\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Asie juin 2008}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges } \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{juin 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie juin 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{1 cm} \textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Le barème de cet exercice est le suivant ; \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 1 point par bonne réponse. \item[$\bullet~$] 0,5 point par réponse fausse. \item[$\bullet~$] 0 point en l'absence de réponse. \end{itemize} \textbf{Trouver la bonne réponse parmi les trois proposées.\\ Écrire la lettre A, B ou C de la bonne réponse dans la dernière case du tableau de l'annexe 1.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5} \multicolumn{2}{c|}{}& A& B & C\\ \hline 1 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} \times \dfrac{5}{6}$&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{10}{6}$\\ \hline 2 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{10^{-3}\times \left( 10^3\right)^{-2} \times 10^2}{10^{-4}\times 10^{-2}}$ est égal à &$10^{6}$&$10^{-13}$&$10^{-1}$\\ \hline 3 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}& Pour tout nombre $x, (3x~-~2)^2$ est égal à&$3x^2 - 12x + 4$& $9x^2-12x+4$& $9x^2 - 4$\\ \hline 4& Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc :& 25 vaches& 20 vaches & 14 vaches\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues sur 20 par une classe de 25 élèves de 3\up{e} au dernier devoir de mathématiques. \medskip \psset{unit=0.9cm} \begin{center} \begin{pspicture}(5,0)(17.5,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=6,showorigin](6,0)(17.5,6) \rput(12,-1){Notes} \rput{90}(5,3){Effectifs} \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.3pt](6.5,\n)(17.5,\n)} \psframe*(6.85,0)(7.15,2) \psframe*(7.85,0)(8.15,4) \psframe*(8.85,0)(9.2,1) \psframe*(9.85,0)(10.15,3) \psframe*(10.85,0)(11.15,5) \psframe*(11.85,0)(12.15,4) \psframe*(13.85,0)(14.2,1) \psframe*(14.85,0)(15.15,3) \psframe*(15.85,0)(16.15,1) \psframe*(16.85,0)(17.15,1) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Calculer l'étendue des notes. \item Compléter le tableau suivant dans l'annexe 2 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Notes &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 &17\\ \hline Effectifs & & & & &5 & & & & & &\\ \hline Effectifs cumulés croissants &2 &6 & & & & & &20 & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer la moyenne des notes. \item Déterminer la médiane des notes. \item Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note inférieure ou égale à $14$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Sans aucun calcul expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction $\dfrac{\np{4114}}{\np{7650}}$. \item Calculer le PGCD des nombres \np{4114} et \np{7650} avec la méthode de votre choix en détaillant les calculs. \item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{\np{4114}}{\np{7650}}$ en précisant par quel nombre vous simplifiez. \item En utilisant les résultats des questions précédentes, mettre l'expression A suivante sous la forme $n\sqrt{34}$, où $n$ est un entier relatif, en détaillant les calculs : \[ \text{A} = 5\sqrt{\np{4114}} - 4\sqrt{\np{7650}}.\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-0.5,0)(7.5,3) \pspolygon(0,2.2)(7.1,1.7)(6.6,2.7)(1.05,0) \psline(1.5,2.1)(2.2,0.6) \uput[ul](0,2.2){A} \uput[d](1.05,0){B} \uput[u](1.5,2.1){C} \uput[dr](2.2,0.6){D} \uput[u](6.6,2.7){E} \uput[d](7.1,1.7){F} \uput[d](4.7,1.8){O} \rput{27}(2.2,0.6){\psframe(0.3,0.3)} \rput{27}(1.05,0){\psframe(0.3,0.3)} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{Sur la figure ci-contre, OD = 4~cm ; OC~=~5~cm ; AC = 3~cm ; OE = 6~cm ; OF = 7,5~cm. \emph{La représentation ci-contre n'est pas en vraie grandeur.} \begin{enumerate} \item Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles. \item Calculer OB. \item Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles. \item Quelle est la nature du triangle OEF ? Justifier. \item Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCD}}$. \item Quelle est la mesure au degré près de l'angle $\widehat{\text{EFO}}$ ? \end{enumerate}} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,6) \pspolygon(0.3,0.6)(4.3,0.6)(3.1,5.15)%BCS \psline(4.3,0.6)(5.9,2.1)(3.1,5.15)%CDS \pspolygon[linestyle=dashed](0.3,0.6)(1.9,2.1)(5.9,2.1)%BADB \psline[linestyle=dashed](4.3,0.6)(1.9,2.1)(3.1,5.15)%CAS \psline[linestyle=dashed](3.1,5.15)(3.1,1.3) \uput[u](3.1,5.15){S} \uput[ul](1.9,2.1){A} \uput[dl](0.3,0.6){B} \uput[dr](4.3,0.6){C} \uput[r](5.9,2.1){D} \uput[d](3.1,1.3){H} \psline(3.1,1.6)(3.3,1.42)(3.3,1.17) \psline(3.1,1.6)(2.8,1.5)(2.8,1.28) \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.5\linewidth}{ Sur la pyramide SABCD à base \textbf{rectangulaire} ci contre, H est le centre du rectangle ABCD et (SH) est perpendiculaire à la base ABCD. \emph{La représentation ci-contre n'est pas en vraie grandeur.} De plus, on a : SA = SB = SC = SD = 8,5~cm, CD = 12~cm et BC = 9~cm. \begin{enumerate} \item Tracer en vraie grandeur la face ABCD. \item Vérifier par le calcul que HD = 7,5~cm. \item Tracer en vraie grandeur le triangle SBD et placer le point H. \item Calculer SH. \item Calculer le volume de la pyramide SABCD. \end{enumerate}} \vspace{0,5 cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Une entreprise construit des boîtiers électriques qui servent à distribuer le courant électrique dans les appartements. Trois salariés Félix, Gaëlle et Henry fabriquent chaque mois le même nombre de boîtiers. Leur salaire mensuel en euro (le symbole de l'euro est \euro) est calculé de la façon suivante : \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Félix a un salaire fixe de \np{1500} \euro. \item[$\bullet~$] Gaëlle a un salaire de \np{1000}~\euro{} augmenté de 2~\euro{} par boîtier fabriqué. \item[$\bullet~$] Henry a un salaire de 7~\euro{} par boîtier fabriqué. \end{itemize} Chaque salarié a fabriqué $260$ boîtiers au mois de janvier, 180~boîtiers en février et 200~boîtiers en mars. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant dans l'annexe 3 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Salaire de Félix &Salaire de Gaëlle &Salaire de Henry\\ \hline Mois de Janvier & & &\\ \hline Mois de Février & & &\\ \hline Mois de Mars & & &\\ \hline \end{tabularx} \item Soit $x$ le nombre de boîtiers fabriqués pendant un mois. Exprimer en fonction de $x$ les salaires de Félix, Gaëlle et Henry. \item Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par : \begin{itemize} \item[] $f(x) = \np{1500}$ \item[] $g(x) =\np{1000} + 2x$ \item[] $h(x) = 7x$ \end{itemize} On choisira comme unités : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 1 cm pour 20 boîtiers sur l'axe des abscisses. \item[$\bullet~$] 1 cm pour 100~\euro{} sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} \item Par lecture graphique, préciser à partir de combien de boîtiers fabriqués en un mois on peut dire qu'Henry aura un salaire supérieur ou égal à celui de Gaëlle (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture). \item En avril, Félix et Gaëlle ont eu le même salaire. Combien de boîtiers Félix a-t-il fabriqué ? Justifier votre réponse par un calcul. \item Les trois salariés pourront-ils toucher le même salaire mensuel ? Expliquer la réponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille Annexe (à rendre avec la copie)} \medskip \begin{flushleft}\textbf{Annexe 1} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\footnotesize}c|}\cline{3-6} \multicolumn{2}{c|}{}& A& B & C&Réponse\\ \hline 1 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} \times \dfrac{5}{6}$&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{10}{6}$&\\ \hline 2 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}&$\dfrac{10^{-3}\times \left( 10^3\right)^{-2} \times 10^2}{10^{-4}\times 10^{-2}}$ est égal à &$10^{6}$&$10^{-13}$&$10^{-1}$&\\ \hline 3 \rule[-5mm]{0pt}{12mm}& Pour tout nombre $x, (3x~-~2)^2$ est égal à&\scriptsize $3x^2 - 12x + 4$&\scriptsize $9x^2-12x+4$&\scriptsize $9x^2 - 4$&\\ \hline 4& Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc :& 25 vaches& 20 vaches & 14 vaches&\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Annexe 2} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Notes &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 &17\\ \hline Effectifs & & & & &5 & & & & & &\\ \hline Effectifs cumulés croissants &2 &6 & & & & & &20 & & &\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Annexe 3} \end{flushleft} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Salaire de Félix &Salaire de Gaëlle &Salaire de Henry\\ \hline Mois de Janvier & & &\\ \hline Mois de Février & & &\\ \hline Mois de Mars & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}