\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie décembre 2011}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{6 décembre 2011}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\ {\Large \textbf{6 décembre 2011}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.} \textbf{Indiquer} sur votre copie \textbf{le numéro de la question} et, sans justifier, recopier la réponse exacte (aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Le nombre $\dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{27}{24}$ est égal à :&$0$&$\dfrac{5}{3}$&$- \dfrac{1}{6}$\\\hline% 2&L'expression développée de ${3x(5 - 4x)}$ est: &$15x - 12x $&$15x - 12x^2$& $3x^2$\\\hline% 3&On lance un dé équilibré à 6 faces et on regarde le nombre inscrit sur sa face supérieure. La probabilité de l'évènement \og on obtient un nombre supérieur ou égal à 5 \fg{} est :&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{4}{6}$ \\\hline% 4&Un billet d'avion coûte \np{70000}~F. Une agence de voyage vous accorde une réduction de 10\,\%. Vous allez payer: &\np{63000} F& \np{77000} F& \np{7000} F\\\hline% 5&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le nombre $\dfrac{6 \times 10^3 \times 28 \times 10^{- 2}}{14 \times 10^{-3}}$ est égal à : &$12 \times 10^{-9} $&$0,12$& $12 \times 10^4$\\\hline% \end{tabularx} \medskip \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On a relevé le nombre de médailles gagnées par les sportifs calédoniens lors des Jeux du Pacifique. Voici les résultats regroupés à l'aide d'un tableur (voir page suivante) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{||c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}|}\hline\hline &A &B &C &D&E\\ \hline 1 &Années des Jeux du Pacifique&Nombres de médailles d'or &Nombre de médailles d'argent& Nombre de médailles de bronze &Total \\ \hline% 2 &1963 & 7 &9 &11 &27\\ \hline% 3 &1966 &39 &30 &30 &99\\ \hline% 4 &1969 &36 &20 &21 &77\\ \hline% 5 &1971 &33 &32 &27 &92 \\ \hline% 6 &1975 &37 &31 &34 &102\\ \hline% 7 &1979 &33 &43 &26 &102\\ \hline% 8 &1983 &24 &20 &19 &63\\ \hline% 9 &1987 &82 &48 &38 &168\\ \hline% 10 &1991 &29 &29 &27 &85\\ \hline% 11 &1995 &82 &57 &43 &182\\ \hline% 12 &1999 &73 &55 &44 &172\\ \hline% 13 &2003 &93 &73 &74 &240\\ \hline% 14 &2007 &90 &69 &68 &227\\ \hline% 15&&&&&\\ \hline% 16& Total: &658 &516 &462 &\np{1636}\\ \hline% 17&&&&&\\ \hline% 18& Moyennes : &51 &40 &36 &126\\ \hline\hline% \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Pour obtenir le nombre 27 dans la cellule E2, on a écrit la formule suivante: =SOMME(B2:D2). Quelle formule a-t-on écrite en B16 pour obtenir 658 ? \item Quelle formule a-t-on écrite en B18 pour calculer la moyenne des médailles d'or obtenues sur ces 13 années ? \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Un éleveur possède 2 taureaux et 2 vaches : Bubulle, Icare, Caramel et Pâquerette. Il souhaite les présenter à la foire agricole. \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Bubulle pèse \np{1200} kg et Pâquerette 600 kg. \item[$\bullet~~$] Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis. \item[$\bullet~~$] Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Est-il possible que Caramel pèse 500~kg et Icare 700~kg ? Justifier votre réponse. \item Sachant que l'éleveur ne peut pas transporter plus de 3,2~tonnes dans son camion, pourra-t-il transporter tous les animaux ensemble ? Expliquer votre raisonnement. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Voici une carte découverte par Ruffy qui lui permettra de déterrer le fabuleux tr\'esor de Math le Pirate. On note : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] R le roche en forme de crâne, \item[ ] C le cocotier sous lequel est enterré le trésor \item[ ] P le phare. \item[ ] C est sur le demi-cercle de diamètre [PR] \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-1.25)(4,4) \psarc(0,0){4}{0}{180} \psdots(4;0)(4;180)(4;120)(0;0)%PRC \pspolygon(4;0)(4;180)(4;120) \uput[r](4;0){P}\uput[l](4;180){R}\uput[ul](4;120){C} \psarc(-4,0){0.7}{0}{60} \psline(1.53,0.1)(1.53,-0.1)\psline(1.57,0.1)(1.57,-0.1) \psline(-1.53,0.1)(-1.53,-0.1)\psline(-1.57,0.1)(-1.57,-0.1) \rput(-3.04,0.5){60~\degres} \rput(0,-0.5){La distance du phare au rocher en forme de} \rput(0,-1){crâne est de \np{3000} brasses.} \end{pspicture} \end{center} Aidez-le à mettre la main sur le butin : \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle PRC est un triangle rectangle. \item Calculer la distance RC en brasses. \end{enumerate} \medskip À vos pelles !!! \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \textbf{Rappels :} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\arraybackslash}X|}\hline $\bullet~~$La formule pour calculer le volume d'un cylindre de révolution est donnée par\\ $V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h$ avec $r$ le rayon et $h$ la hauteur du cylindre.\\ $\bullet~~$La formule pour calculer le volume d'une boule est donnée par \\ $V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ avec $r$ le rayon de la boule.\\ \hline \end{tabularx} \medskip Une entreprise doit construire des plots en béton pour border des trottoirs. Ces plots sont formés d'un cylindre de révolution surmonté d'une demi-boule. \parbox{0.65\linewidth}{La hauteur du cylindre doit être de 40~cm et son rayon de 20~cm. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume du cylindre. \item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume de la demi-boule. \item Calculer le volume de béton nécessaire pour fabriquer \np{1000}~plots. Donner la réponse en m$^3$.\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.30\linewidth}{\psset{unit=0.85cm} \begin{pspicture}(3,4.5) \psline(0,0.5)(0,3)\psline(3,0.5)(3,3) \psellipticarc(1.5,0.5)(1.5,0.4){180}{0} \psellipticarc(1.5,3)(1.5,0.4){180}{0} \psarc(1.5,3){1.5}{0}{180} \end{pspicture}} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \emph{La figure sera complétée sur l'annexe, au fur et à mesure de l'exercice.} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{ABCD est un carré de centre 0, tel que OB = 3 cm. La figure ci-contre n'est pas à l'échelle.}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2.25)(2,2.25) \psframe(-2,-2)(2,2) \pspolygon(-2,-2)(2,-2)(-2,2)(2,2)(-2,-2)(-2,2)(2,-2) \uput[l](-2,2){A}\uput[r](2,2){B}\uput[r](2,-2){C}\uput[l](-2,-2){D}\uput[l](0,0){O} \rput{45}(0.6,1.1){3 cm} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Sur la feuille \textbf{annexe}, construire le carré ABCD en vraie grandeur. \item Expliquer pourquoi le triangle BCO est rectangle et isocèle en O. \item Montrer que BC = $\sqrt{18}$~cm. \item Sur la demi-droite [AO), placer un point E tel que AE = 9~cm. Tracer la droite parallèle à la droite (BC) passant par E. Elle coupe la droite (AB) en F. \item Calculer la valeur exacte de la longueur EF. Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \begin{center}\textbf{Ce problème est composé de deux parties indépendantes} \end{center} En Nouvelle-Calédonie, le nombre d'accidents de la route ne cesse d'augmenter. Les principales causes de ces accidents sont l'alcool et la vitesse. \begin{center}\textbf{PARTIE 1 }\end{center} Dans cette partie, on considère qu'une canette contient 330~mL de bière et que le degré d'alcool est de 5\degres, c'est-à-dire 0,05. La formule suivante permet de calculer le taux d'alcool dans le sang (en g/L) : \begin{center}\fbox{$\text{Pour un homme: Taux}\: = \dfrac{\text{quantité de liquide bu} \times 0,05 \times 0,8}{\text{masse} \times 0,7}$}\end{center} La quantité de liquide bu est exprimée en mL. La masse est exprimée en kg. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que le taux d'alcool dans le sang, d'un homme de 60~kg qui boit deux canettes de bière est d'environ 0,63~g/L. \item La loi française interdit à toute personne de conduire si son taux d'alcool est supérieur ou égal à 0,5~g/L. D'après le résultat précédent, cette personne a-t-elle le droit de conduire? Justifier la réponse. Pour la suite, on considèrera un \textbf{homme de 70~kg}. \item Si $x$ désigne la quantité, en dL, de bière bue, le taux d'alcool dans le sang est donné par $T(x) = \dfrac{4}{49}x$. Compléter le tableau en annexe,(arrondir les résultats au centième). \item En utilisant les données du tableau, représenter graphiquement le taux d'alcool en fonction de la quantité de bière bue, sur une feuille de papier millimétré. \begin{tabular}{l l} On prendra :& 2~cm pour 1~dL sur l'axe des abscisses\\ &2 cm pour 0,1~g/L sur l'axe des ordonnées.\\ \end{tabular} \item Déterminer graphiquement le taux d'alcool correspondant à une quantité de bière de 3~dL (on laissera apparents les traits de construction). \item Déterminer graphiquement la quantité de bière à partir de laquelle cet homme n'est plus autorisé à reprendre le volant (on laissera apparents les traits de construction). \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{PARTIE 2}\end{center} La vitesse est mise en cause dans près d'un accident mortel sur deux. Un cyclomoteur est conçu pour ne pas dépasser une vitesse de 45~km/h. Si le moteur est gonflé au-delà de la puissance légale, les freins et les pneus ne sont plus adaptés et le risque d'accident augmente alors considérablement. \medskip \emph{On rappelle que la formule pour calculer la vitesse, $v$, est donnée par : $v = \dfrac{d}{t}$ avec $d$ la distance parcourue et $t$ le temps nécessaire pour parcourir cette distance.} \medskip Lisa et Aymeric ont chacun un scooter. Ils doivent rejoindre leurs copains à la piscine qui est à 8~km de chez eux. \medskip \begin{enumerate} \item Lisa roule en moyenne à 40 km/h. Combien de temps, en minutes, mettra-t-elle pour aller à la piscine ? \item Aymeric est plus pressé, il roule en moyenne à 48~km/h. Calculer, en minutes, le temps qu'il mettra pour retrouver ses copains à la piscine. \item Combien de temps Aymeric a-t-il gagné par rapport à Lisa ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Activités Géométriques / Exercice 3}\end{flushleft} \vspace{9cm} \begin{flushleft}\textbf{Problème / Partie 1 / Question 3}\end{flushleft} \bigskip \renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Quantité d'alcool (en dL) & 0 & 1 &5 &7\\ \hline Taux d'alcool (en g/L) & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}