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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des  collèges} 
\lfoot{\small{Centres étrangers}} 
\rfoot{\small{juin 2006}} 
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2006~\decofourright\\ 
Centres étrangers}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

On donne les expressions suivantes :

\[\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}} - \dfrac{2}{5}\qquad\text{B} = \dfrac{21 \times 10^{-3} \times16 \times10^7}{12 \times10^7}\qquad\text{C} = 3\sqrt{20} - \sqrt{80} + \sqrt{5}\]

En indiquant toutes les étapes des calculs:

\begin{enumerate}
\item  écrire A sous la forme d'une fraction irréductible; 
\item calculer B et donner son écriture scientifique ;
\item écrire C sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier.
 \end{enumerate}
 
\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression:

\[D=(4x + 1)^2 - (3x - 2)(4x + 1).\]
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $D$. 
\item Factoriser $D$. 
\item Résoudre l'équation $(4x + 1)(x+ 3) = 0$.
\item Calculer la valeur de $D$ pour $x = \sqrt{3}$ en utilisant la forme de $D$ la mieux adaptée.
\end{enumerate}
 
\bigskip
  
\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le tableau ci-dessous présente la série des notes obtenues par les éléves de 3\up{e} B lors du dernier devoir en classe :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note sur 20	&5	&6	&8	&9	&11	&12	&13	&15	&18	&19\\ \hline
Effectif	&1	&2	&6	&2	&1	&4	&2	&3	&1	&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'effectif de la classe de 3\up{e} B ? 
\item Calculer la note moyenne de ce devoir. En donner la valeur arrondie au dixiéme de point. 
\item Quel est le pourcentage, arrondi à l'unité, de l'effectif total représentent les éléves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8. 
\item Déterminer la note médiane de cette série. Que représente cette note ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(3,3)
\pspolygon(0,0)(2.2,0)(2.8,0.68)(0.62,2)%DCBSD
\psline(0.62,2)(2.2,0)
\psline[linestyle=dashed](0.62,2)(0.62,0.68)(0,0)%SAD
\psline[linestyle=dashed](0.62,0.68)(2.8,0.68)
\uput[u](0.62,2){S} \uput[ul](0.62,0.68){A} \uput[ur](2.8,0.68){B} \uput[d](2.2,0){C} \uput[d](0,0){D} 
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox{0.6\textwidth}{La pyramide SABCD ci-contre a pour base le rectangle ABCD et pour hauteur le segment [SA].

L'unité de longueur est le centimètre.

On donne AB = 8,2 et SA =  4.

On donne également $\widehat{\text{ASD}} = 30$ \degres.
\begin{enumerate}
\item Donner, sans les justifier, la nature du triangle SAB et celle du triangle SAD.
\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{SBA}}$.
\item Calculer la valeur exacte de SD. En donner la valeur arrondie au millimètre.
\end{enumerate}} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. La figure sera effectuée sur une feuille de papier millimétré.
\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O, I,  J).
\begin{enumerate}
\item Placer les points B(2 ; 3 ), U(3 ; 0) et T$( - 4~;~ 1)$.
\item Calculer les valeurs exactes des distances BU, BT et TU,
\item Démontrer que le triangle BUT est rectangle.
\item Soit  R le point tel que $\vect{\text{UB}} = \vect{\text{TR}}$.
\begin{itemize}
\item  Quelle est la nature du quadrilatère BUTR ?
\item Construire le point R en laissant apparaître les tracés utilisés.
 \end{itemize}
\item[\text{e.}] Recopier et compléter l'égalité $\vect{\text{UB}} + \vect{\text{UT}} = \vect{\ldots\ldots}$.
 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.5,3)
\psline(0,0)(4.3,2.5) \psline(0.3,2)(4.1,0.2)
\psline(0,-0.1)(0,0.1) \psline(4.3,2.4)(4.3,2.6) \psline(0.3,1.9)(0.3,2.1) \psline(4.1,0.1)(4.1,0.3) 
\uput[l](0,0){C} \uput[r](4.3,2.5){B} \uput[l](0.3,2){A} \uput[r](4.1,0.2){D}
\uput[u](2,1.15){E} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{
L'unité de longueur est le mètre.

Antoine et David ont tendu une corde entre deux points A et D. Charléne et Betty en ont fait de même entre les points B et C.
 
Les deux cordes se coupent en E.

On sait que EA = 7, EB = 13, EC =  10 et ED = 9,1.

Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill12 points} 

\bigskip

{\Large \textbf{1\up{re} partie}}

\medskip

La société Truc fabrique des enseignes publicitaires composées de deux cônes de révolution de même diamètre 24 cm et de même hauteur 40 cm.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\rput{90}(3,1.625){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){0.86}{0}{180}}}%
\rput{90}(3,1.625){\psscalebox{1 0.45}{\psarc[linewidth=1pt](0,0){0.86}{180}{0}}}%
\pspolygon(0,1.5)(3,0.75)(6,1.5)(3,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt](3,0.75)(6,0.75)
\psline[linewidth=0.3pt](3,2.5)(6,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt](3,0.75)(7,0.75)
\psline[linewidth=0.3pt](3,2.5)(7,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(7,0.75)(7,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(3,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.3pt](0,0)(0,1.5)
\psline[linewidth=0.3pt](6,0)(6,1.5)
\psline[linewidth=0.3pt](3,0)(3,1.625)
\uput[u](1.5,0){40 cm} \uput[u](4.5,0){40 cm} 
\psline[linestyle=dashed](2.7,2)(3.3,1.25)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.2)(3.3,2.05)
\rput{90}(6.8,1.7){24 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume d'une enseigne. En donner d'abord la valeur exacte en cm$^3$ puis la valeur en dm$^3$ arrondie au dm$^3$.
\item Pour le transport, chaque enseigne est rangée dans un étui en carton ayant la forme d'un cylindre le plus petit possible et ayant même base que les cônes. Calculer le volume de cet étui en négligeant l'épaisseur du carton. En donner la valeur exacte en cm$^3$ puis la valeur en dm$^3$ arrondie au dm$^3$.
\end{enumerate}

\textbf{Rappels :} Volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$  : $\pi R^2 h$ ;

Volume d'un cône de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $\dfrac{\pi R^2 h}{3}$.

\bigskip

{\Large \textbf{2\up{e} partie}}

Pour transporter ces enseignes, la société Truc a contacté deux entreprises afin de comparer les tarifs qu'elles proposent. 

L'entreprise Vitlivré propose une somme de 3,20 \euro{} par kilométre parcouru.

 L'entreprise Rapido propose un forfait de 180 \euro{} puis une somme de 2 \euro{} par kilomètre parcouru.
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Distance en km								&40	&100&130	&200&250\\ \hline
Coût en \euro{} avec l'entreprise Vitlivré	&128&	&		&	&	\\ \hline
Coût en \euro{} avec l'entreprise Rapido	&	&	&440	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le nombre de kilomètres à parcourir pour une livraison.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $x$ le prix à payer avec la société Vitlivré.
		\item Exprimer en fonction de $x$ le prix à payer avec la société Rapido.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonctions $v$ et $r$ définies par $v(x) = 3,2 x$ et $r(x) = 2x + 180$, dans un plan muni d'un repère orthogonal.

 On utilisera une feuille de papier millimétré, on placera l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille.
 
 On prendra 1~cm pour 20 km sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 40 \euro{} sur l'axe des ordonnées.
\item Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés utilisés.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel sera le montant de la facture pour une livraison de 180 km par l'entreprise Rapido ?
		\item Quelle est la distance parcourue par le livreur de Vitlivré lorsque la facture s'élève à 160 \euro{} ?
		\item Pour quel kilométrage les deux entreprises font-elles payer le même prix ? Quel est ce prix ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement l'entreprise la moins chère en fonction de la distance parcourue lors de la livraison.
\item Retrouver par le calcul les résultats de la question 4. c..
\end{enumerate}
\end{document}