\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{eurosym} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint}%séparateurs par trois chiffres \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \chead{\small L'intégrale 2008} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2008~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de mars à novembre 2008}} \vspace{0,25cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Antillesappli}{Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2008} \dotfill \pageref{Antillesappli}\\ \hyperlink{Metroappli}{Métropole Arts appliqués juin 2008} \dotfill \pageref{Metroappli}\\ \hyperlink{Metroapplisept}{Métropole Arts appliqués septembre 2008} \dotfill \pageref{Metroapplisept}\\ \hyperlink{Antillescivil}{Antilles--Guyane Génie civil juin 2008} \dotfill \pageref{Antillescivil}\\ \hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil juin 2008} \dotfill \pageref{Metrocivil}\\ \hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil juin 2008} \dotfill \pageref{Polynesiecivil}\\ \hyperlink{Metrocivilsept}{Métropole Génie civil septembre 2008} \dotfill \pageref{Metrocivilsept}\\ \hyperlink{Caledocivil}{Nouvelle-Calédonie génie civil nov. 2008} \dotfill \pageref{Caledocivil}\\ \hyperlink{Antilleselectro}{Antilles--Guyane Génie électronique juin 2008} \dotfill \pageref{Antilleselectro}\\ \hyperlink{LaReunionelectro}{La Réunion Génie électronique juin 2008} \dotfill \pageref{LaReunionelectro}\\ \hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique juin 2008} \dotfill \pageref{Metroelectro}\\ \hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique juin 2008} \dotfill \pageref{Polynesieelectro}\\ \hyperlink{Antilleselectrosept}{Antilles-Guyane Génie électronique septembre 2008}\dotfill \pageref{Antilleselectrosept}\\ \hyperlink{Metroelectrosept}{Métropole génie électronique septembre 2008} \dotfill \pageref{Metroelectrosept}\\ \hyperlink{Caledoelectro}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique nov. 2008} \dotfill \pageref{Caledoelectro}\\ \hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2008} \dotfill \pageref{Metromateriaux}\\ \hyperlink{Metromateriauxsept}{Métropole Génie des matériaux septembre 2008} \dotfill \pageref{Metromateriauxsept} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2008 \hypertarget{Antillesappli}{} \label{Antillesappli} \lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Antilles--Guyane~\decofourright\\ [5pt]juin 2008} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera seulement sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.} \emph{Chaque réponse exacte rapporte un point. Les réponses fausses ne sont pas pénalisées.} \medskip \begin{enumerate} \item La solution de l'équation : $ 2\ln x = 3$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$2\text{e}^{\frac{3}{2}}$&\textbf{b.}~~$\text{e}^{\frac{3}{2}}$&\textbf{c.}~~$\ln \dfrac{3}{2}$&\textbf{d.}~~$2\ln 3$\\ \end{tabularx} \medskip \item On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros sortis. La probabilité d'obtenir une somme égale à 5 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$\dfrac{5}{36}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{1}{9}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{1}{6}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{11}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2x^3 - 6x + 1$. L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$y = 6x - 7$&\textbf{b.}~~$y = 6x + 5$&\textbf{c.}~~$y = 18x - 31$&\textbf{d.}~~$y = 18x + 31$\\ \end{tabularx} \medskip \item L'ensemble des solutions de l'inéquation : $\text{e}^x \geqslant 2$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$]0~;~+ \infty[$&\textbf{b.}~~$]0~;~\ln 2[$&\textbf{c.}~~$[\ln 2~;~+ \infty[$&\textbf{d.}~~$]- \infty~;~\text{e}^2[$\\ \end{tabularx} \medskip \item Dans une classe de 24 élèves, 12 font de l'escalade, 9 font de la natation et 5 pratiquent les deux activités. On rencontre au hasard un élève de cette classe, la probabilité qu'il pratique au moins l'une de ces deux activités est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$\dfrac{11}{24}$&\textbf{b.}~~$0,6$&\textbf{c.}~~$0,875$&\textbf{d.}~~$\dfrac{2}{3}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, on considère les points F(3 ; 0) et F$'(- 3~;~0)$. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ du plan tels que $M\text{F} + M\text{F}' = 10$. \medskip \textbf{Affirmation 1 :} la courbe $\mathcal{C}$ est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~une parabole&\textbf{b.}~~une ellipse&\textbf{c.}~~une hyperbole&\textbf{d.}~~un cercle\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Affirmation 2 :} le point $M$ est un sommet de la courbe $\mathcal{C}$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~le point $M$(4~;~0)&\textbf{b.}~~le point $M$(2~;~0)&\textbf{c.}~~le point $M$(5~;~0)&\textbf{d.}~~le point $M$(0~;~5)\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Affirmation 3 :} une équation cartésienne de la courbe $\mathcal{C}$ est \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{b.}~~$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{c.}~~$16x^2 + 25y^2 = 400$&\textbf{d.}~~$25x^2 - 16y^2 = 400$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle : $]0~;~+ \infty[$ par \[ f(x) = \ln x + \ln (x + 1)\] On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée. \newpage \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. Quelle interprétation graphique peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \end{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$. \item \begin{enumerate} \item Étudier, pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, le signe de $f'(x)$. \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.) \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0,1&0,3&0,5&1 &2 &4 &6 &8 &10 &12\\ \hline $f(x)$ & & & &0,7& & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. (On vérifiera que $f(x)$ s'écrit sous la forme $f(x) = \ln [x(x + 1)]$ et on donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie à $10^{-1}$ près). \item Interpréter graphiquement cette réponse. \item Montrer que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[1 ~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~ ; ~+\infty[$ par $F(x) = x \ln x + (x + 1)\ln(x + 1) - 2x$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle. \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 12$. On donnera d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Antilles-Guyane arts appliqués juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole Arts appliqués juin 2008 \hypertarget{Metroappli}{} \label{Metroappli} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{23 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft ~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole \decofourright\\[5pt] 23 juin 2008} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas pénalisée. \medskip \begin{enumerate} \item A et B sont deux évènements. La probabilité de l'évènement A est $0,4$. La probabilité de l'évènement B est $0,6$. La probabilité de l'évènement A~$\cap$~B est $0,2$. La probabilité de l'évènement A~$\cup$~B est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ 0,8&\textbf{b.}~~ 1&\textbf{c.}~~ $1,2$&\textbf{d.}~~ 0,2\\ \end{tabularx} \medskip \item Une urne contient six boules : deux blanches notées B1, B2, trois jaunes notées J1, J2, J3, une verte notée V. On tire deux boules de l'urne simultanément. On pourra s'aider d'un tableau. La probabilité de l'évènement \og les deux boules tirées ont la même couleur \fg{ }est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ $\dfrac{2}{30}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{14}{36}$&\textbf{c.}~~ $\dfrac{8}{30}$&\textbf{d.}~~ $\dfrac{22}{30}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Dans un repère orthonormé, on considère la courbe (C) d'équation : $25x^2 - 36y^2 - 900 = 0$. Cette courbe est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ une ellipse&\textbf{b.}~~un cercle&\textbf{c.}~~ une hyperbole&\textbf{d.}~~ une parabole\\ \end{tabularx} \medskip \item Dans un repère orthonormé, l'ellipse (E) a pour équation : $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$. Un de ses foyers a pour coordonnées : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ $\left(2\sqrt{5}~;~0\right)$&\textbf{b.}~~$\left(0~;~2\sqrt{5}\right)$&\textbf{c.}~~$\left(0~;~2\sqrt{3}\right)$ &\textbf{d.}~~$\left(2\sqrt{3}~;~0\right)$ \\ \end{tabularx} \medskip \item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = x^3 +x$ et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. L'aire du domaine compris entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est, en unités d'aire : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ 6&\textbf{b.}~~10&\textbf{c.}~~ 13&\textbf{d.}~~ $-6$\\ \end{tabularx} \medskip \item La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]\dfrac{1}{3}~;~+ \infty\right[$ par : $f(x) = \ln (3x - 1)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ $f'(x) = \dfrac{1}{3x - 1}$&\textbf{b.}~~$f'(x) = 3$&\textbf{c.}~~ $f'(x) = \dfrac{3}{3x - 1}$&\textbf{d.}~~ $f'(x) = \dfrac{1}{(3x - 1)^2}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Une primitive de la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ $F(x)= 2 - \dfrac{1}{x^2}$&\textbf{b.}~~$F(x) = x^2 + x + \ln x$&\textbf{c.}~~ $F(x) = 2 + \ln x$&\textbf{d.}~~ $F(x) = 2$\\ \end{tabularx} \medskip \item La solution de l'équation : $\dfrac{1}{2}\text{e}^x = 5$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~ $ 2 \ln 5$&\textbf{b.}~~$\ln 10$&\textbf{c.}~~ $10$&\textbf{d.}~~ $\text{e}^{10}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Pour une entreprise de production d'énergies renouvelables, un graphiste conçoit un logo dont la construction apparaît dans le problème suivant. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur [0~;~2] par : \[f(x) = \text{e}^x + 1.\] $\mathcal{C}$ désigne sa courbe représentative dans le repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~2]. \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &0,5&1 &1,5&2\\ \hline $f(x)$ & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \medskip \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$. Le point O sera placé au centre de la feuille de papier millimétré. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par : \[ g(x) = - x^2 + 2x\] et $\mathcal{C}'$ sa courbe représentative dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $g$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur [0~;~2]. \item Donner une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}'$ en son point d'abscisse $2$. \item Construire T et $\mathcal{C}'$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On appelle D le domaine compris entre $\mathcal{C},~ \mathcal{C}'$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. On admet que $f(x) \geqslant g(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 2] et que l'aire du domaine D, en unités d'aire, est donnée par la formule : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^2 [f(x) - g(x)]\: \text{d}x$. Calculer la valeur exacte de cette aire en cm$^2$, puis la valeur arrondie à $10 ^{-1}$ près. \medskip \textbf{Partie D} \medskip \begin{enumerate} \item Dessiner le domaine D$_{1}$, symétrique de D par rapport à O. Colorier le domaine réunion de D$_{1}$ et D. \item Dessiner le domaine D$_{2}$, obtenu par rotation de centre O et d'angle 90\degres{} du domaine colorié précédemment. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole Arts appliqués juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole arts appliqués septembre 2008 \hypertarget{Metroapplisept}{} \label{Metroapplisept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt] septembre 2008} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} Dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 1~cm, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x~;~ y)$ dont les coordonnées vérifient l'équation : \[\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2 }{16} = 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble $\mathcal{C}$ est-il : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Une parabole ?& Une hyperbole ?& Une ellipse ?\\ \end{tabularx} \item On appelle S et S$'$ les deux sommets de $\mathcal{C}$, S ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de S et S$'$. \item On appelle F et F$'$ les deux foyers de $\mathcal{C}$, F ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de F et F$'$. \item Parmi les relations suivantes, quelle est celle que vérifient les points $M$ de $\mathcal{C}$ ? \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $M$F+$M$F$'$ = ó & $|M$F - $M$F$'$| = 8 & |$M$F - $M$F$'$| = 10\\ \end{tabularx} \item Déterminer les coordonnées des points C$_{1}$ et C$_{2}$ de $\mathcal{C}$ d'abscisse $7$. \item Sur une feuille de papier millimétré, placer le repère \Oij{, }les sommets S et S$'$ ainsi que les foyers F et F$'$ ; placer aussi les points trouvés à la question précédente. Tracer enfin la courbe $\mathcal{C}$ (on pourra s'aider d'une symétrie). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^x - 2x\] et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Résoudre dans l'ensemble $\R$ l'inéquation $f'(x) > 0$, puis en déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $- \infty$. \item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = -2x$. \begin{enumerate} \item Exprimer $[f(x) - (- 2x)]$ en fonction de $x$. \item Déterminer la limite de $[f(x) - (- 2x)]$ quand $x$ tend vers $- \infty$. \item En déduire l'existence d'une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x > 0,{} f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 2 \right)$. En déduire la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. \item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ \item Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. \item Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs seront arrondies au centième) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-3$ &$-2$ &$-1$ &0 &0,7 &1 &2 &2,5\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Dans le repère \Oij, tracer la droite $\Delta$, la tangente T puis la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$. \item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte). \item \begin{enumerate} \item Hachurer la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 1$ et la courbe $\mathcal{C}$. \item Déduire de la question 9 la valeur exacte, en cm$^2$, de l'aire de cette partie puis en donner une valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole arts appliqués septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane génie civil juin 2008 \hypertarget{Antillescivil}{} \label{Antillescivil} \lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique,\\ énergétique, civil} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt] juin 2008}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \begin{center} \textbf{Questionnaire à choix multiples} \end{center} Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses \textbf{a,~  b} ou \textbf{c} est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip Notation : \emph{une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.} \medskip On définit la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[f(x) = 2\text{e}^{- \frac{1}{2}x}.\] Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \medskip On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij. On note A et B les points de coordonnées respectives $(-3~ ;~ 0)$ et (0 ; 2). On note $\mathcal{D}$ le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}$, \item[$\bullet~$] l'axe des abscisses, \item[$\bullet~$] l'axe des ordonnées, \item[$\bullet~$] la droite d'équation : $x = 2$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture*}(-4.5,-1.25)(4.5,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(-5,-2)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-1.25)(4.5,3.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2 2.71828 0.5 x mul exp div} \psline(2,0)(0,0)} \uput[ur](-1,3.25){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ul](-3,0){A}\uput[ur](0,2){B} \rput(1,0.5){$\mathcal{D}$}\uput[dr](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.43}{4.5}{2 2.71828 0.5 x mul exp div} \psline(-3,0)(0,2) \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Question 1 :} La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle (E) : \textbf{Réponse a.~~} : (E) : $2y'+ y = 0$ \textbf{Réponse b.~~} : (E) : $2y' - y = 0$ \textbf{Réponse c.~~} : (E) : $y' - y = 0$. ($y$ désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble des nombres réels de variable $x~;~y'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $y$.) \bigskip \textbf{Question 2 :} La courbe $\mathcal{C}$ a pour asymptote la droite d'équation : \textbf{Réponse a.~~} : $y = - 2x$ ; \textbf{Réponse b.~~} : $x = 0$ ; \textbf{Réponse c.~~} : $y = 0$. \bigskip \textbf{Question 3 :} La tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation : \textbf{Réponse a.~~} : $y =- 2x + 2$ ; \textbf{Réponse b.~~} : $ y = - x+ 2$ ; \textbf{Réponse c.} : $y = x + 2$. \bigskip \textbf{Question 4 :} On note S le solide de révolution engendré par la rotation du domaine $\mathcal{D}$ autour de l'axe des abscisses. La valeur V du volume du solide S est donnée par : \[ \text{V} = \pi\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x \quad (\text{en unités de volume}).\] La valeur V du volume du solide S, en cm$^3$ est égale à : \textbf{Réponse a.~~} : $4\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$ ; \textbf{Réponse b.~~} : $16\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$ ; \textbf{Réponse c.~~} : $32\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} i désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les nombres complexes suivants \[Z_{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}, ~~Z_{2} = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}} ~\text{et}~ Z_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $Z_{1}$. \item \begin{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $Z_{2}$ sous forme algébrique et montrer que : $Z_{2} = \overline{Z_{1}}$. \item Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $Z_{2}$. \end{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $Z_{3}$ sous forme algébrique. \item On note $Z$ le nombre complexe défini par : $Z= Z_{2}Z_{3}$. \begin{enumerate} \item Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z$. \item Écrire le nombre complexe $Z$ sous forme algébrique. \item En déduire les valeurs exactes des nombres réels $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 11 points} \medskip La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = a \ln x + bx + \dfrac{c}{x}\] où $a$,\: $b$ et $c$ sont trois nombres réels à déterminer. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On a représenté la fonction $f$ sur la feuille annexe dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction $f$. On note T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. La tangente T passe par l'origine O du repère. La tangente \`a la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est parallèle à l'axe des abscisses. \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE A} \textbf{Recherche de l'expression de}\boldmath $f(x)$\unboldmath\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Préciser (sans justifier) les valeurs de $f(1),~f'(1)$ et $f'(2)$. \item Déterminer $f'(x)$, en fonction de la variable $x$ et des nombres réels $a,~ b$ et $c$. \item Exprimer $f(1),~f'(1)$ et $f'(2)$ en fonction des nombres réels $a, ~b$ et $c$. \item En utilisant les réponses aux questions 1. et 3., montrer que les nombres réels $a,~ b$ et $c$ sont solutions du système $S$ suivant : \[S : \quad \left\{ \begin{array}{r c l} b + c&=&1\\ a + b - c&=&1\\ 2a + 4b - c&=&0 \\ \end{array}\right.\] \item Résoudre le système $S$. En déduire une expression de $f(x)$. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{PARTIE B} \textbf{Étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath \end{center} Dans la suite du problème la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~\infty[$ par : \[f(x) = 8\ln x - 3x +\dfrac{4}{x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer par calculs la limite de $f$ en $+ \infty$ (on peut factoriser $f(x)$ par $x$). \item On rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. En écrivant $f(x)$ sous la forme d'une seule fraction, déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item Déterminer $f'(x)$ et vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~\infty[$ : \[f'(x) = \dfrac{(3x - 2)(2 - x)}{x^2}.\] Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (justifier avec soin le signe de $f'(x)$.) Montrer que, sur l'intervalle [4~ ;~5] l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution. notée $\alpha$. Justifier l'encadrement de la solution $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ suivant : \[ 4,07 < \alpha < 4,08. \] \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Feuille annexe} \vspace{2cm} \psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture*}(-1,-1.25)(8,5.25) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1.25)(8,5.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](3.5,0.75){\blue $\mathcal{C}$} \uput[dr](3,3){T}\uput[dr](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(-1,-2)(8,6) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.22}{4.96}{x ln 8 mul 4 x div add x 3 mul sub} \psline(-1,-1)(5,5) \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane génie civil juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole Génie civil juin 2008 \hypertarget{Metrocivil}{} \label{Metrocivil} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{17 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole \decofourright\\[5pt]17 juin 2008}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip On considère les nombres complexes \[ z_{\text{A}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}},~~z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - 2 + 2\text{i}.\] Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal. \emph{Les parties I et II sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie I : Q. C. M.} Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \textbf{On ne demande aucune justification} \textbf{NOTATION :} \emph{chaque réponse juste rapporte $0,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point.} \emph{Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \emph{Si le total des points est négatif, il est ramené à $0$.} \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre complexe $Z_{1} = z_{\text{A}}z_{\text{B}}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :} un nombre réel positif& \textbf{Réponse B :} un nombre réel négatif\\ \textbf{Réponse C :} un nombre imaginaire pur& \textbf{Réponse D :} l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes\\ \end{tabularx} \item Le nombre complexe $Z_{2} = z_{\text{A}}^6$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :} un nombre réel positif&\textbf{Réponse B :} un nombre réel négatif\\\textbf{Réponse C :} un nombre imaginaire pur&\textbf{Réponse D :} l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes\\ \end{tabularx}\item Le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :}~~$- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{Réponse B :}~~$4\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$\\\textbf{Réponse C :}~~$4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{Réponse D :}~~$\dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\ \end{tabularx} \item Le nombre complexe $z_{\text{C}}$ peut se mettre sous la forme : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :}~~ $2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$&\textbf{Réponse B :}~~ $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\ \textbf{Réponse C :}~~$2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$&\textbf{Réponse D :}~~$4\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}}$,\:$z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$. \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement $\left|z - z_{\text{A}}\right|$. \item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité : $\left|z - z_{\text{A}}\right| = \left|z - z_{\text{B}}\right|$. \item Vérifier que le point C appartient à l'ensemble $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. \item Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$ par \[f(x) = \cos (x) + \dfrac{1}{2} \cos (2x) + 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item En utilisant la relation $\sin (2a) = 2\sin a \cos a$, montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~2\pi],~f'(x) = - \sin (x) [1 + 2\cos (x)].$ \end{enumerate} \item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$, l'équation produit : $\sin (x) [1 + 2\cos (x)] = 0$. \item \begin{enumerate} \item En s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ donnée en annexe, dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. \item Déduire des questions 2. et 3. a. le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse $x$ vérifie $f'(x) = 0$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$ dans le repère de l'annexe (où $f'$ est déjà représentée). \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} On considère la fonction $f$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = \text{e}^{2x} - 5 \text{e}^{x} + 4.\] On désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} (unités : 2~cm en abscisse, 1~cm en ordonnée). \medskip \textbf{Partie A: limites aux bornes de l'ensemble de définition} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y = 4$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $- \infty.$ \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \left( \text{e}^{x} - 1\right)\left( \text{e}^{x} - 4\right)$. \item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : intersection de la courbe \boldmath$(\mathcal{C})$ \unboldmath avec l'axe des abscisses} \medskip En utilisant la forme factorisée de $f(x)$ donnée dans la partie A. 2. a., déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe ($\mathcal{C}$) avec l'axe des abscisses. \bigskip \textbf{Partie C : étude des variations de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. \end{enumerate} \item Montrer en \textbf{détaillant vos calculs} que $f\left(\ln \dfrac{5}{2}\right) = - \dfrac{9}{4}$. \item Déduire des questions précédentes le tableau de variations complet de la fonction $f$.\item À l'aide du tableau de variations et du résultat acquis à la partie B, donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$. \item Tracer la droite ($\mathcal{D}$) puis la courbe ($\mathcal{C}$), pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-4~;~2]$, dans le repère défini en début de problème. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D : calcul d'une aire} \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 4$. \item Donner une valeur approchée au mm$^2$ près de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à l'exercice 2} (à compléter et à rendre avec la copie) La courbe préconstruite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. \bigskip \psset{unit=1.55cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(7,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=10](0,0)(-1,-2)(7,3) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-2)(7,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psset{algebraic=true} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6.28}{0-sin(x)-sin(2*x)} \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie civil juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie Génie civil juin 2008 \hypertarget{Polynesiecivil}{} \label{Polynesiecivil} \lfoot{\small{PolynéŽsie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2008~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Un jeu est organisé de la manière suivante : le joueur mise 3~\euro, puis fait tourner une roue partagée en 6 secteurs circulaires. Lorsque la roue s'immobilise, un repère situé devant la roue indique le secteur circulaire désigné. On suppose que la roue est lancée suffisamment vite pour que la position du repère corresponde à un tirage aléatoire ; la probabilité que le repère indique un secteur donné est donc proportionnelle à l'angle au centre de ce secteur. \medskip Sur chacun des secteurs circulaires est affichée une somme que le joueur reçoit : \begin{itemize} \item le secteur 1 mesure 150\degres{} et indique la somme 0~\euro{} : le joueur ne reçoit rien; \item le secteur 2 mesure 100\degres{} et affiche 3~\euro{}; \item le secteur 3 mesure 50\degres{} et affiche 4~\euro{}; \item le secteur 4 mesure 35\degres{} et affiche 6~\euro{} ; \item le secteur 5 mesure 15\degres{} et affiche 10~\euro{}; \item le secteur 6, qui et le dernier, mesure 10\degres{} et affiche 15~\euro{}. \end{itemize} On appelle \og gain \fg{} du joueur la somme, positive ou négative, que le joueur obtient après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mise de 3~\euro. Ainsi, par exemple le gain correspondant au secteur 5 est égal à 7~\euro. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. \item Quelle est la probabilité d'obtenir un gain d'au moins 3~\euro{}? \item \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique de la variable $X$. \item Le jeu est-il équitable ? \end{enumerate} \item Dans cette question, les cinq premiers secteurs sont inchangés, mais le sixième affiche une somme de $a$~\euro{} où $a$ est un nombre réel positif. On note encore $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur. \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique de la variable $X$ en fonction du réel $a$. \item Déterminer la valeur de $a$ pour que cette espérance soit nulle. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm ; on construira une figure que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice. \medskip \begin{enumerate} \item On note A, B et C les points d'affixes respectives : \[ a = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}},\:\: b = 5 - 3\text{i} \:\:\text{et}\:\: c = 11 + 4\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $a$ sous forme algébrique. \item Placer les points A, B et C sur la figure. \end{enumerate} \item Démonter que le triangle ABC est isocèle. \item Soit $z$ un nombre complexe quelconque et $M$ le point du plan d'affixe $z$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique des nombres $|z - a|$ et $|z - b|$. \item Déterminer l'ensemble $\Delta$ des points $M$ du plan tels que l'on ait $|z - a| = |z - b|.$ Tracer cet ensemble $\Delta$ sur la figure, \item On note D le point d'affixe $d = 6 + \text{i}$. Les points C et D appartiennent-ils à l'ensemble $\Delta$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABD est rectangle. \item On considère le point H tel que ADBH soit un carré. Déterminer l'affixe $h$ de ce point H. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = 2 - \dfrac{1}{x} - \ln x.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij ; la courbe $\mathcal{C}$ est donnée en annexe. \medskip \textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item On rappelle le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to 0}x \ln x = 0$. \begin{enumerate} \item En remarquant que $f(x) = \dfrac{2x - 1 - x \ln x}{x}$ déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. \item En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ et en donner une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ on a : $f'(x) = \dfrac{1 - x}{x^2}$. \item Déterminer le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Indiquer la valeur de l'extremum. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, sur l'intervalle [0,1~;~10], la fonction $f$ s'annule pour deux valeurs exactement. On note $x_{1}$ et $x_{2}$ ces deux valeurs, avec $x_{1} < x_{2}$. \item Placer $x_{1}$ et $x_{2}$ sur l'axe $\left(\text{O}~  ;~\vect{\imath}\right)$ représenté sur la feuille annexe, et donner les valeurs approchées arrondies au centième de ces deux nombres. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Étude d'une tangente} On désigne par $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $2$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une équation de la droite $\mathcal{T}$ est : $y = - \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2$. \item On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[ h(x) = f(x) - \left(- \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer $h'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : $h'(x) = \dfrac{(x - 2)^2}{4x^2}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Calculer $h(2)$ et en déduire le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item À l'aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $\mathcal{T}$. \item Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur la feuille annexe en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item On note $G$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[G(x)= x - x\ln x.\] Calculer $G'(x)$. \item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \item On considère la partie du plan comprise entre les droites d'équation $x = 1$ et $x= 6$ d'une part, entre l'axe horizontal et la courbe $\mathcal{C}$ d'autre part. On note $\mathcal{A}$ l'aire de cette partie de plan, exprimée en unités d'aire. \begin{enumerate} \item Hachurer cette partie de plan sur la feuille annexe, \item Donner la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis sa valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe :} tracé de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère orthogonal \Oij \vspace{1cm} \textbf{Cette feuille est à compléter au fil des questions et à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(0,-4)(8,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(0,-4)(8,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=15,gridwidth=1pt](0,0)(0,-4)(8,2) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.1238}{8}{2 1 x div sub x ln sub} \uput[ur](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie Génie civil juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole génie civil septembre 2008 \hypertarget{Metrocivilsept}{} \label{Metrocivilsept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole \decofourright\\[5pt]septembre 2008}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : \[ Z^2 + 2Z + 4 = 0.\] Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). La figure sera complétée au fur et à mesure que l'énoncé le demandera. Soit les points A, B et C d'affixes respectives : \[Z_{\text{A}} =- 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad Z_{\text{B}} = \overline{Z_{\text{A}}}~~ \text{et}~~Z_{\text{C}} =2.\] On rappelle que $\overline{Z_{\text{A}}}$ représente le nombre complexe conjugué de $Z_{\text{A}}$. \medskip \item \begin{enumerate} \item Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{A}}$. \item En déduire le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{B}}$. \item Placer les points A, B et C sur la figure. \item Démontrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral. \end{enumerate} \item Soit D le point d'affixe $Z_{\text{D}}$ définie par : $Z_{\text{D}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}Z_{\text{B}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture algébrique de $Z_{\text{D}}$. \item Placer le point D sur la figure. \item Quelle est la nature du quadrilatère BDAO ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Dans une usine, deux chaînes de montage A et B fabriquent les mêmes types d'objets. La chaîne A en fabrique trois fois plus que la chaîne B. 7\,\% de la production de la chaîne A est défectueuse contre 2\,\% pour la chaîne B. \medskip \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item On considère une production de \np{1200}~objets. Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &chaîne A &chaîne B & total\\ \hline nombre d'objets défectueux &63 & & \\ \hline nombre d'objets non défectueux & & & \\ \hline total & & &\np{1200}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On prélève au hasard un objet dans la production de l'usine et on admet que les tirages sont équiprobables. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que l'objet prélevé soit à la fois défectueux et produit par la chaîne A. \item Déterminer la probabilité que l'objet prélevé ne soit pas défectueux. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip Un objet défectueux peut présenter 1, 2 ou 3 défauts. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, associe le nombre de défauts. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0& 1& 2& 3\\ \hline $P(X = x)$&\np{0,9425}& \np{0,0318}&$\cdots$& 0,006\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie puis compléter le tableau précédent. \item Le prix de vente d'un objet dépend du nombre de défauts qu'il présente : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline nombre de défauts &0 &1 & 2 &3\\ \hline prix de vente en \euro &56 &15 &10 &1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, fait correspondre son prix de vente. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$. \item Calculer l'espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat obtenu. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip \textbf{Étude de l'énergie fournie par le rayonnement solaire} \medskip Le but de ce problème est d'étudier le rayonnement solaire en un point de la surface de la Terre dont la latitude est 45\degres N et l'altitude 900~m. Dans les questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}, on étudie le rayonnement solaire un 21~mars ensoleillé sur un plan perpendiculaire au rayonnement solaire d'une surface de 1~m$^2$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose d'abord que le rayonnement solaire exprimé en W/m$^2$ est donné en fonction de l'inclinaison $\theta$ du soleil ($\theta$ étant exprimé en degrés) par \[p(\theta)= \np{1230} \text{e}^{\frac{-1}{3,8\sin (\theta + 1,6)}}.\] On attire l'attention du candidat quant à l'utilisation de la calculatrice pour ces calculs : dans la formule ci-dessus le sinus porte sur un angle exprimé en degrés. Compléter le duplicata du tableau 1 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie). \medskip \hspace{-0.9cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{13}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline heure solaire &6 h&7 h &8 h &9 h&10 h&11 h&12 h&13 h&14 h&15 h&16 h&17 h&18 h\\ \hline inclinaison $\theta$ du soleil (en \degres) &0 &10,5 &20,7&30&37,7&43&45&43& 37,7&30&20,7&10,5&0\\ \hline rayonnement so\-laire $p(\theta)$ (en W/m$^2$)& &350 &&744&&&856&&&&&& \\ \hline \multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\ \end{tabularx} \medskip \item On veut maintenant modéliser l'évolution du rayonnement solaire en fonction de l'heure. On définit la variable $t$ comme étant le temps écoulé depuis le lever du soleil, qui se produit à 6~heures. Pour des raisons de symétrie entre le matin et l'après-midi, on se limitera à faire varier $t$ dans l'intervalle [0~;~6], ce qui correspond à des heures solaires variant entre 6~h et 12~h. On admet que le rayonnement solaire (en W/m$^2$) peut être exprimé en fonction de $t$ par : \[f(t) = 856\left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right).\] \begin{enumerate} \item Compléter le duplicata du tableau 2 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie). \medskip \hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline heure solaire &6 h&7 h&8 h&9 h&10 h &11 h &12 h\\ \hline temps $t$ (en heures) &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline \mbox{rayonnement so-} laire $f(t)$ (en W/m$^2$) & & & &715& & &833\\ \hline \multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\ \end{tabularx} \medskip \item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(t)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~6]. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (2~cm pour une unité en abscisse et 1~cm pour 100~unités en ordonnée). \item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Tracer $\mathcal{T}$ dans le même repère que $\mathcal{C}$. \item Les dernières lignes des tableaux 1 et 2 vous paraissent-elles cohérentes ? \end{enumerate} \item La quantité d'énergie solaire E, exprimée en Wh, reçue au cours de la journée, est donnée par : \[\text{E} = 2\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t = \np{1712}\int_{0}^6 \left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right)\:\text{d}t.\] Calculer la valeur exacte de E puis fournir la valeur arrondie à l'unité. \item On s'intéresse maintenant à l'énergie solaire reçue sur une année. Un logiciel de météorologie fournit une énergie solaire annuelle égale à \np{1206}~kWh, toujours pour une surface de 1~m$^2$. \begin{enumerate} \item Vérifier que cette valeur correspond environ à 161 journées telles que celle étudiée aux questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}. \item On suppose qu'un dispositif de production d'énergie électrique reçoit l'énergie solaire sur une surface de 1~km$^2$ et qu'il convertit 20\,\% de cette énergie en électricité. Combien d'habitants auraient leur consommation électrique domestique fournie par ce dispositif, sachant qu'un habitant consomme en moyenne 700~kWh/an d'énergie électrique domestique (hors chauffage) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE RELATIVE AU PROBLÈME} \medskip (à rendre avec la copie) \vspace{3cm} \begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{13}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline heure solaire &6 h&7 h &8 h &9 h &10 h &11 h &12 h &13 h&14 h&15 h&16 h&17 h&18 h\\ \hline inclinaison $\theta$ du soleil (en \degres) &0 &10,5 &20,7 &30 &37,7 &43 &45 &43 &37,7&30&20,7&10,5&0\\ \hline rayonnement solaire $p(\theta)$ (en W/m$^2$)& &350 & &744 & & &856 & & & & & & \\ \hline \multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\ \end{tabularx} \vspace{3cm} \hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline heure solaire &6 h&7 h &8 h&9 h &10 h &11 h &12 h\\ \hline temps $t$ (en heures) &0 & 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline rayonnement solaire $f(t)$ (en W/m$^2$) & & & &715 & & &833\\ \hline \multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\ \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole génie civil septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie génie civil nov. 2008 \hypertarget{Caledocivil}{} \label{Caledocivil} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie novembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie Mécanique - Génie Énergétique - Génie Civil}} \end{center} \emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm. On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : \[P(z) = 4z^4 - 7z^3 + 11z^2 + 10z -12.\] \medskip \begin{enumerate} \item Résolution de l'équation $P(z) = 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer les deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout nombre complexe $z$ : \[P(z) = \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right).\] \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$. \end{enumerate} \item On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} $a = -1$,& $b = 1+\text{i}\sqrt{3}$,& $c = 1-\text{i}\sqrt{3}$,& $d = \dfrac{3}{4}$.\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $b$ et $c$. \item Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv. \item Démontrer que les points A, B et C sont situés sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre D dont on précisera le rayon $r$. Construire ce cercle. \item Déterminer les affixes $e$ et $f$ des deux points E et F situés sur $\mathcal{C}$ et tels que les triangles ABE et ABF soient rectangles, respectivement en B et en A. Placer les points E et F sur le cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \medskip À l'instant $t = 0$, une bille est lâchée à la surface d'une colonne de liquide. On note $v(t)$ la vitesse instantanée de cette bille, exprimée en $m.s^{-1}$, à un instant $t$ donné. On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et qu'elle est solution de l'équation différentielle \[(\text{E})\:\::\quad y' + 140y = 5,88.\] \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (H)~~: $\quad z' + 140z = 0$, où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[,$ $y(t) = z(t) + 0,042$, où la fonction $z$ est une solution de l'équation différentielle (H). \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $y$ est une solution de l'équation différentielle (E). \item Parmi les fonctions $y$ précédentes, démontrer que celle, notée $v,$ qui s'annule pour $t = 0$, est définie par : $v(t) = 0,042\left(1 - \text{e}^{- 140t}\right)$. \end{enumerate} \item Deux utilisations de l'expression trouvée de $v(t)$. \begin{enumerate} \item Démontrer, en étudiant la limite de $v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, que la vitesse de la bille admet une valeur limite notée $\ell$ dont on donnera la valeur numérique. \item À quel instant $t$ la bille atteint-elle 95\,\% de sa vitesse limite ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Oij. (L'unité graphique est 4~cm.) Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x +1}{\text{e}^x + x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$. \medskip \textbf{I - Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[g(x) = \text{e}^x(x - 2) - 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. \item Étude des variations de $g$ \begin{enumerate} \item Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \item Résolution de l'équation $g(x) = 0$ \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, appartenant à l'intervalle [1~;~3]. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. \end{enumerate} \item Déterminer le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{II - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Étude de la limite en $+ \infty$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \[f(x) = \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}.\] \item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement cette limite. \end{enumerate} \item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Étude des variations de $f$ \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}$ où $g$ est la fonction définie en 1. \item Déduire de la question I. 4., le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} \medskip \textbf{III - Calcul d'aire} \medskip On note $\mathcal{B}$ l'aire, exprimée en cm$^2$ du domaine limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer sur le graphique le domaine $\mathcal{B}$. \item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{B}$, puis une valeur approchée arrondie au mm$^2$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie génie civil nov. 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane Génie électronique juin 2008 \hypertarget{Antilleselectro}{} \label{Antilleselectro} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2008~\decofourright\\[5pt] Génie électronique, électrotechnique et optique}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Cet exercice est un vrai/faux} : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. \medskip À chaque bonne réponse est attribuée $0,5$ point. Toute réponse incorrecte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à l'exercice sera $0$. \medskip \textbf{Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres \og vrai \fg{} ou \og faux \fg. On ne demande aucune justification.} Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le polynôme $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x) = (x - 1)(x - 3)(2x + 3)$. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{a.} L'équation $P(x) = 0$ admet dans $\R$ trois solutions qui sont 1, 3 et $- \dfrac{3}{2}$.\\ \hline \textbf{b.} Pour tout réel $x,~P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 6x$.\\ \hline \textbf{c.} L'équation $\left(\text{e}^x - 1 \right)\left(\text{e}^x - 3 \right)\left(2\text{e}^x + 3 \right) = 0$ admet trois solutions dans $\R$.\\ \hline \end{tabularx} \item Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ On considère les nombres $z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{2} = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{a.} Les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ sont solutions dans $\C$ de l'équation $z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0$.\\ \hline \textbf{b.} Un argument de $z_{2}$ est $- \dfrac{3\pi}{4}$.\\ \hline \textbf{c.} Le module de $z_{1}$ est $\sqrt{2}.$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit l'équation différentielle (E) : $4y'' + 49y = 0$ dans laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ sa dérivée seconde. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{a.} La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = A\cos \dfrac{7x}{2}+ B \sin \dfrac{7x}{2}$, où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles, est solution de (E).\\ \hline \textbf{b.} La fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x) = 3 \cos \left(\dfrac{7x}{2} - \dfrac{3\pi}{4} \right)$ est solution de (E).\\ \hline \textbf{c.} La fonction $k$ définie pour tout réel $x$ par $k(x) = - \sqrt{2}\cos \dfrac{7x}{2} - \sqrt{2}\sin \dfrac{7x}{2}$ est la solution de (E) qui vérifie $k(0) = \sqrt{2}$ et $k'(0) = 0$.\\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} Une boîte contient 140~tiges métalliques de forme cylindrique, de dimensions variées, issues de la production d'un atelier. Le tableau suivant donne leur répartition suivant leur longueur $\ell$ et leur diamètre $d$, exprimée en millimètres. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \diagbox{$\ell$}{$d$}&15,8& 16& 16,1& 16,3 \\ \hline 84 &5 &9 &6 &0\\ \hline 85 &15 &19 &21 &4\\ \hline 86 &12 &6 &12 &7\\ \hline 87 &6 &7 &6 &5\\ \hline \end{tabularx} \medskip Par exemple il y a 12 tiges métalliques de longueur 86 mm et de diamètre 16,1 mm. On tire au hasard une tige de la boîte, les tirages étant équiprobables. Dans tout l'exercice, les probabilités seront données sous forme de fraction. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités respectives $p_{1},~p_{2}$ et $p_{3}$ des évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og obtenir une tige de longueur 86 mm et de diamètre 16 mm \fg{} ; \item \og obtenir une tige de longueur 85 mm \fg{} ; \item \og obtenir une tige de longueur inférieure ou égale à 86 mm \fg. \end{enumerate} \item Selon les normes imposées par la production, une tige métallique est conforme lorsque sa longueur $\ell$ et son diamètre $d$ exprimés en millimètres, vérifient : \[84,5 \leqslant \ell \leqslant 85,5 \quad \text{et} \quad 15,9 \leqslant d \leqslant 16,2\] Calculer la probabilité de l'évènement : \og obtenir une tige conforme \fg. \item Soit $X$ la variable aléatoire qui à chacun des tirages possibles, associe la longueur en millimètres de la tige obtenue. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement \og $X = 84$ \fg. \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer la probabilité de l' évènement \og $X \geqslant 85$ \fg. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. En donner un arrondi au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par \[f(x) = \left( ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x,~\text{où}~~a,~b ~\text{et} ~c~\text{désignent trois nombres réels tels que :}\] \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] le point A de coordonnées $(0~;~-1)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ ; \item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}$ admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses ; \item[$\bullet~$] $f(1) = 2\text{e}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $c = -1$. \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item En remplaçant $c$ par sa valeur, donner pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et de $b$. \item Calculer $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} On admet que pour tout réel $x,~ f(x) = \left (2x^2 + x - 1\right)\text{e}^x$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on rappelle que, pour tout entier naturel $n,~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0$). Interpréter graphiquement ce résultat \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f'(x) = x(2x + 5)\text{e}^x$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du réel $x$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane Génie électronique juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion Génie électronique juin 2008 \hypertarget{LaReunionelectro}{} \label{LaReunionelectro} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{DuréŽe : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2008~ \decofourright\\[5pt]GéŽnie électronique, Žélectrotechnique, optique}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : \[z^2 - 4z\sqrt{3} +16 = 0.\] \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}\quad z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}~~\text{et}~~ z_{\text{C}} =4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}.\] \begin{enumerate} \item Donner la forme algébrique du nombre complexe $z_{\text{C}}$. \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \item En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle de centre O dont on précisera le rayon. \item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. \item Démontrer que le triangle ABC est un triangle isocèle. \end{enumerate} \item On considère la rotation $r$ de centre O qui transforme A en B. \begin{enumerate} \item Vérifier que $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}= \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. En déduire l'angle $\theta$ de la rotation $r$. \item Préciser alors la nature du triangle OAB. \item Établir que le point C est l'image du point B par la rotation $r$. \item Préciser la nature du quadrilatère OABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} Un hôtel de vacances propose deux types de bungalow (bungalow avec kitchenette ou bungalow sans kitchenette) à louer à la semaine. Pour les clients qui le souhaitent, l'hôtel propose deux formules de restauration au choix : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Formule A : petit déjeuner seul, \item[$\bullet~$] Formule B : petit déjeuner et diner. \end{itemize} \medskip Pour chaque semaine de location, chaque client décide s'il prend une formule de restauration et si oui, choisit entre les formules A et B. Le gestionnaire de l'hôtel a constaté que sur $100$~clients \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 44 clients ne prennent aucune formule de restauration. \item[$\bullet~$] 60 clients optent pour un bungalow avec kitchenette et parmi ceux-ci, 10\,\% choisissent la formule B et 20\,\% la formule A. \item[$\bullet~$] 35\,\% des clients ayant choisi un bungalow sans kitchenette prennent la formule A. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline Nombre de clients ayant choisi :& Bungalow avec kitchenette&Bungalow sans kitchenette& Total\\ \hline Formule A & & &\\ \hline Formule B &6 & &\\ \hline Aucune formule de restauration& & 2&\\ \hline Total & & & 100\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On interroge un client au hasard, au sujet de ses choix, \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $E$ : \og Le client a choisi la formule B \fg. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $F$ : \og Le client a loué un bungalow sans kitchenette \fg. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $G$ : \og Le client a loué un bungalow sans kitchenette ou a choisi la formule B \fg. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $H$ : \og Le client a choisi une formule de restauration \fg. \end{enumerate} \item La location d'un bungalow sans kitchenette à la semaine coûte 415 ? et celle d'un bungalow avec kitchenette 520~\euro. La formule A coûte 49~\euro{} à la semaine. La formule B coûte 154~\euro{} à la semaine. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chacun des 6 choix possibles, associe le coût correspondant pour une semaine. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? \item Démontrer que la probabilité de l'évènement \og $X$ prend la valeur 520 \fg{} est égale à $0,42$. \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. \item Pour la prochaine saison, le gérant de l'hôtel pense qu'il louera dans les mêmes conditions $16$~bungalows pendant $20$~semaines. Quelle recette peut-il alors espérer ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. La représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels ainsi qu'une droite $\mathcal{T}$ sont tracées dans le repère \Oij{} du plan sur la feuille figurant en annexe. \begin{itemize} \item[$\bullet~$] La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(-1 ~;~ 2)$ et (0 ; 4). \item[$\bullet~$] La droite parallèle à l'axe des abscisses, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A : étude graphique et détermination d'une fonction} \medskip \begin{enumerate} \item Donner, les valeurs des nombres réels $f(0)$ et $f(-1)$. \item Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en exactement deux points A$_{0}$ et A$_{1}$ d'abscisses respectives $x_{0}$ et $x_{1}$ avec $x_{0} < x_{1}$, préciser à l'aide du graphique le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$. \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement $f'(0)$. \item Déterminer par lecture graphique le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle $[-1 ~;~ 2]$. \end{enumerate} \item On admet qu'il existe deux constantes réelles $a$ et $b$ telles que, pour tout nombre réel $x$, on ait : \[f(x) = (x + a)\text{e}^{-x} + bx^2 + 3.\] En utilisant les résultats trouvés à la question 1, déterminer les nombres réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath sans utilisation du graphique} On admet maintenant que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : \[f(x) = (x+1)\text{e}^{-x} - x^2 + 3.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. \item En remarquant que $f(x) = x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x} - x^2 + 3$, déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = -x\left(\text{e}^{-x} + 2\right)$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du réel $x$ et dresser le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x)= 0$ admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; 2].\\ Cette solution est l'abscisse $x_{1}$ du point A$_{1}$ définie dans la partie A question 2. \item Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ du nombre réel $x_{1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère les fonctions $g$ et $G$ définies sur $\R$ par \[g(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}\quad \text{et} \quad G(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x}.\] Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $\R$. \item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{P}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 1$. On appelle $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie $\mathcal{P}$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe} \bigskip \psset{unit=1.8cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-3)(3,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-3)(3,8) \psline(-2,4)(3,4)\uput[ur](2,4){$\mathcal{T}$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-1.643}{2.51}{x 1 add 2.71828 x exp div 3 add x x mul sub} \uput[ul](-1.3,0){A$_{0}$}\uput[ur](1.85,0){A$_{1}$}\uput[r](2.2,-1.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion Génie électronique juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie électronique juin 2008 \hypertarget{Metroelectro}{} \label{Metroelectro} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{23 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STI Métropole 23 juin 2008~\decofourright\\[5pt] génie électrotechnique, optique}} \vspace{0,5cm} Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu'il aura développée. Deux feuilles de papier millimétré seront distribuées en même temps que le sujet. \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : \[z^2 + 6z\sqrt{3} + 36 = 0.\] \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $z_{\text{A}} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}$&$z_{\text{B}} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}$ & et $z_{\text{C}}= -6\sqrt{3}$.\\ \end{tabularx} \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. \item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $- \pi$ et $\pi$. \item Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère \Ouv. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item En déduire que le quadrilatère OACB est un losange. \end{enumerate} \item On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O. On note $z_{\text{K}}$ l'affixe du point K. \begin{enumerate} \item Construire le point K sur la figure. \item Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ? \item Écrire alors $z_{\text{K}}$, sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ (où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un réel compris entre $-\pi$ et $\pi$) puis sous forme algébrique. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} On considère l'équation différentielle : \[(\text{E}) : \quad y'' + 25y = 0\] où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation (E). \item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, dont on note $f'$ la fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $f$ est solution de l'équation différentielle (E) ; \item[$\bullet~$] la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{6}~;~-2\right)$ ; \item[$\bullet~$] $f'(0) = - 5$. \end{itemize} Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) =\sqrt{3}\cos 5x - \sin 5x$. \item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = 2 \cos \left(5x + \dfrac{\pi}{6}\right)$. \item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle sur $\left[0~  ;~\dfrac{\pi}{6}\right]$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points} Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée. On s'intéresse dans ce problème à la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = \dfrac{3}{\text{e}^{3x} + 1}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. \medskip \textbf{Partie A : étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera. \item Déterminer le signe de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ ; qu'en déduit-on sur la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote ? \end{enumerate} \item On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 3$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite $\mathcal{D}$ comme asymptote. \item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = 3 - \dfrac{3\text{e}^{3x}}{\text{e}^{3x} + 1}$. \item En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f' (x) = \dfrac{- 9\text{e}^{3x}}{\left(\text{e}^{3x} + 1\right)^2}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$, puis dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ au point d'abscisse $0$. \item Dans le plan muni du repère \Oij{} tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ainsi que la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Calcul de l'aire d'une partie du plan} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = \dfrac{3\text{e}^{3x}}{\text{e}^{3x} + 1}.\] Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$. (On pourra remarquer que la fonction $g$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ où $u$ est une fonction que l'on précisera). \item En utilisant la question 2. c. de la partie A, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Soit $a$ un réel strictement positif. On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = a$. \begin{enumerate} \item Exprimer $\mathcal{A}(a)$ à l'aide d'une intégrale. \item Établir que $\mathcal{A}(a) = 3a - \ln \left(\text{e}^{3a} + 1\right) + \ln 2$. \item En remarquant que $3a = \ln \left(\text{e}^{3a}\right)$, écrire $\mathcal{A}(a)$ sous la forme du logarithme népérien d'un quotient ; déterminer alors la limite de $\mathcal{A}(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$. \emph{Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie électronique juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie Génie électronique juin 2008 \hypertarget{Polynesieelectro}{} \label{Polynesieelectro} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{ juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie Žélectronique Polynésie~\decofourright\\[5pt]juin 2008}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ \[z^2 + 2z + 2 = 0.\] \item Soient A et C deux points du plan complexe, d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \right)\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le module de $z_{\text{A}}$ et le module de $z_{\text{C}}$. \item Donner un argument de $z_{\text{A}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On pose $Z = \dfrac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}$. Démontrer que $Z = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. \item Démontrer que $Z = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item En déduire que le point C est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ (en radian). \end{enumerate} \item Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente. Décrire la construction. \emph{Toute rédaction, même partielle, sera prise en compte dans l'évaluation.} \item Soit B l'image du point O par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$. Construire le point B et démontrer que OCAB est un losange. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} Un professeur d'une classe de terminale S. T. I. donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question : l'une juste et l'autre fausse. \medskip On désigne par J une réponse juste et par F une réponse fausse. On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. À chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J, F, F). \medskip \textbf{I} Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ? \medskip \textbf{II} On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobrabilité des résultats. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité de l'évènement $A$ \og le résultat contient exactement une réponse juste \fg{} est égale à $\dfrac{3}{8}.$ \item Déterminer la probabilité de l'évènement $B$ \og le résultat contient au moins une réponse juste. \fg{} \item Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 point pour une réponse fausse. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$. \end{enumerate} \item Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une réponse fausse. Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est $0$. \medskip On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. Calculer l'espérance mathématique E($Y$) de $Y$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{PARTIE A - Étude de la représentation graphique d'une fonction}\boldmath $f$ \unboldmath On donne sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. Le plan est muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $1,5$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\ln 2$. La droite d'équation $y = 6$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $-\infty$. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente de coefficient directeur $-2$ au point A(0 ; 3). Par lecture graphique et en utilisant les informations ci-dessus, répondre aux questions suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs $f(\ln 2)$ et $f(0)$ ? \item Déterminer, en le justifiant, $f'(\ln 2)$ et $f'(0)$. \item Quelle est la limite de $f$ en $-\infty$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \emph{On admettra maintenant que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par} \[f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6\] \emph{et on se propose dans cette partie de retrouver par le calcul les résultats obtenus graphiquement dans la partie A.} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $x : f(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)^2 + 2$. \item Calculer $f(\ln 2)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty.$ \item Quelle propriété de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, présentée dans la partie A est ainsi confirmée ? \end{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en utilisant l'expression de $f(x)$ donnée en \textbf{B. 1}. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que pour tout nombre réel $x$, \[f'(x) = 2\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 2\right).\] \item Résoudre sur $\R$ l'équation $f'(x) = 0$. \item Résoudre sur $\R$ l'inéquation $f'(x) > 0$. \end{enumerate} \item En déduire sur $\R$ le tableau de signes de $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Indiquer la valeur exacte de $f(\ln 2)$ et les limites trouvées en \textbf{B. 3. a.} et \textbf{B. 4.} \item Montrer que l'équation $f(x) = 7$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. Donner, en le justifiant, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE C Calcul d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : \[F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6x\] est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. \item Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{1cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-5,0)(4,8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,0)(4,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,0)(4,8) \psline[linestyle=dashed](0.69,0)(0.69,2) \uput[d](0.69,-0.07){$\ln 2$} \uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,8){$y$} \uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[r](1.5,7.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.493}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 6 add} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie Génie électronique juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane génie électronique septembre 2008 \hypertarget{Antilleselectrosept}{} \label{Antilleselectrosept} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un vrai/faux} : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. \medskip À chaque bonne réponse est attribuée $0,5$ point. Toute réponse incorrecte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à l'exercice sera~$0$. \medskip \textbf{Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres \og vrai \fg ou \og faux \fg. On ne demande aucune justification.} Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le polynôme $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x) = (x - 1)(x - 3)(2x + 3)$. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{a.} L'équation $P(x) = 0$ admet dans $\R$ trois solutions qui sont 1, 3 et $- \dfrac{3}{2}$.\\ \hline \textbf{b.} Pour tout réel $x,~P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 6x$.\\ \hline \textbf{c.} L'équation $\left(\text{e}^x - 1 \right)\left(\text{e}^x - 3 \right)\left(2\text{e}^x + 3 \right) = 0$ admet trois solutions dans $\R$.\\ \hline \end{tabularx} \item Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ On considère les nombres $z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{2} = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{a.} Les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ sont solutions dans $\C$ de l'équation $z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0$.\\ \hline \textbf{b.} Un argument de $z_{2}$ est $- \dfrac{3\pi}{4}$.\\ \hline \textbf{c.} Le module de $z_{1}$ est $\sqrt{2}.$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit l'équation différentielle (E) : $4y'' + 49y = 0$ dans laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ sa dérivée seconde. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{a.} La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = A\cos \dfrac{7x}{2}+ B \sin \dfrac{7x}{2}$, où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles, est solution de (E).\\ \hline \textbf{b.} La fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x) = 3 \cos \left(\dfrac{7x}{2} - \dfrac{3\pi}{4} \right)$ est solution de (E).\\ \hline \textbf{c.} La fonction $k$ définie pour tout réel $x$ par $k(x) = - \sqrt{2}\cos \dfrac{7x}{2} - \sqrt{2}\sin \dfrac{7x}{2}$ est la solution de (E) qui vérifie $k(0) = \sqrt{2}$ et $k'(0) = 0$.\\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} Une boîte contient 140~tiges métalliques de forme cylindrique, de dimensions variées, issues de la production d'un atelier. Le tableau suivant donne leur répartition suivant leur longueur $\ell$ et leur diamètre $d$, exprimée en millimètres. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \diagbox{$\ell$}{$d$}&15,8& 16& 16,1& 16,3 \\ \hline 84 &5 &9 &6 &0\\ \hline 85 &15 &19 &21 &4\\ \hline 86 &12 &6 &12 &7\\ \hline 87 &6 &7 &6 &5\\ \hline \end{tabularx} \medskip Par exemple il y a 12 tiges métalliques de longueur 86 mm et de diamètre 16,1 mm. On tire au hasard une tige de la boîte, les tirages étant équiprobables. Dans tout l'exercice, les probabilités seront données sous forme de fraction. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités respectives $p_{1},~p_{2}$ et $p_{3}$ des évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og obtenir une tige de longueur 86 mm et de diamètre 16 mm \fg{} ; \item \og obtenir une tige de longueur 85 mm \fg{} ; \item \og obtenir une tige de longueur inférieure ou égale à 86 mm \fg. \end{enumerate} \item Selon les normes imposées par la production, une tige métallique est conforme lorsque sa longueur $\ell$ et son diamètre $d$ exprimés en millimètres, vérifient : \[84,5 \leqslant \ell \leqslant 85,5 \quad \text{et} \quad 15,9 \leqslant d \leqslant 16,2\] Calculer la probabilité de l'évènement : \og obtenir une tige conforme \fg. \item Soit $X$ la variable aléatoire qui à chacun des tirages possibles, associe la longueur en millimètres de la tige obtenue. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de l'évènement \og $X = 84$ \fg. \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer la probabilité de l'évènement \og $X \geqslant 85$ \fg. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. En donner un arrondi au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par \[f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x,~\text{où}~~a,~b ~\text{et} ~c~\text{désignent trois nombres réels tels que :}\] \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] le point A de coordonnées $(0~;~-1)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ ; \item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}$ admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses ; \item[$\bullet~$] $f(1) = 2\text{e}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $c = -1$. \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item En remplaçant $c$ par sa valeur, donner pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et de $b$. \item Calculer $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que pour tout réel $x,~ f(x) = \left (2x^2 + x - 1\right)\text{e}^x$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on rappelle que, pour tout entier naturel $n,$ $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0$). Interpréter graphiquement ce résultat \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f'(x) = x(2x + 5)\text{e}^x$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du réel $x$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane génie électronique septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole génie électronique septembre 2008 \hypertarget{Metroelectrosept}{} \label{Metroelectrosept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : \[z^2 - 4z + 8 = 0.\] \item On considère les points A, B et C du plan d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = 4.\] Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv. \item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. \item \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ un réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. \item Montrer que le point B est l'image du point A par une rotation de centre O et d'angle que l'on précisera. \end{enumerate} \item Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle. \item Déterminer la nature du quadrilatère OACB. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une entreprise fabriquant des ordinateurs les vend en ligne sur internet. Ces appareils sont tous garantis un an gratuitement. Le fabricant propose en option une extension de garantie payante de deux ans, au delà de cette première année gratuite. \medskip \begin{enumerate} \item Une étude est faite sur un échantillon de \np{1000}~ordinateurs vendus par ce fabricant. Elle montre que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 10 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparations au cours de la deuxième année (on note ce cas R$_{2}$) ; \item[$\bullet~$] au cours de la troisième année, 20~ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparation (on note ce cas R$_{3}$) dont un qui avait déjà été réparé l'année précédente. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|l|X|}\hline Nombre d'ordinateurs &R$_{3}$ se produit &R$_{3}$ ne se produit pas &Total\\ \hline R$_{2}$ se produit & & & \\ \hline R$_{2}$ ne se produit pas & & & \\ \hline Total & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip On admet que la répartition précédente modélise ce qui se produit pour l'ensemble des ordinateurs vendus par ce fabricant. \item Selon les chiffres du fabricant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la deuxième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette deuxième année est 150~\euro. \item[$\bullet~$] pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la troisième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette troisième année est 200~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie par ce fabricant, associe le coût total moyen des réparations, pour l'acheteur, au terme des trois premières années. Ce coût est exprimé en euros. Les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont donc 0, 150, 200, 350. \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité de l'évènement $(X = 0)$ est égale à $0,971$. \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item Le fabricant propose l'extension de garantie payante de deux ans à un prix de 50~\euro. Que peut-on en dire ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A: Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(E)~~:\quad y'+ 5y = 5x^3 +3x^2 +5,\] où $y$ représente une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)\:\: :\quad y'+ 5y = 0$. \item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $u$, définie sur $\R$ par $u(x) = ax^3 + b$, soit solution de l'équation différentielle $(E)$. \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = k\text{e}^{-5x} + x^3 + 1$ où $k$ est un nombre réel. \begin{enumerate} \item Vérifier que $h$ est solution de l'équation $(E)$. \item Déterminer le réel $k$ tel $h(0) = - 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x) = - 3\text{e}^{-5x} + x^3 + 1.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$ et $f(1)$. \item Établir que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1]. \item Donner un encadrement d'amplitude $10^{- 2}$ du nombre réel $\alpha$. \item Déterminer selon les valeurs du réel $x$, le signe de $f(x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Courbe représentative de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 8~ cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par : $u(x) = x^3 + 1$. La représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $u$, dans le repère \Oij{} est tracée sur la feuille jointe en annexe. \begin{enumerate} \item On pose, pour tout réel $x,~ d(x) = f(x) - u(x)$. Étudier le signe de $d(x)$. \item En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la courbe $\Gamma$. \end{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième de $f(x)$. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-0,2$ &0 &0,2&0,4&0,6&0,8&1 &1,2 \\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D : Calcul d'une aire} \medskip On appelle $\mathcal{P}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer sur la feuille annexe la partie $\mathcal{P}$ du plan. \item Calculer la mesure, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $\mathcal{P}$ du plan. \emph{Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE DU PROBLÈME\\ À REMETTRE AVEC LA COPIE} \vspace{1cm} \psset{xunit=6.667cm,yunit=1.75cm} \begin{pspicture}(-0.4,-7)(1.4,4) \multido{\n=-0.4+0.2}{10}{\psline[linestyle=dotted](\n,-7)(\n,4)} \multido{\n=-7+1}{12}{\psline[linestyle=dotted](-0.4,\n)(1.4,\n)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.4,-7)(1.4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{x 3 exp 1 add } \uput[u](1.35,3.5){\blue $\Gamma$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole génie électronique septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2008 \hypertarget{Caledoelectro}{} \label{Caledoelectro} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie novembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}\end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.} \vspace{0,35cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ \[z^2 - 10z + 41 = 0.\] \item Pour tout nombre complexe $z$ on pose \[P(z) = z^3 - 7z^2 + 11z + 123.\] \begin{enumerate} \item Calculer $P(-3)$. \item Vérifier que \[P(z) = (z + 3)\left(z^2 - 10z + 41\right).\] \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ \[P(z) = 0.\] \end{enumerate} \item Soit I, A, B et C les points d'affixes respectives : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{X}} $z_{\text{I}} = 2$ & $z_{\text{A}} = -3$&$z_{\text{B}} = 5 + 4\text{i}$& $z_{\text{C}} = 5 - 4\text{i}$\\ \end{tabularx} \end{center} Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| = 5$. \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C sont dans l'ensemble $\mathcal{C}$. \item Placer les quatre points A, B, C et I dans le plan. \item Montrer que l'ensemble $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Représenter l'ensemble $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{R}$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe \[z' = z \times \text{e}^{- \frac{\pi}{4}\text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Donner les éléments caractéristiques de la transformation $\mathcal{R}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}'$, image du cercle $\mathcal{C}$ par la transformation $\mathcal{R}$. Justifier la réponse et représenter l'ensemble $\mathcal{C}'$ sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \medskip Un jeu consiste à miser d'abord $q$ euros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s'allume alors au hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s'allumer. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline R&R&R&R&R&R\\ \hline R&J&B&B&J&R\\ \hline R&B&V&V&B&R\\ \hline R&J&B&B&J&R\\ \hline R&R&R&R&R&R\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip On convient que : R désigne la couleur rouge J la couleur jaune B la couleur blanche V la couleur verte. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si une case rouge s'allume, l'organisateur du jeu ne rend rien au joueur. \item[$\bullet~$] Si une case blanche s'allume, l'organisateur du jeu rend la mise de $q$ euros au joueur. \item[$\bullet~$] Si une case jaune s'allume, l'organisateur du jeu donne 5~euros au joueur. \item[$\bullet~$] Si une case verte s'allume, l'organisateur du jeu donne 8~euros au joueur. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On considère dans cette question que $q = 1$. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain relatif du joueur, obtenu en tenant compte de la mise initiale. \begin{enumerate} \item Justifier que les valeurs prises par $X$ sont $\{-1~; ~0~;~ 4~;~ 7\}$. \item Montrer que la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 est : \[P(X = 4) = \dfrac{2}{15}\] \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ à l'aide d'un tableau. \end{enumerate} \item On considère dans cette question que $q$ est un nombre positif quelconque. Quelle devrait être la mise $q$ pour que le jeu soit équitable ? \emph{Toute justification ou toute explication, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie I : étude d'une fonction auxiliaire} Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = 1- \ln x + 2x^2.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que \[g'(x) = \dfrac{ (2x + 1)(2x - 1)}{x}.\] \item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Calculer $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$. Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ (sans les limites). \item En déduire que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~ g(x)$ est strictement positif. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 2x - 3.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées). \medskip \begin{enumerate} \item Étudier la limite de $f$ en $0$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera. \item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$. \item Montrer que pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \item Soit A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse e et B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs arrondies au centième des coordonnées des points A et B. \item En déduire que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[\sqrt{\text{e}}~;~ \text{e}]$. \end{enumerate} \item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. Placer les points A et B. \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'au point A, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente parallèle à la droite $\Delta$. \item Le point A est-il le seul point de la courbe $\mathcal{C}$ admettant une tangente parallèle à la droite $\Delta$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie III calcul d'aire} \begin{enumerate} \item Soit K la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[K(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\] On note $K'$ la fonction dérivée de la fonction $K$. Calculer $K'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif. \item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Soit $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \sqrt{\text{e}}$ et $x = \text{e}$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire. \item Donner une valeur approchée au mm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}$. \item Retrouver une valeur approximative de ce résultat en calculant l'aire en mm$^2 $ d'un trapèze à préciser. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie des matériaux juin 2008 \hypertarget{Metromateriaux}{} \label{Metromateriaux} \lhead{\small Génie des matériaux} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{18 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 18 juin 2008 Métropole~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }} \vspace{0.5cm} Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. \medskip On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~~ z_{\text{B}} = 2~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{A}}}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$, de $z_{\text{B}}$ et de $z_{\text{C}}$. \item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv{} (on laissera apparents les traits de construction). \item Montrer que A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \item Soit $z_{\text{D}}$ le nombre complexe : $z_{\text{D}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}.$ \begin{enumerate} \item Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}}$ sur le graphique précédent. \item Calculer $z_{\text{D}} - z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}} - z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. En déduire que ABCD est un trapèze. \item Calculer les distances AB et CD. Que peut-on en conclure pour le trapèze ABCD ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Onze chansons différentes sont enregistrées sur un CD. La durée de chacune d'elles étant inscrite sur la pochette du CD, on a le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Numéro de la chanson & 1 & 2& 3& 4&5 & 6 & 7& 8& 9& 10 &11\\ \hline Durée en secondes &200 &185 &150&200&185 &215 &230 &215&200&230 &300\\ \hline \end{tabularx} \medskip Un lecteur de CD sélectionne \emph{au hasard} une des onze chansons et une seule ; toutes les chansons ont la même probabilité d'être sélectionnées. \emph{ Les résultats seront donnés sous forme de fractions.} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la chanson \no 7 soit sélectionnée ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $A$ : \og la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes \fg. \item Déterminer la probabilité de l'évènement $B$ : \og la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes \fg. \item Soit $\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$. Décrire $\overline{B}ø$ par une phrase, puis déterminer sa probabilité. \end{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes \begin{enumerate} \item Déterminer les différentes valeurs prises par $X$. \item Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A - Exploitation d'un graphique} On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\R$, dont la représentation graphique $\mathcal{C}_{g}$ est donnée sur la figure en annexe. On précise que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse $0$ et admet en ce point comme tangente la droite $d$ tracée sur la figure en annexe. Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item En prenant appui sur la représentation graphique donnée en annexe : \begin{enumerate} \item Indiquer à quel entier est égal $g(0)$. \item Expliquer pourquoi $g'(0) = 2$. \item Préciser sur quel intervalle la fonction $g$ semble être positive. \end{enumerate} \item On admet maintenant que $g(x) = ax + b + \text{e}^x$ où $a$ et $b$ sont des réels que l'on va déterminer. \begin{enumerate} \item Déterminer $b$ en utilisant la question \textbf{1. a.}. \item Calculer $g'(x)$ en fonction de $a$ puis déterminer $a$ en utilisant la question \textbf{1. b.}. \item En déduire que pour tout réel $x$,on a : $g(x) = x- 1 + \text{e}^x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ d'expression : \[f(x) = x - 4 - x\text{e}^{-x}.\] Soit $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul, on a $f(x) = x\left(1 - \dfrac{4}{x} - \text{e}^{-x}\right)$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 4$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_{1}$. \item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{1}$- par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$, puis vérifier que : $f'(x) = g(x)\text{e}^{-x}$, où $g$ est la fonction obtenue dans la partie A (question 2. c.). \item En utilisant la question 1. c. de la partie A, déterminer le signe de $f'(x)$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item En prenant pour unité graphique 1~cm sur chaque axe, tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et l'asymptote $\Delta$ dans le plan muni du repère \Oij. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C - Calcul d'une aire} \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression : \[ h(x) = - x\text{e}^{-x}\] \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ d'expression : \[ H(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\] Montrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$. \item En déduire une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la partie B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =2$. \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée. Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ puis sa valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \psset{unit=1.333cm} \begin{pspicture}(-5,-5)(4,5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=1pt,griddots=10](0,0)(-5,-5)(4,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-5)(4,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-2.5}{2.5}{x 2 mul} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-4}{1.495}{2.71828 x exp x add 1 sub} \uput[r](2,4){$\Delta$} \uput[l](-3.5,-4.25){\blue $\mathcal{C}_{g}$}\uput[dr](0,0){O}\uput[u](3.8,0){$x$}\uput[r](0,4.8){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Génie des matériaux juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole génie des matériaux septembre 2008 \hypertarget{Metromateriauxsept}{} \label{Metromateriauxsept} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm sur chaque axe. Soit $P$ le polynôme défini par : \[P(z) = z^3 - z^2 - 2z - 12\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(3)$. Que peut-on en déduire pour le polynôme $P$ ? \item Déterminer les réels $a,{} b$ et $c$ tels que $P(z) = (z- 3)\left(az^2 + bz + c\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : \[z^2 + 2z + 4 = 0.\] \item En déduire les solutions de l'équation $P(z) = 0$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}} \quad ; \quad z_{\text{C}}= 3 - \left(3\sqrt{3}\right)\text{i} \quad ;\quad z_{\text{D}}=3\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ puis écrire $z_{\text{A}}$ sous forme trigonométrique. \item Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. \end{enumerate} \item Placer sur la feuille de papier millimétré les points A, B, C et D dans le repère \Oij. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\vect{\text{DC}} = \dfrac{3}{2}\vect{\text{AB}}$. \item En déduire la nature du quadrilatère ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Un industriel se fournit en pièces détachées chez deux fournisseurs différents : le producteur Lavigne et le producteur Olivier. Les pièces fournies ont trois niveaux de qualité différents, en fonction des utilisations prévues. Ces niveaux de qualité influent sur la durée de vie estimée des pièces selon le tableau 1 où les durées de vie estimées sont exprimées en années. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Qualité &Qualité &Qualité\\ \multicolumn{1}{c|}{}&supérieure &ordinaire &\og premier prix \fg\\ \hline Producteur Lavigne &5 &3 &2\\ \hline Producteur Olivier &3 &2 &1\\ \hline \multicolumn{4}{c}{\emph{Tableau $1$ : durées de vie estimées des pièces en années.}}\\ \end{tabularx} \medskip Un lot est constitué de \np{2000}~pièces indiscernables suivant le tableau 2 ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}&Qualité &Qualité &Qualité &Total\\ \multicolumn{1}{c|}{}&supérieure&ordinaire&\og premier prix \fg& \\ \hline Producteur Lavigne&100& & 500& 800\\ \hline Producteur Olivier& 400 & 500& & \\ \hline Total& & & &\np{2000}\\ \hline \multicolumn{5}{c}{\emph{Tableau $2$ répartition des pièces en fonction de leur origine et de leur qualité.}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau 2. \item Montrer que \np{1000}~pièces ont une durée de vie estimée de deux ans. \end{enumerate} \item On choisit une pièce au hasard, chaque pièce ayant la même probabilité d'être choisie. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de deux ans. \item On suppose que la pièce choisie provient du producteur Lavigne. Quelle est alors la probabilité que sa durée de vie estimée soit de deux ans ? \end{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui, pour chaque pièce du lot considéré, associe sa durée de vie estimée. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement \og $X = 3$ \fg. \item Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce nombre. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 4 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, d'expression : \[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right) - 1.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij. \medskip \textbf{Partie A Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. Donner une interprétation graphique du résultat. \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Vérifier que, pour tout $x$ de $\R$, on a : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f'(x)$ et établir le tableau de variations de $f$ sur $\R$. \item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ au point E d'abscisse $0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, on a : $f(x) -(x - 1) = \ln \left(1 +\text{e}^x \right) - \ln \left(\text{e}^x \right)$. En déduire que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) - (x - 1) = \ln\left(\text{e}^{-x} + 1\right)$. \item Déterminer la limite de $f(x) - (x - 1)$ en $+\infty$. Donner une interprétation graphique du résultat. \item Soit $\Delta$ la droite d'équation : $y = x - 1$. Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item En prenant comme unité graphique 2~cm sur chaque axe, construire sur une feuille de papier millimétré la droite T, la droite $\Delta$, la droite d'équation : $x = 1$, et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B Encadrement d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer sur le graphique la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x = 1$ et $x = 2$. On va déterminer un encadrement de la valeur de l'aire $\mathcal{A}$, de cette surface en unités d'aire. \item Tracer la droite D d'équation : $y = 0,8x - 0,2$. \item Par lecture graphique préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite D sur l'intervalle [1~;~2]. \item On admet que : \[\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x \leqslant \int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant \int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x$. \item En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole génie des matériaux septembre 2008 \end{document}