%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} %%% Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot,pst-solides3d,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{.} M. E. P{.}}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small } \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2011~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2011 à mars 2012}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\huge \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 13 avril 2011} \dotfill \pageref{Pondichery} \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 27 mai 2011} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \medskip \hyperlink{Liban}{Liban 30 mai 2011} \dotfill \pageref{Liban} \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 10 juin 2011} \dotfill \pageref{Polynesie} \medskip \hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane 18 juin 2011} \dotfill \pageref{Antillesjuin} \medskip \hyperlink{Asie}{Asie 21 juin 2011} \dotfill \pageref{Asie} \medskip \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers 14 juin 2011} \dotfill \pageref{Centres etrangers} \medskip \hyperlink{LaReunion}{La Réunion 22 juin 2011} \dotfill \pageref{LaReunion} \medskip \hyperlink{Metropolejuin}{Métropole 23 juin 2011} \dotfill \pageref{Metropolejuin} \medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre 2011} \dotfill \pageref{Antillessep} \medskip \hyperlink{Metropolesep}{Métropole 16 septembre 2011} \dotfill \pageref{Metropolesep} \medskip \hyperlink{Polynesiesept}{Polynésie septembre 2011} \dotfill \pageref{Polynesiesept} \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie novembre 2011} \dotfill \pageref{Caledonienov} \medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud 16 novembre 2011} \dotfill \pageref{AmeriqueSud} \medskip \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2012} \dotfill \pageref{Caledoniemars} \medskip} \newpage~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Pondichéry avril 2011 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{13 avril 2011}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} Le sujet est composé de 3 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Partie I Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentatives de deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \medskip \psset{unit=2cm} \begin{center} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1)(5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.26}{5}{1 x div} \uput[u](4.2,2.4){\red$\mathcal{C}_{1}$} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=red]{0.135}{5}{x ln 1 add} \uput[u](4.2,0.3){\blue $\mathcal{C}_{2}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} On sait que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ \item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ \item la fonction $f_{2}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \item la fonction $f_{1}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \item la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_{1}(x)$ est $+ \infty$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \emph{Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.} \medskip \begin{enumerate} \item La limite quand $x$ tend vers $0$ de $f_{2}(x)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $0$& $+ \infty$&On ne peut pas conclure\\ \end{tabularx} \medskip \item La limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} $0$& $0,2$& On ne peut pas conclure\\ \end{tabularx} \medskip \item En $+ \infty$, $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote oblique : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} Oui& Non& On ne peut pas conclure\\ \end{tabularx} \medskip \item Le tableau de signes de $f_{2}(x) - f_{1}(x)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} \psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1) \psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1) \uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$} \uput[u](1,0){\small$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$+$}\end{pspicture}&\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1) \psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1) \uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$} \uput[u](1,0){\small$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$-$}\end{pspicture}&\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1) \psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(2,0)(2,1) \uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$} \uput[u](1,0){\small$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](2.75,0){$+$}\uput[u](3,0){$0$}\uput[u](3.5,0){$-$}\end{pspicture}\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \ln (x) + 1 - \dfrac{1}{x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item En déduire le signe de $f(x)$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = x \ln x - \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle. \item Démontrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. \item Montrer que l'équation $F(x) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$ qu'on note $\alpha$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III} \medskip Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{1}{x}\quad \text{et} \quad h(x) = \ln (x) + 1.\] Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$. \medskip \psset{unit=2cm} \begin{center} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1)(5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1) \uput[dl](0,0){O}\uput[ul](0.3679,0){A}\uput[u](1,1){P}\uput[d](2.4,0){$t$} \pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt] {% \psplot{1}{2.4}{x ln 1 add} % courbe du haut \psplot{2.4}{1}{1 x div} } \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.284}{5}{1 x div} \uput[u](4.2,2.4){\red $\mathcal{C}_{h}$} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=red]{0.137}{5}{x ln 1 add} \uput[u](4.2,0.3){\blue $\mathcal{C}_{g}$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div} \uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=red]{1}{0.3679}{x ln 1 add}} \psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,1.875) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=red]{1}{0.3679}{x ln 1 add} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div} \psline(0.368,0)(0.368,2.71828) \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item A est le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A. \item P est le point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1). \item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$, $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ (domaine grisé sur le graphique). \begin{enumerate} \item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie II. \item Montrer que $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. \end{enumerate} \item Soit $t$ un nombre réel de l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. On note $\mathcal{B}_{t}$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x = 1,~ x = t$ et les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ (domaine hachuré sur le graphique). On souhaite déterminer une valeur de $t$ telle que $\mathcal{A} = \mathcal{B}_{t}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{B}_{t} = t\ln (t) - \ln (t)$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(7,7) \uput[u](3.4,6.7){A}\uput[l](0.3,1.2){B}\uput[d](5,0.1){C}\uput[ur](6.8,2.9){D} \uput[dl](4.2,1.3){A$'$} \pspolygon(6.8,2.9)(3.4,6.7)(0.3,1.2)(5,0.1)(6.8,2.9) \psline(3.4,6.7)(5,0.1) \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](3.4,6.7)(4.2,1.3) \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](0.3,1.2)(6.8,2.9) \end{pspicture} \end{center} \medskip A$'$ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA$'$] est une médiane du tétraèdre ABCD. \begin{enumerate} \item On souhaite démontrer la propriété suivante : $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ : \emph{Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.} \begin{enumerate} \item Montrer que $\vect{\text{AA}'} \cdot \:\vect{\text{BD}\phantom{'}} = 0$ et que $\vect{\text{AA}'}\cdot \:\vect{\text{BC}\phantom{'}} = 0$. (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]). \item En déduire que la médiane (AA$'$) est orthogonale à la face BCD. Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée. \end{enumerate} \item G est l'isobarycentre des points A, B, C et D. On souhaite démontrer la propriété suivante: $\left(\mathcal{P}_{2}\right)$ : \emph{Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en} G. En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite $\left(\text{AA}’\right)$, puis conclure. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip On munit l'espace d'un repère orthonormal \Oijk. On considère les points P(1~;~2~;~3), Q$(4~;~2~;~- 1)$ et R$(-2~;~3~;~0)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier. \item Calculer les coordonnées de P$'$, centre de gravité du triangle OQR. \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR) est : $3x + 2y + 16z = 0$. \item La propriété $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}$ d'équation : \[z = (x - y)^2.\] \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{E}_{1}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{1}$. On note $\mathcal{E}_{2}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $x = 1$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}'$ d'équation : \[z = xy.\] \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{E}_{3}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{3}$ \item On note $\mathcal{E}_{4}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $z = 1$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{4}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On note $\mathcal{E}_{5}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{S}'$. Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0~;~0~;~0). On suppose qu'il existe un point $M$ appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ et dont les coordonnées $x,\:y$ et $z$ sont des entiers naturels. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si $x = 0$, alors le point $M$ est le point O. \item On suppose dorénavant que l'entier $x$ n'est pas nul. \begin{enumerate} \item Montrer que les entiers $x,\, y$ et $z$ vérifient $x^2 - 3xy + y^2 = 0$. En déduire qu'il existe alors des entiers naturels $x'$ et $y'$ premiers entre eux tels que $x'^2 - 3x'y' + y'^2 = 0$. \item Montrer que $x'$ divise $y'^2$, puis que $x'$ divise $y'$. \item Établir que $y'$ vérifie la relation $1 - 3y' + y'^2 = 0$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \SpecialCoor \pscircle(0;0){3} \psline(0;0)(3;-30)\psline(0;0)(3;60)\psline(0;0)(3;120)\psline(0;0)(3;210) \rput(1.75;0){0 point}\rput(1.75;90){5 points} \rput(1.75;180){0 point}\rput(1.75;-90){3 points} \end{pspicture} \end{center} On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups. \medskip \begin{enumerate} \item Le joueur lance une fléchette. On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point. On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points. On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points. On a donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1$. Sachant que $p_{5} = \dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5} = \dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0},\, p_{3}$ et $p_{5}$· \item Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note $G_{2}$ l'évènement : \og le joueur gagne la partie en 2 lancers \fg. On note $G_{3}$ l'évènement: \og le joueur gagne la partie en 3 lancers \fg. On note $P$ l'évènement: \og le joueur perd la partie \fg. On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. \begin{enumerate} \item Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right) = \dfrac{5}{36}$. On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right) = \dfrac{7}{36}$ \item En déduire $p(P)$. \end{enumerate} \item Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ? \item Pour une partie, la mise est fixée à 2~\euro. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5~\euro. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3~\euro. S'il perd, il ne reçoit rien. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc: $-2$, 1 et 3. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de $X$. \item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry 13 avril 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Nord 27 mai 2011 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{27 mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \cfoot{\thepage} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 27 mai 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On considère les points A et B d'affixes respectives : $a = \text{i}$ et $b = 1 + \text{i}$. On note : $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_{\text{O}}$ la rotation de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \begin{center} \textbf{Partie A } \end{center} On considère le point C d'affixe $c = 3\text{i}$. On appelle D l'image de C par $r_{\text{A}}$, G l'image de D par $r_{\text{B}}$ et H l'image de C par $r_{\text{O}}$. On note $d, g$ et $h$ les affixes respectives des points D, G et H. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $d = -2+ \text{i}$. \item Déterminer $g$ et $h$. \item Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} On considère un point $M$, distinct de O et de A, d'affixe $m$. On appelle $N$ l'image de $M$ par $r_{\text{A}}$, $P$ l'image de $N$ par $r_{\text{B}}$ et $Q$ l'image de $M$ par $r_{\text{O}}$. On note $n, p$ et $q$ les affixes respectives des points $N,\, P$ et $Q$. \begin{enumerate} \item Montrer que $n = \text{i}m + 1 + \text{i}$. On admettra que $p = -m + 1+\text{i}$ et $q = -\text{i}m$. \item Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme. \item \begin{enumerate} \item Montrer l'égalité : $\dfrac{m - n}{p - n} = \text{i} + \dfrac{1}{m}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ tels que le quadrilatère $MNPQ$ soit un rectangle. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ? \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. Ainsi, pour tout réel $t$ positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à $t$ années, notée $p(X \leqslant t)$, est donnée par : $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $\lambda$ sachant que $p(X > 5) = 0,4$. \item Dans cette question, on prendra $\lambda = \np{0,18}$. Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? \item Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que $p(X > 5) = 0,4$. \begin{enumerate} \item On considère un lot de 10 ordinateurs. Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité. \item Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement \og l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans \fg{} soit supérieure à $0,999$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \end{center} On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels $a, b$ et $c$ de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel $k$ strictement positif, l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|a \vect{M\text{A}} + b \vect{M\text{B}} + c \vect{M\text{C}}\right\| = k$ est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs $a,\, b$ et $c$. \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\,\vect{\text{AD}},\,\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~0~;~1)$ est un vecteur normal au plan (BCE). \item Déterminer une équation du plan (BCE). \item On note $(\Delta)$ la droite perpendiculaire en E au plan (BCE). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$. \item Démontrer que la droite $(\Delta)$ est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs $1,\, -1$ et $2$. \item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que $\left\| \vect{M\text{R}} - \vect{M\text{B}} + 2 \vect{M\text{C}}\right\| = 2\sqrt{2}$. \item Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble $(S)$. \item Démontrer que l'intersection du plan (BCE) et de l'ensemble $(S)$ est un cercle dont on précisera le rayon. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,6) \psline(0.4,4)(0.4,0.6)(4,0)(5.3,1.5)(5.3,5)(4,3.5)(0.4,4)(1.7,5.5)(5.3,5)%EABCGFEHG \psline(4,0)(4,3.5) \uput[ul](0.4,4){E} \uput[dl](0.4,0.6){A} \uput[dr](4,0){B} \uput[r](5.3,1.5){C} \uput[ur](5.3,5){G} \uput[ul](4,3.5){F} \uput[u](1.7,5.5){H} \uput[ul](1.7,2.1){D} \psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(1.7,2.1)(1.7,5.5) \psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(5.3,1.5) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \end{center} Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$, alors $q^{p - 1} \equiv 1 \quad (\text{modulo}\, p)$ \fg. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[u_{n} = 2^n + 3^n + 6^n - 1.\] \begin{enumerate} \item Calculer les six premiers termes de la suite. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair non nul, $u_{n}$ est divisible par~4. On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ? \item Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 3. \begin{enumerate} \item Montrer que : $6 \times 2^{p-2} \equiv 3\quad (\text{modulo}\, p)$ et $6 \times 3^{p-2} \equiv 2 \quad (\text{modulo}\, p)$. \item En déduire que $6u_{p-2} \equiv 0 \quad (\text{modulo}\, p)$. \item Le nombre $p$ appartient-il à l'ensemble (E) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\] \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $g$. \item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 0$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B } \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve. On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$. \item Soit (D) la droite d'équation $y = x$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$. \item Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1]. \item Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n. \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. \item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \bigskip \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4} \end{flushleft} \vspace{0.85cm} \psset{unit=9cm} \begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(1.25,1.15) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord 27 mai 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Liban mai 2011 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{31 mai 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 31 mai 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on donne les trois points : \[\text{A}(1~;~2~;~-1), \text{B}(-3~;~-2~;~3)\: \text{et C}(0~;~-2~;~-3)\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~-1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit $(P)$ le plan dont une équation cartésienne est $x + y - z + 2 = 0$. Démontrer que les plans (ABC) et $(P)$ sont perpendiculaires. \item On appelle G le barycentre des points pondérés (A,\, 1), (B,\, $-1$) et (C,\, 2). \begin{enumerate} \item Démontrer que le point G a pour coordonnées $(2~;~0~;~-5)$. \item Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan $(P)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG). \item Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan $(P)$ avec la droite (CG). \end{enumerate} \item Démontrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 12$ est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(S)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.} \medskip \emph{Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} \medskip \emph{Il sera attribué $0,5$ point si la réponse est exacte, $0$ sinon.} \medskip \begin{enumerate} \item Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d'ordinateur au même prix et de marques M$_{1}$ et M$_{2}$. Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc. D'après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70\,\% des acheteurs ont choisi l'ordinateur M$_{1}$ et, parmi eux, 60\,\% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20\,\% des clients ayant acheté un ordinateur M$_{2}$ l'ont choisi de couleur blanche. On utilise la liste des clients ayant acheté l'un ou l'autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard. \begin{enumerate} \item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M$_{2}$ de couleur noire est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :~~} $\dfrac{3}{5}$ & \textbf{B :~~} $\dfrac{4}{5}$& \textbf{C :~~} $\dfrac{3}{50}$ & \textbf{D :~~} $\dfrac{6}{25}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :~~} $\dfrac{21}{50}$ & \textbf{B :~~} $\dfrac{33}{50}$& \textbf{C :~~} $\dfrac{3}{5}$ & \textbf{D :} $\dfrac{12}{25}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu'il soit de marque M$_{2}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :~~} $\dfrac{4}{11}$ & \textbf{B :~~} $\dfrac{6}{25}$& \textbf{C :~~} $\dfrac{7}{11}$ & \textbf{D :} $\dfrac{33}{50}$ \\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L'expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l'urne. \begin{enumerate} \item La probabilité d'obtenir trois boules de même couleur est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :~~} $\dfrac{11}{81}$ & \textbf{B :~~} $\dfrac{2}{7}$& \textbf{C :~~} $\dfrac{5}{84}$ & \textbf{D :} $\dfrac{4}{63}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité d'obtenir trois boules de trois couleurs différentes est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :~~} $\dfrac{2}{7}$ & \textbf{B :~~} $\dfrac{1}{7}$& \textbf{C :~~} $\dfrac{1}{21}$ & \textbf{D :} $\dfrac{79}{84}$ \\ \end{tabularx} \medskip \item On répète plusieurs fois l'expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l'urne. Le nombre minimal d'expériences à réaliser pour que la probabilité de l'évènement \og obtenir au moins une fois trois boules jaunes \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} \textbf{A :~~} $76$ & \textbf{B :~~} $71$& \textbf{C :~~} $95$ & \textbf{D :~~} $94$ \\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire} \begin{center} \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \end{center} \textbf{Prérequis :} On suppose connu le résultat suivant : \medskip Quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z',\: \text{arg}\left(z \times z'\right) = \text{arg} (z) + \text{arg} \left(z'\right)$ à $2\pi$ près. Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z'$, on a : $\text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}\left(z'\right)$ à $2\pi$ près. \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. \item \begin{enumerate} \item Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique. \item Montrer que $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$. \end{enumerate} \item On note B$_{1}$ l'image du point B par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point B$_{1}$. \item En déduire que le point B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point du plan. On note $M_{1}$ l'image du point $M$ par la rotation $r$ et $M'$ le symétrique du point $M_{1}$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. On désigne par (E) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$. \begin{enumerate} \item Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E). \item Soit $M$ un point distinct du point O. Son affixe $z$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\rho$ est un réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel. Montrer que l'affixe $z'$ du point $M'$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$ puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel $\theta$ telles que $M$ appartienne à l'ensemble (E). \item Déterminer l'ensemble (E). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{center}\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\end{center} \medskip On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct. \textbf{Prérequis :} L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'= az + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$. \medskip Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points du plan tels que A $~\neq~$ B et A$' ~\neq~$B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$. \medskip \begin{center}\textbf{Partie B}\end{center} \medskip On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que $\left(\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2} \:\text{modulo}\: 2\pi$. On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par $s$ la similitude directe transformant D en C et C en B. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$. \item On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $s$. \begin{enumerate} \item En utilisant la relation $\vect{\text{DC}} = \vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}}$, démontrer que $\text{DC}^2 = \Omega\text{D}^2$. \item En déduire la nature du triangle $\Omega$DC. \end{enumerate} \item On pose $\sigma = s \circ s$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. \item Déterminer l'image du point D par la transformation $\sigma$. \end{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère AD$\Omega$B est un rectangle. \item Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},\,\vect{v}\right)$, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0,\, 1,\ i et 2i. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'écriture complexe de la similitude $s$ est : $z' = (1 + \text{i}) z + 2 - \text{i}$ où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un point $M$ et de son image $M'$ par $s$. \item On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$. Démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&x- y + 2\\ y'&=&x + y - 1 \end{array}\right.$ \item Soit J le point d'affixe $1 + 3\text{i}$. Existe-t-il des points $M$ du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que $\vect{\text{A}M'} \cdot \:\vect{\text{AJ}\phantom{'}} = 0$, $M'$ désignant l'image du point $M$ par $s$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\] On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. \item Montrer que $(\mathcal{C})$ admet une asymptote oblique dont on précisera une équation. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ à termes positifs définie par : \[u_{1} = 0\: \:\text{et, pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul}, u_{n+1} = f\left(u_{n}\right) = u_{n} + \text{e}^{-u_{n}}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, $\ln (1 + x ) \leqslant x$. On pourra étudier la fonction $g$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $g(x) = x - \ln (1 + x)$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n + 1) \leqslant \ln(n) + \dfrac{1}{n}$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $f[\ln(n)] = \ln (n) + \dfrac{1}{n}$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n) \leqslant u_{n}$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$· \medskip Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, $u_{n} \leqslant 1+ \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n - 1}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2, on a : $\dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k - 1}^k \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$. \item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : $u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1)$. \end{enumerate} \item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a montré que $\ln (n) \leqslant u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1)$. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{\ln (n)}\right)_{n \geqslant 2}$ converge vers 1. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Liban 30 mai 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie 10 juin 2011 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{10 juin 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2011 \decofourright}} \end{center} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats.} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \begin{enumerate} \item Soient A le point d'affixe $2 - 5\text{i}$ et B le point d'affixe $7 - 3\text{i}$. \textbf{Proposition 1 :} Le triangle OAB est rectangle isocèle. \item Soit $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - \text{i}| = |z + 2 \text{i}|$. \textbf{Proposition 2 :} $(\Delta)$ est une droite parallèle à l'axe des réels. \item Soit $z = 3 + \text{i}\sqrt{3}$. \textbf{Proposition 3 :} Pour tout entier naturel $n$ non nul, $z^{3n}$ est imaginaire pur. \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. \textbf{Proposition 4 :} Si $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument de $z$ alors $|\text{i} + z| = 1 + |z|$. \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Proposition 5 : Si le module de $z$ est égal à 1 alors $z^2 + \dfrac{1}{z^2}$ est un nombre réel. \end{enumerate} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est de \np{0,1} ; \item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à \np{0,8} ; \item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à \np{0,6}. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note, pour tout entier naturel $n$ non nul : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] G$_{n}$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$· \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a donc $p_{1} = \np{0,1}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $p_{2} = \np{0,62}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. \item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$. \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \item Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on : $\dfrac{3}{4} - p_{n} < 10^{-7}$ ? \end{enumerate} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si $p$ est un nombre premier et $a$ est un entier naturel non divisible par $p$, alors $a^{p -1} \equiv 1\quad (\text{modulo} p)$. \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par : \[u_{0} = 1\, \text{et, pour tout entier naturel}\, n, u_{n+1} = 10 u_{n} + 21.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,$ $3u_{n} = 10^{n+1} - 7$. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'écriture décimale de $u_{n}$· \end{enumerate} \item Montrer que $u_{2}$ est un nombre premier. \medskip \emph{On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ par certains nombres premiers.} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, 3u_{n} \equiv 4 - (- 1)^n \quad (\text{modulo} 11)$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est pas divisible par 11. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité : $10^{16} \equiv 1 \quad(\text{modulo} 17)$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $k,\, u_{16k+8}$ est divisible par 17. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip On supposera connus les résultats suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$. Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,\, \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x + \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x) \:\text{d}x$. \item[$\bullet~~$] Si $u$ désigne une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$ et $U$ une primitive de $u$ sur $[a~;~b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x =[U(x)]_{a}^b = U(b) - U(a)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip En utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$, démontrer la formule d'intégration par parties. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x^2\ln x.\] La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} est donnée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Démontrer qu'il existe une tangente unique à la courbe $(\mathcal{C})$ passant par O. Préciser une équation de cette tangente. \item On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe $(\text{O}x)$ de la région plane délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe $(\text{O}x)$ et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$. On note $V$ une mesure, exprimée en unités de volume, du volume de ce solide et on admet que : \[V = \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 \pi[f(x)]^2\:\text{d}x. \] \begin{enumerate} \item Montrer qu'une primitive de la fonction $x \longmapsto x^4 \ln x$ sur $]0~;~+ \infty[$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{x^5}{25}(5\ln x - 1)$. \item En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, que : $V = \dfrac{\pi}{125}\left(2 - \dfrac{37}{\text{e}^5}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats.} \medskip On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,5.5) \psframe(0.3,0.2)(4,4)%ABFE \psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)%BCGF \psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)%DH \uput[dl](0.3,0.2){A} \uput[dr](4,0.2){B} \uput[r](5.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.3){D} \uput[l](0.3,4){E} \uput[dr](4,4){F} \uput[ur](5.4,5.1){G} \uput[u](1.7,5.1){H} \end{pspicture} \end{center} \medskip Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},\, \vect{\text{DC}},\, \vect{\text{DH}}\right)$. On note K le barycentre des points pondérés (D,\, 1) et (F,\, 2). \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le point K a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$. \item Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales. \item Calculer la distance EK. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $M$ un point du segment [HG]. On note $m$ = H$M$ ($m$ est donc un réel appartenant à [0~;~1]). \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], le volume du tétraèdre E$M$FD, en unités de volume, est égal à $\dfrac{1}{6}$. \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan ($M$FD) est $(- 1 + m)x + y - mz = 0$. \item On note $d_{m}$ la distance du point E au plan ($M$FD). \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], $d_{m} = \dfrac{1}{\sqrt{2m^2 - 2m + 2}}$. \item Déterminer la position de $M$ sur le segment [HG] pour laquelle la distance $d_{m}$ est maximale. \item En déduire que lorsque la distance $d_{m}$ est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan ($M$FD). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1.5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3} \end{flushleft} \vspace{1.5cm} \textbf{\large Cette page ne sera pas à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{unit=3.25cm} \begin{pspicture*}(-1,-0.5)(2.51,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt](-1,-0.5)(2.5,2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-0.5)(2.5,1.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.8}{x dup mul x ln mul} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 18 juin 2011 \hypertarget{Antillesjuin}{} \label{Antillesjuin} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{20 juin 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. On appelle $J$ le point d'affixe $i$. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points $A$, $B$, $C$, $H$ d'affixes respectives $a=-3-\text{i}$, $b=-2+4\text{i}$, $c=3-\text{i}$ et $h= - 2$. Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. \item Montrer que $J$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle $ABC$. Préciser le rayon du cercle $\mathcal{C}$. \item Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $\dfrac{b-c}{h-a}$. En déduire que les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, on admet que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle $ABC$. \begin{enumerate}[resume] \item On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer l'affixe $g$ du point $G$. Placer $G$ sur la figure. \item Montrer que le centre de gravité $G$, le centre du cercle circonscrit $J$ et l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ sont alignés. Le vérifier sur la figure. \item On note $A'$ le milieu de $[BC]$ et $K$ celui de $[AH]$. Le point $A'$ a pour affixe $a'= \dfrac12+\dfrac32\text{i}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point $K$. \item Démontrer que le quadrilatère $KHA'J$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^x - 1.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ et étudier le sens de variation de $f$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle et $\Gamma$ celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij. Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sont donnée en \textbf{annexe 1}. Soit $x$ un nombre réel strictement positif. On note $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$. On rappelle que pour tout réel $x$ strictement positif, $\text{e}^x > \ln(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la longueur $MN$ est minimale lorsque $x = \alpha$. Donner une valeur approchée de cette longueur minimale à $10^{-2}$ près. \item En utilisant la question \textbf{1.}, montrer que $\text{e}^\alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. En déduire que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\alpha$ et la tangente à $\Gamma$ au point d'abscisse $\alpha$ sont parallèles. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = x\ln(x) - x$. Montrer que la fonction $h$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur $]0~;~+\infty[$. \item Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'aire (exprimée en unités d'aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en \textbf{annexe 1}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des quatre propositions est exacte.\\ \textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d'atteindre la cible est de \np{0,3}. On effectue $n$ tirs supposés indépendants. On désigne par $p_n$ la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois sur ces $n$ tirs. La valeur minimale de $n$ pour que $p_n$ soit supérieure ou égale à \np{0,9} est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}} 6 & 7 & 10 & 12 \end{tabular} \end{center} \item On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un moteur Diesel jusqu'à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$ définie sur $[0~;~+\infty[$ et suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0002}$. Ainsi, la probabilité que le moteur tombe en panne avant l'instant $t$ est $p(X\leqslant t) = \displaystyle\int_0^t \lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{d}x$. La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de \np{10000} heures est, au millième près: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}} \np{0,271} & \np{0,135} & \np{0,865} & \np{0,729} \end{tabular} \end{center} \item Un joueur dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s'il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s'il obtient 1. Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants. La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d'une partie est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}} $\dfrac{125}{\np{3888}}$ & $\dfrac{625}{648}$ & $\dfrac{25}{\np{7776}}$ & $\dfrac35$ \end{tabular} \end{center} \item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'une même univers $\Omega$ tels que $p(A)=\np{0,3}$ et $p(A\cup B)=\np{0,65}$. La probabilité de l'évènement $B$ est: \begin{center} \begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}} \np{0,5} & \np{0,35} & \np{0,46} & \np{0,7} \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $11x - 7y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $11u - 7v = 1$. Trouver un tel couple. \item En déduire une solution particulière de l'équation (E). \item Résoudre l'équation (E). \item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $D$ d'équation cartésienne $11x -7y - 5 = 0$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que $0\leqslant x\leqslant 50$ et $0\leqslant y\leqslant 50$. Déterminer le nombre de points de la droite $D$ appartenant à l'ensemble $\mathcal{C}$ et dont les coordonnées sont des nombres entiers. \end{enumerate} \item On considère l'équation (F) : $11x^2 - 7y^2 = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Démontrer que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2$~(mod~5). \item Soient $x$ et $y$ des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants: \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.25} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Modulo 5, $x$ est congru à & 0&1&2&3&4\\ \hline Modulo 5, \phantom{2}$x^2$ est congru à &&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.25} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Modulo 5, $y$ est congru à & 0&1&2&3&4\\ \hline Modulo 5, $2y^2$ est congru à &&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ et de $2y^2$ par 5~? \item En déduire que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x$ et $y$ sont des multiples de 5. \end{enumerate} \item Démontrer que si $x$ et $y$ sont des multiples de 5, alors le couple $(x~;~y)$ n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F)~? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~-3~;~1)$. On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&- 1 - t\\ y&=&\phantom{-} 2+t\quad(t\in\R)\\ z&=&\phantom{-} 1 - t \end{array} \right. \] On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.} On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée en \textbf{annexe 2}. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\vect{w}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $P$. \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$. \item En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point $H$. \item Calculer la longueur $HH'$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vect{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$. \item En déduire que $\left\vert\left\vert \vect{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \vect{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure. \end{enumerate} \emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Annexe 1, exercice 2} \medskip \psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7593838142764157cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(6.16,8) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(6.16,8) \psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7593838142764157cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-1,-1)(6.16,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscustom[linecolor=cyan,fillcolor=cyan,fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linewidth=1.25pt]{ \psplot{1}{2}{ln(x)} \lineto(2,7.389) \psplot{2}{1}{EXP(x)} \lineto(1,0) \closepath } \psplot[plotpoints=200,linecolor=magenta]{-1.0}{6.160000000000001}{EXP(x)} \psplot[plotpoints=200,linecolor=magenta]{1.4000000000060226E-6}{6.160000000000001}{ln(x)} \psline[linecolor=blue](0.57,-0.56)(0.57,1.77) \uput[-45](2,7.38){\color{magenta}$\mathcal{C}$} \uput[90](5,1.61){\color{magenta}$\Gamma$} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0.57,1.77) \uput[135](0.57,1.77){\blue{$M$}} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0.57,-0.56) \uput[-170](0.57,-0.56){\blue{$N$}}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \vspace{1.5cm} \textbf{Annexe 2, exercice 4 (non spé)} \medskip \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8) \psline(-4,6)(-4,0) \psline(-4,0)(0,-1) \psline(0,-1)(0,5) \psline(0,5)(-4,6) \psline(0,5)(4,6) \psline(4,6)(4,0) \psline(4,0)(0,-1) \psline(0,3)(-8,5) \psline(0,0)(8,2) \psline(0,-0.25)(0.25,-0.19) \psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19) \psline(-0.25,2.81)(0,2.75) \psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06) \pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath} \psline(0,7)(0,-3) \rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$} \uput[90](-5.4,4.35){$D$} \uput[30](0,3){$H$} \uput[-150](0,0){$H'$} \uput[90](5,1.25){$D'$} \psdots[dotstyle=x](-3,3.75) \uput[-90](-3,3.75){$A$} \uput[-52](-4,6){$P$} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Asie 21 juin 2011 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{21 juin 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 21 juin 2011~\decofourright}}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Étude d'une fonction $f$ On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)= \dfrac{\ln x}{x}.\] On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item En déduire les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Étude d'une fonction $g$ On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{x}.\] On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $0$, puis en $+ \infty$. \emph{Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation} : $\dfrac{(\ln x)^2}{x} = 4 \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)^2$. \item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées. \item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \item Tracer sur le graphique de l'annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée, d'une part par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, et d'autre part par les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$. En exprimant l'aire $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, calculer l'aire $\mathcal{A}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2,\, b = 5\text{i}$ et $c = 4$ ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en \textbf{annexe 2}. \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. En déduire que le point J a pour affixe $- 7 + 2\text{i}$. On admettra que l'affixe du point K est $- 2 - 6\text{i}$. \item Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur. \item \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points S et T. \item Déterminer l'affixe du point U. \item Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU. \end{enumerate} \item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{AU}}\right)$. \item On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d'affixe $v = -0,752 + 0,864\text{i}$. \begin{enumerate} \item Établir que les points A, V et U sont alignés. \item Que représente la droite (AU) pour l'angle $\widehat{\text{BVC}}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{On considère un cube \text{ABCDEFGH}, d'arête de longueur $1$. On note \text{I} le point d'intersection de la droite \text{(EC)} et du plan \text{(AFH)}.} \medskip \begin{enumerate} \item On se place dans le repère $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},\, \vect{\text{DC}},\, \vect{\text{DH}}\right)$. Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : \[\text{A}(1~;~0~;~0)\, \text{B}(1~;~1~;~0)\, \text{C}(0~;~1~;~0)\, \text{D}(0~;~0~;~0)\, \text{E}(1~;~0~;~1)\, \text{F}(1~;~1~;~1)\, \text{G}(0~;~1~;~1)\, \text{H}(0~;~0~;~1)\] \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH). \item En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH). \item Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. \item Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour le triangle AFH ? \end{enumerate} \item \emph{Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \emph{Définitions :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; \item[$\bullet~~$] il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ; \item[$\bullet~~$] il est dit de type 3 s'il est à la fois de type 1 et de type 2. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH. \end{enumerate} \psset{unit=0.45cm} \begin{center} \begin{pspicture}(15,15) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.1pt](0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH \pspolygon(0,1.6)(8.6,0.2)(8.6,10.5)(0,11.9)%ABFE \psline(8.6,0.2)(14,2.8)(14,13.1)(8.6,10.5)%BCGF \psline(14,13.1)(5.5,14.6)(0,11.9)%GHE \psline(0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH \psline[linestyle=dashed](0,1.6)(5.4,4.2)(14,2.8)(0,11.9)%ADCE \psline[linestyle=dashed](5.4,4.2)(5.5,14.6)%DH \uput[dl](0,1.6){A} \uput[d](8.6,0.2){B} \uput[dr](14,2.8){C} \uput[d](5.4,4.2){D} \uput[ul](0,11.9){E} \uput[dr](8.6,10.5){F} \uput[ur](14,13.1){G} \uput[u](5.5,14.6){H} \uput[ur](4.8,8.85){I} \psdots(0,1.6)(8.6,0.2)(14,2.8)(5.4,4.2)(0,11.9)(8.6,10.5)(14,13.1)(5.5,14.6)(4.8,8.85) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \medskip On admet que la durée de vie (exprimée en années) d'un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ strictement positif), c'est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l'année $t$ ($t$ positif) s'exprime par : \[F(t) = p(X \leqslant t) = p([0~;~t]) = \int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Restitution organisée de connaissances Pré-requis : \begin{enumerate} \item $p_{B}(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ (où $A$ et $B$ sont deux évènements tels que $p(B)\neq 0$) ; \item $p\left(\overline{A}\right) = 1 - p(A)$ (où $A$ est un évènement) ; \item $p([a~;~b]) = F(b)- F(a)$ (où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs tels que $a \leqslant b$). \medskip Démontrer que, pour tout nombre réel positif $s$, on a : \[p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s]) = \dfrac{F(t + s) - F(t)}{1 - F(t)},\] et que $p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s])$ est indépendant du nombre réel $t$. \medskip \emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra} $\lambda = 0,2$. \end{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières années est égale à $\text{e}^{- 0,4}$. \item Sachant que le capteur n'est pas tombé en panne au cours des deux premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ? \item On considère un lot de 10~capteurs, fonctionnant de manière indépendante. Dans cette question, les probabilités seront \textbf{arrondies à la sixième décimale}. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années. \item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances} \medskip \begin{enumerate} \item Pré-requis : tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l'unicité de cette décomposition). \item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $629$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans un repère orthonormal \Oijk, on considère les surfaces $\Gamma$ et $C$ d'équations respectives : \begin{center}$\Gamma$ :\, $z = x y$\quad et \quad $C$ :\, $x^2 + z^2 = 1$.\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la nature de la surface $C$ et déterminer ses éléments caractéristiques. \item Points d'intersection à coordonnées entières des surfaces $\Gamma$ et $C$ \begin{enumerate} \item Démontrer que les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ des points d'intersection de $\Gamma$ et de $C$ sont telles que : \[x^2 \left(1 + y^2\right) = 1.\] \item En déduire que $\Gamma$ et $C$ ont deux points d'intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. \end{enumerate} \item Points d'intersection à coordonnées entières de $\Gamma$ et d'un plan Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on désigne par $P_{n}$ le plan d'équation $z = n^4 + 4$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{1}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. \medskip Pour la suite de l'exercice, on suppose $n \geqslant 2$. \item Vérifier que : $\left(n^2 - 2n + 2\right)\left(n^2 + 2n + 2\right) = n^4 + 4$. \item Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel $n \geqslant 2,\, n^4 + 4$ n'est pas premier. \item En déduire que le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{n}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8. \item Déterminer les points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{5}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 (exercice 1)} \vspace{1cm} \vspace{3cm} \psset{xunit=0.45cm,yunit=9cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(22,0.7) \multido{\n=0+5}{5}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,0.7)} \multido{\n=-0.5+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(22,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.1,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.5)(22,0.7) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.703}{22}{x ln x div} \uput[d](7.5,0.27){\blue$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2 (exercice 2)} \vspace{3cm} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-7,-7)(9,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-7)(9,9) \psset{linewidth=1.25pt} \pspolygon(-2,0)(0,5)(-5,6.9)(-7,1.9)%ABIJ \pspolygon(4,0)(8.9,4)(4.9,8.9)(0,5)%CMNB \pspolygon(-2,0)(-2,-6)(4,-6)(4,0)%AKLC \uput[dl](-2,0){A} \uput[ul](0,5){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[u](-5,6.9){I} \uput[dl](-7,1.9){J} \uput[dl](-2,-6){K} \uput[dr](4,-6){L} \uput[ur](8.9,4){M} \uput[u](4.9,8.9){N} \uput[ur](-3.5,3.45){S}\uput[ur](1,-3){T}\uput[ur](4.45,4.5){U} \psdots(-3.5,3.45)(4.45,4.5)(1,-3) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2011 \hypertarget{Centres etrangers}{} \label{Centres etrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{16 juin 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 16 juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère une droite $\mathcal{D}$ munie d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$. Soit $\left(A_{n}\right)$ la suite de points de la droite $\mathcal{D}$ ainsi définie : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A_{0}$ est le point O ; \item[$\bullet~~$] $A_{1}$ est le point d'abscisse $1$ ; \item[$\bullet~~$] pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer sur un dessin la droite $\mathcal{D}$, les points $A_{0},\, A_{1},\, A_{2},\,A_{3},\, A_{4},\, A_{5}$ et $A_{6}$. On prendra 10~cm comme unité graphique. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ l'abscisse du point $A_{n}$. Calculer $a_{2},\, a_{3},\, a_{4}\,a_{5}$ et $a_{6}$. \item Pour tout entier naturel $n$, justifier l'égalité : $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$. \end{enumerate} \item Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n,\,a_{n+1} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1$. \item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$. Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$, puis celle de la suite $\left(a_{n}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute justification incomplète sera valorisée.} \medskip \textbf{Question 1} On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Oij, les points A, B et C d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i},\quad b = 3\text{i},\quad c = \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right).\] \emph{Affirmation} Le triangle ABC est un triangle équilatéral. \medskip \textbf{Question 2} On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, la transformation $f$ dont une écriture complexe est : $z' = \left(\dfrac{2\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}\right)z$. \emph{Affirmation} La transformation $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \medskip \textbf{Question 3} On considère le nombre complexe $a = \left(-\sqrt{3} + \text{i}\right)^{\np{2011}}$. \emph{Affirmation} Le nombre complexe $a$ est un nombre imaginaire pur. \medskip \textbf{Question 4} Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, o\`u $\lambda$ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $t$ strictement positif, la probabilité de l'évènement $(X \leqslant t)$ s'exprime par $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \emph{Affirmation} Sachant que $X \geqslant 2$, la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle [2~;~3] est égale à $1 - \text{e}^{- \lambda}$. \medskip \textbf{Question 5} Une urne contient au total $n$ boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. \emph{Affirmation} La plus petite valeur de l'entier $n$, pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à $\np{0,9999}$, est égale à 13. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute justification complète sera valorisée.} \medskip \textbf{Question 1} On considère l'équation (E) :\quad $2x+ 11y = 7$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \emph{Affirmation} Les seuls couples solutions de (E) sont les couples $(22k - 2~;~- 4k+ 1)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs. \medskip \textbf{Question 2} On considère l'entier $N = 11^{\np{2011}}$. \emph{Affirmation} L'entier $N$ est congru à 4 modulo 7. \medskip \textbf{Question 3} On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i}\quad ; \quad b = 3\text{i}\quad ; \quad c = \left(1 - 2\sqrt{2}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{2}\right).\] \emph{Affirmation} Le point C est l'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \medskip \textbf{Question 4} On considère, dans le plan complexe, les points A et B d'affixes respectives : \[a = 1 + \text{i}\quad;\quad b = 2 - \text{i}.\] Soit $f$ la similitude d'écriture complexe : $z' = \left(- \dfrac{3}{5}- \dfrac{4}{5}\text{i} \right)\overline{z} + \left(\dfrac{12}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i} \right)$. \emph{Affirmation} La transformation $f$ est la réflexion d'axe (AB). \medskip \textbf{Question 5} L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. On considère la surface $\mathcal{S}$ dont une équation est : $z = 4x y$. \emph{Affirmation} La section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $z = 0$ est la réunion de deux droites orthogonales. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d'arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit $M$ un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l'exercice, on se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AD}},\, \vect{\text{AE}}\right)$.}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(4,4) \psframe(0.2,0.2)(2.6,2.6)%BCGF \psline(2.6,0.2)(3.3,1.2)(3.3,3.6)(2.6,2.6)%CDHG \psline(3.3,3.6)(0.9,3.6)(0.2,2.6)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.9,3.6)(2.6,0.2)%EC \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.9,1.2)(0.9,3.6)%BAE \psline[linestyle=dashed](0.9,1.2)(3.3,1.2)%AD \psline[linestyle=dashed](1.4,0.2)(1.8,1.8)(2.95,0.7)%IMJ \uput[l](0.9,1.2){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](2.6,0.2){$C$} \uput[r](3.3,1.2){D} \uput[ul](0.9,3.6){E} \uput[l](0.2,2.6){F} \uput[r](2.6,2.6){G} \uput[dr](3.3,3.6){H} \uput[l](1.8,1.8){$M$} \uput[d](1.4,0.2){I} \uput[r](2.95,0.7){J} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J. \item Justifier l'existence d'un réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], tel que les coordonnées du point $M$ soient $(1-t~;~1 - t~;~t)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ]. \item En déduire que le triangle $M$IJ est un triangle isocèle en $M$. \item Exprimer I$M^2$ en fonction de $t$. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ est maximale. On désigne par $\theta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$. \begin{enumerate} \item En admettant que la mesure $\theta$ appartient à l'intervalle $[0~;~\pi]$, démontrer que la mesure $\theta$ est maximale lorsque $\sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ est maximal. \item En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur I$M$ est minimale. \item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f(t) = 3t^2 - t + \dfrac{1}{4}.\] \item En déduire qu'il existe une unique position $M_{0}$ du point $M$ sur le segment [EC] telle que la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ soit maximale. \item Démontrer que le point $M_{0}$ est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC]. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[f(x) = x\text{e}^{1 - x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{1 - x}.\] Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal \Oij{} sont respectivement notées $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. leur tracé est donné en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude des fonctions \boldmath $f$ \unboldmath et} \boldmath $g$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $- \infty$. \item Justifier le fait que fonctions $f$ et $g$ ont pour limite $0$ en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$ et dresser leurs tableaux de variations respectifs. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'intégrales} Pour tout entier naturel $n$, on définit l'intégrale $I_{n}$ par : \[I_{0} = \int_{0}^1 \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x \quad \text{et , si }\, n \geqslant 1,\, I_{n} = \int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $I_{0}$. \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ : \[I_{n+1} = - 1 + (n + 1)I_{n}.\] \item En déduire la valeur exacte de $I_{1}$, puis celle de $I_{2}$. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'une aire plane} \begin{enumerate} \item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. \item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$. En exprimant $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité : \[\mathcal{A} = 3 - \text{e}.\] \end{enumerate} \item \textbf{Étude de l'égalité de deux aires} Soit $a$ un réel strictement supérieur à 1. On désigne par $S(a)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = a$. On admet que $S(a)$ s'exprime par : \[S(a) = 3 - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right).\] L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de $a$ pour laquelle les aires $\mathcal{A}$ et $S(a)$ sont égales. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $S(a) = \mathcal{A}$ est équivalente à l'équation : $\text{e}^a = a^2 + a + 1$. \item \emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel $a$, solution du problème posé. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe} \vspace{1cm} (Courbes de l'exercice 4) \vspace{2cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(4,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-3,-3)(4,4) \psaxes[linewidth=1pt,arrowsize=2pt 3](0,0)(-3,-3)(4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.606}{4}{x 2.71828 x 1 sub exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{-0.81}{4}{x dup mul 2.71828 x 1 sub exp div} \uput[dl](0,0){O} \uput[l](-0.5,-2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[l](-0.53,2){\magenta$\mathcal{C}'$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2011 \hypertarget{LaReunion}{} \label{LaReunion} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small 22 juin 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 22 juin 2011~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormé \Oijk. On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x + 3y - z + 4 = 0$ et, par A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~2~;~-4)$ et $(-3~;~4~;~1)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-8 + 2t\\ y&=&\phantom{-}7 - t\\ z&=&\phantom{-}6 + t \end{array}\right. \, t \in \R.$ \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ sont sécants. \item[$\bullet~~$] Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ n'ont aucun point en commun. \item[$\bullet~~$] La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. \item[$\bullet~~$] Aucune des trois affirmations précédentes n'est vraie. \end{itemize} \item On note $\mathcal{P}'$ le plan d'équation $x + 4y - 3z + 4 = 0$. \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles et distincts. \item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont confondus. \item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur $-\vect{\imath} + \vect{\jmath} + 2\vect{k}$. \item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur $-\vect{\imath} + \vect{\jmath} + \vect{k}$. \end{itemize} \item L'ensemble des points $M$ de l'espace qui sont équidistants des points A et B est: \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] une droite passant par le point C de coordonnées $\left(-1~;~3~;~- \dfrac{1}{2}\right)$, \item[$\bullet~~$] une sphère de rayon $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$. \item[$\bullet~~$] le plan d'équation $-4x + 2y + 5z - \dfrac{5}{2} =0$, \item[$\bullet~~$] le plan d'équation $-4x + 2y + 5z + \dfrac{5}{2} =0$. \end{itemize} \item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|\vect{M\text{A}} - 3\vect{M\text{B}} \right\| = 5$ est : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] une sphère dont le centre a pour coordonnées $\left(- 5~;~ 5~;~\dfrac{7}{2}\right)$, \item[$\bullet~~$] une sphère dont le centre a pour coordonnées $\left(5~;~- 5~;~- \dfrac{7}{2}\right)$, \item[$\bullet~~$] le plan d'équation $- 4x + 2y + 5z - 5 = 0$, \item[$\bullet~~$] le plan d'équation $- 4x + 2y + 5z + \dfrac{5}{3} = 0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois questions peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip Un candidat participe à un jeu télévisé qui comporte deux épreuves. La première consiste à répondre à une question tirée au hasard parmi celles que l'assistante a prélevées dans une urne. Dans la seconde, il doit répondre à une série de 10 questions sur un thème qu'il choisit. \medskip \begin{enumerate} \item L'urne contient dix bulletins indiscernables au toucher comportant chacun une question. Toutes les questions sont différentes, quatre portent sur l'histoire, quatre portent sur la littérature et deux sur le sport. En début d'émission, l'assistante tire au hasard et simultanément 4 bulletins de l'urne. On note A l'évènement \og les quatre questions portent sur l'histoire \fg{} et B l'évènement \og l'une au moins des quatre questions porte sur le sport \fg. Déterminer la probabilité des évènements A et B. \item L'animateur annonce les thèmes sur lesquels portent les questions des quatre bulletins choisis par l'assistante. Il y a une question d'histoire, deux de littérature et une sur le sport. Le candidat tire au hasard l'un de ces quatre bulletins. On admet que la probabilité que sa réponse soit correcte est \np{0,7} s'il s'agit d'une question d'histoire, \np{0,6} s'il s'agit d'une question de littérature et \np{0,5} pour une question sur le sport. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[ ] $H$ : \og la question posée au candidat porte sur l'histoire \fg \item[ ] $L$ : \og la question posée au candidat porte sur la littérature \fg \item[ ] $S$ : \og la question posée au candidat porte sur le sport \fg \item[ ] $C$ : \og le candidat répond correctement à la question posée \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à cette première épreuve. \item Calculer la probabilité de l'évènement $C$. \item Sachant que le candidat a répondu correctement, quelle est la probabilité que la question posée ait porté sur le sport ? \end{enumerate} \item Le candidat a réussi cette première épreuve et choisit l'histoire comme thème pour la seconde épreuve. Les dix questions qu'on lui pose sont indépendantes et on suppose toujours que la probabilité qu'il réponde correctement à chaque question est égale à $0,7$. On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de bonnes réponses données par le candidat. \begin{enumerate} \item Soit $k$ un entier compris entre 0 et 10. Quelle est l'expression de la probabilité de l'évènement $\{X = k\}$ en fonction de $k$ ? On justifiera la réponse. \item Déterminer la probabilité que le candidat donne au moins neuf bonnes réponses. On arrondira le résultat à $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = 1 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^{2x} + 1}.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathcal{C}$. Elle coupe l'axe des abscisses aux points A et B. \medskip \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(4.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.pt,labels=none](0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,xticksize=0 1cm]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dr](1.317,0){A}\uput[dl](-1.317,0){B}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.5}{4.5}{1 2.71828 x exp 4 mul 1 2.71828 2 x mul exp add div sub} \uput[d](-4,0.9){\blue$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip L'objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction $f$ que l'on peut conjecturer à partir du graphique. \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$ semble croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x,\, f'(x) = \dfrac{4\text{e}^{x}\left(\text{e}^{2x} - 1\right)}{\left(\text{e}^{2x} + 1 \right)^2}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item La droite d'équation $x = 0$ semble être un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$. Démontrer que cette conjecture est vraie. \item On désigne par $a$ l'abscisse du point A et on pose $c = \text{e}^a$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le réel $c$ est une solution de l'équation $x^2 - 4x + 1 = 0$. En déduire la valeur exacte de $a$. \item Donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'objet de cette partie est d'étudier quelques propriétés de la fonction $F$ définie sur $\R$ par : \[F(x) = \int_{0}^x f(t)\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de la fonction $F$ sur $\R$. \item Interpréter géométriquement le réel $F(a)$. En déduire que $- a \leqslant F(a) \leqslant 0$. \item On cherche la limite éventuelle de $F$ en $+ \infty$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel positif $t,\, f(t) \geqslant 1 - 4\text{e}^{- t}$. \item En déduire que pour tout réel positif $x,\, F(x) \geqslant x - 4$ et déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question. toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \medskip Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. On rappelle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[*~~] $\left(\vect{u},\,\vect{AB}\right) = \arg (b - a) + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z$. \item[*~~] L'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par : \[AC = AB\quad \text{et}\quad \text{si}\, A \neq B,\; \left(\vect{AB},\,\vect{AC}\right)= \theta + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b$ et $\theta$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $2z^2 - 6z + 9 = 0$. Dans la suite de l'exercice, on désigne par P, Q et R les points d'affixes respectives \[z_{\text{P}} = \dfrac{3}{2}(1 + \text{i}), \quad z_{\text{Q}} = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})\quad \text{et}\quad z_{\text{R}} = -2\text{i}\sqrt{3}.\] \item Placer les points P, Q, R sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure de la résolution de l'exercice. \item On note S le symétrique du point R par rapport au point Q. Vérifier que l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S est $3 + \text{i}\left(2\sqrt{3} - 3\right)$. \item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer les affixes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation $r$. \item On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la translation de vecteur $3\vect{v}$. Calculer les affixes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{D}}$ des points B et D. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{P}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{P}}} = \text{i}$. \item En déduire la nature du quadrilatère ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \medskip Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. On rappelle que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[*~~] $\left(\vect{u},\,\vect{AB}\right) = \arg (b- a) + 2n\pi\, \text{où}\, n \in \Z$. \item[*~~] L'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport $k (k > 0)$ et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par : \[AC = kAB\quad \text{et}\quad \text{si}\, A \neq B,\; \left(\vect{AB},\,\vect{AC}\right)= \theta + 2n\pi\, \text{où}\, n \in \Z.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b,\, \theta$ et $k$. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'équation (E) : \quad $3x - 2y = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le couple $(-1~;~-2)$ est une solution de (E). \item Déterminer tous les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs vérifiant l'équation (E). \end{enumerate} \item Soient $d$ et $d'$ les droites d'équations respectives $y = 2x + 4$ et $3x - 2y = 1$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier relatif $k$, le point $A_{k}$ de coordonnées $(k - 3~;~2k - 2)$ appartient à la droite $d$. On admettra que ce sont les seuls points de $d$ à coordonnées entières. \item Montrer que les seuls points de $d'$ à coordonnées entières sont les points $B_{k'}$ de coordonnées $(2k' -1~;~3k' - 2)$ où $k' \in \Z$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Existe-t-il deux entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que $A_{k} = B_{k'}$ ? \item Déterminer les entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que le segment $\left[A_{k}B_{k'}\right]$ soit parallèle à l'axe des abscisses. \item Trouver l'entier $q$ tel que $\vect{A_{3q}B_{2q}} = 4\vect{u}$. \end{enumerate} \item Soit $\Omega$ un point quelconque du plan dont l'affixe est notée $\omega$. On note $H$ le milieu du segment $[A_{6}B_{4}]$. On désigne par $f$ la similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Donner l'écriture complexe de la similitude $f$. \item Déterminer l'affixe du point $\Omega$ pour que l'image du point $H$ soit l'origine $O$ du repère. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole 18 juin 2011 \hypertarget{Metropolejuin}{} \label{Metropolejuin} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 21 juin 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.} \medskip Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$. Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test). \item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. $\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$. Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. \item En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$. \end{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \np{0,0492}. \item \begin{enumerate} \item Justifier par un calcul la phrase : \og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg. \item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,\, z_{\text{B}} = \text{i},\, z_{\text{C}} = - 1,$ $ z_{\text{D}} = - \text{i}$. \begin{enumerate} \item L'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour affixe : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$, \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$, \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$, \item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$, \end{itemize} \item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $|z + \text{i}| = |z -1|$ est : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [BC], \item[$\bullet~~$] le milieu du segment [BC], \item[$\bullet~~$] le cercle de centre O et de rayon 1, \item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AD]. \end{itemize} \item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z + \text{i}}{z + 1}$ soit un imaginaire pur est : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la droite (CD) privée du point C, \item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [CD] privé du point C, \item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé du point C, \item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AB]. \end{itemize} \item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que arg$(z - i) = - \dfrac{\pi}{2} + 2 k\pi$ où $k \in \Z$ est : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, \item[$\bullet~~$] la droite (BD), \item[$\bullet~~$] la demi-droite ]BD) d'origine B passant par D privée de B, \item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé de B et D. \end{itemize} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_{n}$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f_{n}(x) = x^n\text{e}^{- x}.\] On note $\mathcal{C}_{n}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe $\mathcal{C}_{k}$ où $k$ est un entier naturel non nul, sa tangente $T_{k}$ au point d'abscisse 1 et la courbe $\mathcal{C}_{3}$· \medskip La droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées $\left(\dfrac{4}{5}~;~0\right)$. \medskip \psset{unit=1.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-1.7)(5,2.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1,-1.5)(5,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,2.5){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[d](0.8,0){A} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.9}{5}{x 3 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.99}{1.5}{x 6 exp 2.71828 x exp div} \uput[l](1.35,1.6){\blue $\mathcal{C}_{k}$}\uput[r](-0.8,-1.3){$\mathcal{C}_{3}$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.pt]{-0.15}{2.2}{x 1.84 mul 1.4715 sub} \uput[r](2,2.15){$T_{k}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f_{1}$ et dresser le tableau de variations de $f_{1}$. \item À l'aide du graphique, justifier que $k$ est un entier supérieur ou égal à 2. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour $n \geqslant 1$, toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées. \item Vérifier que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, et pour tout réel $x$, \[f'_{n}(x) = x^{n-1} (n - x)\text{e}^{- x}.\] \end{enumerate} \item Sur le graphique, la fonction $f_{3}$ semble admettre un maximum atteint pour $x = 3$. Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\dfrac{k-2}{k-1}~;~0\right)$. \item En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier $k$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On désigne par $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par \[I_{n} = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $I_{1}$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes $\mathcal{C}_{1},\: \mathcal{C}_{2},$ $\mathcal{C}_{3},\: \mathcal{C}_{10},\: \mathcal{C}_{20},\: \mathcal{C}_{30}$ comprises dans la bande définie par $0 \leqslant x \leqslant 1$. \medskip \psset{unit=9cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,0.6) %\psgrid[subgriddiv=10] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.6) \uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,0.6){$y$}\uput[dl](0,0){O} %\multido{\n=1+1}{3}{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x \n exp 2.71828 x exp div}} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 3 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 10 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 20 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 30 exp 2.71828 x exp div} \uput[l](0.2,0.17){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[l](0.5,0.17){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[l](0.7,0.18){$\mathcal{C}_{3}$} \uput[l](0.92,0.17){$\mathcal{C}_{10}$} \uput[l](0.93,0.08){$\mathcal{C}_{20}$} \uput[r](0.92,0.03){$\mathcal{C}_{30}$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.368) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(I_{n})$ en décrivant sa démarche. \item Démontrer cette conjecture. \item En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(I_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \textbf{Partie A -- Restitution organisée de connaissances} \medskip On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et par $M_{0}$ le point de coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $M_{0}$ sur le plan $\mathcal{P}$. \medskip \emph{On suppose connue la propriété suivante :} \textbf{Propriété :} Le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b\vect{\jmath}+ c\vect{k}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. Le but de cette partie est de démontrer que la distance $d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right)$ du point $M_{0}$ au plan $\mathcal{P}$, c'est-à-dire la distance $M_{0}H$, est telle que \[d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right) = \dfrac{\left|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\] \begin{enumerate} \item Justifier que $\left|\vect{n} \cdot \vect{M_{0}H}\right| = M_{0}H\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. \item Démontrer que $\vect{n} \cdot \vect{M_{0}H} = - ax_{0} - by_{0} - cz_{0} - d$. \item Conclure. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4~;~1~;~5), $(-3~;~2~;~0)$, (1~;~3~;~6),\, $(-7~;~0~;~4)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C définissent un plan $\mathcal{P}$ et que ce plan a pour équation cartésienne $x + 2y - z - 1 = 0$. \item Déterminer la distance $d$ du point F au plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de calculer la distance $d$ par une autre méthode. On appelle $\Delta$ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \item Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan $\mathcal{P}$. \item Retrouver le résultat de la question 1. b. \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre F et de rayon 6. \begin{enumerate} \item Justifier que le point B appartient à la sphère $\mathcal{S}$. \item Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle $\mathcal{C}$, intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{PARTIE A - Restitution organisée de connaissances} \medskip On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au + bv = 1$. \medskip Théorème de GAUSS : Soient $a,\, b,\, c$ des entiers relatifs. Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. \item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Déduire du théorème de GAUSS que, si $a$ est un entier relatif, tel que $a \equiv 0 \quad [p]$ et $a \equiv 0 \quad [q]$, alors $a \equiv 0 \quad [pq]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On se propose de déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} n &\equiv & 9 \quad [17]\\ n &\equiv &3 \quad [5] \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Recherche d'un élément de $\mathcal{S}$. On désigne par $(u~;~v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u + 5v = 1$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence d'un tel couple $(u~;~v)$. \item On pose $n_{0} = 3 \times 17u + 9 \times 5v$. Démontrer que $n_{0}$ appartient à $\mathcal{S}$. \item Donner un exemple d'entier $n_{0}$ appartenant à $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \item Caractérisation des éléments de $\mathcal{S}$. \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathcal{S}$. Démontrer que $n - n_{0} \equiv 0\quad [85]$. \item En déduire qu'un entier relatif $n$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $n = 43 + 85k$ où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \item Application Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Métropole juin 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2011 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2011}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = x \ln x - 1.\] \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. \end{enumerate} \item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à la précision $10^{-2}$. \item Déterminer le signe de $f(x)$ lorsque $x$ appartient à $]0~;~+ \infty[$. \item Montrer que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Calcul d'une intégrale} \medskip On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante : \[I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que l'intégrale $I$ est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale \[J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.\] \item Montrer l'égalité : $I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8$. En déduire une valeur approchée de $I$ à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\ \end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. \item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$. \end{enumerate} \item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique: \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 1 + \phantom{2}t\\ y &=& -3 + 2t\\ z &=&t \end{array}\right.,\quad t \in \R.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. \item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère l'ensemble $P$ des points $M (x~;~y~;~z)$ de l'espace tels que : \[ z = x^2 + y^2.\] Les trois questions sont indépendantes. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $z = 5$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $y = 1$. \end{enumerate} \item On considère la sphère $S$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$. \begin{enumerate} \item Donner une équation de la sphère $S$. \item Montrer que l'intersection de la sphère $S$ et de l'ensemble $P$ est un cercle. \end{enumerate} \item Le but de cette question est de déterminer les points $M(x~;~y~;~z)$ de l'ensemble $P$, dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation $- 3x + 2 y = 1$ et vérifiant $z \leqslant 25$. \begin{enumerate} \item Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : $- 3x + 2y = 1$. \item Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont des entiers relatifs vérifiant : \[-3x+2y = 1\quad \text{et} \quad z \leqslant 25.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1. \item Faire une figure et construire les points P et Q. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure. \item Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B :} \medskip On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$. On suppose que l'origine O du repère \Ouv{} est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $|a| = |b| = |c|$. En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$. \item Montrer que $a + b + c = 0$. \item Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. \item En utilisant la partie A, en déduire que $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$. \item Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip Un site internet propose des jeux en ligne. \textbf{Partie A :} \medskip Pour un premier jeu : \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. \item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$. L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant : \vspace{0,5cm} \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}} { \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}} { \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \vspace{0,5cm} \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$. \item Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser. \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1} + \dfrac{1}{4}$. \item Déterminer la limite de $p_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. \item Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près. \item Déterminer l'espérance de X. \end{enumerate} \item Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. \item Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro. Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,5cm} \textbf{Commun à tous les candidats} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec la copie} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 1} \vspace{1,5cm} \end{flushleft} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(-2,-2.5)(6.5,5.75) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(6.5,5.75) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,5.75){$y$}\uput[dl](0,0){O} \uput[r](4,4.5){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4.4}{x ln x mul 1 sub} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Métropole 16 septembre 2011 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small 16 septembre 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion~\decofourright\\16 septembre 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à \np{0,12}. Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ \medskip \begin{center}\textbf{Partie A} \end{center} Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l'achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d'utilisation ? \item Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d'utilisation ? \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif $t,\:\: p(Y \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \medskip Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $p(Y \leqslant 1)$ en fonction de $\lambda$. En déduire la valeur de $\lambda$. Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda = \np{0,128}$ . \item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ? \item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ? \item On admet que la durée de vie moyenne $d_{m}$ de ces moteurs est égale à $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} F(t)$ où $F$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda x \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Calculer $F(t)$ en fonction de $t$. \item En déduire la valeur de $d_{m}$. On arrondira à $10^{-1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{center}\textbf{Partie A - Étude du signe d'une fonction}\end{center} On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x^2 + 4\ln x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel strictement positif $x$. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B - Une valeur approchée du réel \boldmath$\alpha$ \unboldmath défini dans la partie A } \end{center} Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x^2}\] On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}&=&0,5\\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right) \quad \text{pour tout }\:n \in \N. \end{array} \right.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = x$. \item Au moyen de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite d'équation $y = x$, représenter les termes $u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ sur l'axe des abscisses. Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \item On admet que pour tout entier naturel $n,\quad u_{2n} \leqslant \alpha \leqslant u_{2n+1}$. En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel les trois premières décimales de $u_{n}$ et $u_{n+1}$ sont identiques. En déduire que $0,838$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. \medskip \psset{unit=5cm} \begin{center} \begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(1.7,1.3) \psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=5](-0.4,-0.2)(1.7,1.3) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(-0.39,-0.19)(1.7,1.3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.7}{1 2.71828 0.25 x dup mul mul exp div} \psline(-0.2,-0.2)(1.2,1.2) \uput[dl](0,0){O}\uput[d](-0.35,0.95){$(\blue\mathcal{C})$} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{Partie C - Un problème de distance} \end{center} On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[\varphi(x) = 2\ln x.\] L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe $(\Gamma)$, il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine O que tous les autres. \begin{enumerate} \item Soient $M$ un point de la courbe $(\Gamma)$ et $x$ son abscisse. Exprimer O$M$ en fonction de $x$. \item \begin{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = x^2 + 4(\ln x)^2.\] Étudier les variations de la fonction $h$. On pourra utiliser la partie A. \item En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe $(\Gamma)$ tel que pour tout point $M$ de $(\Gamma)$, distinct de A, on ait O$M >$ OA. \end{enumerate} \item Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe $(\Gamma)$ au point A. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \begin{center}\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center} On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b \vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$. Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\vect{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$. \begin{center}\textbf{Partie B - Questionnaire à choix multiples } \end{center} \emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.} \emph{Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.} \medskip On désigne par $P$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z = 0$ et par A et B les deux points du plan $P$ de coordonnées respectives (1~;~2~;~0) et (0~;~3~;~1). \medskip \begin{enumerate} \item Soient C, D, E les points de coordonnées respectives $(1~;~1~;~-1)$, $(-1~;~4~;~2)$, $(1~;~5~;~1)$. \begin{enumerate} \item Les points A, B, C définissent le plan $P$. \item Les points A, B, D définissent le plan $P$. \item Les points A, B, E définissent le plan $P$. \end{enumerate} \item La droite $D$ est définie par la représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} x &=&1 - t\\ y &=&\phantom{+}t, \\ z &=& 2 + t \end{array}\right. \quad t \in \R.$ \begin{enumerate} \item La droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$. \item La droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$. \item La droite $D$ est incluse dans le plan $P$. \end{enumerate} \item Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, de coordonnées (2~;~5~;~1), et de rayon $\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des points communs à la sphère $S $ et au plan $P$ est : \begin{enumerate} \item vide, \item constitué d'un seul point, \item un cercle. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe $2 - \text{i}$ par l'application $f$. Placer les points B et B$'$ sur une figure que l'on fera sur la copie. \item Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,\:\: \overline{z - \text{i}} = \overline{z} + \text{i}$. \item Démontrer que $\text{O}M' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat. \item Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A, \[\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right) = 2 \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + 2k\pi \:\: \text{où}\: k\: \text{est un entier relatif.}\] \item En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M $ distinct de A. \end{enumerate} \item Soit $(d)$ la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur $\vect{w}$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \begin{enumerate} \item Dessiner la droite $(d)$. \item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point A. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On note A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(6~;~1)$. Pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, on note $M'$ l'image du point $M$ par la symétrie orthogonale d'axe (AB) et $\left(x'~;~y'\right)$ ses coordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe $z'$ du point $M'$ est donnée par \[z' = a \overline{z} + b.\] \item En utilisant les points A et B, démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 1&=& a+b\\ 6 + \text{i}&=& a(6 - \text{i}) + b \end{array}\right.$ \item En déduire que, pour tout nombre complexe $z$ : \[z' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) \overline{z} + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i}).\] \item Établir que, pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, les coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ du point $M'$ sont telles que : \[x' = \dfrac{1}{13}(12x + 5y + 1)\quad \text{et} \quad y' = \dfrac{1}{13}(5x - 12y - 5).\] \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont des entiers relatifs et tels que le point $M'$ associé appartienne à l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Justifier que $M(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{E}$ si et seulement si $5(x -1) = 12y$. \item En déduire que $\mathcal{E}$ est l'ensemble des points de coordonnées $(1 + 12k~;~ 5k)$ où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que les coordonnées de $M$ sont des entiers relatifs et que l'abscisse de $M'$ est un entier relatif. \begin{enumerate} \item Démontrer que $x \equiv 5y + 1\quad [13]$. \item En déduire que $5x -12y - 5 \equiv 0\quad [13]$ et que l'ordonnée de $M'$ est un entier relatif. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer les points $M$ de la droite d'équation $x = 2$ tels que les coordonnées du point $M'$ soient des entiers relatifs. On pourra montrer que l'ordonnée $y$ d'un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2011 \hypertarget{Polynesiesept}{} \label{Polynesiesept} \lfoot{\small{Polynésie (enseignement obligatoire)}} \rfoot{\small{septembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\ septembre 2011}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \og À quel niveau est votre bureau ? \fg \item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Voici les réponses : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau. \item[$\bullet~~$] Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $N_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg \item $N_{2}$ : \og La personne va au deuxième niveau. \fg \item $N_{3}$ : \og La personne va au troisième niveau. \fg \item $E$\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est égale à $\dfrac{1}{12}$. \item Montrer que les évènements $N_{1}$, $N_{2}$ et $N_{3}$ sont équiprobables. \item Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau. \end{enumerate} \item On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2\up{e} niveau. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau. \item En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau? \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins une personne va au 2\up{e} niveau \fg{} soit supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $\text{EF}^2 = \vect{\text{EF}}^2 = \vect{\text{EF}} \cdot \vect{\text{EF}}$. Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB]. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a : \[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\] \item Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que \[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et $x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives $(-1~;~0~;~4)$ et $(3~;~-4~;~2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q). \begin{enumerate} \item Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$. \item Montrer que $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$. \item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2$. Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$. On précisera les coordonnées de ces points. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$. On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$. \item En déduire la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \] \begin{enumerate} \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$. \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i. \item Démontrer que E est un point de la droite (AB). \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$. \item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité : \[\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'} \right) = \left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.\] \item Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A Question de cours} \medskip Soit I un intervalle de $\R$. Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ soient continues sur I. Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I. \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : \[f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad g(x) = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2.\] On note respectivement $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les courbes représentatives de $f$ de $g$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. Les courbes sont tracées en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points communs à $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \item Donner les positions relatives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de deux intégrations par parties successives, déterminer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. \item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}_{1}$,\:$\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[u_{n} = \int_{0}^1 (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ de [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, \[0 \leqslant (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x} \leqslant (x - 1)^{2n}.\] \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : \[0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2n + 1}.\] \end{enumerate} \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{EXERCICE 4 } \end{flushleft} \vspace{1cm} \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture*}(-2,-0.5)(6.5,7.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-2,0)(6.5,7.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.5)(6.5,7.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.83}{6.5}{x 1 sub 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{-1.24}{3.25}{x 1 sub 2 exp 1.5 mul} \uput[u](4.5,0.15){\blue$\mathcal{C}_{1}$}\uput[r](3,5.75){\magenta$\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie 10 novembre 2011 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{10 novembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\10 novembre 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. \item Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\] Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. \item Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle DAC. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. On note $h$ l'homothétie de centre D et de rapport 2. On note $r$ la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On appelle C$'$ l'image de C par $h$ et C$''$ l'image de C$'$ par $r$. Montrer que les droites (AC) et (C$'$C$''$) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. \item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. \item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$ $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$. On a représenté en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. \begin{enumerate} \item Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ \item Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. Aucune justification n'est demandée. \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Conjecture \no 1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg \item[$\bullet~~$] Conjecture \no 2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg \item[$\bullet~~$] Conjecture \no 3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg \end{itemize} \item On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive. Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. \item Montrer que $\ell = \alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une grande entreprise dispose d'un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé \og temps de fonctionnement \fg. Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures. \medskip On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le paramètre $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $t \geqslant 0,\quad P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à $0,6$. Montrer qu'une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-3}$ près est \np{0,131}. \medskip \textbf{Dans les questions suivantes, on prendra \boldmath \np{0,131} \unboldmath pour valeur approchée de $\lambda$ et les résultats seront donnés à \boldmath$10^{-2}$ près \unboldmath}. \item Montrer qu'une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à $0,52$. \item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu'il n'y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures. \item Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures. \item On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu'on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5~heures. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par Y ? \item Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5~heures \item Calculer l'espérance mathématique de Y (on arrondira à l'entier le plus proche). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité } \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points: A(0~;~0~;~2), B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$. \item Calculer la distance du point O au plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC). \item Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC. Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t \\ y &=& 4 - 4t,\\ z &=& t \end{array}\right. \quad t \in \R.\] \item Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle. \end{enumerate} \item Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$. Que représente le point H pour le triangle ABC ? \item Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité } \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère la surface $S$ d'équation : $x^2 + y^2 - z^2 = 4$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ alors le point $M'(-x~;~- y~;~- z)$ appartient aussi à $S$. Que peut-on en déduire ? \item Montrer que la surface $S$ est symétrique par rapport au plan $(x\text{O}y)$. On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans $(x\text{O}z)$ et $(y\text{O}z)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan $(x\text{O}y)$. Préciser ses éléments caractéristiques. \item Soit $k$ un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $z = k$. Préciser ses éléments caractéristiques. \end{enumerate} \item Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $y = 2$. \item On considère les points A$\left(2\sqrt{2}~;~0~;~2\right)$ et B$\left(0~;~2\sqrt{2}~;~- 2\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). \item La droite (AB) est-elle contenue dans la surface $S$ ? \end{enumerate} \item Identifier parmi les trois figures proposées en \textbf{annexe 2} celle qui représente la surface $S$. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse. \item Soit $H$ la section de la surface $S$ par le plan $P$ d'équation $y = 5$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $H$ si et seulement si $(x - z)(x + z) = - 21$ et $y = 5$. \item En déduire les coordonnées des points de $H$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \bigskip \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{(À rendre avec la copie)} \textbf{Exercice 2} \vspace{2cm} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(2.1,1.501) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.28}{2}{1 1 x div add ln} \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(1.5,1.5) \uput[dr](1.5,1.5){$\mathcal{D}$} \uput[u](2,0){$x$}\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.8,0.45){\blue$\mathcal{C}$} \end{pspicture*} \end{center} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \textbf{ANNEXE 2} \bigskip \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \textbf{Exercice 5} \bigskip \begin{tabular}{c c c} \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5} \defFunction{cone}(u,v){u v Cos mul}{u v Sin mul}{u} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=cone,linewidth=0.01,ngrid=25 40] \gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[5,3,3] \end{pspicture} & \psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5} \defFunction{hyperbolo}(u,v){1 u dup mul add sqrt v Cos mul}{1 u dup mul add sqrt v Sin mul}{u} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=hyperbolo,linewidth=0.01,ngrid=25 40] \gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[5,3,3] \end{pspicture} & \begin{pspicture}(-2,-1)(8,7) \psset{unit=0.65cm,viewpoint=80 20 30 } \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 5 10,Decran=30,lightsrc=20 10 5} \defFunction{parabolo}(u,v){u v Cos mul}{u v Sin mul}{u dup mul} \psSolid[object=surfaceparametree,base=-2 2 0 2 pi mul,inhue=0.8 0.2,hue=0.8 0.2,function=parabolo,linewidth=0.01,ngrid=25 40] \gridIIID[Zmin=0,Zmax=0](0,0)(0,0)[3,3,5] \end{pspicture}\\ Figure 1&Figure 2&Figure 3\\ \end{tabular} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie novembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Amérique du Sud 16 novembre 2011 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \label{AmeriqueSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 16 novembre 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud ~\decofourright\\16 novembre 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x + 1}.\] On considère la suite définie pour tout $n \in \N$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0} &=&4\\ u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right) \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item On a tracé, en annexe 1, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. \begin{enumerate} \item Sur le graphique en annexe 1, placer sur l'axe des abscisses, $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$. Faire apparaître les traits de construction. \item Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b. \begin{enumerate} \item Démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n \in \N$. \item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$. \item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. On prend un dé au hasard dans l'urne et on le lance. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $V$ l'évènement : \og le dé tiré est vert \fg \item $R$ l'évènement : \og le dé tiré est rouge \fg \item $S_{1}$ l'évènement : \og on obtient 6 au lancer du dé \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous. \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$V$}\taput{\ldots}} { \TR{$S_{1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$R$}\tbput{\ldots}} { \TR{$S_{1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{S_{1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer la probabilité $P\left(S_{1}\right)$. \end{enumerate} \item On tire au hasard un dé de l'urne. On lance ensuite ce dé $n$ fois de suite. On note $S_{n}$ l'évènement : \og on obtient 6 à chacun des $n$ lancers \fg. \begin{enumerate} \item Démontrer que: \[P\left(S_{n}\right) = \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^n + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n.\] \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_{n}$ la probabilité d'avoir tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des $n$ lancers. Démontrer que : \[p_{n} = \dfrac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1 }.\] \item Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que $p_{n} \geqslant 0,999$ pour tout $n \geqslant n_{0}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[g(x) = x^2(1 - \ln x).\] \textbf{Partie A Étude de la fonction}\: \boldmath $g$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. \item Déterminer la limite de $g$ en 0. \item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Représentation graphique et aire sous la courbe} \medskip Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$. \begin{enumerate} \item Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 5~cm et donné en annexe 2. \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. La tracer sur le graphique. \item Calculer l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$. \end{enumerate} \subsection*{Exercice 4 \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation \[z^2 - 2z + 5 = 0.\] \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où : \[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$ et donner le résultat sous forme algébrique. \item En déduire la nature du triangle ABC. \end{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. \item Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{Exercice 5 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère le point A de coordonnées $(-1~;~-1~;~1)$ et les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ de représentations paramétriques : \[\mathcal{D}\:\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}2t - 1 \\ y&=&-3t + 2\\ z&=&\phantom{-2}t \end{array}\right.\: \text{où}\: t \in \R \qquad \mathcal{D}'\:\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3t' \\ y&=&\phantom{3}t' + 2\\ z&=&3t' - 2 \end{array}\right.\: \text{où}\: t' \in \R\] \textbf{Proposition 1 :} \og Le point A appartient à la droite $\mathcal{D}$ \fg. \textbf{Proposition 2 :} \og Le plan perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ passant par le point O a pour équation : $2x - 3y + z = 0$ \fg. \textbf{Proposition 3 :} \og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales \fg. \textbf{Proposition 4 :} \og Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires \fg. \textbf{Proposition 5 :} \og La distance du point A au plan d'équation $2x - 3y + z = 0$ est $\dfrac{\sqrt{14}}{7}$. \subsection*{Exercice 5 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \textbf{Proposition 1 :} \og Le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2011}}$ par 7 est 2 \fg. \medskip \item[$\bullet~~$] Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls. \textbf{Proposition 2 :} \og S'il existe un couple de nombres entiers relatifs $(u,~ v)$ tel que $ua + vb = 3$, alors PGCD$(a,~b) = 3$ \fg. \medskip \item[$\bullet~~$] Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $5$. \textbf{Proposition 3 :} \og L'entier $n^2 - 3n - 10$ n'est jamais un nombre premier \fg. L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \medskip \item[$\bullet~~$] On considère le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$. Soit A le point de coordonnées $(-2~;~-1~;~\gamma)$. \textbf{Proposition 4 :} \og Il existe un unique réel $\gamma$ tel que le point A appartient au cône $\Gamma$ \fg. \medskip \item[$\bullet~~$] On coupe le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$ par le plan $\mathcal{P}_{a}$ d'équation $x = a$ où $a \in \R$. \textbf{Proposition 5 :} \og Cette intersection peut être la réunion de deux droites \fg. \end{itemize} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE 1} \vspace{0,5cm} (À rendre avec la copie) \vspace{2cm} \psset{unit=1.75cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(6,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[ul](4.5,4.5){$\mathcal{D}$}\uput[d](5.5,2.4){\blue$\mathcal{C}$} \psline(-1,-1)(5,5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{3 4 x 1 add div sub} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{landscape} \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture}(-0.2,-1.5)(4.1,2) \multido{\n=-0.2+0.1}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2)} \multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2)} \multido{\n=-1.5+0.1}{36}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(3.4,\n)} \multido{\n=-1+1}{4}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](-0.2,\n)(3.4,\n)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.2,-1.5)(3.4,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput{-90}(4,0.25){\textbf{\Large ANNEXE 2}} \rput{-90}(3.8,0.25){\textbf{À rendre avec la copie}} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud 16 novembre 2011 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2012 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt] obligatoire mars 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : } \medskip On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par \[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$. \item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.\] \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. \item Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à $- \sqrt{2}$. \item Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D. \begin{enumerate} \item Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$. \item Soit C l'image du point L par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point C. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire. L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$. On considère les évènements suivants : $A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg $B$ : \og obtenir une boule noire \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire. \item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$. \item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé. \end{enumerate} \item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. \item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. \item On donne le tableau suivant: \medskip \hspace{-1cm}\begin{footnotesize} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $P(X < k)$ &\np{0,0091}&\np{0,0637} &\np{0,2110} &\np{0,4467} &\np{0,6943} &\np{0,8725} &\np{0,9616} &\np{0,9922}& \np{0,9990}&\np{0,9999}\\ \hline \end{tabularx} \end{footnotesize} \medskip Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg. À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{VRAI ou FAUX ?} \medskip \emph{Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Énoncé 1 :} Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de réels. Pour tout entier $n$, on pose $u_{n} = \sin \left(a_{n}\right)$. \emph{Proposition $1$ : \og On peut choisir la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ telle que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \fg} \item \textbf{Énoncé 2 :} Dans le plan complexe d'origine O, on considère, pour tout entier naturel non nul $n$, les points $M_{n}$ d'affixe $z_{n} = \text{e}^{\frac{2\text{i}n\pi}{3}}$. \emph{Proposition $2$ : \og Les points \emph{O}, $M_{1}$ et $M_{20}$ sont alignés. \fg} \item \textbf{Énoncé 3 :} On considère une fonction $f$, sa dérivée $f^{\prime}$ et son unique primitive $F$ s'annulant en $x = 0$. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous. \emph{Proposition $3$ : \og La courbe $3$ ci-dessous est la représentation graphique de $f$ \fg.} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-6.4,-5)(12.8,5.5) \psaxes[Dx=50,Dy=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-6.4,-5)(12.8,5) \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{12.8}{0.5 x mul RadtoDeg sin 4 mul neg} \rput(-3,5){Courbe 1}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$} \uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$} \end{pspicture} \psset{xunit=0.5cm,yunit=1.25cm} \begin{pspicture}(-6.4,-2.2)(14.8,3) \psaxes[Dx=50,Dy=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-6.4,-2.2)(14.8,3) \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{14.8}{0.5 x mul RadtoDeg cos 2 mul} \rput(-3.5,3){Courbe 2}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$} \uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$} \end{pspicture} \psset{xunit=1.cm,yunit=2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-3.1,-1.5)(7.1,1.5) \psaxes[Dx=50,Dy=0.5,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-3.1,-1.4)(6.7,1.3) \rput(-1.5,1.4){Courbe 3} \uput[d](-3.14,0){$- \pi/2$} \uput[d](3.14,0){$\pi/2$}\uput[d](6.28,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3.1}{6.7}{x RadtoDeg sin } \end{pspicture} \item \textbf{Énoncé 4 :} On considère, dans un repère orthonormé de l'espace, le point A(0~;~0~;~3) et le plan P d'équation $2x - y + z = 0$. \emph{Proposition $4$ : \og La sphère de centre \emph{A} et de rayon $2$ et le plan \emph{P} sont sécants. \fg} \item \textbf{Énoncé 5 :} On considère l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 4$. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l'une représente la solution de (E) vérifiant $y(0) = 0$. \emph{Proposition 5 : \og La courbe représentative de la solution de (E) vérifiant $y(0) = 0$ est la courbe $C_{4}$. \fg} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-7.5,-6)(8.5,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7.5,-6)(8.5,6) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-7.5}{2.2}{2.71828 x exp 2 sub} \pscurve[linecolor=red,linewidth=1.25pt](-4,-6.2)(-3,-3.4)(-2,-1.75)(0,0)(2,0.6)(4,0.85)(7,1)(8.5,1.05) \psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-3.95}{8.5}{2 2 2.72818 x 2 mul exp div sub} %\psplot[linewidth=1.25pt]{-3.95}{9.5}{x dup mul 0.05 mul 0.1 x mul add} %\pscurve(-7.5,-0.8)(-4,-0.5)(-2,-0.3)(0,0)(2,0.5)(4,1.2)(6,2.3)(8,4)(8.5,4.5) \psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-7.5}{8.5}{2.71828 0.20118 x mul exp 1 sub} \rput(8.2,4.75){$C_{2}$}\rput(8.2,2.3){\cyan $C_{3}$}\rput(8.2,0.6){\red $C_{4}$}\rput(2.4,5.4){\blue $C_{1}$} \uput[dr](0,0){0}\uput[d](8.3,0){$x$}\uput[l](0,5.8){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = x\text{e}^x$. On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1]. Sur la courbe $\mathcal{C}$, tracée en annexe, on a placé les points A et B d'abscisses respectives $a$ et $1$. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe $\mathcal{C}$. On a placé les points A$'(a~;~0)$ et B$'(1~;~0)$. Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale. \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x\:\text{d}x = 1$. \item \begin{enumerate} \item Donner l'aire du triangle OAA$'$ et montrer que l'aire du trapèze ABB$'$A$'$ est égale à $\dfrac{1}{2}\left(- a^2 \text{e}^a + a\text{e}^a - a\text{e} + \text{e}\right)$. \item En déduire que l' aire de la partie du plan hachurée est égale à $\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B :} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[g(x) = x\left(\text{e}^x - \text{e}\right) + \text{e} - 2.\] \begin{enumerate} \item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. Vérifier que la fonction dérivée seconde $g''$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g''(x) = (2 + x) \text{e}^x$. \item En déduire les variations de la fonction $g'$ sur $[0~;~+\infty[$. \item Établir que l'équation $g'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \item En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$. \item En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \vspace{0,5cm} \textbf{CETTE PAGE N'EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{2cm} \psset{xunit=10cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.25)(1.15,3) \multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)} \multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.15,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(-0.05,-0.1)(1.15,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{2.71828 x exp x mul} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{0.5}{2.71828 x exp x mul} \psline(0.5,0.824361)(0,0)} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.5}{1}{2.71828 x exp x mul} \psline(1,2.71828)(0.5,0.824361)} \uput[dr](0.5,0.8244){A}\uput[r](1,2.71828){B}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.7,1.35){$\mathcal{C}$} \uput[d](0.5,0){A$'$}\uput[dl](1,0){B$'$} \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.824361) \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2.71828) \uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2012 \end{document}