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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small L'intégrale 2011}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2011~\decofourright\\\vspace{1cm}L'intégrale de mars à novembre 2011}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}

\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large  

\hyperlink{Antillesappli}{Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2011} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{Metroappli}{Métropole Arts appliqués juin 2011} \dotfill  7\medskip

\hyperlink{Metroappliquessept}{Métropole arts appliqués septembre 2011} \dotfill 10 \medskip

\hyperlink{Caledocivilmars}{Nouvelle-Calédonie   Génie civil mars 2011} \dotfill 14 \medskip

\hyperlink{Antillescivil}{Antilles--Guyane Génie civil juin 2011} \dotfill 17 \medskip

\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil juin 2011} \dotfill  22\medskip

\hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil juin 2011} \dotfill  27\medskip

\hyperlink{Metrocivilsept}{Métropole  Génie civil septembre 2011} \dotfill 31 \medskip

\hyperlink{Polynesiecivilsep}{Polynésie Génie civil septembre 2011} \dotfill  36\medskip

\hyperlink{NlleCaledocivil}{Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2011} \dotfill 40 \medskip

\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles--Guyane Génie électronique juin 2011} \dotfill 44 \medskip

\hyperlink{Reunionelectro}{La Réunion Génie électronique juin 2011} \dotfill  47\medskip

\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique juin 2011} \dotfill  51\medskip

\hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique juin 2011} \dotfill  55\medskip

\hyperlink{Metroelectrosept}{Métropole Génie électronique septembre 2011} \dotfill 59 \medskip

\hyperlink{NlleCaledoelectro}{Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2011} \dotfill 63 \medskip

\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2011} \dotfill  67 \medskip

\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2011} \dotfill  69 \medskip}

\newpage
~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2010
\hypertarget{Antillesappli}{}

\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Antilles-Guyane~\decofourright\\
20 juin 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions réelles distinctes de l'équation $2x^2 + 4x = x + 1$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X}
0& 2& 1\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $R$ par $f(x) = x^2 + 3x- 2$. Une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ en son point d'abscisse $0$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X}
$y = 3x - 2$&$y = 2x+ 3$& $y = 3x.$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x + 2)$. 

Alors sa dérivée est la fonction $f'$ définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$f'(x) = \dfrac{1}{x + 2}$&$f'(x) = \dfrac{1}{x}$&$f'(x) =\dfrac{1}{x}+ 2$.\\  
\end{tabularx}
\medskip
\item  Une solution dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $\ln (x) = 4$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$\ln 4$& 4&$\text{e}^4$\\ 
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]- 4~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x + 4}$. 

Alors la limite de la fonction $f$ en $- 4$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X}
2& $-\infty$& $+ \infty$.
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse C d'équation 

$4x^2 + 9y^2 = 36$. Alors un de ses sommets a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
(0~;~3) &(3~;~0) &(2~;~0).\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item Une urne contient 2 boules rouges et 2 boules jaunes indiscernables au toucher. On en tire deux boules au hasard, l'une après l'autre, \emph{sans les remettre dans l'urne}. La probabilité d'obtenir les deux boules rouges est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$\dfrac{1}{2}$& $\dfrac{1}{6}$  & $\dfrac{1}{3}$  \\
\end{tabularx}
\medskip 
\item  Parmi les 32 employés d'une entreprise, il y a 24 hommes dont 14 ont plus de 40 ans. Parmi les femmes, 3 ont plus de 40 ans. On interroge une femme. La probabilité qu'elle ait moins de 40 ans est égale à :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$\dfrac{5}{8}$&$\dfrac{15}{32}$&$\dfrac{5}{32 }$\\
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(x) = - x^2 + 4x + 3.\]
 
On a représenté en annexe (à joindre à la copie) la courbe $\mathcal{C}_{f }$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~centimètres.
 
\begin{enumerate}
\item Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de $f$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^4 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[g(x) = \text{e}^{0,5x} - 2x+ 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (\emph{on arrondira éventuellement les résultats au centième}) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0 	&1 	&2 	&3 	&4 \\ \hline
$g(x)$	&	&	&	&	&1,39\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

Le signe de $g'(x)$ est donné dans le tableau suivant : \hspace{2cm}  \begin{pspicture}(0,-1)(5.5,1)\rput(0,-1){\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(5.5,2)\psframe(5.5,2)\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1.5,0)(1.5,2)\uput[u](0.75,1){$x$} \uput[u](1.65,1){$0$}\uput[u](3.5,1){$2\ln 4$}\uput[u](5.3,1){$4$}\rput(0.75,0.5){$g'(x)$}\rput(4.5,0.5){$+$}\rput(2.55,0.5){$-$}\rput(3.5,0.5){$0$}\end{pspicture}}\end{pspicture}
\smallskip

Justifier les renseignements indiqués dans ce tableau. 
		\item Construire le tableau des variations de la fonction $g$.
		 
On précisera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième de l'extremum. 
		\item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{f }$ (unité graphique : 2~cm). 
		\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par 
		
		\[G(x) = 2\text{e}^{0,5x} - x^2 + 2x.\]
		 
Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item On pose $J = \displaystyle\int_{0}^4 g(x)\:\text{d}x$. Vérifier que $J = 2\text{e}^{2} - 10$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer en pointillés la droite $D$ d'équation $x = 4$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. 
		\item On admet que l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$ est égale à $I - J$.
		 
Calculer cette aire en cm$^2$, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}  
\itemSoit $C$ et $C'$ les courbes symétriques de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ par rapport à la droite $D$.
 
La partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f},\,\mathcal{C}_{g},\, C$ et $C'$ représente la maquette d'un logo  publicitaire.
 
Compléter cette maquette de logo en traçant $C$ et $C'$ et calculer son aire en centimètres carrés,  arrondie à l'unité.
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à l'exercice 2 - À joindre à la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(8.25,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(8.25,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,7)
\uput[u](8.25,0){$x$}\uput[l](0,7.25){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x mul 3 add x dup mul sub}
\uput[d](2,7){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Arts appliqués juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués juin 2011
\hypertarget{Metroappli}{}

\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués~\decofourright\\Métropole--La Réunion 21 juin 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les 32 employés d'une entreprise se répartissent de la façon suivante: 18 ouvriers, 6 cadres et 8 techniciens.
 
14 employés ont plus de 40 ans. Parmi les techniciens, 3 ont plus de 40 ans.
 
On interroge au hasard un technicien. La probabilité qu'il ait moins de 40 ans est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$\dfrac{5}{8}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{5}{32}$\\ 
\end{tabularx}

\medskip 
	 		 		 
\item On interroge au hasard un employé de l'entreprise considérée à la question 1. La probabilité que ce ne soit ni un technicien, ni une personne de plus de quarante ans est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}$\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{22}{32}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{13}{32}$\\  
\end{tabularx}

\medskip  

  
\parbox{0.62\linewidth}{Dans les questions 3. et 4., on considère l'ellipse (E) représentée ci-contre dans le plan rapporté au repère 
orthonormal \Oij.} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture}(-5.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-3)(5,3)
\uput[d](5.5,0){$x$}\uput[l](0,3.5){$y$}\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}  \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psellipse(0,0)(5,3)
\end{pspicture}}
 

\item L'ellipse (E) a pour équation:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~}$25x^2 +9y^2 = 1$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$&\textbf{c.~~} $\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{3} = 1$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Un des foyers de l'ellipse (E) a pour coordonnées:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}(4~;~0)&\textbf{b.~~} (2~;~0) &\textbf{c.~~} (0~;~4) \\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Soit $S$ l'ensemble des solutions dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $\ln x = - 2$, alors: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $S = 0$&\textbf{b.~~} $S = \{- 2\}$ &\textbf{c.~~} $S = \left\{\dfrac{1}{\text{e}^2}\right\}$ \\ 
\end{tabularx}

\medskip 

\item  L'équation $0,5 \text{e}^x = 4$ a pour solution :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\ln 8$&\textbf{b.~~} $2\ln 4$ &\textbf{c.~~} $\text{e}^8$ \\  
\end{tabularx}

\medskip  

\item  Une primitive de la fonction $h :\quad  x \longmapsto x^2 + 2$ définie sur $\R$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $H(x) = 2x $&\textbf{b.~~} $\dfrac{x^3}{3} + 2x + 1$ &\textbf{c.~~} $x^3 + 2x$ \\ 
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$. Sa courbe représentative dans un repère du plan admet pour asymptote en $+ \infty$, la droite d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $x = 1$&\textbf{b.~~} $y = 0$ &\textbf{c.~~} $y = 2x + 1$ \\ 
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique 5~cm. 

On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~3] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
 
Les données sont les suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[(1)] : La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A$'$, B$'$ et D$'$ ont des coordonnées entières. 
\item[(2)] : La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item[(3)] : La droite (AB$'$) est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}
 
On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront arrondis au dixième.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1),\,f(2)$ et $f(3)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB$'$). 
		\item Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$.
	\end{enumerate}		 
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ et préciser le signe de sa dérivée $f'$. 
\item Déterminer l'aire du triangle AA$'$B$'$ en unités d'aires.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. 
Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~3] par $f(x) = x - 2 \ln x$ ($\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) satisfait au données (2) et (3) de la partie 1.

\medskip
 
On suppose désormais que la fonction $f$ représentée en annexe est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~3] par : $f(x) = x - 2\ln x$.

\medskip
 
 \item  Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~3] par : $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x -2x\ln x$. Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~3]. 
\item  On pose $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. Calculer la valeur exacte de $I$ et en donner une interprétation graphique. 
\item  Soit $(\mathcal{P})$ la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite (AB$'$) et la droite (DD$'$). 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $(\mathcal{P})$ et calculer son aire en unités d'aire. 
		\item Le domaine $(\mathcal{P})$ représente la maquette à l'échelle $\dfrac{1}{3}$ du logo d'une société. Calculer l'aire en cm$^2$ de ce logo, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à l'exercice 2 - À joindre à la copie} 

\vspace{2cm}

\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.25pt,subgridcolor=orange](-0.2,-0.2)(3.3,1.7)
\psline(1,1)(2,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0.8)(3,0.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0.6)(2,0.6)
\uput[ur](1,1){A} \uput[ur](2,0.6){B} \uput[ur](3,0.8){D} 
\uput[ul](0,0.6){E} \uput[ur](1,0){A$'$} \uput[ur](2,0){B$'$} \uput[ur](3,0){D$'$} 
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\uput[d](2.6,0.7){$(\mathcal{C})$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](3.2,0){$x$}\uput[r ](0,1.6){$y$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,1)(2,0.6)(3,0.8)(0,0.6)(1,0)(2,0)(3,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Arts appliqués juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole arts appliqués septembre 2011
\hypertarget{Metroappliquessept}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\
septembre 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 2x - 3$ et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} (2~;~0) &\textbf{b.~~} $(- 3~;~0)$ &\textbf{c.~~} (0~;~- 3).
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \dfrac{x^3}{6} + 3x^2 + x$.
 
On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Alors $g^{\prime}$ est définie sur $\R$ par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $g^{\prime}(x) = 3x^2 + 2x + 1$& \textbf{b.~~} $g^{\prime}(x) = \dfrac{3x^2}{2} +6x + 1$&\textbf{c.~~}  $g^{\prime}(x) = \dfrac{x^2}{2} + 6x + 1 $\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle I $= [ 1~;~+ \infty[$ par : $h(x) = \dfrac{7}{2x + 1}$. 

Une primitive sur I de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur I par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $H(x) = \dfrac{7x}{x^2 + x}$&\textbf{b.~~} $H(X) = \dfrac{- 14}{(2x + 1)^2}$&\textbf{c.~~}  $H(x)= \dfrac{7}{2}\ln (2x + 1) + 8$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item L'équation $\text{e}^{x + 3} = 5$ a pour solution réelle :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $\ln 2$&\textbf{b.~~} $\ln 5 - 3$&\textbf{c.~~} $\dfrac{\text{e}^5}{3}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\textbf{Dans les questions 5 et 6}, on considère la conique C d'équation cartésienne $4x^2 + 9y^2 = 36$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

 
\item La conique C est une
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} parabole& \textbf{b.~~} ellipse &\textbf{c.~~} hyperbole.
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Un des foyers de la conique est le point de coordonnées : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $\left(\sqrt{5}~;~0\right)$&\textbf{b.~~} $\left(0~;~\sqrt{5}\right)$& 
\textbf{c.~~} $\left(\sqrt{13}~;~0\right)$. \\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinéma-audio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe. La probabilité de l'évènement \og l'élève suit au moins une de ces deux  options \fg{} est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{4}{15}$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{10}{15}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{14}{15}$\\
\end{tabularx}
\medskip  
  
\item On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure. Sachant que cette somme est 6, 
la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$ &$\dfrac{1}{3}$& $\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}
\medskip  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~3] par 

\[g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + \dfrac{5}{2}\] 
 
La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0, 3]. 
\item Calculer l'intégrale $I =  \displaystyle\int_{0}^3   g(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [3~;~6] par 

\[h(x) = 3 \ln x - 3\ln 3 + 1\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le même repère que celui de la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $h^{\prime}$ la dérivée de la fonction $h$. Vérifier que : 
		
Pour tout réel $x$ de l'intervalle [3~;~6], $h^{\prime}(x) = \dfrac{3}{x}$. 
		\item Quel est le sens de variation de $h$ sur l'intervalle [3, 6] ? 
		\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse 3.
		 
On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.
	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&3&3,5&4&4,5&5&5,5&6\\ \hline
$h(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Tracer la courbe $\Gamma$ et la droite T dans le repère joint en annexe.
\item Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~6] par 

\[H (x) = 3x \ln x - (3\ln 3 + 2)x. \]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle [3~;~6]. 
		\item On appelle $J$ l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 3$ et $x = 6$. Déterminer la valeur arrondie de $J$ au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle C la réunion des courbes P et $\Gamma$.
 
Construire sur le graphique la courbe C$'$ symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses. 
\item On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par C, C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 6$. 

Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm$^2$, à $4(I + J)$. En donner la valeur arrondie à l'unité.
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe à l'exercice 2 }}

\textbf{(à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-4)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridwidth=0.3pt,subgridcolor=orange](-1.5,-4)(7,7)
\uput[u](2,0.5){P}\uput[d](7.2,0){$x$}\uput[l](0,6.7){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{3}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-1.5}{0}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{3}{5.5}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\end{pspicture*} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole arts appliqués septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie   Génie civil mars 2011
\hypertarget{Caledocivilmars}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI mars
 2011 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation 

\[(\text{E}) : \quad  z^3 - 2\left( 1 + \sqrt{3}\right)z^2 + 4\left(1 + \sqrt{3}\right)z - 8 = 0.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le nombre 2 est une solution de l'équation (E). 
		\item En déduire qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que l'on déterminera, tels que l'équation (E) soit équivalente à l'équation : 
		
$(z- 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right) = 0$. 
		\item Résoudre l'équation $z^2 + \alpha z + \beta = 0$, puis déterminer le module et un argument de chacune de ses solutions.
	\end{enumerate} 

\medskip

On désigne par A et B les points du plan complexe d'affixes respectives :

$a = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et $b = 2$.
 
On désigne par C le milieu du segment [AB], et on note $c$ l'affixe du point C.
 
\item On se propose dans cette question de déterminer la valeur exacte de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C dans le repère \Ouv{} et démontrer que le triangle OAB est isocèle. 
		\item Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{OB}}~;~\vect{\text{OC}}\right)$.
		\item Déterminer l'écriture algébrique du nombre complexe $c$.  
		\item Calculer le module de $c$ et démontrer que $|c| = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$. 
		\item Démontrer que $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$. 
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 

\[f(x) = \cos x + 2 \sin x.\]

\parbox{0.45\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-contre, dans un repère orthogonal \Oij.
 
On note $\mathcal{D}$ le domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d' équations $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$. 
 
Le but de cet exercice est de déterminer la mesure $\mathcal{V}$, exprimée 
en unité de volume, du volume engendré par la rotation de $\mathcal{D}$ 
autour de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.} \hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=3.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(1.57,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(1.57,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.04,Dy=0.1,labels=none](0,0)(1.57,2.3)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{1.57}{x 180 mul 3.14159 div cos x 180 mul 3.14159 div sin 2 mul add}
\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.57,0)(1.57,2)
\end{pspicture}
}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Calcul de deux intégrales 
 
On note $I$ et $J$ les deux intégrales : $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item En simplifiant l'écriture de $I + J$, démontrer que $I + J = \dfrac{\pi}{2}$.  
		\item Démontrer de même que $I - J = 0$. 
		\item Déduire des questions a. et b. les valeurs de $I$ et $J$. 
	\end{enumerate} 
\item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ cherché est donné par la formule: $\mathcal{V} = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^2 (x)\: \text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f^2(x) = \cos ^2 x + 2 \sin 2x + 4 \sin ^2 x$. 
		\item Déduire des questions précédentes, la valeur exacte de $\mathcal{V}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une équation différentielle}

\medskip 
On considère l'équation différentielle (E) :\quad $ y'- y = - \text{e}^x$. 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'-y = 0$. 
\item Vérifier que toute fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = - x\text{e}^x + C\text{e}^x$, où $C$ est une constante, est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item Parmi ces solutions, déterminer celle qui vérifie la condition initiale : $u(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est 2~cm.
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$  admet une asymptote horizontale et en donner une équation.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ sur $\R$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la tangente $T_{0}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec les axes du repère. 
		\item Tracer, dans le repère \Oij, la droite $T_{0}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x) = (3 - x)\text{e}^x$, est une primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Soit $\alpha$ un nombre réel strictement inférieur à 2.
 
On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$. 
		\item Déterminer la limite éventuelle de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $- \infty$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie   Génie civil mars 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Génie civil juin 2011
\hypertarget{Antillescivil}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\Antilles--Guyane 20 juin 2011}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. 

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans tout ce qui suit, on désigne par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\Z$ l'ensemble des entiers relatifs ;
\item[$\bullet~~$] $\R$ l'ensemble des nombres réels ;
\item[$\bullet~~$] $\Z$ l'ensemble des nombres complexes. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4,5 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ 
Chaque réponse juste rapporte $0,75$ point; une réponse fausse enlève $0,25 point$ ; une absence de  réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ 
Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.}

\smallskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On considère les nombres complexes $z_{1} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{2} = - \sqrt{3} + \text{i}$ d'images respectives A et B. 

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{r|}{}& Réponse a &Réponse b &Réponse c\\ \hline 
Question 1&Le module de $z_{1}$ et un argument de $z_{1}$ sont respectivement :&2 et $\dfrac{\pi}{3}$&$\sqrt{2}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$& 2 et $-\dfrac{\pi}{3}$\\ \hline 
Question 2 &La forme algébrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$  est :&$\dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3} }{- \sqrt{3} + \text{i}}$&$- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$&$- \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$\\ \hline 
Question 3 &Un argument de $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}$ est :&$- \dfrac{5\pi}{6}$&$\dfrac{5\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{2}$\\ \hline 
Question 4 &L'ensemble des points $M$ du plan, d'affixe $z$, tels que $\left|z - z_{1}\right| = 2$   est :&La droite (AB) &Un cercle de centre A &Une demi-droite d'origine A \\ \hline
Question 5&L'ensemble des points $M$ du plan, d'affixe $z$, tels que: arg$(z) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\, k \in \Z$ est :& Une droite & Un cercle de centre O&Une demi-droite privée de son origine.\\ \hline 
Question 6 & On considère dans $\C$ l'équation d'inconnue $z$ :  $z^2 -4z + 7 = 0$& 
L'équation n'a pas de solution &Les solutions sont $2 - \sqrt{3}$ et $2 + \sqrt{3}$&  
Les solutions sont $2 - \text{i}\sqrt{3}$ et $2 + \text{i}\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points}

\medskip 
 
On désigne par (E) l'équation différentielle : 

\[y "+ y = 0\]

 où $y$ est une fonction inconnue deux fois dérivable sur $\R$.
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la solution $f$ de (E) vérifiant les conditions $f(0) = \dfrac{1}{2}$ et $f'\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 0$. 
\item Vérifier que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \cos \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$. 

\emph{On rappelle que pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :} 

\[\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.\]
 
\item  On considère l' équation $cos \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) =  0$ d' inconnue réelle $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre cette équation dans $\R$. 
		\item Préciser les solutions appartenant à l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$. 
		\item Placer sur le cercle trigonométrique les points dont les affixes ont pour argument une  solution de cette équation. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x + ax + b \text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
 
Dans le plan muni d'un repère \Oij, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$, et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\smallskip

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner $f(0)$ et $f'(0)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $f(0)$ en fonction de $b$. 
		\item En déduire la valeur de $b$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$. 
		\item Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$ et $b$. 
		\item En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$, puis en déduire l'expression de $f(x)$. 
		\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip

\psset{unit=1.5cm}

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-0.5)(3.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,-0.5)(3.5,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1.26}{2.38}{2.71828 x exp x sub 2 2.71828 x exp div add}\uput[r](2,5){$\mathcal{C}$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{1.75}{3 2 x mul sub}\uput[l](-1,5){$\mathcal{T}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Questions préliminaires: 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation d'inconnue $x$ :
		 
\[\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = 0.\]
 
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x}$.

\smallskip

	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ non nul, on a : $f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 1 + \dfrac{2}{x\text{e}^x}\right)$.  
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item  Calculer la valeur exacte de $f(\ln 2)$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près. 
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,\,f'(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2}{\text{e}^x}$. 
		\item Déterminer le signe de $f'$ à l'aide des questions préliminaires. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur la figure en annexe la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 4$. 
		\item Hachurer sur la figure en annexe \textbf{qui sera à rendre avec la copie}, le domaine $\mathcal{S}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. 
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{S}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.25)(2.25,4.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-0.75,-0.25)(2.25,4.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.58}{1.85}{2.71828 x exp x sub 2 2.71828 x exp div add}\uput[r](1.4,3.1){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Génie civil juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil juin 2011
\hypertarget{Metrocivil}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\Métropole 21 juin 2011}}

\vspace{0,25cm} 

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Au libre-service d'un restaurant d'entreprise, un repas est composé obligatoirement d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q),
\item un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V)
\item un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe fournie (à rendre avec la copie), compléter l'arbre des repas.
\item En déduire le nombre de repas que peut composer un employé.
\item On appelle :
\begin{description}
\item[ ] A l'évènement : \og le repas composé contient le plat de poisson \fg,
\item[ ] B l'évènement : \og le repas composé contient des fruits au dessert \fg.
\end{description}

On note $p$(A) la probabilité de l'évènement A.

Calculer $p$(A), $p$(B), $p(\text{A} \cap \text{B})$ et en déduire $p(\text{A} \cup \text{B})$.
\item  Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Entrées	& Crudités (C) : 300	& Salade composée (S) : 300	& Quiche (Q) : 400\\ \hline
Plats	&\multicolumn{2}{c|}{ Viande (V) : 900}				& Poisson (P) : 600\\ \hline
Desserts& Glace (G) : 300		& Laitage (L) : 100			& Fruits (F) : 100\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Compléter, sur l'annexe, le bilan calorique de chaque repas.
\item  On appelle $R$ la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire $R$.
		\item Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $R$.
		\item Montrer que le bilan calorique moyen d'un repas est \np{1250} kcal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point.\\
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 3\text{e}^{2x}$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère donné.

Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point de la courbe d'abscisse $0$ est :

A.~~ $y = 3x+3$

B.~~ $y = 6x+6$

C.~~ $y = 3x+6$

D.~~ $y = 6x+3$
\item  Pour tout nombre réel $a$, on définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^a  \text{e}^{2x}\:\text{d}x$. La valeur de $I$ est :

A.~~ $I = 0,5\text{e}^{2a} - 0,5$

B.~~ $I = 0,5\text{e}^{2a - 0,5}$

C.~~ $I = 0,5 - \text{e}^{2a}$

D.~~ $I = 0,5 - 0,5\text{e}^{2a}$

\item  Soit l'équation différentielle $y' + \dfrac{1}{2}y = 0$
 où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l'ensemble des nombres réels $\R$, une solution de
l'équation proposée.

A.~~ $f(x) = 40\text{e}^{0,5x}$

B.~~ $g(x) = - 10\cos (0,5x) + 12\sin (0,5x)$

C.~~ $h(x) = 120\text{e}^{- 0,5x}$

D.~~ $i(x) = - 0,5x$

\item  Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est :

A.~~ $z = 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$

B.~~ $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

C.~~ $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$

D.~~ $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

\item  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $\Omega$ d'affixe $3 - \text{i}$ et le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{2}$. Trouver parmi les points proposés un point du cercle $\mathcal{C}$.

A.~~ M d'affixe $1 - 3\text{i}$

B.~~ N d'affixe $2 + \text{i}\sqrt{3}$

C.~~ P d'affixe $2 - 2\text{i}\sqrt{3}$

D.~~ Q d'affixe $0$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Objectif :} \emph{Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] par 

\[f(x) = - x\ln x + 2x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] par : $f'(x) = - \ln x + 1.$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
 	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan (unités : 1~cm en abscisses, 1~cm en ordonnées).
	
Représenter graphiquement $\mathcal{C}$ dans ce repère.
\item On considère l'équation (E) : $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1~;~10].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).
		\item Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près, en explicitant votre méthode.
 	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$, définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~10], par
	
	\[F(x) = x^2\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
		\item Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion $S$ du plan
comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 7$.
		\item À l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion $S$.
		
Justifier la méthode utilisée.
		\item Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.
 	\end{enumerate}
\item On veut déterminer le volume $V_{s}$ du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item Méthode par calcul formel :
		
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :

		\[V_{s} = \pi\left(\dfrac{343(\ln 7)^2}{3} - \dfrac{\np{4802}\ln 7}{9} +
\dfrac{\np{1900}}{3}\right)\, \text{unités de volume.}\]
		
En déduire une valeur approchée de $V_{s}$ à $10^{-2}$ près.
		\item Méthode des trois niveaux :
		
\emph{La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.}
		
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,8.5)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.4,0.1)(6.2,0.1)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(3.3,0.8)(6.2,0.8)
\psline[linestyle=dashed](0.4,5.15)(0.4,0.1)
\psline[linestyle=dashed](6.2,5.15)(6.2,0.1)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0.8)(3.3,5.15)
\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.95}{90}{270}}}%
\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.95}{-90}{90}}}%
\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){2.9}{90}{270}}}%
\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){2.9}{-90}{90}}}%
\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{90}{270}}}%
\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{-90}{90}}}%
\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,7.1)(1,7.5)(2,7.9)(3,8.05)(4,7.95)(5,7.68)(6,7.25)(6.2,7.1)
\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,3.2)(1,2.8)(2,2.4)(3,2.25)(4,2.35)(5,2.62)(6,3.05)(6.2,3.2)
\uput[ur](0.4,5.15){A$_{0}$}\uput[ur](3.3,5.15){A$_{1}$}\uput[ur](6.2,5.15){A$_{2}$}
\uput[u](3.3,0.1){$h$} \uput[u](4.75,0.8){$\frac{h}{2}$}
\psdots(0.4,5.15)(3.3,5.15)(6.2,5.15)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=lightgray]{0.4}{6.2}{2 x mul x ln x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur $h$ est égale à

$V_{e} = \dfrac{1}{6}h\left(\text{A}_{0} + 4\text{A}_{1} +\text{A}_{2}\right)\, \text{où}\, A$_{0}$ est l'aire de la section gauche, A$_{1}$ l'aire de la section
intermédiaire et A$_{2}$ l'aire de la section droite.

Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en
annexe.

En déduire une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de $V_{e}$.
		\item On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport
$\dfrac{V_{e}}{V_{s}}$ est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%% Annexe
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\bigskip

\textbf{Exercice 1 : arbre des repas}

\vspace{2cm}

\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm,treesep=2.5cm,nodesep=4pt]{\TR{}}
{\pstree[treesep=1.4cm]{\TR{C}}
	{\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{V}}
		{\TR{G}~{\np{1500} kcal}
		\TR{L}~{\np{1300} kcal}
		\TR{F}
		}
	\TR{P}	
	}
\TR{S}
\TR{Q}
}
\vspace{3cm}

\textbf{Problème : tableau des surfaces}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Surface & Section gauche&Section intermédiaire			&Section droite\\ \hline
Rayons	&				&$f(4) = - 4\ln (4) + 8 \approx 2,45&\\ \hline
Aires	&12,57			&								&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie civil juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil juin 2011
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2011~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv. 

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : 
 
\[a = 1 + \text{i},\quad  b = a \times  2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \quad  \text{et} \,\,c = - \sqrt{3} + \text{i}\sqrt{3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a,\, b$ et $c$. 		
		\item Vérifier que $b = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$. 
		\item En  déduire que : $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)  = 	\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$. 
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle. 
		\item Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB et construire ce cercle.
			\end{enumerate} 
\item Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le point C appartient au cercle circonscrit au triangle OAB. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet $M$, qui peut coulisser sans frottement sur un plan. Le point A, où est accrochée l'autre extrémité du ressort, est fixe.
 
Après avoir été écarté de sa position d'équilibre, l'objet est lâché avec une vitesse initiale.
 
On repère l'objet par son abscisse $X$ qui est fonction du temps $t$ et qui mesure l'écart entre la position à un instant $t$ et sa position initiale.
 
On admet qu'à un instant $t$, la fonction $X$ est solution de l'équation différentielle ($E$) :
 
\[X'' + 100 X = 0.\]

\psset{unit=1cm,coilwidth=0.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(0,0.4)(10.4,2.65)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1.2)(10,1.6)
\psframe[fillstyle=vlines](1.4,1.6)(1.6,2.2)
\psframe(4.7,1.6)(7.2,2.4)
\psline(4,0.8)(4,1.5)\psline[linestyle=dashed](6.1,1)(6.1,2.2)
\psline{->}(4,1)(6.1,1)
\rput(1.6,2.8){A} \rput(6.1,2.8){M$$}\rput(6,0.7){$X(t)$}
\rput(4,0.6){Position initiale}
\pszigzag(4.7,1.8)(1.6,1.8)
\end{pspicture}
\end{center} 


\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle ($E$). 
\item Déterminer l'expression de la solution particulière $X$ de (E) qui vérifie les conditions :
 
\[X(0) = 10^{-1} \quad \text{et} \quad  X'(0) = 1.\]
 
\item  Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a : 

\[X(t) = 10^{-1}\sqrt{2}\cos \left(10t - \dfrac{\pi}{4}\right).\]

\item Vérifier que l'énergie mécanique $W$ du système, définie pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[W(t) = 10^{-1}[X'(t)]^2 + 10[X(t)]^2,\]
 
est constante. 
\item  Déterminer la valeur moyenne de la fonction $X$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{10}\right[$.

\emph{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction sur l'intervalle $[a~;~b]$ est donnée par} :
  
\[\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\] 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Sur la feuille \textbf{annexe}, on a représenté, dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0~;~1), B(1~;~1) et C$(2~;-1)$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : détermination de la fonction}\,\boldmath $f$ \unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $f(0),\, f(1)$ et $f(2)$. 
\item On suppose que pour tout nombre réel $x,\, f(x)$ s'écrit :

\[f(x) = \left(ax + bx^2\right)\text{e}^{(-x+2)} + c$, où les lettres $a,\, b$ et $c$ désignent trois nombres réels.
 
En utilisant la question 1., déterminer la valeur des nombres $a,\, b$ et $c$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction}\, \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\emph{Dans toute la suite du problème, on admettra que} : 

\[f(x) = \left(x  - x^2\right)\text{e}^{(-x + 2)} + 1.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \text{e}^{2}\left(x\text{e}^{-x}  - x^2\text{e}^{-x}\right) + 1$. 
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
 
\[f^{\prime}(x) = \left(x^2 - 3x + 1\right)\text{e}^{(-x+2)}.\]
 
\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$, puis établir le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$. 
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un unique point. On notera $\alpha$ l'abscisse de ce point. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $G$ définie sur $\R^ par :

\[ G(x) = \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^{(-x+2)}.\]

On note $G^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $G$ sur $\R$.

Établir que pour tout nombre réel $x,\, G^{\prime}(x) = \left(x - x^2\right)\text{e}^{(-x + 2)}$. 

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
 
Le résultat dont on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé en unité d'aire. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe (problème)}

\vspace{2,5cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2.5)(2.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-2.5)(2.5,2.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0.6,2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.275}{2.5}{2.71828 2 x sub exp x x dup mul sub mul 1 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole  Génie civil septembre 2011
\hypertarget{Metrocivilsept}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\Métropole 16 septembre 2011}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée pour cette épreuve.


Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On appelle C l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ vérifiant le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\sqrt{3}z_{1} + z_{2}&=&4\\ 
z_{1} - \sqrt{3}z_{2} &=&4\text{i}
\end{array}\right.\]
 
\item Soit M$_{1}$ et M$_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{2} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
 
Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique. 
\item Placer de façon précise les points M$_{1}$ et M$_{2}$ dans le repère orthonormé \Ouv{} défini précédemment. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.}) 
\item Calculer le module du nombre complexe $z_{2} - z_{1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le cercle de diamètre [M$_{1}$M$_{2}$]. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.}) 
		\item Montrer, par deux méthodes différentes, que le point O appartient au cercle de diamètre [M$_{1}$M$_{2}$]. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte.\\
 Le barème est le suivant : $1$ point pour une bonne réponse et $0$ point pour une réponse fausse ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\emph{On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
Une entreprise possède deux usines U$_{1}$ et U$_{2}$ produisant un même type de disque informatique à haute capacité. On a prélevé \np{5000} unités sortant de l'usine U$_{1}$ et \np{3000} de l'usine U$_{2}$.
 
Ces disques peuvent présenter deux types de défauts : un défaut de diamètre noté D et un défaut d'esthétique noté E.
 
La répartition des différentes configurations est donnée dans le tableau ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{}&D seul &E seul &D et E &ni D ni E &total\\ \hline 
usine U$_{1}$& 250 &150 &100 &\np{4500} &\np{5000}\\ \hline 
usine U$_{2}$& 90 &150 &30 &\np{2730} &\np{3000}\\ \hline  
total &340 &300 &130 &\np{7230} &\np{8000}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
Chaque disque ayant la même chance d'être choisi, on choisit au hasard un disque parmi les \np{8000} prélevés.
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que le disque choisi soit fabriqué par l'usine U$_{1}$ est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 1,600 &\textbf{b.~~} 0,667 &\textbf{c.~~} 0,625 &\textbf{d.~~} 0,375\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité que le disque choisi présente au moins le défaut D est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} $\dfrac{47}{800}$&\textbf{b.~~}  $\dfrac{17}{800}$&
\textbf{c.~~}  $\dfrac{800}{13}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{32}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité que le disque choisi présente le défaut D ou le défaut E est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
 \textbf{a.~~}  $\dfrac{51}{800}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{77}{800}$ &\textbf{c.~~}  $\dfrac{1}{20}$ 
&\textbf{d.~~}  $\dfrac{1}{32}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 

\item On sait que le disque choisi provient de l'usine U$_{2}$ La probabilité qu'il présente uniquement le  défaut D est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~}  $\dfrac{9}{800}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{9}{34}$&  
\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{20 }$ & \textbf{d.~~} $\dfrac{3}{100}$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\item L'entreprise décide de commercialiser les \np{8000}~disques prélevés :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les disques présentant les deux défauts sont invendables et sont détruits coûtant ainsi $0,50$~euro chacun; 
\item les disques présentant uniquement un défaut de diamètre D sont bradés au prix de $1,50$~euros chacun: 
\item ceux présentant uniquement un défaut d'esthétique E sont soldés au prix de 3~euros chacun 
\item enfin les disques sans défaut sont vendus au prix de 10~euros chacun.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sachant que le co\^ut de fabrication d'un disque est de 2~euros, on considère le bénéfice exprimé en euros réalisé par l'entreprise sur la commercialisation de l'ensemble des \np{8000}~disques.
 
L'entreprise peut espérer un bénéfice, exprimé en euros, de : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \np{73300} & \textbf{b.~~} \np{57300} & \textbf{c.~~} \np{57645} & \textbf{d.~~} \np{73645}\\
\end{tabularx}
\medskip   
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Lors d'un usinage, la partie active d'un outil, en mouvement relatif par rapport à la pièce travaillée et aux copeaux que l'on désire produire, est soumise à des sollicitations mécaniques et thermiques très importantes.
 
On usine ici des barres cylindriques (en alliage d'aluminium). Le volume $V$, exprimé en centimètres cubes, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil est modélisé par la relation : 

\[V = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002v} - \text{e}^{- 0,004v}\right) \]

où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$.

\medskip
 
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de déterminer la vitesse de coupe conduisant à une production maximale de copeaux avant la mort de l'outil.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculs préliminaires. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume, en cm$^3$, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil lorsque la vitesse de coupe est de \np{1200}~mètres par minute ; on donnera la valeur approchée arrondie au cm$^3$. 
		\item Calculer $V$ lorsque $v$ égale $0$~m.min$^{-1}$ ; pouvait-on prévoir ce résultat ? 	
	\end{enumerate}
\item Étude de fonction numérique
 
On considère la fonction numérique $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par 

\[f(x) = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002x} -  \text{e}^{-0,004x}\right).\]
 
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 		
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f^{\prime}(x) = 72\text{e}^{-0,002x}\left(2\text{e}^{-0,002x} - 1\right)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 
		
Soit $g$ la fonction numérique, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par :

\[g(x) = 2\text{e}^{-0,002x} - 1.\]

 La courbe représentative de la fonction $g$ est donnée en annexe. 
		\item Vérifier que la fonction $g$ s'annule en $500\ln (2)$. 
		\item À l'aide de la question b. et du graphique réalisé, déterminer le signe de $g(x)$ sur 
l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur cet intervalle. 
		\item Dresser alors le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~\np{1200}]. 
		\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan (unités : 1~cm pour 100 unités en abscisses et 1~cm pour \np{1000}~unités en ordonnées).
		 
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans ce repère orthogonal.
	\end{enumerate} 
\item Bilan. 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de l'étude précédente le volume maximal, en centimètres cubes, de copeaux que l'on peut obtenir lors de l'usinage d'une pièce, avant la mort de l'outil. 
		\item Donner alors une valeur approchée, arrondie au mètre par minute, de la vitesse de coupe correspondante.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 

\textbf{Partie B}

\medskip

L'objectif de cette partie est, à vitesse de coupe donnée, de déterminer le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000} cm$^3$ de copeaux. 
\begin{enumerate}
\item On considère désormais que la vitesse de coupe $v$ est de 350~mètres par minute, et que la section d'usinage $s$ est de $0,004$~centimètres carrés. 
	\begin{enumerate}
		\item Le temps d'usinage $T_{0}$ (exprimé en minutes), nécessaire pour obtenir \np{10000}~cm$^3$ de copeaux est donné par la relation : 

\[T_{0} = \dfrac{\np{10000}}{v \times 100 \times s} = \dfrac{100}{v \times s}\] 
 
où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$ et $s$ est la section d'usinage exprimée en centimètres carrés.
 
Déterminer une valeur approchée (par excès à la minute près) de ce temps d'usinage $T_{0}$. 
		\item Le temps effectif de coupe d'un outil (exprimé en minutes), est donné par la relation 

\[T_{\text{eff}} = C \times x^n\]

où $x$ désigne la vitesse de coupe exprimée en mètres par minute. 

Dans le cas d'une usure maximale possible de 0,3~millimètre, on obtient expérimentalement les valeurs suivantes : $C \approx  1,8 \times  10^7$ et $n \approx -2,25$. 

Déterminer une valeur approchée (par défaut à la minute près) de ce temps effectif de coupe d'un outil, noté $T_{\text{eff}}$ pour une vitesse de coupe de $350$~mètres par minute. 
		\item En déduire le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000}~cm$^3$ de copeaux. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte.} 

L'exposant \emph{négatif} dans la relation $T_{\text{eff}} = 1,8 \cdot 10^7 \times x^{-2,25}$ obtenue expérimentalement paraît-il conforme à l'intuition ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE : courbe représentative de} \boldmath  $g$ \unboldmath 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.009cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-50,-1)(1300,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400]{->}(0,0)(0,-1)(1300,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400](0,0)(1300,1.1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{1200}{2 2.71828 0.002 x mul exp div 1 sub}
\uput[d](1290,0){$x$} \uput[l](0,1.08){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole  Génie civil septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil septembre 2011
\hypertarget{Polynesiecivilsep}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  septembre 2011~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives 

\[a = 2\sqrt{3} - 2\text{i},\quad b = - 2 - 2 \text{i}\sqrt{3},\quad c = - 4 \quad \text{et} \quad d = 4\text{i}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a$ et $b$. 
		\item Placer les points A, B, C et D dans le plan muni du repère \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon. 
		\item Vérifier que $d - a = \sqrt{3}(c - b)$. 
		\item Calculer les distances AB et CD. 
		\item Déduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle notée $(E)$ :
 
\[y^{\prime\prime} + \dfrac{1}{9}y = 0,\]
 
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et où $y^{\prime\prime}$ désigne sa dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer l'expression de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions $f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 1$ et $f^{\prime}(3\pi) = 0$. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
 
\[g(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{1}{3}x\right).\]
 
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $g$, dans un repère orthogonal du plan. On note $K$ la partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = $\pi$. 

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(6,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(6,1.75)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6}{x 60 mul 3.141 div cos 2 0.5 exp mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.141}{x 60 mul 3.141 div cos 2 0.5 exp mul}
\psline(3.141,0)(0,0)}
\rput(1.5,0.5){$K$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout nombre réel $x,\: [g(x)]^2 = 1 + \cos \left(\dfrac{2}{3}x\right)$. 
		\item On considère le solide $S$ engendré par La rotation de la partie $K$ autour de l'axe des abscisses. Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volume $V$ du solide $S$. 

\emph{On rappelle que }: $V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} [g(x)]^2\:\text{d}x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : exploitation d'un graphique}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.
 
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
 
\[f(x) = x\text{e}^x + ax^2 + bx + c,\]
 
où $a,~b$ et $c$ désignent trois nombres réels. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
 
Cette courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0~;~2) et B$\left(-1~;~3 - \text{e}^{-1}\right)$.

Au point B, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses.
 
La parabole $\mathcal{P}$ représente la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) = - x^2 - 2x + 2.\] 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-8)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,linewidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.31}{2.31}{2 2 x mul sub x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-4.3}{1.95}{2.71828 x exp x mul x dup mul sub x 2 mul sub 2 add}
\uput[r](1.5,3.5){$\mathcal{C}$}\uput[r](1.8,-5.5){$\mathcal{P}$}
\psline{<->}(-1.8,2.632)(-0.2,2.632)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f(0)$. En déduire la valeur de $c$.
		\item Donner la valeur de $f(- 1)$. En déduire une relation entre $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f^{\prime}(- 1)$.
		\item Exprimer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $a$ et de $b$. En déduire une deuxième relation entre $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer les valeurs de $a$ et de $b$	
\end{enumerate}	
	
\medskip

\emph{Dans la suite, on admettra que pour tout nombre réel} \:$x, \: f(x)$\: \emph{s'exprime \:par :}

\[f(x) = x\text{e}^x - x^2 - 2x + 2.\]	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
			
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $x\left(\text{e}^x - x - 2\right) + 2$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer, lorsque $x$ tend vers $- \infty$, la limite de $f(x) - g(x)$. 

Interpréter graphiquement le résultat. 
		\item Étudier les positions relatives des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $x^2\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{2}{x} - 1\right) + 2$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item	 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout nombre réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\left(\text{e}^x - 2\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels l'inéquation : $\text{e}^x - 2 > 0$. 
		\item Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
		 
On donnera la valeur exacte de $f(\ln 2)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C : calcul d'aire}

\medskip
 
On considère les fonctions $H$ et $h$ définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[H(x) = (x -1)\text{e}^x\quad  \text{et}\quad  h(x) = x\text{e}^x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.
\item Calculer l'aire du domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la parabole $\mathcal{P}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 2$. Le résultat sera exprimé en unité d'aire. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2011
\hypertarget{NlleCaledocivil}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Novembre
 2011~\decofourright\\Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
 
Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes; l'équation d'inconnue $z$ (on donnera les solutions sous forme algébrique) :
 
\[(z- 2 - 2\text{i})\left(\text{i}z +\sqrt{3} - 3\text{i}\right) = 0.\]
 
\item On note A, B et C les trois points du plan complexe d'affixes respectives: 

\[a = 3 + \sqrt{3}\text{i},\quad  b=2 + 2\text{i}\quad  \text{et}\:\: c = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a$ et $b$. 
		\item Exprimer le nombre complexe $c$ sous forme algébrique. 
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv. On prendra 2~cm comme unité graphique. 
		\item Démontrer que le triangle OCA est un triangle isocèle.
	\end{enumerate} 
\item Justifier brièvement le fait que la droite (AC) est parallèle à l'axe des abscisses.

En déduire la valeur exacte de l'aire du triangle OCA. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
La droite (OB) est-elle une bissectrice du triangle OCA ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Une société commercialise des appareils de deux types A et B. Pour chaque appareil vendu le client a le choix entre deux formules de paiement: immédiat ou fractionné.
 
La société a vendu 200 appareils en 2010. La répartition des appareils vendus, selon le type et la formule de paiement, est détaillée dans le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&Type A &Type B&Total \\ \hline%
Paiement immédiat&20&30 &50\\ \hline%  
Paiement fractionné& 50 &100& 150\\ \hline% 
Total &70 &130 &200\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour fidéliser sa clientèle, la société envisage de récompenser par un chèque cadeau l'un de ses clients ayant acheté en 2010 un appareil de type A ou B. Pour cela, elle réalise un tirage aléatoire parmi les fiches des 200 appareils vendus. Le client correspondant sera récompensé. Pour cette expérience aléatoire, on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil du type A \fg{} ; 
\item $B$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil du type B \fg{} ; 
\item $I$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil avec paiement immédiat \fg{} ; 
\item $F$ l'évènement \og la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil avec paiement fractionné \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité des évènements $A$ et $I$. 
		\item Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d'un appareil du type A et à un paiement fractionné. 
		\item Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d'un appareil du type A ou à un paiement fractionné.
	\end{enumerate} 
\item La société décide de moduler le montant du chèque cadeau correspondant à la fiche tirée au sort, selon le type d'appareil et la formule de paiement. Ce montant est détaillé dans le tableau suivant.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} 
\multicolumn{1}{c|}{~}& Type A					& 	Type B\\ \hline 
Paiement immédiat	& Chèque cadeau de 100~\euro&Chèque cadeau de 60~\euro\\ \hline 
Paiement fractionné	& Chèque cadeau de 60~\euro	& Chèque cadeau de 30~\euro\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 
	Le montant du chèque cadeau, exprimé en euro, est une variable aléatoire notée $X$ prenant les trois valeurs $30, 60, 100$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $(X = 60)$ ? 
		\item Donner dans un tableau la loi de la variable aléatoire $X$ 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$
	\end{enumerate} 
\item À titre incitatif, la société est à prête à augmenter le montant du chèque cadeau uniquement dans le cas où le tirage correspond à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat. Le montant reste inchangé dans les autres cas. La société souhaite cependant que le montant moyen du chèque cadeau ne dépasse pas 55~\euro.
 
Quel est le montant maximal du chèque cadeau que peut offrir la société, pour un tirage correspondant à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat?
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{Une suspension, sur laquelle est placée une charge de masse M, est composée d'un ressort vertical et, éventuellement, d'un amortisseur (schématisés ci-contre).
 
Pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ;~+ \infty[$. on désigne par $y(t)$ l'amplitude du ressort à l'instant $t$. 

On démontre en mécanique que l'amplitude $y$ du ressort, qui est une fonction supposée deux fois dérivable~ est solution de l'équation différentielle:
 
\[(\text{E})\quad  y^{\prime\prime} + cy^{\prime} + 4y = d,\]
 
où $c$ et $d$ sont des constantes liées au système.} \hfill 
 \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4.5)
\psframe(0,0)(5,0.5)
\pszigzag[coilarm=.5cm,coilwidth=.5cm](1,0.5)(1,3.5)
\psline(1,3.5)(3.5,3.5)(3.5,0.5)
\psline(2.25,3.5)(2.25,4)
\psframe(1.5,4)(3,4.5)
\rput(2.25,4.25){M} 
\uput[l](1,2){Ressort}\uput[r](3.25,0.75){Amortisseur} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,1)(4,2.5)
\psline(3,2.5)(3,3.) \psline(4,2.5)(4,3.)
\end{pspicture} }
 
 

\begin{center} \textbf{Partie A - Système sans amortissement} \end{center}
 
On suppose, \textbf{dans cette partie uniquement}, que $c = 0$ et $d = 0$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E), qui s'écrit alors $y^{\prime\prime} + 4y = 0$. 
\item Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) vérifiant les égalités : 

\[y(0) = 1 \quad \text{et} \quad  y^{\prime}(0) =- 1.\] 

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B - Système amorti} \end{center}

On suppose maintenant, après avoir modifié les paramètres du système, que l'on a : $c = 4$ et $d = 8$. On admet qu'une solution particulière de l'équation différentielle (E) est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(t) = (At + B)\text{e}^{-2t} + 2, \]

où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles que l'on va déterminer.

 \begin{enumerate}
\item Détermination des constantes $A$ et $B$ 

On donne dans le plan muni d'un  repère orthogonal \Oij{} la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0.0+1}{6}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{4}{2 4 x mul sub 2.71828 2 x mul exp div 2 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0.5,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline{<->}(0.5,1.72933)(1.5,1.72933)\uput[u](0.5,2.6){$\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center} 

On précise que :
 
$\bullet~~$ la courbe $\Gamma$ passe par le point de coordonnées (0~;~4) ;
 
$\bullet~~$ la courbe $\Gamma$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en son point d'abscisse $1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à partir de ces renseignements la valeur de $f(0)$.
		 
En déduire la valeur de la constante $B$. 
		\item Exprimer $f^{\prime}(t)$ en fonction de $A$ et de $B$. 
		\item À partir des renseignements précédents, déterminer la valeur de $f^{\prime}(1)$.
		 
En déduire la valeur de la constante $A$.
	\end{enumerate} 
\item Étude de la fonction $f$
 
On admet désormais que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ :
 
\[f(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t} + 2.\] 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ $f(t) = -4t\text{e}^{-2t} + 2\text{e}^{-2t} + 2$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$.
		 
En déduire l'existence d'une asymptote à $\Gamma$ dont on précisera une équation. 
		\item Vérifier que la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ s'exprime, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par : $f^{\prime}(t) = 8(t -1)\text{e}^{-2t}$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Dresser le tableau de variations sur ce même intervalle. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$. 
	\end{enumerate}
\item Un calcul d'intégrale
 
Afin de mesurer les sollicitations de cet amortisseur, l'une des données à recueillir est l'amplitude moyenne du ressort sur l'intervalle [0~;~10] donnée par la relation :
 
\[\mu = \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $G(t) = 2t\text{e}^{-2t}$, est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
		
		\[g(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t}.\]
		
		\item En déduire la valeur exacte de l'amplitude moyenne $\mu$ du ressort puis la valeur approchée arrondie à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie Génie civil nov. 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Génie électronique juin 2011
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Antilles--Guyane 20 juin 2011~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Rappel : i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
Le plan est muni du repère orthonormé \Ouv{} (unité : 3 cm).

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation (E) : 

\[9z^2 - 6z + 2 = 0.\]
 
\item  	On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{z_{\text{A}}}$. 
Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{B}}$.
 
\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.

 En déduire le module et un argument de $z_{\text{B}}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv{} (\emph{faire une figure sur papier millimétré}). 
		\item Montrer que le triangle AOB est rectangle.
	\end{enumerate} 
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{8}}$ et C$'$ le point d'affixe $z_{\text{C}'}  = \dfrac{1}{z_{\text{C}}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$.
		\item Montrer que le point C$'$ est l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item  	Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i}$. 
 
Déterminer l'affixe du vecteur de la translation qui transforme D en A.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 

On dispose d'un dé en forme de tétraèdre régulier, c'est-à-dire dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. Chacune de ces faces est repérée par une lettre inscrite sur cette face (A, B, C ou D). Chacune des lettres figure sur une et une seule face.
 
Quand le dé s'immobilise après un lancer, une des faces est cachée et les trois autres sont visibles ; le résultat de ce lancer est la lettre inscrite sur la face cachée du dé.
 
Le dé est supposé parfaitement équilibré, c'est-à-dire qu'à chaque lancer les quatre résultats possibles sont équiprobables.

\smallskip
 
Un joueur lance le dé deux fois de suite. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] A$_{1}$ : \og le résultat du premier lancer est A \fg
\item[] A$_{2}$ : \og le résultat du second lancer est A \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de $\overline{\text{A}_{1}}$,  évènement contraire de A$_{1}$ ? 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement $\overline{\text{A}_{1}} \cap \text{A}_{2}$  ? 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement A$_{1} \cap \text{A}_{2}$ ? 
\item Pour faire une partie (deux lancers successifs), le joueur doit payer 2 euros.
 
Si le résultat A est obtenu aux deux lancers, le joueur reçoit 12~\euro. 

Si le résultat A est obtenu à un seul des deux lancers, le joueur reçoit 3~\euro. 

Si le résultat A n'est obtenu à aucun lancer, le joueur ne reçoit rien.
 
Soit $G$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe le gain (positif ou négatif) du joueur en euros, tenant compte des 2 euros payés et de la somme éventuellement reçue. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p(G = -2) = \dfrac{9}{16}$. 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $G$ ? 
		\item Donner la loi de probabilité de $G$. 
		\item Quelle est la probabilité pour que le gain du joueur soit positif ? 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $G$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip  
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{On considère la fonction $h$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ est tracée ci-contre. La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{h}$ au point A de coordonnées (1~;~3); cette droite coupe l'axe des ordonnées au point B de coordonnées (0~;~1). On admet qu'il existe des nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre réel $x$ dans $]0~;~+\infty[,\, h(x) = a\ln x + b$.

\medskip
 
\emph{Dans la question suivante, toute recherche, même incomplète, ou initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation : }

\medskip

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(2.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-1)(2.5,4.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,0)(1,3)(0,3)
\psplot{-1}{1.75}{2 x mul 1 add}
\uput[dr](1,3){A}\uput[dr](0,1){B}\uput[ul](1.2,3.4){T}\uput[r](0.2,-0.8){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.134}{2.}{x ln 2 mul 3 add}
\end{pspicture}
}

\bigskip  
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie, pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, par :

\[g(x) = 2x\ln x + x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. 

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, on a $g'(x) = 2\ln x + 3$. 
\item Résoudre dans $]0~;~+\infty[$ l'inéquation $2\ln x + 3> 0$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$. 
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. On y fera figurer les limites de $g$ ainsi que sa valeur en $1$. 
\item Prouver que $g(x) < 0$ pour tout $x$ appartenant à ]0~;~1[ et $g(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à $]1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie C}

\medskip 
On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = x^2 \ln x - x + 1.\]
 
On admet que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $1$. 
\begin{enumerate}
\item En remarquant que $f(x) = x(x \ln x - 1) + 1$ pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$,  calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ est la fonction $g$, définie dans la partie B. 
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Pour chaque valeur, on inscrira dans le tableau l'arrondi au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,2&0,5&1		&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$f(x)$	&	&	&$0$	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij{} (unité : 2~cm), tracer la courbe $\mathcal{C}$  représentative de la fonction $f$. On utilisera une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie D}

\medskip 

Soit $\Delta$ la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ (construite dans la partie C) et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\Delta$ sur le graphique construit dans la partie C. 
		\item Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $\Delta$ en centimètres carrés.
	\end{enumerate} 
\item 	On admet que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par: 

\[F(x) = \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} - \dfrac{x^2}{2} + x\] 

est une primitive de la fonction $f$ définie dans la partie C.
 
Déterminer la valeur exacte puis l'arrondi au millième de l'aire $\mathcal{A}$ de $\Delta$ en centimètres carrés. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane Génie électronique juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion Génie électronique juin 2011
\hypertarget{Reunionelectro}{}

\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2011~\decofourright\\Génie électronique,  électrotechnique, optique}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question suivie de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Soit A et B deux points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. On sait que $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{3}$  et $\left|z_{\text{B}}\right| = 3$. On sait aussi qu'un 
argument $z_{\text{A}}$ est égal à  $\dfrac{\pi}{3}$ et qu'un argument de $z_{\text{B}}$ est égal à  $\dfrac{\pi}{4}$. 

La forme exponentielle du produit $z_{\text{A}} \times z_{\text{B}}$ est : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $3\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ &\textbf{b.}\quad $3\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ & \textbf{c.}\quad $3\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{7}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
 
L'image du point C(2~;~4) par la rotation $r$ est le point D de coordonnées :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $\left(\sqrt{2}~;~2\sqrt{2} \right)$ &\textbf{b.}\quad $\left(- \sqrt{2}~;~- 3\sqrt{2} \right)$ & \textbf{c.}\quad $\left(- \sqrt{2}~;~3\sqrt{2} \right)$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item La forme algébrique du nombre complexe \dfrac{1}{2 + \text{i}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i}$ &\textbf{b.}\quad $\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}\text{i}$& \textbf{c.}\quad $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\text{i}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit  le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$. Le nombre complexe $z^{\np{2011}}$ 		est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $5\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ &\textbf{b.}\quad $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$& \textbf{c.}\quad $3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Soit l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. La somme des racines de cette équation est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $- 2$ &\textbf{b.}\quad 3\text{i}$ & \textbf{c.}\quad $2$ \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un jeu en ligne propose aux internautes d'effectuer des missions de difficulté croissante qui, si elles sont réussies, permettent de valider successivement le niveau 1, puis le niveau 2, et enfin le niveau 3.
 
De plus, les joueurs peuvent bénéficier d'un bonus de rapidité d'un montant de 3~\euro{} lorsque le dernier niveau validé l'a été en moins de deux minutes.
 
Une enquête portant sur \np{1200}~joueurs a été réalisée.

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 60\,\% de ces joueurs ont validé le niveau 1 uniquement, et parmi eux, 20\,\% ont obtenu le bonus de rapidité.
\item[$\bullet~~$] 120 joueurs ont validé les trois niveaux, et parmi eux, 6 ont obtenu le bonus de rapidité. 
\item[$\bullet~~$] Au total 186 joueurs ont obtenu le bonus de rapidité.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau dans l'\textbf{ANNEXE 1, à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Joueurs ayant validé: &le niveau 1 uniquement &les niveaux 1 et 2& les trois niveaux& Total \\ \hline
avec bonus &&&&\\ \hline%
sans bonus &&&&\\ \hline%
Total      &&&&\np{1200}\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\item On choisit un joueur au hasard dans ce groupe. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il ait validé les niveaux 1 et 2 sans bonus ? 
		\item Quelle est la probabilité qu'il ait validé les 3 niveaux avec bonus ?
	\end{enumerate} 
\item Chaque joueur doit payer une mise de 5~\euro{} pour participer au jeu. Le règlement du jeu est alors défini comme suit :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation du niveau 1 ne rapporte rien, 
\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation des niveaux 1 et 2 rapporte 4~\euro. 
\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation des trois niveaux rapporte 7~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
À cela s'ajoute le bonus de rapidité d'un montant de 3~\euro{} qui ne peut être attribué qu'une seule fois, dans les conditions précisées en introduction.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain du joueur en euros. On rappelle que le gain est la différence entre la somme rapportée et la mise. Il peut être positif ou négatif. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la liste des valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\item  Donner une interprétation de E(X). 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 

\[f(x) = \ln x + ax + b,\]

où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels, et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle ]0~;~10].
 
On sait que le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~10] est le suivant : 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,3)
\psframe(7.5,3)
\psline(0,2)(7.5,2)\psline(0,2.5)(7.5,2.5)\psline(2.5,0)(2.5,3)\psline(2.6,0)(2.6,2.5)
\uput[u](1.25,2.5){$x$}\uput[u](2.6,2.5){$0$}\uput[u](4.5,2.5){$2$}\uput[u](7.3,2.5){$10$}
\rput(1.25,2.25){Signe de $f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(4.5,2.25){$0$}\rput(6,2.25){$-$}
\rput(1.25,1){Variations de $f$}\uput[u](2.9,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,2){$- 2 + \ln 2$}
\uput[u](6.8,0){$- 6 + \ln 10$}
\psline{->}(2.75,0.5)(4.3,1.5)\psline{->}(4.7,1.5)(6.75,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire du tableau de variations le signe de $f(x)$ sur l'intervalle ]0~;~10]. 
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~10]. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
À l'aide de données numériques du tableau de variations, calculer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que, pour tout réel $x$ appartenant à ]0~;~10],

\[f(x) = \ln x - \dfrac{1}{2}x - 1.\] 
 
On considère la fonction $g$ définie sur ]0~;~10] par 

\[g(x) = (\ln x)^2 - x - 2\ln x\]

dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal \Oij{} est fournie dans l'\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $0$. 
		\item  Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~10], $g'(x) = \dfrac{2f(x)}{x}$.
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur ]0~;~10].
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$ sur l'intervalle [0,1~;~10]. 
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 

\[G(x) = x (\ln x)^2 - 4x\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur ]0~;~10]. 
\item Sur l'\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}, figure la courbe $\mathcal{C}$. Tracer la droite $T$ et hachurer le domaine $\Delta$ limité par la droite $T$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
\item On admet que la droite $T$ est toujours située au dessous de la courbe $\mathcal{C}$. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Joueurs ayant validé: &le niveau 1 uniquement &les niveaux 1 et 2& les trois niveaux& Total \\ \hline
avec bonus &&&&\\ \hline%
sans bonus &&&&\\ \hline%
Total      &&&&\np{1200}\\ \hline%
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(10.5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-10)(10.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-10)(10,8)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.133}{10}{x ln x ln mul x sub x ln 2 mul sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](8,-8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion Génie électronique juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique juin 2011
\hypertarget{Metroelectro}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 21 juin 2011~\decofourright\\Génie électronique,  électrotechnique,  optique\\ }}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} d'unité
graphique 2~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et
d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $ z^2 -2\sqrt{2}z+4 = 0$.
\item On considère les deux points $A$ et $B$ d'affixes respectives
$z_A = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}$ et 
  
$z_B = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_A$ et $z_B$.
		\item En déduire la forme exponentielle de $z_A$.
		\item Placer les points $A$ et $B$ dans le plan complexe de façon
    précise. On laissera les traits de construction.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui, à
  tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$
  d'affixe $z'$ telle que $z'= z{\text{e}^{-i\frac{\pi}{12}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses
    éléments caractéristiques.
		\item On nomme $C$ l'image de $A$ par $R$.

Déterminer la forme exponentielle de $z_C$ du point $C$, puis sa forme algébrique.
		\item Placer le point $C$ sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item Soit $D$ l'image du point $B$ par la translation $T$ de vecteur
  d'affixe $- 2\sqrt{2}$.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer l'affixe $z_D$ du point $D$.
  \item Placer $D$ sur le graphique.
  \item Quelle est la nature du triangle $ACD$ ? Justifier votre réponses.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les différentes questions sont indépendantes les unes des
  autres}.

\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification
  n'est demandée}.

\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est
correcte}.

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou une
absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point}.

\emph{On notera sur la copie le numéro de la question et on recopiera
  la réponse choisie}.

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation différentielle $y' = 2y$ sont les
  fonctions $f$ définies sur $\R$ par :
  \begin{center}
    \begin{tabular}{|*{3}{>{$}c<{$}|}}
      \hline
      f(x) = k\text{e}^{0,5x} \text{ avec $k$ réel} &
      f(x) = k\text{e}^{-2x} \text{ avec $k$ réel} &
      f(x) = k\text{e}^{2x} \text{ avec $k$ réel} \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
\item À l'occasion des Jeux Olympiques de Pékin, \og La Française des
  Loteries \fg{} a vendu des tickets à gratter au prix de $5$ euros
  pièces.

  Parmi les $\np{750000}$ tickets vendus :
  \begin{itemize}
  \item $\np{152250}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $5$~\euro{} ;
  \item $\np{18050}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $15$~\euro{} ;
  \item $\np{6000}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $45$~\euro{} ;
  \item $\np{90}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $\np{1000}$~\euro{} ;
  \item $\np{10}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $\np{10000}$~\euro{} ;
  \end{itemize}
  Le gain d'un joueur est la différence entre la valeur du lot gagné
  et le prix d'achat du ticket. Le gain peut-être négatif ou positif.
  \begin{enumerate}
  \item Tom a acheté un ticket à gratter.

La probabilité qu'il ait gagné de l'argent est égale à :
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{3}{>{$}c<{$}|}}
        \hline
        \np{0,0322} & \np{0,2352} & 0,5 \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ticket
    vendu, associe le gain du joueur. L'espérance mathématique de $X$
    arrondie si besoin au centième, est égale à :
        \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{3}{>{$}c<{$}|}}
        \hline
        \np{15000}~\text{\euro} & $11,77$~\text{\euro}{} & $- 3,01$~\text{\euro}{} \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{enumerate}
\item Une urne contient trois boules rouges notées $R_1$, $R_2$, $R_3$
  et une boule noire. On tire au hasard et successivement deux boules
  de l'urne.

  La probabilité que les deux boules tirées soient rouges est égale à
  $0,5$.

  Parmi les trois propositions suivantes, laquelle est correcte ?
  \begin{center}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
      \hline
\textbf{Proposition 1}
      
Après avoir tiré la première boule, on l'a remise dans l'urne avant de tirer la deuxième.&\textbf{Proposition 2}

Après avoir tiré la première boule, on ne l'a pas remise dans l'urne
      avant de tirer la deuxième.
      &
      \textbf{Proposition 3}
      
      Les deux types de tirage (avec et sans remise) donne le même
      résultat. \\
      \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1+\ln(x)}{x}\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\Oij$.

Selon les questions, on pourra remarquer que $f(x)$ peut aussi
s'écrire $f(x) = \frac{1}{x}+\frac{\ln (x)}{x}$.

\Partie{Étude de la fonction $f$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, on ne demande pas de justification
    mais des conjectures obtenues avec l'aide de la calculatrice}.

  Sur l'écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbe $\Gamma$.
	\begin{enumerate}
		\item Faire un schéma reproduisant l'écran obtenu en précisant la
    fenêtre utilisée.
		\item À partir de la lecture de l'écran, conjecturer le tableau de
    variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Le but de cette question est de prouver les renseignements
  conjecturés et indiqués dans le tableau de variation de la question précédente}.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est du signe de
  $- \ln(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$.
		\item Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son
  intervalle de définition.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Quelques points particuliers}

\medskip

On considère la portion de la courbe $\Gamma$ figurant sur la feuille
\textbf{ANNEXE, \emph{à rendre avec la copie}}.

$A$ est le point d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des
abscisses. $B$ est le point d'abscisse $\text{e}^{0,5}$. $D$ est le point de
coordonnées $\left (\text{e}^{-0,5}\,;\, 0\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'abscisse du point $A$ est égale à $\text{e}^{-1}$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même
    incomplète, ou d'initiative, même infructeuse, sera prise en
    compte pour l'évaluation}.

Tracer la droite $(OB)$ sur le graphique de la feuille
  \textbf{ANNEXE, \emph{à rendre avec la copie}}.

Cette droite semble tangente à la courbe $\Gamma$ au point
  $B$. Qu'en est-il ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\begin{figure}[!p]
 \centering
 \begin{pspicture}(0,-7)(11,7)
   \psset%
   {%
     xunit=10,%
     yunit=5,%
     algebraic,%
   }% 
   \psclip%
   {\psframe[linestyle=none](0,-1.2)(1,1.2)}%
   {%
     % \pscustom
     % Aire sous une courbe
     % [%
     % fillstyle=solid,%
     % fillcolor=SandyBrown,%
     % ]%
     % {%
     % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
     % \psline(,)(,)
     % }%
     \psplot[plotpoints=2500,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.1}{1}{(1+ln(x))/x}%
     \pstGeonode[PosAngle=90](0.36,0){A}%
     \pstGeonode[PosAngle=90](0.60653,0){D}%
%     \pstGeonode[PosAngle=90](0.60653,0.82436){B}
%     \pstGeonode[PosAngle=90](0,0){O}
%     \psline(O)(B)
   }%
   \endpsclip% 
   \psaxes%
   [%
   Dx=1,%
   Dy=1,%
   ysubticks=10,%
   xsubticks=20,%
   labelsep=-0.5cm,%
   xlabelPos=axis,%
   ylabelPos=axis,%
   subticksize=1,%
   xticksize=-1.2 1.2,%
   yticksize=0 1,%
   tickcolor=lightgray,%
   ]%
   {->}(0,0)(0,-1.26)(1.06,1.3)[$x$,-90][$y$,180]
 \end{pspicture}
 \caption{\textbf{ANNEXE, \emph{à rendre avec la copie}}}\label{fig_STIGE_11C}
\end{figure}

\textbf{Calcul d'aire}

\medskip

On désigne par $\Delta_1$ le domaine du plan limité par l'axe des
abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation $x= \text{e}^{-1}$ et
$x = \text{e}^{-0,5}$.

On désigne par $\Delta_2$ le domaine du plan limité par l'axe des
abscisses, la portuin de la courbe située en tres points $A$ et $B$ et
la droite $(OB)$.

\begin{enumerate}
\item Hachuer $\Delta_2$ sur la feuille annexe.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en unités d'aire, l'aire du triangle $OBD$.
		\item Donner, sans la calculer, une expression qui permet d'obtenir
    l'aire, en unité d'aire du domaine $\Delta_2$.
		\item En déduire, toujours sans la calculer, une expression qui
    permet d'obtenir l'aire, en unités d'aire, du domaine $\Delta_2$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) =
  \frac{1}{2}\left (\ln(x)\right) ^2 + \ln(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire l'aire de $\Delta_2$ en unités d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie électronique juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie électronique juin 2011
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie 14 juin 2011~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4,5 points}

\medskip
 
Dans un restaurant, chaque client peut composer son menu en choisissant une seule entrée, un seul plat et un seul dessert parmi ceux proposés dans la carte ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline 
\emph{Entrées}\\ 
Crudités (3 euros)\\ Salade du chef (7 euros)\\
\floweroneleft \floweroneright  \\
\emph{Plats}\\ 
Plat du jour (8 euros)\\
Rôti de b{\oe}uf (10 euros)\\
Filet de daurade (10 euros)\\
\floweroneleft \floweroneright   \\ 
\emph{Desserts}\\
Glace (2 euros)\\
Tartelette aux pommes (6 euros)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

 
Dans la suite du problème, on suppose qu'un client compose son menu au hasard et on admet que tous les choix possibles sont équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien de menus (entrée + plat + dessert) différents peut composer le client ? On représentera ces différentes possibilités à l'aide d'un arbre. 
\item Quelle est la probabilité que le menu composé comporte les crudités en entrée et une glace en dessert ? 
\item Quelle est la probabilité que ce client paye 19 euros? 
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque menu, associe son prix en euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les six valeurs prises par la variable aléatoire $X$? 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance E($X$) de la variable aléatoire $X$ (arrondir à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5,5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

\[\left(z - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + 2z\sqrt{3} + 4\right) = 0\]
 
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{A}}$. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$. 
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
		\item Montrer que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on déterminera l'angle.
	\end{enumerate} 
\item  Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{2}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D sur la figure et prouver que OADB est un losange. 
		\item Prouver que OADB n'est pas un carré.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

\emph{Les parties B et C sont indépendantes de la partie A}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle notée 

\[\left(E_{1}\right)\:\: :\quad  y' - 2y = \dfrac{9}{2}\text{e}^x - 4,\]

 où $y$ désigne une  fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur $\R$.
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle notée ($E$) : $y' - 2y = 0$. 
\item On pose, pour tout réel $x,\, f(x) = y(x) - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2$, où $y$ est solution de l'équation ($E$). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout réel $x,\, f'(x) - 2f(x)$. En déduire que la fonction $f$ est solution de l'équation $\left(E_{1}\right)$.  
		\item Parmi les fonctions $f$ précédentes, déterminer celle qui vérifie 
		
$f\left[\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right] = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) =  \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x  + 2\]

Sur le graphique donné en annexe, on a tracé sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~centimètres.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. 
\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on précisera une équation.
 
Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique donné en annexe. 
\item Justifier que, pour tout réel $x,\, f(x) = \left(\text{e}^x - 4\right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)$. 
\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\, f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - \dfrac{9}{4}\right)$. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau complet des variations de la fonction $f$ (on calculera en particulier la valeur exacte de l'extremum). 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$, puis tracer cette tangente $T$ sur le graphique donné en annexe. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$ se coupent en un point A. 
	\begin{enumerate}
		\item Par simple lecture graphique, déterminer une valeur approchée de l'abscisse $x_{\text{A}}$ de ce point. 
		\item Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 2$. En déduire la valeur exacte de $x_{\text{A}}$. 
		\item Par lecture graphique, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe : à rendre avec la copie}}

\vspace{4cm}

\psset{unit=1.6cm} 
\begin{pspicture*}(-4.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](1.5,1.75){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{1.6}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4.5 mul sub 2 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie électronique juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique septembre 2011
\hypertarget{Metroelectrosept}{}

\lfoot{\small{Métropole }}
\rfoot{\small{15 septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 15 septembre 2011~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ l'équation $(z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2} z + 4\right) = 0$. 
\item On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer A dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B, image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$. 
		\item Construire le point B en laissant les traits de construction apparents.
	\end{enumerate} 		 
\item Montrer que l'affixe $z_{\text{I}}$ du point I, milieu du segment [AB], est égale à 

$\dfrac{2 -\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$, puis placer ce 
point I.

\item Justifier que la demi-droite [OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ ? 
\item Quelles sont les mesures en radians des trois angles du triangle AOI ? Justifier la réponse. 
\item Calculer la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.}

\medskip
 
\emph{On notera sur la copie le numéro et la lettre de la question, suivis de la réponse choisie.}

\vspace{0,5cm}
 
Une entreprise reçoit un lot de 200 boîtes de guirlandes électriques de 16 types différents. Les boîtes peuvent contenir 1, 2, 3 ou 4 guirlandes. Les guirlandes peuvent être formées de 8, 10, 12 ou 16 ampoules. Le tableau suivant donne la répartition des boîtes suivant le nombre de guirlandes par boîte et le nombre d'ampoules par guirlande. Par exemple, d'après le tableau ci-dessous, il y a 18 boîtes contenant 3 guirlandes de 10 ampoules.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\diagbox{\footnotesize Nombre d'am- \\\footnotesize poules par guirlande}{\footnotesize Nombre de guirlandes\\\footnotesize  par boîte}&1&2&3 &
4\\ \hline
8 	&9 	&13 &16 &6\\ \hline
10 	&12 &15 &18 &8\\ \hline
12 	&13 &16 &15 &9\\ \hline 
16 	&11 &11 &13 &15\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une boîte dans le lot. On admet qu'en prenant pour univers l'ensemble des boîtes, on est dans une situation d'équiprobabilité.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité d'avoir une boîte qui contient 3 guirlandes est :
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
0,19& 	0,225& 	0,275& 0,31\\
\end{tabularx} 

		\item La probabilité d'avoir une boîte qui contient des guirlandes de 16 ampoules ou une boîte qui contient 2 guirlandes, est :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
0,47& 	0,275& 	0,525& 	0,25\\
\end{tabularx} 
 
		\item 
		La probabilité d'avoir une boîte qui contient 2 guirlandes ayant au moins 12 ampoules, est :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
0,08& 	0,135& 	0,2& 	0,395\\
\end{tabularx} 
 
		\end{enumerate} 		
\item On note X la variable aléatoire qui, à chaque boîte tirée, associe le nombre d'ampoules par guirlande contenue dans la boîte. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'événement (X= 12)?
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
0,275& 	0,31& 	0,265& 0,19 \\
\end{tabularx} 

		\item Quelle est l'espérance mathématique de la variable aléatoire X? 
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
0,915& 	2,465& 	11,5&  11,59\\
\end{tabularx} 
 
		\item Quelle interprétation peut-on donner de l'espérance mathématique de la variable aléatoire X ?
		
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item le nombre moyen de guirlandes par boîte 
\item le nombre moyen d'ampoules par guirlande dans une boîte 
\item le gain moyen que l'on peut espérer sur la vente d'une boîte 
\item le nombre moyen d'ampoules par boîte.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 3)\text{e}^{-x}\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses, et 1~cm sur l'axe des ordonnées, donnée en ANNEXE à rendre avec la copie.

\bigskip

 \textbf{Partie A : Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et donner une interprétation graphique de cette limite. 
\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$, calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$. 
\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $- 1$ est $y = \text{e}(1 - x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la position de \boldmath$T$\unboldmath par rapport à } \boldmath$\Gamma$\unboldmath

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = (x + 3)\text{e}^{-x} - \text{e}(1 - x).\] 

On admet que $g$ est strictement croissante sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(-1)$. 
\item En déduire le signe de $g(x)$, puis la position de $T$ par rapport à $\Gamma$. 
\item Tracer la droite $T$ sur l'annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
		
$F(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item En déduire une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $D$ le domaine limité par la droite $T$, la courbe $\Gamma$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$, et l'axe des abscisses. Hachurer ce domaine sur le graphique. 
		\item Calculer, en unités d'aires, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $D$. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$, à $10^{-2}$ près, exprimée en cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE  à rendre avec la copie}  

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridlabels=0pt]
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](3.5,0.25){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.267}{4}{x 3 add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie électronique septembre 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2011
\hypertarget{NlleCaledoelectro}{}

\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\novembre 2011\\Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4,5 points}

\medskip

Dans une urne, on dispose de cinq boules indiscernables au toucher : trois boules vertes numérotées de 1 à 3, qu'on notera $V_{1},\: V_{2}$ et $V_{3}$, et deux boules rouges numérotées 0 et 5, qu'on notera $R_{0}$ et $R_{5}$.
 
Un jeu consiste à tirer successivement deux boules au hasard. Avant de tirer la deuxième boule, on remet dans l'urne la boule obtenue au premier tirage.

\begin{itemize}
\item Si les deux boules tirées sont de la même couleur, le joueur ne reçoit rien. 
\item Si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, le joueur remporte le montant en euros égal au nombre formé en prenant le chiffre de la boule verte pour les dizaines et celui de la boule rouge pour les unités.
\end{itemize}
 
Par exemple, le tirage du couple $\left(R_{5}~;~V_{3}\right)$ rapporte 35 euros, alors que le tirage du couple $\left(V_{1}~;~V_{2}\right)$ ne rapporte rien.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant les différents montants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{1\up{re} boule}{2\up{e} boule}& $V_{1}$ &$V_{2}$ &$V_{3}$ &$R_{0}$ &$R_{5}$\\ \hline 
$V_{1}$&&0&&&\\ \hline 
$V_{2}$&&&&&\\ \hline 
$V_{3}$&&&&&\\ \hline 
$R_{0}$&&&&& \\ \hline
$R_{5}$&&& 35&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
A : \og le joueur ne reçoit rien \fg{} ;
 
B : \og le joueur remporte un montant supérieur ou égal à 20 euros \fg.
	\end{enumerate} 
\item On suppose dans cette question que le joueur mise 15 euros. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise, $X$ étant négative en cas de perte. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.  
		\item Calculer l'espérance de $X$. 
		\item Un jeu est dit équitable lorsque l'espérance du gain est nulle. Quelle devrait être la mise de départ pour que ce jeu soit équitable ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5,5 points}

\medskip 

Soit i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe z, on pose : 

\[P(z) = z^3 + 5z^2 + 10z + 12.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(- 3)$, puis déterminer les réels $b$ et $c$ tels que 
		
$P(z) = (z + 3)\left(z^2 + bz + c\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = -3 \quad ; \quad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3} \quad ;\quad z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure donnée en annexe, on a tracé deux triangles. L'un est le triangle ABC, l'autre sera noté $T$. Placer les points A, B et C sur cette figure. 
		\item On considère la translation $t$ de vecteur $4\vect{u}$. Construire les points A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives des points A, B et C par la translation $t$. 
		\item On admet que le triangle $T$ est l'image du triangle A$'$B$'$C$'$ par une rotation $r$ de centre O. Quel est l'angle de cette rotation ? (aucune justification n' est demandée). 
		\item On appelle S le sommet du triangle $T$ ayant une abscisse strictement négative. 

Placer le point S sur la figure donnée en annexe. Quelle conjecture peut-on faire concernant les points O, B et S ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{B}'}$ du point B$'$ puis écrire $z_{\text{B}'}$ sous forme exponentielle. 
		\item On admet que le point S est l'image du point B$'$ par la rotation $r$. En déduire l'écriture exponentielle de l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S. 
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. Démontrer alors la conjecture faite à la question 2. d.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip 

Dans tout le problème, on note I l'intervalle de $\R$ défini par I  $= ]0~;~ +\infty[$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[g(x) = x^2 - 2\ln x + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle I, déterminer $g^{\prime}(x)$ puis étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ sur l'intervalle I. 
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ sur l'intervalle I (les limites ne sont pas demandées). 
\item En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, on a $g(x) > 0$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par: 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{2}x - 1.\] 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~centimètres. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		\item En déduire l'existence d'une droite asymptote à la courbe $\mathcal{C}$, notée $D$, dont on précisera une équation.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au  voisinage de $+ \infty$. 
		\item Préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$. 
		\item En déduire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les images de $1$ et de $2$ par la fonction $f$. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2]. 
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Établir une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item Tracer les droites $D,\: ,\Delta$ et $T$ puis la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]
 
Calculer $h^{\prime}(x)$. 
\item En déduire que $\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[1 - (\ln 2)^2\right]$.

\item On considère l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, son asymptote $\Delta$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = \text{e}$. 

Déduire de la question précédente une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en centimètres carrés à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe : à rendre avec la copie }

\vspace{2cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\pspolygon(-3,0)(-1,1.732)(-1,-1.732)
\pspolygon(0,1)(-1.732,3)(1.732,3)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie génie électronique nov. 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux juin 2011
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 21 juin 2011~\decofourright\\Génie mécanique, génie des matériaux}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv (unité
graphique : 2~cm).
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z - \text{i}z\sqrt{3} = 4$. On donnera
  la forme algébrique de la solution.
\item On considère les nombres complexes $z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}$
  et $z_2 = z_1 \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.  On note $A$ le point d'affixe $z_1$ et B le
  point d'affixe $z_2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument des nombres complexes $z_1$ 
    et $z_2$.
		\item Sur papier millimétré, placer les points $A$ et $B$ dans le
    repère \Ouv.
		\item Montrer que le triangle $OAB$ est un triangle rectangle isocèle en $O$. 
	\end{enumerate}
\item Soit le nombre complexe $ z_3$ défini par $z_3 = z_1 + z_2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_3$ sous forme algébrique.
		\item Placer le point $C$ d'affixe $z_3$ dans le repère \Ouv.  
		\item \emph{Dans la question qui suit, toute trace de recherche, même
    incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en
    compte dans l'évaluation.}

Quelle est la nature du quadrilatère $OACB$ ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des vis de longueur théorique 40~mm et de
diamètre théorique 4~mm. Pour vérifier la qualité de la production, on
prélève un échantillon de \np{1000} vis dans la production de la machine
fabriquant ces vis. La composition de cet échantillon est donnée
par le tableau \ref{tab_STIGM_11E}.

  \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}c|}
    \hline
    \multicolumn{1}{|c|}{\backslashbox{$D$}{$L$}}
    & 39,5 & 39,6 & 39,7 & 39,8 & 39,9 &  40 & 40,1 & 40,2 & 40,3 &
    40,4 &  40,5 & \text{Total} \\
    \hline
    3,9 & 0 & 3 & 7 & 19 & 23 & 56 & 30 & 10 & 3 & 1 & 0 & 152 \\
    \hline
    4 & 2 & 5 & 10 & 50 & 97 & 275 & 135 & 95 & 16 & 3 &  2 & 690 \\
    \hline
    4,1&  1 & 2 & 7 & 10 & 30 & 43 & 40 & 20 & 5 & 0 & 0 & 158 \\
    \hline
    \text{Total} & 3 & 10 & 24 & 79 & 150 & 374 & 205 & 125 & 24 & 4 &
    2 & \np{1000} \\
    \hline
\end{tabularx}
\caption{$D$ : Diamètre en mm et $L$ : Longueur en  mm}
\label{tab_STIGM_11E}

\medskip


On admet que cet échantillon permet de modéliser la production de la
machine.  

On choisit une vis au hasard.  

On suppose que le choix d'une vis se fait dans une situation
d'équiprobabilité.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $P_1$ de choisir une vis de diamètre 
    4 mm et de longueur 40,3~mm ?
		\item Quelle est la probabilité $P_2$ de choisir une vis de diamètre
    4,1~mm ?
		\item Quelle est la probabilité $P_3$ de choisir une vis dont la longueur est comprise entre 39,8 mm et 40,2 mm et dont le diamètre est de 4 mm ?
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à toute vis choisie,
  associe sa longueur en mm.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$.  

    Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Les indications écrites dans la notice de la machine, partie
  fiabilité, précisent que, pour une fabrication de vis de longueur
 40 mm, 80\,\% des vis devraient avoir une
  longueur comprise entre 39,9 mm et 40,1 mm.  Dans le cas contraire, un réglage de la
  machine par le service maintenance s'imposerait.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P(39,9 \leqslant X \leqslant 40,1)$.
		\item Expliquer la décision, prise par le service maintenance,
    d'effectuer un réglage de la machine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^x + 3.
\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
$\ortho$ orthogonal. 

Unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.  

\bigskip

\textbf{Partie A Étude des variations de la fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
		\item Que peut-on en déduire concernant la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a : $f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 4\right) + 3$.
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x)$ peut s'écrire : $f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right)$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Recherche de points de la courbe, d'une tangente et tracé de
  la courbe}
  
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $\ln(4)$. Déterminer son ordonnée.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $X^2 - 4X + 3 = 0$.
		\item En déduire les solutions de l'équation $f(x) = 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^x$). Préciser les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au
  point $O$ d'abscisse $0$.
\item Dans le repère $\ortho$, construire les éventuelles asymptotes,
  les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe
  des abscisses, la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_f$.
  \end{enumerate}
  
\bigskip
  
\textbf{Partie C Calcul d'aire}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par : 
 \[
F(x) = \frac{1}{2}\text{e}^{2x} - 4 \text{e}^x + 3x.
 \]  
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
 \item Calculer une valeur approchée de l'aire, exprimée en
   cm$^2$, de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = -1$ et l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux juin 2011
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux septembre 2011
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2011~\decofourright\\Génie mécanique, des matériaux}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 + 2z^2 - 16.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$. 
		\item Déterminer trois nombres réels $a,\: b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,

\[ P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right).\]
 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = 2 \quad ; \quad  z_{\text{B}} = -2 + 2\text{i}\quad ; \quad  
z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = - \dfrac{1}{2}$.
 
Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle de centre I dont on déterminera le rayon. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'entreprise Anatoly fabrique des pièces (\np{1500}~unités par jour).

Certaines pièces ont un ou deux défauts de fabrication. 
 
Sur un lot de 100 pièces choisies au hasard, on constate: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item qu'une pièce sur 20 n'a pas la dimension voulue ; 
\item que 10 pièces manquent de résistance ; 
\item qu'au total, 88 pièces n'ont pas de défaut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On considère que cet échantillon permet de modéliser l'ensemble de la fabrication des pièces. 

On choisit une pièce au hasard.
 
On suppose que le choix d'une pièce se fait dans une situation d'équiprobabilité.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant: 

\medskip
{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Problème de dimension &Dimension correcte &Total \\\hline
Problème de résistance&&&\\ \hline 
Résistance correcte&&&\\ \hline  
Total &5&& 100 \\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\item Quelle est la probabilité de choisir une pièce ayant deux défauts ? 
\item La vente des pièces sans défaut rapporte un bénéfice de 5~euros à l'entreprise Anatoly. Les pièces de mauvaise dimension sont rectifiées pour un coût de 2~euros, puis vendues au prix habituel. Celles qui manquent de résistance sont jetées.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce choisie, associe le bénéfice réalisé. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'une pièce rapporte 5~euros ? 
		\item Donner, dans un tableau, la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance de $X$. Que représente ce nombre pour l'entreprise ?
	\end{enumerate}  
Un investisseur souhaite acheter soit l' entreprise Anatoly soit l'entreprise Basilia.
 
Cette entreprise Basilia fabrique \np{1800}~pièces par jour et réalise un bénéfice moyen de 4~euros sur chaque pièce produite.
 
En expliquant les raisons du choix, indiquer celle des deux entreprises qui rapportera le plus à l'investisseur.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par: 

\[f(x) = \text{e}^{- x} + \dfrac{1}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A. Étude des limites et des variations de la fonction}\: \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $0$.
 
Donner une équation de chacune des asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. 
\item $f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$. 
\item Étudier le signe de la dérivée. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B. Étude de propriétés de la courbe } \boldmath$\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f(x) - \dfrac{1}{x}$ quand $x$ décrit l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item Soit $\mathcal{H}$ la courbe représentant la fonction inverse dans le repère \Oij.

Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la courbe $\mathcal{H}$.
	\end{enumerate}  
\item Déterminer la valeur arrondie au centième du coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
\item En annexe, on a représenté la courbe $\mathcal{H}$. 
Représenter la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$ sur ce même graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C. Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Déterminer $F(x)$. 
\item Montrer que : $\displaystyle\int_{1}^2	f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}^2} + \ln (2)$. 
\item On désigne par $\mathcal{E}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\mathcal{H}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $\mathcal{E}$ sur le graphique. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de cette partie $\mathcal{E}$, exprimée en unités d'aire. 
		\item Donner, en unités d'aire, une valeur approchée au centième près de cette aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie (problème)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(4,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(4,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{4}{1 x div}
\uput[u](3.5,0.3){$\mathcal{H}$}\uput[u](4.2,0){$x$}\uput[l](0,4.2){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux septembre 2011
\end{document}