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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{20 juin 2007}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Asie juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire chacun des trois nombres $\sqrt{12},~\sqrt{27}$ 	et $\sqrt{75}$	sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a$ entier.
		\item On donne A $= 4\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 5\sqrt{75}$ ; donner une écriture simplifiée de A.
	\end{enumerate}
\item  On pose :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
B $= 5^2+2^2 \times 9$ ;&	C $= \dfrac{3^2}{4 + 2^2}$ ;& D $ = 5 \times 10^3
 - 2 \times 10^2.$\\
\end{tabularx}
Donner l'écriture décimale de ces trois nombres.
\end{enumerate}

\bigskip
  
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le PGCD des nombres 408 et 578.
\item  Écrire $\dfrac{408}{578}$	sous forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip
  
\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $E = 9 - (2x - 1)^2$.
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item  Factoriser $E$.
\item  Calculer $E$ pour $x = \dfrac{1}{3}$.
\item  Résoudre $(2 + 2x) (4 - 2x) = 0$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip
  
\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit (O,  I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm).
\begin{enumerate}
\item  Sur la copie, dans le repère (O, I, J), placer les points A$(-3~;~ 1)$ ;  B$(-2~;~ 3)$ et C(2 ;  1).
\item  Calculer la distance BC.
\item  On admet que AB $= \sqrt{5}$ et AC = 5.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item  Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
\item  Construire le point N, image de M par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item  Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item  Calculer les coordonnées du point N.
\item  Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.
\end{enumerate}
  
\bigskip
  
\parbox{0.5\textwidth}{\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne la figure ci-contre dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées.

On ne demande pas de refaire la figure.
   
L'unité de longueur est le cm.

Le triangle MNP est rectangle en P avec

MP = 6 et NP =  2.

Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5.

M, R et N sont alignés ;  M, S et P sont alignés.} \hfill 
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3.5)
\pspolygon(0,0)(4.9,0)(4.9,2.6)
\psline(3.3,0)(3.3,1.75)
\uput[d](0,0){M} \uput[ul](3.3,1.75){R} \uput[d](3.3,0){S} \uput[ur](4.9,2.6){N} \uput[d](4.9,0){P} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{PMN}}$.
\item  En déduire la longueur RS.
\item  Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles.
\item  Calculer la distance MS ;  l'arrondir au mm.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip
  
\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le \emph{tableau de proportionnalité} ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2)
\psframe(4,2)
\psline(2,0)(2,2) \psline(0,1)(4,1)
\rput(1,0.5){$70$} \rput(1,1.5){$20$}
\rput(3,0.5){$b$}
\rput(3,1.5){$30$}
\rput(4,0.5){\rnode{A}{}} 
\rput(4,1.5){\rnode{B}{}} 
\nccurve{->}{B}{A}
\rput(4.6,1){$\times a$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $b$.
		\item  On appelle $a$ le coefficient de proportionnalité. Calculer $a$.
	\end{enumerate}
\item  On considère la fonction linéaire $f$ définie par : $f~: x \longmapsto 	3,5x$.

Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite $d$ représentant la fonction $f$.

\emph{On prendra un repère orthonormé ; l'origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : $1$ cm représentera $10$ unités.}
\end{enumerate}

\bigskip
  
\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90).
\item  Déterminer la fonction affine $g$ dont la représentation graphique est la droite (AB).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{l c l}
y & = & 3,5x\\
y & = &0,5 x + 60\\
\end{array}\right.$.
		\item  Que représente le couple $(x~ ;~ y)$, solution de ce système, pour les droites $d$ et (AB) ?
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
  
\bigskip
  
\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
On dispose d'un ressort de $60$~mm. Quand on lui suspend une masse de $20$~g, il s'allonge de $10$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On admet que l'allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée.

Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de $80$ g est $100$ mm.
\item  Soit $x$ la masse suspendue en grammes.

Exprimer l'allongement du ressort en fonction de $x$.
\item  Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de $x$.
\item  Sachant que la masse volumique de l'or est $19,5$~g/cm$^3$, calculer la masse d'un cube en or de 2~cm d'arête.
\item  On suspend ce cube à ce ressort.

Déterminer la longueur totale du ressort.
Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires.
\end{enumerate}
\end{document}