\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet 2007 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2007 à mars 2008}} \end{center} \vspace{1cm} {\large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2007} \dotfill 3\medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2007} \dotfill 7 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane juin 2007} \dotfill 11 \medskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 2007} \dotfill 15 \medskip \hyperlink{Etrangers}{Centres étrangers juin 2007} \dotfill 17 \medskip \hyperlink{EtrangersLyon}{Centres étrangers (Lyon) juin 2007} \dotfill 20 \medskip \hyperlink{EtrangersNice}{Centres étrangers (Nice) juin 2007} \dotfill 23 \medskip \hyperlink{Metropole}{Métropole juin 2007} \dotfill 26 \medskip \hyperlink{Liban}{Liban juin 2007} \dotfill 30 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2007} \dotfill 33\medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre 2007} \dotfill 36\medskip \hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2007} \dotfill 39\medskip \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2007} \dotfill 42\medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2007} \dotfill 45\medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie décembre 2007} \dotfill 49\medskip \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2008} \dotfill 53\medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%% Pondichéry avril 2007 \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{avril 2007} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry avril 2007~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On donne : \begin{tabular}{lll} A $ = \dfrac{9}{7} - \dfrac{2}{5} \times \dfrac{15}{8}$& B $ = \dfrac{6 \times 10^{-7} \times 15 \times 10^{11}}{8 \times \left(10^2\right)^4}$& C $ = 2\sqrt{180} + 5\sqrt{80} - 3\sqrt{125}$\\ \end{tabular} \medskip \emph{Dans chaque cas, indiquer les étapes de calculs} \begin{enumerate} \item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item Calculer B et donner son écriture scientifique, puis son écriture décimale. \item Écrire C sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression suivante : \[ E = (3x - 5)^2 + (3x - 5)(7x - 4).\] \begin{enumerate} \item Développer puis réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer $E$ pour $x = - 2$. \item Résoudre l'équation $(3x - 5)(10x - 9) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Voici les résultats au lancer de javelot lors d'un championnat d'athlétisme. Les longueurs sont exprimées en mètres. \[\fbox{36 42 37 43 38 44 32 40 44 36 46 39 40 40 41 41 45 37 43 43 46 39 44 47 48}\] \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant \emph{sur la feuille annexe} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline Longueur $\ell$ du lancer (en mètres)&\footnotesize $30 \leqslant\ell < 35$&\footnotesize $35 \leqslant \ell <40$&\footnotesize $40 \leqslant\ell < 45$&\footnotesize $45 \leqslant\ell < 50$& Total\\ \hline Nombre de sportifs & &7 & &5 &\\ \hline Fréquence &0,04 & & &0,2 & \\ \hline Valeur centrale &32,5 & &42,5 & &\multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-5} \end{tabularx} \medskip \item En utilisant les valeurs centrales, calculer la longueur moyenne d'un lancer. \item Quel est le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère un cercle de diamètre [AB] et un point C appartenant à ce cercle. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item On donne AC = 39 mm et BC = 52 mm. Montrer que AB = 65 mm. \item Le point D est tel que : AD = 25 mm et BD = 60 mm. Le triangle ABD est-il rectangle ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \parbox{0.65\textwidth}{ La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire. AC = 3 cm AE = 4,5 cm AB = 4 cm Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. \begin{enumerate} \item Calculer les longueurs AD et BD. \item On donne : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm Montrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.65\textwidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,6) \psline(0.4,0)(2.8,6) \psline(3.3,0)(0,5.5) \psline(0,0.2)(3.4,1) \psline(0,0.95)(3.3,1.7) \uput[r](1.6,2.9){A} \uput[ul](0.8,1.1){B} \uput[ur](2.3,1.5){C} \uput[dl](0.5,0.3){D} \uput[dl](2.8,0.85){E} \uput[dl](0.6,4.5){F} \uput[r](2.4,5){G} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.6,4.5)(2.4,5) \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Sur votre copie, construire un carré ABCD de côté 5 cm. O étant le centre du carré, placer E, symétrique de O par rapport à D. \item Recopier et compléter les égalités suivantes : $\vect{\text{AB}} = \ldots \ldots \hspace{2,9cm} \vect{\text{AD}}= \ldots \ldots$ $\vect{\text{AC}} + \vect{\text{CD}} = \ldots \ldots \hspace{2cm} \vect{\text{BD}} + \vect{\text{AB}} = \ldots \ldots$ \item Quelle est l'image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$ ? Quelle est l'image de D par la rotation de centre O, d'angle 90~\degres dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ? \item Placer F tel que $\vect{\text{EF}} = \vect{\text{CO}}$ \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère ECOF ? \item En déduire que D est le milieu du segment [FC]. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes. La feuille annexe est à rendre avec votre copie} \medskip \textbf{Partie A} \medskip DVDLOC est un magasin qui propose différentes formules de location de DVD. \begin{itemize} \item Formule 1 : chaque DVD est loué 3,50~\euro. \item Formule 2 : on paye un abonnement annuel de 12~\euro, puis 2~\euro{} par DVD loué. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter sur la feuille ANNEXE le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de DVD loués &2 & 6\\ \hline Prix en euro avec la formule 1 & &\\ \hline Prix en euro avec la formule 2 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item On note $x$ le nombre de DVD loués. \begin{enumerate} \item Exprimer, en fonction de $x$, le prix en euro à payer pour la location de $x$ DVD par la formule 1. \item Exprimer, en fonction de $x$, le prix en euro à payer pour la location de $x$ DVD par la formule 2. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'inéquation $2x + 12 \leqslant 3,5x$. \item Déterminer le nombre de DVD à partir duquel la formule 2 est la plus avantageuse. \end{enumerate} \item Sur la feuille ANNEXE, tracer dans le repère les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par : $f(x) = 3,5x$ et $g(x) = 2x + 12$. \item Carine ne possède pas de carte d'abonnement et elle dispose de 18 \euro. Indiquer à l'aide du graphique et en marquant. en couleur les pointillés nécessaires, le nombre maximum de DVD qu'elle peut louer. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Romain se rend à vélo chez son ami David qui a loué un DVD chez DVDLOC. Sachant qu'il a 3,75 kilomètres à parcourir et qu'il roule à la vitesse moyenne de 15 km/h, quel temps mettra-t-il pour faire ce trajet ? \item Après avoir regardé le film, Romain propose à David d'aller rendre ce DVD au magasin de location. Sachant qu'il roule pendant 36 minutes, toujours à la vitesse moyenne de 15 km/h, déterminer la distance qui sépare le magasin du domicile de David. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE \hfill À RENDRE AVEC LA COPIE\\ I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \end{center} \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Longueur $\ell$ du lancer (en mètres)& $30 \leqslant 35$& $35 \leqslant 40$& $40 \leqslant 45$& $45 \leqslant 50$& Total\\ \hline Nombre de sportifs & &7 & &5 &\\ \hline Fréquence &0,04 & & &0,2 & \\ \hline Valeur centrale &32,5 & &42,5 & &\multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-5} \end{tabularx} \vspace{1cm} \begin{center}\textbf{II - PROBLÈME Partie A} \medskip \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de DVD loués& 2& 6\\ \hline Prix en euro avec la formule 1&&\\ \hline Prix en euro avec la formule 2 &&\\ \hline \end{tabularx} \end {center} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(10,30) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(10,30) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(10,30) \uput[d](10,0.2){Nombre de} \uput[d](10,-0.5){DVD loués} \rput{90}(-0.8,28){Prix en euro} \end{pspicture} %%%%%%%%% Fin Pondichéry juin 2007 \newpage %%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2007 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{DurŽée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2007 \decofourright}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisŽée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \emph{Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie.} On donne : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X} A $ = \dfrac{2}{7} - \dfrac{15}{7} + \dfrac{5}{4}$~;& B $= \dfrac{4 \times 10^5 \times 15 \times 10^{-3}}{80 \times 10^{-1}}$~;\\ C $ = \sqrt{75} + 4\sqrt{27} - 5\sqrt{48}$~;& D $= (2 + 4\sqrt{5})(2 - 4\sqrt{5})$.\\ \end{tabularx} \begin{enumerate} \item Donner A sous la forme d'une fraction irréductible. \item Donner les écritures décimale et scientifique de B. \item Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ , où $a$ est un entier relatif. \item Montrer que D est un nombre entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression $E = (3x + 2)^2 - (3x + 2)(x + 7)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer $E$ lorsque $x = \dfrac{1}{2}$. \item Résoudre l'équation $(3x + 2)(2x - 5) =0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Un confiseur reçoit une commande de caramels d'un montant de $120,40$ euros. Pour fidéliser son client, il décide d'accorder une remise de 20\:\%. Calculer le montant de la facture après remise. \item Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets identiques. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre maximal de sachets réalisables. \item Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.} \emph{Il n'est pas demandé de la reproduire.} \parbox{0.55\textwidth}{ $\mathcal{C}$ est un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm. M est un point du cercle tel que BM = 4,8 cm. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABM}}$, arrondie au degré. \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOM}}$, arrondie au degré. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.37\textwidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.5,4.5) \pscircle(2.25,2.25){2} \pspolygon(0.4,3.05)(4.1,1.45)(2,4.2) \psline[linestyle=dashed](2,4.2)(2.25,2.25) \uput[ul](0.4,3.05){A} \uput[d](2.25,2.25){O} \uput[dr](4.1,1.45){B} \uput[u](2,4.2){M} \uput[dl](1,0.7){$\mathcal{C}$} \end{pspicture}} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(6,6) \psline(0,0)(2.5,0)(5.2,0.9)(0,5.7)(0,1.2)(1.9,1.2)(4.15,1.9)%ABCSEFG \psline(0,5.7)(2.5,0)%SB \psline(0,1.7)(0,0)%EA \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.7,0.9)(5.2,0.9)%ADC \psline[linestyle=dashed](0,1.2)(2.15,1.9)(4.15,1.9)%EHG \psline[linestyle=dashed](0,5.7)(2.7,0.9)%SD \uput[d](0,0){A} \uput[d](2.5,0){B} \uput[d](5.2,0.9){C} \uput[d](2.7,0.9){D} \uput[dl](0,1.2){E} \uput[dl](1.9,1.2){F} \uput[ur](4.15,1.9){G} \uput[ur](2.15,1.9){H} \uput[l](0,5.7){S} \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.55\textwidth}{SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le volume $V_{1}$ de la pyramide SABCD. \item Démontrer que SB = 17 cm. \item On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de [SB] tel que SF = 13,6 cm.\\ Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles. \item On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la base de la pyramide. La pyramide SEFGH ainsi obtenue, est une réduction de la pyramide SABCD. \begin{enumerate} \item Quel est le coefficient de la réduction ? \item En déduire le volume $V_{2}$ de la pyramide SEFGH en fonction de $V_{1}$. \end{enumerate} \end{enumerate}} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Soit (O ; I , J) un repère orthonormé tel que OI = OJ = 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Sur votre copie, construire ce repère et placer les points suivants : \[\text{A}(0~;~3)\quad \text{B}(3~;~0)\quad \text{E}(-4~;~3)\quad \text{F}(-1~;~2)\quad \text{G}(- 4~; ~-1)\] \item Tracer la droite (AB), puis le triangle EFG, noté par la suite $T$. \item Construire $T_{1}$ l'image de $T$ par la symétrie d'axe (AB). \item Construire $T_{2}$ l'image de $T$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \item Construire $T_{3}$ l'image de $T$ par la rotation de centre E et d'angle 100~\degres, le sens étant le sens inverse des aiguilles d'une montre. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \textbf{La feuille ANNEXE est à rendre avec la copie.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Deux établissements scolaires ont financé des déplacements en car pour se rendre dans un musée, où une grande exposition de peinture se tient durant plusieurs mois. \begin{enumerate} \item L'établissement du premier groupe est situé à 250~km du musée. Le car a quitté le collège à 7~h~25 et roule à la vitesse moyenne de 100~km/h. Calculer l'heure d'arrivée au musée de ce premier groupe. \item Le second groupe a quitté son établissement à 8~h~00 pour arriver à 9~h~30. Il a parcouru 120~km pour se rendre au musée. Calculer la vitesse moyenne, en km/h, du car transportant ce second groupe. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} Armelle souhaite travailler quelques heures par mois dans ce musée, afin de gagner un peu d'argent. À la suite d'un entretien, deux possibilités d'indemnisation lui sont proposées : \begin{itemize} \item Somme d'argent S$_{1}$ : 8~euros par heure. \item Somme d'argent S$_{2}$ : versement de 90~euros en début de mois, puis 5~euros par heure. \end{itemize} Ne sachant pas quelle forme d'indemnisation privilégier, elle décide d'étudier ces deux propositions. \begin{enumerate} \item Sur la feuille ANNEXE, compléter le tableau : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-4} \multicolumn{2}{c|}{} &\multicolumn{2}{c|}{Nombre d'heures effectuées par mois}\\ \cline{3-4} \multicolumn{2}{c|}{} &20 heures & 25 heures\\ \hline {Somme d'argent perçue} &S$_{1}$ & &\\ \hline par mois en \euro) &S$_{2}$ & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Soit $x$ le nombre d'heures effectuées par Armelle pendant un mois dans ce musée. Exprimer en fonction de $x$ les sommes d'argent $s_{1}(x)$ et $s_{2}(x)$, versées Armelle selon les deux formes d'indemnisation proposées. \item Résoudre l'équation $8x = 5x + 90$. À quoi correspond la solution de cette équation ? \item Sur le repère fourni sur la feuille ANNEXE, représenter graphiquement les deux fonctions suivantes : \[s_1~: x \longmapsto 8x \quad \text{et} \quad s_{2}~: x \longmapsto 5x+90\] \item \begin{enumerate} \item Utiliser une couleur pour marquer les traits qui permettent de déterminer graphiquement le résultat de la question 3. \item Utiliser une autre couleur pour marquer les traits qui permettent de déterminer graphiquement l'indemnisation la plus avantageuse pour Armelle si elle souhaite effectuer 35 heures par mois. Indiquer alors la somme d'argent perçue. \end{enumerate} \item En s'aidant du graphique, indiquer à Armelle l'indemnisation la plus avantageuse en fonction du nombre d'heures effectuées par mois dans ce musée. \end{enumerate} \newpage \textbf{ANNEXE \hfill À rendre avec la copie} \textbf{\textsc{Problème : partie B 1}} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}p{1.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-4} \multicolumn{2}{c|}{} &\multicolumn{2}{c|}{Nombre d'heures effectuées par mois}\\ \cline{3-4} \multicolumn{2}{c|}{} &20 heures & 25 heures\\ \hline {\small Somme d'argent perçue}&S$_{1}$&&\\ \hline par mois en \euro) &S$_{2}$ & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie B 4} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=0.24cm,yunit=0.03cm} \begin{pspicture}(-5,0)(45,320) \multido{\n=0+2.5}{19}{\psline(\n,0)(\n,320)} \multido{\n=0+20}{17}{\psline(0,\n)(45,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(45,320) \rput(38,-25){Nombre d'heures} \rput{90}(-5,280){Somme en euros} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 200 \newpage %%%%%%%%%% Antilles--Guyane juin 2007 \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2007~\decofourright\\ Antilles--Guyane }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip Pour chaque question, il n'y a qu'une bonne réponse. \emph{Barème : $1$ point par bonne réponse, $0$ autrement.} \medskip {\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4,8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{|c|}{QUESTIONS}&\multicolumn{3}{c|}{ RÉPONSES}\\ \hline &A&B&C\\ \cline{2-4} \textbf{1.} Une solution de $3x^2 - 5x + 2 = 0$ est &\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$-1$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{7}{3}$\\ \hline \textbf{2.} Les solution de $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x + 2)$ sont&\rule[1mm]{0mm}{5mm}$-2~\text{et}~- \dfrac{1}{2}$&$-2~\text{et}~ \dfrac{1}{2}$&$-\dfrac{1}{2}~\text{et}~2 $\\ \hline \textbf{3.} \rule[-4mm]{0mm}{10mm}Les solutions de $2x + 1 < 4x - 2$ sont &$x < - \dfrac{1}{2}$&$x > \dfrac{3}{2}$&$x < - \dfrac{3}{2}$\\ \hline \textbf{4.} \rule[-4mm]{0mm}{10mm} Le développement de : $(x - 1)(x + 3) - \left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x + 1)$ est&$x^2 - 3x + 9$&$x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2}$&$\dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{2}$\\ \hline \textbf{5.} \rule[-2mm]{0mm}{8mm}La factorisation de $25x^2 - 16$ est &$(5x - 4)^2$&$(5x - 4)(5x + 4)$&$(5x + 4)^2$\\ \hline \textbf{6.} \rule[-4mm]{0mm}{10mm}La fraction irréductible égale à : $\dfrac{3 - \dfrac{5}{2}}{\dfrac{2}{7} - \dfrac{7}{2}}$ est &$1$&$\dfrac{-45}{28}$&$\dfrac{-7}{45}$\\ \hline \textbf{7.} L'écriture sous forme scientifique de $\dfrac{49 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^5}{3 \times 10^4 \times 7 \times 10^{-2}}$ est\rule[-5mm]{0mm}{5mm}&\rule[1mm]{0mm}{5mm}$14 \times 10^{-2}$&$1,4 \times 10^{-1}$&$1,4 \times 10^2$\\ \hline \textbf{8.} L'écriture sous la forme $a\sqrt{5}$ de $\sqrt{180} - \sqrt{45} + 3\sqrt{20}$ est&\rule[1mm]{0mm}{5mm}$9\sqrt{5}$&$-3\sqrt{5}$&$3\sqrt{5}$\\ \hline \end{tabularx}} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} Le tableau ci-dessous (source : \emph{site national de la Sécurité routière}) donne la répartition, par tranche d'âges, du nombre des victimes dans des accidents dus à l'alcool, en 2005 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Tranches d'âges& 0-17 ans &18-24 ans &25-44 ans &45-64 ans &65 ans et plus &Âge inconnu\\ \hline Nombre de tués&68 &384 &557 & &68 &8\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On sait de plus que le nombre total de tués dans des accidents dus à l'alcool en 2005 est de \np{1355}. Compléter le tableau. \item Quelle est la tranche d'âge la plus touchée ? \item Parmi les victimes d'accidents dus à l'alcool, calculer le pourcentage de tués de moins de 25 ans. Donner l'arrondi à l'unité. \item En 2005, il y a eu en tout \np{4718} tués dans des accidents de la circulation. Quel est le pourcentage de tués dans des accidents dus à l'alcool ? On donnera l'arrondi à l'unité. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [EF] tel que LE = 6~cm. Placer un point G sur le cercle tel que la corde [EG] mesure 4,8~cm. \item Montrer que le triangle EFG est un triangle rectangle. \item Calculer la distance FG au mm près. \item Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{EFG}}$. \item \begin{enumerate} \item Placer un point K sur la demi-droite [EG) tel que EK = 8~cm. Tracer la droite passant par K et parallèle à (EF). Elle coupe la droite (FG) en un point L. \item Calculer la distance LK. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormé (O ; I, J) du plan, placer les points A$(1~;~ -4)$ et B$(3~;~ -1)$ et tracer le triangle OAB. \item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$. \item Calculer la distance AB arrondie au mm. \item Construire l'image du triangle OAB par la rotation de centre O et d'angle 90\up{$\circ$} dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On le nomme OA$'$B$'$. \item Construire le point C image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BO}}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} On transfère le pétrole contenu dans un réservoir B vers un réservoir A à l'aide d'une pompe. \medskip \psset{unit=1cm} %\def\goutte{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.1,0.1)} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2.1,2.1) \psline(0,3.6)(0,0)(2.1,0)(2.1,3.6) \pscircle(3.2,0.15){3mm} \psline[linewidth=1mm](2.1,0.15)(2.9,0.15) \psline[linewidth=1mm](3.5,0.15)(4.6,0.15)(4.6,2.8)(6.8,2.8)(6.8,2.4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(8.8,0.6) \psline(5.8,2)(5.8,0)(8.8,0)(8.8,2) %\multido{\r=1.00+0.15}{6}{\rput(6.7,\r){\goutte}} \multirput(6.7,1)(0,0.15){9}{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.075,0.1)} \multirput(6.8,1)(0,0.15){9}{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.075,0.1)} \pspolygon*(3.15,0)(3.4,0.15)(3.15,0.3) \rput(1.1,2.3){B} \rput(7.3,1.3){A} \end{pspicture} \end{center} Après démarrage de la pompe, on constate que la hauteur de pétrole dans le réservoir A augmente de 3 cm par minute. Le réservoir A est vide au départ. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{ Remplissage du réservoir A} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps (en min)&0&10&20&30& 40\\ \hline Hauteur du pétrole dans le réservoir A (en cm)&0& &60& &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On appelle $x$ le temps (en minutes) de fonctionnement de la pompe et $f(x)$ la hauteur du pétrole (en cm) dans le réservoir A. Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction $f$ : \[x \longrightarrow - 2x \quad x \longrightarrow 3x + 20 \quad x \longrightarrow 3x~ ?\] \item Représenter graphiquement la fonction $f$ pour $x$ variant de $0$ à $40$, sur le graphique ci-dessous. Les unités : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] en abscisses 2~cm représenteront 5~minutes, \item[$\bullet~$] en ordonnées 1~cm représentera une hauteur de 10 cm de pétrole dans la cuve. \end{itemize} \medskip \psset{xunit=0.25cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(0,-10)(42.5,240) \uput[dl](0,0){0} \uput[d](5,0){5 mm} \uput[l](0,10){10 cm} \uput[d](40,0){40} \uput[l](0,200){200} \rput(27.5,170){Échelle $\dfrac{1}{2}$} \uput[d](41,0){D} \uput[l](0,205){C} \psdots(41,0)(0,205) \psline(40,0)(0,200) \multido{\n=0.00+0.25}{171}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,240)} \multido{\n=0.00+1.25}{34}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,240)} \multido{\n=0+1}{241}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(42.5,\n)} \multido{\n=0+5}{48}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(42.5,\n)} \psline(5,0)(5,-2) \psline(-0.5,10)(0,10) \end{pspicture} \bigskip \item Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour obtenir une hauteur de pétrole de 105~cm dans le réservoir A. On fera apparaître les tracés sur le graphique. \end{enumerate} \item \textbf{Vidage du réservoir B} Sur le graphique précédent, le segment [CD] représente la hauteur (en centimètre) de pétrole dans la cuve B en fonction du temps (en minute). Les unités sont les mêmes que dans la première partie : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] en abscisses 2~cm représenteront 5~minutes, \item[$\bullet~$] en ordonnées 1~cm représentera une hauteur de 10~cm de pétrole dans la cuve. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau ci-dessous en utilisant le graphique précédent \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps (en min) &0 &10 & &40\\ \hline Hauteur du pétrole dans le réservoir B (en cm) &200 & &80 &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On appelle $x$ le temps (en minutes) de fonctionnement de la pompe et $g (x)$ la hauteur du pétrole (en cm) dans le réservoir B. Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction $g$ : \[x \longrightarrow - 4x \quad x \longrightarrow 3x + 20\quad x \longrightarrow -5x +200~ ?\] \item Déterminer par le calcul le temps au bout duquel les hauteurs de pétrole dans les cuves A et B sont égales. \item Expliquer continent on peut retrouver graphiquement ce dernier résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% Fin Antilles-Guyane juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%% Asie juin 2007 \hypertarget{Asie}{} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{20 juin 2007} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Asie juin 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire chacun des trois nombres $\sqrt{12},~\sqrt{27}$ et $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a$ entier. \item On donne A $= 4\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 5\sqrt{75}$ ; donner une écriture simplifiée de A. \end{enumerate} \item On pose : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} B $= 5^2+2^2 \times 9$ ;& C $= \dfrac{3^2}{4 + 2^2}$ ;& D $ = 5 \times 10^3 - 2 \times 10^2.$\\ \end{tabularx} Donner l'écriture décimale de ces trois nombres. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD des nombres 408 et 578. \item Écrire $\dfrac{408}{578}$ sous forme d'une fraction irréductible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On donne $E = 9 - (2x - 1)^2$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer $E$ pour $x = \dfrac{1}{3}$. \item Résoudre $(2 + 2x) (4 - 2x) = 0$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm). \begin{enumerate} \item Sur la copie, dans le repère (O, I, J), placer les points A$(-3~;~ 1)$ ; B$(-2~;~ 3)$ et C(2 ; 1). \item Calculer la distance BC. \item On admet que AB $= \sqrt{5}$ et AC = 5. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. \item Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. \item Construire le point N, image de M par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$. \item Calculer les coordonnées du point N. \item Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu. \end{enumerate} \bigskip \parbox{0.5\textwidth}{\textbf{Exercice 2} \medskip On donne la figure ci-contre dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire la figure. L'unité de longueur est le cm. Le triangle MNP est rectangle en P avec MP = 6 et NP = 2. Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. M, R et N sont alignés ; M, S et P sont alignés.} \hfill \parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,3.5) \pspolygon(0,0)(4.9,0)(4.9,2.6) \psline(3.3,0)(3.3,1.75) \uput[d](0,0){M} \uput[ul](3.3,1.75){R} \uput[d](3.3,0){S} \uput[ur](4.9,2.6){N} \uput[d](4.9,0){P} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{PMN}}$. \item En déduire la longueur RS. \item Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles. \item Calculer la distance MS ; l'arrondir au mm. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Première partie} \medskip \begin{enumerate} \item On considère le \emph{tableau de proportionnalité} ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2) \psframe(4,2) \psline(2,0)(2,2) \psline(0,1)(4,1) \rput(1,0.5){$70$} \rput(1,1.5){$20$} \rput(3,0.5){$b$} \rput(3,1.5){$30$} \rput(4,0.5){\rnode{A}{}} \rput(4,1.5){\rnode{B}{}} \nccurve{->}{B}{A} \rput(4.6,1){$\times a$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer $b$. \item On appelle $a$ le coefficient de proportionnalité. Calculer $a$. \end{enumerate} \item On considère la fonction linéaire $f$ définie par : $f~: x \longmapsto 3,5x$. Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite $d$ représentant la fonction $f$. \emph{On prendra un repère orthonormé ; l'origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : $1$ cm représentera $10$ unités.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90). \item Déterminer la fonction affine $g$ dont la représentation graphique est la droite (AB). \item \begin{enumerate} \item Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{l c l} y & = & 3,5x\\ y & = &0,5 x + 60\\ \end{array}\right.$. \item Que représente le couple $(x~ ;~ y)$, solution de ce système, pour les droites $d$ et (AB) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip On dispose d'un ressort de $60$~mm. Quand on lui suspend une masse de $20$~g, il s'allonge de $10$~mm. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que l'allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée. Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de $80$ g est $100$ mm. \item Soit $x$ la masse suspendue en grammes. Exprimer l'allongement du ressort en fonction de $x$. \item Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de $x$. \item Sachant que la masse volumique de l'or est $19,5$~g/cm$^3$, calculer la masse d'un cube en or de 2~cm d'arête. \item On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort. Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% Asie juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2007 \hypertarget{Etrangers}{} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2007 \decofourright\\ Centres étrangers}} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)} \end{center} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire chacun des trois nombres $\sqrt{12},~ \sqrt{27}$ et $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a$ entier. \item On donne $A = 4\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 5\sqrt{75}$ ; donner une écriture simplifiée de $A$. \end{enumerate} \item On pose : \[B = 5^2 + 2^2 \times 9 \quad ; \quad C = \dfrac{3^2}{4 + 2^2} \quad ; \quad D = 5 \times 10^3 - 2 \times 10^2.\] Donner l'écriture décimale de ces trois nombres. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD des nombres $408$ et $578$. \item Écrire $\dfrac{408}{578}$ sous forme d'une fraction irréductible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 :} \medskip On donne \[E = 9 - (2x - 1)^2.\] \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer $E$ pour $x = \frac{1}{3}$. \item Résoudre $(2 + 2x)(4 - 2x) = 0$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie II : Activités géométriques \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Soit (O ; I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm). \begin{enumerate} \item Sur la copie, dans le repère (O; I, J), placer les points A$(- 3~;~ 1)$ ; B$(-2~;~ 3)$~; C$(2 ~;~ 1)$. \item Calculer la distance BC. \item On admet que AB $= \sqrt{5}$ et AC = 5. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. \item Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. \item Construire le point N, image de M par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$. \item Calculer le coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$. \item Calculer les coordonnées du point N. \item Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip On donne la figure ci-dessous dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire cette figure. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.5,4) \pspolygon(0,0)(4.5,0)(4.5,3.4) \psline(2.7,0)(2.7,2.05) \uput[l](0,0){M} \uput[ur](4.5,3.4){N} \uput[r](4.5,0){P} \uput[ul](2.7,2.05){R} \uput[d](2.7,0){S} \end{pspicture} \end{center} \medskip L'unité de longueur est le centimètre. Le triangle MNP est rectangle en P avec \\MP = 6 et NP = $2\sqrt{3}$. Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. Les points M, R et N sont alignés, les points M, S et P sont alignés. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une valeur de l'angle $\widehat{\text{PMN}}$. \item En déduire la longueur RS. \item Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles. \item Calculer la distance MS ; l'arrondir au mm. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie III : Problème} \bigskip \textbf{Première partie :} \medskip \begin{enumerate} \item On considère le tableau de proportionnalité ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,2) \psline(0,1)(2.8,1) \psline(1.5,0.5)(1.5,1.5) \rput(0.5,1.3){20} \rput(0.5,0.7){70} \rput(2.5,1.3){\rnode{A}{30~~~~}} \rput(2.5,0.7){\rnode{B}{$b$~~~~}} \nccurve{->}{A}{B} \rput(3.3,1){$\times a$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer $b$. \item On appelle $a$ le coefficient de proportionnalité. Calculer $a$. \end{enumerate} \item On considère la fonction linéaire $f$ définie par : $f : x \longmapsto 3, 5x$. Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite $d$ représentant la fonction $f$. On prendra un repère orthonormé ; l'origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1~cm représentera 10~unitées. \end{enumerate} \medskip \textbf{Deuxième partie :} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90). \item Déterminer la fonction affine $g$ dont la représentation graphique est la droite (AB). \begin{enumerate} \item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l} y& =& 3, 5x \\ y &=& 0, 5x + 60 \\ \end{array}\right.$ \item Que représente le couple $(x~;~ y)$, solution de ce système, pour les droites $d$ et (AB) ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie :} \medskip On dispose d'un ressort de 60~mm. Quand on lui suspend une masse de 20~g, il s'allonge de 10~mm. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que l'allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée. Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80~g est 100~mm. \item Soit $x$ la masse suspendue en grammes. Exprimer l'allongement du ressort en fonction de $x$. \item Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de $x$. \item Sachant que la masse volumique de l'or est 19,5~g/cm$^3$, calculer la masse d'un cube en or de 2~cm d'arête. \item On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort. Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%%% Centres étrangers (Lyon) \hypertarget{EtrangersLyon}{} \lfoot{\small{Centres étrangers Lyon}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2007 \decofourright\\ Centres étrangers Lyon }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'écriture scientifique du nombre A : \[\text{A} = \dfrac{500 \times \left(10^{-3}\right)^2 \times 2,4 \times 10^7}{8 \times 10^{-4}}.\] \item \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD de 854 et de \np{1610}. \item Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{854}{\np{1610}.}$. \end{enumerate} \item Calculer le nombre B et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier relatif : \[\text{B} = -3\sqrt{27} + \sqrt{75} - 2\sqrt{108}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \emph{Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne, réponse.} \emph{Aucune justification n'est demandée.} \emph{Le candidat obtiendra $1$ point par réponse juste, perdra $0,5$ point par réponse fausse, n'obtiendra pas de point en l'absence de réponse.} \emph{Le score du candidat ne peut pas être négatif} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \Numero& \multicolumn{1}{c|}{Question}& A& B& C& D\\ \hline 1& Pour $x = 2\sqrt{5}$, l'expression $x^2~+~2x~+~1$ vaut &\rule[1mm]{0mm}{5mm}$25\sqrt{5}$& $24\sqrt{5} + 1$& $21 + 4 \sqrt{5}$&$13\sqrt{5}$\\ \hline 2& L'équation $2x-7 = 5x + 8$ a pour solution& $-\dfrac{1}{3}$& $5$& $\dfrac{1}{3}$&$-5$\\ \hline 3& $\sqrt{18}$ a pour valeur exacte& \rule[-1mm]{0mm}{5mm} $9$& $4,24$& $9\sqrt{2}$& $3\sqrt{2}$\\ \hline 4& La fonction linéaire $f$ telle que $f(5) = 3$ a pour coefficient&\rule[1mm]{0mm}{5mm} $\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{3}{5}$& $8$& $2$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} 2x + 3y &=&27\\ 4x + y &=& 24\\ \end{array} \right.$ \item On considère un parallélépipède rectangle. Si on prend le double de sa largeur et que l'on ajoute le triple de sa longueur, on trouve $27$~cm. Si on prend le quadruple de sa largeur et que l'on ajoute sa longueur, on trouve $24$~cm. Déterminer la largeur et la longueur de ce parallélépipède rectangle. \item Sachant que le volume du parallélépipède rectangle est $54$~cm$^3$, déterminer sa hauteur. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère un repère orthonormé (O ; I, J). L'unité de longueur est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points \[\text{A}(3~;~ 7),~ \text{B}(- 1~;~2)~ \text{et}~ \text{C}(7~;~2)\] \item Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A. \item Suit A$'$ le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées de A$'$. \item Placer le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{AB}}$. Que peut-on dire dire du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse. \item Montrer que A$'$ est le milieu du segment [AD]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [BC] tel que BC = 10~cm. Placer un point A appartenant au cercle $\mathcal{C}$ tel que AB = 8~cm. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse. \item Calculer la longueur AC. \item Déterminer une valeur approchée, au degré près de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. \item Placer le point O du segment [BC] tel que BO = $2$~cm. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par B qui coupe la droite (AO) en D. Calculer la longueur BD. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \bigskip La chaîne de télévision France Direct 1 décide d'organiser un concours de la meilleure femme Disque Jockey (DJ). Puisque les téléspectateurs vont pouvoir voter pour la meilleure candidate grâce à l'envoi de mini- messages (SMS) pour cette grande soirée retransmise en direct, la chaîne a décidé de s'associer à trois sociétés de téléphone. Ces dernières proposent un tarif spécial pour ce soir-là : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Société Pamplemousse : un forfait de 9~\euro{} et 0,15~\euro{} par SMS ; \item[$\bullet~$] Société Triangle vert : 0,30~\euro{} par SMS ; \item[$\bullet~$] Société Brique Mobile : 21~\euro{} pour un nombre de SMS illimité. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Le temps de vote est fixé à $30$~minutes. Sachant qu'il faut 15 secondes pour écrire un SMS et l'envoyer, combien de messages au maximum pourra envoyer un téléspectateur pendant le temps de vote ? \item On suppose qu'un téléspectateur envoie 50 SMS pendant le temps de vote. Compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Société &Pamplemousse & Triangle Vert &Brique Mobile \\ \hline Coût, en euros, pour 50 SMS & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Ou appelle $x$ le sombre de SMS envoyés par un téléspectateur. On note $P(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Pamplemousse, $T(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Triangle vert et $B(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Brique Mobile. Exprimer $P(x), ~T(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$. \item Dans un repère orthogonal, on prend les unités suivantes : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, $1$~cm représente 10~SMS ; \item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées $1$~cm représente $3$~\euro. \end{itemize} On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille. Tracer les représentations graphiques des fonctions $f,~ g$ et $h$ définies, pour tout nombre $x$, par : \[ f(x) = 0,15x + 9~~;~~ g(x) = 0,30x~~ \text{et}~~ h(x) = 21. \] \item \emph{Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires.} \begin{enumerate} \item À partir de combien de SMS, la proposition de la société Brique Mobile devient-elle intéressante ? \item Les parents d'Arthur lui donnent 15~\euro{} pour la soirée. Étant un fan de DJ Carmen, Arthur veut envoyer pour elle un maximum de SMS pendant la soirée. Indiquer quelle société il devra choisir et combien de SMS il pourra envoyer. \end{enumerate} \item Le vote est terminé, Les trois concurrentes DJ Carmen, DJ Desdémone et DJ Elvira attendent les résultats. \np{724560} SMS ont été reçus. DJ Carmen l'emporte avec 60\:\% des voix. Donner une valeur arrondie à l'unité du nombre de SMS envoyés par seconde pour DJ Carmen. \end{enumerate} %%%%%%%%% Centres étrangers (Lyon) \newpage %%%%%%%%% Centres étrangers (Nice) juin 2007 \hypertarget{EtrangersNice}{} \lfoot{\small{Centres étrangers Nice}} \rfoot{\small{juin 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2007 \decofourright\\ Centres étrangers Nice}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \medskip On considère les nombres : \[\text{A} = \dfrac{11}{8} + \dfrac{7}{8} \times \dfrac{2}{7}\quad ; \quad\text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 5 \times 10^4}{12 \times \left(10^3\right)^3}\quad ; \quad \text{C} = \left(\sqrt{5} + \sqrt{10}\right)^2.\] En précisant les différentes étapes du calcul : \medskip \begin{enumerate} \item écrire A sous la forme d'une fraction irréductible. \item donner l'écriture scientifique de B. \item écrire C sous la forme $a + b\sqrt{2},~ a$ et $b$ étant des nombres entiers. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne : \[D = 9x^2 - 4 + (3x - 2) (x - 3).\] \begin{enumerate} \item Développer et réduire $D$. \item Factoriser $9x^2 - 4$ et en déduire la factorisation de $D$. \item Résoudre l'équation $(3x - 2) (4x - 1) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes le PGCD de $144$ et $252$. \item Une association organise une compétition sportive ; $144$ filles et $252$ garçons se sont inscrits. L'association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe, le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes. \begin{enumerate} \item Quel est le nombre maximum d'équipes que cette association peut former ? \item Quelle est alors la composition de chaque équipe ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.4\textwidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas réalisée en vraie grandeur} Les points A, E et C sont alignés, ainsi que les points B, E et D.} \hfill \parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(7,3) \uput[ul](0.8,2.8){A} \uput[dl](0.7,0.3){B} \uput[dr](6.5,0){C} \uput[ur](6.6,2.5){D} \uput[u](3.65,1.4){E} \pspolygon(0.8,2.8)(0.7,0.3)(6.6,2.5)(6.5,0) \end{pspicture}} \medskip AE = 7,2 cm ; EC = 5,4 cm ; ED 7,5 = cm et BE = 10 cm. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. \item Sachant que CD = 6,3~cm, calculer AB. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \emph{La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.} Les points R, P et E sont alignés ainsi que les points A, P et M. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,2.5) \uput[dl](0.6,1){A} \uput[ul](0.6,2.4){R} \uput[ur](4.3,1){P} \uput[ur](7.3,1){M} \uput[r](7.3,0){E} \pspolygon(0.6,1)(0.6,2.4)(7.3,0)(7.3,1) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item PAR est un triangle rectangle en A ; on donne AR = 2~cm et RP = 4~cm. Calculer AP et l'exprimer sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers. \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{RPA}}$. \item Expliquer pourquoi les angles $\widehat{\text{RPA}}$ et $\widehat{\text{MPE}}$ ont la même mesure. \item PME est un triangle rectangle en M. On donne ME = 3~cm. Calculer PM à $1$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; I, J), unité $1$ cm. ABCD est un carré de centre M (figure ci-dessous). \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-7,-4)(3,8) \psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-7,-4)(3,8) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-7,-4)(3,8) \pspolygon(2,4)(-4,6)(-6,0)(0,-2) \uput[ur](2,4){A} \uput[ul](-4,6){B} \uput[dl](-6,0){C} \uput[dr](0,-2){D} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Placer le point M. \item Lire et donner les coordonnées des points B et C. \item Construire le point P tel que $\vect{\text{MC}} + \vect{\text{MC}} = \vect{\text{MP}}$. \item Répondre aux questions suivantes sans justifier. \begin{enumerate} \item Quel est le symétrique du triangle ABM par rapport à la droite (AC) ? \item Quelle est l'image du triangle ABM par la translation de vecteur $\vect{\text{AD}}$ ? \item Quelle est l'image du triangle ABM par la rotation de centre M d'angle $90\degres$, qui transforme D en C ? \item Donner une transformation dans laquelle le triangle ABM a pour image le triangle CDM. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \medskip Au cours d'une embauche pour la cueillette des pêches, un ouvrier agricole a le choix entre trois formules de salaire : \textbf{Formule A :} un salaire mensuel de $930$~\euro, \textbf{Formule B :} une somme mensuelle de $310$~\euro{} à laquelle s'ajoutent $40$~\euro{} par tonne de pêches cueillies, \textbf{Formule C :} un salaire basé uniquement sur la cueillette, $80$~\euro{} par tonne de pêches cueillies. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*3{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois&$5$& $11$&$15$\\ \hline Salaire mensuel en euros avec la formule A&&&\\ \hline Salaire mensuel en euros avec la formule B&&& \\ \hline Salaire mensuel en euros avec la formule C&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Si l'en appelle $x$ la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer le salaire correspondant à chaque formule. \item Représenter graphiquement dans un repère orthogonal (on utilisera du papier millimétré) les fonctions définies par \[f(x) = 930~~;~~ g(x) = 310 + 40x~~;~~h(x) = 80x.\] On choisira comme unités : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 1~cm pour une tonne sur l'axe des abscisses ; \item[$\bullet~$] 1~cm pour $100$~\euro{} sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item Sachant que pour un mois donné, cet ouvrier agricole gagnerait le même salaire avec les formules B et C, lire sur le graphique la quantité de pêches récoltées en tonnes (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture). Donner une valeur approchée du résultat. \item Répondre par le calcul à la question précédente et donner le résultat exact. \end{enumerate} \item Par lecture graphique, préciser la formule la plus avantageuse pour l'ouvrier s'il espère cueillir $13$ tonnes dans le mois (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture). Quel serait alors son salaire ? \end{enumerate} %%%%%%%% fin Centres étrangers (Nice) juin 2007 \newpage %%%%%%%% Métropole et La Réunion juin 2007 \hypertarget{Metropole}{} \lfoot{\small{Métropole, La Réunion et Mayotte}} \rfoot{\small 25 juin 2007} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole, La Réunion et Mayotte ~\decofourright\\25 juin 2007}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. \medskip \emph{Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{1.}& Quelle est l'expression développée de $(3x~+~5)^2$ ?& $3x^2+ 25$&$9x^2+ 25$&$9x^2+30x+25$\\ \hline \textbf{2.}&Quelle est l'expression qui est égale à $10$ si on choisit la valeur $x = 4$ ?&$x(x + 1)$&$(x + 1)(x- 2)$ & $(x + 1)^2$\\ \hline \textbf{3.}& Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\sqrt{48}}{2}$ ?\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$\sqrt{24}$&$3,464$&$2\sqrt{3}$\\ \hline \textbf{4.}& Quel est le nombre qui est solution de l'équation $\mbox{2x - (8 + 3x) = 2}$ ?&$10$&$-10$&$2$\\ \hline \textbf{5.}&En 3\up{e} A, sur 30 élèves, il y a 40\:\% de filles. En 3\up{e} B, sur 20 élèves, il y a 60\:\% de filles. Lorsque les deux classes sont réunies, quel est le pourcentage de filles dans le groupe ? &36\:\% de filles.&48\:\% de filles.&50\:\% de filles.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne un programme de calcul : \begin{center} \fbox{\parbox{8cm}{\begin{itemize} \item[$\bullet~$] Choisir un nombre. \item[$\bullet~$] Lui ajouter 4. \item[$\bullet~$] Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. \item[$\bullet~$] Ajouter 4 à ce produit. \item[$\bullet~$] Écrire le résultat. \end{itemize}}} \end{center} \begin{enumerate} \item Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre $-2$, on obtient 0. \item Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est $5$. \item \begin{enumerate} \item Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie). \item En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip L'unité de longueur est le centimètre. . ABC est un triangle tel que AB = 9 ; AC = 15 ; BC = 12. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que ABC est rectangle en B. \item Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie. \end{enumerate} \item E est le point du segment [AB] tel que AE = 3. F est le point du segment [AC] tel que AF = 5 . \begin{enumerate} \item Placer les points E et F sur la figure. \item Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC). \end{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle AEF. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{Sur la figure ci-contre, \begin{itemize} \item[$\bullet~$] le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, \item[$\bullet~$] ABC est un triangle équilatéral, \item[$\bullet~$] le point D est le point diamétralement opposé au point B sur ce cercle. \end{itemize}} \hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \SpecialCoor \pscircle(0,0){2} \psline(2;12)(2;192) \pspolygon(2;192)(2;72)(2;-48) \uput[d](0;0){O} \uput[ur](2;72){A} \uput[l](2;192){B} \uput[dr](2;-48){C} \uput[r](2;12){D}\rput{45}(0;0){+} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier. \item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABD}}$ ? Justifier. \item On désigne par E l' image du point D par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$. Démontrer que les droites (DC) et (OE) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip Dans le jardin de sa nouvelle maison, M.Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit. Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre. \medskip \parbox{0.6\linewidth}{ \begin{itemize} \item Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles. \item Le triangle HIE est rectangle en I. \item Le quadrilatère IEAB est un rectangle. \item La hauteur du sol au sommet du toit est HB. \end{itemize} On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5} \hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,3) \psframe(2.5,1.5) \psline(3.6,2.8)(2.5,1.5) \psline(2.5,0)(3.6,0.6)(3.6,2.8)(1.1,2.8)(0,1.5)%ABHGF \psline[linestyle=dashed](2.5,1.5)(3.6,2)%EI \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,0.6)(1.1,2.8)%DCG \psline[linestyle=dashed](1.1,0.6)(3.6,0.6)%CB \uput[d](2.5,0){A} \uput[r](3.6,0.6){B} \uput[ul](1.1,0.6){C} \uput[l](0,0){D} \uput[ul](2.5,1.5){E} \uput[l](0,1.5){F} \uput[ul](1.1,2.8){G} \uput[ur](3.6,2.8){H} \uput[r](3.6,2){I} \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4,0.6)(4,2.8) \uput[r](4,1.7 ){5} \uput[d](1.25,0){$7,5$} \uput[dr](3.05,0.3){$2,25$} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{On suppose dans cette partie que AE = 2 \begin{enumerate} \item Justifier que HI = 3 . \item Démontrer que HE = 3,75. \item Calculer au degré près la mesure de l'angle du toit avec la maison. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(2.5,5) \pspolygon(0.25,0)(2.5,0)(2.5,2)(0.25,5)%BAEH \psline[linestyle=dashed](0.25,2)(2.5,2) \psframe(0.25,0)(0.5,0.25) \psframe(2.5,0)(2.25,0.25) \psframe(0.5,2)(0.25,2.25) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-0.1,0)(-0.1,5)\uput[l](-0.1,2.5){5} \uput[r](2.5,0){A} \uput[dl](0.25,0){B} \uput[ur](2.5,2){E} \uput[ur](0.25,5){H} \uput[l](0.25,2){I} \uput[d](1.375,0){$2,25$} \uput[r](2.5,1){2} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{Dans cette partie, on suppose que $\widehat{\text{IHE}} = 45^{\circ}$ et on désire déterminer AE. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas ? Justifier. \item En déduire HI puis AE. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(2.5,5) \pspolygon(0.25,0)(2.5,0)(2.5,2.75)(0.25,5)%BAEH \psline[linestyle=dashed](0.25,2.75)(2.5,2.75) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-0.1,0)(-0.1,5)\uput[l](-0.1,2.5){5} \psline[linestyle=dashed](0.25,2.75)(2.5,2.75) \psframe(0.25,0)(0.5,0.25) \psframe(2.5,0)(2.25,0.25) \psframe(0.5,2.75)(0.25,2.5) \uput[r](2.5,0){A} \uput[dl](0.25,0){B} \uput[ur](2.5,2.75){E} \uput[ul](0.25,5){H} \uput[l](0.25,2.75){I} \uput[d](1.375,0){$2,25$} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{Dans cette partie, on suppose que $\widehat{\text{IHE}} = 60^{\circ}$ et on désire déterminer AE. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur arrondie au cm de HI. \item En déduire la valeur arrondie au cm de AE. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(2.5,5) \pspolygon(0.25,0)(2.5,0)(2.5,3.7)(0.25,5)%BAEH \uput[r](2.5,0){A} \uput[dl](0.25,0){B} \uput[ur](2.5,3.7){E} \uput[ul](0.25,5){H} \uput[l](0.25,3.7){I} \uput[d](1.375,0){$2,25$} \psline[linestyle=dashed](0.25,3.7)(2.5,3.7) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-0.1,0)(-0.1,5)\uput[l](-0.1,2.5){5} \psarc(0.25,5){0.5cm}{-90}{-30} \uput[dr](0.5,4.5){$60^{\circ}$} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Partie 4} \medskip La courbe ci-dessous représente la hauteur AE en fonction de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IHE}}$. \bigskip \psset{xunit=0.14cm,yunit=1.4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-6,-0.5)(80,4.2) \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](\n,0)(\n,4)} \multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,\n)(80,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.5]{->}(0,0)(80,4.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.5](0,0)(80,4.2) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{30}{66}{5 2.25 x cos mul x sin div sub} \uput[d](40,-0.35){Angle $\widehat{\text{IHE}}$ en degrés} \rput{90}(-6,2){Longueur AE en cm} \end{pspicture} \bigskip M. Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3 m et 3,5 m. En utilisant le graphique, donner une mesure possible de l'angle $\widehat{\text{IHE}}$. %%%%%%%%%%% fin Métropole et La Réunion juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%% Liban juin 2007 \hypertarget{Liban}{} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{DurŽée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban juin 2007 \decofourright}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisŽée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'écriture scientifique du nombre A : \[\text{A} = \dfrac{500 \times \left(10^{-3}\right)^2 \times 2,4 \times 10^7}{8 \times 10 ^{-4}}\] \item \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD de $854$ et \np{1610}. \item Donner la fraction irréductible de $\dfrac{854}{\np{1610}}$. \end{enumerate} \item Calculer le nombre B et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier relatif : \[\text{B} = -3 \sqrt{27} + \sqrt{75} - 2\sqrt{108}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Pour chaque question, écrire sur la copie la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée. Le candidat obtiendra 1 point par réponse juste, perdra 0,5 point par réponse fausse ; n'obtiendra pas de point en l'absence de réponse. Le score du candidat ne peut pas être négatif. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{2} {\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}||*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline N°& Question& A& B& C& D\\ \hline 1& Pour $x = 2\sqrt{5}$, l'expression $x^2 + 2x + 1$ vaut : &$25\sqrt{5}$&$24\sqrt{5} + 1$&$21 + 4\sqrt{5}$&$13\sqrt{5}$\\ \hline 2& L'équation $2x - 7 = 5x + 8$ a pour solution :&$- \dfrac{1}{3}$&$5$&$ \dfrac{1}{3}$&$-5$\\ \hline 3&$\sqrt{18}$ a pour valeur exacte : &9& 4,24& $9\sqrt{2}$& $3\sqrt{2}$\\ \hline 4& La fonction linéaire $f$ telle que $f(5) = 3$ a pour coefficient :&$\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{3}{5}$&$8$&$2$\\ \hline \end{tabularx}} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système $\renewcommand{\arraystretch}{1}\left\{\begin{array}{l c l} 2x + 3y&=& 27\\ 4x + y&=&24\\ \end{array}\right.$ \item On considère un parallélépipède rectangle. Si on prend le double de sa largeur et que l'on ajoute le triple de sa longueur, on trouve $27$~cm. Si on prend le quadruple de sa largeur et que l'on ajoute sa longueur, on trouve $24$~cm. Déterminer la largeur et la longueur de ce parallélépipède rectangle. \item Sachant que le volume du parallélépipède rectangle est $54$~cm$^3$, déterminer sa hauteur. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. \begin{enumerate} \item Placer les points A (3~;~7), B $(-1~;~2)$ et C (7~;~2). \item Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A. \item Soit A$'$ le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées de A$'$. \item Placer le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{AB}}$. Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse. \item Montrer que le point A$'$ est le milieu du segment [AD] . \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [BC] tel que BC = $10$~cm. \\Placer un point A appartenant au cercle $\mathcal{C}$ tel que AB = $8$~cm . \item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse. \item Calculer la longueur AC. \item Déterminer une valeur approchée, au degré près, de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. \item Placer le point O du segment [BC] tel que BO = $2$~cm. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par B qui coupe la droite (AO) en D. Calculer la longueur BD. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip La chaîne de télévision France Direct 1 décide d'organiser un concours de la meilleure femme Disque Jockey (DJ). Puisque les téléspectateurs vont pouvoir voter pour la meilleure candidate grâce à l'envoi de mini-messages (SMS) pour cette grande soirée retransmise en direct, la chaîne a décidé de s'associer à trois sociétés de téléphonie. Ces dernières proposent un tarif spécial pour ce soir-là : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Société Pamplemousse : un forfait de 9 \euro{} et 0,15 \euro{} par SMS ; \item[$\bullet~$] Société Triangle Vert : 0,30 \euro{} par SMS ; \item[$\bullet~$] Société Brique Mobile : 21 \euro{} pour un nombre de SMS illimité. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Le temps de vote est fixé à 30 minutes. Sachant qu?il faut 15 secondes pour écrire un SMS et l'envoyer, combien de messages au maximum pourra envoyer un téléspectateur pendant le temps de vote ? \item On suppose qu'un téléspectateur envoie $50$~SMS pendant le temps de vote. Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Société& Pamplemousse& Triangle Vert& Brique Mobile\\ \hline Coût, en euros, pour 50 SMS&&& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On appelle $x$ le nombre de SMS envoyés par un téléspectateur. On note $P(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Pamplemousse, $T(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Triangle Vert et $B(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Brique Mobile. Exprimer $P(x),~ T(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$. \item Dans un repère orthogonal, on prend les unités suivantes : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, $1$~cm représente $10$~SMS ; \item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, $1$~cm représente 3~\euro. \end{itemize} On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille. Tracer les représentations graphiques des fonctions $f,~ g$ et $h$ définies, pour tout nombre $x$, par : \[f (x) = 0,15x + 9,~ g(x) = 0,30x~ \text{et}~h(x ) = 21.\] \item Dans cette question, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires. \begin{enumerate} \item À partir de combien de SMS la proposition de la société Brique Mobile devient-elle intéressante ? \item Les parents d'Arthur lui donnent 15 \euro{} pour la soirée. Étant un fan du DJ Carmen, Arthur veut envoyer pour elle un maximum de SMS pendant la soirée. Indiquer quelle société il devra choisir et combien de SMS il pourra envoyer. \end{enumerate} \item Le vote est terminé. Les trois concurrentes DJ Carmen, DJ Desdémone et DJ Elvira attendent les résultats. \np{724 560}~SMS ont été reçus. DJ Carmen l'emporte avec 60\:\% des voix. Donner une valeur arrondie à l'unité du nombre de SMS envoyés par seconde pour DJ Carmen. \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Liban juin 2007 \newpage %%%%%%%%%% Polynésie juin 2007 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Écrire A sous la forme $a\sqrt{5}$, ou $a$ est un nombre entier. \[\text{A} = \sqrt{500} + 7\sqrt{20} - 6\sqrt{45}\] \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip L'histogramme ci-dessous donne les âges des 150 employés d'une entreprise. \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm} \begin{pspicture}(7,50) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=60](0,0)(7,50) \psframe(0,0)(1,12) \psframe[fillstyle=vlines,hatchsep=8pt,hatchcolor=blue] (1,0)(2,30) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,45) \psframe[fillstyle=hlines,fillcolor=gray] (3,0)(4,36) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,0)(5,21) \psframe[fillstyle=crosshatch,fillcolor=lightgray](5,0)(6,6) \uput[l](0,6){{\footnotesize 6}} \uput[l](0,12){{\footnotesize 12}} \uput[l](0,21){{\footnotesize 21}} \uput[l](0,30){{\footnotesize 30}} \uput[l](0,36){{\footnotesize 36}} \uput[l](0,45){{\footnotesize 45}} \uput[d](0.5,0){{\tiny 20 à 24 ans}} \uput[d](1.5,0){{\tiny 24 à 28 ans}} \uput[d](2.5,0){{\tiny 28 à 32 ans}} \uput[d](3.5,0){{\tiny 32 à 36 ans}} \uput[d](4.5,0){{\tiny 36 à 40 ans}} \uput[d](5.5,0){{\tiny 40 à 44 ans}} \psline(0,6)(-0.1,6) \psline(0,21)(-0.1,21) \psline(0,30)(-0.1,30) \psline(0,36)(-0.1,36) \psline(0,45)(-0.1,45) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau ci-dessous \begin{center}\textbf{(Ne pas oublier de joindre cette feuille à la copie)}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.05cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline \tiny Âge &{\tiny$20 \leqslant \text{âge} < 24$}&{\tiny $24 \leqslant \text{âge} < 28$}&{\tiny $28 \leqslant \text{âge} < 32$}&{\tiny $32 \leqslant \text{âge} < 36$}&{\tiny$ 36 \leqslant \text{âge} < 40$}&{\tiny $40 \leqslant \text{âge} < 44$}&\tiny Total\\ \hline {\scriptsize Centre de la classe}&22&&&&&& \\ \hline {\scriptsize Effectifs}&&&&&&&\\ \hline {\scriptsize Fréquences en\:\%}&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Quel est le pourcentage des employés qui ont strictement moins de 36 ans ? \item Calculer l'âge moyen d'un employé de cette entreprise. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On considère l'expression : \[\text{E} = 9x^2 - 25 + (3x - 5)(2x + 15) \] \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression E. \item \begin{enumerate} \item Factoriser $9x^2 - 25$. \item En utilisant la question a, factoriser l'expression E. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $(3x - 5)(5x + 20)= 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \begin{enumerate} \item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c r} 25x + 12y &= &380\\ x + y &= &23\\ \end{array}\right.$ \item Une pharmacie a commandé des bouteilles de $25$~cl de jus de Noni et de $12$~cl de monoï de Tahiti. Cette commande a été livrée dans un carton contenant 23 bouteilles correspondant à un volume total de liquide de $380$~ cl.\\ Combien de bouteilles de jus de Noni a-t-elle reçu ?\\ Combien de bouteilles de monoï de Tahiti a-t-elle reçu ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip L'unité est le centimètre. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Dans ce parallélépipède, on a construit le prisme droit AIJDLK dont une base est le triangle AIJ rectangle en I. \medskip \parbox{0.63\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,6) %\psgrid \psframe(5.8,3.7)%EFBA \psline(5.8,0)(7.4,1.8)(7.4,5.6)(1.6,5.6)(0,3.7)%FGCDA \psline(5.8,3.7)(7.4,5.6)%BC \psline(5.8,0)(0,3.7)(0,2.6)(1.7,2.6) \psline[linestyle=dashed](1.7,2.6)(3.4,4.4)(1.6,4.4)(0,2.6)%JKLI \psline[linestyle=dashed](1.6,5.6)(7.4,1.8)%DG \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.6,1.8)(7.4,1.8)%EHG \psline[linestyle=dashed](1.6,1.8)(1.6,5.6)%HD \uput[ul](0,3.7){A} \uput[ul](5.8,3.7){B} \uput[ur](7.4,5.6){C} \uput[ul](1.6,5.6){D} \uput[d](0,0){E} \uput[d](5.8,0){F} \uput[r](7.4,1.8){G} \uput[ul](1.6,1.8){H} \uput[l](0,2.6){I} \uput[d](1.7,2.6){J} \uput[ur](3.4,4.4){K} \uput[ul](1.6,4.4){L} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.32\linewidth}{On donne : EF = 9 ; AD = 7 ; AE = 6 ; AI = 2. Les droites (EF) et (IJ) sont parallèles. \textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur.}} \bigskip \begin{enumerate} \item Montrer que IJ = 3. \item Calculer AJ en justifiant et arrondir au dixième. \item Calculer le volume du prisme droit AIJDLK. (Rappel : Volume $\mathcal{V}$ d'un prisme droit : $\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base ; $h$ est la hauteur du prisme) \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer le triangle EFG isocèle en F, tel que EF= 6~cm et $\widehat{\text{EFG}} = 34~\degres$. Construire le point H symétrique du point G par rapport à F. Construire le point K tel que $\vect{\text{FE}} = \vect{\text{GK}}$. \item Quelle est la nature du quadrilatère EFGK ? \item Montrer que les points E, G et H sont situés sur un même cercle de centre F. Tracer ce cercle. \item Démontrer que le triangle EGH est rectangle en E. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la mesure de l'angle $\widehat{\text{FGE}}$ est égale à $73~\degres$. \item Dans le triangle rectangle EGH, calculer EG ; donner l'arrondi au dixième. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip Teva roule en scooter et tout à coup, il aperçoit un piéton. La distance de réaction est la distance parcourue entre le temps où Teva voit l'obstacle et le moment où il va ralentir ou freiner. Teva est en bonne santé, il lui faut $1$ seconde en moyenne pour réagir. \medskip \textbf{Première partie} \medskip \begin{enumerate} \item Si Teva roule à 54~km/h. \begin{enumerate} \item Quelle distance en mètre parcourt-il en une heure ? \item Quelle distance en mètre parcourt-il en 1 seconde ? En déduire la distance de réaction de Teva, s'iI roule à 54~km/h. \end{enumerate} \item On admettra que la distance de réaction se calcule avec la formule suivante : $\text{D}_{\text{R}} = \text{V} \times \dfrac{5}{18}$, où D$_{\text{R}}$ est la distance de réaction en mètre et V est la vitesse en km/h. Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Vitesse en km/h &45 &54 &90 &108\\ \hline Distance de réaction en mètre & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip On appelle $x$ la vitesse à laquelle peut rouler un conducteur. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$, la distance de réaction $d(x)$. \item \begin{enumerate} \item Sur la feuille de papier millimétré, placer l'origine O en bas et à gauche. Prendre pour unités : \begin{itemize} \item en abscisse, 1~cm pour 10~km/h ; \item en ordonnée, 1~cm pour 2~m. \end{itemize} \item Dans le repère précédent, tracer la représentation graphique de la fonction $d$ définie par $d(x) = \dfrac{5}{18}x$. (on pourra utiliser le tableau de la première partie). \end{enumerate} \item Un conducteur roule à la vitesse de 30~km/h. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement la distance de réaction de ce conducteur. (On laissera apparents les traits de construction ) \item Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul. Le présenter sous forme de fraction irréductible, puis arrondir à l'unité. \end{enumerate} \item En utilisant le graphique (on laissera les traits apparents), donner la vitesse à partir de laquelle la distance de réaction est supérieure à 20~m. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2007 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2007 \hypertarget{Antillessep}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles--Guyane~\decofourright\\ septembre 2007}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item A $ = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{4} : \left(\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2}\right)$. Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. \item B $= \dfrac{21 \times 10^{-4} \times 500 \times \left(10^2\right)^3}{0,7 \times 10^8}$. Donner l'écriture décimale puis l'écriture scientifique de B. \item C $ = \sqrt{75} - 6 \sqrt{48} + 11\sqrt{3}$. Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \emph{Cet exercice est un QCM.} Pour chaque ligne du tableau, choisir l'affirmation juste. On écrira sur la copie le numéro de la question suivie de la lettre correspondant à la réponse. 1 point en cas de bonne réponse, 0 point autrement. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{a.}&\textbf{b.}&\textbf{c.}&\textbf{d.}\\ \hline \textbf{1.} \rule[-3mm]{0mm}{8mm} $(3x-2)^2 =$&$3x^2 - 4$& $3x^2-12x +4$&$9x^2 -12x+4$&$9x^2-4$\\ \hline \textbf{2.} \rule[-3mm]{0mm}{8mm} $(2x - 1)(5x - 4) =$&$10x^2 - 8x$&{\small $10x^2 - 13x+4$}&{\small $10x^2 - 13x-4$}&$-3x-4$ \\ \hline \textbf{3.} L'équation & aucune & une seule &deux &on ne peut \\ $x^2 = 81$ admet :&solution&solution& solutions& pas savoir\\ \hline \textbf{4.} Pour {$x = -2$}, $3x^2 + 5x - 1 =$&1&$-23$& 14 &$- 10$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Rendre irréductible le quotient $\dfrac{126}{175}.$ \item Un commerçant possède 175~boules de Noël rouges et 126~boules bleues. Il a choisi de confectionner des sachets tous identiques. Il voudrait en avoir le plus grand nombre en utilisant toutes les boules. \begin{enumerate} \item Combien de sachets pourra-t-il réaliser ? \item Combien de boules de chaque couleur y aura-t-il dans chaque sachet ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Tracer un triangle OAC isocèle en O et tel que CO = 5,5~cm et $\widehat{\text{COA}} = 54$ \degres. Construire le point B, symétrique du point C dans la symétrie de centre O. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que ABC est rectangle en A. \item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ? Tracer ce cercle. \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$. Justifier votre réponse. \item Calculer CA. Donner un résultat arrondi au centimètre. \end{enumerate} \bigskip \textbf{ Exercice 2} \medskip Soit la figure ci-dessous (les unités ne sont pas respectées). \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,4) \psline(0,0)(6,0) \psline(3,4)(6,4) \psline(0.5,0)(5.5,4) \psline(3.5,4)(5.5,0) \uput[u](4.4,4){3,6 cm} \rput(3.2,3.4){2 cm} \rput(5.1,3.1){3,2 cm}\rput(2.2,1.8){8 cm} \rput(5.1,1.8){5 cm}\uput[ul](3.5,4){C} \uput[dr](5.5,4){R} \uput[d](4.05,2.85){O} \uput[ul](0.5,0){S} \uput[ur](5.5,0){E} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (CR) et (SE) sont parallèles. \item Calculer la longueur SE. \item On sait que le triangle CRO est une réduction du triangle OSE. Donner le coefficient de réduction. \item Sachant que l'aire du triangle OSE vaut $6\sqrt{11}$ cm$^2$, montrer que celle de CRO vaut $0,96\sqrt{11}$ cm$^2$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \og Ti moun \fg{} et \og Colibri \fg{} sont deux associations sportives qui proposent des activités omnisports hebdomadaires pour les jeunes enfants. Les parents payent \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] chez \og Ti moun \fg : $1,20$~euro par séance \item[$\bullet~$] chez \og Colibri \fg : une adhésion de 8~euros puis 0,90~euro par séance. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de séances & &10 &17 &30\\ \hline Coût chez \og Ti moun \fg &6 &12 & &\\ \hline Coût chez \og Colibri \fg & &17 & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Le coût chez \og Colibri \fg est-il proportionnel au nombre de séances ? \end{enumerate} \item Exprimer en fonction du nombre $x$ de séances le coût en euro payé pour une saison \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] avec l'association \og Ti moun \fg \item[$\bullet~$] avec l'association \og Colibri \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Sur une feuille de papier millimétré, prendre dans un repère orthonormal \begin{itemize} \item en abscisse : 1 cm pour 2~séances ; \item en ordonnée : 1 cm pour 2~euros. \end{itemize} On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté de la feuille. Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines définies par : \[t(x) = 1,2x\quad \text{et}\quad c(x) = 0,9x+ 8.\] \item En utilisant le graphique précédent (les traits de construction seront apparents) \begin{enumerate} \item Déterminer le coût le plus avantageux pour les parents si leur enfant participe à 20~séances. \item Si les parents prévoient un budget de 40~euros, à combien de séances leur enfant pourra-t-il participer avec l'association \og Colibri \fg \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'inéquation $0,9x+ 8 \leqslant 1,2x$. \item À combien de séances doit participer un enfant au minimum pour que ses parents choisissent \og Colibri \fg{} au lieu de \og Ti moun \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% Fin Antilles-Guyane septembre 2007 \newpage %%%%%%%%% Métropole septembre 2007 \hypertarget{Metropolesep}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole La Réunion Mayotte~\decofourright\\septembre 2007}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1\hfill 5 points} \medskip Dans une classe de troisième de $24$~élèves, les délégués ont fait passer une enquête concernant le temps de travail à la maison chaque soir. \medskip Il résulte de cette enquête que la moitié des élèves travaille 30~minutes, un quart des élèves travaille 45~minutes, deux élèves travaillent 15~minutes, un élève déclare ne pas travailler et les autres travaillent une heure. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau des effectifs suivant :\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps de travail& 0 min& 15 min& 30 min& 45 min & 60 min\\ \hline Effectifs && 2&&&\\ \hline \end{tabularx} \item Calculer la durée moyenne du temps de travail à la maison pour les élèves de cette classe. \item Illustrer la situation par un diagramme circulaire. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2\hfill 3 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. \medskip Pour chacune des trois questions indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1& Quelle est la forme développée de l'expression $(2x + 1)^2 - 1$ ?&$2x^2+ 2x $& $4x^2 + 4x$&$4x^2$\\ \hline 2&Quelle est la forme factorisée de l'expression $(2x + 1)^2 - 1$ ?& $(2x +1) (2x - 1)$& $2x(2x -2)$& $2x (2x + 2)$\\ \hline 3&On donne les deux équations $(x - 6)(x + 1) = 0$ et $x^2 - 3x = 18$. Combien ont-elles de solutions communes ?&aucune solution commune&une solution commune&deux solutions communes\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 3\hfill 4 points} \medskip Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{3}{25}$ est un nombre décimal. \item Les nombres $570$ et $795$ sont premiers entre eux. \item La somme de deux multiples de $5$ est toujours un multiple de $5$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{SABC est une pyramide ayant pour base le triangle ABC et pour hauteur SA. AB = 6 cm ; BC = SA = 8 cm ; AC = 10 cm.} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture} (4.5,4.5) \pspolygon(0,0)(2.8,0)(4.2,1.5)(0,4)%ABCSA \psline(2.8,0)(0,4)%BS \psline[linestyle=dashed](0,0)(4.2,1.5) \uput[d](0,0){A} \uput[d](2.8,0){B} \uput[r](4.2,1.5){C} \uput[u](0,4){S} \uput[l](0,2){I} \uput[r](1.4,2){J} \uput[ur](2.1,2.75){K} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,2)(1.4,2)(2.1,2.75) \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. \item Calculer la longueur BS. \item Calculer le volume de la pyramide SABC. \medskip \emph{On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule : V $= \dfrac{1}{3}ah$ où $a$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur} \item On appelle I, J, K les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB] et [SC]. Calculer le volume de la pyramide SIJK. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture} (5,5) \pscircle(2.5,2.5){2.5} \psline(0,2.5)(5,2.5)(3.75,0.335) \uput[dr](3.75,0.335){A} \uput[l](0,2.5){B} \uput[d](2.5,2.5){I} \uput[r](5,2.5){E} \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{Sur la figure ci-contre\\ \begin{itemize} \item[$\bullet~$] BE = 4~cm ; \item[$\bullet~$] I est le milieu du segment [BE]. \item[$\bullet~$] A est un point du cercle de diamètre [BE] tel que la mesure de l'angle $\widehat{\text{BEA}}$ est 60 \degres. \end{itemize}} \begin{enumerate} \item Reproduire en vraie grandeur la figure sur la copie. \emph{Ne pas écrire sous la figure pour pouvoir la compléter.} \item Démontrer que la mesure de l'angle $\widehat{\text{BIA}}$ est 120 \degres. \item A est l'image de B par une rotation de centre I. Préciser l'angle de cette rotation. \item On appelle F le symétrique de E par rapport au point A. \begin{enumerate} \item Placer F sur la figure. \item Déterminer la longueur BF. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules. \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Formule A : payer une participation de 0,50~\euro{} par livre emprunté. \item[$\bullet~$] Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50~\euro{} par an et ne payer qu'une participation de 0,20 ? par livre emprunté. \item[$\bullet~$] Formule C : acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50~\euro{} par an et emprunter autant de livres que l'on veut. \end{itemize} \bigskip \textbf{PARTIE 1} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de livres empruntés par an& 10&30&45\\ \hline Prix à payer avec la formule A en \euro&&&\\ \hline Prix à payer avec la formule B en \euro&&&\\ \hline Prix à payer avec la formule C en \euro&&&\\ \hline \end{tabularx} \item On appelle $x$ le nombre de livres empruntés par une personne en un an.\\ Soit P$_{\text{A}}$ le prix à payer avec la formule A. Soit P$_{\text{B}}$ le prix à payer avec la formule B. Soit P$_{\text{C}}$ le prix à payer avec la formule C. Exprimer P$_{\text{A}}$ et P$_{\text{B}}$ en fonction de $x$. \item Résoudre l'équation $0,5x = 7,5 + 0,2x$. Donner une interprétation de la solution trouvée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 2} Les tracés demandés dans cette partie seront réalisés sur une feuille de papier millimétré fournie. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tracer un repère orthogonal (O, I, J), O étant placé en bas à gauche. On prendra les unités suivantes : \begin{itemize} \item 1~cm pour 5~livres sur l'axe des abscisses, \item 1~cm pour 1~\euro{} sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \item Tracer dans ce repère. \begin{itemize} \item la droite D$_{\text{A}}$ qui représente la fonction $x \longmapsto 0,5x$ ; \item la droite D$_{\text{B}}$ qui représente la fonction $x \longmapsto 0,2x + 7,5$ ; \item la droite D$_{\text{C}}$ qui représente la fonction $x \longmapsto 15,5$. \end{itemize} \end{enumerate} \item En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes. \begin{enumerate} \item Quelle est la formule la plus intéressante si on emprunte $20$~livres en un an ? \item À partir de combien de livres empruntés par an la formule C est-elle la plus intéressante ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% Fin Métropole septembre 2007 \newpage %%%%%%%%%% Polynésie septembre 2007 \hypertarget{Polynesiesep}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2007~\decofourright}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire A sous forme d'une fraction irréductible : A $= \dfrac{\dfrac{4}{3} - 1}{\dfrac{7}{6} - 2}$. \item On donne : B $= \dfrac{4 \times 10^{-2} \times 9 \times 10^6}{6 \times 10 ^7 \times 10^2 \times \left(10^3\right)^2}$. Donner l'écriture scientifique de B. \item Écrire C sous la forme $a\sqrt{6}$ o\`u $a$ est un nombre entier relatif : C $ = \sqrt{96} + 5 \sqrt{6} - 3 \sqrt{150}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne l'expression $D = (2 - 5x) (4x +3) + (2 - 5x)^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation $(2 - 5x) (- x +5) = 0$. \item Calculer $D$ pour $x = -1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de maths pour les 26 éléves d'une classe de 3\up{e} : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Notes & 3 &5 &7 &8 &10 &11 &13 &14 &17\\ \hline Effectifs &1 &2 &1 &5 &4 &1 &7 &3 &2\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la note moyenne arrondie à l'unité. \item Déterminer la note médiane. \item Calculer le pourcentage d'élèves ayant une note inférieure ou égale à $8$. On arrondira le résultat au dixième prés. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 4} Dans une pépinière, Moetia a acheté trois orangers et deux citronniers pour \np{14000}~F et Orai a payé \np{13500}~F pour deux orangers et trois citronniers. À l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues déterminer le prix d'un oranger et d'un citronnier. \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip L'unité de longueur est le mètre. On donne un triangle ABC tel que AB = 7,8 ; AC = 7,2 et BC = 3. \begin{center} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(11,5) \pspolygon(0,0)(10.75,2.3)(1.2,4.7)%BAC \psline(0.3,1.25)(8.1,3)%NM \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](10.75,2.3){A} \uput[u](1.2,4.7){C} \uput[ul](0.3,1.25){N} \uput[ur](8.1,3){M} \uput[u](8,5){La figure n'est pas en vraie grandeur.} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. \item \begin{enumerate} \item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{CAB}$. On donnera le résultat au millième près. \item En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{CAB}$ au degré près. \end{enumerate} \item On place sur le segment [BC] un point N tel que CN= 2,25 et sur le segment [AC] un point M tel que CM = 5,4. Les droites (AB) et (MN) sont-elles paralléles ? Justifier votre réponse. \item Calculer MN. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip L'unité est le centimètre. \begin{enumerate} \item Tracer un triangle OBC rectangle en O tel que OB = 3 et OC = 6. \item Calculer la valeur exacte de la longueur BC. En donner la valeur arrondie au millimètre. \item \begin{enumerate} \item Construire le point D symétrique de B par rapport à O. \item Construire le point A image de D par la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$. \end{enumerate} \item Démontrer que O est le milieu de [AC]. \item Démontrer que ABCD est un losange. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill (12 points)} \bigskip Une société de films DVD propose les tarifs suivants : \begin{itemize} \item Tarif A : \np{1000}~F le film DVD loué ; \item Tarif B : paiement d'une carte mensuelle de \np{2000}~F auquel s'ajoute 750~F par film DVD loué ; \item Tarif C : \np{9500}~F par mois quel que soit le nombre de films DVD loués. \end{itemize} \medskip \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant : \begin{center}\textbf{(On considère qu'un mois est constitué de 4 semaines)}\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de films DVD loués \textbf{par mois}&1&4&8&10&12&16&20\\ \hline Tarif A& & & & & & &\\ \hline Tarif B& & & & & & &\\ \hline Tarif C& & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En vous aidant du tableau que vous venez de complèter, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Herenui loue un film DVD une fois par semaine. Quel est le tarif mensuel le plus avantageux pour elle ? \item Toanui loue un film DVD le lundi soir, un le mardi soir, un le jeudi soir et deux le samedi soir. Quel est le tarif mensuel le plus avantageux pour lui ? \end{enumerate} \item On appelle $x$ le nombre de films DVD loués par mois. Exprimer en fonction de $x$, le prix $\text{P}_{\text{A}}(x)$ à payer avec le tarif A et le prix $\text{P}_{\text{B}}(x)$ à payer avec le tarif B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item Les constructions seront réalisées sur une feuille de papier millimétré avec le plus grand soin. \begin{enumerate} \item Sur la feuille de papier millimétré, placer l'origine O en bas et à gauche. On prendra les unités suivantes : \begin{itemize} \item 1 cm en abscisse pour 1 film DVD, \item 1 cm en ordonnée pour \np{1000}~F. \end{itemize} \item Dans le repère précédent, construire les représentations graphiques des fonctions $f,~ g$ définies par : \[f(x) = \np{1000}x, \quad g(x) = 750x + \np{2000}.\] \end{enumerate} \item Dans ces questions, on fera apparaître les traits de construction permettant d'y répondre. \begin{enumerate} \item Jusqu'à combien de films DVD, le tarif A est-il le plus intéressant ? \item Avec \np{6500}~F, combien de films DVD peut-on louer avec le tarif B ? \end{enumerate} \item Vous disposez d'une somme de \np{10500}~F. Quel tarif choisir entre les tarifs A et B, pour louer le maximum de films DVD ? \end{enumerate} %%%%%%%%%% Fin Polynésie septembre 2007 \newpage %%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2007 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright \\novembre 2007}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Pour chacune des questions ci-dessous, écrire les étapes des calculs.} \medskip \begin{enumerate} \item On pose \[\text{A} = \dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{7} \times \left(5 + \dfrac{1}{2}\right).\] Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item On pose \[\text{B} = \dfrac{15 \times 10^{-3} \times 7 \times 10^7}{5 \times 10^2}.\] Calculer B. Présenter le résultat sous la forme scientifique. \item On pose \[\text{C} = 2\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + 3\sqrt{200}.\] Calculer C. Présenter le résultat sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne $E = (3x - 5)^2 - 2(3x - 5)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer $E$ pour $x = -2$. \item Résoudre l'équation : $(3x - 5)(3x - 7) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système d'équations ci-dessous \[\left\{\begin{array}{l c r} 4a + 8b& =&12\\ 2a + b&=& 2,70\\ \end{array}\right.\] \item À la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour $6$~\euro. Dans la même boulangerie, Karim achète $2$ croissants et un pain aux raisins pour $2,70$~\euro. Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain aux raisins ? \end{enumerate} \newpage \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{L'unité est le cm. Sur la figure ci-dessous, les longueurs ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure.} \medskip \psset{unit=0.857cm} \begin{pspicture}(14,6) \psline(0,5.8)(7,0) \psline(7.4,6)(14,0.55) \psline(8.65,6)(14,1.6) \psline(0,4.4)(14,2.35) \psline(5.7,0)(10.5,6) \uput[l](9.3,4.46){A} \uput[dl](11.35,2.75){B} \uput[r](9.8,10.1){D} \uput[dl](12.95,2.5){E} \uput[ul](8.3,3.2){S} \uput[r](6.2,0.68){X} \uput[ur](2.,4.1){Y} \end{pspicture} \medskip On sait que les points Y, S, B et E sont alignés dans cet ordre et que les points X, S, A et D sont alignés dans cet ordre. On sait également que: (YX) // (AB) ; SA = 3 ; SB = 5 ; SX = 5 et AB = 4. \begin{enumerate} \item Calculer YX en justifiant ; donner la valeur exacte, puis l'arrondir au mm. \item On sait de plus que : SD = 4,5 et SE = 7,5. Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip L'unité de longueur est le cm. On considère le triangle SAB tracé sur la feuille annexe qui sera rendue avec la copie.\\ Ce triangle vérifie que AB = 13 ; SA = 5 et SB = 12. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S. \item Déterminer la mesure de $\widehat{\text{SAB}}$ (arrondie au degré). \item \begin{enumerate} \item Placer le point R image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{SA}}$. \item Démontrer que le quadrilatère SARB est un rectangle. \end{enumerate} \item Placer le point M, tel que \[\vect{\text{AM}}= \vect{\text{AS}} + \vect{\text{AB}}.\] \end{enumerate} \newpage \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \emph{L'unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l'échelle $\dfrac{1}{2}$. Ne pas reproduire la figure.} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \pscircle(0,0){2.5cm} \psline(-2.5,1.7)(2.5,-2.28) \uput[dl](-0.38,0){H} \uput[r](2.5,0){M} \uput[l](-2.5,0){R} \uput[u](-1.63,1){S} \uput[u](-0.43,2.42){T} \uput[ur](2,1.5){$(\mathcal{C})$} \SpecialCoor \pspolygon(2.5;0)(2.5;100)(2.5;180) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0;0) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A} Soit (C) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10. Soit T un point de (C) tel que RT~=~6. \begin{enumerate} \item Démontrer que RMT est un triangle rectangle. \item Démontrer que TM = 8. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH) // (TM). On pose RS$ = x$. \begin{enumerate} \item Donner un encadrement de $x$. \item Démontrer que RH $= \dfrac{5}{3}x$ et SH $= \dfrac{4}{3}x$. \item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle RSH. \item Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : $24 - \dfrac{4}{3}x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} On considère les fonctions affines $f$ et $g$ telles que : \[f \quad : x \longmapsto 4x \quad \text{et} \quad g : x \longmapsto 24 - \dfrac{4}{3}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f(0),~ f(6),~ g(0)$ et $g(6)$. \item Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \begin{itemize} \item origine du repère en bas à gauche de la feuille de papier millimétré ; \item unité le cm. \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item Déterminer par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$. \item Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires. \end{enumerate} \item Que représente la solution de l'équation $f(x) = g(x)$ pour la partie B de ce problème ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe (à rendre avec la copie)} \vspace{2cm} Exercice 2 de la partie géométrique \vspace{2cm} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(13,6) \pspolygon(0,0)(12.75,3.8)(0.5,5.1) \uput[dl](0,0){A} \uput[ur](12.75,3.8){B} \uput[ul](0.5,5.1){S} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% Fin Amérique du Sud novembre 2007 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie décembre 2007 \hypertarget{Caledonienov}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{décembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Décembre 2007}}\ \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \textbf{Dans cette partie, les calculs devront être détaillés.} On considère les trois nombres A, B et C : \[\text{A} = - \dfrac{5}{3} +\dfrac{7}{5} \quad \text{B} = \dfrac{7}{4} \div \dfrac{21}{9} \quad \text{C} = - 2 \times \left(60 - 5 \times 4^2 \right) - (8 - 15)\] \begin{enumerate} \item Calculer A et B et donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée. \item Calculer C \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées et une seule est exacte. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. \textbf{Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie, le numéro de la question et recopier la réponse exacte.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\small}m{2,6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6} \multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Réponses proposées}\\ \hline \textbf{1.}&$x^2 - 16$ est égal à :&$(x - 4)^2$&$(x - 4)(x + 4)$&$(x - 8)^2$&$(x + 4)^2$\\ \hline \textbf{2.}&La valeur exacte de $\sqrt{80} + \sqrt{20}$ est :& \rule[3mm]{0mm}{3mm} $\sqrt{100}$& 13,416& $6\sqrt{5}$ &$8\sqrt{10} + 2\sqrt{10}$\\ \hline \textbf{3.}& Un objet coûtant \np{1200}~F augmente de $5$\:\%. Son nouveau prix est alors de :&60 F&\np{1205} F&\np{1200,50} F&\np{1260} F\\ \hline \textbf{4.}& Sur une carte à l'échelle 1/\np{25000}, la longueur d'une route est de $10$~cm. La longueur réelle de cette route est :&\np{2500} cm&0,25 km&2,5 km& \np{25000} m\\ \hline \textbf{5.}&Le nombre qui est solution de l'équation : $5x - (7x + 4) = 8$ est :&$- 2$&$- 6$&6&2\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche seront pris en compte. Comment peut-on calculer astucieusement sans calculatrice $1\:999^2 - 1\:998^2$ ? Expliquer rigoureusement votre démarche et donner la réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Constructions : \begin{enumerate} \item Tracer un triangle PUR rectangle en R, tel que RU = 8~cm et UP =12~cm. Placer le point E sur le segment [RU] tel que UE = 3~cm. \item Tracer la perpendiculaire à (RU) passant par E. Elle coupe [UP] en N. \end{enumerate} \item Calculer la longueur RP. Justifier. (On donnera une valeur arrondie au dixième). \item Démontrer que les droites (EN) et (RP) sont parallèles. \item Calculer la longueur UN. Justifier. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} La distance entre le phare P du cap N'Doua et le ponton O de la tribu de Ouara est égale à environ $4,65$~km. Un bateau B se trouve au large de ce ponton. \medskip \parbox{0.45\linewidth}{ Le triangle OPB est rectangle en B et des visées ont permis d'établir que l'angle $\widehat{\text{OPB}}$ est égal à 30 \degres. \begin{enumerate} \item Montrer que la distance séparant le bateau B du ponton O est égale à 2\:325~m. \item Sachant que le bateau B se déplace à 15,5 km/h, déterminer le temps (en minutes) qu'il lui faudra pour rejoindre le ponton O. On rappelle que : vitesse $= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$ \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(9,7.2) \psframe(9,7.2) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \pscurve(0,5.3)(1,4.9)(2,5)(2.5,4.5)(2.4,3.8)(2.8,3)(2.5,2.2)(2.3,2)(2.2,1.7)(2.5,1.2)(1.2,1)(1.7,1.3)(1.2,1.6)(1,1.3)(0.85,1)(0.4,1)(0.2,1)(0.3,0.7)(0.9,0.3)(1.4,0.4)(2,0.25)(2.3,0) \psline(2.3,0)(0,0)(0,5.3)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \pscurve(0,6.1)(1,5.9)(1.7,5.93)(2,5.75)(2.95,6)(2.7,6.7)(2.5,7)(2.5,7.2) \psline(2.5,7.2)(0,7.2)(0,6.1)}% \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \pscurve(9,4.4)(8,4.55)(7,4.75)(6.7,5)(6.3,4.9)(6.7,5.2)(6.8,5.4)(7,5.45)(7.2,5.3)(7.7,5.6)(8,5.4)(8.25,5.3)(8.3,5.8)(8.7,5.7)(9,6.1) \psline(9,6.1)(9,4.5)} \pscurve*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,6.3)(3.5,6.1)(3.8,5.8)(4,6.1)(3.8,6.3)(3,6.3) \pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=2pt](3,2)(4.5,1.3)(6,4.3) \psline[linewidth=3pt](2.4,2.2)(2.75,2.05) \uput[u](3,2){O} \uput[d](4.5,1.3){B(ateau)} \uput[ur](6,4.2){P(hare)} \rput(6,6.5){Baie de Prony} \rput(4.5,-0.5){Cette figure est donnée à titre indicatif et n'est} \rput(4.5,-1){ pas en vraie grandeur.} \rput(1.2,3){Île Ouen} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip M. Robbie Ney, professeur de biologie, a chargé trois de ses élèves (Luc, Isabelle et Pierre), d'étudier l'évaporation de trois liquides de couleurs différentes : un rouge, un bleu et un vert. Ils disposent d'une éprouvette graduée et remettent chacun leurs résultats à leur professeur. \medskip \textbf{Première partie : Étude du liquide rouge} \medskip Luc rend le graphique donné en annexe sur lequel il a relevé le niveau du liquide restant dans l'éprouvette au bout de plusieurs jours. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la hauteur du liquide rouge au début de l'expérience ? \item Quelle est la hauteur du liquide rouge au bout de 15 jours ? \item Au bout de combien de jours le niveau du liquide a-t-il baissé du tiers par rapport à son niveau initial ? \item Quelle est la hauteur de liquide évaporé au bout de $5$~jours ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Deuxième partie : Étude du liquide bleu} Isabelle, qui étudie le liquide bleu, remet à son professeur le tableau suivant comportant ses relevés : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Durée (en jours)&0&5&8&15\\ \hline Hauteur du liquide restant dans l'éprouvette (en mm)&150&115&94&45\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item On note $x$ le nombre de jours et $f(x)$ la hauteur de liquide bleu, exprimée en mm, restant dans l'éprouvette. On admet que $f$ est une fonction affine. En utilisant les données du tableau, représenter graphiquement la fonction $f$ sur le graphique donné en annexe. \item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie : Étude du liquide vert} \medskip Pierre qui étudie le liquide vert remet à son professeur la formule suivante : $y = - 8 x + 160$, $y$ désignant la hauteur de liquide vert restant dans l'éprouvette (en mm) et $x$ le nombre de jours écoulés. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle était la hauteur du liquide vert au début de l'expérience ? \item Calculer le nombre de jours au bout desquels le liquide a baissé de moitié. \item Représenter, sur le même graphique, la fonction $g$ définie par \\$g~ :~ x \longmapsto - 8 x + 160$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Quatrième partie : Interprétation des résultats} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement la couleur du liquide qui va en premier complètement s'évaporer. \item \begin{enumerate} \item Résoudre par le calcul : \[\left\{\begin{array}{l cl} y&=&-7x + 50\\ y&=&-8x + 160\\ \end{array}\right.\] \item Interpréter le résultat trouvé au a. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}PENSEZ à rendre l'annexe avec votre copie.\end{center} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE DU PROBLÈME} \bigskip \psset{xunit=0.32cm,yunit=0.0667cm} \begin{pspicture}(-2,-10)(32,200) \psdots[linecolor=blue,dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](5,100)(10,80)(15,60) \multido{\n=0.0+.2}{161}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,200)} \multido{\n=0+1}{201}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.9,-9)(32,200) \uput[d](27,-7){Nombre de jours} \rput{90}(-3.5,170){Hauteur de liquide (en mm)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%% Fin Nouvelle-Calédonie décembre 2007 \newpage %%%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2008 \hypertarget{Caledoniemars}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}} {\Large \textbf{Mars 2008 }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Dans chaque cas, indiquer les étapes du calcul. \begin{enumerate} \item Calculer A et B en donnant le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} A $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}$& B $= \dfrac{5}{6}\div \dfrac{5}{9}$\\ \end{tabularx} \item Calculer : C $= 10 - [- 2 \times (2 -3)+5]$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\small}m{2,6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\cline{3-6} \multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Réponses proposées}\\ \hline \textbf{1.}& Quelle est l'expression développée de : $2x(2x - 3)$ ?&$2x^2 - 6x$&\rule[3mm]{0mm}{3mm} $4x^2 - 3$ &$4x^2 - 6x$&$10x^2$\\ \hline \textbf{2.}& Quelle est l'expression factorisé de : $x^2 - 100$ ?& $(x - 10)^2$&\footnotesize $(x - 10)(x + 10)$&$(x - 50)^2$&\footnotesize $(x - 50) (x + 50)$\\ \hline \textbf{3.}& Quelles sont les solutions de : $(x~-~4)(2x~+~7)~=~0$ ?& \rule[3mm]{0mm}{3mm}$4$ et $- \dfrac{7}{2}$&$4$ et $\dfrac{7}{2}$& $4$ et $- \dfrac{2}{7}$&$4$ et $\dfrac{2}{7}$\\ \hline \textbf{4.}& Quelle est la valeur exacte de : $\sqrt{4 + 16}$ ?&\rule[3mm]{0mm}{3mm} 10& 6& $2\sqrt{5}$& $4,47$\\ \hline \textbf{5.}& Le prix d'un article coûtant \np{1200}~F baisse de 5\:\% ; quel est son nouveau prix ?&60 F&\np{1260} F&\np{1195} F&\np{1140} F\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche sera pris en compte. Voici les distances (en km) qui séparent le soleil de trois planètes du système solaire : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} Vénus : $105 \times 10^6$&Mars : $2\:250 \times 10^5$&Terre : $1,5 \times 10^8$\\ \end{tabularx} \medskip Parmi ces trois planètes, quelle est celle qui est la plus éloignée du soleil ? Justifier. \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = $6$~cm et AC = $8$~cm \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter la figure sur la \textbf{feuille annexe} fournie avec le sujet. \item Montrer que BC = $10$~cm. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer le point E sur le segment [AB] tel que BE = $1,5$~cm. Placer le point F sur le segment [BC] tel que BF = $2,5$~cm. \item Montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles. \item Montrer que EF = $2$~cm. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer le point B$'$ symétrique de B par rapport à A sur la figure de l'annexe. \item Montrer que le triangle BB$'$C est isocèle en C. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Pensez à rendre l'annexe avec votre copie.} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{Un verre a une partie supérieure en forme de cône de révolution de sommet S, de hauteur [OS] telle que OS = 9~cm et de rayon [OA] tel que OA = 4~cm. \begin{enumerate} \item Montrer que le volume de ce verre, en cm$^3$, est égal à $48\pi$. \item Avec un litre d'eau, combien de fois peut-on remplir entièrement ce verre ? \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(4,6) \psellipse(2,4.9)(1.9,0.5) \psellipse*(2,0.45)(1.65,0.45) \psline(2,0.8)(2,1.8)(3.85,4.8) \psline(2,1.8)(0.15,4.8) \psline[linestyle=dashed](2,1.8)(2,4.9) \psline[linestyle=dashed](0.2,4.9)(3.9,4.9) \psline(2,4.7)(2.2,4.7)(2.2,4.9) \uput[dl](2,1.8){S} \uput[l](0.2,4.9){A} \uput[u](2,4.9){O} \end{pspicture}} \textbf{Formulaire :} 1 litre = 1 dm$^3$ = 1\:000 cm$^3$ Le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $R$ est : V $= \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$ \vspace{0,5cm} \textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie I} \medskip Voici un tableau de proportionnalité donnant la vitesse exprimée en n{\oe}uds et la vitesse exprimée en mètres par seconde correspondante. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Vitesse mesurée en n{\oe}uds& \ldots &1,028&1,285&1,542\\ \hline Vitesse mesurée en m/s&1&2&\ldots &3\\ \hline \end{tabularx} \medskip Recopier et compléter ce tableau sur votre copie. \bigskip \textbf{Partie II} Une barque traverse une rivière en partant d'un point A d'une rive pour arriver en un point B sur l'autre rive. \medskip \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,2.5) \psline(0,0)(8,0) \psline(0,2)(8,2) \psline(6,2)(2.4,0) \psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,2) \psline(2.6,2)(2.6,1.8)(2.4,1.8) \psarc(2.4,0){4mm}{30}{90} \uput[d](2.4,0){A} \uput[u](6,2){B} \uput[u](2.4,2){C} \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{On suppose que : ABC est rectangle en C. mes $\widehat{\text{BAC}} = \alpha$} \bigskip La traversée de A vers B s'effectue à la vitesse constante de 1,542 n{\oe}uds et dure 50 secondes. \begin{enumerate} \item Exprimer cette vitesse en m/s. \item Montrer que la distance parcourue AB est de $150$~m. \item Sachant que $\alpha = 60~\degres$, calculer la largeur AC de la rivière. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie III} \medskip Les points A et B sont distants de $150$~mètres. \textbf{Au même moment :} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] un nageur part de A et se dirige vers B, à vitesse constante de $1$~m/s. \item[$\bullet~$] une pirogue part de B et se dirige vers A, à la vitesse constante de $1,028$~noeuds. \end{itemize} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À quelle distance du point A se trouve le nageur 50 s après son départ ? \item À quelle distance du point A se trouve la pirogue 50 s après son départ ? \end{enumerate} \item On considère les fonctions $n$ et $p$ définies par : $n(x) = 1\cdot x$ et $p(x) = 150 - 2x$ ; $n(x)$ est la distance (en m) séparant le nageur du point A en fonction du temps $x$ (en s) ; $p(x)$ est la distance (en m) séparant la pirogue du point A en fonction du temps $x$ (en s). \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement les fonctions $n$ et $p$, sur une feuille de papier millimétré, dans un même repère orthogonal, tel que : $1$~cm représente $10$~s sur l'axe des abscisses, $1$~cm représente $10$~m sur l'axe des ordonnées. (On placera l'origine O du repère en bas et à gauche de la feuille) \item Déterminer, graphiquement, l'instant où le nageur et la pirogue vont se croiser. (\emph{On laissera apparents les traits de construction}) \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Formulaire :} Si $v$ désigne la vitesse moyenne, $d$ la distance parcourue et $t$ la durée de parcours, alors : \[ v = \dfrac{d}{t}\quad ;\quad d = v \times t \quad ; \quad t = \dfrac{d}{v}.\] \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE\\ ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \begin{flushleft}Exercice 1 :\end{flushleft} \vspace{4cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,6) \psline(6,0)(9.4,2.6) \uput[dr](6,0){A} \uput[dr](9.4,2.6){B} \end{pspicture} \vspace{6cm} \textbf{ À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \end{center} %%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2008 \end{document}