\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relu par François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Intégrale 2010}, pdfstartview=FitH, allbordercolors = white, colorlinks=true, linkcolor=blue, urlcolor=blue} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2010 \decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2010 à mars 2011}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry -- 21 avril 2010} \dotfill \pageref{Pondichery} \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord -- 3 juin 2010} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \medskip \hyperlink{Liban}{Liban -- 3 juin 2010} \dotfill \pageref{Liban} \medskip \hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane -- 18 juin 2010} \dotfill \pageref{Antillesjuin} \medskip \hyperlink{Asie}{Asie -- 21 juin 2010} \dotfill \pageref{Asie} \medskip \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers -- juin 2010} \dotfill \pageref{Centres etrangers} \medskip \hyperlink{LaReunion}{La Réunion -- 22 juin 2010} \dotfill \pageref{LaReunion} \medskip \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole -- 23 juin 2010} \dotfill \pageref{Metropolejuin} \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie -- 10 juin 2010} \dotfill \pageref{Polynesie} \medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane -- septembre 2010} \dotfill \pageref{Antillessep} \medskip \hyperlink{Reunionsep}{La Réunion -- septembre 2010} \dotfill \pageref{Reunionsep} \medskip \hyperlink{Metropolesep}{Métropole -- septembre 2010} \dotfill \pageref{Metropolesep} \medskip \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie obligatoire -- septembre 2010} \dotfill \pageref{Polynesiesep} \medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud -- novembre 2010} \dotfill \pageref{AmeriqueSud} \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie --15 novembre 2010} \dotfill \pageref{Caledonienov} \medskip \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie -- mars 2011} \dotfill \pageref{Caledoniemars} \medskip } \newpage~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry 21 avril 2010 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} %\rhead{\small \textbf{A. P. M. E. P.}} %\lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{21 avril 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances :} \medskip Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$. On suppose connus les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\displaystyle\int_{a}^b \left[f(t) + g(t) \right]\:\text{d}t = \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$. \item[$\bullet~$] Si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \geqslant 0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],~ f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(t)\:\text{d}t$. \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $f_{n}$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f_{n}(x) = \ln \left(1 + x^n\right)\] et on pose $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x$. On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $[0~;~+\infty[$. \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{1}$ et interpréter graphiquement le résultat. (Pour le calcul de $I_{1}$ on pourra utiliser le résultat suivant : pour tout $\left.x \in [0~;~1],\: \dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}\right)$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a: $0 \leqslant I_{n} \leqslant \ln 2$. \item Étudier les variations de la suite $\left(I_{n}\right)$. \item En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[g(x) = \ln (1 + x) - x.\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~+\infty[$. \item En déduire le signe de $g$ sur $[0~;~+\infty[$. Montrer alors que pour tout entier naturel $n$ non nul, et pour tout $x$ réel positif, on a \[\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n.\] \item En déduire la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.} \medskip \begin{enumerate} \item La droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x & \phantom{-2}t + 2\\ y & -2t\\ z & \phantom{-}3t - 1 \end{array}\right.,~ t \in \R$ est parallèle au plan dont une équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$. \item Les plans $P,~ P',~ P''$ d'équations respectives $x - 2y + 3z = 3$, $2x + 3y - 2z = 6$ et $4x - y + 4z = 12$ n'ont pas de point commun. \item Les droites de représentations paramétriques respectives $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& \phantom{-}2 - 3t\\ y& \phantom{-} 1 + \phantom{3}t \\ z& -3 + 2t \end{array}\right.,~ t \in \R$ \:\: et $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& \phantom{-}7 + 2u\\ y& \phantom{-}2 + 2u\\ z& - 6 - \phantom{3}u \end{array}\right.,\:\:u\in \R$ sont sécantes. \item On considère les points : A, de coordonnées $(-1~;~0~;~2)$, B, de coordonnées $(1~;~4~;~0)$ et C, de coordonnées $(3~;~-4~;~-2)$. Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$. \item On considère les points : A, de coordonnées $(-1~;~1~;~3)$, B, de coordonnées $(2~;~1~;~0)$ et C, de coordonnées $(4~;~-1~;~5)$. On peut écrire C comme barycentre des points A et B. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on se propose d'étudier des couples $(a,~b)$ d'entiers strictement positifs, tels que : \[a^2 = b^3.\] Soit $(a,~b)$ un tel couple et $d = \text{PGCD}(a,~b)$. On note $u$ et $v$ les entiers tels que $a= du$ et $b = dv$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $u^2 = dv^3$. \item En déduire que $v$ divise $u$, puis que $v = 1$. \item Soit $(a,~b)$ un couple d'entiers strictement positifs. Démontrer que l'on a $a^2 = b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que si $n$ est le carré d'un nombre entier naturel et le cube d'un autre entier, alors $n \equiv 0\quad [7]$ ou $n \equiv 1 \quad [7]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère la surface $S$ d'équation \[x^2 \times y^2 = z^3.\] Pour tout réel $\lambda$, on note $\mathcal{C}_{\lambda}$ la section de $S$ par le plan d'équation $z = \lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item Les graphiques suivants donnent l'allure de $\mathcal{C}_{\lambda}$ tracée dans le plan d'équation $z = \lambda$, selon le signe de $\lambda$. Attribuer à chaque graphique l'un des trois cas suivants : $\lambda < 0$,\: $\lambda = 0$,\: $\lambda > 0$, et justifier l'allure de chaque courbe. \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.9,-1.5)(1.9,1.5) \psline[linecolor=blue](-1.8,0)(1.6,0)\psline[linecolor=blue](0,-1.2)(0,1.2) \rput(0,-1.4){graphique 1} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.9,-1.5)(1.9,1.5) \rput(0,0){(pas de courbe visible) }\rput(0,-1.4){graphique 2} \end{pspicture}&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.8,-1.5)(1.8,1.5) \psplot[linecolor=blue]{0.08}{1.7}{0.1 x div} \psplot[linecolor=blue]{-1.7}{-0.08}{0.1 x div} \psplot[linecolor=blue]{0.08}{1.7}{0.1 x div neg} \psplot[linecolor=blue]{-1.7}{-0.08}{0.1 x div neg} \rput(0,-1.4){graphique 3}\rput(0.5,0.5){\blue $\mathcal{C}_{\lambda}$} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{25}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs. \item \emph{Pour cette question, on pourra éventuellement s'aider de la question $3$ de la partie \emph{A}.} Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{\nombre{2010}}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2~euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3~euros. On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. \medskip \emph{Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$. \item Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable $X$. \item Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut : \[\text{E}(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.\] \item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive. \end{enumerate} \item Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants. Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20~tirages soit strictement supérieure à $0,999$. \item On suppose que $n = \nombre{1000}$. L'urne contient donc 10~boules blanches et \nombre{1000} boules rouges. Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d'effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu'à obtenir une boule blanche. Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l'on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire $Z$ suivant la loi : \[\text{pour tout}~ k \in \N,~ p(Z \leqslant k) = \int_{0}^k 0,01\text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x.\] On répondra donc aux questions suivantes à l'aide de ce modèle. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50~boules pour avoir une boule blanche, soit $P (Z \leqslant 50)$. \item Calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement : \og le joueur a tiré au maximum 60~boules pour tirer une boule blanche \fg{} sachant l'évènement \og le joueur a tiré plus de 50~boules pour tirer une boule blanche \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ définie par : \[u_{0} = 1 \:\text{ et pour tout }\: n \in \N,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n} + n - 2.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{3}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4,~u_{n} \geqslant 0$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~u_{n} \geqslant n - 3$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ par : pour tout $n \in \N,~v_{n} = -2u_{n} + 3n - \dfrac{21}{2}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. \item En déduire que : pour tout $n \in \N,~ u_{n} = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n + \dfrac{3}{2}n -\dfrac{21}{4}$. \item Soit la somme $S_{n}$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}$. Déterminer l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry 21 avril 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord mai 2010 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{3 juin 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 3 juin 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : \hfill$\text{A}(1~;~- 2~;~4) \quad \text{B}(-2~;~-6~;~5)\quad \text{C}(- 4~;~0~;~-3)$.\hfill{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~-1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation du plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). \item Déterminer les coordonnées du point O$'$ projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). \end{enumerate} \item On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droite (BC). Soit $t$ le réel tel que $\vect{\text{BH}} = t \vect{\text{BC}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $t = \dfrac{\vect{\text{BO}} \cdot \vect{\text{BC}}}{\left\|\vect{\text{BC}}\right\|^2}$. \item En déduire le réel $t$ et les coordonnées du point H. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20\,\% des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10\,\% sont rouges et les autres sont vertes. \medskip \begin{enumerate} \item On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ? \item On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est égale à $\dfrac{2}{7}$. \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue $n$ tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne). \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages. \item Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice. On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1. On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ $(z \neq \text{i})$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$. \item Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D$'$ associé au point D par l'application $f$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i},$ $\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$. \item En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq \text{i})$ : \[\begin{array}{l} \text{B}M' \times \text{A}M = 1\\ \text{et}~ \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.} \end{array}\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. \item En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E$'$ associé au point E par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle BD$'$ E$'$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x,~y)$ solutions de l'équation \[(\text{E}) :\quad 16x - 3y = 4.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple (1,~4) est une solution particulière de (E). \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère la transformation $f$ du plan, qui à tout point $M$ d' affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \hfill $z' = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{8}}z$.\hfill{} \smallskip On définit une suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la manière suivante : le point $M_{0}$ a pour affixe $z_{0} = \text{i}$ et pour tout entier naturel $n$, $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ Les points $M_{0}$, $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ sont placés sur la figure donnée en annexe page 6. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$. \item On note $g$ la transformation $f \circ f \circ f \circ f$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, O$M_{n+4} =4 \text{O}M_{n}$ et que $\left(\vect{\text{O}M_{n}},~\vect{\text{O}M_{n+4}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif. \item Compléter la figure en construisant les points $M_{4}$, $M_{5}$ et $M_{6}$. \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $z_{n} = \left(\sqrt{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{3n\pi}{8} \right)}$. \item Soient deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p \leqslant n$. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $n$ et $p$ une mesure de $\left(\vect{\text{O}M_{p}},~\vect{\text{O}M_{n}}\right)$. \item Démontrer que les points O, $M_{p}$ et $M_{n}$ sont alignés si et seulement si $n - p$ est un multiple de $8$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que le point $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). On pourra utiliser la partie A. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip À tout entier naturel $n$ non nul, on associe la fonction $f_{n}$ définie sur $\R$ par \[f_{n}(x) = \dfrac{4\text{e}^{nx}}{\text{e}^{nx} + 7}.\] On désigne par $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ dans un repère orthonormal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont données en annexe. \medskip \textbf{Partie A :} Étude de la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par $f_{1} (x) = \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 7}$ \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x,~f_{1}(x) = \dfrac{4}{1 + 7\text{e}^{-x}}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet deux asymptotes dont on précisera des équations. \item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est strictement croissante sur $\R$. \item Démontrer que pour tout réel $x,~ 0 < f_{1}(x) < 4$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point I$_{1}$ de coordonnées $(\ln 7~;~2)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_{1}$. \item Déterminer une équation de la tangente $\left(T_{1}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point I$_{1}$. \item Tracer la droite $\left(T_{1}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. \item Calculer la valeur moyenne de $f_{1}$ sur l'intervalle $[0~;~\ln 7]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} Étude de certaines propriétés de la fonction $f_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul le point A$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{n}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul la courbe $\mathcal{C}_{n}$ et la droite d'équation $y = 2$ ont un unique point d'intersection dont on précisera l' abscisse. On note $I_{n}$ ce point d'intersection. \item Déterminer une équation de la tangente $\left(T_{n}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_{n}$ au point $I_{n}$. \item Tracer les droites $\left(T_{2}\right)$ et $\left(T_{3}\right)$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par \[u_{n} = \dfrac{n}{\ln 7}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\ln 7}{n}} f_{n}(x)\:\text{d}x.\] Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3 (enseignement de spécialité)} \end{flushleft} \medskip \psset{unit=0.7cm,arrowsize =2pt 3} \begin{pspicture}(-8,-6)(9,7) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-8,-6)(9,7) \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](0,0)(0,1)(-1.307,0.541)(-1.439,-1.413)(1.067,-2.643) \uput[u](-1.307,0.541){$M_{1}$}\uput[l](-1.439,-1.413){$M_{2}$}\uput[r](1.067,-2.643){$M_{3}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,7){$y$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1){$M_{0}$} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-8,-6)(9,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \medskip \psset{unit=1cm,arrowsize =2pt 3} \begin{pspicture}(-4,-2)(6,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(6,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-2)(6,5) \uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,5){$y$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{6}{2.71828 x exp 4 mul 2.71828 x exp 7 add div} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{6}{2.71828 2 x mul exp 4 mul 2.71828 2 x mul exp 7 add div} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-4}{6}{2.71828 3 x mul exp 4 mul 2.71828 3 x mul exp 7 add div} \uput[dr](1.4,1.5){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \uput[d](2.4,3.7){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](2.5,3.95){$\mathcal{C}_{3}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord mai 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Liban 3 juin 2010 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{3 juin 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty}\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 3 juin 2010 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\text{e}^0 = 1$. \item[$\bullet~$] Pour tous réels $x$ et $y$, $\text{e}^{x} \times \text{e}^{y} = \text{e}^{x + y}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x,~\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$. \item Démontrer que pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n,~ \left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. \item Calculer $u_{1}$. En déduire $u_{0}$. \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n, u_{n} \geqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& \phantom{-}1 + 2t\\ y& - 2 - 3t\\ z&- 1 - \phantom{2}t \end{array}\right. \quad \text{avec}~ t \in \R.\] \item On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l !{=} r} x& 2 - k\\ y& 1 + 2k\\ z& k \end{array}\right. \quad \text{avec}~ k \in \R.\] Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires. \item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que le plan (P) contient la droite (D). \item Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. \end{enumerate} \item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur $\vect{w}(1~;~1~;~- 1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires. \item Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.} \medskip \emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on recommence). \medskip \textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est $3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg \item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ $(\lambda > 0)$. On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$. \textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg \item Soit le nombre complexe $z = 1- \text{i}\sqrt{3}$. \textbf{Proposition 3 :} \og Si l'entier naturel $n$ est un multiple de 3 alors $z^n$ est un réel. \fg \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $a = 2 - \text{i}$ et le point B d'affixe $b = \dfrac{1 + \text{i}}{2}a$. \textbf{Proposition 4 :} \og Le triangle OAB est rectangle isocèle. \fg \item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{- 10}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le nombre conjugué de $z$. \textbf{Proposition 5 :} \og Il existe un point $M$ tel que O, $M$ et $M'$ ne sont pas alignés. \fg \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.} \medskip \emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On note I le milieu du segment [AB]. \textbf{Proposition 1 :} \og La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe $z'= (1 + \text{i})z -1 - 2\text{i}$.\fg \item On appelle S l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $3x - 5y = 2$. \textbf{Proposition 2 :} \og L'ensemble S est l'ensemble des couples $(5k - 1~;~3k -1)$ où $k$ est un entier relatif. \fg \item On considère l'équation (E) : $x^2 + y^2 = 0$\quad modulo 3, où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs. \textbf{Proposition 3 :} \og Il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de $3$. \fg \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. \textbf{Proposition 4 :} \og Pour tout entier naturel $k~ (2 \leqslant k \leqslant n)$, le nombre $n! + k$ n'est pas un nombre premier. \fg \item On considère l'équation (E$'$) : $x^2 -52x + 480 = 0$, où $x$ est un entier naturel. \textbf{Proposition 5 :} \og Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l'équation (E$'$). \fg \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[u(x) = x^2 - 2 + \ln x.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $u$ sur $]0~;~+\infty[$ et préciser ses limites en $0$ et en $+ \infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0~;~+\infty[$. On note $\alpha$ cette solution. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \end{enumerate} \item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$. \item Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x^2 + (2 - \ln x)^2.\] On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$,\:$f'(x)$ en fonction de $u(x)$ \item En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on note : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ; \item[$\bullet~$] A le point de coordonnées $(0~;~2)$ ; \item[$\bullet~$] $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer que la distance A$M$ est donnée par A$M = \displaystyle\sqrt{f(x)}$. \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \displaystyle\sqrt{f(x)}$. \begin{enumerate} \item Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0~;~+\infty[$. \item Montrer que la distance A$M$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté P, dont on précisera les coordonnées. \item Montrer que AP $= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$. \end{enumerate} \item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en P ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Liban 3 juin 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2010 \hypertarget{Antillesjuin}{} \label{Antillesjuin} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{18 juin 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une ou deux des réponses} proposées sont correctes.\\ Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de \np{0,25} point.\\ Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.\\ Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l'exercice est 0.} \smallskip \textbf{Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).} \medskip \begin{enumerate} \item On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:~~}~~}p{2.5cm}} $\dfrac58$ & $\dfrac{21}{32}$ & $\dfrac{11}{32}$ & $\dfrac{3}{8}$ \end{tabular} \end{center} \item On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes. La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:~~}~~}p{2.5cm}} $\dfrac{105}{248}$ & $\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}$ & $\dfrac{21^2}{32^2}$ & $\dfrac{5^2}{8^2}$ \end{tabular} \end{center} \item On suppose que la durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$. La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15~min et 20~min est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:~~}~~}p{2.5cm}} $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{1}{5}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac14$ \end{tabular} \end{center} \item On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à \np{0,15}. La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est égale à: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}} 0,35 à $10^{-2}$ près & $0,85^9$ & $0,85^9\times 0,15$ & $0,85^9\times0,15\times 10$ \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \smallskip Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si: \[ \left\{ \begin{array}{r !{=} lc} \Omega M'& \Omega M & (1)\\ \left(\vect{\Omega M}~;~\vect{\Omega M'}\right) & \theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2) \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$. Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments. \item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$ \end{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation: \[z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0.\] On donnera les solutions sous forme algébrique. \item Soient A et B les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2\text{\,i}$ et $b = 2\sqrt{3}+2\text{\,i}$. \begin{enumerate} \item Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle. \item Faire une figure et placer les points A et B. \item Montrer que OAB est un triangle équilatéral. \end{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $c= -8\text{\,i}$ et D son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. Placer les points C et D. Montrer que l'affixe du point D est $d=4\sqrt{3}+4\i$. \item Montrer que D est l'image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport. \item Montrer que OAD est un triangle rectangle. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm. \smallskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes: \begin{description} \item[Propriété 1 :] Toute similitude indirecte qui transforme un point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ admet une expression complexe de la forme $z'=a\overline{z}+ b$ où $a\in\C^*$ et $b \in \C$. \item[Propriété 2 :] Soit C une point d'affixe $c$. Pour tout point D, distinct de C, d'affixe $d$ et pour tout point E, distinct de C, d'affixe $e$, on a: \[\left(\vect{\text{CD}}~;~\vect{\text{CE}}\right)=\arg\left(\dfrac{e-c}{d-c}\right)~~(2\pi). \] \end{description} \emph{\textbf{Question:}} Montrer qu'une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé. \item Soient les points C et D d'affixes respectives $c=3$ et $d=1-3\i$, et $\mathcal{S}_1$ la similitude qui à tout point $M$ du plan associe le point $M_1$ symétrique de $M$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ des réels. \begin{enumerate} \item Placer les points C et D puis leurs images respectives C$_1$ et D$_1$ par $\mathcal{S}_1$. On complètera le figure au fur et à mesure de l'exercice. \item Donner l'expression complexe de $\mathcal{S}_1$. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}_2$ la similitude directe définie par : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le point C$_1$ et son image C$'$ d'affixe $c'=1+4\text{\,i}$; \item le point D$_1$ et son image D$'$ d'affixe $d'=-2+2\text{\,i}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer que l'expression complexe de $\mathcal{S}_2$ est : $z'=\text{i} z+1+\text{i}$. \item En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la similitude définie par $\mathcal{S}=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1$. Déterminer l'expression complexe de $\mathcal{S}$. \item On pourra admettre désormais que $\mathcal{S}$ est la similitude indirecte d'expression complexe: \[z'=\text{i\,}\overline{z}+1+\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de C par $\mathcal{S}$~? Quelle est l'image de D par $\mathcal{S}$~? \item Soit H le point d'affixe $h$ tel que: $h-c=\text{e}^{\text{\,i}\frac{\pi}{3}}(d - c)$. Montrer que le triangle CDH est équilatéral direct. \item Soit H$'$ l'image de $H$ par $\mathcal{S}$. Préciser la nature du triangle C$'$D$'$H$'$ et construire le point H$'$ (on ne demande pas de calculer l'affixe $h'$ du point H$'$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $I = [-3~;~8]$. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(8,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray,gridwidth=0.5pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\small](0,0)(-4,-2)(8,4) \psset{linecolor=blue,linewidth=1.25pt} \psbezier(-3,-0.78)(-0.7,-0.7)(-0.5,-0.5)(0,0) \psbezier(0,0)(1,1)(0.7,3)(2,3) \psbezier(2,3)(3.3,3)(3,1)(4,0) \psbezier(4,0)(4.5,-0.5)(4.7,-0.7)(8,-0.8) \uput[u](7.85,0){$x$} \uput[r](0,3.85){$y$} \end{pspicture} \end{center} \medskip On définit la fonction $F$ sur $I$, par $F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\text{d}t$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Que vaut $F(0)$~? \item Donner le signe de $F(x)$: \begin{itemize} \item pour $x \in[0~;~4]$; \item pour $x \in[-3~;~0]$. \end{itemize} Justifier les réponses. \item Faire figurer sur le graphique donné en \textbf{ANNEXE} les éléments permettant de justifier les inégalités $6\leqslant F(4)\leqslant 12$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Que représente $f$ pour $F$~? \item Déterminer le sens de variation de la fonction $F$ sur $I$. Justifier la réponse à partir d'une lecture graphique des propriétés de $f$. \end{enumerate} \item On dispose de deux représentations graphiques sur $I$. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \begin{tabular}{ccc} Courbe A& & Courbe B \\ \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(9,11) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](-4,0)(9,11) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,0)(9,11) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,2.25)(-2.5,2.08)(-2,1.76)(-1.5,1.4)(-1,1.15)(-0.5,1.05)(0,1)(0.5,1.2)(1,1.95)(1.5,3.4)(2,5.2)(2.5,7.4)(3,8.85)(3.5,9.9)(4,10.2)(4.5,9.9)(5,9.1)(5.5,7.6)(6,6.3)(6.5,4.8)(7,3.7)(7.5,3)(8,2.3) %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{8}{2.71828 1.3863 x mul x dup mul 0.346574 mul sub exp x sub} \uput[u](8.5,0){\scriptsize $x$} \uput[r](0,10.5){\scriptsize $y$} \end{pspicture} && \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(9,11) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](-4,0)(9,11) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,0)(9,11) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,2.3)(-2.5,1.7)(-2,1.2)(-1.5,0.8)(-1,0.4)(-0.5,0.18)(0,0)(0.5,0.2)(1,0.65)(1.5,1.4)(2,2.3)(2.5,3.15)(3,3.95)(3.5,4.5)(4,4.8)(4.5,4.77)(5,4.6)(5.5,4.4)(6,4.18)(6.5,3.93)(7,3.6)(7.5,3.3)(8,3) \uput[u](8.5,0){\scriptsize $x$} \uput[r](0,10.5){\scriptsize $y$} \end{pspicture} \end{tabular} \end{center} L'une de ces courbes peut-elle représenter la fonction $F$~? Justifier la réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \smallskip Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[g(x) = x - x\ln x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et $+\infty$. \item Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et que $g'(x) = -\ln x$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \smallskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=\dfrac{\text{e}^n}{n^n}$. \begin{enumerate} \item Conjecturer, à l'aide de la calculatrice : \begin{enumerate} \item le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$; \item la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $v_n = \ln \left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $v_n = n - n\ln n$. \item En utilisant la \textbf{Partie A}, déterminer le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$. \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est bornée. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 3} \vspace{0.25cm} Commun à tous les candidats \vspace{0.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-2)(8,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray,gridwidth=0.5pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\small](0,0)(-4,-2)(8,4) \psset{linecolor=blue,linewidth=1.25pt} \psbezier(-3,-0.78)(-0.7,-0.7)(-0.5,-0.5)(0,0) \psbezier(0,0)(1,1)(0.7,3)(2,3) \psbezier(2,3)(3.3,3)(3,1)(4,0) \psbezier(4,0)(4.5,-0.5)(4.7,-0.7)(8,-0.8) \uput[d](7.5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane juin 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Asie juin 2010 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{21 juin 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty}\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 21 juin 2010~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée \textbf{a},~\textbf{b} ou \textbf{c} est exacte. On demande au candidat d'indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlèvent pas de point.} \bigskip \parbox{0.53\linewidth}{ Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points : A(1~;~0~;~0), B(1~;~1~;~0), C(1~;~2~;~0), D(1~;~0~;~1), E(1~;~1~;~1), F(1~;~2~;~1), G(0~;~0~;~1), H(0~;~1~;~1), I(0~;~2~;~1), J(O~;~1~;~0), K(0~;~2~;~0) comme indiqués sur la figure ci -contre :}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm,arrowsize =2pt 3}\begin{pspicture}(-3,-2)(5,4) \psline[linestyle=dashed](-0.9,-0.5)(0,0)(3,0) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,1.5) \psline[linestyle=dashed](0.6,-0.5)(1.5,0)(1.5,1.5)%BJH \pspolygon(-0.9,-0.5)(2.2,-0.5)(2.2,0.95)(-0.9,0.95)%ACFD \psline(2.2,-0.5)(3,0)(3,1.5)(2.2,0.95)%CKIF \psline(3,1.5)(1.5,1.5)(0.6,1)(0.6,-0.5)%IHEB \psline(1.5,1.5)(0,1.5)(-0.9,0.95)%HGD \psline{->}(3,0)(5,0) \psline{->}(-0.9,-0.5)(-2.7,-1.7) \psline{->}(0,1.5)(0,4) \uput[d](-0.9,-0.5){A} \uput[ur](0,0){O} \uput[d](0.6,-0.5){B} \uput[ur](1.5,0){J} \uput[d](2.2,-0.5){C} \uput[ur](3,0){K} \uput[r](2.2,0.95){F} \uput[ur](3,1.5){I} \uput[dr](0.6,1){E} \uput[ur](1.5,1.5){H} \uput[l](-0.9,0.95){D} \uput[ur](0,1.5){G} \uput[u](-2.7,-1.7){$x$} \uput[u](5,0){$y$} \uput[r](0,4){$z$} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Question 1 : Le triangle GBI est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : isocèle. & \textbf{b} : équilatéral.& \textbf{c} : rectangle.\\ \end{tabularx} \medskip \item Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{O},~ 2),~ (\text{A},~-1),~(\text{C},~1)\}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : le point K.& \textbf{b} : le point I.& \textbf{c} : le point J.\\ \end{tabularx} \medskip \item Question 3 : Le produit scalaire $\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\text{FC}}$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : 1.& \textbf{b} : $-1$.& \textbf{c} : 2.\\ \end{tabularx} \medskip \item Question 4 : Les points B, C, I, H : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{Réponse a :} & \textbf{Réponse b :} & \textbf{Réponse c :} \\ sont non coplanaires.& forment un rectangle.& forment un carré. \end{tabularx} \medskip \item Question 5 : Une représentation paramétrique de paramètre $t$ de la droite (KE) est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \shortstack{\textbf{Réponse a:} \\$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t\\ y&=&2 + t\\ z&=&t \end{array}\right.$.} & \shortstack{\textbf{Réponse b:} \\ $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&3 + 4t\\ y&=&t\\ z&=&4t \end{array}\right.$.} & \shortstack{\textbf{Réponse c:} \\$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 - t\\ y&=&1 + t\\ z&=&1 - t \end{array}\right.$.}\\ \end{tabularx} \medskip \item Question 6 : Une équation cartésienne du plan (GBK) est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \shortstack{\textbf{Réponse a} : \\$2x + 2 y- z - 2 = 0$}.& \shortstack{\textbf{Réponse b} : \\$x + y - 3 = 0$}.& \shortstack{\textbf{Réponse c} : \\$x + y + 2z = 2$}.\\ \end{tabularx} \medskip \item Question 7 : La distance du point C au plan (ADH) est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : $\sqrt{2}$.& \textbf{b} : $2$.& \textbf{c} : $\dfrac{1}{2}$.\\ \end{tabularx} \medskip \item Question 8 : Le volume du tétraèdre HJKB est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} \textbf{a} : $\dfrac{1}{2}$.& \textbf{b} : $\dfrac{1}{6}$.& \textbf{c} : $\dfrac{1}{3}$.\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B, C et P d'affixes respectives : \[a = - 2,\quad b = 2 - 2\text{i}\sqrt{3},\quad c = 3+3\text{i}\sqrt{3}\quad \text{et} \quad p = 10.\] \medskip \textbf{PARTIE A Étude de la configuration} \medskip \begin{enumerate} \item Construction de la figure. \begin{enumerate} \item Placer les points A et P dans le repère \Ouv. \item Déterminer les modules des nombres complexes $b$ et $c$. \item Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C. \end{enumerate} \item Démontrer que le triangle BCP est équilatéral. \item On note $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que l'image Q du point C par $r_{\text{A}}$ a pour affixe : $q = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$. \item Vérifier l'égalité : $q = -2b$. \\Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ? \end{enumerate} \item Soit R le symétrique de C par rapport à O. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O. \item Établir que: AP = BQ = CR. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, associe le réel $f(M)$ défini par : \[f(M) = M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f(\text{O})$. \item Soient $M$ un point quelconque et $N$ son image par la rotation $r_{\text{A}}$. Démontrer que : $M\text{A} = MN$ puis que $M\text{C} = N\text{Q}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point $M$ du plan, $f(M) \geqslant 12$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~ \vect{u},~\vect{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points B, C et H d'affixes respectives : \[b = 5\text{i},\quad c = 10\quad \text{et}\quad h = 2 + 4\text{i}.\] \emph{Construire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.} \medskip \begin{enumerate} \item Étude de la position du point H \begin{enumerate} \item Démontrer que le point H appartient à la droite (BC). \item Calculer $\dfrac{h}{h - c}$, et en déduire que $\left(\vect{\text{HC}}~;~\vect{\text{HA}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$. \end{enumerate} \item Étude d'une première similitude \begin{enumerate} \item Calculer les rapports : $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}},~\dfrac{\text{BA}}{\text{AC}}$ et $\dfrac{\text{AH}}{\text{CH}}$. \item Démontrer qu'il existe une similitude directe $S_{1}$ qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB. \item Déterminer l'écriture complexe de cette similitude $S_{1}$ ainsi que ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Étude d'une seconde similitude \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation} On note $S_{2}$ la similitude qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' =(- 1 - 2\text{i})\overline{z} + 10.\] Démontrer que $S_{2}$ est composée d'une symétrie orthogonale d'axe ($\Delta$), et d'une similitude directe dont le centre $\Omega$ appartient à ($\Delta$). Préciser ($\Delta$). \item Étude d'une composée \begin{enumerate} \item Calculer le rapport de la similitude composée $S_{2} \circ S_{1}$. \item En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$. \medskip L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; \item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements suivants : \begin{enumerate} \item $A$ : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ; \item $B$ : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. \item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé : \medskip \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3cm,treesep=1cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$V_n$}\naput{$p_n$}} { \TR{$V_{n+1}$}\naput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}} \TR{$\overline{V_{n+1}}$}\nbput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{V_{n}}$}\nbput{$1-p_n$}} { \TR{$V_{n+1}$}\naput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}} \TR{$\overline{V_{n+1}}$}\nbput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}} } } \bigskip \end{center} \medskip \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$. \item On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. \item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} L'objectif de l'exercice est l'étude d'une fonction et d'une suite liée à cette fonction. \end{center} \textbf{PARTIE A} \medskip On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Étude des limites \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \item Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item Étude des variations de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par : \[f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}}(2x + 1).\] \item Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième. \end{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B Étude d'une suite d'intégrales} \medskip Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ on considère l'intégrale $I_{n}$ définie par : \[I_{n} = \int_{1}^2 \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $I_{2}$. \item Une relation de récurrence \begin{enumerate} \item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ : \[I_{n+1} = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n-1}} + (1 - n)I_{n}.\] \item Calculer $I_{3}$. \end{enumerate} \item Étude de la limite de la suite de terme général $I_{n}$ \begin{enumerate} \item Établir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2], on a : $0 \leqslant \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}$. \item En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $\left(I_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2010 \hypertarget{Centres etrangers}{} \label{Centres etrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{14 juin 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ Baccalauréat S Centres étrangers 14 juin 2010}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. \bigskip \textbf{Question 1} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les droites ($\mathcal{D}_{1}$) et ($\mathcal{D}_{2}$) de représentations paramétriques : \[(\mathcal{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l !{=} r} x& - 1 + 2t\\ y& - 3t\\ z&1 + t \end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad (\mathcal{D}_{2}) \left\{\begin{array}{l !{=} r} x& 1 - 2t\\ y& 5 - t\\ z&-2 + t \end{array}\right. (t \in \R).\] \emph{Affirmation} : Les droites ($\mathcal{D}_{1}$) et ($\mathcal{D}_{2}$) sont orthogonales. \medskip \textbf{Question 2} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique : \[(\mathcal{D})\left\{\begin{array}{l !{=} r} x& 1 + 4t\\ y& - 2 + 2t\\ z& 3 - 2t \end{array}\right. (t \in \R).\] \emph{Affirmation} : Le plan $(\mathcal{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$. \medskip \textbf{Question 3} \medskip La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0003}$. On rappelle que, pour tout $t \geqslant 0,~ p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. \emph{Affirmation} : La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à \np{2000} heures est inférieure à $0,5$. \medskip \textbf{Question 4} \medskip $A$ et $B$ sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : \[p(A) = 0,4,\quad p_{A}(B) = 0,7\quad \text{et} \quad p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,1.\] \emph{Affirmation} : La probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé est égale à $\dfrac{14}{41}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe $a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui-même, qui au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ tel que : \[z' =\dfrac{\text{i}z}{z + 1}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe des points $M$ tels que $M' = M$. \item Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a : \[\text{O}M' = \dfrac{\text{O}M}{\text{A}M}~\text{et}~ \left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{O}}\right) + \dfrac{\pi}{2}~\text{à}~2\pi~\text{près}.\] \item \begin{enumerate} \item Soit B le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$. Placer dans le repère le point B et la médiatrice ($\Delta$) du segment [OA]. \item Calculer sous forme algébrique l'affixe $b'$ du point B$'$ image du point B par $f$. Établir que B$'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon 1. Placer le point B$'$ et tracer le cercle $(\mathcal{C})$ dans le repère. \item En utilisant la question 2, démontrer que, si un point $M$ appartient à la médiatrice ($\Delta$), son image $M'$ par $f$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$. \item Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point C par $f$ (On laissera apparents les traits de construction.) \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts de A et de O dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses. Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante. \begin{enumerate} \item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,~y) \neq (-1,~0)$ et $(x,~y) \neq (0,~0)$. Démontrer que la partie imaginaire de $z'$ est égale à : \[\text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}\] En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble ($\Gamma$) et le tracer dans le repère. \item À l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble ($\Gamma$). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm, on considère les points A, B, C, M, N et P d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i},~ b = - 1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C, M, N et P dans le repère. \item Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et NMP. \item En déduire que ces deux triangles sont semblables. \end{enumerate} \emph{Dans la suite de l'exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle \emph{ABC} en le triangle \emph{MNP}.} \item Une similitude directe Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une écriture complexe de la similitude $s$ est: \[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\] \item Déterminer le rapport, la valeur de l'angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude $s$. \item Vérifier que la similitude $s$ transforme le point C en M. \end{enumerate} \item Une similitude indirecte Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est : \[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que : $\left\{\begin{array}{l !{=} l} s'(\text A) & \text N\\ s'(\text B) & \text M\\ s'(\text C) & \text P \end{array}\right.$ \item Démontrer que $s'$ admet un unique point invariant K d'affixe $k = 1 - \text{i}$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre K et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et J le point d'affixe $2$. On pose : $f = s'\circ h$. Déterminer les images des points K et J par la transformation $f$. En déduire la nature précise de la transformation $f$. \item Démontrer que la similitude $s'$ est la composée d'une homothétie et d'une réflexion. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les deux courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ d'équations respectives $y = \text{e}^x$ et $y = -x^2 - 1$ dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique tangente $\mathcal{T}$ commune à ces deux courbes. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique représenté dans l'annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l'aide d'une règle. Lire graphiquement l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$. \item On désigne par $a$ et $b$ deux réels quelconques, par A le point d'abscisse $a$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et par B le point d'abscisse $b$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ au point A. \item Déterminer une équation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ au point B. \item En déduire que les droites $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ et $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ sont confondues si et seulement si les réels $a$ et $b$ sont solutions du système (S) : \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} \text{e}^a& - 2b \\ \text{e}^a - a\text{e}^a & \phantom{-2}b^2 - 1 \end{array}\right..\] \item Montrer que le système (S) est équivalent au système (S$'$) : \[\left\{\begin{array}{l !{=} r} \text{e}^a& - 2b \\ \text{e}^{2a} + 4a\text{e}^a - 4\text{e}^a - 4& 0 \end{array}\right..\] \end{enumerate} \item Le but de cette question est de prouver qu'il existe un unique réel solution de l'équation \[(\text{E})~~:\quad \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4 = 0.\] Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]- \infty~;~0[,~\text{e}^{2x} - 4 < 0$ et $4\text{e}^{x}(x - 1) < 0$. \item En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution dans l'intervalle $]- \infty~;~0[$. \item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $a$ cette solution. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $a$. \end{enumerate} \item On prend pour A le point d'abscisse $a$. Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du réel $b$ pour lequel les droites $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ et $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ sont confondues. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 6 - \dfrac{5}{x + 1}.\] Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et vérifiant pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Étude de propriétés de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = x$. On note $\alpha$ la solution. \item Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$. De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty[$ alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item Étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$ Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] \begin{enumerate} \item Sur le graphique représenté dans l'annexe 2, sont représentées les courbes d'équations $y = x$ et $y=f(x)$. Placer le point $A_{0}$ de coordonnées $\left(u_{0}~;~0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_{0}$ les points $A_{1}$,~$A_{2}$,~$A_{3}$ et $A_{4}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Étude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ \emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)} \vspace{0.25cm} \textbf{Annexe 1 (Exercice 3, question 1)} \vspace{0.25cm} \psset{unit=1.cm,arrowsize =2pt 3} \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-5}{1.59}{2.71828 x exp} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-2}{2}{x dup mul 1 add neg} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{Annexe 2 (Exercice 4, question 2. a.)} \vspace{0.25cm} \psset{unit=1cm,arrowsize =2pt 3} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,9.1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9.5,9) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{9.5}{6 5 x 1 add div sub} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{8.5}{x} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% Fin Centres étrangers juin 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2010 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small 22 juin 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 22 juin 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 + \ln (1 + x).\] On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. On note $\mathcal D$ la droite d'équation $y = x$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$. \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \end{enumerate} \item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par \[g(x) = f(x) - x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 1} g(x)$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(1 + x)}{1 + x}$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$, puis dresser le tableau de variations de la fonction~$g$. \item Montrer que sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha$ négative et $\beta$ appartenant à l'intervalle [2~;~3]. \item À l'aide des questions précédentes, déterminer le signe de $g(x)$. En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $\mathcal D$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $\left\{\begin{array}{l !{=} l} u_{0}&2\\ u_{n+1}&f\left(u_{n}\right) \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ 2 \leqslant u_{n} \leqslant \beta$. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \bigskip \textbf{Partie I} \medskip On dispose d'un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires. \item Soit l'évènement $C$ : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg. Démontrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $\dfrac{7}{18}$. \item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes. \item À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On dispose d'un second dé cubique B équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ; \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé B et on note la couleur de la face obtenue; \item[$\bullet~$] si la face obtenue est noire, on lance le dé A et on note la couleur de la face obtenue. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation. \item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer ? \end{enumerate} \item Montrer que la probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$. \item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment. \textbf{Partie A} \medskip On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions $f$, définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifiant la condition (E) : \[\text{pour tout nombre réel $x$ strictement positif,}~ xf'(x) - f(x) = x^2\text{e}^{2x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifie la condition (E), alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ vérifie : \[\text{pour tout nombre réel $x$ strictement positif,}~ g'(x) = \text{e}^{2x}.\] \item En déduire l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ qui vérifient la condition (E). \item Quelle est la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ qui vérifie la condition (E) et qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{\text{e}}{2}x.\] On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif $x$, le signe de $h(x)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} x\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ et en déduire $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} h(x)\:\text{d}x$. \item En déduire, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire de la partie du plan située en dessous de l'axe des abscisses et au dessus de la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie I : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C. \medskip On rappelle que $\left(\vect{u},~\vect{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$. \medskip Montrer que $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère le point A d'affixe $1 + \text{i}$. On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{z -1- \text{i}}{z}.\] Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe i. \item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $\left|z'\right| = 1$. \item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité } \medskip \textbf{Partie 1 : Restitution organisée de connaissances} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Prérequis :} \medskip On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe. Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points A et C sont distincts et d'autre part que les points B et D sont distincts. Démontrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s$(A) = B et $s$(C) = D. \bigskip \textbf{Partie II} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right)$ ; $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. On considère le point C tel que ABCD est un carré. Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que $\left(\vect{\text{ED}},~\vect{\text{EF}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l'exercice. \item Préciser les nombres complexes $a,~b,~c,~d,~e,~f,~g$, affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G. \item Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que $s$(D) = F et $s$(B) = D. \end{enumerate} \item On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe $s$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de la similitude directe $s$. \item Donner l'écriture complexe de cette similitude. \item Déterminer, le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Métropole 23 juin 2010 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 22 juin 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 22 juin 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation différentielle \[(\text{E}) :\quad y' + y = \text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $u(x) = x\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle (E). \item On considère l'équation différentielle (E$'$) : $y' + y = 0$. Résoudre l'équation différentielle (E$'$). \item Soit $v$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Montrer que la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction $v - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$). \item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle (E) telle que $g(0) = 2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f_{k}(x) = (x + k)\text{e}^{-x}\] où $k$ est un nombre réel donné. On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f_{k}$ admet un maximum en $x = 1- k$. \item On note $M_{k}$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisse $1- k$. Montrer que le point $M_{k}$ appartient à la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$. \item Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$ ; \item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'équation $y = (x + k)\text{e}^{-x}$ pour un certain nombre réel $k$ donné. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). \item En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes. \end{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^2 (x + 2)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. Donner une interprétation graphique de cette intégrale. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \medskip Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence des deux converge vers $0$. \item[] Propriété 1 : si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec $\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$. \item[] Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \emph{Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Dans les cas suivants, les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? Justifier les réponses. \begin{enumerate} \item $u_{n} = 1 - 10^{-n}$ et $v_{n} = 1 + 10^{-n}$ ; \item $u_{n} = \ln (n + 1)$ et $v_{n} = \ln (n + 1) + \dfrac{1}{n}$ ; \item $u_{n} = 1 - \dfrac{1}{n}$ et $v_{n} = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}$. \end{enumerate} \item On considère un nombre réel $a$ positif et les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout nombre entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = 1 - \dfrac{1}{n}$ et $v_{n} = \ln \left( a + \dfrac{1}{n}\right)$. Existe-t-il une valeur de $a$ telle que les suites soient adjacentes ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip \begin{enumerate} \item Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{21}{40}$&$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9}\times \dfrac{1}{3}$&$\dfrac{7}{10}\times \dfrac{7}{10}\times\dfrac{1}{3}$\\ \end{tabularx} \medskip \item De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{3^3 \times 7^2}{10^5}$&$\displaystyle\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2 \times \left(\dfrac{7}{10}\right)^3$&$\displaystyle\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^3\times \left(\dfrac{7}{10}\right)^2$\\ \end{tabularx} \medskip \item De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1. Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{7}{60}$&$\dfrac{14}{23}$& $\dfrac{\dfrac{7}{10\rule[-2pt]{0pt}{0pt}}\times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1\rule{0pt}{8pt}}{2}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}}$\\ \end{tabularx} \medskip \item On note $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. ($\lambda$ étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l'évènement $[1 \leqslant X \leqslant 3]$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $\text{e}^{-\lambda} - \text{e}^{-3\lambda}$&$\text{e}^{-3\lambda} - \text{e}^{-\lambda}$&$\dfrac{\text{e}^{-\lambda}}{\text{e}^{-3\lambda}}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A. Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha = 2\overline{\alpha} - 8$. \item Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item Soit D un point du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. \begin{enumerate} \item Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \item Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$. \end{enumerate} \item Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. \begin{enumerate} \item Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$. \item On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$. Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a. En déduire que le triangle AFG est équilatéral. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du côté AF du triangle AFG est minimale. On admet que AF$^2 = 4 - 3 \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$. Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *6{c} c|} \hline x & -\pi & \esp & -\dfrac{\pi}{6} & \esp & \dfrac{5\pi}{6} & \esp & \pi \rule[-13pt]{0pt}{30pt}\\ \hline & \Rnode{max1}{\phantom{99}} & & & & \Rnode{max2}{\phantom{99}} & & \\ f & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min1}{\phantom{99}} & & & & \Rnode{min2}{\phantom{99}} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min1} \ncline{->}{min1}{max2} \ncline{->}{max2}{min2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip Dans tout l'exercice, \Ouv{} est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4~cm). On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la transformation $T$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point d'affixe $- \overline{z} + 2$. \begin{enumerate} \item Déterminer les images respectives par la transformation $T$ du point A et du point $\Omega$ d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$. \item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $T$. \item Déterminer l'image par la transformation $T$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. \end{enumerate} \item $\mathcal{C}'$ désigne le cercle de centre O$'$ d'affixe 2 et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Construire le point A$'$ appartenant au cercle $\mathcal{C}'$ tel que : $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}'\text{A}'}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad [\text{modulo}~ 2\pi]$. \item À tout point $M$ du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ du cercle $\mathcal{C}'$ d'affixe $z'$ tel que: $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{3}\quad [\text{modulo}~ 2\pi]$. Déterminer le module et un argument de $\dfrac{z' - 2}{z}$. \\En déduire que $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} z + 2$. \item Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r$ qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} z + 2$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip À tout point $M$ du plan, on associe le point $M_{1}$ milieu du segment $[MM']$. Quel est le lieu géométrique du point $M_{1}$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)} (\textbf{à rendre avec la copie}) \vspace{1,5cm} \psset{unit=1.75cm} \begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(5,5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3.5,-2.5)(5,5) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.6}{5}{1 2.71828 x exp div} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2.25}{5}{x 2 add 2.71828 x exp div} \uput[dl](0,0){O} \multido{\n=-3+1}{8}{\psline(\n,0)(\n,-0.1)} \multido{\n=-2+1}{7}{\psline(-0.1,\n)(0,\n)} \end{pspicture} \newpage \textbf{ANNEXE 2 (Exercice 4)} (\textbf{à rendre avec la copie}) \end{center} \vspace{2cm} %\setlength{\parindent}{-1cm} \psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)r \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,arrowscale=1.5]{->}(0,0)(1,1) \pscircle(0,0){2} \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](2,0)(1,1.732)(1,-1.732)(-1.25,1.57) \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,0){A} \uput[ur](1,1.732){B} \uput[dr](1,-1.732){C} \uput[ul](-1.25,1.57){D} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole 23 juin 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie 10 juin 2010 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{10 juin 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats.} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{center} \textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center} \textbf{Prérequis} \medskip Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels. On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$. \medskip \textbf{Questions} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{\strut z \times z'} = \overline{\strut z} \times \overline{\strut z'}$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z$, $\overline{\strut z^n} = \left(\overline{\strut z} \right)^n$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère l'équation (E) : $z^4 = - 4$ où $z$ est un nombre complexe. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si le nombre complexe $z$ est solution de l'équation (E) alors les nombres complexes $- z$ et $\overline{z}$ sont aussi solutions de l'équation (E). \item On considère le nombre complexe $z_{0} = 1 + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $z_{0}$ sous forme exponentielle. \item Vérifier que $z_{0}$ est solution de l'équation (E). \end{enumerate} \item Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}~;~z_{\text{B}} = -1 + \text{i}~;~z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}~\text{et}~z_{\text{D}} = 1 - \text{i}.\] Soit $r$ la rotation du plan de centre C et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{3}$. On appelle E l'image du point B par $r$ et F celle du point D par $r$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la rotation $r$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'affixe du point E, notée $z_{\text{E}}$, est égale à $- 1 + \sqrt{3}$. \item Déterminer l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F. \item Démontrer que le quotient $\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}}$ est un nombre réel. \item Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Des robots se trouvent au centre de gravité O d'un triangle de sommets S, I et X. Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item à chaque étape, il passe par l'un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O ; \item les robots sont programmés de telle sorte que, lors d'une étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ; \item les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; \item on ne tient pas compte des passages par O. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \textbf{Partie A - Un seul robot} \end{center} Un seul robot se trouve au point O. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à $\dfrac{1}{5}$. \item On note $E$ l'évènement : \og au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre \fg. Démontrer que la probabilité de $E$ est égale à $\dfrac{4}{125}$. \item On note $F$ l'évènement : \og au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque \fg. Déterminer la probabilité de $F$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B - Plusieurs robots} \end{center} Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres. Quel nombre minimal $n$ de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l'évènement : \og au moins l'un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 ? \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item les points A(1~;~1~;~1) et B(3~;~2~;~0) ; \item le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur $\vect{\text{AB}}$ pour vecteur normal ; \item le plan (Q) d'équation : $x - y + 2z + 4 = 0$ ; \item la sphère (S) de centre A et de rayon AB. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (P) est : $2x + y - z - 8 = 0$ \item Déterminer une équation de la sphère (S). \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S). \item Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ? \end{enumerate} \item On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées $(0~;~2;~-1)$. \begin{enumerate} \item Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants. \item Soit (D) la droite d'intersection des plans (P) et (Q). Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : $\left\{\begin{array}{l !{=} r} x& t\\ y & 12 - 5t\\ z& 4 - 3t \end{array}\right.$ avec $t \in \R$. \item Vérifier que le point A n'appartient pas à la droite (D). \item On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D). L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? \og Tout point du plan (R) est équidistant des points B et C \fg. Justifier votre réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère l'équation (E) : $7x - 6y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une solution particulière de l'équation (E) \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples $(n,~m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation : \[7^n - 3 \times 2^m = 1\quad (\text{F}).\] \medskip \begin{enumerate} \item On suppose $m \leqslant 4$. Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions. \item On suppose maintenant que $m \geqslant 5$. \begin{enumerate} \item Montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n \equiv 1\quad (\text{mod}~ 32)$. \item En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $n$ est divisible par $4$. \item En déduire que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n \equiv 1\quad(\text{mod}~ 5)$. \item Pour $m \geqslant 5$, existe-t-il des couples $(n,~m)$ d'entiers naturels vérifiant la relation (F) ? \end{enumerate} \item Conclure, c'est-à-dire déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{L'annexe qui suit sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \begin{center}\textbf{Partie A} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[g(x) = \ln (2x) + 1 - x\] \begin{enumerate} \item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la rédaction.} Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[1~;~+ \infty[$ une unique solution notée $\alpha$. \item Démontrer que $\ln (2\alpha) + 1 = \alpha$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = \ln \left(2u_{n}\right) + 1$. On désigne par $(\Gamma)$ la courbe d'équation $y = \ln (2x) + 1$ dans un repère orthonormal \Oij. Cette courbe est donnée dans l'annexe. \begin{enumerate} \item En utilisant la courbe $(\Gamma)$, construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 1 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (x - 1) \text{e}^{1 - x}.\] On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Cette courbe est donnée dans l'annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$, on pose : \[F(x) = \int_{1}^x f(t)\:\text{d}t = \int_{1}^x (t - 1)\text{e}^{1 -t}\:\text{d}t\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $F$ est croissante sur $[1~;~+ \infty[$. \item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout réel $x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$, $F(x) = - x\text{e}^{1 - x} + 1$. \item Démontrer que sur $[1~;~+ \infty[$, l'équation $F(x) = \dfrac{1}{2}$ est équivalente à l'équation $\ln (2x) + 1 = x$. \end{enumerate} \item Soit un réel $a$ supérieur ou égal à $1$. On considère la partie $\mathcal{D}_{a}$ du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = a$. Déterminer $a$ tel que l'aire, en unités d'aires, de $\mathcal{D}_{a}$, soit égale à $\dfrac{1}{2}$ et hachurer $\mathcal{D}_{a}$ sur le graphique. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture*}(-1,-3.5)(7.5,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridcolor=orange](-1,-4)(7.5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-3.5)(7.5,3.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{1}{7.5}{x 2 mul ln 1 add} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{1}{7.5}{2.71828 1 x sub exp x 1 sub mul} \uput[u](6.5,0.1){\red $(\mathcal{C})$} \uput[d](6.5,3.5){\blue $(\Gamma)$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2010 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\[7pt]septembre 2010}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\] \textbf{Proposition 1} : Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. \item On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que : \[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\] \textbf{Proposition 2} : Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente. \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [0~;~1]. \textbf{Proposition 3} : Si $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$ alors $f = g$ sur l'intervalle [0~;~1]. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unité : 1~cm). On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \medskip On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$ $s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$. \medskip Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$. On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de $h$. \item Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d = - 2 - 4\text{i}$. \end{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. \item Soit P le milieu du segment [AC]. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $p$ du point P. \item Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$. \end{enumerate} \item Soit Q le milieu du segment [BD]. Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d'un sac contenant une boule noire et 9~boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n'est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. On appelle $N$ l'évènement \og la boule noire figure parmi les boules tirées \fg{} et $G$ l'évènement \og le joueur gagne \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $N$. \item Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{3}{10}$.On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré la boule noire ? \end{enumerate} \item Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de $m$ euros est demandée, où $m$ est un réel strictement positif. \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. \item[ ] S'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise. \item[ ] S'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. \end{description} \setlength\parindent{0mm} On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Exprimer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $m$. \item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de $X$ est nulle. Déterminer $m$ pour que le jeu soit équitable. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On joue $n$ fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac. Déterminer la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à $0,999$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $g$. \item Donner le tableau de variations de $g$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$. \end{enumerate} \item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. \item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$. On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. La figure est donnée en annexe. Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$, \item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$, \item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. \item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$. La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ? \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \end{center} \vspace{1,5cm} \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie.} \bigskip \textbf{Exercice 4} \vspace{1,5cm} \begin{center} \psset{unit=2.4cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,3) \uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,2.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2.5,0.3){\blue $\mathcal{C}$} \psgrid[subgriddiv=6,gridcolor=orange,gridlabels=0](-1,-2)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,3) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane septembre 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% La Réunion septembre 2010 \hypertarget{Reunionsep}{} \label{Reunionsep} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small septembre 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion septembre 2010~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les plans $\mathcal P$ et $\mathcal Q$ d'équations respectives : \[x+ y + z = 0 \quad \text{et} \quad 2x + 3y + z - 4 = 0.\] \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection des plans $\mathcal P$ et $\mathcal Q$ est la droite $\mathcal D$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l !{=} r} x& -4 -2t\\ y& 4 + t\\ z& t \end{array}\right. \text{où $t$ est un nombre réel.}\] \item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère le plan $\mathcal P_{\lambda}$ d'équation : $(1- \lambda)( x + y + z) + \lambda(2 x + 3 y + z - 4) = 0$. \begin{enumerate} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}( 1 + \lambda~;~ 1 + 2\lambda~;~ 1)$ est un vecteur normal du plan $\mathcal P_{\lambda}$. \item Donner une valeur du nombre réel $\lambda$ pour laquelle les plans $\mathcal P$ et $\mathcal P_{\lambda}$ sont confondus. \item Existe-t-il un nombre réel $\lambda$ pour lequel les plans $\mathcal P$ et $\mathcal P_{\lambda}$ sont perpendiculaires ? \end{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal D'$, intersection des plans $\mathcal P$ et $\mathcal P_{-1}$. Montrer que les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ sont confondues. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} On considère le point A(1~;~1~;~1). Déterminer la distance du point A à la droite $\mathcal D$, c'est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite $\mathcal D$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.} \medskip Dans une fête foraine, Luc décide de participer à un jeu qui se déroule de la manière suivante: Luc tire au hasard un jeton dans une urne contenant quatre jetons rouges et deux jetons bleus. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si le jeton tiré est bleu. Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne le premier jeton tiré, il tire au hasard un deuxième jeton dans l'urne. \item[$\bullet~$] Si le deuxième jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne les deux jetons précédents, il tire au hasard un troisième jeton dans l'urne. \item[$\bullet~$] Si le troisième jeton est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, le jeu s'arrête et Luc a perdu. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du deuxième tirage est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{19}{15}$&$\dfrac{2}{5}$&$\dfrac{11}{15 }$&$\dfrac{4}{15 }$\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du troisième tirage est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{2}{15 }$&$\dfrac{1}{9}$\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité que Luc gagne à ce jeu après avoir effectué au moins deux tirages est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{3}{5}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{7}{15 }$&$\dfrac{1}{3}$\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité que Luc gagne à ce jeu, sachant qu'il a obtenu un jeton rouge au premier tirage est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} $\dfrac{7}{10}$&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{11}{15 }$&$\dfrac{5}{9}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1.\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en $0$. \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$. Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$. En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$. \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $ f'_{k}(x) = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$. \item Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|l*4{c}|} \hline x & 0 & \esp & \dfrac{1}{\sqrt{2k}} & \esp & +\infty \rule[-13pt]{0pt}{30pt} \\ %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\;\vline& & \Rnode{max}{\dfrac{1-\ln(2k)}{2}} & & \rule{0pt}{20pt} \\ ~f_k(x)~ & \vline\;\vline & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\;\vline \Rnode{min1}{\phantom{99}} & & & & \Rnode{min2}{\phantom{99}}\rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau. \item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{k}$ représentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A$\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{k}$. Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche. \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm, arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1,-2.5)(4,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5) \uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$} \uput[u](1,0.5){A} \uput[u](1.3,0.4){\blue $\mathcal{C}_{k}$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{3}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie on pose $k = \dfrac{1}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\ln (x )\:\text{d}x$. On pourra utiliser une intégration par parties. \item Calculer, en unité d'aire, la mesure de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =\dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 8~centimètres. On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$. \item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n$, $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n$, $z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$. \item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 4~centimètres. On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[ z' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i})z.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la transformation $f$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. \item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n$, $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n$, $z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$. \item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$. \item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Prouver que les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion septembre 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2010 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 16 septembre 2010} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Métropole 16 septembre 2010 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x (1 - \ln x).\] La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). \medskip \textbf{Partie 1 : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. \item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II: Un calcul d'aire} \medskip Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, en unité d'aire, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, en distinguant le cas $a < \text{e}$ et le cas $a > \text{e}$. \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\mathcal{A}(a)$ en fonction de $a$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par \[u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}.\] \medskip Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$. On donne en annexe 2 (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. \item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$ \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b. \end{enumerate} \item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. \item Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& - t + 1\\ y& 2t \\ z& - t + 2 \end{array}\right. \text{où}~t~\text{désigne un nombre réel.}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier. \item Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$. \end{enumerate} \item Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$. \item Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$. \item Montrer que CI $= \sqrt{3}$. \end{enumerate} \item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$. \item Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2. Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. \item On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$. Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. \item Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{BI}}$. Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ? Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F{}, G ont pour affixes respectives \[z_{\text{A}} = -2,\quad z_{\text{B}} = -2 + \text{i},\quad z_{\text{C}}= \text{i},\quad z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},\quad z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},\quad z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\] Voir la figure donnée en annexe 3. \medskip \begin{enumerate} \item On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E. \begin{enumerate} \item Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$. \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$. \item Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ? \end{enumerate} \item On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{\,i\,}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$. \item On considère la similitude $g = s' \circ s$. Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)\\ (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-0.5,-2.6)(5.25,2.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul} \uput[d](1.7,0){\red $a$}\uput[l](0,0.7979){\red $f(a)$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} \uput[ur](2.3,0.3){\blue $\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 (Exercice 2)} (à rendre avec la copie) \vspace{2cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(7,4.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{4.25}{x} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x 2 add div} \uput[ul](0,0){O} \uput[ul](3.8,3.8){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 3 (Exercice 4)\\ Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{2cm} \psset{unit=2.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-2,-0.5)(3.5,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-0.5)(3.5,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psframe(-2,1) \psframe(1,0)(2.5,3) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](-2,0){A} \uput[ul](-2,1){B} \uput[ur](0,1){C} \uput[d](1,0){D} \uput[ul](1,3){E} \uput[ur](2.5,3){F} \uput[d](2.5,0){G} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2010 \hypertarget{Polynesiesep}{} \label{Polynesiesep} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\[7pt]septembre 2010}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\] \textbf{Proposition 1} : Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. \item On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que : \[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\] \textbf{Proposition 2} : Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente. \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [0~;~1]. \textbf{Proposition 3} : Si $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$ alors $f = g$ sur l'intervalle [0~;~1]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unité : 1~cm). On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \medskip On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$ $s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$. \medskip Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$. On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de $h$. \item Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d = - 2 - 4\text{i}$. \end{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. \item Soit P le milieu du segment [AC]. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe $p$ du point P. \item Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$. \end{enumerate} \item Soit Q le milieu du segment [BD]. Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d'un sac contenant une boule noire et 9~boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n'est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. On appelle $N$ l'évènement \og la boule noire figure parmi les boules tirées \fg{} et $G$ l'évènement \og le joueur gagne \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $N$. \item Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{3}{10}$.On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré la boule noire ? \end{enumerate} \item Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de $m$ euros est demandée, où $m$ est un réel strictement positif. \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. \item[ ] S'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise. \item[ ] S'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. \end{description} \setlength\parindent{0mm} On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Exprimer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $m$. \item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de $X$ est nulle. Déterminer $m$ pour que le jeu soit équitable. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On joue $n$ fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac. Déterminer la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à $0,999$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $g$. \item Donner le tableau de variations de $g$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$. \end{enumerate} \item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. \item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$. On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. La figure est donnée en annexe. Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$, \item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$, \item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. \item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$. La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ? \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \end{center} \vspace{1,5cm} \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie.} \bigskip \textbf{Exercice 4} \vspace{1,5cm} \begin{center} \psset{unit=2.4cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,3) \uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,2.9){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2.5,0.3){\blue $\mathcal{C}$} \psgrid[subgriddiv=6,gridcolor=orange,gridlabels=0](-1,-2)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,3) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2010 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small Novembre 2010} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud ~\decofourright\\[7pt]Novembre 2010}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{On admet que si $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Si $\Delta$ coupe $\mathcal{D}$ en le point I et $\mathcal{D}'$ en le point J, la distance IJ est appelée distance de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{D}'$.} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On note $\mathcal{D}$ la droite des abscisses et $\mathcal{D}'$, la droite de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l !{=} r} x & -t\\ y & 3 + 3t\\ z & 1 - t \end{array}\right.,~t \in \R.\] \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires. \item On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire commune à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Prouver qu'il existe deux réels $b$ et $c$ tels que le vecteur $\vect{w} = b\vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit un vecteur directeur de $\Delta$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $-3y + z = 0$ est un plan contenant la droite $\mathcal{D}$. \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$. \item Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur $\vect{w}$ est sécante à $\mathcal{D}$ en un point I et qu'elle est la perpendiculaire commune à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. \item En déduire la distance de $\mathcal{D}$ à $\mathcal{D}'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,9.5) \pspolygon(0,2.3)(8.7,2.3)(11.7,6.2)(3,6.2) \psline(3,6)(8.5,3.3) \psline(4.4,2.9)(10.5,5.5) \psline(7.4,9.3)(4.7,5.2) \psline[linestyle=dashed](4.7,5.2)(2.8,2.3) \psline(2.8,2.3)(1.1,0) \uput[dl](4.5,5.3){J}\uput[u](10,5.3){$\mathcal{D}$} \uput[d](8.3,3.2){$\Delta$}\uput[l](7,8.6){$\mathcal{D}'$} \uput[ur](0.2,2.3){$\mathcal{P}$}\uput[d](7,4){I} \psline(4.9,5.05)(5.04,5.23)(4.8,5.35) \psline(6.8,4.12)(7.05,4.25)(7.28,4.15) \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip Soit A, B et P les points d'affixes respectives $a = 5 + 5\text{i},~b = 5 - 5\text{i}$ et $p = 10$. On considère un point $M$, distinct de O, d'affixe $z$. On note $U$ le point d'affixe $u$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{A}}$ de centre A et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$. On note $T$ le point d'affixe $t$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{B}}$ de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. Soit $D$ le symétrique du point $M$ par rapport à O. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que l'affixe du point $U$ est $u = \text{i}(10 - z)$ ; exprimer en fonction de $z$ l'affixe du point $T$ puis justifier que le quadrilatère $MUDT$ est un parallélogramme de centre O. \item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $z\,\overline{z} - 5z - 5\,\overline{z} = 0$. Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans $\Gamma$. \item On suppose que le point $M$ est distinct de O, A et P. Les points O, $M$ et $U$ sont donc distincts deux à deux. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{u}{z} = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}$. \item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $M$ appartient à $\Gamma$. \end{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que O$MU$ soit un triangle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère $MUDT$ ? \item Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{u}{z}$ soit un imaginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère $MUDT$ dans le cas où $M$ est un point de la droite (OP) privée de O et P. Prouver finalement qu'il existe une unique position du point $M$ tel que $MUDT$ soit un carré. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $A(n) = n^4 + 1$. \emph{L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de} $A(n)$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelques résultats \begin{enumerate} \item Étudier la parité de l'entier $A(n)$. \item Montrer que, quel que soit l'entier $n,~A(n)$ n'est pas un multiple de 3. \item Montrer que tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$. \item Montrer que, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ : \[n^8 \equiv 1\quad \mod d.\] \end{enumerate} \item Recherche de critères Soit $d$ un diviseur de $A(n)$. On note $s$ le plus petit des entiers naturels non nuls $k$ tels que $n^k \equiv 1\quad \mod d$. \begin{enumerate} \item Soit $k$ un tel entier. En utilisant la division euclidienne de $k$ par $s$, montrer que $s$ divise $k$. \item En déduire que $s$ est un diviseur de 8. \item Montrer que si, de plus, $d$ est premier, alors $s$ est un diviseur de $d - 1$. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. \end{enumerate} \item Recherche des diviseurs premiers de $A(n)$ dans le cas où $n$ est un entier pair. Soit $p$ un diviseur premier de $A(n)$. En examinant successivement les cas \\$s = 1,~s = 2$ puis $s = 4$, conclure que $p$ est congru à 1 modulo $8$. \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de $A(12)$. \emph{Indication :} la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, \ldots \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un internaute souhaite faire un achat par l'intermédiaire d'internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un canadien et un indien présentent le matériel qu'il souhaite acquérir. L'expérience a montré que la probabilité qu'il utilise chacun de ces sites vérifie les conditions suivantes (les initiales des pays désignent les évènements \og l'achat s'effectue dans le pays \fg) : \[P(F) = P(A),\quad P(F) = \dfrac{1}{2}P(C)\quad \text{et}~~ P(C) = P(I).\] \begin{enumerate} \item Calculer les quatre probabilités $P(F),~P(A),~P(C)$ et $P(I)$. \item Sur chacun des quatre sites, l'internaute peut acheter un supplément pour son matériel. Ses expériences précédentes conduisent à formuler ainsi les probabilités conditionnelles de cet évènement, noté $S$ : \[P_{F}(S) = 0,2\quad;\quad P_{A}(S) = 0,5\quad ;\quad P_{C}(S) = 0,1\quad ;\quad P_{I}(S) = 0,4\] \begin{enumerate} \item Déterminer $P(S \cap A)$. \item Montrer que $p(S) = \dfrac{17}{60}$. \item L'internaute a finalement acheté un supplément. Déterminer la probabilité qu'il l'ait acheté sur le site canadien. \end{enumerate} \item Sur \np{1000}~internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\begin{tabular}{c}Sites\\ européens\\ \end{tabular}&Site canadien &Site indien\\ \hline \begin{tabular}{c}Effectif \\d'acheteurs\\ \end{tabular}& 335 &310 & 355\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On note respectivement $f_{1},~f_{2}$ et $f_{3}$ les fréquences associées aux effectifs précédents. On pose : $d^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=3} \left(f_{k} - \dfrac{1}{3}\right)^2$. Calculer $d^2$ puis $\np{1000}d^2$. \item On simule \np{3000} fois l'expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi $\{1~;~2~;~3\}$ avec équiprobabilité. Pour chacune de ces simulations on obtient une valeur de $\np{1000}d^2$. Voici les résultats : \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} {\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Minimum &Premier décile &Premier quartile&Médiane &Troisième quartile &Neuvième décile&Maximum\\ \hline \np{0,0005}& \np{0,0763} &\np{0,2111} &\np{0,48845} &\np{0,9401} &\np{1,5104} &\np{5,9256}\\ \hline \end{tabularx}} \medskip Au risque 10\,\%, peut-on considérer que le choix d'un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière équiprobable ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le but de l'exercice est de donner un encadrement du nombre $I$ défini par : \[I = \int_{0}^1 \dfrac{x^2 \text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x. \] Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~1]. \item On pose, pour tout entier naturel $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n f\left(\dfrac{k}{5} \right)$. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier $k$ compris entre 0 et 4, on a : \[\dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k}{5} \right) \leqslant \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{5}f\left(\dfrac{k+1}{5} \right)\] Interpréter graphiquement à l'aide de rectangles les inégalités précédentes. \item En déduire que : $\dfrac{1}{5}S_{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{5}\left(S_{5} - 1 \right)$. \item Donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de $S_{4}$ et de $S_{5}$ respectivement. En déduire l'encadrement : $1,091 \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant 1,164$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de [0~;~1], on a : $\dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + \dfrac{x^2}{1 + x}$. \item Justifier l'égalité $\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x + I$. \item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 (1 - x)\text{e}^x\:\text{d}x$. \item En déduire un encadrement de $I = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2\text{e}^x}{1 + x}\:\text{d}x$ d'amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie novembre 2010 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{15 novembre 2010}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt]15 novembre 2010}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A : restitution organisée de connaissances} \medskip On suppose connus les résultats suivants : Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\star$~] si pour tout $x \in [a~;~b] \quad u(x) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant 0$ \item[$\star$~] $\displaystyle\int_{a}^b[u(x) + v(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x + \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$ \item[$\star$~] $\displaystyle\int_{a}^b \alpha u(x)\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x$ où $\alpha$ est un nombre réel. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ alors : \[\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x.\] \bigskip \textbf{PARTIE B :} \medskip Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par \[\varphi(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln x. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. \item Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. \item Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\] On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. \item Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. \item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : \[0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}.\] \item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. \item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$, dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 1~cm. Soit $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$ du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. Déterminer un encadrement de $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. \item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C. \item Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. \item En déduire la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. \begin{enumerate} \item Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe $- \sqrt{3} - \text{i}$. \item Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. \item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. \item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que \[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\] \item Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On considère la similitude indirecte $f$ d'écriture complexe \[z' = \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\overline{z}\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$. Soient les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{\text{B}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$. On note A$'$ et B$'$ les images respectives des points A et B par $f$. \medskip \textbf{Une figure fournie en ANNEXE du sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Les différentes constructions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle. \item Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct. \item En déduire la nature du triangle OA$'$B$'$. \item Montrer que l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$ vérifie l'égalité : $z_{\text{A}'} = 2z_{\text{A}}$. En déduire la construction de A$'$ et B$'$. \end{enumerate} \item On note $r$ la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$, et $s$ la symétrie orthogonale d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. On pose $g = r \circ s$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la transformation $g$. \item Montrer que les points O et A sont invariants par $g$. \item En déduire la nature de la transformation $g$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut écrire $f = h \circ g$, où $h$ est une homothétie de centre et de rapport à déterminer. \item Sur la figure placée en \textbf{ANNEXE}, un point C est placé. Faire la construction de l'image C$'$ de C par la transformation $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges. \medskip \textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage. \begin{enumerate} \item Vérifier que $P(X = 0) = \dfrac{3}{10}$ puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. \item Calculer la probabilité de l'évènement suivant: A : \og les deux boules tirées sont de même couleur \fg. \end{enumerate} \item On effectue deux tirages successifs d'une boule en respectant la règle suivante : \emph{si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.} %\medskip \begin{enumerate} \item En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants : \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[ ] $B$ : \og seule la première boule tirée est verte \fg, \item[ ] $C$ : \og une seule des deux boules tirées est verte \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item Sachant que l'on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. \medskip \textbf{L'objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d'objets de l'espace} \medskip \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[ ] $\mathcal{P}$ est le plan passant par A(3~; 1~;~2) et de vecteur normal $\vect{n}(1~;~- 4~;~1)$ ; \item[ ] $\mathcal{D}$ est la droite passant par B(1~;~4~;~2) de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~1~;~3)$. \item[ ] $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $\Omega(1~;~9~;~0)$ passant par A. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x - 4y + z - 1 = 0$. \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Calculer la distance $d$ du point $\Omega$ au plan $\mathcal{P}$. \item Calculer le rayon de la sphère $\mathcal{S}$. En déduire l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \item Intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$. \item Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \item En déduire que la droite $\mathcal{D}$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ en deux points $M$ et $N$ distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 2} \vspace{0.5cm} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec la copie } \vspace{1.5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(8.5,6.5) \pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(2.449,1.414)(-1.414,2.449)%OBA \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.4](-1.414,2.449)(2.449,1.414)(2.3,3.2)%ABC \uput[u](-1.414,2.449){B} \uput[ur](2.449,1.414){A} \uput[ur](2.3,3.2){C}\uput[dl](0,0){O} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,gridcolor=orange](-4,-4)(8.,6.) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(8,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle--Calédonie novembre 2010 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2011 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt]mars 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= ay$ où $a \in \R$ sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in \R$. \medskip Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle \begin{center}(E) $y'= ay + b$ où $a \in \R^{*}$ et $b \in \R$.\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E). \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$. \item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en secondes et $v(t)$ en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle : \[10v'(t) + v(t) = 30.\] Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que $v(0)= 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \frac{t}{10}}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à 0,1 m.s$^{-2}$. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. \item La distance $d$ parcourue par ce cycliste entre les instants $t_{1}$, et $t_{2}$ est donnée par $d = \displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\:\text{d}t$. Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L. \medskip Un concurrent tire au hasard un jeton : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, \item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas. \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation. \end{enumerate} \emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Calculer la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet à vélo. \item Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ? \item On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres. L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og non cycliste \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l !{=} l} u_{0}& 1\\ u_{n+1}& u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n. \end{array}\right.$ \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. \item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk. On considère les points A$(-2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC. \item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. \item Soient $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et $x - 2y + 6z = 0$. Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est $\left\{\begin{array}{l !{=} l} x& - 2\\ y& - 1 + 3t\\ z& \phantom{- 1 + 3}t \end{array}\right.,~t \in \R$. \item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \medskip \emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{1} \item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2011 \end{document}