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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nouvelle--Calédonie  mars 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

Attention, les calculs doivent être détaillés. 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : 

\[\text{A} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6}\times \dfrac{7}{9} \quad ; \quad  \text{B} = \dfrac{1}{35}  : \dfrac{12}{7} + \dfrac{1}{15} \quad ; \quad  	\text{C}  = \dfrac{135 \times  10^{14}}{5 \times 10^{-6}}.\] 

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et B. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. 
\item  Calculer C et donner l'écriture scientifique. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne 

D $= \sqrt{125}~;~ \text{E} = \sqrt{50} \times \sqrt{8}~;~ \text{F}  = \left(5 +\sqrt{3}\right)\left (5 - \sqrt{3}\right)$.
 
\begin{enumerate}
\item  Écrire D sous la forme $a\sqrt{b}$ ($a$ et $b$ entiers, $b$ étant le plus petit possible). 

\item  Calculer E et F. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $G = (x - 5)^2 - (x - 5)(7 - 2x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $G$. 
\item  Factoriser $G$. 
\item  Résoudre l'équation $(x- 5)(3x- 12) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

J'ai cueilli 96 trèfles, certains sont à 3 feuilles, les autres à 4 feuilles. On compte au total 293 feuilles. 

\begin{enumerate}
\item  $x$ désignant le nombre de trèfles à 3 feuilles et $y$ celui des trèfles à 4 feuilles, écrire un système de deux équations à deux inconnues traduisant la situation de l'énoncé.
 
\item  Résoudre le système et en déduire le nombre de trèfles à 4 feuilles. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

L'exercice  1 a été supprimé en conformité avec le nouveau programme. 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Soit ABC un triangle rectangle en B. 

On donne : AB = 8 cm et $\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire la figure en vraie grandeur. 
\item  On note H le pied de la hauteur issue de B. Calculer, en centimètres, la longueur du segment [AH], arrondie au mm près. 
\item  Calculer, en centimètres, la longueur du segment [BC], arrondie au mm près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit ABCD un rectangle tel que : AB = 6 cm et AD = 4,5 cm.

E est un point du segment [AB] tel que : AE = 3,6 cm.
  
M est un point du segment [AD] tel que : AM = 2,7 cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Construire la figure en vraie grandeur. 
\item  Démontrer que les droites (EM) et (80) sont parallèles. 
\item  On considère le point N du segment [BC] tel que : CN = 2 cm. 

La parallèle à la droite (BD) passant par N coupe la droite (CD) en P. 
Calculer PC. 
\item  Calculer la longueur NP. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Sosefo propose d'amener des personnes sur un îlot avec son bateau tout au long de l'année. 

Il a établi deux tarifs : 

Tarif A : \np{1200}~F la traversée, 

Tarif B : Un versement de \np{5000}~F en début d'année puis 700~F pour chaque traversée. 

\bigskip

\textbf{\textsc PREMIÈRE PARTIE }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}\hline
Nombre de traversées	&5 	&12 &18 \\ \hline
Tarif A 				&	&	& \\ \hline
Tarif B					&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item  On appelle $x$ le nombre de traversées. Exprimer en fonction de $x$ :
 
	\begin{enumerate}
			\item le prix P$_{\text{A}}$ à payer avec le tarif A ; 
			\item le prix P$_{\text{B}}$ à payer avec le tarif B. 
	\end{enumerate}
\item  Sur une feuille de papier millimétré, tracer dans un repère les représentations graphiques des fonctions suivantes :
 
$\quad  f_{\text{A}}~ :~ x \longmapsto  \np{1200}x$ ; 

$\quad  f_{\text{B}}~ :~ x \longmapsto 700x + \np{5000}$. 

On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille. 

On prendra comme unités : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses,  1 cm = 1 traversée ; 
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1 cm = \np{1000}~F.
\end{itemize} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc DEUXIÈME PARTIE}

\medskip
 
Lecture graphique : On laissera les traits de construction apparents.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour 6 traversées : 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix à payer avec le tarif A ?
		\item Quel est le prix à payer avec le tarif B ?
		\item Quel est le tarif le plus intéressant ? 
 	\end{enumerate}	
\item Avec \np{15000}~F : 
	\begin{enumerate}
		\item Combien de traversées peut-on faire avec le tarif A ? 
		\item Combien de traversées peut-on faire avec le tarif B ? 
		\item Quel est le tarif le plus intéressant ? 
	\end{enumerate}
\item  À partir de combien de traversées est-il plus intéressant de prendre le  tarif B ? Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc TROISIÈME PARTIE }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation : 

\[\np{1200}x = \np{5000} + 700x.\] 

\item  Donner l'interprétation du résultat.
 
\emph{Remarque : En Nouvelle-Calédonie, on utilise le franc pacifique. Pour information, $100$ francs pacifique valent environ $0,838$ euro.} 
\end{enumerate}
\end{document}