%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx,array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}\def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Baccalauréat S - 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2014~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2014 à mars 2015}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 8 avril 2014} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{Liban}{Liban 28 mai 2014} \dotfill \pageref{Liban}\\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 30 mai 2014} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\\ \hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers 12 juin 2014} \dotfill \pageref{Centres etrangers}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 13 juin 2014} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane 19 juin 2014} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Asie}{Asie 19 juin 2014} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Metropole}{Métropole 19 juin 2014} \dotfill \pageref{Metropole} \\ %\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2014} \dotfill \pageref{Polynesiesep}\\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane 12 septembre 2014} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ \hyperlink{Metropolesep}{Métropole 12 septembre 2014} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\ \hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud 17 novembre 2014} \dotfill \pageref{AmeriSud}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014} \dotfill \pageref{Caledonienov}\\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015} \dotfill \pageref{Caledoniemars}\\ \end{tabularx} \vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées} À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{8 avril 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. \medskip \begin{enumerate} \item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.\index{loi exponentielle} On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$. Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$. \medskip \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $P(X \geqslant 3)$. \item Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$. \item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ? \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \item \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à } \boldmath $10^{-3}$\unboldmath. L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation $800$~moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.\index{intervalle de fluctuation} \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{Vrai--Faux} Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition 1} Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.\index{suite} \item $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par \[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]\index{fonction logarithme népérien} \textbf{Proposition 2} Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$. \textbf{Proposition 3} Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est : $1 + \ln 4$. \item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et $x + y + 5z - 11 = 0$.\index{géométrie dans l'espace} \textbf{Proposition 4} Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité } \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \index{complexes} \[z_{0} = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\] On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{suite géométrique} \item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. \item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline Variables& $n$ entier naturel\\ &$R$ réel\\ &$P$ réel strictement positif\\ \hline Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ &$n$ prend la valeur 0\\ &Tant que $R > P$\\ &\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ &\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ &Fin tant que\\ \hline Sortie &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? \item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. \item On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. \item Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$. Les traits de construction seront apparents. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi la spécialité} \medskip Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.\index{probabilités} \begin{tabular}{l l} On note :& $X_{n}$ l'évènement \og la marque X est utilisée le mois $n$ \fg,\\ &$Y_{n}$ l'évènement \og la marque Y est utilisée le mois $n$ \fg,\\ &$Z_{n}$ l'évènement \og la marque Z est utilisée le mois $n$ \fg. \end{tabular} Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition. Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] 50\,\% de chance de rester fidèle à cette marque, \item[ ] 40\,\% de chance d'acheter la marque Y, \item[ ] 10\,\% de chance d'acheter la marque Z. \end{description} \setlength\parindent{0mm} Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ]30\,\% de chance de rester fidèle à cette marque, \item[ ]50\,\% de chance d'acheter la marque X, \item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Z. \end{description} \setlength\parindent{0mm} Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ]70\,\% de chance de rester fidèle à cette marque, \item[ ]10\,\% de chance d'acheter la marque X, \item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Y. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$. On admet que : $y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$. \item Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.\index{matrices} On admet que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$. Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$. On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{4cm}|X|}\hline Variables& $n$ et $i$ des entiers naturels.\\ &$A$, $B$ et $U$ des matrices\\ \hline Entrée et initialisation&Demander la valeur de $n$ \\ &$i$ prend la valeur $0$\\ &$A$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$\\ &$B$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$\\ &$U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$\\ \hline Traitement &Tant que $i < n$\\ &\hspace{0,4cm}$U$ prend la valeur $A \times U + B$\\ &\hspace{0,4cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\ &Fin de Tant que \\ \hline Sortie &Afficher $U$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour $n = 3$. \item Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ? Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$. \end{enumerate} \item On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes. \begin{enumerate} \item Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$. \item On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[7pt] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$. En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[7pt] \dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = A \times V_{n}$. \item On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C$. Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{fonction et dérivée} Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$. Le point A de coordonnées (0~;~2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$. Le point B de coordonnées (0~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué. \begin{multicols}{2} \begin{center} \hspace{-1.5cm}\textbf{\small Situation 1} \end{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture*}(-3,-3)(5.1,11) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1.5,-2.2)(-1,-0.8)(0,1)(1,1.6)(2,1.85)(3,1.95)(4,2)(4.5,1.98) \uput[d](3,2){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \columnbreak \begin{center} \textbf{\small Situation 2 ($\mathcal{C}_{2}$ est une droite)} \end{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture*}(-3,-3)(5.1,11) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4.5}{x 1 add} \uput[dr](4,5){\red $\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{multicols} \newpage \begin{center} \textbf{\small Situation 3}\\ \psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3,-1)(4.5,10) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(5,10) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-0.9)(4.5,9.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{x 2 mul 2.71828 x neg exp add} \uput[dr](3,6){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A. \item On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé. \item Prouver que $a = 2$. \end{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\R$. \item En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \end{enumerate} La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.\index{aire et intégrale} \begin{center} \begin{tabular}{l l} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2,-1)(5,6) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389) \rput(0,5.5){figure 2} \psline(-2,0)(2,0)(2,4) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \psline(2,4)(-2,0)} \end{pspicture*}&\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2.5,-1)(3.5,6) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2.5,-1)(3.5,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](0,3.3){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[dr](1.3,3.5){$\Delta$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \psline(-2,0)(2,0)(2,4) \uput[d](-2,0){D}\uput[d](2,0){E}\uput[ul](-2,4.389)G \uput[ur](2,5.135){F} \pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389) \rput(1,10.5){figure 3} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \psline(2,4)(-2,0)} \end{pspicture*} \end{tabular} \end{center} Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : \begin{itemize} \item D est le point de coordonnées $(-2~;~0)$, \item E est le point de coordonnées (2~;~0), \item F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$, \item G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$. \end{itemize} La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE EXERCICE 3}} \vspace{1cm} À compléter et à rendre avec la copie \vspace{1.5cm} \psset{unit=7cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.6,-0.3)(1.1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,1) \psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150) \psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30) \psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90) \psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0) \uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} \uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2014 \newpage %%%%%%%%%%%% Liban 27 mai 2014 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{27 mai 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 27 mai 2014~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.\\ Les probabilités seront arrondies au dix millième.} \smallskip Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus. \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps. Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\np{99,4}\,\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas. On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement \og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire la situation par un arbre de probabilités.\index{probabilités}\index{arbre} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$. \item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $\np{0,0192}$ \item Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : le vélo} \medskip On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = \np{1,2}$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée. \item Il part de son domicile à vélo à 7~h~40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée? \item L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $\np{0,9}$ ? Arrondir le résultat à la minute près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : le bus} \medskip Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.\index{loi normale} On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\np{0,05}$. On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$ \medskip \begin{enumerate} \item Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ? \item Déterminer une valeur approchée à $\np{0,01}$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte \medskip \index{Vrai--Faux} On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\index{géométrie dans l'espace} On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + 3z + 1 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=\phantom{-5 +}2t\\ y=\phantom{-}1+t\quad,\quad t\in\R \\ z=-5+3t \end{cases}$ On donne les points $A(1~;~1;~0),\;B(3~;0~;~-1)$ et $C(7~;1~;~-2)$ \medskip \textbf{Proposition 1 :} Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est \index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} $\begin{cases} x=\phantom{-}5-2t\\ y=-1+\phantom{2}t\\ z=-2+\phantom{2}t \end{cases},\: t\in\R$ \medskip \textbf{Proposition 2 :} Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont orthogonales. \bigskip \textbf{Proposition 3 :} Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont coplanaires. \bigskip \textbf{Proposition 4 :} La droite $\mathcal{D}$ coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E$ de coordonnées $(8~;~-3;~-4)$. \bigskip \textbf{Proposition 5 :} Les plans $\mathcal{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.\hyperlink{Index}{*} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\]\index{fonction exponentielle} On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\mathcal{A}$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la façon suivante : pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = t$.\index{aire et intégrale} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathcal{A}$. \item On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathcal{A}$ ? \item On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d'équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $\mathcal{A}(t)=\dfrac12$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ \item Sur le graphique fourni en \textbf{annexe (\emph{à rendre avec la copie})} sont tracées la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathcal{A}$. Sur le graphique de l'\textbf{annexe}, identifier les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d'équation $y=\dfrac12$. En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$. Hachurer le domaine correspondant à $\mathcal{A}(\alpha)$. \end{enumerate} \item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ par \[g(x) = (x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$. \item En déduire, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \mbox{une expression de $\mathcal{A}(t)$.} \item Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}(6)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:\index{complexes et suite} \[z_{n+1} = (1 + \mathrm{i})z_n.\] \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_0$. \item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.\index{suite géométrique} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \item Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$. \begin{center}\index{algorithme} \fbox{ \begin{tabular}{lcl} \textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\ &&$p$ est un réel\\ && $n$ est un entier\\ \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\ && Affecter à $u$ la valeur 2\\ \textbf{Entrée}&:& Demander la valeur de $p$ \\ \textbf{Traitement}&:&\\ \\ \textbf{Sortie}&:& \\ \end{tabular} } \end{center} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la forme algébrique de $z_1$. \item Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$. En déduire la forme exponentielle de $z_1$. \item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.\index{probabilités} Un \emph{individu sain} est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie. Un \emph{individu malade} est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri. Un \emph{individu guéri} est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri. Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade. Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant: \begin{description} \item[\textbullet] $5\,\%$ des individus tombent malades ; \item[\textbullet] $20\,\%$ des individus guérissent. \end{description} Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'individus sains $n$ jours après le début de l'expérience, $b_n$ la proportion d'individus malades $n$ jours après le début de l'expérience, et $c_n$ celle d'individus guéris $n$ jours après le début de l'expérience. On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que $a_0=1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$ \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $a_1$, $b_1$ et $c_1$. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En déduire $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$. \item Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$. \end{enumerate} On admet que $c_{n+1} = \np{0,2}b_n + c_n$. Pour tout entier naturel $n$, on définit\index{matrices} $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}$ On définit les matrices $A=\begin{pmatrix} \np{0,95}&0&0\\ \np{0,05}&\np{0,8}&0\\ 0&\np{0,2}&1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} \np{0,95}&0&0\\ 0&\np{0,8}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ On admet qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $D=P^{-1}\times A\times P$ et que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n=P\times D^{n}\times P^{-1}$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A\times U_n$. \medskip On admet que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\times U_0$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n=\begin{pmatrix} \np{0,95}^n&0&0\\ 0&\np{0,8}^n&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ \end{enumerate} On admet que $A^n =\begin{pmatrix} \np{0,95}^n&0&0\\ \dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)&\np{0,8}^n&0\\ \dfrac13\left(3-4\times\np{0,95}^n+\np{0,8}^n\right)&1-\np{0,8}^n&1 \end{pmatrix}$ \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $b_n=\dfrac13\left(\np{0,95}^n-\np{0,8}^n\right)$ \item Déterminer la limite de la suite $\left(b_n\right)$. \item On admet que la proportion d'individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit. On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum. À cet effet, on utilise l'algorithme\index{algorithme} donné en \textbf{annexe 2 (\emph{à rendre avec la copie})}, dans lequel on compare les termes successifs de la suite $(b_n)$. Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau fourni en \textbf{annexe 2}. Conclure.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Annexe 1} \textbf{\emph{À rendre avec la copie}} \begin{center} \textbf{\bsc{Exercice 3}} \textbf{Représentations graphiques des fonctions $f$ et $\mathcal{A}$} \vspace{1cm} \psset{xunit=2.5cm,yunit=5cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.2,-1)(5,1) \multips(0,0)(0,0.1){11} {\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(5,0)} \multips(0,0)(0.2,0){26}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,1)} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.1,labels=y,ticks=y,ticksize=-2pt 0,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,1.1) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.1,labels=y,ticks=y,ticksize=-2pt 0,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x 2.718281828 x exp div} \psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=4000,linewidth=1.5pt]{0}{5}{1 x 1 add 2.718281828 x exp div sub} \begin{scriptsize} \rput[b](1,-0.05){1} \rput[b](2,-0.05){2} \rput[b](3,-0.05){3} \rput[b](4,-0.05){4} \end{scriptsize} \rput[b](5,-0.05){$x$} \rput[l](-0.15,1.1){$y$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{Annexe 2} \textbf{\emph{À rendre avec la copie}} \bigskip \begin{center} \textbf{\bsc{Exercice 4}} \textbf{Algorithme et tableau à compléter} \end{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.25} \begin{center} \begin{tabular}{|lcl|}\hline \textbf{Variables}& : &$b,~b',~x,~y$ sont des réels\\ && $k$ est un entier naturel\\ \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $b$ la valeur 0\\ && Affecter à $b'$ la valeur $\np{0,05}$\\ && Affecter à $k$ la valeur $0$\\ && Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95}$\\ && Affecter à $y$ la valeur $\np{0,8}$\\ \textbf{Traitement}&:& Tant que $b < b'$ faire :\\ &&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $k$ la valeur $k+1$\\ Affecter à $b$ la valeur $b'$\\ Affecter à $x$ la valeur $\np{0,95} x$\\ Affecter à $y$ la valeur $\np{0,80} y$\\ Affecter à $b'$ la valeur $\cdots\cdots$ \end{tabular}\\ &&Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}&:& Afficher $\cdots\cdots$ \\\hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \begin{center} % \usepackage{array} is required \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{3.5cm}|>{\centering}c|c|c|c|c|c|} \hline & $k$ & $b$ & $x$ & $y$ & $b'$ & Test: $b < b'$ ? \tabularnewline \hline Après le $7\up{e}$ passage \newline dans la boucle Tant que & 7 & $\np{0,1628}$ & $\np{0,6634}$ & $\np{0,1678}$ & $\np{0,1652}$ & \bsc{Vrai} \tabularnewline \hline Après le $8\up{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que & & & & & & \tabularnewline \hline Après le $9\up{e}$ passage éventuel dans la boucle Tant que & & & & & & \tabularnewline\hline \end{tabular} \end{center} %%%%%%%%% fin Liban 27 mai 2014 \newpage %%%%%%%%% Amérique du Nord 30 mai 2014 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small 30 mai 2014} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2014 ~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.} \medskip Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante. \medskip \textbf{Partie A : Conditionnement des pots} \medskip Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55~mL. On dit qu'un pot de crème est non conforme s'il contient moins de 49~mL de crème. \medskip \begin{enumerate} \item Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 1,2$.\index{loi normale} Calculer la probabilité qu'un pot de crème soit non conforme. \item La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l'écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme. On note $\sigma'$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X - 50}{\sigma'}$ \begin{enumerate} \item Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$. \item Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \leqslant u) = 0, 06$. \item En déduire la valeur attendue de $\sigma'$. \end{enumerate} \item Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d'atteindre l'objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l'échantillon est $0,06$. Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus. \begin{enumerate} \item On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.\index{loi binomiale} \item Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Campagne publicitaire} \medskip Une association de consommateurs décide d'estimer la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation de cette crème. Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur $140$~ personnes interrogées, $99$ se déclarent satisfaites. Estimer, par intervalle de confiance au seuil de $95$\,\%, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.\hyperlink{Index}{*} \index{intervalle de confiance} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]\index{fonction exponentielle} On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$ dans un repère orthogonal du plan. \medskip \textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$g(x) > 0$. \item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath \medskip On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$. \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $g'(x)$. \item Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ que l'on déterminera. En donner une interprétation graphique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Étude d'une aire} \medskip On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\] \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$. \index{aire et intégrale} \item Justifier que la fonction $\mathcal{A}$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathcal{A}(x)$. \item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathcal{A}(x) = 2$ ? \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un cube ABCDEFCH donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).\index{géométrie dans l'espace} On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que $\vect{\text{HP}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{HG}}$. \medskip \textbf{Partie A : Section du cube par le plan (MNP)}\index{section plane} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L. Construire le point L. \item On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection. On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. \begin{enumerate} \item Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. \item Construire l'intersection des plans (MNP) et (ABF). \end{enumerate} \item En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère. \item Déterminer les coordonnées du point L. \item On admet que le point T a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\frac{5}{8}\right)$. Le triangle TPN est-il rectangle en T ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1400}~m$^3$ d'eau ; \item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; \item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel $n$, on note :\index{suite} \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; \item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = \np{1400}$. \medskip \begin{enumerate} \item Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ? \item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$. \item L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à \np{1100}.\index{algorithme} Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes. \begin{center} \begin{tabular}{|l l l|}\hline \textbf{Variables}&:& $n$ est un entier naturel\\ &&$a$ est un réel\\ \textbf{Initialisation}&:&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ && Affecter à $a$ la valeur 800\\ \textbf{Traitement}&:& Tant que $a < \np{1100}$, faire :\\ &&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $a$ la valeur \ldots\\ Affecter à $n$ la valeur \ldots\\ \end{tabular}\\ && Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}&:&Afficher $n$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - \np{1320}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.\index{suite géométrique} \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n} = \np{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$. \end{enumerate} \item On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement. \end{enumerate} \newpage {\large \textbf{Annexe 1}} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1.5cm} \begin{center} {\textsc{\textbf{EXERCICE 2}}} \vspace{1cm} \psset{xunit=2.5cm,yunit=2cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) \multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)} \multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub} \uput[ul](4,1.1){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \newpage {\large\textbf{Annexe 2}} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec la copie} \begin{center} \textbf{EXERCICE 3} \vspace{4cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,8.5) \psframe(0.3,0.3)(6.3,6.3)%ABFE \psline(6.3,0.3)(8,2.8)(8,8.8)(6.3,6.3)%BCGF \psline(8,8.8)(2,8.8)(0.3,6.3)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,2.8)(8,2.8)%ADC \psline[linestyle=dashed](2,2.8)(2,8.8)%DH \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.15,7.55)(7.15,4.55)(3.5,8.8) \uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](6.3,0.3){B} \uput[r](8,2.8){C} \uput[ur](2,2.8){D} \uput[ul](0.3,6.3){E} \uput[ul](6.3,6.3){F} \uput[ur](8,8.8){G} \uput[ul](2,8.8){H} \uput[ul](1.15,7.55){M} \uput[dr](7.15,4.55){N} \uput[u](3.5,8.8){P} \end{pspicture} \end{center} %%%% fin Amérique du Nord juin 2014 \newpage %%%%%%%%% Centres étrangers 12 juin 2014 \hypertarget{Centres etrangers}{} \label{Centres etrangers} \lfoot{\small Centres étrangers} \rfoot{\small 12 juin 2014} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Dans l'ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{\emph{Commun à tous les candidats}} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.\\ Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}\index{Q. C. M.} \medskip \textbf{Question 1}\index{probabilités} Dans un hypermarché, 75\,\% des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font. Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième : \medskip \begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,750& \textbf{b.~~} 0,150& \textbf{c.~~} 0,462& \textbf{d.~~} 0,700 \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2}\index{loi binomiale} Dans cet hypermarché, un modèle d'ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'un client s'intéresse à ce modèle, la probabilité qu'il l'achète est égale à $0,3$. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle. La probabilité qu'exactement trois d'entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième : \medskip \begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,900& \textbf{b.~~} 0,092& \textbf{c.~~} 0,002& \textbf{d.~~} 0,267 \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 3}\index{loi exponentielle} Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La durée de vie moyenne d'un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : $\lambda = \dfrac{1}{8}$. La probabilité qu'un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième : \medskip \begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,750& \textbf{b.~~} 0,250& \textbf{c.~~} 0,472& \textbf{d.~~} 0,528 \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 4}\index{loi normale} Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne $200$~g. La probabilité que la masse d'une baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est égale à $0,954$. La probabilité qu'une baguette prise au hasard ait une masse inférieure à 192 g a pour valeur arrondie au centième : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,16& \textbf{b.~~} 0,32& \textbf{c.~~} 0,84& \textbf{d.~~} 0,48 \end{tabularx}\hyperlink{Index}{*} \bigskip \subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_{0}&=& 16\\ z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n. \end{array}\right.\] On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$. Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$. \medskip\index{complexes et suite} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$. \item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}. \item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique. \item Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$. \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\index{suite géométrique} La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ? Interpréter géométriquement le résultat précédent. On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$, etc. Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} = A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$ \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$. \item Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 3 \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel $x$ de la façon suivante : \smallskip \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $x = 0$ pour le blanc ; \item[$\bullet~~$] $x = 1$ pour le noir; \item[$\bullet~~$] $x = 0,01 \:;\: x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu'à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes. Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites \og fonctions de retouche \fg. Une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] est dite \og fonction de retouche \fg{} si elle possède les quatre propriétés suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $f(0) = 0$ ; \item[$\bullet~~$] $f(1) = 1$ ; \item[$\bullet~~$] $f$ est continue sur l'intervalle [0~;~1] ; \item[$\bullet~~$] $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1]. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une nuance codée $x$ est dite assombrie par la fonction $f$ si $f(x) > x$, et éclaircie, si $f(x) < x$. Ainsi, si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $0,2^2 = 0,04$. L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous. Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$. L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,20} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,40} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!60](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,60} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!80](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,80} \end{pspicture}& \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!4](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,04} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!16](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,16} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!36](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,36} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!64](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,64} \end{pspicture} &\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!45](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,45} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!63](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,63} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!77](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,77} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!89](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,89} \end{pspicture}\\ Image A& Image B& Image C \end{tabularx} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f_{1}(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche. \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1}(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles. Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f_{2}(x) = \ln [1 + (\text{e} - 1)x].\] On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche. On définit sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) - x$. \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] : $g'(x) = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$ ; \item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1]. \index{maximum d'une fonction} Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$. \item Établir que l'équation $g(x) = 0,05$ admet sur l'intervalle [0~;~1] deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$. On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à $0,05$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans l'algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche. Quel est le rôle de cet algorithme ?\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.78\linewidth}{|l X|} \hline \textbf{Variables :}& $x$ (nuance initiale)\\ &$y$ (nuance retouchée) \\ &$E$ (écart)\\ &$c$ (compteur)\\ & $k$\\ \textbf{Initialisation :}& $c$ prend la valeur $0$\\ \textbf{Traitement :}& Pour $k$ allant de 0 à 100, faire\\ &\hspace{1cm}\begin{tabular}{l} $x$ prend la valeur $\frac{k}{100}$\\ $y$ prend la valeur $f(x)$\\ $E$ prend la valeur $|y - x|$ \end{tabular}\\ &\hspace{2cm}\begin{tabular}{l} Si $E \geqslant 0,05$, faire\\ \quad $c$ prend la valeur $c + 1$\\ Fin si \end{tabular}\\ &Fin pour\\ \textbf{Sortie :}& Afficher $c$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la \textbf{partie A} ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche $f$ dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) \leqslant x$. On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire $\mathcal{A}_{f}$ de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$. \index{intégrale et aire} Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image ~ celle correspondant à la plus petite aire. On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu'elles sont des fonctions de retouche :} \hfill \parbox{0.36\linewidth}{\psset{unit=4cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.15,-0.15)(1.1,1.1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.1,1.1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul} \psline(1,0)(0,0)} \uput[dl](0,0){O} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} } \[f_{3}(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\qquad f_{4}(x) = 4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\mathcal{A}_{f_{3}}$. \item Calculer $\mathcal{A}_{f_{4}}$ \end{enumerate} \item De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points : \index{géométrie dans l'espace} \[\text{A}(1~;~2~;~7),\quad \text{B}(2~;~0~;~2),\quad \text{C}(3~;~1~;~3),\quad \text{D}(3~;~ -6~;~1) \:\:\text{et E}(4~;~-8~;~-4).\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Soit $\vect{u}(1~;~b~;~c)$ un vecteur de l'espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels. \begin{enumerate}\index{vecteur normal} \item Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vect{u}$ soit un vecteur normal au plan (ABC). \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : \index{equation de plan@équation de plan} $x - 2 y + z - 4 = 0$. \item Le point D appartient-il au plan (ABC) ? \end{enumerate} \item On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& \phantom{-}2t+3\\ y& =& - 4t + 5\\ z& =&\phantom{-}2t-1 \end{array}\right. \: \text{où}\: t\: \text{est un nombre réel.}\] \begin{enumerate} \item La droite $\mathcal{D}$ est-elle orthogonale au plan (ABC) ? \item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC). \end{enumerate} \item Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A : préliminaires} \medskip \begin{enumerate}\index{arithmétique} \item \begin{enumerate} \item Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : \[n^2 \equiv N -1\quad \text{modulo}\: N.\] Montrer que : $n \times n^3 \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: N$. \item Déduire de la question précédente un entier $k_{1}$ tel que: $5k_{1} \equiv 1\quad \text{modulo}\:\: 26$. On admettra que l'unique entier $k$ tel que : $ 0 \leqslant k \leqslant 25$ et $5k \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: 26$ vaut 21. \end{enumerate} \index{matrices} \item On donne les matrices : $A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}\phantom{-}2&- 1\\- 3&\phantom{-}4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer la matrice $6A - A^2$. \item En déduire que $A$ est inversible et que sa matrice inverse, notée $A^{- 1}$, peut s'écrire sous la forme $A^{-1} = \alpha I + \beta A$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels que l'on déterminera. \item Vérifier que : $B = 5A^{-1}$. \item Démontrer que si $A X = Y$, alors $5X = B Y$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : procédure de codage} \medskip Coder le mot \og ET \fg, en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Le mot à coder est remplacé par la matrice $X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$, où $x_{1}$ est l'entier représentant la première lettre du mot et $x_{2}$ l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item[$\bullet~~$] La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}$ telle que : $Y = AX$. \item[$\bullet~~$] La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}$, où $r_{1}$ est le reste de la division euclidienne de $y_{1}$ par 26 et $r_{2}$ le reste de la division euclidienne de $y_{2}$ par 26. \item[$\bullet~~$] Les entiers $r_{1}$ et $r_{2}$ donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Exemple :} \og OU \fg (mot à coder) $\to X \begin{pmatrix}14\\20\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}76\\82\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}24\\4 \end{pmatrix} \to $ \og YE \fg{} (mot codé). \bigskip \textbf{Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage)} \medskip Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ telle que : $Y = A X$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} 5x_{1} &=& \phantom{-}2y_{1} - y_{2}\\ 5x_{2} &=&- 3y_{1} + 4y_{2} \end{array}\right..$ \item En utilisant la question 1. b. de la \textbf{partie A}, établir que: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv&16y_{1} + 5y_{2}\\ x_{2}&\equiv&15y_{1} + 6y_{2} \end{array}\right. \quad \text{modulo}\:\: 26\] \item Décoder le mot \og QP \fg. \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} A4 \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Annexe relative à l'exercice 2} \bigskip \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) \multido{\n=-4+2}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,-2.5)(\n,9)} \multido{\n=-2+2}{6}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5,\n)(18,\n)} \psdots(-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0) \uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$} \uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$} \uput[ur](0,0){0} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{Annexe relative à l'exercice 3} \bigskip \textbf{Courbe représentative de la fonction}\:\boldmath $f_{1}$ \unboldmath \medskip \psset{unit=6.5cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.25,1.2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.25,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \psframe(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add} \end{pspicture} \end{center} %%% fin Centres étrangers 12 juin 2014 \newpage %%% Polynésie 13 juin 2014 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{13 juin 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014~\decofourright\\}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \index{géométrie dans l'espace} Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad \text{et D}(6~;~6~;~-1).\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. \item \begin{enumerate}\index{vecteur normal} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).\index{equation de plan@équation de plan} \end{enumerate}\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. \item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD). \item Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. \emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.} \item On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip\index{suite de naturels} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par \[u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n + 2.\] \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item On considère les deux algorithmes suivants :\index{algorithme} \medskip \hspace*{-1cm} {\footnotesize \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l X|l X|}\hline \textbf{Algorithme 1}& &\textbf{Algorithme 2}&\\ \hline \textbf{Variables :}& $n$ est un entier naturel&\textbf{Variables :}& $n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un réel & &$u$ est un réel \\ \textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$&\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\ \textbf{Traitement :}& $u$ prend la valeur 0&\textbf{Traitement :}& $u$ prend la valeur $0$\\ &Pour $i$ allant de $1$ à $n$: && Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\ &\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$&&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\ & Fin Pour& &Fin Pour\\ \textbf{Sortie :}& Afficher $u$&\textbf{Sortie :}& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx}} \medskip De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? \item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. \medskip \parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline n &u_{n}\\ \hline 0& 0 \\ \hline 1& 2 \\ \hline 2& 6 \\ \hline 3& 12 \\ \hline 4& 20 \\ \hline 5& 30 \\ \hline 6& 42 \\ \hline 7& 56 \\ \hline 8& 72 \\ \hline 9& 90 \\ \hline 10& 110\\ \hline 11& 132\\ \hline 12& 156\\ \hline \end{array}$} \hfill \parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0375cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-10)(13,170) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)} \multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30) (6,42) (7,56) (8,72) (9,90) (10,110)(11,132)(12,156) \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Démontrer cette conjecture. \item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. \end{enumerate} \item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip\index{arithmétique} Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année. Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant : \og Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire \fg. Un spectateur annonce $308$ et en quelques secondes, le magicien déclare : \og Votre anniversaire tombe le 1\up{er} août ! \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que pour une personne née le 1\up{er} août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre $308$. \item \begin{enumerate} \item Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). Exprimer $z$ en fonction de $j$ et de $m$ et démontrer que $z$ et $m$ sont congrus modulo 12. \item Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$. \emph{Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.} \medskip \begin{enumerate} \item Première méthode : On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Variables :}&$j$ et $m$ sont des entiers naturels\\ \textbf{Traitement :}& Pour $m$ allant de 1 à 12 faire :\\ & \hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l} Pour $j$ allant de 1 à 31 faire :\\ \hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l} $z$ prend la valeur $12j + 31m$\\ Afficher $z$\\ \end{tabular}\\ Fin Pour\\ \end{tabular}\\ &Fin Pour\\ \hline \end{tabular} \end{center} Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que $12j + 31m = 503$. \item Deuxième méthode : \begin{enumerate} \item Démontrer que $7m$ et $z$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12. \item Pour $m$ variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de $7m$ par 12. \item En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B). \end{enumerate} \item Troisième méthode : \begin{enumerate} \item Démontrer que le couple $(-2~;~17)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$. \item En déduire que si un couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$, alors $12(x + 2) = 31 (17 - y)$. \item Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs $(x~;~y)$, solutions de l'équation $12x + 31y = 503$. \item Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ tel que $1 \leqslant y \leqslant 12$. En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. \\ Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \begin{enumerate}\index{probabilités} \item Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80\,\% des cas. Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à $0,6$. \textbf{Affirmation \no 1 :} \og Zoé utilise la voiture un jour sur deux. \fg \item Dans l'ensemble $E$ des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements $A$ et $B$. \textbf{Affirmation \no 2 :} \og Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants. \fg \index{loi exponentielle} \item On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$. \textbf{Affirmation \no 3 :} \og La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est $0,7$ environ. \fg \textbf{Affirmation \no 4 :} \og Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes.\fg \item On sait que 39\,\% de la population française est du groupe sanguin A+. On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge $183$ donneurs de sang et parmi eux, 34\,\% sont du groupe sanguin A+. \textbf{Affirmation \no 5 :} \og On ne peut pas rejeter, au seuil de 5\,\%, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39\,\% comme dans l'ensemble de la population. \fg \index{intervalle de fluctuation} \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^x \quad \text{et} \quad g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation. \item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$. \item Justifier que, pour tout réel $x \ne 0,\: h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$. \item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\R$. Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$. \index{variations de fonctions} \item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\R$. \item En déduire que, pour tout réel $x,\:\: 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1 \geqslant x + 1$. \item Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ? \end{enumerate} \item Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1\right)^2$. \item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \end{enumerate}\index{position relative de deux courbes} \item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.\index{intégrale et aire}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie 13 juin 2014 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 9 juin 2014 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{19 juin 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un ostréiculteur élève deux espèces d'huîtres : \og la plate \fg{} et \og la japonaise \fg. Chaque année, les huîtres plates représentent 15\,\% de sa production.\index{probabilités} Les huîtres sont dites de calibre \no 3 lorsque leur masse est comprise entre 66~g et 85~g. Seulement 10\,\% des huîtres plates sont de calibre \no 3, alors que 80\,\% des huîtres japonaises le sont. \medskip \begin{enumerate} \item Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l'ostréiculteur. On suppose que toutes les huitres ont la même chance d'être choisies. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $J$ : \og l'huître prélevée est une huître japonaise \fg, \item[$\bullet~~$] $C$ : \og l'huître prélevée est de calibre \no 3 \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.\index{arbre} \item Calculer la probabilité que l'huître prélevée soit une huître plate de calibre \no 3. \item Justifier que la probabilité d'obtenir une huître de calibre \no 3 est $0,695$. \item Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre \no 3. Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ? \end{enumerate} \item La masse d'une huître peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 90$ et d'écart-type $\sigma = 2$. \index{loi normale} \begin{enumerate} \item Donner la probabilité que l'huître prélevée dans la production de l'ostréiculteur ait une masse comprise entre 87~g et 89~g. \item Donner $P(X \geqslant 91)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Cet ostréiculteur affirme que 60\,\% de ses huîtres ont une masse supérieure à 91~g. Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d'huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l'affirmation de l'ostréiculteur. \medskip Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaines d'huîtres qu'on considèrera comme un échantillon de $120$~huîtres tirées au hasard. Sa production est suffisamment importante pour qu'on l'assimile à un tirage avec remise. Il constate que $65$ de ces huîtres ont une masse supérieure à 91~g. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $120$~huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse supérieure à 91~g. Après en avoir vérifié les conditions d'application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la variable aléatoire $F$.\index{intervalle de fluctuation} \item Que peut penser le restaurateur de l'affirmation de l'ostréiculteur ? \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par \index{fonction exponentielle} \[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\] Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de $g(x)$. \item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$. \item On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Démontrer que, pour tout réel $x$, \[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\] \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$. Démontrer que $- 1 < \alpha < 0$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite $T$ d'équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par \[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = x\text{e}^{- x}$.\index{primitive} \item On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace} On considère les points A(1~;~2~;~5), B$(-1~;~6~;~4)$, C$(7~;~- 10~;~8)$ et D$(-1~;~3~;~4)$. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition 1 :} Les points A, B et C définissent un plan. \item On admet que les points A, B et D définissent un plan. \textbf{Proposition 2 :} Une équation cartésienne du plan (ABD) est $x - 2z + 9 = 0$. \item \textbf{Proposition 3 :} Une représentation paramétrique de la droite (AC) est \index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-}\dfrac{3}{2}t - 5\\ y &=& - 3t + 14\\ z &=&- \dfrac{3}{2}t + 2 \end{array}\right. \quad t \in \R\] \item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 5z + 7 = 0$ et $\mathcal{P}'$ le plan d'équation cartésienne $- 3x - y + z + 5 = 0$. \textbf{Proposition 4 :} Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles. \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\N$ par \index{suite} \[\left\{\begin{array}{r c l} u_{0}& =& 2\\ \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n. \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $u_{n}$ &2 & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a \[u_{n} \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item \emph{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite } \:$\left(u_{n}\right)$. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times 0,5^n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$. \index{suite géométrique} \item En déduire, que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = - 8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ \end{enumerate} \item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant 0,01$. \index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} \hline \textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ \textbf{Initialisation :}& $n$ prend la valeur 0\\ & $u$ prend la valeur 2\\ \textbf{Traitement :}&Tant que ...\hfill (1)\\ &\hspace{0,5cm} $n$ prend la valeur ... \hfill(2)\\ &\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur ... p\hfill(3)\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie :}&Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements : L'hébergement A et l'hébergement B. Une nuit en hébergement A coûte 24 \euro{} et une nuit en hébergement B coûte 45 ~\euro. Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438~\euro. \emph{On souhaite retrouver les nombres $x$ et $y$ de nuitées passées respectivement en hébergement A et en hébergement B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9. \item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les couples ($x$ ; $y$) possibles. \begin{center} \fbox{ \begin{minipage}{8.5cm} \begin{tabular}{ll} \textbf{Entrée :} & $x$ et $y$ sont des nombres\\ \textbf{Traitement :} & Pour $x$ variant de $0$ \ldots\hfill~~(1)\\ &\phantom{XXX} Pour $y$ variant de 0 \ldots\hfill~~(2)\\ &\phantom{XXXXXX} Si \ldots\hfill~~(3)\\ &\phantom{XXXXXXXXX}Afficher $x$ et $y$\\ &\phantom{XXXXXX}Fin Si\\ &\phantom{XXX}Fin Pour\\ &Fin Pour\\ \textbf{Fin traitement} \end{tabular} \end{minipage} } \end{center} \end{enumerate} \item Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3. \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $8x + 15y = 1$ admet pour solution au moins un couple d'entiers relatifs.\index{equation diophantienne@équation diophantienne} \item Déterminer une telle solution. \item Résoudre l'équation (E) : $8x + 15y = 146$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs. \end{enumerate} \item Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A. Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des nuits passées en hébergement B. Calculer ces nombres.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane 19 juin 2014 \newpage %%%%%%%%%%%% Asie 19 juin 2014 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{19 juin 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 19 juin 2014~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.\\ Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\ Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \smallskip Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A$(1~;~- 1~;~- 1)$, B(1~;~1~;~1), C(0~;~3~;~1) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - z + 5 = 0$. \medskip \textbf{Question 1} Soit $\mathcal{D}_{1}$ la droite de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$ passant par A. Une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~}$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+t \\ y&=&- 1 - t\\ z&=&1 - t \end{array}\right. \quad (t \in \R)$& \textbf{b.~~}$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&- 1 + 2t\\ y&=&1 - \phantom{2}t\\ z&=&1 + \phantom{2}t \end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\ \textbf{c.~~}$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&5 + 4t \\ y&=&- 3 - 2t\\ z&=&1 + 2t \end{array}\right. \quad (t \in \R)$& \textbf{d.~~}$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&\phantom{-}4 - 2t\\ y&=&- 2 + t\\ z&=&\phantom{-}3 - 4 t \end{array}\right. \quad (t \in \R)$\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2} Soit $\mathcal{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&\phantom{-}1 + \phantom{2}t \\ y&=&- 3 - \phantom{2}t\\ z&=&\phantom{-}2 - 2 t \end{array}\right. \quad (t \in \R)$. \textbf{a.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas sécants. \textbf{b.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. \textbf{c.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$. \textbf{d.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point F$\left(\dfrac{4}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{22}{3} \right)$. \medskip \textbf{Question 3} \textbf{a.~~} L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan (ABC) est réduite à un point. \textbf{b.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont confondus. \textbf{c.~~} Le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan (ABC) selon une droite. \textbf{d.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont strictement parallèles. \medskip \textbf{Question 4} Une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au dixième de degré est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 22,2\degres&\textbf{b.~~} 0,4\degres&\textbf{c.~~} 67,8\degres &\textbf{d.~~} 1,2\degres \end{tabularx}\hyperlink{Index}{*} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le taux d'hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d'hématocrite d'un adulte choisi au hasard dans la population française. On admet que cette variable suit une loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d'écart-type $\sigma$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} = \dfrac{X - 45,5}{\sigma}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ? \item Déterminer $P(X \leqslant \mu)$. \end{enumerate} \item En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \leqslant X \leqslant 53,1)$. Arrondir le résultat au centième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence 1\,\%. On sait d'autre part que 30\,\% de la population française a plus de 50 ans, et que 90\,\% des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans. \smallskip On choisit au hasard un individu dans la population française. On note $\alpha$ l'unique réel tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,995$, où $X$ est la variable aléatoire définie au début de l'exercice. On ne cherchera pas à calculer $\alpha$. \smallskip On définit les évènements : \setlength\parindent{10mm} \begin{description} \item[ ]$M$ \og l'individu est porteur de la maladie V \fg ; \item[ ]$S$ \og l'individu a plus de 50 ans \fg{} ; \item[ ]$H$ \og l'individu a un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} Ainsi $P(M) = 0,01, \:\: P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$. \medskip D'autre part, une étude statistique a révélé que 60\,\% des individus ayant un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $P(M \cap S)$. \item On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(H)$. \item L'individu choisi au hasard a un taux d'hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le but de cette partie est d'étudier l'influence d'un gène sur la maladie V. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de la maladie V dans les échantillons de taille \np{1000}, prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble de la population française. On arrondira les bornes de l'intervalle au millième. \item Dans un échantillon aléatoire de \np{1000} personnes possédant le gène, on a trouvé 14~personnes porteuses de la maladie V. Au regard de ce résultat, peut-on décider, au seuil de 95\,\%, que le gène a une influence sur la maladie ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une chaîne, suspendue entre deux points d'accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-1~;~1]$ par \[g(x) = \dfrac{1}{2a} \left(\text{e}^{ax} + \text{e}^{- ax}\right)\] où $a$ est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction~$g$. \smallskip On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel $a$ soit une solution strictement positive de l'équation \[(x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x = 0.\] Dans la suite, on définit sur $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f$ par $f(x) = (x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x$ pour tout réel $x \geqslant 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(0) = - 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$. \item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0,\:\: f''(x) = 4x\text{e}^{2x}$. \item Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur, notée $x_{0}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis montrer que $f(x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~x_{0}\right]$. \item Calculer $f(2)$. En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ s'annule pour une unique valeur. Si l'on note $a$ cette valeur, déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur de $a$ arrondie au centième. \end{enumerate} \item On admet sans démonstration que la longueur $L$ de la chaîne est donnée par l'expression \[L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{ax} + \text{e}^{- ax}\right)\:\text{d}x.\] Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant $1,2$ comme valeur approchée du nombre $a$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. On note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par \[f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}.\] Pour tout entier $n \geqslant 1$, on définit le nombre $I_{n}$ par \[I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. \begin{figure} \begin{center} \psset{unit=8cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div} \uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$} \uput[d](0.4,0.86){$f_{2}$} \uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$} \uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$} \uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$} \end{pspicture} \end{center} \end{figure} En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \item Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$. \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. \item À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :}& $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\ & $x$ et $I$ sont des réels\\ &\\ \textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\ &\\ \textbf{Traitement :}& Demander un entier $n \geqslant 1$\\ & Demander un entier $p \geqslant 1$\\ &Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ &\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ &\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ &Fin Pour \\ &Afficher $I$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ? On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$& $x$&$I$\\ \hline 0&&\\ \hline &&\\ \hline &&\\ \hline &&\\ \hline 4&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi la spécialité mathématique} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés $p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. On considère le nombre $E$ produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : \[E = p_{1} \times p~_{2} \times \cdots\times p_{n} + 1.\] Démontrer que $E$ est un entier supérieur ou égal à 2, et que $E$ est premier avec chacun des nombres $p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. \item En utilisant le fait que $E$ admet un diviseur premier conclure. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour tout entier naturel $k \geqslant 2$, on pose $M_{k} = 2^k -1$. On dit que $M_{k}$ est le $k$-ième nombre de Mersenne. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de $M_{k}$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$ &2&3&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $M_{k}$ &3& & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item D'après le tableau précédent, si $k$ est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre $M_{k}$ est premier ? \end{enumerate} \item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité : $1 + 2^p + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots + \left(2^p\right)^{q - 1} = \dfrac{\left(2^p \right)^q - 1}{2^p - 1}$. \item En déduire que $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$. \item En déduire que si un entier $k$ supérieur ou égal à $2$ n'est pas premier, alors $M_{k}$ ne l'est pas non plus. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que le nombre de Mersenne $M_{11}$ n'est pas premier. \item Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?p \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 4$ et pour tout entier naturel~$n$ : \[u_{n+1} = u_{n}^2 - 2.\] Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre $M_{n}$ est premier si et seulement si $u_{n-2} \equiv 0 \quad \text{modulo }\: M_{n}$. Cette propriété est admise dans la suite. \medskip \begin{enumerate} \item Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne $M_{ ~5}$ est premier. \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. L'algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne $M_{n}$ est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :}& $u, M, n$ et $i$ sont des entiers naturels \\ \textbf{Initialisation :}& $u$ prend la valeur 4\\ \textbf{Traitement :}& Demander un entier $n \geqslant 3$\\ & $M$ prend la valeur \ldots \ldots\\ & Pour $i$ allant de 1 à \ldots faire \\ &\hspace{0.4cm} $u$ prend la valeur \ldots\\ &Fin Pour\\ &Si $M$ divise $u$ alors afficher \og $M$ \ldots \ldots \ldots \fg\\ & sinon afficher \og $M$ \ldots \ldots \ldots \fg\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue. \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Asie 19 juin 2014 \newpage %%%%%%%%%% Métropole La Réunion 19 juin 2014 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par : \[f_1(x) = x + \text{e}^{-x}.\] \smallskip \index{fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1). \item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L’objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\N$ par : \[I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\R$ par \[f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}.\] Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathcal{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 1$. \begin{center} \psset{unit=5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.3,-0.4)(1.3,1.4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.3,-0.1)(1.4,1.4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(1,0)(1,1.4)\uput[r](1,0.5){$\mathcal{D}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,1){A} %\multido{\n=1+1}{4}{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.2}{1.3}{2.71828 x \n mul neg exp x add}} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x neg exp x add} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 2 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 3 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 4 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 6 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 15 mul neg exp x add} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 60 mul neg exp x add} \uput[u](0.6,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[u](0.6,0.9){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](0.5,0.72){$\mathcal{C}_{3}$}\uput[u](0.4,0.6){$\mathcal{C}_{4}$} \uput[u](0.3,0.45){$\mathcal{C}_{6}$}\uput[u](0.2,0.25){$\mathcal{C}_{15}$} \uput[u](0.1,0.15){$\mathcal{C}_{60}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$. \item En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer. \end{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, \[I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x.\] En déduire le signe de $I_{n+1} - I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. \item Déterminer l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \index{probabilités} Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est $0,99$ ; \item la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est $0,001$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1\,\%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. On note $M$ l'évènement \og la personne choisie est malade\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. \begin{enumerate} \item Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.\index{arbre} \item Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$. \item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. Affirmation : \og Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade \fg. \end{enumerate} \item Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d'un médicament. \medskip \begin{enumerate} \item Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$, de moyenne $\mu = 900$ et d'écart-type $\sigma = 7$. \index{loi normale} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}$. \item Déterminer l'entier positif $h$ tel que $P(900 - h \leqslant X \leqslant 900 + h) \approx 0,99$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97\,\% de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de \np{1000}~comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à \np{1000}~tirages successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$~comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate}\index{intervalle de fluctuation} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désigne par (E) l'équation \[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\] d'inconnue complexe $z$.\index{equation complexe@équation complexe} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. \item On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer $a^2$ sous forme algébrique. En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$. On écrira les solutions sous forme algébrique. \item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \index{R. O. C.} On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \R$ et $y \in R$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$. Démontrer que : \begin{itemize} \item Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,\: $\barre{z_{1}z_{2}} = \barre{z_{1}}\:\cdot\:\barre{z_{2}}$. \item Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n,\: \barre{z^{n}} = \left(\barre{z}\right)^n$. \end{itemize} \item Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E). En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions. \end{enumerate} \hyperlink{Index}{*} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA]. \medskip\index{géométrie dans l'espace} On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\: \vect{\text{AD}}\right)$ de l'espace. \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF). \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points D et F. \item Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. \item Calculer les coordonnées du point H. \item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit. \end{enumerate} \item On désigne par $M$ un point de la droite (DF) et par $t$ le réel tel que $\vect{\text{D}M} = t\vect{\text{DF}}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$. Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale. \begin{enumerate} \item Démontrer que $M\text{E}^2 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$. \item Démontrer que le triangle $M$EG est isocèle en $M$. En déduire que $M\text{E}\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. \item Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal. En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $M\text{E}^2$ est minimal. \item Conclure.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}p \medskip Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ; \item la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$~poissons pour le bassin A et $100$~poissons pour le bassin B. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0} = 200$ et celui du bassin B est $b_{0} = 100$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a_{2}$ et $b_{2}$. \item On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.\index{matrices} \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n} + B$. \item Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\ b_{n} + 300\end{pmatrix}$. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:\: Y_{n+1} = AY_{n}$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n} = Y_{2n}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:\: Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1} = 2Z_{n}$. \item On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, \[Y_{2n} = 2^n Y_{0}.\] En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[a_{2n} = 600 \times 2^n - 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.\] \end{enumerate} \item Le bassin A a une capacité limitée à \np{10000} poissons. \begin{enumerate} \item On donne l'algorithme suivant. \index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline Variables : & $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ Initialisation :& Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.\\ Traitement : & Si $p$ est pair \\ &\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$\\ Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n - 400$.\\ \end{tabular}\\ &Sinon \\ &\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p - 1}{2}$\\ Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n - 400$.\\ \end{tabular}\\ &Fin de Si.\\ Sortie : & Afficher $a$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse. \item Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion juin 2014 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2014 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{11 septembre 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9\,\% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. À l'issue des tests, il est noté que \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 96\,\% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; \item[$\bullet~~$] 97\,\% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la peluche répond aux normes en vigueur \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la peluche est acceptée à l'issue des tests \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \index{probabilités} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment. \index{arbre} \item Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est \np{0,8763}. \item Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. \index{loi exponentielle} \medskip \begin{enumerate} \item On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de $\lambda$. \item On prendra ici $\lambda = \np{0,1733}$. Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$~jours. \index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X = \dfrac{J - 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ? \item On sait que $P(J \leqslant 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\] \index{fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \bigskip On donne en \textbf{annexe} la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$. \index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Placer sur le graphique donné en \textbf{annexe}, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\] Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe} afin qu'il calcule $S_{100}$.\hyperlink{Index}{*} \index{algorithme} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère l'équation $\left(E_{1}\right)$ : \[\text{e}^x - x^n = 0\] où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$ : \[\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0.\] \index{fonction logarithme népérien} \item Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$ admet-elle deux solutions ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe. Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions. \medskip On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\] \begin{enumerate} \item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. \index{complexes} \item Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$. Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents. \item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$. Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. \item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie \[|f(z) - 8| = 3.\] \index{complexes et géométrie} Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. Tracer (F) sur le graphique. \item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. \begin{enumerate} \item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\] \item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites. \end{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité} \medskip Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence. \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. On suppose que le 1\up{er} janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50~millions d'euros et l'agence Y possède 10~millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : \[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\] \index{matrices} \begin{enumerate} \item Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$. \item Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros. \item On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$. \item Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. Dans la suite, on admettra que $QP = I$. \end{enumerate} \medskip On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$ $A^n = P D^nQ$. \medskip \item On pose pour tout entier naturel $n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$. \item Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. On admet que \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs. \item En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 2 à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Partie B - Question 1} \bigskip \psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.5,1.1) \multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)} \multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div} \uput[l](0.8,0.8){$\Delta$} \uput[u](1.8,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \end{pspicture} \vspace{1.5cm} \textbf{Partie C} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1} \begin{tabular}{|l|}\hline Déclaration des variables :\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} $S$ et $u$ sont des nombres réels\\ $k$ est un nombre entier \end{tabular}\\ Initialisation :\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} $u$ prend la valeur \ldots \ldots\\ $S$ prend la valeur \ldots \ldots\\ \end{tabular}\\ Traitement :\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} Pour $k$ variant de 1 à \ldots.\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} $u$ prend la valeur $u \times \text{e}^{- u}$\\ $S$ prend la valeur \ldots.\\ \end{tabular}\\ Fin Pour\\ Afficher \ldots \ldots\\ \end{tabular}\\\hline \end{tabular} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2014 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole 11 septembre 2014 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small 11 septembre 2014} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 11 septembre 2014~\decofourright}}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé \Oij, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0~;~1) et $(-1~;~3)$. \begin{center} \psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3,-2.)(3,3.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.)(3,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \uput[ur](0,1){A}\uput[l](-1,3){B} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](-2.1,-1.2){\blue $\mathcal{C}$} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub} \psplot{-1.5}{1.5}{1 x 2 mul sub} \end{pspicture*} \end{center} On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\] \index{fonction exponentielle} \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A. \item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB). \item Démontrer que pour tout réel $x$, \[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\] \item On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Déterminer la valeur du réel $a$. \end{enumerate} \item D'après la question précédente, pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$. \item Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$. \item Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$. Justifier que $c < - \dfrac{3}{2} + 2 \cdot 10^{-2}$. \end{enumerate} \item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par : \[c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\] \begin{enumerate} \item Écrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale. \item On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$. \index{intégrale et aire}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable. \medskip \begin{enumerate} \item Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients. On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$. \index{loi exponentielle} Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10~minutes. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $\lambda$. \item Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20~minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$. \item Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5~minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$. \end{enumerate} \item Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70~places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$. On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant. On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale. \index{loi binomiale} \medskip \begin{enumerate} \item Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$. \item Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$. \index{loi normale} Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice. \item On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$. Le restaurant a reçu 81 réservations. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute. \medskip \begin{enumerate} \item On effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \index{suite} \item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1\,\% de la quantité initiale ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10~mL de médicament. On estime que 20\,\% du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5~mL, la machine réinjecte 4~mL de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$. L algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables : &$n$ est un entier naturel.\\ &$v$ est un nombre réel.\\ Initialisation :& Affecter à $v$ la valeur 10.\\ Traitement : & Pour $n$ allant de 1 à 15\\ &\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$.\\ Si $v < 5$ alors affecter à $v$ la valeur $v + 4$\\ Afficher $v$.\\ \end{tabular}\\ &Fin de boucle.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \index{algorithme} \begin{enumerate} \item Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{17}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 & 15 \\ \hline $v_{n}$ &10 &8 &6,4 &&&&&8,15 &6,52 &5,21 &8,17 &6,54 &5,23 &8,18 &6,55 &5,24\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ? \item On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2~mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6~mL et qu'elle s'arrête au bout de 30~minutes. Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole. \end{enumerate} \item On programme la machine de façon que : \begin{itemize} \item à l'instant 0, elle injecte 10~mL de médicament, \item toutes les minutes, elle injecte 1~mL de médicament. \end{itemize} On estime que 20\,\% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$. \item Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?\hyperlink{Index}{*} \index{suite} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \index{géométrie dans l'espace} Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: \[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: \text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$. \index{equation de plan@équation de plan} \item On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=& t\\ y&=&0\\ z&=&t\sqrt{2} \end{array}\right.,\: t \in \R\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O. \item Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note L le milieu du segment [AC]. Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC). \item Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit. \end{enumerate} \item Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi. On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item 20\,\% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte, \item 10\,\% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$. \index{matrices} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. \begin{enumerate} \item Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$. \item Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. \item En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$. \item Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours. \end{enumerate} \item Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$. \item Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient \[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}&\dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\] \end{enumerate} \item En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ? \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Métropole septembre 2014 \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud 17 novembre 2014 \hypertarget{AmeriSud}{} \label{AmeriSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 17 novembre 2014} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014~\decofourright\\}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item une petite taille, \item une taille standard. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les trois parties suivantes sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un ballon de football est conforme à la réglementation s'il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence). En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [410~;~450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [68~;~70]. \medskip \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 430 et d'écart type 10.\index{loi normale} Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(410 \leqslant X \leqslant 450)$. \item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise associe sa circonférence en centimètres. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance 69 et d'écart type $\sigma$. Déterminer la valeur de $\sigma$, au centième près, sachant que 97\,\% des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation. On pourra utiliser le résultat suivant: lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors $P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) = 0,97$ pour $\beta \approx 2,17$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise affirme que 98\,\% de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250~ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d'entre eux sont conformes à la réglementation. Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse. (On pourra utiliser l’intervalle de fluctuation) \index{intervalle de fluctuation} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip L'entreprise produit 40\,\% de ballons de football de petite taille et 60\,\% de ballons de taille standard. On admet que 2\,\% des ballons de petite taille et 5\,\% des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise. On considère les évènements : $A$ : \og le ballon de football est de petite taille \fg, $B$ : \og le ballon de football est de taille standard \fg, $C$ : \og le ballon de football est conforme à la réglementation\fg{} et $\overline{C}$, l'évènement contraire de $C$. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.\index{arbre} \item Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation. \item Montrer que la probabilité de l’évènement $C$ est égale à $0,962$. \item Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A$(2~;~5~;~- 1)$, B(3~;~2~;~1) et C$(1~;~3~;~- 2)$. Le triangle ABC est :\index{géométrie dans l'espace} \begin{enumerate} \item rectangle et non isocèle \item isocèle et non rectangle \item rectangle et isocèle \item équilatéral \end{enumerate} \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $P$ d'équation $2x - y + 3z - 1 = 0$ et le point A$(2~;~5~;~-1)$. Une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $P$ et passant par A est : \index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \medskip \textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2 + 2t\\ y &=& 5 + t\\ z &=& - 1 + 3t \end{array}\right.$ \textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{- }2 + 2t\\ y &=& - 1 + 5t\\ z &=& \phantom{- }3 - t \end{array}\right.$ \textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 6 - 2t\\ y &=& 3 + t\\ z &=& 5 - 3t \end{array}\right.$ \textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{- }1 + 2t \\ y &=& \phantom{- }4 - \phantom{2}t\\ z &=& - 2 + 3t \end{array}\right.$ \medskip \item Soit A et B deux points distincts du plan. L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{B}} = 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~}l’ensemble vide& \textbf{b.~} la médiatrice du segment [AB] &\textbf{c.~} le cercle de diamètre [AB] &\textbf{d.~} la droite (AB) \end{tabularx} \medskip \item La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,6) \psframe(1,0.2)(4.3,3.5)%ABFE \psline(4.3,0.2)(5.1,1)(5.1,4.4)(4.3,3.5)%BCGF \psline(5.1,4.4)(1.9,4.4)(1,3.5)%GHE \psline[linestyle=dashed](1,0.2)(1.9,1)(1.9,4.4)%ADH \psline[linestyle=dashed](1.9,1)(5.1,1)%DC \psline(1,5.3)(6,3.5)%(IJ) \psline(0.2,1.4)(2.65,1.85)%(..M] \psline[linestyle=dotted](2.65,1.85)(4.7,2.25)%[MN] \psline(4.7,2.25)(6,2.5)%[N...) \uput[dl](1,0.2){A} \uput[d](4.3,0.2){B} \uput[r](5.1,1){C} \uput[l](1.9,1){D} \uput[l](1,3.5){E} \uput[dl](4.3,3.5){F} \uput[ur](5.1,4.4){G} \uput[ul](1.9,4.4){H} \uput[u](3.5,4.4){I} \uput[d](4.7,3.95){J} \uput[u](2.65,1.85){M} \uput[u](4.7,2.25){N} \psdots(1,0.2)(4.3,0.2)(5.1,1)(1.9,1)(1,3.5)(4.3,3.5)(1.9,4.4)(3.5,4.4) (4.7,3.95)(2.65,1.85)(4.7,2.25) \end{pspicture} \end{center} Les droites (IJ) et (MN) sont : \begin{enumerate} \item perpendiculaires \item sécantes, non perpendiculaires \item orthogonales \item parallèles \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l’enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :\index{suite} \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\] \textbf{Partie A : Conjecture} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. \item Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. \item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B: Validation des conjectures} \medskip On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = - v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$. \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$. \end{enumerate} \item Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ? \item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1~;~0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. Déterminer la valeur de $\ell$. \item Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité} \medskip Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d’une colline. On admet qu’aucun vélo des autres stations n’arrive en direction des stations A et B. \medskip On constate pour chaque heure $n$ qu’en moyenne : $\bullet~~$20\,\% des vélos présents à l’heure $n - 1$ à la station A sont toujours à cette station. 60\,\% des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation. $\bullet~~$10\,\% des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station B sont à la station A, 30\,\% sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation. $\bullet~~$Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos. \newpage \textbf{Partie A} \medskip Au bout de $n$ heures, on note $a_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $b_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$ et donc $U_{0} = \begin{pmatrix}50\\60\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $M$ telle que $U _{n+1} = M \times U_{n}$.\index{matrices} \item Déterminer $U_{1}$ et $U_{2}$. \item Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30~vélos à la station A et 10~vélos à la station B. Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante : \medskip Au bout de $n$ heures, on note $\alpha_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $\beta_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $V_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}\alpha_{n} \\\beta_{n}\end{pmatrix}$ et $V_{0} = \begin{pmatrix} 50\\60\end{pmatrix}$. Dans ces conditions $V_{n+1} = M \times V_{n} + R$ avec $R = \begin{pmatrix}30\\10\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - M$. \begin{enumerate} \item On désigne par $V$ une matrice colonne à deux lignes. Montrer que $V = M \times V + R$ équivaut à $N \times V = R$ . \item On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{- 1} = \begin{pmatrix}1,4&0,2\\1,2&1,6\end{pmatrix}$. En déduire que $V = \begin{pmatrix}44\\52\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $W_{n} = V_{n} - V$. \begin{enumerate} \item Montrer que $W_{n+1} = M \times W_{n}$. \item \begin{tabular}[t]{@{}l l} On admet que : &-- pour tout entier naturel $n, W_{n} = M^{n} \times W_{0}$, \\ &-- pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:\: M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}$.\\ \end{tabular} Calculer, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: V_{n}$ en fonction de $n$. \item Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désire réaliser un portail comme indiqué à l’annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large. \medskip \textbf{Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail} \medskip On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + b\]\index{fonction exponentielle} où $b$ est un nombre réel. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2]. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. \end{enumerate} \item Déterminer le nombre $b$ pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5~m. \end{enumerate} \medskip Dans la suite la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + \dfrac{5}{4}.\] \textbf{Partie B : détermination d'une aire} \medskip Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05~m de hauteur du sol. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par \[F(x) = \left(- \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4}x\] est une primitive de la fonction $f$.\index{aire et intégrale} \item En déduire l'aire en m$^2$ de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de cette aire. (On s'intéresse ici à l'objet \og vantail\fg{} sans faire référence à son environnement). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : utilisation d'un algorithme} \medskip On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12~m, espacées de 0,05~m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annexe 2 de l'exercice 4) et le bas de chaque planche à 0,05~m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de $0$ : ainsi la première planche à gauche porte le numéro $0$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'aire de la planche numéro $k$. \item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline Variables :& Les nombres $X$ et $S$ sont des nombres réels\\ Initialisation:& On affecte à $S$ la valeur $0$\\ &On affecte à $X$ la valeur $0$\\ Traitement :& \textbf{Tant Que} $X + 0,17 < \ldots$\\ &\hspace{0,5cm}$S$ prend la valeur $S + \ldots$.\\ &\hspace{0,5cm}$X$ prend la valeur $X + 0,17$\\ &\textbf{Fin de Tant Que}\\ Affichage :& On affiche $S$\\ \hline \end{tabularx} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 de l'exercice 4} \bigskip \psset{xunit=2.8cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-2.5,-3)(2.5,2) %\psgrid \psframe(-2.5,-2)(-2,2)\psframe(2,-2)(2.5,2) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-2}{0}{x neg 0.25 add 2.71828 4 x neg mul exp div 1.25 add} \psline(0,-1.8)(-2,-1.8)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add} \psline(2,-1.8)(0,-1.8) } \rput(-2.25,-2.5){pilier gauche} \rput(2.25,-2.5){pilier droit} \rput(-1.,-2.5){vantail de gauche} \rput(1.,-2.5){vantail de droite} \end{pspicture} \bigskip \textbf{Annexe 2 de l'exercice 4} \medskip \psset{xunit=5cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(2.5,1.6) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.1)(2.5,1.6) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.5)(0.12,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.17,1.4628)(0.29,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.34,1.4014)(0.46,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.51,1.3488)(0.63,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.68,1.3113)(0.8,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.85,1.2867)(0.97,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.02,1.2715)(1.14,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.19,1.2623)(1.31,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.36,1.257)(1.48,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.53,1.2539)(1.65,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,1.2522)(1.82,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.87,1.2512)(1.99,0.05) \psframe(2,1.58)(2.4,0) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \medskip La distance entre le bas du portail et le sol est de 0,05~m. \hyperlink{Index}{*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud 17 novembre 2014 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{17 novembre 2014}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois parties \textbf{A, B} et \textbf{C} sont indépendantes} \medskip Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de \np{2000} pour la vente en gros. On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à $0,003$. On nomme $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de \np{2000}~cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.\index{loi binomiale} \item Si un client reçoit un lot contenant au moins 12~cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de celui-ci. Déterminer la probabilité qu'un lot ne soit pas échangé ; le résultat sera arrondi au millième. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacée qu'il contient. On suppose que $Y$ suit une loi normale $\mathcal{N}\left(110~;~\sigma^2\right)$, d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma$.\index{loi normale} Une glace est considérée comme commercialisable lorsque la masse de crème glacée qu'elle contient appartient à l'intervalle [104~;~116]. Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près du paramètre $\sigma$ telle que la probabilité de l'évènement \og la glace est commercialisable \fg{} soit égale à $0,98$. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84\,\%. En 2010, sur $900$ personnes interrogées, $795$ d'entre elles déclarent consommer des glaces. Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95\,\% et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ? \index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.} \medskip \emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip Dans les questions \textbf{1.} et \textbf{2.}, le plan est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv. On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 :}\index{complexes} Le point d'affixe $(-1 + \text{i})^{10}$ est situé sur l'axe imaginaire. \item \textbf{Affirmation 2 :} Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\] admet une solution unique. \item \textbf{Affirmation 3 :} $\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}$ \item \textbf{Affirmation 4 :} $\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)$ \item \textbf{Affirmation 5 :} L'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ admet une solution unique dans $\R$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.\index{géométrie dans l'espace} On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Le point K est défini par $\vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. \item Démontrer que les points I, J et K définissent un plan. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées (3~;~1~;~4) est un vecteur normal au plan (IJK).\index{vecteur normal} En déduire une équation cartésienne de ce plan.\index{equation de plan@équation de plan} \end{enumerate} \item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD). \item Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi renseignement de spécialité} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On a tracé en \textbf{annexe 1} dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.\index{suite} Sur la figure de \textbf{annexe 1}, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0, M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,\: u_1$ et $u_2$. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?p \item \begin{enumerate} \item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2. \item Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par \[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\] \begin{enumerate} \item Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près. \item Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2} pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur. \item Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère l'algorithme suivant, où $A$ et $B$ sont des entiers naturels tels que $A < B$ :\index{algorithme} \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Entrées :}& $A$ et $B$ entiers naturels tels que $A < B$\\ &\\ \textbf{Variables :}& $D$ est un entier\\ &Les variables d'entrées $A$ et $B$ \\ &\\ \textbf{Traitement :}&\\ &Affecter à $D$ la valeur de $B - A$\\ &\\ &Tant que $D > 0$\\ &$B$ prend la valeur de $A$\\ &$A$ prend la valeur de $D$\\ &\hspace{0,5cm}Si $B > A$ Alors\\ &\hspace{1cm}$D$ prend la valeur de $B - A$\\ &\hspace{0,5cm} Sinon\\ &\hspace{1cm}$D$ prend la valeur de $A - B$\\ &\hspace{0,5cm}Fin Si\\ &Fin Tant que\\ &\\ \textbf{Sortie :} &Afficher $A$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item On entre $A = 12$ et $B = 14$. En remplissant le tableau donné en \textbf{annexe}, déterminer la valeur affichée par l'algorithme. \item Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres $A$ et $B$. En entrant $A = 221$ et $B = 331$, l'algorithme affiche la valeur 1. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation \index{equation diophantienne@équation diophantienne} \[(\text{E})\qquad 221x - 331y = 1.\] \item Vérifier que le couple $(3~;~2)$ est une solution de l'équation (E). En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \end{enumerate} \item On considère les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = 2 + 221n \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} v_0& =& 3\\ v_{n+1}&=& v_n + 331 \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$. \item Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(p~;~q)$ tels que $u_p = v_q,\quad 0 \leqslant p \leqslant 500$\quad et \quad $0 \leqslant q \leqslant 500$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 de l'exercice 4 à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{2cm} \psset{unit=1.35cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(0,0)(8.1,7.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linecolor=cyan](7.2,7.2) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2 de l'exercice 4 à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{2cm} \renewcommand\arraystretch{1.5} %%% <= terminer le paragraphe \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{Entrée :}&$n$ un entier naturel \\ \textbf{Variables :} &$u$ et $s$ sont des variables réelles\\ &$n$ et $i$ sont des variables entières\\ \textbf{Initialisation :} & $u$ prend la valeur 1 \\ &$s$ prend la valeur $u$ \\ &$i$ prend la valeur 0\\ &Demander la valeur de $n$ \\ \textbf{Traitement :}& Tant que \ldots\\ &Affecter à $i$ la valeur $i + 1$\\ &Affecter à $u$ la valeur \ldots\\ &Affecter à $s$ la valeur \ldots\\ &Fin Tant que \\ \textbf{Sortie :} &Afficher $s$.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 4 à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{2cm} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $A$ & $B$& $D$\\ \hline 12& 14& \\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie 7 novembre 2014 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie 5 mars 2015 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{5 mars 2015}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal \Oij. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$. Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par \[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\] On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude du cas particulier } \boldmath$a = 2$\unboldmath La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations sur $\R$ (\emph{on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition}. \item En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection. \end{enumerate} \item \textbf{Étude du cas général où $a$ est un réel strictement positif} \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f_a$ sur $\R$. Montrer alors que le minimum sur $\R$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$. \item Étudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$. \item Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles. À la sortie de fabrication, 5\,\% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients. On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à \np{1000}~heures. On observe que 2\,\% des puces livrées ont une durée de vie courte. On note $L$ l'évènement \og La puce est livrée \fg. On note C l'évènement \og La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à \np{1000}~heures \fg. Étant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé. \textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise. \begin{enumerate} \item Donner la valeur $P_L(C)$. \item Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à \np{1000}~heures? \item Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ? \end{enumerate} \medskip \emph{Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.} \medskip \item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce. On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{\np{1000}}$. \item Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à \np{10000}~heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. \item Calculer $P(\np{20000} \leqslant X \leqslant \np{30000})$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \item Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à $0,003$. On prélève au hasard \np{15000}~puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de \np{15000}~puces revient à effectuer un tirage avec remise de \np{15000}~puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon. \begin{enumerate} \item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = \np{15000}$ et $p = 0,003$. \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$. \item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est rapporté au repère orthonormé \Oijk. On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels. \emph{On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.} \medskip Soient le point $A_1$ de coordonnées $(0~;~2~;~-1)$ et le vecteur $\vect{u_1}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$. On appelle $D_1$ la droite passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vect{u_1}$. On appelle $D_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\phantom{+ k} \end{array}\right.\:(k \in \R).$ Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à $D_1$ et $D_2$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de $D_1$. \item Donner un vecteur directeur de $D_2 \left(\text{on le notera}\: \vect{u_2}\right)$. \item Le point $A_2(- 1~;~4~;~2)$ appartient-il à $D_2$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont non coplanaires. \item Soit le vecteur $\vect{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$. On définit la droite $\Delta_1$ passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vect{v}$ et la droite $\Delta_2$ passant par $A_2$ et parallèle à $\Delta_1$. Justifier que les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires. \medskip \textbf{Dans la suite, on admettra que les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires.} \medskip \item Soit $P_1$ le plan défini par les droites $D_1$ et $\Delta_1$ et $P_2$ le plan défini par les droites $D_2$ et $\Delta_2$. \begin{enumerate} \item Soit le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$. Vérifier que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$. \item Montrer que $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles. \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$. On admettra que le vecteur $\vect{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à $D_1$ et à $D_2$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On note $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n$, par \[u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\ v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n \end{array}\right..\] \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2$. \item On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier naturel $N$ donné. \begin{enumerate} \item On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.675\linewidth}{|l|X|}\hline Entrée : &$N$ est un nombre entier\\ Variables : &$K$ est un nombre entier\\ &$S$ est un nombre réel\\ &$T$ est un nombre réel\\ Initialisation :&Affecter 1 à $S$\\ &Affecter 0 à $T$\\ &Affecter 0 à $K$\\ Traitement : &Tant que $K < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}S - T$ à $S$\\ &\hspace{1cm}Affecter $S + \sqrt{3} T$ à $T$\\ &\hspace{1cm}Affecter $K + 1$ à $K$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $S$\\ &Afficher $T$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2$. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $S$ &$T$ &$K$\\ \hline 1 &0 &0\\ \hline $\sqrt{3}$ &$\sqrt{3}$ &1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$ donné ? Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier naturel $n,\: z_n = u_n + \text{i}v_n$. On note $a$ le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$ \[z_{n+1} = az_n.\]\index{suite géométrique} \item Écrire $a$ sous forme exponentielle. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \renewcommand\arraystretch{1.7} \[\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\ v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right) \end{array}\right.\]\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie 5 mars 2015 \hypertarget{Index}{} \printindex \end{document}