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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%réglages de pages
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Brevet des collèges}
\lfoot{Centres étrangers}
\rfoot{juin 2011}
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 \begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Centres étrangers juin 2011~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip
 
On donne A $= (x - 3)^2 + (x - 3)(1 - 2x)$.
 
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A. 
\item Prouver que l'expression factorisée de A est : $(x - 3)(- x - 2)$. 
\item Résoudre l'équation A $= 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne B $= \sqrt{27}  + 5\sqrt{12} - \sqrt{300}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sophie pense que B peut s'écrire plus simplement sous la forme $3\sqrt{3}$.
		 
Prouver que Sophie a bien raison. 
		\item Éric pense que Sophie a raison car, avec sa calculatrice, lorsqu'il calcule 
		
$\sqrt{27}  + 5\sqrt{12} - \sqrt{300}$, il trouve deux fois le même résultat : \np{5,196152423}. 

Que penser du raisonnement d'Eric ?   	 
	\end{enumerate}
\item	On donne C = $\dfrac{10 - 9 \times  2}{2}$. 

Sophie et Éric calculent C : Sophie trouve $1$ et Éric trouve $- 4$. Qui a raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip 

\parbox{0.8\linewidth}{La fusée Ariane 5 est un lanceur européen qui permet de placer des satellites en orbite autour de la Terre. 
\begin{enumerate}
\item Lors de la première phase du décollage de la fusée, les deux propulseurs situés de part et d'autre du corps de la fusée permettent d'atteindre une altitude de $70$~km en $132$~secondes.
 
Calculez la vitesse moyenne, exprimé en m/s de la fusée durant la première phase du décollage. Convertir ce résultat en km/h.
 
\item La vitesse de libération est la vitesse qu'il faut donner à un objet pour qu'il puisse échapper à l'attraction d'une planète. \end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.2\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,5)
\psframe(0.8,0.45)(1,2.9)
\psframe(1.8,0.45)(2,2.9)
\pspolygon(0.8,0.45)(1,0.45)(1.1,0)(0.7,0)
\pspolygon(1.8,0.45)(2,0.45)(2.1,0)(1.7,0)
\pscurve(0.8,2.9)(1,3.2)(1,3.5)(1,4)(1,4.5)(1.4,5)(1.8,4.5)(1.8,4)(1.8,3.5)(1.8,3.2)(2,2.9)
\pscurve(1,1)(1.1,0.6)(1.3,0.4)(1.3,0.3)(1.5,0.3)(1.5,0.4)(1.7,0.6)(1.8,1)
\rput{90}(1.4,2){\textsc{\textbf{ARIANE~5}}}
\end{pspicture}}
\medskip

Cette vitesse notée $v$ se calcule grâce à la formule suivante : $v = \sqrt{\dfrac{13,4 \times 10^{-11} \times M}{r + h}}$.

où 	$M$ est la masse de la planète en kg (pour la Terre, on a : $M = 6 \times 10^{24}$ kg),

$r$ est son rayon en mètres (pour la Terre, on a : $r = 6,4 \times  10^6$ mètres),
 
$h$ est l'altitude de l'objet en mètres.
 
$v$ est alors exprimée en m/s. 

Ariane 5 libère un satellite de télécommunication à une altitude $h = 1,9 \times  10^6$ mètres. 
\begin{enumerate}
\item[]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $r + h$.
		\item Quelle doit être la vitesse de la fusée à cette altitude ? On arrondira au m/s près.
		 
Écrire ce résultat en notation scientifique. 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\medskip 

\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5,4.5)
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(0.4,0)(0.4,3.5)(4.4,3.5)(4.4,3.9)(0,3.9)
\pspolygon[linewidth=1.6pt](0.4,1.3)(3.6,3.5)(0.4,3.5)%ABO
\uput[dr](0.4,1.3){A} \uput[dr](3.6,3.5){B} \uput[dr](0.4,3.5){O} 
\end{pspicture}
}\hfill\parbox{0.7\linewidth}{Un maçon veut vérifier que deux murs sont bien perpendiculaires.
 
Pour cela, il marque un point A à 60~cm du point O et un point B à 80~cm du point O. Il mesure alors la distance AB et il trouve 1~mètre.
 
Prouver que les murs sont bien perpendiculaires.}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{Michel achète une glace au chocolat. Elle a la forme d'une boule posée sur un cône comme sur la figure ci-contre. Michel, qui est gourmand, se demande s'il ne serait pas plus intéressant de remplir le cône à ras bord avec de la glace plutôt que de poser une boule sur le cône.
 
On rappelle les formules suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Volume d'une boule de rayon $R : \dfrac{4}{3}\pi R^3$. 
\item[$\bullet~~$] Volume d'un cône de hauteur $h$ dont la base a pour rayon $R : \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la boule de glace (on donnera la valeur exacte). 
\item Calculer le volume du cône (on donnera la valeur exacte). 
\item Conclure.
\end{enumerate}}\hfill\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.5,7.5)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch](0.3,5.1)(1.6,0)(2.8,5.1)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6,5.6){1.4}
\psline[linecolor=white,arrowsize=2pt 3]{<->}(0.3,5.1)(2.8,5.1)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.2,7.15)(3,7.15)\uput[u](1.6,7.15){6~cm}
\uput[u](1.55,5.1){\color{white} 5,4~cm}
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0,0)(0,5)\rput{90}(0.3,2.5){12~cm}
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,8.25) 
\pspolygon(1,0)(4.4,2.35)(1,7.8)
\psline[linestyle=dashed](3.8,2)(1,6.7)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(1.7,8.1)(5.1,2.8)\rput{-58}(3.6,5.5){3,40~m}
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0,0)(0,7.8)\rput{90}(0.2,3.9){4,20~m}
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.8,0)(0.8,6.7)\rput{90}(0.6,3.35){3,78~m}
\uput[d](1,0){P} \uput[dr](3.8,2){T} \uput[r](4.4,2.35){W} \uput[u](1,7.8){M} \uput[ul](1,6.7){C} 
\end{pspicture}}\hfill 
\parbox{0.55\linewidth}{Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile.
 
La voile a la forme du triangle PMW ci-contre. 
\begin{enumerate}
\item On souhaite faire une couture suivant le segment [CT]. 
	\begin{enumerate}
		\item Si (CT) est parallèle à (MW), quelle sera la longueur de cette couture ? 
		\item La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture.
		 
Est-ce que 7 mètres de fil suffiront ?
	\end{enumerate} 
\item Une fois la couture terminée, on mesure : 

PT = 1,88~m et PW = 2,30~m.
 
La couture est-elle parallèle à (MW) ? 
\end{enumerate}}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1 : Installation d'un ordinateur dans une bibliothèque d'école}

\medskip

À la bibliothèque de l'école, il y a deux étagères placées dans un angle de la pièce, comme le montre le schéma ci-dessous.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-0.6)(9.5,9.5)
\psframe[fillstyle=hlines](0,2.5)(1.5,6.9)\psframe*[linecolor=white](0.5,3.5)(1.2,5.9)\rput{90}(0.85,4.7){\small Étagère \no 2}
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,6.9)(6,8.4)\psframe*[linecolor=white](2.5,7.2)(5,8.1)\rput(3.75,7.65){\small Étagère \no 1}
\psframe[linewidth=0.2pt](1.5,6.9)(0,8.4)
\psline(5.9,8.4)(7,8.4)
\pspolygon[linewidth=0.2pt](3,6.2)(3,3.8)(4.5,3.8)(5.3,4.7)(5.3,6.2)
\psframe[fillstyle=hlines](3,3.8)(4.5,-0.6)\psframe*[linecolor=white](3.3,0.4)(4.2,2.8)\rput{90}(3.75,1.6){\small Étagère \no 2}
\psframe[fillstyle=hlines](5.3,4.7)(9.3,6.2)\psframe*[linecolor=white](6.3,5)(8.3,5.9)\rput(7.3,5.45){\small Étagère \no 1}
\psline[linewidth=0.2pt](4.5,6.2)(4.5,3.8)
\psline[linewidth=0.2pt](5.3,4.7)(3,4.7)
\psline[linewidth=3pt,arrowsize=2pt 3]{->}(3.8,4.7)(3.8,3.8)
\psline[linewidth=3pt,arrowsize=2pt 3]{->}(4.5,5.4)(5.4,5.4)
\uput[ul](0,8.4){\footnotesize A} \uput[u](1.5,8.4){\footnotesize B} 
\uput[ul](1.5,6.9){\footnotesize C} \uput[l](0,6.9){\footnotesize D} 
\uput[ul](3,6.2){\footnotesize A} \uput[u](4.5,6.2){\footnotesize B} 
\uput[ul](4.5,4.7){\footnotesize C} \uput[l](3,4.7){\footnotesize D} 
\uput[u](5.3,6.2){\footnotesize E} \uput[d](5.3,4.7){\footnotesize F} 
\uput[dr](4.5,3.8){\footnotesize G} \uput[l](3,3.8){\footnotesize H}
\psframe[linewidth=0.2pt](3,6.2)(3.3,5.9) 
\psframe[linewidth=0.2pt](4.5,4.7)(4.8,4.4)
\psframe[linewidth=0.2pt](0,8.4)(0.3,8.1)
\end{pspicture}} 
\hfill \parbox{0.4\linewidth}{Pour installer un ordinateur, on déplace les deux étagères \textbf{d'une même distance} afin  de placer une table ayant la forme AEFGH comme sur le schéma ci-contre :
\vspace{1cm}

On précise que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] BE = CF= CG = DH ; 
\item[$\bullet~~$] GCF est un triangle rectangle et isocèle en C. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}}

\vspace{0,5cm}
\begin{enumerate}
\item Si on déplace les deux étagères de 1~mètre, Combien mesure alors GF ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On souhaite avoir GF = 1 m. De combien doit-on alors déplacer les étagères ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2: Achat d'un logiciel de gestion de bibliothèque}

\medskip
 
L'école décide de tester un logiciel pour gérer sa bibliothèque. Elle télécharge ce logiciel sur Internet.
 
\begin{enumerate}
\item Le fichier a une taille de 3,5~Mo (mégaoctets) et le téléchargement s'effectue en 7~secondes.
 
Quel est le débit de la connexion internet? On donnera le résultat en Mo/s.

\smallskip
 
Après une période d'essai de 1 mois, l'école décide d'acheter le logiciel.
 
Il y a trois tarifs :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Tarif A : 19~\euro 
\item[$\bullet~~$] Tarif B : 10~centimes par élève 
\item[$\bullet~~$] Tarif C : 8~\euro{} + 5 centimes par élève 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre d'élèves &100 &200 &300\\ \hline 
Tarif A 	&19,00~\euro&				& \\ \hline
Tarif B		&			&				& 30,00~\euro\\ \hline 
Tarif C		&			& 18,00~\euro	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $x$ représente le nombre d'élèves, laquelle des fonctions suivantes correspond au tarif C ?
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
$x \longmapsto 8 + 5x$& $x \longmapsto 8 + 0,05x$& $x\longmapsto 0,05 + 8x$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Quelle est la nature de cette fonction ?
	\end{enumerate} 
\item Sur le graphique donné en annexe, on a représenté le tarif B. 

Sur ce même graphique, représenter les tarifs A et C.
 
\item Par lecture graphique, à partir de combien d'élèves le tarif A est-il plus intéressant que le tarif C ?

\smallskip
 
\emph{On fera apparaître sur la feuille annexe  les tracés nécessaires à la lecture graphique.} 

Dans l'école, il y a 209 élèves. 
\item Quel est le tarif le plus intéressant pour l'école ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3 : Fonctionnement de la bibliothèque}

\medskip 
 
Grâce au logiciel, on peut obtenir des informations précises sur les emprunts effectués par les 209 élèves de l'école. 

On a, par exemple, les données suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
Nombre d'emprunts en novembre 2010 :&0	& 1&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
Nombre d'élèves :					& 39&30&36	&23	&20	&22	&18 &10 &11\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre moyen d'emprunts par élève ? 
\item Quelle est la médiane de cette série ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 4 : Fête de fin d'année }

\medskip 

À la fin de l'année scolaire, l'école décide d'offrir des colis lecture aux élèves.
 
\begin{enumerate}
\item Étienne a reçu un colis. Ce colis contient 3 bandes-dessinées et 2 albums.
 
Il sort, au hasard, un premier livre du colis sans regarder.
 
Quelle est la probabilité que ce soit une bande-dessinée ?
\item Étienne a sorti un album au premier tirage. Comme il veut lire une bande-dessinée, il sort, au hasard, un deuxième livre du colis sans regarder.
 
Quelle est la probabilité que ce soit une bande-dessinée ? 
\end{enumerate} 
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
 
\textbf{(À rendre avec la copie)} 

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.035cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture}(-20,-2)(330,42)
\uput[u](305,0){Nombre d'élèves}\uput[r](0,42){Tarif en \euro}
\rput{45}(300,31){\textbf{Tarif B}}
\multido{\n=0+10}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,41)}
\multido{\n=0+1}{42}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(330,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=2]{->}(0,0)(-19,-1.9)(330,42)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=2](0,0)(330,42)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](330,33)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}