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%tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des  collèges} 
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}} 
\rfoot{\small{juin 2008}} 
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2008~\decofourright\\ 
Antilles--Guyane }}

\vspace{0,25cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé

 \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 2 points}

\medskip
  
En précisant les différentes étapes de calcul :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre A ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction   irréductible :
\[\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9} - \dfrac{1}{3}}.\]	 							
\item Donner l'écriture scientifique de B :
\[\text{B} = \dfrac{81 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-2}}.\]	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip
  
Voir ANNEXE 1						

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip
  
On considère deux fonctions affines :

	\[f(x) = \dfrac{4}{3}x - 3 \qquad \text{et} \qquad  g(x) =  - x + 6\]
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), unité : 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$.
\item Soit K le point d'intersection de ces deux droites.

Déterminer par le calcul les coordonnées du point K.			
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}
 
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(13,7)
\psline(0,0.8)(12.8,6.6)%EACN
\psline(0,5.8)(12.9,0.6)%MBAF
\psline(2.9,0)(0,6.7)%NM
\psline(4.6,0)(1.5,7)%BC
\psline(12.5,0)(9.45,7)%EF
\uput[dl](2.15,1.65){N} \uput[ur](0.45,5.6){M} \uput[ur](2.43,4.8){B} \uput[dl](3.55,2.3){C} 
\uput[u](5.82,3.42){A} \uput[ur](10.1,5.5){E} \uput[dl](12.1,0.9){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.\\
On donne : AB = 4,5~cm ; AC = 3~cm ; AN = 4,8~cm et MN = 6,4~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer AM et BC. 							
\item  On sait de plus que AE = 5~cm et AF = 7,5~cm.

Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles. 			\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip
 
\parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,8)
\psline(3.55,7.4)(0.6,0.2)(4.4,0)(6.5,0.7)(3.6,7.4)(4.4,0)%SABCSB
\psline(1.5,2.4)(4.1,2.3)(5.6,2.7)%A'B'C'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0.6,0.2)(6.5,0.7)(2.7,0.9)(4.4,0)%ACDB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](6.5,0.7)(0.6,0.2)(2.7,0.9)(3.55,7.4)(3.55,0.45)%CADSO
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.5,2.4)(2.95,2.8)(5.6,2.7)%A'D'C'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1.5,2.4)(5.6,2.7)%A'C'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](4.1,2.3)(2.95,2.8)%B'D'
\uput[dl](0.6,0.2){A} \uput[d](4.4,0){B} \uput[dr](6.5,0.7){C} \uput[ul](2.7,0.9){D} 
\uput[ul](1.5,2.4){A$'$} \uput[dr](4.1,2.3){B$'$} \uput[ur](5.6,2.7){C$'$} \uput[ul](2.95,2.8){D$'$}
\uput[dr](3.5,0.45){O}  \uput[ur](3.45,2.58){O$'$}\uput[u](3.55,7.4){S}
\end{pspicture}}
\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{On considère la pyramide SABCD ci-contre : \\la base est le rectangle ABCD de centre O.\\
AB = 40~cm et BD = 50~cm. \\
La hauteur [SO] mesure 81 cm.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que AD = 30 cm. 	
\item  Calculer en cm$^3$, le volume de la pyramide SABCD. 		
\item  Soit O' le point de [SO] tel que 

SO$'$ = 54~cm.\\
On coupe la pyramide par un plan passant par O$'$
et parallèle  à sa base.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la section A$'$B$'$C$'$D$'$ obtenue ? 
		\item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD.
		
Donner le coefficient de réduction. 
		\item Quel est le volume de SA$'$B$'$C$'$D$'$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$.
		\item Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ arrondie au degré près.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip
   
Dans ce problème, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire, le cm$^2$. On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.

(O, I, J) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points suivants :

\[\text{A}(3~;~- 5)\quad ;\quad  \text{B}(1~;~6)\quad   \text{et} \quad  \text{C}(- 3~;~3).\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer par le calcul que AB $= 5\sqrt{5}$ ; AC = 10 et BC = 5. 		
		\item  Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C. 		
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$. 
		\item  Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 	
		\item  Recopier et compléter sans justifications les égalités :
		
\[\vect{\text{AC}} + \vect{\text{CB}} = \cdots\cdots \qquad ; \qquad \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}} = \cdots\cdots\]
	\end{enumerate}

\item  Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$. 					
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
		 \item Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
		 
Calculer les coordonnées du point K.
    \end{enumerate}	 			
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip

LE CANDIDAT RÉPONDRA DIRECTEMENT SUR CETTE FEUILLE.

CETTE FEUILLE ANNEXE SERA REMISE AVEC LA COPIE.
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2   \hfill 6 points}

\medskip
 
Pour chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses (A, B, C et D) sont proposées.

Écrire dans la dernière colonne la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) bonne(s) réponse(s).

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}l|}\hline
Énoncé&Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D&Réponse\\ \hline
\rule[-3mm]{0pt}{-5pt}$\dfrac{6 + 3}{7 + 3}$&$\dfrac{6}{7}$&0,9&$\dfrac{6}{7} + 1$&$\dfrac{9}{10}$&\\ \hline
En développant $(3x~+~6)^2$, on obtient&\scriptsize$3x^2 + 36x + 36$&$9x^2 + 36$&\scriptsize$9x^2 + 36x + 36$&$45x + 36$&\\ \hline
En factorisant $16x^2~-~4$, on obtient&$(4x-2)^2$&\scriptsize$(4x-2)(4x+2)$&$(4x + 2)^2$&\tiny $(16x~-~2) (16x + 2)$&\\ \hline
$\sqrt{16} \times \sqrt{5}$&$\sqrt{16 \times 5}$&$\sqrt{16 + 5}$
&$5\sqrt{4}$&$4\sqrt{5}$&\\ \hline
$\sqrt{9 + 16 + 25} =$&$3 + 4 + 5$&$\sqrt{50}$&\scriptsize$\sqrt{9} + \sqrt{16} + \sqrt{25}$&$7,07$&\\ \hline
La fonction affine $f$ vérifie : $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$. $f$ est définie par&$f(x) = x - 1$& $f(x) = x + 1$&$f(x) = 3x - 1$&$f(x) = 3 - x$&\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{document}