\documentclass[10pt]{article}
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% Fourier for math | Utopia (scaled) for rm | Helvetica for ss | Latin Modern for tt
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%Tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\makeatletter%graduations d\'ecimales
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\begin{document}
\rhead{\small L'ann\'ee 2004}%tapez un titre
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\thispagestyle{empty}


\lhead{\small Bachillerato}%tapez un titre
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~EJERCICIOS Y PROBLEMAS~\decofourright \\PROPUESTOS ANALISIS}}

\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item  La temperatura $T$, en grados centigrados, que adquiere una pieza.sometida a un proceso viene dada en función del tiempo $t$, en horas, par la expresi\'on:

\[T(t) = 40t - 10t^2 \quad  \text{con}~ 0 \leqslant  t \leqslant 4\]
	\begin{enumerate}
		\item Represente gr\'aficamente la funci\'on $T$ y determine la temperatura maxima que alcanza la pieza.
		\item  ?` Qué temperatura tendra la pieza transcurrida 1 hora?  ?`Volver\'a a tener esa misma temperatura en alg\'un otro instante?
	\end{enumerate}
\hrule
		
\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Halle los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + b$ tenga un extremo relativo en el punto $(-2~;~3)$.
		\item	Halle la ecuaci\'on de la recta tangente a la curva $y = x^3 - 4x + 2$ en su punto de inflexión.
 	\end{enumerate}
	
	\hrule
		
\medskip

\item Calcula el valor de la integral
\[\int_{-1}^3 \left(x^2 +5\right)\text{e}^{-x}\:\text{d}x.\]

\hrule
		
\medskip

\item Sea $f$ la función definida para $x \neq  -2 $	por
	\[\dfrac{x^2}{x + 2}\]

	\begin{enumerate}
		\item  Halla las asintotas de la gr\'afica de $f$.
		\item Determina los intervalos 	de crecimiento y decrecimiento, y los extremos locales de $f$.
		\item Teniendo en	cuenta	los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gr\'afica de $f$. 		fl
	\end{enumerate}
		
		\hrule
		
\medskip

\item Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2h. y las 6h. de la tarde viene dada por
\[v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t +8 \quad  \text{para}~ t \in  [2~;~6]\]

	\begin{enumerate}
		\item ?`A qué hora circulan los coches con mayor velocidad? Justifica la respuesta.
		\item ?`A qué hora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta.
	\end{enumerate}
	
	\hrule
		
\medskip

\item Considera las funciones $f,~ g :  \R \longrightarrow \R$ definidas por
\[f(x) = 6 - x^2, \quad g(x) = |x|,~x \in \R\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Dibuja el recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$. 
		\item  Calcula al area de! recinto descrito en el apartado anterior.
	\end{enumerate}
		
		\hrule
		
\medskip

\item Determinar las condiciones mas econ\'omicas de una piscina abierta al aire, de votumen 32 m$^3$ con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus parades y del suelo necesite la cantidad minima de material.
\item Hallar el \'area de la región limitada por las gr\'aficas $f(x) = x^3 - x$  y $ g(x) = x^2$.

\hrule
		
\medskip

\item Dada la curva $y =	\dfrac{x}{x^2} - 1$ se pide
	\begin{enumerate}
		\item  Dominio y asintotas.
		\item  Simetrias y cortes con los ejes.
		\item  Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
		\item  Máximos y minimos, si los  hay.
		\item  Una representaci\'on aproximada de la misma.
	\end{enumerate}
\hrule
		
\medskip

\item Calcular $a,~ b,~ c$ y $d$ para que sea continua la funci\'on $f(x)$ y representarla gráficamente.
\[f(x) = \left\{\begin{array}{l c r}
\dfrac{1}{2}x& \text{si}& x < 2\\
3x - a& \text{si}&  2 \leqslant x < 3\\
 b& \text{si}&3 \leqslant x < 5\\
-x+c& \text{si}&5 \leqslant x < 7\\
d& \text{si}& 7 \leqslant x\\
		\end{array}\right.\]
\hrule
		
\medskip

\item  Dada, la curva $y =	\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2}$ se pide:	
	\begin{enumerate}
		\item  Dominio de définición y corte a los ejes. 
		\item  Simetrias.
		\item  Asintotas.
		\item  Posibles extremos de la función que define a la curva.
		\item  Con los anteriores datos obtener ura representaci\'on aproximada de la curva
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}