm{e}^{2x}$&\textbf{b.~~} $3+\mathrm{e}^{2x}$&\textbf{c.~~} $2x+3$\\ \end{tabularx} \bigskip \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=5x\ln x$.\\ On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $f'(x) = 5\ln x$&\textbf{b.~~} $f'(x) = 5(\ln x+1)$&\textbf{c.~~} $f'(x) =\dfrac{5}{x}$\\ \end{tabularx} \bigskip Pour les questions suivantes, $g$ est la fonction définie et dérivable sur [-3~;~4], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-4,-3)(4,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,4) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt](-4,-3)(5,4) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3}{1}{-0.75*(x+3)*(x-1)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1}{3}{1.5*(x-1)*(x-3)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{3}{4}{-(x-3)*(x-6)} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \item Sur l'intervalle [-3~;~4], l'équation $g(x)=2,5$ possède :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} une solution &\textbf{b.~~} deux solutions &\textbf{c.~~} trois solutions\\ \end{tabularx} \bigskip \item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur [-3~;~4]. Alors $g'(x)\leqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} [1~;~3]&\textbf{b.~~} [-3~;~0]&\textbf{c.~~} [-1~;~2]\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points} Le cuisinier d'une colonie de vacances a confectionné des beignets pour le goûter : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 30\,\% des beignets sont à l'ananas, les autres sont aux pommes ; \item[$\bullet~~$] 35\,\% des beignets à l'ananas sont aromatisés à la cannelle, ainsi que 45\,\% des beignets aux pommes. \end{itemize} On choisit un beignet au hasard. On admet que chaque beignet a la même probabilité d'être choisi. On définit les évènements suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] A : \og{} le beignet choisi est à l'ananas \fg{} ; \item[$\bullet~~$] C : \og{} le beignet choisi est aromatisé à la cannelle \fg{} ; \end{itemize} On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A et $\overline{\text{C}}$ l'évènement contraire de C. \emph{On demande les valeurs exactes des probabilités, qui seront données sous forme décimale.} \begin{enumerate} \item Donner, à partir des informations de l'énoncé, la probabilité $p_{\text{A}}(\text{C})$ de l'évènement C sachant que l'évènement A est réalisé. \item Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilités ci-dessous. \begin{center} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $\cdots$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $\cdots$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $\cdots$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{ $\cdots$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $\cdots$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C}$}\tbput{ $\cdots$} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Définir par une phrase l'évènement $\text{A}\cap \text{C}$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $\text{A}\cap \text{C}$. \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,42. \item Les évènements A et C sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. \item Calculer la probabilité que le beignet soit à l'ananas, sachant qu'il est aromatisé à la cannelle. \end{enumerate} \subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points} Monsieur X possède depuis le 1\up{er} janvier 2010 une messagerie électronique professionnelle, sur laquelle il conserve tous les messages reçus ou envoyés, en les classant par année. Il a constaté au 31 décembre 2010 que la taille du dossier contenant les messages de l'année 2010 était de 4 mégaoctets (Mo). Une étude a montré que la taille des messages électroniques professionnels augmentait en moyenne de 5\,\% par an. On fait l'hypothèse que cette augmentation se maintient au moins jusqu'en 2016. On note $u_n$ la taille, en mégaoctets, du dossier contenant les messages de l'année $(2010+n)$. selon le modèle décrit précédemment. On a donc $u_0=4$. On utilise une feuille de calcul d'un tableur pour observer l'évolution de la taille de l'ensemble des dossiers de Monsieur X depuis 2010. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &A&B&C&D\\ \hline 1&Année&$n$&$u_n$&Taille de l'ensemble des dossiers (en Mo)\\ \hline 2&2010&0&4,00&4,00\\\hline 3&2011&1&4,20&8,20\\\hline 4&2012&2&4,41&12,61\\\hline 5&2013&3&&\\\hline 6&2014&4&&\\\hline 7&2015&5&&\\\hline 8&2016&6&&\\\hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$? Préciser sa raison. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Selon ce modèle, calculer la taille, à $0,01$~Mo près, du dossier de l'année 2016. \item \begin{enumerate} \item Donner une formule qui, saisie dans la cellule C3, puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir les valeurs de la colonne C. \item Parmi les formules suivantes, indiquer toutes celles qui, saisies dans la cellule D3, puis recopiées vers le bas, permettent d'obtenir les valeurs de la colonne D. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} =SOMME(C2:C3)&=SOMME(\$C\$2:C3)&=D2+C3&=\$D\$2+C3\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la taille, à $0,01$~Mo près, de l'ensemble des dossiers au 31 décembre 2016. \item La capacité de stockage de la messagerie est limitée à $30$ mégaoctets. Peut-on estimer que Monsieur X pourra conserver la totalité de ses messages ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{On pourra utiliser le formulaire suivant :} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ est donnée par : \[u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times \dfrac{u_0+u_n}{2}.\] \item[$\bullet~~$] La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $b$ $(b\neq 1)$ est donnée par : \[u_0+u_1+\cdots+u_n = u_0\times \dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}.\] \end{itemize} \subsection*{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip On s'intéresse à l'évolution de la fréquentation des camping 4 étoiles ou plus en France métropolitaine. \bigskip \textbf{{Partie A}}\\ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{8}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}} \hline Année&2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010\\\hline Rang de l'année $x_i$&0&1&2&3&4&5&6\\\hline Fréquentation en milliers de nuitées $y_i$&\numprint{25156}&\numprint{26470}&\numprint{28295}&\numprint{28897}&\numprint{30063}&\numprint{31212}&\numprint{32014}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{Sources : INSEE : Direction générale de la compétitivité, de l'industrie et des services (DGCIS)} Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 0 à 6 est représenté en \textbf{annexe}. \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au dixième). \item On décide d'ajuster le nuage avec la droite (D) d'équation $y=\np{1150}x+\np{25500}$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite D sur le graphique de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}. \item Déterminer graphiquement le nombre de nuitées prévu par ce modèle d'ajustement en 2014. Faire apparaître les tracés utiles. \item Retrouver par le calcul le résultat précédent. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{{Partie B}} \medskip On construit le tableau ci-dessous des indices de la fréquentation des campings 4 étoiles ou plus, en prenant comme indice de référence 100 en 2004. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année&2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010\\ \hline Fréquentation en milliers de nuitées $y_i$&\numprint{25156}&\numprint{26470}&\numprint{28295}&\numprint{28897}&\numprint{30063}&\numprint{31212}&\numprint{32014}\\ \hline Indice&100&105,22&112,48&&119,51&124,07&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer l'indice, arrondi au centième, correspondant à l'année 2007. \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution global de la fréquentation entre 2004 et 2010. On donnera le résultat en pourcentage à 0,01 près. \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen de la fréquentation entre 2004 et 2010. On donnera le résultat en pourcentage à 0,01 près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\textcolor{red}{Annexe de l'exercice 4\\ ( à rendre avec la copie)}} \end{center} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm,algebraic=true,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture}(-2,0)(11,16000) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Oy=25000,Dy=1000](0,0)(11,15000) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,56)(1,1470)(2,3295)(3,3897)(4,5063)(5,6212)(6,7014) \multido{\n=0+500}{31}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(11,\n)} \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,15000)} \rput(12,150){Rang de} \rput(12,-150){l'année} \rput(2,15500){Fréquentation en milliers de nuitées} \end{pspicture} \end{center} \label{fin} %%%%%%%%%% fin Métropole Mercatique juin 2012 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie Mercatique juin 2012 \hypertarget{PolynesieMerca}{} \lfoot{\footnotesize{Polynésie}} \rfoot{\footnotesize{8 juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Polynésie~\decofourright\\8 juin 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire \No 99-186 du 16-11-99) est autorisée. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $\ln (2x + 3) = 0$ admet comme solution dans l'intervalle $\left]- \dfrac{3}{2}~;~+\infty \right[$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~}$- \dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~} $- 1$&\textbf{c.~~} $\ln (3)$&\textbf{d.~~} $- \dfrac{2}{3}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Un capital de $500$~\euro{} est placé sur un compte à intérêts composés avec un taux annuel de 3\,\%. Le montant du compte dépassera le double du montant initial pour la 1\up{re} fois au bout de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~} 24 années& \textbf{b.~~} 6 années& \textbf{c.~~} 34 années& \textbf{d.~~} 12 années\\ \end{tabularx} \medskip \item Soit une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0} = 0$ et de raison $r = 3$, alors $u_{50}$ vaut : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~}151& \textbf{b.~~} 150& \textbf{c.~~} $50^3$& \textbf{d.~~} 350\\ \end{tabularx} \medskip \item Soit une suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n, n \geqslant 1,$ $u_{n+1} = 2u_{n} - 2$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} \textbf{a.~~} constante &\textbf{b.~~} arithmétique &\textbf{c.~~} géométrique &\textbf{d.~~} ni arithmétique, ni géométrique\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip On a copié ci-dessous le tableau d'une feuille de calcul donnant le nombre de mariages célébrés en France métropolitaine entre 2000 et 2009. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.8cm}|*{10}{>{\footnotesize \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline 1 & Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 2 &Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 3 & Nombre de mariages en milliers $\left(y_{i}\right)$&297,9 &288,3 &279,1 &276 &271,6 &276,3 &267,3 &267,2 &258,7 &245,2\\ \hline 4 & Taux d'évolution annuel& & $-3,2$\,\% & $-3,2$\,\% & $-1,1$\,\% &$-1,6$\,\% &1,7\,\% & $-3,3$\,\% & 0,0\,\% & $-3,2$\,\% & $-5,2$\,\%\\ \hline \multicolumn{12}{r}{(source des données : INSEE)}\\ \end{tabularx} \medskip La plage B3~: K3 est au format \og Nombre \fg, arrondi au dixième, et la plage B4~:K4 est au format \og Pourcentage \fg, arrondi à 0,1\,\%. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Les données ont été représentées dans un repère par un nuage de points fourni en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite (D), droite d'ajustement de $y$ en $x$ de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième. \item Pour la suite, on prendra pour équation de la droite (D) : $y = - 4,6x + 298$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite (D) dans le repère fourni en annexe. \item Avec ce modèle, déterminer le nombre de mariages que l'on peut prévoir en France métropolitaine pour l'année 2013. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \begin{enumerate} \item La ligne 4 du tableau précédent donne les taux d'évolution annuels du nombre de mariages célébrés. Quelle formule, copiée sur la plage C4~:~K4, a été entrée dans la cellule C4 ? \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution global du nombre de mariages célébrés en France entre 2005 et 2009. On arrondira le résultat à 0,1\,\%. \item En déduire le taux d'évolution annuel moyen du nombre de mariages célébrés en France entre 2005 et 2009. On arrondira le résultat à 0,1\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \begin{center}\textbf{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à \np{0,0001}}\end{center} Une maladie touche 0,2\,\% d'une population. Un laboratoire propose un test afin de dépister cette maladie. Des expériences ont montré les résultats suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Lorsqu'un individu est atteint par la maladie, le test est positif dans 95\,\% des cas. \item Lorsqu'un individu est sain, le test est positif dans 2\,\% des cas (on parle alors de \og faux positifs\fg ). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit un individu au hasard dans la population et on considère les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $M$ :\og l'individu est atteint par la maladie \fg, \item[$\bullet~~$] $T$ : \og le test est positif \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note respectivement $\overline{M}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires des évènements $M$ et $T$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le test soit positif sachant que l'individu n'est pas malade ? \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant : \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$M$}\taput{0,002}} { \TR{$T$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{\ldots}} { \TR{$T$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer la probabilité de l'évènement\og l'individu est atteint par la maladie et le test est positif \fg{} noté $M \cap T$. \item Justifier que la probabilité de l'évènement $T$ est environ égale à \np{0,0219}. \item Calculer la probabilité que l'individu soit malade, sachant que le test est positif. \item Que pensez-vous de la fiabilité de ce test ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Une entreprise fabrique des objets. On note $x$ le nombre d'objets fabriqués par jour. Une étude a montré que le coût de fabrication journalier engendré par la fabrication de $x$ objets est donné, en euros, par : $f(x) = 400\text{e}^{0,01x}$ pour tout entier $x$ compris entre $0$ et $220$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$. Que représente ce nombre pour l'entreprise ? Chaque objet est vendu 15~\euro{} et l'on suppose que tous les objets produits sont vendus. \item \begin{enumerate} \item Calculer la recette générée par la vente de $50$~objets. \item Exprimer en fonction de $x$ la recette, en euros, générée par la vente de $x$ objets. On la notera $R(x)$. \end{enumerate} \item On a représenté ci-dessous dans un repère les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{R}$ des fonctions $f$ et $R$. \medskip \psset{xunit=0.045cm,yunit=0.0032cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-20,-150)(240,3700) \multido{\n=0+10}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3700)} \multido{\n=0+500}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(240,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=500]{->}(0,0)(-19,-150)(240,3700) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{220}{2.71828 0.01 x mul exp 400 mul} \psline[linestyle=dashed](0,0)(220,3300) \uput[ul](220,3550){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dr](220,3300){$\mathcal{C}_{R}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \medskip On appelle intervalle de rentabilité l'intervalle des quantités d'objets vendus pour lesquelles l'entreprise réalise un profit. Déterminer graphiquement l'intervalle de rentabilité. \item \emph{On rappelle la propriété suivante : pour toute fonction dérivable $u$ sur un intervalle donné, la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur ce même intervalle et a pour dérivée }$u'\text{e}^u$. On note, pour $x \in [0~;~220], B(x)$ le bénéfice journalier (éventuellement négatif) en euros. \begin{enumerate} \item Donner l'expression de $B(x)$ en fonction de $x$. \item On admet que la fonction $B$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~220] et l'on note $B'$ sa fonction dérivée. Justifier que $B'(x) = 15 - 4\text{e}^{0,01x}$. \end{enumerate} \item \emph{Pour cette question, toute tentative de réponse, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} On admet que la fonction $B$ a pour tableau de variations : \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,2) \psframe(6,2)\psline(0,1.5)(6,1.5) \psline(1,0)(1,2) \uput[u](0.5,1.5){$x$}\uput[u](1.2,1.5){$0$}\uput[u](3.5,1.5){$\alpha$}\uput[u](5.7,1.5){$220$} \rput(0.5,0.75){$B(x)$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.3,1.3)\psline{->}(3.8,1.3)(5.8,0.5) \end{pspicture} \end{center} où $\alpha$ est un nombre réel. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près. En déduire le nombre d'objets que l'entreprise doit fabriquer pour que le profit soit maximal. \end{enumerate} \newpage \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2} \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.06cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(15,190) \multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,190)} \multido{\n=0+10}{20}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=150,Dy=50](0,0)(-1,-10)(15,190) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,147,9)(2,138,3)(3,129,1)(4,126)(5,121,6)(6,126,3)(7,117,3) (8,117,2)(9,108,7)(10,95,2) \uput[ul](-0.2,0){150} \uput[d](15,0){$x$}\uput[l](0,190){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie Mercatique juin 2012 %%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane Mercatique septembre 2012 %%%%%%%% \hypertarget{AntillesseptMerca}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{ Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI \\ Antilles-Guyane 13 septembre 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse et chaque question sans réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.} \begin{center}\textbf{Dans cet exercice les pourcentages sont arrondis à \boldmath$0,01$ \unboldmath\,\%}\end{center} Entre 2009 et 2010 une entreprise a vu son chiffre d'affaire diminuer de 23\,\%. Entre 2010 et 2011 son chiffre d'affaire a augmenté de 6,15\,\%. En 2009 le chiffre d'affaire était de 572 128~\euro. \medskip \begin{enumerate} \item On doit multiplier le chiffre d'affaire de 2009 pour obtenir le chiffre d'affaire de 2010 par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}0,23 &\textbf{b.~~}0,77 &\textbf{c.~~} $- 0,23$ &\textbf{d.~~} 1,23\\ \end{tabularx} \medskip \item Le taux d'évolution entre 2011 et 2012 pour que le chiffre d'affaire de 2012 soit le même que celui de 2010 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 6,15$\,\% &\textbf{b.~~} $- 5,79$\,\% &\textbf{c.~~} $- 0,06$\,\% &\textbf{d.~~} 0,94\,\%\\ \end{tabularx} \medskip \item Le taux d'évolution global entre 2009 et 2011 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $16,85$\,\% &\textbf{b.~~} $- 16,85$\,\% &\textbf{c.~~} $18,26$\,\%&\textbf{d.~~} $- 18,26$\,\%\\ \end{tabularx} \medskip \item Le taux moyen semestriel entre 2009 et 2010 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} - 11,5\,\% &\textbf{b.~~} 11,5\,\% &\textbf{c.~~} $- 12,25$\,\%& \textbf{d.~~}$- 4,26$\,\%\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill 5 points} \medskip Dans une entreprise, on sait que parmi les salariés : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]les hommes constituent 64\,\% du personnel; \item[$\bullet~~$]90\,\% des hommes travaillent à temps complet; \item[$\bullet~~$]40\,\% des femmes travaillent à temps partiel. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un salarié de cette entreprise: tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$F$ : \og le salarié choisi est une femme \fg, \item[$\bullet~~$]$C$ : \og le salarié choisi travaille à temps complet \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note respectivement $\overline{F}$ et $\overline{C}$ les évènements contraires des évènements $F$ et $C$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase l'évènement $\overline{F}$ et donner sa probabilité notée $p\left(\overline{F}\right)$. En déduire $p(F)$. \item Réaliser un arbre de probabilité schématisant cette situation. \item Traduire par une phrase l'évènement $F \cap C$ et calculer sa probabilité. \item Montrer que la probabilité que le salarié choisi travaille à temps complet est égale à $0,792$. \item Calculer la probabilité que le salarié soit une femme, sachant qu'il travaille à temps complet (on arrondira ce résultat au centième). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~18] par : \[f(x) = 10 + 2\text{e}^{0,15x}\] \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~18] et l'on désigne par $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~18]. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18]. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au dixième). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12 &14 &16 &18 \\ \hline $f(x)$ &12 & & &14,9 &16,6 & &22,1 &26,3 &32 &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La courbe $C$, courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, est donnée \textbf{en annexe}. Dans le même repère, tracer la droite $D$ d'équation : $y = 2x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise vend des granulés de bois pour le chauffage. On note $x$ la quantité de granulés, exprimée en tonnes, vendue par mois. Chaque mois, les coûts de production, exprimés en centaines d'euros, sont donnés par : \[f(x) = 10 + 2\text{e}^{0,15x}\] Le prix de vente d'une tonne de granulés est de 200~euros soit 2~centaines d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Si l'entreprise vend $x$ tonnes de granulés, déterminer la recette $R(x)$ exprimée en centaines d'euros. \item Avec la précision permise par le graphique, donner un encadrement du nombre de tonnes de granulés qu'il faut vendre pour que l'entreprise soit bénéficiaire. \item On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~18] par \[B(x) = 2x - 10 - 2\text{e}^{0,15x}.\] Les variations de la fonction $B$ sont résumées dans le tableau ci-dessous (où $a$ est un réel de l'intervalle [0~;~18]). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2.5)(9,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline{->}(1.5,0.5)(4.5,2)\psline{->}(5.5,2)(8.5,0.5) \uput[u](0.5,2.5){$x$}\uput[u](1.1,2.5){$0$}\uput[u](5,2.5){$a$}\uput[u](8.8,2.5){$18$} \rput(0.5,1.25){$B(x)$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Vérifier que le bénéfice mensuel pour $x$ tonnes de granulés vendues est égal à $B(x)$. \item Déterminer une valeur approchée du nombre $a$, à $0,1$ près. \item Que représente cette valeur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill 5 points} \medskip Les grands-parents de Noé décident de lui ouvrir un compte épargne pour son treizième anniversaire, le 15 juin 2012. On leur propose deux types de placement. \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Placement A : ils placent \np{2500}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de 2,5\,\%. \item[$\bullet~~$] Placement B : ils placent \np{2500}~\euro{} sur un compte qui leur rapporte chaque année 65~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Noé et ses grands-parents souhaitent comparer les deux placements. On note $U_{n}$ le capital exprimé en euros avec le placement A le 15 juin $(2012 + n)$. On note $V_{n}$ le capital exprimé en euros avec le placement B le 15 juin $(2012 + n)$. Ainsi on a : $U_{0} = V_{0} = \np{2500}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $U_{1}$ et $V_{1}$. \item \begin{enumerate} \item Donner la nature des suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$. Justifier. \item Exprimer $U_{n}$ et $V_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item On donne ci-dessous un extrait d'une feuille de tableur. \begin{enumerate} \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage C3\::\:C10. \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage D3\::\:D10. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &Date &\footnotesize Rang de l'année&$U_{n}$ & $V_{n}$\\ \hline 2 &15 juin 2012 &0 &\np{2500} & \np{2500}\\ \hline 3 & 15 juin 2013 &1 & &\\ \hline 4 &15 juin 2014 &2 & &\\ \hline 5 & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, à un euro près, la somme disponible avec le placement A le jour du 18\up{e} anniversaire de Noé, soit le 15 juin 2017. \item Calculer la somme disponible avec le placement B le 15 juin 2017. Quel est le placement le plus intéressant si Noé décide de disposer de son argent à ses 18 ans ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \bigskip \textbf{À rendre avec la copie} \bigskip \textbf{\large Exercice 3} \bigskip \psset{xunit=0.57cm,yunit=0.23cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(20,43) \psgrid[gridlabels=0pt,linewidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(20,43) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-2)(20,43) \uput[u](17.5,38){$C$}\uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{2.71828 0.15 x mul exp 2 mul 10 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane Mercatique septembre 2012 %%%%% \newpage %%%%%%%%%%% Métropole Mercatique septembre 2012 %%%%%%%% \hypertarget{MetropoleseptMerca}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI~\decofourright \\ Métropole 13 septembre 2012}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill 4 points} \medskip Selon un sondage réalisé sur un échantillon de personnes en France, 57\,\% des personnes interrogées sont parties en vacances en 2010, mais 17\,\% de ces personnes n'ont pas pu repartir en 2011. On choisit au hasard une personne dans cet échantillon. On note $A$ l'évènement \og la personne interrogée est partie en vacances en 2010 \fg{} et $\overline{A}$ l'évènement contraire. On note $B$ l'évènement \og la personne interrogée est partie en vacances en 2011 \fg{} et $\overline{B}$ l'évènement contraire. \medskip \begin{enumerate} \item Donner à partir de l'énoncé la probabilité $P(A)$ de l'évènement $A$, puis la probabilité $P_{A}\left(\overline{B}\right)$ de l'évènement $\overline{B}$, sachant que l'évènement $A$ est réalisé. \item Reproduire l'arbre illustrant les données et le compléter au fur et à mesure de l'exercice. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=1ex]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$}\taput{$0,57$}} { \TR{$B$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{A}$}\taput{}} { \TR{$B$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer la probabilité que la personne interrogée soit partie en vacances en 2010 et qu'elle n'ait pas pu repartir en 2011. \item 18\,\% des personnes n'ayant pas pu partir en 2010 sont parties en vacances en 2011. Exprimer par une phrase l'évènement $\overline{A} \cap \overline{B}$ et calculer sa probabilité. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2\hfill 6 points} \medskip La capacité d'énergie photovoltaïque recensée dans le monde de 2005 à 2010 est donnée par le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Capacité (en gigawatt) $y_{i}$& 5,4 &7 &9,5 &16 &24 &39\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\emph{Source : programme des Nations Unies pour l'environnement}} \end{tabularx} \medskip On considère la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ donnée par le tableau ci-dessus. Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné en \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0,01$ près. \item Tracer la droite $D$ dans le repère de l'\textbf{annexe 1}. \item Pour cette question, on retient comme ajustement affine la droite d'équation $y = 6,4x - 5,73$. En supposant que le modèle précédent reste valable pour les deux années suivantes, donner la capacité (en gigawatt) d'énergie photovoltaïque estimée pour 2012. Le résultat sera donné au centième. \end{enumerate} \item Trouvant cet ajustement trop approximatif, les spécialistes lui préfèrent l'ajustement donné par la relation $y = 3,3 \text{e}^{0,4 x}$. Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~8] par \[f(x) = 3,3 \text{e}^{0,4 x}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $ f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. \item Donner, en justifiant la réponse, le sens de variation de $f$. \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à $0,1$ près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer dans le repère de l'annexe 1 la courbe représentative de la fonction $f$. \item Selon ce modèle, quelle est la capacité (en gigawatt) d'énergie photovoltaïque estimée pour 2012 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill 5 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip Une action cotée en bourse prend les valeurs suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.25cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &\footnotesize janvier &\footnotesize février &\footnotesize mars &\footnotesize avril &\footnotesize mai &\footnotesize juin &\footnotesize juillet &\footnotesize août &\footnotesize sept. &\footnotesize octobre \\ \hline Valeur en euros &258 &273 &310 &389 &178 &127 &... &109 &... &97\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item L'action a baissé de 11,6\,\% entre juin et juillet. La valeur de l'action en juillet est donc de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 115,4 &\textbf{b.~~} 141,73 &\textbf{c.~~} 113,80 &\textbf{d.~~} 112,27 \end{tabularx} \medskip \item L'action a baissé de 8\,\% de septembre à octobre. La valeur de l'action en septembre est donc de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 105,00 &\textbf{b.~~} 105,43 &\textbf{c.~~} 104,76 &\textbf{d.~~} 89,81 \end{tabularx} \medskip \item Le taux d'évolution global de janvier à octobre est de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 62,4$\,\% &\textbf{b.~~} $- 65,98$\,\% &\textbf{c.~~} 65,98\,\% &\textbf{d.~~} $- 61$\,\% \end{tabularx} \medskip \item La meilleure approximation du taux d'évolution moyen mensuel entre janvier et octobre est de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 6,93$\,\% &\textbf{b.~~} $- 7,33$\,\% &\textbf{c.~~}$- 5,79$\,\% &\textbf{d.~~} $- 10,30$\,\% \end{tabularx} \medskip \item En prenant pour indice de base 100 la valeur de l'action au mois de janvier, l'indice de la valeur de l'action au mois d'août est de: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 42,2 &\textbf{b.~~} 97 &\textbf{c.~~} 131 &\textbf{d.~~} 237 \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4\hfill 5 points} \medskip Pauline veut monter une boutique de vente de bijoux et elle étudie avec son banquier les différentes possibilités d'évolution de ses ventes. Elle suppose que, le chiffre d'affaires du premier mois, le mois de janvier, sera de 600 ~euros. Elle utilise une feuille de calcul sur tableur donnée en annexe 2 pour simuler la situation. \bigskip \textbf{Partie A : première hypothèse} \medskip Son chiffre d'affaires augmente tous les mois de 75~euros. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule doit-elle saisir dans la cellule C3 pour que, recopiée vers le bas, elle permette de renseigner les cellules de la plage C3~:~C17 ? \item Quel chiffre d'affaires peut-elle alors espérer obtenir au mois de septembre ? Au mois d'octobre ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : seconde hypothèse} \medskip Son chiffre d'affaires augmente tous les mois de 9\,\%. \begin{enumerate} \item On se propose de représenter le chiffre d'affaires mensuel à l'aide d'une suite $\left(u_{n}\right)$ : on note $u_{0}$ sa valeur au mois de janvier et $u_{n}$ sa valeur au $n$-ième mois après le mois de janvier. \begin{enumerate} \item Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$, en justifiant la réponse. Donner les valeurs de son premier terme $u_{0}$ et de sa raison. \item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer $u_{8}$ et $u_{9}$ en donner une valeur approchée arrondie au centième. \end{enumerate} \item Quelle est, selon les valeurs de $n$, l'hypothèse la plus favorable au commerce de Pauline ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : calcul du bénéfice} \medskip Les charges mensuelles de Pauline s'élèvent à 850~euros. Pauline crée dans sa feuille de calcul une colonne permettant de calculer, à partir de la seconde hypothèse, ses bénéfices mensuels (les pertes sont considérées comme des bénéfices négatifs). Quelle formule doit-elle saisir dans la cellule E2, pour que, recopiée vers le bas, elle permette de renseigner les cellules de la plage E2~:~E17 ? \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 1 : à rendre avec la copie} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(9,85) \multido{\n=0.0+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,85)} \multido{\n=0.0+2.5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(9,85) \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,5.4)(2,7)(3,9,5)(4,16)(5,24)(6,39) \uput[u](8,0){Rang de l'année}\uput[u](1.5,85){Capacité d'énergie photovoltaïque recensée} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 2} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline 1 &mois &valeur de $n$ &1\up{re} hypothèse &2\up{e} hypothèse &bénéfices mensuels\\ \hline 2 & janvier &0 &600&600,00 &$- 250,00$\\ \hline 3 &février &1 &675&654,00 &\\ \hline 4 &mars &2 & & & \\ \hline 5 &avril &3 & & & \\ \hline 6 & mai & 4 & & & \\ \hline 7 &juin &5 & & & \\ \hline 8 &juillet &6 & & & \\ \hline 9 &août &7 & & & \\ \hline 10 &septembre &8 & & & \\ \hline 11 &octobre &9 & & & \\ \hline 12 &novembre &10& & & \\ \hline 13 &décembre &11& & & \\ \hline 14 &janvier &12 & & & \\ \hline 15 &février &13 & & & \\ \hline 16 &mars &14 & & & \\ \hline 17 &avril &15 & & & \\ \hline 18 &mai &16 & & & \\ \hline 19 &juin &17 & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Métropole Mercatique septembre 2012 %%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie Mercatique septembre 2012 %%%%%%%%%% \hypertarget{PolynesieseptMerca}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Polynésie~\decofourright\\13 septembre 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline Nombre de bénéficiaires en milliers&\np{3258,7}&& \np{3425,4} &\np{3513,1} &\np{3494,2} &3334,6 &\np{3297,5} &\np{3502,7}\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Insee}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Entre 2002 et 2003, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux a augmenté de 1,69\,\%. Déterminer le nombre de bénéficiaires de minima sociaux en 2003 (arrondir à $0,1$ millier). \item On affecte l'indice 100 à l'année 2007. Déterminer les indices des années 2008 et 2009 (les résultats seront arrondis au centième). \item Déterminer les taux d'évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2007 et 2008, puis entre 2007 et 2009. Exprimer ces taux en terme de hausse ou de baisse en pourcentage (arrondir à $0,01$\,\%). \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de bénéficiaires de minima sociaux entre 2002 et 2009 (arrondir à $0,01$\,\%). \item Le gouvernement souhaite qu'en 2015, le nombre de bénéficiaires de minima sociaux ne dépasse pas \np{3800000}. Si l'évolution moyenne est de $1,04$\,\% par an après 2009, cet objectif est-il réalisable ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Une année scolaire donnée, on compte \np{321457} étudiants dans l'enseignement supérieur en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE) ou en section de techniciens supérieurs (STS). Parmi l'ensemble de ces étudiants, on compte \np{164659} garçons. 27\,\% des garçons sont en CPGE. 78\,\% des filles sont en STS. (\emph{Sources: ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, DGESIP, DGRI. Année 2009-2010}) \medskip On choisit un de ces étudiants et on suppose que chaque étudiant a la même probabilité d'être choisi. On définit les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A$ : \og l'étudiant choisi est en CPGE \fg, \item[$\bullet~~$] $G$ : \og l'étudiant choisi est un garçon \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{G}$ les évènements contraires des évènements $A$ et $G$. \begin{center}\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au centième}\end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $G$, notée $P(G)$, arrondie au centième, est de $0,51$. \item Donner la probabilité $P_{G}(A)$, probabilité de l'évènement $A$ sachant $G$. \item Donner la probabilité $P_{\overline{G}}(\overline{A})$, probabilité que l'élève choisi étudie en section de techniciens supérieurs sachant que c'est une fille. \item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous: \begin{center} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree{\Tdot*~[tnpos=a]{$G$}\taput{\ldots}} { \Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\ldots} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\Tdot*~[tnpos=b]{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}} { \Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{\ldots} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Déterminer les probabilités $P (G \cap A)$ et $P\left(\overline{G} \cap A\right)$. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$, arrondie au centième, est égale à $0,25$. Calculer la probabilité $P_{A}(G)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Le premier janvier 2010, Monsieur X débute sa carrière professionnelle. Il est rémunéré \np{24000}~\euro{} la première année. Il estime pouvoir compter ensuite sur une augmentation régulière de son salaire annuel de 2\,\% chaque premier janvier. On note $U_{n}$ le salaire annuel (arrondi au centime d'euro) de Monsieur X l'année $(2010 + n)$ où $n$ est un entier naturel. On a donc $U_{0} = \np{2400}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $U_{1}$. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}$. \item En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$. \item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Calculer le salaire annuel de Monsieur X en 2015. \item Le premier janvier 2011, Monsieur X ouvre un compte d'épargne rémunéré 2,5\,\% par an à intérêts composés. Il verse alors \np{4000}~\euro{} sur ce compte. Par la suite, il versera à nouveau \np{4000}~\euro{} chaque premier janvier. On note $V_{n}$ le montant disponible sur le compte épargne de Monsieur X le 1\up{er} janvier de l'année $(2011 + n)$. Ainsi $V_{0} = \np{4000}$. \begin{enumerate} \item Calculer $V_{1}$. \item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = 1,025 \times V_{n} + \np{4000}$. \item Dans une feuille de calcul reproduite ci-dessous, on veut calculer les montants du livret d'épargne de Monsieur X jusqu'en 2020. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{10}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K\\ \hline 1& Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020\\ \hline 2 &Montant& \np{4000}&&&&&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip Donner une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage C2~:~ K2. \end{enumerate} \item En supposant que l'augmentation annuelle du salaire reste fixée à 2\,\%, déterminer en quelle année, l'épargne de Monsieur X dépassera son salaire annuel ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip \begin{enumerate} \item On donne le tableau suivant représentant une série statistique double : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& 1&2&3&4&5&6\\ \hline $y_{i}$&22&25&31& 35& 38& 41\\ \hline \end{tabularx} \medskip Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est : \emph{Les coefficients ont été arrondis à l'unité} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{a.~~} $y=4x+18$& \textbf{b.~~} $y=2x+26$& \textbf{c.~~} $y = x+1$& \textbf{d.~~} $y=-4x+18$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x^2\ln (x).\] On admet qu'elle est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Alors pour tout réel $x > 0$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{a.~~} \footnotesize $f'(x) = 2$& \textbf{b.~~}\footnotesize $f'(x) = x (2\ln (x) + 1)$& \textbf{c.~~}\footnotesize $f'(x) = 2x \ln (x) + 1$& \textbf{d.~~}\footnotesize $f'(x) = 2x \ln (x) $\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{2x}$. On admet qu'elle est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. On note $C$ la courbe représentative de $g$ dans le plan rapporté à un repère. Alors le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ est : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{a.~~} $2$& \textbf{b.~~} $\text{e}^2$& \textbf{c.~~} $2\text{e}^2$& \textbf{d.~~} $2\text{e}$\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \medskip \item On donne la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~2]$ \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-2)(2.5,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(-2.5,-2)(2.5,7) \uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul x 2 add mul} \end{pspicture*} \end{center} Alors la courbe représentative de la fonction dérivée est : \begin{tabular}{*{4}{c}} \textbf{a.}&\textbf{b.}&\textbf{c.}&\textbf{d.}\\ \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-6)(2.5,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-6)(2.5,3) \uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 2 add x dup mul 1.5 mul sub} \end{pspicture*}&\psset{xunit=0.6cm,yunit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(2.5,1.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(2.5,1.5) \uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul x 2 add mul 0.5 neg mul}\end{pspicture*}&\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-2)(2.5,8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-2)(2.5,8) \uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 1 sub x 2 sub mul x 2 add mul}\end{pspicture*}&\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-3)(2.5,6.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-2.5,-3)(2.5,6.5) \uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x dup mul 1.5 mul x sub 2 sub}\end{pspicture*}\\ \end{tabular} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Polynésie Mercatique septembre 2012 \newpage %%%%%%%%%%% Mercatique Nouvelle Calédonie novembre 2012 \hypertarget{CaledonienovMercatique}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{15 novembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\15 novembre 2012}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1 : taux d'évolution} \hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous présente le nombre de voitures neuves vendues en France en 1980, 1990 puis chaque année de 1996 à 2010. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1980 &1990 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000 &2001 \\ \hline Nombre de ventes (en milliers)&\np{1873} &\np{2309} &\np{2132} &\np{1713} &\np{1944} &\np{2148} &\np{2134} &\np{2255}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année&2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline Nombre de ventes (en milliers) &\np{2145} &\np{2009} &\np{2014} &\np{2068} &\np{2001}&\np{2065} &\np{2050} &\np{2269} &\np{2250}\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\emph{Source: comité des constructeurs français d'automobiles (CCFA)}} \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie A : interpolation linéaire} \medskip On désire évaluer dans cette première partie le nombre de voitures vendues en 1986. On suppose que la progression des ventes entre 1980 et 1990 est linéaire et qu'elle peut être modélisée par la droite passant par les points A et B de coordonnées respectives (1980~;~1873) et (1990~;~2309). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, sans le justifier, l'équation de la droite (AB). \item En déduire une estimation du nombre de voitures neuves vendues en 1986, arrondie au millier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : taux d'évolution} \medskip \begin{enumerate} \item Jérémie aimerait connaître le taux d'évolution du nombre de ventes de voitures neuves d'une année à l'autre à partir de 1997. Pour cela il s'aide d'un tableur dont la page est représentée ci-dessous: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~}&A &B &C &D \\ \hline 1 &Année &\footnotesize Nombre de ventes en milliers &Taux d'évolution &Indice\\ \hline 2 &1996 &\np{2132} & &99,91\\ \hline 3 &1997 &\np{1713} &$- 19,65$\,\% &\\ \hline 4 &1998 &\np{1944} & &\\ \hline 5 &1999 &\np{2148} & &\\ \hline 6 &2000 &\np{2134} & & 100\\ \hline 7 &2001 &\np{2255} & &\\ \hline 8 &2002 &\np{2145} & &\\ \hline 9 &2003 &\np{2009} & &\\ \hline 10 &2004 &\np{2014} & &\\ \hline 11 &2005 &\np{2068} & &\\ \hline 12 &2006 &\np{2001} & &\\ \hline 13 &2007 &\np{2065} & &\\ \hline 14 &2008 &\np{2050} & &\\ \hline 15 &2009 &\np{2269} & &\\ \hline 16 &2010 &\np{2250} & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip Le format des cellules de la colonne C est en pourcentage, arrondi à deux chiffres après la virgule. \begin{enumerate} \item Justifier le résultat de la cellule C3. \item Quelle formule Jérémie doit-il rentrer dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, tous les taux d'évolution souhaités? \end{enumerate} \item Clémentine souhaite observer l'évolution du nombre de ventes en prenant pour base 100 le nombre de ventes en 2000. Le format des cellules de la colonne D est en \og nombre\fg{} à deux décimales. \begin{enumerate} \item Justifier le résultat de la cellule D2. \item Parmi les trois formules suivantes, écrivez sur votre copie celle que Clémentine doit rentrer dans la cellule D2 pour obtenir, par recopie vers le bas, tous les indices souhaités ? Formule 1 : = B2/B\$6*100\quad Formule 2 : = B\$6/B2*100\quad Formule 3: = B2/B6*100 \end{enumerate} \item Sophie désire évaluer le nombre de voitures neuves qui seront vendues en 2020. \begin{enumerate} \item Calculer le taux global d'évolution du nombre de voitures neuves vendues entre 1996 et 2010 (arrondir à $0,01$\,\%). \item Démontrer alors que le taux moyen annuel entre 1996 et 2010 est environ égal à $0,39$\,\%. \item Sophie suppose qu'à partir de 2010 le nombre de voitures neuves vendues augmente chaque année de $0,39$\,\%. En déduire alors le nombre de voitures neuves qui seront vendues en 2020 (arrondir au millier) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 4 points} \medskip La puissance électrique maximale consommée en France en hiver dépend en partie des conditions climatiques. Si la demande est trop forte, la France doit importer une partie de son énergie électrique. On considère comme aléatoire la température minimale d'un hiver. On note $E$ l'évènement \og l'hiver a été rude \fg{} et $I$ l'évènement \og la France doit importer une partie de son énergie électrique \fg. On note $P(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ et on considère que $P(E) = 0,1$. Si l'hiver est rude, la probabilité que la France importe une partie de son énergie électrique est de $0,80$. Si l'hiver n'est pas rude, la probabilité que la France importe une partie de son énergie électrique est de $0,60$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé par un arbre de probabilités ou un tableau. \item Calculer la probabilité que l'hiver soit rude et que la France importe une partie de son énergie électrique. \item Démontrer que $P(I) = 0,62$. \item On choisit au hasard un hiver durant lequel la France a importé une partie de son énergie électrique. Quelle est la probabilité que cet hiver ait été rude ? On donnera la valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 } \hfill 4 points} \medskip Un potier fabrique des théières et des coupes à fruits originales. Les théières et les coupes à fruits sont munies chacune d'une anse en rotin, fournie par un autre artisan. La fabrication d'une théière nécessite 1,8~kg de terre et 1~h de main d'{\oe}uvre. Tandis que celle d'une coupe à fruits nécessite 3,6~kg de terre et 30~min de main d'{\oe}uvre. \medskip Étant en rupture de stock, le potier ne dispose pour la semaine que de 162~kg de terre. Par ailleurs il n'a en réserve que 30~anses à théière et 40~anses à coupe à fruits. Enfin, il ne souhaite pas travailler plus de 39~h au cours de la semaine. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer un système d'inéquations traduisant les contraintes pour la fabrication dans la semaine de $x$ théières et $y$ coupes à fruits. \item Les solutions du système précédent sont les coordonnées de certains points appartenant à la région grisée donnée en annexe 1. Le potier peut-il fabriquer 15~théières et 38~coupes à fruits ? \item Le prix de vente d'une théière est de 45~\euro{} et celui d'une coupe à fruits de 63~\euro. Le potier souhaite maximiser son chiffre d'affaires. Il utilise un tableur pour déterminer le couple $(x~;~y)$ qui correspond au profit maximal. Un extrait de la feuille de calcul est donné en annexe 2. \begin{enumerate} \item Quelle formule a été entrée dans la cellule B1, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B1~:~L11 ? \item On suppose que toute la production est vendue. Déterminer à l'aide du graphique et du tableau donnés en annexes 1 et 2 le nombre de théières et de coupes à fruits que le potier doit fabriquer dans la semaine pour obtenir un chiffre d'affaires maximal. \item Quel est alors ce chiffre d'affaires ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 } \hfill 7 points} \medskip Les prix seront arrondis au centime d'euros. Une entreprise d'agroalimentaire désire lancer sur le marché un nouveau produit sur le segment \og bio \fg. Une étude préalable a permis de modéliser la fonction offre $f$ et la fonction demande $g$. $x$ désigne la quantité de produit mise sur le marché en centaines de kilogrammes et $x$ appartient à l'intervalle [0~;~50]. L'expression $f(x)$ désigne le prix proposé par l'entreprise, en euros, d'un kilogramme de ce produit en fonction de $x$. L'expression $g(x)$ désigne le prix, en euros, que les consommateurs sont prêts à dépenser pour l'achat d'un kilogramme de ce produit pour la quantité $x$ mise sur le marché. Les fonctions $f$ et $g$ sont définies par les relations suivantes : \[f(x) = 10\text{e}^{0,001x^2 + 0,02x}\quad \text{et}\quad g(x) = 10\text{e}^{- 0,06x + 2}\] \bigskip \textbf{Partie A : étude d'un cas particulier} \medskip L'entreprise veut mettre sur le marché \np{3000}~kg du nouveau produit. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer alors qu'un kilogramme du nouveau produit sera vendu 44,82~\euro, autrement dit que l'offre est égale à 44,82~\euro. \item Combien le marché est-il prêt à payer un kilogramme du nouveau produit ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude des fonctions \boldmath$f$\unboldmath et \boldmath$g$\unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que si $u$ désigne une fonction dérivable sur l'intervalle $I$, alors $\left(\text{e}^u\right)^{\prime} = u^{\prime} \text{e}^u$. \begin{enumerate} \item On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer l'expression $f^{\prime}(x)$ puis étudier soigneusement son signe sur l'intervalle [0~;~50]. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \item Donner sans justification le tableau de variations de la fonction $g$. \end{enumerate} \item Une partie de la courbe de la fonction $f$ est donnée en annexe 3. Compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ située en bas de l'annexe 3 et construire la courbe représentative de la fonction $g$ dans le même repère que celui de la courbe de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : interprétation économique} \medskip On appelle prix d'équilibre le prix pour lequel l'offre est égale à la demande. L'objectif de cette partie est de déterminer graphiquement puis par le calcul ce prix d'équilibre. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Lire graphiquement, avec la précision permise par le dessin, la quantité à produire et à mettre sur le marché pour que l'offre soit égale à la demande. \item En déduire, par la méthode voulue, une valeur approchée du prix d'équilibre d'un kilogramme du nouveau produit. \end{enumerate} \emph{Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x \in [0~;~50]$: résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ \textbf{revient à} résoudre l'équation : \[(0,001x - 0,02)(x + 100) = 0.\] \item Résoudre dans $\R$ l'équation $(0,001x - 0,02)(x + 100) = 0$. \item En déduire alors la quantité à produire pour atteindre le prix d'équilibre, puis calculer ce prix d'équilibre. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1} \vspace{0,25cm} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.24cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(33,44) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(33,44) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(33,44) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=200,Dy=200](0,0)(-1,-2)(33,44) \psdots[dotscale=1.2](0,40)(10,40)(22,34)(30,18)(30,0) \psline(0,40)(10,40)(22,34)(30,18)(30,0) \uput[u](30,0){Nombre de théières}\uput[r](0,42){Nombre de coupes à fruits} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{\large ANNEXE 2} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline 1&40&\np{3195}&\np{3240}&\np{3285}&\np{3330}&\np{3375}&\np{3420}&\np{3465}&\np{3510}&\np{3555}&\np{3600}&\np{3645}\\ \hline 2&39&\np{3132}&\np{3177}&\np{3222}&\np{3267}&\np{3312}&\np{3357}&\np{3402}&\np{3447}&\np{3492}&\np{3537}&\np{3582}\\ \hline 3&38&\np{3069}&\np{3114}&\np{3159}&\np{3204}&\np{3249}&\np{3294}&\np{3339}&\np{3384}&\np{3429}&\np{3474}&\np{3519}\\ \hline 4&37&\np{3006}&\np{3051}&\np{3096}&\np{3141}&\np{3186}&\np{3231}&\np{3276}&\np{3321}&\np{3366}&\np{3411}&\np{3456}\\ \hline 5&36&\np{2943}&\np{2988}&\np{3033}&\np{3078}&\np{3123}&\np{3168}&\np{3213}&\np{3258}&\np{3303}&\np{3348}&\np{3393}\\ \hline 6&35&\np{2880}&\np{2925}&\np{2970}&\np{3015}&\np{3060}&\np{3105}&\np{3150}&\np{3195}&\np{3240}&\np{3285}&\np{3330}\\ \hline 7&34&\np{2817}&\np{2862}&\np{2907}&\np{2952}&\np{2997}&\np{3042}&\np{3087}&\np{3132}&\np{3177}&\np{3222}&\np{3267}\\ \hline 8&33&\np{2754}&\np{2799}&\np{2844}&\np{2889}&\np{2934}&\np{2979}&\np{3024}&\np{3069}&\np{3114}&\np{3159}&\np{3204}\\ \hline 9&32&\np{2691}&\np{2736}&\np{2781}&\np{2826}&\np{2871}&\np{2916}&\np{2961}&\np{3006}&\np{3051}&\np{3096}&\np{3141}\\ \hline 10&31&\np{2628}&\np{2673}&\np{2718}&\np{2763}&\np{2808}&\np{2853}&\np{2898}&\np{2943}&\np{2988}&\np{3033}&\np{3078}\\ \hline 11&30&\np{2565}&\np{2610}&\np{2655}&\np{2700}&\np{2745}&\np{2790}&\np{2835}&\np{2880}&\np{2925}&\np{2970}&\np{3015}\\ \hline 12&\diagbox[dir=NE]{$y$}{$x$}&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 3 (À RENDRE AVEC LA COPIE)} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.06cm} \begin{pspicture}(-2.5,-4)(52.5,125) \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,0)(\n,125)} \multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(52.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(-2.5,-4)(52.5,125) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(-2.5,-4)(52.5,125) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{41}{2.71828 x dup mul 0.001 mul 0.02 x mul add exp 10 mul} \pstextpath[l](0,0){\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{41}{2.71828 x dup mul 0.001 mul 0.02 x mul add exp 10 mul}}{$f(x) = 10\text{e}^{0,001x^2 + 0,02x}$} \end{pspicture} \vspace{2cm} \begin{flushleft} \textbf{Tableau de valeurs de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath à compléter} \vspace{0,75cm} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline $x$ &0 &10 &15 &20 &25 &30 &40 &50\\ \hline $g(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie novembre 2012 \end{document}