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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers}} 
\rfoot{\small{juin 2007}} 
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2007 \decofourright\\ 
Centres étrangers}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire chacun des trois nombres 
$\sqrt{12},~ \sqrt{27}$ et $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{3}$, avec $a$ entier.
		\item  On donne $A = 4\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 5\sqrt{75}$ ; donner une écriture simplifiée de $A$.
	\end{enumerate}
\item  On pose :

\[B = 5^2 + 2^2 \times 9 \quad ; \quad  C = \dfrac{3^2}{4 + 2^2} \quad ; \quad  D = 5 \times 10^3 - 2 \times 10^2.\]

Donner l'écriture décimale de ces trois nombres.
 \end{enumerate}
  
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le PGCD des nombres $408$ et $578$.
\item  Écrire $\dfrac{408}{578}$ sous forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3 :}

\medskip

On donne
\[E = 9 - (2x - 1)^2.\]

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item  Factoriser $E$.
\item  Calculer $E$ pour $x = \frac{1}{3}$.
\item  Résoudre $(2 + 2x)(4 - 2x) = 0$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II : Activités géométriques  \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

Soit (O ; I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm).
\begin{enumerate}
\item  Sur la copie, dans le repère (O; I, J), placer les points A$(- 3~;~ 1)$ ;  B$(-2~;~ 3)$~;  C$(2 ~;~ 1)$.
\item  Calculer la distance BC.
\item  On admet que AB $= \sqrt{5}$ et AC = 5. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item  Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
\item  Construire le point N, image de M par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item  Calculer le coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item  Calculer les coordonnées du point N.
\item  Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

On donne la figure ci-dessous dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire cette figure.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4)
\pspolygon(0,0)(4.5,0)(4.5,3.4)
\psline(2.7,0)(2.7,2.05)
\uput[l](0,0){M}  \uput[ur](4.5,3.4){N}  \uput[r](4.5,0){P}
\uput[ul](2.7,2.05){R}  \uput[d](2.7,0){S}  
\end{pspicture} \end{center}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. Le triangle MNP est rectangle en P avec \\MP = 6 et NP = $2\sqrt{3}$. Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. Les points M, R et N sont alignés, les points M, S et P sont alignés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une valeur de l'angle $\widehat{\text{PMN}}$.
\item  En déduire la longueur RS.
\item  Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles.
\item  Calculer la distance MS ; l'arrondir au mm.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie III : Problème}
 
\bigskip
 
\textbf{Première partie :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère le tableau de proportionnalité ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,2)
\psline(0,1)(2.8,1) \psline(1.5,0.5)(1.5,1.5) 
\rput(0.5,1.3){20} \rput(0.5,0.7){70} 
\rput(2.5,1.3){\rnode{A}{30~~~~}}
\rput(2.5,0.7){\rnode{B}{$b$~~~~}}
\nccurve{->}{A}{B}
\rput(3.3,1){$\times a$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Calculer $b$.
\item  On appelle $a$ le coefficient de proportionnalité. Calculer $a$.
 \end{enumerate}
\item  On considère la fonction linéaire $f$ définie par : $f : x \longmapsto 3, 5x$.

Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite $d$ représentant la fonction $f$.

On prendra un repère orthonormé ; l'origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1~cm représentera 10~unitées.
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Deuxième partie :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90).
\item  Déterminer la fonction affine $g$ dont la représentation graphique est la droite (AB).
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre le système
$\left\{\begin{array}{l c l}
y& =& 3, 5x		\\
y &=& 0, 5x + 60	\\
\end{array}\right.$
		\item  Que représente le couple $(x~;~ y)$, solution de ce système, pour les droites $d$ et (AB) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\bigskip
 
\textbf{Troisième partie :}

\medskip

On dispose d'un ressort de 60~mm.

Quand on lui suspend une masse de 20~g, il s'allonge de 10~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On admet que l'allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée.
Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80~g est 100~mm.
\item  Soit $x$ la masse suspendue en grammes.

Exprimer l'allongement du ressort en fonction de $x$.
\item  Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de $x$.
\item  Sachant que la masse volumique de l'or est 19,5~g/cm$^3$, calculer la masse d'un cube en or de 2~cm d'arête.
\item  On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort.

Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires.
\end{enumerate}
\end{document}