\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},\vect{u},\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 2009~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2009}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{MetropoleBio}{Métropole Biochimie 19 juin 2009} \dotfill\pageref{MetropoleBio}\\ \hyperlink{LaReunionBio}{La Réunion Biochimie juin 2009} \dotfill \pageref{LaReunionBio}\\ \hyperlink{PolynesieBio}{Polynésie Biochimie juin 2009} \dotfill \pageref{PolynesieBio}\\ \hyperlink{MetroBiosep}{Métropole Biochimie septembre 2009} \dotfill \pageref{MetroBiosep}\\ \hyperlink{ChimieLaboAntilles}{Antilles-Guyane Chimie de laboratoire juin 2009} \dotfill \pageref{ChimieLaboAntilles}\\ \hyperlink{MetropoleChimiejuin}{Métropole Chimie de laboratoire juin 2009} \dotfill \pageref{MetropoleChimiejuin}\\ \hyperlink{MetropoleChimiesep}{Métropole Chimie de laboratoire septembre 2009} \dotfill \pageref{MetropoleChimiesep}\\ \hyperlink{MetroPhyjuin}{Métropole Physique de laboratoire juin 2009} \dotfill \pageref{MetroPhyjuin} \end{tabularx} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole Biochimie juin 2009 \hypertarget{MetropoleBio}{} \label{MetropoleBio} \lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie--Génie biologique~\decofourright\\[4pt]Métropole 19 juin 2009}} \vspace{0,25cm} Calculatrice autorisée \vspace{0,25cm} Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Questionnaire à choix multiples :} \medskip \emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point. } \medskip \emph{On inscrira sur la copie le numéro et les lettres de la réponse choisie. } \medskip \textbf{A.} Dans une entreprise de 200~employés, on dénombre 108~femmes, 100~cadres et 25~femmes cadres. On choisit, au hasard, une personne de cette entreprise. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie. \begin{enumerate} \item La probabilité que ce soit une femme est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{27}{50}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{1}{108}$&\textbf{c.}\quad environ 0,009\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité que ce soit une femme ou un cadre est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{208}{200}$&\textbf{b.}\quad $0,915$&\textbf{c.}\quad $0,165$\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité que ce soit un homme est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $0,46$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{108}{200}$&\textbf{c.}\quad 0,54\\ \end{tabularx} \medskip \item On choisit maintenant une femme. La probabilité qu'elle ne soit pas cadre est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{83}{108}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{1}{83}$&\textbf{c.}\quad 0,415\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \medskip \medskip \textbf{B.} Quelle est la limite en $+ \infty$ des fonctions proposées ? \medskip \begin{enumerate} \item $f(x) = - 2 + 4\text{e}^{2x}$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $-2$&\textbf{b.}\quad $+ \infty$&\textbf{c.}\quad $- \infty$\\ \end{tabularx} \item $g(x) = x\left(3 - \dfrac{\ln x}{x} \right)$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $+ \infty$&\textbf{b.}\quad $- \infty$&\textbf{c.}\quad $3$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \textbf{C.} Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 3$ et de raison $q = 0,5$. \begin{enumerate} \item Le terme $u_{3}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{27}{8}$&\textbf{c.}\quad 4,5\\ \end{tabularx} \medskip \item La somme $S_{3} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{45}{8}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{15}{8}$&\textbf{c.}\quad $\dfrac{7}{4}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Deux étudiants ont pesé la masse d'une culture de levure de boulangerie (\emph{saccharomyces cerevisiae}) et ont noté la mesure $m_{i}$ de cette masse aux instants $t_{i}$. \medskip L'expérience a duré 8 heures. Ils ont obtenu les résultats suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$ (en heures) &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $m_{i}$ (en grammes)&0,60 &0,69 &0,75 &0,88 &0,99 &1,06 &1,21 &1,43 &1,57 \\ \hline \end{tabularx} \medskip Les deux étudiants cherchent à modéliser la croissance de cette levure, c'est-à-dire à exprimer l'évolution de $m$ en fonction de $t$, au moyen d'une fonction dont la courbe est \og voisine \fg{} du nuage de points obtenu expérimentalement et qui est représenté sur le graphique donné en annexe. Celui-ci sera complété dans la \textbf{partie B} et rendu avec la copie. \medskip \textbf{Dans toute la suite les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-2}$ près.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le premier étudiant pense à un ajustement affine, mais comme le résultat ne lui semble pas satisfaisant. Il décide d'utiliser un changement de variable. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant dans lequel $\ln m_{i}$ désigne le logarithme népérien de $m_{i}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$ (en heures)& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $y_{i} = \ln m_{i}$&$-0,51$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Représenter le nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. Unités graphiques : 2~cm pour 1~heure en abscisses, 1~cm pour $0,1$ en ordonnées. \item Tracer la droite (D) passant par les points $M_{0}$ et $M_{8}$ d'abscisses respectives $0$ et $8$ et déterminer son équation sous la forme $y = at + b$. On admet dans la suite de cette partie que cette droite donne une approximation satisfaisante du nuage de points $M_{i}$. \item En déduire l'expression de $m$ en fonction de $t$. Montrer qu'elle peut s'écrire : \[m(t) = 0,6\text{e}^{0,12t} \qquad (1) \] \item Déterminer à quel instant, selon ce modèle (1), la masse $m$ de levure aura atteint trois grammes. On donnera le résultat en heures et minutes. \item Quelqu'un affirme que, selon ce modèle, la masse de levure augmente chaque heure d'une même quantité. Est-ce exact ? On justifiera la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le deuxième étudiant se souvient que, dans des cas comparables qu'il a déjà rencontrés, la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité de matière qui se reproduit. Il cherche donc une fonction solution de l'équation différentielle : \[m'(t) = c m(t) \quad \text{où }\: c\: \text{ est un nombre réel.}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les solutions de l'équation différentielle ci-dessus. \item Déterminer, parmi les solutions précédentes, la solution $m(t)$ qui vérifie les conditions $m(0) = 0,60$ et $m(8) = 1,57$. \end{enumerate} \item On admet que la fonction ainsi obtenue peut s'écrire (après arrondi) : \[m(t) = 0,6\text{e}^{0,12t} \qquad (2) \] \begin{enumerate} \item Calculer $m'(t)$. En déduire le sens de variation de $m$ lorsque $t$ varie de 0 à 8. \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ obtenue avec ce modèle (2) sur le graphique de l'annexe. Tracer la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ et expliquer comment elle a été tracée. \item Sachant que $m'(t)$ représente la vitesse instantanée (en g/h) d'augmentation de la masse, calculer la vitesse à l'instant $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \vspace{0,5cm} \textbf{à rendre avec la copie d'examen} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft}\textbf{Évolution de la masse de levure en fonction du temps}\end{flushleft} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=6cm} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(9,2.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-1,-0.1)(9,2.2) \multido{\n=-1+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,2.2)} \multido{\n=-0.1+0.1}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1,\n)(9,\n)} \uput[u](8,0){$t$ en heures} \uput[r](0,2.1){$m$ en grammes} \uput[dl](0,0){O} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,0.6)(1,0.69)(2,0.75)(3,0.88)(4,0.99)(5,1.06)(6,1.21)(7,1.43)(8,1.57) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Biochimie juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion Biochimie juin 2009 \hypertarget{LaReunionBiochimie}{} \label{LaReunionBio} \lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL La Réunion juin 2009~\decofourright\\[4pt] Biochimie--Génie biologique}} \vspace{0,25cm} Calculatrice et formulaire autorisés \vspace{0,25cm} Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0.5cm} Attention : Le texte encadré ci-dessous est commun aux exercices indépendants 1 et 2 \vspace{0.15cm} \begin{tabular}{|p{13.5cm}|}\hline \emph{L'Artemia salina} est un petit crustacé qui fait partie du plancton marin. Ses qualités nutritionnelles en font une nourriture de choix pour la plupart des écloseries de poissons dans le monde.\\ \hline \end{tabular} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Dans des conditions physico-chimiques appropriées (pH, température, oxygénation, éclairage), un magasin d'aquariophilie fait l'élevage des Artemia. \medskip À l'aide d'un appareil à imagerie numérique (Zooscan), on a pu mesurer, pour des temps $t_{i}$ exprimés en jours, le nombre $N_{i}$ d'\emph{Artemia} exprimé en centaines : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$& 0& 3 & 6 & 9 & 12 &15 & 18 & 21 & 24\\ \hline $N_{i}$& 5& 20 & 50& 150 & 370& 610 & 740 & 800 & 820\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \medskip \begin{enumerate} \item On pose : $y_{i} = \ln \left(\dfrac{825}{N_{i}} - 1 \right)$. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-1}$ près : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$&0 &3 &6 &9 &12 &15 & 18&21 &24\\ \hline $y_{i}$&5,1 & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \medskip \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthonormé d'unité graphique 1~cm. \item Calculer les coordonnées, arrondies à $10^{-1}$ près, du point moyen G du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tracer la droite (D) passant par G et le point A(0~;~5,1). \item Déterminer son équation sous la forme $y = at + b$. On donnera les valeurs de $a$ et de $b$ arrondies à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \item On admet que la droite (D) constitue un ajustement convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'Artemia que l'on peut prévoir au bout de 10 jours d'élevage. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} En utilisant l'équation de la droite (D) et la relation $y = \ln\left(\dfrac{825}{N} - 1\right)$, démontrer que le nombre $N$ d'Artemia que l'on peut prévoir après $t$ jours d'élevage est donné en centaines par la formule : $N(t) = \dfrac{825}{1 + \text{e}^{-0,4t + 5,1}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(t) = \dfrac{825}{1 + 164\text{e}^{-0,4t}}.\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $(\Delta)$ pour la courbe ($\mathcal{C}$) de $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(t) = \dfrac{\np{54120}\text{e}^{-0,4t}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4t}\right)^2}$, où $f'$ désigne la dérivée de $f$. \item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 12,75. On arrondira cette valeur à l'unité. \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir le résultat à l'unité): \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$&0 &3 &6 &9 &12 &15 &18 &21 & 24\\ \hline $y_{i}$& 5 & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire dans un même repère la courbe $(\mathcal{C})$, l'asymptote $(\Delta)$ et la tangente (T) en prenant 1~cm pour 1~unité en abscisse et 1~cm pour 50~unités en ordonnée. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} On modélise l'évolution de la population d'\emph{Artemia salina} par la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la courbe $(\mathcal{C})$ déterminer au bout de combien de temps la population aura atteint \np{41250}~individus. \item Retrouver par le calcul ce résultat. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie à $10^{-2}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Comment interprétez-vous les résultats des questions A. 1. a. et A. 1. b. ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion Biochimie juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie Biochimie juin 2009 \hypertarget{PolynesieBio}{} \label{PolynesieBio} \lhead{\small BaccalaurŽéat STL Biochimie - Génie biologique} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{ juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie juin 2009~\decofourright}\\[4pt]\textbf{Biochimie--Génie biologique}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points} \medskip Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. \medskip On a relevé à un moment donné le taux de cholestérol (exprimé en grammes par litre de sang) et l'âge (exprimé en année) d'un échantillon de la population d'une région. \medskip Les résultats sont consignés dans le tableau d'effectifs à double entrée ci-dessous. On peut lire par exemple, que dans l'échantillon considéré il y a 8 individus entre 50 et 60~ans qui ont un taux de cholestérol compris entre 2,0 et 2,2~g/l. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \backslashbox{taux}{âge}& [20~;~30[ &[30~;~40[ &[40~;~50[ &[50~;~60[ &[60~;~70[ &70 et plus&Totaux\\ \hline [1,6~;~1,8[ &23 &15 &12 &9 &5 &4 &68 \\ \hline [1,8~;~2,0[ &14 &13 &11 &9 &7 &5 &59 \\ \hline [2,0~;~2,2[ & 4 &9 &7 &8 &10 &7 &45 \\ \hline [2,2~;~2,4[ &0 &3 &5 &5 &8 &9 &30 \\ \hline [2,4~;~2,6[ &1 &2 &3 &3 &4 &5 &18 \\ \hline Totaux &42 &42 &38 &34 &14 &30 &220 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux moyen de cholestérol, arrondi à $10^{-2}$ près, des individus de la classe d'âge [20~;~30[. \item On affirme que plus de 60\,\% des individus de l'échantillon ont un taux de cholestérol appartenant à l'intervalle [1,8~;~2,4[. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse maintenant à un nouveau tableau dans lequel figure le taux moyen de cholestérol par tranche d'âge (on a remplacé les intervalles par leur centre). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline âge & 25 &35 &45 &55 &65 &75 \\ \hline Taux moyen & 1,82 &1,93 &1,98 &2,01 &2,09 &2,14 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter par un nuage de points cette nouvelle série statistique. On utilisera un repère orthogonal dans lequel les âges seront portés en abscisses (unité : 2~cm pour 10~ans) et le taux de cholestérol en ordonnées (unité graphique : 5~cm). \item \begin{enumerate} \item On appelle $G_{1}$ le point moyen des trois premiers points du nuage et $G_{2}$ celui des trois derniers. Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique. \medskip Dans la suite de cette partie. on admet que cette droite donne une approximation satisfaisante de l'évolution du taux moyen de cholestérol en fonction de l'âge. \item Déterminer graphiquement en faisant apparaître les constructions utiles, une valeur approchée du taux moyen de cholestérol d'un individu de 51~ans. \end{enumerate} \item Déterminer l'équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sous la forme $y = m x + p$ (on donnera $m$ à $10^{-4}$ près et $p$ à $10^{-2}$ près). Retrouver par le calcul le résultat de la question 2. b. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Une des 220 personnes de l'échantillon se présente pour prendre connaissance de son taux de cholestérol. On suppose, pour une raison ou une autre, qu'il est impossible de deviner son âge et encore moins de deviner son taux de cholestérol. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que son taux de cholestérol soit inférieur strictement à 2,2~g/l. \item Déterminer la probabilité que son âge, au moment des relevés, soit dans la tranche [30~;~50[. (On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points} \medskip On étudie l'évolution d'une colonie de bactéries placées dans une boîte de Petri. Le nombre de bactéries en centaines est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(t) = \dfrac{4\text{e}^t - 1}{\text{e}^t + 2}\] où $t$ représente le temps en heures. On suppose que l'on peut compter le nombre de bactéries à l'unité près grâce à un compteur de radioactivité. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat. \item Montrer que $f(t) = 4 + \dfrac{-9}{\text{e}^t + 2}$. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. On appellera cette valeur la saturation. Que peut-on en conclure pour la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de $f$ ? \item L'équation $f(t) = 4$ admet-elle des solutions ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ vérifie $f'(t) = \dfrac{9\text{e}^t}{\left(\text{e}^t + 2 \right)^2}$. \item En déduire le tableau de signes de $f'(t)$ puis le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Soit (T) la tangente au point d'abscisse $0$ à la courbe $(\mathcal{C})$. Déterminer l'équation de (T). \item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en arrondissant à $10^{-2}$ près : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline $f(t)$ & &2,09 & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer, dans un repère orthonormé d'unité graphique 2~cm, la droite (T), la courbe $(\mathcal{C})$ ainsi qu'en les précisant la (ou les) asymptote(s) éventuelles(s) à $(\mathcal{C})$. \item Calculer à la minute près l'instant $t_{0}$ où le nombre de bactéries sera égal à 200. \item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la population de cette colonie dépassera 80\,\% de sa saturation. (\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}) \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie Biochimie juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole Biochimie septembre 2009 \hypertarget{MetroBiosep}{} \label{MetroBiosep} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt] septembre 2009}}\\ \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \np{1500}~salariés d'une entreprise possèdent un téléphone portable revêtu d'une coque blanche, noire ou métal. 80\,\% des téléphones sont équipés de la fonction photo. 45\,\% des téléphones ont une coque blanche et $\dfrac{2}{9}$ de ces appareils ne prennent pas de photo. Parmi ceux prenant des photos à coque non blanche, il y a quatre fois plus de téléphones à coque noire que de téléphones à coque métal. Tous les téléphones à coque noire ont la fonction photo. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Blanche &Noire &Métal &Total \\ \hline% Photo&&&& \\ \hline% Non photo&&&& \\ \hline% Total &&&&\np{1500}\\ \hline% \end{tabularx} \medskip Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale exacte. \item On choisit au hasard un salarié parmi les \np{1500}~salariés de cette entreprise. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement A : \og le salarié possède un téléphone à coque métal \fg{} est égale à $0,19$. \item Calculer la probabilité de l'évènement B : \og le salarié possède un téléphone ne prenant pas de photo \fg. \end{enumerate} \item Définir par une phrase l'évènement A ~$\cup$~B puis calculer sa probabilité. \item On choisit au hasard un salarié de cette entreprise ayant un téléphone prenant des photos. Quelle est la probabilité de l'évènement C : \og le téléphone de ce salarié est à coque blanche \fg{} ? \end{enumerate} \textbf{Partie B :} \medskip Un opérateur désireux de gagner des parts de marché propose aux salariés de cette entreprise de tester un nouveau type de téléphone portable. Pour cela, il dispose d'au moins 10~jours pour convaincre les salariés de changer de téléphone. Le tableau ci-dessous indique les résultats observés. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.9cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline $t_{i} =$ \no du jour &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline% $N_{i} = $ Nombre de salariés convaincus &40 &420&640 &790 &890 &970 &\np{1030} &\np{1080} &\np{1120} &\np{1150} \\ \hline% \end{tabularx} \medskip \psset{xunit=0.923cm,yunit=0.00923cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-50)(12,1250) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(12,1250) \multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](\n,0)(\n,1250)} \multido{\n=0+50}{26}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,\n)(12,\n)} \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,40)(2,420)(3,640)(4,790)(5,890)(6,970)(7,1030)(8,1080)(9,1120)(10,1150) \end{pspicture} \end{center} Le nuage de points associé à ce tableau est reproduit ci-dessus avec pour unités : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] 1 cm pour 1 jour en abscisses, \item[] 1 cm pour 100 salariés en ordonnées \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item On pose $y_{i} = \dfrac{\np{1500}}{\np{1500} - N_{i}}$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant les valeurs à $10^{-2}$ près. Construire dans un repère orthonormal d'unité 1~cm le nuage de points associé à cette série statistique. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline% $y_{i}$&1,03& & & & & & & & &\\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer sur le graphique. \item On appelle $G_{1}$ le point moyen des 5 premiers points du nuage et $G_{2}$ celui des 5 derniers. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$. \item Placer $G_{1}$ et $G_{2}$ sur le graphique puis tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$. \item Déterminer une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sous la forme : $y = m t + p$. On donnera les valeurs exactes de $m$ et de $p$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item En admettant que cette droite donne une approximation satisfaisante de la variation de $y$ en fonction de $t$, montrer que \[N(t) = \np{1500}\left(1 - \dfrac{1}{0,36t + 0,66}\right).\] Estimer à partir de combien de jours l'opérateur peut espérer convaincre au moins 90\,\% des salariés de cette entreprise. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 1~cm. On sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $(\mathcal{C})$ passe par le point A(0~;~7) et admet la droite ($\Delta$) d'équation $y = 2$ pour asymptote horizontale au voisinage de $+ \infty$. \item[$\bullet~$] La droite (D) passant par A et de coefficient directeur $- 5$ est tangente à $(\mathcal{C})$ au point A. \item[$\bullet~$] La fonction $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Placer A, construire (D) puis ($\Delta$) et tracer une courbe $(\mathcal{C})$ susceptible de représenter $f$. \item On note $f_{1},~f_{2}$ et $f_{3}$ les trois fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f_{1}(x) = x - 7~~;\quad f_{2}(x) = -x^2 + 2x + 7~\text{et}~f_{3}(x) = - 5\text{e}^x + 12.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f_{1}(0)$. Peut-on avoir $f_{1} = f$? Justifier. \item Calculer, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[~, f'_{2}(x)$ puis $f'_{2}(0)$. Peut-on avoir $f_{2} = f$ ? Justifier. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{3}(x)$. Peut-on avoir $f_{3} = f$ ? Justifier. \end{enumerate} \item Désormais, on admet que $f(x)$ s'écrit sous la forme $f(x) = a \text{e}^{-x} + b$ où $a$ et $b$ sont des réels. \begin{enumerate} \item Calculer $f(0),~f'(x)$ puis $f'(0)$ en fonction de $a$ et de $b$. \item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système (S) : $\left\{\begin{array}{l c r} a + b &=&7\\ - a &=& -5 \end{array}\right.$ \item Résoudre (S) et en déduire l'expression de $f(x)$. \item Justifier que $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Métropole Biochimie septembre 2009 \pagebreak %%%%%%%%%%%%%% Antilles Chimie de laboratoire juin 2009 \hypertarget{ChimieLaboAntilles}{} \label{ChimieLaboAntilles} \lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL juin 2009 Antilles--Guyane \decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center} \vspace{0,25cm} Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures \vspace{0,15cm} \begin{center} Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4 \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). On note i le nombre complexe de module 1 et dont $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument. \begin{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation : \[z^2 + 10z + 29 = 0.\] \item On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ définies par \[z_{\text{A}} = -5 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = - 3 + 6\text{i},~ z_{\text{C}} =-\overline{z_{\text{A}}}.\] Placer les points A, B et C sur une figure. \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$. Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$ et placer le point D sur la figure précédente. \item Calculer le module des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\text{D}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{D}}$. \item Montrer que D est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle ABC. Donner la valeur exacte du rayon $r$ du cercle $\mathcal{C}$. Tracer le cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Une ville A possède \np{200000}~habitants au 1\up{er} janvier 2009. On considère que cette population diminue de 2\,\% par an. On note $u_{n}$ le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier de l'année ${2009+n}$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_{0} = \np{200000}$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. \item En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer l'arrondi à l'unité de $u_{10}$. \end{enumerate} \item Une ville B possède \np{120000}~habitants au 1\up{er} janvier 2009. On note $v_{n}$ le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier de l'année $2009 +n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $v_{0} = \np{120000}$. On considère que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = \np{120000} \times 1,01^n$. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier 2011. \item Déterminer l'arrondi à l'unité de $v_{10}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} En quelle année la population de la ville B deviendra-t-elle supérieure à celle de la ville A ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{L'annexe associée à ce problème est rendre avec la copie.} \medskip \textbf{Partie A : Signe d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = (2x -1)\text{e}^x + 1.\] On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur $\R$. On donne, en annexe \no 1 une partie du tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$. On sait que la limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est 1 et que la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est $+ \infty$. On a de plus $g\left(- \dfrac{1}{2}\right) = - \dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} + 1$. \begin{enumerate} \item À l'aide des indications données dans l'énoncé, compléter le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'annexe \no 1. \item Calculer la valeur exacte de $g(0)$ et la noter dans le tableau de l'annexe \no 1. \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left[-2~;~-\dfrac{1}{2}\right]$. \item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. \end{enumerate} \textbf{Partie B : étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x -1)\text{e}^{2x} + \text{e}^x.\] En annexe \no 2, on trouve la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm en abscisse et 4~cm en ordonnée). \begin{enumerate} \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item La courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale. Que peut-on en déduire pour la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ ? \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = g(x) \times \text{e}^x$. \item \begin{enumerate} \item En utilisant le résultat de la question 5 de la partie A, déterminer selon les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. \item En prenant $\alpha \approx -1,3$, déterminer une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 0$ et la droite d'équation $x = 1$. \begin{enumerate} \item Hachurer la partie $\mathcal{S}$ sur l'annexe \no 2. \item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par \[F(x) = \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x}.\] Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis son arrondi à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Annexe \no 1} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,3.5) \psframe(10,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(8,1.1)(8,2.5) \psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5) \uput[u](1,2.6){$x$} \uput[u](2.4,2.6){$- \infty$} \uput[u](6,2.5){$- \dfrac{1}{2}$} \uput[u](8,2.6){0} \uput[u](9.5,2.6){$+ \infty$} \uput[u](1,2){$g'(x)$}\uput[u](4,2){$-$}\uput[u](6,2){0}\uput[u](9,2){$+$} \rput(1,1){$g(x)$} \psline{->}(6.2,0.4)(9.4,1.6) \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Annexe \no 2} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=3cm} \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,2.75) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-0.5)(4,2.75) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \multido{\n=-4+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,2.75)} \multido{\n=-0.500+0.125}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-4,\n)(4,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-4}{1}{2.71828 2 x mul exp x 1 sub mul 2.71828 x exp add} \uput[r](1,2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,2.75){$y$} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%% fin Antilles Chimie de laboratoire juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Métropole Chimie de laboratoire juin 2009 \hypertarget{MetropoleChimiejuin}{} \label{MetropoleChimiejuin} \lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STL Métropole 19 juin 2009 \decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center} \vspace{0,25cm} Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures \vspace{0,15cm} \begin{center} Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4 \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip On considère l'équation différentielle \[2y' + y = 0 \quad (E),\] où l'inconnue $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (E). \item On note $f$ la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant $f(0) = 2$. Montrer que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = 2\text{e}^{-\frac{x}{2}}$. \item On note $M$ la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. Calculer $M$. On donnera la valeur exacte de $M$ et son arrondi à $10^{-1}$ près. \item La courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] est donnée par l'un des trois graphiques suivants : \end{enumerate} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(2.2,3.2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=1](0,0)(0,0)(2.2,3.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1]{->}(0,0)(1,1) \pscurve(0,2)(1,0.77)(2,0.3) \end{pspicture*}&\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(2.2,3.2) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(2.2,3.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1]{->}(0,0)(1,1) \psplot{0}{2}{2 2.71828 x 2 div exp div} \end{pspicture*}& \begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2) \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(2.2,3.2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(2.2,3.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1]{->}(0,0)(1,1) \pscurve(0,2)(1,2.45)(2,3) \end{pspicture*}\\ \hline Graphique 1 &Graphique 2&Graphique 3 \\ \hline \end{tabularx} \medskip Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). On considère les points A, B, C d'affixes respectives : \[ z_{\text{A}} = 3+ \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}} },\: z_{\text{C}} = 2. \] \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},\:z_{\text{B}},\: z_{\text{C}}$. \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A, B, C sur une figure. \item Déterminer l'affixe du point A$'$ symétrique du point A par rapport au point C. \item Montrer que les points A, B, A$'$ et O appartiennent à un même cercle de centre C. On précisera le rayon de ce cercle. \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que la droite (AC) est une médiane du triangle OAB. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \medskip Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par \[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{-x}\left(x\text{e}^x + 1\right)$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur $\R$. \item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ (on indiquera les limites). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. \item Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item Calcul d'aire \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. \item Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$. Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis son arrondi à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole Chimie de laboratoire juin 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole Chimie de laboratoire septembre 2009 \hypertarget{MetropoleChimiesep}{} \label{MetropoleChimiesep} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STL septembre 2009 \decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \vspace{0,25cm} Calculatrice et formulaire autorisés \vspace{0,15cm} Durée de l'Žépreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4 \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Un sac contient cinq jetons : un bleu noté $B_{1}$ deux rouges notés $R_{1}$ et $R_{2}$, deux verts notés $V_{1}$ et $V_{2}$. Lorsqu'on tire un jeton de ce sac, chaque jeton contenu dans le sac a la même probabilité d'être tiré. Dans tout l'exercice, on s'intéresse à l'expérience aléatoire suivante: on tire un jeton du sac, puis un deuxième jeton sans remettre le premier dans le sac. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide d'un tableau ou d'un arbre, les 20 résultats possibles de cette expérience. \item On considère les évènements : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $A$ : \og obtenir deux jetons de couleurs différentes \fg{} ; \item[$\bullet~$] $B$ : \og obtenir au moins un jeton rouge \fg{} ; \item[$\bullet~$] $C : A \cap B$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Déterminer la probabilité des évènements $A$, $B$ et $C$. \end{enumerate} \item On décide que le jeton bleu vaut 3 points, que les jetons rouges valent chacun 2 points et que les jetons verts valent chacun 1 point. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux jetons, associe la somme des points de ces jetons. \begin{enumerate} \item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$. \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 0,5~cm). On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}.$ \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : \[z^2 + 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\] \item On considère les points A, B, C, D du plan complexe d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 4,~z_{\text{B}} = 4\left(\sqrt{3}+ 2\right)\text{i},~ z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i},~z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\] \begin{enumerate} \item Donner sans justification le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. \item Déterminer le module et un argument du nombre $z_{\text{C}}$. \item Placer les points A, B, C, D sur une figure. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} Quelle est la nature du triangle ABC ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 5~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée). \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left(\text{e}^x - 3\right)^2. \] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation. \item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) - 9 = \text{e}^x \left(\text{e}^x - 6\right)$. \item En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x -3\right)$. \item Déterminer le signe de la fonction $f'$ sur $\R$. Établir le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Tracer, dans le plan $\mathcal{P}$, la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par \[F(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{2} - 6\text{e}^x + 9x\] est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan $\mathcal{P}$ limitée par la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $x = 0$ et la droite d'équation $x = \ln 2$. \begin{enumerate} \item Hachurer la partie $\mathcal{S}$ sur le graphique réalisé à la question 4. de la partie A. \item Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$. Exprimer $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale. \item Montrer que $\mathcal{A}$ a pour valeur $\dfrac{9}{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole Chimie de laboratoire septembre 2009 \newpage %%%%%%%%%%%%% Métropole Physique de laboratoire juin 2009 \hypertarget{MetroPhyjuin}{} \label{MetroPhyjuin} \lhead{\small Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 19 juin 2009~\decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center} Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient : 4 \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Soit l'équation différentielle \[(E) : \quad y' + y = 2x,\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable $x$ et $y'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $(H) : \quad y' + y = 0$. \item Déterminer les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie dans $\R$ par $g(x) = a x + b$ soit solution de l'équation $(E)$. \item \begin{enumerate} \item Le nombre $k$ désignant une constante réelle, on considère la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x) = k\text{e}^{-x} +2x - 2. \] Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation $(E)$. \item Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 0$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $k = 2$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$sur l'intervalle [0~;~2]. \item Donner une valeur approchée de $m$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. L'unité graphique est égale à 4~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation: \[z^2 -2z\sqrt{3} + 4 = 0.\] \item On désigne par $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions, $z_{1}$ étant celle dont la partie imaginaire est négative. Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle. \end{enumerate} \item Soit A le point du plan d'affixe $z_{1}$ et B celui d'affixe $z_{2}$. Placer les points A et B dans le plan complexe et démontrer que le triangle OAB est équilatéral. \item Soit E le point d'affixe $z_{3} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et F d'affixe $z_{4} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \begin{enumerate} \item F est l'image de E par une transformation du plan. Donner la nature de cette transformation et ses éléments caractéristiques. \item Montrer que F est le milieu du segment [OB]. \end{enumerate} \item Soit D l'image de E par la translation de vecteur $2\vect{v}$. \begin{enumerate} \item Placer les points D, E et F sur la figure. \item Déterminer l'affixe de D. \item Montrer que OD = DB. \item Qu'en déduire pour la droite (AD) ? \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ par \[g(x) = x - 5 + 5 \ln x.\] On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ pour $x$ dans J'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$. Étudier le signe de $g'(x)$ et donner le sens de variation de la fonction $g$ (\emph{l'étude des limites n'est pas demandée}). \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique dans l'intervalle [1~;~ 5]. On note $\alpha$ cette solution. \item Déterminer la valeur décimale arrondie au centième de $\alpha$. \end{enumerate} \item Étudier le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~ ;~ +\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~ ;~ +\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{(x - 5)\ln x}{x}.\] On peut donc aussi écrire $f(x) = \dfrac{1}{x}(x - 5) \ln x$ ou encore $f(x) = \ln x- \dfrac{5\ln x}{x}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ et en déduire le signe de $f'(x)$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \begin{enumerate} \item Soit A le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $1$. Donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'axe des ordonnées. \item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[F(x)= x \ln x - x - \dfrac{5}{2} (\ln x)^2.\] Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$. \item \begin{enumerate} \item Hachurer l'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. \item Déterminer graphiquement une valeur approchée au cm$^2$ de l'aire de ce domaine. \item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de ce domaine. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole Physique de laboratoire juin 2009 \end{document}